Матричные вычисления и нормальное распределение

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Матричные вычисления и нормальное распределение"

Транскрипт

1 Курс: Байесовские методы машинного обучения, Дата: 9 октября Матричные вычисления и нормальное распределение Дивергенция Кульбака-Лейблера 5 p(x) (x) 5 p(x) (x) KL( p) min -5 5 KL(p ) min Рис : Приближение двумодального распределения p(x) с помощью одномодального распределения (x) Дивергенция Кульбака-Лейблера KL( p) является мерой расстояния между двумя вероятностными распределениями (x) и p(x): KL( p) = КЛ-дивергенция обладает следующими свойствами: KL( p) и = (x) p(x), KL( p) KL(p ) (x) log p(x) (x) dx Докажем первое свойство Для этого рассмотрим произвольную строго вогнутую функцию f(y) Тогда по определению f(αy + ( α)y ) αf(y ) + ( α)f(y ), y, y, α [, ], причем равенство достигается, если y = y или α =, Это неравенство может быть обобщено на случай большего числа точек y: f(α y + + α N y N ) α f(y ) + + α N f(y N ), α n =, α n Последнее неравенство известно как неравенство Йенсена и может быть легко доказано по индукции Переходя в этом неравенстве от сумм к интегралам, получаем следующее обобщение: ( ) f α(x)y(x)dx α(x)f(y(x))dx, α(x)dx =, α(x) x Подставляя в последнее неравенство для функции log значения α(x) = (x), y(x) = p(x) (x), получаем: ( = log (x) p(x) ) (x) dx (x) log p(x) dx = KL( p) (x) Так как коэффициенты (x), вообще говоря, отличны от нуля, то равенство в последнем неравенстве достигается только при y(x) = const, те (x) p(x) Влияние несимметричности КЛ-дивергенции Рассмотрим задачу аппроксимации распределения p(x) с помощью распределения (x) Будем искать приближение двумя способами:

2 KL( p) min, KL(p ) min В первом случае аппроксимация ищется в области высоких значений Поэтому итоговое распределение, как правило, хорошо приближает распределение p(x) только на подмножестве носителя p(x) (см рис, слева) Во втором случае аппроксимация ищется сразу для всего носителя распределения p(x) (см рис, справа) Матричные вычисления Здесь и далее вектора будут обозначаться жирным шрифтом x, y,, а матрицы заглавными буквами A, B, При этом под вектором всегда будет пониматься вектор-столбец x = [x,, x d ] T, индекс T обозначает транспонирование Например, запись x T Ay означает i,j a ijx i y j Использование матрично-векторной нотации часто оказывается удобным с точки зрения вывода формул в многомерном пространстве Кроме того, матричная запись позволяет в некоторых случаях повысить эффективность вычисления соответствующих формул на компьютере Например, эффективность современных алгоритмов вычисления произведения двух матриц AB имеет сложность n α, где n размерность матрицы, а α < 4 Основные матричные операции представлены в таблице Здесь под производной скалярной функции f(x) по вектору x понимается градиент f(x) x = [ f(x) x лярной функции f(a) по матрице A матрица частных производных,, f(x) x d ] T, под производной ска- ( ) f(a) A = f(a) a ij, под производной вектор-функции f(x) по скалярному аргументу x вектор f(x) x = [ f (x) x производной матричной функции A(x) по скалярному аргументу матрица ij ( A(x) x,, f d(x) ) x ]T, под = A ij(x) x ij Таблица : Основные матричные тождества Базовые операции: A(B + C) = AB + AC, (A + B) T = A T + B T, (AB) T = B T A T, (AB) = B A, (A ) T = (A T ) Производные следа и определителя: A tr AB = BT, A det A = (det A)(A ) T, x log det A(x) = tr ( ) A A x След и определитель: det(ab) = det A det B, det(a ) = / det A, det A = j λ j, tr A = j A jj = j λ j, tr(abc) = tr(bca) = tr(cab) Производные: x xt a = a, x xt Ax = (A + A T )x, A xt Ay = xy T, x A A = A x A Используя свойства из таблицы, легко показать, например, что x (t Ax)T (t Ax) = x [tt t x T A T t + x T A T Ax] = A T t + A T Ax = A T (Ax t) Рассмотрим некоторые случаи использования матричных операций для повышения эффективности вычислений на компьютере Пусть необходимо решить систему линейных уравнений с невырожденной квадратной положительно-определенной матрицей Ax = t Прямое решение данной системы x = A t требует вычисления обратной матрицы A Вычисление обратной матрицы численно неустойчивая процедура, особенно для плохо обусловленных матриц Однако, в данном случае нам не требуется знать полностью значение обратной матрицы, достаточно знать лишь вектор A t Для его эффективного вычисления воспользуемся разложением Холецкого A = RR T,

3 p(x где R нижнетреугольная матрица, те матрица, у которой все элементы выше главной диагонали равны нулю Тогда { Ax = t R R }{{ T Ry = t, x } = t R T x = y y Таким образом, решение системы линейных уравнений Ax = t эквивалентно решению двух систем линейных уравнений с треугольными матрицами Эти системы могут быть легко решены путем последовательного исключения неизвестных Другой пример связан с вычислением выражения log det A для положительно-определенной матрицы A Снова воспользуемся разложением Холецкого: A = RR T, log det A = log det RR T = log det R = i log R ii Рассмотрим четыре матрицы A R n n, C R m m, U R n m, V R m n Тогда справедливы следующие утверждения: (A + UCV ) = A A U(C + V A U) V A тождество Вудбери, det(a + UCV ) = det A det C det(c + V A U) лемма об определителе матрицы Предположим, что n m и величины A, det A известны Тогда данные утверждения позволяют свести вычисление обратной матрицы и определителя матрицы размера n n к вычислению обратной матрицы и определителя матрицы размера m m Нормальное распределение Случайная величина x R имеет нормальное (гауссовское) распределение с параметрами µ и σ, если ее плотность задается выражением (см рис,а) p(x µ, σ ) = N (x µ, σ ) = ) (x µ) exp ( πσ σ, σ > Плотность распределения x (a) 4 (б) x Рис : Плотность одномерного (а) и многомерного (б) нормальных распределений Параметры µ и σ определяют, соответственно, матожидание и дисперсию нормальной случайной величины По центральной предельной теореме среднее арифметическое независимых случайных величин с ограниченными матожиданием и дисперсией стремится к нормальному распределению Поэтому это распределение часто используется в качестве модели шума, который определяется суммой большого количества независимых друг от друга случайных факторов Из неравенства Чебышева известно, что для произвольной одномерной случайной величины с конечными матожиданием и дисперсией вероятность отклонения от своего матожидания на k

if ($this->show_pages_images && $page_num < DocShare_Docs::PAGES_IMAGES_LIMIT) { if (! $this->doc['images_node_id']) { continue; } // $snip = Library::get_smart_snippet($text, DocShare_Docs::CHARS_LIMIT_PAGE_IMAGE_TITLE); $snips = Library::get_text_chunks($text, 4); ?>

4 (a) (б) (в) Рис : Линии уровня различных нормальных распределений: (а) нормальное распределение с матрицей ковариации, пропорциональной единичной Σ = αi, (б) нормальное распределение с диагональной матрицей ковариации, (в) нормальное распределение с матрицей ковариации общего вида стандартных отклонений не превышает /k В частности, для k = эта вероятность отклонения составляет % Однако, для нормального распределения вероятность отклонения от своего матожидания на стандартных отклонения составляет всего %, что намного меньше общего случая Этот факт известен как «правило трех сигма» Таким образом, для нормального распределения большие отклонения от матожидания практически невозможны Говорят, что нормальное распределение имеет очень легкие хвосты Это обстоятельство необходимо учитывать при приближении случайных величин нормальными Случайная величина x = (x,, x d ) R d имеет многомерное нормальное распределение с параметрами µ R d и Σ R d d, если ее плотность задается выражением (см рис,б) ( p(x µ, Σ) = N (x µ, Σ) = d exp ) π det Σ (x µ)t Σ (x µ) Параметр µ является матожиданием, а Σ матрицей ковариации нормального распределения Матрица Σ является симметричной и положительно определенной (в дальнейшем положительная определенность будет обозначаться как Σ ) Нормальное распределение полностью определяется своими первым и вторым моментом, те матожиданием и матрицей ковариации В частности, все зависимости между переменными x i - го и более порядков (например, выражения вида Ex i x i x im, m > ) являются функциями от зависимостей порядка Линии уровня плотности нормального распределения соответствуют линиям уровня квадратичной формы (x µ) T Σ (x µ) и представляют собой эллипсы Можно выделить три основных вида этих линий уровня (см рис ) в зависимости от значения матрицы ковариации Если матрица ковариации пропорциональна единичной, те имеет вид Σ = αi, то все компоненты нормального распределения x i являются независимыми друг от друга и имеют одинаковую дисперсию α Линии уровня при этом образуют окружности Диагональная матрица ковариации соответствует независимым компонентам x i, но с различными дисперсиями Линии уровня в этом случае являются эллипсами, параллельными координатным осям Наконец, произвольная положительная определенная матрица ковариации соответствует эллипсам общего вида Матрица квадратичной формы (x µ) T Σ (x µ) является симметричной и положительно определенной Поэтому с помощью ортогонального преобразования координат (поворота координатных осей) эту квадратичную форму можно привести к каноническому виду с положительными коэффициентами: (x µ) T Σ (x µ) = { ˆx = Q(x µ) Q = Q T } = i Здесь s i > собственные значения матрицы Σ, а матрица поворота Q состоит из собственных векторов матрицы Σ При этом значения s i определяют длины полуосей эллипса, соответствующего линии уровня нормальной плотности exp( /)/( π d det Σ), а базис в пространстве координат ˆx определяется собственными векторами матрицы Σ (см рис 4а) ˆx i s i 4

5 x x^ x b x b = 7 p(x a x b = 7) s / s / x^ 5 p(x a,x b) 5 p(x a) x 5 x a 5 x a (a) (б) (в) Рис 4: (a) линия уровня нормальной плотности, соответствующая значению exp( /)/( π d det Σ), (б) линии уровня нормального распределения общего вида p(xa, x b ) в двухмерном пространстве, (в) маргинальное распределение p(x a ) (синяя кривая) и условное маргинальное распределение p(x a x b = 7) (красная кривая) Разобьем вектор x на две группы переменных x a, x b и обозначим [ ] [ ] [ ] [ ] xa µa Σaa Σ x =, µ =, Σ = ab, Λ = Σ Λaa Λ = ab x b µ b Σ ba Σ bb Λ ba Λ bb Матрицу Λ называют также матрицей точности Тогда можно показать, что p(x a ) = N (x a µ a, Σ aa ), () p(x a x b ) = N (x a µ a Λ aa Λ ab (x b µ b ), Λ aa ) Этот результат означает, что вектор матожиданий µ состоит из матожиданий отдельных компонент x i, а на диагонали матрицы ковариации Σ стоят дисперсии соответствующих компонент x i Кроме того, у многомерного нормального распределения все маргинальные и маргинальные условные распределения также являются нормальными (см рис 4б,в) Рассмотрим величину y R D, которая с точностью до нормального шума связана линейно с величиной x, те Тогда можно показать, что p(y x) = N (y Ax, Γ), A R D d, Γ R D D, p(x) = N (x µ, Σ), µ R d, Σ R d d p(y) = N (y Aµ, Γ + AΣA T ), () p(x y) = N (x P (A T Γ y + Σ µ), P ), P = (Σ + A T Γ A) () В частности, если Γ =, то результат () говорит о том, что любые линейные комбинации компонент нормального распределения также распределены нормально Найдем оценки максимального правдоподобия для параметров нормального распределения µ, Σ Пусть имеется нор выборка объема N X = {x,, x N }, взятая из распределения N (x µ, Σ) Тогда оценки максимального правдоподобия являются решениями следующей задачи: p(x µ, Σ) = n N (x n µ, Σ) max µ,σ Переходя к логарифму, получаем: log p(x µ, Σ) = (x n µ) T Σ (x n µ) log det Σ + Const 5

6 Отсюда ) µ log p(x µ, Σ) = NΣ µ Σ x n = Σ (Nµ x n = µ ML = N Для получения оценки Σ ML удобно перейти к матрице точности Λ: Λ log p(x µ, Σ) = ( Λtrace Λ ) (x n µ)(x n µ) T + det Λ Λ det Λ = (x n µ)(x n µ) T + det Λ det ΛΛ = Σ ML = Λ ML = N x n (x n µ)(x n µ) T 6

Заметки по матричным вычислениям и нормальному распределению

Заметки по матричным вычислениям и нормальному распределению Заметки по матричным вычислениям и нормальному распределению Матричные вычисления Здесь и далее вектора будут обозначаться жирным шрифтом x,y,, а матрицы заглавными буквами A,B, При этом под вектором всегда

Подробнее

Семинары по байесовским методам

Семинары по байесовским методам Семинары по байесовским методам Евгений Соколов sokolov.evg@gmail.com 5 декабря 2014 г. 2 Нормальный дискриминантный анализ Нормальный дискриминантный анализ это частный случай байесовской классификации,

Подробнее

А. С. Конушин 1 Д. П. Ветров 2 Д. А. Кропотов 3 В. С. Конушин 1 О. В. Баринова 1. Спецкурс «Структурные методы анализа изображений и сигналов»

А. С. Конушин 1 Д. П. Ветров 2 Д. А. Кропотов 3 В. С. Конушин 1 О. В. Баринова 1. Спецкурс «Структурные методы анализа изображений и сигналов» А. С. Конушин 1 Д. П. 2 Д. А. Кропотов 3 В. С. Конушин 1 О. В. Баринова 1 1 МГУ, ВМиК, лаб. КГ 2 МГУ, ВМиК, каф. ММП 3 ВЦ РАН Спецкурс «Структурные методы анализа изображений и сигналов» План 1 2 3 Задачи

Подробнее

Линейные динамические системы. Фильтр Калмана.

Линейные динамические системы. Фильтр Калмана. Линейные динамические системы. Фильтр Калмана. Ликбез: некоторые свойства нормального распределения Плотность распределения.4.3.. -4 x b.5 x b =.7 5 p(x a x b =.7) - x p(x a,x b) p(x a) 4 3 - - -3 x.5

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

V и λ R ) выполняются равенства

V и λ R ) выполняются равенства Линейные преобразования Определение линейного преобразования Пусть V линейное пространство Если указано правило по которому каждому вектору x из V ставится в соответствие единственный вектор y из V то

Подробнее

Д. П. Ветров 1 Д. А. Кропотов 2

Д. П. Ветров 1 Д. А. Кропотов 2 решение Лекция 8. Д. П. Ветров 1 Д. А. 2 1 МГУ, ВМиК, каф. ММП 2 ВЦ РАН Спецкурс «Байесовские методы машинного обучения» План лекции решение 1 Дифференцирование матриц Задача оптимального распределения

Подробнее

11. Задача о собственных векторах

11. Задача о собственных векторах Задача о собственных векторах 59 Линейные преобразования Вновь вернёмся к линейным преобразованиям A : L L как частному случаю линейных отображений В этом случае пространства совпадают и мы в обеих пространствах

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

EM-алгоритм. Д. П. Ветров 1 Д. А. Кропотов 2 А. А. Осокин 1. Спецкурс «Байесовские методы машинного обучения» EM-алгоритм. Ветров, Кропотов, Осокин

EM-алгоритм. Д. П. Ветров 1 Д. А. Кропотов 2 А. А. Осокин 1. Спецкурс «Байесовские методы машинного обучения» EM-алгоритм. Ветров, Кропотов, Осокин Д. П. Ветров 1 Д. А. Кропотов 2 А. А. 1 1 МГУ, ВМиК, каф. ММП 2 ВЦ РАН Спецкурс «Байесовские методы машинного обучения» План лекции 1 Дифференцирование матриц 2 Нормальное распределение Постановка задачи

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

Вариационный вывод в графических моделях

Вариационный вывод в графических моделях Вариационный вывод в графических моделях Задача приближённого вывода в вероятностных моделях Рассмотрим задачу вывода в вероятностных моделях в следующей постановке. Пусть имеется некоторое вероятностное

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинникова Высшая математика I Практикум по линейной алгебре и аналитической

Подробнее

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора. Материалы к установочной лекции Вопрос 9. Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.. Матричное представление линейных операторов Будем обозначатьчерез

Подробнее

А. С. Конушин 1 Д. П. Ветров 2 Д. А. Кропотов 3 В. С. Конушин 1 О. В. Баринова 1. Спецкурс «Структурные методы анализа изображений и сигналов»

А. С. Конушин 1 Д. П. Ветров 2 Д. А. Кропотов 3 В. С. Конушин 1 О. В. Баринова 1. Спецкурс «Структурные методы анализа изображений и сигналов» . Фильтр. Фильтр А. С. Конушин 1 Д. П. Ветров 2 Д. А. 3 В. С. Конушин 1 О. В. Баринова 1 1 МГУ, ВМиК, лаб. КГ 2 МГУ, ВМиК, каф. ММП 3 ВЦ РАН Спецкурс «Структурные методы анализа изображений и сигналов»

Подробнее

Лекция 3. Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович

Лекция 3. Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция 3 Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович Курс «Математические основы теории прогнозирования» 4-й курс, III поток Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

Конспект лекции 8 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II

Конспект лекции 8 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II Конспект лекции 8 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II 0 План лекции Лекция Определители II 4 Существование и единственность определителя Продолжение 44 Теорема о равенстве deta = deta T Определители специального вида 5 Лемма

Подробнее

Q n (z) = b 0 + b 1 z + + b n z n

Q n (z) = b 0 + b 1 z + + b n z n Е.М. Карчевский, И.Л. Александрова, К.Н. Стехина Семинары по линейной алгебре и аналитической геометрии Часть 2 Учебное пособие Казанский университет 2015 Оглавление Предисловие...................................

Подробнее

Лекция 11. Приближенные способы вывода. Методы Монте Карло с. процессы. Д. П. Ветров 1 Д. А. Кропотов 2

Лекция 11. Приближенные способы вывода. Методы Монте Карло с. процессы. Д. П. Ветров 1 Д. А. Кропотов 2 способы вывода. Д. П. Ветров 1 Д. А. 2 1 МГУ, ВМиК, каф. ММП 2 ВЦ РАН Спецкурс «Байесовские методы машинного обучения» План лекции 1 Случайные процессы 2 -Карло Простейшие методы цепями 3 регрессии классификации

Подробнее

Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах

Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах 1. СОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР Пусть U УП, A ЛО в U. Оператор A называется сопряженным по отношению к ЛО A, если для любых векторов x, y U выполняется

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

Конспект лекции «Линейные динамические системы. Фильтр Калмана.» по спецкурсу «Структурные методы анализа изображений и сигналов» 2011

Конспект лекции «Линейные динамические системы. Фильтр Калмана.» по спецкурсу «Структурные методы анализа изображений и сигналов» 2011 Конспект лекции «Линейные динамические системы. Фильтр Калмана.» по спецкурсу «Структурные методы анализа изображений и сигналов» 211 Ликбез: некоторые свойства нормального распределения. Пусть x R d распределен

Подробнее

1 Элеметарная теория погрешностей. 2

1 Элеметарная теория погрешностей. 2 Содержание Элеметарная теория погрешностей. Решение СЛАУ. 4. Нормы в конечномерных пространствах... 4. Обусловленность СЛАУ............ 5.3 Итерационные методы решения линейных систем......................

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Д.П. Ветров 1 Д.А. Кропотов 2

Д.П. Ветров 1 Д.А. Кропотов 2 регрессии Д.П. Ветров 1 Д.А. 2 1 МГУ, ВМиК, каф. ММП 2 ВЦ РАН Спецкурс «Байесовские методы машинного обучения» План лекции регрессии 1 2 регрессии 3 Матричные тождества регрессии Тождество Шермана-Моррисона-Вудбери

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

1 Билинейная и квадратичная формы.

1 Билинейная и квадратичная формы. 1 Билинейная и квадратичная формы. Пусть ϕ(x, y) числовая функция, заданная на линейном пространстве, то есть ϕ : L L R. Если ϕ(x, y) линейна по каждому из своих аргументов, то её называют билинейной формой.

Подробнее

1. Численные методы решения уравнений

1. Численные методы решения уравнений 1. Численные методы решения уравнений 1. Системы линейных уравнений. 1.1. Прямые методы. 1.2. Итерационные методы. 2. Нелинейные уравнения. 2.1. Уравнения с одним неизвестным. 2.2. Системы уравнений. 1.

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач.

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных

Подробнее

А. П. ИВАНОВ, Ю. В. ОЛЕМСКОЙ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МИНИМИЗАЦИЯ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ

А. П. ИВАНОВ, Ю. В. ОЛЕМСКОЙ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МИНИМИЗАЦИЯ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ, Ю. В. ОЛЕМСКОЙ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МИНИМИЗАЦИЯ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ Методические

Подробнее

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных).

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных). Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных. Зададим некоторое начальное приближение [,b] и линеаризуем функцию f( в окрестности с помощью отрезка ряда Тейлора f( = f( + f '( ( -. (5 Вместо уравнения ( решим

Подробнее

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН -МЕРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить числовые характеристики системы двух случайных величин: начальные и центральные моменты ковариацию

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x.

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x. Демонстрационный вариант 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. 2. Найдите базис системы

Подробнее

Лекция 4. a 1 1 a 1 2 a 1 n. a 2 1 a 2 2 a 2 n. a m 1 a m 2 a m n. (2) первый индекс номер строки, а второй номер столбца: a 11 a 12 a 1n

Лекция 4. a 1 1 a 1 2 a 1 n. a 2 1 a 2 2 a 2 n. a m 1 a m 2 a m n. (2) первый индекс номер строки, а второй номер столбца: a 11 a 12 a 1n Лекция 4 1. МАТРИЦЫ 1.1. Основные определения. Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел элементов матрицы, состоящая из m строк и n столбцов. Нумерация элементов матрицы: 1 верхний индекс номер

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Билинейные и квадратичные формы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е,

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Лекция 11: Обратная матрица

Лекция 11: Обратная матрица Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение обратной матрицы Определение Пусть A произвольная матрица. Матрица B называется

Подробнее

Программа курса математического анализа

Программа курса математического анализа Программа курса математического анализа 1-й курс 2-й семестр 2015-2016 уч. года М. Э. Казарян 1. Изображение кривых, заданных параметрически и неявно. Особые и характерные точки. Изображение кривой в окрестности

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

Конспект лекции «Уменьшение размерности описания данных: метод главных компонент» по курсу «Математические основы теории прогнозирования» 2011

Конспект лекции «Уменьшение размерности описания данных: метод главных компонент» по курсу «Математические основы теории прогнозирования» 2011 Конспект лекции «Уменьшение размерности описания данных: метод главных компонент» по курсу «Математические основы теории прогнозирования» 2 Проблема анализа многомерных данных При решении различных задач

Подробнее

Лекция 2. Вероятностная постановка задач классификации и регрессии.

Лекция 2. Вероятностная постановка задач классификации и регрессии. задач задач Д. П. Ветров 1 Д. А. 2 1 МГУ, ВМиК, каф. ММП 2 ВЦ РАН Спецкурс «методы» План лекции задач 1 Нормальное распределение Решение несовместных СЛАУ 2 Вероятностное описание правила 3 Классическая

Подробнее

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами ВТОРОЙ СЕМЕСТР Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами 1.1. a Известно, что многочлен f(x дает остаток x + 1 при делении на x 2 + 1 и остаток 3 при делении на x + 2. Найдите остаток при

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Квадратичные формы. Закон

Квадратичные формы. Закон Материалы к установочной лекции Вопрос 10. Квадратичные формы. Закон инерции. Условия знакоопределенности квадратичных форм. 1 Приведение квадратичной формы к каноническому виду по методу Лагранжа. Обозначения.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления УДК 6-5 Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления К.А. Рыбаков В статье вводится понятие спектральных характеристик линейных

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 1 Многомерная случайная величина X = (X 1,X 2,,X n ) это совокупность случайных величин X i (i =1,2,,n), заданных на одном и том же вероятностном пространстве Ω. Закон распределения

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

Сборник тестовых заданий

Сборник тестовых заданий федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М. В. ИШХАНЯН, А.И.

Подробнее

Билет 1 1. Матрицы, действия над ними. 2. Уравнение параболы в канонической системе координат.

Билет 1 1. Матрицы, действия над ними. 2. Уравнение параболы в канонической системе координат. Билет. Матрицы, действия над ними.. Уравнение параболы в канонической системе координат. Билет. Свойства матричных операций.. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между ними, условия параллельности

Подробнее

Нейронные сети. Краткий курс

Нейронные сети. Краткий курс Нейронные сети Краткий курс Лекция 7 Модели на основе теории информации Рассмотрим информационно теоретические модели, которые приводят к самоорганизации В этих моделях синаптические связи многослойной

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7.

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ Содержание. Полилинейные отображения 2. Перестановки 3. Определение и формула для вычисления определителя 2 4. Свойства определителя 2 5. Формула для элементов обратной

Подробнее

ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ

ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ .. Скалярные гиперслучайные величины 4 ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГЛАВА ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ВЕЛИЧИНЫ Введены понятия гиперслучайного события и гиперслучайной величины. Предложен ряд характеристик и параметров

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

c 1 1 n... c n C =... = (c k k )n n c 1 c1 n c k

c 1 1 n... c n C =... = (c k k )n n c 1 c1 n c k Лекция 12 1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И КООРДИНАТ 11 Преобразование базисов и координат в линейном пространстве Пусть V K линейное пространство над числовым полем K, dim V n, e 1,, e n старый базис в V, e

Подробнее

Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр

Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр М.Ф. Насрутдинов 19 ноября 2010 г. Оглавление 1 Линейные векторные пространства 5 1.1 Векторные пространства. Определение и примеры........... 5 1.1.1

Подробнее

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа ВВ Колыбасова, НЧ Крутицкая В В Колыбасова, Н Ч Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном

Подробнее

Вопросы, входящие в состав экзаменационных билетов по линейной алгебре, II, III потоки

Вопросы, входящие в состав экзаменационных билетов по линейной алгебре, II, III потоки Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Физический факультет. Кафедра математики Внимание! Все утверждения необходимо доказывать Вопросы, входящие в состав экзаменационных билетов по

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

Лекция 4. Доверительные интервалы

Лекция 4. Доверительные интервалы Лекция 4. Доверительные интервалы Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2013 1 / 49 Cодержание Содержание 1 Доверительные

Подробнее

1 Экспонента линейного оператора.

1 Экспонента линейного оператора. 134 1. ЭКСПОНЕНТА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА. 1 Экспонента линейного оператора. 1.1 Напоминание: геометрическая формулировка основной задачи ОДУ. Напомним, что векторное поле это отображение, которое каждой точке

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование),

Подробнее

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора.

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора. Построение базисов в ядре и образе линейного оператора 1 Речь пойдёт о построении базисов в ядре и образе линейного оператора Будут рассмотрены два примера: первый пример с пояснениями; второй как образец

Подробнее

Матрицы и системы линейных уравнений

Матрицы и системы линейных уравнений Глава 7 Матрицы и системы линейных уравнений 7 Матричные операции Пусть K произвольное кольцо Таблица a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n, a m a m2 a mn в которой a ij K i =,2,,m; j =,2,,n, называется матрицей

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений ) Понятие СЛАУ ) Правило Крамера решения СЛАУ ) Метод Гаусса 4) Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли 5) Решение СЛАУ обращением матриц, понятие обусловленности матриц ) Понятие СЛАУ О. СЛАУ система

Подробнее

ВЕРОЯТНОСТНЫЙ ПОДХОД К СРАВНЕНИЮ ИНТЕРВАЛЬНОГО И ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОГО ОЦЕНИВАНИЯ

ВЕРОЯТНОСТНЫЙ ПОДХОД К СРАВНЕНИЮ ИНТЕРВАЛЬНОГО И ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОГО ОЦЕНИВАНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫЙ ПОДХОД К СРАВНЕНИЮ ИНТЕРВАЛЬНОГО И ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОГО ОЦЕНИВАНИЯ А.И. Овсеевич ИПМех РАН Рассматривается задача умножения с гарантированной точностью неопределенного вектора x R на точно известную

Подробнее

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А 8 Методические рекомендации по выполнению контрольны работ, курсовы работ К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А Д и с ц и п л и н а «М а т е м а т и к а» ) Решить систему линейны уравнений методом Гаусса 7

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В предыдущих трех

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л И Магазинников, А Л Магазинникова ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

Линейная алгебра: учебно-методический материал для подготовки к зачету

Линейная алгебра: учебно-методический материал для подготовки к зачету Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Финансовая академия при правительстве Российской Федерации (ФИНАКАДЕМИЯ) Кафедра «Математика» ОБСУЖДЕНО Протокол

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

Экзамен по аналитической геометрии 2009/2010 учебный год I поток (лектор А. В. Овчинников)

Экзамен по аналитической геометрии 2009/2010 учебный год I поток (лектор А. В. Овчинников) Экзамен по аналитической геометрии 2009/200 учебный год I поток (лектор А. В. Овчинников) Список вопросов к первой части экзамена Цель первой части экзамена проверка знания основных определений и формулировок

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Некоторые решения задач из лекции 8.

Некоторые решения задач из лекции 8. кафедра Проблемы теор. физики, II курс Введение в теорию групп Некоторые решения задач из лекции 8. Задача 4. а) Алгебра Ли so(3, R) изоморфна алгебре векторов R 3. б) Обозначим через SU(2) группу унитарных

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее