Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики."

Транскрипт

1 Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз a степень; a основание степени; показатель степени. Для степени с рациональным показателем : a 0 a 0 abc a b c четн. a 0 a a a 0 нечет. a 0 b b 0 m m a a a a a a a a m m m m m m a a a : a a (прочесть свойства словами, а также справа налево). Обобщим понятие степени Определение: Пусть действительное число записано в виде бесконечной десятичной дроби, и пусть, N, последовательность его десятичных приближений. Тогда для любого действительного числа a > 0 степень a определяется равенством a lim a а) Пусть a > и 0, например 0. Степень 0 означает такое число, которое больше всякой степени 0, но меньше всякой степени 0, где и любые рациональные приближённые значения числа, взятые с недостатком и избытком.,,,, С недостатком 0 ;0 ;0 ;0,5,,5, С избытком 0 ;0 ;0 ;0 б) Пусть a <, но 0, например 0,5. Тогда под степенью a разумеют такое число, которое меньше всякой степени a, но не больше всякой степени a. Т. е. 0,5 есть число, меньшее каждого из чисел ряда,,,, 0,5 ;0,5 ;0,5 ;0,5, но большее каждого из чисел ряда,5,,5, 0,5 ;0,5 ;0,5 ;0,5. Таким образом, если иррациональное число заключено между двумя рациональными числами и, то степень a заключена между степенями a и a и тогда, когда a >, и тогда, когда a <. в) Пусть a >, a < и 0, например 0 ;0,5. Тогда выражению a придают тот же смысл, какой имеют степени с отрицательным рациональным показателем 0 ; 0,5 0 0,5 Таким образом можно сказать, что все свойства показателей рациональных применимы и к показателям иррациональным a a a ; a a И значит записанные выше свойства степени с рациональным показателем справедливы для степени с любым действительным показателем (прочесть свойства словами ещё раз). Вычислить

2 0,5 0 5 ) 6 0, воспользуемся свойствами степени 0, , , , 0 ) , 000 Решение: , Самостоятельно: ) 0,5 8 8,88 8. Функция вида y называется степенной функцией. аргумент (основание степени) показатель степени. Рассмотрим графики функций при ; ; ; ; ; = y = При > 0 y y y ; 0 y ; R R; y 0 y

3 ; y ; 0 При < 0 ; y ; 0 y ; ; 0 ; y ; 0 ; y ; 0 ; y ; 0 Отметим свойства общие для степенных функций: ) при 0 0 функция возрастающая ) при 0 0 функция убывающая Применение: используя графики степенных функций можно графически решать некоторые алгебраические уравнения. Например 0; y y Корни приближённые, но другим способом это уравнение решить нельзя! Построить схематически графики функций: ) y ) y ) y y y y 0 Дома (самостоятельно) y y y

4 Вычислить самостоятельно: 0 5 0, ; ; a b a b a b 9a b 9a a b.. 6 с последующей проверкой результата. ;

5 Занятие. Логарифмы, их свойства. Логарифмическое тождество, формула перехода.. Задание для проверки знаний предлагается по карточкам в 6-ти вариантах.. Итак, мы знаем, что a b, а если неизвестно? Как можно найти показатель степени из равенства:? Никакие известные нам действия не помогут. Вот поэтому вводится новое понятие, понятие логарифма. Определение: Логарифмом числа называется показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить данное число: log a ; a 0 c a b, и log тогда a b a b основное логарифмическое тождество. log5 5 ; log0, 0,. Логарифмы обладают свойствами:.. Логарифмы отрицательных чисел на существуют (положительное число в любой степени есть число положительное). 0.. Логарифм единицы при любом основании равен нулю, loga 0, т.к a... Логарифм самого основания равен, то есть log a a a.. Логарифм произведения при любом основании равен сумме логарифмов сомножителей log N N log N log N при этом же основании. a a a Покажем, что это так: Пусть log a N и log a N ; по определению логарифма имеем N a и N a N N a a a ; отсюда log a N N и тогда log a N N loga N loga N, что и требовалось доказать!.5. Логарифм дроби при любом основании равен разности логарифма числителя и логарифма знаменателя при этом же основании N log a log a N log a N N (доказательство аналогично свойству, докажите самостоятельно. Можно воспользоваться подсказкой учебника).6. Логарифмом степени при любом основании равен произведению показателя степени на m логарифм основания степени. loga N m loga N Логарифм числа с основанием 0 называется десятичным и имеет особую запись. log b lg b 0 Логарифм числа с снованием e называется натуральным и имеет также особую запись log e l e,78 число Непера. И десятичный, и натуральный логарифмы любого числа можно находить при помощи МК lg7,, 05 l 0,8 0,957 7, log 0,8 l А если надо вычислить логарифм числа при любом основании? Что делать? Надо перейти к основанию 0 или e. log По определению логарифма a N a N, используя свойство логарифмов (смотрите свойство 6) имеем log N log N log a b a b logb N и тогда log a N и называется формулой перехода от одной системы логарифмов к другой. logb a Эта формула часто применяется при решении логарифмических уравнений и неравенств lg N l N log a N ; log a N lg a l a, что даёт возможность вычисления выполнять при помощи МК. lg 68,7 l 68,7 Решить: log, 68, 7 9,88 log, 68, 7 9,88 lg, l, Как видно результаты равные поэтому можно делать переход к любому основанию.

6 Проверьте результат: log, 0, 78,7 log0,, 78 Самостоятельно: log0,8 6, ; log, 0,00, а затем решаются Пособие: стр. 8.7 вместе с преподавателем;.;. самостоятельно (с последующей проверкой) logb b Замечания: ) log a b logb a logb a, т.е. ) log b log b a a ) log a b logb a Используя определение логарифма, можно находить переменную. Рассмотрим на конкретных примерах log по определению логарифма log по определению логарифма 7 log 6 по определению логарифма ; 7; ; 6; 8 Решить. Пособие стр. 8 ; ;.8;.9;.;.6;.0 log 8 ; 8; 8; 8; ;..8 9 log, 5 ; ; ; ; ; , log 0,8; 5 5 ; ; ,6 log ; 0,6 ; ; ; ; ; log 5 log 5 log 6 log 0 log 5 log 6 log 0 log 5 log 5 60 log6 log0 log5 log 5 log log5 log5 log 5 50 log 5 50 log 5 log5 log 5 log5 0,0 50 0, Самостоятельно: Пособие стр. 8.;. (МК).0;.;.;.; log 6.. log 7 log 0 log ; log log,5 log log log7 log log7 log Домашнее задание выдаётся по карточкам для выполнения на листках с последующей сдачей (в шести вариантах)

7 Занятие. Преобразование и вычисление логарифмических и показательных выражений. Логарифмирование и потенцирование.. Логарифмирование выражений. Определение: Действие нахождения логарифма числа называется действием логарифмирования. Рассмотрим на примере. Пусть дано число в общем виде 5 a b a b a b a b Найдём логарифм числа, используя свойства логарифмов (логарифм дроби, произведения, степени при любом основании) Так как можно находить логарифм при любом основании, то договорились основание не писать. log log a b 5 a b log a b a b log a logb log 5 a b log a b log a b log a logb log a b log a b log a b 5 Однако так подробно не следует каждый раз расписывать, а сразу следует применять свойства логарифмов и писать результат. Например: 5 a b a b a b log log 5 log a log b log a b log log a b Решим совместно (доска группа) Стр. 8 пособие «Сборник материалов».5; log y log a log b c log a b logb ; log z log a log logb log 5 log a b log a b.7; log log a logb log a b log log cos log a logb log a b log a b log log cos.8; log log5 log m log logsi log logsi log cos. Потенцирование выражений Действие нахождения числа по его логарифму называется действием потенцирования. Как видно: потенцирование есть обратное действие логарифмированию. Пример. log loga b log a logb 5 Знак минус говорит о том, что число представлено дробью, коэффициенты перед логарифмом показатели степени. 5 a b5 a b И тогда ; a b a b Стр. 9 пособие «Сборник материалов» 5. a a b a b

8 5. a b 5 a b a b a a b b a b a b a b a b 0,8 log 0,8 5,,87 5, 0,76 lg 0, , 50 0, l 0, 607 e,85 Решаются примеры (поясняет преподаватель) из Пособия «Вычисления по МК» сложность 5 вариант примеры и Затем самостоятельно (закрепление). Контрольные вопросы:. Что называется логарифмом числа?. Какое действие называется действием логарифмирования? Потенцирования?. Свойства логарифмов?. Какие логарифмы называются десятичными? Натуральными? 5. Логарифмическое тождество. Примеры (карточки).

9 Занятие. Показательная функция, её график, свойства. Определение. Функция вида y a, где a и a > 0 называется показательной. Рассмотрим функции. y ; y a y ; y a построим их графики прочтём свойства функций. y y a 0 a y y Свойства. Область определения: ;. Множество значений функции: y 0;. При 0 y. Эти свойства называются общими свойствами показательной функции и независят от основания, какое оно больше или меньше. a >. Функция возрастающая 5. при 0 y 0 y 6., y та степень больше показатель которой больше a <. Функция убывающая 5. при 0 y 0 y 6., y 0 та степень больше, показатель которой меньше Предложение: прочесть свойства функций по графику. Используя свойства функции предлагается решить примеры а) Сравнить степени с Условие Ответы 0,8 5, 6 0,8, 0 0,7,8 0, 0,78 7 При решении учитывается основание (какое оно больше или меньше ) и знак показателя степени.

10 б) Сравнить показатели степени, если: Условие: m 0, 0, m,7,7 m 5, 5, m 9 9 m Ответы: m m m m 5 5 m При решении обращается внимание на основание (какое оно больше или меньше ) и учитывается 6-ое свойство показательной функции Показательные неравенства. Определение. Неравенства, содержащие переменную в показателе степени, называются показательными. При решении показательных неравенств используются свойства показательной функции, свойства степени. Рассмотрим простейшие методы решения показательных неравенств. а) 5 5 приведём обе части неравенства к одинаковым основаниям. Учитывая, что m, т.к. a возрастающая и поэтому. Решаем неравенство первой степени б) m a 0,7. Приведём к одинаковым основаниям. Зная, что неравенства, как 0 0,7 0,7 0 0,7 и тогда так как 0,7 <, то функция убывающая и значит решается методом интервалов , то (свойство степени). Основание 5 > функция 0 a, представим правую часть 0. Это квадратное неравенство, которое ; ; в) 5 9, Привести к одинаковым основаниям не представляется возможным. Используем метод логарифмирования. log 5 log 9,, т.к. log5 5, то 5 5 ;7 7 log5 9,,8,8;,8 Можно логарифмировать обе части неравенства по любому основанию. Например по основанию 0.

11 lg5 lg9, lg9,, т.к. lg5 0 и,8. Ответ тот же. lg5 г) 0, 5,7 Прологарифмируем по основанию «е» l 0, l5,7, т.к. l 0, 0, то l5, 7,9 l 0,,9; д) 5 Используя свойство степени, имеем 5; вынесем за скобки 5 5 7, т.к. >, то Затем решаются неравенства Стр. пособие «Сборник мат.».;.;.9;.;.. 9,5, т.к. Учитывая, что 9, то..9. 9,5, то 0,5 9 7, приведем к основанию 0,5, т.к. >, то 0, , т.к. >, то ; ; ; 9. В левой части неравенства надо умножить степени с одинаковым показателем. Т.к. + a b ab, то, ; + ; + ;

12 Сокращаем дроби и получим ; 0, 0, Самостоятельно: 5 ) 0, 8 ),5 ) ) 7,7, т.к. 7, то, т.к. 0, то ;

13 Занятие.5 Показательные уравнения, их решения Уравнения, содержащие переменную в показателе степени, называются показательными. Например: ; 5 и т.д. При решении показательных уравнений применяются разные методы решения, которые мы рассмотрим на конкретных примерах , т.к. 6 88, то, мы привели обе части уравнения к одинаковому основанию, а так как степени равны, равны их основания, то равны и показатели степеней, т.е 8 6; Ответ: Показатель степени может быть любым числом, поэтому проверку делать не надо. Ответ:. 0, 0 00 В левой части и тогда 0, , так как при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, при возведении степени в степень показатели перемножаются, то 0 0 0, это и есть решение уравнения. Ответ: 0. Оба уравнения решались методом сведения обеих частей уравнения к одинаковому основанию. А если нельзя свести к одинаковому основанию?,76 0,7 Что делать? Как решить? Теперь применим только метод логарифмирования. Прологарифмируем обе части уравнения, например по основанию 0, т.е найдём от обеих частей десятичный логарифм lg,76 lg 0,7 lg,76 lg 0,7 lg 0,7 lg,76 0,7 0,7 0,86 0,88, результат не изменится, если взять логарифм натуральный, то есть берём тот логарифм который можно найти, используя МК.. используя свойства степени, имеем в левой части каждое слагаемое содержит общий множитель. Вынесем за скобки, 9 6 получим: ; ; Ответ:. Этот метод так и называется метод вынесения общего множителя за скобки. 5. так как 7 8 0, то уравнение квадратное уравнение относительно. Пусть t, тогда квадратное уравнение относительно переменной t представляет t 7t 8 0 решаем

14 Д t, ; t 8; t Подставим значения t в равенство t 8 ; ;,5 ; ; ; Ответ:,5; 0,5. При решении уравнения применим первоначально сведения к квадратному уравнению. В следующих примерах постараемся самостоятельно определять метод решения и затем с подсказкой преподавателя выполнять решение этого уравнения... ; приведем к одинаковому основанию 7. Ответ: ; 0 0 ;. Ответ:.9. 0, 096 5,7 свести к одинаковому основанию нельзя, прологарифмируем обе части уравнения: l 5,7 l 0, 096 l 5,7; ; l 0,096 0, 008; 0, 008;, , 00,0 Ответ:, ; 0 и 7 0 можно разделить обе части уравнения на или 7, получим: lg lg 7 57 lg,7. Ответ:,7 lg

15 Пусть t, тогда 0 t t t t 8 0 Д t, ; t t ; ; уравнение не имеет решения, т.к. 0 всегда. Ответ: Самостоятельно: Пособие «Сборник материалов» стр. 9-0.;.;.5; дополнительно t ; t 9t 90 0 t 8t 80 0 Д t, ; t t 90 9; ; 90, уравнение не имеет решения, т.к. 0 всегда Ответ: Дополнительно.9, ; 80 ; ; ; ; Ответ:.

16 Занятие.6 Логарифмическая функция, её график, свойства. Функция, обратная показательной, называется логарифмической y a, a и a 0 показательная функция log a y, поменяем местами и y, получаем y log a, a, a 0 это и есть логарифмическая функция. Знаем, что графики обратных функций симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов. Воспользовавшись этим свойством изобразим графики логарифмической функции при a > и a < y y log y. D y : 0;. E y : y ; Свойства. при y 0 Свойства ( ) являются общими свойствами логарифмических функций и не зависят от основания (больше или меньше ). Остальные свойства рассматриваются в зависимости от основания a >. Функция монотонно возрастающая 0 < a <. Функция монотонно убывающая. При 0 y 0 5. При 0 y 0 y 0 y 0 5. При y 6. При y большему числу соответствует и больший большему числу соответствует меньший логарифм логарифм Используя свойства логарифмической функции (свойства логарифмов), определите знак числа. log. log0,,7. log, 0,7. log0,9 0,786 y log Ответы:. > 0. < 0. < 0. > 0 Сравните свои результаты. Самостоятельно: log 6, log 8, 6, 0, log 0, 786 log 0, 008,9 0,9 Смотрим на основание (а или а ), а затем на число (х или а х ) и делаем вывод!

17 Занятие.7 Решение логарифмических уравнений и неравенств Определение: Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма, называются логарифмическими. Рассмотрим методы решения логарифмических уравнений на примерах. Пособие стр.. log 6 По определению логарифма можно записать, надо помнить, что логарифма отрицательных чисел не существует. Так как 6 0 всегда, то полученные значения 0 оба являются корнями уравнения. Ответ: 0.5 По определению логарифма, можно решить уравнение: 5 log 6 5 ; отсюда получили показательное уравнение , решим его: приведём к общему знаменателю Обозначим 5 t, получим 5 6 t t ; t 6t 5 0 D t, ; t 5; t 0 и тогда 5 5 ; 5 ; 5 5 ; 0. Ответ: 0.7. lg lg lg Используя определение логарифма, можно число записать lg00 и тогда имеем равносильное уравнение lg lg lg00 lg тогда 00 lg lg отсюда следует, что 00 решаем уравнение при D , ; ; 6 6. Применим свойства логарифмов и

18 потенцирование выражений может привести к появлению посторонних корней, поэтому полученные корни нужно проверить. Проверка: lg0 lg lg00 lg верно. посторонний корень, так как логарифма отрицательных чисел не существует. Ответ:. Можно указать другой метод нахождения корней уравнения, основанный на предварительном нахождении всех значений, для которых имеет смысл уравнение, то есть указать область допустимых значений переменной (ОДЗ). По свойству логарифмов: 0 0 ; и тогда можно сказать, что ОДЗ удовлетворяет корень =. Проверив этот корень, получаем верное равенство. Замечание. Пользоваться указанием ОДЗ удобно для более простых выражений, стоящих под знаком логарифма. При решении уравнения применяется метод решения, известный как метод потенцирования..8. log log log log log т.к. log Используя свойства логарифмов имеем log log и тогда, D , ; ;,5 Проверка: log log log верно. =,5 посторонний корень, так как логарифма отрицательных чисел не существует.

19 Ответ:.0. lg,5 0 данное уравнение можно назвать и показательным и логарифмическим. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 0, получаем равносильные ему логарифмическое уравнение lg,5 lg lg0 lg,5 lg lg,5 lg 0 lg lg 0 Получаем квадратное уравнение относительно lg Пусть lg t, тогда t t 0 5 D 9 6 5; t, 8 t ; t 8 И тогда lg 0 если lg, то 0 0 Ответ: 0; log 5 log 5 Приведём логарифмы к одинаковому основанию. Известно, что 5 0 log 5 ОДЗ: 0 log log log log log 0 Пусть.5. 5 log t, t t 0 5 D 5; t, ; 6 t ; t 6 log log log Приведём логарифмы к одинаковому основанию. Так как log log log log a b и тогда log a log b log a a b, то ; log log log И тогда ОДЗ: 0 0 log5 5 ; 5 Если log5, то Ответ: ; b

20 Используем свойства логарифма и получим 9 9 9; ; 0, Самостоятельно: log 6 log 6 ) , ;, ; 7, 7 Проверка: 7,7 log 9, log 6 log, 7 6 9,,7 9, 9, верно. Ответ: 7,7 ) log log,5 log,5 log log, 5log 0 log log 6 ) log log 0 log log 0 log t; t t 0 log log t ; t Ответ: 7; lg ) 0 lg lg lg0 lg lg ; lg ; lg , Ответ: 0; 0,. ОДЗ: ; log y y,5y 0 D 6, 5, 5,5, 5 y, ; y ; y. Решение примеров (МК). Сложность, вариант 8 (; 5) совместно с преподавателем. Проверка:, log 0,9 log 0, log log 0,9 log 0, log 0,9 9 0, 9 9 верно. Ответ:, Как видно =, не удовлетворяет ОДЗ и следовательно проверке подлежит корень = 7,7

21 Занятие.8 Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств выполняются с использованием свойств показательной и логарифмической функций, свойств логарифмов и свойств степени. Особенно при решении логарифмических уравнений и неравенств следует помнить, что loga f log a g имеет смысл при f 0 и g 0. Говорят, что область допустимых значений неизвестного (ОДЗ) для данного уравнения является множеством чисел, удовлетворяющих системе неравенств f 0 g 0 Потенцируя данное уравнение, приходим к уравнению f g, для которого ОДЗ является более широким множеством, и, следовательно можно получить посторонние корни. Поэтому нужно либо сначала найти ОДЗ и затем посторонние корни отбросить, либо просто проверить все полученные корни, а затем записать ответ. Итак, наша задача закрепить умения, навыки решения уравнений, неравенств и показательных и логарифмических: ) log 5 7 По определению логарифма 5 7; D 6, ; ; log log верно Ответ: = = посторонний корень, т.к основание =, что невозможно ) 0,5lg lg 9 0,5lg lg0 lg 9 т.к. lg0 потенцируем уравнение: D , ; ;,5 Проверка: = 0,5lg 5 lg0 lg 0 5 ; 5 5 верно

22 =,5 посторонний корень, так как логарифм отрицательного числа не существует. Ответ: = ) log log 6 Используем свойства log b log a a b и log 9 log log 6 9 log log 6 Обозначим log t, имеем квадратное уравнение: 9 t t 6 t 6 9t t 9t 6 0 D a b, получим: log a 9 7 t, ; t 6; t 6 Проверка: 0, условию удовлетворяют оба корня. Ответ: 6;. lg ) 00 Прологарифмируем по основанию 0 обе части уравнения: lg lg lg00 lg lg lg Пусть lg t; t t 0 D 8 9 t, ; t ; t lg lg > 0, условно удовлетворяют оба корня. Ответ: 00; 0,. 5) Показательное уравнение, переменная может принимать любое значение, поэтому полученные корни не требуют проверки b

23 Ответ: 6), 0,867 Применяем метод логарифмирования либо по основанию 0, либо по основанию «e». lg, lg 0,867 lg 0,867 lg, 0, 08 0, 08 0,958 0,958 Ответ: 0,958. 7) так как, то обозначив t, получаем 9t 5t 0. D t, ; t ; t и тогда 0 уравнение не имеет решения, т.к. 0 всегда 9 0 Ответ: = 0 8) log 6 log 9 6 так как log, то потенцируя уравнение, получаем: 6 ; , учитывая, что t 6 t t t 6 0 t t 0 D 6 t, ; t ; t и тогда не имеет решения, так как 0 всегда. Ответ: Переходим к решению неравенств: ) log, т.к. log log и обозначив t получим квадратное уравнение log log > 0 Учитывая, что, то есть функция убывающая, имеем:

24 0 Ответ: ; ) 7 9 показательное неравенство. Приведём обе части неравенства к одинаковому основанию. Используем свойства степени получим, т.к. >, функция возрастающая, то Ответ: ; ) log 5 log ; Основания одинаковые, причём >, следовательно 5 5 0,5 0,5 нет общих значений. Ответ: неравенство не имеет решения. Дополнительно: lg 7 y указать область определения функции Д y : lg 7 0 lg Система второй степени, решаем методом интервалов D 9 8 D действительных корней нет, т.к. a = > 0, то 7 0 всегда, ;, а поэтому решение системы зависит от решения первого неравенства. + + Ответ: ; ; ; ;

25 Решить уравнение: ) ; ; 5; D корни мнимые i 5 5, i 5 5 Ответ: 5; i ) 6 0 D корни мнимые i 6 i, i Ответ: i ) Выполнить действия: 7 i i i i 9 i i i i 9 i i 5 i r ; 80 tg

26 Занятие.9 Решение систем показательных и логарифмических уравнений.. y 9 ОДЗ: log9 log9 y 0,5 y 0 преобразуем второе уравнение log9 log9 y 0,5 0,5 Так как 0,5 log9 9 log9 log9 9 log9 log9 y log9 потенцируем уравнение y y и тогда данная система запишется y 9 6 y Получили алгебраическую систему второй степени, применим метод подстановки y 9 y Решаем второе уравнение относительно D , 56 6 ; 6,5 И тогда при y (; 9) при 6,5 y 6,5 9 6 (6,5; 6) Точка (6,5; 6) не удовлетворяет ОДЗ, а поэтому данной системе удовлетворяет точка (; 9). Проверим: верно log9 7 log9 9 0, 5 8 Ответ: (; 9)..7. log y y 7 Используем определение логарифма. y y y y y 7 7

27 y y Решим уравнение 7 y y 7 y 6 7 y 6 7 y 6 6 y и тогда Значения y удовлетворяют ОДЗ; проверим log 7 log 89 7 верно 7 7 верно Ответ: (; ). (дополнительно) ОДЗ log log y 0 y 6 y 0 потенцируем первое уравнение. Учитываем, что y y y 6 y y 6 y y 6 y 6 y 6 y 6 Значения = 6 y = 6 удовлетворяют ОДЗ Проверим log 6 log = верно 6 = 6 верно Значения = 6, y = 6 удовлетворяют обеим уравнениям. Ответ: (6; 6)... (дополнительно) log y log5 log5 y перейдём к системе алгебраических уравнений; потенцируем уравнения y 5, т.к. log5 5 y 5 8 y 8 y 5 y 8y y y y y Решим первое уравнение относительно y: y 8y 5 0 D y, y 5; y ; 5 ОДЗ: y 0 0 y 0

28 Имеем две точки (; 5) и (5; ). Обе точки удовлетворяют ОДЗ. Проверим: (;5) 8 8 log log5 log5 5 log5 5 5 (5;) 8 8 log log5 5 log5 5 log Ответ: (; 5) и (5; ). Самостоятельно:. log y y 7 ОДЗ: 0 y 0 y y y y Решим второе уравнение 7 0 D 7 089, ; 7; 6 = 7 не удовлетворяет ОДЗ. Если = 6, то y 6; y, но y = не удовлетворяет ОЗД, следовательно при = 6 y = Проверим: log Ответ: (6; ).9 y 5 y 5 y 5 5 log y log y y y Решим первое уравнение: , и тогда 0 y

29 Так как y > 0 согласно условия, то y = удовлетворяет этому условию. Проверим = y = log Ответ: (; ) Повторение: 8 0 lim lim lim lim lim 0 0

30 Занятие.0 Решение примеров. Письменная работа. Решение примеров: 5 6 а) Найти: lim ; lim 8 б) Решить уравнение: 7 0 в) Выполнить действия и найти модуль и аргумент результата: z i i 5i 7 г) Решить уравнение и неравенства: log ; 0, ,5lg lg 9 (решение проводится на доске совместно с решениями в тетради) Решение: 5 6 а) ; ; lim lim ; 8 б) 7 0 0; 9 0 ; 9 0 D i, i в) z i 6i 5i i 6 5i 6 8i z r III чет. tg г) 5 0 ; ; D , t 9t 80 0 t t 90 0 D 6 t t 0 t 9 0; t 9 9; 9 7, ; ;,5 посторонний корень ; проверка: lg 5 lg0 lg 5 = 5. Ответ:.

31 Для контрольной работы предлагается в объёме: (типовое задание) 7 7. Найти: lim ; lim 5 9. Решить уравнение: 6 0 или 8 0 z i i i. Найти модель и аргумент результата Выполнить действия:. Решить уравнения и неравенства: 5 log 5 ; 0, 0 ; log,5 log 5 log 5 ; 7 (карточки см. отдельно) Контрольные вопросы по теме:. Определение степени с натуральным показателем.. Степень с рациональным показателем. m. Чему равно 0 a ; a ; a?. Как умножить степени с одинаковым основанием? Одинаковым показателем степени? 5. Как разделить степени с одинаковым основанием? Одинаковым показателем степени? 6. Как возвести степень в степень? ой 7. Что называется корнем степени из числа? 6. Как извлечь корень из произведения? Дроби? Степени? 7. Как умножить (разделить) корни с одинаковым показателем? 8. Как умножить (разделить) корни с разными показателями? 9. Какая функция называется степенной? 0. Свойства степенной функции.. Примеры степенной функции.. Определение показательной функции.. Приведите примеры показательной функции.. Графики показательной функции при a >, при a <. 5. Свойства показательной функции. 6. Определение логарифмической функции. 7. Приведите примеры логарифмической функции. 8. Графики логарифмической функции при a >, при a <. 9. Свойства логарифмической функции. 0. Какие уравнения называются равносильными?. Какие уравнения (неравенства) называются показательными? логарифмическими?. Простейшие приёмы решения показательных уравнений.. В чём заключается метод логарифмирования при решении показательных уравнений?. В чём заключается метод потенцирования при решении логарифмических уравнений? 5. Какие условия должны выполняться при решении показательных неравенств? 6. Какие условия должны выполняться при решении логарифмических неравенств? 7. Что называется логарифмом числа? 8. Логарифмическое тождество. 9. Формула перехода от одной системы логарифмов к другой? Её следствия? 0. Какие логарифмы называются десятичными? Натуральными?. Свойства логарифмов.. Логарифмирование выражений.. Потенцирование выражений.. Вычисления логарифмов при помощи МК.

32 Занятие. Решение уравнений, неравенств. Практическая работа Решение примеров: (б) log log log log По определению логарифма: log log log log log log Сократим обе части на : log log log Опять по определению логарифма: log log log log И тогда log log log log Так как > 0, то = корень уравнения. Ответ: =. (в) log log log при при и решаются две системы неравенств: первая система: D , ;

33 вторая система: И тогда Ответ: ; ; ; 8

34 . Задание практической работы (6 вариантов) Вариант Решить уравнения, неравенства, системы уравнений: 0,7 ) 0, ; ) 6 0 ; ) ) 5) 5 5 0,8 9 ; 5 5 6) log 0,5 ( ) 0, 5 ; 7) log log ; ; log () log ( ) ; 8) 0,5 0,5 9) 0,5lg 0 0) log log ; ) log 576 ( y ) ; y ) y 0 y log Вариант Решить уравнения, неравенства, системы уравнений: ) ) ; ) 8 ) 5 5) 5 5 0,7, 7 ; 6) lg lg lg 0 ; ; ; ; 8) lg y y 0000 ; 9) log log, 5 ; 0) log 5 log ; y 9 ) ; log 9() log 9 y 0,5 ) lg( y ) lg8 lg( y) lg lg( y) 7) lg lg( ) lg 80 ;

35 Вариант Решить уравнения, неравенства, системы уравнений: 5 ) ) 8)lg lg 9 lg lg 0 9) ) 56 ) )0,6,7 6)log 5 7 7)log log log 7 0 0)log log log 6 y 97 ) log y log y ) log log 5 5 y Вариант Решить уравнения, неравенства, системы уравнений: )6 0,5 ) 9 80 ) ) )7, 5 9,6 6)log 5 7)lg 5 lg 0,5 8) lg 0,5lg 0 lg 0 9) log log 5 lg 0) 00 log log y log 5 ) log 0,5 y 0 y 5 ) log y

36 Вариант 5 Решить уравнения, неравенства, системы уравнений: ) ) )5, 0,87,5 ) 7 5) )log 5 7)log log log ) 5 l l 57 9)lg 9 lg 0 0)log 5 log 5 log log ) y y 6 log y ) y 7 Вариант 6 Решить уравнения, неравенства, системы уравнений: ) 6 ) 896 log 8 ) log 9 y log 9 y 0,5 ) 9 )8, 0, 7 5) )log 5 7 7)log log 5 7 8)log log 9)log log log 7 0) 6 log 7 log y ) 5 y 0 log 5

37 Занятие. Показательная, степенная, логарифмическая функция. Зачётное занятие ЗАЧЁТНЫЕ ВОПРОСЫ (Тема ). 8. Определение степени с натуральным показателем. 9. Степень с рациональным показателем. m 0. Чему равно 0 a ; a ; a?. Как умножить степени с одинаковым основанием? Одинаковым показателем степени?. Как разделить степени с одинаковым основанием? Одинаковым показателем степени?. Как возвести степень в степень? ой. Что называется корнем степени из числа? 5. Как извлечь корень из произведения? Дроби? Степени? 6. Как умножить (разделить) корни с одинаковым показателем? 7. Как умножить (разделить) корни с разными показателями? 8. Какая функция называется степенной? 9. Свойства степенной функции. 0. Примеры степенной функции.. Определение показательной функции.. Приведите примеры показательной функции.. Графики показательной функции при a >, при a <.. Свойства показательной функции. 5. Определение логарифмической функции. 6. Приведите примеры логарифмической функции. 7. Графики логарифмической функции при a >, при a <. 8. Свойства логарифмической функции. 9. Какие уравнения называются равносильными? 50. Какие уравнения (неравенства) называются показательными? логарифмическими? 5. Простейшие приёмы решения показательных уравнений. 5. В чём заключается метод логарифмирования при решении показательных уравнений? 5. В чём заключается метод потенцирования при решении логарифмических уравнений? 5. Какие условия должны выполняться при решении показательных неравенств? 55. Какие условия должны выполняться при решении логарифмических неравенств? 56. Что называется логарифмом числа? 57. Логарифмическое тождество. 58. Формула перехода от одной системы логарифмов к другой? Её следствия? 59. Какие логарифмы называются десятичными? Натуральными? 60. Свойства логарифмов. 6. Логарифмирование выражений. 6. Потенцирование выражений. 6. Вычисления логарифмов при помощи МК.

38 ТЕМА :. Определение рациональных, иррациональных, действительных чисел.. Определение комплексных чисел.. Мнимая единица. Степень мнимой единицы.. Модуль и аргумент комплексного числа. 5. Геометрическое изображение комплексных чисел. 6. Какие комплексные числа называются сопряжёнными? 7. Сложение и вычитание комплексных чисел в алгебраической форме. 8. Умножение комплексных чисел в алгебраической форме. 9. Деление комплексных чисел в алгебраической форме. 0. Квадратное уравнение, его решения.. Решение квадратных уравнений с Д < 0.. Определитель порядка, его вычисление.. Определитель порядка, его вычисление.. Правила Крамера. 5. Метод интервалов. 6. Решение систем линейных и нелинейных уравнений. ТЕМА :. Что называется функцией?. Способы задания функции.. Что называется графиком функции?. Что называется областью определения функции? 5. Основные свойства функции. 6. Какая функция называется монотонной? 7. Какая функция называется чётной? Нечётной? 8. Какая функция называется периодической? 9. Какая функция называется ограниченной? 0. Что называется сложной функцией?. Какая функция называется обратной к данной функции?. Что называется приращением аргумента? Приращением функции?. Что называется пределом функции в точке?. Свойства предела функции. 5. Что называется пределом функции на бесконечности? 6. Какие функции называются непрерывными в точке? На отрезке? 7. Что называется числовой последовательностью? 8. Свойства последовательности. 9. Что называется пределом числовой последовательности? 0. Какие последовательности называются сходящимися? Расходящимися?. Теорема Вейерштрасса для последовательности.. Первый и второй замечательные пределы.. Понятие о бесконечно малых и бесконечно больших функциях.

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции»

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции» МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Подробнее

Область определения левой части этих формул может быть шире области определения

Область определения левой части этих формул может быть шире области определения 7 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Комментарий При решении логарифмических уравнений также как в случае иррациональных уравнений возможно появление посторонних корней Причина их появления

Подробнее

Экзаменационный билет 2

Экзаменационный билет 2 Экзаменационный билет 1 1. Преобразование обычных дробей в десятичные и наоборот. Действия с дробями. 2. Определение функции. Способы задания, область определения, область значений функции. 2 x 1 x x 1

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Тема 1. Действительные числа и действия над ними

Тема 1. Действительные числа и действия над ними Тема 1 Действительные числа и действия над ними 4 часа 11 Развитие понятия о числе 1 Первоначально под числами понимали лишь натуральные числа, которых достаточно для счета отдельных предметов Множество

Подробнее

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Действия с дробями: Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Домашнее задание. «Преобразования степенны и иррациональны выражений. Вычисление значений числовы выражений» Формулы

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Методическое пособие по математике для студентов 1-2 курсов по теме «Степенная, показательная и логарифмическая функции»

Методическое пособие по математике для студентов 1-2 курсов по теме «Степенная, показательная и логарифмическая функции» КОМИТЕТ ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ЛЕНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ЛЕНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ «ВОЛХОВСКИЙ АЛЮМИНИЕВЫЙ КОЛЛЕДЖ» Методическое

Подробнее

Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач.

Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач. Московский физико-технический институт Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач. Методическое пособие по подготовке к олимпиадам.

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Теоретический материал.

Теоретический материал. 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

ПРАВИТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГА КОМИТЕТ ПО НАРОДНОМУ ОБРАЗОВАНИЮ ГБОУНПО ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ ЛИЦЕЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

ПРАВИТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГА КОМИТЕТ ПО НАРОДНОМУ ОБРАЗОВАНИЮ ГБОУНПО ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ ЛИЦЕЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГА ПРАВИТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГА КОМИТЕТ ПО НАРОДНОМУ ОБРАЗОВАНИЮ ГБОУНПО ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ ЛИЦЕЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГА МЕТОДИЧЕСКАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ: «ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ

Подробнее

10.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:

10.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература: 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

1 Степень с целым показателем

1 Степень с целым показателем Глава 9 Степени Степень с целым показателем. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0 ; > >.. >. Если четно, то ( ) < ( ). Например, ( ) 0 = 0 < 0 = = ( ) 0. Если нечетно, то ( ) > ( ). Например, ( ) = > = = ( ), так

Подробнее

УДК 51(075.8) ББК 22.1 ISBN

УДК 51(075.8) ББК 22.1 ISBN Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ» Ю.Ю. Гнездовский, В. Н. Горбузов, П.Ф. Проневич ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ

Подробнее

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта: СПРАВОЧНИК Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:,,,,, Натуральные числа образуют множество, называемое множеством натуральных чисел Множество

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

Показательные уравнения. Методы решения. Дубова Мария Игоревна

Показательные уравнения. Методы решения. Дубова Мария Игоревна Показательные уравнения. Методы решения. Дубова Мария Игоревна 7 78-57 Показательным называется уравнение, содержащее переменную только в показателе степени. Рассмотрим несколько типов показательных уравнений,

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь Молодечненский государственный политехнический техникум

Министерство образования Республики Беларусь Молодечненский государственный политехнический техникум Министерство образования Республики Беларусь Молодечненский государственный политехнический техникум Практическая работа: Показательные, логарифмические уравнения и неравенства Разработчик: И. А. Кочеткова

Подробнее

Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения Тишин В И Логарифмические уравнения год Предисловие к книге «Логарифмические уравнения» Методика изложения решений логарифмических уравнений выдержана в таком же стиле как и решение показательных уравнений

Подробнее

МФТИ помогает готовиться к ЕГЭ ЕГЭ. Математика. Показательные и логарифмические уравнения

МФТИ помогает готовиться к ЕГЭ ЕГЭ. Математика. Показательные и логарифмические уравнения МФТИ помогает готовиться к ЕГЭ ЕГЭ Математика Показательные и логарифмические уравнения Москва 010 1 Показательные уравнения g f Заметим сначала, что 1 = 1 f если f ( ) > 0. при любых f ( ) и g ( ) в ОДЗ;

Подробнее

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства Вопрос. Неравенства, система линейных неравенств Рассмотрим выражения, которые содержат знак неравенства и переменную:. >, - +х -это линейные неравенств с одной переменной х.. 0 - квадратное неравенство.

Подробнее

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Тема ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Число А называется пределом функции у=f), при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε>, найдется такое положительное числоs, что при всех >S, выполняется

Подробнее

от перемены мест слагаемых a b b a сложения сумма не меняется сочетательный закон не важно, в каком порядке сложения

от перемены мест слагаемых a b b a сложения сумма не меняется сочетательный закон не важно, в каком порядке сложения 1 Прикладная математика Лекция 1 Числа. Корни. Степени. Логарифмы Различные виды чисел: натуральные, целые, рациональные, действительные. Действия над числами: сложение, вычитание, умножение, деление.

Подробнее

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва Лекция 4 Непрерывность функции Классификация точек разрыва Аннотация: Рассматриваются свойства функции, непрерывной на отрезке Приводится пример использования этих свойств при решении нелинейных уравнений

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме),

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме), типового варианта «Комплексные числа Многочлены и рациональные дроби» Задание Даны два комплексных числа и cos sn Найдите и результат запишите в алгебраической форме результат запишите в тригонометрической

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства Лекция Глава Множества и операции над ними Понятие множества Понятие множество относится к наиболее первичным понятиям математики не определяемым через более простые Под множеством понимают совокупность

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН... Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена

Подробнее

Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Логарифмические уравнения и неравенства Логарифмические уравнения и неравенства это уравнения и неравенства, в которых переменная величина находится под знаком

Подробнее

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число АРИФМЕТИКА Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. Порядок действий ) Если нет скобок, то сначала выполняются действия -й степени (возведение в натуральную степень), затем -й степени (умножение

Подробнее

c a в Основные тригонометрические тождества sin cos 1 ctg 1 tg sec

c a в Основные тригонометрические тождества sin cos 1 ctg 1 tg sec Занятие. Тригонометрические функции числового аргумента (определение, значения, знаки, чётность, нечётность, периодичность, ограниченность, основные тождества). Формулы приведения. Любой угол измеряется

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Логарифмические уравнения и методы их решения

Логарифмические уравнения и методы их решения Логарифмические уравнения и методы их решения Текст методических указаний 1.Логарифм и его свойства 2. Стандартные типы логарифмических уравнений и методы их решения 2.1. Уравнения вида, (где ). 2.2. Уравнения

Подробнее

Лекция 1.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними

Лекция 1.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними Лекция.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними Аннотация: В лекции указывается на необходимость обобщения понятия числа от натурального до комплексного. Вводятся алгебраическая,

Подробнее

Образовательный портал «Физ/Мат класс» МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ

Образовательный портал «Физ/Мат класс» МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ wwwfmclassru МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ Анализ величин, использование формул а) Сравните числа 6 6 и 5 7 5 4 8 6 б) Сравните числа ( + )( + )( + )( + )( + ) и 999 999 999 в) Сравните числа si0 cos0 и si 40

Подробнее

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики ФУНКЦИЯ И ЕЕ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАШИНОСТРОЕНИЯ ИИ Поспелов,

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

МАТЕМАТИКА ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

МАТЕМАТИКА ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль для класса Учебно-методическая часть/ Сост:

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике Орлова О.А. МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике «Решение показательных и логарифмических уравнений» 0 г. Оглавление Введение... Логарифмические уравнения... Способы решения:...9 Показательные уравнения...

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли . Предел функции. Актуальность изучения темы Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента. С помощью

Подробнее

Степень с рациональным показателем. Степенная функция

Степень с рациональным показателем. Степенная функция Глава Степень с рациональным показателем Степенная функция Степень с целым показателем Напомним определение и основные свойства степени с целым показателем Для любого действительного числа а полагаем а

Подробнее

Повторение Алгебра 7 8. Вопросы. 1. Раскрытие скобок 2. Умножение многочленов. 3. График линейной функции. 4. Разложение многочлена на множители. 5.

Повторение Алгебра 7 8. Вопросы. 1. Раскрытие скобок 2. Умножение многочленов. 3. График линейной функции. 4. Разложение многочлена на множители. 5. Повторение Алгебра 7 8. Вопросы.. Раскрытие скобок. Умножение многочленов.. График линейной функции. 4. Разложение многочлена на множители. 5. Свойство степени с натуральным показателем. 6. Формулы сокращенного

Подробнее

В тесте проверяются теоретическая и практическая части.

В тесте проверяются теоретическая и практическая части. 8. класс, Математика (учебник Макарычев) 07-08 уч.год Тема модуля «Квадратный корень. Степень с целым показателем» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь Знать определение

Подробнее

Показательные и логарифмические неравенства. 2

Показательные и логарифмические неравенства. 2 А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru Показательные и логарифмические неравенства. 2 Продолжим рассказ о решении показательных и логарифмических неравенств. В этой

Подробнее

Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение.

Подробнее

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

Тема I. Числовые системы и приближенные вычисления

Тема I. Числовые системы и приближенные вычисления Тема I. Числовые системы и приближенные вычисления. Введение. Развитие понятия числа.. Мнимая единица. Комплексные числа. Действия над комплексными числами.. Уравнения и неравенства с одной переменной..

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

Математика 8 класс Многочлены

Математика 8 класс Многочлены МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Подробнее

Ответы к заданию

Ответы к заданию Ответы к заданию.. понятия одного аргумента.. Основные элементарные.. элементарных функций.4. предела f в точке. х Х Если каждому элементу х из множества Х поставлен в соответствие определенный элемент

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

b a b 5 Замечание. Можно было сначала найти синус угла с помощью формулы sin cos 1, а затем, тангенс угла с помощью формулы sin

b a b 5 Замечание. Можно было сначала найти синус угла с помощью формулы sin cos 1, а затем, тангенс угла с помощью формулы sin Так как то правильный ответ Система требует выполнения двух и более условий причем мы ищем те значения неизвестной величины которые удовлетворяют сразу всем условиям Изобразим решение каждого из неравенств

Подробнее

тригонометрические уравнения (типовые задания 13(С1))

тригонометрические уравнения (типовые задания 13(С1)) тригонометрические уравнения (типовые задания 13(С1)) Отбор корней в тригонометрических уравнениях. (типовые задания С1) СОДЕРЖАНИЕ 1. Способы отбора корней в тригонометрических ур-ях. 1 2. Отбор общих

Подробнее

10 класс, Математика (профиль) уч.год Тема модуля 1 «Корни, степени, логарифмы»

10 класс, Математика (профиль) уч.год Тема модуля 1 «Корни, степени, логарифмы» 0 класс, Математика (профиль) 0-08 учгод Тема модуля «Корни, степени, логарифмы» Знать Понятия действительного числа, множества чисел, свойства действительных чисел, делимость целых чисел****, свойства

Подробнее

КРАТКИЙ КУРС МАТЕМАТИКИ

КРАТКИЙ КУРС МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЛВ Лобанок, ЖИ Покляк УДК 5(7) ББК я7 К 78 Рекомендовано

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

В тесте проверяются теоретическая и практическая части.

В тесте проверяются теоретическая и практическая части. 8.3 класс, Математика (учебник Макарычев) 2016-2017 уч.год Тема модуля 5 «Квадратный корень. Степень с целым показателем» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь Знать

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» А А Г О Л У Б Е В, Т А С П А С С К А Я ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B7: ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B7: ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwthetspru Гущин Д Д СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B7: ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Проверяемые элементы содержания и виды

Подробнее

71 Тригонометрические уравнения и неравенства

71 Тригонометрические уравнения и неравенства 7 Тригонометрические уравнения и неравенства Комментарий Устойчивым является заблуждение абитуриентов о том что при решении тригонометрических уравнений не нужна проверка Это так далеко не всегда При решении

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

Захаров В.С. Неравенства и системы неравенств. Задание С3.

Захаров В.С. Неравенства и системы неравенств. Задание С3. Захаров В.С. Неравенства и системы неравенств. Задание С3. 1 Введение Книга «Неравенства и системы неравенств. Задание С3» является логическим продолжением «Вводного курса по алгебре. Подготовка к ЕГЭ»

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

ограниченные последовательности сходящиеся последовательности ательнос

ограниченные последовательности сходящиеся последовательности ательнос ограниченные последовательности Вычисление пределов числовых последовательностей Рассмотренные нами вопросы о числовых последовательностях содержат основные понятия и некоторые сведения о структуре множества

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 2

Иррациональные уравнения и неравенства 2 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление Иррациональные уравнения Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень Задание Задание Задание Замена иррационального уравнения смешанной

Подробнее

x принимает значение f a

x принимает значение f a Практическое занятие Тема: Функция Область определения и множество значений функции Цель: Формирование навыков нахождения области определения функций, и вычисления частных значений функций На выполнение

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Летняя школа МФТИ Лекции по математике. Курс Николаева Ю.П. 1. Гиперболический логарифм.

Летняя школа МФТИ Лекции по математике. Курс Николаева Ю.П. 1. Гиперболический логарифм. Летняя школа МФТИ 04. Лекции по математике. Курс Николаева Ю.П.. Гиперболический логарифм. Умножение чисел существенно более трудоемкая операция, чем сложение. Логарифмы позволяют свести умножение к сложению.

Подробнее

Тема 8. Показательная и логарифмическая функции. 1. Показательная функция, ее график и свойства

Тема 8. Показательная и логарифмическая функции. 1. Показательная функция, ее график и свойства Тема 8. Показательная и логарифмическая функции. 1. Показательная функция, ее график и свойства В практике часто используются функции y=2 x,y=10 x,y=( 1 2x ),y=(0,1) x и т. д., т. е. функция вида y=a x,

Подробнее

Инструкция к практическому занятию: Логарифмические неравенства.

Инструкция к практическому занятию: Логарифмические неравенства. Молодечненский государственный политехнический техникум Инструкция к практическому занятию: Логарифмические неравенства. Разработчик: И. А. Кочеткова Цель работы: ) Отработать некоторые приѐмы решения

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Е. Я. Файн МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Е. Я. Файн МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Е. Я. Файн МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по курсу ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА для студентов первого курса

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

Решения для 9 класса подготовительного варианта

Решения для 9 класса подготовительного варианта Решения для 9 класса подготовительного варианта. Тема Действия с дробями 7 4 0,5 :, 5 : 5 7 Выполните действия:.,5 :8 4 Решение. Выполним действия в следующем порядке: 5 4 ) 0,5 :,5 : :. 4 4 5 5 7 4 7

Подробнее

Домашняя работа по алгебре за 10 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа класс» Алимов Ш.А. и др., -М.: «Просвещение», 2001г.

Домашняя работа по алгебре за 10 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа класс» Алимов Ш.А. и др., -М.: «Просвещение», 2001г. Домашняя работа по алгебре за 0 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа 0- класс» Алимов Ш.А. и др., -М.: «Просвещение», 00г. www.balls.ru Содержание Глава I. Действительные числа.. Глава II. Степенная

Подробнее

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ Найти область определения D и множество значений Е функции y Р е ш е н и е Функция y определена если те если Поэтому областью определения функции является множество f ; D R Поскольку

Подробнее

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Подробнее

9.1, 9.3 класс Модуль 5 «Последовательности. Степени и корни» В тесте проверяются теоретическая и практическая части.

9.1, 9.3 класс Модуль 5 «Последовательности. Степени и корни» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. 9., 9. класс Модуль 5 «Последовательности. Степени и корни» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. Последовательности Числовые последовательности. Способы задания числовых последовательностей:

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 5

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 5 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. 5 Глава первая Арифметика и алгебра..................................... 6 1.1. Числа и действия с ними.............................

Подробнее

Тема: Пределы. Краткие теоретические сведения. Непосредственное вычисление пределов.

Тема: Пределы. Краткие теоретические сведения. Непосредственное вычисление пределов. Тема: Пределы Краткие теоретические сведения Непосредственное вычисление пределов si Первый замечательный предел: Второй замечательный предел: ( ) 5 5 5 9 si si cos cos si si 5 5 9 6 6 6 8 8 si si 5 5

Подробнее