7 1. Даны комплексные числа z1 8 8i. 1) Изобразите их на комплексной плоскости. 2) Запишите число 3) Запишите число z 2. в тригонометрической форме.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "7 1. Даны комплексные числа z1 8 8i. 1) Изобразите их на комплексной плоскости. 2) Запишите число 3) Запишите число z 2. в тригонометрической форме."

Транскрипт

1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен научиться: находить тригонометрическую и показательную формы комплексного числа по его алгебраической форме; выполнять операции над комплексными числами; вычислять значения функций комплексной переменной; исследовать функцию на аналитичность; вычислять интегралы от функций комплексной переменной как по общей формуле так и с помощью интегральной формулы Коши; раскладывать аналитическую функцию комплексной переменной в ряд Тейлора; находить изолированные особые точки функции комплексной переменной и определять их тип; раскладывать функцию комплексной переменной в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки; находить вычеты функции комплексной переменной в ее особых точках; вычислять интегралы от функций комплексной переменной используя теорию вычетов; находить изображения оригиналов; находить оригиналы по их известному изображению; решать задачу Коши операционным методом ЗАДАЧИ ДЛЯ АУДИТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ Элементы теории функций комплексной переменной 7 7 Даны комплексные числа 8 8 и cos s ) Изобразите их на комплексной плоскости ) Запишите число ) Запишите число в алгебраической форме ) Найдите: в тригонометрической форме ; д) 5 а) ; б) ; в) ; г) ; е) ) Постройте линии заданные уравнениями: а) ; б) ; в) arg и область D заданную системой неравенств: г) arg 99

2 ) Проверьте принадлежат ли точки M ; и M ; области D Дано уравнение и область D : ) Найдите все корни этого уравнения ) Определите какие из корней являются простыми а какие кратными ) Укажите какие из корней принадлежат области D Дана функция и две точки и ) Выясните является ли она аналитической на всей комплексной плоскости () ) В случае положительного ответа найдите а) ( ) 5 Дана функция ( ) ( ) и вычислите ; б) ) s ( ( ) d ) Выясните в каких точках она является дифференцируемой ) Найдите в этих точках ) Вычислите () 6 Функция () особой точки ( ) d отрезок прямой от точки в окрестности R до точки своей изолированной разложена в ряд Лорана ( ) ) Определите тип особой точки ) Найдите вычет функции () в этой точке ) Вычислите интеграл ( ) d 7 Дана функция ( ) ) Найдите ее изолированную особую точку ) Определите тип этой особой точки ) Найдите вычет функции () в точке ) Вычислите интеграл ( ) d 8 Вычислите решении задания! d используя результаты полученные при

3 Операционное исчисление Найдите изображение оригинала t ) ( t) cos t ; ) ( t) tcht s t ; t (t) t t ) ( t) ; ) ( t) t shd Решите операционным методом задачу Коши t ) y y ; ) y 5y y ; ) y 9y sht y ( ) ; ) y y y s t y ( ) y ( ) y( ) y( ) y( ) y( ) Ответы Элементы теории функций комплексной переменной ) y ) cos s ; x ) ; ) а) ; б) ; в) е) ) а) y б) 8; г) y ; ; д) x в) г) y y x x D x ) M D M D

4 ) k k k Z ; ) k k k Z k корни кратности ; ) простые корни ) а) является; б) является; ) а) ; ch б) ; d ch 5 ) ; ) ( ) ; ) 6 ) полюс третьего порядка; ) ; ) 7 ) ; ) существенно особая точка; ) 9 d ; 9 ; ) 9 8 Операционное исчисление 5 8 ) F ( ) ; ) F ( ) ; 6 5 ) F( ) ; ) F ( ) t t t ) sh t ; ) ; ) sht sht ; 8 t t ) t cos t

5 КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ Комплексные числа и действия над ними Алгебраическая форма комплексного числа: x y x y действительная часть комплексного числа мнимая часть комплексного числа x R y Im мнимая единица x y комплексное число сопряженное числу x y ( ) Действия с комплексными числами записанными в алгебраической форме ( x y x y): x x y y ; x x y y; x x y y x y x ; x x y y x y x y y x y ; ; Модуль комплексного числа x y: r x y Аргумент комплексного числа : Arg OM OX где M x; y (рис ) Arg k k где однозначно определяемый угол из промежутка ; главное значение аргумента Y y M r ; Рис Главные значения аргументов для чисел таблице x X x y представлены в

6 x x x x x x x x y x y y y y y arctg y x y y arctg y x y arctg y x Тригонометрическая форма комплексного числа : rcos s Действия с комплексными числами записанными в тригонометрической r cos s r cos s ): r r cos s ; r cos s r Формула Муавра: r cos s Извлечение корня из комплексного числа rcos s : k k r cos s k Формула Эйлера: cos s форме ( r показательная форма комплексного числа rcos s Действия с комплексными числами записанными в показательной форме r r : r r r ; ; r r k ; r k

7 Основные элементарные функции комплексной переменной Показательная функция: x cos y s y Тригонометрические функции: s cos s ; cos ; tg ; ctg ; cos s s s x y s xch y cos xsh y ; cos cosx y cos xch y s xsh y Гиперболические функции: sh ch sh ; ch ; th ; cth ch sh Логарифмическая функция: L r k k где rcos s Общая степенная функция: L Обратные тригонометрические функции: L ; Arc cos L Arc s Arctg L ; ; Arcctg L Дифференцирование функции комплексной переменной Производная однозначной функции в точке определяется как m если этот предел существует и конечен Если функция имеет производную в точке то она называется дифференцируемой в этой точке Для того чтобы функция ux y vx y была дифференцируема в точке x y необходимо и достаточно чтобы: ) функции u x y и v x y были дифференцируемы в точке x; y; u v ) в точке x; y выполнялись условия Коши Римана x y u v y x Для производной справедливы формулы u v v u x x y y Производные основных элементарных функций представлены в таблице 5

8 c c cos s tg cos ctg s s cos th ch sh ch cth sh sh ch Однозначная функция называется аналитической в точке если она дифференцируема в самой точке и некоторой окрестности этой точки Действительная функция u x y имеющая в области D непрерывные частные производные до второго порядка включительно и удовлетворяющая уравнению Лапласа u u x y в любой точке Mx y D называется гармонической в области D Гармонические функции и связанные между собой условиями Коши Римана называются сопряженными Для аналитичности функции ux y vx y в области D необходимо и достаточно чтобы функции u x y и v x y были сопряженными гармоническими в этой области Для всякой гармонической функции u x y v x y в односвязной области D можно найти сопряженную с ней гармоническую функцию v x y u x y которая определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого т е можно восстановить аналитическую функцию u x y v x y по известной действительной (мнимой) части u x y v x y Интегрирование функции комплексной переменной Пусть ux y vx y однозначная функция определенная и непрерывная в области D кусочно-гладкая (замкнутая или незамкнутая) ориентированная кривая лежащая в области D Тогда справедлива формула d u v dx dy udx vdy vdx udy Свойства интегралов от функции комплексной переменной: g d d g d ; d d меняет знак; AB BA d d d т е при изменении ориентации кривой интеграл ; 6

9 B B Если кривая x AB t ; y t d t t AB задана уравнением xt yt A x t y то имеет место формула t t dt A ; t Интегральная теорема Коши для односвязной области Если функция аналитическая в односвязной области D то для любой замкнутой кривой лежащей в области D d Следствие Если функция аналитическая в односвязной области D то значение интеграла от не зависит от пути интегрирования: d d если кривые лежат в области D и имеют общие начало и конец Следствие (интегральная теорема Коши для многосвязной области) Пусть граница Г многосвязной области D состоит из замкнутой кусочногладкой кривой и попарно не пересекающихся замкнутых кусочно-гладких кривых расположенных внутри Если аналитическая в области D функция непрерывна на ее границе Г то справедлива формула k k d при этом кривые ориентированы положительно Дифференцируемая в односвязной области D функция F называется первообразной функции в этой области если F для D Для интеграла от дифференцируемой в односвязной области D функции вдоль произвольной кривой соединяющей точки введем обозначение d и Если функция дифференцируема в односвязной области D то справедлива формула Ньютона Лейбница: d F F F F какая-либо первообразная функции Если функции и где в односвязной области D g дифференцируемы в односвязной области D то имеет место формула интегрирования по частям: gd g g d 7

10 Неопределенные интегралы от некоторых однозначных элементарных функций комплексной переменной представлены в таблице d C 5 s d cos C 9 sh d ch C d C 6 cos d s C ch d sh C d d d C 7 tg C th C cos ch d C d d 8 ctg C cth C s sh Интегральная формула Коши Если функция является аналитической в односвязной области D содержащей простую замкнутую кривую то для любой точки лежащей внутри справедлива формула d (при этом полагают что контур ориентирован положительно) Интегральная формула Коши для производных Если функция является аналитической в области D содержащей простую замкнутую кривую то для любой точки лежащей внутри имеет место формула! d при этом полагают что контур ориентирован положительно Ряды в комплексной области Числовым комплексным рядом называется ряд вида где последовательность комплексных чисел Ряд x y сходится тогда и только тогда когда сходятся два действительных ряда x и y Ряд x y называется абсолютно сходящимся если сходится ряд из модулей его членов x y 8

11 Свойства сходящихся рядов Необходимый признак сходимости Если ряд m сходится то Если сходится ряд то сходится и ряд сходимости ряда следует его сходимость Если для ряда т е из абсолютной существует такой сходящийся числовой ряд положительными членами что для то ряд сходится абсолютно Признак Даламбера Если существует предел m L то при c c с L ряд сходится абсолютно а при L расходится 5 Признак Коши Если существует m L то при L ряд сходится абсолютно а при L расходится Функциональным рядом в комплексной области называется выражение где последовательность функций комплексной переменной Комплексным степенным рядом называется функциональный ряд вида c c где комплексная переменная c коэффициенты ряда Областью сходимости степенного ряда называется множество всех таких точек в которых этот ряд сходится Для каждого степенного ряда существует круг сходимости с центром в точке и радиусом сходимости R R который можно вычислить по c формулам R m или R m c c если эти пределы существуют Теорема о почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда Пусть R радиус сходимости степенного ряда c В круге сходимости R сумма ряда S является 9

12 аналитической функцией Поэтому в любой точке этого круга ряд можно почленно дифференцировать любое число раз и почленно интегрировать вдоль любой гладкой кривой расположенной в этом круге Полученные в результате степенные ряды сохраняют тот же круг сходимости Теорема о разложении аналитической функции в ряд Тейлора Если однозначная функция является аналитической в точке то она разлагается в окрестности этой точки в ряд Тейлора: c коэффициенты c которого вычисляются по формуле c d! где : r r окружность с центром в точке расположенная в окрестности точки в которой функция аналитической В частности функция аналитическая в окрестности точки разлагается в этой окрестности в ряд Маклорена по степеням : целиком является c Разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций!!! sh! 5! ch!! s! 5! cos!! 5 5!!!!!!!!!!!

13 ! ; L многозначной функции однозначная ветвь выделяемая условием Теорема о разложении функции в ряд Лорана Если функция является однозначной и аналитической в кольце r R то в каждой точке этого кольца разлагается в ряд Лорана (ряд по неотрицательным и отрицательным степеням c c c Коэффициенты ряда Лорана вычисляются по формулам: c d ; где c ) т е справедлива формула d окружность r R обегаемая против часовой стрелки Ряд c c c c по неотрицательным степеням называется правильной или регулярной частью ряда Лорана c Ряд c c по отрицательным степеням называется главной частью ряда Лорана Нули и изолированные особые точки аналитической функции Точка называется нулем функции если Точка называется нулем порядка k k функции если k k В случае k точка называется простым нулем функции Для того чтобы точка являлась нулем порядка k k аналитической функции необходимо и достаточно чтобы в некоторой функция разлагалась в ряд Тейлора следующего окрестности точки вида:

14 k k c c c c k k k Это равносильно равенству k где аналитическая в точке функция причем Точка называется изолированной особой точкой функции если существует окрестность этой точки в которой функция является аналитической всюду кроме самой точки Изолированная особая точка функции называется устранимой особой точкой этой функции если существует конечный m Для того чтобы изолированная особая точка функции была устранимой особой точкой этой функции необходимо и достаточно чтобы в некоторой окрестности точки разложение функции в ряд Лорана не содержало главной части т е имело место представление c c c Изолированная особая точка функции называется полюсом этой m функции если Изолированная особая точка функции является полюсом порядка k k этой функции тогда и только тогда когда в некоторой окрестности точки разложение функции в ряд Лорана имеет вид k k k c k c c c ck Это равносильно равенству k где аналитическая в точке функция причем При k точка называется простым полюсом функции Утверждение Точка является полюсом порядка k функции тогда и только тогда когда точка является нулем порядка k функции Утверждение Пусть при этом является нулем порядка m функции и нулем порядка функции Тогда если m то точка устранимая особая точка функции если m то полюс порядка m функции

15 Изолированная особая точка функции называется существенно особой точкой этой функции если при не имеет ни конечного ни бесконечного предела Изолированная особая точка функции является существенно особой точкой этой функции в том и только том случае когда в некоторой окрестности точки главная часть ряда Лорана функции содержит бесконечно много отличных от нуля членов Вычеты и их приложения к вычислению интегралов Вычетом функции в изолированной особой точке называется коэффициент c в разложении этой функции в ряд Лорана по степеням Вычет в точке обозначается Таким образом rs c d где произвольная замкнутая кривая охватывающая точку и лежащая в кольце аналитичности R функции (кривая положительно ориентирована) Если устранимая особая точка функции то rs Если простой полюс функции rs m В частности если где rs то аналитические в точке функции причем то rs Если полюс порядка функции d rs m! d Если существенно особая точка функции по определению вычета а именно как коэффициент разложении функции в окрестности точки то то rs находят c в лорановском Основная теорема Коши о вычетах Если функция является аналитической в односвязной области D всюду за исключением конечного числа особых точек а произвольная замкнутая кривая лежащая в D и содержащая внутри себя точки то d rs k k при этом должна быть положительно ориентирована

16 t Операционное исчисление Если функция действительной переменной существует несобственный интеграл t t dt F зависящий от комплексного параметра t t и () w то преобразование функции в функцию по формуле () называется интегральным преобразованием Лапласа при этом функция называется изображением функции по Лапласу а функцией-оригиналом или оригиналом Соответствие между оригиналом и изображением обозначается F t или Функция называется оригиналом если она удовлетворяет условиям: ) t ; t t ; m t ; t t t t t F t F t F определена при t ) кусочно-непрерывная функция на любом конечном интервале оси t; ) существуют такие числа M что t t M t () Нижняя грань всех чисел для которых выполняется неравенство () называется показателем роста функции Теорема Всякий оригинал имеет изображение F являющееся аналитической функцией в полуплоскости R где показатель роста оригинала Имеют место следующие свойства оригиналов и изображений: Линейность преобразования Лапласа Если t t оригиналы с показателями роста t t оригинал с показателем роста max причем если t F t F то для выполнено условие t t F F t F то для t и t t соответственно то линейная комбинация Теорема смещения Если t t F Теорема запаздывания Если t t a a F Теорема опережения Если t t a a t F t dt a F и a то F и a то

17 5 Теорема подобия Если t F и то t F t t m t 6 Теорема о дифференцировании оригинала Если t F то t F где оригиналы и F п/п Следствие Если t t t оригиналы то F t 7 Теорема о дифференцировании изображения Если F t t 8 Теорема об интегрировании оригинала Если t ds s d F 9 Теорема об интегрировании изображения Если сходится то t t ds F s t F t Таблица некоторых оригиналов и их изображений представлена ниже t t t F! s t 5 cos t 6 sh t Если изображение п/п t t t то F F 7 ch t 8 s t 9 cos t sh t ch t t t! F то F является однозначной функцией и имеет конечное число особых точек таких что R k k показатель роста оригинала t то t k t r s F k и 5

18 Pm Если F и многочлены степеней Q соответственно s корни многочлена с кратностями s то s t m P m s k d m k k k! k d Если k k Q k F k t Q простые полюсы функции t F t m k k Если k k t k простые полюсы функции F Pm k Q k k kt ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Комплексные числа и действия над ними P Q m F то m то Даны два комплексных числа и Найдите: а) ; б) ; в) ; г) Решение а) Выполним сложение комплексных чисел алгебраической форме: 5 и : записанных в б) Найдем комплексное число Выполним вычитание комплексных чисел и записанных в алгебраической форме: 5 в) Выполним сначала умножение комплексных чисел и записанных в алгебраической форме: Найдем теперь комплексное число сопряженное комплексному числу г) Выполним деление комплексных чисел и записанных в алгебраической форме: 6

19 Запишите число в тригонометрической и показательной формах: а) ; б) ; в) Изобразите эти числа на комплексной плоскости Решение а) Найдем модуль и аргумент комплексного числа x R y Im r Тригонометрическая форма числа Показательная форма этого числа: Изобразим число : cos s на комплексной плоскости (рис ) y Рис б) Модуль и аргумент комплексного числа равны: r т к R Im Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид cos s Запишем показательную форму числа : Изобразим число на комплексной плоскости (рис ) y x : x 7

20 Рис в) Найдем модуль и аргумент комплексного числа : x R y Im r arctg y arctg x Тригонометрическая форма комплексного числа : cos s Показательная форма комплексного числа : Изобразим число на комплексной плоскости (рис ) y x Рис Вычислите: а) 5 ; б) ; в) Решение а) Учитывая что найдем остаток от деления числа 5 на 5 число : 5 5 Тогда б) Выше в задаче в) число записано в показательной форме: Воспользуемся формулой r 7 Тогда 8 в) Представим числа и в показательной форме Найдем модуль и аргумент числа : 8

21 x R y Im y arctg x arctg 6 Тогда 6 Найдем модуль и аргумент числа x R y Im y arctg x arctg Следовательно Выполним деление чисел применив формулу частного комплексных чисел записанных в показательной форме: 6 6 Воспользуемся формулой 5 и 5 r : получим Найдите все значения корня из заданного комплексного числа и изобразите их на комплексной плоскости а) ; б) 8 Решение а) Выше в задаче а) была получена показательная форма числа Воспользуемся формулой Муавра k r k k k Значит k k существуют два квадратных корня из числа : 9

22 Корни и координат (рис 5) лежат на окружности радиусом 8 Рис 5 с центром в начале б) Представим число в показательной форме Для этого найдем его модуль и аргумент: x R y Im 8 r 8 Следовательно 8 8 (рис 6) Воспользуемся формулой Муавра В нашем случае k Тогда k r k k k k 6 cos s ; 6 6 cos s 7 ; k cos s 6 6 Корни лежат на окружности радиусом с центром в начале координат в вершинах правильного треугольника вписанного в эту окружность (рис 7) y y x y 8 x x Рис 6 Рис 7

23 Основные элементарные функции комплексной переменной (ФКП) Вычислите значение функции используя определение соответствующей ФКП Ответ запишите в алгебраической форме ) 5 ) s ) cos 5) 6) 7) ch L 9) Arc s ) Arc cos ) Решение ) sh 8) x y x ) Воспользуемся формулой cos y s y : cos s 5 ) Для того чтобы вычислить s воспользуемся формулой s x y s xch y cos xsh y : s s s ch cos sh 5 5 Учитывая что s cos sh sh ch ch для 5 C получим s ch sh ) Воспользуемся формулой cos ) Применив формулу Вычислим sh cos : ch получим sh по формуле Эйлера cos s : cos s ; cos s Тогда sh 5) Применив формулу ch получим ch Вычислим и x y x cos y s y по формуле

24 cos s cos s cos s Тогда ch cos cos s cos s cos s s chcos shs 6) Используем определение логарифма числа rcos s r k k Для этого предварительно найдем модуль L аргумент данного числа : ; x R y Im r L Тогда k k k 7) Найдем L Вычислим модуль и аргумент числа : и L используя формулу : x R y Im r Найдем теперь значение L по формуле r k k L k k k k : L : Тогда cos k s k k L L 8) в соответствии с формулой Найдем модуль и аргумент числа : x R y Im r Вычислим по формуле L r k k : L k k k Тогда L L Заметим что значения действительных чисел вида k k k k k образуют бесконечное множество k 9) Воспользуемся формулой Arc s L Arc s L : L поскольку Так как то r

25 arg arg arg Тогда Arc s k k k ) Воспользуемся формулой Arc cos L : L L L L Arc cos Так как arg Тогда L k k L m m После умножения на чисел из этих множеств окончательно получаем Arc cos k k k ; Arc cos m m m Дано уравнение и область D Найдите все корни этого уравнения Определите какие из корней являются простыми а какие кратными Укажите какие из корней принадлежат области D а) D : ; б) s 6 8 D : то

26 Решение а) L Вычислим Воспользуемся формулой L r k k тогда L arg k k k k Тогда уравнение L примет вид k k L Отсюда k k k Значит множество всех корней данного уравнения имеет вид ; ; k k k Чтобы выяснить какова кратность корней уравнения нужно проверить нулями какого порядка являются числа для функции Найдем и k : k cos s k Значит числа k k k являются простыми нулями функции и следовательно простыми корнями уравнения Таким образом корни и являются простыми корнями уравнения так как они встречаются в наборе корней k при k и k и при этом являются простыми корнями уравнения Значит для исходного уравнения корни кратностью Остальные числа k k k k k являются простыми корнями данного уравнения Определим теперь какие из корней уравнения принадлежат области D : которая является открытым кругом радиусом с центром в k k

27 точке Очевидно что число D если расстояние от до центра круга меньше Найдем расстояние от каждого из корней уравнения до центра круга: для : D для : D корень для : D Значит k для всех k k и следовательно только один принадлежит области D s б) s k k k k k Arcs Следовательно множество всех корней данного уравнения имеет вид k ; ; k k Проверим какова кратность корней k уравнения s Для этого выясним нулями какого порядка являются числа k для функции s Найдем и вычислим k cos cos k k k cos k k Значит числа k k являются простыми нулями функции s Следовательно числа и являются простыми корнями уравнения s так как они встречаются в наборе корней k при k и k соответственно и одновременно являются простыми корнями уравнения 6 8 Значит для исходного уравнения и 5

28 k корни кратностью тогда как остальные корни k k k k простые корни Определим теперь какие из корней уравнения принадлежат области D : которая является открытым кругом радиусом с центром в точке Найдем расстояние от каждого из корней уравнения до центра круга: 5 : D 6 9 : D 6 Решив неравенство k k для k k получим k k k k k 6 6 Откуда следует что корни k D если k ; ; ; Дифференцирование функции комплексной переменной Определите является ли функция аналитической хотя бы в одной точке Найдите производную функции в точках в которых она существует ; б) а) Решение а) Найдем действительную u x y и мнимую x y Пусть x y тогда x y x y x yx y x y x y v части функции Значит ux y x y x vx y y Функции u x y и v x y дифференцируемы в любой точке y Вычислим их частные производные первого порядка: u u v v x y x y x y Составим условия Коши Римана для заданной функции: x; 6

29 u v x y Тогда x u v y y x Следовательно условия Коши Римана выполняются только в одной точке Поэтому функция является дифференцируемой только в точке и не является аналитической ни в одной точке комплексной плоскости u v Найдем Воспользуемся формулой Тогда x x u v x x x x x y ; y б) Найдем действительную x Пусть x y тогда u x x y y и мнимую v x y xy x x y x y cos y s y x cos y ys y ycos y x s y x Значит ux y x cos y ys y x vx y ycos y x s y Функции u x y и x y x; y Вычислим их частные производные первого порядка: части функции v являются дифференцируемыми в любой точке u x u x x cos y y s y x s y y cos y x y v x v x y cos y x s y x cos y y s y x y u v u v Поскольку для x y то условия Коши Римана x y y x выполняются в любой точке x; y Следовательно функция является дифференцируемой в любой точке а значит аналитической на всей комплексной плоскости Найдем в Определите является ли функция ux y x y x области гармонической D В случае положительного ответа восстановите 7

30 аналитическую функцию значению по известной действительной части u x y и Решение Найдем частные производные u u x y x y x u x u и y u функции u y u x u u Так как для любой точки x ; y то функция x y является гармонической на всей плоскости Это дает нам возможность найти сопряженную с ней гармоническую функцию (см подраздел «Дифференцирование ФКП») являющуюся мнимой частью искомой аналитической функции u x y vx y Составим условия Коши Римана: u v x y которые для найденных значений u v y x и принимают вид v x y v y x Проинтегрируем первое равенство по переменной : v dy x dy vx y xy y x откуда найдем y v y x x В соответствии со вторым равенством последней системы имеем y x y x x C Подставив x в выражение для v x y получим vx y xy y C x y u x y v x y : v x y Составим функцию x y x y x x y C x x y x y C C u x y u y y : u x y xy x y C Найдем значение произвольной постоянной C из условия C C C C y 8

31 Таким образом функция с известной действительной частью и удовлетворяющая условию имеет вид Интегрирование функций комплексной переменной Вычислите Im d где отрезок прямой от точки u x y до точки Решение Найдем уравнение прямой проходящей через точки и Так как прямая проходит через начало координат то ее уравнение будем искать в виде Определим Подставим в это уравнение координаты точки ; получим k k Значит уравнение прямой проходящей через точки в декартовых координатах имеет вид а комплексная форма этого уравнения примет вид x x На отрезке этой прямой переменная x изменяется от до R Найдем : d dx y kx d k y x Вычислим значение функции Im x x x x Im Im x x x и в точках заданной прямой: Подставив все вычисленные значения в исходный интеграл получим x 8 Im d x dx до точки Вычислите R d по дуге параболы y x от точки Решение Напишем уравнение дуги параболы в комплексной форме: x x где x изменяется от x R до x R Найдем d : d x x dx xdx R в точках кривой : Вычислим значение функции R Rx x x Тогда R d x xdx x x xdx 9

32 x x x 6 x до точки Вычислите d где дуга окружности от точки Решение Параметрические уравнения окружности R радиусом R с центром в точке x; y имеют вид x x Rcos t y y Rs t t Тогда параметрические уравнения окружности радиусом центром в точке x cost y s t t откуда примут вид t xt yt t s t t вид cos R с Таким образом уравнение окружности в комплексной форме имеет t t Найдем d t t : d dt dt Вычислим значение функции t t t t в точках кривой : Учитывая что точка окружности соответствует значению t а точка значению t получим d t t dt t dt t Вычислите s до точки d t d t где дуга окружности от точки

33 Решение Функция s является аналитической на всей комплексной плоскости Поэтому интеграл от этой функции не зависит от пути интегрирования и по любой кривой с началом в точке и концом в точке принимает одно и то же значение: s d s d Для вычисления полученного определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона Лейбница d F F которой s d s d cos cos cos cos 5 Вычислите точки cos cos cos cos cos ch cos в соответствии с cos d где отрезок прямой от точки до Решение Функция cos является аналитической на всей комплексной плоскости Поэтому интеграл от этой функции по любой кривой с началом в точке принимает одно и то же значение: и концом в точке cos d cos d Для вычисления полученного определенного интеграла воспользуемся формулой интегрирования по частям gd g g d в соответствии с которой

34 cos d g cos d g s s d s cos cos cos d s s cos cos s cos sh ch chsh sh 6 Вычислите d где окружность: а) ; б) ; в) Решение Найдем изолированные особые точки подынтегральной функции: а) Определим какие из полученных точек лежат в круге D с границей Для этого вычислим расстояние от точки до центра этого круга D : ; : D Значит подынтегральная функция является аналитической в круге D Отсюда в силу интегральной теоремы Коши получаем d б) Определим теперь какие из точек и лежат в круге D: радиусом R с центром в точке Найдем расстояние от точки до точки : D : ; : D Значит точка лежит в круге D с границей

35 где Представим подынтегральную функцию в виде аналитическая функция в данном круге Воспользуемся интегральной формулой Коши d : d d в) Определим какие из точек и радиусом с центром в точке Найдем расстояние от точки точки : R : D ; лежат в круге D: : D Следовательно обе точки и Построим две непересекающиеся окружности : лежат в круге D r : r r лежащие внутри круга В результате получим трехсвязную область ограниченную окружностями (рис 8) По теореме Коши для многосвязной области данный интеграл примет вид d d d y x до Рис 8 Для вычисления каждого из интегралов справа воспользуемся интегральной формулой Коши d :

36 d d r ; d d r Окончательно получим d 7 Вычислите d где окружность Решение Найдем особые точки подынтегральной функции: Легко проверить что точка принадлежит кругу а точка ему не принадлежит Для вычисления интеграла запишем его в виде d d и применим интегральную формулу Коши для первой производной: d Тогда! d 8 6 Ряды в комплексной области Разложите функцию в ряд Тейлора в окрестности точки и укажите область сходимости полученного ряда: ) ; ) s ; ) 8 ;

37 ) ; 5) 7) Решение ) Воспользуемся разложением функции!!! Заменив в нем получим на ; 6)!!!!! в ряд Маклорена: ; Так как разложение функции справедливо для то и разложение функции имеет место на всей комплексной плоскости ) Учитывая что s cos воспользуемся разложением функции cos в ряд Маклорена: cos!!!! Заменив в нем на получим cos!!!!!! Тогда s cos!!!!!!! Так как разложение функции cos справедливо на всей комплексной плоскости то и разложение функции s имеет место для 5

38 ) Запишем функцию как Воспользуемся разложением функции Подставив и заменив! на 8 в ряд Маклорена: получим 8 8! 8 5! 8 5! Так как разложение функции справедливо в круге то разложение функции 8 имеет место для удовлетворяющего неравенству 8 т е для всех принадлежащих кругу 8 ) Воспользуемся разложением функции Заменив в нем на получим в ряд Маклорена: Отсюда справедливо для любого Так как разложение функции удовлетворяющего неравенству то разложение функции имеет место для всех таких что т е для принадлежащего кругу 6

39 5) Запишем функцию в виде Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена: Для разложения функции заменим в нем переменную на а для разложения функции переменную на В результате получим Тогда ; Так как разложение функции справедливо для всех удовлетворяющих условию то разложение функции имеет место для всех удовлетворяющих системе неравенств т е для принадлежащего кругу 6) Представим функцию в виде Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена: 7

40 Заменив в нем на получим Тогда Так как разложение функции удовлетворяющих условию для любого то разложение функции удовлетворяющего неравенству справедливо для всех имеет место т е для принадлежащего кругу 7) Решим задачу двумя способами: способ Запишем функцию как Воспользуемся разложением функции :! Подставив получим!!!! Так как разложение функции имеет место при всех удовлетворяющих неравенству справедливо в круге способ Представим функцию в виде то и разложение функции : Воспользуемся разложением функции После почленного дифференцирования этого ряда в круге получим 8

41 Тогда Разложите функцию в ряд Тейлора по степеням область сходимости полученного ряда ) ; ) s ; ) ; ) 5 6 и укажите Решение ) Запишем функцию в виде Воспользуемся разложением функции! Заменяя в нем на получим!! в ряд Маклорена: Так как разложение функции справедливо для любого то и разложение функции имеет место на всей комплексной плоскости в виде ) Запишем функцию s s cos Воспользуемся разложением функции cos в ряд Маклорена: cos! Заменяя в нем на получим 9

42 cos!! Так как разложение функции имеет место для любого разложение функции справедливо на всей комплексной плоскости ) Преобразуем функцию к виду cos Воспользуемся разложением функции Подставив! и заменив на в ряд Маклорена: получим то и! 8! Так как разложение функции справедливо в круге то разложение функции имеет место для любого удовлетворяющего неравенству т е для любого принадлежащего кругу ) Представим функцию в виде суммы простейших дробей: A B 5 6 Найдем значения неопределенных коэффициентов А и В Для этого правую часть последнего равенства приведем к общему знаменателю A B Приравнивая числители получим равенство многочленов A B которое выполняется тогда и только тогда когда коэффициенты при одинаковых степенях совпадают т е : A B : A B Решая систему получим A B

43 Отсюда Запишем функцию в виде Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена: Для разложения функции заменяем в нем на для разложения функции заменяем в нем на В результате получим искомый ряд для функции : Так как разложение функции разложение функции имеет место для всех неравенств т е для Разложите функцию ) ; ) s справедливо в круге то удовлетворяющих системе из круга в ряд Лорана в указанном кольце ; ) ; ) 5) ; 6) cos ;

44 Решение ) Функция является аналитической в кольце поэтому ее можно разложить в этой области в ряд Лорана по степеням Представим в виде Поскольку в указанном кольце выполняется неравенство для разложения сомножителя функции Используя для нашего случая где можно использовать ряд Маклорена вместо получим Подставим это выражение в исходную функцию : Функция разложена в ряд Лорана в указанном кольце ) Так как функция является аналитической в кольце то ее можно разложить в этой области в ряд Лорана по степеням Представим в виде

45 Чтобы разложить слагаемое в ряд по степеням функцию запишем в виде Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена: Заменяя в нем на получим Заметим что полученный ряд сходится в данном кольце т к в области переменная удовлетворяет неравенству Отсюда имеем ) Для того чтобы разложить функцию в ряд Лорана по степеням в кольце представим в виде Функцию запишем следующим образом: Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена: заменив в котором на получим

46 Поскольку в области переменная удовлетворяет неравенству полученный ряд сходится к функции Отсюда ) Функция является аналитической в кольце поэтому ее можно разложить в этой области в ряд Лорана по степеням Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена:! Заменяя в нем переменную на получим!!! 5) Функция s является аналитической в кольце и ее можно разложить в этой области по степеням Преобразуем функцию следующим образом: s s s s cos cos s Воспользуемся разложением функций s и cos в ряд Маклорена:! s ;! cos Заменяя в них на получим s cos cos s

47 !! s cos cos 6) Функция cos является аналитической в кольце и ее можно разложить в ряд Лорана по степеням Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена cos! заменив в котором cos на получим!! Нули и изолированные особые точки аналитической функции Найдите изолированные особые точки функции и определите их характер для полюсов укажите порядок ) ; ) ; ) ; s ) ; 5) ; 6) ; s s 7) ; 8) ; 9) Решение ch ) Найдем нули функции g знаменателя дроби : g Функция g имеет два нуля в точках: простой нуль Поэтому функция причем нуль третьего порядка имеет два полюса: третьего порядка первого порядка (простой полюс) имеет две изолированные особые точки: ) Функция Рассмотрим точку Используя разложение в ряд Тейлора для функции в окрестности точки получим! Найдем предел функции!!! при : 5

48 !! m m Следовательно является устранимой особой точкой функции Рассмотрим точку в виде Так как функция Представим функцию где является аналитической в точке то функция имеет в точке ) Особыми точками функции Очевидно имеет нуль второго порядка в точке в точках Найдем теперь нули числителя простой полюс являются нули ее знаменателя : и и простые нули L Вычислим L Воспользуемся формулой: L r k k в которой r Тогда L k k k Отсюда уравнение L k k k k Следовательно функция имеет нули в точках k k k Определим порядок нулей : Вычислим k k k k k простые нули функции является простым нулем числителя Это означает что Точки являются простыми нулями как числителя а значит эти точки устранимые особые точки Значит Таким образом второго порядка знаменателя функции так и знаменателя : ) Нули знаменателя g k k и нулем простой полюс будут особыми точками дроби k ; k k множество всех нулей функции k g 6

49 Точка порядок нулей g k содержится в наборе функции g Для точки g g k k k при имеем k Определим g Следовательно нуль второго порядка функции Выясним нулями какого порядка являются точки k k k k : k k k k g k Значит точки k k k k простые нули функции Таким образом функция в точке имеет полюс второго порядка а в точках k k k k простые полюсы 5) Разложим знаменатель функции на множители: Отсюда следует что простые нули функции которые и являются особыми точками функции Установим тип этих особых точек Для этого найдем нули числителя s Тогда получим: s k k k k k Для определения порядка нулей k k : k найдем k k cos k cos k k k k простые нули числителя знаменателя числителя Значит Заметим что простые нули не встречаются в наборе простых нулей ни при каком целом значении k Это означает что точки являются простыми полюсами функции Точки и простые нули как знаменателя так и числителя Поэтому эти точки являются устранимыми особыми точками функции 6) Найдем нули функции g s знаменателя дроби s k s k k Следовательно функция Определим их порядок Найдем g k получим k g cos g k cos k Значит k k k простые нули функции g имеет простые полюсы в этих точках g g g имеет нули в точках k k k Поэтому функция 7

50 7) Особыми точками функции будут нули ее знаменателя s Функция имеет простые нули в точках k k k (см решение задачи 6) Установим тип особых точек k k k функции Для этого найдем нули ее числителя Функция имеет простой нуль в точке Заметим что встречается в наборе при Таким образом является простым нулем как числителя так и знаменателя функции Поэтому устранимая особая точка функции Точки k k k k являются простыми нулями знаменателя при этом k Значит k k k k простые полюсы функции кольце k 8) Функция имеет единственную особую точку Для определения типа особой точки разложим в ряд Лорана в! используя разложение функции! Заменив в нем на! k получим в ряд Маклорена:!!!! Функция представляется следующим рядом Лорана в кольце :!! Как видно главная часть ряда Лорана содержит одно слагаемое Значит 9) Функция ch имеет единственную особую точку Запишем в виде ch Для разложения функции в ряд Лорана в кольце воспользуемся разложением функции ch в ряд Маклорена по степеням : полюс первого порядка функции 8

51 ch Заменив в нем на! ch получим!!! Тогда в кольце ряд Лорана функции ch!!! имеет вид Так как главная часть ряда Лорана содержит бесконечно много ненулевых членов то существенно особая точка функции Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычислите интеграл d где обходится в положительном направлении ) ; : 5 ) ; : 5 5) ; : 7) ; ) ; ) ; 6) ; : ; 8) заданный контур который ; : ; ; : ; ; : ; ; : Решение ) Подынтегральная функция имеет два простых полюса в точках и Проверим какие из этих особых точек принадлежат области D : 5 Так как 5 и 5 то D и D Следовательно функция d 5 является аналитической в области D поэтому 9

52 ) Подынтегральная функция имеет два полюса: первого порядка (см решение задачи из пункта третьего порядка и «Нули и изолированные особые точки») Выясним какие из этих особых точек попали в круг: найдем расстояние от каждой из них до центра : ; : Для этого : Значит D D Следовательно в круге D функция является аналитической всюду за исключением точки Найдем вычет функции в простом полюсе Воспользовавшись rs m получим формулой rs m m 8 Отсюда по основной теореме Коши о вычетах имеем d rs 8 ) Подынтегральная функция имеет в точке простой полюс в точке полюс второго порядка Определим какие из этих особых точек принадлежат области D : 5 Так как 5 5 и 5 то D и D Значит в области D функция является аналитической всюду за исключением точки Найдем вычет функции в полюсе второго порядка d Воспользовавшись формулой rs m для! d получим rs m m m Отсюда по основной теореме Коши о вычетах имеем d rs 5 5

53 ) Подынтегральная функция имеет две особые точки: устранимая особая точка и простой полюс (см решение задачи из пункта «Нули и изолированные особые точки») Выясним какие из этих особых точек попали в область D : Учитывая что получим D и D Значит в области D функция является аналитической всюду за исключением точки rs по основной теореме Коши о и Отсюда в силу того что вычетах имеем d rs 5) Подынтегральная функция имеет два полюса: второго порядка и простой полюс Выясним какие из этих особых точек попали в область D : Так как и то D и D Следовательно в области D функция является аналитической всюду за исключением точек и Найдем вычеты функции в полюсе второго порядка и простом полюсе!! rs m m m!!!! m rs m m m 8 Отсюда по основной теореме Коши о вычетах имеем d rs rs 8 5

54 6) Подынтегральная функция имеет две особые точки: устранимая особая точка и полюс второго порядка (см решение задачи ) Проверим какие из них попали в область D : Учитывая что и получим D и D Следовательно функция в области D является аналитической всюду за исключением точки Найдем вычет функции в полюсе второго порядка rs m m m m Отсюда по теореме о вычетах имеем d rs 7) Точка является простым полюсом а точки устранимыми особыми точками подынтегральной функции (см решение задачи из пункта «Нули и изолированные особые точки») Проверим какие из них попали в область D : Так как то D D D Следовательно функция является в области D аналитической всюду за исключением точек и Найдем вычеты функции в точках и В устранимой особой точке rs rs m m! m Отсюда по теореме Коши о вычетах получим d rs rs 5

55 5 8) Подынтегральная функция имеет в точке полюс второго порядка а в точках k k k простые полюсы (см решение задачи из пункта «Нули и изолированные особые точки») Выясним какие из особых точек принадлежат области : D Учитывая что D D D k k для всех целых k k получим что в области D аналитическая всюду за исключением точек и Найдем вычет функции в полюсе второго порядка m m m rs! m! m! 8! m Найдем вычеты функции в простых полюсах Воспользовавшись формулой rs получим rs rs Отсюда по основной теореме Коши о вычетах имеем

56 d rs rs rs Операционное исчисление Найдите изображение данного оригинала ) t s t ; ) t s t s t ; ) t s t t ; t ) t s t s t ; 5) t t s t ; 6) t t cht t ; 7) t s d ; 8) t ; 9) t d s t t t cos cos Решение ) Запишем функцию t в виде t s t cost используя свойство линейности в силу теоремы подобия t получим функция t t cos t ) Воспользуемся формулой s s cos cos t примет вид t s t s t cost cos t Отсюда t Отсюда F Тогда ) Используя результат решения задачи в силу теоремы смещения t F получим t t s t 5 5

57 ) Воспользуемся результатом полученным при решении задачи Тогда по теореме смещения имеем t t t t s ts t t ) Воспользуемся теоремой о дифференцировании изображения: F Найдем сначала изображение t s t t s t Тогда t s t : 6) Воспользуемся теоремой о дифференцировании изображения: t t F Найдем изображение t cht t cht 9 Тогда t ch t : ) Воспользуемся теоремой об интегрировании оригинала: F d t t s где t Найдем последовательно изображения s t t s t s d s t t 55

58 t t Тогда t s t t 6 Тогда s d 8) Воспользуемся теоремой об интегрировании изображения: F ds s где t s t Найдем сначала изображение s t t ds m A s t : s t A ds s m A arctg s s A m arctg arctg arctg arcctg A 9) Воспользуемся теоремой об интегрировании оригинала: t F d cos t cost где t t Найдем сначала изображение cost cost получим cost cost 6 Тогда по теореме об интегрировании изображения найдем cos t cos t s s A ds m s s 6 t s s 6 A s A A m m 6 A s A A 6 Отсюда окончательно получим t cos cos 6 d 6 A 6 56

59 Решите операционным методом задачу Коши t ) y y y y y y ) y cos t y y ; Решение ) Пусть Найдем изображения и Используя теорему о дифференцировании оригинала с учетом начальных условий получим Y y Y y t Y y y Y Составим операторное уравнение для данного уравнения Учитывая что t y t y t имеем Y y t Y Y Y Воспользуемся формулой yt k k y t Y t rs F : t y t rs rs t rs m t t t t m 8 m 8 Следовательно yt ) Пусть t t t t 8 8 Y Найдем изображения y t и y t В силу теоремы о дифференцировании оригинала получим y t Y y Y; y t y t Y y y Y Учитывая что данного уравнения: cos t составим операторное уравнение для 9 t t 57

60 : : : : Y Y 9 Тогда Y 9 Найдем теперь разложение в виде суммы простейших дробей: A B C D Y 9 Отсюда имеем A 9 B 9 C D A A B C B A D C 9A 9B D C 9A D Тогда примет вид Y t Следовательно yt cost s t Y Y 58

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени ИМ ГУБКИНА ИН Мельникова, НО Фастовец ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ОПЕРАЦИОННОЕ

Подробнее

c в разложении функции z

c в разложении функции z Практическое занятие 8 Вычеты 8 Определение вычета 8 Вычисление вычетов 8 Логарифмический вычет 8 Определение вычета Пусть изолированная особая точка функции в изолированной особой Вычетом аналитической

Подробнее

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа.

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа. ~ ~ ФКП Производная функции комплексного переменного ФКП условия Коши - Римана понятие регулярности ФКП Изображение и вид комплексного числа Вид ФКП: где действительная функция двух переменных действительная

Подробнее

Интеграл от функции комплексного переменного. Предел интегральной суммы Римана σ = кривой АВ и обозначают f ( z)

Интеграл от функции комплексного переменного. Предел интегральной суммы Римана σ = кривой АВ и обозначают f ( z) Интеграл от функции комплексного переменного интеграла от ФКП Предел интегральной суммы Римана σ = = f ( t Δ для функции f ( по кривой АВ, если он не зависит ни от способа разбиения кривой АВ на элементарные

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену и зачету по теории функций комплексной переменной.

Вопросы и задачи к экзамену и зачету по теории функций комплексной переменной. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Т. Волков, А.В. Кравцов, Д.В. Минаев, В.Ю. Попов, Н.Е. Шапкина. Вопросы и задачи к

Подробнее

Задачи к зачету и экзамену по курсу «Теория функций комплексной переменной»

Задачи к зачету и экзамену по курсу «Теория функций комплексной переменной» Задачи к зачету и экзамену по курсу «Теория функций комплексной переменной». Элементарные действия с комплексными числами.. Записать комплексное число в алгебраической, тригонометрической и показательной

Подробнее

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме),

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме), типового варианта «Комплексные числа Многочлены и рациональные дроби» Задание Даны два комплексных числа и cos sn Найдите и результат запишите в алгебраической форме результат запишите в тригонометрической

Подробнее

Комплексные числа. Операции над комплексными числами. Комплексная плоскость.

Комплексные числа. Операции над комплексными числами. Комплексная плоскость. Методическая разработка Решение задач по ТФКП Комплексные числа Операции над комплексными числами Комплексная плоскость Комплексное число можно представить в алгебраической и тригонометрической экспоненциальной

Подробнее

ВАРИАНТ 13 ЗАДАЧА 1. ВЫЧИСЛИТЬ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ (ОТВЕТ ДАТЬ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ): 6

ВАРИАНТ 13 ЗАДАЧА 1. ВЫЧИСЛИТЬ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ (ОТВЕТ ДАТЬ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ): 6 ВАРИАНТ ЗАДАЧА ВЫЧИСЛИТЬ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ (ОТВЕТ ДАТЬ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ: а Arch; б РЕШЕНИЕ А БУДЕМ ВЫЧИСЛЯТЬ ARH ПО ФОРМУЛЕ Arch( L( В ДАННОМ ПРИМЕРЕ ZI, СЛЕДОВАТЕЛЬНО, Arch L(± L(± ДАЛЕЕ ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ

Подробнее

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Методические указания для практических занятий

Подробнее

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет» ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Методические

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Операционное исчисление.

Операционное исчисление. Глава 1 Операционное исчисление. 1. Определение преобразования Лапласа. Преобразование Лапласа ставит в соответствие функции f(t) действительной переменной t функцию F () комплексной переменной = x + iy

Подробнее

Как выразить вещественную и мнимую части комплексного числа через пару комплексно сопряженных чисел? Вычислите (представьте решение в виде z x iy):

Как выразить вещественную и мнимую части комплексного числа через пару комплексно сопряженных чисел? Вычислите (представьте решение в виде z x iy): Тема.Компексные числа и функции. Определение комплексного числа, алгебраическая форма комплексного числа. Вещественная и мнимая части комплексного числа. Операции сложения и умножения комплексных чисел.

Подробнее

1.Разложение аналитической функции в степенной ряд.

1.Разложение аналитической функции в степенной ряд. ЛЕКЦИЯ N37. Ряды аналитических функций. Разложение аналитической функции в степенной ряд. Ряд Тейлора. Ряд Лорана..Разложение аналитической функции в степенной ряд.....ряд Тейлора.... 3.Разложение аналитической

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N38. Поведение аналитической функции в бесконечности. Особые точки. Вычеты функции.

ЛЕКЦИЯ N38. Поведение аналитической функции в бесконечности. Особые точки. Вычеты функции. ЛЕКЦИЯ N38. Поведение аналитической функции в бесконечности. Особые точки. Вычеты функции..окрестность бесконечно удаленной точки.....разложение Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.... 3.Поведение

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. ТЕСТОВЫЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. ТЕСТОВЫЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ МА ЕВДОКИМОВ ЛА МУРАТОВА ЛВ ЛИМАНОВА СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ТЕСТОВЫЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ Том III Учебное пособие Самара Самарский государственный технический университет МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

Подробнее

Комплексные числа, функции и действия над ними. x=re z действительная часть z действ. число, y=im z мнимая часть z действительное число

Комплексные числа, функции и действия над ними. x=re z действительная часть z действ. число, y=im z мнимая часть z действительное число Комплексные числа, функции и действия над ними y модуль R действительная часть действ число, yim мнимая часть действительное число iy алгебраическая форма записи компл числа Главное значение аргумента

Подробнее

k называется рядом Лорана. Здесь k, z

k называется рядом Лорана. Здесь k, z Практическое занятие 6 Ряды Тейлора и Лорана 6 Ряд Тейлора 6 Ряд Лорана 6 Ряд Тейлора Т е о р е м а ( Т е й л о р а ) Функция однозначная и аналитическая в круге R единственным образом разлагается в этом

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

9 Определить число корней уравнения в правой полуплоскости. 10 Определить число корней уравнения в правой полуплоскости z 3 4z = 0

9 Определить число корней уравнения в правой полуплоскости. 10 Определить число корней уравнения в правой полуплоскости z 3 4z = 0 Экзаменационные вопросы по ТФКП. Вопрос 1. Задача. 1 Вычислить интеграл + xcosx dx x 2 2x+1 2 Вычислить интеграл + xsinx dx x 2 +4x+2 3 Вычислить интеграл + cosx x 2 +1 x 2 +4 dx 4 Вычислить интеграл +

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения Кафедра Математики, физики и информационных технологий Направление подготовки 0030 Математика

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ АНГАРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ Иванова СВ, Евсевлеева ЛГ, Быкова ЛМ, Добрынина НН ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика 1»

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика 1» Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика» КУРС ЛЕКЦИЙ И ПРАКТИКУМ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Учебное электронное

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ПРАКТИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО СА Зотова, ВБ Светличная ПРАКТИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО МАТЕМАТИКА УДК 5 Рецензенты- дф-мн, проф Горяинов ВВ к ф-мн, доц Кульков ВГ Зотова СА, Светличная ВБ Практическое

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Фонд оценочных средств по теории функций комплексного переменного

Фонд оценочных средств по теории функций комплексного переменного Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Основные понятия теории рядов Критерий Коши сходимости числового ряда Необходимый признак сходимости числовых рядов Достаточные признаки

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Методические указания

Методические указания Министерство образования Российской Федерации Владимирский государственный университет Кафедра автоматических и мехатронных систем МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Методические указания

Подробнее

Специальные главы математики. Теория функций комплексного переменного

Специальные главы математики. Теория функций комплексного переменного Светличная В. Б., Агишева Д. К., Матвеева Т. А., Зотова С. А. Специальные главы математики. Теория функций комплексного переменного Волгоград 0 г. Министерство образования и науки РФ Волжский политехнический

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского НП Семерикова АА Дубков АА Харчева РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Подробнее

Ряды Тейлора и Лорана

Ряды Тейлора и Лорана Лекция 7 Ряды Тейлора и Лорана 7. Ряд Тейлора В этой части мы увидим, что понятия степенного ряда и аналитической функции определяют один и тот же объект: любой степенной ряд с положительным радиусом сходимости

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Функции комплексного переменного. Дифференцирование функций комплексного переменного

Функции комплексного переменного. Дифференцирование функций комплексного переменного Функции Дифференцирование функций 1 Правила дифференцирования Так как производная функции определяется, как и в действительной области, т.е. в виде предела, то, используя это определение и свойства пределов,

Подробнее

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

Глава III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ 3.1. Двойные интегралы

Глава III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ 3.1. Двойные интегралы Глава III ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ Двойные интегралы ЛИТЕРАТУРА: [], гл; [], глii; [9], гл XII, 6 Для решения задач по этой теме необходимо,

Подробнее

Практическое занятие 2 Аналитические функции. Условия Коши-Римана. z получаем dz z, т. е. дифферен-

Практическое занятие 2 Аналитические функции. Условия Коши-Римана. z получаем dz z, т. е. дифферен- Практическое занятие Аналитические функции Условия Коши-Римана Производная и дифференциал функции комплексной переменной Условия Коши-Римана 3 Геометрический смысл модуля и аргумента производной 4 Конформное

Подробнее

3 Операция деления комплексных чисел. Как связаны модуль и аргумент частного с модулями и аргументами делимого и делителя?

3 Операция деления комплексных чисел. Как связаны модуль и аргумент частного с модулями и аргументами делимого и делителя? Экзаменационные вопросы по ТФКП. Вопрос 1. Элементарные операции с комплексными числами. Элементарные функции комплексной переменной. 1 Операция сложения комплексных чисел. Ее геометрическая интерпретация.

Подробнее

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» А П СТАРОВОЙТОВ Г Н КАЗИМИРОВ Ж Н КУЛЬБАКОВА ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Основные понятия 1 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Комплексным числом называется выражение вида i, где и действительные числа, i мнимая единица, удовлетворяющая условию i 1 Число называется действительной частью комплексного

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАШИНОСТРОЕНИЯ ИИ Поспелов,

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики И В Прусова Н А Кондратьева Н К Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Подробнее

Теория функций комплексного переменного

Теория функций комплексного переменного Теория функций комплексного переменного Лектор Александр Сергеевич Романов 1. Аналитические функции комплексного переменного Комплексные числа. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

Подробнее

Теория функций комплексного переменного

Теория функций комплексного переменного Теория функций комплексного переменного С. Г. Бугаева Физический факультет Новосибирский государственный университет Эти слайды сопровождали лекции и содержат некоторые (далеко не все!!!) определения и

Подробнее

Математический анализ Ряды

Математический анализ Ряды Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения Математический анализ Ряды Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики

Подробнее

Ряды Лорана. n=1. c n (z z 0 ) n сходится в круге с центром в точке. n=0

Ряды Лорана. n=1. c n (z z 0 ) n сходится в круге с центром в точке. n=0 Ряды Лорана Более общим типом степенных рядов являются ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные степени z z 0. Как и ряды Тейлора, они играют важную роль в теории аналитических функций.

Подробнее

3 Операция деления комплексных чисел. Как связаны модуль и аргумент частного с модулями и аргументами делимого и делителя?

3 Операция деления комплексных чисел. Как связаны модуль и аргумент частного с модулями и аргументами делимого и делителя? Экзаменационные вопросы по ТФКП. Вопрос 1. Элементарные операции с комплексными числами. Элементарные функции комплексной переменной. 1 Операция сложения комплексных чисел. Ее геометрическая интерпретация.

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

комплексной переменной.

комплексной переменной. А.Г.Свешников, А.Н.Тихонов ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ из серии КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Под редакцией А. Н. ТИХОНОВА, В. А. ИЛЬИНА, А. Г. СВЕШНИКОВА ВЫПУСК 4 ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Задачи по теории функций комплексного переменного Часть 2

Задачи по теории функций комплексного переменного Часть 2 Задачи по теории функций комплексного переменного Часть На дневном на вечернем и на заочном отделениях факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Подробнее

Справедливо и обратное утверждение.

Справедливо и обратное утверждение. Понятие комплексного переменного Предел и непрерывность комплексного переменного Пусть дано два множества комплексных чисел D и Δ и каждому числу z D поставлено в соответствие число ω Δ которое обозначается

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Лекция 2. c + d. c d. c + d 2 =

Лекция 2. c + d. c d. c + d 2 = Лекция. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.. Числовое поле. Числовое поле множество чисел, в котором корректны арифметические операции: сложение, вычитание, умножение, деление на ненулевое число. Примеры числовых полей:

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ

ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет» ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Подробнее

М. С. Семчёнок, Е. Н. Бегун, В. А. Власьева, В. Г. Галкина Математика Конспект лекций

М. С. Семчёнок, Е. Н. Бегун, В. А. Власьева, В. Г. Галкина Математика Конспект лекций 009 М. С. Семчёнок, Е. Н. Бегун, В. А. Власьева, В. Г. Галкина Математика Конспект лекций Часть третья Конспект вёл А. Димент СПбГУКиТ, ФАВТ, гр. 7 ГЛАВА 0. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 0.. ПОНЯТИЕ О СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ

Подробнее

Лекция 6. Интегральная формула Коши

Лекция 6. Интегральная формула Коши С А Лавренченко wwwlawrcoru Лекция 6 Интегральная формула Коши Теоремы Коши Различные варианты теоремы Коши дают достаточные условия при которых для функций аналитичных в некоторой области D интеграл d

Подробнее

Тема: Преобразование Лапласа и его свойства

Тема: Преобразование Лапласа и его свойства Математический анализ Раздел: операционное исчисление Тема: Преобразование Лапласа и его свойства Лектор Пахомова Е.Г. 2011 г. 11. Оригинал и изображение. Теорема обращения ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть :R C. Функция

Подробнее

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1)

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1) 8. Степенные ряды 8.. Функциональный ряд вида c n (z ) n, (8.) n= где c n числовая последовательность, R фиксированное число, а z R, называют степенным рядом с коэффициентами c n. Выполнив замену переменных

Подробнее

Теоретические основы Методические указания для студентов Материалы для самостоятельной работы студентов

Теоретические основы Методические указания для студентов Материалы для самостоятельной работы студентов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра

Подробнее

1. Геометрия комплексных чисел

1. Геометрия комплексных чисел . Геометрия комплексных чисел В первой главе комплексные числа изучались с алгебраической точки зрения. Мы рассмотрели основные алгебраические операции и свойства комплексных чисел. Но комплексные числа

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Лекция 4. МНОЖЕСТВО КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. и называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части:

Лекция 4. МНОЖЕСТВО КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. и называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: Лекция МНОЖЕСТВО КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 1 Понятие комплексного числа Алгебраическая форма комплексного числа Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа 1 Понятие комплексного числа Алгебраическая

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Операционное исчисление относится к символическим исчислениям в основе которых лежат построение математического анализа как системы формальных операций над искусственно введенным

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

М. В. Дейкалова КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ Вопросы к экзамену (группа МХ-201, 2015) Вопросы первого коллоквиума 1

М. В. Дейкалова КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ Вопросы к экзамену (группа МХ-201, 2015) Вопросы первого коллоквиума 1 М. В. Дейкалова КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ Вопросы к экзамену (группа МХ-21, 215) Вопросы первого коллоквиума 1 1. Дифференцируемость функции комплексного переменного в точке. Условия Коши Римана (Даламбера Эйлера).

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

4. Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю) Формируемые компетенции

4. Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю) Формируемые компетенции I Аннотация Цель и задачи дисциплины (модуля) Цель освоения дисциплины: дать студентам систематические знания по методам комплексного анализа и научить их применять эти знания к решению задач математического

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 15

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 15 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие... 15 Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы... 16 1.1. Основные понятия... 16 1.2. Действия над матрицами... 17 2. Определители... 20 2.1. Основные понятия... 20 2.2. Свойства

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Контрольные вопросы... 26

ОГЛАВЛЕНИЕ. Контрольные вопросы... 26 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................. 5 КУРС ЛЕКЦИЙ........................... 7 Лекция 1. Комплексные числа, последовательности комплексных чисел. Функция комплексной переменной...............

Подробнее

Пример выполнения задач, аналогичных задачам 1-10 (КР-3). Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием. 1) ; 2) ; 3).

Пример выполнения задач, аналогичных задачам 1-10 (КР-3). Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием. 1) ; 2) ; 3). Контрольная работа 3 Тема 5. Неопределенные интегралы Задачи 1-10 посвящены вычислениям нетабличных интегралов различными методами с последующей проверкой дифференцированием. Используются следующие приемы

Подробнее

17.5. Первый замечательный предел Второй замечательный предел 18. Эквивалентные бесконечно малые функции Сравнение бесконечно малых

17.5. Первый замечательный предел Второй замечательный предел 18. Эквивалентные бесконечно малые функции Сравнение бесконечно малых Предисловие Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы 1.1. Основные понятия 1.2. Действия над матрицами 2. Определители 2.1. Основные понятия 2.2. Свойства определителей 3. Невырожденные матрицы 3.1.

Подробнее

Функции комплексного переменного

Функции комплексного переменного 1 Основные понятия функций комплексного переменного Основные понятия, связанные с функцией комплексного переменного, находятся так же, как и в действительной области. Пусть заданы два множества комплексных

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

УДК ББК Ш13

УДК ББК Ш13 УДК 517.9 ББК 22.161.1 Ш13 Шабунин М. И. Ш13 Теория функций комплексного переменного [Электронный ресурс] / М. И. Шабунин, Ю. В. Сидоров. 3-е изд., испр. и доп. (эл.). Электрон. текстовые дан. (1 файл

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Основы функционального анализа и теории функций

Основы функционального анализа и теории функций Основы функционального анализа и теории функций Лектор Сергей Андреевич Тресков 3 семестр. Ряды Фурье. Постановка задачи о разложении периодической функции по простейшим гармоникам. Коэффициенты Фурье

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Лектор Никита Александрович Евсеев Программа курса лекций (3-й семестр, лекции 36 ч., семинары 36 ч., экз.). Аналитические функции комплексного переменного Комплексные

Подробнее