~ 1 ~ Кратные интегралы. Понятие двойного интеграла и его свойства. Задача нахождения объѐма тел.

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "~ 1 ~ Кратные интегралы. Понятие двойного интеграла и его свойства. Задача нахождения объѐма тел."

Транскрипт

1 ~ ~ Кратные интегралы Понятие двойного интеграла и его свойства. Задача нахождения объѐма тел. Дано: цилиндрическое тело: верхнее основание поверхность : нижнее основание плоскость Прхоу боковая поверхность параллельна оси. Найти: объем тела: Решение: Область разбивается на частей М прямыми параллельными осям. Каждая часть будет представлять собой прямоугольник со сторонами. Площадь каждой части S. Внутри каждой части выбирается произвольная точка M и вычисляется значение выбранной точки то есть. Объѐм каждой части тела приближѐнно заменяем на объѐм параллелепипеда с площадью основания и высотой. Замечание: Приближѐнное равенство объясняется тем что поверхность совпадает с верхним основанием параллелепипеда только в одной точке и площадь S на границе области больше площади которая относится к нижнему основанию тела. Объѐм всего тела S. Точное значение объѐма тела получим в пределе lm S Определение: Двойным интегралом называется предел интегральной суммы если этот предел не зависит от способа разбиения на участки и выбора точки внутри каждого участка.

2 ~ ~ Обозначение двойного интеграла: dd lm. войства двойного интеграла:. Константу можно выносить за знак двойного интеграла c dd c dd. Двойной интеграл от суммы двух функций равен сумме двойных интегралов от каждой из этих функций. dd dd dd. Если то двойной интеграл по всей области равен сумме двойных интегралов по каждой из этих частей. dd dd.

3 ~ ~ Понятие двукратного интеграла. Определение: Область называется правильной если любая прямая проведѐнная через любую внутреннюю точку области пересекает границу области только в -х точках. Дано: Правильная область образованная линиями: a b;. А В Область является областью определения Функции -х переменных: = отрезок интегрирования. а b Выберем a b cost. В этом случае функция -х превращается в функцию -го переменного от переменных которой можно вычислить определѐнный интеграл на отрезке границы это отрезка числа т.к функции при заданном значении аргумента принимают числовые значения. Полученную функцию Ф интегрировать на отрезке a b: Фd. как функцию одного аргумента х можно b a Подставляем в : dd двукратный интеграл. Определение: Интеграл называется внутренним интеграл внешним. Порядок вычисления двукратного интеграла.. Вычисляется внутренний интеграл при этом переменная считается константой.. От полученного выражения вычисляется внешний интеграл. Пример: 6 dd d d d d d d. Ф b a

4 ~ ~ войства двукратного интеграла. свойство: Двукратный интеграл по всей области равен сумме двукратных интегралов по областям которые получаются если разбить область прямой параллельной одной из координатных осей т.е.:. Доказательство: случай: Область разбивается на части прямой параллельной оси. в a dd c : a c ; : c в ; В двукратном интеграле отрезок a в разобьѐм на две части a c и c в и a c в внешний интеграл представляем в виде суммы двух интегралов. c dd dd a ч.т.д. случай: Область разбивается на части прямой параллельной оси. : c e; h a c ACEB : h c e e в A В : a в ; Отрезок разобьѐм на две части и и внутренний a c e в интеграл в двукратном интеграле разобьѐм на сумму двух интегралов. в в dd dd a a в E h Разобьѐм отрезок a в на три части a c c e e в и внешний интеграл на сумму трѐх интегралов. c e в c dd dd dd a c h e Замечание: Первый и третий интегралы равны нулю т.к. у внутреннего интеграла верхние и нижние пределы равны.

5 ~ 5 ~ свойство: Если для функции в области площадью S m M соответственно наименьшее и наибольшее значения этой функции то двукратный интеграл лежит в следующих пределах ms MS. Доказательство: По свойству определѐнного интеграла внутренний интеграл для двукратного интеграла лежит в следующих пределах m Ф M длина отрезка интегрирования длина отрезка интегрирования Подставляем вместо внутреннего интеграла неравенство в интеграл. A B в Е a в M d M d a a в в M d d M SACB SAEB M S a a свойство: Если функция является непрерывной функцией в области площадью S то M двукратный интеграл вычисляется по формуле S. Доказательство: Если функция непрерывна в области то она обязательно имеет в этой области наименьшее и наибольшее значение: m M Разделим все части неравенства на площадь S. в m M 5 S Левая и правая части неравенства 5 равны значит всегда можно подобрать такие при которых будут совпадать и средние части этих неравенств: S S

6 ~ 6 ~ Вычисление двойного интеграла. Теорема: Двойной интеграл от функции по правильной области равен двукратному интегралу вычисленному от той же функции по той же области. Доказательство: Разобьѐм область прямыми параллельными координатным осям на частей площадью S. Для каждой части вычислим двукратный интеграл используя -е свойство: Двукратный интеграл по всей области вычислим используя -е свойство:. Вычислим пределы левой и правой частей:. Предел правой части по определению является двойным интегралом: Пример: dd. : ; S S lm ; lm lm b a dd dd d d dd

7 ~ 7 ~ Замена переменных в двойном интеграле вычисление в полярной системе координат. Замена переменных осуществляется по формуле Остроградского dd dudv где это та же по форме область но заданная линиями в новой системе координат u v функции связи старой и новой системы координат u v u v Якобиан: u v u v Определение: Якобианом называется определитель составленный из частных производных первого порядка. Замечание: Порядок Якобиана определяется числом аргументом функции. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат. r cos r s u v r r s cos r s r cos r r cos s dd r cos r s rddr Замечание: Полярная система координат применяется если область - круг или часть его.

8 ~ 8 ~ Пример: : r r e dd e rddr re drd r r cos p r s Замена: t r ; dt rdr dr p dt r t t t dt t t e. re d e dtd e d e d r e e н в Обобщенная полярная система координат Замечание: Обобщенная полярная система координат применяется если область - эллипс или часть его. ar cos br s u v r ar s a cos abr s abr cos abr br cos bs dd ab ar cos br s rddr

9 ~ 9 ~ Вычисление объѐма тела через двойной интеграл. случай: Цилиндрическое тело. : dd случай: Тело образованное пересечением -х поверхностей. : : ; dd dd. dd

10 ~ ~ Пример: Найти объѐм:. : Вид сбоку: Решение:. 6 d d d dd dd

11 ~ ~ Вычисление площади плоской фигуры через двойной интеграл. Рассмотрим прямой цилиндр единичной высоты : H SH S S dd S dd Пример: : ; м S dd dd d d

12 ~ ~ Понятие тройного интеграла и его свойства. Задача на нахождение массы тела. p Дано: тело в каждой точке которого задана объѐмная плотность кг материала м Требуется определить массу: М. Решение: Область разобьѐм на - частей объѐмом плоскостями параллельными координатным плоскостям. Заменим объѐм каждой части на объѐм параллелепипеда со сторонами : Внутри каждой части выбирается произвольная точка P вычислим значение функции плотности в этой точке и предположим что плотность во всех точках этой части одинакова и равна плотности выбранной точке. Масса каждой части: m. Масса всего тела: M. Точное значение массы получим в педеле: M lm Определение: Тройным интегралом называется предел интегральной суммы если этот предел не зависит от способа разбиения области на части и выбора точки внутри каждой части.

13 ~ ~ Обозначение тройного интеграла: ddd lm Приложения тройного интеграла. Масса тела: M ddd. Объем тела: ddd войства тройного интеграла:. c ddd c ddd. ddd ddd ddd =. Если то ddd + ddd. ddd

14 ~ ~ Трѐхкратный интеграл и его свойства вычисление тройного интеграла. Определение: Область называется правильной если любая прямая проведѐнная через любую внутреннюю точку в области пересекает границу области только в двух точках и область так же является правильной областью. b х х a : : Дано: правильная область Пр o Выберем тогда функция трѐх переменных станет функцией одного переменного от которой можно вычислить определѐнный интеграл на отрезке: Ф ddd От функции двух переменных можно вычислить двойной интеграл: Ф dd От двойного интеграла можно вычислить двукратный. в Окончательно получим: ddd a войства трѐхкратного интеграла. трѐхкратный интеграл.. Если область разбить на части плоскостью параллельной какой-то координатной плоскости то. Если функция в области объѐмом имеет наименьшее m и наибольшее M то m M. Если функция в области объѐмом является непрерывной то

15 ~ 5 ~ Вычисление тройного интеграла. Теорема: Тройной интеграл от непрерывной по правильной области равен трѐхкратному интегралу вычисленному от той же функции по той же области. Доказательство: Разобьѐм область на частей плоскостями параллельными координатным. Для каждой части вычислим трѐхкратный интеграл используя третье свойство. Трѐхкратный интеграл по всей области вычисляем используя первое свойство: Вычислим предел левой и правой частей: lm lm lm тройной интеграл в a ddd ddd.

16 ~ 6 ~ Пример: Найти массу тела :. Если плотность пропорциональна квадрату расстояния от любой точки тела до оси. r r ddd ddd M B dd M dd A dd d d 5 5 d d 6 6.

17 ~ 7 ~ Замена переменных в тройном интеграле. Осуществляется по формулам Остроградского: duddw ddd где - это та же по форме область но заданная в новой системе координат. W U W U W U W U функции связи между старой и новой системы координат. Якобиан: W U W U W U

18 ~ 8 ~ Вычисление тройного интеграла в цилиндрической системе координат. х. P r cos r s r полярный радиус U r W r s cos r s cos r r cos s M х r cos s r s r cos r ddd r cos r s rddrd Замечание: Цилиндрическая система координат применяется если проекция области на плоскость o круг или часть его. Пример: Найти объѐм тела : : ddd rd drd rddrd r drd r r r drd r r 8 d 6 8

19 ~ 9 ~ Вычисление тройного интеграла в сферической системе координат. r s OM rcos r cos cos rs cos U r W P r r cos х M полярная ось rs cos cos cos rcos s rs cos rcos s r cos cos s cos r s s s rcos cos rs s s r cos r s cos cos cos s cos s r cos sr cos r s rcosrcos cos r cos cos s cos cos s cos cos s r cos s cos r cos ddd r cos cos rs cos rs r cos ddrd Замечание: ферическая система координат применяется если область - шар или часть его.

20 ~ ~ Пример: Найти массу /8 шара радиуса R если плотность пропорциональна расстоянию от любой точки тела до начала координат. Плотность: r r r cos cos r cos cos s s r P. r d s cos r s r R R r R R R M ddd r cos d drd r s drd d 8


ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 1. Задача, приводящая к двойному интегралу.

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 1. Задача, приводящая к двойному интегралу. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Задача, приводящая к двойному интегралу. Найти цилиндрического тела, основанием которого является часть координатной плоскости O, которую будем называть областью. Сверху тело ограниченно

Подробнее

Математический анализ Интегрирование ФНП. Тройной интеграл. Лектор Янущик О.В г.

Математический анализ Интегрирование ФНП. Тройной интеграл. Лектор Янущик О.В г. Раздел: Математический анализ Интегрирование ФНП Тема: Тройной интеграл Лектор Янущик О.В. 01 г. 8. Тройной интеграл 1. Задача приводящая к понятию тройного интеграла Пусть замкнутая ограниченная область

Подробнее

Практическое занятие 6 Поверхностные интегралы. 6.1 Определение, свойства, вычисление и приложения поверхностного. функция f ; ;

Практическое занятие 6 Поверхностные интегралы. 6.1 Определение, свойства, вычисление и приложения поверхностного. функция f ; ; Практическое занятие 6 Поверхностные интегралы 6 Определение свойства вычисление и приложения поверхностного интеграла -го рода 6 Определение свойства и вычисление поверхностного интеграла -го рода 6 Определение

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОГЛАВЛЕНИЕ Вычисление двойных и тройных

Подробнее

Тема: Тройной интеграл

Тема: Тройной интеграл Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Тройной интеграл Лектор Рожкова С.В. 013 г. 8. Тройной интеграл 1. Задача приводящая к понятию тройного интеграла Пусть V замкнутая ограниченная область

Подробнее

Определение двойного интеграла и его свойства. Как задача вычисления площади криволинейной трапеции. так аналогичная задача вычисления объема тела

Определение двойного интеграла и его свойства. Как задача вычисления площади криволинейной трапеции. так аналогичная задача вычисления объема тела Двойной интеграл Определение двойного интеграла и его свойства Как задача вычисления площади криволинейной трапеции приводит к определенному интегралу от функции одной переменной, так аналогичная задача

Подробнее

1. Кратные интегралы

1. Кратные интегралы Пособие предназначено для студентов заочников КГТУ второго года обучения. В пособии в краткой и доступной форме рассмотрены темы: Кратные интегралы, Криволинейные интегралы, Ряды, Теория вероятностей.

Подробнее

Практическое занятие 1 Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Обозначим max l

Практическое занятие 1 Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Обозначим max l Практическое занятие Криволинейные интегралы -го и -го рода Определение свойства вычисление и приложения криволинейного интеграла -го рода Определение свойства вычисление и приложения криволинейного интеграла

Подробнее

11.1 Двойной интеграл и его свойства

11.1 Двойной интеграл и его свойства Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Двойной интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц.дуниной Е.Б.

Подробнее

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =.

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =. ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) Определение векторного поля Определение векторной линии Задача о работе силового поля Полем называется множество, элементы которого удовлетворяют

Подробнее

Интегральное исчисление функции нескольких переменных

Интегральное исчисление функции нескольких переменных Интегральное исчисление функции нескольких переменных интегралов двойного тройного криволинейного по длине дуги (первого рода) поверхностного по площади поверхности (первого рода) Пусть функция f() определена

Подробнее

3. Кратные и криволинейные интегралы

3. Кратные и криволинейные интегралы 3 Кратные и криволинейные интегралы 3 Повторный интеграл По аналогии с нахождением частных производных функции нескольких переменных можно интегрировать по одному аргументу, поступая с остальными как с

Подробнее

Вычисление и приложения тройного интеграла

Вычисление и приложения тройного интеграла Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски Тема КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Лекция КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА Задачи приводящие к понятию криволинейного интеграла первого рода Определение и свойства криволинейного интеграла первого рода Вычисление

Подробнее

А.П. Потапов. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Оглавление

А.П. Потапов. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Оглавление АП Потапов Интегральное исчисление функций нескольких переменных Оглавление Глава Кратные интегралы Двойной интеграл Вычисление объема цилиндрического тела Понятие двойного интеграла 3 Условия интегрируемости

Подробнее

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1 Тройной интеграл Волченко Ю.М. Содержание лекции Понятие тройного интеграла. Условия его существования. Теорема о среднем. Вычисление тройного интеграла в декартовых и криволинейных координатах. Тройной

Подробнее

y x dxdy, Записывая интеграл в виде повторного, вычисляем его xe xy dxdy,

y x dxdy, Записывая интеграл в виде повторного, вычисляем его xe xy dxdy, ПРИМЕР.4.. Вычислить интеграл где D {,: e,4 6}. D dd, Записывая интеграл в виде повторного, вычисляем его e 6 dd e d d 6 d D Вычислить интеграл 4 D 4 e e dd, где D {,:, }. Если записать интеграл в виде

Подробнее

M, и, построив прямой цилиндрический столбик с основанием

M, и, построив прямой цилиндрический столбик с основанием Кратные интегралы Задачи приводящие к понятию кратного интеграла В теории определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции было введено понятие интегральной суммы пределом которой

Подробнее

Интегральное исчисление функции нескольких переменных

Интегральное исчисление функции нескольких переменных Интегральное исчисление функции нескольких переменных Определение интегралов двойного, тройного, криволинейного по длине дуги (первого рода), поверхностного по площади поверхности (первого рода) Пусть

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения 1 Математический анализ Кратные интегралы Краткий конспект лекций Составитель В.А. Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры

Подробнее

Тема: Двойной интеграл (определение, свойства, вычисление)

Тема: Двойной интеграл (определение, свойства, вычисление) Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Двойной интеграл определение свойства вычисление Лектор Рожкова С.В. 03 г. Глава II. Кратные криволинейные и поверхностные интегралы 7. Двойной интеграл.

Подробнее

Составители: ст. преп. Н.Е. Трубникова, ст. преп. А.Я. Мисурагина, ст. преп. Т.В. Никонова, ст. преп. Н.С. Статковский

Составители: ст. преп. Н.Е. Трубникова, ст. преп. А.Я. Мисурагина, ст. преп. Т.В. Никонова, ст. преп. Н.С. Статковский Учреждение образования «Витебский государственный технологический университет» Составители: ст преп НЕ Трубникова, ст преп АЯ Мисурагина, ст преп ТВ Никонова, ст преп НС Статковский ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Кратные

Подробнее

Тема: Криволинейный интеграл I рода

Тема: Криволинейный интеграл I рода Раздел: Математический анализ Интегрирование ФНП Тема: Криволинейный интеграл I рода Лектор Янущик О.В. 01. 9. Криволинейный интеграл I рода по длине дуги 1. Задача приводящая к криволинейному интегралу

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА (СПЕЦГЛАВЫ). МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

x ydy x y dx, где дуга линии 2 x y dxdy 2 r drd B ; y dx xydy, где дуга эллипса x 2cost y t, x t, t ; y zdxdy xzdydz x ydxdz 2cos t, 2sin t,

x ydy x y dx, где дуга линии 2 x y dxdy 2 r drd B ; y dx xydy, где дуга эллипса x 2cost y t, x t, t ; y zdxdy xzdydz x ydxdz 2cos t, 2sin t, cos, sin,,, J dd dd d d 5 Вычислить zdd zddz ddz, где внешняя сторона поверхности z, отсекаемая плоскостью z Р е ш е н и е Поверхность представляет собой параболоид, заданный явно уравнением z Поэтому

Подробнее

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа.

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа. ~ ~ ФКП Производная функции комплексного переменного ФКП условия Коши - Римана понятие регулярности ФКП Изображение и вид комплексного числа Вид ФКП: где действительная функция двух переменных действительная

Подробнее

МАТЕМАТИКА ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Методические указания к решению задач для студентов дневного и заочного отделений ФАВТ, ФМА и ФФиТРМ

МАТЕМАТИКА ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Методические указания к решению задач для студентов дневного и заочного отделений ФАВТ, ФМА и ФФиТРМ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

.3 Вычисление длины кривой. Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат. Пусть функция y = f( x)

.3 Вычисление длины кривой. Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат. Пусть функция y = f( x) 6 3 Вычисление длины кривой Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат Пусть функция = f определена и непрерывна на отрезке [ ; ] и кривая l график этой функции Требуется найти длину дуги

Подробнее

Тема: Криволинейный интеграл II рода

Тема: Криволинейный интеграл II рода Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Криволинейный интеграл II рода Лектор Пахомова Е.Г. 2013 г. 10 10. Криволинейный Криволинейный интеграл интеграл II II рода рода по по координатам

Подробнее

1. Определения и формулы для решения задач. Пусть D проекция G на плоскость Oхy, а функции

1. Определения и формулы для решения задач. Пусть D проекция G на плоскость Oхy, а функции Выражение массы тела через тройной интеграл в цилиндрических координатах Определения и формулы для решения задач Определение Цилиндрическим брусом ориентированным по оси O рис Называется тело G ограниченное

Подробнее

Министерство транспорта Российской Федерации. Федеральное государственное бюджетное. образовательное учреждение. высшего образования

Министерство транспорта Российской Федерации. Федеральное государственное бюджетное. образовательное учреждение. высшего образования Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Российский университет транспорта (МИИТ)» ИТТСУ Кафедра «Высшая и вычислительная

Подробнее

Тема: Поверхностный интеграл II рода

Тема: Поверхностный интеграл II рода Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Поверхностный интеграл II рода Лектор Пахомова Е.Г. 2013 г. 12. Поверхностный интеграл II рода попо координатам 1. Односторонние и двусторонние поверхности

Подробнее

Тема: Замена переменной, интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла

Тема: Замена переменной, интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Замена переменной, интегрирование по частям в определенном интеграле Применение определенного интеграла Лектор Рожкова СВ 03 г Замена переменной

Подробнее

Рис. 36. f(x, y) dx dy = dx f(x, y) dy

Рис. 36. f(x, y) dx dy = dx f(x, y) dy Двойные интегралы Примеры решения задач 1. Свести двойной интеграл f(x, y) dx dy к повторному двумя способами (по формуле (1) и по формуле (2)), если G область, ограниченная кривыми x = 1, y = x 2, y =

Подробнее

Глава 5. Тройной интеграл.

Глава 5. Тройной интеграл. Глава 5. Тройной интеграл. 5.1. Определение тройного интеграла. После введения в предыдущей главе понятия двойного интеграла естественно было бы провести его дальнейшее обобщение на трехмерное пространство

Подробнее

,. Тогда. , где ( ) Q - часть плоскости x + y + z =1, расположенная

,. Тогда. , где ( ) Q - часть плоскости x + y + z =1, расположенная 3 область (D ) В нашем случае n - вектор нормали к плоскости XOY те n k { } = ϕ, ϕ, Тогда = =,,, а n { } cos γ =, + + ( ϕ) ( ϕ) ( ϕ) ( ϕ) dq = + + dd Замечание Если поверхность ( Q) правильная в направлении

Подробнее

Кратные и криволинейные интегралы. Методические указания к решению задач для студентов всех форм обучения и специальностей

Кратные и криволинейные интегралы. Методические указания к решению задач для студентов всех форм обучения и специальностей Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Кратные и криволинейные интегралы.

Подробнее

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

6.12. Двойной интеграл

6.12. Двойной интеграл 6.. Двойной интеграл Пусть функция z f (, ) определена в некоторой ограниченной замкнутой области плоскости XOY. Разобьем область произвольным образом на n областей, пересекающихся только по границе, и

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского ОГНикитина ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского

Подробнее

Общая постановка задачи о замене переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Пусть функции ( ) ( ) ( )

Общая постановка задачи о замене переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Пусть функции ( ) ( ) ( ) 6 9 Замена переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Общий случай замены переменной в двойном и тройном интегралах. Якобиан. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Механико-математический факультет Кафедра теории функций

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Механико-математический факультет Кафедра теории функций Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Механико-математический факультет Кафедра теории функций Михаил Александрович Солдатов Светлана Серафимовна Круглова Евгений Валентинович

Подробнее

Вычисление и приложения двойного интеграла

Вычисление и приложения двойного интеграла Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

I(G i, M i ) = f(ξ i, η i ) Δs i, Диаметром ограниченного множества G точек назовем точную верхнюю грань

I(G i, M i ) = f(ξ i, η i ) Δs i, Диаметром ограниченного множества G точек назовем точную верхнюю грань Двойные интегралы Основные понятия и теоремы 1. Определение двойного интеграла. Пусть G квадрируемая (и, следовательно, ограниченная) область (открытая или замкнутая) на плоскости и пусть в области G определена

Подробнее

Глава 11 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Площадь плоской фигуры

Глава 11 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Площадь плоской фигуры Глава 11 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 11.1. Площадь плоской фигуры Под плоской фигурой будем понимать любое множество точек плоскости. Из курса школьной геометрии известно понятие площади многоугольника. При выбранной

Подробнее

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра инженерной математики

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра инженерной математики Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра инженерной математики Н.А. Кондратьева О.Г. Вишневская Н.К. Прихач МАТЕМАТИКА Методическое пособие

Подробнее

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

19. Тройной интеграл

19. Тройной интеграл 19. Тройной интеграл 19.1. Пусть f непрерывная функция трех переменных (x, y, z), заданная на ограниченной замкнутой области R 3. Тройной интеграл создается аналогично двойному: берут разбиение области

Подробнее

Тема6. «Определенный интеграл»

Тема6. «Определенный интеграл» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема6. «Определенный интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б.Дуниной

Подробнее

18. Двойной интеграл

18. Двойной интеграл 8. Двойной интеграл 8.. Мы будем заниматься приобретением навыков по нахождению двойных, а затем и тройных интегралов. Нас не будет интересовать общность теоретической поддержки, за этим можно обратиться

Подробнее

Тема 12. Определенный интеграл. Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

Тема 12. Определенный интеграл. Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Тема Определенный интеграл Определенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Задача о вычислении площади криволинейной трапеции В системе координат Оху дана криволинейная трапеция,

Подробнее

Кратные интегралы. Содержание. 1 Понятие кратного интеграла 1

Кратные интегралы. Содержание. 1 Понятие кратного интеграла 1 Содержание Кратные интегралы Понятие кратного интеграла Двойные интегралы. Области на плоскости................. Повторный интеграл................ 3.3 Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.......................

Подробнее

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2007

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2007 - - Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 7 к интегралам в пространствах меньшей размерности. ТЕМА. Сведение интеграла в R Потепун А.В. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ интегралы по мере Лебега

Подробнее

Решение. Пользуясь уравнением поверхности в векторной форме r = i u + j v + k (u 3 + v 2 ), получим. i j k

Решение. Пользуясь уравнением поверхности в векторной форме r = i u + j v + k (u 3 + v 2 ), получим. i j k Площадь поверхности Примеры решения задач 1. Составить уравнение касательной плоскости и вычислить направляющие косинусы нормали к поверхности x = u, y = u, z = u 3 + v 2 в точке М 0 (1, 1, 2). Решение.

Подробнее

Êðèâîëèíåéíûé è ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàëû

Êðèâîëèíåéíûé è ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàëû Êðèâîëèíåéíûé è ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàëû Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Понятие криволинейного интеграла. Условия его существования, вычисление и применение. Понятие поверхностного интеграла. Условия его

Подробнее

5. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА (ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ) 1. Задача, приводящая к понятию поверхностного интеграла I рода

5. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА (ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ) 1. Задача, приводящая к понятию поверхностного интеграла I рода 5 ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ Поверхностный интеграл I рода представляет собой такое же обобщение двойного интеграла каким криволинейный интеграл I рода является по отношению к

Подробнее

Пример Записать выражения для статических моментов плоской материальной области (D). На основании формул (3) с учетом фигуры ( Φ ) имеем:

Пример Записать выражения для статических моментов плоской материальной области (D). На основании формул (3) с учетом фигуры ( Φ ) имеем: 3 Пример Записать выражения для статических моментов плоской материальной области (D) На основании формул (3) с учетом фигуры ( Φ ) имеем: ρ, dd, ρ, dd Исходя из механического смысла статического момента,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N44. Вычисление кратных интегралов.

ЛЕКЦИЯ N44. Вычисление кратных интегралов. ЛЕКЦИЯ N. Вычисление кратных интегралов..вычисление двойного интеграла в прямоугольных декартовых координатах.....вычисление двойного интеграла (произвольная область).....тройной интеграл.....вычисление

Подробнее

Лекция 2. Поверхностные интегралы первого рода

Лекция 2. Поверхностные интегралы первого рода С А Лавренченко wwwlawrecekoru Лекция Поверхностные интегралы первого рода Поверхностные интегралы -го рода представляют собой такое же естественное обобщение двойных интегралов, каким криволинейные интеграла

Подробнее

Криволинейный и поверхностный интегралы

Криволинейный и поверхностный интегралы Криволинейный и поверхностный интегралы Волченко Ю.М. Содержание лекции Понятие криволинейного интеграла. Условия его существования, вычисление и применение. Понятие поверхностного интеграла. Условия его

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Определённый интеграл Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики Томского политехнического университета. Национальный

Подробнее

Тройные интегралы. m m V AKF3.RU. d T maxd Q. i i i. Определение тройного интеграла. Рис.3

Тройные интегралы. m m V AKF3.RU. d T maxd Q. i i i. Определение тройного интеграла. Рис.3 Тройные интегралы. Задача о массе тела с плотностью (,, ) - тело. т. М m ( M ) (,, ) lim 0 () Тогда разбиение Т-тела в на с объемом дает,, mi M i i i i i i () n n i i, i, i i (3) m m i i 0 d T mad m i

Подробнее

Определенный интеграл Несобственные интегралы

Определенный интеграл Несобственные интегралы Математический анализ Тема: Определенный интеграл Несобственные интегралы Лектор Пахомова Е.Г. 2017 г. ГЛАВА II. Определенный интеграл и его приложения 1. Определенный интеграл и его свойства 1. Задачи,

Подробнее

Лекция 4. Вычисление площадей и объемов

Лекция 4. Вычисление площадей и объемов С.А. Лавренченко www.lweceko.u Лекция 4 Вычисление площадей и объемов На этой лекции мы изучим некоторые геометрические применения определенного интеграла а именно для вычисления площадей плоских фигур

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 46. Приложения кратных интегралов.

ЛЕКЦИЯ N 46. Приложения кратных интегралов. ЛЕКЦИЯ N 6 Приложения кратных интегралов Задача о вычислении массы тонкой пластинки Статистические моменты; центр тяжести плоской фигуры 3Момент инерции 3 Площадь поверхности 3 5Применение тройного интеграла

Подробнее

~ 1 ~ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. называется функцией двух переменных xy,, если каждой паре значений x, Область определения. D - замкнутая область

~ 1 ~ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. называется функцией двух переменных xy,, если каждой паре значений x, Область определения. D - замкнутая область ~ 1 ~ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 3 Функция двух переменных, область определения, способы задания и геометрический смысл. Определение: z f, называется функцией двух переменных,, если каждой паре значений,

Подробнее

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЯ КРАТНЫХ И КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

ПРИЛОЖЕНИЯ КРАТНЫХ И КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая и прикладная математика» П И Гниломедов ПРИЛОЖЕНИЯ КРАТНЫХ И КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Подробнее

22. Двойной интеграл

22. Двойной интеграл . Двойной интеграл.1. Мы будем заниматься приобретением навыков по нахождению двойных, а затем и тройных интегралов. Нас не будет интересовать общность теоретической поддержки, за этим можно обратиться

Подробнее

ρ вых ρ вх ρ = ρ 1 (ϕ) α ρ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. Приложения двойных интегралов

ρ вых ρ вх ρ = ρ 1 (ϕ) α ρ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. Приложения двойных интегралов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах Приложения двойных интегралов Рассмотрим частный случай замены переменных часто используемый при вычислении двойного интеграла

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

Выполнить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах:

Выполнить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах: http://kvromir.com/rutuov_sborik_9.html Контрольная работа 9. Вариант. Номера 9 Выполнить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры ограниченной кривой заданной уравнением в декартовых

Подробнее

кривой АВ и обозначим их через выберем произвольно точку М . Составим сумму вида: n =

кривой АВ и обозначим их через выберем произвольно точку М . Составим сумму вида: n = Глава.Криволинейные интегралы 1. Криволинейные интегралы первого рода по длине дуги п. 1. Понятие криволинейного интеграла первого рода Пусть в плоскости хоу задана спрямляемая кривая L без точек самопересечения

Подробнее

I. Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить определенный интеграл: 1. (2 + 2 ) 2.

I. Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить определенный интеграл: 1. (2 + 2 ) 2. Занятия 1-2. Определенный интеграл и его приложения I. Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить определенный интеграл: 1. (2 + 2 ) 2. / 3. ( 4. ) 5. 6. 7. 8. Ефимов-Поспелов 7.324-7.352, 7.380-7.385,

Подробнее

Лекция 8. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.

Лекция 8. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат. Лекция 8. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат. правлении оси Оу. Аналогично Рассмотрим область D, ограниченную линиями

Подробнее

поверхности (Q) является прямоугольник 1 = +

поверхности (Q) является прямоугольник 1 = + 7 ) Проекцией ( D поверхности (Q) является прямоугольник, ( + z ) dq = cosγ + ( ) dd = d ( ) d + = ( D ) = + = d d = = Пример Вычислить ( n, ) r r dq, если (Q) - замкнутая поверхность, лежащая в первом

Подробнее

1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур.

1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур. . ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.. Вычисление площадей плоских фигур. Прямоугольные координаты Как уже было установлено, площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс

Подробнее

P i. ρ i. - средний радиус между ρ i и ρ i + ρ i. Пусть дана функция F(P), непрерывная в области D. Тогда интегральная сумма I n = n

P i. ρ i. - средний радиус между ρ i и ρ i + ρ i. Пусть дана функция F(P), непрерывная в области D. Тогда интегральная сумма I n = n ЛЕКЦИЯ N 45 Кратные интегралы в полярных, цилиндрических и сферических координатах Приложения кратных интегралов Двойной интеграл в полярных координатах Тройной интеграл в цилиндрических и сферических

Подробнее

Глава 12 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. 1 Интегралы по фигуре от скалярной функции

Глава 12 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. 1 Интегралы по фигуре от скалярной функции 272 Глава 2 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы Интегралы по фигуре от скалярной функции Определение Множество точек называется связным, если две любые точки можно соединить линией, все точки

Подробнее

Двойные и тройные интегралы

Двойные и тройные интегралы Кафедра медицинской и биологической физики Дифференциальное и интегральное исчисление Тема лекции: Двойные и тройные интегралы Лекция 1 Для студентов 1 курса обучающихся по специальности «Медицинская кибернетика»

Подробнее

1.3. Занятие Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах

1.3. Занятие Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах 1.3. Занятие 3 1.3.1. Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах Пусть пространственная область, D ее проекция на плоскость Oxy. Область называется -правильной, если любая вертикальная прямая

Подробнее

Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4)

Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4) Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4) Вычисление площадей плоских фигур Площадь в полярных координатах Вычисление объемов тел Вычисление объема тела по известным

Подробнее

и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- лельную оси OZ т.е. ( )

и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- лельную оси OZ т.е. ( ) 8 и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- поверхностью z = f(, лельную оси OZ т.е. f(, s= v ц ( D) 4 Вычисление интеграла по фигуре от скалярной функции в декартовой системе координат Вычисление

Подробнее

Тема: Применение определенного интеграла.

Тема: Применение определенного интеграла. Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Применение определенного интеграла. Приближенное вычисление определенного интеграла Лектор Пахомова Е.Г. 013 г. II Плоская кривая, заданная параметрическими

Подробнее

. Если промежуток времени ti

. Если промежуток времени ti Определенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла ) Пусть тело движется с переменной скоростью v( t ) Найти путь, пройденный телом за промежуток времени [ ; ] Разобьем отрезок

Подробнее

Содержание Введение 1. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля 2. Дифференциальные уравнения 3.

Содержание Введение 1. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля 2. Дифференциальные уравнения 3. Содержание Введение Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы Элементы теории поля Задачи для аудиторных занятий Краткие сведения из теории Образцы решения задач Задачи для самоподготовки Тестовая

Подробнее

( ) ( t) ( ) 2. ( x) ( ) ( ) ( ( )) Глава 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2.1. Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные

( ) ( t) ( ) 2. ( x) ( ) ( ) ( ( )) Глава 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2.1. Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные Глава КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные интегралы по длине) Вычисление криволинейных интегралов первого рода Вычисление криволинейного интеграла

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по теме Кратные и криволинейные интегралы

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по теме Кратные и криволинейные интегралы Министерство Образования Российской Федерации ЮЖНО-РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА (ЮРГУЭС) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по теме Кратные и криволинейные интегралы

Подробнее

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Практическое занятие ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Дифференцирование сложной функции Дифференцирование неявной функции задаваемой одним уравнением Системы неявных и параметрически заданных

Подробнее

БАНК ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ» y 2. * Найти площадь плоской области, ограниченной линиями. (D область, заданная неравенствами ( D)

БАНК ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ» y 2. * Найти площадь плоской области, ограниченной линиями. (D область, заданная неравенствами ( D) БАНК ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ» * Изменить порядок интегрирования + d d * Найти площадь плоской области, ограниченной линиями =, =, = * Вычислить ( D) + acctg d, где ) +, + 9,, = (D область,

Подробнее

( ) ( ) xsin ( ) x dx. ln x. dx. cos 2x. ЗАДАЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ (технические факультеты, 2 семестр) Интегралы. Найдите интегралы. 43. dx.

( ) ( ) xsin ( ) x dx. ln x. dx. cos 2x. ЗАДАЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ (технические факультеты, 2 семестр) Интегралы. Найдите интегралы. 43. dx. ЗАДАЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ (тенические факультеты, семестр) 7 Интегралы Найдите интегралы d d sin + d + + d + d + d 7 ( + ) d + + 8 d 9 cos d cos + d cos d + 8 d 9 d d + d 9 + d + 7 tg d 8 cosd cos sin 9 d

Подробнее

( V) ( Q) i просуммируем подобные неравенства для всех значений j и k. Получаем неравенства. k) ( ) и просуммируем по i ( )

( V) ( Q) i просуммируем подобные неравенства для всех значений j и k. Получаем неравенства. k) ( ) и просуммируем по i ( ) 9 Положим m = f M = f. inf { }, { } i j k sup ( Vi, j, k) i, j, k,, Тогда в силу свойств интеграла по фигуре имеем Vi, j, k mi, j, kδiδk f dd M,, Δ Δ ( Vi, j, k) i j k i k для всех значений из [i, i+].

Подробнее

равная произведению массы этой точки и квадрата расстояния до оси ОХ (оси ОУ,

равная произведению массы этой точки и квадрата расстояния до оси ОХ (оси ОУ, 9 Вычисление статических моментов инерции и координат центра масс Определение Статическим моментом материальной точки А(х;у) в которой сосредоточена масса m относительно оси ОХ (ОУ) называется величина

Подробнее

Кафедра инженерной математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Руководство к решению задач для студентов механико-технологического факультета.

Кафедра инженерной математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Руководство к решению задач для студентов механико-технологического факультета. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Руководство к решению задач для студентов механико-технологического

Подробнее

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана Лекция 6 Определенный интеграл Римана Аннотация: Отмечается что кроме интеграла Римана существуют и другие интегралы Рассматриваются свойства определенного интеграла Понятие определенного интеграла настолько

Подробнее