( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство."

Транскрипт

1 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x) K, а также, что задана функция g от двух векторов, если каждой упорядоченной паре векторов x, y L сопоставлено число g ( x, y) K Функции на бесконечномерных пространствах, элементы которых сами являются функциями, называются функционалами Определение Функция на линейном пространстве L называется линейной, если для любых векторов α K выполнены равенства ( x y) = ( x) + ( y) ( α x) = α ( x) +, x, y L и любого числа Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство Пример Функция, сопоставляющая каждому вектору из L число, линейная, тк если ( x) = ( y) =, то ( x + y) = ( x) + ( y) = + = и ( αx) = α ( x) = α = Пример Рассмотрим множество векторов на плоскости L Выберем на плоскости некоторый фиксированный вектор a r и каждому вектору x r L сопоставим скалярное произведение ( a r, x r ) Ясно, что из законов скалярного умножения (п 46), мы имеем линейную функцию

2 Пример Пусть L - пространство многочленов степени не выше Пусть каждому многочлену p ( t) из L ставится в соответствие число ( p) по формуле t ( p) = p() t dt, () t где t t t - заданный отрезок числовой оси Ясно, что вследствие известных свойств определённого интеграла условия и соблюдены и () есть линейная функция в пространстве L Пример 4 Рассмотрим пространство L функций определённых и непрерывных на отрезке [,] Пусть v ( t) - фиксированная функция из L, тогда каждой функции u ( t) из L можно сопоставить число ξ= ()() t u t v dt () Так как пространство L в данном случае бесконечномерное и элементы под интегралом сами являются функциями, мы имеем пример линейного функционала Рассмотрим -мерное линейное пространство L и выберем в нём базис e, e,, e Значение линейной функции на векторе x L может быть выражено через координаты этого вектора ξ, ξ,, ξ : ( x) = ( ξ e + ξ e + + ξ e ) = ξ ( e ) + ξ ( e ) + + ξ ( e ) Числа ( ) e, ( ),, ( ) e 8 e не зависят от вектора x, а определяются только функцией и базисом e, e,, e Этим самым доказано Предложение Каждая линейная функция на -мерном линейном пространстве в произвольном базисе e,,, e e задаётся ли-

3 нейным однородным многочленом ( x) = ϕ ξ + ϕ ξ + + ϕ ξ от координат вектора в этом базисе Коэффициенты многочлена ( ) () ϕ = e равны значениям функции на базисных векторах Значения функции на базисных векторах будем называть компонентами (коэффициентами) функции в базисе e, e,, e Нам известно, что матрица линейного отображения -мерного пространства в одномерное имеет размеры, тогда формулу () можно записать как ξ ( x) = ( ϕ ϕ ) = ϕξ (4) ξ Каждая строка ϕ по формуле (4) определяет линейную функцию, так как выполнены условия и, те ϕ ( ξ + η) = ϕ( ξ) + ϕ( η) и ( αξ) = αϕ( ξ) ϕ Используя формулу (), выражающую матрицу линейного отображения в новых базисах через его старую матрицу и матрицы перехода к новым базисам, учитывая, что базис в одномерном арифметическом пространстве фиксирован, получим ϕ = ϕs (5) Здесь ϕ - строка коэффициентов линейной функции в базисе e, а ϕ - строка её коэффициентов в базисе e = es В заключение рассмотрим геометрический смысл линейной функции на примере линейного пространства L - плоскости с базисом 8, j Как и в примере выберем в L некоторый фиксированный вектор r = x + yj = A + Bj и произвольному вектору L сопоставим скалярное произведение ( r) ( r) = (, r ) = Ax + By = α, или

4 Линейной функцией на плоскости является прямая линия или прямая линия на плоскости есть геометрическое место точек, в которых линейная функция ( r) = Ax + By = α 8 сохраняет постоянное значение По аналогии мы можем сразу сказать, что линейная функция в пространстве L есть ( r) = Ax + By + Cz = β - плоскость Если рассмотреть пространство L, то линейной функцией в нём будет так называемая гиперплоскость Гиперплоскость в ( r ) = a x + a x + + a x = ω L - это подпространство L L Под гиперплоскостью мы можем понимать и плоскость в пространстве и прямую на плоскости Гиперплоскости, соответствующие разным значениям данной линейной функции ( r), параллельны Гиперплоскость, на которой ( r) =, проходит через начало координат Сопряженное пространство В линейном пространстве L рассмотрим всевозможные линейные функции, понимая сумму функций и произведение функции на число в обычном (арифметическом) смысле Определение Суммой линейных функций и g будем называть функцию h, значение которой для любого вектора x L определяется равенством h ( x) ( x) + g( x) = Произведением линейной функции на число α называется функция g, значение которой на векторе x L определяется как g( x) = α ( x) Теорема Множество L ~ всех линейных функций, заданных в пространстве L, представляет собой линейное пространство Покажем, что сумма двух произвольных линейных функций и g является линейной функцией

5 Тогда Пусть h ( x) ( x) g( x) h = + ( x + y) = ( x + y) + g( x + y) = [ ( x) + ( y) ] + g( x) + g( y) = [ ( x) + g( x) ] + [ ( y) + g( y) ] = h( x) + h( y) Кроме того, h [ ]= ( αx) = ( αx) + g( αx) = α ( x) + αg( x) = α[ ( x) + g( x) ] = αh( x) Таким образом, линейность суммы доказана Покажем теперь, что если линейную функцию умножить на произвольное число λ, то получится линейная функция Пусть Тогда Далее h ( x) λ ( x) = ( x y) = λ ( x + y) = λ ( x) + λ ( y) = h( x) h( y) h + + h( x) = λ ( αx) = λα ( x) = αλ ( x) = αh( x) Мы показали, что λ ( x) - линейная функция α Итак, если ( x) g( x) L при любых α, β K 8 ~,, то любая их линейная комбинация ~ α x + βg x ( ) ( ) L Нулевым элементом ~ L является линейная функция θ( x) = для любого ~ x L Функция ( ) ( x) = ( x) функции ( x) является противоположной для Ясно, что для множества линейных функций L ~ выполнены все аксиомы ( o o 8 п 9) линейного пространства, что доказывает теорему Рассматриваемую теорему можно доказать и исходя из фор-

6 мулы (4), которая устанавливает взаимно однозначное соответствие между линейными функциями множества L ~ и множеством строк длины Сумме функций будет соответствовать сумма строк, а произведению функции на число - произведение её строки на это число и Так, если ( x) = ϕξ, а g ( x) = ψξ, то h( x) = ( x) + g( x) = ϕξ + ψξ = ( ϕ + ψ) ξ = χξ ( x) = α ( x) = αϕξ = χξ h Взаимно однозначное соответствие между линейными функциями множества L ~ и множеством строк длины говорит о том, что размерность линейного пространства L ~ равна размерности исходного линейного пространства L Определение 4 Линейное пространство L ~ всех линейных функций, определённых на L, называется сопряженным пространству L Замечание Согласно определению линейной функции в сопряженном пространстве допускается умножение на такие же числа, как и в исходном; иначе говоря, если L - действительное, то и L ~ - действительное, если L - комплексное, то и L ~ - комплексное Установим соответствие между базисами в сопряженных пространствах L и L ~ Выберем в пространстве L базис e и разложим по нему произвольный вектор x : x = e ξ Произвольный вектор из сопряженного пространства L ~ есть линейная функция ( x) : = ϕ ξ и однозначно определяется коэффициентами ϕ,,, ϕ ϕ 84

7 Рассмотрим теперь в L линейные функции =, определяемые равенствами где ξ - -я координата вектора x p ( x) ξ =, Это означает, что для базисных векторов p, j, ( ) = δ = (, j =,, ) p (,,) e 85 e j j, (5), = j или, иначе, строка коэффициентов функции единичной матрицы и функции p, p,, p p есть -я строка будут линейно независимыми Так как пространство ~ L -мерно, эти функции составят в нём базис, который мы можем обозначить как ~ e = p e ( ) ~ ~ ~ в ~ L, определяемый формулой Определение 5 Базис e, e,, e (5), называется сопряженным (биортогональным, взаимным) базису e,,, e e пространства L Строка коэффициентов ( ϕ ϕ ) строкам единичной матрицы с коэффициентами ϕ раскладывается по ϕ,,, ϕ ϕ Поэтому элемент ~ (далее мы будем так обозначать элементы принадлежащие сопряженному пространству L ~ ) пространства L ~ со строкой коэффициентов ( ϕ ϕ ) или ϕ имеет разложение ~ ~ e ~ = ϕ e ~ + ϕ + + ϕe (6)

8 ~ = ~ e ~ e ~ e ( ϕ ϕ ϕ ) = e ϕ ~ (7) ~ ~ Мы видим, что строка координат элемента L во взаимном базисе ~ e совпадает со строкой коэффициентов в исходном базисе e пространства L Если для пространства ~ L придерживаться соглашения писать компоненты вектора в столбец, а базисные векторы в строку, то формулу (7) надо написать так: ~ T T = ~ e ϕ (8) Пусть в L базисы e и e связаны соотношением e = es Найдём матрицу перехода между их взаимными базисами ~ e и ~ e Ранее мы установили, что если e = es, то в соответствии с (96) ξ = S ξ, тогда имея в виду, что p ( x) = ξ можем сразу записать ~ e = Se ~ Решая относительно ~ e запишем ~ e = S ~ e Транспонируя последнее равенство (чтобы записать коэффициенты в столбец), получим ( ) T ~ T ~ T 86 e = e S Таким образом мы видим, что матрицей перехода от базиса ~ e к базису e ~ в пространстве ~ L будет матрица ( ) T S Если вернуться для пространства L ~ к записи элементов базиса в столбец, связь базисов примет вид ~ e = Se ~ (9)

9 Пространство L ~ - такое же пространство, как и любое другое, и, следовательно, имеет сопряженное пространство L ~, элементы которого - линейные функции на L ~ В учебниках по линейной алгебре нетрудно найти доказательство того, что пространство L ~ совпадает с пространством L Примеры и задачи Какие условия выделяют линейные функции из остальных линейных отображений? Решение Линейное отображение : L Lm в общем случае отображает пространство размерности в пространство размерности m Линейная функция есть отображение : C C 87 : R или L Дана линейная функция на L и произвольное число α Всегда ли найдётся такой вектор x из Решение L, что ( x) = α? Если ( x) не нулевая функция, то такая линейная функция найдётся всегда (пример ), если ( x) нулевая функция, те при любом x ( x) = L надо положить α = Пусть ( ) T ξ ξ ξ - координатный столбец вектора x L в некотором базисе Будет ли линейной функция на L если: ( ) x = ξ + ξ ; ( x) = ξ ( ξ ) ; ( ) = ξ x + ; 4 ( x) = ξ + ξ ξ?

10 Решения ( x + y) = ( ξ + η ) + ( ξ + η ) = ( ξ + ξ ) + ( η + η ) = ( x) + ( y) Да, будет ( αx) = αξ + αξ = α( ξ + ξ ) = α ( x) ( x + y) = ( ξ + η ) ( ξ + η ) = ξ + η ( ξ ) ξ η ( η ) = = ξ ( ξ ) + η ( η ) ξ η = ( x) + ( y) ξ η Нет, не будет 88 ( ) ( ) ( ) ( ) x + y = ξ + η + = ξ + η + = x + η = y + ξ Нет, не будет 4 ( x + y) = ( ξ + η ) + ( ξ + η ) ( ξ + η )= = ( ξ + ξ ξ ) + ( η + η η ) = ( x) + ( y) ( αx) = αξ + α ξ αξ = α( ξ + ξ ξ ) = α ( x) Да, будет 4 Выписать строку коэффициентов в случае и 4 предыдущей задачи Решение Пусть в пространстве L задан базис e, e, e, тогда : ( ) ( ) ( ) ( ) x = ξ + ξ = e ξ + e ξ + e = ( ϕ ϕ ) ( ) ϕ ; ξ = ξ + ξ + ξ, 4 ( ) ( ) ( ) ( ) x = ξ + ξ ξ = e ξ + e ξ + e ξ = ξ + ξ ξ ( ϕ ϕ ) = ( ) ϕ 5 В некотором базисе линейного пространства L функции и g имеют координатные строки ( ) и ( ) соответственно Найти координатные строки функций:

11 + g ; ; g ; 4 g Решение 89 Так как в L задан базис мы имеем изоморфизм между координатными строками линейных функций в L и матрицами-строками длины и линейные операции с координатными строками сводятся к линейным операциям с матрицами + g = ( ) + ( ) = ( 4 4 4) ; 4 ( ) ( ) = ( ) ( 6 4 ) = ( 5 ) g = 6 Сопоставить каждому многочлену p ( t) степени меньше или равно его значение при t = Доказать, что этим определена линейная функция ( p) базисе, t, t,, t Решение и на ( ) P, и вычислить её координаты в Нам задан многочлен ( ) При t = p t = α + α t + + α t ( t) = α + α + + α = α p t= Покажем, что этим самым нам задана линейная функция Рассмотрим два многочлена p ( t) = α + α t + + и p ( t) α + α t + + t α Их сумма есть многочлен той же степени p = α t ( t) + p ( t) = ( α + α ) + ( α + α ) t + + ( α + ) t α Тогда ( p ) = p( t) = α, ( p ) ( ) = p t = α t= t= ( p + p ) = α + α = ( p ) + ( p ) = α ( βp) = βα = β ( p) = ω

12 9 Таким образом мы видим, что множество многочленов p ( t) степени меньше или равно при t = образует множество линейных функций сопоставляющих каждому многочлену его коэффициент с нулевым индексом Так как ( p) = α + α + + α, t= то координатная строка ( p) ( ) в базисе, t, t,, t будет 7 Сопоставить каждому многочлену p ( t) степени меньше или равно его значение при t = t Доказать, что этим определена линейная функция ( p) базисах, t, t,, t Решение = и на ( ) P, и вычислить её координаты в t t, t t,, t t, ( t ) α + α t + + p t α = ( p + p ) = ( α + α ) + ( α t + α t ) + + ( α t + α t )= ( α + α t + + α t ) + ( α + α t + + α t ) = ( p ) ( p ) p = - линейная функция Выбрав базис + ( p) = λα + λα t + + λα t = λ( α + α t + + α t ) = λ ( p) λ Мы показали, что ( ) t t, t, t,, t, получим ( p ) = α + α t + + α t = α ϕ + α ϕ + + α ϕ и координатная строка линейной функции ϕ в базисе будет = ( t ) ϕ t Если в качестве базиса взять t t, t t t t,,,, t, t,, t, то при t = t задача сведётся к задаче 6 и координатная строка линейной

13 функции ϕ будет = ( ) ϕ 8 Сопоставим каждому многочлену p ( t) степени меньше или = равно число ( p) p( ) ( ) P t dt 9 Показать, что этим самым определена линейная функция на и вычислить её координатную строку в базисе из многочленов, t, t, t Решение p 4 6 ( t ) α + α t + α t + α t = ( p p ) = ( p ( t ) + p ( t )) = + dt ( t ) dt + p ( t ) dt = ( p ) ( ) = p + p ( λp) = λp( t ) dt = λ p( t ) dt = λ ( p) Мы показали, что ( p) - линейная функция Вычислим координатную строку ( p) в базисе, t, t, t : 4 6 ( p) p( t ) dt = ( α +α t +α t +α t ) dt = = тогда ϕ = 5 7 = α + α + α + α, 5 7

14 9 Сопоставим каждому многочлену p ( t) степени меньше или рав- но число ( p) = ( + t ) p() t ( ) P dt 9 Показать, что этим самым определена линейная функция на и вычислить её координатную строку в базисе из многочленов, t, t, t Решение p ( t) α + α t + α t + α = t ( p + p ) = ( + t ) p () t + p () t ( ) dt = ( + t ) p () t dt + ( + t ) p () t dt = ( p) + ( p) = ( λ p) = ( + t ) λp() t dt = λ ( + t ) p() t dt = λ( p) Мы показали, что ( p) - линейная функция Вычислим координатную строку ( p) в базисе, t, t, t : ( p) = ( + t ) p() t dt = p() t dt + t p() t dt Вычислим каждый из интегралов по отдельности p () t dt ( α+αt +αt +αt ) dt = α+ α = Тогда t p = 4 5 () t dt ( αt +αt +αt +αt ) dt = α+ α 5

15 и 6 5 ( p) = α+ α + α+ α = α+ α Линейная функция ( x) ϕ= 5 8 в базисе e, e, e имеет вид ( x) =ξ + ξ + ξ Найти вид линейной функции ( x) e + 9 в базисе e, e, e, если = e e, e = e + e, e = e + e Решение Для решения поставленной задачи воспользуемся формулой (5) где ϕ = ( ) Тогда, а ϕ = ϕs S = или ( ) = x = ξ + 5ξ + 4ξ ϕ =ϕs, ( ) = ( 5 4) Многочлены, t, t,, t образуют базис в пространстве ( ) P Найти соответствующий биортогональный базис Решение Многочлены ( ) p t = α +α t + + α t есть элементы пространства ( ) P Фиксируя t = t мы будем получать линейные

16 функции из ( ) P ~ вида ( pt t ) = α + αt + + αt Рассмотрим функции Ясно, что δ δ k = ( ) ( p) d p = k k! dt k t= ( p ) =, δ ( p ) = = α t=, δ ( ) k p = α k α t= dp dt t= t= Таким образом, биортогональным к заданному базису t будет базис α, α,, α, t, t,, p 94 и тогда для любого ( ) p( t) P ( t) = δ ( p) t + δ ( p) t + + δ ( p) t = α + α t + + α t Базис α, α,, α можно представить в соответствии с (5) так: P ~ и для любого ( ) y P, ( e j ) = k P ( t ) = αk, = j, j, ( ) δ ( p) = α + α t + + t y y k k α = e

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции

Подробнее

10. Линейные операторы

10. Линейные операторы 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций

Подробнее

всевозможные решения заданной системы линейных однородных уравнений:

всевозможные решения заданной системы линейных однородных уравнений: . ЯДРО ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Ранее мы охарактеризовали подпространство конечномерного пространства как линейную оболочку. Но возможны и другие истолкования подпространства. Пусть, e, e2, K, en какой-либо

Подробнее

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ Аксиомы линейного пространства Линейным векторным пространством называется множество V произвольных элементов, называемых векторами, в котором

Подробнее

ξ η K некоторое решение системы (1), то суммы K любое решение однородной системы (2), V n над числовым полем Р рассмотрим

ξ η K некоторое решение системы (1), то суммы K любое решение однородной системы (2), V n над числовым полем Р рассмотрим . ЛИНЕЙНОЕ МНОГООБРАЗИЕ (ГИПЕРПЛОСКОСТЬ) Определение: Назовем подмножество векторов пространства линейным многообразием (или гиперплоскостью), полученным путем сдвига подпространства L на вектор х, если

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

11. Задача о собственных векторах

11. Задача о собственных векторах Задача о собственных векторах 59 Линейные преобразования Вновь вернёмся к линейным преобразованиям A : L L как частному случаю линейных отображений В этом случае пространства совпадают и мы в обеих пространствах

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической логики ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Методические

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 2-е, испр. и доп.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

Q n (z) = b 0 + b 1 z + + b n z n

Q n (z) = b 0 + b 1 z + + b n z n Е.М. Карчевский, И.Л. Александрова, К.Н. Стехина Семинары по линейной алгебре и аналитической геометрии Часть 2 Учебное пособие Казанский университет 2015 Оглавление Предисловие...................................

Подробнее

Линейные операторы. Ю. Б. Мельников. Раздел электронного учебника для сопровождения лекции. Екатеринбург 2012

Линейные операторы. Ю. Б. Мельников. Раздел электронного учебника для сопровождения лекции. Екатеринбург 2012 Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и доп. e-mail:

Подробнее

14. Евклидовы пространства

14. Евклидовы пространства 9 4 Евклидовы пространства Большое многообразие фактов которыми так богата геометрия в значительной степени объясняется возможностью измерять длины отрезков и углы между прямыми В абстрактном линейном

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Тема 2-7: Линейные отображения

Тема 2-7: Линейные отображения Тема 2-7: Линейные отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно.

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно. ЛЕКЦИЯ 5 МЕТОД ГАУССА Мы разобрали выше два различных способа задания линейных подпространств F n 2 при помощи образующих и как множество решений системы линейных уравнений Для различных приложений нам

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп.

Подробнее

7. Понятие линейного пространства

7. Понятие линейного пространства 7 Понятие линейного пространства 1 Определение и примеры Пусть L некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на действительные числа (например, множество матриц одинакового размера,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

Лекция 14: Линейный оператор

Лекция 14: Линейный оператор Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к рассмотрению функций из векторного

Подробнее

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ПГУ) О.В. Якунина МНОГОМЕРНАЯ

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Тема 2-17: Сопряженное отображение

Тема 2-17: Сопряженное отображение Тема 2-17: Сопряженное отображение А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

V и λ R ) выполняются равенства

V и λ R ) выполняются равенства Линейные преобразования Определение линейного преобразования Пусть V линейное пространство Если указано правило по которому каждому вектору x из V ставится в соответствие единственный вектор y из V то

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Алгебра, первый курс, третий модуль

Алгебра, первый курс, третий модуль Алгебра, первый курс, третий модуль Е. Ю. Смирнов Аннотация. Записки лекций по алгебре для первого курса факультета математики ВШЭ, весна 2013/14 учебного года 1. Первая лекция, 15января 2014 г. 1.1. Напоминание

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

23. Базис векторного пространства

23. Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы.

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. Основные результаты Лекции 4. 1) Любое подпространство V k F n 2 размерности k задается некоторой системой из n k

Подробнее

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ЛЕКЦИЯ 10 ОБЪЕМ n-мерного ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Объем параллелепипеда. Ничто не мешает сейчас ввести общее понятие определителя,

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 4 ВЕКТОРЫ. БАЗИС 1. Базис векторов Определение 1. Векторы a 1,a 2,...,a n называются упорядоченными, если указано какой вектор из этой системы является первым, какой

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие

Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие Белгород, 2017 ББК 22.144 З 63 Печатается по решению редакционно-издательского совета НИУ «БелГУ» от

Подробнее

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Б.В. Заятуев

МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Б.В. Заятуев МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В пособии изложены необходимые теоретические сведения из линейной алгебры и многомерной геометрии базовые примеры с подробными решениями и задачи для самостоятельного

Подробнее

Тема 2-15: Ортогональность

Тема 2-15: Ортогональность Тема 2-15: Ортогональность А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

Линейная алгебра с приложениями

Линейная алгебра с приложениями Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» Институт образовательных информационных технологий РМ Минькова Линейная алгебра с приложениями Учебно-методическое

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейная алгебра Лекция 3 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейное (векторное) пространство Определение Множество элементов произвольной природы X называется линейным (или векторным) пространством если для любых

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Матрицы и определители (теория к задачам) 215 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 1º Линейным пространством называется множество элементов a, b,

Подробнее

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления УДК 6-5 Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления К.А. Рыбаков В статье вводится понятие спектральных характеристик линейных

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Кафедра «Информатика и прикладная математика» Методические рекомендации для самостоятельной работы обучающихся по дисциплине. Алгебра и геометрия

Кафедра «Информатика и прикладная математика» Методические рекомендации для самостоятельной работы обучающихся по дисциплине. Алгебра и геометрия ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Информатика и прикладная математика» Методические рекомендации

Подробнее

Лекция 7. Теорема. Система линейных уравнений AX = B совместна тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной

Лекция 7. Теорема. Система линейных уравнений AX = B совместна тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной Лекция 7 1 ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА КАПЕЛЛИ Теорема Система линейных уравнений AX = B совместна тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной матрицы: Совместность системы rka =

Подробнее

Лекция 2. Векторы. Определения.

Лекция 2. Векторы. Определения. Лекция 2 Векторы Определения. Вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого указаны начало и конец. B конец вектора A начало вектора Обозначение вектора:

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (решебник) Ростов-на-Дону 008 Рецензенты: кандидат

Подробнее

Тема 2-20: Аффинные пространства

Тема 2-20: Аффинные пространства Тема 2-20: Аффинные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

Лекция 9 AB + BC = AC.

Лекция 9 AB + BC = AC. Лекция 9 1 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО Для построения полноценной геометрии одних векторов недостаточно, необходимы еще точки Пространство, состоящее из точек, и называется аффинным (или точечным) пространством;

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Вращения твердых тел

Вращения твердых тел Вращения твердых тел. Группа вращений твердого тела с закрепленной осью: O(2). 2. Группа вращений твердого тела закрепленной точкой: O(3). 3. Основные формулы тригонометрии. 4. Существование неподвижной

Подробнее

«Линейные отображения и операторы» 1. Убедиться, что отображение пространства R на себя, сопоставляющее строке, ) является линейным оператором.

«Линейные отображения и операторы» 1. Убедиться, что отображение пространства R на себя, сопоставляющее строке, ) является линейным оператором. «Линейные отображения и операторы» 1. Убедиться, что отображение пространства R на себя, сопоставляющее строке ( x 1, x2, x, x ) строку ( x1 2x2 x x, x1 x2 x, x1 2x2 x 2x,, x x 2x ) является линейным оператором.

Подробнее

a 1, a 2,..., a m, m 1, x 1 a 1 + x 2 a x m a m

a 1, a 2,..., a m, m 1, x 1 a 1 + x 2 a x m a m ГЛАВА 8. ПОДПРОСТРАНСТВА 1 1. СУММА И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОДПРОСТРАНСТВ Множество L векторов линейного пространства X называется подпространством, если из того, что x, y L вытекает, что αx + βy L при любых комплексных

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Изоморфизм линейных пространств, матрица перехода в другой базис Раздел электронного учебника для

Подробнее

Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств

Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств Раздел электронного учебника

Подробнее

УНИТАРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

УНИТАРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 18 УНИТАРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ТЕОРЕМА МАШКЕ ЛЕММА ШУРА 1 УНИТАРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Определение 1. Квадратная комплексная матрица A называется унитарной, если AA = E, где A = A T. Представление φ : G

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11А Гильбертовы пространства. 0. Необходимое условие «евклидовости». Простейшее свойство скалярного произведения

ЛЕКЦИЯ 11А Гильбертовы пространства. 0. Необходимое условие «евклидовости». Простейшее свойство скалярного произведения ЛЕКЦИЯ А Гильбертовы пространства. Необходимое условие «евклидовости». Простейшее свойство скалярного произведения Как следует из лекционного материала, необходимым (а также и достаточным см. Колмогорова,

Подробнее

Задачи по линейной алгебре 1

Задачи по линейной алгебре 1 Задачи по линейной алгебре А. А. Гайфуллин, А. В. Пенской, С. В. Смирнов Компиляция: 9 августа г. c А. А. Гайфуллин, А. В. Пенской, С. В. Смирнов. Предварительная версия 4.4 Оглавление Линейные пространства

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 1 / 78. Часть I. Конечные поля (поля Галуа). II

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 1 / 78. Часть I. Конечные поля (поля Галуа). II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 1 / 78 Часть I Конечные поля (поля Галуа). II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 2 / 78 Поля вычетов по модулю простого

Подробнее

ur uuur 2) для любой точки A из T и любого вектора p V существует единственная точка B в T, такая, что AB=

ur uuur 2) для любой точки A из T и любого вектора p V существует единственная точка B в T, такая, что AB= Глава 1 ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ n R. 1.1. Точечные пространства Ранее было рассмотрено арифметическое пространство строк В математике конечный упорядоченный набор координат может интерпретироваться не только

Подробнее

или A (3) x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + +x 4 + x 5 = 0 x 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0

или A (3) x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + +x 4 + x 5 = 0 x 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 ЛЕКЦИЯ 6. Метод ГАУССА и ДВОЙСТВЕННЫЙ БАЗИС. В этой лекции мы опишем алгоритм решения систем линейных уравнений, позволяющий найти и двойственный базис для любого базиса пространства F n 2. В Лекциях 7

Подробнее

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ КИ Лившиц ЛЮ Сухотина ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ Учебно-методическое пособие Томск Издательский Дом Томского государственного университета 6 УДК 7 ББК Л Рецензенты: д-р физ-мат наук профессор

Подробнее

Пусть на проективной плоскости задан проективный репер. Поскольку точки лежат на одной прямой, то компланарны.

Пусть на проективной плоскости задан проективный репер. Поскольку точки лежат на одной прямой, то компланарны. Лекция 3 Тема: Уравнение прямой на проективной плоскости Принцип двойственности Теорема Дезарга Проективные отображения и проективные преобразования План лекции 1 Уравнение прямой на проективной плоскости

Подробнее

ГЛАВА 1. Проективная геометрия

ГЛАВА 1. Проективная геометрия ГЛАВА 1. Проективная геометрия 1.1. Проективное пространство Пусть дано (n + 1)-мерное векторное пространство V ( 6.1, часть I) и непустое множество P произвольной природы. Говорят, что множество P наделено

Подробнее

ВНЕШНИЕ ФОРМЫ. О. В. Якунина. Учебное пособие

ВНЕШНИЕ ФОРМЫ. О. В. Якунина. Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ПГУ) О. В. Якунина ВНЕШНИЕ

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Глава ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса Система, состоящая из m линейных уравнений с n неизвестными или, как будем дальше говорить,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А. И. МАДУНЦ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины А. В. БУЗЛАНОВ, С. Ф. КАМОРНИКОВ, В. С. МОНАХОВ АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ.

Подробнее

Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах

Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах 1. СОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР Пусть U УП, A ЛО в U. Оператор A называется сопряженным по отношению к ЛО A, если для любых векторов x, y U выполняется

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства Раздел электронного учебника для сопровождения

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

АЛГЕБРА модуль 3: Квадратичные и билинейные формы

АЛГЕБРА модуль 3: Квадратичные и билинейные формы АЛГЕБРА модуль 3: Квадратичные и билинейные формы 1 Квадратичные формы Мы рассматриваем конечномерные векторные пространства над полем k, где 0. Определение 1.1 Функция f : V k на векторном пространстве

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

Домашнее Задание 5. Дмитрий Сорокин. 19 Апреля 2012

Домашнее Задание 5. Дмитрий Сорокин. 19 Апреля 2012 Домашнее Задание Дмитрий Сорокин 9 Апреля 22 Задача Рассмотрим подпространство L R 7, являющееся линейной оболочкой векторов v (3, 3,,, 2,, ) v 2 (3, 2, 3, 3, 2,, 2) v 3 ( 3,,, 6, 2, 2, ) v (9,, 3,, 6,,

Подробнее

Лекция 7. . = [A 1,A 2,...,A n ], AX = B,

Лекция 7. . = [A 1,A 2,...,A n ], AX = B, Лекция 7 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Рассмотрим систему, состоящую из m линейных уравнений с n неизвестными: a x + a x + + a nx n = b, a x + a x + + a nx n = b, a m x + a m x + + a m n x n = b m Сокращенно

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Лекция 6: Система координат. Координаты точки Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее