Системы дифференциальных уравнений

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Системы дифференциальных уравнений"

Транскрипт

1 Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В частности к ним относятся различного рода физические и химические процессы процессы нефте- и газодобычи геологии экономики и тд Действительно если некоторые физические величины перемещение тела пластовое давление жидкости в фиксированной точке с тремя координатами концентрация веществ объемы продаж продуктов оказываются меняющимися со временем под воздействием тех или иных факторов то как правило закон их изменения по времени описывается именно системой дифференциальных уравнений те системой связывающей исходные переменные как функции времени и производные этих функций Независимой переменной в системе дифференциальных уравнений может выступать не только время но и другие физические величины: координата цена продукта и тд Рассмотрим пример Некоторое вещество A разлагается на два вещества P и Q Скорость образования каждого из этих веществ пропорциональна количеству не разложенного вещества Пусть и количества вещества P и Q образовавшихся к моменту t Определить c c закон их изменений зная что в начальный момент а через час 8 8 где c первоначальное количество вещества A Решение Пусть c первоначальное количество вещества A К моменту t количество неразложившегося вещества А равно с Тогда согласно условиям задачи скорости образования веществ P и Q: c t c t где и коэффициенты пропорциональности скорости образования каждого из веществ P и Q t t искомые функции описывающие закон изменения количества веществ P и Q Не останавливаясь на методах решения систем дифференциальных уравнений запишем общее решение: t t c

2 Используя начальные условия: при t и определим С и С c c Подставляя значения констант в общее решение получим законы изменения и в виде c t [ ] c t [ ] c c Из дополнительных условий задачи t можно найти и 8 8 l и l Окончательно имеем: t [ ] c c t [ ] t t График искомых функций t и t демонстрирует характер образования веществ P и Q в процессе химической реакции разложения вещества А t В общем случае физический или химический процесс может описываться любым числом меняющихся параметров что соответственно приведет к увеличению числа дифференциальных уравнений в системе Пример Пусть r r t - закон движения материальной точки в R t время Это r значит в момент времени t точка имеет координаты t { t t t} Пусть точка r r r r движется под действием силы F t Тогда по II закону Ньютона t должен удовлетворять уравнению r r r r r F t - векторная форма Это уравнение эквивалентно системе

3 t Z t t t t X t & & & & & & & & & Здесь } { Z X F r } { } { t t t t r & & & r - проекции скорости Если считать неизвестными еще и скорости w v u & & & то система перепишется w v u t Z t w w v u t t v w v u t X t u w t t t v t t u t > V r t F t V V t r r r r r r r - векторная форма Система ду некоторую кривую } { t w t v t u t t t t R r кот наз фазовой траекторией шестимерное пространство точек фазовое пространство Определение Совокупность уравнений F F F где независимая переменная искомые функции F F F известные функции называется системой дифференциальных уравнений -го порядка Совокупность функций называется решением системы на интервале если она обращает на каждое уравнение этой системы в тождество Замечание Всегда будем предполагать что число уравнений системы равно числу неизвестных функций Системы дифференциальных уравнений в которых число уравнений меньше числа искомых функций называются уравнениями Монжа Такие уравнения рассматриваются в более полных курсах математики При изучении систем вида приходится выделять несколько случаев Рассмотрим важнейший из них случай когда система может быть разрешена относительно старших производных всех входящих в нее функций те может быть записана в виде

if ($this->show_pages_images && $page_num < DocShare_Docs::PAGES_IMAGES_LIMIT) { if (! $this->doc['images_node_id']) { continue; } // $snip = Library::get_smart_snippet($text, DocShare_Docs::CHARS_LIMIT_PAGE_IMAGE_TITLE); $snips = Library::get_text_chunks($text, 4); ?>

4 f f f Такая система называется канонической Класс дифференциальных уравнений решение которых можно найти аналитическим путем достаточно узок Поэтому мы будем изучать главным образом системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка для которых существует законченная теория построения общего решения и несложные системы нелинейных уравнений для которых как правило можно подобрать интегрируемые комбинации Для всех остальных случаев будем использовать численное моделирование Нормальная система дифференциальных уравнений Определение Каноническая система дифференциальных уравнений первого порядка разрешенных относительно производной называется нормальной системой дифференциальных уравнений f f f Здесь независимая переменная искомая система функций f заданные в некоторой области функции Число уравнений системы называется ее порядком Заметим что каноническую систему всегда можно заменить эквивалентной ей нормальной системой уравнений Для этого достаточно ввести новых функций полагая что Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только нормальные системы

5 Представим систему функций выражения в виде векторов 5 f f f f Тогда система может быть записана в компактной векторно-матричной или просто матричной форме: f Решением системы на интервале называют -мерный вектор или совокупность функций которая при подстановке в систему будет обращать каждое уравнение системы в тождество на интервале Геометрически для системы -го порядка f решением будет функция что соответствует интегральной кривой на плоскости двухмерное f пространство Для системы -го порядка решением будет пара f функций которые можно рассматривать как параметрические уравнения кривой в пространстве трех измерений Обобщая геометрическую терминологию будем считать что решение системы представляет собой интегральную кривую -мерного пространства переменных Задача Коши для систем дифференциальных уравнений ставится также как для одного уравнения: найти решение системы удовлетворяющее начальным условиям 5 Справедлива следующая теорема Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши Если в некоторой области D мерного пространства функции f непрерывны имеют в этой области ограниченные частные производные по переменным f M j :

6 6 то для любой фиксированной точки M области D существует и притом единственное решение системы определенное в некоторой окрестности точки и удовлетворяющее условиям 5 Из теоремы следует что закрепляя значение и изменяя в некоторых пределах значения так чтобы точка принадлежала области D мы будем для каждой системы чисел получать свое решение Следовательно в области D система имеет бесчисленное множество решений и эта совокупность решений зависит от произвольных постоянных Определение Совокупность функций постоянных С С С называется общим решение системы если: при любых допустимых значениях постоянных она обращает все уравнения системы в тождество определяет решение системы; по заданным начальным условиям 5 можно однозначно определить постоянные С С С Частным называется решение полученное из общего решения при конкретных постоянных С Если известные функции f системы не зависят от свободной переменной то она называется автономной стационарной Пример Показать что система функций является общим решением системы уравнений зависящих от и произвольных П П Решение В данном примере область D есть < < < < Подставим функции из П в систему П Получаем тождества по

7 7 справедливые при любых значениях 6 постоянных С С Таким образом условие определения выполнено Проверим условие Для системы П условия теоремы справедливы в любой точке области D Поэтому в качестве начальных условий можно взять любую тройку чисел Тогда соотношения П дадут для определения С С систему Определитель этой системы Δ Следовательно она однозначно разрешима относительно С С при любых Условие определения выполнено ТО система П является общим решением системы П Для нормальных систем справедливо следующее утверждение Теорема Всякое дифференциальное уравнение -го порядка f может быть заменено эквивалентной ему нормальной системой -го порядка Доказательство Пусть Тогда f те получили нормальную систему f эквивалентную заданному уравнению Справедливо обратное утверждение Теорема Всякая нормальная система -го порядка может быть заменена эквивалентным ей дифференциальным уравнением -го порядка Доказательство f Пусть дана нормальная система f Т f Дифференцируем по обе части первого уравнения системы: f f f

8 Заменим получим 8 их выражениями через из системы Т и f f f f f или переобозначая правую часть f Дифференцируем теперь это уравнение по и используя уравнения нормальной системы Т получим f и тд Таким образом получим систему уравнений f f f Т Из первых уравнений системы Т находим которые будут выражаться через : Т Подставляя эти выражения в последнее уравнение системы Т придем к дифференциальному уравнению го порядка относительно переменной : F Решив это уравнение найдем Т Дифференцируем найденную функцию раз и подставляя получившиеся выражения в Т получаем искомое решение нормальной системы дифференциальных уравнений: Этот метод называется методом исключения переменных Замечание Получая уравнение Т мы предполагали что из первых уравнений системы Т можно выразить функции Если это не так то мы возьмем например второе уравнение исходной системы и повторим для него все рассуждения В итоге будет получено уравнение вида Т для функции Изложенные выше рассуждения

9 9 невозможно провести ни для одного уравнения системы только в том случае если все они имеют вид f те если система распадается на несвязанные между собой уравнения Но в этом случае общее решение мы найдем проинтегрировав каждое уравнение системы Пример Найти общее решение системы методом исключения 5 Указать решение удовлетворяющее условиям Решение Дифференцируя по второе уравнение имеем Подставив сюда выражения и из уравнений и соответственно получим Отсюда общее решение: Из уравнения выражаем дифференцируя и приводя подобные получим 5 Таким образом общее решение или в векторно-матричной 5 5 форме Найдем значение постоянных и при которых частное решение будет удовлетворять начальным условиям Подставив в общее решение 5 будем иметь Следовательно решение 5 удовлетворяющее заданным начальным условиям имеет вид 5 Метод интегрируемых комбинаций Рассмотрим случай когда некоторыми арифметическими преобразованиями часть уравнений системы могут быть приведены к полным дифференциалам Φ Интегрирование этих уравнений позволяет получить конечных уравнений которые называются первыми интегралами Φ Φ 6 Φ

10 ΦΦ Φ При этом если хотя бы один определитель по каким-нибудь функциям то эти первых интегралов линейно независимы Из этой системы 6 можно выразить неизвестных функций через остальные функций Подставим найденные функции в нормальную систему и получим систему с меньшим числом переменных Эта процедура называется построение интегрируемых комбинаций Пример Решить систему методом интегрируемых комбинаций ; Решение Почленно сложим второе и третье уравнения вычтем первое и получим или Отсюда первый интеграл системы Этот интеграл позволяет выразить одну из неизвестных функций через две другие например Подставим в первые два уравнения системы и получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными и : Каждое из уравнений этой системы есть линейное уравнение первого порядка Решая их находим: Подставим найденные и в первый интеграл и найдем :

11 Таким образом общее решение исходной системы Или в векторно-матричной форме Наиболее удобной формой системы для таких преобразований является симметричная форма системы дифференциальных уравнений Преобразуем систему f f f f f f f f f 7 Такая форма системы дифференциальных уравнений называется симметричной Заметим что в выражении 7 все переменные равноправны что упрощает нахождение первых интегралов Замечание Этот метод предполагает использование производных пропорций или свойство равных дробей Если то Покажем это Обозначим Тогда Пример Решить систему методом интегрируемых комбинаций l l Решение Запишем систему в симметричной форме: l l l l

12 Последнее тройное равенство легко записать в виде двух интегрируемых комбинаций: первая комбинация равенство первой и третьей дробей вторую комбинацию получим используя свойство равных дробей l l l l l Таким образом мы получили два первых интеграла Определитель Φ Φ если те первые интегралы линейно независимы и и определяются однозначно Системы линейных дифференциальных уравнений СЛДУ Система дифференциальных уравнений называется линейной если она линейна относительно всех неизвестных функций и их производных Линейная система в нормальной форме имеет вид j j j или более подробно в виде системы 8 где коэффициенты и произвольные функции от j - искомые функции Если все то система 8 называется однородной Обозначим матрицы A B Тогда система 8 запишется в матричной векторно-матричной форме B A или B A 9

13 Определим линейный оператор равенством L [ ] A Тогда L [ ] B операторная форма неоднородной системы L [ ] операторная форма однородной системы Линейный оператор L [ ] [ ] L [ ] обладает следующими свойствами: L L [ ] L [ ] L [ ] Действительно L [ ] A A A L [ ] ; L A A A Следствием этих свойств является равенство L L [ ] где произвольные постоянные [ ] [ ] L[ ] L Свойства решений однородной системы дифференциальных уравнений Используя эти свойства легко доказать свойства решения неоднородной и соответствующей ей однородной системы ДУ Теорема Если решение линейной однородной системы то где произвольная постоянная является решением той же системы Доказательство Подставим решение в систему L [ ] L[ ] Теорема 5 Если и решения линейной однородной системы то является решением той же системы Доказательство Аналогично Следствие теорем и 5 Если системы то их линейная комбинация с произвольными постоянными коэффициентами системы решения линейной однородной является решением той же Теорема 6 Если линейная однородная система с действительными коэффициентами имеет комплексное решение U V то действительная и j

14 мнимая части u v u U и V v u v в отдельности являются решениями той же системы Доказательство Имеем L [ ] L [ U V] Пользуясь свойствами линейного оператора можем записать: L [ U V] L [ U] L [ V] L [ U] L [ V] Фундаментальная система решений линейной однородной системы ДУ Решение матрица-столбец это вектор с координатами Векторы -решения называются линейно зависимыми на [ ] если и не все Векторы называются линейно независимыми на [ ] если тождество имеет место только при условии что все Тождество эквивалентно системе Матрица этой системы называется интегральной матрицей а ее определитель называется определителем Вронского системы решений и обозначается W ] [ Теорема 7 Если решения Вронского тождественно равен нулю линейно зависимы то определитель Доказательство Очевидно из свойств определителя

15 Теорема 8 Если определитель Вронского для системы решений : W [ ] линейной однородной системы [ ] 5 L с непрерывными на [ ] коэффициентами j равен нулю хотя бы в одной точке [ ] то решения линейно зависимы на [ ] Доказательство По условию теоремы [ ] в которой Вронскиан W [ ] По свойству определителя столбцы линейно зависимы существует нетривиальная система чисел такая что в точке * Покажем что это справедливо для любого [ ] Рассмотрим вектор ** [ ] Так как решения линейной однородной системы L [ ] то ** решение той же системы в силу * удовлетворяющее начальным условиям С другой стороны однородная система L [ ] всегда имеет нулевое решение В силу теоремы существования и единственности решения решение ** и нулевое решение совпадают Т О решения линейно зависимы на [ ] Замечание Если векторы не являются решениями с непрерывными L[ ] коэффициентами j то предыдущая теорема места не имеет Пример 5 Для векторов и имеем W [ ] Однако эти векторы линейно независимы так как из следует

16 6 Следовательно векторы и не могут быть решениями одной и той же линейной однородной системы Таким образом имеет место теорема альтернатива Теорема 9 Определитель Вронского W [ ] либо тождественно равен нулю и это означает что решения линейно зависимы либо не обращается в нуль ни в одной точке [ ] и это означает что решения линейно независимы Определение Фундаментальной системой решений линейной однородной системы называется ее линейно независимых решений: Теорема Фундаментальная система решений системы L [ ] всегда существует Доказательство Рассмотрим чисел таких что j Положим например j j Составим решений системы L [ ] j которые удовлетворяли бы условиям: для какого-нибудь из интервала Тогда для этих решений при определитель Вронского отличен от нуля и поэтому по теореме 9 эти решения линейно независимы и следовательно образуют фундаментальную систему решений Теорема Если фундаментальная система решений системы L[ ] то общее решение этой системы есть линейная комбинация решений фундаментальной системы с произвольными постоянными коэффициентами : Т

17 7 Доказательство Так как коэффициенты j системы L[ ] непрерывны на [ ] то система удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения поэтому для доказательств теоремы достаточно доказать что всегда можно так подобрать значения постоянных что решение Т будет удовлетворять заранее заданным начальным условиям или подробнее Имеем неоднородную систему уравнений относительно переменных определитель которой есть определитель Вронского W [ ] для фундаментальной системы решений не равный нулю ни в одной точке [ ] Поэтому эта система имеет единственное решение что и требовалось доказать Теоремы 5 можно вместе сформулировать так: совокупность решений линейной однородной системы L [ ] образует -мерное линейное пространство Фундаментальная система решений базис в этом пространстве Пример 6 Подобрать решения для системы проверить ее линейную независимость Построить общее решение Решение cos cos s s Очевидно ; s s cos cos cos s Проверим линейную независимость W[ ] ФСР s cos Общее решение cos s s cos Свойства решений неоднородной системы дифференциальных уравнений Теорема Если решение неоднородной системы а решение соответствующей однородной системы то сумма является решением неоднородной системы Доказательство Имеем L [ ] B L [ ] Пользуясь свойствами линейного оператора получаем: L [ ] L [ ] L [ ] B B Теорема Общее решение неоднородной системы L [ ] B

18 с непрерывными на [ ] коэффициентами j и правыми частями равно сумме общего решения 8 соответствующей однородной системы L [ ] и частного решения рассматриваемой неоднородной системы те Доказательство Аналогично ДУ высшего порядка Теорема Принцип суперпозиции Если решения неоднородных систем то сумма этих решений L[ ] B Т является решением неоднородной системы L[ ] B Доказательство Имеем L[ ] B Тогда L L[ ] B Метод вариации постоянных В случае когда частное решение неоднородной системы найти не просто можно как и в случае неоднородных дифференциальных уравнений высшего порядка использовать метод вариации постоянных Рассмотрим линейную неоднородную систему A B и соответствующую линейную однородную систему A Пусть фундаментальная система решений этой линейной однородной системы Тогда Положим Продифференцируем тогда общее решение ее общее решение и подставим и в неоднородную систему A B: тк A B A B решения однородной системы то A B

19 9 Распишем последнее условие подробнее Это неоднородная система относительно неизвестных функций ее определитель определитель Вронского для системы линейно независимых решений и поэтому отличен от нуля Следовательно она имеет единственное решение где произвольные постоянные Так как нам достаточно найти только одно частное решение неоднородной системы то можно считать Тогда То общее решение в силу Т oo Пример 7 ; cos Решение Соответствующая однородная система ; Положим Тогда рабочая система cos s oo s cos cos s s cos l cos s cos s cos cos s cos l cos s s cos s l cos cos cos s cos s cos Системы линейных дифференциальных уравнений СЛДУ с постоянными коэффициентами

20 С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами Линейной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами называется система вида j j 5 где коэффициенты j j постоянные Или в векторной форме A B Так же как и система ДУ с переменными коэффициентами система 5 может быть сведена к одному уравнению порядка Но для СЛДУ с постоянными коэффициентами существует другой более общий способ решения: можно непосредственно найти ФСР соответствующей однородной системы затем найти частное решение неоднородной системы и используя Т получить общее решение Частное решение может быть найдено методом вариации постоянных хотя часто это приводит к сложным интегралам Но остается открытым вопрос о построении ФСР для соответствующей однородной системы Для СЛДУ с постоянными коэффициентами существует не сложный способ построения ФСР для систем любого порядка Метод Эйлера Рассмотрим линейную однородную систему соответствующую неоднородной системе 5 j j 6 j Для этой системы можно непосредственно найти фундаментальную систему решений А именно будем искать частные решения в виде 7 где постоянные Требуется определить и так чтобы функции 7 удовлетворяли однородной системе 6 Для этого найдем и подставим их и функции в 6 Получим или A Сократим на и запишем систему относительно 8 Система 8 имеет нетривиальные решения если ее определитель равен нулю те

21 9 Таким образом мы имеем задачу на собственные числа и собственные векторы Данная матрица называется характеристической матрицей определитель характеристическим уравнением степени Корни характеристического уравнения называются характеристическими корнями Таким образом характеристические корни и будут теми значениями при которых однородная система 8 имеет нетривиальные решения собственные векторы В зависимости от вида корней будет получаться то или иное частное решение однородной системы 6 Совокупность этих линейно независимых частных решений свойство собственных векторов будет составлять ФСР Корни характеристического уравнения 9 действительны и различны Для каждого корня запишем систему 8 и определим коэффициенты Таким образом получаем решения однородной системы 6 для корня Решение для корня Решение и тд для корня Решение Определитель Вронского для этих решений ФСР общее решение или

22 Пример 7 Найти общее решение системы методом Эйлера ; Решение Эта система линейная однородная с постоянными коэффициентами Найдем ее фундаментальную систему решений Для этого будем искать ее частные решения в виде Запишем матрице системы Составим характеристическое уравнение 9 5 Найдем его корни 5 Найдем частные решения собственные векторы для каждого Для система 8 имеет вид: и Для и Общее решение 5 Корни характеристического уравнения 9 различны но среди них есть комплексные Рассмотрим случай когда уравнение 9 имеет пару корней Тогда им будут соответствовать решения:

23 Для : s cos s cos s cos Для : s cos s cos s cos Или s s s cos cos cos s s s cos cos cos Согласно свойствам решений ЛСДУ Т 6 если решение UV то U и V в отдельности тоже решения Кроме того они соответствуют разным корням и те они линейно независимые Их линейная комбинация войдет в ФСР Пример 8 Найти общее решение системы методом Эйлера Решение Эта система линейная однородная с постоянными коэффициентами Найдем ее фундаментальную систему решений Для этого будем искать ее частные решения в виде Составим характеристическое уравнение Найдем корни характеристические корни различны но среди них есть комплексные ] [ ±

24 При система 8 имеет вид: и При II и s cos s cos s cos s s cos cos cos s Строить решение для не обязательно так как используя свойство Т 6 в качестве линейно независимых решений возьмем две функции и найденные для cos cos s s s cos То общее решение s s cos cos cos s Корни характеристического уравнения 9 действительны и некоторые из них кратные кратности γ Пусть уравнение 9 имеет корень кратности γ По аналогии с однородным дифференциальным уравнением -го порядка тк система может быть сведена к нему решение будем искать в виде γ γ γ γ γ γ γ γ Пример 9 Найти общее решение системы методом Эйлера Решение

25 5 Эта система линейная однородная с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение: Обозначим неизвестные более удобно для решения чтобы не терялись индексы те c Подставим в исходную систему: c c c Сократим на получим c c c c c Приравнивая коэффициенты при равных степенях получим систему: c c частное решение отличное от нуля c c c То общее решение: 5 Понятие об уравнении в частных производных и его интегрировании Пусть искомая функция зависит от нескольких независимых переменных Определение 5 Уравнение связывающее искомую функцию независимые переменные и частные производные от искомой функции называется уравнением в частных производных F Здесь F заданная функция своих аргументов Порядок старшей производной входящей в уравнение называется порядком уравнения в частных производных Функция обращающая уравнение в частных производных в тождество называется решением этого уравнения Процесс нахождения решения называется интегрированием уравнения в частных производных Предварительно без доказательств рассмотрим простейшие свойства решения уравнений с частными производными; будем считать что неизвестная функция зависит от двух переменных и

26 6 Рассмотрим уравнение F искомая функция Это уравнение можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение если считать параметром Тогда его решение С где С произвольна функция То следует ожидать что общее решение будет содержать произвольную функцию Рассмотрим уравнение искомая функция Перепишем уравнение по-другому независима от х X X то общее решение которое зависит от двух функций Рассмотрим уравнение искомая функция Перепишем уравнение по-другому независима от х где и - две произвольные функции Таким образом при интегрировании дифференциального уравнения в частных производных получают семейство решений зависящих от произвольных функций Задача Коши По аналогии с задачей Коши для обыкновенного дифференциального уравнения где по заданным начальным условиям получали частное решение введем добавочные данные которые однозначно определяли бы частное решение Начальные данные Коши для уравнения -го порядка разрешенного относительно одной из старших производных вида f имеют вид: при Здесь - заданные функции Геометрическая интерпретация задачи интегрирования ДУ с частными производными В случае двух независимых переменных это легко сделать

27 7 Рассмотрим уравнение первого порядка разрешенное относительно одной частной производной f Его решением будет некоторая функция Φ с точностью до произвольной функции которая в пространстве R изображает поверхности интегральные поверхности На рисунке произвольная функция в одном случае принимает значение в другом рис То задача нахождения решений уравнений с частными производными это задача нахождения интегральных поверхностей Начальные данные кривая в пространстве Те задача Коши это нахождение интегральной поверхности проходящей через кривую Рис Для удобства восприятия коническая поверхность окрашена зеленым и кривая в пространстве линия лежащая на конической поверхности Рис

28 8 Рис Тот же геометрический язык применяется и в общем случае Так точка мерного пространства Φ интегральная гиперповерхность поверхность измерений Данные Коши гиперповерхность го измерения Свойства уравнений в частных производных -го порядка общее решение зависит от произвольной функции интегрирование уравнения сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений Вывод первых интегралов

29 9 Вернемся к рассмотрению нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений и уточним понятие первых интегралов Рассмотрим систему f Предположим что в некоторой замкнутой области D функции f f f f и все их f f f f частные производные по непрерывны и зависят от своих аргументов Тогда применима теорема о существовании и единственности решения задачи Коши: если точка D' D то существует одна система решений уравнения удовлетворяющая начальным условиям Пусть эти решения будут Рассмотрим в D некоторую точку M лежащую на интегральной кривой проходящей через начальную точку M Значения M и M связаны соотношением Если теперь выбрать за начальную точку М то кривая пройдет через М в силу единственности решения и исходя из M можно выразить через M Если общее решение то равносильно предыдущим рассуждениям система может быть разрешена относительно С Совокупность равенств называется общим интегралом системы Любое из равенств называется первым интегралом системы По построению очевидно что если в любое из равенств подставить какое-либо решение то системы обратятся в тождество Определение 6 Первым интегралом системы называются соотношения полученные разрешением относительно произвольных постоянных уравнений дающих общее решение системы Аналитический признак первого интеграла Пусть первый интеграл системы

30 Если решения системы то Продифференцируем обе части этого равенства по Но f тк - решения f f f Таким образом необходимое условие для того чтобы уравнение представляло собой первый интеграл системы Замечание Это условие будет и достаточным без доказательства Установим более удобную для решения конкретных задач связь между симметричной формой системы уравнений и аналитическим признаком первого интеграла Как ранее отмечалось вместо системы f можно записать f Или в развернутой форме f f f f f f f f f f f Переобозначим переменные симметричная форма: 5 X X X X Аналитическое условие того что является первым интегралом системы 5 будет иметь вид: если решения системы 5 то Но X X X X 6 На практике пользуются выражениями 5 и 6 для записи той или иной формы уравнения которая требуется по условию задачи Пример Найти первый интеграл для уравнения Воспользуемся взаимосвязью выражений 5 и 6 и запишем уравнение с частными производными в виде системы в симметричной форме:

31 первый интеграл Следует обратить внимание на зависимость коэффициентов 6 они не зависят от искомой функции X в равенстве Определение 7 Линейным однородным уравнением в частных производных -го порядка называется уравнение вида X X X 7 где X X непрерывно дифференцируемые функции в рассматриваемой области зависящие только от свободных переменных Система обыкновенных дифференциальных уравнений соответствующая 7 будет иметь вид 8 X X X Данную систему называют системой характеристик для 7 а ее фазовые кривые характеристиками Из аналитического условия первых интегралов 6 следует теорема Теорема 5 без доказательства Функция является решением уравнения 7 тогда и только тогда когда первый интеграл системы 8 Как будет выглядеть общее решение уравнения 7? Теорема 6 Если независимые первые интегралы системы 8 и Ф произвольная дифференцируемая функция переменной то Φ решение уравнения 7 Доказательство Рассмотрим дифференциальный оператор X : D D : отображающий множество непрерывно-дифференцируемых функций переменных D на множество непрерывных функций переменных который имеет вид X X X X Тогда X[ ] X X X Оператор Х обладает следующим свойством: Если дифференцируемые функции и Φ дифференцируемая функция переменных то Φ Φ Φ X[ Φ ] X[ ] X[ ] X[ ] 9

32 Докажем это свойство для случая функции Φ двух переменных и Действительно пусть Φ Φ Тогда Φ Φ Φ Φ X X X X ] [ Φ Φ Φ Φ Φ Φ X X X Φ Φ X X X X X X ] [ ] [ X X Φ Φ Пусть Система независимых первых интегралов для 8 их совокупность общий интеграл первые интегралы независимы так как один не следует из другого По теореме 5 частные решения уравнения 7 те имеем тождества: [ ] X ] [ X ] [ X * Пусть Ф произвольная дифференцируемая функция - аргумента В силу 9 и * имеем ] [ Φ X те Φ решение уравнения 7 Замечание Это решение юудет и общим решением уравнения 7 без доказательства Пример Найти общее решение уравнения f f f Решение Данное уравнение линейное однородное Искомая функция f f Соответствующая система обыкновенных дифференциальных уравнений - первые интегралы Общее решение f Φ

33 Пример Проинтегрировать уравнение Решение Данное уравнение линейное однородное Искомая функция Соответствующая система в симметричной форме первый интеграл Общее решение Φ Задача Коши для однородного уравнения с частными производными Рассмотрим уравнение X X X где X X Требуется найти решение удовлетворяющее условию : если то где заданная дифференцируемая функция аргумента заданное число Пусть С учетом начальных условий переобозначим независимые первые интегралы системы 8 Разрешим относительно это всегда можно сделать для M ε M не является особой точкой для 8 те M X Получим ω ω ω Тогда решение уравнения 7 удовлетворяющего условию будет иметь вид: ω ω ω Действительно в силу теоремы 6 определяет решения уравнения 7 а при имеем ω ω ω Из построения решения видно что оно однозначно определено начальными данными те это именно та поверхность которая проходит через и

34 Пример Найти решение задачи Коши f Рис Решение Общее решение Φ все возможные поверхности вращения с осью ОZ рис Задача Коши: при f заданная функция С учетом начальных условий переобозначим -Пр ± f ± - частное решение Рассмотрим в качестве начальных условий конкретную функцию: при -

35 5 Тогда задача Коши: с учетом начальных условий переобозначим ± ± - конус То из всех возможных поверхностей вращения в качестве решения нашей задачи следует выбрать только конус Именно на нем расположена прямая рис 5 Рис 5 Пример Найти решение задачи Коши u u u u / Общее решение Φ

36 6 Задача Коши: при u заданная функция Первые интегралы С учетом начальных условий переобозначим u ± - частное решение ± Определение 8 Линейным неоднородным уравнением в частных производных -го порядка называется уравнение вида P P P R где P P R R непрерывно дифференцируемые функции в рассматриваемой области зависящие как от свободных переменных так и от искомой функции Уравнение может быть приведено к однородному уравнению следующим образом Будем искать неизвестную функцию в неявном виде V искомой функцией будет V V Из имеем уравнение примет вид V V V V V V V V P P P R V V V P P P R Уравнение линейное однородное первого порядка P P - не зависят от V с искомой функцией V и переменой Пусть V Φ общее решение где первые интегралы соответствующей системы ОДУ Неявная функция Φ определяет искомую функцию как функцию от переменных причем эта функция удовлетворяет уравнению Пример Найти общее решение Решение V V V Запишем уравнение в виде

37 7 Тогда соответствующая система обыкновенных дифференциальных уравнений : Здесь для построения второй интегрируемой комбинации использовалось свойство равных дробей Система первых интегралов: Общее решение ; Φ Но данное уравнение имеет еще одно решение Действительно Подставляя в исходное уравнение получаем Однако если V-- подставить в уравнение для V: V только для V Решение специальное тк производные от коэффициентов перестают быть ограниченными и нарушаются условия существования и единственности решения задачи Коши Пример 5 Решить задачу Коши Решение а Найдем общее решение Запишем уравнение в виде системы в симметричной форме Интегрируемые комбинации * l ; V общее решение Найдем решение задачи Коши Переобозначим первые интегралы: ** Подставим начальное условие в систему первых интегралов:

38 8 Найдем частные и Подставим частные и в начальные условия : Используя выражения первых интегралов ** получим частное решение рис 6 Рис 6

39 9 6 Краевые задачи Задача Штурма-Лиувилля Наряду с задачей Коши для многих физических задач часто приходится искать решения заданные другим способом Например может быть поставлена задача найти решения принимающие определенные значения на концах заданного интервала в краевых точках Отсюда краевая или граничная задача Пример 6 Решение uv Сделаем замену t t t u v uv v u t - общее решение Определим С и С из краевых условий и Для этого подготовим первую производную Из Из Таким образом решение краевой задачи Общий вид краевых условий для уравнений второго порядка следующий A c π π B где c A B заданные постоянные причем c одновременно не равны нулю Если AB краевые условия называются однородными В качестве основного используется интервал [π] при необходимости заменой переменных всегда можно перейти к этому или иному интервалу В общем случае краевые задачи не всегда разрешимы те не имеют решения которое принимает требуемое значение в граничных точках или имеет бесконечно много таких решений π Пример 7 π π Решение Общее решение Из граничных условий : следует что не существует таких и Пример Задача о движении материальной точки массой под действием силы FFt r ŕ r описывается уравнением F t r r& при условии r t r ; r t r Если речь t

40 идет о баллистической задаче движение снаряда то задача имеет не единственное решение Определение Дифференциальное уравнение вместе с заданными краевыми условиями составляет так называемую краевую задачу řt ґt rt r r Если в дифференциальном уравнении присутствует еще и параметр то краевые условия будут или не будут выполняться в зависимости не только от общего решения но и в зависимости от значений параметра Такая задача называется задачей Штурма Лиувилля на собственные значения и собственные функции Рассмотрим дифференциальный оператор Штурма Лиувилля L p q где p p q непрерывные на [ l] функции p> q и краевую задачу L[ ] 5 l l Значения при которых существуют нетривиальные решения задачи 5 называются собственными значениями Сами нетривиальные решения задачи 5 называются собственными функциями отвечающими данному собственному значению Совокупность всех собственных значений называется спектром данной задачи Свойства собственных чисел и собственных функций Собственные числа образуют бесконечную возрастающую последовательность < < < < < Все собственные числа не отрицательны; каждому собственному числу соответствует только одна собственная функция с точностью до постоянного множителя; каждой собственной функции соответствует только одно собственное число Собственные функции соответствующие различным собственным значениям ортогональны на [] с весом ρ те ρ Пример 8 * l l ** Решение Очевидно Вопрос: найти такие при которых существуют нетривиальные решения уравнения * удовлетворяющего ** Рассмотрим три случая: а< б в>

41 а < общее решение С учетом граничных условий ** l l l l С С при < существует только тривиальное решение б общее решение С учетом граничных условий ** С l С при существует только тривиальное решение в > общее решение cos s С учетом граничных условий ** cos l s cos l s l s l l π l π собственные значения l Собственным значениям соответствуют собственные функции π s l Замечание Положительным и отрицательным соответствуют собственные функции отличающиеся константой поэтому для построения системы линейно-независимых функций-решений достаточно взять только положительные Задачи на собственные значения и собственные функции возникают при решении задач математической физики Типичным примером является уравнение Бесселя Такие уравнения рассматриваются в более полных курсах математики

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный технический университет Аксёнов АП СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Уравнения первого порядка

Уравнения первого порядка Глава 1. Введение Лекция 1 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения. 2. Общее решение дифференциального уравнения, общий интеграл. 3. Постановка основных задач для обыкновенных дифференциальных

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Уравнения в частных производных

Уравнения в частных производных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1. Скобки Пуассона На прошлой лекции вводилось понятие скобки Лагранжа. Это выражение было составлено из частных производных

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Стр. 1 из 17 26.10.2012 11:39 Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Специальность: 010300.62 Математика. Компьютерные науки Дисциплина: Дифференциальные уравнения Время выполнения

Подробнее

Предварительные сведения теории разностных схем

Предварительные сведения теории разностных схем Предварительные сведения теории разностных схем 1 Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций Получим ряд соотношений, которые в дальнейшем будем использовать при исследовании

Подробнее

Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения.

Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения. Глава Введение Лекция Понятие дифференциального уравнения Основные определения Определение Дифференциальным уравнением (ДУ) называют уравнение, в котором неизвестная функция находится под знаком производной

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

7. Теорема Гильберта-Шмидта.

7. Теорема Гильберта-Шмидта. Лекция 5 7 Теорема Гильберта-Шмидта Будем рассматривать интегральный оператор A, ядро которого K( удовлетворяет следующим условиям: K( s ) симметрическое, непрерывное по совокупности переменных на [, ]

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

x 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t) x 2 = a 21 (t)x 1 + a 22 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t) (1)

x 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t) x 2 = a 21 (t)x 1 + a 22 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t) (1) ЛЕКЦИИ ПО КУРСУ «Линейная алгебра, системы ДУ с устойчивостью» 2 курс, 2 семестр Лекторы: Мельников Ю.Б., Мельникова Н.В. Оглавление 1. Системы линейных дифференциальных уравнений 4 1.1. Определения................................

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. 5 Глава 1 Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка................................. 8 1. Основные понятия

Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3 Дифференциальные уравнения высших порядков Лекции 2-3 Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида F( x, y, y,..., y() n ) 0, () в котором обязательно наличие n-ой производной. Будем

Подробнее

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Занятие 14 Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. 14.1 Комплексные числа Комплексным числом называется выражение вида z = x+iy,где x R. Имеется взаимно однозначное соответствие между множеством

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Часть 1. Основные понятия. 1.1. Введение 2 1.2. Начальные условия 4 1.3. Составление дифференциальных уравнений 5 1.4.

Подробнее

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение.

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение. Т е м а : «Л и н е й н а я з а в и с и м о с т ь с и с т е м ы в е к т о р о в» ( т и п о в ы е п р и м е р ы с р е ш е н и я м и ) Пример. Путем приведения элементарными преобразованиями исходной матрицы

Подробнее

Тематика и расписание 3-х тестов по дифференциальным уравнениям. (ориентировочные сроки 05 марта, 10 апреля, 15 мая)

Тематика и расписание 3-х тестов по дифференциальным уравнениям. (ориентировочные сроки 05 марта, 10 апреля, 15 мая) Тематика и расписание 3-х тестов по дифференциальным м (ориентировочные сроки 05 марта, 10 апреля, 15 мая) Тест по интегральным м и вариационному исчислению предполагается один - в конце семестра (ориентировочно,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

1 n α. сходимости обобщенного гармонического ряда

1 n α. сходимости обобщенного гармонического ряда СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ФТК, 2-ой семестр Матрицы и определители. 1. Понятие матрицы. Основные действия с матрицами и их свойства. 2. Пространство квадратных матриц. Обратная матрица и ее свойства.

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

Расписание курсовых контрольных работ (компьютерных тестов) 4-го семестра 2017 г.

Расписание курсовых контрольных работ (компьютерных тестов) 4-го семестра 2017 г. Расписание курсовых контрольных работ (компьютерных тестов) 4-го семестра 2017 г. По дифференциальным м предполагается 3 теста. Ориентировочные сроки 01-10 марта, 10-20 апреля, 15-20 мая). По интегральным

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ АНГАРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ Иванова СВ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Учебное пособие АНГАРСК АГТА 4 Иванова СВ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ УЧЕБНОЕ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный машиностроительный

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 ЧАСТЬ I Обыкновенные дифференциальные уравнения Вводная глава Глава I Задача Коши для уравнения первого порядка.

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 ЧАСТЬ I Обыкновенные дифференциальные уравнения Вводная глава Глава I Задача Коши для уравнения первого порядка. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 ЧАСТЬ I Обыкновенные дифференциальные уравнения Вводная глава. 8 1.Понятие дифференциального уравнения.математические модели, описываемые дифференциальными уравнениями.11 3.Решение

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 24

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 24 кафедра «Математическое моделирование» проф П Л Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса -го семестра специальностей РЛ,,3,6, БМТ, Лекция 4 Однородные системы

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости ГЛАВА УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В этой главе исследуется устойчивость самого простого класса дифференциальных систем линейных систем В частности, устанавливается, что для линейных систем с постоянными

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция 15 Решение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДУ допускающие понижение ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДУ линейные неоднородные (ДУЛН) ДУ линейные однородные

Подробнее

1. Найти прямую l, с наименьшей суммой расстояний до этих точек, т.е. такую, что

1. Найти прямую l, с наименьшей суммой расстояний до этих точек, т.е. такую, что Математика. О некоторых экстремальных прямых Ипатова Виктория физико-математический класс ГБОУ «Химический лицей» город Москва Научный руководитель: Привалов Александр Андреевич МПГУ доцент к.ф.-м.н. Пусть

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее