СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ) Л.И. ПОЛЕНИЩЕНКО С.П. НИКОНОВА СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ -е издание, исправленное и дополненное Ульяновск

2 ББК Вя П Поленищенко, Л. И. по линейной алгебре : учеб. пособие / Л. И. Поленищенко, С. П. Никонова. -е изд., испр. и доп. Ульяновск : УВАУ ГА(И),. с. Составлено в соответствии с программой курса математики и высшей математики для УВАУ ГА(И). Пособие состоит из восьми глав: в первых семи главах содержатся необходимые теоретические сведения и формулы, даны решения типовых задач с необходимыми методическими рекомендациями, помещены упражнения для самостоятельного решения, сопровождающиеся ответами. В восьмой главе пособия приведены варианты проверочных заданий. Предназначено для аудиторной и самостоятельной работы курсантов первого курса всех специализаций. Печатается по решению Редсовета училища. Поленищенко Л.И., Лебедева Н.А.,. Ульяновск, УВАУ ГА,. Ульяновское высшее авиационное училище гражданской авиации (институт), с исправлениями и дополнениями,

3 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение.... Определители.... Системы линейных уравнений. Правило Крамера.... Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.... Матрицы, операции над ними. Обратная матрица.... Матричная запись системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.... Ранг матрицы. Критерий совместности системы линейных уравнений.... Линейное пространство. Базис. размерность. Понятие Евклидова пространства.... Варианты заданий для самостоятельной работы... Ответы... Библиографический список...

4 ВВЕДЕНИЕ Изучение дисциплины «Математика» в УВАУ ГА(И) начинается с рассмотрения основ линейной алгебры, включающих в себя элементы теории матриц и определителей, а также различные методы решения систем линейных уравнений. Простейшие системы линейных уравнений умели решать еще вавилонские и древнегреческие математики. Интенсивная разработка общей теории систем таких уравнений началась с построения теории определителей, к которой непосредственное отношение имели швейцарский математик Г. Крамер ( ) и французский ученый П.-С. Лаплас ( ). Существенный вклад в развитие указанного направления линейной алгебры, включающего в себя также теорию матриц, внесли немецкие математики К.-Ф. Гаусс ( ) и Л. Кронекер ( ), итальянский математик А. Капелли ( ), французский математик К.-Э. Жордан ( ). Имена этих ученых носят важные правила и теоремы, описывающие и обосновывающие методику решения всевозможных систем линейных уравнений. По разнообразию и значительности приложений как в математике, так и в экономике, механике, физике и технических науках линейная алгебра остается первой среди многочисленных ветвей алгебры. В решении ряда практических задач, связанных с эксплуатацией авиационной техники, также возникает необходимость решения систем алгебраических уравнений. Например, при оценке прочностей деталей летательных аппаратов, где по реальному состоянию объекта производится прочностный расчет, необходимо совместно решить огромное число уравнений (для современных изделий порядка уравнений). Естественно, что эти громоздкие вычисления выполняются в настоящее время с помощью современных пакетов компьютерных программ, теоретической основой которых являются обычные методы линейной алгебры. Настоящий сборник содержит достаточное количество упражнений для выработки навыков решения стандартных задач линейной алгебры. Каждая глава начинается с краткого введения, состоящего из основных теоретических положений рассматриваемого раздела и подробного решения соответствующих типовых задач. Указываются также задачи, способствующие выявлению взаимной связи понятий линейной алгебры и объектов, изучаемых различными направлениями геометрии. НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

5 Матрицей размеров. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ m n называется прямоугольная таблица чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов:... m где i,,..., m; j,,..., n.... m n n или ( ij ),... mn Через ij обозначается элемент матрицы, стоящий на пересечении строки с номером i и столбца с номером j. В этой главе мы будем рассматривать только квадратные матрицы n-го порядка, т. е. такие, у которых число строк равно числу столбцов (m n). Важной характеристикой квадратной матрицы является ее определитель. Определителем квадратной матрицы второго порядка называется число, обозначаемое и определяемое по правилу:.. По-другому определитель можно обозначить следующим образом:,, Пример. Вычислить определитель det, det( ij ). В соответствии с формулой. получаем:. ( ) ( ). Пример. Решить уравнение. НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

6 Сначала найдем определители:,. Данное уравнение принимает вид: или, откуда получаем, что,. Определителем квадратной матрицы третьего порядка называется число, определяемое по правилу: det.. Правило вычисления определителя третьего порядка можно представить схематично: в разложении следует взять со знаком «плюс» произведения тех троек элементов, которые соединены отрезками прямых на рис. а, и со знаком «минус» произведения элементов, соединенных отрезками на рис. б (правило треугольников). а а а а а а а а а а а а а а а а а а Рис. а Пример. Вычислить определитель третьего порядка Применяя формулу., получаем: Рис. б. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Минором элемента. ij называется определитель M ij матрицы, полученной из данной при вычеркивании строки с номером i и столбца с номером j. НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

7 Алгебраическим дополнением элемента со знаком, определяемым выражением ij называется его минор, взятый i j ( ) : i j ij ( ) M.. Пример. Найти миноры и алгебраические дополнения элементов третьего столбца матрицы. Элементами третьего столбца являются,,. По определению минора получаем: M, M, M. По формуле. находим алгебраические дополнения: M ( ), ( ) M ( ) ( ) M Рассмотрим основные свойства определителей. Свойство. Определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими по номеру столбцами: ij.. Свойство. При перестановке двух столбцов (строк) определитель изменит знак на противоположный:, НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

8 . Свойство. Общий множитель всех элементов столбца (строки) определителя можно выносить за знак определителя:. k k k k Свойство. Определитель равен нулю, если все элементы некоторого столбца (строки) равны нулю. Свойство. Определитель равен нулю, если он содержит два одинаковых столбца (строки):. Свойство. Если соответствующие элементы двух столбцов (строк) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю:. k k k Свойство. Если каждый элемент какого-то конкретного столбца (строки) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то этот определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в указанном столбце (строке) имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой вторые; элементы же других столбцов (строк) у всех трех определителей одни и те же:. НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

9 Свойство. Определитель не изменится, если к элементам некоторого его столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), предварительно умноженные на одно и то же число: k k k Свойство. Определитель равен сумме произведений элементов любой конкретной его строки (столбца) на их собственные алгебраические дополнения. Свойство. Сумма произведений элементов некоторой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю. Указанные свойства позволяют упрощать вычисление определителей. Пример. Вычислить определитель матрицы, разложив его по элементам второй строки. Применяя свойство, получим: det ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ). Пример. Используя свойства, вычислить определитель. Вычисление определителя будет наиболее рациональным, если в ходе преобразований в каком-либо столбце или в какой-то строке получится максимальное количество нулей. Применим к данному определителю свойство : во-первых, прибавим ко второй строке первую, умноженную на ( ), а вовторых, прибавим к третьей строке первую, умноженную на ( ); при этом первая строка остается неизменной.. НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

10 Получаем:. Вычислим преобразованный определитель, разложив его по элементам первого столбца: ( ). Пример. Предварительно упростив, вычислить определитель. Прибавим к элементам второго столбца соответствующие элементы третьего, а затем разложим полученный определитель по второму столбцу: ( ) ( ) Рассмотрим квадратную матрицу n -го порядка... n... n n n... nn.. Определителем n-го порядка называется число, равное сумме произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения: det.... n n Определители n-го порядка (n > ) обладают теми же свойствами, что и определители второго и третьего порядков, в том числе, такие определители можно вычислять, раскладывая их по элементам любой строки или столбца. Пример. Вычислить определитель четвертого порядка. НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

11 Разложим определитель по первой строке: ) ( ) ( ) ( ) (. Вычислив определители третьего порядка, находим:. Пример. Используя свойства, вычислить определитель. Применяя указанные выше свойства определителей, находим: ) (. ) ( ) ( Второй определитель четвертого порядка получен из первого определителя умножением элементов его первого столбца на ( ) и сложением с соответствующими элементами поочередно второго, третьего и четвертого столбцов, после чего второй определитель разложен по первой строке. Найденный определитель третьего порядка преобразован следующим образом: первая строка умножается на ( ) и складывается со второй строкой, затем первая строка умножается на ( ) и складывается с третьей, после чего преобразованный определитель раскрывается по элементам первого столбца. НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

12 УПРАЖНЕНИЯ.. Вычислить определители второго порядка: ) ) ) ) ) ) ; ) ; ) ; ) ; ) os α sin α ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) sin α ; ) os α.. Решить уравнения: ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ; ) ; ) ; ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ; ) ; ). ; ; ; ) ; ) ; ) ; ) ; )... Вычислить определители третьего порядка: ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

13 ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; )... Найти миноры и алгебраические дополнения элементов первой строки и первого столбца следующих матриц: ) ; ) ; ) ; )... Вычислить определители, разложив их: ) по элементам первой строки; ) по элементам третьей строки; ) по элементам второго столбца; ) по элементам третьего столбца; ) по элементам второго столбца; НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

14 ) по элементам третьей строки; ) по элементам первого столбца; ) по элементам второй строки; ) по элементам первой строки... Вычислить определители, предварительно преобразовав их: ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; )... Проверить справедливость следующих равенств: ) ; )... Вычислить определители четвертого порядка: ) ; ) ; ) ; НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

15 ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; )... Вычислить определители пятого порядка: ) ; )... При каком k определитель k равен нулю? НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

16 . СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ПРАВИЛО КРАМЕРА Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида где числа... n n,... nn,... m m... mnn m, ij, i, m, j, n называются коэффициентами системы, числа i свободными членами. Решением системы. называется совокупность n значений неизвестных,,, n n, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными Составим определители:,,,... определитель системы,,, НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

17 при этом заметим, что определитель i ( i,,) получается из определителя системы путем замены столбца коэффициентов при свободных членов. i столбцом из ТЕОРЕМА. Если определитель системы. отличен от нуля, то система имеет единственное решение,,.. Формулы. называются формулами Крамера. Метод Крамера обобщается для системы n линейных уравнений с n неизвестными. Если, то i, i, n.. i Пример. Решить системы уравнений методом Крамера: а),, б),,. а) Вычислим определители: ( ),,. По формулам Крамера получим,. Решение системы: (; ). б) Определитель системы равен. Так как, то данная система имеет единственное решение. Вычислим определители ( i,,) i. НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

18 ,,. Применим формулы..,,. Проверка. Убедимся, что найденное решение удовлетворяет каждому уравнению системы. Подставим значения,,, в данную систему:.,, Решение системы: (; ; ). УПРАЖНЕНИЯ.. Решить системы линейных уравнений методом Крамера. )., )., )., )., )., )., ).,, ).,, ).,, ).,, ).,, ).,, НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

19 ).,, ).,,, ).,,, ).,,, ).,,, ).,,, ).,,, НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

20 . РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА Метод Гаусса позволяет ответить на вопросы о совместности или несовместности, определенности или неопределенности системы линейных уравнений, а также отыскать все решения совместной системы. В основе метода лежит идея последовательного исключения неизвестных с помощью подстановок, суть которой состоит в приведении данной системы к другой, равносильной ей, но более простой системе. Это приведение одной системы к другой осуществляется путем элементарных преобразований, которые производятся над уравнениями системы или, что удобнее, над строками ее расширенной матрицы, т.к. элементарному преобразованию системы линейных уравнений соответствует одноименное элементарное преобразование строк ее расширенной матрицы. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений (матрицы) называются следующие действия: перестановка двух уравнений (строк); умножение обеих частей уравнения (элементов строки) на отличное от нуля действительное число; прибавление к обеим частям какого-либо уравнения (к элементам строки) соответствующих частей другого уравнения (элементов другой строки), умноженных на одно и то же действительное число; вычеркивание уравнения, у которого обе части тождественно равны нулю (нулевой строки матрицы). Рассмотрим алгоритм применения метода Гаусса. Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными... n n,... nn,... m m m... mnn m. Предположим, что. Если это не так, то, изменив нумерацию уравнений, запишем первым то, в котором коэффициент при неизвестной отличен от нуля. НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

21 Умножаем первое уравнение системы почленно на число и прибавляем ко второму. Вместо второго получаем уравнение, не содержащее не- известной. Умножая первое уравнение почленно на число и прибавляя к третьему, получаем уравнение, в котором коэффициент при также равен нулю. Аналогично исключаем неизвестную из всех остальных уравнений, в результате чего получим эквивалентную исходной систему уравнений:... n n,... nn,... nn,... m m... mn n m, где i ij ij j, i i i новые коэффициенты и свободные члены системы ( i,,..., m ; j,,..., n ). Предполагая, что, и оставляя неизменными первые два уравнения системы, применим к каждому из остальных уравнений аналогичные предыдущим преобразования для того, чтобы коэффициент при неизвестной оказался равным нулю, и продолжим подобные преобразования далее относительно оставшихся неизвестных. После конечного числа шагов т.н. прямого хода метода Гаусса получим одну из следующих систем, указанных ниже (коэффициенты в них переобозначены).... n n d,..., nn d случай:... nn d,.... nnn dn, где ( i,,..., m ). ii НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

22 Такая система имеет единственное решение. Значение n находим из последнего уравнения ( n dn nn ), значение n из предпоследнего и т.д. (обратный ход метода Гаусса).... k k... n n d,... k k... nn d, случай:.... kk k... knn dk, здесь k < n. Эта система имеет бесконечное множество решений. Из последнего уравнения можно выразить одну из неизвестных (например, k ) через остальные ( n k ) неизвестных, входящих в это уравнение. Из предпоследнего уравнения определяется k, из первого. При этом неизвестные k, k,, n называются свободными, а неизвестные,,, k базисными. Какое-нибудь частное решение можно получить, если свободным неизвестным k где случай:, k,, n придать конкретные значения k k n n... d, d d... k n, d. Такая система несовместна, поскольку никакие значения k неизвестных не могут удовлетворять ее последнему уравнению. Таким образом, суть метода Гаусса состоит в том, что с помощью элементарных преобразований система приводится к ступенчатому виду, откуда легко найти решения. Вывод о количестве решений можно сделать по виду последней строки. При этом возможны три случая. Система имеет единственное решение, если последнее уравнение имеет вид n, где. Система имеет бесконечное множество решений, если последнее уравнение содержит больше одной неизвестной, тогда часть неизвестных являются свободными. Система несовместна, если последнее уравнение имеет вид n, где. k k k n n n k,,. НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

23 Пример. Решить систему уравнений.,, Составим расширенную матрицу системы и преобразуем ее: ~ ~. Вторая матрица получена из первой в результате следующих действий: ) вторая строка сложена с первой, умноженной на ( ); ) третья строка сложена с первой, умноженной на ( ). Третья матрица получена из второй следующим образом: вторая строка умножена на ( ) и прибавлена к третьей строке. Последней матрице соответствует система уравнений.,, Из третьего уравнения находим. Из второго:. Из первого:. Множество решений системы имеет вид: { } ;;) (. Пример. Решить систему уравнений.,,, Составим расширенную матрицу системы и преобразуем ее: ~ ~. НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

24 В результате данная система сводится к системе трех уравнений с четырьмя неизвестными.,, Из последнего уравнения выразим через :. Второе уравнение с учетом последней формулы дает возможность выразить неизвестную :. Тогда из первого уравнения получим :. Система имеет бесконечное множество решений, т.к. свободная неизвестная может принимать любые действительные значения, а базисные неизвестные,, выражаются через. Множество решений системы может быть записано в виде: R ; ; ;. Пример. Решить систему уравнений.,,, Составим расширенную матрицу системы и преобразуем ее: ~ ~ ~ ~ ~. НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

25 Последней матрице соответствует система уравнений.,,, Эта система несовместна, т.к. никакие значения неизвестных не могут удовлетворить ее последнему уравнению. Ответ. Система не имеет решений. УПРАЖНЕНИЯ.. Решить системы уравнений, используя метод Гаусса. ).,, ).,, ).,, ).,, ).,, ).,, ).,, ).,, ).,, ).,, ).,, ).,, ).,, ).,, ).,, НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

26 ).,,, ).,,, ).,,, ).,,, ).,,, ).,,, ).,,,, ).,,,, ).,,,, ).,,,, ).,,,,, ).,,,,, НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

27 .. Какие переменные в системе уравнений,, можно считать базисными, а какие свободными?.. Указать, чему равна разность между числом базисных и свободных переменных системы уравнений.,, НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

28 . МАТРИЦЫ, ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА Рассмотрим матрицу, содержащую m строк и n столбцов, такую матрицу называют матрицей размера m n и пишут m n. Элементы матрицы, стоящие на диагонали, идущей от верхнего левого угла, образуют главную диагональ. Матрицы равны между собой, если они имеют одинаковое количество строк и столбцов и соответствующие их элементы равны, т.е. Матрица размера B, если ij ij, где i, m, j, n. n n называется квадратной матрицей n-го порядка. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Е. Например, E единичная матрица -го порядка. Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Обозначается буквой О. Матрицы, состоящие из одного столбца, или из одной строки называют X матрица-столбец, n ( n ) матрица-строка. Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается T T T. Транспонированная матрица обладает следующим свойством: ( ). НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

29 T T Пример. Если, то ; если, то ( ). Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров. Рассмотрим, как определяются операции над матрицами. m n ( ij Суммой двух матриц ) и B ) называется такая матрица C m n ( ij ), каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых матриц, т.е. ( i, m, j, n ). Записывают C B. Пример. ij ij m n ij ( ij Аналогично определяется разность матриц.. Произведением матрицы m n ( ij ) на число λ называется матрица B m n ( ij ), такая, что ij λ ij ( i, m, j, n ). Записывают B λ. Пример. Дана матрица. Найти. Каждый элемент данной матрицы А умножаем на число, в результате получим Матрица ( ) называется противоположной матрице А. Разность матриц. B можно определить так: B ( B). Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами: ) B B ; ) ( B C) ( B) C; НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

30 ) O ; ) O; ) ; ) α ( B) α α B; ) ( α β) α β ; ) α ( β ) ( αβ). Здесь, B, C матрицы, α и β числа. Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы m n ( ij ) на матрицу B n р ( jk ) называется такая матрица C m p ( ik ), каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k- го столбца матрицы В, т.е. ik i k..., где i, m, k, p. i k in nk Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко доказать, что E E, где А квадратная матрица, Е единичная матрица того же размера. Пример., B. Произведение B не определено, так как число столбцов матрицы А не совпадает с числом строк матрицы В ( ). При этом определено произведение B, которое находят следующим образом: B Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ ВА. Умножение матриц обладает следующими свойствами: ) ( B C) ( B) C; ) ( B) C C BC; ) ( B C) B C; ) α ( B) ( α) B, (если записанные суммы и произведения матриц имеют смысл).. НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

31 Для операции транспонирования верны свойства: T T T ) ( B) B ; ) ( B) B. Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю: det, в противном случае ( ) матрица А называется вырожденной. Матрица называется обратной квадратной матрице А, если выполняется условие: E, где Е единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрица имеет те же размеры, что и матрица А. ТЕОРЕМА. Всякая невырожденная матрица имеет обратную, при этом.. det Для нахождения обратной матрицы следует: убедиться, что det ; ( ij T T T составить матрицу ), элементы которой есть алгебраические дополнения элементов ij матрицы А; транспонировать матрицу ; обратной матрицей будет матрица T ( ). det Пример. Дана матрица. Найти обратную матрицу и сделать проверку. Вычислим определитель матрицы А: det. НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

32 Находим алгебраические дополнения элементов данной матрицы и составляем матрицу :,,,.,,, транспонируем эту матрицу и каждый элемент матрицы T ( ) делим на, det в результате получим обратную матрицу. Сделаем проверку. Убедимся в том, что. E. E УПРАЖНЕНИЯ.. Даны матрицы:,, B. C Найти: ) ; C ) А В С; ) А В С... Найти матрицу Х, если X. НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

33 .. Дана матрица. Найти матрицу В, удовлетворяющую условию: А В О... Дана матрица. C Найти матрицу Х, удовлетворяющую условию: А Х Е... Даны матрицы:,, B. C Вычислить, если. B C.. Даны матрицы: А размера, В размера n k и С размера. Чему равна сумма, n k если? C B.. Даны матрицы ), ( X, Y,,, B C. D Существуют ли произведения: ) ; B ) ; C B ) ; D X ) ; B ) ; D C ) ; Y X ) ; Y D ) ; B C ) ; X Y ) C D?.. Найти произведения матриц: ) ; ) ( ) ); ( ) ); ( ) ); ( ) ; ) ( ) ; ) ; ) ; НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

34 ) ; ) ; ) ; ). ; ). ; )... Найти матрицу транспонированную к данной матрице А: ) ; ) ; ) ; )... Выполнить действия: ), E если ; ), E если... Даны матрицы:., B Найти: ) ; T B ). B T.. Найти определитель произведения матрицы на транспонированную... Умножить матрицу на транспонированную. НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

35 .. ) Матрица µ λ не имеет обратной при: а) ;, µ λ б) ;, µ λ в) ;, µ λ г)., µ λ ) Матрица λ не имеет обратной при λ, равном: а) ; б) ; в) ; г)... Найти матрицу, обратную каждой из матриц. Сделать проверку. ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ). НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

36 . МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ где Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными... n n,... nn,... m m m... mnn m. Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме X B, матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей:... m X столбец неизвестных, n... m B столбец свободных членов системы. n Произведение матриц X определено, так как в матрице столбцов столько же, сколько строк в матрице X. Пример. Записать в матричной форме систему уравнений: ,,. n n... mn, НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

37 Составим матрицу системы, матрицу решений X и матрицу свободных членов B :.,, B X Данная система линейных уравнений в матричной форме запишется так:. Рассмотрим матричный способ решения системы линейных уравнений. Определим решение системы n линейных уравнений с n неизвестными в случае, когда определитель матрицы отличен от нуля ( det ), то есть существует обратная матрица. Умножим левую и правую части уравнения B X слева на матрицу, получим:. B X Поскольку E и, X X E то. B X Отыскание решения системы по этой формуле называют матричным способом решения системы. Пример. Решить систему уравнений,, с помощью обратной матрицы. Вычислим определитель матрицы системы:. det Находим обратную матрицу:. Запишем решение системы в матричной форме: B X или НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

38 . Получаем, что.,, Пример. Найти неизвестную матрицу X из уравнения. X Обозначим,, B тогда B X., det следовательно, существует обратная матрица, поэтому. B X Находим обратную матрицу и по правилу умножения матриц получим:. X УПРАЖНЕНИЯ.. Записать в матричной форме систему уравнений: ).,, ).,, ).,,.. Определить значение х, если выполняется равенство... Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы: )., )., )., НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

39 ).,, ).,, ).,,.. Найти неизвестную матрицу Х из уравнений: ) ; X ) ; X ). X НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

40 . РАНГ МАТРИЦЫ. КРИТЕРИЙ СОВМЕСТНОСТИ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Пусть дана прямоугольная матрица... m... m Выделим в этой матрице k произвольных строк и k произвольных столбцов (здесь k min( m, n) ). Определитель k-го порядка, составленный из элементов матрицы А, расположенных на пересечении выделенных k строк и k столбцов, называется минором k-го порядка матрицы А. Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля n n Ранг матрицы обозначают одним из символов: r ()... mn., r, rg, rng. Очевидно, что ранг квадратной матрицы n-го порядка, определитель которой отличен от нуля, равен ее порядку: Пример. Найти ранг матрицы det r( ) n.. Данная матрица имеет размеры, т.е. m, n, поэтому k может принимать значения или. Из элементов матрицы можно составить шесть миноров первого порядка, являющихся самими элементами матрицы, и три минора второго порядка:, Среди миноров второго порядка имеется один, отличный от нуля:,.. НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

41 Следовательно, ранг данной матрицы равен двум: r ( ). Если размеры матрицы не очень малы, то перебор всех миноров задача, требующая громоздких вычислений. Поэтому проще и рациональнее находить ранг матрицы с помощью следующих элементарных преобразований: перестановка любых двух строк; умножение всех элементов строки на отличное от нуля число; прибавление ко всем элементам какой-либо строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число; Такие же действия возможны и со столбцами матрицы, но если в итоге придется решать систему линейных уравнений, то удобнее преобразовывать только строки. Важно, что элементарные преобразования не меняют ранга матрицы, и с их помощью любая матрица может быть приведена к ступенчатому виду. Ступенчатой матрицей называется матрица вида..., k , k B i, k , i где ( i,,..., r ), k < k <... < kr, т.е. матрица, характеризуемая i, k i следующими условиями: ) ниже нулевой строки стоят только нулевые строки; ) первый нулевой элемент какой-либо строки стоит строго правее первого нулевого элемента предыдущей строки. Ранг ступенчатой матрицы В равен числу ее ненулевых строк: r ( B) r. Если же матрица В была получена из матрицы А при помощи элементарных преобразований, то ранги этих матриц совпадают: r ( ) r( B) r. НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

42 Пример. Найти ранг матрицы, используя элементарные преобразования. Вычитая из третьей строки удвоенную первую, получим: ~. Эта матрица является ступенчатой, содержащей две ненулевые строки. Следовательно, ) ( r. Пример. Найти ранг матрицы. Вычтем из первой строки вторую и поменяем местами первую и вторую строки: ~ ~. Вычитая из третьей строки удвоенную вторую и поменяв затем эти строки местами, получим: ~ ~. Вычтем из третьей строки удвоенную вторую ~. Последняя матрица является ступенчатой, поэтому ) ( r. Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

43 ... n n,... nn,... m m m... mnn и запишем для нее основную и расширенную матрицы:... m... m n n... mn,... m... m m n n... mn.... m Сформулируем критерий совместности системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранги ее основной и расширенной матриц совпадали: r ( ) r( ). Перечислим возможные ситуации, возникающие в ходе исследования системы в зависимости от соотношения между числом неизвестных и рангами основной и расширенной матриц: если ранг основной матрицы совместной системы равен числу неизвестных ( r ( ) r( ) n ), то система имеет единственное решение; если ранг основной матрицы совместной системы меньше числа неизвестных ( r ( ) r( ) < n), то система имеет бесконечное множество решений; если ранг основной матрицы системы меньше ранга ее расширенной матрицы ( r ( ) < r( ) ), то система не имеет решений (несовместна). Пример. Исследовать на совместность систему уравнений,,. Запишем основную и расширенную матрицы данной системы:,. НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

44 Поскольку det, то ) ( r. Очевидно, что ) ( r. Получили: n r r ) ( ) (. Система совместна и определена, т.е. имеет единственное решение. Пример. Исследовать на совместность систему уравнений.,, В случае совместности найти все решения. Составим основную и расширенную матрицы данной системы:,. Преобразуем эти матрицы: ~ ~ ~, ~ ~. Получим, что ) ( r, ) ( r, следовательно, система совместна. Т.к. число неизвестных равно трем ( n ) и n r r < ) ( ) (, то система является неопределенной, т.е. имеет бесконечное множество решений. Учитывая вид преобразованной расширенной матрицы, запишем эквивалентную систему уравнений:., Считая неизвестную свободной, найдем базисные неизвестные:,. Следовательно, множество всех решений системы имеет вид: } ) ; ; {( R. НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

45 УПРАЖНЕНИЯ.. Вычислить ранг матрицы: ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; )... Исследовать систему на совместность и для совместной системы указать, сколько именно решений она имеет: ).,, ).,, ).,, ).,, ).,, ).,, НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

46 ).,, ).,, ).,, ).,, ).,,, ).,,,.. При каком а система уравнений, не имеет решений?.. Ранг матрицы А равен k. Укажите, какие из следующих утверждений являются верными: ) все миноры порядка k матрицы А равны нулю; ) число строк матрицы А может быть больше k; ) матрица А имеет отличный от нуля минор порядка k; ) любой минор порядка (k ) матрицы А равен нулю; ) число ненулевых строк матрицы А может быть больше k; ) число ненулевых строк матрицы А может быть меньше k. НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

47 . ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО. БАЗИС. РАЗМЕРНОСТЬ. ПОНЯТИЕ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА Ранее мы неоднократно встречались с множествами, в которых были определены операции сложения и умножения на число, например, множества матриц, многочленов, векторов, а также само множество действительных чисел. В каждом из этих множеств операции вводятся по-своему, но имеют одни и те же свойства: коммутативность и ассоциативность сложения, дистрибутивность умножения на число относительно сложения и т.д. Целесообразно исследовать множество, состоящее из элементов произвольной природы, в котором определены операции сложения двух элементов и умножение элемента на число. Эти операции могут быть осуществляться каким угодно способом, требуется лишь, чтобы они обладали некоторым набором свойств. Множество L называется линейным (или векторным) пространством, а его элементы векторами, если задана операция сложения, т.е. для любых двух элементов а и, взятых из L, определяется элемент из L, называемый их суммой и обозначаемый ; задана операция умножения на число, согласно которой любому элементу а, взятому из L, ставится в соответствие элемент из L, называемый произведением а на α и обозначаемый α ; для любых элементов а,, с, принадлежащих L, и любых чисел α, β выполняются следующие требования (аксиомы): ) ; ) ( ) ( ) ; ) в L имеется элемент (т.н. нуль-вектор) такой, что справедливо равенство ; ) вместе с каждым элементом L существует элемент ( ) L такой, что ( ) ; ) α ( ) α α ; ) ( α β) α β ; НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

48 ) α ( β ) ( αβ) ; ). Если числа в определении линейного пространства являются действительными, то линейное пространство называется действительным; в случае, когда рассматриваются комплексные числа, получаем комплексное линейное пространство. Пример. Множество R n, состоящее из n-мерных векторов, будет линейным пространством. Пример. Множество квадратных матриц n-го порядка является линейным пространством. Пример. Множество всех многочленов, степень которых не превосходит заданного числа n, будет линейным пространством. Пример. Известные числовые множества (множество целых чисел, множество рациональных чисел, множество действительных чисел) являются линейными пространствами. Пример. Существует линейное пространство, состоящее из одного элемента. Операции в нем задаются равенствами, α. Это пространство называется нулевым. Система векторов,,, n называется линейно независимой, если их нулевая линейная комбинация возможна только при нулевых значениях коэффициентов: k k... knn k k... kn. Если же нулевая линейная комбинация векторов возможна и при некотором ненулевом наборе коэффициентов, т.е. существует хотя бы один коэффициент k i, отличный от нуля, то векторы,,, n называются линейно зависимыми. Пример. Любые два неколлинеарных (т.е. не параллельных одной прямой) вектора плоскости являются линейно независимыми, но любые три вектора плоскости линейно зависимы. Так, если и неколлинеарные векторы, то по правилу параллелограмма можем найти, что k k (рис. ). НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

49 Аналогично в пространстве любые три некомпланарных (т.е. не параллельных одной плоскости) вектора будут линейно независимыми. Однако любые четыре пространственных вектора уже линейно зависимы. Конечная упорядоченная система векторов e, e,, e n называется базисом в пространстве L, если она линейно независима и каждый вектор L есть линейная комбинация векторов этой системы: α e αe... αne n. Коэффициенты α, α,, α n называются координатами (или компонентами) вектора а по данному базису: α, α,..., α ). ( n Линейное пространство, в котором существует базис, состоящий из n векторов, называется n-мерным, а число n размерностью пространства. При этом размерность нулевого пространства полагается равной нулю. Пример. Прямоугольная декартова система координат R двумерное линейное пространство (плоскость). Оси Ох и O упорядочены следующим образом: если ось Ох повернуть вокруг точки О на угол π против движения часовой стрелки, то она совпадет с осью O. Векторы i и j называются базисными векторами прямоугольной декартовой системы координат. Тогда любой вектор R можно представить в виде линейной комбинации векторов i и j: i j (рис. ), числа х и будут координатами вектора а в этом базисе:, ). ( k k Рис. j O i Рис. НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

50 Пример. Множество всех многочленов переменной х степени, не превосходящей n, является линейным пространством размерности (n ). Можно доказать, базис в нем образуют многочлены, х,,, n. Действительное линейное пространство называется действительным евклидовым пространством, если выполнены следующие два требования: имеется правило, с помощью которого любым двум элементам а и этого пространства ставится в соответствие действительное число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое ; указанное правило подчинено четырем аксиомам: ), ) ( ) ; ) ( α ) α( ) для любого действительного α ; ) >, если ;, если. Пример. Рассмотрим линейное пространство R всех векторов геометрического пространства. Скалярное произведение двух векторов здесь определено равенством os ϕ, где ϕ угол между векторами. Можно показать, что аксиомы справедливы. Следовательно, R является евклидовым пространством. Пример. Если в n-мерном векторном пространстве R n зафиксирован некоторый базис, то скалярное произведение векторов α, α,..., α ) и ( n ( β, β,..., βn) можно определить по формуле: α β αβ... αnβn. Выполнение аксиом проверяется непосредственно, откуда следует, что R n будет евклидовым пространством. Отметим некоторые свойства евклидова пространства. Для любых его элементов а и справедливы следующие неравенства: ( ) (неравенство Коши-Буняковского); здесь и длины векторов а и, определяемые как квадратный корень из скалярного квадрата (, ); НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

51 (неравенство треугольника). Векторы а и называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:. Для ортогональных векторов а и выполняется равенство (теорема Пифагора). УПРАЖНЕНИЯ.. Установить, что множество всех многочленов n -ой степени не является линейным пространством. Почему?.. Доказать, что все квадратные матрицы n -го порядка, элементами которых являются действительные числа, образуют линейное пространство относительно традиционно определяемых операций сложения матриц и умножения матрицы на число. Найти базис и размерность этого пространства... Показать, что множество комплексных чисел по отношению к обычным операциям сложения и умножения на действительное число представляет собой действительное линейное пространство... Объясните, почему в n-мерном векторном пространстве, где n >, нельзя ввести скалярное произведение с помощью формулы α, β где α и β первые координаты векторов а и в данном базисе. Какая из аксиом скалярного произведения оказалась бы в этом случае нарушенной?.. Докажите неравенство α ) ( β β ) ( αβ α ) ( α β (частный случай неравенства Коши-Буняковского для n ) непосредственно, рассмотрев разность между левой и правой частью. НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

52 . ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ Вариант. Вычислить определитель разложением по третьему столбцу.. Вычислить M и, если.. Решить систему линейных уравнений тремя способами: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса.,,. Выполнить действия:, E если.. Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности решить ее методом Гаусса.,, Вариант. Вычислить определитель разложением по третьей строке. НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

53 . Вычислить M и, если.. Решить систему линейных уравнений тремя способами.,,. Выполнить действия:, E если.. Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности решить ее методом Гаусса.,,,, Вариант. Вычислить определитель разложением по второму столбцу.. Вычислить M и, если.. Решить систему линейных уравнений тремя способами.,, НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

54 . Выполнить действия:, E B B если. B. Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности решить ее методом Гаусса.,, Вариант. Вычислить определитель разложением по третьему столбцу.. Вычислить M и, если.. Решить систему линейных уравнений тремя способами.,,. Выполнить действия:, B B если,. B. Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности решить ее методом Гаусса.,,, НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

55 Вариант. Вычислить определитель разложением по второй строке.. Вычислить M и, если.. Решить систему линейных уравнений тремя способами.,,. Выполнить действия:, E Y Y если. Y. Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности решить ее методом Гаусса.,,, Вариант. Вычислить определитель разложением по первому столбцу.. Вычислить M и, если. НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

56 . Решить систему линейных уравнений тремя способами.,,. Выполнить действия:, E C C если. C. Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности решить ее методом Гаусса.,,, Вариант. Вычислить определитель разложением по первой строке.. Вычислить M и, если.. Решить систему линейных уравнений тремя способами.,,. Выполнить действия:, если. НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

57 . Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности решить ее методом Гаусса.,,, Вариант. Вычислить определитель разложением по второму столбцу.. Вычислить M и, если.. Решить систему линейных уравнений тремя способами.,,. Выполнить действия:, B B если,. B. Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности решить ее методом Гаусса.,,, НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

58 Вариант. Вычислить определитель разложением по третьей строке.. Вычислить M и, если.. Решить систему линейных уравнений тремя способами.,,. Выполнить действия:, E если.. Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности решить ее методом Гаусса.,,,, Вариант. Вычислить определитель разложением по второму столбцу.. Вычислить M и, если. НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

59 . Решить систему линейных уравнений тремя способами.,,. Выполнить действия:, E B B если. B. Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности решить ее методом Гаусса.,,, Вариант. Вычислить определитель разложением по третьей строке.. Вычислить M и, если.. Решить систему линейных уравнений тремя способами.,,. Выполнить действия:, E X X если. X НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

60 . Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности решить ее методом Гаусса:.,,, Вариант. Вычислить определитель разложением по первому столбцу.. Вычислить M и, если.. Решить систему линейных уравнений тремя способами.,,. Выполнить действия:, E если.. Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности решить ее методом Гаусса.,,, Вариант. Вычислить определитель разложением по третьей строке. НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

61 . Вычислить M и, если.. Решить систему линейных уравнений тремя способами.,,. Выполнить действия:, Y Y если.. Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности решить ее методом Гаусса.,,, Вариант. Вычислить определитель разложением по первой строке.. Вычислить M и, если.. Решить систему линейных уравнений тремя способами.,, НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

62 . Выполнить действия:, E C C если.. Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности решить ее методом Гаусса.,,, Вариант. Вычислить определитель разложением по второму столбцу.. Вычислить M и, если.. Решить систему линейных уравнений тремя способами.,,. Выполнить действия:, C C E если.. Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности решить ее методом Гаусса.,,, НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

63 Вариант. Вычислить определитель разложением по второму столбцу.. Вычислить M и, если.. Решить систему линейных уравнений тремя способами.,,. Выполнить действия:, E если.. Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности решить ее методом Гаусса.,, Вариант. Вычислить определитель разложением по второй строке.. Вычислить M и, если. НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

64 . Решить систему линейных уравнений тремя способами.,,. Выполнить действия:, E B B если. B. Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности решить ее методом Гаусса.,,, Вариант. Вычислить определитель разложением по третьему столбцу.. Вычислить M и, если.. Решить систему линейных уравнений тремя способами.,,. Выполнить действия:, E если. НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

65 . Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности решить ее методом Гаусса.,,, Вариант. Вычислить определитель разложением по третьей строке.. Вычислить M и, если.. Решить систему линейных уравнений тремя способами.,,. Выполнить действия:, E B B если. B. Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности решить ее методом Гаусса.,,, Вариант. Вычислить определитель разложением по второму столбцу. НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

66 . Вычислить M и, если.. Решить систему линейных уравнений тремя способами.,,. Выполнить действия:, E если.. Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности решить ее методом Гаусса.,,, Вариант. Вычислить определитель разложением по первому столбцу.. Вычислить M и, если.. Решить систему линейных уравнений тремя способами.,,. Выполнить действия:, E B B если. B НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

67 . Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности решить ее методом Гаусса.,,,, Вариант. Вычислить определитель разложением по второй строке.. Вычислить M и, если.. Решить систему линейных уравнений тремя способами.,,. Выполнить действия:, E если.. Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности решить ее методом Гаусса:.,,, НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

68 Вариант. Вычислить определитель разложением по второму столбцу.. Вычислить M и, если.. Решить систему линейных уравнений тремя способами.,,. Выполнить действия:, E B B если. B. Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности решить ее методом Гаусса.,,, Вариант. Вычислить определитель разложением по первому столбцу.. Вычислить M и, если. НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

69 . Решить систему линейных уравнений тремя способами.,,. Выполнить действия:, E если.. Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности решить ее методом Гаусса.,,, Вариант. Вычислить определитель разложением по третьему столбцу.. Вычислить M и, если.. Решить систему линейных уравнений тремя способами.,,. Выполнить действия:, E B B если. B НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

70 . Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности решить ее методом Гаусса.,,, Вариант. Вычислить определитель разложением по третьей строке.. Вычислить M и, если.. Решить систему линейных уравнений тремя способами.,,. Выполнить действия:, E если.. Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности решить ее методом Гаусса.,,, НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

71 Вариант. Вычислить определитель разложением по первому столбцу.. Вычислить M и, если.. Решить систему линейных уравнений тремя способами.,,. Выполнить действия:, E B B если. B. Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности решить ее методом Гаусса.,, Вариант. Вычислить определитель разложением по первой строке.. Вычислить M и, если. НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

72 . Решить систему линейных уравнений тремя способами.,,. Выполнить действия:, E X X если. X. Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности решить ее методом Гаусса.,,, Вариант. Вычислить определитель разложением по второму столбцу.. Вычислить M и, если.. Решить систему линейных уравнений тремя способами.,,. Выполнить действия:, E если. НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

73 . Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности решить ее методом Гаусса.,,, Вариант. Вычислить определитель разложением по третьему столбцу.. Вычислить M и, если.. Решить систему линейных уравнений тремя способами.,,. Выполнить действия:, E B если,. B. Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности решить ее методом Гаусса.,, НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

74 ОТВЕТЫ.. ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; )... ) ; ), ; ), ; ) ; ),, ; ),, ; ),, ; ),,,... ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; )... ) M, M, M,, M M,, M M,, M M,, M M ; ), M ; ), M ; ), M. M M, M M, M M,.. ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; )... ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; )... ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; )... ) ; )... k... ) (; ); ) (; ); ) ( ; ); ) ( ; ); ) (; ); ) (( ; ); ) (; ; ); ) ( ; ; ); ) (; ; ); ) (; ; ); ) (; ); ) (; ; ); ) ( / ; ; ); ) (; ; ; ); ) (; ; ; ); ) ( ; ; ;); ) ( ; ; ; ); ) ( ; ; ; ); ) ( ; ; ; ). НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

75 .. ) (; ; ); ) (; ; ); ) (х ; х ; х ), х R; ) (х ; х х ; х ), х R, х R; ) система несовместна; ) (; ; ); ) (; ; ); ) ( ; ; ); ) (х ; х ; х ),х R; ) (х ; х ; х ), х R; ) (/; /; /); ) ( /; /; /); ) (; ; ); ) ( х ; х ; х ), х R; ) система несовместна; ) (; ; ; ); ) ( ; ; ; ); ) (; ; ; ); ) (; ; ; ); ) (,;,;,;,); ) (/; /; /; /); ) (; ; ; ; ); ) (; ; ; ; ); ) (; ; ; ; ); ) (; ; ; ; ); ) (/; /; /; /; /; ); ) (; ; ; ; ; )...,, базисные переменные;, свободные переменные ) C ; ) B C ; ) B C B... X ), ),), ), ), ) да... ) (), т.е. матрица состоит из одного элемента; ) ; ) ; ) ; ) ( ) ; НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

76 ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; )... ) ); ( ) ; ) ; )... ) ; )... ) ; ) ) а); ) б)... ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; )... х. НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

77 .. ) (;); ) (; ); ) ; ; ) (; ; ); ) ( ; ; ); ) (; ; )... ) ; ) ; )... ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; )... ), ), ), ), ), ), ) система является определенной (имеет единственное решение); ), ) система является неопределенной (имеет бесконечное множество решений); ), ), ) система несовместна ), ), ). НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА (и) г

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВК Барышева, ЕГ

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва,

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Допущены к проведению занятий в - учгоду Заведующий кафедрой профессор АП Господариков

Подробнее

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ КИ Лившиц ЛЮ Сухотина ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ Учебно-методическое пособие Томск Издательский Дом Томского государственного университета 6 УДК 7 ББК Л Рецензенты: д-р физ-мат наук профессор

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АЛМАТИНСКИЙ ФИЛИАЛ НЕГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОФСОЮЗОВ» СЖ КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА задания

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Методические

Подробнее

Казанский (Приволжский) федеральный университет

Казанский (Приволжский) федеральный университет Казанский (Приволжский) федеральный университет МС МАЛАКАЕВ ЛР СЕКАЕВА ОН ТЮЛЕНЕВА ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Учебно-методическое пособие Казань 2013 УДК 510 Печатается по решению учебно-методической комиссии

Подробнее

Алгебра и теория чисел

Алгебра и теория чисел Московский международный институт эконометрики информатики финансов и права Балюкевич ЭЛ Романников АН Алгебра и теория чисел Москва УДК ББК А Балюкевич ЭЛ Романников АН Алгебра и теория чисел // Московский

Подробнее

1. Линейные системы и матрицы

1. Линейные системы и матрицы 1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы Линейная алгебра Лекция Обратная матрица Ранг матрицы Обратная матрица Определение Матрица А - называется обратной по отношению к квадратной матрице если при умножении этой матрицы на данную матрицу как

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений ЗАНЯТИЕ Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений Сведения из теории Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений

Подробнее

ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕЧНАЯ СИСТЕМА

ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕЧНАЯ СИСТЕМА Федеральное агентство связи Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕЧНАЯ

Подробнее

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинникова Высшая математика I Практикум по линейной алгебре и аналитической

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

Министерство образования и науки РФ. Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина. Кафедра высшей математики С.И.

Министерство образования и науки РФ. Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина. Кафедра высшей математики С.И. Министерство образования и науки РФ Российский государственный университет нефти и газа имени И М Губкина Кафедра высшей математики СИ ВАСИН ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие для студентов Москва

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. З. Ильязова

Подробнее

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Б.Г. Бочков Н.В. Воробьева Е.Ф. Шестакова ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное

Подробнее

ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. В.Л. Клюшин. Учебное пособие

ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. В.Л. Клюшин. Учебное пособие РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ В.Л. Клюшин Высшая МАтемаТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ Учебное пособие Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов

Подробнее

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n:

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: Билет 1 Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: расположенных в m строках и n столбцах. Матрица называется квадратной, если m=n (n - порядок

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Глава 3. Определители

Глава 3. Определители Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором

Подробнее

Линейная алгебра с приложениями

Линейная алгебра с приложениями Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» Институт образовательных информационных технологий РМ Минькова Линейная алгебра с приложениями Учебно-методическое

Подробнее

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. Найдите произведение матриц ABC: Решение типового варианта: Так как произведение матриц не перестановочно, то найти данное произведение можно двумя способами: Для определенности воспользуемся вторым

Подробнее

УДК ББК Г27

УДК ББК Г27 УДК 512.64+514.12 ББК 22.143+22.151.5 Г27 Геворк я н П. С. Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. 208 с. ISBN 978-5-9221-0860-7. Данная книга вместе с двумя

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

И. А. Никифорова Н. П. Шерстянкина ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Курс лекций

И. А. Никифорова Н. П. Шерстянкина ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Курс лекций И А Никифорова Н П Шерстянкина ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Курс лекций Министерство образования и науки Российской Федерации Байкальский государственный университет экономики и права И А Никифорова Н П Шерстянкина

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Подробнее

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций):

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): Лекция 1 Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): http://sites.google.com/site/vkolybasova Группы ВКонтакте, посвящённые обсуждению учебных вопросов: http://vk.com/vvkolybasova

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Глава ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса Система, состоящая из m линейных уравнений с n неизвестными или, как будем дальше говорить,

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (решебник) Ростов-на-Дону 008 Рецензенты: кандидат

Подробнее

Матрицы и определители. Линейная алгебра

Матрицы и определители. Линейная алгебра Матрицы и определители Линейная алгебра Определение матрицы Числовой матрицей размера mxn называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов 11 21... m1 12......

Подробнее

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8)

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8) ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени ИМ ГУБКИНА ИН Мельникова, ТС Соболева, НО Фастовец МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее