( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

Транскрипт

1 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x) K, а также, что задана функция g от двух векторов, если каждой упорядоченной паре векторов x, y L сопоставлено число g ( x, y) K Функции на бесконечномерных пространствах, элементы которых сами являются функциями, называются функционалами Определение Функция на линейном пространстве L называется линейной, если для любых векторов α K выполнены равенства ( x y) = ( x) + ( y) ( α x) = α ( x) +, x, y L и любого числа Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство Пример Функция, сопоставляющая каждому вектору из L число, линейная, тк если ( x) = ( y) =, то ( x + y) = ( x) + ( y) = + = и ( αx) = α ( x) = α = Пример Рассмотрим множество векторов на плоскости L Выберем на плоскости некоторый фиксированный вектор a r и каждому вектору x r L сопоставим скалярное произведение ( a r, x r ) Ясно, что из законов скалярного умножения (п 46), мы имеем линейную функцию

2 Пример Пусть L - пространство многочленов степени не выше Пусть каждому многочлену p ( t) из L ставится в соответствие число ( p) по формуле t ( p) = p() t dt, () t где t t t - заданный отрезок числовой оси Ясно, что вследствие известных свойств определённого интеграла условия и соблюдены и () есть линейная функция в пространстве L Пример 4 Рассмотрим пространство L функций определённых и непрерывных на отрезке [,] Пусть v ( t) - фиксированная функция из L, тогда каждой функции u ( t) из L можно сопоставить число ξ= ()() t u t v dt () Так как пространство L в данном случае бесконечномерное и элементы под интегралом сами являются функциями, мы имеем пример линейного функционала Рассмотрим -мерное линейное пространство L и выберем в нём базис e, e,, e Значение линейной функции на векторе x L может быть выражено через координаты этого вектора ξ, ξ,, ξ : ( x) = ( ξ e + ξ e + + ξ e ) = ξ ( e ) + ξ ( e ) + + ξ ( e ) Числа ( ) e, ( ),, ( ) e 8 e не зависят от вектора x, а определяются только функцией и базисом e, e,, e Этим самым доказано Предложение Каждая линейная функция на -мерном линейном пространстве в произвольном базисе e,,, e e задаётся ли-

3 нейным однородным многочленом ( x) = ϕ ξ + ϕ ξ + + ϕ ξ от координат вектора в этом базисе Коэффициенты многочлена ( ) () ϕ = e равны значениям функции на базисных векторах Значения функции на базисных векторах будем называть компонентами (коэффициентами) функции в базисе e, e,, e Нам известно, что матрица линейного отображения -мерного пространства в одномерное имеет размеры, тогда формулу () можно записать как ξ ( x) = ( ϕ ϕ ) = ϕξ (4) ξ Каждая строка ϕ по формуле (4) определяет линейную функцию, так как выполнены условия и, те ϕ ( ξ + η) = ϕ( ξ) + ϕ( η) и ( αξ) = αϕ( ξ) ϕ Используя формулу (), выражающую матрицу линейного отображения в новых базисах через его старую матрицу и матрицы перехода к новым базисам, учитывая, что базис в одномерном арифметическом пространстве фиксирован, получим ϕ = ϕs (5) Здесь ϕ - строка коэффициентов линейной функции в базисе e, а ϕ - строка её коэффициентов в базисе e = es В заключение рассмотрим геометрический смысл линейной функции на примере линейного пространства L - плоскости с базисом 8, j Как и в примере выберем в L некоторый фиксированный вектор r = x + yj = A + Bj и произвольному вектору L сопоставим скалярное произведение ( r) ( r) = (, r ) = Ax + By = α, или

4 Линейной функцией на плоскости является прямая линия или прямая линия на плоскости есть геометрическое место точек, в которых линейная функция ( r) = Ax + By = α 8 сохраняет постоянное значение По аналогии мы можем сразу сказать, что линейная функция в пространстве L есть ( r) = Ax + By + Cz = β - плоскость Если рассмотреть пространство L, то линейной функцией в нём будет так называемая гиперплоскость Гиперплоскость в ( r ) = a x + a x + + a x = ω L - это подпространство L L Под гиперплоскостью мы можем понимать и плоскость в пространстве и прямую на плоскости Гиперплоскости, соответствующие разным значениям данной линейной функции ( r), параллельны Гиперплоскость, на которой ( r) =, проходит через начало координат Сопряженное пространство В линейном пространстве L рассмотрим всевозможные линейные функции, понимая сумму функций и произведение функции на число в обычном (арифметическом) смысле Определение Суммой линейных функций и g будем называть функцию h, значение которой для любого вектора x L определяется равенством h ( x) ( x) + g( x) = Произведением линейной функции на число α называется функция g, значение которой на векторе x L определяется как g( x) = α ( x) Теорема Множество L ~ всех линейных функций, заданных в пространстве L, представляет собой линейное пространство Покажем, что сумма двух произвольных линейных функций и g является линейной функцией

5 Тогда Пусть h ( x) ( x) g( x) h = + ( x + y) = ( x + y) + g( x + y) = [ ( x) + ( y) ] + g( x) + g( y) = [ ( x) + g( x) ] + [ ( y) + g( y) ] = h( x) + h( y) Кроме того, h [ ]= ( αx) = ( αx) + g( αx) = α ( x) + αg( x) = α[ ( x) + g( x) ] = αh( x) Таким образом, линейность суммы доказана Покажем теперь, что если линейную функцию умножить на произвольное число λ, то получится линейная функция Пусть Тогда Далее h ( x) λ ( x) = ( x y) = λ ( x + y) = λ ( x) + λ ( y) = h( x) h( y) h + + h( x) = λ ( αx) = λα ( x) = αλ ( x) = αh( x) Мы показали, что λ ( x) - линейная функция α Итак, если ( x) g( x) L при любых α, β K 8 ~,, то любая их линейная комбинация ~ α x + βg x ( ) ( ) L Нулевым элементом ~ L является линейная функция θ( x) = для любого ~ x L Функция ( ) ( x) = ( x) функции ( x) является противоположной для Ясно, что для множества линейных функций L ~ выполнены все аксиомы ( o o 8 п 9) линейного пространства, что доказывает теорему Рассматриваемую теорему можно доказать и исходя из фор-

6 мулы (4), которая устанавливает взаимно однозначное соответствие между линейными функциями множества L ~ и множеством строк длины Сумме функций будет соответствовать сумма строк, а произведению функции на число - произведение её строки на это число и Так, если ( x) = ϕξ, а g ( x) = ψξ, то h( x) = ( x) + g( x) = ϕξ + ψξ = ( ϕ + ψ) ξ = χξ ( x) = α ( x) = αϕξ = χξ h Взаимно однозначное соответствие между линейными функциями множества L ~ и множеством строк длины говорит о том, что размерность линейного пространства L ~ равна размерности исходного линейного пространства L Определение 4 Линейное пространство L ~ всех линейных функций, определённых на L, называется сопряженным пространству L Замечание Согласно определению линейной функции в сопряженном пространстве допускается умножение на такие же числа, как и в исходном; иначе говоря, если L - действительное, то и L ~ - действительное, если L - комплексное, то и L ~ - комплексное Установим соответствие между базисами в сопряженных пространствах L и L ~ Выберем в пространстве L базис e и разложим по нему произвольный вектор x : x = e ξ Произвольный вектор из сопряженного пространства L ~ есть линейная функция ( x) : = ϕ ξ и однозначно определяется коэффициентами ϕ,,, ϕ ϕ 84

7 Рассмотрим теперь в L линейные функции =, определяемые равенствами где ξ - -я координата вектора x p ( x) ξ =, Это означает, что для базисных векторов p, j, ( ) = δ = (, j =,, ) p (,,) e 85 e j j, (5), = j или, иначе, строка коэффициентов функции единичной матрицы и функции p, p,, p p есть -я строка будут линейно независимыми Так как пространство ~ L -мерно, эти функции составят в нём базис, который мы можем обозначить как ~ e = p e ( ) ~ ~ ~ в ~ L, определяемый формулой Определение 5 Базис e, e,, e (5), называется сопряженным (биортогональным, взаимным) базису e,,, e e пространства L Строка коэффициентов ( ϕ ϕ ) строкам единичной матрицы с коэффициентами ϕ раскладывается по ϕ,,, ϕ ϕ Поэтому элемент ~ (далее мы будем так обозначать элементы принадлежащие сопряженному пространству L ~ ) пространства L ~ со строкой коэффициентов ( ϕ ϕ ) или ϕ имеет разложение ~ ~ e ~ = ϕ e ~ + ϕ + + ϕe (6)

8 ~ = ~ e ~ e ~ e ( ϕ ϕ ϕ ) = e ϕ ~ (7) ~ ~ Мы видим, что строка координат элемента L во взаимном базисе ~ e совпадает со строкой коэффициентов в исходном базисе e пространства L Если для пространства ~ L придерживаться соглашения писать компоненты вектора в столбец, а базисные векторы в строку, то формулу (7) надо написать так: ~ T T = ~ e ϕ (8) Пусть в L базисы e и e связаны соотношением e = es Найдём матрицу перехода между их взаимными базисами ~ e и ~ e Ранее мы установили, что если e = es, то в соответствии с (96) ξ = S ξ, тогда имея в виду, что p ( x) = ξ можем сразу записать ~ e = Se ~ Решая относительно ~ e запишем ~ e = S ~ e Транспонируя последнее равенство (чтобы записать коэффициенты в столбец), получим ( ) T ~ T ~ T 86 e = e S Таким образом мы видим, что матрицей перехода от базиса ~ e к базису e ~ в пространстве ~ L будет матрица ( ) T S Если вернуться для пространства L ~ к записи элементов базиса в столбец, связь базисов примет вид ~ e = Se ~ (9)

9 Пространство L ~ - такое же пространство, как и любое другое, и, следовательно, имеет сопряженное пространство L ~, элементы которого - линейные функции на L ~ В учебниках по линейной алгебре нетрудно найти доказательство того, что пространство L ~ совпадает с пространством L Примеры и задачи Какие условия выделяют линейные функции из остальных линейных отображений? Решение Линейное отображение : L Lm в общем случае отображает пространство размерности в пространство размерности m Линейная функция есть отображение : C C 87 : R или L Дана линейная функция на L и произвольное число α Всегда ли найдётся такой вектор x из Решение L, что ( x) = α? Если ( x) не нулевая функция, то такая линейная функция найдётся всегда (пример ), если ( x) нулевая функция, те при любом x ( x) = L надо положить α = Пусть ( ) T ξ ξ ξ - координатный столбец вектора x L в некотором базисе Будет ли линейной функция на L если: ( ) x = ξ + ξ ; ( x) = ξ ( ξ ) ; ( ) = ξ x + ; 4 ( x) = ξ + ξ ξ?

10 Решения ( x + y) = ( ξ + η ) + ( ξ + η ) = ( ξ + ξ ) + ( η + η ) = ( x) + ( y) Да, будет ( αx) = αξ + αξ = α( ξ + ξ ) = α ( x) ( x + y) = ( ξ + η ) ( ξ + η ) = ξ + η ( ξ ) ξ η ( η ) = = ξ ( ξ ) + η ( η ) ξ η = ( x) + ( y) ξ η Нет, не будет 88 ( ) ( ) ( ) ( ) x + y = ξ + η + = ξ + η + = x + η = y + ξ Нет, не будет 4 ( x + y) = ( ξ + η ) + ( ξ + η ) ( ξ + η )= = ( ξ + ξ ξ ) + ( η + η η ) = ( x) + ( y) ( αx) = αξ + α ξ αξ = α( ξ + ξ ξ ) = α ( x) Да, будет 4 Выписать строку коэффициентов в случае и 4 предыдущей задачи Решение Пусть в пространстве L задан базис e, e, e, тогда : ( ) ( ) ( ) ( ) x = ξ + ξ = e ξ + e ξ + e = ( ϕ ϕ ) ( ) ϕ ; ξ = ξ + ξ + ξ, 4 ( ) ( ) ( ) ( ) x = ξ + ξ ξ = e ξ + e ξ + e ξ = ξ + ξ ξ ( ϕ ϕ ) = ( ) ϕ 5 В некотором базисе линейного пространства L функции и g имеют координатные строки ( ) и ( ) соответственно Найти координатные строки функций:

11 + g ; ; g ; 4 g Решение 89 Так как в L задан базис мы имеем изоморфизм между координатными строками линейных функций в L и матрицами-строками длины и линейные операции с координатными строками сводятся к линейным операциям с матрицами + g = ( ) + ( ) = ( 4 4 4) ; 4 ( ) ( ) = ( ) ( 6 4 ) = ( 5 ) g = 6 Сопоставить каждому многочлену p ( t) степени меньше или равно его значение при t = Доказать, что этим определена линейная функция ( p) базисе, t, t,, t Решение и на ( ) P, и вычислить её координаты в Нам задан многочлен ( ) При t = p t = α + α t + + α t ( t) = α + α + + α = α p t= Покажем, что этим самым нам задана линейная функция Рассмотрим два многочлена p ( t) = α + α t + + и p ( t) α + α t + + t α Их сумма есть многочлен той же степени p = α t ( t) + p ( t) = ( α + α ) + ( α + α ) t + + ( α + ) t α Тогда ( p ) = p( t) = α, ( p ) ( ) = p t = α t= t= ( p + p ) = α + α = ( p ) + ( p ) = α ( βp) = βα = β ( p) = ω

12 9 Таким образом мы видим, что множество многочленов p ( t) степени меньше или равно при t = образует множество линейных функций сопоставляющих каждому многочлену его коэффициент с нулевым индексом Так как ( p) = α + α + + α, t= то координатная строка ( p) ( ) в базисе, t, t,, t будет 7 Сопоставить каждому многочлену p ( t) степени меньше или равно его значение при t = t Доказать, что этим определена линейная функция ( p) базисах, t, t,, t Решение = и на ( ) P, и вычислить её координаты в t t, t t,, t t, ( t ) α + α t + + p t α = ( p + p ) = ( α + α ) + ( α t + α t ) + + ( α t + α t )= ( α + α t + + α t ) + ( α + α t + + α t ) = ( p ) ( p ) p = - линейная функция Выбрав базис + ( p) = λα + λα t + + λα t = λ( α + α t + + α t ) = λ ( p) λ Мы показали, что ( ) t t, t, t,, t, получим ( p ) = α + α t + + α t = α ϕ + α ϕ + + α ϕ и координатная строка линейной функции ϕ в базисе будет = ( t ) ϕ t Если в качестве базиса взять t t, t t t t,,,, t, t,, t, то при t = t задача сведётся к задаче 6 и координатная строка линейной

13 функции ϕ будет = ( ) ϕ 8 Сопоставим каждому многочлену p ( t) степени меньше или = равно число ( p) p( ) ( ) P t dt 9 Показать, что этим самым определена линейная функция на и вычислить её координатную строку в базисе из многочленов, t, t, t Решение p 4 6 ( t ) α + α t + α t + α t = ( p p ) = ( p ( t ) + p ( t )) = + dt ( t ) dt + p ( t ) dt = ( p ) ( ) = p + p ( λp) = λp( t ) dt = λ p( t ) dt = λ ( p) Мы показали, что ( p) - линейная функция Вычислим координатную строку ( p) в базисе, t, t, t : 4 6 ( p) p( t ) dt = ( α +α t +α t +α t ) dt = = тогда ϕ = 5 7 = α + α + α + α, 5 7

14 9 Сопоставим каждому многочлену p ( t) степени меньше или рав- но число ( p) = ( + t ) p() t ( ) P dt 9 Показать, что этим самым определена линейная функция на и вычислить её координатную строку в базисе из многочленов, t, t, t Решение p ( t) α + α t + α t + α = t ( p + p ) = ( + t ) p () t + p () t ( ) dt = ( + t ) p () t dt + ( + t ) p () t dt = ( p) + ( p) = ( λ p) = ( + t ) λp() t dt = λ ( + t ) p() t dt = λ( p) Мы показали, что ( p) - линейная функция Вычислим координатную строку ( p) в базисе, t, t, t : ( p) = ( + t ) p() t dt = p() t dt + t p() t dt Вычислим каждый из интегралов по отдельности p () t dt ( α+αt +αt +αt ) dt = α+ α = Тогда t p = 4 5 () t dt ( αt +αt +αt +αt ) dt = α+ α 5

15 и 6 5 ( p) = α+ α + α+ α = α+ α Линейная функция ( x) ϕ= 5 8 в базисе e, e, e имеет вид ( x) =ξ + ξ + ξ Найти вид линейной функции ( x) e + 9 в базисе e, e, e, если = e e, e = e + e, e = e + e Решение Для решения поставленной задачи воспользуемся формулой (5) где ϕ = ( ) Тогда, а ϕ = ϕs S = или ( ) = x = ξ + 5ξ + 4ξ ϕ =ϕs, ( ) = ( 5 4) Многочлены, t, t,, t образуют базис в пространстве ( ) P Найти соответствующий биортогональный базис Решение Многочлены ( ) p t = α +α t + + α t есть элементы пространства ( ) P Фиксируя t = t мы будем получать линейные

16 функции из ( ) P ~ вида ( pt t ) = α + αt + + αt Рассмотрим функции Ясно, что δ δ k = ( ) ( p) d p = k k! dt k t= ( p ) =, δ ( p ) = = α t=, δ ( ) k p = α k α t= dp dt t= t= Таким образом, биортогональным к заданному базису t будет базис α, α,, α, t, t,, p 94 и тогда для любого ( ) p( t) P ( t) = δ ( p) t + δ ( p) t + + δ ( p) t = α + α t + + α t Базис α, α,, α можно представить в соответствии с (5) так: P ~ и для любого ( ) y P, ( e j ) = k P ( t ) = αk, = j, j, ( ) δ ( p) = α + α t + + t y y k k α = e