и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение"

Транскрипт

1 Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет максимум в точке x, если существует окрестность этой точки такая, что для всех точек x = ( x,, x ) из этой окрестности выполняется неравенство f ( x ) f ( x) и имеет минимум, если f ( x ) f ( x) Максимум и минимум называют экстремумами функции Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение функции u = f ( x) f ( x ), а в окрестности точки минимума u = f ( x) f ( x ) Теорема (Необходимое условие экстремума) Пусть функция u = f ( x,, x ) имеет экстремум в точке x ( x,, x ) f первого порядка ( k =,, ) в точке xk f ( x ) = ( k =,, ) xk = Тогда, если существуют частные производные x, то все они равны нулю в этой точке, то есть Доказательство Предположим, что у функции u = f ( x,, x ) все переменные зафиксированы, кроме первой, то есть x = x, x3 = x3,, x = x Тогда функция u f ( x, x,, x ) = станет функцией от одной переменной x, причем по условию теоремы эта функция имеет экстремум в точке x x = Известно, что если функция одной переменной имеет экстремум в какой-либо точке, то производная данной функции в этой точке равна нулю Таким образом, производная от функции u f ( x, x,, x ) = по переменной x в точке x x = равна нулю Но эта производная совпадает с частной производной от функции u = f ( x,, x ) по переменной x в точке x = ( x,, x ) Следовательно, f ( x ) = x

2 Аналогично можно показать, что остальные частные производные равны нулю Теорема доказана Из этой теоремы следует, что «подозрительными» на экстремум являются точки, в которых все частные производные первого порядка обращаются в нуль Такие точки называют стационарными Отметим, что встречаются функции, в отдельных точках которых некоторые частные производные первого порядка имеют бесконечные значения или не существуют Такие точки тоже надо исследовать на экстремум Итак, для функции u = f ( x,, x ) точкой, «подозрительной» на экстремум, является точка x, в которой выполняется одно из условий: ) все частные производные первого порядка данной функции равны нулю, ) некоторые частные производные данной функции равны бесконечности или не существуют Но не обязательно, что точки «подозрительные» на экстремум, являются таковыми Например, у функции двух переменных u = x y частные производные u = xy, u = x x y равны нулю в точке (, ) Но в любой окрестности этой точки приращение функции u = x y = x y может принимать и положительные и отрицательные значения Поэтому точка (, ) не является точкой экстремума Чтобы проверить, является ли точка достаточные условия экстремума Напомним сначала некоторые определения из курса алгебры x точкой экстремума надо проверить Квадратичная форма k( x,, x ) = aij xi x j, aij = a ji ( i, j =,, ) называется i, j= положительно (отрицательно) определенной, если k( x,, x ) > ( k( x,, x ) < ) для любых отличных от нуля x,, x Квадратичная форма, являющаяся положительно или отрицательно определенной, называется также просто определенной квадратичной формой Квадратичная форма, принимающая как положительные, так и отрицательные значения, называется неопределенной Справедлива следующая теорема Теорема (Достаточное условие экстремума) Пусть функция u = f ( x,, x ) определена и имеет непрерывные производные второго порядка в некоторой окрестности

3 точки x ( x,, x ) = И пусть x является стационарной точкой, те f ( x ) = ( k =,, ) xk Тогда если квадратичная форма f ( x ) k( dx,, dx ) = dx dx () i j x i, j i x = j те второй дифференциал d f ( x ), является положительно определенной (отрицательно определенной) квадратичной формой, то точка x является точкой минимума (максимума) Если же квадратичная форма () является неопределенной, то в точке экстремума x нет При практическом применении этой теоремы возникает вопрос: как установить, будет ли квадратичная форма () положительно или отрицательно определенной Для этой цели может служить, например, критерий Сильвестра, доказываемый в курсе алгебры Он состоит в следующем Для того, что бы квадратичная форма k( x,, x ) = aij xi x j, aij = a ji, была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы i, j= a a a a a a a a a a >, >, a a a >,, > 3 a a 3 a a a3 a3 a33 a a a Для того, что бы квадратичная форма k( x,, x ) = aij xi x j, aij = a ji, была i, j= отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы a a a3 a4 a a a a a a3 a4 a <, >, a a a <, >, a a a a 3 a a 3 a a a3 a3 a a a a a

4 В нашем случае коэффициенты a ij это есть частные производные второго порядка функции u = f ( x,, x ) в стационарной точке x ( x,, x ) = Те aij f ( x ) =, xi x j i, j =,, Сформулируем теперь теорему для функции двух переменных z = f ( x, y), выразив условия, накладываемые на квадратичную форму (), в явном виде через частные производные второго порядка Теорема 3 Пусть функция z = f ( x, y) определена и имеет непрерывные частные производные первого и второго порядков в окрестности точки ( x, y ), которая является стационарной, то есть удовлетворяет условиям fx ( x, y ) =, f y ( x, y ) = Введем обозначения: a = fxx ( x, y), a = fxy ( x, y), a = f yy ( x, y ) Тогда в точке ( x, y ) функция z = f ( x, y) ) имеет максимум, если ) имеет минимум, если aa ( a ) >, a <, aa ( a ) >, a >, 3) не имеет экстремума, если aa ( a ) <, 4) может иметь экстремум, а может и не иметь, то есть требуется дополнительное исследование, если aa ( a ) = Доказательство Очевидно, пункты ) и ) следуют из критерия Сильвестра Пусть выполнено условие aa ( a ) < Рассмотрим квадратичную форму k( dx, dy) = d f ( x, y) = fxx ( x, y) dx + fxy ( x, y) dxdy + f yy ( x, y) dy = = adx + a dxdy + ady При a мы можем преобразовать ее к виду: k( dx, dy) = adx + adxdy + ady = ( adx + ady ) + ( aa a ) dy a

5 Можно заметить, что k( dx, dy ) будет неопределенна, так как знак k( dx,) совпадает со знаком a, а k( a, a ) имеет знак противоположный знаку a a Если =, a, то аналогичными преобразованиями можно показать неопределенность квадратичной формы a Если =, a =, то k( dx, dy) = a dxdy Очевидно, эта квадратичная форма тоже неопределенна, так как знак k( dx, dy ) будет противоположен знаку k( dx, dy) Таким образом, пункт 3) доказан Чтобы показать пункт 4), приведем два примера У функции z = ( x + y) точка (,) является стационарной и точкой экстремума, так как z для любых х и у Далее z = z = z =, поэтому выполняется условие xx xy yy aa ( a ) = У другой функции 3 z = xy точка (,) также является стационарной, но не является точкой экстремума, поскольку в любой окрестности нуля эта функция меняет знак Но все частные производные второго порядка в этой точке равны нулю, поэтому условие aa ( a ) = снова выполнено Таким образом, теорема полностью доказана Пример Исследовать на экстремум функцию Найдем стационарные точки: 3 3 z = x + y 3xy y z = 3x 3y =, z = 3y 3x = ( x, y ) = (,), ( x, y ) = (,) x Тогда для первой точки ( x, y ) = (,) получим a = z (, ) =, a = z (, ) = 3, a = z (, ) =, xx xy yy следовательно, экстремумом aa ( a ) 9 = <, то есть точка ( x, y ) = (,) не является Для второй точки ( x, y ) = (,) найдем a = z (, ) = 6, a = z (, ) = 3, a = z (, ) = 6, xx xy yy

6 отсюда так как a > aa ( a ) 7 = >, то есть точка ( x, y ) = (,) является точкой минимума, Условный экстремум функции нескольких переменных Многие задачи на нахождение экстремума сводятся к нахождению экстремумов функции от нескольких переменных, которые связаны между собой дополнительными условиями В этом случае говорят о задаче нахождения условного экстремума Пусть требуется найти точки экстремума функции u = f ( x,, x ) при условии, что справедливы ϕ ( x,, x ) =,, ( x,, x ) ϕ =, < () Уравнения () называются уравнениями связи Точка x называется точкой условного максимума, если существует окрестность этой точки такая, что для всех точек x = ( x,, x ) из этой окрестности, удовлетворяющих уравнениям связи, выполняется неравенство f ( x ) f ( x) и называется точкой условного минимума, если f ( x ) f ( x) Пусть функции u = f ( x,, x ), ϕ ( x,, x ),, ϕ ( x,, x ) непрерывно дифференцируемы в окрестности точки уравнений связи x и в этой точке ранг матрицы Якоби для ϕ / x ϕ / x ϕ / x ϕ / x равен Напомним, что в этом случае система функций ϕ ( x,, x ),, ϕ ( x,, x ) независима в окрестности точки бы один из определителей вида x Из определения ранга следует, что в точке x хотя

7 ϕ / x ϕ / x i ϕ / x ϕ / x i i i отличен от нуля Пусть для определенности это будет ϕ / x ϕ / x + ϕ / x ϕ / x + (3) Тогда по теореме о неявных функциях систему уравнений () можно разрешить относительно переменных x +,, x : x + = ψ ( x,, x ),, x = ψ ( x,, x ) Подставляя эти равенства в функцию u = f ( x,, x ), получим функцию u = f ( x,, x, ψ,, ψ ) = g( x,, x ) (4) от п т переменных Тогда задача о нахождении условного экстремума функции переменных u = f ( x,, x ) сводится к задаче о нахождении обычного экстремума функции переменных u = g( x,, x ) Это один из способов решения данной задачи Рассмотрим другой метод, который называется методом Лагранжа Теорема 4 Пусть точка u f ( x,, x ) x является точкой условного экстремума функции = при выполнении уравнений связи () Тогда существуют такие числа λ, λ,, λ, что в точке x выполняются условия f ϕ ϕ + λ + + λ =, i =,,, xi xi xi K (5) Следствие (Необходимые условия существования условного экстремума) Введем функцию

8 L( x) = f ( x,, x ) + λiϕi ( x,, x ), которая называется функцией Лагранжа, при этом параметры λ, λ,, λ называются множителями Лагранжа Тогда если точка x является точкой условного экстремума для функции u = f ( x,, x ), то она является стационарной точкой для функции Лагранжа, те в этой точке выполняются равенства: L( x ) =, k =,,, xk ϕ i ( x ) =, i =,, Доказательство теоремы 4 Пусть точка x ( x,, x ) = является точкой условного экстремума для функции f и пусть в этой точке выполняется условие (3) Тогда точка (,, ) x x является точкой обычного экстремума для функции g (см (4)), поэтому в силу теоремы все частные производные функции g равны нулю в этой точке, а, следовательно, в этой точке dg( x,, x ) = или df ( x,, x, ψ,, ψ ) = Раскрыв дифференциал, получим f f dx + + dx = x x K (6) получим Далее, вычисляя дифференциалы от левой и правой частей каждого из равенств (),

9 ϕi dx ϕi + + dx =, i =,, x x K (7) В формулах (6) и (7) дифференциалы dx,, dx суть дифференциалы независимых переменных, а дифференциалы dx +,, dx суть дифференциалы функций ψ,, ψ в точке x Умножив каждое равенство (7) для функции ϕ i на некоторое число λ i и сложив все эти равенства между собой и с равенством (6), получим f ϕ + λ i i dx j = x j j x = j Выберем числа λ, λ,, λ так, чтобы в точке x выполнялись равенства f ϕ + i λ i =, j = +,, (8) x j x j Это можно сделать, так как равенства (8) представляют собой систему т линейных уравнений с неизвестными λ, λ,, λ, причем определитель матрицы системы есть определитель (3) и он отличен от нуля При таком выборе чисел λ, λ,, λ имеем f ϕ + λ i i dx j = x j j x = j Здесь уже все дифференциалы независимы и могут принимать любые значения Беря каждый раз один из дифференциалов равным единице, а остальные равными нулю, получим равенства f ϕ + i λ i =, j =,, (9) x j x j Равенства (9) совместно с (8) дают (5) Теорема доказана

10 Следствие к теореме 4 позволяет найти точки подозрительные на экстремум, найдя стационарные точки функции Лагранжа Следующая теорема, которую мы приводим без доказательства, позволяет определить, является ли указанная точка точкой условного экстремума рассматриваемой задачи Теорема 5 (Достаточные условия существования условного экстремума) Пусть функции u = f ( x,, x ), ϕ ( x,, x ),, ϕ ( x,, x ) дважды непрерывно дифференцируемы в окрестности точки x, эта точка удовлетворяет уравнениям связи () и в этой точке выполняются необходимые условия условного экстремума, те она является стационарной точкой для функции Лагранжа: L( x) = f ( x,, x ) + λiϕi ( x,, x ) Тогда функция u = f ( x,, x ) имеет условный максимум в точке x, если второй дифференциал функции Лагранжа в этой точке является отрицательно определенной квадратичной формой переменных dx,, dx, те d L( x ) < и имеет условный минимум, если d L( x ) > При этом должны выполняться условия (7) Если знак второго дифференциала функции Лагранжа в точке данной точке условного экстремума нет x является неопределенным, то в Пример Исследовать функцию z = x + y при условии x + y = 5 на условный экстремум Уравнение связи имеет вид: ( / x / y) ( x y) ( x, y) x y 5 ϕ = + = Ранг матрицы ϕ ϕ = равен единице, поэтому можем применить метод Лагранжа для нахождения условного экстремума Составим функцию Лагранжа: L( x, y, ) x y ( x y 5) λ = + + λ + Из системы уравнений L L = + λ x =, = + λ y =, x + y 5 = x y найдем ( x, y ) = (, ) при λ = /, ( x, y ) = (, ) при λ = /

11 Так как L = λ, L =, L = λ, получим xx xy yy d L( x, y, λ ) = λ ( dx + dy ) Тогда в точке ( x, y ) = (, ) при λ = / : d L(,, / ) dx dy = + >, то есть точка ( x, y ) = (, ) является точкой минимума Аналогично, во второй точке ( x, y ) = (, ) при λ = / получим d L(,, / ) ( dx dy ) = + <, следовательно, точка ( x, y ) = (, ) является точкой максимума

7. Экстремумы функций нескольких переменных

7. Экстремумы функций нескольких переменных 7. Экстремумы функций нескольких переменных 7.. Локальные экстремумы Пусть функция f(x,..., x n ) определена на некотором открытом множестве D R n. Точка M D называется точкой локального максимума (локального

Подробнее

Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных

Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных Рассмотрим задачу на нахождение условного экстремума для случае функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Пусть имеется

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Экстремум функции двух переменных

Экстремум функции двух переменных ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 11 Экстремум функции двух переменных Максимум или минимум функции называется её экстремумом Точка M 0, в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума Если дифференцируемая

Подробнее

А.В. Абанин, Д.А. Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

А.В. Абанин, Д.А. Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» АВ Абанин, ДА Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ

Подробнее

равен k во всех точках множества Q.

равен k во всех точках множества Q. 17. Условный экстремум 17.1. Обратимся к рассмотрению нахождения условного (говорят также относительного) экстремума. Задача нахождения условного экстремума состоит в поиске локальных максимумов и минимумов

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 23. Экстремум функции нескольких переменных.

ЛЕКЦИЯ 23. Экстремум функции нескольких переменных. ЛЕКЦИЯ Экстремум функции нескольких переменных Экстремум функции нескольких переменных Необходимые и достаточные условия существования экстремума Точка M, 0) называется точкой минимума максимума) функции

Подробнее

Формула Тейлора для ФНП. Экстремумы ФНП

Формула Тейлора для ФНП. Экстремумы ФНП Математический анализ Раздел: Функция нескольких переменных Тема: Формула Тейлора для ФНП. Экстремумы ФНП Лектор Рожкова С.В. 1 г. 18. Формула Тейлора для ФНП Если y = раз дифференцируема в окрестности

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 9. ЭКСРЕМУМ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Лекция 9. ЭКСРЕМУМ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 9 ЭКСРЕМУМ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Понятие экстремума функции многих переменных Некоторые сведения о квадратичных формах 3 Достаточные условия экстремума Понятие экстремума функции многих переменных

Подробнее

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа ВВ Колыбасова, НЧ Крутицкая В В Колыбасова, Н Ч Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном

Подробнее

6.1 Определения, предварительные сведения

6.1 Определения, предварительные сведения 6. Неявные функции 6.1 Определения, предварительные сведения Зависимость одной переменной от другой (или от других) не обязательно может быть выражена при помощи так называемого явного представления, когда

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

Практическое занятие 5 Экстремум функции многих переменных. 5.2 Некоторые сведения о квадратичных формах 5.3 Достаточные условия экстремума

Практическое занятие 5 Экстремум функции многих переменных. 5.2 Некоторые сведения о квадратичных формах 5.3 Достаточные условия экстремума Практическое занятие 5 Экстремум функции многих переменных 5 Определение и необходимые условия экстремума 5 Некоторые сведения о квадратичных формах 53 Достаточные условия экстремума 5 Определение и необходимые

Подробнее

- количества производимых товаров, p. - цены на товары и затраты на производство товаров определены функцией издержек f ( x1,

- количества производимых товаров, p. - цены на товары и затраты на производство товаров определены функцией издержек f ( x1, Глава Экстремумы функции двух переменных Экстремум функции двух переменных При решении многих экономических задач приходится вычислять наибольшее и наименьшее значения В качестве примера рассмотрим задачу

Подробнее

). Частной производной функции f по переменной x k в точке x. ). Полным дифференциалом функции f

). Частной производной функции f по переменной x k в точке x. ). Полным дифференциалом функции f ГЛАВА 7 Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 1 Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных Опр711 Пусть М (, y ), : O(М, ) Рассмотрим функцию 1 = 1 ()=

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. 1.Производная по направлению.

ЛЕКЦИЯ N Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. 1.Производная по направлению. ЛЕКЦИЯ N. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремумы функции многих переменных. Условный экстремум.. Скалярное поле. Производная по

Подробнее

= 0. Следовательно нельзя, пользуясь теоремой, ответить на вопрос об экстремуме. ; является точкой локального ми-,0 0

= 0. Следовательно нельзя, пользуясь теоремой, ответить на вопрос об экстремуме. ; является точкой локального ми-,0 0 6 ( ) Получаем, что HP =. Следовательно нельзя, пользуясь теоремой, ответить на вопрос об экстремуме. В данном случае стационарная точка P ( ) ; является точкой локального ми- Δz > P O & P : z = z =. δ

Подробнее

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Лекция 8 Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Аннотация: Доказываются все названные теоремы и приводятся примеры раскрытия неопределенностей по правилу Лопиталя Определение Функция y=f() достигает

Подробнее

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Веб- страница кафедры http://kvm.gubkin.ru 1 Функции многих переменных 2 Определение

Подробнее

3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами

3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами 3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами и неравенствами В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств и неравенств.

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x)

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x) Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(, ) f ( ) ( ) (), где ( ) при

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции 10 Исследование функций и построение графиков 10 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1 Возрастание и убывание функции 1 x ( 1 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция y = f (x) называется возрастающей (неубывающей)

Подробнее

6. Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами. Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала b

6. Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами. Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала b Лекция 1 6 Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала [ ] (,, ) V = F x x при условии, что = A, = B Необходимое

Подробнее

МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА

МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра нелинейного анализа и аналитической экономики В. И. БАХТИН, И. А. ИВАНИШКО, А. В. ЛЕБЕДЕВ, О. И. ПИНДРИК МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

Простейшие задачи вариационного исчисления

Простейшие задачи вариационного исчисления Глава VI. Простейшие задачи вариационного исчисления 1. Функционалы в линейном нормированном пространстве Опр. 6. 1. Функционалом J[y] в линейном нормированном пространстве E называется закон соответствия,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Конечномерные задачи

Конечномерные задачи Глава 1 Конечномерные задачи 1 Конечномерные гладкие задачи без ограничений В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума функций одной и нескольких переменных. 1.1 Постановка задачи

Подробнее

max f при условии, что g(x) = b i, (1)

max f при условии, что g(x) = b i, (1) Метод множителей Лагранжа Рассмотрим экстремальную задачу с ограничениями в виде равенств: найти a при условии что ) = ) на множестве допустимых значений описываемом системой уравнений где R : R R : R

Подробнее

Матрица, составленная из вторых производных функции, называется матрицей Гессе:

Матрица, составленная из вторых производных функции, называется матрицей Гессе: Определение. Точка 0 называется точкой локального максимума функции окрестность точки 0, что для всех из этой окрестности f f 0. Определение. Точка 0 называется точкой локального минимума функции окрестность

Подробнее

Нелинейная задача оптимизации.

Нелинейная задача оптимизации. Нелинейная задача оптимизации. Кольцов С.Н 2014 www.linis.ru Задача безусловной оптимизации Задача оптимизации формулируется следующим образом: заданы множество Х (допустимое множество задачи) и функция

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Тема 39. «Производные функций»

Тема 39. «Производные функций» Тема 39. «Производные функций» Функция Производной функции в точке х 0 называется предел отношения приращения функции к приращению переменной, то есть = lim = lim + ( ) Таблица производных: Производная

Подробнее

2 Дифференцируемость функций многих переменных. точке. Достаточные условия дифференцируемости

2 Дифференцируемость функций многих переменных. точке. Достаточные условия дифференцируемости В.В. Жук, А.М. Камачкин Дифференцируемость функций многих переменных. Дифференцируемость функции в точке. Достаточные условия дифференцируемости в терминах частных производных. Дифференцирование сложной

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

Лекция 9 СЛАБЫЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА. 1. Слабый принцип максимума в случае ограниченного решения

Лекция 9 СЛАБЫЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА. 1. Слабый принцип максимума в случае ограниченного решения Лекция 9 СЛАБЫЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА 1. Слабый принцип максимума в случае ограниченного решения Рассмотрим эллиптическое уравнение с переменными коэффициентами следующего вида: Lu(x) def a ij (x)u xi x j

Подробнее

сил реакций связи обозначим R j . Виртуальной работой сил реакций связи называют величину R = j. Если она равна нулю, то связи

сил реакций связи обозначим R j . Виртуальной работой сил реакций связи называют величину R = j. Если она равна нулю, то связи Вопрос 44 Обобщенные координаты. Уравнения Лагранжа второго рода. Канонические уравнения механики Cвязи, реакции, идеальные связи. Обобщенные коодинаты и их ваиации. Общее уавнение механики Связями называют

Подробнее

«Юго-Западный государственный университет» (ЮЗГУ) Кафедра конструирования и технологии электронновычислительных

«Юго-Западный государственный университет» (ЮЗГУ) Кафедра конструирования и технологии электронновычислительных «Юго-Западный государственный университет» ЮЗГУ) Кафедра конструирования и технологии электронновычислительных средств МЕТОДЫ УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ Методические указания по выполнению лабораторной работы

Подробнее

Семинар 5. Частные производные

Семинар 5. Частные производные Семинар 5 Частные производные О. Пусть M 0 (x 1,, x m ) внутренняя точка D(f). Частной производной (ч.п.) функции f(x 1,, x m ) по переменной x k в точке M 0 называется предел f xk (M 0 ) = f (M x 0 )

Подробнее

2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами

2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами 2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств. 2.1 Постановка задачи Пусть

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале Вариант + Найти область определения функции: y lg Область определения данной функции определяется неравенством + те Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg или ± Кроме того аргумент логарифма

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: Вариант 7 Найти область определения функции : y Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и > Второе неравенство выполняется при всех значениях Корнями уравнения являются числа

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

) и, следовательно, функция на этом множестве возрастает и f (x) 0 для x (1;3 ), где функция убывает.

) и, следовательно, функция на этом множестве возрастает и f (x) 0 для x (1;3 ), где функция убывает. Лекции 7-9 Глава 7 Исследование функции 7 Возрастание и убывание функции Теорема о монотонности функции Если f ( на промежутке ( a ; b, то на этом промежутке функция f ( возрастает Если f ( на промежутке

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2.

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора.

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора. Глава 5 Исследование функций с помощью формулы Тейлора Локальный экстремум функции Определение Функция = f ( достигает в точке с локального максимума (минимума), если можно указать такое δ >, что ее приращение

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных 1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ Проф др Авыт АСАНОВ Кыргызско-Турецкий Университет «Манас» Классические понятия производной и дифференциала функции изложены во многих работах Например в []

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N21. Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков.

ЛЕКЦИЯ N21. Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков. ЛЕКЦИЯ N Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков Полный дифференциал Частные дифференциалы Частные производные высших порядков Дифференциалы высших порядков 4Производные

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и Вариант 5 Найти область определения функции : y arcsin + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и или Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА

Подробнее

23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА

23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА Лекция 23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ТОЧКИ ПЕРЕГИБА График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале График

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2 Вариант Найти область определения функции : y arcsi + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами и Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства

Подробнее

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Вспомним основные определения равновесных задач и вариационных неравенств. Пусть D R n - непустое замкнутое выпуклое множество. Определение

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

Квадратичные формы. Закон

Квадратичные формы. Закон Материалы к установочной лекции Вопрос 10. Квадратичные формы. Закон инерции. Условия знакоопределенности квадратичных форм. 1 Приведение квадратичной формы к каноническому виду по методу Лагранжа. Обозначения.

Подробнее

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Практическое занятие ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Дифференцирование сложной функции Дифференцирование неявной функции задаваемой одним уравнением Системы неявных и параметрически заданных

Подробнее

называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности.

называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности. 5 Точка в которой F F F или хотя бы одна из этих производных не существует называется особой точкой поверхности В такой точке поверхность может не иметь касательной плоскости Определение Нормалью к поверхности

Подробнее

Лекция 4. Дифференцирование сложных функций Неявное дифференцирование

Лекция 4. Дифференцирование сложных функций Неявное дифференцирование СА Лавренченко wwwlawrencenkoru Лекция 4 Дифференцирование сложных функций Неявное дифференцирование Вспомним правило дифференцирования для функций одной переменной также называемое цепным правилом (см

Подробнее

13. Частные производные высших порядков

13. Частные производные высших порядков 13. Частные производные высших порядков Пусть = имеет и определенные на D O. Функции и называют также частными производными первого порядка функции или первыми частными производными функции. и в общем

Подробнее

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные П л а н 1. Понятие функции двух и нескольких переменных.. Предел и непрерывность

Подробнее

Методы оптимизации, ФКН ВШЭ, зима Семинар 3: производные и условия оптимальности. Решение задач. 24 января 2017 г.

Методы оптимизации, ФКН ВШЭ, зима Семинар 3: производные и условия оптимальности. Решение задач. 24 января 2017 г. Методы оптимизации, ФКН ВШЭ, зима 207 Семинар 3: производные и условия оптимальности. Решение задач. 24 января 207 г. Теория Для вычисления большинства производных, которые возникают на практике, достаточно

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

Программа курса математического анализа

Программа курса математического анализа Программа курса математического анализа 1-й курс 2-й семестр 2015-2016 уч. года М. Э. Казарян 1. Изображение кривых, заданных параметрически и неявно. Особые и характерные точки. Изображение кривой в окрестности

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

4.3 Выпуклые задачи. Доказательство. ˆx absmin P f(x) f(ˆx) 0 = 0, x

4.3 Выпуклые задачи. Доказательство. ˆx absmin P f(x) f(ˆx) 0 = 0, x 4.3 Выпуклые задачи 4.3.1 Задачи без ограничений Пусть f : X R выпуклая функция, отображающая нормированное пространство X в расширенную прямую. Выпуклой задачей без ограничений называется следующая экстремальная

Подробнее

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y +

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y + Вариант Найти область определения функции : y + + lg(5 Область определения данной функции определяется следующими неравенствами: + те 5 > те < 5 Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg( 5 или

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. Понятие производных и дифференциалов высших порядков

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. Понятие производных и дифференциалов высших порядков ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ Понятие производных и дифференциалов высших порядков Производная f ( называется производной первого порядка (или

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

Задача Коши для волнового уравнения. Формула Даламбера

Задача Коши для волнового уравнения. Формула Даламбера Задача Коши для волнового уравнения. Формула Даламбера 37, 438, I, II, 385, 439, 445, 37, III, IV, 37, 446.. 37 Найти общее решение уравнения u tt a u xx..) Шаг. Находим замену переменных Способ через

Подробнее

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (,

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (, Вариант 9 Найти область определения функции : y + lg Область определения данной функции определяется следующим неравенством: >, те > Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или ± Объединяя результаты,

Подробнее

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию:

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию: Вариант 7 Найти область определения функции : y + / lg Область определения данной функции определяется следующими условиями:, >, те > / Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или Объединяя результаты,

Подробнее

1. Построить область определения следующих функций. то область определения функции является множество

1. Построить область определения следующих функций. то область определения функции является множество 1. Построить область определения следующих функций. a) Так как функции определена при то область определения функции является множество - полуплоскость. b) Так как область определения функции является

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее