1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия"

Транскрипт

1 . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала. Если производные от неизвестной функции, входящие в уравнение, берутся только по одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Уравнения, содержащие производные по нескольким независимым переменным, называются дифференциальными уравнениями в частных производных. В данном пособии будут рассматриваться только обыкновенные дифференциальные уравнения. Порядок наивысшей (старшей) производной, входящей в дифференциальное уравнение, определяет порядок дифференциального уравнения. Обыкновенное дифференциальное уравнение -го порядка в самом общем виде записывается так: F,,,,..., 0 (.) где у(х) - неизвестная функция, х -независимая переменная, у'(х), у"(х),..., 0 () - производные от неизвестной функции. Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F,, 0. (.) Обычно обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка может быть записано или в форме, разрешенной относительно производной f,. (.3) или в форме, содержащей дифференциалы M, d N, d 0. (.4)

2 Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения. График решения дифференциальною уравнения называется интегральной кривой. Отличительное свойство дифференциальных уравнений состоит в том, что при их интегрировании обычно получается бесчисленное множество решений. Для уравнения первого порядка это множество описывается одной произвольной постоянной. Чтобы выделить из бесконечного множества решений то, которое описывает именно данный процесс, необходимо задать дополнительную информацию, например, знать начальное состояние процесса. Такое дополнительное условие называется начальным условием. Оно ставится так: требуется, чтобы при некотором начальном значении независимой переменной 0 искомая функция равнялась заданному числу : (.5) Задача интегрирования дифференциального уравнения первого порядка совместно с начальным условием называется начальной задачей или задачей Коши. Для дифференциальных уравнений первого порядка различают общее, частное и особое решения, а также общий, частный и особый интегралы. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной, называется такое семейство функций, C, зависящих от и произвольной постоянной C, что ) при любом допустимом значении постоянной C функция, C является решением уравнения; ) каково бы ни было начальное условие (.5), можно подобрать такое значение постоянной C 0, что решение, C0 будет удовлетворять условию 0, C0 0. Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется решение, которое получается из общего при каком-либо конкретном значении C C0 произвольной постоянной, то есть функция вида, C0. Таким образом, общее решение дифференциального уравнения можно определить как множество всех частных решений уравнения. Особым решением дифференциального уравнения называется решение, которое не может быть получено из общего решения ни при одном частном значении произвольной постоянной.

3 Часто при интегрировании уравнения первого порядка не удается найти общее решение в явном виде, а получается конечное (не дифференциальное) соотношение вида Ô,, C 0, (.6) содержащее решение в неявной форме. Такое соотношение называется общим интегралом дифференциального уравнения. Частным интегралом называется соотношение, которое получается из общего интеграла при конкретном значении произвольной постоянной. Геометрически общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка изображается семейством интегральных кривых на плоскости, зависящих от одного параметра С. Частному интегралу соответствует одна кривая этого семейства, проходящая через начальную точку,... Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными вид 0 0 Дифференциальное уравнение с разделенными переменными имеет N d 0 M d (.7) В уравнении с разделенными переменными перед дифференциалом d стоит функция только одной переменной, а перед дифференциалом d стоит функция переменной. Такие уравнения можно почленно интегрировать. В результате получим или где M d N d C F C, (.8) F M d, N d. Конечное (не дифференциальное) соотношение (.8) и является общим интегралом уравнения (.7). Пример. Решить уравнение e d l d 0 Очевидно, это уравнение с разделенными переменными. Интегрируя его, получим e d l d C Следовательно, общий интеграл уравнения будет l e C Дифференциальное уравнение вида M N d M N d, (.9) 0 3

4 в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, каждый из которых зависит только от одной переменной, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Уравнение (.9) делением обеих частей на произведение функций N M 0 приводится к уравнению с разделенными переменными M N d d 0 M N общий интеграл которого M N d d C M N.3. Однородные дифференциальные уравнения Если уравнение f, или M d, N, d 0 не меняется при замене на k, а на k, то оно называется однородным. Однородное дифференциальное уравнение подстановкой t при- водится к уравнению с разделенными переменными. Пример. Решить уравнение d d 0. Преобразуем уравнение к виду Так как k k k k то исходное уравнение однородное. Полагаем t, t и t t Тогда уравнение примет вид t dt t t t t или t, dt d t d t t t Разделив обе части уравнения на, t приходим к уравнению с разделенными переменными t d dt t Интегрируя его, находим 4

5 или l l arctgt t C arctgt l t C Возвращаясь к старой переменной, получим общий интеграл исходного уравнения в виде C arctg l.4. Линейные дифференциальные уравнения Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида P Q (.0) содержащее искомую функцию и ее производную в первой степени. Функции Р(х) и Q() предполагаются непрерывными. Если правая часть уравнения Q() = 0, то уравнение (.0) называется линейным однородным уравнением, в противном случае - линейным неоднородным. Рассмотрим интегрирование этого уравнения методом вариации произвольной постоянной (методом Лагранжа). В соответствии с этим методом сначала ищется решение соответствующего линейного однородного уравнения: у' + Р(х) у = 0. Разделяя в нем переменные, получим его общее решение в виде d d P P d l P d l C,, d, P Ce d. (.) Далее ищется общее решение исходного уравнения с ненулевой правой частью в виде (.), но произвольная постоянная в (.) заменяется неизвестной функцией: P d v e (.) Подставляя (.) в (.0), получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно варьируемой функции v(), интегрируя которое, находим эту функцию. В результате, общее решение уравнения (.0) может быть представлено в виде Pd Pd e Qe d C (.3) 5

6 Формула (.3) дает общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка в форме Коши. Пример. Решить задачу Коши для уравнения 4 при начальном условии у(0)=. Находим сначала общее решение линейного однородного уравнения 4 0 Оно имеет вид 4 4 P d Ce d Ce Ce Заменяем произвольную постоянную С в этом решении неизвестной функцией v(): ve 4 Вычисляем производную у' 4 4 v e 4v e и подставляя у и у' в исходное уравнение, получим v e 4v e 4 v e, v e 4 4 Общее решение уравнения примет вид v e, v e d C e C v e 4 e C e Ce Находим произвольную постоянную С из начального условия: при 0 7 C, C 6 6 Следовательно, решение задачи Коши будет 7 4 e 4. 6 Решение линейного дифференциального уравнения (.0) может быть также получено, если искомую функцию представить в виде произведения двух произвольных функций (метод Бернулли [4]):.5. Уравнение Бернулли Уравнением Бернулли называется уравнение вида P Q, (.4) где 0;. Уравнение Бернулли является нелинейным, но оно приводится к линейному следующим преобразованием: 6

7 ) Обе части уравнения умножаются на, тогда P Q. ) Далее применяется подстановка z Тогда по правилу дифференцирования сложной функции получим dz dz, следовательно, d d В результате уравнение становится линейным относительно функции z: z P z Q (.5) Уравнение (.5) может быть решено методом вариации произвольной постоянной или методом Бернулли. l Пример. Решить уравнение. Умножим обе части уравнения на l :. Положим z, z, и уравнение преобразуется в линейное: z l z (.6) Находим сначала решение соответствующего линейного однородного уравнения z z 0 dz z, l z l l C, z C. d Решение неоднородного уравнения (.6) отыскиваем в виде z v. тогда zv v. v dv v l d dv l, d l dv d C После интегрирования получим 7

8 l C, v l z v C, поэтому общее решение исходного уравнения будет иметь вид l C.6. Уравнение в полных дифференциалах Уравнение вида M, d N, d 0 (.7) называется уравнением в полных дифференциалах, если коэффициенты M, èn, представляют собой непрерывные и дифференцируемые функции, удовлетворяющие условию M N (.8) Условие (.8) есть необходимое и достаточное условие того, что левая часть уравнения (.7) представляет собой полный дифференциал некоторой функции двух независимых переменных du,. Поэтому уравнение (.7) может быть представлено в компактной форме du, 0 Следовательно, его общий интеграл, а значит, и общий интеграл уравнения (.7) имеет вид u, C. Как известно, полный дифференциал функции двух переменных равен u u du, d d (.9) Сравнивая выражение (.9) и левую часть уравнения (.7), можно заключить, что u u M,, N, (.0) Интегрируя, например, первое из выражений (.0), получим u M, d, (.) где - произвольная функция интегрирования (в частности, она может быть константой). Заметим, что при вычислении интеграла в (.) функция рассматривается как постоянная. Функция определяется из реше- 8

9 ния дифференциального уравнения, получающегося из соотношения (.) и второго условия (.0). Пример. Решить уравнение d 6 4 d 0 (.) 3 M N Здесь M, 3 6, N, 6 4 и Поэтому уравнение (.) является уравнением в полных дифференциалах. Следовательно, u u M, 3 6, 3 N, 6 4, 3, u M d d Дифференцируя последнее равенство по у и приравнивая значению N, получим u , 3 4. Интегрируя полученное дифференциальное уравнение, находим 4 C Таким образом, u C C, общий интеграл исходного уравнения запишется в виде и при C C C C. Если левая часть уравнения M, d N, d 0 не является полным дифференциалом, то при определенных условиях, налагаемых на,,,,, что становится полным диффе- функции M N, можно найти такую функцию Выражение M, d N, d ренциалом. Функция, множителем. при этом называется интегрирующим. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ N-го ПОРЯДКА Обыкновенное дифференциальное уравнение -го порядка, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид f,,,,...,. (.) 9

10 Общим решением уравнения -го порядка называется непрерывно дифференцируемая раз функция, C, C,... C, удовлетворяющая уравнению и содержащая произвольных постоянных C, C,..., C, подходящим выбором которых можно получить любое решение. Решение, получаемое из общего при конкретных значениях произвольных постоянных C, C,..., C, называется частным решением. Конкретные значения произвольных постоянных могут быть найдены из начальных или граничных условий, задаваемых, исходя из физических особенностей задачи. Соответственно этому различают начальную задачу (задачу Коши) или краевую (граничную) задачу. Задача интегрирования дифференциального уравнения -го порядка называется начальной задачей или задачей Коши, если значения искомой функции и её производных до (-)-го порядка включительно задаются при одном и том же начальном значении независимой переменной (при 0 ):, 0 0, ,. 0 0 Задача интегрирования дифференциального уравнения -го порядка называется краевой (или граничной) задачей, если значения искомой функции (а возможно её производных) задаются не в одной, а в двух точках, а именно на концах фиксированного интервала изменения независимой переменной х. f,,, при. Например, для уравнения второго порядка граничные условия могут иметь вид: 0 L 0 0 0, L 0. o L или, В отличие от задачи Коши, решение которой существует и единственно (при некоторых весьма общих условиях, налагаемых на правую часть уравнения (.)), краевая задача может не иметь решения или решение может быть не единственным... Интегрирование дифференциальных уравнений -го порядка методом понижения порядка Если правая часть уравнения (.) является известной непрерывной функцией f только одной переменной или не содержит искомую функцию :, или не содержит явно независимую пере- f,,,..., 0

11 менную :, то для решения уравнения (.) может быть f,,,..., применен метод понижения порядка.. f (.) Это уравнение интегрируется непосредственно раз. При каждом интегрировании порядок уравнения понижается на единицу, и появляется произвольная постоянная. В результате общее решение уравнения будет иметь вид... f d C C... C C (.3), где в правой части - -кратный интеграл от функции f и многочлен (- )-ой степени от, коэффициентами которого являются произвольных постоянных.. f,,,,...,. (.4). Рассмотрим про- Уравнение (.4) не содержит искомой функции цедуру интегрирования уравнения данного типа на примере уравнения второго порядка f, (.5) Понижение порядка достигается подстановкой z (.6) Тогда z, (.7) и уравнение (.5) приводится к уравнению первого порядка относительно функции z : z f, z (.8) Интегрируя уравнение (.8), находим его общий интеграл в виде z, C, (.9) где C - произвольная постоянная. Далее в (.9) заменяем левую часть согласно (.6) и вновь получаем уравнение первого порядка относительно искомой функции у:, C, (.0) Интегрируя уравнение (.0), находим общее решение исходного уравнения (.4) в виде, C, C. (.) Замечание. Если уравнение (.4) не содержит ни искомой функции у, ни её производных до (к-) - го порядка включительно, то есть имеет вид k k,,,...,. f то его порядок может быть понижен сразу на к единиц подстановкой

12 k z Пример. Решить уравнение. 3 IV Это уравнение не содержит явно искомой функции и её первых производных, и относится ко второму из рассмотренных нами типов. Применяя подстановку z, (.) получаем линейное неоднородное уравнение первого порядка 3 z z или z z (.3) 3 Интегрируем его методом вариации произвольной постоянной. Сначала решаем соответствующее однородное уравнение z z 0. (.4) Разделяем в нем переменные: dz d z После интегрирования получим l z l lc l C Следовательно, общее решение уравнения (.4) будет C z (.5) Далее ищем решение уравнения (.3) в форме, аналогичной по структуре выражению (.5), но произвольную постоянную в (.5) заменяем неизвестной функцией v(): v z (.4) Подставляя (.6) в (.3), получим v v v 3 откуда следует dv d d и, после разделения переменных, dv

13 Интегрируя это уравнение, находим v C. Поэтому согласно (.6) имеем C z. (.7) Заменяя в выражении (.7) z по формуле (.), приходим к уравнению третьего порядка относительно искомой функции у(х): C (.8) Уравнение (.8) содержит в правой части известную функцию от х и относится к первому из рассмотренных нами типов (см. (.)). Интегрируя его последовательно три раза, окончательно получим общее решение исходного уравнения, содержащее 4 произвольных постоянных: Cl C, l C l C C, 3 3 l C l C C3 C4... Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений -го порядка с постоянными коэффициентами Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида a a... a a f, (.9) содержащее неизвестную функцию и все её производные до -го порядка включительно в первой степени. В (.9) коэффициенты ai cost i,,...,. В общем случае, если хотя бы один из коэффициентов a i является функцией от, то уравнение (.9) будет уравнением с переменными коэффициентами. Левая часть уравнения (.9) называется линейным дифференциальным оператором и обозначается через L a a... a a. Поэтому в компактной форме уравнение (.9) запишется так: L f вид. Если правая часть уравнения f 0, то уравнение (.9) принимает L 0 (. 0) 3

14 и называется линейным однородным дифференциальным уравнением, в противном случае - неоднородным. Справедлива теорема (о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения -го порядка): общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения - го порядка представляется в виде суммы 0, (.) где 0- общее решение соответствующего линейного однородного уравне- L, - частное решение неоднородного уравнения L f. ния 0... Построение общего решения линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка Теорема (о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка): Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка L() = 0 представляется в виде линейной комбинации линейно независимых частных решений этого уравнения: k k.... (.) i C C C C Здесь C, C,..., C - произвольные постоянные (заметим, что линейной комбинацией функций называется сумма произведений функций на различные постоянные числа, то есть выражение вида C C... C);,,..., -частные линейно независимые решения однородного уравнения L 0 - такие решения, для которых, составленный из них определитель не равен нулю: W 0 Определитель W называется определителем Вронского или вронскианом. N линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка образуют фундаментальную систему решений этого уравнения. Для построения фундаментальной системы решений уравнения L 0 с постоянными коэффициентами его частные решения ищутся в виде показательных функций 4

15 где k - неизвестные постоянные числа. Подстановка (.3) в дифференциальное уравнение (.0) приводит к алгебраическому уравнению вида k ak ak... a k a 0. (.4) Алгебраическое уравнение (.4) той же степени, что и порядок дифференциального уравнения (.0), с теми же коэффициентами на соответствующих местах называется характеристическим уравнением. Заметим, что характеристическое уравнение (.4) получается из дифференциального уравнения (.0) формальной заменой i-ой производной i i k e, (.3) числом k. Характеристическое уравнение (.4) имеет корней (с учетом их кратности). В зависимости от вида корней соответствующие частные линейно независимые решения будут иметь различный вид (см. таблицу ). Составляя линейную комбинацию этих решений, получим общее решение линейного однородного уравнения L 0 в виде (.). Таким образом, построение общего решения линейных однородных дифференциальных уравнений -го порядка с постоянными коэффициентами сводится к чисто алгебраической проблеме решения соответствующих характеристических уравнений. Построение решения однородных линейных дифференциальных уравнений является обязательным первым этапом решения более общих неоднородных уравнений (.9). Поэтому примеры построения фундаментальной системы решений для однородных уравнений приведены ниже. Таблица Вид частных решений линейного однородного уравнения L()=0 в зависимости от вида корней характеристического уравнения Вид корней Корни k i ( i,,..., ) действительны и различны а Комплексные корни k i, k i Вид частных решений e e e k, k, k e cos, e si., b Мнимые корни k i, k i cos, si 5

16 За 3b Кратные действительные корни k k... km k ( m кратность корня) Кратные комплексные корни: k i кратности m, k i кратности m e cos, e cos, 3 5 e cos 3 e k e, k, k e,, m k m e e si, e si, 4 6 e si. e m m cos e m m si Частное решение, неоднородного линейного дифференциального уравнения -го порядка (.9) может быть получено или методом подбора (методом неопределенных коэффициентов) или методом вариации произвольных постоянных.... Метод подбора частного решения Этот метод называют ещё методом неопределенных коэффициентов. Он не является универсальным и применим, если правая часть уравнения (.9) в общем случае имеет вид P и cos f P e Q e si, (.5) где Q - одночлены или многочлены (в общем случае различных степеней от ). Пусть при этом - наивысшая степень одного из многочленов P или Q. Алгоритм построения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения (.9) следующий:. Находим корни характеристического уравнения (.4).. Сравниваем заданную правую часть уравнения (.9) с общим выражением (.5), при котором применим метод подбора, и находим из этого сопоставления три числа:. 3. Сравниваем «контрольное» комплексное число ( i ) с корнями характеристического уравнения и находим число m корней, совпавших с комплексным числом i (если таких корней нет, то m=0). 4. Принимаем частное решение неоднородного уравнения (.9) в виде m cos R e T e si, (.6) 6

17 где, R T - многочлены одной и той же -ой степени, но с неопределёнными и различными коэффициентами. 5. Записываем решение (.6) в развернутой форме в зависимости от. m Так, если = 0, Ae cos Be si, если = то, m cos R e T e si m A B e cos C D e si. 6. Подставляем у, в исходное уравнение (.9) и получаем систему алгебраических уравнений относительно неопределенных коэффициентов А, В, C,D,... Замечания.. Если правая часть уравнения (.9) имеет более простой вид, например, содержит произведение степенной функции на показательную f P e (в частности, возможны случаи =0 или (и) = 0), или содержит только линейную комбинацию тригонометрических функций вида f M cos N si, где M и N - постоянные числа, то частные решения неоднородного уравнения можно искать в форме, указанной в таблице (в неё для полноты включен также общий случай). L f может содержать только. Правая часть уравнения функцию вида f M cos или функцию вида si f N. Но частное решение методом подбора следует искать в полной форме, содержащей и cos и si. Строгое и подробное изложение теории дифференциальных уравнений и примеры решения уравнений содержится во многих учебниках и [-5]. Процедура подбора неопределённых коэффициентов показана в пособиях 4, Метод вариации произвольных постоянных Если известно общее решение однородного линейного дифференциального уравнения, соответствующего заданному неоднородному, то его частное решение может быть найдено методом вариации произвольных постоянных (методом Лагранжа). Рассмотрим его реализацию для линейных дифференциальных уравнений второго порядка: a a f. (.7) 7

18 Сначала находим общее решение соответствующего линейного однородного уравнения L() = 0 в виде 0 C C, (.8) где C, и C - произвольные постоянные, и - частные линейно независимые решения однородного уравнения. Далее ищем решение неоднородного уравнения (.7), аналогичное по структуре (.8), но произвольные постоянные в (.8) заменяем неизвестными функциями, а именно принимаем 0 C C. (.9) Подстановка (.9) в (.7) приводит к следующей системе дифференциальных уравнений C C 0, (.30) C C f в которой первое уравнение вводится произвольно (как дополнительное условие, налагаемое на функции C и C ). Определитель этой системы - определитель Вронского W 0, так как функции и линейно независимы. Поэтому система (.30), рассматриваемая как система линейных алгебраических уравнений относительно C, C, имеет решение и притом единственное. Оно представляется в виде f C W, f C (.3) W Интегрируя дифференциальные уравнения первого порядка (.3), находим f C f d C, C d C (.3) W W Подставляя (.3) в (.9), получим общее решение неоднородного уравнения в виде f f C C d d W W. (.33) Последние два слагаемых в правой части формулы (.33) определяют частное решение неоднородного уравнения (.7). Таким образом, если известна фундаментальная система решений соответствующего линейного однородного уравнения,, то общее решение неоднородного уравнения может быть найдено с помощью квадратур (то есть неопределенных интегралов от этих решений). 8

19 Замечание. Метод вариации произвольных постоянных является общим методом, пригодным для построения решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений (как с переменными, так и с постоянными коэффициентами) при произвольной непрерывной правой части. Но он является принципиально более сложным, чем метод подбора, так как его реализация связана с интегрированием дифференциальных уравнений первого порядка. Поэтому для линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами и с правыми частями специального вида проще применять метод подбора частного решения. Пример. Решить уравнение e 4 4 (.34) ). Находим общее решение соответствующего однородного уравнения k Составляем характеристическое уравнение k 4k 4 0. Его корни k. Следовательно, частные линейно независимые решения равны (см. таблицу, случай 3а) e, e 0 Ce Ce, а общее решение. ). Так как правая часть неоднородного уравнения (.34) не относится ни к одному из случаев для метода подбора, то частное решение находим методом вариации произвольных постоянных. Принимаем где -неизвестные (варьируемые) функции. Тогда их производные C и C C и C C e C e (.35), могут быть найдены из решения системы (.30): C e C e 0, e C e C e e. Определитель этой системы e e 4 W e. e e e Поэтому для определения варьируемых функций согласно (.3) получаем дифференциальные уравнения вида e e e e C, C 4 4. (.36) e e 9

20 Интегрируя уравнения (.36), находим C C, C l C. (.37) Подставляя (.37) в (.35), получим общее решение уравнения в виде e C C l. 0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ЕАКОГАН ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие по дисциплине математика для студентов обучающихся по специальности Автомобиле-и тракторостроение

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный машиностроительный

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДУ допускающие понижение ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДУ линейные неоднородные (ДУЛН) ДУ линейные однородные

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского -

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - { общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан однородного линейного дифференциального уравнения

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Кафедра Высшей и прикладной математики Романова ЛД, Ланцова ВА, Романова ЕГ Контрольные задания по высшей математике и методические

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Дифференциальные уравнения (лекция 10)

Дифференциальные уравнения (лекция 10) Дифференциальные уравнения лекция 0 Линейные неоднородные уравнения высших порядков Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 6. Линейные неоднородные уравнения -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция 15 Решение

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 6 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами ) ) ) L [] f ) 9) где i постоянные Так

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г.

Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г. Дифференциальные уравнения Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка Лектор Янущик О.В. 2012 г. Глава II. Дифференциальные уравнения высших порядков 12. Основные понятия и определения

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ С В БОГАТОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ Рязань 6 Федеральное агентство по образованию Рязанская государственная

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1. Общие понятия. Интегрируемые типы уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной

ЛЕКЦИЯ 1. Общие понятия. Интегрируемые типы уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной ЛЕКЦИЯ. Общие понятия. Интегрируемые типы уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной. Введение. Задача решения (интегрирования) дифференциальных уравнений это задача, обратная дифференцированию.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

называется вертикальной асимптотой графика функции f (x)

называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) Исследование и построение графиков функций Схема исследования графика функции Найти область определения функции множество значений (по возможности точки разрывов вертикальные асимптоты Прямая 0 называется

Подробнее

Уравнения в частных производных

Уравнения в частных производных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ЛГЛелевкина ТАШемякина Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по математическому анализу

Подробнее

ISBN ISBN

ISBN ISBN Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет имени А. Д. Сахарова» Факультет мониторинга окружающей среды Кафедра физики

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Линейные однородные дифференциальные уравнения с. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с

Линейные однородные дифференциальные уравнения с. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения. Свойства общего решения. Теорема Коши. Интегральные кривые. Особое решение. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения вида у fх.

Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3 Дифференциальные уравнения высших порядков Лекции 2-3 Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида F( x, y, y,..., y() n ) 0, () в котором обязательно наличие n-ой производной. Будем

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли Математический анализ Раздел: Дифференциальные уравнения Тема: Однородные уравнения Линейные уравнения Уравнения Бернулли Лектор Рожкова СВ 07 год 8 Однородные уравнения Функция M, называется однородной

Подробнее

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1).

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1). Лекция. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур. Теорема.. Если: функция непрерывна на отрезке [,],

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Часть 1. Основные понятия. 1.1. Введение 2 1.2. Начальные условия 4 1.3. Составление дифференциальных уравнений 5 1.4.

Подробнее