ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к выполнению практических работ по дисциплине «Математика» для студентов бакалавриата очной формы обучения направления подготовки Строительство Москва 05 НИУ МГСУ, 05

2 УДК 5 ББК.6 О-0 С о с т а в и т е л ь Г.Е. Полехина О 0 Обыкновенные дифференциальные уравнения [Электронный ресурс] : методические указания к выполнению практических работ по дисциплине «Математика» для студентов бакалавриата очной формы обучения направления подготовки Строительство / М-во образования и науки Рос. Федерации, Нац. исследоват. Моск. гос. строит. ун-т, каф. прикладной механики и математики ; сост. Г.Е. Полехина. Электрон. дан. и прогр. (,8 Мб). Москва: НИУ МГСУ, 05. Учебное сетевое электронное издание Режим доступа: PDBN=IBIS Загл. с титул.экрана. Представлены теоретические сведения, образцы решения многих типовых задач и варианты к типовому расчету по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения». Для студентов бакалавриата очной формы обучения направления подготовки Строительство. Учебное сетевое электронное издание НИУ МГСУ, 05

3 Отв. за выпуск кафедра прикладной механики и математики Подписано к использованию г. Уч.-изд. л.,7. Объем данных,8 Мб Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет» (НИУ МГСУ). 97, Москва, Ярославское ш., 6. Издательство МИСИ МГСУ. Тел. (495) , вн. -7, (499) , (499)

4 Введение. Методические указания и варианты к типовому расчету по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» предназначены для студентов, обучающихся по направлению «Строительство», профилю подготовки «Промышленное и гражданское строительство». Цель данного типового расчета развитие и закрепление навыков решения задач. Указания состоят из 9 параграфов. Приводятся краткие теоретические сведения и образцы решения многих типовых задач.. Основные понятия и определения. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию () и производные этой функции, т.е. уравнение вида ( n) F (,,,,..., ) 0. Если искомая функция () есть функция одной переменной х, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например:. - обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка.. - дифференциальное уравнение второго порядка. Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F (,, ) 0 или f ( ; ). Решением дифференциального уравнения на интервале ( a ; b) называется функ- 4

5 ция (), определенная на интервале ( a ; b) вместе со своими производными, и такая, что подстановка функции () в дифференциальное уравнение превращает последнее в тождество по на ( a ; b). Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Общим решением дифференциального уравнения f ( ; ) в области D называется функция (, C), обладающая следующими свойствами: а) эта функция является решением дифференциального уравнения при любом значении произвольной постоянной С, принадлежащей некоторому множеству; б) для любого начального условия ( ) такого, 0 0 что ( 0, 0) D, существует единственное C C0, при котором решение удовлетворяет заданному начальному условию. Частным решением дифференциального уравнения f ( ; ) называется такое решение ( 0, C), которое получается из общего решения (, C) при некотором частном значении произвольной постоянной С. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка f ( ; ) состоит в том, чтобы найти решение, которое при заданном значении аргумента 0 принимает заданное значение 0, т.е. удовлетворяет начальному условию ( ) 0 0. Другими словами, задача Коши состоит в нахождении частного решения. Геометрически задача Коши формулируется следующим образом: среди всех интегральных кривых данного дифференциального уравнения выделить ту, которая проходит через заданную точку ; ). 5 ( 0 0

6 . Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.. Дифференциальное уравнение вида f ( ) d g( ) d () называется уравнением с разделёнными переменными. После интегрирования уравнения () его общее решение получается в неявном виде: F( ) G( ) С, где F() и G() первообразные соответственно для функций f() и g(у), C-произвольная постоянная.. Дифференциальное уравнение вида f ) g ( ) d f ( ) g ( ) d 0 () ( называется уравнением с разделяющимися переменными. Делим на f ( ) g( ) ( f ( ) 0, g ( ) 0 ) уравнение (). Получаем f( ) d f ( ) g ( ) d g ( ) 0 f( ) d g ( ) d f ( ) g ( ) 6

7 Интегрируем обе части равенства f ( ) d f ( ) g ( ) d g ( ) Пример. Найти общее решение уравнения. Решение. d d d d Отсюда имеем d d Предположим, что у 0. Разделим на у. d d Интегрируя, будем иметь d d,или ln ln ln c Потенцируя последнее равенство, окончательно получим у=сх Пример. Проинтегрировать дифференциальное уравнение. ( х ) d d 0 Найти частное решение, удовлетворяющее условию: у= при х=0 7

8 Решение: Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив обе части уравнения на произведение у( х ), получим уравнение d d 0 Интегрируем. d d =0 8 d d( ) 0 ln ln( ) ln c или ln ln c. Откуда получаем общее решение c( ). Чтобы найти искомое частное решение, достаточно определить значение произвольной постоянной по начальным условиям. =с(+0), с=. Следовательно, частное решение имеет вид. Задачи. Найти частное решение.. 4 ; у=0 при х=0. ( 4) 0; у=5 при х=. ; у= при х=е ln 4. ; у= при х=0 5. ; у= при х=-

9 6. tg ; у= при Проинтегрировать дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными 7. ( ) d ( ) d ( ) d ( ) d 0 0. cos d. sin d 0. dr r ctg d =0. Однородные дифференциальные уравнения. Дифференциальное уравнение первого порядка вида f () называется однородным уравнением. Оно приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки u () u, u u u u, () где u новая неизвестная функция от, u - ее производная по. Подставляем () и () в () u u f (u) 9

10 т.к. u f ( u) u du u, то d du f ( u) u d du ( f ( u) u) d Делим на 0 ( f ( u) u) d du Делим на f ( u) u 0 du f ( u) u d du f ( u) u d du f ( u) u ln C. Пример. Найти общее решение уравнения. cos cos Решение. 0

11 Разделим данное уравнение относительно производной cos : Правая часть уравнения зависит от отношения, следовательно, данное уравнение является однородным. Введем новую функцию t; t. Тогда =t, t t. Подставляем полученное выражение в уравнение, получим уравнение с разделяющимися переменными t t t cos t или t. cos t Разделим переменные и проинтегрируем dt, d cos t d cos t dt, d cos t dt, sin t ln C. Подставив вместо t его значение, получим общий интеграл. sin ln C. Пример. Решить дифференциальное уравнение. ( ) d d 0 Решение. Решим уравнение относительно производной.

12 0 Правая часть уравнения зависит от отношения, следовательно, данное уравнение является однородным. Введем новую функцию t; t. Тогда =t, t t. Подставляем полученное выражение в уравнение. t t t t t dt t, d dt d t dt d t, d(t ) d d(t ) d,, t t ln t ln ln C, ln t ln ln C, C t, C, и, следовательно,

13 C C C. Задачи. Найти общее решение дифференциального уравнения.. ( ) d d 0. ( ) d d 0. e sin cos Линейные дифференциальные уравнения. Уравнение Бернулли. ) Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, содержащее неизвестную функцию и ее производную в первой степени: p( ) f ( ) ()

14 ) Уравнением Бернулли называется уравнение вида p( ) f ( ), R () ( при 0 это уравнение является линейным, при - уравнением с разделяющимися переменными). В () и () p () и f () - заданные функции. Оба типа уравнений можно решать методом Бернулли с помощью подстановки u v, uv uv, где u и v новые неизвестные функции от, u и v - их производные по. Рассмотрим решение линейного уравнения. Подстановка выражений для и в уравнение () приводит его к виду u v uv p( ) uv f ( ) u v u( v p( ) v) f ( ). В качестве v выбираем одну из функций, удовлетворяющих уравнению v p( ) v 0, () тогда функция u определяется из уравнения u v f () (4) Уравнения (), (4) уравнения с разделяющимися переменными. Рассмотрим решение уравнения (). 4

15 v p( ) v 0, dv v d dv d p( ) v 0 dv p( ) v d dv p( ) v d, v 0 dv p( ) d v dv v p( ) d p( ln v ) d v p( ) d e (5). Подставим (5) в (4), найдем функцию u. Пример. Найти общее решение линейного уравнения. Решение. Положим u v, тогда uv uv. uv) uv : 0 ( u v 5

16 u v uv uv v u v uv Выберем v так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, тогда v v 0 dv d v 0 dv v d v dv d : v 0 dv d v dv v d ln v ln v. u v u 6

17 du d : 0 du d du d du d u c Следовательно, u v c Пример. Найти частное решение уравнения, у()=. Решение. у uv; u v uv u v uv uv u v u( v v) v v 0 dv v d dv d v 7

18 8 dv v v ln d ln ln v ln v u v u u du d du d du d u C ( C) ( C) C C ( ). Задачи. Решить уравнение:

19 d d e e t e 7. cos sin 8. ( ) cos. Найти решение уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию,., у(0)=., у()=. e, у(0)=5 d 4. e, у()=0 d 5. ( cos ), у( )= 6. sin, у( )= 7. 4, у(-)=0. 5. Дифференциальные уравнения второго порядка. Мы перейдем теперь к изучению дифференциальных уравнений вида F (,,, ) 0. Обычно рассматривают уравнения, разрешенные относительно производной 9

20 f (,, ). Начнем с уравнения. Последовательно интегрируя, найдем сначала первую производную: C, а затем и саму функцию: ( C) d C C. 6 Так как мы интегрировали дважды, то и получили две произвольные постоянные, которые обозначили C, C. Дифференциальное уравнение второго порядка f (,, ) имеет бесчисленное множество решений, которые задаются формулой (, C, C ), содержащей две произвольные постоянные. Эта совокупность решений называется общим решением. Частное решение уравнения отыскивается при помощи задания начальных условий ( 0) 0, ( 0) 0. Геометрический смысл начальных условий заключается в том, что помимо точки (, 0 0 ) через которую должна проходить интегральная кривая, мы задаем еще угловой коэффициент касательной ( 0 ) к этой кривой. Отметим, что так как общее решение уравнения второго порядка зависит от двух произвольных постоянных, то через данную точку проходит бесчисленное множество интегральных кривых, лишь одна из которых имеет данный угловой коэффициент. 6. Частные случаи уравнений второго порядка. Возьмем дифференциальное уравнение второго порядка f (,, ) 0

21 И рассмотрим частные случаи, легко приводимые к дифференциальным уравнениям первого порядка.. Правая часть уравнения не содержит и : f (). Так как ( ), то f ) d C. Интегрируя еще раз, будем иметь: ( ( f ( ) d C) d C, где C,C - произвольные постоянные.. Правая часть уравнения не содержит : f (, ). (*) Положим z, z и уравнение (*) обращается в уравнение первого порядка относительно z: z f (, z). Найдя решение этого уравнения, z (, C), мы искомое решение получим интегрированием равенства z, т.е. (, C) d C. Пример. Решить уравнение. Решение. Полагая z, z, приходим к уравнению первого порядка z z. Уравнение является линейным.

22 v v d v dv d v dv v d dv v v v v u u v uv uv u v v u v u z v u z ln ln 0 ) (., Тогда, C. ) ( C C z C u d du d du d du u v

23 C ( ) d C ln C. 9. Правая часть уравнения не содержит : f (, ). Положим p и будем считать p функцией от. dp Дифференцируя это равенство, получим. Чтобы исключить, произведем следующее преобразование: d dp dp d dp dp p. d d d d d Таким образом, dp p. d Подставив в уравнение, будем иметь: dp p f (, p), d т.е. уравнение первого порядка относительно p как функции от. Решив его, найдем p (, C). Тогда искомое решение получим из уравнения с разделяющимися переменными: d p (, C), d d d (, C ) d (, C ) d C. (, C ) d

24 Пример. Решить уравнение 0. Решение. Полагая dp p, p, получим: d dp p p 0. d Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. dp d p dp p d ln p ln ln C C p. d d C d C d d C d C C. 4

25 7.Линейные дифференциальные уравнения. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение первой степени относительно неизвестной функции и ее производных. Мы будем записывать его в виде a a f ( ), (*) где a,a функции независимой переменной или постоянные величины. Функция f () называется правой частью уравнения. Если функция f () тождественно равна нулю, то уравнение (*) называется линейным уравнением без правой части (или однородным). В противном случае уравнение (*) называется линейным уравнением с правой частью (или неоднородным).. Линейные уравнения без правой части, т.е. a a 0. (**) Теорема. Если ( ), ( ) решения линейного уравнения (**), то функция ( ) C ( ) C ( ) при любых постоянных C,C также является решением уравнения. Доказательство. Продифференцируем дважды функцию C C : C C, C C. Подставим,, в левую часть уравнения (**). Получим: C C a( C C ) a ( C C ) C ( a a ) C ( a a ). 5

26 Выражения в скобках тождественно равны нулю, т.к. функции, решения уравнения (**). На основе доказанной теоремы мы можем сделать следующий вывод о структуре общего решения линейного уравнения без правой части (**). Если, решения уравнения (**) такие, что их отношение не равно постоянной величине, то линейная комбинация этих функций C C (***) является общим решением уравнения. В предыдущей теореме мы доказали, что функция (***) является решением линейного уравнения без правой части, а так как она содержит две произвольные постоянные, то она и является общим решением. Зная общее решение уравнения, мы можем по заданным начальным условиям отыскивать соответствующее частное. Пусть, например, заданы начальные условия ( 0) 0, ( 0) 0, причем в точке 0 коэффициенты a,a непрерывны. Подставляя эти значения в выражение для общего решения и его производной, получим систему линейных уравнений относительно C, C : C C C C , Для того чтобы из общего решения можно было получить любое частное, надо проверить, что полученная система имеет решение при любых начальных данных 0, 0. Для этого определитель системы должен быть отличен от нуля: 6

27 Доказательство этого факта для общего случая мы опустим, а позже произведем соответствующую проверку для частных случаев.. Линейные уравнения с правой частью. Пусть дано линейное уравнение второго порядка с правой частью a a f ( ). (*) Уравнение без правой части a a 0, (**) получающееся из данного уравнения (*), если вместо свободного члена f () взять нуль, назовем соответствующим уравнению (*). Докажем теорему о структуре общего решения уравнения с правой частью (*). Теорема. Общее решение уравнения с правой частью (*) можно составить как сумму общего решения соответствующего уравнения без правой части (**) и какого-нибудь частного решения данного уравнения (*). Доказательство. Обозначим через Φ() общее решение уравнения (**), а через φ()- какое-нибудь частное решение уравнения (*). Возьмем функцию ( ) ( ). Имеем: ( ) ( ), ( ) ( ). Подставляя выражения для,, в левую часть заданного уравнения (*), найдем: ( ) ( ) a ( ) ( ) a ( ) ( ) ( ) a ( ) a ( ) ( ) a ( ) a ( ). Выражение в первой квадратной скобке равно нулю, т.к. () решение уравнения без правой части (**), а выражение во второй квадратной скобке равно f (), т.к. () решение

28 уравнения с правой частью (*).Следовательно, функция ( ) ( ) действительно есть решение уравнения (*). Итак, для того чтобы найти общее решение уравнения с правой частью, нужно найти общее решение соответствующего уравнения без правой части и лишь одно какое-нибудь частное решение заданного уравнения. Это можно записать так: C C ( ), где, частные решения соответствующего уравнения без правой части, а () частное решение уравнения с правой частью Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида p q 0, () где постоянные p, q R. Найдем общее решение такого уравнения. Будем искать частное решение уравнения () в форме e k, где k -постоянное число, подлежащее определению. k k Имеем: ke, k e. Следовательно, должно иметь место тождество e k ( k pk q) 0 k или, так как e 0, k pk q 0. Уравнение

29 9 k pk q 0 () называется характеристическим уравнением для уравнения (). В зависимости от корней k и k характеристического уравнения () получаем общее решение уравнения () в виде k k Ce Ce, () если k и k - различные действительные числа; k ( C C ) e, (4) если k = k ; e C cos C sin ), (5) ( если k i, k i - комплексные числа, С, С произвольные постоянные. Докажем каждый из этих случаев в отдельности. ).Корни характеристического уравнения действительные и различные. При этом оба корня могут быть взяты в качестве показателей k k функции e, и мы сразу получим два решения уравнения k (): k e, e. Ясно, что их отношение не является постоянной e k ( kk e ) k величиной:. e Общее решение в случае действительных и различных корней характеристического уравнения имеет вид k k C e C e.

30 Пример. Найти общее решение уравнения Решение. Характеристическое уравнение для данного уравнения принимает вид k 5k 6 0. Т.к. k, k, то в соответствии с формулой () общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид 0 C e ).Корни характеристического уравнения действительные и равные. В этом случае мы непосредственно получаем только одно решение e. k Покажем, что в качестве второго решения можно взять функцию k e. Продифференцируем дважды функцию : k k e ke, k k ke k e. Подставим найденные выражения в левую часть уравнения (): k k k k k ke k e p( e ke ) qe k e ( k pk q) (k p). Поскольку k корень характеристического уравнения, то k pk q 0, C e

31 а так как k двукратный корень, то по формуле Виета k k p; k p 0. Таким образом, выражение, заключенное в квадратной скобке, равно нулю, и функция k e действительно является решением уравнения (). Итак, в случае действительных равных корней характеристического уравнения общее решение уравнения () имеет вид k ( C C ) e И здесь легко проверить, что определитель, ни при каком значении 0 не равен нулю:. e k k e 0 k 0 e k 0 0 e k 0 k 0 e k 0 e k 0 0. Пример. Найти общее решение уравнения Решение. Характеристическое уравнение k 4k 4 0 имеет корни k k. В соответствии с формулой (4) получаем общее решение исходного дифференциального уравнения e ( C C). ). Корни характеристического уравнения комплексные сопряженные числа: k i, k i. Покажем, что в этом случае решениями будут служить функции

32 e cos, e sin. Проведем проверку для функции e cos. e cos e sin, e cos e sin e cos. Подставляя найденные производные в левую часть уравнения () и группируя слагаемые, получим: e ( p q)cos ( p )sin. Если подставить корень i в характеристическое уравнение, то будем иметь: ( i) p( i) q 0 ( p q) i( p ) 0. Комплексное число равно нулю только в том случае, если равны нулю его действительная и мнимая части, следовательно, p q 0, p 0. Эти равенства показывают, что в результате подстановки функции e cos в уравнение мы получаем нуль. Совершенно аналогично можно произвести проверку и для функции e sin. Итак, в случае комплексных сопряженных корней характе- ристического уравнения общее решение имеет вид e ( C cos C sin ). Определитель 0 0 e cos 0 e sin 0 0 e e cos 0 e sin 0 e sin 0 e cos 0 всегда отличен от нуля. Пример. Проинтегрировать уравнение 0.

33 Решение. Характеристическое уравнение k k 0. Найдем корни этого уравнения. D 4 4 i i k,, i k i i i ; k i. ; В соответствии с формулой (5) находим общее решение e C cos C sin. Пример 4. Найти частное решение дифференциального уравнения. 0, ( 0) 6, (0). 4 Решение. Характеристическое уравнение k k k, k ; k. Т.к. корни k и k - различные действительные, то общее решение уравнения имеет вид

34 Ce Ce. Найдем частное решение. Подставим в общее решение первое начальное условие: ( 0) 6 C C 6. Чтобы составить второе уравнение, продифференцируем общее решение и воспользуемся вторым начальным условием: C e C e, ( 0) C C. Решим систему уравнений: C C 6 C C C C C C 6 C C 5 Подставив найденные значения постоянных в общее решение, получим частное решение 4 5 e e, Задачи. Найти общие решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

35 Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка. 0, (0), (0). 4 0,, , (0), (0) , (0), (0) , ( ), ( ) 6 Рассмотрим дифференциальное уравнение третьего порядка: а 0 а у а у a 0 Характеристическое уравнение а к а к а к а 0 0 к к к кх к х к у с е с е с е Если корни, то общее решение имеет вид: х если к к к, то общее решение будет иметь вид: 5 кх кх кх у се схе се

36 Если к к к, то общее решение имеет вид: к х кх кх у с е с хе с х е Если к - действительное число, к, i, то общее решение: k c e e ( C cos C sin ) Пример 5. Найти общее решение уравнения 0 Решение. Составляем характеристическое уравнение k k k 0 и находим его корни: k k k ) k( k ) 0 k 0, k (, Следовательно, уравнение имеет три действительных корня, причем два из них равные. Общее решение уравнения 0 c e c e c e c ce ce, c, c Где c - произвольные постоянные. Пример 6. Решить уравнение 0. Решение: составим характеристическое уравнение: k k k 0. Преобразуя левую часть уравнения, получим k ( k ) ( k ) 0, (k-)( k -)=0, 6

37 Откуда k, k, k. Получаем общее решение уравнения c Задачи. Решить уравнения. ) ) 8 0 ) ) ) 0 6) 0 7) e ce 9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. c e. Рассмотрим линейное уравнение p q f (). (*). Пусть правая часть уравнения (*) имеет вид m f ( ) P( ) e, где P() многочлен. Тогда уравнение (*) имеет частное решение вида n m Q( ) e, где Q() многочлен той же степени, что и P (), причем если число m не является корнем характеристического урав- 7

38 нения k pk q 0, то n=0, а если является, то n-кратность этого корня. Пример. Найти общее решение уравнения. Решение. Найдем общее решение уравнения 0. Характеристическое уравнение k k 0 имеет двукратный корень k. Значит, общее решение однородного уравнения имеет вид ( C C) e. Правая часть имеет рассматриваемую форму, причем m 0, P( ). Так как число 0 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде A B, где A, B постоянные. Дифференцируя и подставляя в дифференциальное уравнение, находим коэффициенты: A, 0. A A B. Приравнивая коэффициенты в обеих частях равенства A, A B, получим A, B. Итак, частным решением заданного уравнения является функция, а его общим решением - функция C C ) e..пусть правая часть уравнения (*) имеет вид 8 (

39 f ( ) acos n bsin n. Если числа in не являются корнями характеристического уравнения, то уравнение имеет частное решение вида Acos n Bsin n. Если же числа in служат корнями характеристического уравнения, то частное решение имеет вид ( Acos n Bsin n). Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения 4 5sin. Решение. Найдем общее решение однородного уравнения 4 0. Характеристическое уравнение k 4k 0 имеет корни k., i Значит, общее решение соответствующего уравнения без правой части запишется так: e ( C cos C sin). Так как числа i не являются корнями характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения ищем в виде Acos Bsin. Дважды дифференцируем: Asin Bcos 4Acos 4Bsin и подставляем в уравнение: 4Acos 4B sin 8Asin 8B cos Acos B sin 5sin. Приравнивая друг другу коэффициенты при обеих частях равенства, получим: sin,cos в 9

40 8A 9B 5 9A 8B Отсюда A, B, т.е. частным решением будет 9 9 функция 8 9 cos sin, 9 9 а общим 8 e ( C cos C sin) 9. Если правая часть уравнения (*) имеет вид cos Общее решение однородного уравнения имеет вид C cos C sin. Частное решение ищем в виде 40 9 sin. 9 m f ( ) e ( P ( )cos n P ( )sin n), где P ( ), P ( ) многочлены, а числа m in не являются корнями характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде m e ( R ( )cos n R ( )sin n), где R ( ), R ( ) многочлены степени, равной высшей из степеней многочленов P ( ), P ( ). Если числа m in являются корнями характеристического уравнения, то указанную форму частного решения следует умножить на. Пример. Найти общее решение уравнения 4sin. Решение. Найдем общее решение однородного уравнения 0. Характеристическое уравнение k 0. Корни характеристического уравнения k., i

41 ( A B)cos ( C D)sin. Имеем: ( A B) cos ( C D) sin Acos ( A B) sin C sin ( C D) cos Acos ( A B) sin C sin ( C D) cos Acos ( A B) sin C sin ( C D) cos Asin Asin ( A B) cos C cos C cos ( C D) sin A (4C B) (A D) cos C (4A D) (C B) sin. Подставляя в уравнение, находим: C ( A D) cos A ( C B) sin sin. Это равенство будет тождественным только при C 0, A D 0, A, C B 0. Отсюда A, B 0, C 0, D. Следовательно, получаем частное решение (sin cos ). Общее решение имеет вид C cos C sin (sin cos Если правая часть f () уравнения (*) равна сумме функций f ) f ( ) f ( )... f ( ) ( p и i () - частные решения уравнений p q fi ( ),( i,,..., p) соответственно, то сумма ) ( )... ( ) есть частное решение уравнения (*). ( p Задачи. ). 4

42 Решить уравнения. ) 7 5 e ) 8 ) ) 4 4 e 5) sin 6) cos 7) 6 6 e. Найти общее решение уравнения с разделяющимися переменными: ) ( sin ) ) e ) 4) 0 5) (sin ) ln 6) e 7) sin d cos d 0 8) e ( ) d ( e ) d 0 9) ( ) d d 0) d ( ) d 0 ) ( ) d d 0 ) ( ) ) 4) 4 4

43 5) 6) d ( ) d 0 7) sin d d 0 8) 9) ( ) 0 ( ) 0) cos ) ) ( e ) ) d ( ) d 0 4) e 5) d d 0. e Найти общее решение линейного дифференциального уравнения ) ) e ( ) ) tg cos 4) e ( ) 5) ctg sin 6) 4

44 44 7) 8) 9) ) ( 0) e ) sin ) 4 ) e 4) ctg sin 5) tg cos 6) ) ( 7) sin sin cos 8) e 9) 0) e ) ) ( ) sin cos ) ctg tg 4) tg cos

45 5) Найти общее решение однородного уравнения. ) ) ) (ln ) 4) 0 5) ( ) arcsin e 6) ( ) d ( ) d 0 7) ( )sin cos 8) ( 5 ) 5 9) 0) ( ) ln ) sin sin ) ) 4) ( e ) d e d 0 5) 4 45

46 6) ( )( tg ) 7) e 8) cos 9) d ( 4) d 0) tg ) ) 8 8 ) sin 4) 4 5) ( ) cos sin. 46 Найти частное решение дифференциального уравнения. ) 8 0, (0) 0, (0) ) 0, (0), (0) 4 ) 4 0, (0), (0) 4) 4 0, (0), (0) 5) 6 0, (0), (0) 6) 4 4 0, ( ) e, ( ) e

47 7) 5 0, ( ), ( ) 8) 0 6 0, ( ), ( ) 9) 4 0, (0), (0) 4 0) 8 5 0, ( ) e, ( ) 4e 4 4 ) 0, (0), (0) ) 4 0, ( ), ( ) 4 4 ) 9 у 0 0, (0), (0) 9 4) 6 0 0, ( ) e, ( ) 0 5) 0, (0), (0) 6) 7 0, ( ), ( ) 6 7) 7 6 0, (0), (0) 8 8) 7 0, ( ) 0, ( ) ) 5 0, (0) 0, (0) 0) , (0), (0) ) 6 0, (0), (0) 6 ) 6 5 0, () 0, () 4 ) 5 0, (0) 4, (0) 4) 5 0, (0), (0) 5) 7 0, (0), (0) 8 47

48 48 Найти общее решение дифференциального уравнения третьего порядка: ) 4 0 ) 0 ) 4 0 4) 0 5) 4 0 6) 0 7) ) 0 9) ) 6 0 ) ) 0 ) 0 4) ) ) ) 0 0 8) ) 0 0) 5 0 ) ) 0 ) 9 0

49 4) 9 0 5) Найти общее решение дифференциального уравнения. ) 0 ) cos ) ( ) 4) ln ln 5) ( ) 6) tg cos 7) ln 8) sin 0 9) e e 0 0) tg sin ) 5 0 ) tg ) ( ) 4) tg sin 5) ( sin ) cos 4 6) 7) 4 8) 9) 0) ( )ln 49

50 ) ( ) ) () ) ( ) 4 4) ( ) 5) ( ). Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка. ) 0sin ) 9 8( ) e ) 5 4) ) 4 6) 8 65cos 4 7) 4 8 sin 8) 4 9) 4 0) ( ) ) 6 9 0cos ) cos ) 5 7sin 4) 4 4 5) 0 5 6e 6) 4 4e 7) 50

51 8) ( ) 9) sin cos 0) 5 6 e ) ) 5 6 ) 5 6 e 4) 0 5) 6 7 cos. Найти вид общего решения дифференциального уравнения ) 4 5 e cos sin ) 5 4 e 5sin 5 ) 6 0 e 5cos 5 4) 0 5 4e 5sin 5 5) sin e 6 6) 6 7cos 6 4 5e 9 7) 9 5 7e 4 8) sin 4 e 9) e cos 5 0) 6 sin e ) 4 e sin ) e cos ) cos 5e 4) e cos 5 e 5

52 4 5) 6 cos 4 e 6) 9 cos 7e sin 7) 6 5 5sin 4 e 4 8) 4 sin 4 5e 9) e sin cos 4 0) 8 7 e sin cos 4 e ) 9 8sin ) 6 e cos e 4 ) 5 cos e 4) 5 5sin 7 e 5) 4 cos 4e. 5


ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений С. Н. КУБЫШКИНА, Е. Ю. АРЛАНОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений Практикум Самара 2017 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ЛГЛелевкина ТАШемякина Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по математическому анализу

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция 15 Решение

Подробнее

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Кафедра Высшей и прикладной математики Романова ЛД, Ланцова ВА, Романова ЕГ Контрольные задания по высшей математике и методические

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

x - заданные непрерывные функции от х (или

x - заданные непрерывные функции от х (или ЛЕКЦИЯ 3 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Определение: Линейным уравнением -го порядка называет уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид:

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Дифференциальные уравнения Методические указания

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ" matem.org.ua

Кафедра высшей математики ГВУЗ НГУ matem.org.ua matmorgua Министерство образования и науки Украины НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Библиотека иностранного студента ЛВ Новикова ЕС Синайский ЛИ Заславская МАТЕМАТИКА Часть ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие 57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) В М Ипатова О А Пыркова В Н Седов ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ второе

Подробнее

Дифференциальные уравнения (лекция 10)

Дифференциальные уравнения (лекция 10) Дифференциальные уравнения лекция 0 Линейные неоднородные уравнения высших порядков Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 6. Линейные неоднородные уравнения -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных

Подробнее

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2 Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА Методические указания и задания по выполнению расчетно-графической работы для студентов

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y)

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y) 44 Пример Найти полную производную сложной функции = sin v cos w где v = ln + 1 w= 1 По формуле (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Найдем теперь полный дифференциал сложной функции f

Подробнее

Глава 6. Неопределенный интеграл

Глава 6. Неопределенный интеграл Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F'() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()

Подробнее

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 6 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами ) ) ) L [] f ) 9) где i постоянные Так

Подробнее

6. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка

6. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка 6 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 6 Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка Линейным однородным уравнением первого порядка в частных производных называется

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

СПЕЦИФИКА ОБУЧЕНИЯ СТУДЕНТОВ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ УНИВЕРСИТЕТОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

СПЕЦИФИКА ОБУЧЕНИЯ СТУДЕНТОВ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ УНИВЕРСИТЕТОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. УДК 378 СПЕЦИФИКА ОБУЧЕНИЯ СТУДЕНТОВ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ УНИВЕРСИТЕТОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 6 ИВ Детушев, Л В Детушева, ВП Добрица 3 канд пед наук, преподаватель математики Центра довузовской

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее