( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство."

Транскрипт

1 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x) K, а также, что задана функция g от двух векторов, если каждой упорядоченной паре векторов x, y L сопоставлено число g ( x, y) K Функции на бесконечномерных пространствах, элементы которых сами являются функциями, называются функционалами Определение Функция на линейном пространстве L называется линейной, если для любых векторов α K выполнены равенства ( x y) = ( x) + ( y) ( α x) = α ( x) +, x, y L и любого числа Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство Пример Функция, сопоставляющая каждому вектору из L число, линейная, тк если ( x) = ( y) =, то ( x + y) = ( x) + ( y) = + = и ( αx) = α ( x) = α = Пример Рассмотрим множество векторов на плоскости L Выберем на плоскости некоторый фиксированный вектор a r и каждому вектору x r L сопоставим скалярное произведение ( a r, x r ) Ясно, что из законов скалярного умножения (п 46), мы имеем линейную функцию

2 Пример Пусть L - пространство многочленов степени не выше Пусть каждому многочлену p ( t) из L ставится в соответствие число ( p) по формуле t ( p) = p() t dt, () t где t t t - заданный отрезок числовой оси Ясно, что вследствие известных свойств определённого интеграла условия и соблюдены и () есть линейная функция в пространстве L Пример 4 Рассмотрим пространство L функций определённых и непрерывных на отрезке [,] Пусть v ( t) - фиксированная функция из L, тогда каждой функции u ( t) из L можно сопоставить число ξ= ()() t u t v dt () Так как пространство L в данном случае бесконечномерное и элементы под интегралом сами являются функциями, мы имеем пример линейного функционала Рассмотрим -мерное линейное пространство L и выберем в нём базис e, e,, e Значение линейной функции на векторе x L может быть выражено через координаты этого вектора ξ, ξ,, ξ : ( x) = ( ξ e + ξ e + + ξ e ) = ξ ( e ) + ξ ( e ) + + ξ ( e ) Числа ( ) e, ( ),, ( ) e 8 e не зависят от вектора x, а определяются только функцией и базисом e, e,, e Этим самым доказано Предложение Каждая линейная функция на -мерном линейном пространстве в произвольном базисе e,,, e e задаётся ли-

3 нейным однородным многочленом ( x) = ϕ ξ + ϕ ξ + + ϕ ξ от координат вектора в этом базисе Коэффициенты многочлена ( ) () ϕ = e равны значениям функции на базисных векторах Значения функции на базисных векторах будем называть компонентами (коэффициентами) функции в базисе e, e,, e Нам известно, что матрица линейного отображения -мерного пространства в одномерное имеет размеры, тогда формулу () можно записать как ξ ( x) = ( ϕ ϕ ) = ϕξ (4) ξ Каждая строка ϕ по формуле (4) определяет линейную функцию, так как выполнены условия и, те ϕ ( ξ + η) = ϕ( ξ) + ϕ( η) и ( αξ) = αϕ( ξ) ϕ Используя формулу (), выражающую матрицу линейного отображения в новых базисах через его старую матрицу и матрицы перехода к новым базисам, учитывая, что базис в одномерном арифметическом пространстве фиксирован, получим ϕ = ϕs (5) Здесь ϕ - строка коэффициентов линейной функции в базисе e, а ϕ - строка её коэффициентов в базисе e = es В заключение рассмотрим геометрический смысл линейной функции на примере линейного пространства L - плоскости с базисом 8, j Как и в примере выберем в L некоторый фиксированный вектор r = x + yj = A + Bj и произвольному вектору L сопоставим скалярное произведение ( r) ( r) = (, r ) = Ax + By = α, или

4 Линейной функцией на плоскости является прямая линия или прямая линия на плоскости есть геометрическое место точек, в которых линейная функция ( r) = Ax + By = α 8 сохраняет постоянное значение По аналогии мы можем сразу сказать, что линейная функция в пространстве L есть ( r) = Ax + By + Cz = β - плоскость Если рассмотреть пространство L, то линейной функцией в нём будет так называемая гиперплоскость Гиперплоскость в ( r ) = a x + a x + + a x = ω L - это подпространство L L Под гиперплоскостью мы можем понимать и плоскость в пространстве и прямую на плоскости Гиперплоскости, соответствующие разным значениям данной линейной функции ( r), параллельны Гиперплоскость, на которой ( r) =, проходит через начало координат Сопряженное пространство В линейном пространстве L рассмотрим всевозможные линейные функции, понимая сумму функций и произведение функции на число в обычном (арифметическом) смысле Определение Суммой линейных функций и g будем называть функцию h, значение которой для любого вектора x L определяется равенством h ( x) ( x) + g( x) = Произведением линейной функции на число α называется функция g, значение которой на векторе x L определяется как g( x) = α ( x) Теорема Множество L ~ всех линейных функций, заданных в пространстве L, представляет собой линейное пространство Покажем, что сумма двух произвольных линейных функций и g является линейной функцией

5 Тогда Пусть h ( x) ( x) g( x) h = + ( x + y) = ( x + y) + g( x + y) = [ ( x) + ( y) ] + g( x) + g( y) = [ ( x) + g( x) ] + [ ( y) + g( y) ] = h( x) + h( y) Кроме того, h [ ]= ( αx) = ( αx) + g( αx) = α ( x) + αg( x) = α[ ( x) + g( x) ] = αh( x) Таким образом, линейность суммы доказана Покажем теперь, что если линейную функцию умножить на произвольное число λ, то получится линейная функция Пусть Тогда Далее h ( x) λ ( x) = ( x y) = λ ( x + y) = λ ( x) + λ ( y) = h( x) h( y) h + + h( x) = λ ( αx) = λα ( x) = αλ ( x) = αh( x) Мы показали, что λ ( x) - линейная функция α Итак, если ( x) g( x) L при любых α, β K 8 ~,, то любая их линейная комбинация ~ α x + βg x ( ) ( ) L Нулевым элементом ~ L является линейная функция θ( x) = для любого ~ x L Функция ( ) ( x) = ( x) функции ( x) является противоположной для Ясно, что для множества линейных функций L ~ выполнены все аксиомы ( o o 8 п 9) линейного пространства, что доказывает теорему Рассматриваемую теорему можно доказать и исходя из фор-

6 мулы (4), которая устанавливает взаимно однозначное соответствие между линейными функциями множества L ~ и множеством строк длины Сумме функций будет соответствовать сумма строк, а произведению функции на число - произведение её строки на это число и Так, если ( x) = ϕξ, а g ( x) = ψξ, то h( x) = ( x) + g( x) = ϕξ + ψξ = ( ϕ + ψ) ξ = χξ ( x) = α ( x) = αϕξ = χξ h Взаимно однозначное соответствие между линейными функциями множества L ~ и множеством строк длины говорит о том, что размерность линейного пространства L ~ равна размерности исходного линейного пространства L Определение 4 Линейное пространство L ~ всех линейных функций, определённых на L, называется сопряженным пространству L Замечание Согласно определению линейной функции в сопряженном пространстве допускается умножение на такие же числа, как и в исходном; иначе говоря, если L - действительное, то и L ~ - действительное, если L - комплексное, то и L ~ - комплексное Установим соответствие между базисами в сопряженных пространствах L и L ~ Выберем в пространстве L базис e и разложим по нему произвольный вектор x : x = e ξ Произвольный вектор из сопряженного пространства L ~ есть линейная функция ( x) : = ϕ ξ и однозначно определяется коэффициентами ϕ,,, ϕ ϕ 84

7 Рассмотрим теперь в L линейные функции =, определяемые равенствами где ξ - -я координата вектора x p ( x) ξ =, Это означает, что для базисных векторов p, j, ( ) = δ = (, j =,, ) p (,,) e 85 e j j, (5), = j или, иначе, строка коэффициентов функции единичной матрицы и функции p, p,, p p есть -я строка будут линейно независимыми Так как пространство ~ L -мерно, эти функции составят в нём базис, который мы можем обозначить как ~ e = p e ( ) ~ ~ ~ в ~ L, определяемый формулой Определение 5 Базис e, e,, e (5), называется сопряженным (биортогональным, взаимным) базису e,,, e e пространства L Строка коэффициентов ( ϕ ϕ ) строкам единичной матрицы с коэффициентами ϕ раскладывается по ϕ,,, ϕ ϕ Поэтому элемент ~ (далее мы будем так обозначать элементы принадлежащие сопряженному пространству L ~ ) пространства L ~ со строкой коэффициентов ( ϕ ϕ ) или ϕ имеет разложение ~ ~ e ~ = ϕ e ~ + ϕ + + ϕe (6)

8 ~ = ~ e ~ e ~ e ( ϕ ϕ ϕ ) = e ϕ ~ (7) ~ ~ Мы видим, что строка координат элемента L во взаимном базисе ~ e совпадает со строкой коэффициентов в исходном базисе e пространства L Если для пространства ~ L придерживаться соглашения писать компоненты вектора в столбец, а базисные векторы в строку, то формулу (7) надо написать так: ~ T T = ~ e ϕ (8) Пусть в L базисы e и e связаны соотношением e = es Найдём матрицу перехода между их взаимными базисами ~ e и ~ e Ранее мы установили, что если e = es, то в соответствии с (96) ξ = S ξ, тогда имея в виду, что p ( x) = ξ можем сразу записать ~ e = Se ~ Решая относительно ~ e запишем ~ e = S ~ e Транспонируя последнее равенство (чтобы записать коэффициенты в столбец), получим ( ) T ~ T ~ T 86 e = e S Таким образом мы видим, что матрицей перехода от базиса ~ e к базису e ~ в пространстве ~ L будет матрица ( ) T S Если вернуться для пространства L ~ к записи элементов базиса в столбец, связь базисов примет вид ~ e = Se ~ (9)

9 Пространство L ~ - такое же пространство, как и любое другое, и, следовательно, имеет сопряженное пространство L ~, элементы которого - линейные функции на L ~ В учебниках по линейной алгебре нетрудно найти доказательство того, что пространство L ~ совпадает с пространством L Примеры и задачи Какие условия выделяют линейные функции из остальных линейных отображений? Решение Линейное отображение : L Lm в общем случае отображает пространство размерности в пространство размерности m Линейная функция есть отображение : C C 87 : R или L Дана линейная функция на L и произвольное число α Всегда ли найдётся такой вектор x из Решение L, что ( x) = α? Если ( x) не нулевая функция, то такая линейная функция найдётся всегда (пример ), если ( x) нулевая функция, те при любом x ( x) = L надо положить α = Пусть ( ) T ξ ξ ξ - координатный столбец вектора x L в некотором базисе Будет ли линейной функция на L если: ( ) x = ξ + ξ ; ( x) = ξ ( ξ ) ; ( ) = ξ x + ; 4 ( x) = ξ + ξ ξ?

10 Решения ( x + y) = ( ξ + η ) + ( ξ + η ) = ( ξ + ξ ) + ( η + η ) = ( x) + ( y) Да, будет ( αx) = αξ + αξ = α( ξ + ξ ) = α ( x) ( x + y) = ( ξ + η ) ( ξ + η ) = ξ + η ( ξ ) ξ η ( η ) = = ξ ( ξ ) + η ( η ) ξ η = ( x) + ( y) ξ η Нет, не будет 88 ( ) ( ) ( ) ( ) x + y = ξ + η + = ξ + η + = x + η = y + ξ Нет, не будет 4 ( x + y) = ( ξ + η ) + ( ξ + η ) ( ξ + η )= = ( ξ + ξ ξ ) + ( η + η η ) = ( x) + ( y) ( αx) = αξ + α ξ αξ = α( ξ + ξ ξ ) = α ( x) Да, будет 4 Выписать строку коэффициентов в случае и 4 предыдущей задачи Решение Пусть в пространстве L задан базис e, e, e, тогда : ( ) ( ) ( ) ( ) x = ξ + ξ = e ξ + e ξ + e = ( ϕ ϕ ) ( ) ϕ ; ξ = ξ + ξ + ξ, 4 ( ) ( ) ( ) ( ) x = ξ + ξ ξ = e ξ + e ξ + e ξ = ξ + ξ ξ ( ϕ ϕ ) = ( ) ϕ 5 В некотором базисе линейного пространства L функции и g имеют координатные строки ( ) и ( ) соответственно Найти координатные строки функций:

11 + g ; ; g ; 4 g Решение 89 Так как в L задан базис мы имеем изоморфизм между координатными строками линейных функций в L и матрицами-строками длины и линейные операции с координатными строками сводятся к линейным операциям с матрицами + g = ( ) + ( ) = ( 4 4 4) ; 4 ( ) ( ) = ( ) ( 6 4 ) = ( 5 ) g = 6 Сопоставить каждому многочлену p ( t) степени меньше или равно его значение при t = Доказать, что этим определена линейная функция ( p) базисе, t, t,, t Решение и на ( ) P, и вычислить её координаты в Нам задан многочлен ( ) При t = p t = α + α t + + α t ( t) = α + α + + α = α p t= Покажем, что этим самым нам задана линейная функция Рассмотрим два многочлена p ( t) = α + α t + + и p ( t) α + α t + + t α Их сумма есть многочлен той же степени p = α t ( t) + p ( t) = ( α + α ) + ( α + α ) t + + ( α + ) t α Тогда ( p ) = p( t) = α, ( p ) ( ) = p t = α t= t= ( p + p ) = α + α = ( p ) + ( p ) = α ( βp) = βα = β ( p) = ω

12 9 Таким образом мы видим, что множество многочленов p ( t) степени меньше или равно при t = образует множество линейных функций сопоставляющих каждому многочлену его коэффициент с нулевым индексом Так как ( p) = α + α + + α, t= то координатная строка ( p) ( ) в базисе, t, t,, t будет 7 Сопоставить каждому многочлену p ( t) степени меньше или равно его значение при t = t Доказать, что этим определена линейная функция ( p) базисах, t, t,, t Решение = и на ( ) P, и вычислить её координаты в t t, t t,, t t, ( t ) α + α t + + p t α = ( p + p ) = ( α + α ) + ( α t + α t ) + + ( α t + α t )= ( α + α t + + α t ) + ( α + α t + + α t ) = ( p ) ( p ) p = - линейная функция Выбрав базис + ( p) = λα + λα t + + λα t = λ( α + α t + + α t ) = λ ( p) λ Мы показали, что ( ) t t, t, t,, t, получим ( p ) = α + α t + + α t = α ϕ + α ϕ + + α ϕ и координатная строка линейной функции ϕ в базисе будет = ( t ) ϕ t Если в качестве базиса взять t t, t t t t,,,, t, t,, t, то при t = t задача сведётся к задаче 6 и координатная строка линейной

13 функции ϕ будет = ( ) ϕ 8 Сопоставим каждому многочлену p ( t) степени меньше или = равно число ( p) p( ) ( ) P t dt 9 Показать, что этим самым определена линейная функция на и вычислить её координатную строку в базисе из многочленов, t, t, t Решение p 4 6 ( t ) α + α t + α t + α t = ( p p ) = ( p ( t ) + p ( t )) = + dt ( t ) dt + p ( t ) dt = ( p ) ( ) = p + p ( λp) = λp( t ) dt = λ p( t ) dt = λ ( p) Мы показали, что ( p) - линейная функция Вычислим координатную строку ( p) в базисе, t, t, t : 4 6 ( p) p( t ) dt = ( α +α t +α t +α t ) dt = = тогда ϕ = 5 7 = α + α + α + α, 5 7

14 9 Сопоставим каждому многочлену p ( t) степени меньше или рав- но число ( p) = ( + t ) p() t ( ) P dt 9 Показать, что этим самым определена линейная функция на и вычислить её координатную строку в базисе из многочленов, t, t, t Решение p ( t) α + α t + α t + α = t ( p + p ) = ( + t ) p () t + p () t ( ) dt = ( + t ) p () t dt + ( + t ) p () t dt = ( p) + ( p) = ( λ p) = ( + t ) λp() t dt = λ ( + t ) p() t dt = λ( p) Мы показали, что ( p) - линейная функция Вычислим координатную строку ( p) в базисе, t, t, t : ( p) = ( + t ) p() t dt = p() t dt + t p() t dt Вычислим каждый из интегралов по отдельности p () t dt ( α+αt +αt +αt ) dt = α+ α = Тогда t p = 4 5 () t dt ( αt +αt +αt +αt ) dt = α+ α 5

15 и 6 5 ( p) = α+ α + α+ α = α+ α Линейная функция ( x) ϕ= 5 8 в базисе e, e, e имеет вид ( x) =ξ + ξ + ξ Найти вид линейной функции ( x) e + 9 в базисе e, e, e, если = e e, e = e + e, e = e + e Решение Для решения поставленной задачи воспользуемся формулой (5) где ϕ = ( ) Тогда, а ϕ = ϕs S = или ( ) = x = ξ + 5ξ + 4ξ ϕ =ϕs, ( ) = ( 5 4) Многочлены, t, t,, t образуют базис в пространстве ( ) P Найти соответствующий биортогональный базис Решение Многочлены ( ) p t = α +α t + + α t есть элементы пространства ( ) P Фиксируя t = t мы будем получать линейные

16 функции из ( ) P ~ вида ( pt t ) = α + αt + + αt Рассмотрим функции Ясно, что δ δ k = ( ) ( p) d p = k k! dt k t= ( p ) =, δ ( p ) = = α t=, δ ( ) k p = α k α t= dp dt t= t= Таким образом, биортогональным к заданному базису t будет базис α, α,, α, t, t,, p 94 и тогда для любого ( ) p( t) P ( t) = δ ( p) t + δ ( p) t + + δ ( p) t = α + α t + + α t Базис α, α,, α можно представить в соответствии с (5) так: P ~ и для любого ( ) y P, ( e j ) = k P ( t ) = αk, = j, j, ( ) δ ( p) = α + α t + + t y y k k α = e


10. Линейные операторы

10. Линейные операторы 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций

Подробнее

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1 Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1 Аннотация Вещественное линейное пространство, аксиомы и примеры. Линейно зависимые и

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 1.1

Линейная алгебра. Лекция 1.1 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы

Подробнее

всевозможные решения заданной системы линейных однородных уравнений:

всевозможные решения заданной системы линейных однородных уравнений: . ЯДРО ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Ранее мы охарактеризовали подпространство конечномерного пространства как линейную оболочку. Но возможны и другие истолкования подпространства. Пусть, e, e2, K, en какой-либо

Подробнее

ξ η K некоторое решение системы (1), то суммы K любое решение однородной системы (2), V n над числовым полем Р рассмотрим

ξ η K некоторое решение системы (1), то суммы K любое решение однородной системы (2), V n над числовым полем Р рассмотрим . ЛИНЕЙНОЕ МНОГООБРАЗИЕ (ГИПЕРПЛОСКОСТЬ) Определение: Назовем подмножество векторов пространства линейным многообразием (или гиперплоскостью), полученным путем сдвига подпространства L на вектор х, если

Подробнее

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ Аксиомы линейного пространства Линейным векторным пространством называется множество V произвольных элементов, называемых векторами, в котором

Подробнее

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Ранг матрицы 1. Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы. Указать базисные строки и базисные столбцы.

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Ранг матрицы 1. Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы. Указать базисные строки и базисные столбцы. ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ Ранг матрицы Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы Указать базисные строки и базисные столбцы 0 0 а) ; б) 0 0 ; в) 0 0 ; г) 0 0 0 ; 0 0 0 д) 0 0 ; е) 3 3 ; ж) 0 0

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

11. Задача о собственных векторах

11. Задача о собственных векторах Задача о собственных векторах 59 Линейные преобразования Вновь вернёмся к линейным преобразованиям A : L L как частному случаю линейных отображений В этом случае пространства совпадают и мы в обеих пространствах

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ

ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ 7 Линейные пространства Базис линейного пространства 7 Линейный оператор: определение действия над линейным оператором

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

U+V. Для любых u U и v V существуют a 1,..., a k, b 1,..., b m F 2 такие, что

U+V. Для любых u U и v V существуют a 1,..., a k, b 1,..., b m F 2 такие, что ЛЕКЦИЯ 2. Операции с подпространствами, число базисов число базисов и число подпространств размерности k. Основные результаты Лекции 2. 1) U V, U + V, dim(u + V ). 2) Подсчет числа плоскостей в F 4 2.

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M Лекция 8 Тема: Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости Угол между векторами на ориентированной плоскости План лекции Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости 3 Угол между

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Линейные пространства

Линейные пространства ГЛАВА V. Линейные пространства Лекция 9 по дисциплине «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» поток гр. ПМ(б), ПО(б) Лекция 9 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И АКСИОМЫ Определение 1. Множество R линейное (векторное)

Подробнее

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно.

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно. ЛЕКЦИЯ 5 МЕТОД ГАУССА Мы разобрали выше два различных способа задания линейных подпространств F n 2 при помощи образующих и как множество решений системы линейных уравнений Для различных приложений нам

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

Тема 2-7: Линейные отображения

Тема 2-7: Линейные отображения Тема 2-7: Линейные отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

7. Понятие линейного пространства

7. Понятие линейного пространства 7 Понятие линейного пространства 1 Определение и примеры Пусть L некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на действительные числа (например, множество матриц одинакового размера,

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

14. Евклидовы пространства

14. Евклидовы пространства 9 4 Евклидовы пространства Большое многообразие фактов которыми так богата геометрия в значительной степени объясняется возможностью измерять длины отрезков и углы между прямыми В абстрактном линейном

Подробнее

Q n (z) = b 0 + b 1 z + + b n z n

Q n (z) = b 0 + b 1 z + + b n z n Е.М. Карчевский, И.Л. Александрова, К.Н. Стехина Семинары по линейной алгебре и аналитической геометрии Часть 2 Учебное пособие Казанский университет 2015 Оглавление Предисловие...................................

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Практические занятия по алгебре. 1 курс. 2 семестр

Практические занятия по алгебре. 1 курс. 2 семестр А.Г.Гейн Практические занятия по алгебре 1 курс 2 семестр Приведены планы занятий в классе и домашние задания по курсу «Линейная алгебра и геометрия». Номера задач приведены по «Сборнику задач по алгебре

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической логики ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Методические

Подробнее

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Евклидовы и унитарные пространства 1. Пусть в линейном пространстве заданы две операции скалярного умножения.

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Евклидовы и унитарные пространства 1. Пусть в линейном пространстве заданы две операции скалярного умножения. ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ Евклидовы и унитарные пространства Пусть в линейном пространстве заданы две операции скалярного умножения ( xy, ) и ( xy, ) Показать, что для любых чисел λ 0, µ 0, одновременно не равных

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов ВВ 1 Геометрическое строение линейных операторов 11 Введение Мы знаем, что линейное преобразование ϕ : R n R n (линейный оператор) в каноническом базисе E пространства

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 2-е, испр. и доп.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ПГУ) О.В. Якунина МНОГОМЕРНАЯ

Подробнее

Линейные операторы. Ю. Б. Мельников. Раздел электронного учебника для сопровождения лекции. Екатеринбург 2012

Линейные операторы. Ю. Б. Мельников. Раздел электронного учебника для сопровождения лекции. Екатеринбург 2012 Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и доп. e-mail:

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

V и λ R ) выполняются равенства

V и λ R ) выполняются равенства Линейные преобразования Определение линейного преобразования Пусть V линейное пространство Если указано правило по которому каждому вектору x из V ставится в соответствие единственный вектор y из V то

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы.

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. Основные результаты Лекции 4. 1) Любое подпространство V k F n 2 размерности k задается некоторой системой из n k

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 4 ВЕКТОРЫ. БАЗИС 1. Базис векторов Определение 1. Векторы a 1,a 2,...,a n называются упорядоченными, если указано какой вектор из этой системы является первым, какой

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

Линейные пространства

Линейные пространства Линейные пространства Лекция 1-2 по дисциплине «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» поток гр. ПМ(б), ПО(б) Лекция 1-2 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И АКСИОМЫ Определение 1. Множество R называется линейным или

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп.

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Алгебра, первый курс, третий модуль

Алгебра, первый курс, третий модуль Алгебра, первый курс, третий модуль Е. Ю. Смирнов Аннотация. Записки лекций по алгебре для первого курса факультета математики ВШЭ, весна 2013/14 учебного года 1. Первая лекция, 15января 2014 г. 1.1. Напоминание

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Лекция 14: Линейный оператор

Лекция 14: Линейный оператор Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к рассмотрению функций из векторного

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ЛЕКЦИЯ 10 ОБЪЕМ n-мерного ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Объем параллелепипеда. Ничто не мешает сейчас ввести общее понятие определителя,

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.2

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.2 Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.2 Аннотация Линейное подпространство, его свойства и примеры. Линейная оболочка, ее свойства

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейная алгебра Лекция 3 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейное (векторное) пространство Определение Множество элементов произвольной природы X называется линейным (или векторным) пространством если для любых

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

Пусть на проективной плоскости задан проективный репер. Поскольку точки лежат на одной прямой, то компланарны.

Пусть на проективной плоскости задан проективный репер. Поскольку точки лежат на одной прямой, то компланарны. Лекция 3 Тема: Уравнение прямой на проективной плоскости Принцип двойственности Теорема Дезарга Проективные отображения и проективные преобразования План лекции 1 Уравнение прямой на проективной плоскости

Подробнее

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Тема 2-15: Ортогональность

Тема 2-15: Ортогональность Тема 2-15: Ортогональность А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1. Линейные подпространства в F n 2.

ЛЕКЦИЯ 1. Линейные подпространства в F n 2. КУРС АЛГЕБРЫ-1 в НИУ ВШЭ (осень 2017) Валерий Алексеевич Гриценко ЛЕКЦИЯ 1. Линейные подпространства в F n 2. Основные результаты Лекции 1. Каждое подпространство F n 2 содержит 2k векторов, где 0 k n.

Подробнее

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления УДК 6-5 Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления К.А. Рыбаков В статье вводится понятие спектральных характеристик линейных

Подробнее

Тема 2-17: Сопряженное отображение

Тема 2-17: Сопряженное отображение Тема 2-17: Сопряженное отображение А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Тема 2-20: Аффинные пространства

Тема 2-20: Аффинные пространства Тема 2-20: Аффинные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 1.2

Линейная алгебра. Лекция 1.2 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы

Подробнее

a 1, a 2,..., a m, m 1, x 1 a 1 + x 2 a x m a m

a 1, a 2,..., a m, m 1, x 1 a 1 + x 2 a x m a m ГЛАВА 8. ПОДПРОСТРАНСТВА 1 1. СУММА И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОДПРОСТРАНСТВ Множество L векторов линейного пространства X называется подпространством, если из того, что x, y L вытекает, что αx + βy L при любых комплексных

Подробнее

Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие

Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие Белгород, 2017 ББК 22.144 З 63 Печатается по решению редакционно-издательского совета НИУ «БелГУ» от

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов ВВ Введение Представляю Вашему вниманию лекционный курс основ линейной алгебры, который впервые был прочитан в 2004 году на бизнес факультете НГТУ для специальности

Подробнее

10'. ОКТАВЫ, ЧИСЛА КЭЛИ И НЕДЕЗАРГОВЫ ПЛОСКОСТИ

10'. ОКТАВЫ, ЧИСЛА КЭЛИ И НЕДЕЗАРГОВЫ ПЛОСКОСТИ '. ОКТАВЫ ЧИСЛА КЭЛИ И НЕДЕЗАРГОВЫ ПЛОСКОСТИ Поскольку все дезарговы плоскости являются плоскостями параллельных переносов то плоскости Мултона недезарговы. Влечет ли свойство плоскости быть плоскостью

Подробнее

«Линейные отображения и операторы» 1. Убедиться, что отображение пространства R на себя, сопоставляющее строке, ) является линейным оператором.

«Линейные отображения и операторы» 1. Убедиться, что отображение пространства R на себя, сопоставляющее строке, ) является линейным оператором. «Линейные отображения и операторы» 1. Убедиться, что отображение пространства R на себя, сопоставляющее строке ( x 1, x2, x, x ) строку ( x1 2x2 x x, x1 x2 x, x1 2x2 x 2x,, x x 2x ) является линейным оператором.

Подробнее

23. Базис векторного пространства

23. Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Б.В. Заятуев

МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Б.В. Заятуев МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В пособии изложены необходимые теоретические сведения из линейной алгебры и многомерной геометрии базовые примеры с подробными решениями и задачи для самостоятельного

Подробнее

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Лекция 6: Система координат. Координаты точки Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Матрицы и определители (теория к задачам) 215 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 1º Линейным пространством называется множество элементов a, b,

Подробнее

или A (3) x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + +x 4 + x 5 = 0 x 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0

или A (3) x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + +x 4 + x 5 = 0 x 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 ЛЕКЦИЯ 6. Метод ГАУССА и ДВОЙСТВЕННЫЙ БАЗИС. В этой лекции мы опишем алгоритм решения систем линейных уравнений, позволяющий найти и двойственный базис для любого базиса пространства F n 2. В Лекциях 7

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора.

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора. Построение базисов в ядре и образе линейного оператора 1 Речь пойдёт о построении базисов в ядре и образе линейного оператора Будут рассмотрены два примера: первый пример с пояснениями; второй как образец

Подробнее

Домашнее Задание 5. Дмитрий Сорокин. 19 Апреля 2012

Домашнее Задание 5. Дмитрий Сорокин. 19 Апреля 2012 Домашнее Задание Дмитрий Сорокин 9 Апреля 22 Задача Рассмотрим подпространство L R 7, являющееся линейной оболочкой векторов v (3, 3,,, 2,, ) v 2 (3, 2, 3, 3, 2,, 2) v 3 ( 3,,, 6, 2, 2, ) v (9,, 3,, 6,,

Подробнее

ГЛАВА 1. Проективная геометрия

ГЛАВА 1. Проективная геометрия ГЛАВА 1. Проективная геометрия 1.1. Проективное пространство Пусть дано (n + 1)-мерное векторное пространство V ( 6.1, часть I) и непустое множество P произвольной природы. Говорят, что множество P наделено

Подробнее

2. Перечислить все линейные подпространства трехмерного векторного пространства.

2. Перечислить все линейные подпространства трехмерного векторного пространства. Тема Комплексные числа и многочлены cosϕ + i siϕ Упростить cosψ i siψ ( i 3 ( cosϕ + Вычислить i siϕ ( i( cosϕ i siϕ 3 3 Найти z, если z = ( i 4 Найти комплексные числа, сопряженные своим квадратам 5 Найти

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11А Гильбертовы пространства. 0. Необходимое условие «евклидовости». Простейшее свойство скалярного произведения

ЛЕКЦИЯ 11А Гильбертовы пространства. 0. Необходимое условие «евклидовости». Простейшее свойство скалярного произведения ЛЕКЦИЯ А Гильбертовы пространства. Необходимое условие «евклидовости». Простейшее свойство скалярного произведения Как следует из лекционного материала, необходимым (а также и достаточным см. Колмогорова,

Подробнее

Лекция 7. Теорема. Система линейных уравнений AX = B совместна тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной

Лекция 7. Теорема. Система линейных уравнений AX = B совместна тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной Лекция 7 1 ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА КАПЕЛЛИ Теорема Система линейных уравнений AX = B совместна тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной матрицы: Совместность системы rka =

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

Краевые задачи. ни разу, все функции комплекснозначные. , такое, что (2) верно. (0,0,0) задача имеет хоть одно решение, а именно ) ~ (

Краевые задачи. ни разу, все функции комплекснозначные. , такое, что (2) верно. (0,0,0) задача имеет хоть одно решение, а именно ) ~ ( Краевые задачи L ни разу все функции комплекснозначные Определение: - задачей называют задачу найти такое что верно задача имеет хоть одно решение а именно Предложение : - линейный оператор L и - линейные

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Изоморфизм линейных пространств, матрица перехода в другой базис Раздел электронного учебника для

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СЛАУ

ЛЕКЦИЯ 2 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СЛАУ ЛЕКЦИЯ 2 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СЛАУ Как правило, при решении большинства практических задач задача решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) встречается в виде некоторой вспомогательной подзадачи.

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

Лекция 9 AB + BC = AC.

Лекция 9 AB + BC = AC. Лекция 9 1 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО Для построения полноценной геометрии одних векторов недостаточно, необходимы еще точки Пространство, состоящее из точек, и называется аффинным (или точечным) пространством;

Подробнее