Дифференциальные уравнения и ряды

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Дифференциальные уравнения и ряды"

Транскрипт

1 Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд физ-мат наук РМ Минькова Печатается по решению редакционно-издательского совета ГОУ ВПО УГТУ-УПИ Екатеринбург 6

2 УДК 5 (75) ББК 7 Рецензенты: кафедра высшей математики Уральского государственного экономическогоуниверситета, зав кафедрой проф, канд физ-мат наук НИ Чвялева; проф, д-р физ-мат наук В Б Репницкий (Уральский государственный университет им А М Горького, кафедра алгебры и дискретной математики) Автор: НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды: учебно-методическое пособие по курсу «Высшая математика» / НМ Кравченко Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 6 5 с ISBN Учебно-методическое пособие содержит основные понятия теории, подробное решение типовых задач, примеры для самостоятельного решения Библиогр: 7 назв Рис Подготовлено кафедрой «Вычислительные методы и уравнения математической физики» УДК 5 (75) ББК 7 ISBN ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ», 6

3 Глава Дифференциальные уравнения Основные понятия теории дифференциальных уравнений Решение различных задач математики, физики, химии и других наук приводит часто к уравнениям, связывающим независимую переменную, искомую функцию и её производные Такие уравнения называют дифференциальными Решением дифференциального уравнения (ДУ) называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество Наибольший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения Например, дифференциальное уравнение имеет третий порядок, а уравнение первый порядок Процесс отыскания решения дифференциального уравнения называется интегрированием, график решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой Рассмотрим задачу, решение которой приводит к дифференциальному уравнению: найти кривую, проходящую через точку (;), у которой отрезок любой ее касательной, заключенный между осями у координат, делится пополам в точке касания f () Решение Пусть f ( ) уравнение искомой кривой; M(, ) произвольная точка этой кривой A (рис) Так как по условию задачи AM BM, то OC CB Из CBM : tg MC MBC CB Так как tg MBC tg(8 ) tg, то tg O C B Но tg это угловой коэффициент касательной к кривой в точке М(,), те tg ( ) Таким образом, Рис получаем Это уравнение есть дифференциальное уравнение первого порядка относительно неизвестной функции () Его решением является функция ( ) Решение будет приведено в п (пример ) Дифференциальные уравнения первого порядка Основные понятия Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид: F,,, () где независимая переменная; () искомая функция; её производная Иногда уравнение () можно разрешить относительно : M(, ) f (, ), () х

4 d Уравнение () можно записать в дифференциальной форме, заменив на : d P, d Q, d, () Например, уравнение можно записать в виде 4 d d или d d Дифференциальное уравнение в общем случае имеет бесконечное множество решений Решением уравнения cos является функция si, а также функции si, si,5 и вообще si c, где с cost Чтобы получить одно решение дифференциального уравнения, необходимо подчинить его некоторым дополнительным условиям Условие, что функция () должна быть равна определенному значению, при, называется начальным условием Начальное условие записывают в виде: ( ) или (4) Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция, c, содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям: а) функция, c есть решение дифференциального уравнения при любом конкретном значении постоянной c ; б) каково бы ни было допустимое начальное условие (4), можно найти такое значение постоянной c c, что функция, c удовлетворяет данному начальному условию Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется любая функция, c, полученная из общего решения, c при конкретном значении постоянной c c С геометрической точки зрения общее решение дифференциального уравнения есть семейство интегральных кривых на плоскости XOY ; частное решение одна интегральная кривая этого семейства, проходящая через заданную точку (, ) Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения первого порядка (), удовлетворяющего начальному условию (4), называется задачей Коши Теорема (существования и единственности решения задачи Коши) Если в уравнении f (, ) функция f (, ) и её частная производная f, непрерывны в некоторой области, содержащей точку (, ), то в этой области существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию Доказательство не приводим Геометрический смысл теоремы состоит в том, что существует единственная интегральная кривая дифференциального уравнения, проходящая через точку (, ), если выполняется условие теоремы В процессе решения дифференциального уравнения мы нередко приходим к соотношению вида Ф,, c, которое неявно определяет искомую функцию

5 () Такое равенство называют общим интегралом дифференциального уравнения, а равенство Ф,, c называется частным интегралом уравнения Уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальные уравнения вида или f ( ) ( ) (5) f ( ) ( ) называют уравнениями с разделяющимися переменными Умножением на d и делением на ( ) уравнение приводится к виду d d d f ( ) d,, (6) ( ) в котором переменная находится в одной части равенства, а переменная в другой, те переменные разделены Интегрируя уравнение (6), получим d, которое задаёт решение ) f ( ) d C ( в неявном виде Уравнение, записанное в виде M N d M N d, также будет уравнением с разделяющимися переменными Перенесём второе слагаемое в правую часть: M N d M N d, разделим на выражение N M и получим уравнение M N d d, в котором переменные и разделены M N Пример Решить уравнение, ( ) Решение Данное уравнение есть дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными Представим его в виде d ( ) d d или d d d ( ) Переменные разделены, интегрируем: Найдем интеграл, стоящий в левой части, d d d d Возвращаясь к предыдущему равенству, получаем c, Обозначив произвольную постоянную и выразив из последнего равенства, получим общее решение уравнения быть потеряны решения и c, c через c Пример Найти общее решение уравнения c c, c, откуда При делении на могли Очевидно, что они удовлетворяют уравнению d d, ( ) 5

6 Решение Делим обе части уравнения на Интегрируем: d d c, 6 : те d c Решение получено в неявном виде Оно является общим интегралом уравнения Пример Найти решение уравнения Решение Имеем d или Отсюда c d d d d d d, удовлетворяющее условию ( ) Интегрируем:, те c общее решение дифференциального уравнения Оно представляет собой семейство гипербол Выделим одну из них, которая проходит через c точку (;) Подставим, в общее решение:, с Следователь- но, искомое решение дифференциального уравнения Однородные дифференциальные уравнения Однородное дифференциальное уравнение это уравнение вида Уравнение (7) с помощью подстановки, те (7), (8) где (), преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными Действительно, подставляя и в уравнение, получим или d Это уравнение с разделяющимися переменными d Пример 4 Найти общий интеграл уравнения Решение Преобразуем уравнение к виду (7): tg tg, tg Положим, тогда tg tg, переменными Разделим переменные: Проинтегрируем: Подставляя в уравнение, получим: Это уравнение является уравнением с разделяющимися d tg d d, d tg d, d tg cos d d d cos d si, si si c, si c,

7 Заменяя на, получаем si c или arcsi c общее решение уравнения Пример 5 Найти общее решение уравнения d Решение Выразим из уравнения : d d d, общий интеграл исходного уравнения d d d d, Разделив числитель и знаменатель дроби на, получим однородное уравнение / Подставим в уравнение /, : Разделим переменные: Проинтегрируем: Заменяя на, получим d, d d d, d d c, c c общий интеграл уравнения 4 Линейные уравнения Уравнение Бернулли Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид p q, (9) где p() и q () заданные непрерывные функции Рассмотрим один из методов решения линейного уравнения метод подстановки Решение уравнения (9) ищется в виде произведения двух функций v Дифференцируя обе части этого равенства, получим v v Подставляя выражения для () и () в уравнение (9), получаем: v v p ( ) v q ( ) или v v p v q () Выберем функцию v так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, те находим какое-либо решение дифференциального уравнения v p v, которое является уравнением с разделяющимися переменными Подставляя найденное решение v в уравнение (), получаем ещё одно уравнение с разделяющимися переменными v q Находим его общее решение, c Возвращаясь к переменной, получим, c v Это есть общее решение исходного линейного уравнения (9) 7

8 Пример 6 Найти общее решение уравнения v Решение Полагаем v Тогда v v, те Функцию () v v найдём из уравнения Проинтегрировав, получим (), получаем уравнение для определения ) c v v v dv v v или d v, v Подставляя v ( : d d d (), те dv v d в уравнение или d или Интегрируя, найдём Следовательно, общее решение данного уравне- v c c или ния есть Пример 7 Найти частное решение уравнения ( cos ), удовлетворяющее условию ( ) Решение Для определения типа уравнения выразим из него : cos, ( ), cos Получили линейное уравнение Сделаем подстановку примет вид: Функцию v v v cos или v cos v v v v или v находим из уравнения v Тогда уравнение () dv v d Проинтегрировав, получим v или v Подставим v в уравнение (): ' cos или ' cos Решая это уравнение, находим () : d cos d, d cos d, si c Общее решение исходного уравнения есть v si c Подставляя, в общее решение, получим: si c Таким образом, частное решение уравнения будет si Дифференциальное уравнение вида или si c, c, c p( ) q( ) () называется уравнением Бернулли При уравнение () является линейным, при уравнением с разделяющимися переменными Уравнение Бернулли можно решить тем же методом, что и линейное уравнение Пример 8 Найти общее решение уравнения Бернулли tg cos 8

9 Решение Полагаем Находим функцию v Тогда v v v tg 9 v cos, те v v v v cos v v : tg (4) v из уравнения tg dv v tg d, dv tg d, cos v v, v cos Подставляя v cos d, d Проинтегрировав, найдём: c, c cos Отсюда общее решение уравнения Бернулли есть v c в уравнение (4), получим уравнение для определения () Примеры для самостоятельного решения Найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений: ( e 5) d e d ( ) 8 / 7 e e Найти частное решение (частный интеграл) дифференциальных уравнений: 9 e, () cos, / Ответы: ' 6, e c 5 / e, c / c 4 5 c c / 7 e c 8 c 9 (si ) 6 e c Дифференциальные уравнения второго порядка Основные понятия : Дифференциальное уравнение второго порядка записывается в виде F,,, () или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно второй производной f,, () Например, уравнение 6 есть простейшее уравнение второго порядка Проинтегрировав, получим c Ещё раз проинтегрируем: c c общее решение Для отыскания констант c, c нужны два условия Их задают в виде ( ), ( ) и называют начальными условиями

10 Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция, c, c, где c, c произвольные постоянные, удовлетворяющая условиям:, c, c есть решение дифференциального уравнения при а) функция любых значениях постоянных c, c ; б) каковы бы ни были допустимые начальные условия ( ),, () можно найти такие единственные значения постоянных c и c, что функция, c, c удовлетворяет данным начальным условиям Частным решением дифференциального уравнения второго порядка называется любая функция, полученная из общего решения при конкретных значениях постоянных c, c Задача нахождения решения дифференциального уравнения (), удовлетворяющего заданным начальным условиям (), называется задачей Коши Теорема (существования и единственности решения задачи Коши) Если в уравнении f,, функция f,, и её частные производные f и f непрерывны в некоторой области, содержащей точку,, ), то в этой области существует единственное решение ( уравнения f (,, ), удовлетворяющее начальным условиям ( ) ( ), Доказательство не приводим Аналогичные понятия и определения имеют место для дифференциальных уравнений го порядка Далее рассмотрим отдельные виды дифференциальных уравнений высших порядков Уравнения, допускающие понижение порядка Одним из методов решения дифференциального уравнения второго порядка является метод понижения порядка Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной данное дифференциальное уравнение сводится к уравнению первого порядка Рассмотрим три типа уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка Уравнение вида f ( ) (4) не содержит искомую функцию и её производную Порядок уравнения понижается путем последовательного интегрирования d d Так как, то дифференциальное уравнение (4) можно записать в виде d f d Интегрируя, получаем: f d или f c Последнее уравнение есть дифференциальное уравнение первого порядка Решаем его:

11 d f( ) c d, f( ) c d, общее решение уравнения (4) f c c, то, проинтегрировав его последователь- ( ) Если дано уравнение но раз, получим общее решение f ( ) Пример Решить уравнение Решение Последовательно интегрируя три раза данное уравнение, получим: d c, c d c c, c c d c c c Пример Найти частное решение уравнения условиям ( ), ( ) Решение Интегрируем уравнение si d cos / c Подставляя, в это равенство, находим cos / si / 6 Отсюда d c общее решение уравнения si, удовлетворяющее c : cos c, c Находим C из начальных условий: si c, c Таким образом, si / 6 частное решение данного уравнения Рассмотрим уравнение вида f,, (5) которое не содержит явно искомую функцию Порядок уравнения понижается заменой p, где p() p новая неизвестная фунция Тогда p дифференциальное уравнение (5) принимает вид p f (, p), те получаем уравнение первого порядка относительно неизвестной функции p () Проинтегрировав это уравнение, найдем его общее решение p, c Так как p, то для нахождения искомой функции получим уравнение, c Решив это уравнение первого порядка, получим общее решение исходного уравнения, c d c Пример Найти общее решение уравнения Решение В уравнении отсутствует явно функция (), те оно имеет вид (5) Поэтому произведём замену p p Получим уравнение, p p, или dp p d dp d и

12 Разделяя переменные, будем иметь Интегрируя, получаем: Так как p dp p d p c, или p c, то c, или d c d Разделим переменные: Интегрируя, получим общее решение c c / c d c d Пример 4 Найти общее решение уравнения Решение Положив, получим p линейное дифференци- альное уравнение первого порядка Решим его заменой, Функцию p p, p p v p v v : v v v, или v v v v v : dv v dv d,, v d v или c p v c или p c c Отсюда c c v находим из уравнения Для нахождения функции получаем уравнение Интегрируя, имеем Следовательно, Заменим p на : есть общее решение исходного уравнения Рассмотрим уравнение вида f,, (6) которое не содержит явно независимую переменную Для понижения порядка используется снова подстановка p, но p() Найдем, учитывая, что p p( ( )) сложная функция: d d p d d p p, те dp p d d d d d p Подставляя выражения и в уравнение (6), получим уравнение первого dp d порядка p f (, p) Интегрируя его, найдем общее решение p, c Заменим p на :, c уравнение с разделяющимися переменными Проинтегрировав его, найдем общий интеграл уравнения (6): d c, c Пример 5 Найти частное решение уравнения начальным условиям ( ), ( ), удовлетворяющее

13 Решение Уравнение имеет вид (6) Пусть Тогда p d p p d и уравнение примет вид: d p p p d dp p d Это уравнение с разделяющимися переменными:, dp d p Интегрируя его, получаем: p c, или p c Заменяем p на : ' c ( ) Подставляем в это равенство начальные условия, : c ( ), Интегрируя это уравнение, получим: c c, c частное решение данного уравнения d d С Тогда d, или Таким образом, Найдем c, или d из начальных условий Примеры для самостоятельного решения Найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений: cos tg 4 / Найти частное решение (частный интеграл) дифференциальных уравнений: 5, /, 6,, Ответы: cos / 4 c c c cos c c c ( c) c 4 / c c e c 5 / 6 / 4 Линейные дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение -го порядка называется линейным, если ( ) оно линейно относительно искомой функции и её производных,,,, те имеет вид a a a f, (4) где a, a,, a, f заданные функции Если f ( ), то уравнение (4) называется линейным однородным уравнением; если f ( ), то уравнение (4) называется неоднородным В дальнейшем будем предполагать, что функции a, a,, a, f непрерывны (на некотором интервале ( a, b) ) При этих условиях справедлива теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения (см теорему ) 4 Однородные линейные уравнения Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение (ОЛДУ) второго порядка: a a (4)

14 Установим некоторые основные свойства решений однородных уравнений Теорема 4 Если функции и являются частными решениями уравнения a a, то функция c c, где c, c произвольные постоянные, есть также решение этого уравнения Доказательство Так как и решения уравнения, то a a и a a Подставим функцию c c в уравнение (4) и, принимая во внимание эти тождества, получим: c c a c c a c c c c a c c a c c c a a c a a c c, те функция c c есть решение уравнения Итак, функция c c удовлетворяет уравнению (4) при любых значениях постоянных c, c Является ли функция c c общим решением однородного уравнения? Для ответа на этот вопрос введем понятия линейной независимости и линейной зависимости функций Две функции, называются линейно независимыми на интервале ( a, b), если их отношение на этом интервале не является постоянным, те если ( ) ( ) cost В противном случае функции называются линейно зависимыми Например, функции e функции e функции 4 cos и e и 5 si Пусть функции Определитель и e линейно зависимы: e cost ; e 4 линейно независимы: e 4 также линейно независимы: 4 e cost ; e cos cost si и дифференцируемы на интервале (, b) W ( ; ) называется определителем Вронского или вронскианом данных функций 5 (4) a Теорема 4 Если функции, линейно зависимы на интервале ( a, b), то определитель Вронского на этом интервале тождественно равен нулю Доказательство Так как функции, линейно зависимы, то cost на (, b) a или Тогда

15 W ( ; ) Теорема 4 Если частные решения, уравнения a a линейно независимы на ( a, b), то определитель Вронского ни в одной точке этого интервала не обращается в нуль Доказательство не приводим Из теорем 4 и 4 следует, что вронскиан не равен нулю ни в одной точке интервала ( a, b) тогда и только тогда, когда частные решения, линейно независимы Совокупность двух линейно независимых на интервале ( a, b) частных решений, ОЛДУ второго порядка называется фундаментальной системой решений этого уравнения Следующая теорема отвечает на вопрос: при каких условиях функция c c будет общим решением уравнения (4)? Теорема 44 (о структуре общего решения ОЛДУ) Если два частных решения, ОЛДУ a a образуют на интервале ( a, b) фундаментальную систему, то общим решением этого уравнения будет функция c c, где c, c произвольные постоянные Доказательство Согласно теореме 4 функция c c есть решение уравнения (4) Докажем теперь, что каковы бы ни были допустимые начальные условия,, ( a; b), (44) можно так подобрать единственные значения произвольных постоянных c, c, чтобы соответствующее частное решение c c удовлетворяло начальным условиям Подставив решение c c в начальные условия (44), получим систему уравнений относительно неизвестных c, c : c c, c c (45) Определитель этой системы есть вронскиан функций,, вычисленный в точке : W ; Так как решения, линейно независимы, то согласно теореме 4 вронскиан ни в одной точке интервала ( a, b) не обращается в нуль Следовательно, система уравнений (45) имеет единственное решение c c, c c Частное решение c ( ) c ( ) удовлетворяет начальным условиям (44) 5

16 Таким образом доказано, что функция c c (46) есть общее решение ОЛДУ 4 Однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами Рассмотрим однородное линейное уравнение (ОЛДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами p q, (47) где p и q - постоянные действительные числа Чтобы найти общее решение уравнения (47), достаточно найти два его частных решения, образующих фундаментальную систему (см теорему 44) k Будем искать частное решение в виде e, где k cost ; тогда k k k e, k e Подставляя выражения для у,, в уравнение (47), получаем: k k k k k e p k e q e, e k p k q, или k p k q (48) Следовательно, если k будет удовлетворять уравнению (48), то функция k e будет решением уравнения (47) Уравнение (48) называется характеристическим уравнением ДУ (47) Для его составления надо в уравнении (47) заменить,, соответственно на k, k, Характеристическое уравнение есть квадратное уравнение, k и k его корни Возможны следующие три случая Случай Корни характеристического уравнения действительны и различны: k k В этом случае частными решениями уравнения (47) будут функции e k и e k Они образуют фундаментальную систему, тк k e k k e cost k e Следовательно, общее решение однородного уравнения (47) согласно формуле (46) имеет вид: k k c e c e (49) Пример 4 Решить уравнение Решение Составим характеристическое уравнение: k k, его корни k 5, k 4 Следовательно, общее решение данного уравнения, согласно 5 4 формуле (49), имеет вид: c e c e, где c, c произвольные постоянные Случай Корни характеристического уравнения действительные и k равные: k k k В этом случае имеем только одно частное решение e k Покажем, что функция e также является решением уравнения (47) Подставим в левую часть уравнения (47) Будем иметь: 6

17 k k k k k k k k k p q e p e q e k e k e p e k e q e k e k k p p k q e k p k q k p Так как k k k корень уравнения (48), то k k k p, k p k p k q По теореме Виета Отсюда p q, те e есть решение уравнения (47) Частные решения уравнения k k e, e образуют фундаментальную систему решений, тк имеет вид: k e cost k e Поэтому общее решение ОЛДУ (47) k k (4) c e c e Пример 4 Решить уравнение Решение Характеристическое уравнение k k имеет два корня k k Общее решение исходного уравнения согласно формуле (4) за- пишется в виде: c e c e Случай Корни характеристического уравнения комплексно сопряжённые: k i, k i В этом случае частными решениями уравнения (47) будут комплексные функции i i e, e i i Используя формулы Эйлера e cos isi, e cos i si, преобразуем полученные решения: ( i ) i e e e e (cos i si ), ( i ) i e e e e (cos i si ) Для отыскания действительных решений однородного уравнения составим две линейные комбинации решений и : e cos, e si i Согласно теореме 4 функции e cos и e si являются решениями ОЛДУ (47) Эти решения образуют фундаментальную систему, тк cost Поэтому общее решение уравнения (47) в случае комплексных корней характеристического уравнения запишется в виде cos (4) c e c e si Пример 4 Решить уравнение 4 Решение Характеристическое уравнение k 4k имеет комплексные корни k i По формуле (4) записываем общее решение исходного уравнения, c e cos c e si k 7

18 Пример 44 Найти частное решение уравнения 4, удовлетворяющее условиям (), ( ) 4 Решение Корни характеристического уравнения k 4k есть k, k 4 4 Общее решение уравнения имеет вид c e c e 4 или c c e (формула (49)) Тогда 4c у Подставляя,, 4 в выражения 4 для и, получаем: c c e 4 4c e Отсюда c, c Таким образом, искомое 4 частное решение уравнения есть функция e Замечание Метод построения фундаментальной системы решений, рассмотренный нами для ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, распространяется и на уравнения того же типа, но более высокого порядка Покажем это на примере IV Пример 45 Найти общее решение уравнения Решение Характеристическое уравнение k 4 k k k k k корни k k, e, k, 4, 4 8 имеет k Фундаментальная система решений: e e Следовательно, функция c c c e c e, 4 общее решение исходного уравнения Примеры для самостоятельного решения Решить уравнения: 6, 4 4, 5 4,, 5 6, 6 4 Найти частное решение уравнений: 7,,, 8 6 9,, Ответы: c e c e, c e c e, 4 c c e c e 6 4 IV c e cos c e si, 5 c c cos 4 c si 4 si cos, 7 cos, 8 e c c c c, 4 Неоднородные линейные уравнения Рассмотрим неоднородное линейное уравнение (НЛДУ) второго порядка, (4) a a f где a, a, f непрерывные на интервале ( a, b) функции Уравнение, (4) a a левая часть которого совпадает с левой частью уравнения (4), называется соответствующим ему однородным уравнением Теорема 45 (о структуре общего решения НЛДУ) Общее решение неоднородного уравнения a a f есть сумма его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения a a

19 ~ Доказательство Пусть ( ) любое частное решение уравнения (4), () общее решение однородного уравнения (4) Докажем, что функция ( ) ( ) ~ ( ) будет общим решением НЛДУ (4) Заметим, что c c, где, фундаментальная система решений уравнения (4) Подставим ~ ( ) в уравнение (4), а () в уравнение (4) Получим a a f и a a 9 Складывая эти равенства, получим a a f, те ~ есть решение НЛДУ Это решение зависит от двух произвольных постоянных, тк c c Докажем теперь, что каковы бы ни были начальные условия ( ), (44) можно подобрать единственным образом произвольные постоянные c и c, входящие в функцию c c так, чтобы частное решение удовлетворяло заданным начальным условиям Подставив функцию () в начальные условия (44), получим систему уравнений относительно неизвестных c и c : c c, c c, или c c, c c Определитель этой системы отличен от нуля (см теорему 4) Следовательно, система уравнений имеет единственное решение c c, c c Решение c c является частным решением уравнения (4), удовлетворяющим заданным начальным условиям Теорема доказана 44 Метод вариации произвольных постоянных Рассмотрим общий метод нахождения частных решений НЛДУ (4) Его общее решение определяется формулой (см п 4) Частное решение уравнения (4) можно найти методом вариации произвольных постоянных Пусть c c общее решение однородного уравнения (4), где, линейно независимые частные решения ОЛДУ Решение НЛДУ будем искать в аналогичном виде, заменив константы c, c на функции c, c, те в виде c c, (45) где c, c неизвестные пока функции Найдем производную c c c c Подберём функции c, c так, чтобы они удовлетворяли условию c c (46) c c, Тогда c c c c

20 Подставляя выражения для,, в уравнение (4), получим: c c c c a c c a c c f ( ) или c a a c a a c c f ( ) В последнем равенстве выражения в скобках тождественно равны нулю, тк решения однородного уравнения (4), поэтому равенство примет вид и c c f ( ) (47) Таким образом, функция c c будет решением НЛДУ (4), если функции c, c удовлетворяют системе уравнений (46) и (47): c c, c c f ( ) (48) Так как определитель этой системы является определителем Вронского для линейно независимых решений,, то он не равен нулю; следовательно, система имеет единственное решение: c, c Интегрируя эти уравнения, находим c, c, а затем решение c c уравнения (4) Пример 46 Найти решение уравнения 4 4ctg Решение Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения 4 Имеем k 4, k i, k i Фундаментальная система решений cos, si Общее решение ОЛДУ c cos c si Решение неоднородного уравнения будем искать в виде (45): c c Для нахождения c, c составим систему уравнений вида (48): c cos c si, c si c cos 4ctg Умножив первое уравнение системы на si, второе на cos и сложив, получим c 4ctg cos, или c Подставляя найденное выражение c в первое уравнение системы, находим c cos Тогда c( ) cos d si c, cos si cos si c ( ) d d tg cos c si si и общее решение c c исходного уравнения примет вид si c cos tg cos c si или c cos c si tg si, где c и c - произвольные постоянные Обратите внимание, что в скобке общее решение ОЛДУ, а второе слагаемое частное решение НЛДУ

21 Теорема 46 (о суперпозиции решений) Если правая часть уравнения a a f есть сумма двух функций: f f f, а и частные решения уравнений a a f и a a f соответственно, то функция является частным решением данного уравнения Доказательство Подставим функцию в уравнение (4): a a Теорема доказана Примеры для самостоятельного решения a a a a f f f e e c c Решить уравнения: ; Ответы:, si c cos c si cos si si 45 Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами Рассмотрим неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами p q f, (49) где p и q действительные числа Частное решение уравнения (49) можно найти методом, рассмотренным в п44 Если правая часть f () НЛДУ (49) имеет специальный вид, то частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов Суть метода состоит в следующем Частное решение записывают в виде, похожем на функцию f (), но с неопределенными коэффициентами; затем подставляют в уравнение и определяют значения коэффициентов Рассмотрим два случая Случай I Правая часть уравнения (49) имеет вид: f P e a, где P () многочлен, R В этом случае частное решение ~ уравнения можно искать в виде a r Qe, (4) где Q () многочлен той же степени, что и P (), но с неопределенными коэффициентами, r число, равное кратности как корня характеристического уравнения k p k q Чтобы найти коэффициенты многочлена Q, надо подставить выражение ~ ( ) в уравнение (49) Пример 47 Решить уравнение 4 5e Решение Общее решение НЛДУ имеет вид: Найдем общее решение однородного уравнения 4 Характеристическое уравнение k 4 имеет корни k, k Следовательно, c e c e

22 Найдем частное решение НЛДУ Правая часть уравнения имеет вид f ( ) 5e Так как не является корнем характеристического уравнения, а P( ) 5 многочлен нулевой степени, то по формуле (4) частное решение ищем в виде A e Тогда Ae, 9Ae Подставляя,, в исходное уравнение, получаем:, или 5Ae 5Ae, откуда 9Ae 4Ae 5e A Следовательно, частным решением является функция e, а общим решением функция c e c e e Пример 48 Найти решение уравнения 4 8, удовлетворяющее условиям (), ( ) Решение Общее решение неоднородного уравнения имеет вид: Находим решение однородного уравнения Характеристическое уравнение k k имеет корни k, k Следовательно, общее решение ОЛДУ будет c e c e c c e Найдем частное решение НЛДУ Правая часть уравнения f e Число есть простой корень характеристического уравнения ( k ) Следовательно, по формуле (4) частное решение бу- дем искать в виде ( A B) e A B Тогда A B ставляя,, в исходное уравнение, будем иметь: ~, ~ A Под- A ( A B) 4 8, или 4A A B 4 8 Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим: 4A 4, A B 8, откуда A, B Поэтому частное решение данного уравнения имеет вид: Общим решением является функция c c e Подставляя найденное решение в начальные условия (), получим систему уравнений: c c e c e Откуда c c, ( ), Следовательно, искомое решение, удовлетворяющее начальным условиям, есть e Случай II Пусть правая часть ДУ (49) имеет вид: f ( ) e P cos P si, где P, P заданные числа,, R В этом случае частное решение ~ ( ) неоднородного ДУ можно найти в виде r (4) e ( Acos Bsi ), где A и B неопределённые коэффициенты, r число, равное кратности i, как корня характеристического уравнения k p k q Замечания: Формула (4) частного решения ~ ( ) не меняется, если в правой части уравнения (49) выражение содержит только cos или только si, те или

23 P или P Если правая часть ДУ (49) есть сумма функций вида I и II, то для нахождения частного решения ~ ( ) следует применить теорему 46 Пример 49 Решить уравнение 5 7si ~ Решение Общее решение НЛДУ имеет вид: Найдем общее решение однородного уравнения 5 Характеристическое уравнение k k 5 имеет корни k i, k i Следовательно, c cos c e si e Найдём частное решение ~ Функция в правой части уравнения имеет вид: f ( ) e cos 7si Так как,, i i не совпадает с корнем характеристического уравнения, то по формуле (4) частное решение будем искать в виде ~ Acos Bsi Тогда ~ Asi B cos, ~ 4Acos 4B si ~, ~ в исходное уравнение, получим: 4Acos 4B si ( Asi B cos ) 5( Acos Bsi ) 7si, ( 4A 4B 5A)cos ( 4B 4A 5B)si 7si A 4B Следовательно, A 4, B B 4A 7 ~ 4cos si e c cos c si 4cos si 4cos Подставляя ~, или Отсюда имеем: функция и частное решение есть Таким образом, искомое общее решение НЛДУ есть Пример 4 Решить уравнение Решение Характеристическое уравнение k имеет корни k i, k i Следовательно, общим решением соответствующего однородного уравнения является функция c cos c si Правая часть НЛДУ имеет вид: f ( ) e (4cos si ) Здесь,, i i Это число совпадает с одним корнем характеристического уравнения Поэтому по формуле (4) частное решение будем искать в виде ~ ( Acos B si ) (в формуле (4) взять r ) Найдём ~ ( A B)cos ( B A)si, ~ (B A)cos ( A B) si Подставив ~, ~, ~ в исходное уравнение, получим: ( B A)cos ( A B)si ( Acos Bsi ) 4cos, ( B A A) cos ( A B B)si 4cos или B cos Asi 4cos B, A или A, B ~ si, c cos c si si Отсюда 4 Следовательно, частным решением уравнения является функция а общим решением Пример 4 Написать частное решение с неопределенными коэффициентами для дифференциальных уравнений: а) 6 e, б) e e si, в) 4 5cos si Решение а) Характеристическое уравнение k k 6 имеет корни k, k Правая часть уравнения представляет собой сумму двух функций

24 ( ) f e и f ( ) Согласно теореме 46, частным решением исходного уравнения будет функция, где и есть частные решения неоднородных уравнений 6 e и 6, соответственно Функция ( ) f e имеет вид: P( ) e a, поэтому решение ~, согласно формуле (4), ищем в виде Ae Так как есть простой корень характери- r стического уравнения, то r и Ae Функция f e имеет тот же вид: P( ) e a Так как не является корнем характеристического уравнения, то в формуле (4) надо взять r Тогда ( ) B e или ( ) B и частное решение исходного уравнения будет иметь вид: Ae B ( ) ( ) б) Корни характеристического уравнения k k есть k k Рассмотрим два уравнения (см теорему 46): e и e si Функция ( ) f e, поэтому решение ищем в виде r A B e (формула (4)) Так как двукратный корень характе- ристического уравнения, то r Значит ( A B) e Функция f ( ) e si или f ( ) e (cos si ), следовательно, решение второго уравнения согласно формуле (4) будем искать в виде r e C cos D si Так как,, то i i не является корнем характеристического уравнения Поэтому r и e ( C cos D si ) Частным решением исходного уравнения будет функция A B e e C D ( ) ( cos si ) в) Характеристическое уравнение k 4 имеет корни k i, k i Правая часть данного ДУ содержит cos и si, которые зависят от разных аргументов Рассмотрим уравнения 4 5cos и 4 si Функция в правой части первого уравнения имеет вид: f ( ) e (5cos si ) Согласно формуле (4) частное решение ищем в виде e ( Acos Bsi ) Так как,, i i не является корнем характеристического уравнения, то r и Acos Bsi Функция f ( ) si или f ( ) e (cos si ) Учитывая, что a ib i не является корнем характеристического уравнения, в формуле (4) полагаем r и решение запишем в виде C cos Dsi Таким образом, общий вид частного решения исходного уравнения есть Acos B si C cos D si Примеры для самостоятельного решения Решить уравнения: 6 ; e ; si ; 4 Написать частные решения с неопределенными коэффициентами: 4 4 e e si, 7 e cos 5 4 r 4

25 4 4 Ответы: c e c e /6 /8, e c c /, 4 c e c e si cos, 4 5 e A B C 5 c c e / 8 7 /6, e A B C D, 6 e ( Acos Bsi ), 7 ( ) cos si Глава Ряды 5 Числовые ряды 5 Основные понятия Выражение вида (5) называется числовым рядом, где,,,, действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, общий член ряда Сумма первых членов ряда называется -й частичной суммой ряда и обозначается S, те S Если последовательность S частичных сумм ряда имеет конечный предел S при, то ряд называется сходящимся, число S im S называют суммой ряда Если im S () расходится Такой ряд суммы не имеет Пример 5 Рассмотрим ряд a q не существует или im S, то говорят, что ряд (5) a a q a q a q, ( a ) Члены ряда (5) есть члены геометрической прогрессии, сумма первых членов которой находится по формуле ) Если q, то q при, im, ряд (5) сходится и его сум- a ма равна q ) Если q, то a ( q ) S = a a q q q q, q a S q q при Поэтому im S, ряд (5) расходится ) Если q, то ряд (5) принимает вид a a a В этом случае S, те ряд расходится im S a, 4) Если q, то ряд (5) принимает вид a a a a В этом случае S при четном и S a при нечетном Поэтому im S не существует, ряд расходится Таким образом, ряд a q сходится при a и q q и расходится при q Например, ряд есть ряд, составленный из членов геометриче- ской прогрессии при / Следовательно, ряд сходится и его сумма a S q /

26 Пример 5 Рассмотрим ряд ( ) Общий член ряда ( ) Для удобства вычисления частичной суммы перепишем его в виде ( ) Тогда: S 4 im S im Следовательно, Рассмотрим некоторые свойства рядов, те ряд сходится и его сумма равна Свойство Если ряд (5) сходится и его сумма равна S, то ряд c c c c c (c произвольное число) (5) также сходится и его сумма равна c S Доказательство Обозначим -ю частичную сумму ряда (5) через ряда (5) через Тогда c c cт c ( ) c S, im im c S c im S c S Следовательно, ряд (5) сходится и его сумма равна c S Свойство Если ряды сходятся и их суммы соответственно равны U и V, то сходятся ряды и v S, а ( v) и их суммы соответственно равны U V Свойство Если к ряду (5) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (5) сходятся или расходятся одновременно Свойства, доказываются аналогично свойству Ряд называется -м остатком ряда (5) Он k k получается из ряда (5) путем отбрасывания первых его членов Ряд (5) и его остаток, согласно свойству, одновременно сходятся или расходятся Из этого же свойства следует, что если ряд (5) сходится, то при его остаток стремится к нулю Действительно, в случае сходимости ряда (5) имеем: S S R, где R, или R S S Тогда im R S im S S S Примеры для самостоятельного решения 4 ( ) Найти сумму ряда:, Ответы: S, 75,,5 S 6 6

27 5 Необходимый признак сходимости Установить сходимость или расходимость ряда путем вычисления im (как это сделано в примерах 5, 5) во многих случаях является непростой задачей Поэтому для выяснения сходимости ряда используют специальные признаки сходимости Теорема 5 (необходимый признак сходимости) Если ряд сходится, то предел его общего члена при Доказательство Пусть ряд равен нулю получим сходится Тогда, учитывая, что S S im im ( S S ) im S im S S S S, Следствие (достаточное условие расходимости ряда) Если предел -го члена ряда отличен от нуля или не существует, то ряд расходится Действительно, если бы ряд сходился, то, согласно теореме 5, im, что противоречит условию Следовательно, ряд расходится Пример 5 Исследовать сходимость ряда Решение im im 5 5, поэтому по достаточному условию расходимости данный ряд расходится Пример 54 Исследовать сходимость ряда 5 Решение Так как по второму замечательному пределу im im e, то ряд расходится Следует отметить, что теорема 5 дает необходимое условие сходимости ряда, но не достаточное, те если im, то из этого еще не следует, что ряд сходится В качестве примера рассмотрим ряд, (54) называемый гармоническим Здесь im im Однако этот ряд является расходящимся Покажем это Запишем сумму первых S Найдем разность S наименьшим, S и членов ряда:, S S, в которой каждое слагаемое заменим равным Получим S S, или S Теперь предположим, что ряд (54) сходится, тогда 7

28 im S im S S или Переходя к пределу в неравенстве, получим, что S S / 8, Пришли к противоречию, следовательно предположение о сходимости ряда (54) неверно, те гармонический ряд расходится Доказать, что ряды расходятся 4 Примеры для самостоятельного решения 4 5 Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов Рассмотрим некоторые достаточные признаки сходимости для знакоположительных рядов, те рядов с неотрицательными членами (ряд с отрицательными членами превращается в знакоположительный путем умножения на, что, согласно свойствам рядов, не влияет на сходимость ряда) Теорема 5 (признак сравнения) Пусть даны два ряда то из сходимости ряда из расходимости ряда v и v Если для всех выполняется неравенство v, (55) следует сходимость ряда следует расходимость ряда Доказательство Обозначим е частичные суммы рядов соответственно через s и, причем s сходится, тогда существует im и, v и v в силу условия (55) Пусть ряд, так как члены ряда положительны Последовательность частичных сумм s, s,, s ряда v v является возрастающей (с ростом увеличивается сумма положительных слагаемых) и ограниченной ( s ) Следовательно, последовательность s имеет конечный предел, те ряд Пусть теперь ряд сходится тогда, по вышедоказанному, сходится и ряд расходится Предположим, что ряд v сходится, Получили противоречие

29 Пример 55 Исследовать сходимость ряда Решение Сравним данный ряд с геометрической прогрессией Прогрессия сходится q, q Так как Пример 56 Исследовать сходимость ряда, то и данный ряд сходится Решение Сравним данный ряд с гармоническим рядом (при ), а ряд расходится, то и ряд расходится Теорема 5 (предельный признак сравнения) Если Так как и v ряды с положительными членами и существует конечный, отличный от нуля предел im v k, то ряды одновременно сходятся или расходятся Доказательство По определению предела последовательности для любого выполняется неравенство v ( k ) v ( k ) v Если ряд v k для любого N сходится, то сходится ряд силу признака сравнения (теорема 5) будет сходиться ряд если сходится ряд, то сходится ряд Таким образом, из сходимости одного ряда ( k ) v или и сходится ряд v, откуда ( k ) v и в Аналогично, v следует сходимость другого из этих рядов Утверждение теоремы о расходимости рядов доказывается аналогично Пример 57 Исследовать сходимость ряда Решение Сравним данный ряд с гармоническим рядом im : im расходится Пример 58 Исследовать сходимость ряда Так как, то данный ряд так же, как и гармонический, si 9

30 Решение Сравним данный ряд с гармоническим рядом im si : расходимость исходного ряда : Отсюда из расходимости гармонического ряда следует Теорема 54 (признак Даламбера) Пусть для ряда с положительными членами существует предел im и расходится при Доказательство не приводим Пример 59 Исследовать сходимость ряда! Решение Вычислим предел!! Так как, то данный ряд по признаку Даламбера сходится Тогда ряд сходится при im im : im im / im ( )!! / Пример 5 Исследовать сходимость ряда Решение Вычислим предел ( ) ( ) im im : im im im ( ) ( ) ( ) Так как, то по признаку Даламбера ряд расходится Пример 5 Исследовать сходимость ряда tg / Решение Так как Тогда im /, то / бесконечно малая функция и tg / / ( ) tg / ( ) / im im im tg / / ; ряд сходится Замечание Если im, то следует использовать другие признаки сходимости Теорема 55 (интегральный признак Коши) Пусть члены знакоположительного ряда являются значениями некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке ; функции f () f (), f (),, f ( ), Тогда ) если ) если f ( ) d f ( ) d сходится, то сходится и ряд расходится, то и ряд ; расходится так, что

31 Доказательство не приводим Пример 5 Доказать, что ряд сходится при p и расходится при p Решение Функция f непрерывна, убывает при Если p, то b p b Если p, то Итак, ряд ( ) p p d b im d im p b p p, то есть имеем гармонический ряд p, ; im b p p p p, p b p, который расходится сходится при p и расходится при p Этот ряд называют обобщенным гармоническим рядом Пример 5 Исследовать сходимость ряда Решение Рассмотрим функцию условию теоремы 55 Так как f ( ) d im ( ) ( ) ( ) b, которая удовлетворяет b, те d ( ) ( ) по интегральному признаку данный ряд также расходится Пример 54 Исследовать сходимость ряда расходится, то Решение Функция f ( ) непрерывна и монотонно убывает при Не- собственный интеграл d является сходящимся, следовательно, исходный ряд сходится b im b Примеры для самостоятельного решения Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения: si Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:! si Исследовать сходимость ряда с помощью интегрального признака: 9 Ответы: Сходится Сходится Расходится 4 Расходится 5 Сходится 6 Расходится 7 Сходится 8 Расходится 9 Расходится Сходится 4

32 54 Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Знакочередующимся рядом называется ряд вида: где ( ) ( ) 4,,,,, положительны, (56) Теорема 56 (признак Лейбница) Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и im, то ряд сходится Сумма ряда S положительна и не превосходит первого члена: S (57) Доказательство Рассмотрим частичную сумму четного числа членов ряда при k : Sk 4 k k ( ) ( 4) ( k k) Из условия теоремы следует, что выражение в каждой скобке положительно Значит, Sk и возрастает с ростом k, так как увеличивается число положительных скобок Запишем сумму в виде S k S ( ) ( ) ( ), k 4 5 k k k откуда видно, что S k Таким образом, последовательность S, S 4, S 6, имеет предел im S k S, причём S k k k k k Теперь рассмотрим частичную сумму S нечётного числа членов рядов при k Очевидно, что Sk Sk k Так как по условию теоремы im k, то im S k im Sk im k S S Таким образом, при любом (чётном или нечётном) существует im S Замечания: S S, те ряд сходится, причём Теорема 56 справедлива, если неравенства выполняются, начиная с некоторого номера k Исследование знакочередующегося ряда вида 4 сводится путем умножения его на к исследованию ряда (56) Отметим важное следствие из теоремы Лейбница: Следствие Ошибка при приближенном вычислении суммы сходящегося знакочередующегося ряда по абсолютной величине не превышает абсолютной величины первого отброшенного члена Действительно, сумму S сходящегося ряда можно записать в виде S S R, где R ( ) остаток ряда Остаток ряда есть также знакочередующийся ряд, причем R Таким образом, заменяя сумму ряда S его частичной суммой, допускаем ошибку, величина которой меньше модуля первого из отброшенных членов

33 Пример 55 Исследовать на сходимость ряд ( ) 5 Решение Члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине Значит ряд по признаку Лейбница сходит- и im 5 ся и его сумма S Пример 56 Вычислить приближённо сумму ряда ( ) суммой четырёх членов; оценить ошибку S 4, 86, Решение 4 S меньше, чем 4, заменив её Допускаемая ошибка при замене S на Пример 57 Вычислить с точностью до, сумму ряда ( )! Решение Так как при 7, то 7! 54 S S 6,6!! 4! 5! 6! Ряд, члены которого имеют произвольный знак ( либо ), называется знакопеременным Знакочередующийся ряд есть частный случай знакопеременного ряда Например, ряд si si si si 4 si есть знакопеременный ряд 4 Теорема 57 (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда) Если ряд, составленный из абсолютных величин членов знакопеременного ряда сходится, то сходится и сам знакопеременный ряд Доказательство не приводим Пример 58 Исследовать сходимость знакопеременного ряда Решение Запишем ряд из модулей членов данного ряда si и ряд si! si si Так как сходящийся, то по признаку сравнения (теорема 5) ряд сходится Согласно теореме 57 исходный ряд тоже сходится Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится Пример 59 Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряд ( )

34 Решение Запишем ряд его с расходящимся гармоническим рядом im : im im по предельному признаку, получаем: из модулей членов исходного ряда Сравнивая 4 Следовательно, ряд расходится (см теорему 5) Так как данный ряд знакочередующийся, члены его монотонно убывают по абсолютной величине 5 и im, то по признаку Лейбница ряд сходится Так как исходный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то исходный ряд сходится условно Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов существенно отличаются Абсолютно сходящиеся ряды можно складывать, перемножать, переставлять местами члены ряда Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают Примеры для самостоятельного решения Исследовать сходимость рядов с помощью признака Лейбница: ( ) ( ) Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды: ( ) 4 4 ( ) 5 Вычислить с точностью до, сумму ряда: 7 ( ) 8 ( ) ( ) 6 ( ) ( ) Ответы: Сходится Расходится Сходится абсолютно 4 Сходится условно 5 Сходится абсолютно 6 Сходится условно 7 S,6 8 S, 4 6 Степенные ряды 6 Функциональные ряды Ряд, членами которого являются функции от, называется функциональным: (6) Придавая определенное значение, получаем числовой ряд, который может как сходиться, так и расходиться Если полученный числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимости ряда (6); если ряд расходится, то точка расходимости ряда (6) Совокупность тех значений, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости В области сходимости ряда его сумма является некоторой функцией от :

35 S S() Она определяется равенством S( ) im S ( ), где S( ) ( ) ( ) ( ) частичная сумма ряда Среди функциональных рядов особую роль играют степенные ряды, те ряды, членами которых являются степенные функции: a a a a a, (6) ( ) ( ) ( ) ( ) (6) a a a a a Числа a, a, a,, a, называют коэффициентами ряда С помощью замены t ряд (6) приводится к ряду (6) Поэтому при изучении степенных рядов достаточно ограничиться рядами вида (6) 6 Сходимость степенных рядов Область сходимости степенного ряда всегда содержит, по крайней мере, одну точку для ряда (6) или для ряда (6) Теорема 6 (теорема Абеля) Если степенной ряд a сходится при некотором значении, не равном нулю, то он абсолютно сходится при всех значениях таких, что Доказательство По условию ряд a a сходится, следовательно, по необходимому признаку сходимости im Отсюда следует, что последовательность a ограничена, те найдется такое число М, что для всех выполня- ется неравенство a M,,,, Ряд (6) перепишем в виде a a a a и рассмотрим ряд из модулей его членов: a a a a (64) Члены этого ряда меньше соответствующих членов ряда M M M M Последний ряд представляет собой геометрическую прогрессию и сходится, если его знаменатель q, те ; следовательно, по признаку сравнения будет сходиться ряд (64), а значит ряд (6) сходится абсолютно Следствие Если ряд (6) расходится при некотором значении, то он расходится для всех таких, что 5

36 Действительно, допустим, что ряд (6) сходится в точке и, тогда по теореме Абеля ряд сходится при всех, для которых, и, в частности, в точке, что противоречит условию Из теоремы Абеля следует, что существует такое число R, что при R ряд (6) сходится, а при R расходится Число R называют радиусом сходимости степенного ряда, а интервал R; R интервалом сходимости На концах интервала сходимости, те при R и R, ряд может как сходиться, так и расходиться Замечания: При R степенной ряд (6) сходится только в одной точке При R ряд сходится на всей числовой оси Интервал сходимости степенного ряда (6) находят из неравенства R ; он имеет вид: R; R Область сходимости удобно находить, применяя признак Даламбера для ряда из модулей Пример 6 Найти область сходимости ряда Решение Применим признак Даламбера для ряда из модулей:,, 4 4 Ряд абсолютно сходится, если При имеем ряд: При В обоих случаях im im ( ) im 4 4 4, 4, или имеем ряд: не существует, следовательно, по необходимому признаку сходимости, ряды расходятся Таким образом, область сходимости исходного ряда есть интервал ; Пример 6 Найти область сходимости ряда Решение Применим признак Даламбера для ряда из модулей: a ( ) ( ) ( ) a ( ) ( ) ( ) im im : im im Следовательно, ряд абсолютно сходится, если, или, те 5 При 5 имеем ряд, который является сходящимся ( При получаем знакочередующийся ряд ( ) ( ) p ), который сходится абсолютно Таким образом, область сходимости данного ряда ;5


5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста)

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК)

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Федеральное агентство по образованию Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ по курсу ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Числовые

Подробнее

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды»

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ------------------------------------------------------------------------------------------------- О.Г. Илларионова, В.А. Ухова МАТЕМАТИКА

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Глава Ряды Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Числовые ряды называется числовым рядом Суммы S, называются частичными суммами ряда Если существует предел lim S, S то ряд

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов заочного обучения ( III семестр ) Уфа Дан теоретический материал (понятия,

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение. Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

МАТЕМАТИКА Дифференциальные уравнения и ряды. Методические указания по выполнению контрольной работы

МАТЕМАТИКА Дифференциальные уравнения и ряды. Методические указания по выполнению контрольной работы Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО "Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации" МАТЕМАТИКА

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра математического

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

Сходимость знакопеременных числовых рядов

Сходимость знакопеременных числовых рядов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Сходимость знакопеременных числовых рядов Числовой ряд u, в котором имеется бесконечно много как положительных, так = и отрицательных элементов, называется числовым рядом с произвольными

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРАКТИКУМ ПО ТЕМЕ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ» С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМЫ MATHCAD

РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРАКТИКУМ ПО ТЕМЕ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ» С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМЫ MATHCAD РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРАКТИКУМ ПО ТЕМЕ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ» С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМЫ MATHCAD Рязань 009 Предисловие Практикум является приложением к учебному

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения» Кафедра «Высшая и прикладная математика» И

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, Н. Н. Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, Н. Н. Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Т А Матвеева, В Б Светличная, Н Н Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Волгоград 00 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого

Подробнее

Лекция 1 (13 января 2017)

Лекция 1 (13 января 2017) КОНСПЕКТ ЛЕКТОРА математический анализ, курс, 2 семестр, 207, А.М. Красносельский Числовые ряды Лекция (3 января 207) Рассмотрим последовательность R и напишем «бесконечную сумму»: a k a + a 2 +... + a

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

3 РЯДЫ Хабаровск 2004

3 РЯДЫ Хабаровск 2004 РЯДЫ Хабаровск 4 4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовым рядом называется выражение, где,,, числа, которые образуют бесконечную числовую последовательность, общий член ряда, где N ( N множество натуральных чисел) Пример

Подробнее

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд 3. Признаки сходимости знакопеременных рядов Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд Ряд u, не являющийся знакоположительным или знакоотрицательным

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

4. Функциональные ряды Основные определения. Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X

4. Функциональные ряды Основные определения. Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X 4 Функциональные ряды 4 Основные определения Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X u ), u ( ), K, u ( ),K ( ОПРЕДЕЛЕНИЕ Выражение u ) + u ( ) + K + u ( ) +

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО, CА ИЗОТОВА, ЛА МАЛЫШЕВА РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

a......, a,... называют членами...

a......, a,... называют членами... РЯДЫ Числовые ряды Основные понятия числового Пусть дана последовательность вещественных или комплексных чисел Числовым рядом называется сумма всех членов числовой последовательности: Числа,,,, называют

Подробнее

Теоретичеcкие вопроcы и задачи

Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Дифференциальное иcчиcление функции неcкольких переменных. Дайте определение раccтояния (, b ) между точками, b, q докажите cвойcтва функции

Подробнее

Определение 1. Наибольший из частных пределов последовательности называется верхним пределом последовательности и обозначается

Определение 1. Наибольший из частных пределов последовательности называется верхним пределом последовательности и обозначается Глава. РЯДЫ. Понятия верхнего и нижнего пределов последовательности Пусть дана ограниченная числовая последовательность ( ) (все её члены заключены на числовой прямой между числами а и b), т.е. По теореме

Подробнее

xdx, где m, 22. Какие существуют методы нахождения интегралов вида sin xcos R x, a x dx? 23. Какие существуют методы нахождения интегралов вида

xdx, где m, 22. Какие существуют методы нахождения интегралов вида sin xcos R x, a x dx? 23. Какие существуют методы нахождения интегралов вида 1. Что такое первообразная для функции? 2. Для каких функций существуют первообразные? 3. Как связаны между собой две первообразные для одной и той же функции? 4. Что такое неопределённый интеграл от функции?

Подробнее

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики И В Прусова Н А Кондратьева Н К Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx.

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Лекция 5. Понятие несобственного интеграла -го рода, его вычисление. Критерий сходимости. Интегралы от положительных функций. Признаки сравнения, абсолютная

Подробнее