ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского Кафедра «Проектирование вычислительных комплексов» ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания и варианты курсовых заданий Составители: Выск Н.Д. Титаренко В.И. Москва 005 PDF created with FinePrint pdffactor trial version

2 Министерство образования и науки Российской Федерации «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского Кафедра «Проектирование вычислительных комплексов» ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания и варианты курсовых заданий Составители: Выск Н.Д. Титаренко В.И. Москва 005 PDF created with FinePrint pdffactor trial version

3 Оглавление I. Дифференциальные уравнения первого порядка.. Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения..4. Уравнения в полных дифференциалах.6 4. Линейные уравнения первого порядка. 7 II. Уравнения высших порядков 8. Уравнения, допускающие понижение порядка 8. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами..0. Решение неоднородных линейных уравнений методом подбора частного решения.. 4. Решение неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами методом вариации постоянных.. III. Системы однородных линейных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.4 Варианты курсовых заданий 5 PDF created with FinePrint pdffactor trial version

4 Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого и высших порядков. В каждом разделе приводится решение типовых задач. Для закрепления материала студентам предлагается выполнить курсовое задание по рассматриваемым темам. Настоящие методические указания могут использоваться студентами на всех факультетах и специальностях. I. Дифференциальные уравнения -го порядка Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F (,, ) 0, () связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию и ее производную. Частным решением такого уравнения является любая функция f (), которая при подстановке в уравнение () обращает его в тождество для всех допустимых значений переменной. Множество всех решений уравнения () называется его общим решением, или общим интегралом. Оно имеет вид f (, С), () такой, что любое частное решение получается из формулы () при некотором значении произвольной постоянной С, и наоборот, любое фиксированное значение С дает функцию, являющуюся решением уравнения (). Задача нахождения частного решения уравнения (), удовлетворяющего начальному условию 0 f ( 0 ), называется задачей Коши для уравнения первого порядка. Рассмотрим некоторые виды дифференциальных уравнений первого порядка, для которых можно найти аналитическое решение.. Уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение первого порядка вида f ( ) g( ) () называется уравнением с разделяющимися переменными. Его можно привести d d к равенству f ( ) d, откуда g( ) f ( ) d. Если существуют g( ) первообразные F () и G ( ) функций f () и, общее решение уравнения () имеет вид: G ( ) F( ) + C. g( ) PDF created with FinePrint pdffactor trial version

5 Пример. Найти общее решение уравнения +. Решение. Разделим переменные: d d d d d +,,, ln( + ) ln + ln C. d + + Обратите внимание на форму записи произвольной постоянной: если вид общего интеграла можно упростить потенцированием, удобно представить произвольную постоянную как логарифм другой произвольной постоянной. Тогда общий интеграл можно записать так: + C. К уравнению с разделяющимися переменными можно привести и уравнение вида f ( a + b + c), (4) где a, b, c постоянные. Для этого вводится новая функция z a + b + c. dz d( a + b + c) z a Поскольку a + b,, и для z получаем d d b уравнение с разделяющимися переменными: z a + bf (z). +, удовлетворяю- Пример. Найти частное решение уравнения щее условию у(4). Решение. Пусть z +, z +, z. Решим уравнение для z: dz dz t z z, d, d, t z, + C, z + z + t C, t 4ln t + + C, + ln( + + ) + C. t + При х 4, у получаем: 6 4 ln C, откуда С 4 ln 5. Следовательно, частное решение имеет вид: 4 + ln( + + ) + 4ln5.. Однородные уравнения Уравнение, которое можно записать в форме f, (5) называется однородным дифференциальным уравнением. Оно тоже может быть сведено к уравнению с разделяющимися переменными для функции PDF created with FinePrint pdffactor trial version 4

6 t. При этом t, t + t, и уравнение для t примет вид: d t + t f ( t), уравнение с разделяющимися переменными. f ( t) t Пример. Найти общий интеграл уравнения +. Решение. Разделим обе части равенства на х: у + и сделаем замену: х d C t общий интеграл уравнения. Тогда t + t t + t,, t ln + C, ln + t. К однородному уравнению, в свою очередь, можно привести уравнение вида a + b + c f (6) a + b + c a b при условии. При этом производится параллельный перенос в a b плоскости (х, у) такой, чтобы начало координат совместилось с точкой ( 0 ; 0 ) пересечения прямых a + b + c 0 и a + b + c 0. Тогда в новых координатах ~ х ~ d ~ a ~ + b ~, у уравнение будет выглядеть так: f d ~ a ~ + b ~, или ~ a + b d ~ ~ f d ~ ~ - однородное уравнение. a + b ~ Пример 4. Найти общее решение уравнения + 4. PDF created with FinePrint pdffactor trial version 5

7 Решение. Решим систему уравнений Тогда ~ 0 0 ~, и в d ~ d новых переменных (с учетом того, что d ~ ) получаем уравнение ~ d d ~ 5 ~ + ~ + ~ ~ d ~ ~. Замена t ~ ~ приводит к уравнению ~ + + ~ ~ t + ~ t t t t d t t, t t, ~, t t t t t d +, ln + ln + ln ~ + ln. + ~ t t C После t t упрощения и обратной замены получаем общее решение в виде: ( ( + ) ) C.. Уравнения в полных дифференциалах Если в дифференциальном уравнении M (, ) d + N(, ) d 0 (7) функции М (х, у) и N (, ) удовлетворяют условию M N, такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах. Смысл названия объясняется тем, что при этом существует функция U (, ) такая, что U U M (, ), N(, ). Тогда из уравнения (7) следует, что U U d + d 0 du 0 u(, ) C, что является общим интегралом исходного уравнения. Таким образом, задача сводится к отысканию функции ~ U. Ее можно найти в виде: U M (, ) d + N( 0, ) d + C, где х 0, у 0 0 любые числа, входящие в область определения функций М и N, а С ~ - произвольная постоянная. 0 PDF created with FinePrint pdffactor trial version 6

8 Пример 5. Решить задачу Коши для уравнения ( e + ) d + ( e ) d 0, если у(). Решение. Проверим, действительно ли перед нами уравнение в полных M N дифференциалах:, условие выполнено. Для поиска U (, ) зададим х 0 у 0 0, тогда 0 0 U ( e + ) d + (0 e ) d e + e + e + e. При х у найдем С из равенства е х + ху е у С: е + е С, С. Следовательно, искомое частное решение имеет вид: е х + ху е у. 4. Линейные уравнения первого порядка Уравнение вида + a( ) b( ) (8) называется линейным неоднородным уравнением первого порядка, поскольку искомая функция и ее производная входят в него в виде линейной комбинации. Если b () 0, уравнение является однородным, причем однородное линейное уравнение это уравнение с разделяющимися переменными. На этом основан способ решения неоднородных линейных уравнений метод вариации постоянной. Получив решение однородного уравнения + a( ) 0 в виде f (, C), считают, что решение уравнения (8) имеет такой же вид, но С С (х) не постоянная, а функция от х, вид которой можно определить, подставив f (, C (х)) в уравнение (8). Пример 6. Найти общее решение уравнения + e. Решение. Решим однородное уравнение: d + 0, d, ln + ln C, Ce. Теперь будем искать решение неоднородного уравнения в виде: у С (х) е -х. C ( ) e C( ) e. Подставим и в исходное уравнение: ~ С e C e + C e e, C e, C e d e + C, где C ~ - произвольная постоянная. Следовательно, общее решение неоднородного уравнения: e + C e e + Ce. PDF created with FinePrint pdffactor trial version 7

9 К линейному можно привести и уравнение вида n + a( ) b( ), (9) называемое уравнением Бернулли. Для этого вводится новая функция z n, для которой n ( n) z ( n) n. Разделим обе части уравнения (9) на у п : + a( ) b( ), n n или z + a( ) z b( ) n линейное уравнение для z. Пример 7. Найти общий интеграл уравнения. Решение. Разделим обе части равенства на у : и сделаем замену: z, z. Решим уравнение для z: z z, z + z. Однородное уравнение: z + z 0, dz d, z ln z ln + ln C, z C C( ) C C одн, zнеодн, zнеодн. Подставим полученные выра- C C ~ жения в неоднородное уравнение: C +, C d + C, C C z +,. z C II. Уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка Дифференциальное уравнение ( n) F (,,,,..., ) 0 (0) PDF created with FinePrint pdffactor trial version 8

10 называется уравнением п-го порядка. Его общее решение содержит п произвольных постоянных: f (, C, C,..., Cn ), а решение задачи Коши требует задания при х х 0 значений функции у и ее производных до (п )-го порядка включительно: ( 0) 0, ( 0),..., ( 0) n. Если в дифференциальное уравнение не входит явным образом искомая ( n) функция у, то есть уравнение имеет вид: ( k ) ( k + ) ( n) F (,,,..., ) 0, () (k ) то можно понизить его порядок на k единиц, сделав замену: p ( ). ( k+ ) ( n) ( nk ) Тогда p,..., p. (4) Пример 8. Найти общее решение уравнения ctg 0. Решение. (4) Пусть p ( ), p. Тогда dp p ctg p 0, ctgd, ln p ln sin + ln C, C sin. p Теперь трижды проинтегрируем полученное равенство по х: C sin d C cos + C; ( C cos + C ) d C sin + C + C; C ( C sin + C + C) d C cos + + C + C4. Если дифференциальное уравнение не содержит явно независимую переменную х: ( n) F (,,,..., ) 0, () то можно понизить его порядок на единицу, считая, что p( ). Тогда d dp dp d p p, то есть вторая производная у выражается d d d d через первую производную р и т.д. Пример 9. Решить задачу Коши для уравнения, если у(), у (). Решение. Замена p ( ), pp приводит к уравнению p p p, откуда: а) р 0, у 0, у С, но у () 0, значит, в этом случае решения нет; б) p, dp d, p + C, p() + C C 0 p. 9 PDF created with FinePrint pdffactor trial version

11 Тогда d d, d Следовательно, искомое частное решение имеет вид:. d, + C, () + C C. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами Рассмотрим дифференциальное уравнение вида. ( n) + a ( n) a n 0, () где а,, а п постоянные. Общее решение этого уравнения можно получить, решив характеристическое уравнение n n λ + a λ an 0. (4) Каждый действительный корень λ i этого уравнения кратности k соответствует линейной комбинации фундаментальных решений уравнения () в форме (С + С х + + С k k- k ) e λ. Пара комплексно сопряженных корней ( λ ), j α ± βi кратности т дает комбинацию фундаментальных решений α m ~ ~ ~ m вида e ( C + C Cm ) sin β + ( C + C Cm ) cos β). В частности, характеристическое уравнение для линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами второго порядка + a + a 0 (5) является квадратным: λ + aλ + a 0. Поэтому общее решение уравнения (5) может иметь один из трех видов: а) если дискриминант характеристического уравнения D a a 0, а 4 > λ, λ ( λ λ ) его различные действительные корни, то решение уравнения (5) выглядит так: λ λ Ce + Ce ; (6) б) если D 0, характеристическое уравнение имеет один корень λ 0, и общее решение уравнения (5) имеет вид: λ0 ( C + C) e ; (7) в) при D < 0 характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни λ, α ± βi, а общее решение уравнения (5) записывается в форме: α e C sin β + C cos β ). (8) ( PDF created with FinePrint pdffactor trial version 0

12 Пример 0. Найти общее решение уравнения Решение. Составим и решим характеристическое уравнение: λ λ + 6 0, λ, λ. Значит, общее решение записывается в виде (6): 5 C e + Ce. (5) (4) Пример. Найти общее решение уравнения Решение. 5 4 Характеристическое уравнение λ + 4λ + λ 0 имеет один действительный корень λ 0 кратности и два комплексно сопряженных корня: - ± i. Поэтому, так как е 0 х, общее решение записывается в форме (7) и (8): C + C + C + e ( C4 sin + C5 cos ).. Решение неоднородных линейных уравнений методом подбора частного решения Пусть требуется найти общее решение неоднородного линейного уравнения п-го порядка с постоянными коэффициентами ( n) ( n) + a an f ( ). (9) Его решение представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. При некоторых специальных видах неоднородности это частное решение можно подобрать по известной схеме. k ) Если f ( ) Pn ( ) e, где Р п (х) многочлен степени п, то частное решение уравнения (9) n n k ч ( A0 + A An ) e, (0) если число k не является корнем характеристического уравнения, или s n n k ч ( A0 + A An ) e, () если k корень характеристического уравнения кратности s. Коэффициенты А 0, А,, А п можно найти методом неопределенных коэффициентов, подставив у ч и его производные нужных порядков в уравнение (9). a ) При f ( ) e ( Pn ( ) sinb + Qm( ) cosb), если числа a±bi не являются корнями характеристического уравнения, частное решение имеет вид: ч ~ ~ ( P ( ) sin b + Q ( ) cos b) a e, () l l PDF created with FinePrint pdffactor trial version

13 ~ где P l, Q ~ l многочлены с неопределенными коэффициентами одной и той же степени l ma(m, n). Если же a±bi корни характеристического уравнения кратности s, ч ~ ~ ( P ( ) sin b + Q ( ) cosb) a s e. () l Если правая часть уравнения (9) представляет собой сумму функций, для каждой из которых можно подбором найти частное решение: ( n) ( n) + a an f( ) + f( ), то частное решение такого уравнения является суммой частных решений ( n) ( n) уравнений a... a f ( ( n) ( n) ) и + a a f ( ). n Пример. Найти общее решение уравнения + e. Решение. Найдем общее решение однородного уравнения + 0. Характеристическое уравнение λ λ + λ 0 имеет корни 0 (кратности ) и (кратности ). Следовательно, одн C + ( C + C) e. Перейдем к поиску частного решения. Поскольку число коэффициент при х в показателе степени правой части уравнения является корнем характеристического уравнения кратности, ищем у ч в виде () при s, n 0: ч A e. Тогда A(e + e ) Ae ( + ); Ae ( + ) + Ae ( + ) ч Ae ( ); ч Ae ( ) + Ae (4 + ) Ae ( Подставим полученные выражения в исходное неоднородное уравнение: Ae ( ) Ae ( ) + Ae ( + ) e, A ( ), A, A, ч e Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид: C + C + C + e ч ( ). Пример. Найти общее решение уравнения + sin. Решение. Характеристическое уравнение: λ λ, λ 0, λ. Общее решение l 0 однородного уравнения: одн C + Ce. Найдем частное решение, соответствующее неоднородности f (). Так как λ 0 корень характеристического уравнения, частное решение имеет вид (): ч (A + B) A + B. Поскольку A + B,, при подстановке в уравнение ч ч A n. ). PDF created with FinePrint pdffactor trial version

14 получаем: A A B, откуда A B 0, - A. Решая полученную систему, находим: A, B, ч. Для f () sin ч задаем по формуле () при a 0, b, l 0: ч A sin + B cos, ч Acos B sin, ч 4Asin 4B cos. Подставим в уравнение: 4A sin 4Bcos Acos + Bsin sin, 4 A + B, 4B A 0. Отсюда В 0,, А - 0,, у ч - 0, sin + 0, cos. Таким образом, найдено общее решение исходного уравнения: одн + + уч + уч C + Ce 0,sin 0,cos. 4. Решение неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами методом вариации постоянных Если неоднородность в правой части уравнения (9) не позволяет использовать формулы (0)-() для подбора частного решения, можно воспользоваться методом вариации постоянных. Пусть решение однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (5) записано в виде: у одн С у + С у, где у, у фундаментальная система решений. Будем считать, что при этом решение неоднородного уравнения + a + a f ( ) имеет вид: C ( ) + C ( ). Функции С (х) и С (х) можно определить из системы уравнений для их производных: С + C 0. ( 4) C + C f ( ) Пример 4. Найти общее решение уравнения + 64 tg8. Решение. Решим однородное уравнение: λ , λ ± 8i, одн С cos 8 + C sin 8, неодн С (х) cos 8 + C (х) sin 8. Составим вариационную систему: С cos8 + C sin 8 0. Получена линейная система для С 8C sin C cos8 tg8 и С. Для ее решения умножим первое уравнение на 8sin 8, а второе на cos 8 и сложим левые и правые части полученных равенств: 8C + (sin 8 cos 8) cos8 tg8, C sin8, C( ) sin8d 8 8 PDF created with FinePrint pdffactor trial version

15 ~ cos8 + C, ~ где C const. 64 Теперь исключим из системы С. Для этого умножим первое уравнение на 8 cos 8, а второе на sin 8: sin 8 8C (sin 8 + cos 8) sin8 tg8, C, 8cos8 sin 8 cos 8 C d d cos8d d 8 cos8 8 cos8 8 cos8 cos8d d sin8 + sin8 sin cos 8 64 sin 8 64 sin8 Ĉ const. Итак, общее решение исходного уравнения: + sin8 C cos8 sin8 + sin8 + ln + C cos sin8 + sin8 C cos8 + C sin8 + ln. 8 sin8 sin8 sin8 + ln + C ˆ, III. Системы однородных линейных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами Для решения системы уравнений d a + b, d (5) a + b где (t), (t) искомые функции, а,, b, const, нужно решить характеристическое уравнение a λ b 0. (6) a b λ Если корни этого уравнения λ λ действительные, то решением системы λt λt λt λt (5) будут функции вида Ce + Ce, Ce + C4e, причем произвольные постоянные С и С 4 можно выразить через С и С, подставив полученные функции в систему. d + 4 Пример 5. Решить задачу Коши для системы, d если х (0), + у(0) - 5. PDF created with FinePrint pdffactor trial version 4

16 Решение. λ 4 Составим характеристическое уравнение: 0, λ t 6t λ 5λ 6 0, λ, λ 6. Следовательно, Ce + Ce, t 6t d t 6t Ce + C4e. Тогда Ce + 6Ce. Подставим полученные выражения в первое уравнение системы: t 6t t 6t t 6t t 6t C e + 6C e C e + C e + 4C e + 4C e, C e + C e 4 6 6t С + 4С) + (C 4C4 ) e ( +, откуда C 6C C C + 4C + 4C 4, C 4 C, C 4 C. t 6t C. e + Ce t 6t Итак, общее решение системы: C e + C e, При 4 t 0 получаем: C + C, C + C 5, откуда С 4 4, С -, и частное решение системы: х 4e -t e 6t, - e -t - e 6t. При совпадении корней характеристического уравнения (6) решением λt t системы (5) будут функции ( C + Ct) e и λ ( C + C4t) e, где λ корень уравнения (6). Связь между С, С и С, С 4 определяется аналогично предыдущему случаю. Если корни характеристического уравнения комплексно сопряженные числа α + βi и α βi, решение системы (5) ищется в виде: e αt ( 4 αt C cos βt + C sin βt), e ( C cos βt + C sin βt). Задания для курсовой работы включают по 0 задач. В -5 требуется решить задачу Коши или найти общее решение дифференциального уравнения -го порядка, в 6-9 решить уравнения высших порядков, в 0 найти общее или частное решение однородной линейной системы. PDF created with FinePrint pdffactor trial version 5

17 ВАРИАНТЫ КУРСОВЫХ ЗАДАНИЙ Вариант ) ( + ) d + ( ) d 0 ) + ) d d ( + + ) d 4) + e, (0). ) (5) (4 5) ctg sin ( ) 0 6) 0 7) ( ) 8) + e sin 9) d 4 + 0), sin d + (0), (0) 0. Вариант ) tg + ) ( + ) d + ( ) d 0 ) d + d ) sin + cos 5) ( + ) d d 0 6) + ( ) ( ) 7) ( + ) + ( ) + 0 8) + e + cos d 6 9) + 5 ctg5 0), d + (0), (0). PDF created with FinePrint pdffactor trial version 6

18 Вариант ) e ) ln ) ( cos sin ) d + ( cos sin ) d 0 4) ctg sin 5) d + d d 6) + 7) e 4 (4) 8) + e + 4sin d 9 9) + e ln 0), d + 8 (0), (0). Вариант 4 ) 4 ) + 4 ( e ) e ) d + + d 0 ( + ) + 4) ) + 0 6) ctg ctg 7) 6 5( ) 0 8) + 4 sin 9) d e 6 + 0), d 4 (0) 0, (0). 7 PDF created with FinePrint pdffactor trial version

19 Вариант 5 ) ( + ) d + ( ) d 0 ) + + ) ( ) d + ( ) d 0 4) + 5) 7) + 6) (4) 8) + cos ( ) 9) d e 4 + 0), d + (0) 0, (0). Вариант 6 ) tg d ctg d 0 ) ( ) + 0 ) d d 0 4) + 5) ln + 0 6) + + (4) 7) ( ) ( ) 8) cos d + 9) + 4 tg 0), d 6 (0), (0). PDF created with FinePrint pdffactor trial version 8

20 Вариант 7 ) ( + e ) e ) + 7 ) d + d 4) + sin 5) + 0 6) ln + 8) ( e ) 7) + ( ) 9) d ), cos d (0), (0) 0. Вариант 8 ) ( ) 0 ) (ln ln ) d d 0 ) d + ln d 0 4) + e 5) + 0 6) ctg sin 7) 5( ) tg5 0 8) 5 6 sin e d + 9) + 6 sin 0), d (0), (0). 9 PDF created with FinePrint pdffactor trial version

21 Вариант 9 ) ( + ) d d 0 ) + ) cos d ( ) sin d 0 4) 0 + 5) + ln 6) ln 0 7) ( ) (6) (4) + 0 8) d e 9) + 0), d 9 4 (0), (0) 0. Вариант 0 ) + + ) cos ln ) ( e + ) d + e d 0 4) tg cos 5) ( ) + 0 6) + 7) ( ) (4) + 0 8) sin cos e 9) + + d 0) d 4, + (0), (0) 0. 0 PDF created with FinePrint pdffactor trial version

22 Вариант ) ) ( ) d d 0 ) d + ( e ) d 0 4) ( + sin ) 5) d + ( ) d 0 6) 7) + ( ) 8) (4) 6 e d + 9) + ctg 0), d + 4 (0) 0, (0). Вариант ) d + ( ) d 0 ) хsin ctg ) d + ( + 6 ) d 0 4) ( cos ) 5) + e 6) + ( ) ( ) 7) 8) 4 ( + e ) ( ) ( ) 9) d х 0), е + d (0), (0). PDF created with FinePrint pdffactor trial version

23 Вариант ) cos ) ( ) d d 0 ) + d + d 0 4) + e 5) 6) + 0 7) ( ) + 0 8) + 9 sin 9) + tg d 0) d, + 4 (0), (0) 0. Вариант 4 ) ( + ) + +, (0). ) ) 4 d + d 0 4) cos sin sin 5) e 6) e 7) tg ( ) 8) (4) 8 7e 9) d e ), cos d + (0), (0) 0. PDF created with FinePrint pdffactor trial version

24 Вариант 5 ) ln, ( e). ) cos cos ) e d + ( e ) d 0 4) + ln + 5) + + 6) ln 7) + ( ) 8) e d e + 9) ), d 5 (0), (0) 0. Вариант 6 ) + tg ) 4 ) e 4) 0 + 5) d + (ln + cos ) d 0 6) + ( ) 0 7) ( + ) + ( ) + 0 8) sin 9) d + + ctg 0) 4 4 d + PDF created with FinePrint pdffactor trial version

25 Вариант 7 ) + ) cos ( ) + sin ) 4) + 0 5) d + d 0 6) ( ), (), () 7) 0 8) e d + 9) + 4 ctg 0) d + Вариант 8 ) ) sin( ) ) + e 4) 5) d d 0 6) 4 0, (), () 4 7) e 8) e d 4 e 4 + 9) ) d + 4 PDF created with FinePrint pdffactor trial version 4

26 Вариант 9 ) ( + ) ctg ) ln ) + tg cos 4) 5) ( + ) d + d 0 6) + ( ) 0 7) 8) + e 9) d + + 0) cos d + 4 Вариант 0 sin cos ( + ) + ) ) 5 ) 4 + 4) 5) d d 0 6) 8, (5), (5). 7) 0 8) cos 9) d ) sin d 4 + PDF created with FinePrint pdffactor trial version 5

27 Вариант ) ln tg ) + ln ) tg sin 4) 5) d + ( + cos ) d 0 6) + ( ) 7) ctg 0 8) 4 + sin e 9) + e d 0) d Вариант ) ( + 9) ) sin ( ) ) + 4) 5) d d 0 6) 7) 0 8) e d 5 4 9) + ctg 0) d PDF created with FinePrint pdffactor trial version 6

28 Вариант ) + cos( ) ) + ) + 4) + 5) d + d 0 6) ( ) 7) ln 8) + + e 9) d ) sin 4 d Вариант 4 ) ) 6 + ctg ) 4) 5) d + d 0 6) ( ) 0 7) ( ) 8) + e d ) ) + e d 5 + PDF created with FinePrint pdffactor trial version 7

29 ) Вариант 5 ln 9 + ( + cos ( ) ) ) ) + e 4) 0 5) d + ( + ) d 0 6) 0, (0) 6, (0) 9 7) ( e + ) + 0 8) + + e 9) d + ctg 0) 4 4 d + Вариант 6 ) cos sin ) + + ) e 4) 0 5) ( + ) d + d 0 6) 4( ) + 0 7) + 8) cos + sin e 9) + + 0) + e d d PDF created with FinePrint pdffactor trial version

30 Вариант 7 ) ln ) + + ) + e 4) + 0 5) d + d 0 4 6) ( ) ln 0 4 7) 8) 7 + ( + ) e d 9e + 9) 0) + e d + Вариант 8 ) sin ( 4) 6 + ( + ) ) ) e 4) + 0 5) ( + ) d + ( + ) d 0 6) ( ) + 0 7) 8) 4 + cos sin d 9) + 0) + e d + PDF created with FinePrint pdffactor trial version 9

31 Вариант 9 ) ) ) + + e 4) + 0 5) cos d + sin d 0 6) 7), (), () 0 8) e + 4 ( + ) e 9) d π + π 0) sinπ d + Вариант 0 ) ctg 4 ) + ) e 4) ) d d 6) ( ) + 0 7) + 0 8) cos 9) + π π cos π d 0) d PDF created with FinePrint pdffactor trial version

32 Наталия Дмитриевна Выск Вера Ивановна Титаренко ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания и варианты курсовых заданий Под редакцией авторов Подписано в печать. Формат 60 х 84 6 Печать на ризографе. Тираж 00 экз. Заказ Типография Издательского центра МАТИ 0940, Москва, Берниковская наб., 4 PDF created with FinePrint pdffactor trial version


I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ЛГЛелевкина ТАШемякина Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по математическому анализу

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования Российской Федерации «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского Кафедра «Высшая математика» НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Варианты

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений С. Н. КУБЫШКИНА, Е. Ю. АРЛАНОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений Практикум Самара 2017 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2 Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА Методические указания и задания по выполнению расчетно-графической работы для студентов

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания

Подробнее

Кафедра «Физика и математика» ВОПРОСЫ по дисциплине «Дифференцтальные уравнения»

Кафедра «Физика и математика» ВОПРОСЫ по дисциплине «Дифференцтальные уравнения» Министерство образования и науки Республики Казахстан Каспийский государственный университет технологий и инжиниринга имени ШЕсенова Кафедра «Физика и математика» Государственный экзамен по профилирующей

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Дифференциальные уравнения Методические указания

Подробнее

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Кафедра Высшей и прикладной математики Романова ЛД, Ланцова ВА, Романова ЕГ Контрольные задания по высшей математике и методические

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету Составители: П.А. Вельмисов Т.Б. Распутько

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 6 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами ) ) ) L [] f ) 9) где i постоянные Так

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Часть III для студентов уровня ВО заочной формы обучения специальности 5 0 0 «Сети телекоммуникаций»

Подробнее

Дифференциальные уравнения (лекция 10)

Дифференциальные уравнения (лекция 10) Дифференциальные уравнения лекция 0 Линейные неоднородные уравнения высших порядков Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 6. Линейные неоднородные уравнения -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных

Подробнее

Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ" matem.org.ua

Кафедра высшей математики ГВУЗ НГУ matem.org.ua matmorgua Министерство образования и науки Украины НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Библиотека иностранного студента ЛВ Новикова ЕС Синайский ЛИ Заславская МАТЕМАТИКА Часть ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

x - заданные непрерывные функции от х (или

x - заданные непрерывные функции от х (или ЛЕКЦИЯ 3 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Определение: Линейным уравнением -го порядка называет уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид:

Подробнее

Витебский государственный технологический университет

Витебский государственный технологический университет МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Кратные интегралы Дифференциальные уравнения Ряды Методические указания к практическим занятиям для студентов второго

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ II ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА. Методические указания для практических занятий

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ II ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие 57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Подробнее

6. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка

6. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка 6 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 6 Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка Линейным однородным уравнением первого порядка в частных производных называется

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) В М Ипатова О А Пыркова В Н Седов ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ второе

Подробнее

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Дифференциальное исчисление функций нескольких

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (II семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

Консультационный тренинговый центр «Резольвента»

Консультационный тренинговый центр «Резольвента» ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (495) 509-8-10 Консультационный тренинговый центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

МАТЕМАТИКА. III часть ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГБОУ ВПО «ТГТУ»

МАТЕМАТИКА. III часть ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГБОУ ВПО «ТГТУ» МАТЕМАТИКА III часть ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГБОУ ВПО «ТГТУ» Учебное издание МАТЕМАТИКА Часть III Задания контрольных работ Составители: МОРДОВИНА Елена Евгеньевна, ПЕТРОВА Елена Анатольевна Редактор ЛВ Комбарова

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

Неопределенный интеграл. Вводная часть.

Неопределенный интеграл. Вводная часть. Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F( ) называется первообразной для данной функции f( ), если F( ) f( ), или, что то же самое, df f d Данная функция f( ) может иметь различные первообразные,

Подробнее

О. А. Кононова Н. И. Ильинкова Н. К. Филиппова. Нахождение частного решения неоднородного линейного уравнения методом неопределенных коэффициентов

О. А. Кононова Н. И. Ильинкова Н. К. Филиппова. Нахождение частного решения неоднородного линейного уравнения методом неопределенных коэффициентов Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет Физический факультет Кафедра высшей математики и математической физики О. А. Кононова Н. И. Ильинкова Н. К. Филиппова

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) В М Ипатова О А Пыркова В Н Седов ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ второе

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Хабаровск 01 г. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

Однородные линейные дифференциальные уравнения

Однородные линейные дифференциальные уравнения 1 Семинар 6 по теме Дифференциальные уравнения Однородные линейные дифференциальные уравнения Линейными дифференциальными уравнениями назвыаются уравнения вида: a k (x) y (k) (x) = 0 Такие уравнения называются

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ С В БОГАТОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ Рязань 6 Федеральное агентство по образованию Рязанская государственная

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее