Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования"

Транскрипт

1 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ В. Г. Фарафонов, Вяч. Г. Фарафонов, В. И. Устимов Теория вероятностей и математическая статистика Учебное пособие Часть Санкт-Петербург 009

2 УДК 59. ББК.7 Ф4 Рецензенты: доктор физ.-мат. наук, профессор А. П. Киселев; доктор физ.-мат. наук, профессор Л. С. Ивлев Утверждено редакционно издательским советом университета в качестве учебного пособия Фарафонов В. Г., Фарафонов В. Г., Устимов В. И. Ф4 Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие / В. Г. Фарафонов, Вяч. Г. Фарафонов, В. И. Устимов. СПб.: ГУАП, 009. Ч.. 7 с.: ил. ISBN Учебное пособие составлено в соответствии с программой по высшей математике для студентов экономических специальностей. В первой части пособия рассмотрены разделы курса теории вероятностей, начиная с понятия случайного события и операций над ними и заканчивая системами случайных величин. Каждый раздел содержит теоретические сведения и формулы, проиллюстрированные подробно разобранными примерами. Вопросы математической статистики рассматриваются во второй части учебного пособия. УДК 59. ББК.7 ISBN В. Г. Фарафонов, Вяч. Г. Фарафонов, В. И. Устимов, 009 ГУАП, 009

3 Введение Теория вероятностей это математическая дисциплина, изучающая закономерности, происходящие в массовых однородных случайных явлениях и процессах. С возникновением теории вероятностей наука получила мощный аппарат исследования случайных явлений и процессов. До этого исследовались лишь детерминированные явления и опыты, в которых первоначальные условия однозначно позволяли определить исход. Между тем случайные явления присутствуют во многих областях науки (физике, биологии, генетике, агрономии, демографии, психологии, технике и т.д.), когда заранее невозможно предсказать результат опыта. Одной из важнейших сфер приложения теории вероятностей является экономика. В настоящее время трудно себе представить исследование и прогнозирование без использования различных методов, опирающихся на теорию вероятностей. 3

4 . Случайные события и операции над ними 4.. Случайные события Определение. Опытом называется всякое осуществление определенных условий и действий, при которых наблюдается изучаемое случайное явление. Теория вероятностей изучает массовые случайные явления, т.е. предполагается, что любой опыт можно повторять сколько угодно раз. Определение. Событием называется любая качественная характеристика результата опыта. Событие называется достоверным, если оно обязательно происходит в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не происходит в результате опыта. Случайным называют событие, которое может произойти или не произойти в результате опыта. Определение. Пространством Ω возможных исходов опыта называют множество элементарных событий, т.е. множество всех возможных исходов опыта. Любое случайное событие связано с пространством Ω. Определение. Случайное событие есть подмножество Ω пространства возможных исходов опыта. Это подмножество состоит из элементарных событий, благоприятствующих данному случайному событию, т.е. таких элементарных событий, наступление которых влечет за собой наступление данного события. Для обозначения случайных событий используют заглавные буквы латинского алфавита A, B, C,. Достоверное событие обозначается буквой U, при этом соответствующее ему подмножество совпадает с пространством Ω. Невозможное событие обозначается буквой V, при этом соответствующее ему подмножество пространства Ω не содержит элементов этого пространства, т.е. является пустым множеством Æ. Рассмотрим следующие примеры. Пример. Производится бросание монеты. В этом опыте возможны два исхода: ) монета выпадает вверх орлом (элементарное событие ω ) и ) монета выпадает вверх решкой (элементарное событие ω ). В данном случае пространство Ω возможных исходов опыта содержит только два элемента (элементарные события ω и ω ), т.е. Ω = {ω, ω }. Пример. Производится бросание игральной кости. Здесь пространство Ω возможных исходов опыта содержит шесть элементарных событий ω к, где к выпавшее число. Ω = {ω, ω, ω 3, ω 4, ω 5, ω 6 }.

5 И, например, событие A, заключающееся в выпадении четного числа, будет подмножеством, состоящим из трех элементарных событий, а именно A = {ω, ω 4, ω 6 }... Операции над событиями Событие A влечет за собой событие B (обозначение AÌ B), если наступление события A приводит к наступлению события B. Другими словами, все элементы подмножества, соответствующего событию A, являются элементами подмножества, соответствующего событию B, т.е., если ωî A Þ ωîb. Равенство событий A и B (обозначение A = B) означает, что наступление одного из этих событий влечет за собой наступление другого события (т.е. AÌ B и BÌ A). Подмножества, соответствующие событиям A и B, содержат одни и те же элементы, т.е. ωî A Û ωîb. Объединением событий A и B называется событие C= AÈB или (А + В), состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий A и B. Подмножество, соответствующее событию AÈ B, состоит из элементов подмножеств, соответствующих событиям A и B, т.е. ω Î C= AÈB, если ω Î A или ω Î B. Пересечением событий A и B называется событие C= AÇB или (АВ), состоящее в одновременном наступлении событий A и B. Подмножество, соответствующее событию AÇ B, состоит из элементов, общих для подмножеств, соответствующих событиям A и B, т.е. ω Î C= AÇB, если ω Î A и ω Î B. Разностью событий A и B называется событие C = A\B. Подмножество, соответствующее событию A\B, состоит из элементов подмножества A за вычетом элементов подмножества B. Событием, противоположным событию A, называется событие C= A, состоящее в том, что событие A не происходит. Подмножество, соответствующее событию A, состоит из элементов пространства Ω возможных исходов опыта, не принадлежащих подмножеству, соответствующему событию A, т.е. ω Î A, если ω Ï A (иначе ωî( Ω\ A )). Из определения разности событий A и B и противоположного события следует соотношение A \ B = AÇB. События A и B называются несовместными, если AÇ B= V, т.е. если невозможно их одновременное наступление. Для лучшего понимания операций над событиями подмножествами обычно используют условные графические изображения, 5

6 представляя достоверное событие Ω как прямоугольник, а другие события как круги. Тогда введенные выше операции над событиями могут быть представлены в виде диаграмм Вьенна (рис..), на которых результаты операций изображены в виде затемненных фигур (кроме рис.. (б) и рис.. (д)). Операция объединения событий изображена на рис.. (а), пересечения на рис.. (б), разности на рис.. (в). Противоположное событие (дополнение) показано на рис.. (г), несовместные события на рис.. (д). а) б) в) A È B A Ç B A\B A B A B A B г) д) A A A A A Ç B = V B Рис.. Диаграммы Вьенна Определение. События A k (k =,,, n) образуют полную группу, если в результате опыта обязательно должно наступить хотя бы одно из этих событий, т.е. n Ak = U. k= Объединение всех событий A k является достоверным событием. Обычно рассматривают полную группу несовместных событий, когда события A k попарно несовместны: Ak Ç Aj = V при k j. Примером полной группы несовместных событий могут служить событие А и противоположное событие A. Действительно AÈ A= U, но AÇ A= V. Ниже приведены свойства, которым подчиняются операции объединения и пересечения событий: коммутативность AÈ B= BÈ A, AÇ B= BÇ A; ассоциативность AÈ( BÈ C) = ( AÈB) ÈC, AÇ( BÇ C) = ( AÇB) ÇC; 6

7 дистрибутивность AÇ( BÈ C) = ( AÇB) È( AÇC), AÈ( BÇ C) = ( AÈB) Ç( AÈC). Семейство событий A, которое с каждым событием А содержит и противоположное ему событие A, а с каждой парой событий А и В содержит события AÈB, AÇB и A\B, называется алгеброй событий. Иногда приходится рассматривать бесконечные последовательности событий и действия над ними. В этом случае требуют, чтобы объединение и пересечение бесконечного числа событий также являлись бы событиями. Чтобы уяснить связь терминологии в теории множеств с терминологией в теории вероятностей, приведём следующую таблицу. Обозначение Ω ωî Ω Терминология в теории множеств Пространство (основное множество) Элемент ω пространства Ω Терминология в теории вероятностей Пространство элементарных исходов, достоверное событие Элементарное событие (или исход опыта) ω A Ì Ω Множество A Событие A AÈ B A + B AÇ B AB Объединение множеств A и B Пересечение множеств A и B Объединение или сумма событий A и B Пересечение или произведение событий A и B Æ Пустое множество Невозможное событие A AÇ B=Æ AB = Æ Дополнительное множество A и B не пересекаются Противоположное событие A и B несовместны AÌ B A содержится в B A влечет B A = B A и B совпадают A и B равны.3. Решение типовых примеров Пример.. При каких событиях А и В возможно равенство AÈ B= A? Решение. Объединение событий AÈ B есть событие, заключающееся в наступлении хотя бы одного из событий А и В. Следователь- 7

8 но, наступление события А влечет за собой наступление события AÈ B: 8 AÌ AÈB. В каком случае наступление события AÈ B влечет за собой наступление события А, т.е. AÈBÌ A? Только в том случае, когда наступление события В влечет за собой наступление события А. Таким образом, равенство возможно только в случае BÌ A. Пример.. Доказать равенство AÇ B = AÈB. Решение. В результате опыта событие А может произойти или не произойти (т.е. произойдет противоположное событие A ). Будем обозначать наступление событий цифрой, а ненаступление цифрой 0. Рассмотрим все возможные комбинации наступления и ненаступления двух событий А и В и заполним следующую таблицу (таблицу истинности), которая содержит сравниваемые события. A B A B AÈ B AÇ B AÇ B Мы видим, что столбцы, соответствующие событиям AÈ B и AÇ B, совпали, т.е. эти события равны AÇ B= AÈB, так как наступление одного из них влечет за собой наступление другого. Пример.3. Имеются события: А хотя бы один из трех проверяемых приборов бракованный, В все приборы качественные. Что означают события A, B, AÈB, AÇB, A \ B? Решение. Для решения этой задачи следует правильно выбрать пространство возможных исходов опытов Ω. Введем Ω = {ω 0, ω, ω, ω 3 }, где элементарное событие ω 0 состоит в том, что бракованных приборов нет, ω только один прибор бракованный, ω ровно два прибора бракованные, ω 3 все три прибора бракованные. Событиям А и В будут соответствовать следующие подмножества A = {ω, ω, ω 3 }, B = {ω 0 }. Теперь легко записать соответствующие подмножества для противоположных событий A = {ω 0 } = B, B = {ω, ω, ω 3 } = A. Объединение событий AÈ B дает достоверное событие: 0 { ω ω ω ω } AÈ B= 0,,, 3 = U. Пересечение событий AÇ B есть невозможное событие, так как нет общих элементарных событий:

9 AÇ B= V. Для разности событий A\B в соответствии с определением A\B = {ω, ω, ω 3 }. Событие A\B можно представить и в другом виде: { ω ω ω } A \ B= AÇ B= AÇ A= A=,, 3, так как имеет место соотношение B= A. 9

10 . Определения вероятностей случайных событий 0.. Статистическое определение вероятности Пусть некоторый опыт осуществляется N раз при одинаковых условиях, при этом случайное событие А происходит N(A) раз. Число N(A) называется частотой события А, а отношение N(A)/N относительной частотой события А. Оказывается, что при больших N относительная частота для случайных массовых событий (их можно наблюдать при одинаковых условиях сколько угодно раз) обладает свойством устойчивости, т.е. в нескольких сериях из достаточно большого количества N, N,, N k наблюдений данного опыта имеют место приближенные равенства: N( A) N( A) N ( )»»¼» k A. N N Nk (.) Таким образом, относительная частота события А колеблется около одного и того же числа, которое характеризует данное случайное событие А. Это число p(a) называется вероятностью события A. Из этого определения следует, что за вероятность события приближенно можно брать его относительную частоту при достаточно большом числе наблюдений данного опыта в одинаковых условиях. Пример. Производится бросание правильной (симметричной, однородной) монеты. Событие А заключается в появлении герба. Если подбрасывать монету много раз, то относительная частота события А будет колебаться около числа /, которое и будет вероятностью события А... Классическое определение вероятности Соображения симметрии в случае конечного пространства Ω возможных исходов опыта позволяет дать простое определение вероятности. Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условиям симметрии нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем другое. Пусть пространство Ω возможных исходов опыта содержит n элементов Ω = {ω, ω,,ω n }. Если все элементарные события ω k, где k =,,, n равновозможные (т.е. равновозможны все исходы данного опыта), то вероятность события А вычисляется по формуле m p( A) = A, n (.)

11 где m A число элементарных событий, благоприятствующих событию А, т.е. число элементов ω k, принадлежащих подмножеству, соответствующему событию А. Пример. Производится бросание монеты. Монета предполагается правильной (симметричной и однородной). Пространство возможных исходов опыта содержит два элемента Ω = {ω, ω }, где ω состоит в появлении орла, а ω решки. Событие А состоит в появлении орла, A = {ω }. Согласно классическому определению вероятности p(a) = /..3. Аксиоматическое определение вероятности Данные выше определения вероятности обладают рядом недостатков. Классическое определение является ограниченным (частным случаем), поскольку требует конечности пространства Ω возможных исходов опыта и равной возможности для элементарных событий (исходов), что часто не соответствует действительности. Статистическое определение опирается на факт устойчивости относительных частот массовых случайных событий и существование их пределов, которые в математической теории мы пока не можем обосновать. Само же понятие вероятности очень важно, так как ее можно рассматривать как объективную меру относительной частоты появления события в серии опытов. Поэтому существование вероятности постулируют. Вероятностным пространством называется тройка объектов (Ω, A, p), где Ω пространство возможных исходов опыта, A σ-алгебра событий (т.е. подмножеств пространства Ω), p числовая функция, определенная на событиях и называемая вероятностью. Вероятность удовлетворяет следующим аксиомам: ) p(a) ³ 0 для всех A Î Ω (неотрицательность p); ) вероятность достоверного события равна единице p(u) = (нормированность p); 3) если A и B несовместные события ( AÇ B= V невозможное событие), то ( È ) = ( ) + ( ) p A B p A p B (аддитивность p). В случае, когда пространство Ω бесконечно, следует ввести дополнительную аксиому: 4) если {A n } последовательность попарно несовместных собы- æ ö тий, то p = ( ) ç An å p A n (счетная аддитивность p). çèn = ø n=

12 Из этих аксиом можно вывести следующие свойства: ) вероятность любого события A является неотрицательным числом, не превышающим единицы, т.е. 0 p(a) ; ) вероятность невозможного события V равна нулю, т.е. p(v) = 0; 3) вероятность противоположного события равна ( ) = - p( A) p A. Легко проверить, что классическое определение вероятности полностью согласуется с аксиомами вероятности..4. Элементы комбинаторики Комбинаторика раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого конечного множества в соответствии с заданными правилами. Рассмотрим множество X, состоящее из N элементов. Будем составлять из элементов этого множества комбинации по k элементов. Две комбинации считаются различными, если они отличаются или хотя бы одним элементом, или их порядком. Приведем важные в практическом отношении понятия размещений, перестановок и сочетаний. Определение. Размещением из N элементов множества X по k элементов называется любая упорядоченная комбинация (x j, x j,, x jk ). Две комбинации ((x j, x j,, x jk ) и (x i, x i,, x ik )) равны тогда и только тогда, когда x jl = x il, l =,,, k. Число всех различных k размещений из N элементов по k обозначается A N и вычисляется по формуле k N! AN = N( N-)... ( N- k+ ) =, (.3) ( N- k)! 0 где предполагается, что A N =. Например, если множество Х состоит из 5 элементов Х = {ω, ω, ω 3, ω 4, ω 5 } и мы будем составлять упорядоченные комбинации по элемента, то общее число таких комбинаций (размещений) будет равно A5 = 5 4 = 0. А именно: ω ω ω ω ω ω 3 ω 3 ω ω ω 4 ω 4 ω ω ω 5 ω 5 ω ω ω 3 ω 3 ω ω ω 4 ω 4 ω ω ω 5 ω 5 ω ω 3 ω 4 ω 4 ω 3 ω 3 ω 5 ω 5 ω 3 ω 4 ω 5 ω 5 ω 4

13 Определение. Частный случай размещения при k = N называется перестановкой из N элементов. Число всех перестановок из N элементов равно: N AN = N( N- )... = N! (.4) Например, если множество Х состоит из 3 элементов Х = {ω, ω, ω 3 }, то возможно всего 6 различных перестановок 3 A3 = 3 = 3! = 6. А именно: ω ω ω 3 ω ω 3 ω ω ω ω 3 ω ω 3 ω ω 3 ω ω ω 3 ω ω Определение. Сочетанием из N элементов множества X по k называется любая неупорядоченная комбинация{x j, x j,, x jk }, состоящая из k элементов множества Х. Число всех сочетаний из N по k k обозначается C N и вычисляется по формуле k k A ( - ) ¼ ( - + )! = N N N N k N CN = =. (.5) k! k ( k- ) ¼ k!( N-k)! 0 k Предполагается, что C N = и C N = 0, если k > N. Из формулы k для вычисления числа сочетаний C N непосредственно следует равенство CN = CN. k N-k Например, если множество Х состоит из 5 элементов Х = {ω, ω, ω 3, ω 4, ω 5 } и мы будем составлять неупорядоченные комбинации по элемента, то общее число таких комбинаций (сочетаний) будет равно A5 5! C5 = = = 0.!!(5- )! А именно: ω ω ω ω 3 ω ω 4 ω ω 5 ω ω 3 ω ω 4 ω ω 5 ω 3 ω 4 ω 3 ω 5 ω 4 ω 5 Во всех приведенных формулах встречается выражение N! = N( N -) ¼. При больших N справедлива формула Стирлинга: N!» π N N e N -N..5. Решение типовых примеров с использованием классического определения вероятности Классическое определение вероятности события А имеет вид m p( A) = A, n 3

14 где n общее число элементарных событий в рассматриваемом случайном опыте и m A число элементарных событий, благоприятствующих событию А, т.е. число элементов ω k, принадлежащих подмножеству, соответствующему событию А. Таким образом, решение представленных ниже примеров сводится к нахождению чисел m A и n. Для этого следует сначала определить пространство Ω, которое будет наиболее удобным при описании данного случайного опыта. Пример.. Игральная кость бросается один раз. Найти вероятность следующих событий: ) А выпадение четного числа очков; ) В выпадение не менее 5 очков; 3) С выпадение не более 5 очков. Решение. В рассматриваемом случае пространство Ω возможных исходов содержит 6 элементов Ω = {ω, ω,,ω 6 }, где элементарное событие ω k есть выпадение числа k. Игральная кость считается правильной, поэтому все элементарные события являются равновозможными и можно пользоваться классическим определением вероятности. События А, В и C соответствуют следующим подмножествам пространства Ω: A = {ω, ω 4, ω 6 }, B = {ω 5, ω 6 }, C = {ω, ω, ω 3, ω 4, ω 5 }, поэтому число элементарных событий, благоприятствующих событиям A, B и C соответственно равно m A = 3, m B =, m C = 5. Теперь вычисляем вероятности этих событий: m 5 ( ) = A m =, ( ) = B m =, ( ) = C pa pb pc =. n n 3 n 6 Пример.. В урне k белых и r черных шаров (k > ). Из урны вынимают наугад два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые. Решение. За пространство возможных исходов опыта Ω = {ω} принимаем множество всех сочетаний из (k + r) элементов (общее число шаров) по (число вынутых шаров). Из соображений симметрии (все шары одинаковые и шары вынимают наугад) следует, что все элементарные события равновозможные, поэтому для определения вероятности события (оба вынутых шара белые) можно воспользоваться классическим определением p( A) = A. Число всех элемен- m тарных событий равно числу сочетаний из (k n + r) по : n= C k+ r = ( ) ( ). k+ r k+ r- 4

15 Так как нас интересует вероятность вынуть два белых шара, то благоприятные события возможные сочетания по только из белых шаров. Таки образом, число элементарных событий m A, благоприятствующих событию A, равно числу сочетаний из k элементов (общее число белых шаров) по (число вынутых шаров): ma = Ck = ( k ) ( k- ). k ( k-) Вероятность события A равна p( A) =. ( k + r) ( k + r - ) Пример.3. В партии, состоящей из k изделий, имеется дефектных ( k). Из партии выбирается для контроля r изделий. Найти вероятность того, что из них ровно s изделий будет дефектных (s r). Решение. За пространство возможных исходов опыта Ω = {ω} принимаем множество всех сочетаний из k элементов (общее число изделий) по r (число выбранных изделий). Элементарные события равновозможные, поэтому пользуемся классическим определением вероятности. Событие A состоит в том, что из r выбранных изделий ровно s дефектных. Его вероятность определяется по формуле m p( A) = A, где общее число элементарных событий n равно числу сочетаний n из k по r, т.е. n= C k r. Элементарное событие будет благоприятствующим событию A, если из r выбранных изделий ровно s будет дефектных, а (r s) годных. Поэтому число элементарных событий, благоприятствующих событию A, равно произведению числа сочетаний из (общее число дефектных изделий) по s (выбранное число дефектных изделий) на число сочетаний из (k ) (общее число годных изделий) по (r s) (выбранное число годных изделий): = s r-s ma C Ck Вероятность события A равна ( ) = s r s C C p A k. r Ck Пример.4. Из урны, содержащей k перенумерованных шаров, наугад вынимают один за другим находящихся в ней шаров ( k ). Найти вероятность того, что номера вынутых шаров будут идти по порядку: s, s +,, s +, при s k +. Решение. За пространство возможных исходов опыта Ω = {ω} принимаем множество всех размещений из k элементов (общее число шаров) по (число вынутых шаров). Событие A состоит в том, что номера вынутых шаров будут идти по порядку. В силу симметрии 5

16 результатов опыта все элементарные события равновозможные, поэтому вероятность события A вычисляется по классическому определению m 6 ( ) = A. p A n Общее число элементарных событий n равно числу размещений из k по : n= Ak = k ( k- ) ¼ ( k- + ). Элементарное событие будет благоприятствовать событию A, если номера вынутых шаров образуют ряд последовательных натуральных чисел. Такие размещения (цепочка из чисел) определяются первым числом, поскольку затем номера увеличиваются на единицу. Так как последнее число в цепочке не может превышать общего числа шаров k, то первый вынутый шар может иметь следующие номера:,,, (k + ), т.е. число элементарных событий, благоприятствующих событию A, равно m A = k +. Вероятность события A равна ( k- + ) p( A) = =. k ( k-) ¼( k- + ) k ( k-) ¼( k- + ) В частном случае =k мы получим очевидный результат p( A) =, так как общее число элементарных событий равно числу перестановок, а благоприятствующим является только одно эле- k! ментарное событие. Если вынимается только один шар, то событие A является достоверным событием, т.е. p(a) =. Пример.5. Имеется 3 ящика с различными материалами. Их наугад распределяют на 5 полок. Найти вероятность того, что: а) все ящики будут на последней полке; б) только один ящик будет на последней полке. Решение. Каждый ящик может находиться на любой из пяти полок, поэтому распределение одного ящика можно описать числом x, принимающим одно из значений,,, 5, соответствующее номеру полки. Распределение двух ящиков можно описать двумерным вектором (x, x ), каждый компонент которого принимает одно из значений,,, 5. За пространство возможных исходов опыта примем множество трехмерных векторов (x, x, x 3 ), каждый компонент которого принимает одно из значений,,, 5. Событие A состоит в том, что все ящики будут на последней (пятой) полке, событие B только один ящик на последней полке. В силу симметрии результатов опыта, все

17 элементарные события равновозможные, поэтому для определения вероятности событий A и B пользуемся классическим определением: ma mb p( A) =, p( B) =. n n Общее число элементарных событий n равно числу трехмерных векторов (x, x, x 3 ), каждый компонент которых принимает одно из значений,,, 5: n = 5 3 = 5. Число элементарных событий, благоприятствующих событию A, равно m A = (событию A соответствует только один вектор (5, 5, 5), все компоненты которого равны пяти). Число элементарных событий, благоприятствующих событию B, равно m A = = 48, так как один из компонентов вектора должен принимать значение пять, а две остальные значение,, 3, 4. Вероятность событий A и B равна p(a) = 5 = 0,008; p(b) = 48 5 = 0,384. Пример.6. В розыгрыше первенства по футболу участвуют 6 команд, из которых случайным образом формируются две группы по 8 команд в каждой. Среди участников соревнований имеется 5 команд экстра-класса. Найти вероятность следующих событий: A все команды экстра-класса попадут в одну и ту же группу, B две команды экстра-класса попадут в одну из групп, а три в другую. Решение. Будем следить за формированием одной из групп, например первой. Вторая группа формируется автоматически из оставшихся 8 команд. За пространство возможных исходов опыта Ω = {ω} примем множество сочетаний из 6 элементов (общее число команд) по 8 (число команд в первой группе). Все элементарные события равновозможные, поэтому можно пользоваться классическим определением вероятности: m ( ) = A m p A, p( B) = B. n n Общее число элементарных событий равно числу сочетаний из 6 команд по 8: n= C

18 Элементарное событие будет благоприятствующим событию A, если в первой группе нет команд экстра-класса или в нее входят все пять команд экстра-класса. В первом случае число элементарных событий, благоприятствующих событию A, равно произведению числа сочетаний из 5 (общее число команд экстра-класса) по 0 (число команд экстра-класса в первой группе) на число сочетаний из (общее число команд не экстра-класса) по 8 (число команд не экстракласса в первой группе): m A = C5 C = C. Во втором случае число элементарных событий, благоприятствующих событию A, равно m A = C5 C = C. Общее число элементарных событий, благоприятствующих событию A, равно ma = m A + m A = C + C = C, так как C = C. Элементарное событие будет благоприятствовать событию B, если в первой группе две команды экстра-класса или в нее входят три команды экстра-класса. В первом случае число элементарных событий, благоприятствующих событию B, равно произведению числа сочетаний из 5 (общее число команд экстра-класса) по (число команд экстра-класса в первой группе) на число сочетаний из (общее число команд не экстра-класса) по 6 (число команд не экстракласса в первой группе): 6 m B = C5 C. 3 5 Во втором случае получим m B = C5 C и общее число элементарных событий, благоприятствующих событию B, равно: mb = m B + m B = C5 C + C5 C = C5 C, так как C5 = C5, C = C. Итак, вероятности событий A и B равны ( ) 3 5 ( ) 3 5 p A = C, p B = C C. 8 8 C6 C6 Пример.7. Шесть спортсменок (,,, 6) приехали на сборы. Их расселили случайным образом в двух комнатах. Одна комната рассчитана на двух человек, другая на четырех. Найти вероятность того, что спортсменки и окажутся в одной комнате.

19 Решение. Нам достаточно следить за заселением только комнаты, рассчитанной на двух человек. В четырехместной комнате будут жить спортсменки, не попавшие в двухместную комнату. За пространство возможных исходов опыта Ω = {ω} примем множество сочетаний из 6 элементов (общее число спортсменок) по (число спортсменок, заселённых в двухместную комнату). Все элементарные события равновозможные, поэтому можно пользоваться классическим определением вероятности m ( ) = A. p A Общее число элементарных событий равно числу сочетаний из 6 команд по : n n= C6 = 5. А именно: Элементарное событие будет благоприятствовать событию A (спортсменки и в одной комнате), если в двухместной комнате окажутся спортсменки и или если в двухместной комнате будут жить спортсменки 3, 4, 5 и 6. В первом случае спортсменки и будут жить в двухместной комнате, во втором в четырёхместной. m A = ( ) m A = 6 ( 3 4, 3 5, 3 6, 4 5, 4 6, 5 6) m A = m A + m A = 7 ( ) p A m = A = n 7. 5 Эту же задачу мы в дальнейшем разберём с использованием формулы полной вероятности. 9

20 3. Геометрические вероятности 3.. Геометрическое определение вероятности В некоторых случаях за пространство возможных исходов опыта можно принимать область n мерного пространства (прямой, плоскости, трёхмерного пространства и т.д.). Предположим, что за пространство Ω={ω} принята некоторая область на плоскости (например, прямоугольник). А Рис. 3. Тогда событиями будут являться различные подмножества множества Ω (см. рис. 3.). Элементарными событиями ω в данном случае служат точки области, соответствующей пространству возможных исходов опыта Ω. Множество Ω является бесконечным, так как содержит бесконечное число точек элементарных событий. Если элементарные события ω равновозможны (т.е. точки области Ω равноправны), то вероятность попадания точки в область А пропорциональна площади этой области и не зависит от формы области А и расположения в её внутри области Ω: S ( ) = А, p A (3.) SΩ где S Ω площадь области Ω, а S А площадь области А. Рассмотрим одномерный случай. За пространство возможных исходов опыта Ω принимается отрезок АВ, тогда событиями будут являться подмножества этого отрезка. Пусть вероятность попадания точки на отрезок СD пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения внутри отрезка АВ (равновозможность элементарных событий точек отрезка АВ) (рис. 3.). A C D B Рис. 3. Тогда вероятность попадания точки на отрезок СD будет равна отношению длины отрезков СD и АВ: p = СD. АВ Аналогично определяется вероятность попадания точки в пространственную фигуру v, составляющую часть фигуры V, p = v, m m где m V v и m V мера (объем) фигур v и V. Геометрическое определение вероятности удовлетворяет всем аксиомам вероятности. 0

21 3.. Решение типовых примеров Пример 3.. Два студента условились встретиться в определенном месте между и 3 часами дня. Пришедший первым ждёт второго в течении /4 часа, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от до 3 часов). Решение. Обозначим через x и y время прихода студентов к месту встречи. За момент отсчета времени примем часов дня, тогда имеют место неравенства: 0 x, 0 y. Введем декартовую систему координат на плоскости. Моменту прихода студентов D соответствует точка М(x, y), которая случайным образом ставится в квадрате ОАО В. y y = x + /4 А С О у=x /4 D С О D В x Рис. 3.3 За пространство Ω исходов опыта можно принять квадрат ОАО В со стороной, равной единице. Из условия задачи следует, что можно пользоваться геометрическим определением вероятности. Определим область, расположенную внутри квадрата ОАО В, которая соответствует тому, что встреча студентов состоится. Для этого необходимо выполнение следующего условия: x- y < 4, т.е. чтобы моменты прихода студентов к месту встречи отличались бы менее, чем на ¼ часа. Раскрывая знак абсолютной величины, получим: x /4 < y < x + /4. Соответствующая область лежит между прямыми y = x /4 и y = x + /4. Итак, искомая область есть многоугольник ОСС О D D (см. рис. 3.3). Теперь подсчитываем вероятность встречи студентов: p S OCCO - æ ö DD SCAC = = = - ç = S çè ø OAO B

22 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей 4.. Теорема сложения вероятностей Аксиома аддитивности позволяет вычислить вероятность объединения двух несовместных событий А и В: p( AÈ B) = p( A) + p( B). Ее следствием является формула для вычисления вероятности объединения конечного числа попарно несовместных событий ( Ai Ç Aj = V при i j): p( A ÈA È¼È An) = p( A) + p( A) +¼+ p( An). Теорема сложения вероятностей: вероятность объединения двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления (т.е. без вероятности пересечения этих событий): p( AÈ B) = p( A) + p( B) - p( AÇB ). (4.) Согласие теорем сложения вероятностей для несовместных и совместных событий очевидно, так как пересечение несовместных событий есть невозможное событие, вероятность которого равна нулю. Приведем формулу для вычисления вероятности объединения конечного числа совместных событий: å æ ö = ( )- ( Ç ) + ç n å n p Ak pak å pai Aj çèk = ø k= < i j n n + pa ( i Ç Aj Ç Ak) -¼+(-) pa ( Ç A Ç A3 Ç¼Ç A n). (4.) i < j < k n 4.. Условные вероятности. Теоремы умножения вероятностей Для того чтобы сформулировать теорему умножения вероятностей, определим условные вероятности. Определение. Условной вероятностью события В при условии, что событие А произошло, называется отношение вероятности совместного наступления двух событий А и В (т.е. их пересечения AÇ B) к вероятности события А: pa ( B) p( AÇ B) =. p( A) (4.3)

23 Теорема умножения вероятностей: вероятность пересечения двух событий А и В равна произведению вероятности события А на условную вероятность события В при условии, что событие А уже произошло, т.е. p( AÇ B) = p( A) pa( B ). (4.4) Таким образом, теорема умножения вероятностей неразрывно связана с понятием условной вероятности. Следствием этой теоремы является формула для определения вероятности пересечения конечного числа событий. Вероятность совместного появления нескольких событий (т.е. их пересечения) равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятности каждого последующего события вычисляются в предположении, что все предыдущие события уже наступили: pa ( Ç A Ç¼Ç A ) = pa ( ) p ( A) p ( A) ¼p ( A ), n A A Ç A 3 A Ç¼Ç An- n где pa ( ) Ç AǼ Ç A n- A n вероятность события A n при условии, что события A, A,, A n- уже произошли. Определение. События А и В называются независимыми, если вероятность их совместного появления равна произведению вероятностей этих событий: p( AÇ B) = p( A) p( B ). (4.5) Это определение независимости событий А и В эквивалентно требованию совпадения вероятности события В и условной вероятности события В при условии, что событие А уже произошло, т.е. p( B) = p A ( B ) или p( A) = p B ( A). В случае нескольких событий, независимых в совокупности, вероятность их совместного появления равна произведению этих событий: p( A Ç A Ç¼Ç An) = p( A) p( A) p( A3) ¼p( A n). (4.6) 4.3. Решение типовых примеров Пример 4.. Вероятность события А равна p. Доказать, что вероятность противоположного события равна ( p). Решение. Покажем, что события A и A образуют полную группу несовместных событий. Событие A, противоположное событию A, наступает в том случае, когда событие А не появилось. Поэтому эти события несовместны, т. е. они не могут наступить одновременно в данном опыте. Из определения события A следует, что объедине- 3

24 ние противоположных событий А и A дает достоверное событие (событие А произойдет или не произойдет). Итак, события А и A образуют полную группу несовместных событий, т.е. они несовместны и AÈ A= U. Теперь применим теорему сложения вероятностей несовместных событий, учитывая, что вероятность достоверного события равна : 4 p( A) + p( A) =. Вероятность противоположного события обозначим через q. Таким образом, q= p( A) = - p( A) = - p. Пример 4.. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один из стрелков. Решение. Пусть событие А есть попадание в мишень первым стрелком, а событие В попадание в мишень вторым стрелком. Тогда противоположные события будут соответствовать A промаху первого стрелка, B промаху второго стрелка. Событие С наступает, когда в мишень попадает только один из стрелков. Это событие можно представить в виде C= ( AÇB) È( AÇB), т.е. происходит хотя бы одно из событий: первый стрелок попадает в мишень, а второй не попадает ( AÇ B ), либо первый стрелок не попадает в мишень, а второй попадает ( AÇ B). Поскольку вероятности событий А и В известны, то легко вычислить вероятность противоположных событий (см. пример 4.): p( A) = - 0,7 = 0,3; p( B) = - 0,8 = 0,. События ( AÇ B) и ( AÇ B) несовместны, так как при появлении первого должно наступить событие А, а при появлении второго, события А должно не наступить. Стрелки стреляют независимо друг от друга, поэтому события А и В можно считать независимыми. Из теорем сложения и умножения вероятностей имеем p( C) = p(( AÇB) È( AÇ B)) = p( AÇ B) + p( AÇ B) = = p( A) p( B) + p( A) p( B) = 0,7 0, + 0,3 0,8 = 0,38. Пример 4.3. ОТК проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие нестандартно, равна 0,. Найти вероятность того, что хотя бы одно из трех проверяемых изделий нестандартно.

25 Решение. Введем обозначение событий: A i i-е изделие нестандартно (i =,, 3), В хотя бы одно из трех проверяемых изделий нестандартно. Тогда событие A i наступит тогда, когда i-е изделие стандартно, и вероятность этого события равна p( Ai) = - p( Ai) = - 0, = 0,9. Событие B наступает тогда, когда ни одно из трех проверяемых изделий не является нестандартным, т.е. когда все три изделия стандартны. Следовательно, данное событие можно представить в виде B= A Ç A Ç A3. Поскольку стандартность или нестандартность изделия не зависит от результатов проверки других изделий, то события A, A, A 3 являются независимыми, и по теореме умножения вероятностей имеем 3 p( B ) = p( A Ç A Ç A 3) = p( A) p( A) p( A 3) = 0,9 = 0,79. Теперь вычисляем вероятность события В: p( B) = - p( B) = - 0,79 = 0,7. Заметим, чтобы найти вероятность события В, состоящего в появлении события А хотя бы один раз при нескольких испытаниях, целесообразно определить сначала вероятность противоположного события B (не появления события А при этих испытаниях), а уже затем определить вероятность события В. Пример 4.4. Брошены три игральные кости. Найти вероятность того, что на всех трех костях появится разное число очков. Первый способ решения. Введем обозначения: событие А наступает тогда, когда на второй игральной кости выпадает число, отличное от числа, выпавшего на первой игральной кости. Событие В наступает тогда, когда на третьей игральной кости выпадает число, отличное от чисел на первой и второй игральных костях. Событие С наступает тогда, когда на всех трех костях появится разное число очков. Это событие есть пересечение событий А и В, т.е. C= AÇB. По теореме умножения вероятностей имеем p( C) = p( AÇ B) = p( A) pa( B). Вычислим вероятности событий А и В. Вероятность события А 5 равна p( A ) =. Так как общее число случаев (количество чисел, 6 которые могут выпасть на второй кости) равно 6, а число случаев, 5

26 благоприятствующих событию А (количество чисел, не совпадающих с числом, выпавшим на первой кости) равно 5. Аналогично, вероятность события В при условии, что событие А появилось, равна pa( B ) = =. Общее число случаев (количество чисел, которые могут выпасть на третьей кости) равно 6, а число случаев, благоприятствующих событию B (количество чисел, не совпадающих с числами, выпавшими на первой и второй костях) равно 4. Окончательно, вероятность события С 5 5 p( C) = = Второй способ решения. Вероятность события С можно вычислить, пользуясь только классическим определением вероятности. Общее число случаев, которые соответствуют различным упорядоченным цепочкам из трех чисел, принимающих значения,,..., 6, равно n = 6 3 = 6. Число случаев, благоприятствующих событию С, которые соответствуют упорядоченным цепочкам из трех различных чисел, равно числу размещений: 6 mc 3 = A6 = = 0. Таким образом, вероятность события С равна m 0 5 p( C) = C = =. n 6 9 Как и следовало ожидать, оба способа решения приводят к одному и тому же результату. Пример 4.5. В читальном зале имеется шесть учебников по теории вероятностей, из которых четыре в жёстком переплете. Библиотекарь наудачу взял три учебника. Найти вероятность того, что все они в жёстком переплете. Первый способ решения. Введем следующие обозначения событий: А первый учебник в переплете, В второй учебник в переплете, C третий учебник в переплете, F все выбранные учебники в переплете. Событие F есть пересечение событий: F = AÇBÇC. В рассматриваемом случае события A, B и C не являются независимыми, поэтому по теореме умножения вероятностей имеем p( F) = p( AÇBÇ C) = p( A) pa( B) paçb( C).

27 Вычислим эти вероятности, используя классическое определение вероятности. Вероятность события A равна m 4 p( A) = A = =. n 6 3 Условная вероятность события B при условии, что событие A произошло (т.е. осталось 5 учебников, из них 3 в переплете), равна 3 pa( B) =. 5 Условная вероятность события C при условии, что события A и B произошли (т.е. осталось 4 учебника, из них в переплете), равна paç B( C ) = =. 4 Таким образом, вероятность события F равна 3 p( F) = = Второй способ решения. Эту задачу можно решить, используя только классическое определение вероятности. Общее число случаев равно числу сочетаний: n= C6 = = 0. 3 Число случаев m F, благоприятствующих событию F, равно числу 3 сочетаний C 4 = 4. Таким образом, вероятность события F равна m 4 p( F) = F = =. n 0 5 Оба способа приводят к одному и тому же результату. Пример 4.6. Разрыв электрической цепи может произойти вследствие выхода из строя элемента k или двух элементов k и k. Элементы k, k, и k выходят из строя независимо друг от друга с вероятностями 0,3; 0, и 0, соответственно. Определить вероятность разрыва электрической цепи. Решение. Введем обозначение событий: A выход из строя элемента k, B i выход из строя элементов k i, (i =, ), C разрыв электрической цепи. По условию задачи событие C произойдет в том случае, когда выйдет из строя элемент k или выйдут из строя два 7

28 элемента k и k. Поэтому событие C можно представить в виде C= AÈ( B ÇB). Согласно теореме сложения вероятностей имеем (события A и B i не являются несовместными) pc ( ) = pa ( È( B Ç B)) = pa ( ) + pb ( ÇB) - pa ( ÇB ÇB). Так как события A, B и B независимы, то по теореме умножения вероятностей получим p( C ) = p( A) + p( B) p( B) - p( A) p( B) p( B ) = = 0,3 + 0, 0, - 0,3 0, 0, = 0,38. 8

29 5. Формула полной вероятности. Гипотезы. Формула Байеса 5.. Формула полной вероятности и формулы Байеса Введём полную группу попарно несовместных событий H, H,, H n, которые в дальнейшем будем называть гипотезами. Для гипотез должны выполняться следующие соотношения: ) Hi Ç Hj = V, при i¹ j; ) p( H ÈH È¼È Hn) = p( H) + p( H) +¼+ p( Hn) =. Событие A можно представить как A= AÇ Ω = AÇ( H ÈH È¼È H n ) = = ( AÇH) È( AÇH) ȼÈ( AÇH n ). Так как несовместность отдельных гипотез приводит к несовместности событий AÇ H i, то по теореме сложения вероятностей получим p( A) = p(( AÇH) È( AÇH) ȼÈ( AÇ H n )) = = p( AÇ H) + p( AÇ H) +¼+ p( AÇH n ). Событие А может появляться совместно с каждой из гипотез. Используя теорему умножения вероятностей, вероятность события А можно вычислить по формуле, называемой формулой полной вероятности: pa ( ) = ph ( ) p ( A) + ph ( ) p ( A) +¼+ ph ( ) p ( A ). (5.) H H n H n Каждый член в формуле полной вероятности p( Hi) ph i ( A ) дает вероятность соответствующей части ( AÇ H i ) разбиения события А. Если до опыта вероятности гипотез были p( H), p( H), ¼, p( H n), а в результате опыта появилось событие A, то с учетом этого события, новые, т.е. условные вероятности гипотез, можно вычислить по формуле Байеса: ph ( i) ph ( A) ph ( ) ( ) i i ph A i pa( Hi) = =. ph ( ) ph ( A) +¼+ ph ( ) ( ) ( ) n ph A pa n (5.) Таким образом, формула Байеса дает возможность переоценить вероятности гипотез с учетом наблюдения результата опыта. 5.. Решение типовых примеров Пример 5.. В каждой из двух урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен 9

30 во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что шар черный. Решение. Введем полную группу несовместных гипотез: H шар, извлеченный из первой урны, является черным; H шар, извлеченный из первой урны, является белым. Гипотезы образуют полную группу, так как их объединение есть достоверное событие. Вероятности этих несовместных гипотез равны p( H ) = =, p( H) = = Найдем условные вероятности события A (из второй урны извлечен черный шар) при выполнении гипотез H и H. При появлении события H во второй урне будет содержаться шаров: 7 черных и 4 белых. Поэтому условная вероятность события A при условии, что событие H произошло, будет равна 7 ph ( A) =. Аналогично вычисляем условную вероятность события при условии, что произошло событие H. В этом случае во второй урне шаров: 6 черных и 5 белых, поэтому ph ( A ) =. 6 По формуле полной вероятности вычисляем вероятность события A: pa ( ) = ph ( ) ph ( A) + ph ( ) ph ( A) = + = Вероятность события A, извлечения черного шара из второй урны, равна вероятности извлечения черного шара из первой урны. Пример 5.. Три орудия производят стрельбу по трем целям. Каждое орудие выбирает себе цель случайным образом и независимо от других. Цель, обстрелянная одним орудием, поражается с вероятностью 0,8. Найти вероятности того, что из трех целей будут поражены две, а третья нет. Решение. Введем полную группу несовместных гипотез: H обстреляны все три цели; H все орудия стреляют по одной цели; H 3 две цели из трех обстреляны, а третья нет. Эти события несовместны, и они образуют полную группу, так как их объединение есть достоверное событие. Вероятность события H равна p( H) = =,

31 так как первое орудие всегда будет стрелять по какой-то цели, второе орудие будет стрелять по другой цели с вероятностью 3, а третье орудие по оставшейся необстрелянной цели с вероятностью 3. Вероятность события H равна p( H) = = Так как p(h ) + p(h ) + p(h 3 ) =, то p( H3) = - - = Событие А наступает тогда, когда поражены ровно две цели из трех. Вычислим условные вероятности наступления события А при условии, что произошло одно из событий H i (i =,, 3). Вероятность события А при условии, что произошло событие H, равна p H ( A ) = 0, 0,8 0,8 + 0,8 0, 0,8 + 0,8 0,8 0, = 0,384. Первое слагаемое соответствует случаю, когда не поражена первая цель, второе не поражена вторая цель, третье не поражена третья цель, а остальные две цели поражены. Вероятность события А при условии, что произошло событие H, равна ph ( A ) = 0. Вероятность события А при условии, что произошло событие H 3, равна ph ( A ) = 0,8 ( - 0, ) = 0, В этом случае по одной цели стреляет одно орудие (вероятность поражения равна 0,8), по другой цели стреляют два орудия (вероятность поражения хотя бы одного попадания равна 0, ). По формуле полной вероятности находим вероятность события А: p( A ) = 0, ,768 = 0, Пример 5.3. Шесть спортсменок (,,, 6) приехали на сборы. Их расселили случайным образом в двух комнатах. Одна комната рассчитана на двух человек, другая на четырех. Найти вероятность того, что спортсменки и окажутся в одной комнате. Решение. Нам достаточно следить за заселением только комнаты, рассчитанной на двух человек. В четырехместной комнате будут жить спортсменки, не попавшие в двухместную комнату. Введем полную группу несовместных гипотез: H спортсменку поселили в двухместную комнату; H спортсменку поселили в четырехместную комнату. 3

32 Эти события несовместны, и они образуют полную группу, так как их объединение есть достоверное событие. Вероятности гипотез равны p( H 4 ) = =, p( H) = = Чтобы произошло событие A (спортсменки и оказались в одной комнате) при условии, что произошло событие H, спортсменка должна быть заселена в двухместную комнату. Всего свободных мест 5, в двухместной комнате осталось одно свободное место, т.е. p H ( A) =. 5 Аналогично, при условии, что произошло событие H, спортсменка должна быть заселена в четырехместную комнату. Всего свободных мест 5, в четырехместной комнате осталось три свободных места, поэтому p H 3 ( A) =. 5 По формуле полной вероятности получим 3 7 pa ( ) = ph ( ) ph ( A) + ph ( ) ph ( A) = + = Пример 5.4. На вход радиолокационного устройства с вероятностью 0, поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью 0,8 только одна помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то устройство регистрирует наличие какого-то сигнала с вероятностью 0,95, а если помеха с вероятностью 0,0. Известно, что устройство зарегистрировало наличие какого-то сигнала. Найти вероятность того, что в его составе имеется полезный сигнал. Решение. Из условия задачи следует, что можно ввести следующую полную группу несовместных гипотез: H полезный сигнал на входе имеется, H полезного сигнала на входе нет. Вероятность этих событий равна p(h ) = 0,, p(h ) = 0,8, а их сумма дает единицу. Событие А наступает тогда, когда устройство регистрирует наличие какого-то сигнала. Условная вероятность события А при условии, что событие H произошло, равна ph ( A ) = 0,95. 3

33 Условная вероятность события А при условии, что событие H произошло, равна ph ( A ) = 0,0. По условию задачи нужно определить вероятность наличия полезного сигнала, если устройство зарегистрировало какой-то сигнал, т.е. условную вероятность pa ( H ). Эта вероятность определяется по формуле Байеса: p ph ( ) p ( A) 0, 0,95 H A( H) = = = 0,9. ph ( ) ph ( A) + ph ( ) ph ( A) 0, 0,95 + 0,8 0,0 Пример 5.5. Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями соответственно равны 0,4; 0,3; 0,5. Решение. Введем полную группу несовместных гипотез: H первое орудие попало в цель, H первое орудие не попало в цель. Вероятности этих событий равны p(h ) = 0,4; p(h ) = 0,4 = 0,6. Событие А наступает тогда, когда два снаряда попадают в цель. Поэтому условная вероятность события А при условии, что событие H произошло (первое орудие попало в цель) будет суммой двух слагаемых: p H ( A) = 0,3 ( - 0,5) + ( - 0,3) 0,5 = 0,5. Здесь первое слагаемое соответствует случаю, когда второе орудие попадает в цель, а третье не попадает. Второе слагаемое соответствует случаю, когда попадает в цель третье орудие, а второе не попадает. Условная вероятность события А при условии, что событие H произошло (первое орудие не попало в цель), равна p H ( A) = 0,3 0,5 = 0,5, так как в этом случае попадают в цель второе и третье орудия. По формуле Байеса определяем искомую вероятность попадания в цель первого орудия при условии, что два снаряда попали в цель: p ph ( ) p ( A) 0,4 0,5 H A( H) = = = 0,69. ph ( ) ph ( A) + ph ( ) ph ( A) 0,4 0,5 + 0,6 0,5 33


М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 3. Методы определения вероятностей

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 3. Методы определения вероятностей МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 3 Методы определения вероятностей 0 Классическое определение вероятностей Любой из возможных результатов опыта назовем элементарным

Подробнее

m раз. Тогда m называется частотой, а отношение f = - относительной

m раз. Тогда m называется частотой, а отношение f = - относительной Лекция Теория вероятностей Основные понятия Эксперимент Частота Вероятность Теория вероятностей раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений Случайные события это события, которые при

Подробнее

Основные положения теории вероятностей

Основные положения теории вероятностей Основные положения теории вероятностей Случайным относительно некоторых условий называется событие, которое при осуществлении этих условий может либо произойти, либо не произойти. Теория вероятностей имеет

Подробнее

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности условий. Обозначение: Ω (истина).

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности условий. Обозначение: Ω (истина). Достоверное событие. Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности условий. Обозначение: Ω (истина). Невозможное событие. Событие, которое

Подробнее

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 4: ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 4: ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ

Подробнее

Краткий конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике

Краткий конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Владимирский государственный университет имени

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ ЛЕКЦИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ Вероятность события относится к основным понятиям теории вероятностей и выражает меру объективной возможности появления события Для практической деятельности важно

Подробнее

Перейти на страницу с полной версией»

Перейти на страницу с полной версией» ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «Челябинская государственная академия культуры и искусства» Кафедра информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

Предмет теории вероятностей

Предмет теории вероятностей Предмет теории вероятностей В различных разделах науки и техники нередко возникают ситуации, когда результат каждого из многих проводимых опытов заранее предугадать невозможно, однако можно исследовать

Подробнее

Теория вероятностей. Случайные события. Параграф 1: Общие понятия.

Теория вероятностей. Случайные события. Параграф 1: Общие понятия. Параграф : Общие понятия Теория вероятностей Случайные события Определение : Теория вероятностей математическая наука, изучающая количественные закономерности в случайных явлениях Теория вероятностей не

Подробнее

2. Вероятность Определения и формулы для решения задач

2. Вероятность Определения и формулы для решения задач 2. Вероятность 2.1. Определения и формулы для решения задач Классическое определение вероятности Эксперимент E назовем классическим, если он приводит к множеству событий, удовлетворяющих трем условиям:

Подробнее

{ σ-алгебра - поле случайных событий - первая группа аксиом Колмогорова - вторая группа аксиом Колмогорова - основные формулы теории вероятностей -

{ σ-алгебра - поле случайных событий - первая группа аксиом Колмогорова - вторая группа аксиом Колмогорова - основные формулы теории вероятностей - { σ-алгебра - поле случайных событий - первая группа аксиом Колмогорова - вторая группа аксиом Колмогорова - основные формулы теории вероятностей - теорема сложения вероятностей - условная вероятность

Подробнее

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 5: ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 5: ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ

Подробнее

{ определения - случайное событие - операции над событиями вероятность на дискретном пространстве элементарных исходов классическое определение

{ определения - случайное событие - операции над событиями вероятность на дискретном пространстве элементарных исходов классическое определение { определения - случайное событие - операции над событиями вероятность на дискретном пространстве элементарных исходов классическое определение вероятности пример гипергеометрическое распределение пример

Подробнее

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА Кафедра математики и информатики Математика Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 6 Элементы теории вероятностей и математической статистики

Подробнее

Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей

Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей Лекция 3 Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей Содержание темы Алгебра событий. Теоремы сложения вероятностей. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей. Формула полной вероятности.

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Теория вероятностей - раздел математики, изучающий закономерности, возникающие в случайных испытаниях. Исход испытания - случайный по отношению к испытанию, если в ходе этого

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Комбинаторика, правила произведения и суммы. Виды соединений

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Комбинаторика, правила произведения и суммы. Виды соединений ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Комбинаторика, правила произведения и суммы Комбинаторика как наука Комбинаторика это раздел математики, в котором изучаются соединения подмножества элементов, извлекаемые из конечных

Подробнее

АКСИАМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 2

АКСИАМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 2 ЧАСТЬ АКСИАМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Лекция ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННАЯ ТРАКТОВКА ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ИХ СЛЕДСТВИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: познакомить с

Подробнее

ТЕМА 3. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ТЕМА 3. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Операции над случайными событиями. Алгебра событий. Понятие совместности событий. Полная группа событий. Зависимость и независимость случайных событий. Условная

Подробнее

Теория вероятностей. Лекция 1 Случайные события Классическая схема

Теория вероятностей. Лекция 1 Случайные события Классическая схема Теория вероятностей Лекция 1 Случайные события Классическая схема 1 Литература Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. М.: Айрис-пресс,

Подробнее

Определение. Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут. 6 Перестановки

Определение. Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут. 6 Перестановки 1 Основные понятия комбинаторики 1 Приложение Определение Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут Пример Вычислить 4! 3! n! 1 3 n 4!-3!= 1 3 4 1 3 4 18

Подробнее

Комбинаторные формулы

Комбинаторные формулы Комбинаторные формулы Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Обозначим его U n. Перестановкой из n элементов называется заданный порядок во множестве U n. Примеры перестановок: 1)распределение

Подробнее

С k n = n! / (k! (n k)!)

С k n = n! / (k! (n k)!) ПРКТИКУМ Основные формулы комбинаторики Виды событий Действия над событиями Классическая вероятность Геометрическая вероятность Основные формулы комбинаторики Комбинаторика изучает количества комбинаций,

Подробнее

2. Действия над событиями

2. Действия над событиями Ответы 1.10. 14 17 = 238. 1.11. A 5 12 = 95040. 1.12. A3 7 = 7 3 = 343. 1.13. 6. 1.14. 4536. 1.15. 1120. 1.16. 720. 1.17. 125. 1.18. 165. 1.19. а) 126; б) 15. 1.20. P(4, 5, 6) = 630630. 1.21. а) P 4 =

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 5. Тема: Комбинаторика, введение в теорию вероятностей 1 Тема: Комбинаторика Комбинаторика это раздел математики, изучающий

Подробнее

ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ

ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ Аксиомы Колмогорова В 1933 г. А. Н. Колмогоров в книге «Основные понятия теории вероятностей» дал аксиоматическое обоснование теории вероятностей. «Это означает, что, после

Подробнее

Теория вероятностей. Алгебра событий. , или обоих этих событий; б) Умножение (пересечение) событий. Произведением событий B = A 1

Теория вероятностей. Алгебра событий. , или обоих этих событий; б) Умножение (пересечение) событий. Произведением событий B = A 1 Теория вероятностей В контрольную работу по этой теме входят четыре задания Приведем основные понятия теории вероятностей необходимые для их выполнения Для решения задач 50 50 необходимо знание темы Случайные

Подробнее

. Число случаев, когда среди этих двух шаров будут два белых, равно

. Число случаев, когда среди этих двух шаров будут два белых, равно 1.1. Классическое определение вероятности Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может

Подробнее

Вероятность. Что это? Теория вероятностей случайного события Как решать задачи: классическая вероятность Вероятностью события

Вероятность. Что это? Теория вероятностей случайного события Как решать задачи: классическая вероятность Вероятностью события Вероятность. Что это? Теория вероятностей, как следует из названия, имеет дело с вероятностями. Нас окружают множество вещей и явлений, о которых, как бы ни была развита наука, нельзя сделать точных прогнозов.

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 1 СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ЗАНЯТИЕ 1 СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ЗАНЯТИЕ 1 СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Основным понятием естествознания является понятие эксперимента, независимо от него, осуществляет этот эксперимент природа или исследователь Условно будем считать, что эксперимент

Подробнее

ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КЛАССИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТИ

ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КЛАССИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТИ ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КЛАССИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТИ Предмет теории вероятностей. Понятие случайного события. Пространство элементарных событий. Классическое и геометрическое

Подробнее

ЧАСТЬ 1 ВВЕДЕНИЕ. Лекция 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЧАСТЬ 1 ВВЕДЕНИЕ. Лекция 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ЧАСТЬ 1 ВВЕДЕНИЕ Лекция 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить предмет курса; ввести понятия опыта, случайного явления, случайного события, а также вероятности и частоты события;

Подробнее

4. Теория вероятностей

4. Теория вероятностей 4. Теория вероятностей В контрольную работу по этой теме входят четыре задания. Приведем основные понятия теории вероятностей, необходимые для их выполнения. Для решения задач 50 50 необходимо знание темы

Подробнее

Кафедра высшей математики. Лекции по теории вероятностей и математической статистике

Кафедра высшей математики. Лекции по теории вероятностей и математической статистике Кафедра высшей математики Лекции по теории вероятностей и математической статистике Раздел. Теория вероятностей Предмет теории вероятностей изучение специфических закономерностей в массовых однородных

Подробнее

8. Вероятность попадания в цель для двух стрелков равна соответственно 0.7 и 0.8. Тогда вероятность поражения цели равна

8. Вероятность попадания в цель для двух стрелков равна соответственно 0.7 и 0.8. Тогда вероятность поражения цели равна Тема: Теория вероятностей Дисциплина: Математика Авторы: Нефедова Г.А. Дата: 9.0.0. Вероятность случайного события может быть равна. 0.5. 3. 0. 0.7 5..5 6. - 7. 0.3. Вероятность достоверного события равна.

Подробнее

Е. В. Морозова. Теория вероятностей

Е. В. Морозова. Теория вероятностей Е. В. Морозова Теория вероятностей 0 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Теория Вероятностей и Математическая Статистика. Ю. Л. Калиновский

Теория Вероятностей и Математическая Статистика. Ю. Л. Калиновский Теория Вероятностей и Математическая Статистика Ю. Л. Калиновский Введение Элементы комбинаторики Урновые схемы. События и операции над ними Пространство элементарных исходов. Операции над событиями.

Подробнее

Число способов, которыми можно разбить 10 женщин на 5 групп по 3 1 женщине в каждой, равно числу неупорядоченных разбиений 2, 2, 2, 2, 2

Число способов, которыми можно разбить 10 женщин на 5 групп по 3 1 женщине в каждой, равно числу неупорядоченных разбиений 2, 2, 2, 2, 2 ВАРИАНТ.. Группа состоит из 5 мужчин и 0 женщин. Найти вероятность того, что при случайной группировке их на 5 групп по три человека в каждой группе будет мужчина. Решение: Для решения задачи будем использовать

Подробнее

Составитель: доцент кафедры медицинской и биологической физики Романова Н.Ю. Теория вероятностей. 1 лекция

Составитель: доцент кафедры медицинской и биологической физики Романова Н.Ю. Теория вероятностей. 1 лекция Составитель: доцент кафедры медицинской и биологической физики Романова Н.Ю. Теория вероятностей 1 лекция Введение. Теория вероятностей это математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.

Подробнее

ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1 ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ГЛАВА 1. 1. Элементы комбинаторики Определение 1. Примеры: Определение. -факториал это число, обозначаемое!, при этом! = 1** * для всех натуральных чисел 1,, ; кроме того,

Подробнее

X и значения k и c, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (a/2, b/2). Построить график функции распределения.

X и значения k и c, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (a/2, b/2). Построить график функции распределения. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1 Варианты контрольной работы

Подробнее

Предмет теории вероятностей. Историческая справка

Предмет теории вероятностей. Историческая справка Лекция 1. Тема: ОСНОВНЫЕ ПОДХОДЫ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ВЕРОЯТНОСТИ Предмет теории вероятностей. Историческая справка Предметом теории вероятностей является изучение закономерностей, возникающих при массовых, однородных

Подробнее

КРАТКИЙ КУРС ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

КРАТКИЙ КУРС ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ С.Н. ОВСЯННИКОВА КРАТКИЙ КУРС ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Учебное пособие Для студентов -го курса экономических специальностей Первый триместр Москва 0 С.Н. ОВСЯННИКОВА КРАТКИЙ КУРС

Подробнее

вероятность того, что произведение очков не превзойдет в) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов: , в) p 5

вероятность того, что произведение очков не превзойдет в) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов: , в) p 5 ) Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит N ; б) произведение числа очков не превосходит N ; в) произведение числа очков делится на N. Решение:

Подробнее

Решение задач из сборника Чудесенко Теория вероятностей Задачи Вариант 6

Решение задач из сборника Чудесенко Теория вероятностей Задачи Вариант 6 Решение задач из сборника Чудесенко Теория вероятностей Задачи -0. Вариант 6 Задача. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит N; б) произведение

Подробнее

М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ИВАНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Составитель:

Подробнее

Лекция 1. Комбинаторные формулы и определения вероятности ВВЕДЕНИЕ

Лекция 1. Комбинаторные формулы и определения вероятности ВВЕДЕНИЕ Лекция 1. Комбинаторные формулы и определения вероятности ВВЕДЕНИЕ СТОХАСТИКА СЕГОДНЯ. Начиная со второй половины прошлого века наблюдается все более возрастающий интерес к теории вероятностей, математической

Подробнее

Формула полной вероятности.

Формула полной вероятности. Формула полной вероятности. Пусть имеется группа событий H 1, H 2,..., H n, обладающая следующими свойствами: 1) Все события попарно несовместны: H i H j =; i, j=1,2,...,n; ij 2) Их объединение образует

Подробнее

М.П. Харламов Конспект

М.П. Харламов  Конспект М.П. Харламов http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Конспект Теория вероятностей и математическая статистика Краткий конспект первого раздела (вопросы и ответы) Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов

Подробнее

Теория вероятностей. Методические указания к выполнению РГР. Для студентов ФТКиТ

Теория вероятностей. Методические указания к выполнению РГР. Для студентов ФТКиТ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

Лекция 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Сумма и произведение события

Лекция 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Сумма и произведение события Лекция 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Сумма и произведение события Суммой или объединением, нескольких событий называется событие, состоящее в появлении наступления хотя бы одного из этих

Подробнее

игральных костях): C6 C6 а) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов:

игральных костях): C6 C6 а) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов: Задачник Чудесенко, теория вероятностей, вариант Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а сумма числа очков не превосходит N ; б произведение числа очков не превосходит N ; в

Подробнее

Вероятность события, классическое определение вероятности. Графическое представление в виде диаграмм Эйлера Венна.

Вероятность события, классическое определение вероятности. Графическое представление в виде диаграмм Эйлера Венна. Лекция 2 Тема Основные понятия теории вероятностей Содержание темы Предмет ТВ. Случайное событие. Вероятность события, классическое определение вероятности. Операции с событиями. Графическое представление

Подробнее

Лекция 2 Тема: АЛГЕБРА СОБЫТИЙ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ВЕРОЯТНОСТИ

Лекция 2 Тема: АЛГЕБРА СОБЫТИЙ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ВЕРОЯТНОСТИ Лекция Тема: АЛГЕБРА СОБЫТИЙ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ВЕРОЯТНОСТИ Алгебра событий Суммой событий и называется событие S = +, которое состоит в наступлении хотя бы одного из них Произведением событий и называется

Подробнее

Лекция 3. Тема. Содержание темы. Основные категории. Основные теоремы и формулы теории вероятностей

Лекция 3. Тема. Содержание темы. Основные категории. Основные теоремы и формулы теории вероятностей Лекция 3 Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей Содержание темы Алгебра событий. Теоремы сложения вероятностей. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей. Основные категории алгебра

Подробнее

2) если случайные события образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство P(A 1 + A A k )= P(A 1 )+ P(A 2 )+ + P(A k )=1

2) если случайные события образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство P(A 1 + A A k )= P(A 1 )+ P(A 2 )+ + P(A k )=1 13 Сложение и умножение вероятностей Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В Записывается: События А и В называются равными, если каждое из них является частным

Подробнее

Реферат по дисциплине «Теория вероятностей» «Полная группа событий»

Реферат по дисциплине «Теория вероятностей» «Полная группа событий» САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ Кафедра Вычислительной Техники Реферат по дисциплине «Теория вероятностей» «Полная группа событий»

Подробнее

6. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

6. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей . Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей Номер:..B Задача: Вероятность совместного наступления независимых событий A и B определяется по формуле Ответы: ). P(A) PA (B) ). P (A) + P(B) ).

Подробнее

Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Теоремы сложения и умножения вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей. 1. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар черный или синий. 2. Три стрелка независимо

Подробнее

Случайные события. Лекция 1

Случайные события. Лекция 1 Лекция Случайные события Определение. Элементарным исходом (или элементарным событием) называют любой простейший (т.е. неделимый в рамках данного опыта) исход опыта. Множество всех элементарных исходов

Подробнее

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций 2009 М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций Выполнил студент группы 712 ФАВТ А. В. Димент СПбГУКиТ Случайное событие всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти, и

Подробнее

Рассмотрим событие: брошенная на отрезок [ 0; 1] точка, попала в промежуток [ 0,4; 0,7].

Рассмотрим событие: брошенная на отрезок [ 0; 1] точка, попала в промежуток [ 0,4; 0,7]. 1.2 Геометрическое определение вероятности. Классическая формула вычисления вероятности p(a) = m оказывается эффективной для решения n целого спектра задач, но с другой стороны, обладает и рядом ограничений.

Подробнее

Контрольная работа по предмету Теория вероятностей

Контрольная работа по предмету Теория вероятностей Контрольная работа по предмету Теория вероятностей Вариант Выполнил студент групы Преподаватель - 9 План:. Имеется пять отрезков, длины которых равны соответственно, 3, 5, 7 и 9 единицам. Определить вероятность

Подробнее

Случайные события Действия над событиями

Случайные события Действия над событиями TTÜ VIRUMAA KOLLEDŽ RAR0530 Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika Лекция 1 Случайные события Действия над событиями Õppejõud: I. Gusseva ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Введение Tеория вероятностей занимается

Подробнее

Теория вероятностей. (введение) Часть 1. Методические указания

Теория вероятностей. (введение) Часть 1. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ Теория вероятностей (введение) Часть 1 Методические

Подробнее

3. Классическое определение вероятности

3. Классическое определение вероятности чив через S событие, состоящее в том, что система незамкнута, можно записать: S = A 1 A 2 +B = (A 1 + A 2 )+B. 2.18. Аналогично решению задач 2.5, 2.6 получаем S = A(B 1 +B 2 ) C D; S = A + B 1 B 2 + C

Подробнее

Теория вероятностей Предметом теории вероятностей Классическое определение вероятности исходами, благоприятствующими

Теория вероятностей Предметом теории вероятностей Классическое определение вероятности исходами, благоприятствующими Лекция 9. Классическое определение вероятности Теория вероятностей математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Подробнее

A первый взятый шар белого цвета; 24. Раздел 1. Случайные события. Литература. [4], гл. I; [5], гл 1 4.

A первый взятый шар белого цвета; 24. Раздел 1. Случайные события. Литература. [4], гл. I; [5], гл 1 4. Тема 2. Элементы теории вероятностей и математической статистики Раздел. Случайные события Литература. [4], гл. I; [5], гл 4. Основные вопросы.. Испытания и события, виды случайных событий, классическое

Подробнее

КОМБИНАТОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

КОМБИНАТОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ КОМБИНАТОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ Тема 5 Перевод осуществлен при поддержке IT Akadeemia Содержание лекции 1 Введение 2 3 4 Следующий пункт 1 Введение 2 3 4 Проблема... Проблема... Проблема... ... и решение: Девочка

Подробнее

Лекция 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Лекция 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса. МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 4 Теоремы сложения и умножения вероятностей Формула полной вероятности Формула Байеса Пусть и B - несовместные события и вероятности

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КАЗАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

9 Событие называется случайным, если в результате испытания оно. 10 Событие называется достоверным, если в результате испытания оно

9 Событие называется случайным, если в результате испытания оно. 10 Событие называется достоверным, если в результате испытания оно Теория вероятностей и математическая статистика _рус_3кр_зим_ибрагимова С.А._ССМ(2.4.очное) 1. Метаданные теста Автор теста: Ибрагимова С.А. (для студентов преподавателя Елшибаева) Название курса: Теория

Подробнее

I. Определение вероятности и основные правила ее вычисления 1.1 Вероятностный эксперимент. Предмет теории вероятностей Результаты эксперимента

I. Определение вероятности и основные правила ее вычисления 1.1 Вероятностный эксперимент. Предмет теории вероятностей Результаты эксперимента I Определение вероятности и основные правила ее вычисления Вероятностный эксперимент Предмет теории вероятностей Результаты эксперимента зависят в той или иной степени от комплекса условий, при которых

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ Раздел 1. Вероятностные модели

СОДЕРЖАНИЕ Раздел 1. Вероятностные модели СОДЕРЖАНИЕ Раздел 1. Вероятностные модели 1.1. Случайные события..... 7 1.2. Определение вероятности.... 12 1.3. Элементы комбинаторики; непосредственный подсчет вероятностей.... 15 1.4. Условная вероятность;

Подробнее

Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА. Ч.III ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Тема III «ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА»

Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА. Ч.III ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Тема III «ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА» Министерство сельского хозяйства РФ Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА Ч.III ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Тема III «ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА» Методические указания для самостоятельной работы обучающихся

Подробнее

Элементы теории вероятностей. План.

Элементы теории вероятностей. План. Элементы теории вероятностей. План. 1. События, виды событий. 2. Вероятность события а) Классическая вероятность события. б) Статистическая вероятность события. 3. Алгебра событий а) Сумма событий. Вероятность

Подробнее

Распределение числа успехов (появлений события A) носит название биномиального распределения.

Распределение числа успехов (появлений события A) носит название биномиального распределения. 1.6. Независимые испытания. Формула Бернулли При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и то же испытание повторяется многократно и исход каждого испытания

Подробнее

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС. Предназначено для студентов специальности: ИС, ВТиПО 2к. 4г.о., ИС 1к. 2г.о., 1к. 3г.о.

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС. Предназначено для студентов специальности: ИС, ВТиПО 2к. 4г.о., ИС 1к. 2г.о., 1к. 3г.о. Автор теста: Искакова АМ Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС, ВТиПО 2к 4го, ИС 1к 2го, 1к 3го Текст вопроса/варианты ответа 1 2 События А и В называются противоположными,

Подробнее

Лекция 12. Понятие о системе случайных величин. Законы распределения системы случайных величин

Лекция 12. Понятие о системе случайных величин. Законы распределения системы случайных величин МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция Понятие о системе случайных величин Законы распределения системы случайных величин Часто возникают ситуации когда каждому элементарному

Подробнее

Вопросы по Теории Вероятностей

Вопросы по Теории Вероятностей Вопросы по Теории Вероятностей 1. Понятия испытания и случайного события. 2. Понятие статистической устойчивости. 3. Относительная частота появления случайного события. Статистическое определение вероятности.

Подробнее

Интернет-экзамен в сфере профессионального образования

Интернет-экзамен в сфере профессионального образования Интернет-экзамен в сфере профессионального образования Специальность: 230201.65 Информационные системы и технологии Дисциплина: Математика (ТВ и МС) Время выполнения теста: 20 минут Количество заданий:

Подробнее

Предварительный письменный опрос. Список вопросов.

Предварительный письменный опрос. Список вопросов. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ВЕСНА 2019 г. Предварительный письменный опрос. Список вопросов. В вариантах вопросов на экзамене возможны изменения по сравнению с предложенным списком: могут быть изменены численные

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

ЗАНЯТИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ЗАНЯТИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ МИСИС 2013 УТВЕРЖДАЮ: Д.Е. Капуткин Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования гор.

Подробнее

Н. Г. ТАКТАРОВ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: КРАТКИЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И РЕШЕНИЯМИ. Текст исправлен и дополнен

Н. Г. ТАКТАРОВ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: КРАТКИЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И РЕШЕНИЯМИ. Текст исправлен и дополнен Н. Г. ТАКТАРОВ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: КРАТКИЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И РЕШЕНИЯМИ Текст исправлен и дополнен АННОТАЦИЯ Книга является учебным пособием в котором кратко просто и доступно

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ТАШКЕНТСКИЙ ФИНАНСОВЫЙ ИНСТИТУТ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА (КУРС ЛЕКЦИЙ) ДЛЯ ВСЕХ НАПРАВЛЕНИЙ БАКАЛАВРИАТА

Подробнее

Обязательный образовательный минимум

Обязательный образовательный минимум Обязательный образовательный минимум Класс 9 Предмет Математика Четверть II 1 Числовая последовательность Числовая последовательность a 1, a 2, a 3,, a n, это упорядоченный набор чисел. a 1 называют первым

Подробнее

появлений события к числу n всех произведенных опытов: A

появлений события к числу n всех произведенных опытов: A Практическая работа 16 Определение вероятности. Геометрическая вероятность. Сложение и умножение вероятностей Цель работы: вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятности

Подробнее

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС ДОТ Семестр: 1

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС ДОТ Семестр: 1 Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС ДОТ Семестр: 1 1 Из букв слова бизнес наугад выбирается одна буква. Укажите пространство элементарных событий

Подробнее

Лекция 3 УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ТЕОРЕМА БАЙЕСА

Лекция 3 УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ТЕОРЕМА БАЙЕСА Лекция 3 УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ТЕОРЕМА БАЙЕСА ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятия условной вероятности и независимости событий; построить правило умножения

Подробнее

Задачи, рассмотренные в данном разделе, обобщают сведения комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Основные формулы комбинаторики.

Задачи, рассмотренные в данном разделе, обобщают сведения комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Основные формулы комбинаторики. Тема 53 «Комбинированные задачи». Задачи, рассмотренные в данном разделе, обобщают сведения комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Основные формулы комбинаторики. Без повторений С повторениями

Подробнее

ТЕМА 1. Комбинаторика. Вычисление вероятностей = 4080.

ТЕМА 1. Комбинаторика. Вычисление вероятностей = 4080. ТЕМА 1 Комбинаторика Вычисление вероятностей Задача 1Б В розыгрыше кубка страны по футболу берут участие 17 команд Сколько существует способов распределить золотую, серебряную и бронзовую медали? Поскольку

Подробнее

Практическая работа 3 Алгебра событий. Сложение и умножение вероятностей

Практическая работа 3 Алгебра событий. Сложение и умножение вероятностей Практическая работа 3 Алгебра событий. Сложение и умножение вероятностей Цель работы: освоить вычисление вероятностей совместных событий, определение вероятности по формулам суммы и произведения. Оборудование

Подробнее

Тема 33 «Вероятности событий»

Тема 33 «Вероятности событий» Тема 33 «Вероятности событий» Все мы довольно часто говорим «это невероятно», «более вероятно, что», «это маловероятно» и т.д., когда пытаемся спрогнозировать наступление того или иного события. При этом

Подробнее

Предварительный письменный опрос. Список вопросов.

Предварительный письменный опрос. Список вопросов. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ВЕСНА 2016 г. Предварительный письменный опрос. Список вопросов. Основы теории множеств, аксиоматические свойства вероятности и следствия из них. 1. Записать свойства ассоциативности

Подробнее

Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины

Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины Случайные величины Дискретная и непрерывная случайные величины Наряду с понятием случайного события в теории вероятности используется другое более удобное понятие случайной величины Случайной величиной

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ. КЫРГЫЗСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. И.РАЗЗАКОВА. ДЖАМАНБАЕВ М.Дж.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ. КЫРГЫЗСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. И.РАЗЗАКОВА. ДЖАМАНБАЕВ М.Дж. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ КЫРГЫЗСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. И.РАЗЗАКОВА ДЖАМАНБАЕВ М.Дж. КРАТКИЙ КУРС ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ КОНТРОЛЬНЫЕ

Подробнее

Предварительный письменный опрос. Список вопросов.

Предварительный письменный опрос. Список вопросов. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ВЕСНА 2018 г. Предварительный письменный опрос. Список вопросов. В вариантах вопросов на экзамене возможны изменения по сравнению с предложенным списком: могут быть изменены численные

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Теория вероятностей это наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

ЛЕКЦИЯ 1 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Теория вероятностей это наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. ЛЕКЦИЯ 1 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Теория вероятностей это наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Случайное явление это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же

Подробнее