7. Понятие линейного пространства

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "7. Понятие линейного пространства"

Транскрипт

1 7 Понятие линейного пространства 1 Определение и примеры Пусть L некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на действительные числа (например, множество матриц одинакового размера, множество векторов, множество функций с одинаковой областью определения и тд) ОПРЕДЕЛЕНИЕ 71 Множество L называется линейным пространством над R если для любых элементов a, b, c L и для любых чисел α, β R выполняются условия: 1) a + b = b + a (коммутативность сложения элементов из L ); ) ( a + b) + c = a + ( b + c) (ассоциативность сложения элементов из L ); 3) Во множестве L существует такой элемент o, что a + o = a Этот элемент o называют нулевым элементом множества L ; 4) Для любого элемента a L существует элемент a L такой, что a + ( a) = o Элемент a называют противоположным к a; 5) α ( β a ) = ( αβ ) a (ассоциативность относительно умножения чисел); 6) ( α + β ) a = α a + β a (дистрибутивность умножения на элемент из L относительно сложения чисел); 7) α ( a + b) = α a + α b (дистрибутивность умножения на число относительно сложения элементов из L ); 8) 1 a = a ПРИМЕРЫ линейных пространств 1) Пусть M ( m, R) множество матриц размера m с элементами из R Для этого множества все условия определения 71 выполняются (см свойства линейных операций над матрицами в 1) Следовательно, множество M ( m, R) является линейным пространством над R ) Пусть V ( V ) множество свободных векторов пространства (плоскости) Для этого множества тоже выполняются все условия определения 71 (см свойства линейных операций над векторами в 6) Следовательно, множество V ( V ) является линейным (3) () пространством над R (3) () 3) Пусть R множество последовательностей действительных чисел Введем операцию сложения элементов из R и умножения эле- 1

2 ( 1 ( 1 ментов из R на число Пусть a, b R, a = ( α1; α; K; α ), b = ( β1; β; K; β ) Полагаем a + b = ( α 1 + β1; α + β; K; α + β ), и α a = ( α α1; α α; K; α α ) Легко проверить, что все условия определения 71 в этом случае будут выполняться (нулевым элементом будет o = ( 0; 0; K; 0), противоположным к a = α ; α ; K; α ) элемент a = α ; α ; K; α )) Следовательно, множество R является линейным пространством над R Его называют арифметическим линейным пространством, а элементы множества R называют -мерными векторами 4) Пусть R [x] множество многочленов с коэффициентами из R Так как все условия определения 71 для множества R [x] выполняются, то это множество является линейным пространством над R 5) Пусть C [ a, b] множество функций, непрерывных на [ a, b] Все условия определения 71 для множества C[ a, b] выполняются Следовательно, оно является линейным пространством над R Из определения линейного пространства легко вывести следующее утверждение ЛЕММА 7 Пусть L линейное пространство над R Тогда для любых элементов a, b L и любых действительных чисел α, β справедливы следующие утверждения: 1) 0 a = o, α o = o; ) ( α) a = α ( a) = α a, ( α ) ( a) = α a ; 3) α ( a b) = α a α b, ( α β ) a = α a β a ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 1) Рассмотрим элемент β a Так как β = β + 0, то по определению линейного пространства имеем: β a = ( β + 0) a = β a + 0 a Прибавим к левой и правой части этого равенства элемент ( β a) Получим: ( β a) + β a = o и ( β a) + ( β a + 0 a)= ( ( β a) + ( β a) ) + 0 a = o + 0 a = 0 a Следовательно, 0 a = o

3 Теперь рассмотрим элемент α a Так как a = a + o, то по определению линейного пространства имеем: α a = α ( a + o) = α a + α o Прибавим к левой и правой части этого равенства элемент ( α a) Получим: ( α a) + α a = o и ( α a) + ( α a + α o)= ( ( α a) + ( α a) ) + α o = o + α o = α o Следовательно, α o = o ) Покажем, что ( α) a = α a Рассмотрим α a + ( α ) a Используя доказанные выше утверждения и свойства линейного пространства, получаем: α a + ( α ) a = ( α + ( α) ) a = 0 a = o Следовательно, элемент ( α ) a является противоположным к α a, те ( α) a = α a Аналогично показывается, что ( α) a = α ( a) = α a 3) Покажем, что α ( a b) = α a α b Используя доказанные в ) утверждения и свойства линейного пространства, получаем: α ( a b) = α a + ( b) = α a + α ( b) = α a + ( α b) = α a α ( ) b Аналогично доказывается, что ( α β ) a = α a β a В заключение этого пункта заметим, что наряду с термином «линейное пространство» используется также термин «векторное пространство», а элементы линейного пространства принято называть векторами Подпространства линейных пространств непустое подмноже- Пусть L линейное пространство над R, ство в L L 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Говорят, что L 1 является подпространством линейного пространства L (или линейным подпространством), если оно само образует линейное пространство относительно операций, определенных на L Справедлива следующая теорема ТЕОРЕМА 73 (критерий подпространства) Пусть L линейное пространство над R, L непустое подмножество в L является 1 L 1 3

4 подпространством линейного пространства L тогда и только тогда, когда для любых элементов a, b L1 и любого α R выполняются условия: 1) a b L 1 ; ) α a L1 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Необходимость сформулированных в теореме условий очевидна Покажем их достаточность Фактически, необходимо только доказать, что из условий a b L 1 и α a L 1 следует, что o L 1 и для любого a L 1 элемент a L 1 (остальные условия определения 71 будут выполняться в любом подмножестве линейного пространства) Покажем справедливость этого утверждения Пусть любой элемент из L Тогда по условию a a = o L и ( 1) a = a L a 1 1 ПРИМЕРЫ линейных подпространств () 1 1) Множество V свободных векторов плоскости очевидно является подпространством линейного пространства V свободных векто- (3) ров пространства ) Пусть R [x] множество многочленов с коэффициентами из R и имеющих степень меньше Очевидно, что R [x] является подпространством линейного пространства R [x] многочленов с коэффициентами из R 3) Пусть задана некоторая система линейных однородных уравнений AX = O, имеющая нетривиальные решения Решение системы последовательность действительных чисел Следовательно, его можно рассматривать как -мерный вектор арифметического линейного пространства R и множество H решений системы AX = O подмножество в R Изучая системы линейных однородных уравнений, мы выяснили, что линейная комбинация их решений снова является решением системы (см терема 51) Следовательно, H будет подпространством линейного пространства R 4) Подпространством любого линейного пространства L является его подмножество O ={o} Его называют тривиальным подпространством 4

5 a1 5) Пусть L линейное пространство над R,, a, K, a некоторые элементы из L Пусть L ( a1, a, K, ak ) множество всевозможных линейных комбинаций элементов, a, K, a, те L a, a, K, a ) α a + α a + + α α R} ( 1 k ( a1, a, K, ak a1 k = { 1 1 K k a k i Множество L ) называют линейной оболочной векторов, a, K, a a1 k Легко проверить, что для линейной оболочки L ( a1, a, K, ak ) выполняются условия теоремы 3, и, следовательно, она будет подпространством линейного пространства L k 3 Понятие линейной зависимости и независимости Базис Напомним, что если M некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на числа, то выражение α1 m1 + α m + K + α k m k (где m1, m, K, m k M, α 1, α, K, α k числа) называют линейной комбинацией элементов m1, m,k, mk с коэффициентами α 1, α,k, α k Если m M и m является линейной комбинацией элементов m1, m,k, mk, те m = α1 m1 + α m + K + α k mk, то говорят, что m линейно выражается через элементы m1, m, K, mk Пусть L линейное пространство,, a, K, a L a1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Векторы a1, a, K, ak называются линейно зависимыми, если существуют числа α 1, α, K, α k, не все равные нулю и такие, что линейная комбинация α1 a1 + α a + K + α k ak равна нулевому элементу o линейного пространства L Если же равенство α1 a1 + α a + K + α k ak = o возможно только при условии α1 = α = K = α k = 0, то векторы a1, a, K, ak называют линейно независимыми Справедливо следующее утверждение ЛЕММА 74 (необходимое и достаточное условие линейной зависимости) Векторы a1, a,k, ak линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них линейно выражается через оставшиеся ДОКАЗАТЕЛЬСТВО k 5

6 1) Необходимость Пусть векторы a1, a, K, a k линейно зависимы Тогда по определению существуют числа α 1, α, K, α k, не все равные нулю и такие, что α1 a1 + α a + K + α k ak = o Пусть, например, α 1 0 Тогда α1 a1 = α a K α k a k, α α k a1 = a K ak α1 α1 ) Достаточность Пусть один из векторов a1, a, K, a k линейно выражается через оставшиеся Например, пусть a1 = α a + α3a3 + K + α kak a + α a + α a + K + α a o k k = a1 a ak Следовательно, векторы,, K, линейно зависимы Замечание Часто в качестве определения линейно зависимых векторов берут формулировку леммы 74 ПРИМЕРЫ линейно зависимых и линейно независимых векторов 1) Матрицы E 1 =, E =, E3 =, E4 =, A = линейно зависимы Действительно, E 1 + E + 3E3 + 4E4 A = O Матрицы,,, E линейно независимы, так как E1 E E3 4 α1 α α1e 1 + αe + α3e3 + α4e4 =, α3 α4 и, следовательно, если α E α E + α E + E = O, то ) Пусть g ( x ) 1, 1 = α4 4 α1 α = 0 0 ; α 3 α α, α 0, α 0, α 0 1 = 0 = 3 = 4 = g x ) = x, g ( x = x, g ( x ) = (1 + x Так как ( 3 ) ( 1+ x ) = 1+ x + x, то g 4 ( x ) является линейной комбинацией g 1( x ), g ( x ), g 3 ( x ) : g 4 ( x ) = g1( x ) + g ( x ) + g3( x ) Следовательно, многочлены g ( ), g ( ), g ( ), g 4 ( x) линейно зависимы 1 x x 3 x 4 ) 6

7 Теперь рассмотрим многочлены f 1 ( x ) = x + 1, f ( x ) = x, f3 ( x ) = x + x + 1, f4 ( x ) = x 1 Они линейно независимы Действительно, α f x ) + α f ( x ) + α f ( x ) + α f ( ) = 1 1( x 3 4 α 1( x + 1) + αx + α3( x + x + 1) + α4 ( x 1 = α3x + αx + ( α1 + α3 ) + ( α1 + α3 α4 = ) = α x x ) Следовательно, если α 1 f1( x ) + α f ( x ) + α3 f3( x ) + α4 f4 ( x ) = 0, то α 4 = 0, α 3 = 0, α = 0, α 1 + α3 = 0, α 1 + α3 α4 = 0 ; α 4 = 0, α 3 = 0, α = 0, α 1 = 0 3) Пусть a 1 = (; 3;1), a = (3; 1; 5), a 3 = (1; 4; 3) Выясним, является ли эта система векторов пространства R 3 линейно зависимой Пусть α 1a 1 + αa + α3a3 = o Тогда имеем: α 1a1 + αa + α3a3 = = ( α1; 3α1; α1) + ( 3α ; α; 5α ) + ( α 3; 4α 3; 3α 3 ) = = ( α1 + 3α + α3; 3α1 α 4α 3; α1 + 5α + 3α 3 ) = (0; 0; 0) α1 + 3α + α3 = 0, 3α1 α 4α 3 = 0, α1 + 5α + 3α 3 = 0 Таким образом, векторы a1, a, a3 будут линейно независимыми, если α 1 = α = α3 = 0 единственное решение системы Согласно критерию единственности решения системы (см теорему 4) это будет иметь место, если r (A) =, где A матрица системы, число неизвестных В нашем случае имеем: A = 35 0, r ( A) = 3 Следовательно, система имеет только тривиальное решение α 1 = α = =α 3 = 0, и, значит, векторы a1, a, a3 линейно независимые Теперь рассмотрим ( > 3) произвольных векторов из R b 1 = ( β11; β1; β31), b = ( β1; β; β3), K, b = ( β1 ; β; β3 ) Эти векторы всегда будут линейно зависимы Действительно, рассмотрение линейной комбинации α1 b 1 + αb + K + α b = o приведет нас к системе уравнений : 7

8 α1β11 + αβ1 + K + αβ1 = 0, α1β 1 + αβ + K + αβ = 0, α1β31 + αβ3 + K + αβ3 = 0 Так как матрица системы B матрица размера 3 и > 3, то ее ранг r(b ) 3 Следовательно, система будет иметь нетривиальные решения, и, значит равенство α1 b 1 + αb + K + α b = o возможно не только при нулевых коэффициентах Таким образом, мы можем утверждать, что в пространстве R 3 линейно независимых векторов может быть не более трех ОПРЕДЕЛЕНИЕ Максимальная линейно независимая система векторов линейного пространства называется базисом этого линейного пространства Иначе говоря, векторы e1, e, K, e L образуют базис в линейном пространстве L если выполняются два условия: 1) e1, e, K, e линейно независимы; ), e, K, e, a линейно зависимы для любого вектора a из L e1 Очевидно, что в линейном пространстве существует не единственный базис (например, легко доказать, что если e1, e, K, e образуют базис в линейном пространстве L и α 1, α, K, α отличные от нуля действительные числа, то векторы α 1e1, α e, K, α e тоже будут базисом) Но справедлива следующая теорема ТЕОРЕМА 75 Любые два базиса линейного пространства состоят из одного и того же числа векторов Если в линейном пространстве L существует базис из векторов, то пространство называют конечномерным, а называют размерностью линейного пространства (пишут: dim L = ) Если в линейном пространстве L для любого натурального можно найти линейно независимую систему векторов, то пространство называют бесконечномерным (пишут: dim L = ) ПРИМЕРЫ базисов 1) Линейное пространство M (, R ) матриц второго порядка с элементами из R имеет размерность dim M (, R ) = 4 Его базисом будут, например, матрицы E 1 =, E =, E3 =, E =

9 Действительно, 1) E1, E, E3, E4 линейно независимы (показали ранее); ),,, E, A линейно зависимы для любой матрицы E1 E E3 4 A M (, R), так как E1 E E3 4 α 11 α1 A = = α11e1 + α1e + α1e3 + α E 4 α1 α Базис,,, E в дальнейшем будем называть стандартным базисом пространства M (, R ) ) Множество свободных векторов плоскости V является конечномерным линейным пространством Его размерность dim V = Ба- () зисом будут являться любые два неколлинеарных вектора Действительно, пусть e 1, e неколлинеарные векторы на плоскости Покажем, что они линейно независимы Пусть α 1e 1 + αe = 0 Предположим, что хотя бы один из коэффициентов этой линейной комбинации отличен от нуля Например, α 1 0 Тогда α e 1 = e, α1 и, значит, векторы e 1 и e коллинеарные Следовательно, предположение неверно и линейная комбинация векторов e 1, e равна нулевому вектору только при α 1 = α = 0, что и означает линейную независимость векторов e 1, e Теперь покажем, что любой вектор a V можно представить в виде линейной комбинации векторов e 1 и e Для этого построим векторы CA = a, CE 1 = e1 и CE = e Через точку A проведем прямые параллельные векторам e 1 и e Точки пересечения этих прямых и прямых, на кото- A e E A рых лежат векторы e 1 и e, обозначим соответственно A1 и A По правилу паралле- A 1 a e1 E 1 C лограмма имеем: a = CA = CA1 + CA Но векторы CA 1 и CE 1 коллинеарны, и, следовательно, CA 1 для некоторого α R Аналогично 1 = α CE = αe 1 () () 9

10 Таким образом, получили CA = β CE = αe a = α e 1 + βe (3) 3) Линейное пространство V свободных векторов пространства (3) имеет размерность dimv = 3 Легко доказать, что базисом в пространстве V являются любые три некомпланарных (3) вектора Замечание Хотя в качестве базиса в пространстве V (в пространстве V ) можно взять любые два неколлинеарных (любые три (3) некомпланарных) вектора, на практике предпочитают работать с декартовым прямоугольным базисом i, j (i, j, k) Это единичные векторы, которые сонаправлены координатным осям Ox и Oy соответственно (сонаправлены координатным осям Ox, Oy и Oz соответственно) 4) Арифметическое линейное пространство R тоже является конечномерным Его размерность dim R = Базисом будут являться, например, векторы e = (1; 0;, 0), e = (0;1;, 0), K, e = ( 0; 0; K,1) 1 K K (будем называть его стандартным базисом пространства R ) 5) Линейное пространство R [x] многочленов с коэффициентами из R является бесконечномерным Легко проверить, что для любого натурального многочлены f 0 ( x ) = 1, f 1 ( x ) = x, f ( x ) = x, K, будут линейно независимы f ( x ) = x Роль базиса в линейном пространстве характеризует следующая теорема ТЕОРЕМА 76 (о базисе) Каждый вектор линейного пространства линейно выражается через любой его базис, причем единственным образом ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Пусть e1, e, K, e базис линейного пространства L и a произвольный вектор из L Тогда, по определению базиса, e1, e, K, e линейно независимы и, e, K, e, a линейно зависимы Следова- e1 () 10

11 тельно, существуют числа α 1, α, K, α, β не все равные нулю и такие, что линейная комбинация α1 e1 + α e + K + α e + βa = o Причем, коэффициент β не может быть равен нулю Действительно, если β = 0, то α1 e1 + α e + K + α e = o и среди коэффициенты α 1, α, K, α есть ненулевые Но существование такой линейной комбинации для элементов e1, e, K, e означает, что они линейно зависимы Это противоречит условию (по условию эти элементы образуют базис и, следовательно, линейно независимы) Так как β 0, то линейно выражается через, e, K, e : a e1 βa = α + α + K + α 1 e1 e e, α1 α α a = e1 e K e β β β Теперь докажем, что a линейно выражается через базис единственным образом Предположим противное Пусть a = α e + α e + K + α и 1 1 e a = β e + β e + K + β e 1 1, причем αi βi хотя бы для одного i 1, Пусть для определенности α1 β 1 Тогда a a = α e + α e + K + α e ) ( β e + β e + K + β e ), ( o = α K ) e ( 1 β1) e1 + ( α β ) e + + ( α β α 1 β1 e1 e e e1 e K e Так как α1 β1, то 0 Таким образом, получили, что существует нулевая линейная комбинация векторов,, K,, среди коэффициентов которой есть ненулевые Значит,,, линейно зависимые Но они по условию линейно независимы, так как образуют базис Следовательно, предположение неверное и вектор a разлагается по базису, e, K, e единственным образом e1 e Замечание Из теоремы 76 в частности следует, что если e1, e,k, базис линейного пространства L, то L = L( e, e, K, e ) 1 11

12 4 Координаты вектора Единственность разложения вектора по базису оказалась очень важным результатом Это факт позволил ввести новое понятие, благодаря которому мы сможем легко выполнять любые действия со свободными векторами ОПРЕДЕЛЕНИЕ Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе ПРИМЕРЫ координат вектора 1) Матрица 1 A = имеет в стандартном базисе E1, E, E3, E4 3 4 пространства M (, R ) координаты { 1; ; 3; 4} Действительно, = 1 3 4, A = E1 E 3E3 + 4E4 ) -мерный вектор ( 1; ; 0) имеет в стандартном базисе пространства R 3 координаты { 1; ; 0} 3 3) Многочлен f ( x ) = x + x x + 4 имеет в базисе ( x +1), ( x +1), ( x +1), 1 пространства R 4 [x] координаты { 1; 1; ; 6} В линейном пространстве свободных векторов координаты вектора в декартовом прямоугольном базисе имеют простой геометрический смысл Чтобы указать его, необходимо дать несколько определений ОПРЕДЕЛЕНИЕ Прямую, на которой выбрано направление, называют осью Пусть имеется некоторая ось l и вектор AB Обозначим через A 1 и B 1 ортогональные проекции на ось l точек A и B соответственно Вектор A 1B1 назовем векторной проекцией вектора AB на ось l A B A1 B1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Проекцией (ортогональной проекцией) вектора AB на ось l называется длина его векторной проекции A 1B1 на эту ось, взятая со знаком плюс, если вектор A 1B1 и ось l сонаправлены, и со знаком минус если вектор A 1B 1 и ось l противоположно направлены l 3 1

13 Проекцию вектора AB на ось l обозначают: Пр AB, Пр AB Справедливо следующее утверждение ТЕОРЕМА 77 Координаты вектора a V ( V ) в декартовом прямоугольном базисе i, j (i, j, k ) есть проекции этого вектора на соответствующие координатные оси ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Проведем доказательство для вектора a V Для вектора пространства оно будет аналогичным Построим вектор OA = a (вектор, с началом в точке O и концом в точке A, называется радиус-вектором точки A ) y Обозначим через A и A ортогональные проекции A x A точки x y A на ось Ox и Oy соответственно Тогда Так как a = OA = OA + = α i + β j i x OA y вектор единичной длины, то () () OA x l (3) = α i = α Знак α зависит от направления вектора OA x : если OA x i, то α > 0; если OA x i, то α < 0 (см определение произведения вектора на число) Но согласно определению проекции вектора на ось, это означает, что α проекция вектора OA на ось, сонаправленную с вектором i, те на ось Ox Аналогично показывается, что β = Пр OA Координаты вектора очень важная характеристика вектора любого линейного пространства Знание координат векторов позволяет легко выполнять с ними линейные операции, так как справедлива следующая теорема ТЕОРЕМА 78 1) Если вектор a имеет в базисе e1, e, K, e координаты { α1; α ; K ; α }, вектор b имеет в том же базисе координаты { β1; β; K ; β}, то вектор a + b будет иметь в базисе e1, e, K, e координаты { α 1 + β1; α + β; K ; α + β} ) Если вектор имеет в базисе, e, K, e координаты Oy a e1 { α1; α ; K ; α }, то для любого числа λ R вектор λ a будет иметь в том же базисе координаты { λα ; λα ; K ; λα } 1 O l A y x 13

14 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО По условию a = α e1 + αe + K + αe b = β e1 + βe + K + βe Тогда a + b = ( α1e1 + αe + K + αe ) + ( β1e1 + βe + K + βe ) = = α + β ) e + ( α + β ) e + K + ( α + ) e и 1, 1 ( β 1 e1 + αe + K + αe ) = λα1e1 + λαe + λ a = λ( α K + λα e Из теоремы 78 вытекает справедливость следующего утверждения ТЕОРЕМА 79 (критерий коллинеарности свободных векторов в координатной форме) Векторы a = { α1; α; α3} и b = { β1; β; β3} коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны, α1 α α3 те = = = k β1 β β3 Причем, если коэффициент пропорциональности k > 0, то векторы a и b сонаправлены; если k < 0, то a и b противоположно направлены Координаты вектора определены в данном базисе единственным образом Но в другом базисе вектор будет иметь другие координаты Связь между координатами вектора в разных базисах дает следующая теорема ТЕОРЕМА 710 Пусть e1, e, K, e и f, 1 f, K, f два базиса линейного пространства L Причем имеют место равенства: f1 = τ11e1 + τ1e + K + τ 1e, f = τ1e1 + τe + K + τ e, K K K K K K K K K f = τ1e1 + τe + K + τ e Если вектор a имеет в базисе e1, e, K, e координаты { α1; α ; K ; α }, в базисе f1, f, K, f координаты { β1; β; K ; β}, то справедливо равенство A = TB, α1 β1 τ11 τ1 K τ1 где = α A K, = β B K, τ1 τ K τ T = K K K K α β τ 1 τ K τ Матрицу T называют матрицей перехода от базиса e, 1 e, K, e к базису f, f,k, f 1 14

15 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО По условию a = β 1 f1 + β f + K + β f Расписывая векторы f1, f,k, f по базису e1, e,k, e, получим: a = β1( τ11e1 + τ1e + K + τ 1e ) + β ( τ1e1 + τe + K + τ e ) + K + + β ( τ1e1 + τe + K + τ e ) Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые: a = ( β1τ 11 + βτ1 + K + βτ1 ) e1 + + ( β1τ 1 + βτ + K + βτ ) e + (17) + KKKKKKKKKKKKK + + ( β1τ 1 + βτ + K + βτ ) e Так как по условию a = α 1 e1 + αe + K + αe, то из (17) получаем: α1 = β1τ 11 + βτ1 + K + βτ1, α = β1τ 1 + βτ + K + βτ, KKKKKKKKKKKKKK α = β τ + β τ + K + β τ, 1 1 или в матричном виде A = TB 15


на множестве векторов Понятие линейного пространства

на множестве векторов Понятие линейного пространства Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Векторы. Линейные операции на множестве векторов Понятие линейного пространства Лектор Рожкова С.В. 2012 г. Глава II. Векторная алгебра. Элементы теории

Подробнее

Глава II. Векторная алгебра.

Глава II. Векторная алгебра. Глава II. Векторная алгебра. Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА

ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА ЛЕКЦИЯ 6 ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА РАНГ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ 1 ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 4 ВЕКТОРЫ. БАЗИС 1. Базис векторов Определение 1. Векторы a 1,a 2,...,a n называются упорядоченными, если указано какой вектор из этой системы является первым, какой

Подробнее

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ Аксиомы линейного пространства Линейным векторным пространством называется множество V произвольных элементов, называемых векторами, в котором

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Линейные пространства

Линейные пространства Глава 9 Линейные пространства 91 Аксиоматическое определение линейного пространства Пусть V непустое множество, F поле V называется линейным (или векторным) пространством над полем F, если I задано правило

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва ОВ

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат 6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат Понятия вектора и линейных операций над векторами алгебраизируют геометрические высказывания т.е. заменяют геометрические утверждения

Подробнее

Линейные пространства

Линейные пространства Линейные пространства Лекция 1-2 по дисциплине «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» поток гр. ПМ(б), ПО(б) Лекция 1-2 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И АКСИОМЫ Определение 1. Множество R называется линейным или

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

10. Линейные операторы

10. Линейные операторы 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций

Подробнее

Геометрические векторы

Геометрические векторы Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

23. Базис векторного пространства

23. Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

Коллоквиум по аналитической геометрии

Коллоквиум по аналитической геометрии Коллоквиум по аналитической геометрии Решения 07/11/2013 Напоминание некоторых обозначений. f : A B: f функция с областью определения A и областью значений B. Z, Q, R множества целых, рациональных, и действительных

Подробнее

Линейные пространства

Линейные пространства ГЛАВА V. Линейные пространства Лекция 9 по дисциплине «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» поток гр. ПМ(б), ПО(б) Лекция 9 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И АКСИОМЫ Определение 1. Множество R линейное (векторное)

Подробнее

всевозможные решения заданной системы линейных однородных уравнений:

всевозможные решения заданной системы линейных однородных уравнений: . ЯДРО ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Ранее мы охарактеризовали подпространство конечномерного пространства как линейную оболочку. Но возможны и другие истолкования подпространства. Пусть, e, e2, K, en какой-либо

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Ранг матрицы 1. Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы. Указать базисные строки и базисные столбцы.

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Ранг матрицы 1. Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы. Указать базисные строки и базисные столбцы. ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ Ранг матрицы Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы Указать базисные строки и базисные столбцы 0 0 а) ; б) 0 0 ; в) 0 0 ; г) 0 0 0 ; 0 0 0 д) 0 0 ; е) 3 3 ; ж) 0 0

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1 Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1 Аннотация Вещественное линейное пространство, аксиомы и примеры. Линейно зависимые и

Подробнее

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ПГУ) О.В. Якунина МНОГОМЕРНАЯ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

и AC компланарны, а векторы AB, AD и AA не компланарны.

и AC компланарны, а векторы AB, AD и AA не компланарны. Лекция 3 Тема: Линейная зависимость векторов Базис векторного пространства План лекции Компланарные векторы Линейная зависимость/независимость системы векторов: определение свойства геометрический смысл

Подробнее

Тема 1-12: Линейные операции над векторами

Тема 1-12: Линейные операции над векторами Тема 1-12: Линейные операции над векторами А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

ГЛАВА 1. Проективная геометрия

ГЛАВА 1. Проективная геометрия ГЛАВА 1. Проективная геометрия 1.1. Проективное пространство Пусть дано (n + 1)-мерное векторное пространство V ( 6.1, часть I) и непустое множество P произвольной природы. Говорят, что множество P наделено

Подробнее

Контрольная 2 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой.

Контрольная 2 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой. Вариант 1 Задача 1. Является ли векторным пространством множество многочленов P (x) степени не выше 2, удовлетворяющих условию P (1) = 0? Если да, постройте какой-нибудь базис и найдите размерность этого

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство. 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x)

Подробнее

Математика. Лектор: Зюбин С.А.

Математика. Лектор: Зюбин С.А. Математика Лектор: Зюбин С.А. Математика. семестр Линейная алгебра Аналитическая геометрия Математика Основная литература )Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры )Л.А. Беклемишева

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы.

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы. ГЛАВА 1. Векторная алгебра. 1.1. Направленные отрезки и векторы. Рассмотрим евклидово пространство. Пусть прямые (AB) и (CD) параллельны. Тогда лучи [AB) и [CD) называются одинаково направленными (соответственно

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 1.1

Линейная алгебра. Лекция 1.1 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы

Подробнее

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А. И. МАДУНЦ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Подробнее

Лекция 2: Линейные операции над векторами

Лекция 2: Линейные операции над векторами Лекция 2: Линейные операции над векторами Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы приступаем к изучению

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

Тема 2-1: Линейные пространства

Тема 2-1: Линейные пространства Тема 2-1: Линейные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической логики ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Методические

Подробнее

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе:

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе: Лекция 3 Базис Теорема 3.1. Любой вектор d единственным образом раскладывается по данному базису, b, c в пространстве. Аналогично, любой вектор c на плоскости единственным образом раскладывается по данному

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование),

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство. ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.... 1 2.Векторная алгебра.... 2 3.Системы координат... 6 1.Векторное пространство. Рассмотрим

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

^A на плоскости, и { } 1

^A на плоскости, и { } 1 Линейные операторы в конечномерных пространствах Будем для простоты рассматривать линейные операторы в линейном пространстве, образованном множеством векторов на плоскости (пространство двух измерений

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.2

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.2 Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.2 Аннотация Линейное подпространство, его свойства и примеры. Линейная оболочка, ее свойства

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M Лекция 8 Тема: Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости Угол между векторами на ориентированной плоскости План лекции Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости 3 Угол между

Подробнее

Действия с направленными отрезками

Действия с направленными отрезками Тема 0. Направленные отрезки. Операции с направленными отрезками: сравнение, сложение и умножение на число. Множество векторов. Свойства линейных операций с векторами. Коллинеарность и компланарность.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Лекция 2. Векторы. Определения.

Лекция 2. Векторы. Определения. Лекция 2 Векторы Определения. Вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого указаны начало и конец. B конец вектора A начало вектора Обозначение вектора:

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Матрицы и определители (теория к задачам) 215 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 1º Линейным пространством называется множество элементов a, b,

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 1.2

Линейная алгебра. Лекция 1.2 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы

Подробнее

Лекция 8. f(x) = 0 W = 0 y = 0 f(z) = f(0 z) = f(0 V ). Таким образом, в силу взаимной однозначности отображения f, получаем x = 0 V ; противоречие.

Лекция 8. f(x) = 0 W = 0 y = 0 f(z) = f(0 z) = f(0 V ). Таким образом, в силу взаимной однозначности отображения f, получаем x = 0 V ; противоречие. Лекция 8 1. ГОМОМОРФИЗМ И ИЗОМОРФИЗМ ЛП Пусть (V, K) (операции +, ) и (W, K) (операции, ) два ЛП над одним и тем же ЧП K. Отображение f : V W называется гомоморфизмом, если f(x + y) = f(x) f(y) x,y V,

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

a 1, a 2,..., a m, m 1, x 1 a 1 + x 2 a x m a m

a 1, a 2,..., a m, m 1, x 1 a 1 + x 2 a x m a m ГЛАВА 8. ПОДПРОСТРАНСТВА 1 1. СУММА И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОДПРОСТРАНСТВ Множество L векторов линейного пространства X называется подпространством, если из того, что x, y L вытекает, что αx + βy L при любых комплексных

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Упражнения по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Упражнения по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Упражнения по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Доказать тождество: а y y y y б Доказать что Даны ненулевой вектор и скаляр Найти любое решение уравнения Подсказка: вектор характеризуется направлением и длиной так

Подробнее

3.4 Векторы. Метод координат

3.4 Векторы. Метод координат 3.4. ВЕКТОРЫ. МЕТОД КООРДИНАТ 167 3.4 Векторы. Метод координат 3.4.1 Понятие вектора. Свойства Будем называть направленным отрезком AB упорядоченную пару (см. определение 16) точек A; B трехмерного пространства

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства Раздел электронного учебника для сопровождения

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие

Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие Белгород, 2017 ББК 22.144 З 63 Печатается по решению редакционно-издательского совета НИУ «БелГУ» от

Подробнее

ВНЕШНИЕ ФОРМЫ. О. В. Якунина. Учебное пособие

ВНЕШНИЕ ФОРМЫ. О. В. Якунина. Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ПГУ) О. В. Якунина ВНЕШНИЕ

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

1 Глава 1. Векторы. Аффинная система координат. 1. Равенство направленных отрезков. Векторы. Семейство множеств называется направленным, если в пересе

1 Глава 1. Векторы. Аффинная система координат. 1. Равенство направленных отрезков. Векторы. Семейство множеств называется направленным, если в пересе 1 Глава 1 Векторы Аффинная система координат 1 Равенство направленных отрезков Векторы Семейство множеств называется направленным, если в пересечении любых двух его элементов лежит третий (возможно, совпадающий

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 3 ВЕКТОРЫ 1. Определение вектора. Свободные и скользящие векторы Дадим определение направленного отрезка. Определение 1. Отрезок, концы которого упорядочены, называется

Подробнее