Тычина К.А. И з г и б.

Транскрипт

1 Тычина К.А. V И з г и б.

2 Изгиб вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают внутренние изгибающие моменты и (или) : упругая ось стержня стержень Рис. V.1. М изг М изг М изг М изг Q Q Чистый изгиб Q=0 Поперечный изгиб Q 0 Стержень, работающий на изгиб балка; Балка, заделанная на одном конце консоль; Упругая ось балки линия, проходящая через центры тяжести её поперечных сечений. Изгиб бывает: Чистый Поперечный Прямой Косой Прямым изгибом называется нагружение, при котором балка изгибается в плоскости действия внутреннего изгибающего момента, косыми изгибом называется нагружение, при котором балка выходит из этой плоскости.

3 При решении задач положительные направления внутреннего изгибающего момента и внутренней перерезывающей силы определяют по правилу знаков: М изг М изг Q Q Для упрощения расчётных формул (без внесения существенной погрешности в результаты) используют следующие гипотезы: 1) Гипотеза плоских сечений плоские сечения, перпендикулярные оси балки до нагружения, остаются плоскими и перпендикулярными оси балки и после нагружения: 2) Гипотеза о ненадавливании продольных слоёв при изгибе продольные слои балки друг на друга не давят:

4 Применение этих гипотез позволяет в формулах изгиба учитывать действие только осевых нормальных напряжений σ z ( рис V.2 ), остальными напряжениями пренебречь. Таким образом, напряжённое состояние точек изогнутого стержня такое же, как и у растянутого (сжатого) одноосное. Y X z Z Рис. V.2 Именно поэтому, например, волокна дерева протянуты вдоль ствола по направлению действия наибольших напряжений. Напряжения σ z (далее просто σ) при изгибе переменны по сечению. Максимальное по модулю напряжение в поперечном сечении пропорционально действующему в нём изгибающему моменту изг : где М изг ma (V.1) Wизг W изг момент сопротивления сечения при изгибе, [м 3 ].

5 П р я м о й ч и с т ы й и з г и б Деформации слоёв балки при её чистом изгибе в плоскости рисунка возникают в результате взаимного поворота плоских поперечных сечений: Y Участок балки до нагружения: 1 A 2 B Произвольный слой После нагружения: 1 2 Aʹ Bʹ Z Растяжение dz Нейтральный слой ρ 1 2 Сжатие 1 2 dα dz Рис. V.3 Часть продольных слоёв балки растягивается, часть сжимается. Их разделяет нейтральный слой, длина которого остаётся неизменной. Бесконечно близкие поперечные сечения 1-1 и 2-2 ( рис V.3 ) взаимно поворачиваются, оставаясь плоскими. Продольная деформация ε в произвольном слое на расстоянии от нейтрального: AB AB AB d ( ) d d (V.2) По закону Гука для одноосного напряжённого состояния σ=e ε, значит: E (V.3)

6 Y Рис.V.4 da Внутренний изгибающий момент X (его вектор O X σ dn=σ da направлен вдоль оси ОX (рис.v.4) есть Нейтральный слой интегральная сумма Z действующих поперечном в сечении усилий: Плечо Сила E 2 E М dn da E da da A A A A 1 E Связь между внутренним изгибающим моментом и кривизной оси бруса (V.4) Подставляя (V.4) в (V.3) получим: Для точки поперечного сечения, отстоящей от нейтрального слоя на у. (V.5) То есть напряжения по высоте поперечного сечения изменяются линейно: Рис.V.5 σ σ ma ma ma ma нейтральный слой W W изг (V.6) ma

7 Положение нейтральной линии: При изгибе внутренняя осевая растягивающая сила N отсутствует: N 0 dn da da S A A A 0, 0 S 0 A 0 нейтральный слой, c c от которого отсчитывается координата проходит через центр тяжести поперечного сечения стержня. Y σ σ ma ma C нейтральный слой X

8 П о т е н ц и а л ь н а я э н е р г и я Как и раньше, считаем потенциальную энергию упругой деформации равной работе, которую внутренние усилия совершают на перемещениях точек тела при нагружении. При изгибе это - работа внутренних изгибающих моментов на поворотах поперечных сечений. Например, взаимно развернув поперечные сечения 1-1 и 2-2 на угол d внутренний изгибающий момент материале между ними: накопил потенциальную энергию в dz 1 1 изг du изг изг изг 2 d dz dz 2 2 E 2 E dz 1 dz 2 ИЗГ 1 2 dα ρ ИЗГ Полная потенциальная энергия, накопленная в стержне при чистом изгибе есть интеграл по его длине: U 2 изг dz 2 E (V.7)

9 Р а ц и о н а л ь н ы е п о п е р е ч н ы е с е ч е н и я Из рис. V.5 видно, что наибольшие напряжения действуют на удалении от центра тяжести поперечного сечения. Очевидно, именно там и нужно сосредоточить основное количество материала стержня. Подобная форма позволит при том же весе стержня увеличить момент инерции его поперечных сечений : а) б) в) Швеллер Двутавр Кольцо Рис. V.6 Кольцевое поперечное сечение имеют, например, стебли трав.

10 Р а с ч ё т н а п р о ч н о с т ь п р и и з г и б е В точках изогнутого стержня, так же как и при растяжении сжатии, реализуется одноосное напряжённое состояние: σ Z Рис.V.7 От растяжения (сжатия) (рис..4) изгиб отличаются только тем, что напряжения по перечному сечению распределены неравномерно (рис.v.5). Поэтому, расчёт на прочность при изгибе почти идентичен расчёту на прочность при растяжении (сжатии) формулы (.11), (.12), (.13) и (.14) - за исключением двух моментов: 1) Если предел текучести при растяжении равен пределу текучести при сжатии ( ТР ТС ) то в качестве ma берётся максимальное по модулю напряжения в сечении. 2) Если ТР ТС (или ВС ВР для хрупких материалов), то коэффициенты запасы прочности считаются отдельно для сжатой и для растянутой частей поперечного сечения и выбирается меньший из них.

11 П о п е р е ч н ы й и з г и б При этом виде нагружения в поперечных сечениях стержня возникает не только внутренний изгибающий момент, но и внутренняя перерезывающая сила: Q суммарный результат действия Y касательных напряжений ; da результат действия нормальных A C τ σ Рис. V.8 Q X Z напряжений : Q A da A da Распределены эти напряжения по сечению неравномерно: Y Прямая Парабола Z σ σ ma τ ma Q A Q X X Рис. V.9 В длинных стержнях ma ma, кроме того, максимума касательные напряжения достигают у нейтрального слоя, а нормальные по краям поперечного сечения (рис. V.9) и их воздействия не суммируются. Поэтому при расчёте перемещений точек стержня и запасов прочности действием касательных напряжений пренебрегают. Расчёт ведут точно так же, как и для чистого изгиба.

12 Связь внешней нагрузки и внутренних силовых факторов: Y q Z dz Q Y Q Y +dq Y Q X X + d X X Уравнения равновесия кусочка стержня: +d Q Q +dq F 0 Q q dz Q dq dq dz q (V.9) 0 q dz dz Q dz dq dz d 2 k 0 0 d Q dz (V.10)

13 К о с о й и з г и б Косым называют вид изгиба, при котором направление вектора внутреннего изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных центральных осей поперечного сечения: Рис. V.11 Такой изгиб рассчитывается путём разложения вектора изгибающего момента по главным центральным осям: изг М М (V.14) и суммирования результатов получившихся двух прямых изгибов.

14 Напряжение в любой точке поперечного сечения с координатами, в главных центральных осях, рассматривают, как сумму напряжений от действия моментов и : или, вспоминая формулу (V.5): (V.15) здесь знаки слагаемых соответствуют знакам напряжений, порождаемых соответствующими моментами центральных осей: или в первом квадранте главных

15 Рис. V.13

16 Нейтральный слой при прямом изгибе остается плоским. На поперечном сечении он виден отрезком частью прямой, именуемой нейтральная линия (н.л.), рис. (V.14). Нейтральная линия отделяет сжатую зону поперечного сечения от растянутой (всегда отделяет кресты от точек, рис. V.14), её уравнение в координатах CXY Рис. V.14 находят из того условия, что напряжения в нейтральном слое равны нулю: 0 (V.16) При косом изгибе нейтральная линия всегда проходит через точку С центр тяжести поперечного сечения. Напряжения при косом изгибе распределяются по сечению линейно, принимая экстремальные значения в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии (рис. V.15). Рис. V.15

17 Для изгиба, показанного на рис. V.15, экстремальные напряжения: ma min ; B B B. D D D Значения внутренних изгибающих моментов и берутся по модулю, координаты точек B, B, D, D с учётом знака. Полное перемещение поперечного сечения стержня при косом изгибе находят, как геометрическую сумму перемещений двух прямых изгибов: и от каждого из (V.17) 2 2 Рис. V.16

18 Внецентренное растяжение (сжатие) Внецентренным растяжением (сжатием) называют такой вид нагружения стержня, при котором ось действующей на стержень внешней продольной силы (или результирующей системы продольных сил) не совпадает с его упругой осью: Рис. V.17 Действие такой силы (или группы сил) на стержень эквивалентно действию на него осевой растягивающей силы и изгибающего момента (рис.v.17). А изгибающий момент можно разложить по главным центральным осям (V.14), получив косой изгиб с растяжением (сжатием): Рис. V.18 Напряжение в точке поперечного сечения с координатами, в главных центральных осях вычисляется по формуле: N A (V.18) где А площадь поперечного сечения.

19 и подставляются по модулю, N, и с учётом знака. Знаки перед первыми двумя слагаемыми определяются по тому же правилу, что и для косого изгиба. Уравнение нейтральной линии: N 0 (V.19) A При внецентренном растяжении (сжатии) нейтральная линия не проходит через центр тяжести сечения: Рис. V.19