СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА."

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» В. К. Манжосов СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ ПЛОСКИЕ РАМЫ (СТАТИКА, ДИНАМИКА) Учебное пособие Ульяновск, УлГТУ 06

2 УДК 64.04(075) ББК 8.я7 М Рецензенты: зав. кафедрой «Проектирование и сервис автомобилей» УлГУ, д-р техн. наук А. Ш. Хусаинов; доцент кафедры ОПД УВАУГА (И) И. Н. Карпунина Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия М Манжосов, В. К. Строительная механика. Статически неопределимые плоские рамы (статика, динамика) : учебное пособие / В. К. Манжосов. Ульяновск : УлГТУ, с. ISBN Составлено в соответствии с учебными программами по дисциплине «Строительная механика» для направления «Строительство». Учебное пособие предназначено для изучения методов расчета статически неопределимых плоских рам, выполнения расчетно-проектировочных и контрольных заданий, предусмотренных рабочими программами по дисциплине. Работа подготовлена на кафедре «Теоретическая и прикладная механика и строительные конструкции». УДК 64.04(075) ББК 8.я7 Учебное электронное издание МАНЖОСОВ Владимир Кузьмич СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ ПЛОСКИЕ РАМЫ (СТАТИКА, ДИНАМИКА) Учебное пособие ЭИ 776. Объем данных,87 Мб. Редактор Ю. С. Лесняк ЛР от Печатное издание Подписано в печать Формат 6084/6. Усл. печ. л. 9,06. Тираж 75 экз. Заказ 966. Ульяновский государственный технический университет, 407, г. Ульяновск, Сев. Венец,. ИПК «Венец» УлГТУ, 407, г. Ульяновск, Сев. Венец,. Тел.: (84) 778- E-mai: Манжосов В. К., 06 ISBN Оформление. УлГТУ, 06

3 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 5. СТАТИКА. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ ПЛОСКОЙ РАМЫ МЕТОДОМ СИЛ.. Основные понятия..... Статическая неопределимость плоской стержневой системы... Основная и эквивалентная системы при расчете статически неопределимой системы методом сил.4. Канонические уравнения метода сил...5. Определение коэффициентов при неизвестных силах и перемещений точек приложения неизвестных сил Пример. Расчет статически неопределимой плоской рамы методом сил.7. Контрольные вопросы по теме «Расчет статически неопределимой плоской рамы методом сил».8. Тестовые задания по теме «Расчет статически неопределимой плоской рамы методом сил»... СТАТИКА. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ ПЛОСКОЙ РАМЫ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ.. Основные понятия.... Кинематический анализ.. Построение основной системы..4. Схемы нагружения однопролетных статически неопределимых балок.5. Канонические уравнения метода перемещений...6. Определение коэффициентов и свободных членов канонических уравнений..6.. Плоская рама, степень кинематической неопределимости которой равна единице.6.. Плоская рама, степень кинематической неопределимости которой равна двум...7. Определение внутренних силовых факторов в поперечных сечениях стержневых участков заданной системы Плоская рама, степень кинематической неопределимости которой равна единице.7.. Плоская рама, степень кинематической неопределимости которой равна двум...8. Пример. Расчет статически неопределимой плоской рамы методом перемещений Плоская рама, степень кинематической неопределимости которой равна единице.8.. Плоская рама, степень кинематической неопределимости которой равна двум...9. Контрольные вопросы по теме «Расчет статически неопределимой плоской рамы методом перемещений» Тестовые задания по теме «Расчет статически неопределимой плоской рамы методом перемещений».... ДИНАМИКА. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ ПЛОСКОЙ РАМЫ МЕТОДОМ СИЛ.. Основные понятия

4 .. Кинематический анализ... Определение круговых частот собственных колебаний упругой стержневой системы.4. Вынужденные колебания упругой системы.5. Пример. Динамический расчет статически неопределимой плоской рамы методом сил..6. Контрольные вопросы по теме «Динамический расчет статически неопределимой плоской рамы методом сил»...7. Тестовые задания по теме «Динамический расчет статически неопределимой плоской рамы методом сил».. ЗАКЛЮЧЕНИЕ. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ... ГЛОССАРИЙ... СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ... ПРИЛОЖЕНИЕ... П. Задание «Расчет статически неопределимой плоской рамы методом сил». П. Задание «Расчет статически неопределимой плоской рамы методом перемещений». П. Задание «Динамический расчет статически неопределимой плоской рамы методом сил»

5 ВВЕДЕНИЕ Строительная механика как учебная дисциплина должна познакомить изучающего этот предмет с методами статических и динамических расчетов сооружений на прочность, жесткость и устойчивость. Причем изучаются не сами сооружения, а идеализированные представления о них в виде расчетных схем. Важнейшей частью строительной механики, в которой формируются ее основные понятия, является строительная механика стержневых систем. Статика сооружений изучает их функционирование при статическом действии нагрузки, когда полагают, что эта нагрузка постоянна или мало изменяется во времени. Динамика сооружений изучает их функционирование, когда нагрузка так интенсивно изменяется во времени, что необходимо учитывать силы инерции. Одна из основных задач строительной механики стержневых систем связана с определением внутренних сил в поперечных сечениях стержней, составляющих рассматриваемую систему. Их определение позволяет в дальнейшем, используя методы сопротивления материалов, переходить к расчету на прочность, определять перемещения и оценивать жесткость сооружения, решать задачу устойчивости. Расчетные схемы стержневых систем можно разделить на статически определимые и статически неопределимые системы. В статически определимых системах для решения поставленных задач вполне достаточно использовать соответствующие уравнения равновесия. Для решения задач в статически неопределимых системах расчет производится с использованием дополнительных уравнений, учитывающих особенности деформирования объекта. В данном пособии изложены основные положения расчета плоских статически неопределимых рам. Для расчета статически неопределимых стержневых систем широко используется метод сил и метод перемещений. При использовании метода сил расчет статически неопределимых систем основывается на том, что определяется степень статической неопределимости, отбрасываются «лишние» связи и их действие заменяется неизвестными реакциями связей. Далее составляются канонические уравнения метода сил, определяются коэффициенты и свободные члены канонических уравнений. Решение канонических уравнений позволяет найти неизвестные реакции отброшенных лишних связей и уже традиционным методом перейти к расчету эквивалентной статически определимой системы. При использовании метода перемещений задача решается иначе: в заданную систему для построения основной системы вводятся дополнительные угловые и линейные связи, которые компенсируются 5

6 соответствующими, пока неизвестными, угловыми и линейными перемещениями. Далее составляются уравнения, из которых определяются неизвестные угловые и линейные перемещения. Затем по установленным угловым и линейным перемещениям определяются соответствующее им распределение внутренних сил. Принимая перемещения за неизвестные, пренебрегают влиянием продольных и поперечных сил на деформацию стержней, учитывая лишь деформацию изгиба. Изложена последовательность динамического расчета статически неопределимой плоской рамы методом сил. Рассматриваются дискретные модели стержневой системы, когда учитываются лишь упругие свойства стержней, а масса технологических объектов и стержневой системы представлена точечными массами, размещенными в определенных точках стержневой системы. Сформированы основные понятия об этих системах, изложены методы кинематического анализа стержневой системы, обеспечивающие возможность сделать вывод, что рассматриваемая система является геометрически неизменяемой. Представлена последовательность расчета рассматриваемых стержневых систем, связанных с определением внутренних силовых факторов в поперечных сечениях стрежней, составляющих рассматриваемую систему. Методические рекомендации студенту Изучение теоретического курса предполагает самостоятельную работу над учебным материалом. При самостоятельной подготовке необходимо руководствоваться рекомендациями преподавателя, основной и дополнительной литературой, методическими указаниями, контрольными вопросами и заданиями. Изучая материал по учебнику, учебному пособию или конспекту, следует переходить к следующему вопросу только после правильного понимания предыдущего, проделывая самостоятельно все вычисления (в том числе и те, которые ради краткости опущены в учебных материалах) и воспроизводя имеющиеся в учебных материалах расчетные схемы. При изучении материала по учебному пособию полезно вести конспект, в который рекомендуется выписывать определения, формулы, уравнения и т. п. На полях конспекта следует отмечать вопросы, выделенные студентом для получения письменной или устной консультации преподавателя. Чтение учебного пособия должно сопровождаться решением задач. При решении задач нужно обосновать каждый этап решения, исходя из теоретических положений курса. Если студент видит несколько путей решения задачи, то он должен сравнить их и выбрать из них самый лучший. 6

7 Решение каждой задачи должно доводиться до ответа, требуемого условием, и по возможности в общем виде с выводом формулы. Затем в полученную формулу подставляют числовые значения (если таковые даны). Полученный ответ следует проверять способами, вытекающими из существа данной задачи. Если, например, решалась задача с конкретным физическим и геометрическим содержанием, то полезно прежде всего проверить размерность полученного ответа. Полезно также, если возможно, решить задачу несколькими способами и сравнить полученные результаты. Решения задач определенного типа нужно продолжать до приобретения твердых навыков в их решении. После изучения определенной темы и решения достаточного количества соответствующих задач студенту рекомендуется воспроизвести по памяти определения, выводы формул, последовательность решения задачи. Контрольные вопросы поставлены для того, чтобы помочь студенту в повторении, закреплении и проверке прочности освоения изученного материала. В случае необходимости надо еще раз внимательно разобраться в материале учебного пособия и повторить решение задачи. Иногда недостаточность усвоения того или иного вопроса выясняется только при изучении дальнейшего материала. В этом случае надо вернуться назад и повторить плохо усвоенный раздел. Важным критерием усвоения теории является умение решать задачи на пройденный материал. Однако здесь следует предостеречь студента от весьма распространенной ошибки, заключающейся в том, что благополучное решение задач воспринимается им как признак усвоения теории. Часто правильное решение задачи получается в результате применения механически заученных формул, без понимания существа дела. Можно сказать, что умение решать задачи является необходимым, но недостаточным условием хорошего знания теории. Если в процессе работы над изучением теоретического материала или при решении задач у студента возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается (неясность терминов, формулировок отдельных задач и др.), то он может обратиться к преподавателю для получения от него письменной или устной консультации. В своих запросах студент должен точно указывать, в чем он испытывает затруднение. Если студент испытывает затруднение при решении задачи, то следует указать характер этого затруднения, привести предполагаемый план решения. За консультацией следует обращаться и в случае, если возникнут сомнения в правильности ответов на вопросы для самопроверок. В процессе изучения предмета студент выполняет ряд расчетных заданий, главная цель которых оказать студенту помощь в его работе. 7

8 . СТАТИКА. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ ПЛОСКОЙ РАМЫ МЕТОДОМ СИЛ.. Основные понятия Статически неопределимыми называются системы, силовые факторы в которых невозможно определить только на основе уравнений равновесия твердого тела. В таких системах имеется большее число связей, чем это необходимо для равновесия тела. Некоторые связи в этом смысле являются как бы лишними, а усилия от этих связей при их отбрасывании являются лишними неизвестными в уравнениях равновесия. По числу лишних связей или лишних неизвестных усилий устанавливают степень статической неопределимости системы. На рис.., а показана балка на шарнирных опорах. Система является статически определимой. При отбрасывании внешних связей (рис.., б) три неизвестные реакции X A, Y A, Y B определяются из трех уравнений равновесия для плоской системы сил: M, M, X 0. (.) A P i 0 B P i 0 Используя метод сечений, несложно найти внутренние силовые факторы: изгибающий момент M z, поперечную силу Q и продольную силу N в любом поперечном сечении балки. i а) б) в) г) д) е) Рис... Статически определимые (схемы а и б) и статически неопределимые балки (схемы в, г, д, е) Добавим еще одну связь, например, шарнирно-подвижную опору в точке С (рис.., в). Хотя в результате этого система стала более прочной 8

9 и жесткой, однако с позиций расчета эта связь является уже лишней. Теперь для определения четырех неизвестных реакций X A, Y A, Y B, Y C (рис.., г) трех уравнений равновесия типа (.) уже недостаточно. Система стала статически неопределимой. На рис.., д, е показана дважды статически неопределимая балка, т. е. система содержит уже две лишние связи. Степень статической неопределимости равна числу лишних связей, удаление которых оставляет систему геометрически неизменяемой, но превращает ее в статически определимую систему. Геометрически неизменяемой называется такая система, изменение формы которой возможно только в результате деформации ее элементов. Связи в механических системах делят на связи внешние и связи внутренние. Под внешними связями понимаются материальные тела, ограничивающие перемещения тех или иных точек рассматриваемой системы, но не входящие в эту систему (например, опоры балки). Под внутренними связями понимаются ограничения, которые не позволяют элементам системы произвольно смещаться относительно друг друга. Так, при определении внутренних силовых факторов методом сечений отбрасывается внутренняя связь между сопряженными материальными частицами в сечении, а их действие заменяется неизвестными реакциями связей внутренними силовыми факторами... Статическая неопределимость плоской стержневой системы Статическая неопределимость может быть результатом не только введения дополнительных внешних связей, но также и условий образования самой системы. Так, например, в конструкциях часто встречается балка с ломаной осью (рис..), которую называют рамой. а) в) б) г) Рис... Статически неопределимая плоская рама с замкнутым контуром 9

10 Рассмотрим раму, представленную на рис.., а. Хотя из условий равновесия несложно определить опорные реакции X, Y, Y (рис.., б), однако определение внутренних силовых факторов в поперечных сечениях рамы на участках, образующих замкнутый контур, из статических уравнений равновесия невозможно. Обусловлено это тем, что по методу сечений, если рассечь стержень на любом участке контура (например, на рис.. это участок 4), то отбросить часть стержневой системы невозможно, так как имеется связь в виде участка. Поэтому в сечении разреза как к одной, так и к другой стороне должны быть приложены равные по величине и противоположно направленные друг другу неизвестные силовые факторы (рис.., в). Определить эти силы из уравнений равновесия не представляется возможным, так как равные и противоположно направленные силы в уравнениях равновесия приведут к образованию равных по модулю и противоположных по знаку слагаемых. Следовательно, необходимо искать другие уравнения, из которых можно было бы найти три неизвестных силовых фактора в сечении. Если же рассечь контур так, что можно отбросить часть стержневой системы до или после сечения (рис.., г), то каждый рассеченный участок контура даст в сечении по три неизвестных силовых фактора. И хотя в этом случае и можно использовать три уравнения равновесия, однако, число неизвестных возрастает уже до шести. Число неизвестных больше трех определяет для плоской системы количество лишних неизвестных и, следовательно, определяет степень статической неопределимости системы. Заметим, если один замкнутый контур при его рассечении обусловливает шесть неизвестных реакций для плоской системы (из них три реакции являются как бы лишними), то два замкнутых контура (рис.., а) при их рассечении (рис.., б) обусловливают уже девять неизвестных реакций (из них шесть реакций являются лишними). Установка шарнира на оси стержня рамы (рис.., в) обращает в нуль изгибающий момент в данном сечении, что снижает степень статической неопределимости на единицу (данная рама пять раз статически неопределима). Такой шарнир называется одиночным шарниром. В одиночном шарнире сходятся два стержня. Если в шарнире сходится A A B 0

11 более двух стержней (рис.., г), то такой шарнир называется общим и его можно представлять как (р) одиночных шарниров, причем р n, (.) где n число стержней, сходящихся в общем шарнире. Каждый одиночный шарнир, установленный в стержневой системе, снижает степень статической неопределимости на единицу. Для рамы, изображенной на рис.., г, общий шарнир в точке С представляется двумя одиночными шарнирами, и степень статической неопределимости рамы равна четырем. а) б) в) г) Рис... Статически неопределимая плоская рама с двумя замкнутыми контурами Для плоской системы (рис..4, а) внешняя связь типа «заделка» при ее отбрасывании (рис..4, б) заменяется тремя неизвестными реакциями X A, Y A, M A; шарнирно-неподвижная опора (рис..4, в) заменяется двумя неизвестными реакциями X C, Y C, а шарнирно-подвижная опора (рис..4, г) заменяется одной неизвестной реакцией Y B.

12 а) б) в) г ) Рис..4. Схемы замены внешних связей неизвестными реакциями Для определения степени статической неопределимости плоской стержневой системы может быть предложена следующая формула: s Oz On OP k p, (.) где Oz число опор типа «заделка»; O n число шарнирно-неподвижных опор; О р число шарнирно-подвижных опор; k число замкнутых контуров; р число одиночных шарниров в стержневой системе. Для рамы, изображенной на рис.., а, O 0, O, O, k, р 0. z Следовательно, s 6. Для рамы, изображенной на рис.., в, z n O 0, O, O, k, р. Следовательно, s 5. Для рамы, изображенной на рис.., г, z n P O 0, O, O, k, p. Следовательно, s 4. Для рамы, изображенной на рис..4, а, z n P O, O, O, k, p 0. Следовательно, s 6. n P P

13 .. Основная и эквивалентная системы при расчете статически неопределимой системы методом сил Для расчета статически неопределимых стержневых систем широко используется метод сил. Суть метода заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных (лишних) связей как внешних, так и внутренних, а их действие заменяется неизвестными пока силами и моментами сил. Система, освобожденная от лишних связей, становится статически определимой. Она называется основной системой. При образовании основной системы путем отбрасывания лишних связей необходимо следить за тем, чтобы система оставалась геометрически неизменяемой. Для каждой статически неопределимой стержневой системы можно подобрать большое разнообразие основных систем, вид которых будет зависеть от того, какие связи будут отброшены. Например, рама, изображенная на рис..5, а, семь раз статически неопределимая, т. е. имеет семь лишних связей. В зависимости от того, какие лишние связи будут отброшены, будут получены основные системы, изображенные на рис..5, б, в, г, д, е. Все полученные основные системы являются геометрически неизменяемыми. а) б) в) г) д) е) Рис..5. Статически неопределимая плоская рама (схема а) и разнообразные схемы представления основной системы без лишних связей (схемы б, в, г, д, е) Если же при отбрасывании лишних связей не следить за обеспечением геометрической неизменяемости, то ее можно нарушить. Например, если в раме (рис..5, а) отбросить семь связей, как показано на рис..6, то увидим, что сделано это неправильно, так как оставшиеся связи не

14 обеспечивают геометрической неизменяемости с одной стороны, и статической определимости с другой стороны. а) б) в) Рис..6. Схемы неправильного удаления лишних связей, когда возникает геометрическая изменяемость плоской рамы После того, как лишние связи отброшены и система преобразована в статически определимую, необходимо ввести вместо отброшенных связей неизвестные силовые факторы. Причем там, где связи препятствовали в сечениях линейным перемещениям, вводятся силы. А там, где связи препятствовали угловым перемещениям, вводятся моменты сил. Неизвестные силовые факторы обозначаются как X, X,..., X i (где i номер неизвестного). Наибольшее значение i равно степени статической неопределимости системы. Если в каком-либо сечении стержень разрезан, то равные и противоположно направленные друг к другу силы и моменты сил прикладываются как к одной, так и к другой частям системы (на рис..7 показаны возможные способы приложения неизвестных сил). а) б) в) г) д) е) Рис..7. Возможные способы приложения неизвестных сил 4

15 Расчет статически неопределимых систем методом сил сводится к следующим этапам: - устанавливаем степень статической неопределимости, т. е. число лишних связей; - удаляя лишние связи, заменяем исходную систему статически определимой, которая называется основной системой; - загружаем основную систему заданной нагрузкой и неизвестными силовыми факторами, заменяющими действие удаленных лишних связей (такая система называется эквивалентной системой); - для эквивалентности основной системы с исходной неизвестные силовые факторы должны быть подобраны таким образом, чтобы деформация основной системы не отличалась от деформации исходной статически неопределимой системы. Для этого приравниваем к нулю перемещения точек приложения неизвестных сил по направлению их действия. Из полученных таким образом уравнений определяются значения лишних неизвестных; - после определения неизвестных сил и моментов сил обычным способом для эквивалентной системы определяются внутренние силовые факторы, строятся их эпюры, определяются опасные сечения и осуществляется расчет на прочность..4. Канонические уравнения метода сил Условие равенства нулю перемещения по направлению любой из отброшенных связей можно записать в виде 0, 0, 0,..., n 0, (.4) где,,,..., n перемещения точек приложения неизвестных сил X, X, X,..., X n по направлению действия каждой из сил. Уравнение (.4) можно записать в виде i 0, i,,,..., n. (.5) Индекс i означает, что речь идет о перемещении точки приложения силового фактора X i по направлению действия этого фактора. Так как перемещение любой точки зависит от действия всех сил, приложенных к системе, то, используя принцип независимости действия сил, можно записать, что i i X i X i X... i Xn ip, (.6) где ip перемещение точки приложения силы X i по направлению этой силы от действия на основную систему заданных сил (сосредоточенных сил, моментов сил, распределенных сил). Поскольку каждое перемещение пропорционально соответствующей силе, то их можно выразить с помощью равенств: 5

16 ,,..., i X i X i X ix i Xn inxn, (.7) где i, i,..., in коэффициенты пропорциональности. Учитывая равенства (.7) в (.6) с учетом (.5), получим i XiX... inxn ip 0, i,,,..., n, или X X... X 0, n n p X X... X 0, n n p X X... X 0, n n p X X... X 0. n n nn n np (.8) Уравнения (.8) называются каноническими уравнениями метода сил. Число уравнений равно числу неизвестных реакций X, X,..., X n, которые мы получили, отбросив лишние связи (т. е. число уравнений равно степени статической неопределимости исходной системы). Если исходная система один раз статически неопределима, то из (.8) имеем всего одно уравнение: X, (.9) из которого находим X p 0 X /. (.0) p Если система два раза статически неопределима, то из (.8) X X 0, p X X 0, p (.) откуда находим X и X : X (.) p p p p, X. (.) Если система три раза статически неопределима, то из (.8) X X X 0, p X X X 0, p X X X 0, p (.4) откуда находим X, X и X. Систему уравнений большой размерности (три и более) можно решать матричным методом. Например, систему уравнений (.4) можно представить как X, (.5) 6

17 X p, X X, p X p, (.6) где матрица коэффициентов ik ; Х матрица неизвестных сил; матрица перемещений точек приложения неизвестных сил от заданной нагрузки по направлениям этих сил. Решение матричного уравнения (.5) имеет вид X, (.7) где обратная матрица для матрицы..5. Определение коэффициентов при неизвестных силах и перемещений точек приложения неизвестных сил Как можно заметить, для решения систем уравнений необходимо вначале найти значения коэффициентов ik, а также перемещений точек приложения неизвестных сил ip от заданной нагрузки по направлениям этих сил. Известно, что любое перемещение i X k от действия некоторой силы X k по направлению силы X i зависит от внутренних силовых факторов в поперечных сечениях стержневой системы, вызванных действием силы X k. В общем случае для стержневой системы с учетом всех внутренних силовых факторов ixki[ MzXk] i[ My Xk] i[ Mx Xk] i[ QyXk] (.8) i[ QzXk] i[ NXk], где M z X k, M y X k изгибающие моменты от действия силы X k относительно осей z и у, лежащих в плоскости поперечного сечения стержня; M x X k крутящий момент в поперечном сечении; Qy X k, Qz X k поперечные силы в сечении; N X k продольная сила в поперечном сечении стержня. Перемещения точек по соответствующим направлениям в зависимости от внутренних силовых факторов можно определить с помощью интегралов Мора, т. е. Mz XkMzi M y XkM yi im zxk dx, i y k, M X dx (.9) L z L y MxXkM kq xi y y XkQyi im xxk dx, i QyXk dx, GJ (.0) GА L p L 7

18 kq z z XkQzi Q X dx, inxk i z k L GА N X k i, (.) EА L N dx где M zi, M yi, M xi изгибающие ( M zi, M yi ) и крутящие моменты ( M xi ) в поперечных сечениях от действия безразмерного единичного силового фактора (единичной силы или единичного момента), приложенного в точке действия силы X и направленного по направлению этой силы; Q, Q i поперечные силы от действия безразмерного единичного силового фактора, приложенного в точке действия силы X i и направленного по направлению этой силы; N i продольная сила в поперечных сечениях от действия безразмерного единичного силового фактора, приложенного в точке действия силы X i и направленного по направлению этой силы; Е, G модули упругости материала соответственно первого и второго рода; J, J осевые моменты инерции сечения; А площадь z y поперечного сечения стержня; J p полярный момент инерции сечения; k y, k z коэффициенты, зависящие от геометрической формы поперечного сечения; L суммарная длина участков стержневой системы. Если силовой фактор X k стремится к единице ( X k ), то (.8) с учетом (.9), (.0), (.) преобразуется к виду MzkM M zi ykm yi MxkMxi ik dx dx dx GJ L z L y L kq y ykqyi kq z zkqzi NkNi dx dx dx, GА GА EА (.) L L L где M zk, M yk изгибающие моменты в поперечных сечениях от действия безразмерного единичного силового фактора, приложенного в точке действия силы X k и направленного по линии действия этой силы; M xk крутящий момент в поперечных сечениях от действия безразмерного единичного силового фактора, приложенного вместо силы X k ; Q yk, Q zk поперечные силы в поперечных сечениях от действия безразмерного единичного силового фактора, приложенного вместо силы X k ; N k продольная сила в поперечных сечениях от действия безразмерного единичного силового фактора, приложенного вместо силы X k. При нагружении плоской рамы или балки крутящий момент в поперечных сечениях отсутствует и, если пренебречь влиянием на перемещения поперечных и продольных сил, то при нагружении стержневой системы в главной плоскости х у из (.) yi zi 8

19 MzkMzi dx ik, (.) L z при нагружении в главной плоскости х z из (.) M ykm yi ik dx. (.4) L Если стержень испытывает растяжение сжатие, то из (.) y NN k i dx ik. (.5) EА L Если стержень испытывает только кручение, то из (.) MxkMxi ik dx. (.6) GJ L p Перемещение аналогично можно определить как ip MM MM MM z zi y yi x xi ip dx dx dx L z L y GJ L p kqq y y yi kqq z z zi NNi dx dx dx, GА GА EА (.7) L L L где M z, M y изгибающие моменты в поперечных сечениях стержневой системы от действия заданных сил, приложенных к основной системе; M x крутящий момент в поперечных сечениях от действия заданных сил; Q, Q поперечные силы в поперечных сечениях стержневой системы y z от действия заданных сил; N продольные силы в поперечных сечениях стержневой системы от действия заданных сил, приложенных к основной системе. При нагружении плоской рамы или балки крутящий момент в поперечных сечениях отсутствует и, если пренебречь влиянием на перемещения поперечных и продольных сил, то при нагружении стержневой системы в главной плоскости х у из (.7) MM z zi ip dx, (.8) L при нагружении в главной плоскости x z из (.7) MM y yi ip dx. (.9) Если стержень испытывает растяжение-сжатие, то из (.7) L y z 9

20 L NNi dx ip. (.0) EА Если стержень испытывает кручение, то из (.7) MM x xi ip dx. (.) GJ L Обратим внимание на то, что в интегральных выражениях типа MzkMzi ik dx L функции M zk и M zi, описывающие внутренние силовые факторы от действия единичных сил, для стержневых систем с прямолинейными осями на участках являются линейными. Следовательно, операция перемножения обладает свойством коммутативности, т. е. MzkMzi MziMzk dx dx, L z L z откуда следует, что ik ki, (.) т. е., и т. д. Вычисление интегралов Мора может быть осуществлено либо по способу Верещагина, либо другими известными методами. По способу Верещагина вычисление интеграла Мора осуществляется следующим образом: r MM АM )( z i M z zi c i dx, (.) ( ) L z z i где ( А M z ) i площадь эпюры изгибающего момента M z на i-м участке стержня; ( M с ) i ордината эпюры M zi, расположенная под центром тяжести эпюры M z на этом участке; r число участков стержневой системы. Может быть использована формула, основанная на параболическом интерполировании подынтегральной функции, в соответствии с которой вычисление интеграла Мора осуществляется следующим образом: i r [ Mzi) нmн 4( Mzi) c mc ( Mzi) кmк] MM z zi dx 6, (.4) L z где ( M zi ) н, ( M zi ) с, ( M zi ) к ординаты эпюры M z соответственно в начале, середине и конце на участке длиной i ; m н, m c, m к ординаты 0 z p z

21 эпюры M zi соответственно в начале, середине и конце на участке длиной ; r число участков стержневой системы. i.6. Пример. Расчет статически неопределимой плоской рамы методом сил Техническое задание Плоская статически неопределимая рама (рис..8, а) нагружена плоской системой внешних сил: P 0 кн, q 0 кн/м, М 0 кн м. Длина участков стержневой системы определяется долей от размеров h м и L м и показана на рис..8. а) б) Рис..8. Плоская статически неопределимая рама: а расчетная схема, б эквивалентная схема Требуется: - определить степень статической неопределимости рамы; - построить основную и эквивалентную системы; - определить неизвестные реакции лишних связей; - определить внутренние силовые факторы (изгибающие моменты, поперечные и продольные силы) в поперечных сечениях рамы и построить соответствующие эпюры; - из условия прочности при 60 МПа подобрать двутавровое сечение рамы. где Решение: Кинематический анализ метода сил Степень статической неопределимости плоской рамы равна so O O k p, z n p Oz число опор типа «заделка»; O n число шарнирно-неподвижных

22 опор; О р число шарнирно-подвижных опор; k число замкнутых контуров; р число одиночных шарниров в стержневой системе. Так как для рассматриваемой схемы Oz, O, O 0, k 0, p 0, то s, т. е. рама дважды статически неопределима. Образуем основную статически определимую систему, отбросив связи в виде шарнирно-подвижной опоры. Построим также эквивалентную систему, заменив действие отброшенных связей неизвестными пока реакциями связей X и X (рис..8, б). Неизвестные реакции связей X и X определяются из канонических уравнений X X 0, p X X 0, p где коэффициенты,,, и перемещения, определяются как MM MM dx MM, dx, dx, L L z MM dx, z p L L z M pm dx, z n p L L p p z p M pm dx, где M изгибающий момент в поперечных сечениях рамы от действия безразмерной единичной силы, приложенной к основной системе в точке приложения силы X вместо этой силы; M изгибающий момент в поперечных сечениях рамы от действия безразмерной единичной силы, приложенной к основной системе в точке приложения силы X вместо этой силы; M p изгибающий момент в поперечных сечениях рамы от действия заданных сил, приложенных к основной системе; z p перемещение точки приложения силы X по направлению этой силы от действия на основную систему заданных сил (сосредоточенных сил, моментов сил, распределенных сил); перемещение точки приложения силы X по направлению этой силы от действия на основную систему заданных сил. Для вычисления интегралов Мора необходимо определить функции M, M, M p. Для определения M приложим к основной системе безразмерную единичную силу вместо неизвестной силы X (рис..9, а). p

23 а) б) Рис..9. Схема нагружения статически определимой рамы единичной силой X (схема а) и эпюра изгибающего момента М от действия единичной силы (схема б) В основной системе будем рассматривать те же участки, которые были в исходной системе. Начало каждого участка показано на рисунке.9, а. Положение секущей плоскости на каждом участке определяем координатами 0 x h, 0 x L/4, 0 x L/4, 0 x4 h/, 0 x 5 h/, 0 x 6 L/, 0 x 7 h/. Используя метод сечений, можно составить выражения для определения изгибающего момента M в поперечных сечениях рамы от действия безразмерной единичной силы 0, 0 x h, 0, 0 x5 h/, x, 0 x L/4, M M 0, 0 x6 L/, x L/4, 0 x L/4, 7 L/, 0 x h/. L/, 0 x4 h/, Вычислим значения M в начале и конце каждого участка: x 0 M 0, x 0 M L /4, M 0, x 0 5 M x h 0; M L /; x L/4 M 0; x h/ M L /, x M 0, x 0 x 0 4 M L /4; x L/4 M L /, M 0, x M L /. x h/ 6 M L /; x L/ x h/ M 0; Построим эпюру изгибающего момента M (рис..9, б). Для определения M приложим к основной системе безразмерную единичную силу вместо неизвестной силы X (рис..0, а). Используя метод сечений, можно составить выражения для определения изгибающего момента M в поперечных сечениях рамы от действия безразмерной единичной силы: 4

24 M x, 0 xh, h, 0 x L/4, h, 0 x L/4, hx4, 0 x4 h/, 0, 0 x5 h/, M 0, 0 x6 L/, h/ x7, 0 x7 h/. а) б) Рис..0. Схема нагружения статически определимой рамы единичной силой X (схема а) и эпюра изгибающего момента М от действия единичной силы (схема б) Вычислим значения M в начале и конце каждого участка: M x 0, 0 M x h ; h M x h, M 0 x L/4 h ; M h, M h ; M h, M h /; x 0 M 0, x 0 5 x L/4 M 0; x h/ 5 x 0 4 M 0, x 0 6 x h/ 6 4 M 0; x L/ M x7 0 h /, M x7 h/ 0. Построим эпюру изгибающего момента M (рис..0, б). Для определения изгибающего момента M p приложим к основной системе заданные внешние силы (рис.., а). а) б) Рис... Схема нагружения статически определимой рамы заданными силами (схема а) и эпюра изгибающего момента М от действия этих сил (схема б) 4 p

25 Используя метод сечений, можно составить выражения для определения изгибающего момента M p в поперечных сечениях рамы от действия этих сил 0, 0 x h, 0, 0 x L/ 4, M, 0 x L/4, M p M Px4, 0 x4 h/, q x5 /, 0 x5 h/, qh/ /, 0 x6 L/, M Ph/ x7 qh/4 x7h/, 0 x7 h/. Вычислим значения M в начале и конце каждого участка: M p x 0, 0 p x 0 p M p x h 0; M M 0 кнм, M p x 0 0, р x L/4 M p x L/4 0; M M 0 кнм; M M 0 кнм, p x 4 0 M M Ph / 0 кнм; p x4 h/ M p x 5 0, 0 p x7 h/ M p x5 h/4 M p x 6 0,75 кнм, p x 7 0 qh ( /4) / 8,47 кнм; M p x6 L/,75 кнм; M M Ph/ qh/ h/4 8,75 кнм, M M p x5 h/,75 кнм; M P h/ h/ q h/4 h/ h/,75 кнм. Построим эпюру изгибающего момента M p (рис.., б). Для вычисления интегралов Мора при определении коэффициентов,, воспользуемся формулой:, 7 MM i i н i с i к 6 L dx ( M ) 4( M ) ( M ) / L L L L L /4 04 /8 /8 /4 /4 0 6 L /4 L/4 L/44 L/8 L/8 L/ L/ 6 h / L/ L/4 L/ L/ L/ L/ 00 6 h / L/ L/4 L/ L/ L/ L/, 6 5

26 где ( M i ) н, ( М i ) с, ( M i ) к ординаты эпюры M соответственно в начале, середине и конце на участке длиной i; 7 число участков стержневой системы. После подстановки численных значений L м и h м получим 0. Соответственно, MM dx ( M ) 4( M ) ( M ) / 7 i i н i с i к 6 L h 04 h/ h/ hh L/4 h h4hhhh 6 6 h/4 hh4 hhhh h/ hh40,75h0,75 h h/ h/ 6 6 h / h/ h/4 h/4 h/40 00, 6 где ( M i ) н, ( M i ) с, ( M i ) к ординаты эпюры M соответственно в начале, середине и конце на участке длиной i; 7 число участков стержневой системы. Подставив численные значения Далее находим : 7 L м и h м, получим. MM dx ( M ) ( M ) 4( M ) ( М ) ( M ) ( M ) / 7 i i н i н i c i c i к i к 6 L L L/4 04 L/8 h L/4 h /4 L/4 h4 L/8 h L/ h h / L/h4 L/0,75 hl/ h/ 00 6 h / L/ h/4 L/ h/40. 6 После подстановки численных значений 6. Учитываем, что. L м и h м получим 6

27 Для вычисления перемещений p и p воспользуемся формулой i M r ( pi) н н 4( pi) c c ( pi) к к pm M m M m M m 6 p dx L L L L L /4 [0 /4 40 /8 0 / ] h / [0 L/ 4,5 L/ 5 L/ ] h / [( 8,75) L/ 4,5 h/ 40] 0, 6 где ( M pi) н, ( M pi) с, ( M pi ) к ординаты эпюры M p соответственно в начале, середине и конце на участке длиной i ; m н, m c, m к ординаты эпюры M i соответственно в начале, середине и конце на участке длиной i, r число участков стержневой системы. Заметим, что сомножитель 0 появился в равенствах вследствие того, что в единицах СИ кн м 0 Н м. Знак «минус» при перемножении ординат ставится тогда, когда ординаты на эпюрах находятся по разные стороны от продольной оси участка. После подстановки численных значений L м и h м получим Далее вычислим p :,5 0 p. i M r ( pi) н н 4( pi) c c ( pi) к к pm M m M m M m 6 p dx L L/4 [0h40h0 h] h / [0 h4,5 0,75h5 h/ ] h / [( 8,75) h/ 4,50,5h0] 0, 6 где ( M pi) н, ( M pi) с, ( M pi) к ординаты эпюры M p соответственно в начале, середине и конце на участке длиной i ; m н, m c, m к ординаты эпюры M i соответственно в начале, середине и конце на участке длиной i ; r число участков стержневой системы. 7

28 Подставив значения L м и h м, получим Так как система два раза статически неопределима, то имеем X X 0, откуда находим X и X : p X X 0, p X, р р X. р р Подставляя числовые значения, получим X 7,5 66,5 6 (0 ) Н, X. p 6,5 0 / (0 ) 6,5 6,5 6 (0 ) Н. Итак, X 4, кн, X,5 кн. Рассмотрим эквивалентную систему (рис..). Рис... Схема нагружения эквивалентной системы Определим внутренние силовые факторы в эквивалентной системе (изгибающие моменты M, поперечные Q и продольные N силы) и z построим соответствующие эпюры. Составим расчетные зависимости для определения изгибающих моментов M в поперечных сечениях на различных участках стержневой z системы: 8

29 M z Xx, 0 xh, X h X x, 0 x L/4, M Xh Xx L/4, 0 x L/4, M P x4 Xh x4 X L/, 0 x4 h/, qx5 /, 0 x5 h /, qh/ /, 0 x6 L/, M Ph/ x7 qh/4 x7 h/ Xh/ x7 XL/, 0 x7 h/. Подставляя числовые значения, находим на -м участке M z x 0 0; M z x h M z : X h,5 4,05 кн м; на -м участке M z x 0 X h,5 4,05 кн м; M z x L/4 X h X L / 4,5 + 4, 0,5 6, кн м; на -м участке M М X h X L / 4 0 +,5 + 4, 0,5,79 кн м; z x 0 M М X h X L / 0 +,5 + 4,,6 кн м; z x L/4 на 4-м участке M М X h X L / 0 +,5 + 4,,6 кн м; z x 4 0 M М + P h / X h / X L / z x4 h/ 0 + 0,5 +,5,5 + 4,,4 кн м; на 5-м участке M z x 5 0 0; M z x5 h/4 qh ( /4) / 0 0,75 / 8,47 кн м; на 6-м участке M z x5 h/ M z x 6 0 M z x 6 L/ qh ( /) / 0,5 /,75 кн м; qh ( /) / 0,5 /,75 кн м; qh ( /) / 0,5 /,75 кн м; 9

30 на 7-м участке M М + P h / X h / X L / + qh ( / 4) h / z x ,5 +,5,5 + 4, + 0 0,75,5 5,09 кн м; M z x7 h/ М + P h X L / + q( h/4) h/ , 0 0,75,5 9,4 кн м. Составим расчетные зависимости для определения продольной силы N в поперечных сечениях на различных участках стержневой системы: X 4,кН; 0 x h, P X 8,65 кн; 0 x L / 4, P X 8,65 кн; 0 x L / 4, N X 4, кн; 0 x4 h /, 0, 0 x h /, 5 6 qh / 0,5 45кН; 0 x L /, X 4, кн; 0 x7 h /. Составим расчетные зависимости для определения поперечной силы Q в поперечных сечениях на различных участках стержневой системы: X,5 кн; 0 x h, X 4, кн; 0 x L/4, X 4, кн; 0 x L/4, P X 0,5 8,65 кн; 0 x4 h/, Q q x5, 0 x5 h/, Q x 0; Q 5 0 x5 h/ q h/ 0,5 45 кн; 0, 0 x6 L/, Pqh/ X00,5,5 6,5; 0 x7 h/. 0

31 Определив числовые значения изгибающих моментов M z, поперечных Q и продольных N сил на каждом участке, построим их эпюры (рис.., б, в, г). а) б) в) г) Рис... Схема нагружения эквивалентной системы (схема а) и эпюры изгибающего момента M (схема б), поперечной силы Q (схема в), продольной силы N (схема г) z Анализируя эпюры, устанавливаем, что для рамы опасные сечения находятся на участках 0 x6 L / и 0 x7 h / в сечении х 7 0, где внутренние силовые факторы имеют следующие значения: на участке 0 x6 L / M z,75 кн м, N 45 кн, Q 0; на 7-м участке при х 7 0 M 5,09 кн м, N 4, кн, Q 6,5 кн. z

32 Проверка результатов расчета Вернемся вновь к расчетной схеме статически неопределимой плоской рамы (рис..4, а) и ее эквивалентной схеме (рис..4, б). а) б) Рис..4. Плоская статически неопределимая рама: а расчетная схема, б эквивалентная схема Реакции лишних связей X и X должны быть такими, чтобы перемещения точек приложения X и X по направлениям их действия были бы равны нулю: MM z MM dx z 0, dx 0, L L где и перемещение точек приложения X и X по направлениям их действия. Значения и определим на основе вычислений интегралов Мора: i r ( Mz) н Mн 4( Mz) cmc ( Mz) к M MM к z 6 i dx, L i r ( Mz) нmн 4( Mz) cmc ( Mz) к M MM к z 6 i dx, L где ( M z ) н, ( M z) с, ( M z ) к ординаты эпюры M z соответственно в начале, середине и конце на участке длиной i. На рисунке.5 представлены эпюры (схема.5, б) и M (схема.5, г). M z (схемы.5, а, в), M

33 а) б) в) г) Рис..5. Эпюры изгибающих моментов M (схемы а, в), M (схема б), M (схема г) Далее вычислим : i r ( Mz) н Mн 4( Mz) cmc ( Mz) к M MM к z 6 i dx L h [0 0 4,05 0 4,05(0)] 6 z L L -й участок L /4 [0 45, / 8 6, / 4 ] 6 -й участок L L L L /4 [,79 / 4 4,68 / 8,6 / ] 6 -й участок

34 L L L h / [,6 / 4 5,45 /,4 / ] 6 4-й участок (0) 5-й участок (0) 6-й участок h / 6 [ 5,09 L/ 4 7,8 L/ 9,4( L/ )] 7-й участок При перемножении ординат знак минус ставится в случае, если перемножаемые ординаты на эпюрах расположены по разные стороны от продольной оси участка. Учитывая, что h м и L м, получим. (0) -й участок 0,5 [ 8,5] 0,5 [6,895 8,6] 6 6 -й участок -й участок,5 [,6 0,58,4] 6 4-й участок,5 [ 5,09 4 7,8 9,4] 6 (0) 5-й участок (0) 6-й участок 7-й участок [(0) 4,7 8,8 46,05 ] -й участок -й участок -й участок 4-й участок + 6 [0 0 70,47 ] 5-й участок 6-й участок 7-й участок 0, Аналогично вычислим : i r ( Mz) нmн 4( Mz) cmc ( Mz) к M MM к z 6 i dx L h h [,05 0 4,05 / 4,05( h)] 6 -й участок L /4 [ 4,05( h) 45, h 6, h ] 6 h h h -й участок L /4 [,79 4,68,6 ] 6 4 -й участок

35 h h h h / [,6 4 5,45 0,75,4 / ] 6 4-й участок (0) 5-й участок (0) 6-й участок h h h / [ 5,09 / 4 7,8 / 4 9,4 (0)] 6 7-й участок При перемножении ординат знак минус ставится в случае, если перемножаемые ординаты на эпюрах расположены по разные стороны от продольной оси участка. Учитывая, что h м и L м, получим [0,5,5] 0,5 [,5 6,56 8,6] 6 -й участок 6 -й участок 0,5 [4,7 5,6 4,89],5 [4,89 46,, 0] + 6 -й участок 6 4-й участок,5 [ 5,65,49 0] + (0) 5-й участок (0) 6-й участок 6 7-й участок. 7,9 46,7 4, 8,77 6 -й участок 6 -й участок 6 -й участок 6 4-й участок 4,88 0, (0) 5-й участок (0) 6-й участок й участок MM z MM Таким образом, условия dx z 0, dx 0 L L выполняются. Расчет на прочность Подбор двутаврового сечения осуществим, исходя из условия прочности по нормальным напряжениям: где M, N max, M N max, z максимальные нормальные напряжения в поперечном сечении от действия соответственно изгибающего момента M z и продольной силы N. Вначале учтем лишь максимальные нормальные напряжения от изгиба. z 5

36 При этом M z M z, Wz откуда осевой момент сопротивления двутаврового сечения W z должен M z удовлетворять неравенству Wz. Подставляя числовые значения M z,75 кнм для 6-го участка, получим, W z 0 м см По справочным данным примем Wz см, который имеет поперечное сечение двутавра. Из справочных данных находим, что для этого сечения площадь поперечного сечения равна А 0,6 см. Определим нормальные напряжения в опасном сечении от действия изгибающего момента в этом сечении: M,750 z 6 M z 45,47 0 Па 45,47 МПа. 6 Wz 0 N, учитывая, что Определим теперь нормальные напряжения N N 4,7 0 Па 4,7 МПа. 4 А 0,6 0 Суммарные нормальные напряжения в опасном сечении равны Mz N45,47 4,7 60,7 МПа. Заметим, что, хотя и незначительно. Для обеспечения запаса прочности следует выбрать двутавр а, у которого Wz 54 см, A,8 см. В этом случае суммарные напряжения в опасном сечении равны, Mz N,9 0, , ,6 0 Па 46,6 МПа. Условие прочности удовлетворяется, т. е.. Выполним теперь расчет прочности в опасном сечении 7-го участка в сечении х 7 0, где M z 5,09 кн м, N 4, кн. 5, W z 9,0 м 9, см

37 По справочным данным примем Wz см, который имеет поперечное сечение двутавра. Из справочных данных находим, что для этого сечения площадь поперечного сечения равна А 0,6 см. Определим нормальные напряжения в опасном сечении от действия изгибающего момента в этом сечении: M 5,09 0 z 6 M z 5,50 Па 5,5 МПа. 6 Wz 0 N, учитывая, что Определим теперь нормальные напряжения N 4, 0 6 N, 40 Па, 4 МПа. 4 А 0,6 0 Суммарные нормальные напряжения в опасном сечении равны M N 5,5,4 5,66 МПа z. Итак, более опасными являются поперечные сечения 6-го участка 0 x6 L /, где M z,75 кн м, N 45 кн. Выше было установлено, что прочность рамы обеспечивается, если выбрать двутавр а, у которого Wz 54 см, A,8 см. В этом случае суммарные напряжения в опасном сечении равны, Mz N,9 0, , ,6 0 Па 46,6 МПа. Условие прочности удовлетворяется, т. е.. 7

38 .7. Контрольные вопросы по теме «Расчет статически неопределимой плоской рамы методом сил». Какие системы называются статически неопределимыми?. Что называется степенью статической неопределимости системы?. Какая система называется геометрически неизменяемой? 4. Чему равна степень статической неопределимости замкнутого контура? 5. Что представляют собой абсолютно необходимые и условно необходимые связи статически неопределимой системы? 6. Что представляет собой основная система? 7. Что представляет собой основная система канонических уравнений? 8. Что означают величины X i, ik, ii, ip? 9. Каков физический смысл произведении X, X? 0. Что выражает каждое из канонических уравнений?. Какие перемещения называют главными и побочными и какими свойствами они обладают?. В каком порядке производится расчет статически неопределимых систем?. Перемножением каких эпюр определяются коэффициенты и грузовые члены системы канонических уравнений? 4. Как определяются значения неизвестных X i? 5. Какими приемами можно построить окончательную (суммарную) эпюру изгибающих моментов? 6. Какими способами можно построить эпюры М, Q и N в заданной статически неопределимой системе, после того как определены значения неизвестных? 7. Как производится статическая проверка окончательных эпюр М, Q и N? 8. Как производится определение перемещений в статически неопределимых системах? 9. На чем основана и как производится деформационная проверка окончательной эпюры изгибающих моментов? 8

39 .8. Тестовые задания по теме «Расчет статически неопределимой плоской рамы методом сил» Указанная плоская рама является ) два раза статически неопределимой ) один раз статически неопределимой ) три раза статически неопределимой 4) механизмом с одной степенью свободы 5) статически определимой Указанная система является ) два раза статически неопределимой ) один раз статически неопределимой ) статически определимой 4) три раза статически неопределимой Указанная система является ) статически определимой ) один раз статически неопределимой ) три раза статически неопределимой 4) два раза статически неопределимой Указанная система является ) три раза статически неопределимой ) статически определимой ) один раз статически неопределимой 4) два раза статически неопределимой Указанная система является ) три раза статически неопределимой ) статически определимой ) один раз статически неопределимой 4) два раза статически неопределимой 9

40 Указанная система в методе сил называется: ) Основной системой ) Эквивалентной системой ) Статически неопределимой системой Указанная система в методе сил называется: ) Основной системой ) Эквивалентной системой ) Статически неопределимой системой Для схемы плоской рамы схема в методе сил является ) Основной системой ) Эквивалентной системой ) Статически неопределимой системой Для схемы плоской рамы схема в методе сил является ) Основной системой ) Эквивалентной системой. Перемножение эпюр.. Построение грузовой и единичной эпюр.. Выбор основной системы. 4. Построение эпюр внутренних силовых факторов для заданной системы. 5. Переход к эквивалентной системе. ) Статически неопределимой системой Установите последовательность действий при раскрытии статической неопределимости системы: ),,, 4, 5 ),,, 5, 4 ),,, 4, 5 4) 5,,,, 4 Указанная система является ) три раза статически неопределимой ) статически определимой ) один раз статически неопределимой 4) два раза статически неопределимой 40

41 . СТАТИКА. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ ПЛОСКОЙ РАМЫ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ.. Основные понятия Статически неопределимыми, как было отмечено ранее, называются системы, силовые факторы в которых невозможно определить только на основе уравнений равновесия твердого тела. В таких системах имеется большее число связей, чем это необходимо для равновесия тела. Некоторые связи в этом смысле являются как бы лишними, а усилия от этих связей при их отбрасывании являются лишними неизвестными в уравнениях равновесия. По числу лишних связей или лишних неизвестных усилий устанавливают степень статической неопределимости системы. При использовании метода сил расчет статически неопределимых систем основывается на том, что определяется степень статической неопределимости, отбрасываются «лишние» связи и их действие заменяется неизвестными реакциями связей. Далее составляются канонические уравнения метода сил, определяются коэффициенты и свободные члены канонических уравнений. Решение канонических уравнений позволяет найти неизвестные реакции отброшенных лишних связей и уже традиционным методом перейти к расчету эквивалентной статически определимой системы. При использовании метода перемещений задача решается иначе: в заданную систему для построения основной системы вводятся дополнительные угловые и линейные связи, которые компенсируются соответствующими пока неизвестными угловыми и линейными перемещениями. Далее составляются уравнения, из которых определяются неизвестные угловые и линейные перемещения. Затем по установленным угловым и линейным перемещениям определяется соответствующее им распределение внутренних сил. Принимая перемещения за неизвестные, пренебрегают влиянием продольных и поперечных сил на деформацию стержней, учитывая лишь деформацию изгиба. В стержневых системах (рамах) углы поворота и линейные перемещения концов стержней, жестко соединенных в узле, равны между собой. Поэтому за неизвестные при расчете статически неопределимых систем методом перемещений принимаются углы поворота жестких узлов и линейные перемещения узлов стержневой системы... Кинематический анализ При кинематическом анализе статически неопределимой стержневой системы устанавливается общее число n неизвестных угловых и линейных перемещений узлов стержневой системы, подлежащих определению. Общее число неизвестных угловых и линейных перемещений узлов 4

42 стержневой системы n определяет степень кинематической неопределимости стержневой системы. Степень кинематической неопределимости стержневой системы равна n n у + n л, (.) где n у число неизвестных углов поворота жестких узлов; n л число неизвестных линейных перемещений узлов. За жесткий узел принимаются: сопряжения двух или нескольких стержней, в которых нет сквозного шарнира; сопряжения двух или нескольких стержней, в которых расположен присоединенный шарнир. В число жестких узлов не входят узлы с известными по условию задания перемещениями жесткие закрепления и узлы с заданными перемещениями. На рис.. изображены заданная схема плоской рамы (рис.., а) и схема для определения числа жестких узлов (рис.., б). Таких узлов в плоской раме шесть (на рис.., б жесткие узлы обозначены затененными квадратиками), т. е. n у 6. Так как линейные перемещения узла возникают из-за изгибных деформаций в стержневой системе, то, пренебрегая продольными деформациями, можно считать, что равны между собой линейные перемещения узлов и 6, и 5, и 4, т. е. неизвестных линейных перемещений узлов всего (n л ). а) б) Рис... Схема плоской рамы: а) заданная схема; б) схема для определения числа жестких узлов Степень кинематической неопределимости стержневой системы равна n n у + n л На рис.. изображены заданная схема плоской рамы со сквозными шарнирами (рис.., а) и схема для определения числа жестких узлов (рис.., б). Таких узлов в плоской раме четыре (на рис.., б жесткие узлы обозначены затененными квадратиками), т. е. n у 4. Так как линейные 4

43 перемещения узла возникают из-за изгибных деформаций в стержневой системе, то, пренебрегая продольными деформациями, можно считать, что равны между собой линейные перемещения узлов и 6, и 5, и 4, т. е. неизвестных линейных перемещений узлов всего (n л ). а) б) Рис... Схема плоской рамы со сквозными шарнирами: а) заданная схема; б) схема для определения числа жестких узлов Степень кинематической неопределимости стержневой системы равна n n у + n л На рис.. изображены заданная схема плоской рамы со сквозными и присоединенными шарнирами (рис.., а) и схема для определения числа жестких узлов (рис.., б). Таких узлов в плоской раме четыре (на рис.., б) жесткие узлы обозначены затененными квадратиками), т. е. n у 4. Так как линейные перемещения узла возникают из-за изгибных деформаций в стержневой системе, то, пренебрегая продольными деформациями, можно считать, что равны между собой линейные перемещения узлов и 6, и 5, и 4, т. е. неизвестных линейных перемещений узлов всего (n л ). а) б) Рис... Схема плоской рамы со сквозными и присоединенными шарнирами: а) заданная схема; б) схема для определения числа жестких узлов 4

44 Степень кинематической неопределимости стержневой системы равна n n у + n л На рис..4 изображены заданная схема плоской рамы со сквозными шарнирами (рис..4, а) и схема для определения числа жестких узлов (рис..4, б). Таких узлов в плоской раме четыре (на рис..4, б жесткие узлы обозначены затененными квадратиками), т. е. n у 4. Так как линейные перемещения узла возникают из-за изгибных деформаций в стержневой системе, то, пренебрегая продольными деформациями, можно считать, что равны между собой линейные перемещения узлов и 6; 7,, 5 и 8; и 4, т. е. неизвестных линейных перемещений узлов всего (n л ). а) б) Рис..4. Схема плоской рамы со сквозными шарнирами: а) заданная схема; б) схема для определения числа жестких узлов Степень кинематической неопределимости стержневой системы равна n n у + n л Построение основной системы При расчете статически неопределимой плоской рамы методом перемещений рассматриваемая стержневая система, которую будем называть заданной, представляется в виде совокупности однопролетных статически неопределимых балок. Достигается это введением дополнительных угловых и линейных связей на соответствующие неизвестные угловые перемещения «жестких» узлов и неизвестные линейные перемещения узлов. Получаемая в результате этого стержневая система называется основной системой метода перемещений. На рис..5, а приведена заданная стержневая система статически неопределимая плоская рама. 44

45 а) б) в) Рис..5. Расчетные схемы плоской рамы: а) заданная система; б) схема для определения числа жестких узлов; в) основная система Рама имеет всего один жесткий узел (n у ). Так как линейные перемещения узла возникают из-за изгибных деформаций в стержневой системе, то, пренебрегая продольными деформациями, можно считать, что равны между собой линейные перемещения узлов и, т. е. неизвестных линейных перемещений узлов всего (n л ). Степень кинематической неопределимости стержневой системы равна n n у + n л +. На жесткий узел наложим связь типа «жесткое защемление» (рис..5, в) и повернем эту связь на неизвестный пока угол z. На линейное перемещение узлов и наложим связь типа шарнирно-подвижной опоры и зададим этой опоре неизвестное пока линейное перемещение z. В результате мы получим основную систему (рис..5, в). Неизвестные перемещения z и z должны быть такими, чтобы в основной системе моменты и силы во введенных связях были равны нулю: R 0, R 0, где R, R реакции введенных связей (для схемы на рис..5 R реакция связи в виде момента, R реакция связи в виде силы). Основная система представляет совокупность однопролетной статически неопределимой балки 0 с опорами типа «жесткая заделка», однопролетной статически неопределимой балки с опорой типа «жесткая заделка» и шарнирно-неподвижной опорой, однопролетной статически неопределимой балки с опорой типа «жесткая заделка» и шарнирно-подвижной опорой. Рассмотрим возможные схемы нагружения однопролетных статически неопределимых балок, возникающие при этом опорные реакции и изгибающие моменты в поперечных сечениях балки. 45

46 .4. Схемы нагружения однопролетных статически неопределимых балок Достоинством метода перемещений является то, что при представлении основной системы в виде совокупности однопролетных статически неопределимых балок для каждой из этих балок можно воспользоваться имеющимися табличными данными для определения опорных реакций и построенными уже эпюрами изгибающих моментов в поперечных сечениях балки. Эти сведения получены путем решения простейших схем нагружения однопролетных статически неопределимых балок на основе использования метода сил. Покажем процедуру получения таких данных на примере расчета однопролетной статически неопределимой балки с жестким защемлением и шарнирной опорой, загруженной моментом. Схема однопролетной статически неопределимой балки с жестким защемлением и шарнирной опорой, загруженной моментом, представлена на рис..6. а) б) Рис..6. Схема однопролетной статически неопределимой балки с жестким защемлением и шарнирной опорой, загруженной моментом: а) балка с шарнирноподвижной опорой; б) балка с шарнирно-неподвижной опорой Однопролетная статически неопределимая балка, представленная на рис..6, а, имеет одну лишнюю связь; а балка, представленная на рис..6, б, имеет две лишних связи. По методу сил лишние связи отбрасываются, а их действие заменяется неизвестными реакциями связей, число которых равно числу лишних связей. Схемы однопролетных балок с заменой лишних связей соответствующими реакциями представлены на рис..7. а) б) Рис..7. Схемы однопролетных балок с заменой лишних связей соответствующими реакциями: а) схема балки с заменой шарнирно-подвижной опоры реакцией Х ; б) схема балки с заменой шарнирно-неподвижной опоры реакцией Х и Х 46

47 Так как мы пренебрегаем продольными деформациями по сравнению с изгибными, то реакцию Х для балки, представленной на рис..7, б, можно не учитывать. В дальнейшем для балок с жестким защемлением и шарнирной опорой будем ограничиваться учетом только вертикальной составляющей реакции реакцией Х. Так как в сечении В имелась связь в виде шарнирно-подвижной опоры, то значение реакции Х должно быть таким, чтобы перемещение точки приложения силы Х в направлении действия этой силы было равно нулю: 0, (.) Х р где Х перемещение точки В от действия силы Х ; перемещение точки В от действия единичной силы, приложенной к балке (рис..8, а); перемещение точки В от действия заданных сил, приложенных к р балке (в нашем случае от действия момента М, рис..8, б). Из равенства 0 следует, что Х р р Х. Значения и р определим, построив эпюры изгибающих моментов для схем нагружения балок (эпюры представлены на рис..8, в, г). а) б) в) г) Рис..8. Схемы нагружения балки: а) схема нагружения балки единичной силой; М М б) схема нагружения балки моментом М; в) эпюра изгибающего момента от действия на балку единичной силы; г) эпюра изгибающего момента от действия на балку момента М р 47

48 Для определения и р вычислим соответствующие интегралы Мора: M M dx ; р M M dx, (.) где изгибная жесткость поперечных сечений балки, Е модуль упругости -го рода материала балки, J главный осевой момент инерции поперечного сечения. Используя способ Верещагина для вычисления интегралов Мора, находим v ; р M u. р v Mu ( v) Тогда Х M u. Учитывая, что u v, получим X Так как X R B, то можно записать, что ( р M ( v ). M v ) R B. Определим теперь опорную реакцию R А и изгибающие моменты в поперечных сечениях для балки, схема нагружения которой представлена на рис..9. а) б) Рис..9. Схема нагружения балки и возникающие при этом опорные реакции и изгибающие моменты в поперечных сечениях Из условия равновесия вида Y i 0, следует На участке балки z R B R А 0, откуда R А R B M R ( x) M B M ( v ). 0 x u изгибающий момент M z равен M ( v ) ( x) M, 0 x u ; M z М А M M ( v ) M ( v ) при х 0; 48

49 M z М С R B v M На участке балки M ( v ) v М M [v( v ) ] при х u. u x изгибающий момент M z равен M R ( x) z B M ( v ) ( x), u x ; M z М R B v С M ( v ) v Mv( v ) при х u ; M z 0 при х. Возникающие опорные реакции и изгибающие моменты в поперечных сечениях балки показаны на рис..9, б. Аналогично определяются опорные реакции и изгибающие моменты в поперечных сечениях балок, испытывающих другие виды нагружения. Схемы нагружения однопролетных статически неопределимых балок и возникающие при этом опорные реакции и эпюры изгибающих моментов в поперечных сечениях приведены в таблице.. Таблица. Схемы нагружения однопролетных статически неопределимых балок и возникающие при этом опорные реакции и изгибающие моменты в поперечных сечениях Опорные реакции и эпюры Схемы нагружения Расчетные формулы изгибающих моментов M A Pu v, M B Pu v, M С Pu v, R A Pv ( + u), R B Pu ( + v) M A (P/)v( v ), M С (P/)u v( u), R A (Pv/)( v ), R B (Pu /)( u) M A M B q /, R A R B q/ 49

50 Продолжение таблицы. 4 Схемы нагружения Опорные реакции и эпюры изгибающих моментов Расчетные формулы M A q /8, R A 5q/8, R B q/8 5 M A Mv(u ), M B Mu(v ), MC M[u(6v + u ) ], M M u(6v + u ), C 6 R A R B 6 M v u M A M ( v ), MC M v ( v ), MC Мv( v ), R A R B М ( v )/ 7 M A Pu v, M B Pu v, M С Pu v, R A Pv ( + u), 8 R B Pu ( + v) M A (P/)v( v ), M С (P/)uv( u), R A (Pv/)( v ), R B (Pu /)( u), 50

51 Продолжение таблицы. 9 Схемы нагружения Опорные реакции и эпюры изгибающих моментов Расчетные формулы M A M B q /, R A R B q/ 0 M A q /8, R A 5q/8, R B q/8 M A Mv( u), M B Mu( u), MC M[ u(6v + u )], MC M u(6v + u ), R A R B 6 M A M M v u ( v ), MC M[ v( v )], MC Мv( v ), R A R B М ( v )/ M A q u [ v(5 u)] /, M B q u (4 u) /, М С q u v v (6 ) /, R A qu[ u ( u)]/, R B q[ u ( u)]/ 5

52 Схемы нагружения Опорные реакции и эпюры изгибающих моментов Окончание таблицы. Расчетные формулы M В [ (5 )] q v u v, M А (4 ) q v v, М С q v (6u u ), R В [ ( )] qv v v, R А [ ( )] q v v M А (4 ) 8 q u v u, М С q u v(4 u), 8 R А [8 (4 )] 8 qu u u, R В (4 ) 8 qu u M B (4 ) 8 q v u v, М С (4 ) 8 q v u v, R B [8 (4 )] 8 qv v v, R A (4 ) 8 qv v u M А q v [ v(u ) 4 ], 8 v R В qv (4uv v ), 8 М С RB q ( v ), R А q RB Опорные реакции и изгибающие моменты в поперечных сечениях балки могут возникнуть не только в результате нагружения балки внешними силами, но и из-за угловых и линейных перемещений опор балки. Покажем это на конкретном примере балки, схема которой изображена на рис..0, а. 5

53 а) б) Рис..0. Схема однопролетной балки с жестким защемлением и шарнирной опорой: а) схема балки; б) схема перемещения шарнирно-подвижной опоры Отбросим лишнюю связь и ее действие заменим неизвестной реакцией связи Х (рис.., а). а) б) Рис... Схема перемещения опоры балки и эпюра изгибающего момента: а) схема однопролетной балки с заменой лишней связи реакцией Х ; б) эпюра изгибающего момента М от действия на балку единичной силы Перемещение точки В от действия заданных сил, приложенных к балке, равно нулю ( 0), так как заданные силы отсутствуют. Значение р реакции Х должно быть таким, чтобы перемещение точки В от действия силы Х было равно В, т. е. (Х ) В. Но (Х ) Х. Тогда имеем равенство Х В, откуда Х В /, где Х перемещение точки В от действия силы Х ; перемещение точки В от действия единичной силы, приложенной к балке (рис.., б). Для определения вычислим соответствующий интеграл Мора: M M dx, где изгибная жесткость поперечных сечений балки, Е модуль упругости -го рода материала балки, J главный осевой момент инерции поперечного сечения. Используя способ Верещагина для вычисления интеграла Мора, находим. ; 5

54 Так как Х В /, то Х B, R B Х B. Реакция R А в опоре А (из условия равновесия в виде Р iy 0) равна R B : R А R B Х B. Момент М А в опоре А (из условия равновесия в виде M A ( P i ) 0 ) равен М А R B B. Если перемещение В, то имеем соответствующие значения реакций R, R и М (рис.., а) от единичного перемещения: А B А R А, R B. М А а) б) Рис... Схема перемещения опоры балки и возникающие при этом опорные реакции изгибающие моменты в поперечных сечениях Изгибающий момент в поперечных сечениях при единичном перемещении В определяется как x M z М А + RА х ( ), 0 x. Эпюра изгибающего момента M z в поперечных сечениях при единичном перемещении представлена на рис.., б. Значения опорных реакций и момента от действительного перемещения равны В R А RА B, R B R B B, М А М А B. Изгибающий момент в поперечных сечениях от действительного перемещения определяется как В x M z M z B ( ) B, 0 x. Схемы единичных перемещений опор однопролетных статически неопределимых балок и возникающие при этом опорные реакции и изгибающие моменты в поперечных сечениях приведены в таблице.. 54

55 Таблица. Схемы единичных перемещений опор однопролетных статически неопределимых балок и возникающие при этом опорные реакции и изгибающие моменты в поперечных сечениях Схемы единичных перемещений опор Опорные реакции и эпюры изгибающих моментов Расчетные формулы М А, R А R B, М А М В 6, R А R B М А, 4 R А R B М А М В 4, R А R B, 6 М А, R А R B 5 55

56 Схемы единичных перемещений опор Опорные реакции и эпюры изгибающих моментов Продолжение табл.. Расчетные формулы М А R А R B М В 6, 6 М В, 7 8 R А R B М В М А R А R B 4,, 6.5. Канонические уравнения метода перемещений При расчете статически неопределимой плоской рамы основная система отличается от заданной наличием дополнительных связей в узлах, препятствующих их угловым и линейным перемещениям, и появлением опорных реакций в виде моментов и сил во введенных связях. Эти реакции можно обратить в нуль, если заделки в узлах повернуть на углы, равные действительным поворотам узлов, и дать линейные перемещения линейным связям, равным действительным линейным перемещениям узлов. Тогда для каждого узла, к которому приложены те или иные связи, можно записать равенство нулю реакций связи в виде R 0, R 0, R 0,.., R n 0, где R, R,, R n реакции во введенных дополнительных связях. Число таких уравнений соответствует степени кинематической неопределимости заданной стержневой системы, т. е. числу введенных связей или числу неизвестных перемещений введенных связей. Пользуясь принципом независимости действия различных воздействий, можем записать 56

57 R R + R R n + R р 0, R R + R R n + R р 0, R R + R + R R n + R р 0, (.4) R n R n + R n + R n R n n + R n р 0. Первый индекс указывает номер связи и ее направление. Второй индекс указывает на то воздействие, которое является причиной появления реакции. Слагаемые R р, R р, R р,..., R nр реакции в -й, -й и т. д. связях, вызванных действием нагрузки. По закону Гука при упругом деформировании каково перемещение, такова и сила. Поэтому R r z, R r z, R r z,...., R n r n z n, R r z, R r z, R r z,...., R n r n z n, (.5) R n r n z, R n r n z, R n r n z,...., R nn r nn z n, где z, z, z,..., z n перемещения связей,,,..., n ; r, r, r,..., r n реакции в связи от единичных перемещений связей,,,..., n ; r, r, r,..., r n реакции в связи от единичных перемещений связей,,,..., n ; r, r, r,..., r n реакции в связи от единичных перемещений связей,,,..., n ;...; r n, r n, r n,..., r nn реакции в связи n от единичных перемещений связей,,,..., n. Учитывая равенства (.5) в уравнениях (.4), получим систему канонических уравнений вида r z + z r + r z r n zn + R р 0, r z + r z + r z r n zn + R р 0, (.6) r n z + r n z + r n z rnn zn + R nр 0. Реакции в связи от единичного перемещения можно трактовать как соответствующую жесткость, так как ее произведение на перемещение z i дает значение силы. Реакции r, r, r,..., r nn называются главными; реакции r, r,..., r n и т. д. называются побочными. Побочные реакции типа r ik и r ki равны, т. е. r ik r ki. Следовательно r r, r r,..., r n r n. Если в стержневую систему вводится всего лишь одна дополнительная связь, то из системы (.6) имеем уравнение 57

58 r z + R р 0. (.7) Если в стержневую систему введены две дополнительных связи, то из системы (.6) имеем два уравнения r z + z r z + z r + R р 0, r + R р 0. (.8) Как было отмечено выше, число таких уравнений соответствует степени кинематической неопределимости заданной стержневой системы, т. е. числу введенных связей или числу неизвестных перемещений введенных связей. Приведенная система канонических уравнений (.6) должна быть разрешена относительно неизвестных перемещений z, z, z,..., z n. Но для решения этой системы уравнений необходимы данные о реакциях в связях от единичных перемещений (коэффициентах r ik ) и реакциях в связях, вызванных действием нагрузки (свободных членах R ip канонических уравнений)..6. Определение коэффициентов и свободных членов канонических уравнений Для определения коэффициентов r ik и свободных членов R ip системы канонических уравнений метода перемещений. Вначале из заданной стержневой системы строится основная система. Необходимо предварительно построить эпюры изгибающих моментов в основной системе от неизвестных единичных перемещений (по направлениям введенных закреплений) и от действующей на стержневую систему нагрузки. Их построение производится с помощью табличных данных для соответствующих однопролетных балок..6.. Плоская рама, степень кинематической неопределимости которой равна единице Рассмотрим, например, плоскую раму, схема которой изображена на рис.., а. Рама имеет всего один жесткий узел. На рис.., а этот узел обозначен как узел. Число неизвестных угловых перемещений n у. Так как линейные перемещения узла возникают из-за изгибных деформаций в стержневой системе, то, пренебрегая продольными деформациями, можно считать, что линейные перемещения узлов и отсутствуют, т. е. число неизвестных линейных перемещений узлов n л 0. 58

59 а) б) в) Рис... Плоская рама с одной степенью кинематической неопределимости: а) заданная система; б) основная система; в) схема единичного углового перемещения введенной дополнительной связи Степень кинематической неопределимости стержневой системы равна n n у + n л + 0. На жесткий узел наложим связь типа жесткого защемления (рис.., б) и повернем эту связь на неизвестный пока угол z. В результате получим основную систему метода перемещений (рис.., б), состоящую из двух однопролетных балок. Балка 0 представляет однопролетную балку с жесткими заделками, балка представляет однопролетную балку с жесткой заделкой и шарнирной опорой. Для построения эпюры изгибающего момента и определения опорных реакций при единичном перемещении узла (рис.., в) воспользуемся схемой 8 для балки 0 и схемой для балки из таблицы.. а) б) Рис..4. Эпюра изгибающего момента и опорные реакции при единичном перемещении узла : а) эпюра изгибающего момента и опорные реакции; б) опорные реакции На рис..4, а представлена эпюра изгибающего момента М при единичном перемещении узла ( z ). Здесь же на схеме изображены опорные реакции в жесткой заделке (узел 0) и в шарнирно-неподвижной опоре (узел ) при единичном перемещении узла. 59

60 Заметим, что для балки 0 опорный момент ( М 0 ) соответствует моменту М А на схеме 8 таблицы. ( a b ), опорная реакция 6 ( H 0 ) соответствует реакции R А на схеме 8 таблицы., опорная 6 реакция (Н ) соответствует реакции R B на схеме 8 таблицы.. Для опорных реакций ( М 0 ), ( H 0 ), (Н ) первый индекс обозначает узел, где возникает реакция. Второй индекс обозначает, что опорная реакция вызвана единичным перемещением узла. Для балки опорная реакция ( V ) при длине пролета равным с соответствует реакции R B на схеме таблицы.. с На рис..4, а изображена опорная реакция r во введенной дополнительной связи на узел. Таким образом, для схемы на рис..4, а опорные реакции равны: ( М 0 ), ( H 0 ) 6, (Н ) 6, ( V ). (.9) с Неизвестными реакциями для схемы на рис..4, а остались реакция ( V 0 ) и опорная реакция r во введенной дополнительной связи на узел. На рис..4, б представлена схема плоской рамы с действующими на нее опорными реакциями при единичном угловом перемещении узла. Для определения опорной реакции ( V 0 ) воспользуемся уравнением равновесия для плоской системы сил в виде равенства нулю суммы проекций сил на вертикальную ось (полагаем, что это ось у): Y i 0, ( V ) + ( V 0 ) 0, откуда ( V 0 ) ( V ). (.0) с Для определения опорной реакции r во введенной дополнительной связи на узел можно рассмотреть либо условие равновесия плоской рамы, либо условие равновесия узла. Из условия равновесия плоской рамы в виде равенства нулю суммы моментов сил относительно точки 0 следует M 0( Pi ) 0, ( М 0 ) r + ( H ) + ( V ) с 0, откуда r ( H ) + ( V ) с ( М 0 ) r с, с +. (.) с 60

61 Если рассмотреть равновесие узла, то необходимо вырезать этот узел и представить расчетную схему узла с действующими моментами сил в прилегающих к узлу сечениях и r во введенной дополни- опорной реакцией тельной связи на узел (рис..5). При угловом перемещении узла условие его равновесия следует рассматривать в виде равенства нулю суммы моментов сил, действующих на узел. Так как в прилегающих к узлу сечениях балок продольные и поперечные силы моментов не создают, то на рис..5 продольные и поперечные силы изображать не будем, чтобы не загромождать рисунок. Итак, из условия равновесия в виде равенства нулю суммы моментов сил, действующих на узел, следует 4 + r 0, откуда r с Рис..5. Моменты сил в узле при z 4 +. (.) с r, полученные по формулам (.) Обратим внимание, что значения и (.), одинаковы. Для построения эпюры изгибающего момента и определения опорных реакций при действии на балку нагрузки (рис.., б) воспользуемся схемой для балки 0 и схемой 4 для балки из таблицы.. На рис..6, а представлена эпюра изгибающего момента М р в поперечных сечениях балок 0 и от нагрузки. Здесь же на схеме изображены опорные реакции в жесткой заделке (узел 0) и в шарнирнонеподвижной опоре (узел ) при действии на балки 0 и нагрузки. а) б) Рис..6. Эпюра изгибающего момента и опорные реакции при действии на раму нагрузки: а) эпюра изгибающего момента и опорные реакции; б) действующая нагрузка и опорные реакции Для балки 0 опорный момент М 0р соответствует моменту М А P u v на схеме таблицы., реакция H 0р соответствует опорной реакции R A Pv ( + u) на схеме таблицы., реакция Н р 6

62 соответствует опорной реакции R B Pu ( + v) на схеме таблицы., реакция V соответствует опорной реакции R B qс/8 на схеме 4 p таблицы.. Для опорных реакций М 0р, H 0 р, Н р, V p первый индекс обозначает узел, где возникает реакция. Второй индекс обозначает, что опорная реакция вызвана нагрузкой. На рис..6, а изображена опорная реакция R p во введенной дополнительной связи на узел. Таким образом, для схемы на рис..6, а опорные реакции равны: М 0р P u v, H 0р Pv ( + u), Н р Pu ( + v), p V qс/8. (.) Неизвестными опорными реакциями для схемы на рис..6, а остались реакция V и опорная реакция R во введенной дополнительной связи на 0p p узел. На рис..6, б представлена схема плоской рамы с действующими на нее нагрузкой и опорными реакциями. Для определения опорной реакции V0 р воспользуемся уравнением равновесия для плоской системы сил в виде равенства нулю суммы проекций сил на вертикальную ось (полагаем, что это ось у): Y i 0, V р + V 0р q c 0, откуда 5 V0 р q c V р q c qс/8, V0 р q c. (.4) 8 Для определения опорной реакции R во введенной дополнительной связи на узел можно рассмотреть либо условие равновесия плоской рамы, либо условие равновесия узла. Из условия равновесия плоской рамы в виде равенства нулю суммы моментов сил относительно точки 0 следует: M ( P ) 0, М 0 р а 0 i p P + H р + V р с R p М 0 р P а + H р + V р с Подставляя соответствующие значения для М 0р, Н р и q c p R 0, q c. (.5) V p, получим R p P u v P а + Pu ( + v) + qc c q c. 8 Данное равенство можно представить в виде R p P( u v u u u v ) qc. 8 6

63 Группируя и преобразовывая слагаемые u v получим u v uv( v u) uv( u) и R p P [ uv ( u) uv ] 8 qc P Более предпочтительным для определения R является подход, связанный с рассмотрением p условия равновесия узла. Если рассмотреть равновесие узла, то необходимо вырезать этот узел и представить расчетную схему узла с действующими моментами сил в прилегающих к узлу сечениях и опорной реакцией R во введенной дополнительной связи на узел (рис..7). p u u ( u) v u 8 u uv, qc. (.6) При угловом перемещении узла условие его равновесия следует рассматривать в виде равенства нулю суммы моментов сил, действующих на узел. Так как в прилегающих к узлу сечениях балок продольные и поперечные силы моментов не создают, то на рис..7 продольные и поперечные силы изображать не будем, чтобы не загромождать рисунок. Итак, из условия равновесия в виде равенства нулю суммы моментов сил, действующих на узел, следует a Pb 8 Если учесть, что q c R p a Pb q c. 8, то P v u q c /8. (.7) R p 0, откуда b v, a / u R p Обратим внимание, что значения R p, полученные по формулам (.6) и (.7), одинаковы. Для рассматриваемой плоской рамы каноническое уравнение метода перемещений имеет вид (.7) r z + R р 0. Из этого уравнения определяем угловое перемещение узла и для рассматриваемой плоской рамы z Rp ( P v u q c )/( r Рис..7. Моменты сил в узле при действии нагрузки ). (.8) с 6

64 .6.. Плоская рама, степень кинематической неопределимости которой равна двум Рассмотрим, плоскую раму, схема которой изображена на рис..8, а. Рама имеет всего один жесткий узел и шарнирно-подвижную опору. Число неизвестных угловых перемещений n у. Так как линейные перемещения узла возникают из-за изгибных деформаций в стержневой системе, то, пренебрегая продольными деформациями, можно считать, что линейные перемещения узлов и одинаковы, т. е. неизвестных линейных перемещений узлов n л. а) б) в) г) Рис..8. Плоская рама, степень кинематической неопределимости которой равна двум: а) заданная система; б) основная система; в) схема единичного углового перемещения введенной дополнительной связи в узел ; г) схема единичного углового перемещения введенной дополнительной связи в узел Степень кинематической неопределимости стержневой системы равна n n у + n л +. На жесткий узел наложим связь типа жесткого защемления (рис..8, б) и повернем эту связь на неизвестный пока угол z. В узел введем дополнительную связь, ограничивающую линейные перемещения узлов и. Дадим этой связи неизвестное пока линейное перемещение z. В результате получим основную систему метода перемещений (рис..8, б), состоящую из двух однопролетных балок. Балка 0 представляет однопролетную балку с жесткими заделками, балка представляет однопролетную балку с жесткой заделкой и шарнирной опорой. 64

65 Для построения эпюры изгибающего момента и определения опорных реакций при единичном перемещении узла (рис..8, в) воспользуемся схемой 8 для балки 0 и схемой для балки из таблицы.. а) б) Рис..9. Эпюра изгибающего момента и опорные реакции при единичном перемещении узла : а) эпюра изгибающего момента и опорные реакции; б) опорные реакции На рис..9, а представлена эпюра изгибающего момента М при единичном перемещении узла ( z ). Здесь же на схеме изображены опорные реакции в жесткой заделке (узел 0) и в шарнирной опоре (узел ) при единичном перемещении узла ( z ). Заметим, что для балки 0 опорный момент ( М 0 ) соответствует моменту М А на схеме 8 таблицы. ( a b ), опорная реакция 6 ( H 0 ) соответствует реакции R А на схеме 8 таблицы.. Для опорных реакций ( М 0 ), ( H 0 ) первый индекс обозначает узел, где возникает реакция. Второй индекс обозначает, что опорная реакция вызвана единичным перемещением узла. Для балки опорная реакция ( V ) при длине пролета с соответствует реакции R B на схеме таблицы.. с На рис..9, а изображена опорная реакция r во введенной дополнительной связи на узел и опорная реакция r во введенной дополнительной связи на узел. Таким образом, для схемы на рис..9, а опорные реакции равны: ( М 0 ), ( H 0 ) 6, ( V ). (.9) с 65

66 Неизвестными реакциями для схемы на рис..9, а остались реакция ( V 0 ), опорная реакция r во введенной дополнительной связи на узел и опорная реакция r во введенной дополнительной связи на узел. На рис..9, б представлена схема плоской рамы с действующими на нее опорными реакциями при единичном угловом перемещении узла. Для определения опорной реакции ( V 0 ) воспользуемся уравнением равновесия для плоской системы сил в виде равенства нулю суммы проекций сил на вертикальную ось (полагаем, что это ось у): Y i 0, ( V ) + ( V 0 ) 0, откуда ( V 0 ) ( V ) с. (.0) Для определения опорной реакции r во введенной дополнительной связи на узел можно рассмотреть либо условие равновесия плоской рамы, либо условие равновесия узла. Из условия равновесия плоской рамы в виде равенства нулю суммы моментов сил относительно точки следует M P ) 0, ( М 0 ) r + ( H 0 ) + ( V ) c 0, ( i r ( H 0 ) + ( V ) с ( М 0 ) Рис..0. Моменты сил в узле при z r 4 + откуда 6 + c, с. (.) с Если рассмотреть равновесие узла, то необходимо вырезать этот узел и представить расчетную схему узла с действующими моментами сил в прилегающих к узлу сечениях и r во введенной дополни- опорной реакцией тельной связи на узел (рис..0). При угловом перемещении узла условие его равновесия следует рассматривать в виде равенства нулю суммы моментов сил, действующих на узел. Так как в прилегающих к узлу сечениях балок продольные и поперечные силы моментов не создают, то на рис..0 продольные и поперечные силы изображать не будем, чтобы не загромождать рисунок. Итак, из условия равновесия в виде равенства нулю суммы моментов сил, действующих на узел, следует 4 + r 0, откуда r с 4 +. (.) с r, полученные по формулам (.) Обратим внимание, что значения и (.), одинаковы. Для определения опорной реакции r во введенной дополнительной связи на узел воспользуемся уравнением равновесия для плоской 66

67 системы сил в виде равенства нулю суммы проекций сил на горизонтальную ось (полагаем, что это ось х): Х i 0, r + ( H 0 ) 0, откуда r ( H 0 ) r 6 6,. (.) Для построения эпюры изгибающего момента и определения опорных реакций при единичном перемещении узла (рис..8, г) воспользуемся схемой для балки 0 из таблицы.. а) б) Рис... Эпюра изгибающего момента и опорные реакции при единичном перемещении дополнительной связи в узле : а) эпюра изгибающего момента и опорные реакции; б) опорные реакции На рис.., а представлена эпюра изгибающего момента М при единичном перемещении узла ( z ). Здесь же на схеме изображены опорные реакции в жесткой заделке (узел 0) и в шарнирной опоре (узел ) при единичном перемещении узла ( z ). Для балки 0 опорный момент ( М 0 ) соответствует моменту М А 6 на схеме таблицы. ( a b ), опорная реакция ( H 0 ) соответствует реакции R А на схеме таблицы.. Для опорных реакций ( М 0 ), ( H 0 ) первый индекс обозначает узел, где возникает реакция. Второй индекс обозначает, что опорная реакция вызвана единичным перемещением узла. На рис.., а изображена опорная реакция r во введенной дополнительной связи на узел и опорная реакция r во введенной дополнительной связи на узел. Таким образом, для схемы на рис.., а опорные реакции равны: ( М 0 ) 6, ( H 0 ). (.4) 67

68 Неизвестными опорными реакциями для схемы на рис.., а остались опорная реакция r во введенной дополнительной связи на узел и опорная реакция r во введенной дополнительной связи на узел. На рис.., б представлена схема плоской рамы с действующими на нее опорными реакциями при единичном линейном перемещении узла. Для определения опорной реакции r воспользуемся уравнением равновесия для плоской системы сил в виде равенства нулю суммы проекций сил на горизонтальную ось (полагаем, что это ось х): Х i 0, r ( H 0 ) 0, r ( H 0 ) r, откуда. (.5) Для определения опорной реакции r во введенной дополнительной связи на узел при единичном перемещении узла ( z ) можно рассмотреть либо условие равновесия плоской рамы, либо условие равновесия узла. Если рассмотреть равновесие узла, то необходимо вырезать этот узел и представить расчетную схему узла с действующими моментами сил в прилегающих к узлу сечениях и опорной реакцией r Рис... Моменты во сил в узле при введенной дополнительной связи на узел z (рис..). Из условия равновесия в виде равенства нулю суммы моментов сил, действующих на узел, следует r 6 0, откуда r 6. (.6) Обратим внимание, что значения r и r, полученные по формулам (.6) и (.), одинаковы. Для построения эпюры изгибающего момента и определения опорных реакций при действии на раму нагрузки (рис..8, б) воспользуемся схемой для балки 0 и схемой 4 для балки из таблицы.. На рис.., а представлена эпюра изгибающего момента М р в поперечных сечениях балок 0 и от нагрузки. Здесь же на схеме изображены опорные реакции в жесткой заделке (узел 0) и в шарнирной опоре (узел ) при действии на балки 0 и нагрузки. Для балки 0 опорный момент М 0р соответствует моменту М А P uv на схеме таблицы., реакция H 0р соответствует опорной реакции R A Pv ( + u) на схеме таблицы., реакция V p соответствует 68

69 опорной реакции R B qс/8 на схеме 4 таблицы.. Для опорных реакций М 0р, H 0 р, V p первый индекс обозначает узел, где возникает реакция. Второй индекс обозначает, что опорная реакция вызвана нагрузкой. а) б) Рис... Эпюра изгибающего момента и опорные реакции при действии на раму нагрузки: а) эпюра изгибающего момента и опорные реакции; б) действующая нагрузка и опорные реакции На рис.., а изображены реакции R и p R p во введенных дополнительных связях соответственно на узел и на узел. Таким образом, для схемы на рис.., а опорные реакции равны: М 0р P u v, H 0р Pv ( + u), p V qс/8. (.7) Неизвестными опорными реакциями для схемы на рис.., а остались реакция V, опорная реакция R во введенной дополнительной связи на 0p узел и реакция p p R во введенной дополнительной связи на узел. На рис.., б представлена схема плоской рамы с действующими на нее нагрузкой и опорными реакциями. Для определения опорной реакции V0 р воспользуемся уравнением равновесия для плоской системы сил в виде равенства нулю суммы проекций сил на вертикальную ось (полагаем, что это ось у): Y i 0, V р + V 0р q c 0, откуда V0 р 5 V0 р 8 Для определения опорной реакции q c q c V р q c qс/8,. (.8) R p во введенной дополнительной связи на узел воспользуемся уравнением равновесия для плоской 69

70 системы сил в виде равенства нулю суммы проекций сил на горизонтальную ось (полагаем, что это ось х): Х i 0, R p Учитывая, что из (.7) H 0р + Р 0, откуда p R H 0р Pv ( + u), получим R p Pv ( + u) Р Р[v ( + u) ]. Данное равенство преобразуется к виду p H 0р Р. R Р u ( v). (.9) Для определения опорной реакции R p во введенной дополнительной связи на узел можно рассмотреть либо условие равновесия плоской рамы, либо условие равновесия узла. Более предпочтительным для определения Рис..4. Моменты сил в узле при действии нагрузки R p является подход, связанный с рассмотрением условия равновесия узла. Если рассмотреть равновесие узла, то необходимо вырезать этот узел и представить расчетную схему узла с действующими моментами сил в прилегающих к узлу сечениях и опорной реакцией R во введенной дополнительной связи на узел (рис..4). При угловом перемещении узла условие его равновесия следует рассматривать в виде равенства нулю суммы моментов сил, действующих на узел. Так как в прилегающих к узлу сечениях балок продольные и поперечные силы моментов не создают, то на рис..4 продольные и поперечные силы изображать не будем, чтобы не загромождать рисунок. Итак, из условия равновесия в виде равенства нулю суммы моментов сил, действующих на узел, следует a a Pb q c R p 0, откуда R p Pb q c. 8 8 a Если учесть, что b v, u, то R p P v u q c. (.0) 8 Для рассматриваемой плоской рамы каноническое уравнение метода перемещений имеет вид (.8): r + R р 0, r z + z p 70

71 r z + r z + R р 0. Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными z и z имеет вид r Rp r Rp r Rp r Rp z, z. (.) r r r r r r Систему уравнений большей размерности (три и более) можно решать матричным методом. Например, система трех уравнений в матричном виде r z R, r r r z R p r r r r, z z, R R, r r r z R где r матрица жесткостей, z матрица неизвестных перемещений, R матрица грузовых реакций во введенных дополнительных связях в узлах. Решение матричного уравнения где z r R, r обратная матрица для матрицы r..7. Определение внутренних силовых факторов в поперечных cечениях стержневых участков заданной системы Если нагружение происходит в плоскости у х, то в поперечных сечениях стержневых участков заданной статически неопределимой плоской рамы определяются продольные силы N, поперечные силы Q и изгибающие моменты M z. Последовательность их расчета изложим на примере плоских рам, рассмотренных выше..7.. Плоская рама, степень кинематической неопределимости которой равна единице Рассмотрим, плоскую раму, схема которой изображена на рис..5, а. Рама имеет всего один жесткий узел. На рис..5, а этот узел обозначен как узел. Степень кинематической неопределимости стержневой системы равна n n у + n л + 0. p p у 7

72 а) б) в) Рис..5. Плоская рама с одной степенью кинематической неопределимости: а) заданная система; б) основная система; в) схема единичного углового перемещения введенной дополнительной связи На жесткий узел наложим связь типа жесткого защемления (рис..5, б) и повернем эту связь на неизвестный пока угол z. В результате получим основную систему метода перемещений (рис..5, б), состоящую из двух однопролетных балок. Балка 0 представляет однопролетную балку с жесткими заделками, балка представляет однопролетную балку с жесткой заделкой и шарнирной опорой. На рисунке.6 представлены эпюры изгибающих моментов в поперечных сечениях рамы при единичном угловом перемещении узла ( z ) и от нагрузки. Здесь же изображены опорные реакции в узлах рамы, включая и моменты r и R p во введенной дополнительной связи на узел. а) б) Рис..6. Эпюры изгибающих моментов и опорные реакции: а) эпюры изгибающего момента и опорные реакции при единичном угловом перемещении узла ( z ); б) эпюры изгибающего момента и опорные реакции при действии нагрузки Опорные реакции для рассматриваемой схемы нагружения плоской рамы (рис..5, б) ранее в разделе.6. были уже определены: при единичном угловом перемещении узла ( z ) по формулам (.9), (.0) и (.) 7

73 ( М 0 ), ( H 0 ) 6 ( V 0 ) ( V ), (Н ), r с 6, ( V ) 4 + ; с, с при действии на плоскую раму нагрузки по формулам (.), (.4) и (.7) М 0р P uv, V p qс/8, H 0р Pv ( + u), Н р Pu ( + v), V 0p 5qс/8, R p P v u q c. 8 Для рассматриваемой схемы нагружения плоской рамы по формуле (.8) определяем действительное угловое перемещение узла : z Rp ( P v u q c )/( r ). с Действительные значения опорных реакций при угловом перемещении узла, равным z, определяются как ( ( 0 z М ) z V ) с z, ( 0 z H ) z, ( V 0 ) z с 6 z z, (Н ) z 6, z ( r 4 + z, ) с На рис..7, а представим заданную расчетную схему плоской рамы. На рис..7, б изобразим нагрузку и опорные реакции в узлах 0 и.. z а) б) Рис..7. Схемы плоской рамы: а) заданная схема; б) заданная схема с опорными реакциями Действительные значения опорных реакций M 0, H 0, V 0, H, V (рис..7, б) складываются из опорных реакций, возникающих при угловом перемещении узла, равного z, и опорных реакций от действующей нагрузки. При сложении учитываем направления опорных реакций от единичного перемещения z, а также от действующей нагрузки (рис..6). За положительное направление для каждой реакции примем направление соответствующей опорной реакции от действующей нагрузки. 7

74 Действительные значения опорных реакций определяются как М 0 М 0р ( М 0 ) z, H 0 H 0р ( 0 H ) Н Н р + (Н ) z, V V p + ( z, V 0 V 0p + ( V 0 ) z, z. V ) Зная заданную нагрузку и опорные реакции, традиционным способом определяем внутренние силовые факторы в поперечных сечениях стержневых участков плоской рамы. Для этого представим расчетную схему плоской рамы и положение поперечных сечений на участках a, b и c (положение сечения определяется от начала соответствующего участка, рис..8). как а) б) Рис..8. Схемы плоской рамы: а) схема плоской рамы с опорными реакциями; б) схема плоской рамы с изображением поперечных сечений на участках a, b и c Продольная сила в поперечных сечениях плоской рамы определяется N V 0, 0 x a ; N 0 V, 0 x b ; N Н, 0 x c, где х, х, х координаты поперечных сечений на участках a, b и c. Поперечная сила в поперечных сечениях плоской рамы определяется как Q y Н 0, 0 x a ; Q y Н 0 Р, Q y V 0 q x, 0 x c. 0 x b ; Изгибающий момент в поперечных сечениях плоской рамы определяется как M H, 0 x a ; M z M z M z 0 0 x 0 H 0 a x) M ( P x, 0 x b, V ( c x) q( c x), 0 x c. 74

75 Изгибающий момент в поперечных сечениях плоской рамы можно также определить, складывая значения M z M z M p..7.. Плоская рама, степень кинематической неопределимости которой равна двум Рассмотрим, плоскую раму, схема которой изображена на рис..9, а. Рама имеет один жесткий узел и шарнирно-подвижную опору (узел ). Число неизвестных угловых перемещений n у. Так как линейные перемещения узла возникают из-за изгибных деформаций в стержневой системе, то, пренебрегая продольными деформациями, можно считать, что линейные перемещения узлов и одинаковы, т. е. неизвестных линейных перемещений узлов n л. Степень кинематической неопределимости стержневой системы равна n n у + n л +. На жесткий узел наложим связь типа жесткого защемления (рис..9, б) и повернем эту связь на неизвестный пока угол z. а) б) в) г) Рис..9. Плоская рама, степень кинематической неопределимости которой равна двум: а) заданная система; б) основная система; в) схема единичного углового перемещения введенной дополнительной связи в узел ; г) схема единичного линейного перемещения введенной дополнительной связи в узел В узел введем дополнительную связь, ограничивающую линейные перемещения узлов и. Дадим этой связи неизвестное пока линейное перемещение z. В результате получим основную систему метода 75

76 перемещений (рис..9, б), состоящую из двух однопролетных балок. Балка 0 представляет однопролетную балку с жесткими заделками, балка представляет однопролетную балку с жесткой заделкой и шарнирной опорой. На рисунке.0 представлены эпюры изгибающих моментов в поперечных сечениях рамы при единичном угловом перемещении узла ( z ), при единичном линейном перемещении узла ( z ) и от нагрузки. Здесь же изображены опорные реакции в узлах рамы, включая моменты r, r и R p во введенной дополнительной связи на узел, а также опорные реакции r, r и R p во введенной дополнительной связи на узел. а) б) в) Рис..0. Эпюры изгибающих моментов и опорные реакции: а) эпюры изгибающего момента и опорные реакции при единичном угловом перемещении узла ( z ); б) эпюры изгибающего момента и опорные реакции при единичном линейном перемещении узла ( z ); в) эпюры изгибающего момента и опорные реакции при действии нагрузки Опорные реакции для рассматриваемой схемы нагружения плоской рамы (рис..9, б) ранее в разделе.6. были уже определены. 76

77 При единичном угловом перемещении узла ( z ) по формулам (.9), (.0), (.) и (.) они равны: ( М 0 ),, ( H 0 ) 6, ( V ), с ( V 0 ) ( V ) r 4 +, r 6. с с При единичном линейном перемещении узла ( z ) по формулам (.4), (.5), и (.6) опорные реакции равны: ( М 0 ) 6, ( H 0 ) r,, r 6. При действии на плоскую раму нагрузки по формулам (.7), (.8), (.9) и (.0) определяем: М 0р P u v, H 0р Pv ( + u), p V qс/8, V 0p 5qс/8, R р Pu ( + v), R p P v u q c. 8 Для рассматриваемой схемы нагружения плоской рамы по формулам (.) определяем действительное угловое перемещение узла и действительное линейное перемещение узла : z r R p r r r r R p, z r R p r r r r R p. Действительные значения опорных реакций при угловом перемещении узла, равном z, определяются как ( ( 0 z М ) z V ) с z, ( 0 z H ) z, ( V 0 ) z 6 с z, r z z, z ( r z, ) с Действительные значения опорных реакций при линейном перемещении узла, равном z, определяются как ( 0 z М ) r z 6 z, ( 0 z, z H ) r z 6 z, z.. z 77

78 На рис.., а представим заданную расчетную схему плоской рамы. На рис.., б изобразим нагрузку и опорные реакции в узлах 0 и. а) б) Рис... Схемы плоской рамы: а) заданная схема; б) заданная схема с опорными реакциями Действительные значения опорных реакций складываются из опорных реакций, возникающих при угловом перемещении узла, равном z, из опорных реакций, возникающих при линейном перемещении узла, равном z, и опорных реакций от действующей нагрузки. При сложении учитываем направления опорных реакций от единичных перемещений z и z, а также от действующей нагрузки (рис..). За положительное направление для каждой реакции примем направление соответствующей опорной реакции от действующей нагрузки. Действительные значения опорных реакций для схемы нагружения плоской рамы, представленной на рис.., б, могут быть найдены из выражений: М 0 М 0р ( М 0 ) z + ( М 0 ) z, H 0 V 0 V 0p + ( V 0 ) z, H 0р ( 0 V H ) z + ( H 0 ) z V p+ ( V ) z., а) б) в) Рис... Схемы опорных реакций в узлах рамы при различных нагружениях: а) схема опорных реакций при единичном угловом перемещении узла ; б) схема опорных реакций при единичном линейном перемещении узла ; в) схема опорных реакций от нагрузки 78

79 Зная заданную нагрузку и опорные реакции, традиционным способом определяем внутренние силовые факторы в поперечных сечениях стержневых участков плоской рамы, схема нагружения которой изображена на рис... Для этого представим расчетную схему плоской рамы и положение поперечных сечений на участках a, b и c (положение сечения определяется от начала соответствующего участка, рис.., б). а) б) Рис... Схемы плоской рамы: а) схема плоской рамы с опорными реакциями; б) схема плоской рамы с изображением поперечных сечений на участках a, b и c Продольная сила в поперечных сечениях плоской рамы определяется как N V 0, 0 x a ; N 0 V, 0 x b ; N 0, 0 x c, где х, х, х координаты поперечных сечений на участках a, b и c (положение сечения определяется от начала соответствующего участка). Поперечная сила в поперечных сечениях плоской рамы определяется как Q y Н 0, 0 x a ; Q y Н 0 Р, Q y V 0 q x, 0 x c. 0 x b ; Изгибающий момент в поперечных сечениях плоской рамы определяется как M H, 0 x a ; M z M z 0 0 x 0 H 0 a x) M ( P x, 0 x b, M z V ( c x) q( c x), 0 x c. Изгибающий момент в поперечных сечениях плоской рамы можно также определить, складывая значения M z M z M z M p. 79

80 .8. Пример. Расчет статически неопределимой плоской рамы методом перемещений.8.. Плоская рама, степень кинематической неопределимости которой равна единице Техническое задание Рис..4. Заданная система Для заданной статически неопределимой плоской рамы, схема нагружения которой приведена на рис..4, требуется:. Определить степень кинематической неопределимости заданной системы.. Построить основную систему.. Определить опорные реакции при единичных перемещениях дополнительно введенных в узлы связей. 4. Определить опорные реакции от нагрузки. 5. Определить действительные перемещения узлов, на которые были наложены дополнительные связи. 6. Определить действительные значения опорных реакций в заданной стержневой системе. 7. Определить внутренние силовые факторы (продольные силы, поперечные силы, изгибающие моменты) в поперечных сечениях стержневых участков плоской рамы и построить их эпюры. 8. Произвести проверку решения. Исходные данные: сила Р 0 кн, интенсивность распределенных сил q 0 кн/м, длина участков а м, b м, с м. Решение Определение степени кинематической неопределимости Рассмотрим, например, плоскую раму, схема которой изображена на рис..4. Рама имеет всего один жесткий узел. На рис..4 этот узел обозначен как узел. Число неизвестных угловых перемещений n у. Так как линейные перемещения узла возникают из-за изгибных деформаций в стержневой системе, то, пренебрегая продольными деформациями, можно считать, что линейные перемещения узлов и отсутствуют, т. е. неизвестных линейных перемещений узлов n л 0. Степень кинематической неопределимости стержневой системы равна n n у + n л + 0. Построение основной системы На жесткий узел наложим дополнительную связь типа защемления (рис..5, а) и повернем эту связь на неизвестный пока угол z. 80

81 В результате получим основную систему метода перемещений (рис..5, а), состоящую из двух однопролетных балок: балки 0 и балки. а) б) Рис..5. Плоская рама с одной степенью кинематической неопределимости: а) основная система; б) схема единичного углового перемещения введенной дополнительной связи Балка 0 представляет однопролетную балку с жесткими заделками, балка представляет однопролетную балку с жесткой заделкой и шарнирной опорой. Определение опорных реакций и изгибающего момента при единичном угловом перемещении дополнительной связи в узле Для построения эпюры изгибающего момента и определения опорных реакций при единичном перемещении узла (рис..5, б) воспользуемся схемой 8 для балки 0 и схемой для балки из таблицы.. На рис..6, а представлена эпюра изгибающего момента М при единичном перемещении узла ( z ). Здесь же на схеме изображены опорные реакции в жесткой заделке (узел 0) и в шарнирно-неподвижной опоре (узел ) при единичном перемещении узла. а) б) Рис..6. Эпюра изгибающего момента и опорные реакции при единичном перемещении узла : а) эпюра изгибающего момента и опорные реакции; б) схема опорных реакций при единичном перемещении узла 8

82 Заметим, что для балки 0 опорный момент ( М 0 ) соответствует моменту М А на схеме 8 таблицы. ( a b ), опорная реакция 6 ( H 0 ) соответствует реакции R А на схеме 8 таблицы., опорная 6 реакция (Н ) соответствует реакции R B на схеме 8 таблицы.. Для опорных реакций ( М 0 ), ( H 0 ), (Н ) первый индекс обозначает узел, где возникает реакция. Второй индекс обозначает, что опорная реакция вызвана единичным перемещением узла. Для балки опорная реакция ( V ) при длине пролета, равным с, соответствует реакции R B на схеме таблицы.. с На рисунке.6 изображена опорная реакция r во введенной дополнительной связи на узел. Процедура определения опорных реакций для схем на рис..6 подробно описана в разделе.6.. Для схем на рис..6 опорные реакции определяются по формулам (.9) и равны: ( 0 М ), ( H 0 ) (Н ) 6 6, 5, ( V ) с,5, 0,75. Неизвестными реакциями для схем на рис..6 остались реакция ( V 0 ) и опорная реакция r во введенной дополнительной связи на узел. На рис..6, б представлена схема плоской рамы с действующими на нее опорными реакциями при единичном угловом перемещении узла. Для определения опорной реакции ( V 0 ) воспользуемся уравнением равновесия для плоской системы сил в виде равенства нулю суммы проекций сил на вертикальную ось (полагаем, что это ось у) и по формуле (.0) определяем: Y i 0, ( V ) + ( V 0 ) 0, откуда ( V 0 ) ( V ) 0,75 E J. Для определения опорной реакции r во введенной дополнительной связи на узел можно рассмотреть либо условие равновесия плоской рамы, либо условие равновесия узла. 8

83 Из условия равновесия плоской рамы в виде равенства нулю суммы моментов сил относительно точки 0 следует, что M 0 ( Pi ) 0, ( М 0 ) r + ( H ) + ( V ) с 0, r ( H ) + ( V ) с ( М 0 ) откуда по формуле (.) r 4 + с 6 +,5 E J,5. + Если рассмотреть равновесие узла, то необходимо вырезать этот узел и представить расчетную схему узла с действующими моментами сил в прилегающих к узлу сечениях и опорной реакцией r во введенной связи на узел (рис..7). с с, При угловом перемещении узла условие его равновесия следует рассматривать в виде равенства нулю суммы моментов сил, действующих на узел. Так как в прилегающих к узлу сечениях балок продольные и поперечные силы моментов не создают, то на рис..7 продольные и поперечные силы изображать не будем, чтобы не загромождать рисунок. Итак, из условия равновесия в виде равенства нулю суммы моментов сил, действующих на узел, следует (см. формулу.), что 4 + r 0, r с 4 + с Рис..7. Моменты сил в узле при z +,5,5. Обратим внимание, что значения r, полученные из условия равновесия плоской рамы в виде равенства нулю суммы моментов сил относительно точки 0 и из условия равновесия в виде равенства нулю суммы моментов сил, действующих на узел, одинаковы. Определение опорных реакций и изгибающего момента от нагрузки Для построения эпюры изгибающего момента и определения опорных реакций при действии на балку нагрузки (рис..5, а) воспользуемся схемой для балки 0 и схемой 4 для балки из таблицы.. На рис..8, а представлена эпюра изгибающего момента М р в поперечных сечениях балок 0 и от нагрузки. Здесь же на схеме 8

84 изображены опорные реакции в жесткой заделке (узел 0) и в шарнирнонеподвижной опоре (узел ) при действии на балки 0 и нагрузки. а) б) Рис..8. Эпюра изгибающего момента и опорные реакции при действии на раму нагрузки: а) эпюра изгибающего момента и опорные реакции; б) действующая нагрузка и опорные реакции Для балки 0 опорный момент М 0р соответствует моменту М А P u v на схеме таблицы., реакция H 0р соответствует опорной реакции R A Pv ( + u) на схеме таблицы., реакция Н р соответствует опорной реакции R B Pu ( + v) на схеме таблицы., реакция V соответствует опорной реакции R B qс/8 на схеме 4 p таблицы.. Для опорных реакций М 0р, H 0 р, Н р, V p первый индекс обозначает узел, где возникает реакция. Второй индекс обозначает, что опорная реакция вызвана нагрузкой. На рис..8 изображена опорная реакция R p во введенной дополнительной связи на узел. Таким образом, для схем на рис..8 опорные реакции по формулам (.) равны: М 0р P u v, H 0р Pv ( + u), Н р Pu ( + v), p V qс/8. Учитывая, что по исходным данным сила Р 0 кн, интенсивность распределенных сил q 0 кн/м, длина участков а м, b м, с м, a+b м, u a/ 0,5, v b/ 0,5, находим: М 0р P u v 0 0,5 0,5 5 кнм, H 0р Pv ( + u) 0 0,5 (+ 0,5) 0 кн, Н р Pu ( + v) 0 0,5 (+ 0,5) 0 кн, 84

85 реакция V p qс/8 0 /8 5 кн. Неизвестными опорными реакциями для схем на рис..8 остались V и опорная реакция 0p R во введенной дополнительной связи на p узел. На рис..8, б представлена схема плоской рамы с действующими на нее нагрузкой и опорными реакциями. Для определения опорной реакции V0 р воспользуемся уравнением равновесия для плоской системы сил в виде равенства нулю суммы проекций сил на вертикальную ось (полагаем, что это ось у): Y i 0, V р + V 0р q c 0, откуда 5 V0 р q c V р q c qс/8, V0 р q c кн. 8 8 Для определения опорной реакции R во введенной дополнительной связи на узел можно рассмотреть либо условие равновесия плоской рамы, либо условие равновесия узла. Из условия равновесия плоской рамы в виде равенства нулю суммы моментов сил относительно точки 0 следует M 0 ( Pi ) 0, М 0 р P а + H р + V р с откуда R p М 0 р P а + H р + V р с q c. Подставляя соответствующие значения для М 0р, P, q, Н р и p q c p R 0, V p, получим R p / 5 кн. Более предпочтительным для определения R p является подход, связанный с рассмотрением условия равновесия узла. Если рассмотреть равновесие узла, то необходимо вырезать этот узел и представить расчетную схему узла с действующими моментами сил в прилегающих к узлу сечениях и опорной реакцией на узел (рис..9). При угловом перемещении узла условие его равновесия следует рассматривать в виде равенства нулю суммы моментов сил, действующих на узел. Так как в прилегающих к узлу сечениях балок продольные и поперечные силы моментов не создают, то на рис..9 продольные и поперечные силы изображать не будем, чтобы не загромождать рисунок. R во введенной дополнительной связи p 85 Рис..9. Моменты сил в узле при нагрузке

86 Итак, из условия равновесия в виде равенства нулю суммы моментов сил, действующих на узел, следует, что a Pb q c R p 0, откуда R p a Pb q c. 8 8 Если учесть, что b v, a / u, то по формуле (.7) R p P v u q c /8 Обратим внимание, что значения 0 0,5 0,5 0 /8 5 кн. R p, полученные из условия равновесия плоской рамы в виде равенства нулю суммы моментов сил относительно точки 0 и из условия равновесия в виде равенства нулю суммы моментов сил, действующих на узел, одинаковы. Определение действительного перемещения z узла Для рассматриваемой плоской рамы каноническое уравнение метода перемещений имеет вид (см. формулу.7): r z + R р 0. Из этого уравнения определяем угловое перемещение узла для рассматриваемой плоской рамы (учитываем, что r,5 ; R p 5 кн): Rp 5 z,485. r,5 Определение действительных значений опорных реакций в заданной стержневой системе от углового перемещения z Действительные значения опорных реакций при угловом перемещении узла, равного z, определяются как ( 0 ( М 0 ( 0 ) z z H ) ( z H ) ( z V ) 6 6 с V) z с z ( r 4 + z,485 z,5,485 z,5,485 z 0,75,485 z 0,75,485 с,485 кнм;,4 кн;,4 кн;,07 кн;,07 кн; ) z,5,485 5 кнм. 86

87 Определение действительных значений опорных реакций M 0, H 0, V 0, H, V в плоской раме На рис..40, а представим заданную расчетную схему плоской рамы. На рис..40, б изобразим нагрузку и опорные реакции в узлах 0 и. а) б) Рис..40. Схемы плоской рамы: а) заданная схема; б) заданная схема с опорными реакциями Действительные значения опорных реакций M 0, H 0, V 0, H, V (рис..40, б) складываются из опорных реакций, возникающих при угловом перемещении узла, равного z, и опорных реакций от действующей нагрузки. При сложении учитываем направления опорных реакций от единичного перемещения z, а также от действующей нагрузки (рис..8). За положительное направление для каждой реакции примем направление соответствующей опорной реакции от действующей нагрузки. Действительные значения опорных реакций определяются как М 0 М 0р ( М 0 ) z 5,485,575 кнм; H 0 H 0р ( 0 z H ) 0,4 7,857 кн; V 0 V 0p + ( V) 0 z 5 + (,07),99 кн; Н Н р + (Н ) z 0 +,4,4 кн; V V p + ( V ) z 5 +,07 6,07 кн. Определение внутренних силовых факторов в поперечных сечениях стержневых участков плоской рамы Зная заданную нагрузку и опорные реакции, традиционным способом определяем внутренние силовые факторы в поперечных сечениях стержневых участков плоской рамы (схема рамы на рис..4, а). 87

88 а) б) Рис..4. Схемы плоской рамы: а) схема плоской рамы с опорными реакциями; б) схема плоской рамы с изображением поперечных сечений на участках a, b и c Для этого представим расчетную схему плоской рамы и положение поперечных сечений на участках a, b и c (положение сечения определяется от начала соответствующего участка, рис..4, б). Продольная сила в поперечных сечениях плоской рамы определяется как N V 0,99 кн, 0 x a ; N V 0,99 кн, 0 x b ; N Н,4 кн, 0 x c, где х, х, х координаты поперечных сечений на участках a, b и c (положение сечения определяется от начала соответствующего участка). Для расчетной схемы плоской рамы (рис..4, а) построим эпюру продольной силы в поперечных сечениях (рис..4, б). а) б) в) Рис..4. Схема плоской рамы и эпюры продольной и поперечной сил: а) заданная схема; б) эпюра продольной силы N; в) эпюра поперечной силы Q Поперечная сила в поперечных сечениях плоской рамы определяется как Q y Н 0 7,857 кн, 0 x a ; Q y Н 0 Р 7,857 0, 4 кн, 0 x b ; Q y V 0 q x,99 0 x, 0 x c; Qy x 0,99 кн; y x c Q,99 0 6,07 кн. 88

89 Построим эпюру поперечной силы в поперечных сечениях плоской рамы (рис..4, в). Изгибающий момент в поперечных сечениях плоской рамы определяется как M z M, 0 x a ; 0 H0 x M z x 0,575 кнм; z x a M, ,857 4,86 кнм; M z M ( P x, 0 x b, 0 H 0 a x) M z x 0, ,857 4,86 кнм; M z x b, , ,858 кнм; V ( c x) q( c x), 0 x c, M 6,07 0 / 7,858 кнм; M z z x 0 M z x с/ 6,07 0 / 6,07 кнм; M z x с 6, / 0. Для расчетной схемы плоской рамы (рис..4, а) построим эпюру изгибающего момента в поперечных сечениях (рис..4, б). а) б) Рис..4. Схема плоской рамы и эпюра изгибающего момента а) заданная схема; б) эпюра изгибающего момента M z Изгибающий момент в поперечных сечениях плоской рамы можно также определить, складывая значения M z M z M p. Для этого необходимо построить эпюры изгибающих моментов M z (рис..44, а) и M (рис..44, б). p M : z 89

90 а) б) в) Рис..44. Эпюры изгибающих моментов в поперечных сечениях рамы: а) эпюра изгибающего момента M z; б) эпюра изгибающего момента M p ; в) эпюра изгибающего момента M z При построении эпюры изгибающего момента M складываем z ординаты эпюр M z и M в соответствующих поперечных сечениях p рамы (ординаты, расположенные по разные стороны от продольной оси рассматриваемого участка имеют противоположные знаки): M z x,485 5,575 кнм; 0 M z x a 0, ,8 кнм; M z x 0, ,8 кнм; 0 M z x b,86 5 7,86 кнм; M z x 0 0 +,4 7,86 кнм; Эпюра изгибающего момента Рис..45. Схема нагружения рамы и опорные реакции M z x c/ 5 +,07 6,07 кнм; M z x c M представлена на рис..44, в. z Проверка решения Выполним статическую проверку, рассмотрев равновесие системы сил, действующих на плоскую раму, включая и опорные реакции. Схема нагружения рамы представлена на рис..45. Для плоской системы сил можем записать следующие уравнения равновесия: 90

91 сумма проекций сил на горизонтальную ось (полагаем, что это ось х) равна нулю: X i 0, Р Н 0 Н 0, 0 7,86,4 0; сумма проекций сил на вертикальную ось (полагаем, что это ось у) равна нулю: Y i 0, V 0 + V q с 0,,9 + 6,07 0 0, ; сумма моментов сил относительно точки 0 равна нулю: M 0( Pi ) 0, М 0 Р а qc / + V c + Н (a + b) 0,, / + 6,07 +,4 0. Можно рассмотреть равновесие узла. Для этого вырежем узел и в прилегающих сечениях приложим внутренние силы (рис..46). Рассмотрим равновесие сил, проецируя их на вертикальную ось: Y i 0,,9,9 0. Рассмотрим равновесие сил, проецируя их на горизонтальную ось: Х i 0,,4,4 0. Рассмотрим условие равновесия в виде суммы моментов сил относительно точки : M i 0, 7,86 7,86 0. Условия равновесия выполняются. Рис..46. Схема сил в прилегающих сечениях узла.8.. Плоская рама, степень кинематической неопределимости которой равна двум Техническое задание Для статически неопределимой плоской рамы, схема нагружения которой приведена на рис..47, требуется:. Определить степень кинематической неопределимости заданной системы.. Построить основную систему.. Определить опорные реакции при единичных перемещениях дополнительно Рис..47. Заданная система 9

92 введенных в узлы связей. 4. Определить опорные реакции от нагрузки. 5. Определить действительные перемещения узлов, на которые были наложены дополнительные связи. 6. Определить действительные значения опорных реакций в заданной стержневой системе. 7. Определить внутренние силовые факторы (продольные силы, поперечные силы, изгибающие моменты) в поперечных сечениях стержневых участков плоской рамы и построить их эпюры. 8. Произвести проверку решения. Исходные данные: сила Р 0 кн, интенсивность распределенных сил q 0 кн/м, длина участков а м, b м, с м. Решение Определение степени кинематической неопределимости Рассмотрим, плоскую раму, схема которой изображена на рис..47. Рама имеет один жесткий узел и шарнирно-подвижную опору (узел ). Жесткий узел может иметь угловое и линейное перемещения. Узел может иметь лишь линейное перемещение, равное линейному перемещению узла. Число неизвестных угловых перемещений n у. Так как линейные перемещения узла возникают из-за изгибных деформаций в стержневой системе, то, пренебрегая продольными деформациями, можно считать, что линейные перемещения узлов и одинаковы, т. е. неизвестных линейных перемещений узлов n л. Степень кинематической неопределимости стержневой системы равна n n у + n л +. Построение основной системы На жесткий узел наложим дополнительную связь типа жесткого защемления (рис..48) и повернем эту связь на неизвестный пока угол z. В узел введем дополнительную связь, ограничивающую линейные перемещения узлов и. Дадим этой связи неизвестное пока линейное перемещение z. В результате получим основную систему метода перемещений (рис..48), состоящую из двух однопролетных балок. Балка 0 представляет однопролетную балку с жесткими заделками, балка представляет однопролетную балку с жесткой заделкой и Рис..48. Основная система шарнирной опорой. 9

93 Определение опорных реакций и изгибающего момента при единичном угловом перемещении дополнительной связи в узле и единичном линейном перемещении дополнительной связи в узле Для построения эпюры изгибающего момента и определения опорных реакций при единичном угловом перемещении дополнительной связи в узле (рис..49, а) воспользуемся схемой 8 для балки 0 и схемой для балки из таблицы.. На рис..49, б представлена эпюра изгибающего момента М при единичном угловом перемещении дополнительной связи в узле ( z ). Здесь же на схеме изображены опорные реакции в жесткой заделке (узел 0) и в шарнирной опоре (узел ) при единичном перемещении узла ( z ), в том числе и опорные реакции r и r в дополнительных связях в узле и в узле. а) б) Рис..49. Основная система и эпюра изгибающего момента при z : а) схема поворота связи в узле на угол z ; б) эпюра изгибающего момента и опорные реакции при z Процедура определения опорных реакций для рассматриваемой схемы нагружения плоской рамы (рис..48, а) ранее в разделе.6. подробно описана. При единичном угловом перемещении узла ( z ) по формулам (.9), (.0), (.) и (.) с учетом, что по исходным данным a+b м, c м, имеем: ( М 0 ), ( H 0 ) ( V 0 ) с 0,75; r 6,5; ( V ) r 6 4,5. + с с 0,75;,5; 9

94 Для построения эпюры изгибающего момента и определения опорных реакций при единичном линейном перемещении дополнительной связи в узле (рис..50, а) используем схему для балки 0 из таблицы.. а) б) Рис..50. Основная схема и эпюра изгибающего момента при z : а) схема линейного перемещения узлов и при перемещении дополнительной связи z ; б) эпюра изгибающего момента и опорные реакции при единичном линейном перемещении узлов и ( z ) На рис..50, б представлена эпюра изгибающего момента М при единичном линейном перемещении дополнительной связи в узле ( z ). Здесь же на схеме изображены опорные реакции в жесткой заделке (узел 0) и в шарнирной опоре (узел ) при z, в том числе и опорные реакции r и r в дополнительных связях в узле и в узле. Процедура определения опорных реакций для рассматриваемой схемы нагружения плоской рамы (рис..50, а) ранее в разделе.6. подробно описана. При единичном линейном перемещении узла ( z ) по формулам (.4), (.5) и (.6) с учетом, что по исходным данным a b м, c м, имеем: ( М 0 ) r 6,5 ; ( H 0 ),5;,5 ; r 6,5. Определение опорных реакций и изгибающего момента от нагрузки Для построения эпюры изгибающего момента и определения опорных реакций при действии на раму нагрузки (рис..5, а) воспользуемся схемой для балки 0 и схемой 4 для балки из таблицы.. На рис..5, б представлена эпюра изгибающего момента М р в поперечных сечениях балок 0 и от нагрузки. Здесь же на схеме 94

95 изображены опорные реакции в жесткой заделке (узел 0) и в шарнирной опоре (узел ) при действии на балки 0 и нагрузки. а) б) Рис..5. Схема плоской рамы и эпюра изгибающего момента от нагрузки: а) основная система; б) эпюра изгибающего момента и опорные реакции в узлах Процедура определения опорных реакций для рассматриваемой схемы нагружения плоской рамы (рис..5, а) ранее в разделе.6. подробно описана. При действии на плоскую раму нагрузки по формулам (.7), (.8), (.9) и (.0) с учетом, что по исходным данным а м, b м, a + b м, c м, Р 0 кн, q 0 кн/м, u a/ 0, 5 м; v b/ 0, 5 м, имеем: 0р М 0р P u v 0 0,5 0,5 5 кнм; H Pv ( + u) 0 0,5 ( 0,5) 0 кн; V p qс/8 0 / 8 5 кн; V 0p 5qс/8 5 0 / 8 5 кн; R p R р Pu ( + v) 0 0,5 ( 0,5) 0 кн; P 8 v u q c 0 0,5 0, кнм. Определение действительных перемещений z и z узлов и Если в стержневую систему введены две дополнительные связи, то канонические уравнения метода перемещений из системы (.6) принимают вид (.8): r z + z r z + z r + R р 0, r + R р 0. вид Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными z и z имеет 95

96 r z z r R p r R p r r r r r r r R R p p,5 5,5 0 (,5,5,5),5 0,5 5 (,5,5,5) 7, 5, 4,5. Определение действительных значений опорных реакций в заданной стержневой системе Действительные значения опорных реакций при угловом перемещении узла, равного z, определяются как ( 0 ( 0 ( 0 z М ) z H ) r z ( z V ) 6 6 с V) z с z ( r 4 + z z,5 5 z,5 7, 5 z 0,75 7, 5 z 0,75 с ),5 z 7,5 7,5 кнм; 7,5,5 кн; 7,,5 кн; 7,5 5,65 кн; 5,65 кн; 6,5 кнм. Действительные значения опорных реакций при линейном перемещении узла, равным z, определяются как 6 4,5 ( М 0 ) z z,5,5 кнм; ( H 0 ) z 4,5 z,5,5 кн; 4,5 r z z,5,5 кн; r z 6 4,5 z,5,5 кнм. Значения опорных реакций от нагрузки М 0р P u v 0 0,5 0,5 5 кнм; H Pv ( + u) 0 0,5 ( 0,5) 0 кн; 0р 96

97 V p qс/8 0 / 8 5 кн; V 0p 5qс/8 5 0 / 8 5 кн; R р Pu ( + v) 0 0,5 ( 0,5) 0 кн; 0 R p P v u q c 0 0,5 0,5 5 кнм. 8 8 Действительные значения опорных реакций складываются из опорных реакций, возникающих при угловом перемещении узла, равного z, из опорных реакций, возникающих при линейном перемещении узла, равного z, и опорных реакций от действующей нагрузки. При сложении учитываем направления опорных реакций от единичных перемещений z и z, а также от действующей нагрузки (рис..5). За положительное направление для каждой реакции примем направление соответствующей опорной реакции от действующей нагрузки. а) б) в) Рис..5. Схемы опорных реакций в узлах рамы при различных нагружениях: а) схема опорных реакций при единичном угловом перемещении узла ; б) схема опорных реакций при единичном линейном перемещении узла ; в) схема опорных реакций от нагрузки Действительные значения опорных реакций для схемы нагружения плоской рамы, представленной на рис..5, могут быть найдены из выражений М 0 М 0р ( М 0 ) z + ( М 0 ) z 5 7,5 +,5 8,75 кнм; H 0 H 0р ( 0 H ) z + ( H 0 ) z 0,5 +,5 0 кн; V 0 V 0p + ( V 0 ) z 5 5,65 9,75 кн; Рис..5. Схема нагружения и опорные реакции 97

98 V V p+ ( V ) z 5 + 5,65 0,65 кн. Определение внутренних силовых факторов в поперечных сечениях плоской рамы Представим заданную расчетную схему плоской рамы (рис..54, а). На рис..54, б изобразим нагрузку и опорные реакции в узлах 0 и. а) б) Рис..54. Схемы плоской рамы: а) заданная схема; б) заданная схема с опорными реакциями Зная заданную нагрузку и опорные реакции, традиционным способом определяем внутренние силовые факторы в поперечных сечениях стержневых участков плоской рамы, схема нагружения которой изображена на рис..55. Для этого представим расчетную схему плоской рамы и положение поперечных сечений на участках a, b и c (положение сечения определяется от начала соответствующего участка, рис..55, б). а) б) Рис..55. Схемы плоской рамы: а) схема плоской рамы с опорными реакциями; б) схема плоской рамы с изображением поперечных сечений на участках a, b и c Продольная сила в поперечных сечениях плоской рамы определяется как N V 0 9,75 кн, 0 x a ; N V 0 9,75 кн, 0 x b ; N 0, 0 x c, где х, х, х координаты поперечных сечений на участках a, b и c (положение сечения определяется от начала соответствующего участка). 98

99 Построим эпюру продольной силы в поперечных сечениях плоской рамы (рис..56, а). а) б) в) Рис..56. Эпюры внутренних силовых факторов: а) эпюра продольной силы N; б) эпюра поперечной силы Q y ; в) эпюра изгибающего момента M z Поперечная сила в поперечных сечениях плоской рамы определяется как Q y Н 0 0 кн, 0 x a ; Q y Н 0 Р 0 0 0, 0 x b ; Q y V 0 q x 9,75 0 х, 0 x c; Q y 9,75 кн при х 0; Q y 0,65 кн при х с м. Построим эпюру поперечной силы в поперечных сечениях плоской рамы (рис..56, б). Изгибающий момент в поперечных сечениях плоской рамы определяется как M H 8, х, 0 x a ; M z M z 0 0 x M z 8,75 кнм при х 0; M z,5 кнм при х а м; M ( P x 8, ( + х ) 0 х, 0 x b ; M z 0 H 0 a x) M z,5 кнм, 0 x b ; V ( c x) q( c x) 0,65 ( х ) 0 x c; 0( х, M z,5 кнм при х 0; M z 0,65 кнм при х м; M z 0 при х м. Построим эпюру изгибающего момента в поперечных сечениях плоской рамы (рис..56, в). Изгибающий момент в поперечных сечениях плоской рамы можно также определить, складывая значения M z MzMz MP. ) 99

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ ПЛОСКОЙ РАМЫ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ ПЛОСКОЙ РАМЫ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет В. К. Манжосов РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ

Подробнее

Расчет статически неопределимой плоской рамы методом сил

Расчет статически неопределимой плоской рамы методом сил МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Расчет статически

Подробнее

Расчет плоской рамы методом перемещений

Расчет плоской рамы методом перемещений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Расчет плоской

Подробнее

18. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ Общие понятия и определения

18. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ Общие понятия и определения Лекция 18 Статически неопределимые системы: рамы и фермы. Метод сил. Канонические уравнения метода сил. Примеры расчета статически неопределимых систем. Учет симметрии. 18. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ

Подробнее

ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА»

ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Расчет плоской рамы методом сил

Расчет плоской рамы методом сил ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет Расчет плоской рамы методом сил

Подробнее

РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНЫХ АРОК

РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНЫХ АРОК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ В. К. Манжосов

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию Казанский государственный технологический университет СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Методические указания к самостоятельной работе студентов

Подробнее

ДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ПЛОСКОЙ РАМЫ МЕТОДОМ СИЛ

ДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ПЛОСКОЙ РАМЫ МЕТОДОМ СИЛ МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ПЛОСКОЙ РАМЫ МЕТОДОМ СИЛ УЛЬЯНОВСК МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И

Подробнее

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА Краткий курс

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА Краткий курс МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ГОРОДСКОГО ХОЗЯЙСТВА ЛНШутенко, ВППустовойтов, НАЗасядько СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА Краткий курс РАЗДЕЛ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ. Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ. Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт» Кафедра прочности Домашнее задание по дисциплине «Механика материалов

Подробнее

РАСЧЕТ МНОГОПРОЛЕТНОЙ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ БАЛКИ

РАСЧЕТ МНОГОПРОЛЕТНОЙ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ БАЛКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ В. К. Манжосов

Подробнее

Кафедра «Механика деформируемого твердого тела, основания и фундаменты» А. А. Лахтин ДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЁТ РАМЫ НА ДЕЙСТВИЕ ВИБРАЦИОННОЙ НАГРУЗКИ

Кафедра «Механика деформируемого твердого тела, основания и фундаменты» А. А. Лахтин ДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЁТ РАМЫ НА ДЕЙСТВИЕ ВИБРАЦИОННОЙ НАГРУЗКИ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Механика деформируемого твердого тела, основания и фундаменты» А. А. Лахтин ДИНАМИЧЕСКИЙ

Подробнее

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ МЕТОДОМ СИЛ

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ МЕТОДОМ СИЛ Министерство образования Российской Федерации Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра строительной механики РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ МЕТОДОМ СИЛ Методические

Подробнее

РАСЧЕТ ПРОСТЫХ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ

РАСЧЕТ ПРОСТЫХ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ Министерство путей сообщения Российской федерации Дальневосточный государственный университет путей сообщения Кафедра "Строительная механика" А.В. Хлебородов РАСЧЕТ ПРОСТЫХ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВ- КЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ СПЕЦ.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВ- КЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ СПЕЦ. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВ- КЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ СПЕЦ. 1-700402 Общие методические указания Сопротивление материалов одна из сложных

Подробнее

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ ФЕРМЫ

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ ФЕРМЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ В К Манжосов РАСЧЕТ

Подробнее

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИ- МОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ НА ИЗГИБ И УСТОЙЧИВОСТЬ

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИ- МОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ НА ИЗГИБ И УСТОЙЧИВОСТЬ инистерство образования и науки России Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технологический университет» РАСЧЕТ

Подробнее

Статически неопределимые рамы

Статически неопределимые рамы МОСКОВСКИЙ АРХИТЕКТУРНЫЙ ИНСТИТУТ (государственная академия) Кафедра "Высшая математика и строительная механика" Статически неопределимые рамы Методическое пособие. Пример расчета статически неопределимой

Подробнее

P 1 = = 0 0,1L1 0,3L1 0, 2L2 0,1L

P 1 = = 0 0,1L1 0,3L1 0, 2L2 0,1L Расчёт статически определимой многопролётной балки на неподвижную и подвижную нагрузки Исходные данные: расстояния между опорами L = 5, м L = 6, м L = 7,6м L4 = 4,5м сосредоточенные силы = 4кН = 6 распределённые

Подробнее

Г96 Методические указания к выполнению расчетно-графической работы «Расчет рамы методом перемещений» / Сост.: С.В.Гусев. Казань: КГАСУ, с.

Г96 Методические указания к выполнению расчетно-графической работы «Расчет рамы методом перемещений» / Сост.: С.В.Гусев. Казань: КГАСУ, с. УДК 624.04 (075) ББК 38112 Г96 Г96 Методические указания к выполнению расчетно-графической работы «Расчет рамы методом перемещений» / Сост.: С.В.Гусев. Казань: КГАСУ, 2012.-26с. Печатается по решению Редакционно-издательского

Подробнее

Строительная механика 1 часть

Строительная механика 1 часть 1 Строительная механика 1 часть Темы 1.Основные положения. 2.Геометрическая неизменяемость расчётных схем. 3.Построение эпюр усилий 4.Многопролётные шарнирные балки 5.Трёхшарнирные расчётные схемы 6.Замкнутый

Подробнее

РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ (для студентов ЗВФ)

РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ (для студентов ЗВФ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет В. К. Манжосов РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНЫЕ

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана»

Подробнее

Исходные данные по предпоследней цифре

Исходные данные по предпоследней цифре Методическое руководство Задание Статически неопределимые системы Работа Для балки, изображенной на рисунке (рис.) требуется: ) найти изгибающий момент на левой опоре (в долях ); ) построить эпюры Q y

Подробнее

А. А. Лахтин СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА СООРУЖЕНИЙ

А. А. Лахтин СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА СООРУЖЕНИЙ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей и сообщения Кафедра «Механика деформируемого твердого тела, основания и фундаменты» А. А. Лахтин СТРОИТЕЛЬНАЯ

Подробнее

17. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДЕФОРМАЦИЙ УПРУГИХ СИСТЕМ

17. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДЕФОРМАЦИЙ УПРУГИХ СИСТЕМ Лекция 17 Энергетические методы расчета упругих систем. Потенциальная энергия деформации. Обобщенные силы и обобщенные перемещения. Основные энергетические уравнения механики (теорема Кастильяно). Метод

Подробнее

РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ (для студентов ЗВФ)

РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ (для студентов ЗВФ) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

(шифр и наименование направления)

(шифр и наименование направления) Дисциплина Направление Сопротивление материалов 270800 - Строительство (шифр и наименование направления) Специальность 270800 62 00 01 Промышленное и гражданское строительство 270800 62 00 03 Городское

Подробнее

Рис. 226 Рис Рис. 228 Рис. 229

Рис. 226 Рис Рис. 228 Рис. 229 98 Статически неопределимые системы Раздел 8 a b X a b m Рис. Рис. 7 Пример. Построить эпюры моментов, нормальных и перерезывающих сил в статически неопределимой раме (рис. 8, используя метод сил. В точке

Подробнее

РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ

РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

3. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМ. У - количество узлов.

3. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМ. У - количество узлов. . РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМ Усилия в статически неопределимых фермах как правило определяют методом сил. Последовательность расчета такая же как и для рам.. Степень статической неопределимости

Подробнее

Кафедра теоретической механики и сопротивления материалов

Кафедра теоретической механики и сопротивления материалов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Курганский государственный университет» Кафедра теоретической

Подробнее

5.4. Рама Рама 45

5.4. Рама Рама 45 .4. Рама 4 V V H M x M M(x 1) Q(x 1) N(x 1) 1. 12.667 17.8 6. 12.000 49..201-27.41 2 41.7 42.64 9.000 2.867.7 11.1-6.008-46.848 4.426 82.74 0.4 9.777 7.67 4.182-4.8-72.66 4 12.8 28.167 16.70 2.778 20.000-28.889-1.6-21.04

Подробнее

Северский технологический институт филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального

Северский технологический институт филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального М И Н И С Т Е Р С Т В О О Б Р А З О В А Н И Я И Н А У К И Р О С С И Й С К О Й Ф Е Д Е Р А Ц И И ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «Национальный

Подробнее

РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВОЙ КОНСТРУКЦИИ НА ИЗГИБ И УСТОЙЧИВОСТЬ

РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВОЙ КОНСТРУКЦИИ НА ИЗГИБ И УСТОЙЧИВОСТЬ Федеральное агентство по образованию Казанский государственный технологический университет РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВОЙ КОНСТРУКЦИИ НА ИЗГИБ И УСТОЙЧИВОСТЬ Методические указания к самостоятельной работе студентов

Подробнее

Задания и методические указания к расчетно-проектировочным работам. Часть 2

Задания и методические указания к расчетно-проектировочным работам. Часть 2 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 1 Кафедра сопротивления материалов СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Задания и методические указания к расчетно-проектировочным

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 22 Расчет статически неопределимых систем методом сил. 1 Статически неопределимые стержневые системы

ЛЕКЦИЯ 22 Расчет статически неопределимых систем методом сил. 1 Статически неопределимые стержневые системы В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 013 1 ЛЕКЦИЯ Расчет статически неопределимых систем методом сил 1 Статически неопределимые стержневые системы Стержневой системой называется всякая конструкция,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ

Подробнее

Часть 1 Сопротивление материалов

Часть 1 Сопротивление материалов Часть Сопротивление материалов Рисунок Правило знаков Проверки построения эпюр: Эпюра поперечных сил: Если на балке имеются сосредоточенные силы, то на эпюре, должен быть скачок на величину и по направлению

Подробнее

Печатается по решению Редакционно-издательского совета Казанского государственного архитектурно-строительного университета

Печатается по решению Редакционно-издательского совета Казанского государственного архитектурно-строительного университета УДК 624.04 (075) ББК 38.112 Г 96 Г96 Методические указания к выполнению расчетно-графической работы «Расчет рамы методом сил» для студентов обучающихся по направлению 270800.62 "Строительство"/ Сост. С.В.

Подробнее

СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМАЯ МНОГОПРОЛЕТНАЯ БАЛКА. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ

СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМАЯ МНОГОПРОЛЕТНАЯ БАЛКА. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАНИЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМАЯ МНОГОПРОЛЕТНАЯ

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ

Подробнее

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА Краткий курс

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА Краткий курс МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ГОРОДСКОГО ХОЗЯЙСТВА Л.Н.Шутенко, В.П.Пустовойтов, Н.А.Засядько СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА Краткий курс РАЗДЕЛ 1 СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ

Подробнее

СТРОИТЕЛЬСТВО РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ. И.И. Фролова, Т.П. Кормилицина. Учебно-практические пособие

СТРОИТЕЛЬСТВО РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ. И.И. Фролова, Т.П. Кормилицина. Учебно-практические пособие СТРОИТЕЛЬСТВО И.И. Фролова, Т.П. Кормилицина РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ Учебно-практические пособие ISBN 978-5-7264-1133-0 НИУ МГСУ, 2015 Оформление. ООО «Ай Пи Эр Медиа», 2015 Москва 2015 УДК

Подробнее

Печатается по решению Редакционно-издательского совета Казанского государственного архитектурно-строительного университета

Печатается по решению Редакционно-издательского совета Казанского государственного архитектурно-строительного университета 1 УДК 624.04 (075) ББК 38.112 Г 96 Г 96 Задания и краткие методические указания к выполнению расчетнографических и курсовой работ по дисциплине «Техническая механика» для студентов направления 230400.62

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 Построение эпюр внутренних силовых факторов для основных видов деформации бруса

ЛЕКЦИЯ 5 Построение эпюр внутренних силовых факторов для основных видов деформации бруса В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013 1 ЛЕКЦИЯ 5 Построение эпюр внутренних силовых факторов для основных видов деформации бруса 1 Эпюры и основные правила их построения Определение Эпюрами

Подробнее

Тема 2 Основные понятия. Лекция 2

Тема 2 Основные понятия. Лекция 2 Тема 2 Основные понятия. Лекция 2 2.1 Сопротивление материалов как научная дисциплина. 2.2 Схематизация элементов конструкций и внешних нагрузок. 2.3 Допущения о свойствах материала элементов конструкций.

Подробнее

Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский технологический институт «ВТУ»

Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский технологический институт «ВТУ» Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский технологический институт «ВТУ» Контрольные задания по дисциплине «Строительная механика» 1 Оглавление Общие

Подробнее

Репозиторий БНТУ ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 3

Репозиторий БНТУ ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 3 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие... 3 Глава 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ И ПОНЯТИЯ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ... 4 1.1. Задачи и методы строительной механики... 4 1.2. Понятие о расчетной схеме сооружения и ее элементах.. 6 1.3.

Подробнее

Кафедра «Динамика и прочность машин» Н.А. Малинина, Г.В. Малинин РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

Кафедра «Динамика и прочность машин» Н.А. Малинина, Г.В. Малинин РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ НОВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И АВТОМАТИЗАЦИИ ПРОИЗВОДСТВА Кафедра «Динамика и прочность машин» Н.А. Малинина, Г.В. Малинин

Подробнее

Расчёт статически неопределимой рамы методом перемещений. Задача 5

Расчёт статически неопределимой рамы методом перемещений. Задача 5 варианта, м h,м (1 ригель, стойка) схемы Расчёт статически неопределимой рамы методом перемещений Задача 5 Для рамы (рис. 5) с выбранными по шифру из табл. 5 размерами и нагрузкой требуется выполнить расчет

Подробнее

Лекция 19 Вычисление перемещений по формуле Мора 19.1 Формула Мора Вычисление интеграла Мора по правилу Верещагина Примеры вычислений

Лекция 19 Вычисление перемещений по формуле Мора 19.1 Формула Мора Вычисление интеграла Мора по правилу Верещагина Примеры вычислений Лекция 19 Вычисление перемещений по формуле Мора 191 Формула Мора 192 Вычисление интеграла Мора по правилу Верещагина 193 Примеры вычислений перемещений по формуле Мора при кручении, растяжении-сжатии

Подробнее

А. Б. Середа В. В. Орлов Строительная механика

А. Б. Середа В. В. Орлов Строительная механика Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Мосты и транспортные тоннели» А. Б. Середа В. В. Орлов Строительная механика Екатеринбург

Подробнее

о МЕТОДЕ РАСЧЕТА НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК Канд. техн. наук ЯКУБОВСКИЙ А, Ч., канд. техн. наук, доц. ЯКУБОВСКИЙ Ч. А.

о МЕТОДЕ РАСЧЕТА НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК Канд. техн. наук ЯКУБОВСКИЙ А, Ч., канд. техн. наук, доц. ЯКУБОВСКИЙ Ч. А. Металлургия. Металлообработка. Машиностроение УДК 539 о МЕТОДЕ РАСЧЕТА НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК Канд. техн. наук ЯКУБОВСКИЙ А, Ч., канд. техн. наук, доц. ЯКУБОВСКИЙ Ч. А. Неразрезными, или многопролетными, называются

Подробнее

Указания к выполнению контрольной работы 3

Указания к выполнению контрольной работы 3 Указания к выполнению контрольной работы Пример решения задачи 7 Для стального стержня (рис..) круглого поперечного сечения, находящегося под действием осевых сил F и F и F, требуется: ) построить в масштабе

Подробнее

МОСКОВСКИЙ АРХИТЕКТУРНЫЙ ИНСТИТУТ ( ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ) КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ Г.М.ЧЕНТЕМИРОВ

МОСКОВСКИЙ АРХИТЕКТУРНЫЙ ИНСТИТУТ ( ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ) КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ Г.М.ЧЕНТЕМИРОВ МОСКОВСКИЙ АРХИТЕКТУРНЫЙ ИНСТИТУТ ( ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ) КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ Г.М.ЧЕНТЕМИРОВ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ

Подробнее

Часть I. ЛЕКЦИОННЫЙ КУРС

Часть I. ЛЕКЦИОННЫЙ КУРС Часть I. ЛЕКЦИОННЫЙ КУРС 6 Лекция. Основы кинематического анализа в строительной механике. Базовые понятия: изменяемость и неизменяемость систем; диски, связи, степени свободы. Количество связей как критерий

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ. Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ. Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт» Кафедра прочности Домашнее задание по дисциплине «Механика материалов

Подробнее

СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ

СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ Глава 8 СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ 8.1. Шарнирно закрепленное твердое тело на упругих стержнях Постановка задачи. Определить усилия в стержнях статически неопределимой системы, состоящей из шарнирно

Подробнее

Контрольные задания по сопротивление материалов. для студентов заочной формы обучения

Контрольные задания по сопротивление материалов. для студентов заочной формы обучения Контрольные задания по сопротивление материалов для студентов заочной формы обучения Составитель: С.Г.Сидорин Сопротивление материалов. Контрольные работы студентов заочников: Метод. указания /С.Г.Сидорин,

Подробнее

ДИНАМИКА И УСТОЙЧИВОСТЬ ИСКУССТВЕННЫХ СООРУЖЕНИЙ

ДИНАМИКА И УСТОЙЧИВОСТЬ ИСКУССТВЕННЫХ СООРУЖЕНИЙ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет»

Подробнее

Задача 1 Для заданного поперечного сечения, состоящего из равнополочного двутавра ( 24а ГОСТ ) и швеллера 24 (ГОСТ ), требуется: 1.

Задача 1 Для заданного поперечного сечения, состоящего из равнополочного двутавра ( 24а ГОСТ ) и швеллера 24 (ГОСТ ), требуется: 1. Задача 1 Для заданного поперечного сечения, состоящего из равнополочного двутавра ( 4а ГОСТ 8509-86) и швеллера 4 (ГОСТ 840-89), требуется: 1. Вычертить сечение в масштабе 1: и указать на нем все оси и

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ. ПОСОБИЕ по проведению практических занятий

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ. ПОСОБИЕ по проведению практических занятий ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ

Подробнее

АНДРЕЙ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ «РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ МЕТОДОМ СИЛ» ШИФР: Дано: а= 3 м; Р= 10 кн; q= 2 кн/м; EI=const.

АНДРЕЙ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ «РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ МЕТОДОМ СИЛ» ШИФР: Дано: а= 3 м; Р= 10 кн; q= 2 кн/м; EI=const. АНДРЕЙ РАСЧЕТНОГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ «РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ МЕТОДОМ СИЛ» ШИФР: 6 3 3 Дано: а= 3 м; Р= кн; q= 2 кн/м; EI=const. Построить эпюры M,Q,N. 1. Кинематический анализ: W=3DCo=3 14=1

Подробнее

Разработал: д.т.н., проф. Шеин А.И.

Разработал: д.т.н., проф. Шеин А.И. Разработал: д.т.н., проф. Шеин А.И. Все инженерные сооружения требуют предварительного расчета, обеспечивающего надежность и долговечность их эксплуатации. Наука о методах расчета сооружений на прочность,

Подробнее

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ

Подробнее

ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ. «Расчет статически определимых многопролетной балки, плоской фермы, арки. Метод сил.»

ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ. «Расчет статически определимых многопролетной балки, плоской фермы, арки. Метод сил.» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гродненский государственный университет им. Я. Купалы» Факультет строительства и транспорта Кафедра «Строительное производство» ЗАДАНИЕ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА. Часть I

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА. Часть I МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Часть I Методические указания и контрольные задания Пенза 00 УДК 5. (075) И85 Методические указания

Подробнее

1. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ

1. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ 1. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ 1.1. Статически неопределимые стержневые системы Статически неопределимыми системами называются системы, для которых, пользуясь только условиями статики, нельзя определить

Подробнее

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА. Часть 1

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА. Часть 1 СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА Часть Хабаровск 2003 Министерство общего образования Российской Федерации Хабаровский государственный технический университет СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА Часть Методические указания для

Подробнее

РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ОСЕВОМ РАСТЯЖЕНИИ ИЛИ СЖАТИИ

РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ОСЕВОМ РАСТЯЖЕНИИ ИЛИ СЖАТИИ Министерство образования Российской Федерации Кубанский государственный технологический университет Кафедра сопротивления материалов и строительной механики РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ОСЕВОМ РАСТЯЖЕНИИ

Подробнее

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ Федеральное агентство по образованию РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра строительной механики РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ Методические

Подробнее

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» А.А. Поляков, В.М. Кольцов РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ Учебное электронное

Подробнее

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ. Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ. Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ Национальный аэрокосмический университет им НЕ Жуковского «Харьковский авиационный институт» Кафедра прочности Домашнее задание по дисциплине «Механика материалов

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации ФГАОУ ВПО «УрФУ имени первого Президента России Б.Н.Ельцина» Р. Г. Игнатов, Ф. Г. Лялина, А. А. Поляков Д. Е. Черногубов, В. В. Чупин СОПРОТИВЛЕНИЕ

Подробнее

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ НА ДИНАМИЧЕСКУЮ НАГРУЗКУ

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ НА ДИНАМИЧЕСКУЮ НАГРУЗКУ РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ НА ДИНАМИЧЕСКУЮ НАГРУЗКУ Омск 008 Федеральное агентство по образованию Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра строительной механики

Подробнее

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Page 1 of 15 Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Специальность: 170105.65 Взрыватели и системы управления средствами поражения Дисциплина: Механика (Сопротивление материалов)

Подробнее

Материалы для подготовки к зачету по строительной механике на 4 курсе заочной формы обучения на специальности ПГС

Материалы для подготовки к зачету по строительной механике на 4 курсе заочной формы обучения на специальности ПГС Материалы для подготовки к зачету по строительной механике на 4 курсе заочной формы обучения на специальности ПГС 1.Перечень вопросов к тестам 1-го уровня. Основные понятия, определения, алгоритмы и формулы

Подробнее

Многопролетные балки

Многопролетные балки ТЕТРАДЬ Чернева ИМ Многопролетные балки Метод сил Санкт-Петербург г Чернева ИМ ассистент, доцент кафедры строительной механики ЛИИЖТа, кафедры прочности материалов и конструкций ПГУПС в 96-996гг Оглавление

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 21 Энергетические методы определения перемещений (продолжение) 1 Теорема о взаимности работ

ЛЕКЦИЯ 21 Энергетические методы определения перемещений (продолжение) 1 Теорема о взаимности работ В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 03 ЛЕКЦИЯ Энергетические методы определения перемещений (продолжение) Теорема о взаимности работ Теорема о взаимности работ применима к системам, для которых

Подробнее

ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ПРОДОЛЬНЫХ УСИЛИЙ, НАПРЯЖЕНИЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ - СЖАТИИ СТЕРЖНЯ ПЕРЕМЕННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ПРОДОЛЬНЫХ УСИЛИЙ, НАПРЯЖЕНИЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ - СЖАТИИ СТЕРЖНЯ ПЕРЕМЕННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

I. СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ

I. СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ I. СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ Методы определения усилий от неподвижной нагрузки. Виды нагрузок. Методы определения усилий в статически определимых системах: а) метод сечений, б) метод замены связей.

Подробнее

290300, , , , ,

290300, , , , , МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УХТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Анализ внутренних силовых факторов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ УХТА 2002 УДК 539.3/6 А-72 Андронов И. Н. Анализ

Подробнее

Вопросы по дисциплине "Сопротивление материалов". Поток С-II. Часть 1 ( уч.г.).

Вопросы по дисциплине Сопротивление материалов. Поток С-II. Часть 1 ( уч.г.). Вопросы по дисциплине "Сопротивление материалов". Поток С-II. Часть 1 (2014 2015 уч.г.). ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ с подробным ответом. 1) Закрепление стержня на плоскости и в пространстве. Простейшие стержневые

Подробнее

8. ШПРЕНГЕЛЬНЫЕ ФЕРМЫ

8. ШПРЕНГЕЛЬНЫЕ ФЕРМЫ 8. ШПРЕНГЕЛЬНЫЕ ФЕРМЫ 8.1. Образование шпренгельной фермы Для уменьшения панелей грузового пояса в фермах больших пролетов применяют установку дополнительных ферм - шпренгелей, опирающихся в узлы пояса

Подробнее

Всероссийская дистанционная предметная олимпиада для студентов профессиональных образовательных организаций по дисциплине «Техническая механика»

Всероссийская дистанционная предметная олимпиада для студентов профессиональных образовательных организаций по дисциплине «Техническая механика» Всероссийская дистанционная предметная олимпиада для студентов профессиональных образовательных организаций по дисциплине «Техническая механика» Вопрос Варианты ответов Ответ 1. Какое из перечисленных

Подробнее

В.К. МАНЖОСОВ РАСЧЕТ СТЕРЖНЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ - СЖАТИИ

В.К. МАНЖОСОВ РАСЧЕТ СТЕРЖНЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ - СЖАТИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ В.К. МАНЖОСОВ РАСЧЕТ СТЕРЖНЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ - СЖАТИИ УЛЬЯНОВСК 2001 УДК 539.9(076) ББК30.12я7 М23 Манжосов

Подробнее

Материалы для организации самостоятельной работы студентов 4 курса ИСФ заочной формы обучения при изучении строительной механики

Материалы для организации самостоятельной работы студентов 4 курса ИСФ заочной формы обучения при изучении строительной механики Материалы для организации самостоятельной работы студентов 4 курса ИСФ заочной формы обучения при изучении строительной механики Модуль М-8. МЕТОД СИЛ.Методические указания Структура изучаемого модуля

Подробнее

Предельная нагрузка для стержневой системы

Предельная нагрузка для стержневой системы Л е к ц и я 18 НЕУПРУГОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ Ранее, в первом семестре, в основном, использовался метод расчета по допускаемым напряжениям. Прочность изделия считалась обеспеченной, если напряжение в опасной

Подробнее

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное Государственное Бюджетное Образовательное Учреждение Высшего Профессионального Образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

Подробнее

В сопротивлении материалов различают изгиб плоский, косой и сложный.

В сопротивлении материалов различают изгиб плоский, косой и сложный. Лекция 10 Плоский поперечный изгиб балок. Внутренние усилия при изгибе. Дифференциальные зависимости внутренних усилий. Правила проверки эпюр внутренних усилий при изгибе. Нормальные и касательные напряжения

Подробнее

Проведем сечение на расстоянии x от левой опоры, разделив балку на две части, и рассмотрим равновесие левой части балки.

Проведем сечение на расстоянии x от левой опоры, разделив балку на две части, и рассмотрим равновесие левой части балки. Тема 2. Методы определения усилий от неподвижной нагрузки. Лекция 2.1. Методы определения усилий в статически определимых системах. 2.1.1 Статический метод. Основными методами определения усилий в элементах

Подробнее

РАБОТА 4 РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

РАБОТА 4 РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ РАБОТА 4 РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ Задание и исходные данные Схема рамы и числовые данные выбираются соответственно на рис.33 и в табл.7 по заданию преподавателя. Таблица

Подробнее

ÑÎÏÐÎÒÈÂËÅÍÈÅ ÌÀÒÅÐÈÀËÎÂ: ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÝÏÞÐ ÂÍÓÒÐÅÍÍÈÕ ÑÈËÎÂÛÕ ÔÀÊÒÎÐÎÂ, ÈÇÃÈÁ

ÑÎÏÐÎÒÈÂËÅÍÈÅ ÌÀÒÅÐÈÀËÎÂ: ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÝÏÞÐ ÂÍÓÒÐÅÍÍÈÕ ÑÈËÎÂÛÕ ÔÀÊÒÎÐÎÂ, ÈÇÃÈÁ Å. Þ. Àñàäóëèíà ÑÎÏÐÎÒÈÂËÅÍÈÅ ÌÀÒÅÐÈÀËÎÂ: ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÝÏÞÐ ÂÍÓÒÐÅÍÍÈÕ ÑÈËÎÂÛÕ ÔÀÊÒÎÐÎÂ, ÈÇÃÈÁ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СПО 2-е издание, исправленное и дополненное Ðåêîìåíäîâàíî Ó åáíî-ìåòîäè åñêèì îòäåëîì ñðåäíåãî

Подробнее

РАСЧЕТ ПЛОСКИХ ФЕРМ. Методические указания и контрольные задания для студентов заочного отделения

РАСЧЕТ ПЛОСКИХ ФЕРМ. Методические указания и контрольные задания для студентов заочного отделения Министерство науки и образования Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ростовский государственный строительный

Подробнее

РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Тычина К.А. VII М е т о д с и л

Тычина К.А. VII М е т о д с и л www.tychina.pro Тычина К.А. V М е т о д с и л В в е д е н и е: С помощью уравнений статического равновесия Теоретической механики инженеры научились определять реакции связей в опорах балок и рам и получать

Подробнее