Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Save this PDF as:

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы"

Транскрипт

1 Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск 8

2 Рассмотрены и рекомендованы к изданию методической комиссией строительного факультета Архангельского государственного технического университета Составитель О.А.Хотенова, ст. преп. Рецензент Н.А.Шиловская, ст. преп. Хотенова О.А.Ряды: Методические рекомендации по выполнению расчетнографической контрольной работы.- Архангельск: Изд-во АГТУ, 8- с. Методические рекомендации по выполнению расчетно-графической контрольной работы по курсу «Высшая математика» включают основные теоретические положения по теме «Ряды», разбор примеров и индивидуальные задания для студентов. Предназначены для студентов строительного государственный технический университет, 8

3 Числовые ряды.ряды. Основные определения. Пусть дана бесконечная последовательность чисел,,,.,, Выражение вида = называется числовым рядом или просто рядом,,.,, - члены ряда - общий член ряда Пример. Записать первые членов ряда Тогда Таким образом 6... Пример. Найти общий член ряда Последовательность первых множителей числителя:,,, 7, 9 представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом а =, разностью d = тогда а = +d-, т.е. а =. Последовательность вторых множителей числителя, 9, 7, 8,, представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом b =, знаменателем q= тогда b b q b b последовательность чисел, стоящих в знаменателе,, 6,,,... -!

4 таким образом общий член ряда:! т.е =!. Суммы конечного числа членов ряда S =, S = +, S = + +, S = ,. называются частичными суммами ряда Рассмотрим последовательность S, S, S S, Определение: Если существует предел S= S li, то ряд называют сходящимся, число S называют суммой ряда. Если последовательность предела не имеет, то ряд называется расходящимся. Пример. Найти сумму ряда 8 Найдём -ю частичную сумму ряда S = Ясно, что li S для S, записанной в данном виде найти невозможно Разложим 8 на простейшие дроби 8 c b Легко убедится, что A =, B = -, C= тогда. Перепишем -ую частичную сумму... 6 S 7 Тогда S = li S = li 7 7 таким образом данный ряд сходится и его сумма S равна 7. Пример. Исследовать сходимость ряда... последовательность частичных сумм имеет вид S =, S =, S =, S =,, т.е не имеет предела, т.о. данный ряд расходится. Будем считать известным :

5 гармонический ряд расходится.... при при > - сходится. - расходится.. q - ряд составленный из членов геометрической прогрессии. При < q < - сходится. При q - расходится.. Основные свойства рядов.. Отбрасывание конечного числа первых членов ряда не влияет на его сходимость. Пример. Исследовать сходимость ряда º Очевидно, что, т.е данный ряд получен из ряда, который сходится, отбрасыванием первых трёх членов. Таким образом, данный ряд также сходится. º. Если ряд сходится и его сумма равна сходится и е го сумма равна S, то ряд S Пример 6. Исследовать сходимость ряда, cost, также и найти его сумму Очевидно, что 8 8 =, т.е данный 8 ряд сходится, как ряд см. пр., умноженный на постоянное число, и 7 его сумма S.. Если ряд сумма равна V сходится и его сумма равна S и ряд S S V также сходится и его

6 Пример 7. Найти сумму ряда 6 6, т.е данный ряд можно представить в виде суммы рядов и, которые сходятся, т.к составлены из членов бесконечно убывающей прогрессии. Известно, что, b сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна S. q Тогда S, S Тогда данный ряд сходится и его сумма S.. Необходимые условия сходимости ряда. Теорема. Если ряд сходится, то li = Заметим, что обратное верным не будет. Пример 8. для гармонического ряда li = выполняется, но этот ряд расходится. необходимое условие сходимости Замечание. Если для выполняется условие: li, то данный ряд расходится. Пример 9. Исследовать сходимость ряда 8 8 li = li = li =, 8 8 Следовательно, данный ряд расходится. Пример. Исследовать сходимость ряда si 6

7 si si li si = li = Следовательно, данный ряд расходится. Замечание. предел li si =, т. к. li = и li t Пример. Исследовать сходимость ряда si t = t -ый замечательный li = li = e -й замечательный предел т.е данный ряд расходится.. Достаточные условия сходимости знакоположительных рядов Первый признак сравнения Теорема. Пусть даны два ряда, V, где, V, и пусть для любого N выполняется условие V. Тогда если ряд V сходится, то ряд - сходится, и если ряд ряд V - расходится Пример. Исследовать сходимость ряда. 7 - расходится, то Сравним данный ряд с рядом, который сходится, как ряд, составленный из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Очевидно, что сходится. 7 < Пример. Исследовать сходимость ряда, тогда по первому признаку сравнения si 7 также 7

8 Очевидно, что для любого si тогда si Сравним данный ряд с рядом, который сходится умножение на постоянное число не влияет на сходимость ряда si, тогда по первому признаку сравнения si также сходится. Пример. Исследовать сходимость ряда Сравним данный ряд с рядом который расходится. Очевидно, что, тогда по первому признаку сравнения ряд также расходится.. Второй признак сравненияпредельный. Теорема. Пусть даны два ряда и V, где, V, и пусть li существует и не равен,тогда данный ряд сходится или расходится V одновременно. Пример. Исследовать сходимость ряда Составим отношение старших степеней числителя и знаменателя: Сравним данный ряд с рядом li li li, который сходится. предел существует и не равен, следовательно, ряды одновременно сходится, значит ряд сходится. Пример 6. Исследовать сходимость ряда tg tgt Известно, что li = t t Рассмотрим общий член данного ряда. 8

9 tg tg 6 Сравним данный ряд с рядом, который расходится. 6 tg tg tg tg li li li li т.к li t 6 6 предел существует и не равен, следовательно, ряды одновременно расходятся, значит ряд tg также расходится.. Признак Даламбера. Теорема. Пусть дан ряд, где Тогда, если D >, то ряд расходится. если D <, то ряд сходится. > и существует предел li D Замечание:. Если указанный предел равен, то вывод о сходимости ряда делать нельзя..признак Даламбера следует применять для исследования сходимости тех рядов, общий член которых содержит а,! Пример 7. Исследовать сходимость ряда...! Воспользуемся признаком Даламбера...! !!!...! li li...! Таким образом, по признаку Даламбера ряд... сходится.! Пример 8. Исследовать сходимость ряда! Воспользуемся признаком Даламбера. 9

10 !!!! e li li!! li > т.е по признаку Даламбера ряд расходится.. Радикальный признак Коши. Теорема. Пусть дан ряд, где и существует предел K li,тогда если K >, то ряд расходится. если K <, то ряд сходится. Замечание. Если указанный предел равен, то вывод о сходимости ряда делать нельзя. Пример 9. Исследовать сходимость ряда Воспользуемся радикальным признаком Коши 8 6 li li li т.е по радикальному принципу Коши ряд сходится. Пример. Исследовать сходимость ряда Воспользуемся радикальным признаком Коши. * li li li li li e e т.е по радикальному принципу Коши данный ряд расходится.. Интегральный признак Коши. Теорема 6. Пусть дан ряд, где и,...,,..., f f f где функция f при непрерывна, положительна и убывает, тогда ряд и несобственный интеграл d f сходится или расходится одновременно.

11 Пример. Исследовать сходимость ряда Воспользуемся интегральным признаком Коши. f при непрерывна, положительна, убывает. Исследуем сходимость несобственного интеграла d li b b d li b расходится, то и ряд b li b расходится. b т.к несобственный интеграл Пример. Исследовать сходимость ряда l Исследуем сходимость ряда с помощью интегрального признака Коши. l Рассмотрим функцию f при непрерывную, положительную, l убывающую. Исследуем сходимость несобственного интеграла b b d d b li li l dl li li b l l b b l b l b l l т.е несобственный интеграл сходится, значит ряд сходится.сравним ряд l с рядом с помощью второго признака сравнения l l l li li, предел существует и не равен, значит ряд l одновременно сходится, т.е ряд сходится. l. Знакочередующееся ряды. Знакопеременный ряд- ряд, члены которого имеют произвольный знак. Пусть - знакопеременный ряд. Рассмотрим ряд - ряд, составленный из абсолютных величин членов знакопеременного ряда. Теорема 7. Если сходится ряд, то сходится ряд Определение. Ряд - называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд.

12 Замечание. Абсолютно сходящийся ряд сходится. Ряд называется знакочередующимся, если всякая пара соседних членов в нём имеет разные знаки Например: или... Теорема 8. признак сходимости Лейбница Если члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям li, то ряд сходится. Определение. Сходящийся ряд расходится. - называется условно сходящимся, если ряд Пример. Исследовать сходимость ряда Воспользуемся признаком Лейбница. l l li li l li т.к второе условие признака Лейбница не выполняется, значит ряд l - расходится. Замечание. Не всегда целесообразно, исследуя сходимость знакочередующегося ряда, применять сразу признак Лейбница. Следует сначала исследовать ряд из абсолютных величин, и если он сходится, то данный ряд сходится абсолютно, а если расходится тогда применяем признак Лейбница. И если по признаку Лейбница ряд, сходится, то он сходится условно. Рассмотрим знакочередующийся сходящийся ряд для этого ряда выполняется признак Лейбница. S = я частичная сумма ряда, S сумма ряда. S - -й остаток ряда, причем S < Пример. Исследовать сходимость ряда Исследуем ряд из абсолютных величин Сравним данный ряд с рядом расходящимся по второму признаку сравнения.

13 li li Предел существует и не равен, следовательно, ряды одновременно расходятся. Значит ряд из абсолютных величин расходится. Применим к знакочередующемуся ряду признак Лейбница Докажем, что для любого N выполняется неравенство Рассмотрим разность для любого N. Значит li Таким образом, по признаку Лейбница ряд сходится, и т.к ряд из абсолютных величин расходится, то данный ряд сходится условно. Пример. Исследовать сходимость ряда! Рассмотрим общий член данного ряда!!! Рассмотрим ряд из абсолютных величин.! Исследуем сходимость ряда из абсолютных величин, пользуясь признаком Даламбера.!!!!! li li! По признаку Даламбера ряд, составленный из абсолютных величин сходится, значит данный знакочередующийся ряд - сходится абсолютно.!

14 Функциональные ряды. Степенные ряды.. Функциональные ряды. Функциональным рядом называется выражение......, где - функции действительной переменной, каждая из которых определена на некотором множестве Пусть. Если для числовой ряд сходится, то говорят, что функциональный ряд в точке. Множество точек, в которых ряд сходится, называется областью сходимости ряда. Пусть функциональный ряд сходится на некотором множестве Тогда S, где S при есть сумма соответствующего числового ряда.. Степенные ряды Степенным рядом называется функциональный ряд вида......, где, Числа, коэффициенты степенного ряда. Теорема Абеля Если степенной ряд точке х, такой, что сходится в точке, то он сходится абсолютно в любой Следствие теоремы Абеля: Для степенного ряда ряд возможны три случая сходится только при.

15 ряд сходится при всех. Существует число, такое, что для всех х, удовлетворяющих условию, ряд сходится, а для всех х, таких, что ряд расходится. При этом число называется радиусом сходимости числового ряда. Если, то ряд сходится только при. Если, то ряд сходится при всех. Множество точек х, удовлетворяющих условию представляет собой интервал с центром в точке ;, который называется интервалом сходимости степенного ряда.. Способы определения интервала и радиуса сходимости степенного ряда. Если для степенного ряда конечный или бесконечный предел li, то для радиуса сходимости справедлива формула li. Если для степенного ряда для радиуса сходимости справедлива формула li Интервал сходимости степенного ряда конечный или бесконечный предел li, то. можно находить, применяя непосредственно признак Даламбера или радикальный признак Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов данного ряда, т.е. li или li Пример.. Найти область сходимости ряда º Найдём радиус сходимости степенного ряда li li li

16 6 Найдём интервал сходимости степенного ряда: 7 т.е интервал ;7 - интервал сходимости данного ряда. Чтобы найти область сходимости данного ряда, исследуем его сходимость на концах интервала. При 7 получим числовой ряд 7 т.е при 7 получим знакочередующийся числовой ряд, исследование которого рассмотрено выше. Нетрудно убедится, что полученный ряд сходится условно, т.е при 7 данный степенной ряд сходится. При получим ряд при получим знакопостоянный ряд, который расходится. т.е при данный степенной ряд расходится. Т.о. область сходимости данного ряда: ;7. º Пример. Найти область сходимости степенного ряда! º Найдём радиус сходимости данного ряда! ;!!! li!! li. Т.к., то ряд сходится на всей числовой прямой, т.е. при ;. º Пример. Найти область сходимости степенного ряда! º Найдём радиус сходимости данного ряда.! ;!!.

17 ! li! li. Т.к. радиус сходимости, то данный ряд сходится только при Пример. Найти область сходимости степенного ряда 9 º Найдём интервал сходимости данного ряда третьим способом, поскольку все слагаемые, имеющие нечетную степень, равны нулю. Получаем Откуда 9 li 9 9 т. е. ; - интервал сходимости данного ряда. Исследуем сходимость на концах интервала. если, 9 данный ряд расходится гармонический ряд, который расходится; т.е. при если, 9 9 Т.о. область сходимости степенного ряда: ; ; т.е при данный ряд расходится.. Свойства степенных рядов. На интервале сходимости степенной ряд определяет функцию S, которая называется суммой степенного ряда. Сумма степенного ряда непрерывна и имеет непрерывные производные любого порядка на интервале сходимости степенного ряда.. Степенной ряд можно почленно интегрировать на интервале сходимости ряда, т.е для любого и d S d.. Степенной ряд можно почленно дифференцировать на интервале сходимости ряда, т.е 7

18 . S'.Разложение функций в степенные ряды Пусть ряд f сходится при r, а его суммой является функция f. Тогда говорят, что функция f разложена в степенной ряд., т.е. Утверждения:. Если функция f бесконечно дифференцируема в точке, то коэффициенты можно вычислить по формуле Тейлора функции f f в точке., тогда ряд! f! называется рядом. Пусть Функция f - заданная бесконечно дифференцируемая функция и её ряд Тейлора. f f -м остаточным членом ряда.! k f! - Если для некоторого r и для любого, r выполняется условие li Тейлора функции Остаточный член в форме Лагранжа: f с! f сходится к самой функции, где ; с. Частный случай ряда Тейлора ряд Маклорена, при f f.!, то ряд f на множестве r. Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена:. e ;!!!! 6. cos ;!! 6!!!. si ;!!!! 8

19 !!...,,!. l ;!! 6. rctg ; rcsi !...! ; Пример. Разложить в ряд по степеням функцию f º Найдём значение функции и её производных в точке f f ' l, f ' l f '' l, f '' l f l, f l тогда X l l...! l...! l! Разложить в ряд функцию f можно иначе Представим: e l Воспользуемся разложением в ряд по степени функции f e e......!! и заменим на l, получим: l l! l...!..., т.е ряд, полученный выше. 9

20 Пример 6. º Разложить в ряд функцию f si по степеням Разложить данную функцию в ряд можно непосредственно найдя значение функции и её производных в точке Можно поступить иначе Представим: si si. si cos cos si Воспользуемся разложением в ряд по степеням функций заменим в этих разложениях на Получим:. si......!!!!!!!...!... º cos si f si и f cos и... Пример 7. Разложить в ряд по степеням º Представим cos cos si функцию f cos cos Воспользуемся разложением в ряд по степеням функции f cos и заменим в этих разложениях на. Получим.

21 cos!!!!......!! Приложения степенных рядов.. Приближённых вычисления значений функций с помощью степенных рядов. Пример 8. Вычислить приближенно e с точностью до, º Используем разложение в ряд по степеням, получим!!...! e e e...,!!! Причём погрешность приближенного равенства не должна превышать,... Для этого остаточный член ряда должен быть меньше,. Оценим!!!!! Заменим,,... меньшей величиной получим неравенство!... В скобках бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом b и знаменателем Получим q. Найдём её сумму по формуле! b S q

22 !! Путём подбора определим, при каком будет выполняться неравенство,. Пусть Пусть Принимаем. 6, т.е,! 7 7, т.е, 6! Тогда e!!!! e,,,67,,,97 e,97. º Пример 9. Вычислить 6 с точностью до,. º Представим: Воспользуемся разложением е ряд по степеням х функции х 6! 6!6!... 7!... Чтобы погрешность вычисления не превышала, остаточный член ряда должен быть меньше,. Полученный знакопеременный ряд удовлетворяет признаку Лейбница <, поэтому допускаемая погрешность по абсолютной величине должна быть меньше первого из отброшенных членов ряда. Тогда 6,,,... Отбросим все слагаемые, начиная с четвертого члена 6,, 6,99. º

23 Пример. Вычислить l с точностью до, º Разложим в ряд по степеням функцию f l l l l l l Воспользуемся разложением в ряд по степеням функции l f, замени во втором случае на -. Получим l т.е.... l Пусть, тогда l l Воспользуемся разложением в ряд функции l Получим l l... l, Причем погрешность приближенного равенства не должна превышать, Оценим Заменим выражение 7, на меньшее Получим

24 В скобках бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом b и знаменателем q. Найдём её сумму по формуле q b S Получим 9 Путем подбора определим, при котором будет выполняться неравенство, Пусть , 9 9,, Пусть 9,, Пусть 9,, Пусть 6 9,, принимаем 6 тогда 9 7 l ,69 l. º

25 Применение степенных рядов к вычислению пределов и определённых интегралов. Пример. si rctg Найти li º Воспользуемся разложением в степенной ряд функций f si, f rctg Получим......!!!! li li li!! Пример. Вычислить..., l d! 6. º! с точностью до,.!.... º Воспользуемся разложением в степенной ряд функций f l Получим.,,,, 9... d,,...,,,98... d Мы отбросили все слагаемые начиная с третьего, т.к полученный знакочередующийся степенной ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница и третий член ряда первый, меньший заданной точности. Ряды Фурье. Пусть функция f - периодическая с периодом Тогда ряд Фурье функции f, по определению ряд вида cos b si,, определённая на отрезке ;., b f cosd f si d,,,,...,,,... Если указанный ряд сходится, то его сумма S есть периодическая функция с периодом. Условие Дирихле.

26 Функция рода. Функция Теорема Дирихле Пусть функция f на отрезке ; f на отрезке ; непрерывна или имеет конечное число точке разрыва монотонна или имеет конечное число экстремумов f удовлетворяет условиям Дирихле на отрезке ;. Тогда ряд Фурье этой функции сходится в каждой точке отрезка ; и сумма S этого ряда S f во всех точках непрерывности функции S, где - точка разрыва функции. f f S при f f Если функция f задана на отрезке e;e эта функция может быть представлена в виде суммы ряда Фурье. e e cos b e si, e f cos d, b e f si d e Если f - чётная на отрезке ; коэффициенты или e;e можно пересчитать по формуле f, лежащих внутри отрезка ;, где e, то при выполнении условий Дирихле то коэффициенты b ряда Фурье равны,а f cosd e f cos d e Если f - нечётная на отрезке ; или e;eто коэффициенты ряда Фурье равны,а коэффициенты b можно пересчитать по формуле b f si d b e f si d e Если функция f задана на отрезке ; или ;e Фурье следует доопределить её на отрезке в ряд Фурье, считая заданной на отрезке тогда коэффициенты для разложения в ряд ; или ;e ; или ;e Дополнить определение функции можно двумя способами :. Так, чтобы при ; f. f f произвольным способом и разложить, тогда получим на отрезке ; чётную функцию 6

27 . Так, чтобы при ; функцию. f f, тогда получим на отрезке ; нечётную Пример. Разложить в ряд Фурье функцию f с периодом, заданную на отрезке ;. º Найдём коэффициенты ряда Фурье. f d f d f cos d f cosd cosd cosd, cos d, как интеграл от нечетной функции по симметричному отрезку. cos d = cos d si si si т. b f si d si d si d si d si d, как интеграл по нечётной функции. si d, d d si d dv si d, V cos cos cos d cos si cos si si т.о. b Тогда разложение функции f в ряд Фурье имеет вид: f si. º Пример. Разложить в ряд Фурье функцию f с периодом, заданную на отрезке ; 7

28 8 º Функция может быть разложена в ряд Фурье бесчисленным количеством способов. Рассмотрим два наиболее важных варианта.. Доопределим функцию на отрезке ; чётным образом ;, ;, f Тогда l d V d dv d d d si, cos, cos cos si si si d cos cos. Тогда cos f cos f. Доопределим функцию на отрезке ; нечётным образом ;, f l V d dv d d d b cos, si, si si cos cos cos d si si. Тогда f si f si. º

29 Задачи для самостоятельного решения Исследовать сходимость ряда, пользуясь необходимым признаком сравнения *si.8 l * tg *rcsi * rctg l 8 l *si... *rcsi * l * e 9

30 . Исследовать сходимость ряда, пользуясь первым или вторым признаком сравнения. si..7 tg cos si l. si cos si 8 cos *si 7 cos 6 si l 8 rcsi tg l * tg e * rcsi * e rctg * l * l 6

31 .Исследовать сходимость ряда, пользуясь признаком Даламбера или радикальным признаком Коши * 7!!!.9!!..!*si...!! * * 7 *...* 7 *9 **...*. *! Исследовать сходимость ряда, пользуясь интегральным признаком Коши.....

32 * l * l * l.. * l * l l * l * l l * l 7 e e. Исследовать сходимость знакочередующегося ряда.. *si *.6!. tg *.7! ! l l.... rcsi. 8! 7 7 l l l

33 * * 8..6 l * l *.7 8 l.8.9. * l * l l 6. Разложить в ряд Маклорена функцию f.. f e. f. f 8. f. f 6 6. f e 7. f si cos 8. f l 9. f 9. f. f l. f... f l f si f e

34 7. Разложить в степенной ряд по степеням функцию f.. f l,. f,. f,.. 6. f cos, f si, 6 f cos, 7. f e, 6 8. f e, 9. f si,. f, 8. f,. f,. f,. f 6,. f l, 8. Вычислить приближенно с заданной точностью.. e,,. si 8,,.,, e. si,,. l,, 6.,,

35 7. cos,, 8. 8,, 9. l, 98,,. l,,. l,,,. l,,. e,,. 6,,. rctg,, 9. Вычислить с заданной точностью., rctg. d,6,,. d,,, si. d,,,8 d.,,,. e d,,, 6. rctg d,,, si 7. d,, 8. cos d,, 9. si d,,

36 , e. d,,,. l d,,,6 l.,6 d,,. l d,,,. d,,. e d,,. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f с периодом Т, заданную на указанном сегменте.. f..., T, ; f, T, ;, f,, f,, T, ;. f 6. f 7., T, ; f, T, ; f, T, ; 8., T, ; 9. f.. f, T, ; f, T, ;. f, T, ; 6

37 . f, T, ;.., f, T,, f, T, Список литературы.. Данко П. Е, Попов А. Г, Кожевникова Т. Е Высшая математика в упражнениях и заданиях. Часть. М, Высшая школа, 986 г.. Демидович Б. П, и др. Задачи и упражнения по математическому анализу. М. Издательство Физико-математической литературы, 9.. г.. Минорский В. П. Сборник задач и упражнений по высшей математике часть. М. Наука, 978 г.. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике часть. М. Айрис пресс, - г.. Подольский В.А, Суходский А. М. Сборник задач по высшей математике. М. Высшая школа 97 г. 6. Щипачёв В. Е. Курс высшей математики часть. Издательство Московского университета 98 г. 7


МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Глава Ряды Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Числовые ряды называется числовым рядом Суммы S, называются частичными суммами ряда Если существует предел lim S, S то ряд

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им НГ Чернышевского» ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста)

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Подробнее

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г.

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. Замечание. 1) вопросы, не содержащие доказательства; ) вопросы, с серьезным доказательством; 3) вопросы с небольшим

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЕВ Небогина, ОС Афанасьева РЯДЫ ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Самара 9 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ИНСТИТУТ

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды Числовые и функциональные ряды Основные понятия Знакочередующиеся ряды Функциональные ряды Степенные ряды и разложение функций в степенной ряд Применение степенных рядов Ряды Фурье Основные понятия Пусть

Подробнее

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ. Кафедра «Математика»

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ. Кафедра «Математика» ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Математика» Учебно-методическое пособие по дисциплине «Математика» «Ряды Часть II» Авторы

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

3 РЯДЫ Хабаровск 2004

3 РЯДЫ Хабаровск 2004 РЯДЫ Хабаровск 4 4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовым рядом называется выражение, где,,, числа, которые образуют бесконечную числовую последовательность, общий член ряда, где N ( N множество натуральных чисел) Пример

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО, CА ИЗОТОВА, ЛА МАЛЫШЕВА РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

Математический анализ Ряды

Математический анализ Ряды Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения Математический анализ Ряды Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики

Подробнее

Тема: Степенные ряды.

Тема: Степенные ряды. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд Лектор Рожкова С.В. 3 г. 34. Степенные ряды Степенным рядом рядом по степеням называется

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ. по модулю «Ряды»

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ. по модулю «Ряды» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТОЛЬЯТТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика и математическое моделирование» Ахметжанова ГВ Павлова ЕС Кошелева НН ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ по

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов заочного обучения ( III семестр ) Уфа Дан теоретический материал (понятия,

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна Третий семестр Лектор: Князева Людмила Павловна Темы: Наименование раздела, темы Всего аудиторных часов Лекции, часы Практически е занятия, часы 1 2 3 4 Тема 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ВН Алексеев, ДА Приказчиков, ВВ Ридель РЯДЫ Утверждено редакционно-издательским советом РОАТ в качестве учебного пособия РОАТ Москва 9 5 УДК 575(75)

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский государственный технологический университет им.к.э.циолковского Кафедра «Высшая математика» ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Варианты курсовых

Подробнее

Теория рядов 1. Теория рядов

Теория рядов 1. Теория рядов Теория рядов 1 Теория рядов ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Решение задачи представленной в математических терминах например в виде комбинации различных функций их производных и интегралов нужно уметь довести до числа

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации. МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. К. Э.

Министерство образования Российской Федерации. МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. К. Э. Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика РЯДЫ Методические указания к курсовой работе Составитель:

Подробнее

Сходимость знакопеременных числовых рядов

Сходимость знакопеременных числовых рядов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Сходимость знакопеременных числовых рядов Числовой ряд u, в котором имеется бесконечно много как положительных, так = и отрицательных элементов, называется числовым рядом с произвольными

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия»

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания для практически

Подробнее

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент.

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

Решение типовика выполнено на сайте Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу

Решение типовика выполнено на сайте   Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу МИРЭА. Типовой расчет по математическому анализу Контрольные задания по теме Ряды Задание. Найти сумму числового ряда ) ) = + + ( )( 5) + ) ( ) = 5 = Решение ) 5 ( ) + + = = = = + + 5 + + 5 + + 5 + + 5

Подробнее

ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ 8, 9 ПО РЯДАМ

ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ 8, 9 ПО РЯДАМ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ 8 9 ПО РЯДАМ Для выполнения домашнего задания Вам необходимо пользуясь табл заполнить первую строку табл затем выписать соответствующие Вашему номеру варианта данные из табл Например Вы

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

a......, a,... называют членами...

a......, a,... называют членами... РЯДЫ Числовые ряды Основные понятия числового Пусть дана последовательность вещественных или комплексных чисел Числовым рядом называется сумма всех членов числовой последовательности: Числа,,,, называют

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды»

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ------------------------------------------------------------------------------------------------- О.Г. Илларионова, В.А. Ухова МАТЕМАТИКА

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

{основные понятия основные теоремы о сходящихся рядах - необходимый признак сходимости ряда - достаточные признаки сходимости рядов с положительными

{основные понятия основные теоремы о сходящихся рядах - необходимый признак сходимости ряда - достаточные признаки сходимости рядов с положительными {основные понятия основные теоремы о сходящихся рядах - необходимый признак сходимости ряда - достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами признак Даламбера, признак Коши, интегральный

Подробнее

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида ХVIII Ряды Понятие о числовом ряде Числовым рядом называется выражение вида (8) где,, 3, некоторые числа, называемые членами ряда Если п произвольный (текущий) номер, то число а п называют общим членом

Подробнее

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики И В Прусова Н А Кондратьева Н К Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Подробнее

Комплексные числовые ряды

Комплексные числовые ряды Тема Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд k ak с комплексными числами вида Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность S его частичных сумм S a k k. При этом предел S последовательности

Подробнее

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши Лекция. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши.. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд Определение. Числовой ряд вида

Подробнее

1.8. Общие функциональные ряды

1.8. Общие функциональные ряды Лекция. Степенные ряды. Гармонический анализ; ряды и преобразование Фурье. Свойство ортогональности.8. Общие функциональные ряды.8.. Уклонение функций Ряд U + U + U называется функциональным, если его

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения» Кафедра «Высшая и прикладная математика» И

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ПРОГРАММА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Часть IV для студентов уровня ВО заочной формы обучения специальности 45 «Сети

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

1. Числовые ряды, основные понятия.

1. Числовые ряды, основные понятия. Числовой ряд. Числовые ряды, основные понятия. () называется сходящимся, если его частичная сумма (2) имеет конечный предел Тогда называется суммой ряда, а разность lim. (3) (4) называют остатком ряда.

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

6. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Функции ϕ (x)

6. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Функции ϕ (x) 6 Ряды Фурье 6 Ортогональные системы функций Ряд Фурье по ортогональной системе функций Функции ϕ () и ψ (), определенные и интегрируемые на отрезке [, ], называются ортогональными на этом отрезке, если

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Демина ЕЛ, Демин СЕ РЯДЫ г Нижний Тагил 00 Предисловие В настоящем

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, Н. Н. Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, Н. Н. Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Т А Матвеева, В Б Светличная, Н Н Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Волгоград 00 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

sin n 100. n=1 sin k sin 1 k=1

sin n 100. n=1 sin k sin 1 k=1 Разберите предложенные ниже задачи с решениями Найдите принципиальные ошибки Для ошибочно решенных задач объясните, почему используемые методы не работают или работают неправильно, и предложите собственное

Подробнее

Р.Б. КАРАСЕВА Р Я Д Ы

Р.Б. КАРАСЕВА Р Я Д Ы РБ КАРАСЕВА Р Я Д Ы Омск Министерство образования и науки РФ ГОУ ВПО «Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)» РБКарасева Р Я Д Ы Учебное пособие Омск СибАДИ УДК ББК К Рецензенты:

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Кафедра математики и физики. Методические рекомендации по дисциплине «Математика» для самостоятельной работы студентов всех специальностей

Кафедра математики и физики. Методические рекомендации по дисциплине «Математика» для самостоятельной работы студентов всех специальностей Федеральное агентство по сельскому озяйству Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мичуринский государственный аграрный университет» Кафедра математики

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров, ОА Кузнецова РЯДЫ Учебно-методическое пособие Тольятти ТГУ 9 РЯДЫ РЯДЫ u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров,

Подробнее