Т. И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (Методическое пособие по практическим занятиям)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Т. И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (Методическое пособие по практическим занятиям)"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т. И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко Несобственные интегралы, зависящие от параметра (Методическое пособие по практическим занятиям) Ростов-на-Дону 3

2 Печатается по решению кафедры математического анализа и учебно-методической комиссии факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ Т. И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко Несобственные интегралы, зависящие от параметра (методическое пособие по практическим занятиям). ЮФУ, Ростов-на-Дону c. Изложен материал практических занятий, посвященный исследованию на поточечную и равномерную сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра. Изложение соответствует программе проводимых сотрудниками кафедры математического анализа ЮФУ (РГУ) практических занятий на отделениях «Математика» и «Механика» в рамках курса «Математический анализ» в третьем семестре. c Т.И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко c «Южный федеральный университет», 3

3 Поточечная и равномерная сходимость функции двух переменных В дальнейшем будем считать, что X R, Y R y, функция f определена на множестве X Y R,y и y предельная точка множества Y. Обозначим через X совокупность тех точек X, для которых существует конечный предел lim f(, y) = ϕ(). Множество X назовем множеством сходимости y y функции f(, y) при y y, а функцию ϕ(), определенную на X, предельной функцией функции f(, y) при y y. При этом будем говорить, что функция f(, y) поточечно сходится к ϕ() при y y, и писать коротко f(, y) X ϕ(). y y Приведем формальную запись определения поточечной сходимости функции к предельной: f(, y) X ϕ() X ε > U y : f(, y) ϕ() < ε, y U o y y y Y. В терминах ε δ определение поточечной сходимости функции к предельной при y y R формально можно записать так: f(, y) X ϕ() X ε > δ = δ(, ε) > : y y f(, y) ϕ() < ε, y Y, < y y < δ. В том случае, когда y = такое определение формально можно записать так: f(, y) X y ϕ() X ε > δ = δ(, ε) > : f(, y) ϕ() < ε, y Y, y > δ. Заметим, что если f(, y) X ϕ() и X X, то f(, y) X ϕ(). y y y y Пример. Рассмотрим функцию f(, y) = y, определенную на [, ) (, ), при y. Если [, ), то при y f(, y) = y. Если =, то f(, y) =. Наконец, если >, то f(, y) = y при y. Следовательно, множество сходимости функции f(, y) = y при y совпадает{ с отрезком [, ], а предельная функция ϕ() равна, [, ), ϕ() =, =. 3

4 Заметим, что если множество Y совпадает с N множеством натуральных чисел, то y = и мы имеем функциональную последовательность f n () := f(, n). Определение. Пусть функция f(, y) поточечно сходится на множестве X к функции ϕ() при y y. Если для любого положительного числа ε найдется такая окрестность U y точки y, что для всех y U o y Y и всех X справедливо неравенство f(, y) ϕ() < ε, то говорят, что функция f(, y) равномерно сходится к предельной функции ϕ() на множестве X при y y и пишут f(, y) X ϕ() при y y или f(, y) ϕ() на множестве X при y y. Если же f(, y) сходится поточечно на множестве X при y y, но не удовлетворяет определению (), то говорят, что f(, y) сходится к ϕ() на X неравномерно при y y и символически пишут: f(, y) X ϕ() при y y. Стоит отметить, что фраза «функция f(, y) не является равномерно сходящейся на множестве X при y y» не утверждает, что функция f(, y) сходится на множестве X при y y. Приведем формальную запись равномерной сходимости и неравномерной сходимости функции f(, y) к предельной ϕ() на X при y y. f(, y) X ϕ() при y y f(, y) X ϕ() при y y ε >, U y : f(, y) ϕ() < ε, y o U y Y, X, ε > : U y (δ) y δ o U y Y, δ X : f( δ, y δ ) ϕ( δ ) ε. Пример. Пусть f : (, ) (, ) R, f(, y) = 3 + y + y. Исследовать сходимость функции f(, y) при y + на промежутках: а) X = (, ), б) X = (, ). Выясним, имеет ли функция f(, y) предельную при y + на множестве 3 + y X = (, ). Фиксируем (, ). Так как lim = 3, то предельная y + + y функция функции f(, y) при y + на X равна ϕ() = 3. Для изучения характера сходимости на X и X рассмотрим f(, y) ϕ() = y + y. 4

5 Покажем, что f(, y) равномерно сходится к ϕ() при y + на множестве X и неравномерно сходится на X. y При каждом (, ) и y > имеем: < y. Пусть ε (, ). Тогда + y (, ) и y > f(, y) ϕ() = y + y < y. Поскольку y < ε y (, ε/), то f(, y) ϕ() < ε, y (, ε/), (, ). Итак, ε > найдено δ = ε такое, что f(, y) ϕ() < ε, y (, δ), X, то есть, f(, y) X ϕ() при y +. Если X = (, ), то δ > (δ < ), y (, δ) и = y (, ) Полагая ε =, получим, что f(y, y) ϕ(y) = y y + y =. δ (, ) y δ = δ/ (, δ) δ = y δ (, ) : f( δ, y δ ) ϕ(y δ ) = = ε. Последнее означает, что f(, y) X ϕ() при y +. На практике при изучении характера сходимости на множестве X функции f(, y) к предельной при y y чаще всего используется следующий критерий. X Теорема (критерий в терминах супремумов). Пусть f(, y) ϕ() при y y. Для того чтобы функция f(, y) равномерно сходилась к предельной на множестве X при y y, необходимо и достаточно, чтобы lim sup f(, y) ϕ() =. () y y X X Cледствие.. Пусть f(, y) ϕ() при y y и существуют функция g(y) и окрестность U y точки y такие, что выполняется неравенство f(, y) ϕ() g(y), X, y o U y Y. Если lim y y g(y) =, то f(, y) X ϕ() при y y. Вернемся к примеру и воспользуемся последним утверждением. Имеем: f(, y) = 3 + y + y, f : (, ) (, ) R, y =. 5

6 Как показано ранее, при y + предельная функция равна ϕ() = 3 и f(, y) ϕ() = y, (, ), y (, ). + y Если (, ), то f(, y) ϕ() y Так как lim g(y) = lim y + y + + y Пусть теперь (, ). Найдем y y, y >. Положим g(y) = + y + y. =, то f(, y) (,) ϕ() при y +. sup f(, y) ϕ() = (,) sup (,) y + y. Для этого зафиксируем y (, ). Функция ψ() = y является убывающей + y y на интервале (, ), поэтому sup ψ() = lim =. Поскольку в этом (,) + + y случае условие () критерия не выполнено, то f(, y) X ϕ(). Вернемся к примеру и изучим характер сходимости функции f(, y) = y при y на множествах а) X = [, ), б) X = [, ], где (, ). Напомним, что для функции f(, y) = y на множестве X = [, ) при y предельная функция ϕ() =. а) Если [, ), то f(, y) ϕ() = y. Зафиксируем y >. Тогда = ( (, ) и f(, y ) ϕ( ) = ) y. Поэтому y y ( α(y ) := sup f(, y) ϕ() ) y y >. (,) y Но lim α(y ) = e, то есть α(y) при y, следовательно, в силу y теоремы, функция f(, y) = y поточечно, но не равномерно сходится к ϕ() на множестве [, ) при y. б) Если [, ], где (, ), то при каждом фиксированном y > функция ψ() = f(, y ) ϕ() = y является возрастающей на отрезке [, ], а потому α(y) := sup f(, y) ϕ() = y [, ]) Это означает, что f(, y) [, ] ϕ() при y. при y. Пример 3. Пусть f : [, ] [, ) R,y R, f(, y) = e y. Исследовать функцию f(, y) на сходимость на множестве X = [, ] при y. Зафиксируем X = [, ]. Так как lim f(, y) = lim =, то y y e y X ϕ() = и f(, y) ϕ() при y. 6

7 Пользуясь теоремой, выясним, является ли эта сходимость равномерной на множестве X. Заметим, что f(, y) ϕ() = e y при X и y [, ). Зафиксируем y >. Пусть ψ() = e y. Функция ψ() дифференцируема на R, поэтому и на X, а значит множество ее критических точек совпадает с множеством стационарных точек. Найдем стационарные точки функции ψ(), лежащие на (, ). Так как ψ () = ( y )e y, (, ), то ψ () = тогда и только тогда, когда = y. Так как y (, ), стационарная точка = y (, ) и ( ) ψ y =, ψ() =, ψ() =. ey e y Сравнивая полученные значения, замечаем, что при y > имеет место неравенство >. Следовательно, ey e y Но α(y) = sup f(, y) ϕ() = sup e y =, y >. [,] [,] ey lim α(y) =, и в силу теоремы, f(, y) X ϕ() при y. y Пример 4. Пусть f(, y) = ye y, f : [, ] [, ) R. Исследовать функцию f(, y) на сходимость на множестве X = [, ] при y. y При каждом фиксированном X lim f(, y) = lim =, поэтому y y ey X ϕ() =, X и f(, y) ϕ() при y. Для изучения характера сходимости вновь воспользуемся теоремой : f(, y) ϕ() = ye y, X, y >. Зафиксируем y > и найдем sup ψ(), где ψ() = y e y. Заметим, что [,] функция ψ() дифференцируема на множестве X. Поскольку ψ () = y ( y )e y, (, ), то функция ψ() имеет одну стационарную точку = /y. Так как y >, то /y (, ) и ψ(/y ) = e, ψ() =, ψ() = y. Но e y y lim =, поэтому для достаточно больших y y ey sup f(, y) ϕ() = sup ye y = e. [,] [,] 7

8 Условие () критерия не выполнено и f(, y) X ϕ() при y. Остановимся еще на одном методе доказательства того, что функция f(, y) сходится неравномерно к предельной функции ϕ() на множестве X при y y. Этот метод основан на следующей теореме. Теорема (свойство непрерывности предельной функции). Пусть функция f(, y) определена на X Y и удовлетворяет условиям ) f(, y) X ϕ() при y y, ) для каждой фиксированной точки y Y функция f(, y) непрерывна по на множестве X. Тогда функция ϕ() непрерывна на множестве X. X Следовательно, если функция f(, y) удовлетворяет условию ) и f(, y) ϕ() при y y, но функция ϕ() не является непрерывной на множестве X, то f(, y) X ϕ() при y y. Еще раз вернемся к примеру, предполагая, что X = [, ]. В этом случае X f(, y) ϕ() при y, где функция {, [, ), ϕ() =, =, терпит разрыв в точке =, а функция f(, y) при каждом фиксированном y (, ) непрерывна на [, ]. Поэтому в этом случае нет равномерной сходимости функции f(, y) к предельной при y.. Задания для самостоятельной работы Исследовать на равномерную сходимость функцию f(, y) на множестве X при y y.. f(, y) = y + y, X = [, ), y ;. f(, y) = rctg(y), X = [, ], y ; y 3. f(, y) = + y, X = [, ], y ; 4. f(, y) = y + y, X = (, ), y ; 5. f(, y) = y + y, ) X = (, ), где (, ), б) X = (, ), y +; 8

9 6. f(, y) = y + y, X = (, ), y +; 7. f(, y) = y + y, X = (, ), где (, ), y ; 8. f(, y) = y + y, X = (, ), y +; 9. f(, y) = ln( + y cos ), X (, π ), y ; (. f(, y) = ln ) y sin, X = [, π ], y ;. f(, y) = y rctg(y), X = (, ), y +; y +. f(, y) = (ey ), X = (, ), y +; 3. f(, y) = (ey ), X = (, ), y ; Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость Пусть функция f(, y) определена на множестве [, b) Y R,y и при каждом фиксированном y Y функция f(, y) R loc [, b). Если f(, y) R[, b) для любого y Y, то на множестве Y определена функция J(y) = b f(, y), () которую называют несобственным интегралом, зависящим от параметра (который будем коротко называть НИЗП). Далее, если не оговорено другое, перечисленные выше условия предполагаются выполненными. Определение. Несобственный интеграл (), зависящий от параметра, называют равномерно сходящимся на множестве Y, если для любого положительного числа ε найдется такое b (, b), что для всех t (b, b) и всех b y Y выполняется неравенство f(, y) < ε. t 9

10 Приведем формальную запись равномерной сходимости на множестве Y несобственного интеграла, зависящего от параметра: J(y) = b f(, y) равномерно сходится на множестве Y ε > b (, b) : b t f(, y) < ε, t (b, b), y Y. Формальная запись неравномерной сходимости на множестве Y несобственного интеграла, зависящего от параметра, имеет следующий вид: J(y) = b f(, y) не сходится равномерно на множестве Y ε > : b [, b) t b (b, b), y b Y : b f(, y b ) ε. Если ввести функцию F (t, y) = b t b f(, y), t [, b), y Y, (3) t то из определения следует, что равномерная сходимость на множестве Y несобственного интеграла J(y), зависящего от параметра, равносильна равномерной сходимости на множестве Y функции F (t, y) к функции J(y) при t b (t [, b)). Пример 5. Исследовать на равномерную сходимость на множестве Y несобственный интеграл ye y, если а) Y = [, b], < < b <, б) Y = [, b], < b <. Заметим, что на множестве [, ) [, ) функция f(, y) = ye y непрерывна, поэтому точка b = единственная особая точка подынтегральной функции f(, y) при каждом фиксированном y [, ). ) Пусть < y b <. Тогда t ye y = e y t = e ty, t >.

11 Зафиксируем ε (, ). Так как < e ty e t, y [, b], и e t < ε t > ln ε, то ε (, ) b = ln ε [, ): < ye y < ε y [, b], t > b. t Следовательно, данный интеграл равномерно сходится на отрезке [, b], когда < < b <. б) Пусть теперь y [, b]. Заметим, что при y = t ye y =, при y (, b] Если y = /n, n N, а t = n, то e ty = e n/n = e. Итак, t ye y = e ty, t >. ε = e > : b [, ) t b = n > b, y b = /n [, b] : t b ye y ε = e. Поэтому данный интеграл сходится не равномерно на отрезке [, b]. Из определения следует справедливость следующего утверждения. Лемма. Если интеграл b f(, y) и интеграл b g(, y) с единственной особой точкой = b равномерно сходятся на множестве Y, то для любых чисел α и β интеграл (αf(, y) + βg(, y)) равномерно сходится на множестве Y. b При исследовании равномерной сходимости функции f(, y) к предельной чаще всего используется критерий и его следствие. Но их применение к функции (3) при исследовании на равномерную сходимость несобственных интегралов (3), зависящих от параметра, весьма затруднительно. Здесь чаще используются достаточные признаки равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра.

12 Теорема 3 (признак Вейерштрасса). Пусть f(, y) R loc [, b), y Y, и f(, y) = g(), [, b). Если функция g() локально интегрируема на sup y Y [, b) и интеграл b g() сходится, то несобственный интеграл () равномерно и абсолютно сходится по y на множестве Y. Cледствие 3.. Пусть f(, y) R loc [, b) при каждом y Y и существует функция g : [, b) R и число [, b) такие, что f(, y) g(), [, b), y Y. Если g() R loc [, b) и несобственный интеграл b g() сходится, то интеграл b f(, y) абсолютно и равномерно сходится на Y. Часто признаком Вейерштрасса называют это следствие! Обратите внимание: Выбор точки не должен зависеть от y Y! Если = (y), то интеграл () может сходиться неравномерно на Y. Пример 6. Исследовать на равномерную сходимость интеграл e y, если а) y [, ), где >, б) y (, b]. а) Очевидно, что f(, y) = e y C([, ) [, )), поэтому f непрерывна по на [, ) при каждом фиксированном y [, ), и единственная особая точка функции f(, y) на [, ), когда y >. Используя определение, докажем, что интеграл равномерно сходится на множестве Y = [, ), >. Заметим, что t >, y [, ) t e y = y e y = ( ) lim t y e y e ty = y e ty. Зафиксируем положительное число ε. Так как t > и y > < y e ty e t, lim t e t =, то b = b (ε) > : e t < ε, t (b, ). Следовательно, ε > b (, ) : y e ty < ε, t (b, ), y >,

13 то есть t e y < ε, t > b, y Y, что означает равномерную сходимость рассматриваемого интеграла на множестве Y. Достаточно просто провести исследование этого интеграла и с помощью признака Вейерштрасса (теорема 3). Легко видеть, что e y = e y e для всех y Y = [, ) и всех [, ). Так как e = e = R, то интеграл e сходится, а поэтому в силу следствия теоремы 3 рассматриваемый несобственный интеграл сходится равномерно на множестве Y. б) Пусть теперь y Y = (, b]. Докажем, что рассматриваемый несобственный интеграл сходится неравномерно на множестве Y = (, b]. Поскольку теорема 3 и ее следствие достаточные признаки, то следует пользоваться определением равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра, или критерием по отношению к функции F (t, y) = t [, b), y Y. В этом случае воспользуемся определением : t e y = e ty, y (, b]. y b t f(, y), Если y n = /n, t n = n, b N, то e t ny n образом, ε = : y n = ne >, если n 3. Таким n > m{3, [b] + } y n = /n (, b] t n = n [, ) : t n e yn >. Последнее означает, что рассматриваемый несобственный интеграл сходится неравномерно на множестве Y = (, b]. Пример 7. Пусть >, Y = [, ]. Исследовать на равномерную сходимость на Y интеграл ln y. Прежде всего заметим, что для каждого y функция f(, y) = ln y 3

14 непрерывна на (, ] и lim + f(, y) =, поэтому f(, y) R loc(, ] при каждом y [, ] и = ee единственная особая точка. Далее, (, ] и y [, ] справедливо неравенство ln y m{, ln }, а значит, ln y + ln и f(, y) + ln. Но ln < α, α >, в некоторой правосторонней окрестности точки =, то есть на интервале (, (α)). Поэтому (, (/4)), y [, ] Так как интеграл + ln = + ( ln ) < 4 и f(, y) 3/4. 3/4 сходится (эталонный с α = 3 4 < ), то в силу следствия 3. теоремы 3 исходный интеграл равномерно сходится на множестве [, ]. Когда подынтегральная функция является знакопеременной и несобственный интеграл, зависящий от параметра, при некотором y Y сходится условно, то его характер сходимости нельзя изучить, применяя признак Вейерштрасса, поскольку из признака Вейерштрасса следует равномерная и абсолютная сходимость интеграла на множестве Y. В этом случае можно воспользоваться следующими двумя признаками. Теорема 4 (признак Дирихле). Пусть функции g(, y) и ϕ(, y) определены на множестве [, b) Y R,y, при любом y Y имеют на [, b) единственную особую точку = b и удовлетворяют условиям: ) g(, y) монотонна по на [, b) при каждом фиксированном y Y ; ) g(, y) Y при b ( (, b)); 3) M > : t Тогда интеграл ϕ(, y) M, y Y, t (, b). b g(, y)ϕ(, y) равномерно сходится на множестве Y. Теорема 5 (признак Абеля). Пусть функции g(, y) и ϕ(, y) определены на [, b) Y R,y, локально интегрируемы на [, b) при y Y и удовлетворяют условиям: 4

15 ) g(, y) монотонна по на [, b) при каждом фиксированном y Y ; ) M > : g(, y) M, [, b), y Y ; 3) интеграл b ϕ(, y) равномерно сходится на множестве Y. Тогда несобственный интеграл b g(, y)ϕ(, y) равномерно сходится на Y. Отметим, что применение признаков Абеля и Дирихле к несобственным интегралам, зависящим от параметра, когда подынтегральная функция является знакопостоянной не имеет смысла, поскольку для таких интегралов они эквивалентны признаку Вейершрасса. Рассмотрим несколько примеров. Пример 8. Исследовать на равномерную сходимость на Y = [, ) интеграл. y cos(y) + y Очевидно, что для каждого y Y подынтегральная функция локально интегрируема на [, ) и ее единственная особая точка на [, ). Решение задачи проведем с помощью признака Дирихле (теорема 4). Положим y g(, y) = и ϕ(, y) = y cos(y). При каждом фиксированном y Y + y функция g(, y) монотонно убывает по на [, ), lim g(, y) =, то есть y g(, y) поточечно сходится на Y к функции g(y) = при. С помощью критерия докажем, что g(, y) Y при. Зафиксируем [, ) и найдем α() = sup как g y(, y) = y Y g(, y) = sup y Y y ( + y ), (, y) [, ) Y, y + y. Так то единственной критической точкой функции g(, y) по переменной y, лежащей на (, ), является стационарная точка y = (, ). Поскольку то α() = g(, ) =, g(, ) =, lim g(, y) =, y (легко проверить, что при фиксированном [, ) функция 5

16 g(, y) имеет в точке y = локальный максимум, и потому α() = g(, ) =, [, )). Далее, lim α() = и по критерию g(, Так как, t (, ), y [, ) y) Y при. t y cos y) = sin(y) t = sin(ty) sin y, то функция Φ(t, ) = t y cos(y) ограничена на множестве [, ) Y. Следовательно, выполнены все условия признака Дирихле (теорема 4) и исходный несобственный интеграл равномерно сходится на множестве Y. Пример 9. Исследовать на равномерную сходимость на Y = [, ) интеграл sin +. y sin Функция f(, y) = непрерывна по на множестве [, ) при + y каждом фиксированном y Y, поэтому f(, y) R loc [, ) и единственная особая точка функции f(, y) при каждом y Y. Сделаем в интеграле замену переменной, положив = t, а значит, = t, t [, ). Так как функция t = не зависит от параметра y и непрерывно дифференцируема по на (, ), то исходный интеграл и интеграл sin t dt ( + t y/ ) одновременно либо сходятся, либо расходятся и, в случае сходимости, характер их сходимости одинаков. t Исследование полученного интеграла проведем с помощью признаков Дирихле и Абеля. Пусть g(t, y) = sin t + ty/, ϕ(t, y) =, (t, y) [, ) [, ). t Интеграл sin t t dt, очевидно сходится в силу признака Дирихле. Поскольку он не зависит от параметра y, то он равномерно сходится на Y. 6

17 Изучим функцию g(t, y). При (t, y) [, ) Y справедливо неравенство g(t, y) =, + ty/ а при фиксированном y функция g(t, y), как функция от t, монотонно убывает на [, ). Все условия признака Абеля (теорема 5) выполнены, интеграл sin t dt ( + t y/ ) сходится равномерно на Y, а значит, исходный несобственный t интеграл также равномерно сходится на Y. По аналогии с определением сходимости несобственного интеграла с несколькими особыми точками вводится определение равномерной сходимости несобственного интеграла с несколькими особыми точками. Определение 3. Пусть X =, b промежуток в R (конечный или бесконечный), Y подмножество в R, f : X Y R,y R. k Пусть функция f имеет при каждом y Y конечное число особых точек (считая и бесконечно удаленные) и существует такой набор точек τ = { k } m k= : = < < < m = b, что на каждом промежутке k, k+, k =,,..., m, функция f(, y) при каждом y Y имеет единственную особую точку, совпадающую с одним из его концов. Если каждый из интегралов k+ f(, y) равномерно сходится на Y, то говорят, что исходный интеграл b f(, y) сходится равномерно на множестве Y. Если хотя бы один из интегралов k+ f(, y) не сходится равномерно на Y, то говорят, что интеграл b k f(, y) не является равномерно сходящимся на множестве Y. Пример(. Исследовать на равномерную сходимость на Y = [, ] интеграл y sin + y ). 7

18 Очевидно, что f(, y) = y ( sin + y ) C((, ) [, ]), поэтому f(, y) R loc (, ) при каждом y Y. Далее, f(, ) = и при y (, ] существует последовательность { k }: k = π( + k) π ( + k) 4( 6y ) 4y = π( + k) + π ( + k) 6y, k N, такая что k (, ), k N и sin ( k + y ) = ( ) k. Поэтому функция k f(, y) является неограниченной при каждом фиксированном y (, ] в любой правосторонней полуокрестности точки =. Следовательно, функция f(, y) имеет на (, ) при фиксированном y Y две особые точки: = и. В силу определения 3 исследуем на равномерную сходимость на Y = [, ], / например, несобственные интегралы I = f(, y) и I = f(, y). ( Воспользуемся тем, что sin + y ) = sin cos y + cos sin y. Пусть / f (, y) = y sin cos y, f (, y) = y cos sin y, (, ), y Y. ) Исследуем на равномерную сходимость на Y интеграл I. Так как для любого (, /] и любого y Y f (, y) = y sin cos y = y cos sin y sin, а интеграл / сходится, то интеграл / f (, y) сходится абсолютно и равномерно на Y в силу признака Вейерштрасса. / Исследуем интеграл f (, y), если y Y. Представим функцию f (, y) в виде f (, y) = y sin y cos, (, y) (, /] Y, и применим признак Дирихле. Пусть g(, y) = cos, ϕ(, y) = y sin y. Функция g(, y) не зависит от [,] y и lim g(, y) = lim cos =, поэтому g(, y) при +. На интервале (, /) g (, y) = cos sin = cos ( tg ) > cos ( tg ) >, так + как < tg и tg (, ), (, π/4) (, /]. Следовательно, функция 8

19 g(, y) монотонна на (, /] при каждом фиксированном y Y. Наконец, Φ(t, y) = / t ϕ(, y) = / t y sin y = / t sin y d ( y ) = = cos y / t cos y + cos y, t (, /], y Y, t то есть функция Φ(t, y) ограничена на множестве (, /] Y. Все условия / признака Дирихле (теорема 4) выполнены, поэтому интеграл f (, y) равномерно сходится на Y. Интеграл I, являясь суммой двух равномерно сходящихся на Y интегралов, также является равномерно сходящимся на Y (в силу леммы ). ) Исследуем на равномерную сходимость на Y интеграл I. Рассмотрим f (, y). Заметим, что y [, ], y [, ] и /, а / поэтому sin y y и f (, y) = y cos sin y y y = y. Интеграл сходится, значит по признаку Вейерштрасса интеграл f (, y) / сходится равномерно на Y. Для исследования интеграла / / f (, y) можно использовать либо признак Абеля, либо признак Дирихле, в зависимости от представления функции f (, y) = y sin cos y. Если представить f (, y) = sin y cos y, то можно использовать признак Абеля, для чего доказать монотонность по на [/, ) функции y cos y при каждом фиксированном y Y. Если представить f (, y) = sin y cos y, можно использовать признак Дирихле, для чего доказать монотонность по на [/, ) функции y cos y при y Y, что несколько труднее. Поэтому воспользуемся первым представлением функции f (, y). 9

20 Интеграл / sin сходится в силу признака Дирихле и не зависит от параметра y, поэтому он равномерно сходится на отрезке [, ]. На множестве [/, ) [, ] справедливо неравенство y cos y y, то есть функция y cos y ограничена. Докажем, что она монотонна по переменной на [/, ) при каждом фиксированном y Y. Зафиксируем y [, ]. Так как ( y cos y ) = y sin y и y [, ], y Y, [/, ), то sin y ( и y cos y ). Следовательно, функция y cos y монотонно убывает на [/, ) по переменной при фиксированном y Y. Все условия признака Абеля выполнены, поэтому несобственный интеграл f (, y) равномерно сходится на Y. Интеграл I, являясь суммой двух равномерно сходящихся на Y интегралов, также является равномерно сходящимся на Y (в силу леммы ). Из пунктов ) и ) по определению 3 следует, что исходный несобственный интеграл f(, y) равномерно сходится на Y. /. Задания для самостоятельной работы. С помощью определений, 3 и признака Вейерштрасса исследовать на равномерную сходимость следующие несобственные интегралы, зависящие от параметра, на указанном множестве Y. ) 3), Y = [, ), ) ( + y) + ln y, Y = [, ), >, 4) y + y, ) Y = [, 3], b) [, ), c) Y = [, 3], y e y/, Y = [, ),

21 5) 7) 9) ) 3) 5) 7) 9) ) 3) 5) 7) 9) /, Y = [, ), >, 6) ln y y, Y = R, 8) ( + y ) cos(y) 3 + y, Y = R, ) ( ln + y ln ), Y = [, ), ) sin( + y ) ln, Y = R, 4) + y4, Y = (, ], <, 6) 4 y sin y, Y =[, ), >, 8) y + + ( + y), Y = [, ), ) e (+y ), Y = R, ) ye y (+ ), Y = [, ], 4) ln y, Y = [, ], >, 6) ln 3, Y = R, 8) + y4 3 + y +, Y = [, ), y +, Y = [5, ), y( + ) y e 3, Y = (, ], R, sin y, Y = [, ], >, 3 sin(y), Y = R, + cos(y) sin(y), Y =[, ), >, e y + tg y, Y = [, ], + y (y + ) (y + ) 3/, Y = (, ), y ln, Y = [ 3/4, ], ln( y ), Y = [, ], ln sin 3 ( ) y, Y = [, ), sin(3y), Y = [, ), ( + y) ( + )e +y 5 + y, Y = [, ), 3) y, Y = R, + 5 y

22 3) 33) 35) 3 e y 3 + e, (, ], 3) y ye y, Y = [, ), 34) ln y, Y = [, ], 36) + y y, Y = [, ), + 4 y + ln y, Y = (, ], + y, Y = [, ).. С помощью признаков Абеля и Дирихле исследовать на равномерную сходимость на множестве Y несобственные интегралы, зависящие от параметра. ) 3) 5) 7) 9) ) 3) 5) sin + y, Y = R, ) sin(y), Y = [, ), + y sin(y) +, Y = [, ), 4) cos 3, Y = R, 6) ln + y cos( + y ) ln + y sin(y) + y, Y = [, ), 8), [, ), >, ) sin( y) ln + y, Y = [, ), ) sin e y, Y = [, ), 4) sin(y ) + rctg(y), 6) Y = [, ), cos(y ) + y, Y = R, sin + y, Y = [, ), sin( 3 y ) tg, Y = R, sin( + y ) + y, Y = R, cos(( + y )), Y = R, 3 + y + sin( ) rctg(y), Y = R, sin 3 sin tg Y = [, ), + y + y +,

23 7) 9) ) 3) 5) 7) 9) sin( + y) ln + y Y = [, ), + y, 8) + y sin( + y) sin y, ) cos( y) rcsin ln( + y ) Y = [, ), sin y, Y = [, ], Y = (, ], sin(ye ), Y = [, ), ) cos y ln ( + y ), 4) y cos(y) y sin(y) y + y,, Y = [, ), cos, Y = [, 5]), ) Y = [, ), b) Y = [ /, /], cos 3 + y e y, Y = [, ), 6) sin(y ) + y +y, Y = [, ), 8) cos( y ), Y = [, ), cos( + ) + y, Y = R, sin(y) rctg(y) + y, Y = [, 5], 3) cos(y), Y = [, 5]. + y 3. Используя любые методы, исследовать несобственные интегралы, зависящие от параметра, на равномерную сходимость на указанном множестве Y. ) 3) 5) e ln y, Y = [, ], ) + y e, Y = [, ), + y sin(y) + y rctg y, 4) sin(y) y + e Y = [, ], y rctg + y, Y = [, ], >, 6) 3 +y, Y = [, ) e y rctg, Y = [, ),

24 7) ye 3y, Y = [, ), 8) y e, Y = [, ], 9) ) 3) 5) 7) y cos 5 3+y, ) + y + y, Y = [, ), Y = [, ), >, sin(y) y rcsin, ) + y + y + Y = [, ), ye y e /y, Y = [, ], 4) cos(y ) + Y = [, ), ln + y, 6) + y sin( + y) ln + y cos + y, Y = [, ), y + 4 y, Y = [, ), sin tg + y 3 y + 8, Y = [ π, π], cos 3 + y rctg(y), 8) sin(y) + y (ey/ ), 9) ) 3) 5) π Y = R, Y = [, ], ln y ( + ), ) + sin y cos(( + y ) ln( + ) Y = [, ], Y = R, sin, Y = [/, 3/], ) y (π ) y ye (+ )y sin(y), 4) Y = [, ), sin(5 + y ) + y + rctg(y), 6) +y, y ln, Y = [, ), sin() + y e y, Y = [, ) sin(y) y +, 4

25 Y = R, Y = [, ), >, 7) e y 3 + e, Y = (, ], 8) sin(y), Y = [, ), y + y 9) 3) cos, Y = [3, ), 3) + y sin, Y = [, ), 3) + y ln cos sin(y), Y = [, ), + y, Y = R. 3 Свойства несобственного интеграла, зависящего от параметра 3. Непрерывность НИЗП Для доказательства непрерывности НИЗП по параметру используется Теорема 6. Если функция f(, y) непрерывна на множестве [, b) [c, d] и интеграл J(y) = b J(y) непрерывна на отрезке [c, d]. f(, y) равномерно сходится на отрезке [c, d], то функция Обратите внимание: По определению функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой его точке. Поэтому, если Y некоторое подмножество множества R и f(, y) C([, b) Y ), а несобственный интеграл J(y) равномерно сходится на любом отрезке [y, y ], содержащемся в Y, то функция J(y) непрерывна на Y (но это не означает, что интеграл J(y) равномерно сходится на Y!). В частности, если Y = (c, d), то для доказательства непрерывности функции J(y) на Y достаточно доказать, что J(y) непрерывна на любом отрезке [y, y ], содержащемся в (c, d). Пример. Доказать, что функция J(y) = непрерывна на множестве Y = (, ). sin y y Сделаем в интеграле замену переменных, полагая = t (функция = /t является биекцией из [, ) в (, ], дифференцируема и (t) = t <, 5

26 t [, )). Получим интеграл sin(ty) t y dt, который сходится или расходится одновременно с исходным при y (, ) и J(y) = sin(ty) t y Пусть f(t, y) = sin(ty). Ясно, что f(t, y) C([, ) (, )) и при каждом t y y (, ) интеграл сходится, то есть определяет функцию J(y). Исследуем полученный интеграл на равномерную сходимость. К нему нельзя применить признак Дирихле равномерной сходимости на промежутке, содержащем точку y =, так как t sin(ty) dt = cos(ty) y t=t t= dt., и нельзя применить признак Вейерштрасса на промежутке [y, y ], если y. Поэтому вопрос о непрерывности функции J(y) решим, рассматривая промежутки (, y ] и [y, ), где y (, ). Если y (, ), то f(t, y) = sin(ty) t y Так как y >, то интеграл интеграл t y dt t y, y (, y ], t [, ). сходится, и по признаку Вейерштрасса f(t, y) dt равномерно сходится на (, y ], а значит, он равномерно сходится на любом отрезке [y, y ] (, y ]. По теореме 6 функция J(y) непрерывна на любом отрезке [y, y ] (, y ], что означает ее непрерывность на множестве (, y ]. Докажем непрерывность функции J(y) на [y, ), для чего рассмотрим интеграл f(t, y) dt на отрезке [y, ε ], где ε (, ). Воспользуемся признаком Дирихле, для этого положим g(t, y) =, а ϕ(t, y) = sin(ty). Тогда t y z ϕ(t, y) dt = y cos yt z = cos z y cos y y y y, y [y, ε ], z [, ), 6

27 z поэтому функция Φ(z, y) = ϕ(t, y) dt ограничена на [y, ε ] [, ). Так как g(t, y) =, то t lim g(t, y) =, y [y y, ε ], то есть при t t функция g(t, y) поточечно сходится на [y, ε ] к функции g(y) =. Но и потому t ε < t, y [y y t ε, ε ], t >, при t. По следствию из критерия равномерной сходимости к предельной функции g(t, y) [y, ε ] при t. Выполнены все условия признака Дирихле и несобственный интеграл f(, y) равномерно сходится на отрезке [y, ε ], ε (, ). В силу теоремы 6 функция J(y) непрерывна на отрезке [y, ε ], ε (, ). Учитывая произвольность выбора числа ε в интервале (, ) и определение непрерывной на множестве функции, заключаем, что J(y) непрерывная на [y, ) функция. Итак, нами доказано, что функция J(y) непрерывна на (, y ] и [y, ), что означает непрерывность J(y) на (, ). Пример. Доказать, что функция J(y) = непрерывна на интер- + y вале (, ). Пусть f(, y) = +, на множества G = {(, y) y R : [, ), y (, )}. Очевидно, что f(, y) C(G), поэтому при каждом фиксированном y > функция f(, y) имеет единственную особую точку. Кроме того f(, y) на G и фиксированном y (, ) f(, y) = y ( y + ) Так как при любом y (, ) интеграл при y. y y сходится, то по признаку сравнения в предельной форме (см. [8, теорема 6]) несобственный интеграл 7

28 f(, y) сходится, а значит, на интервале (, ) определена функция J(y) = + y. Пусть ε >. Тогда < f(, y), и y [ + ε + +ε, ). Но при, а интеграл сходится, и по признаку + +ε +ε +ε Вейерштрасса несобственный интеграл F (y) = f(, y) сходится равномерно на промежутке [ + ε, ). Поэтому он равномерно сходится на любом отрезке [α, β] (, ), что в силу теоремы 6 означает непрерывность функции F (y) на отрезке (, ). Так как J(y) = f(, y) + f(, y) = f(, y) + F (y), рассмотрим функцию Ψ(y) = f(, y). Этот интеграл является собственным, зависящим от параметра y. Поскольку f(, y) C([, ] (, )), то f(, y) C([, ] [α, β]), [α, β] (, ). Согласно теореме о непрерывности собственного интеграла, зависящего от параметра ([7, теорема 4.]), функция Ψ(y) непрерывна на [α, β]. Учитывая произвольность выбора отрезка [α, β] в (, ), заключаем, как и при рассмотрении функции F (y), что функция Ψ(y) непрерывна на (, ). Но J(y) = Ψ(y) + F (y), поэтому J(y) непрерывная на (, ) функция. 3. Дифференцируемость НИЗП Теорема 7. Пусть функция f(, y) определена и непрерывна на множестве Π = [, b) [c, d] и, кроме того, удовлетворяет следующим условиям: ) существует функция f y(, y), которая непрерывна на Π, 8

29 ) интеграл b f(, y) сходится хотя бы при одном y [c, d], 3) интеграл b f y(, y) сходится равномерно на отрезке [c, d]. Тогда интеграл J(y) = b f(, y) сходится равномерно на [c, d], определяет непрерывно дифференцируемую на [c, d] функцию J(y) и Y (y) = b f y(, y). Cледствие 7.. Пусть Y промежуток в R, функция f(, y) непрерывна на множестве [, b) Y и имеет на нем непрерывную частную производную f. Если интеграл y b b f(, y) поточечно сходится на Y, а интеграл f y(, y) сходится равномерно на любом отрезке [c, d] Y, то интеграл b f(, y) сходится равномерно на любом отрезке [c, d] Y, функция J(y) = b f(, y) непрерывно дифференцируема на Y и J (y) = b f y(, y), y Y. Пример 3. Доказать, что функция J(y) = cos непрерывно + + y дифференцируема на R. cos Функция f(, y) = + + y непрерывна в R, поэтому она непрерывна на множестве [, ) R и имеет при каждом y R единственную особую точку. Ее частная производная f y(, y cos y) = также непрерывна ( + + y ) 9

30 на R, а значит, и на множестве [, ) [, b], [, b] R. Так как а интеграл +, очевидно, сходится, то в по теореме Вейерштрасса интеграл f(, y) = cos + + y +, y R, [, ), f(, y) сходится равномерно на R. Аналогично, если [y, y ] некоторый отрезок и y = m{ y, y }, то Так как интеграл сходится, то по признаку Вейерштрасса инте- ( + ) грал f y(, y) = y cos ( + + y ) y ( + ), y [y, y ]. f y(, y) равномерно сходится на отрезке [y, y ]. В силу произвольности выбора отрезка [y, y ] из следствия 7. теоремы 7 получаем непрерывную дифференцируемость на R функции J(y). Пример 4. Доказать, что функция J(y) = cos непрерывно + ( + y) дифференцируема на R. cos Функция f(, y) = + ( + y) непрерывна в R (а поэтому и на множестве [, ) R), имеет единственную особую точку при каждом фиксированном y R. Функция f y(, ( + y) cos y) = также непрерывна ( + ( + y) ) в R. Докажем дифференцируемость функции J(y) на множествах [, ) и (, ]. Пусть ỹ некоторое положительное число, тогда функции f(, y) и f y(, y) непрерывны на [, ) [, ỹ]. Для любых точек (, y) [, ) [, ỹ] f(, y) = f y(, y) = cos + ( + y) + при, ( + y) cos ( + ỹ) ( + ( + y) ) ( + ) при. 3 3

31 Так как интегралы, 3 [8, теорема 6] и признака Вейерштрасса интегралы сходятся, то в силу признака сравнения f(, y), f y(, y) равномерно сходятся на отрезке [, ỹ]. Последнее означает, что выполнены условия следствия теоремы 7 на Y = [, ), поэтому функция J(y) непрерывно дифференцируема на [, ) и J (y) = f y(, y). Аналогично, рассмотрим функцию J(y) на множестве (, ]. Пусть y некоторое отрицательное число, тогда функции f(, y) и f y(, y) непрерывны на отрезке [y, ]. Далее, [, ) и y [y, ] f(, y) = f y(, y) = cos + ( + y) + ( + y ) при, + y cos ( + ( + y) ) + ( + y ) ) при. 3 Отсюда, как и выше, делаем вывод о том, что на отрезке [y, ] интегралы f(, y) и f y(, y) сходятся равномерно. Так как на множестве Y = (, ] выполняются все условия следствия теоремы 7, то функция J(y) непрерывно дифференцируема на (, ] и J (y) = f y(, y). Из проведенных исследований заключаем, что функция J(y) непрерывно дифференцируема на множестве R и J (y) = f y(, y). Задача решена, но есть и другое ее решение. Сделаем в исходном интеграле замену переменной, положив + y = t, получим J(y) = y cos(t y) + t dt = cos(t y) + t dt Рассмотрим каждый из полученных интегралов. y cos(t y) + t dt. 3

32 ) Начнем с интеграла cos(t y) + t непрерывно дифференцируема на R и g y(t, y) = g(t, y) + t и g y(t, y) cos(t y) + t dt. Функция g(t, y) = sin(t y), (t, y) R. Так как + t + t, t [, ) и y R, а интеграл dt сходится, то по признаку Вейерштрасса интегралы + t g(t, y) dt, g y(t, y) dt равномерно сходятся на множестве R, а значит, на любом отрезке [y, y ] R. По следствию теоремы 7 интеграл g(t, y) dt определяет непрерывно дифференцируемую в R функцию G(y), причем G (y) = g y(t, y) dt. ) Теперь обратимся к интегралу y cos(t y) + t dt при y R. Он является собственным интегралом, зависящим от параметра y, у которого зависит от параметра еще и верхний предел интегрирования β(y) = y. Функция β(y) является непрерывно дифференцируемой на R и, как отмечалось выше, функция g(t, y) непрерывно дифференцируема на R. По теореме о непрерывной дифференцируемости собственного интеграла, зависящего от параметра, пределы интегрирования которого зависят от параметра (см. [7, теорема 4.4]), функция G (y) = y g(t, y) dt непрерывно дифференцируема на любом отрезке [y, y ] R, а значит, и в R, причем G (y) = y g y(t, y) dt + + y. Из полученных результатов заключаем, что функция J(y) = G(y) + G (y) 3

33 непрерывно дифференцируема на R и y R = J (y) = y g y(t, y) dt g y(t, y) dt + y = 3.3 Задания для самостоятельной работы y g y(t, y) dt + y = y sin(t y) + t dt + y.. Доказать непрерывность функции J(y) на указанном множестве Y. ) J(y) = ) J(y) = 3) J(y) = 4) J(y) = 5) J(y) = 6) J(y) = 7) J(y) =, Y = (, ); 4 + y cos(y), Y = R; + 3 cos(), Y = (, ); 4 + y sin(y ), Y = (, ); sin, Y = R; + ( + y) ln, Y = R; ( y) + ye y, Y = (, ); 8) J(y) = e ( y), Y = R; 33

34 9) J(y) = ) J(y) = ) J(y) = cos(y), Y = R; + sin y y, Y = (, ); sin e y, Y = (, ); ) J(y) = e y sin( ), Y = [, ).. Доказать, что функция J(α) непрерывно дифференцируема на указанном множестве D. ) J(α) = e cos α, D = R; ) J(α) = 3) J(α) = 4) J(α) = 5) J(α) = 6) J(α) = 7) J(α) = cos(α), D = (, ); + sin(α), D = (, ); sin(α), D = R; ( + ) e α, D = (, ); sin(α), D = R; + 3 e α, D = (, ); α 34

35 8) J(α) = 9) J(α) = ) J(α) = ) J(α) = ) J(α) = 3) J(α) = 4) J(α) = 5) J(α) = cos(α), D = (, ); sin(α) + 3, D = R; cos(α) e, D = R; ln( α ), D = (, ); rctg(α), D = R; sin(α), D = (, ); cos(α), D = (, ); + cos(α), D = R. ( + ) 4 Гамма- и Бета- функции Эйлера Интеграл Γ(α) = α e называется Γ-функцией Эйлера. Областью определения Γ-функции является интервал (, ). Несобственный интеграл сходится равномерно на множестве α > α >. В области α > функция Γ(α) непрерывна и непрерывно дифференцируема любое число раз, причем Γ (n) (α) = α ln n e. 35

36 Функция Γ(α) обладает следующими свойствами: ) Γ(α + ) = αγ(α), α > (формула приведения Эйлера); ) Γ() = e =, поэтому Γ(n + ) = n!, n N; 3) Γ(α) Γ( α) = π, α (, ) (формула дополнения). sin απ В частности, если α = /, то Γ (/) = π, поэтому Γ(/) = π. Интеграл B(α, β) = α ( ) β называется B-функцией Эйлера. Ее область определения множество G = {(α, β) R : α >, β > }. Несобственный интеграл B(α, β) является непрерывно дифференцируемой функцией во всей области определения и по α, и по β. На множестве G B-функция обладает следующими свойствами: ) B(α, β) = B(β, α) (свойство симметрии относительно переменных). ) B(α +, β) = α β B(α, β), B(α, β + ) = α + β B(α +, β + ) = 3) B(α, β) = α α + + β B(α, β), α + β β B(α, β) (формулы приведения), α + β α (второе интегральное представление), ( + ) α+β 4) B(α, β) = Γ(α)Γ(β) (связь между B- и Γ- функциями). Γ(α + β) Отсюда, пользуясь формулой дополнения для Γ-функции, получаем, что B(α, α) = π, α (, ). sin απ Рассмотрим несколько примеров использования интегралов Эйлера для вычисления несобственных интегралов. Пример 5. С помощью эйлеровых интегралов вычислить интеграл I = 3 ( ). 36

37 Подынтегральная функция непрерывна и положительна на (, ], ее единственная особая точка. Полагая = t, = t +, получаем поэтому I = I = 4/3 ( ) = Γ 3 + 4/3 Γ() = + dt, = t ( + t) + t, t /3 dt. Положим t = u, и получим (t + ) u /3 (u + ) du = 4/3 Γ ( ) 3 = 4/3 3 u 4/3 (u + ) 4/3+/3du = 4/3B Γ(/3) Γ(/3) = 6 3 π Таким образом, несобственный интеграл сходится и равен sin π 3 ( 4 3, ) = 3 = π π Пример 6. Пусть >, b >. Найти множество сходимости несобственного интеграла π sin α cos α ( sin и вычислить его. + b cos ) α и Преобразуем подынтегральную функцию I(α) = π sin α cos α ( sin + b cos ) = α b α = n α π/ π/ tg α ( ) α tg b tg + cos. tg α ( ) α b tg + cos = Положим b tg = t. Введенная функция возрастает на [, π/), t() = t() =. Так как функция t() возрастает на [, π/), у нее есть lim π/ обратная причем непрерывно дифференцируемая функция = (t). Так как 37

38 dt = b tg cos, то I(α) = b b α (b/)α t α/ (t + ) dt = ( α α (b) αb, α Функция B(α, β), как известно, определена на (, ) (, ), поэтому функция I(α) определена на множестве α >. Пример 7. Найти область определения интеграла I(p) = вычислить его. ). (ln ) p Положим ln = t, [, ) (условия теоремы о замене переменной в несобственном интеграле, очевидно, выполнены). Функция t() действует из [, ) в [, ), возрастает, является непрерывно дифференцируемой и t (), (, ), поэтому в силу теоремы о замене переменной в несобственном интеграле I(p) = t pdt e t = t (p+) e t dt = Γ(p + ), а значит, функция I(p) определена на (, ). Пример 8. Вычислить I = ln + 4. Положим 4 = t (условия теоремы о замене переменной выполнены) и получим I = t 3/4 ln t dt = t /4 ln t dt t 64 ( + t) /4+3/4 Рассмотрим функцию B(p, p) = t p dt, определенную на (, ). Так + t как B-функция непрерывно дифференцируема любое число раз на множестве (, ) (, ), а отображение (p, p) действует из (, ) в (, ) (, ) и непрерывно дифференцируемо на интервале (, ) любое число раз, то функция B(p, p) непрерывно дифференцируема на (, ) и на любом и 38

39 отрезке [, b] (, ) d dp ( ) B(p, p) = t p ln t + t dt, d dp ( B(p, p) ) = t p ln t + t Следовательно, последнее равенство имеет место на (, ), а искомый интеграл I равен d ( ) B(p, p) p=/4. Поскольку B(p, p) = π, p (, ), dp sin pπ то для всех p (, ) d ( π cos pπ ) dp (B(p, p)) = π sin pπ = π sin pπ π cos pπ π p sin 3 = pπ = π 3sin pπ + cos pπ sin 3 pπ = π 3 + cos pπ sin 3 pπ, dt. а значит, I = 64 π3 + cos π 4 sin 3 π 4 = 3π Задания для самостоятельной работы. Вычислить следующие интегралы. ) 3 e, ), 3) 5) 7) 9) 3 π/ 4, 4) ( + ) (3 ) 3, 6) 5 3 ( )3 ( ), 8) sin 3/ cos /, ) π/ 5 3 ( ), ( + )3 ( ), 4 ( + ) 3 3, sin, ) ( + 3), ) 39 ( + ),

40 3) 5) + 3, 4) + 3, 6) 4 ( + ), Найти область определения функций, заданных несобственными интегралами, зависящими от параметров, и вычислить их. ) n e, ) m e n, n >, 3) 5) 7) ( + ) n, 4), >, 6) e e e p, 8) n 3, n N, 3 m ( + ) n, p e, >, 9) e α, α >, ) α e β, β >, ) 3) 5) 7) 9) π/ n+e α/(), α >, ) sin m cos n, 4) ln p, 6) (ln )p, 8) ln( + ) m, ) π/ α ( ) α ( + ) 3, ( ln ) α β, tg α, rctg m, m, n >, 3 + n 4

41 ) 3) 5) 7) 9) 3) 33) 35) 37) 39) π/ π π/ π/4 π/4 π/ α, ) ( + ) tg α, 4) (sin + cos ) sin p, 6) + cos α, 8) ( + ) β sin α cos β, 3) (sin + cos ) α+β ( ) m cos + sin, 3) cos sin cos α, 34) π/ π b α +, α ( ) β, 3α 3 3, sin α, sin n, (, ), ( + cos ) n ln( + ) m, >, ( ) m (b ) n ( c) n+m+, < < b, c >, ln, 36) α +, p ln +, 38) ( ) p, 4) 3. Доказать равенства: α ln + 3, α ln +. ) 4 4 = π 4, 4

42 ) n n n = π n, 3) 4) 5) 6) n e 4 e 3 n n = m e n e 4 = π 8, e 3 = π 3 7, π n(n ) ctg π n, n >, e n n m = π n sin πm n, n >, n > m >. 4

43 Список литературы [] Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа. М.: Изд-во МФТИ.. [] Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ, т., т.. М.: Изд во МГУ. 979, 987. [3] Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. Задачи и упражнения по математическому анализу, т.. М.: Высшая школа.. [4] Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: учеб. для вузов. М.: Наука. 99. [5] Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Интегралы. Ряды. М.: Наука [6] Коршикова Т.И., Калиниченко Л.И., Кирютенко Ю.А. Курс лекций по математическому анализу, курс, -й семестр. Ростов-на-Дону: Изд-во ООО "ЦBBР". 7. [7] Коршикова Т.И., Калиниченко Л.И., Кирютенко Ю.А. Курс лекций по математическому анализу, курс, 3-й семестр. Ростов-на-Дону: Изд-во ООО "ЦBBР". 7. [8] Коршикова Т.И., Кирютенко Ю.А. Несобственные интегралы (методические указания к практическим занятиям). Ростов-на-Дону. Из-во ЮФУ.. 43

44 Содержание Поточечная и равномерная сходимость функции двух переменных 3. Задания для самостоятельной работы Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость 9. Задания для самостоятельной работы Свойства несобственного интеграла, зависящего от параметра 5 3. Непрерывность НИЗП Дифференцируемость НИЗП Задания для самостоятельной работы Гамма- и Бета- функции Эйлера Задания для самостоятельной работы

Лекция 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. 1. Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих

Лекция 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. 1. Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих Лекция НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЕРЛяликова, ЛИСпинко Несобственные

Подробнее

Лекция Несобственные интегралы

Лекция Несобственные интегралы Лекция..9. Несобственные интегралы Аннотация: Рассматриваются несобственные интегралы первого и второго рода. Вводится понятие главного значения несобственного интеграла. Определенный интеграл был введен

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики

Подробнее

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16.1. Рассмотрим произвольное множество X и последовательность функций f, определенных на X. Говорят, что последовательность f сходится поточечно

Подробнее

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им МВ Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ НТ Левашова, НЕ Шапкина НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Пособие для студентов II курса

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 9-10

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 9-10 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса -го семестра специальностей РЛ,,3,6, БМТ, Лекции 9- Признаки сходимости

Подробнее

Методические указания к решению задач на интегралы с параметром. Учебно-методическое пособие

Методические указания к решению задач на интегралы с параметром. Учебно-методическое пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского Методические указания к решению задач на интегралы с параметром Учебно-методическое пособие

Подробнее

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx.

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Лекция 5. Понятие несобственного интеграла -го рода, его вычисление. Критерий сходимости. Интегралы от положительных функций. Признаки сравнения, абсолютная

Подробнее

1. Определение и основные свойства интеграла Римана. Разбиением отрезка [a, b] называется набор точек. a = x 1 < x 2 < < x n+1 = b.

1. Определение и основные свойства интеграла Римана. Разбиением отрезка [a, b] называется набор точек. a = x 1 < x 2 < < x n+1 = b. 1. Определение и основные свойства интеграла Римана Определение разбиения Разбиением отрезка [, b] называется набор точек = x 1 < x 2 < < x n+1 = b. Разбиение обозначают буквой P. Разбиение может быть

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. Лекция 7. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость несобственного интеграла -го рода. Критерий Коши. Признаки

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

В.Ф. Бутузов, М.В. Бутузова НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Учебное пособие

В.Ф. Бутузов, М.В. Бутузова НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Учебное пособие МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов, М.В. Бутузова НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Учебное пособие Москва 6 Предисловие Учебное пособие

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

18-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

18-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр 8-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Исследовать следующие ряды на равномерную сходимость с помощью определения: Д 767

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы 7 Занятие Несобственные интегралы. Несобственные интегралы первого и второго рода Понятие определенного интеграла f() от ограниченной функции по конечному отрезку [; b] распространяют на случаи, когда

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

Несобственные интегралы первого рода

Несобственные интегралы первого рода ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им НИЛобачевского» Несобственные интегралы

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

УДК (072)(075.8)

УДК (072)(075.8) БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

22-е занятие. Дифференцирование СИЗП. Равномерная сходимость НИЗП Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

22-е занятие. Дифференцирование СИЗП. Равномерная сходимость НИЗП Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр 22-е занятие. Дифференцирование СИЗП. Равномерная сходимость НИЗП Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр ψ(α) d f(, α) = f(ψ(α), α)ψ (α) f(ϕ(α), α)ϕ (α) + dα ϕ(α) ψ(α) ϕ(α) f α(, α). 378а Найти F (α):

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Пусть X множество, -алгебра подмножеств множества X и на задана -аддитивная полная

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

УДК 517(075.8) ББК ISBN

УДК 517(075.8) ББК ISBN Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ» В.Н. Горбузов МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ Учебное

Подробнее

e (x α)2 dx (1) Решение. Заметим, что при фиксированном α R данный интеграл сходится e (x α)2 dx ε

e (x α)2 dx (1) Решение. Заметим, что при фиксированном α R данный интеграл сходится e (x α)2 dx ε МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Ориентировочный план семинаров, 4 семестр, 213 1. Интегралы, зависящие от параметра. 1.1. Понятие равномерной интегрируемости параметризованного семейства функций. Критерий Коши Больцано

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1)

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1) 8. Степенные ряды 8.. Функциональный ряд вида c n (z ) n, (8.) n= где c n числовая последовательность, R фиксированное число, а z R, называют степенным рядом с коэффициентами c n. Выполнив замену переменных

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

ТЕМА 1. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ. 3 0, n. Ряд сходится. В). Применим признак сравнения с гармоническим рядом: 1!!

ТЕМА 1. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ. 3 0, n. Ряд сходится. В). Применим признак сравнения с гармоническим рядом: 1!! ТЕМА РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ Выяснить, какие из указанных рядов сходятся, а какие нет А) cos - расходится не выполнено необходимое условие cos, Б) arctg Применим признак Даламбера:! arctg! arctg

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКТОРА математический анализ, 2 курс, 1 модуль

КОНСПЕКТ ЛЕКТОРА математический анализ, 2 курс, 1 модуль КОНСПЕКТ ЛЕКТОРА математический анализ, 2 курс, модуль ВШЭ, факультет математики, сентябрь-октябрь 22 А.М. Красносельский Лекция 3 сентября 22 Когда на м курсе было введено понятие определенного интеграла,

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

3. Признаки сходимости для интегралов с бесконечными пределами от неотрицательных функций

3. Признаки сходимости для интегралов с бесконечными пределами от неотрицательных функций 3. Признаки сходимости для интегралов с бесконечными пределами от неотрицательных функций Рассмотрим два знака менительно к несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом. Аналогичные знаки имеют

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА, К ВЫЧИСЛЕНИЮ НЕКОТОРЫХ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ.

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА, К ВЫЧИСЛЕНИЮ НЕКОТОРЫХ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ. Тема курса лекций: ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА, К ВЫЧИСЛЕНИЮ НЕКОТОРЫХ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ Лекция 8 Интеграл Эйлера-Пуассона Интеграл Лапласа Интеграл Френеля

Подробнее

Лекция 1. Функциональные ряды

Лекция 1. Функциональные ряды С А Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция Функциональные ряды Понятие функционального ряда Ранее мы изучали числовые ряды, т е членами ряда были числа Сейчас мы переходим к изучению функциональных рядов, т

Подробнее

Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Равномерная непрерывность функций одной переменной. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов, Н.Т. Левашова, Н.Е. Шапкина Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Подробнее

Список задач. для итогового контроля знаний по математическому анализу Группа НМ-101 Семестр 2. x x dx;

Список задач. для итогового контроля знаний по математическому анализу Группа НМ-101 Семестр 2. x x dx; Список задач для итогового контроля знаний по математическому анализу Группа НМ-101 Семестр 2 I. Неопределённый интеграл. Вычислить интеграл: 1. 1 sin 2x (0 x π); 2. 3. x 2 + 1 x 4 + 1 ; 3 sin 2 x 8 sin

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 30. Несобственные интегралы и их свойства. Условная и абсолютная сходимость. Признаки сходимости.

ЛЕКЦИЯ 30. Несобственные интегралы и их свойства. Условная и абсолютная сходимость. Признаки сходимости. ЛЕКЦИЯ Несобственные интегралы и их свойства Условная и абсолютная сходимость Признаки сходимости Определение определенного интеграла, его свойства и методы интегрирования рассматривались в предположении,

Подробнее

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1)

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1) 1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения (2006-2007, сем.1 1. Сформулируйте определение ограниченного множества вещественных чисел. 2. Сформулируйте определение

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ].

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ]. Лекция 8 Определённый интеграл Определенный интеграл Римана Пусть f ( ) некоторая функция, определенная на отрезке [, ] Произведем разбиение R отрезка [, ] на п частей: = < 1 < K < n = Выберем на каждом

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1 В.В. Жук, А.М. Камачкин 5 Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, возможность перестановки предельных переходов, интегрирование и дифференцирование рядов и последовательностей.

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Лекция 3. Интегральный признак

Лекция 3. Интегральный признак С. А. Лавренченко www.lwreceko.ru Лекция Интегральный признак Перед прослушиванием этой лекции рекомендуется повторить несобственные интегралы (лекция 9 и практическое занятие 9 из модуля «Интегральное

Подробнее

10. Несобственный интеграл

10. Несобственный интеграл . Несобственный интеграл ТЕОРИЯ При определении интеграла Римана от участвующих в нем объектов, а именно промежутка интегрирования и заданной на нем функции, предполагались выполненными следующие условия:

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

Тема: Степенные ряды.

Тема: Степенные ряды. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд Лектор Рожкова С.В. 3 г. 34. Степенные ряды Степенным рядом рядом по степеням называется

Подробнее

17-е занятие. Норма-супремум. Равномерная сходимость функциональных послед. Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

17-е занятие. Норма-супремум. Равномерная сходимость функциональных послед. Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр 17-е занятие. Норма-супремум. Равномерная сходимость функциональных послед. Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Норма-супремум функции f: X C определяется следующей формулой: f = sup f(). X Для краткости,

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега 1. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции 3 было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Подробнее

[ определение несобственного интеграла - несобственный интеграл по неограниченному промежутку (первого рода) - первый признак сходимости

[ определение несобственного интеграла - несобственный интеграл по неограниченному промежутку (первого рода) - первый признак сходимости [ определение несобственного интеграла - несобственный интеграл по неограниченному промежутку первого рода) - первый признак сходимости несобственного интеграла первого рода - второй признак сходимости

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра.

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Глава. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Определенный интеграл f ( d ) в главе был введен для случая ко нечного промежутка [, ] и ограниченной функции f (). Теперь это понятие

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

ω n =, а коэффициенты a n и

ω n =, а коэффициенты a n и Интеграл Фурье Действительная и комплексная формы записи интеграла Фурье Пусть f () непериодическая функция, определенная на всей числовой оси и удовлетворяющая условиям Дирихле на любом конечном промежутке

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

11. Несобственный интеграл

11. Несобственный интеграл . Несобственный интеграл.. Говоря в предыдущем параграфе об определенном интеграле, мы рассматривали ограниченные функции, заданные на ограниченных замкнутых промежутках числовой прямой (если хотя бы одно

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» А.В.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» А.В. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» АВ КОЗАК ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ Ростов-на-Дону 3 Козак АВ Название: Интегралы и ряды

Подробнее

n =1,2, K. Ряд называют

n =1,2, K. Ряд называют 2. Признаки сходимости знакоположительных рядов Ряд u называют знакоположительным, если все его члены неотрицательны, т.е. если u 0 для любого,2, K. Ряд называют знакоотрицательным, если все его члены

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ АДЫГЕЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК ЗАМЯТИН ВН ШАОВА СМ ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие Майкоп УДК 7(78) ББК 6Я7-6 Печатается по решению

Подробнее

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. Многомерный анализ, интегралы и ряды «Прикладные математика и физика» базовая часть 6 зач. ед.

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. Многомерный анализ, интегралы и ряды «Прикладные математика и физика» базовая часть 6 зач. ед. по дисциплине: по направлению подготовки факультеты: кафедра: курс: семестр: 2 Трудоёмкость: лекции: УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе и экономическому развитию 29 января 2016 г. ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ

Подробнее

Интегралы, зависящие от параметров

Интегралы, зависящие от параметров Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

Математический анализ. Введение [1,3,4]

Математический анализ. Введение [1,3,4] I Краткие исторические сведения Математический анализ Введение [1,3,4] Математический анализ часть математики, в которой изучаются функции и их обобщения методами теории пределов Поскольку понятие предела

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ] 8 Барроу Исаак (Brrow Is) -77 английский математик, филолог, богослов. Профессор Кембриджского университета. Автор труда лекции по оптике и геометрии (9-7). Из теоремы следует, что определенный интеграл

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Министерство образования Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа Математический анализ Методические указания Ярославль Составители: МВ Ануфриенко

Подробнее

ФОРМУЛИРОВКИ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. ВТОРОЙ СЕМЕСТР (1998 Г.) Содержание

ФОРМУЛИРОВКИ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. ВТОРОЙ СЕМЕСТР (1998 Г.) Содержание ФОРМУЛИРОВКИ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. ВТОРОЙ СЕМЕСТР (1998 Г.) А.В.СТЕПАНОВ Содержание Часть 1. Дифференциальное исчисление (продолжение) 2 1. Элементы дифференциальной геометрии 2 2. Дифференцирование

Подробнее

В этом случае говорят, что несобственный интеграл. интегрируема в несобственном смысле на [a,b). Если предел при b. dx называется расходящимся.

В этом случае говорят, что несобственный интеграл. интегрируема в несобственном смысле на [a,b). Если предел при b. dx называется расходящимся. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Определение. Свойства. Признаки сходимости. Примеры с решениями. Определение Пусть функция f() определена для всех а и интегрируема на любом

Подробнее

Практикум по курсу математического анализа

Практикум по курсу математического анализа ЯА Барлукова, СФ Долбеева Практикум по курсу математического анализа Часть II Улан- Удэ Министерство образования Российской Федерации Бурятский государственный университет ЯА Барлукова СФ Долбеева ПРАКТИКУМ

Подробнее

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2011

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2011 Chir of Mth. Anlysis, SPb. Stte University. A.V.Poteun, Исследование сходимости несобственных интегралов Методические указания для решения задач А. В. Потепун Как известно (см. [], глава III, 7), если

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Учебное пособие Москва 05 Предисловие

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

М. В. Дейкалова КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ Вопросы к экзамену (группа МХ-201, 2015) Вопросы первого коллоквиума 1

М. В. Дейкалова КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ Вопросы к экзамену (группа МХ-201, 2015) Вопросы первого коллоквиума 1 М. В. Дейкалова КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ Вопросы к экзамену (группа МХ-21, 215) Вопросы первого коллоквиума 1 1. Дифференцируемость функции комплексного переменного в точке. Условия Коши Римана (Даламбера Эйлера).

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новгородский государственный университет имени

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ϕ x называется. ϕ называется финитной, δ примет следую- ε, то предельная плотность ( x) δ нельзя восстановить массу при помощи

( ) ( ) ( ) ( ) ϕ x называется. ϕ называется финитной, δ примет следую- ε, то предельная плотность ( x) δ нельзя восстановить массу при помощи Лекция 6 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Общие понятия Пространства основных и обобщенных функций 3 Операции над обобщенными функциями Общие понятия Понятие обобщенной функции было вызвано не стремлением к обобщениям

Подробнее

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Химический факультет.

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Химический факультет. Московский Государственный Университет им МВЛомоносова Химический факультет Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока Третий семестр Числовые ряды Дифференциальные

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее