УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ»

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ»"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный университет геосистем и технологий» («СГУГиТ») Кафедра высшей математики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ» учебно-методическое пособие для студентов курса, обучающихся по всем направлению подготовки бакалавров в СГУГиТ Составитель: доцент кафедры высшей математики Мартынов Геннадий Павлович Новосибирск 07

2 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОСИСТЕМ И ТЕХНОЛОГИЙ («СГУГиТ») Г.П. Мартынов ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Учебно-методическое пособие для студентов курса, обучающихся по всем направлениям подготовки бакалавров в СГУГиТ Новосибирск 07

3 УДК 59.6 М94 Рецензенты: кандидат физико математических наук, доцент НГТУ В.В. Комиссаров кандидат технических наук, доцент СГУГиТ С.С. Янкелевич Мартынов, Г.П. М94 Векторная алгебра в примерах и задачах [Электронный ресурс]: учебнометодическое пособие / Г.П. Мартынов. Новосибирск: СГУГиТ, с. Учебно-методическое пособие составлено доцентом кафедры высшей математики СГУГиТ Г.П. Мартыновым и предназначено для студентов курса, обучающихся по всем направлениям подготовки бакалавров в СГУГиТ. Пособие содержит краткую теорию (определения, формулы и теоремы) раздела «Векторная алгебра» дисциплины «Математика», примеры решения типовых задач, типовые задания по 30 вариантам, вопросы для самоконтроля и примерный вариант контрольных заданий по теме «Элементы векторной алгебры», а также библиографический список рекомендуемой литературы. Данное пособие может быть использовано как часть фонда оценочных средств по дисциплине «Математика». УДК 59.6 Мартынов Г.П., 07

4 ОГЛАВЛЕНИЕ. Векторы. Основные определения, свойства и теоремы.4.. Векторы. Линейные операции над векторами.4.. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.6.3. Базис на плоскости (в R ). Разложение по базису Разновидности базиса на плоскости Базис в пространстве (в R 3 ). Разложение по базису Разновидности базиса в пространстве Скалярное произведение двух векторов и его свойства.8. Проекция вектора...9. Векторное произведение двух векторов и его свойства.4.0. Смешанное произведение трёх векторов и его свойства...5. Примеры решения типовых задач Типовые задания по теме «Элементы векторной алгебры».6 4. Вопросы для самоконтроля Примерный вариант контрольных заданий по теме «Элементы векторной алгебры».38 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

5 . Векторы. Основные определения, свойства и теоремы.. Векторы. Линейные операции над векторами Определение.. Вектором a в трехмерном пространстве (в R 3 ) называется направленный отрезок заданной длины a. Длина А вектора a иногда называется модулем вектора a a ΑΒ (рис..). У вектора ΑΒ точка А называется Рис.. В началом вектора ΑΒ, точка В его концом. Определение.. Вектор нулевой длины называется нуль вектором и обозначается Ο или просто 0. Определение.3. Два вектора a и b называются (рис..) коллинеарными в R 3 ( a b), если они расположены на параллельных a a прямых или на одной прямой. Определение.4. Два вектора a и b называются равными ( a b), если a b и a b ( a и b коллинеарны и направлены в одну сторону). a b Следствие. Вектор a можно параллельным переносом переносить началом в любую точку (рис..3). b Рис... a b a b a Определение.5. Произведением вектора a на число λ называется вектор b λ a b λ a( λ > 0): (рис..4), такой, что: ) b λ a ; a ) b a ; 3) b a, если λ > 0, и b a, если λ < 0. b Рис..4. b Рис..3 λ a ( λ 0): < a b Замечание. Операция умножения вектора на число обладает следующим свойством: λ ( β a) ( λ β ) a. Теорема. (критерий коллинеарности векторов). Пусть a 0. Если вектор b a, то существует такое число λ, что b λ a. b коллинеарен вектору a ( ) 4

6 Определение.6. Пусть задан вектор a, тогда вектор ортом вектора a (рис..5) (заметим, что a ). о a о a называется a Определение.7. Пусть заданы векторы a и b. Суммой Рис..5 векторов a и b называется такой вектор с a + b, который строится по «правилу треугольника» (рис..6). Замечание. Сумму векторов можно ввести и по «правилу параллелограмма» (рис..7). a c b b a b c b a о a Рис..6 Рис..7 Замечание. Операция сложения векторов обладает следующими свойствами: ) a + b b + a (коммутативность); b ) a + ( b + c) ( a + b) + c (ассоциативность); 3) λ ( a + b) λ a + λ b (дистрибутивность); a c 4) ( λ + µ ) a λ a + µ a. a + b + c + d d Замечание 3. При сложении более чем двух векторов можно следовать следующему правилу: векторы выстраиваем в цепочку, и вектор суммы начинается из Рис..8 начала первого вектора и идёт в конец последнего (рис..8). Определение.8. Вектор ( ) a называется (рис..9) a противоположным к вектору a и обозначается a. a Рис..9 Определение.9. Разностью векторов b и a называется вектор с b + a (рис..0). ( ) Замечание. Разность b a можно определить и так: b a c, если a + c b (рис..). a b c a Рис..0 c a b Рис.. 5

7 .. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов Определение.0. Упорядоченный набор из n векторов: a, a,, a ; a; ;. называется системой векторов { a n } Определение.. Пусть { a ; a; ; a n } числа. Тогда вектор комбинацией системы векторов { a n } a n система векторов; λ, λ,, λ n L λ a + λ a + + λn an называется линейной a ; a; ;. Определение.. Система векторов { a ; a; ; a n } называется линейно зависимой системой, если найдутся такие числа λ, λ,, λ n (причём λ + λ + + λn 0), что L a a n n Пример.. Вектор стороны треугольника образуют линейно зависимую систему векторов. Используя рис.., имеем: L a + a + a 0 (здесь λ λ λ ). 3 3 Теорема.. Если система векторов { a ; a; ; a n } линейно зависима, то хотя бы один из векторов линейно выражаются через оставшиеся векторы. И обратно: если в системе { a ; a; ; a n } хотя бы один вектор линейно выражается через оставшиеся векторы, то система { a ; a; ; a n } линейно зависима. Определение.3. Система векторов { a ; a; ; a n } называется линейно независимой, если эквивалентны два равенства: λ a + λ a + + λ n a n 0 λ λ λ n 0 Данное определение.3 очевидно аналогично следующему. Определение.4. Система { a ; a; ; a n } линейно независима, если ни один из этих векторов линейно не выражается через оставшиеся векторы. Теорема.3. Пусть даны два ненулевых вектора a и система { a ;a } линейно зависима. a. Если a a, то Следствие. Пусть даны два неколлинеарных вектора a и a. Тогда система a линейно независима. { } ;a a3 Рис.. 6

8 Теорема.4. Линейная зависимость системы { ; a; a3} a равносильна компланарности этих векторов a ; a; a3 (то есть равносильна тому, что три этих вектора лежат на одной плоскости либо параллельны одной плоскости)..3. Базис на плоскости (в R ). Разложение по базису Определение.5. Линейно независимая система из двух векторов называется базисной системой векторов (или просто базисом) на плоскости, проходящей через эти два вектора. Замечание. По следствию из теоремы.3 базисом на плоскости является система из двух неколлинеарных векторов. Теорема.5. Любой вектор на плоскости может быть представлен как линейная комбинация (.) базисной системы векторов этой плоскости. И это представление единственно: ā λ ē + λ ē (.) Определение.6. В разложении (.) числа λ, λ называются координатами вектора ā в базисе { ē ; ē }, и вектор записывается так: a { λ λ }. Замечание. Если на некоторой плоскости фиксирован базис { ē ; ē }, а векторы ā и b разлагаются по этому базису в виде: ā λ ē + λ ē, b μ ē + μ ē (.3) Тогда ) ā + b λ ē + λ ē + μ ē + μ ē (λ + μ ) ē + (λ + μ ) ē (.4) { λ ; λ } + { μ ; μ } { λ + μ ; λ + μ } (.5) (при сложении векторов их одноименные координаты складываются); ; ) β ā β (λ ē + λ ē ) (λ β) ē + (λ β) ē, (.6) β {λ ; λ } {λ β ; λ β } (.7) (при умножении вектора ā на число β все его координаты умножаются на это число β) 7

9 Теорема.6. Если ā { λ ; λ }, b { μ ; μ } в базисе { ē ; ē }, то λ λ a b (.8) µ µ Замечание. Соотношение (.8) означает, что коллинеарные векторы имеют пропорциональные координаты..4. Разновидности базиса на плоскости (в R ) Определение.7. Пусть даны два вектора a и b. Совместим их начала в одной точке (рис..3). Угол φ минимального поворота вектора a до совмещения с направлением вектора b называется углом между векторами a и b и обозначается: φ (a ^ b). b φ Рис..3 a Определение.8. Вектор a называется перпендикулярным вектору b ( если угол φ между ними равен Определение.9. Пусть { ē ; ē } базис на плоскости. Если ē ē, то { ē ; ē } называется ортогональным базисом на плоскости. a b ), Определение.0. Пусть { ē ; ē } ортогональный базис на плоскости. Если ē ē, то { ē ; ē } называется ортонормированным базисом на плоскости. Определение.. Ортонормированный базис на плоскости бывает «левым» и «правым» (рис..4). «левый» «правый» ē ē ē ē Рис..4 Пояснение к рис..4. В первом («левом») случае движение от первого вектора ē ко второму ē идёт по часовой стрелке, а во втором («правом») против часовой стрелки. 8

10 Определение.. «Правый» ортонормированный базис на плоскости имеет i, j. специальное обозначение { } Замечание. На основе правого ортонормированного базиса на плоскости строится так называемая декартовая прямоугольная система координат 0ху (рис..5). На основе левого ортонормированного базиса строится «геодезическая» система координат Oух (рис..5). х «геодезическая» у «декартовая» х 0 M (х 0; у 0) у 0 M (х 0; у 0) е у j х O е у 0 Рис..5 O i х 0.5. Базис в пространстве (в R 3 ). Разложение по базису Определение.3. Линейно независимая система из трех векторов называется базисной системой векторов (или просто базисом) в пространстве. Замечание. Согласно теореме.4 базисом в пространстве является система из трех некомпланарных векторов. Теорема.7. Любой четвертый вектор d пространства R 3 единственным образом разлагается по базису { ē ; ē ; ē 3 } этого пространства в виде: Теорема.7 «аналогична» теореме.5. d d ē + d ē + d 3 ē 3 (.9) Определение.4. В разложении (.9) числа d, d, d 3 называются координатами вектора d в базисе { ē ; ē ; ē 3 }. А записывается это так: d { d ; d ; d 3 } (.0) 9

11 Замечание. Если в пространстве фиксирован базис { ē ; ē ; ē 3 }, и векторы ā, b разлагаются по этому базису в виде: то аналогично (.5) и (.7) можно получить: ā a ē + a ē + a 3 ē 3, (.) b b ē + b ē + b 3 ē 3, (.) a +b { a ;a ;a 3 } + { b ;b ; b 3} { a + b ; a + b ; a 3 + b 3} (.3) β a β {a ; a ; a 3 } {a β ; a β ; a 3 β } (.4) Теорема.8. Если ā { a ; a ; a 3 }, b { b ; b ; b 3 } в базисе { ē ; ē ; ē 3 }, то a a a 3 a b (.5) b b b.6. Разновидности базиса в пространстве R 3 Определение.5. Пусть { ē ; ē ; ē 3 } базис в пространстве. Если ē ē, ē ē 3, ē ē 3, то { ē ; ē ; ē 3 } называется ортогональным базисом в пространстве. Определение.6. Пусть { ē ; ē ; ē 3 } ортогональный базис в пространстве. Если ē ē ē 3, то { ē ; ē ; ē 3 } называется ортонормированным базисом в пространстве. Определение.7. Базис в пространстве может быть «левой тройкой векторов» или «правой тройкой векторов» (рис..6). 3 Пояснения: если смотреть из конца третьего вектора на плоскость, образованную первым и вторым вектором, то направление минимального вращения от -го вектора ко -ому для «левой тройки» будет по часовой стрелке, а для «правой тройки» против часовой стрелки. е 3 е е Рис..6 е 3 е е 0

12 Определение.8. Правый ортонормированный базис в пространстве имеет i ; j; k. специальное обозначение { } H M ( х ; у H ) 0 0; 0 z z 0 M ( x ; y z ) 0 0; 0 е 3 0 е х 0 X е у 0 Y M x x 0 i k 0 j M y 0 y Замечание. На основе правого ортонормированного базиса { i j; k } ; в пространстве строится так называемая декартовая прямоугольная система координат Оxyz (рис..7, справа). А на основе «левого» ортонормированного базиса строится «геодезическая» система координат OYXH (рис..7, слева)..7. Скалярное произведение двух векторов и его свойства Определение.9. Пусть даны два вектора a и b, причем φ ( a b) угол между ними. Тогда скалярным произведением вектора a на вектор b называется число: a b ( a, b) a b cos ϕ (.6) Свойства скалярного произведения. a b b a (коммутативность) (.7). a a a a a a Рис..7 (.8) 3. a ( b+ c) a b+ a c (дистрибутивность) (.9) 4. a ( λ b) ( λ a) b λ ( a, b) (линейность) (.0) 5. a b 0 a 0 или b 0 или a b (.) 6. Скалярное произведение базисных векторов:

13 i j j i i k k i j k k j 0 i i j j k k (.) Теорема.9 (скалярное произведение в координатной форме). Пусть a { a ; a ; a 3 }, b { b ; b ; b 3 } в базисе { i, j, k }. Тогда: a b a b + a b + a 3 b 3 (.3) Следствия ) Если a { a ; a ; a 3 } в базисе { i j, k } координаты выражается так: ) Если в базисе { i j, k } a a a a + a + a 3,, то модуль вектора через его (.4), известны координаты векторов: a { a ; a ; a 3 }, b { b ; b ; b 3 }, то угол φ между ā и b находится так: a b a b + a b + a 3 b 3 cosϕ ϕ arccos (.5) a b a a a 3 b b b 3.8. Проекция вектора в R 3 Определение.30. Пусть задан вектор АВ в базисе { i j, k }, и ось l (прямая с заданным на ней направлением, началом отсчета и единицей длины). Рассмотрим вектор А В (рис..8). Проекцией Пр l AB вектора АВ на ось l называется число, равное: ) длине вектора А В А В ) минус длине вектора А В А В противоположны. Определение.3. Ортом оси l называется вектор l o, направление которого совпадает с направлением оси l и длина которого l. (рис..9,.0). Вектор l o обладает следующими свойствами: если ось l образует с осями координат углы: α (с осью Ох), β (с осью Оу), γ (с осью Оz), то можно показать, что: { cos α;cos β; cosγ } l o (.6) cos α + cos β + cos γ (.7) o

14 Β Β Α 90 Α Β 90 l l l 0 l 0 Α ϕ l 0 l Рис..8 Рис..9 Рис..0 Пр l AB АВ cos ( AB lo ) (.8) Пр l AB АВ l o Если известны координаты вектора АВ { x; y; z } (.3), имеем: (.9), то, учитывая (.6), (.9), Пр l AB x cos α + y cos β + z cos γ (.30) Замечание. Если требуется найти проекцию одного вектора а { x; у; z } на направление другого вектора b, то сначала найдём орт вектора b по правилу: b b o cos α;cos β; cos γ, а затем воспользуемся формулой (.30): b { } Пр b а x cos α + y cos β + z cos γ (.3) Либо просто через скалярное произведение (в случае, если координаты векторов а и b не заданы, но известны, например их длины и угол между ними): a b Пр b а (.3) b.9. Векторное произведение двух векторов и его свойства Определение.3. Пусть даны два вектора ā и b, причём φ ( a b) угол между ними. Векторным произведением вектора ā на вектор b называется d a b a, b, который удовлетворяет трём условиям: такой вектор [ ] 3

15 . d a, d b ;. три вектора a, b, d в этом порядке образуют «правую тройку» векторов (смотри определение.7); 3. длина вектора d численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах ā и b как на сторонах: d a b sinϕ (рис..). φ d a b b Свойства векторного произведения a. Геометрический смысл модуля векторного произведения площадь параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах (рис..): a b d a b sin ϕ S (.33). b a a b (антикоммутативность) (.34) 3. a ( b+ c) a b+ a c (дистрибутивность) (.35) 4. ( a ) b a ( λ b) λ [ a, b ] λ (линейность) (.36) 5. a b 0 a 0 или b 0, или a b (.37) 6. Векторные произведения базисных векторов i, j, k : i i j j k k 0, i j k, j k i, k i j (.38) Теорема.9 (векторное произведение в координатной форме). i, j, k. Тогда Пусть ā { a ; a ; a 3 }, b { b ; b ; b 3 } в базисе { } i j k a b d d et a a a 3 (.39) b b b 3.0. Смешанное произведение трёх векторов и его свойства Определение.33. Пусть даны три вектора a, b, с. Смешанным произведением этих векторов называется число a b с, равное: a b с ( a b) c (.40) Свойства смешанного произведения. a b с ( a b) c a ( b c) (.4) 4 Рис..

16 . Геометрический смысл модуля смешанного произведения объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b, с или шесть объёмов треугольной пирамиды (рис..): c a b с 6 V пир V параллелеп (.4) 3. a b с 0 векторы a, b, с компланарны, то есть лежат в одной плоскости (или параллельны одной плоскости). a b Рис.. 4. Если a b с 0, то векторы a, b, с не компланарны, а поэтому по теореме.4 a, b, с являются базисом в пространстве R 3. Теорема.0 (смешанное произведение в координатной форме). Пусть известны координаты трёх векторов a, b, i, j, k : с в базисе { } ā { a ; a ; a 3 }, b { b ; b ; b 3 }, c { с ; с ; с 3 },, тогда смешанное произведение a b с находится так: а а а 3 a bс d et b b b 3 (.43) c c c 3 Либо, используя свойства определителя, получаем: a b c a bс d et a b c (.44) a 3 b 3 c 3 5

17 . Примеры решения типовых задач Задача. Даны четыре вектора: { ;; } d { 6; ; 3} в базисе { i j ; k } b c { ;; } a, { ; ; 0}, и ;. Показать, что векторы a, b, с тоже образуют базис в пространстве R 3, и найти координаты вектора d в базисе a, b, с. Решение В соответствии с 4 свойством смешанного произведения: если a b c 0, то векторы a, b, c образуют базис в пространстве R 3, поэтому в соответствии с (.44) вычислим смешанное произведение этих векторов: a a b c d e t a a3 b b b3 с c d e t c 3 0 вычисляем определитель разложением по 3 ей строке, т.к. в ней есть нулевой элемент (можно разложить определитель и по ому столбцу) ( ) d e t + ( ) d e t ( ) + ( ) 3 0 в соответствии с 4 свойством смешанного произведения векторы a, b, c образуют базис в пространстве, а поэтому по теореме.7 любой четвертый вектор d единственным образом разлагается по базису a, b, c в виде: d d a + d b + d3 c, (. ) где d, d, d 3 неизвестные пока координаты вектора d в новом базисе Из (.) в соответствии с (.3) и (.4) имеем: { ; ;3 } d { ;; } + d { ; ;0} + d { ;; }, 6 3 { ; ;3 } { d ; d ; d } + { d ; d ;0} + { d ; d ; }, d3 6 a, b, c.

18 d x + x y y + + z z z 3; 6; ; { 6; ;3} { d + d d ; d d + d ; d + d } (.) Получили равенство (.) между двумя векторами (один слева, другой справа). Следовательно, из (.) имеем равенство между координатами этих векторов: d + d d3 6; d d + d3 ; d + d3 3; Решая эту систему (например, по правилу Крамера), найдем новые координаты d, d, d 3 вектора d в базисе a, b, c. Имеем: det 0 ( уже вычисляли) 0. Так как определитель основной матрицы системы уравнений отличен от нуля, значит, по теореме Крамера данная система имеет единственное решение, которое можно найти, например, по формулам: где d /, d /, d 3 3 /, 6 d e t ( проще разложить, например, по 3 ей строке ) ( ) det + ( ) det 3 ( ) + ( 6 + ) 3 4 ; 6 d e t ( разлагаем по ой строке ) 3 7

19 ( ) + + ( ) 6 det ( ) det + det ; d e t ( проще разложить, например, по 3 ей строке ) 0 3 ( ) 3+ det ( ) 3+ 3 det ( + 6) + 3 ( ) 8 9 d d d3 / ; / ; 3 / ; d d d3 ; 3; ; единственное решение. Ответ: d a + 3 b + c искомое разложение вектора d в базисе a, b, c. Задача. Даны координаты вершин пирамиды в системе координат Оxyz: A (; ;3), A (0; ;4), A 3(; ; ), A 4 (3;0; ). Найти: а) угол α между ребрами A A и A A 4 ; б) площадь S грани A A A 3; в) объем V пирамиды; г) проекцию вектора A A3 на направление вектора A A 4 ; д) в треугольнике A A A 3 найти длины всех сторон и величину каждого угла; е) площадь сечения, проходящего через середину ребра А А 3 и вершины А, А 4 пирамиды. A α A 4 A 8 A 3 Рис..

20 Решение а) угол α между векторами A A и A A 4 находится в соответствии с (.5): A A A A cosα 4 (. 3), A A A A4 где А А { x x; y y; z z} {0 ; ( ); 4 3} { ; ;}, А А 4 { x4 x; y4 y; z4 z} {3 ; 0 ( ); 3} {;; }. Поэтому A A A A4 { ; ;} {;; } ( ) + + ( ) + ( ) + 3 6,45,,73. Скалярное произведение по формуле (.3) находится так: { ; ;} { ;; } + ( ) 4. A A АА 4 Тогда, подставляя в (.3), имеем: cosα 4 4 0,943, т. е. α 6 3,45,73 0 arccos ( 0,943) 60,5. б) Площадь S грани A A A3 найдем в соответствии с геометрическим смыслом (.33) векторного произведения: A A A A3 d, d S, S d. где A A { ; ;}, A A3 { ; ( ) ; 3} { ; 0; }, d A A AA3 { ; ; } { ; i 0; } d e t j 0 k i ( 0) j (4 + ) + k (0 ) i 5 j k {; 5; }. Тогда S 0,5 d 0,5 {; 5; } 0, ,5 30,74 ( ед ). 9

21 в) Объем V пирамиды A A A3 А4 найдем, используя геометрический смысл (.4) смешанного произведения: А А A A ) A A 6V, поэтому: ( 3 4 пир V ( A A A A ) A A d A { ; 5; } { ;; } 3 4 A ( + ( 5) + ( ) ( )) ( 5 + ) ( ) + 0,33( ед 3 ) AA AA 3 4 г) Проекция в соответствии с (.3): Пp A A A3, A 4 A A где A A { ; 0; }, A A { ;; }, А А 3,73, { ;0; } { ;; } A A3 A A4 + 0 ( ) + 0 +, поэтому Пp A A 4 A A3 AA A 3 A 4 AA 4 0,58. 3 д) Рассмотрим (рис..) A A : A ; ;3), A (0; ; 4), А (; ; ), A3 ( 3 { ; 0; }, A A {; ; 3}, А { ; ; } АА 3 3 А A A ( ) ( ) 5,4, A A + + ( 3) 3, А А ( ) + ( ) + 6,45, Угол γ образован векторами A A3 и A A, которые выходят из вершины угла γ, поэтому AA AA cos γ 0, A 5 6 A A 3 A 0 то есть γ arccos (0) 90. A γ Рис.. γ γ 3 A A 3 0

22 Угол γ образован векторами A и A 3, которые выходят из вершины угла γ. Поэтому A A cos γ A A A A A A3 A A3 A A A A A A A A 3 3 ( ) + ( ) + ( 3) γ arccos 4,4 0. Угол γ 3 образован векторами A 3 A и А 3 А, которые выходят из вершины угла A3 A A3 A ( A A3) ( A A3) γ 3, поэтому cos γ 3 A A A A A A A A A A3 A A3 5 ( ) ( ) ( 3) γ 3 arccos 47, Замечание: для контроля найдем γ + γ + γ е) Найдём площадь сечения, проходящего через середину А с ребра А А 3 и вершины А и А 4 пирамиды. Имеем координаты середины А с: х с ( х + х 3) (0 + ) 0,5; у с ( ),5; z (4 + ),5. с Затем находим площадь треугольника А А 4 А с с помощью векторного произведения: 0 A A 4 AA с d, где АА4 { ;; }, A A с {0,5 ; -,5 - (- );,5 3} {,5; 0,5; 0,5} 0,5 { 3; ; }

23 d A A 4 AA с 0,5 i { ;; } { 3;; } 0,5 d e t 3 j k [ i ( + ) j ( + 3) + k ( 3) ] 0,5 (i 4 j ) { ; ; } 0,5 k d ( ) + () + () 6 S сеч 6,5, ( ед 0 Ответ: а) α 60.5 ; б) S.74 ( ед ); в) V 0.33( ед 3 ); г) λ 0.58; ). д) A A 6.45( ед) ; A A3 5.4 ( ед) ; A A3 3.3 ( ед) ; γ 90, γ 4, 4, γ 47,6. е) S сеч, ( ед ) Пр x y (проекцию вектора y на направление вектора x ), если Задача 3. Найти x a b, y 3a + b, a p + q, b 3 p q, p, q 3, 0 угол ( p ^ q) 50. Имеем в соответствии с (.3): Решение x y Пр x y x. Найдем векторы x и y : x a b ( p + q) (3 p q) p + q 6 p + 4q 4 p + 5q; y 3a + b 3( p + q) + (3 p q) 6 p + 3q + 3 p q 9 p + q. Тогда с учётом свойств (.8), (.9) и (.0) скалярного произведения: x y ( 4 p + 5 q) (9 p + q) 36 p p 4 p q + 45 q p + 5 q ( т. к. p p p, q q q, q p p q) 36 p + 4 p q + 5 q 36 p + 5 q + 4 p q cos ( p ^ q) (подставляем данные из условия) q

24 ( 3) cos ( ) 8,5. Модуль вектора x найдем, используя свойство (.8) скалярного произведения: x x x ( 4 p + 5 q) ( 4 p + 5 q) 6 p p 0 p q 0 q p + 5 q q 6 p 0 p q 0 p q + 5 q 6 p 40 p q + 5 q 6 p 40 p q cos ( p^ q) + 5 q (подставляем данные из условия) cos ( 3) ( x y 8,5 Поэтому х 5. Тогда Пр x y 6, 7. x 5 Ответ: Пр x y 6, 7. Задача 4. Найти площадь треугольника АВС, если AC i 3 j + k, AB орт вектора нормали к плоскости π, проходящей через три точки M (; ;3), M (4;0;5), M 3 (; ;), вектор AB образует с осью Оz острый угол. Решение 3 ) N π М М Рис..3 x. М 3 Площадь S треугольника АВС, можно найти, используя геометрический смысл векторного произведения d AC AB : 0,5 d S. У нас AC { ; 3;}, осталось найти AB. Имеем: N MM MM 3 AB π, AB. М М М М 3 { ;; }, { ;3; } АВ λ N, гдеλ, N i j k N MM MM 3 d et 3 i ( 6 ) j ( 4 + ) + k ( 6 + ) 8i + j + 7 k 8; ; 7 { } 3

25 AB λ N λ { 8; ;7} { 8λ; λ;7λ}. Число λ найдем, используя данные из условия: AB ; AB ( 8λ) + ( λ) + (7λ) 7 λ λ То есть λ λ, λ АВ () ; ;, АВ () ; ; По условию вектор AB образует с осью Оz острый угол, поэтому его третья координата должна быть положительной, поэтому остается единственный (первый) вариант: 8 7 АВ ; ;. Для нахождения S 0. 5 d нам нужен d, поэтому, сначала найдем d AC AB : d AC AB : i j k имеем d AC AB {; 3;} { 8; ;7} d et [ i ( ) j (4 + 8) + k ( 4 4 ) ] { 3; ; 0 } 7 7 d { 3; ; 0} d ( 3) + ( ) + ( 0) 7 7 Тогда S 0,5 d,74 ( ед ) ,48. Ответ: S, 74 (ед ). N Задача 5. При каком значении х будут компланарны векторы a, b, c, если вектор a коллинеарен вектору d m n, где m { ; ;3}, n i + j k. Вектор b перпендикулярен плоскости π, проходящей через точки M ( ; ;3), M (; ;3), M 3(4;0;5). А вектор c x i + j k. Решение Имеем: π М М Рис..4 М 3 4

26 так как a dчисло a λ d, λ. Так как b перпендикулярен плоскости π, проходящей через точки М, М и М 3, то b µ N, где µ число, N вектор любой нормали к плоскости π. Условие компланарности (принадлежности некоторой плоскости) векторов a, b, c эквивалентно условию компланарности векторов d N, c,. Поэтому найдём тот х, при котором векторы d N, c, будут компланарны. Имеем: d m n i j k { ; ;3} {;; } d e t 3 ( разлагаем по ой строке) i ( 3) j ( 6) + k ( + 4) i + 7 j + 5 k { ;7;5}, т. е. d { ;7;5 }. Вектор N нормали к плоскости π можно найти, используя определение векторного произведения М М ММ3 (согласно с которым вектор М М ММ3 перпендикулярен плоскости π ). Имеем: М М { ; ; 3 3}{; 3; 0}, М М 3 {4 ; 0 ; 5 3}{3; ; } i j k N ММ ММ3 d et 3 0 i ( 6 0) j ( 0) + k ( + 9) 6 i j + 7 k 3 N { 6; ;7}. Векторы d { ;7;5}, N { 6; ;7} и с { х; ; } будут компланарны, если их смешанное произведение будет равно нулю: 7 5 d e t 6 7 ( 4 ) 7 ( 6 7 x ) + 5 ( + x ) 59 x x То есть х 90 условие компланарности d, N, c (а стало быть, и a, b, c ). 59 Ответ: при х 90 векторы a, b, c будут компланарны. 59 5

27 3. Типовые задания по теме «Элементы векторной алгебры» Задача. Проверить, что векторы a { a, a, a 3 }, { b, b, b 3 } { c, c, c 3 } d { d, d d } по этому базису a, b, с : 6 b, c образуют базис в пространстве, и найти разложение вектора, 3 a a a 3 b b b 3 c c c 3 d d d a a a 3 b b b 3 c c c 3 d d d 3

28 Задача. Даны координаты вершин пирамиды: А (х ; у ; z ), А (х ; у ; z ), А 3 (х 3; у 3; z 3), А 4 (х 4; у 4; z 4). Средствами векторной алгебры найти: ) угол ϕ между ребрами A A3 и A A4 ; ) площадь грани A A A4 ; 3) проекцию вектора А 3 А на направление вектора А 3 А 4 ; 4) объем пирамиды; 5) в треугольнике A A A4 найти длины всех сторон и величину каждого внутреннего угла (в градусах); 6) площадь сечения, проходящего через середину ребра A A и вершины А и : 3 А 4 x y z x y z x 3 y 3 z 3 x 4 y 4 z

29 x y z x y z x 3 y 3 z 3 x 4 y 4 z 4 Задача 3. Найти проекцию Пр х у, если х к а + к b, y к3 а + к4 b, а к5 р + к6 q, b к7 р + к8 q, 0 угол ( p q ) 30 k 9, где : p q k k k 3 k 4 k 5 k 6 k 7 k 8 k 9 0, , , , , , , , , , ,

30 4 0, , , , ,5 0 3 p q k k k 3 k 4 k 5 k 6 k 7 k 8 k 9 Задача 4 (далее условие по вариантам студентов).. Найти площадь параллелограмма ABCD, если AB вектор единичной длины, перпендикулярный плоскости, проходящей через точки (0, 0, 0), (0,, ), (,, 4), а AC ( i + j ) ( i + j + 3 k).. Найти модуль проекции вектора p единичной длины, перпендикулярного плоскости, проходящей через точки (,, 0), (, 0,,) (0,,), на прямую, проходящую через точки (,, ), (,, 3). 3. Найти модуль проекции вектора p ( i j + k) (i 5 k) на вектор q единичной длины, лежащий в плоскости Оyz и перпендикулярный вектору a i 3 j 4 k. 4. Найти площадь параллелограмма ABCD, если AB единичный вектор, перпендикулярный плоскости, проходящей через точки (,, ), (,, ), (,, ), а AC коллинеарен прямой, проходящей через точки (0, 0, 0), (,, ), и AC 3. 9

31 5. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах, a, b, с, если a ( i + j 3k ) (i 5 j). Вектор b MN, где M (, 3, 3), N (, 4, ). Вектор c образует с осями Ох, Оy углы в 45 0 и имеет длину. 6. Вектор p перпендикулярен оси Oz и удовлетворяет условиям a 9 p b 4, где a 3i j + 5k, b i + j 3k. p на вектор q a b. p, Найти проекцию вектора 7. Найти модуль проекции единичного вектора p, перпендикулярного плоскости, проходящей через точки (, 0, ), (,, 0), (0,, ) на вектор q ( i j) ( i + k ). 8. Найти модуль проекции вектора p на вектор q, если p перпендикулярен а 4i 3k, b i j + 3k Вектор q i k, p 3. векторам. 9. Найти объем параллелепипеда, построенного на трёх векторах: a + b, a b, ( a + b ) ( a b ), где a i + k, b j k. 0. Найти площадь параллелограмма АВСD, если AB a + b, AD a b, a i + j k, b i j + k. на вектор q, перпен-. Найти модуль проекции вектора p ( i + j) ( j k ) дикулярный плоскости, проходящей через точки (, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, ).. Найти модуль проекции вектора p единичной длины, коллинеарного вектору а i j + k, на вектор q ( i j + 7 k ) ( i + 3k ). 3. Найти проекцию вектора p a b, где a j k, b 3 i j + k, на вектор q a + b + i. 30

32 4. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах p и q, если вектор p перпендикулярен векторам q i k, p 3. a i + 3 j k, b i j + 3k. Вектор 5. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах p и q, если p составляет с координатными осями равные углы и p 3 ; q ( i 7 j + 3k ) (5i j). 6. Найти модуль проекции вектора p, перпендикулярного к оси Oz и вектору a 8 i 5 j + 3k, имеющего длину p 5, на вектор q ( j k ) ( i j + 5 k). 7. Найти модуль проекции вектора p на вектор q i j + k, если p перпендикулярен векторам а, b, которые заданы так: a 3 i + j + k, b 8i j 5k ; p Найти модуль проекции вектора p единичной длины, составляющего с осями координат равные углы на вектор q ( i j + k ) ( i + k ). 9. Найти площадь треугольника АВС, если AB вектор единичной длины, перпендикулярный к плоскости, проходящей через точки (0, 0, ), (0,, ), (,, ), AC единичный вектор, коллинеарный прямой, проходящей через точки (0, 0, 0) и (,, ). 0. Найти проекцию вектора p, перпендикулярного векторам: a i 3 j + k, b i j + 3k и удовлетворяющего условию p ( i + j 7 k ) 0; на вектор q ( j j + 5 k ) (i 3 k).. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах: ( i j) (i + j + k ) a + b, a b, ( a + b ) ( a b ), где a, b. 3 3

33 . Найти проекцию вектора p ( 3 i 6 j k ) (i 4 j 5k ) на ось, составляющую с осями координат углы α, β и γ тупой. π π Найти площадь параллелограмма ABCD, если AB лежит на прямой, проходящей через точки (0,, 0), (,, ) и AB, а AD вектор, перпендикулярный плоскости, проходящей через точки (0, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, ), и AD. 4. Найти модуль проекции вектора p на вектор q, если p коллинеарен вектору a 4 i 3k, p 5, а q ( 3i + j k) (i 7 j + 3k). 5. Найти проекцию вектора p a 3b, где a i + j + k, b i 5 j, на вектор a b + i. 6. Найти объем параллелепипеда ABCDEFLM, если ABCD лежит в плоскости Оxy и имеет площадь 3, а вектор AE коллинеарен прямой, проходящей через точки (,, 3), (3,, 4) и имеет длину. 7. Найти проекцию вектора p ( a + b) ( a b), где a 3 i + 5 j k, b i 3 j + 4 k на ось, составляющую с осями координат углы α острый, β π / 3, γ π /. 8. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах p и q, если вектор p единичной длины лежит в плоскости Оxz; p ( 3i + j 4 k ) 0, а q ( i 3 j + k) ( j 3k). 3

34 9. Найти модуль проекции вектора p единичной длины, коллинеарного прямой, проходящей через точки (0, 0, ), (, 0, ), на направление перпендикуляра к плоскости, проходящей через точки (0, 0, ), (,, 0), (0,, ). 30. Найти площадь треугольника АВС, если AB коллинеарен вектору p i j 5 k, AB 0, а AC ( i 3 j + 4 k) ( i 5 j 9 k). Задача 5. При каком x будут компланарны векторы p, q, r, если (далее условие по вариантам студентов): ) p лежит в плоскости Охz и перпендикулярен оси Оz, q коллинеарен вектору a ( i + j) ( i j); r MN; M (, 0, ), N (0, x, 3). ) p ( i 3 j + 7 k) (i 5 k ), q перпендикулярен оси Ох и вектору a 5i 5 j + k ; r 3i + 4 j + x k. 3) p коллинеарен вектору a b, где a i 7 j + k, b 9i 4 j + 5 k, q ( i + j + 4 k) (4i + j + k ), r MN; M (, 0, ), N (3, х, 5). 4) p лежит плоскости Оxy и перпендикулярен вектору a 3i + j k ; q MN, M (7, 5, 3), N (9, 4, ), r 3i j + x k. 5) p a + b, где a i 3k ; b j + 6 k ; q составляет с осями координат равные углы, а r 3i + x j k. 33

35 6) p составляет с осями координат углы: α β π / 4, q ( i 3 j + 5 k) ( i + x j 3k ), r орт вектора a 3i + j + k. 7) p AB, A (,, 0), B (, x, 5), q ( i + 3 j + 5k) (i 4 j 6 k ), r вектор, составляющий с осями координат углы: α π / 3, β π / 4 и γ тупой. 8) p коллинеарен вектору a i j x k, q лежит в плоскости Оxy и перпендикулярен вектору r 3i + x j. 9) p ( i 7 j + k ) ( 3i j + 5 k ). Вектор q составляет с осями координат равные углы. Вектор r MN; M (,, ), N (x,, 0). 0) p коллинеарен прямой, проходящей через точки (0, 0, ) и (,, 0), q лежит в плоскости Оxу и составляет с вектором a i + j + k угол π / 4; r x i j + 3k. ) p лежит в плоскости Оxy и перпендикулярен вектору a 3i + j k, q коллинеарен вектору b i 5 j + 7 k, а r i 4 j + x k. ) p ( a + 3b) ( b 3a), где a i + j 3k, b i + 4 j ; q лежит в плоскости Оxz и перпендикулярен вектору c 3i + j + k ; r x i + 3 j + k. 3) p перпендикулярен векторам a i 3 j + 3k и b 3 j, q a + 3b, r i + x j k. 34

36 4) p ( i + 5 j + 5 k) ( i + j k ), q a + b, где a 3i + j + k, b 7 i 3 j + x k, r коллинеарен вектору d i j 8 k. 5) p коллинеарен прямой, проходящей через точки (,, 0), (, 0, ), q перпендикулярен векторам a 3 i + k и b i + x j ; r i + j. 6) p удовлетворяет условиям: p a 4, p в, p c 5, где a 3i + j k, в i j + k, c 4i + j + k ; q составляет с осями координат равные углы, а r 3i + x j + k. 7) p коллинеарен вектору a 5i + 3 j k, q MN, M ( 4,, 4), N (6, 0, x); r перпендикулярен оси Оx и вектору b i + 3 j + 7 k. 8) p ( i + 5 j + 5 k) ( i + j k ), q перпендикулярен оси Оy и удовлетворяет условиям q ( 3i + j + k) 5, q ( 4i 3 j + k) ; r AB ; A (x,, ), B (3, 0, 9). 9) p перпендикулярен векторам a и b, a i + j + k, b i j + k, q лежит в плоскости Оxz и составляет с вектором c i + 6 j + k угол π / 3; r i + x j + k. 0) p ( i 3 j + 5 k) (i + j k ), q перпендикулярен векторам a i j + 4 k и b j 3k ; r x i + 3 j 3k. 35

37 ) p лежит в плоскости, проходящей через точки (, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, ), и перпендикулярен вектору a i j ; q ( i + j + 4 k ) ( j + k ), r MN; M (,, 0), N (, 3, x). ) p ( a b) ( a b), где a i j 3k, b 3i j + 4 k, q MN; M (, 0, 3), N (x,, 4), r перпендикулярен оси Оx и удовлетворяет условиям: r ( i + 3 j + k ) 5, r ( 3i + 4 j + k ). 3) p перпендикулярен оси Оx и вектору a 4i + 3 j 3k, q коллинеарен вектору b 3i 4 k, а r i + x j + k. 4) p перпендикулярен векторам: a i + 5 j k, b 3i 4 j + 6 k ; q MN, M (, 3, 3), N (, 4, ), а r x i + j k. 5) p лежит в плоскости Оxz и перпендикулярен вектору c i 3 j + 5 k ; q ( a + b) ( a b), где a i + j k, b 3i + 4 k, r i + x j + k. 6) p ( 4i + 4 j 3k) ( i + j + 9 k ), q лежит в плоскости Охy и перпендикулярен вектору a i + j k ; r xi + 3 j + k. 7) p составляет с осями координат углы: α острый, β π / 3, γ π / 4; q составляет с осями координат равные углы, а r i + j + x k. 36

38 8) p a + 3b, где a i + k j, b 3i + 4 j + 3k ; q коллинеарен вектору c 7 i + 3 j + k, а r xi + j + k. 9) p i j + x k ; q составляет с осями Ох и Оy углы в π / 4, а r ( a b) ( a + b), где a 3i + j + k, b i + j 3k. 30) p MN где M (3,, 4), N (8,, 5) ; q ( 6 + j k) (5i + j + x k ), r коллинеарен вектору a 7 i + j k. 4. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ. Дайте определение вектора. Какие линейные операции возможны над векторами? Как они определяются?. Что такое линейно зависимая система векторов? Линейно независимая? 3. Что является базисом на плоскости? Базисом в трёхмерном пространстве? 4. Что означает «разложить вектор по базису»? 5. Дайте определение скалярного произведения двух векторов. 6. Каковы свойства скалярного произведения? 7. Как оно находится через координаты векторов в декартовом базисе? 8. Дайте определение проекции вектора на ось. Как она находится? 9. Как можно найти проекцию вектора на направление другого вектора? 0. Дайте определение векторного произведения.. Каковы свойства векторного произведения?. Как оно находится через координаты векторов в декартовом базисе? 3. Дайте определение смешанного произведения. 4. Каковы его свойства? 5. Как оно находится через координаты векторов в декартовом базисе? 37

39 5. ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ «ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ». Даны точки М (3; -4; -) и N (; 5; ). Найти проекцию вектора MN на о о ось l, составляющую с осями Ох, Оу углы α 60, β 0, а с осью Оz тупой угол γ.. Даны вершины четырехугольника: А (; -; ), В (; 4; 0), С (-4; ; ) и D (-5; -5; 3). Доказать, что его диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны. 3. Найти внутренний угол АВС треугольника с вершинами: А (-; -; 4), В (-4; -; 0) и С (3; -; ). 4. Найти площадь треугольника с вершинами А (; ;-3), В (4; ; ), С (0; ; 4). 5. Найти объём пирамиды АВСD, если: А (0;-; 5), В (6; 6; 0), С (; -; 3) и D (3; -3; 6). Ответы:. 5 ; 3. о 45 ; 4. 3; 5. 7,5. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ. Мартынов, Г.П. Учебно-методический комплекс дисциплины «Математика» для экологов и картографов [Электронный ресурс]: учебно-методический комплекс / Г.П. Мартынов. М.: ИНФОРМРЕГИСТР, 04.,6 МБ. Режим доступа: http// Мартынов, Г.П. Рабочая программа дисциплины «Математика» [Электронный ресурс]: методический документ / Г.П. Мартынов. Москва, «ИНФОРМИО», 06 8 с. // Свидетельство о публикации в СМИ «ИНФОРМИО» от , серия А 005/06 / 3. Мартынов, Г.П. «Фонд оценочных средств дисциплины «Математика» [Электронный ресурс]: методическая разработка / Г.П. Мартынов. Москва, «ИН- ФОРМИО», 06 4 с. // Свидетельство о публикации в СМИ «ИНФОРМИО» от 5..06, серия А 0050/06 / 4. Мартынов, Г.П. Организация самостоятельной работы студентов направления подготовки «Картография и геоинформатика» при изучении дисциплины «Математика» [Электронный ресурс]: методическая разработка / Г.П. Мартынов. Москва, «ИНФОРМИО», 06 7 с. // Свидетельство о публикации в СМИ «ИН- ФОРМИО» от , серия А 00637/06 / 38

40 5. Мартынов, Г.П. Математика для экологов и картографов [Электронный ресурс]: учебное пособие. Ч.. / Г.П. Мартынов. М.: ИНФОРМРЕГИСТР, 03.,63 МБ. Режим доступа: http// 6. Мартынов, Г.П. Математика для картографов и экологов [Текст]: учебное пособие. В 4-х ч. Ч. / Г.П. Мартынов. Новосибирск: СГУГиТ, с. 7. Вербная, В.П. Математика для дистанционного обучения: учебное пособие, издание -ое, стереотипное (Рекомендовано СибРУМЦ) / В.П. Вербная, Г.П. Мартынов, Е.С. Плюснина. Новосибирск: СГУГиТ, с. 8. Вербная, В.П. Математика для дистанционного изучения [Электронный ресурс]: учебное пособие для вузов (Рекомендовано СибРУМЦ) / В.П. Вербная, Г.П. Мартынов, Е.С. Плюснина. М.: ИНФОРМРЕГИСТР, с. Режим доступа: http// 9. Мартынов, Г.П. Математика. Часть. Векторная алгебра [Текст]: методические указания / Г.П. Мартынов. Новосибирск: СГГА, 003, 4 с. 39

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Г.П. МАРТЫНОВ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОЛОГОВ И КАРТОГРАФОВ

Г.П. МАРТЫНОВ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОЛОГОВ И КАРТОГРАФОВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число Лекция 4 Скалярное произведение φ Определение. Углом φ между ненулевыми векторами и называется тот из углов, образованных этими векторами, отложенными от единого начала, который лежит в пределах от до

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Упорядоченная тройка, некомпланарных векторов называется правой (левой), если, приведя их к общему началу, кратчайший поворот от первого вектора ко

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

4. Векторная алгебра

4. Векторная алгебра 15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М( 5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a ( 1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F ( 3; 2; 5) приложенной к точке А(2;

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный университет геосистем и технологий»

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB. --. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика»

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика» Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет Кафедра «Высшая математика» ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Далее - несколько нелинейных операций над векторами Для пары векторов, число вектор скалярное произведение

Подробнее

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Быкова Л.М., Добрынина Н.Н., Свердлова О.Л. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Рекомендовано учебно-методическим советом факультета технической кибернетики Ангарской государственной технической

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации ОДЕССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ им АС ПОПОВА Кафедра высшей математики ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебное

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1,

Подробнее

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы. ВАРИАНТ 1 1. ABCDEF вершины правильного шестиугольника. Равны ли векторы a) 4 BC и 2 AD b) 2 DC и 2 AF 2. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + 3q 3r и b = 3 p + 4q где p, q, r - единичные векторы,

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 4 ВЕКТОРЫ. БАЗИС 1. Базис векторов Определение 1. Векторы a 1,a 2,...,a n называются упорядоченными, если указано какой вектор из этой системы является первым, какой

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Лекция 4: Векторное произведение векторов

Лекция 4: Векторное произведение векторов Лекция 4: Векторное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой и следующей

Подробнее

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK,

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK, . Дан параллелепипед ABCDA B C D. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы AB, AD, AA, найти координаты: а) вершин C, B, C ; б) точек K и L середин ребер A B и CC соответственно. Решение:

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Пензенский государственный педагогический университет им В Г Белинского О П Сурина М В Сорокина АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Учебное пособие Пенза 9 Печатается по решению редакционно-издательского

Подробнее

9.2 Геометрические свойства смешанного произведения.

9.2 Геометрические свойства смешанного произведения. Смешанное произведение трех векторов. Геометрические свойства смешанного произведения. Смешанное произведение в декартовых координатах. Двойное векторное произведение. 9 Лекция 9 9.1 Смешанное произведение

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В.

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В. -- Доказать, что векторы e = { ;2;, e 2 = { 2;; }, e 3 = { ;2;3 } образуют базис Найти разложение в этом базисе вектора a = { ;3;2 } 2 Найти длину вектора a = 3e 2e2, где e =, e2 = 2, векторы угол в 30

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич.

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич. МЛ Каган ТС Кузина ТА Мацеевич Векторная алгебра Предлагаемый электронный вариант учебного пособия подготовлен на основе книги МЛ Кагана и МВ Самохина «Математика в инженерном вузе Алгебра и геометрия»

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Учебное издание ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Учебное издание ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Учебное издание ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и индивидуальные задания Составители: ПОПОВ Вячеслав Александрович, ЩЕРБАКОВА Антонина Васильевна Редактор Ю.В.

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Белгородский государственный технологический университет им ВГ Шухова Кафедра прикладной математики Утверждено научно-методическим советом университета Линейная алгебра

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 1. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 1. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВВ Конев ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Рекомендовано в качестве

Подробнее

Л.В. Китаева, М.О. Сысоева, Т.А. Шайхудинова МАТЕМАТИКА. В четырех частях. Часть 1

Л.В. Китаева, М.О. Сысоева, Т.А. Шайхудинова МАТЕМАТИКА. В четырех частях. Часть 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Бийский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Алтайский государственный

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат 6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат Понятия вектора и линейных операций над векторами алгебраизируют геометрические высказывания т.е. заменяют геометрические утверждения

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление

Подробнее

3.4 Векторы. Метод координат

3.4 Векторы. Метод координат 3.4. ВЕКТОРЫ. МЕТОД КООРДИНАТ 167 3.4 Векторы. Метод координат 3.4.1 Понятие вектора. Свойства Будем называть направленным отрезком AB упорядоченную пару (см. определение 16) точек A; B трехмерного пространства

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

ГУРЬЯНОВ Н.Г., ТЮЛЕНЕВА О.Н. АЛГЕБРА. Учебное пособие. Казань

ГУРЬЯНОВ Н.Г., ТЮЛЕНЕВА О.Н. АЛГЕБРА. Учебное пособие. Казань Казанский (Приволжский) федеральный университет Институт математики и механики им НИ Лобачевского ГУРЬЯНОВ НГ ТЮЛЕНЕВА ОН АЛГЕБРА Учебное пособие Казань УДК 7 Печатается по решению учебно-методической

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

Лекция 2. Векторы. Определения.

Лекция 2. Векторы. Определения. Лекция 2 Векторы Определения. Вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого указаны начало и конец. B конец вектора A начало вектора Обозначение вектора:

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Практикум по высшей математике. Кафедра прикладной математики и информатики

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Практикум по высшей математике. Кафедра прикладной математики и информатики ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра прикладной математики и

Подробнее

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Раздел 1 Элементы линейной алгебры 1 Операции над матрицами и их свойства Определители -го и 3-го порядков 3 Определение минора и алгебраического

Подробнее

Глава 7 Плоскость в пространстве

Глава 7 Плоскость в пространстве Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее