7. Понятие линейного пространства

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "7. Понятие линейного пространства"

Транскрипт

1 7 Понятие линейного пространства 1 Определение и примеры Пусть L некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на действительные числа (например, множество матриц одинакового размера, множество векторов, множество функций с одинаковой областью определения и тд) ОПРЕДЕЛЕНИЕ 71 Множество L называется линейным пространством над R если для любых элементов a, b, c L и для любых чисел α, β R выполняются условия: 1) a + b = b + a (коммутативность сложения элементов из L ); ) ( a + b) + c = a + ( b + c) (ассоциативность сложения элементов из L ); 3) Во множестве L существует такой элемент o, что a + o = a Этот элемент o называют нулевым элементом множества L ; 4) Для любого элемента a L существует элемент a L такой, что a + ( a) = o Элемент a называют противоположным к a; 5) α ( β a ) = ( αβ ) a (ассоциативность относительно умножения чисел); 6) ( α + β ) a = α a + β a (дистрибутивность умножения на элемент из L относительно сложения чисел); 7) α ( a + b) = α a + α b (дистрибутивность умножения на число относительно сложения элементов из L ); 8) 1 a = a ПРИМЕРЫ линейных пространств 1) Пусть M ( m, R) множество матриц размера m с элементами из R Для этого множества все условия определения 71 выполняются (см свойства линейных операций над матрицами в 1) Следовательно, множество M ( m, R) является линейным пространством над R ) Пусть V ( V ) множество свободных векторов пространства (плоскости) Для этого множества тоже выполняются все условия определения 71 (см свойства линейных операций над векторами в 6) Следовательно, множество V ( V ) является линейным (3) () пространством над R (3) () 3) Пусть R множество последовательностей действительных чисел Введем операцию сложения элементов из R и умножения эле- 1

2 ( 1 ( 1 ментов из R на число Пусть a, b R, a = ( α1; α; K; α ), b = ( β1; β; K; β ) Полагаем a + b = ( α 1 + β1; α + β; K; α + β ), и α a = ( α α1; α α; K; α α ) Легко проверить, что все условия определения 71 в этом случае будут выполняться (нулевым элементом будет o = ( 0; 0; K; 0), противоположным к a = α ; α ; K; α ) элемент a = α ; α ; K; α )) Следовательно, множество R является линейным пространством над R Его называют арифметическим линейным пространством, а элементы множества R называют -мерными векторами 4) Пусть R [x] множество многочленов с коэффициентами из R Так как все условия определения 71 для множества R [x] выполняются, то это множество является линейным пространством над R 5) Пусть C [ a, b] множество функций, непрерывных на [ a, b] Все условия определения 71 для множества C[ a, b] выполняются Следовательно, оно является линейным пространством над R Из определения линейного пространства легко вывести следующее утверждение ЛЕММА 7 Пусть L линейное пространство над R Тогда для любых элементов a, b L и любых действительных чисел α, β справедливы следующие утверждения: 1) 0 a = o, α o = o; ) ( α) a = α ( a) = α a, ( α ) ( a) = α a ; 3) α ( a b) = α a α b, ( α β ) a = α a β a ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 1) Рассмотрим элемент β a Так как β = β + 0, то по определению линейного пространства имеем: β a = ( β + 0) a = β a + 0 a Прибавим к левой и правой части этого равенства элемент ( β a) Получим: ( β a) + β a = o и ( β a) + ( β a + 0 a)= ( ( β a) + ( β a) ) + 0 a = o + 0 a = 0 a Следовательно, 0 a = o

3 Теперь рассмотрим элемент α a Так как a = a + o, то по определению линейного пространства имеем: α a = α ( a + o) = α a + α o Прибавим к левой и правой части этого равенства элемент ( α a) Получим: ( α a) + α a = o и ( α a) + ( α a + α o)= ( ( α a) + ( α a) ) + α o = o + α o = α o Следовательно, α o = o ) Покажем, что ( α) a = α a Рассмотрим α a + ( α ) a Используя доказанные выше утверждения и свойства линейного пространства, получаем: α a + ( α ) a = ( α + ( α) ) a = 0 a = o Следовательно, элемент ( α ) a является противоположным к α a, те ( α) a = α a Аналогично показывается, что ( α) a = α ( a) = α a 3) Покажем, что α ( a b) = α a α b Используя доказанные в ) утверждения и свойства линейного пространства, получаем: α ( a b) = α a + ( b) = α a + α ( b) = α a + ( α b) = α a α ( ) b Аналогично доказывается, что ( α β ) a = α a β a В заключение этого пункта заметим, что наряду с термином «линейное пространство» используется также термин «векторное пространство», а элементы линейного пространства принято называть векторами Подпространства линейных пространств непустое подмноже- Пусть L линейное пространство над R, ство в L L 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Говорят, что L 1 является подпространством линейного пространства L (или линейным подпространством), если оно само образует линейное пространство относительно операций, определенных на L Справедлива следующая теорема ТЕОРЕМА 73 (критерий подпространства) Пусть L линейное пространство над R, L непустое подмножество в L является 1 L 1 3

4 подпространством линейного пространства L тогда и только тогда, когда для любых элементов a, b L1 и любого α R выполняются условия: 1) a b L 1 ; ) α a L1 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Необходимость сформулированных в теореме условий очевидна Покажем их достаточность Фактически, необходимо только доказать, что из условий a b L 1 и α a L 1 следует, что o L 1 и для любого a L 1 элемент a L 1 (остальные условия определения 71 будут выполняться в любом подмножестве линейного пространства) Покажем справедливость этого утверждения Пусть любой элемент из L Тогда по условию a a = o L и ( 1) a = a L a 1 1 ПРИМЕРЫ линейных подпространств () 1 1) Множество V свободных векторов плоскости очевидно является подпространством линейного пространства V свободных векто- (3) ров пространства ) Пусть R [x] множество многочленов с коэффициентами из R и имеющих степень меньше Очевидно, что R [x] является подпространством линейного пространства R [x] многочленов с коэффициентами из R 3) Пусть задана некоторая система линейных однородных уравнений AX = O, имеющая нетривиальные решения Решение системы последовательность действительных чисел Следовательно, его можно рассматривать как -мерный вектор арифметического линейного пространства R и множество H решений системы AX = O подмножество в R Изучая системы линейных однородных уравнений, мы выяснили, что линейная комбинация их решений снова является решением системы (см терема 51) Следовательно, H будет подпространством линейного пространства R 4) Подпространством любого линейного пространства L является его подмножество O ={o} Его называют тривиальным подпространством 4

5 a1 5) Пусть L линейное пространство над R,, a, K, a некоторые элементы из L Пусть L ( a1, a, K, ak ) множество всевозможных линейных комбинаций элементов, a, K, a, те L a, a, K, a ) α a + α a + + α α R} ( 1 k ( a1, a, K, ak a1 k = { 1 1 K k a k i Множество L ) называют линейной оболочной векторов, a, K, a a1 k Легко проверить, что для линейной оболочки L ( a1, a, K, ak ) выполняются условия теоремы 3, и, следовательно, она будет подпространством линейного пространства L k 3 Понятие линейной зависимости и независимости Базис Напомним, что если M некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на числа, то выражение α1 m1 + α m + K + α k m k (где m1, m, K, m k M, α 1, α, K, α k числа) называют линейной комбинацией элементов m1, m,k, mk с коэффициентами α 1, α,k, α k Если m M и m является линейной комбинацией элементов m1, m,k, mk, те m = α1 m1 + α m + K + α k mk, то говорят, что m линейно выражается через элементы m1, m, K, mk Пусть L линейное пространство,, a, K, a L a1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Векторы a1, a, K, ak называются линейно зависимыми, если существуют числа α 1, α, K, α k, не все равные нулю и такие, что линейная комбинация α1 a1 + α a + K + α k ak равна нулевому элементу o линейного пространства L Если же равенство α1 a1 + α a + K + α k ak = o возможно только при условии α1 = α = K = α k = 0, то векторы a1, a, K, ak называют линейно независимыми Справедливо следующее утверждение ЛЕММА 74 (необходимое и достаточное условие линейной зависимости) Векторы a1, a,k, ak линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них линейно выражается через оставшиеся ДОКАЗАТЕЛЬСТВО k 5

6 1) Необходимость Пусть векторы a1, a, K, a k линейно зависимы Тогда по определению существуют числа α 1, α, K, α k, не все равные нулю и такие, что α1 a1 + α a + K + α k ak = o Пусть, например, α 1 0 Тогда α1 a1 = α a K α k a k, α α k a1 = a K ak α1 α1 ) Достаточность Пусть один из векторов a1, a, K, a k линейно выражается через оставшиеся Например, пусть a1 = α a + α3a3 + K + α kak a + α a + α a + K + α a o k k = a1 a ak Следовательно, векторы,, K, линейно зависимы Замечание Часто в качестве определения линейно зависимых векторов берут формулировку леммы 74 ПРИМЕРЫ линейно зависимых и линейно независимых векторов 1) Матрицы E 1 =, E =, E3 =, E4 =, A = линейно зависимы Действительно, E 1 + E + 3E3 + 4E4 A = O Матрицы,,, E линейно независимы, так как E1 E E3 4 α1 α α1e 1 + αe + α3e3 + α4e4 =, α3 α4 и, следовательно, если α E α E + α E + E = O, то ) Пусть g ( x ) 1, 1 = α4 4 α1 α = 0 0 ; α 3 α α, α 0, α 0, α 0 1 = 0 = 3 = 4 = g x ) = x, g ( x = x, g ( x ) = (1 + x Так как ( 3 ) ( 1+ x ) = 1+ x + x, то g 4 ( x ) является линейной комбинацией g 1( x ), g ( x ), g 3 ( x ) : g 4 ( x ) = g1( x ) + g ( x ) + g3( x ) Следовательно, многочлены g ( ), g ( ), g ( ), g 4 ( x) линейно зависимы 1 x x 3 x 4 ) 6

7 Теперь рассмотрим многочлены f 1 ( x ) = x + 1, f ( x ) = x, f3 ( x ) = x + x + 1, f4 ( x ) = x 1 Они линейно независимы Действительно, α f x ) + α f ( x ) + α f ( x ) + α f ( ) = 1 1( x 3 4 α 1( x + 1) + αx + α3( x + x + 1) + α4 ( x 1 = α3x + αx + ( α1 + α3 ) + ( α1 + α3 α4 = ) = α x x ) Следовательно, если α 1 f1( x ) + α f ( x ) + α3 f3( x ) + α4 f4 ( x ) = 0, то α 4 = 0, α 3 = 0, α = 0, α 1 + α3 = 0, α 1 + α3 α4 = 0 ; α 4 = 0, α 3 = 0, α = 0, α 1 = 0 3) Пусть a 1 = (; 3;1), a = (3; 1; 5), a 3 = (1; 4; 3) Выясним, является ли эта система векторов пространства R 3 линейно зависимой Пусть α 1a 1 + αa + α3a3 = o Тогда имеем: α 1a1 + αa + α3a3 = = ( α1; 3α1; α1) + ( 3α ; α; 5α ) + ( α 3; 4α 3; 3α 3 ) = = ( α1 + 3α + α3; 3α1 α 4α 3; α1 + 5α + 3α 3 ) = (0; 0; 0) α1 + 3α + α3 = 0, 3α1 α 4α 3 = 0, α1 + 5α + 3α 3 = 0 Таким образом, векторы a1, a, a3 будут линейно независимыми, если α 1 = α = α3 = 0 единственное решение системы Согласно критерию единственности решения системы (см теорему 4) это будет иметь место, если r (A) =, где A матрица системы, число неизвестных В нашем случае имеем: A = 35 0, r ( A) = 3 Следовательно, система имеет только тривиальное решение α 1 = α = =α 3 = 0, и, значит, векторы a1, a, a3 линейно независимые Теперь рассмотрим ( > 3) произвольных векторов из R b 1 = ( β11; β1; β31), b = ( β1; β; β3), K, b = ( β1 ; β; β3 ) Эти векторы всегда будут линейно зависимы Действительно, рассмотрение линейной комбинации α1 b 1 + αb + K + α b = o приведет нас к системе уравнений : 7

8 α1β11 + αβ1 + K + αβ1 = 0, α1β 1 + αβ + K + αβ = 0, α1β31 + αβ3 + K + αβ3 = 0 Так как матрица системы B матрица размера 3 и > 3, то ее ранг r(b ) 3 Следовательно, система будет иметь нетривиальные решения, и, значит равенство α1 b 1 + αb + K + α b = o возможно не только при нулевых коэффициентах Таким образом, мы можем утверждать, что в пространстве R 3 линейно независимых векторов может быть не более трех ОПРЕДЕЛЕНИЕ Максимальная линейно независимая система векторов линейного пространства называется базисом этого линейного пространства Иначе говоря, векторы e1, e, K, e L образуют базис в линейном пространстве L если выполняются два условия: 1) e1, e, K, e линейно независимы; ), e, K, e, a линейно зависимы для любого вектора a из L e1 Очевидно, что в линейном пространстве существует не единственный базис (например, легко доказать, что если e1, e, K, e образуют базис в линейном пространстве L и α 1, α, K, α отличные от нуля действительные числа, то векторы α 1e1, α e, K, α e тоже будут базисом) Но справедлива следующая теорема ТЕОРЕМА 75 Любые два базиса линейного пространства состоят из одного и того же числа векторов Если в линейном пространстве L существует базис из векторов, то пространство называют конечномерным, а называют размерностью линейного пространства (пишут: dim L = ) Если в линейном пространстве L для любого натурального можно найти линейно независимую систему векторов, то пространство называют бесконечномерным (пишут: dim L = ) ПРИМЕРЫ базисов 1) Линейное пространство M (, R ) матриц второго порядка с элементами из R имеет размерность dim M (, R ) = 4 Его базисом будут, например, матрицы E 1 =, E =, E3 =, E =

9 Действительно, 1) E1, E, E3, E4 линейно независимы (показали ранее); ),,, E, A линейно зависимы для любой матрицы E1 E E3 4 A M (, R), так как E1 E E3 4 α 11 α1 A = = α11e1 + α1e + α1e3 + α E 4 α1 α Базис,,, E в дальнейшем будем называть стандартным базисом пространства M (, R ) ) Множество свободных векторов плоскости V является конечномерным линейным пространством Его размерность dim V = Ба- () зисом будут являться любые два неколлинеарных вектора Действительно, пусть e 1, e неколлинеарные векторы на плоскости Покажем, что они линейно независимы Пусть α 1e 1 + αe = 0 Предположим, что хотя бы один из коэффициентов этой линейной комбинации отличен от нуля Например, α 1 0 Тогда α e 1 = e, α1 и, значит, векторы e 1 и e коллинеарные Следовательно, предположение неверно и линейная комбинация векторов e 1, e равна нулевому вектору только при α 1 = α = 0, что и означает линейную независимость векторов e 1, e Теперь покажем, что любой вектор a V можно представить в виде линейной комбинации векторов e 1 и e Для этого построим векторы CA = a, CE 1 = e1 и CE = e Через точку A проведем прямые параллельные векторам e 1 и e Точки пересечения этих прямых и прямых, на кото- A e E A рых лежат векторы e 1 и e, обозначим соответственно A1 и A По правилу паралле- A 1 a e1 E 1 C лограмма имеем: a = CA = CA1 + CA Но векторы CA 1 и CE 1 коллинеарны, и, следовательно, CA 1 для некоторого α R Аналогично 1 = α CE = αe 1 () () 9

10 Таким образом, получили CA = β CE = αe a = α e 1 + βe (3) 3) Линейное пространство V свободных векторов пространства (3) имеет размерность dimv = 3 Легко доказать, что базисом в пространстве V являются любые три некомпланарных (3) вектора Замечание Хотя в качестве базиса в пространстве V (в пространстве V ) можно взять любые два неколлинеарных (любые три (3) некомпланарных) вектора, на практике предпочитают работать с декартовым прямоугольным базисом i, j (i, j, k) Это единичные векторы, которые сонаправлены координатным осям Ox и Oy соответственно (сонаправлены координатным осям Ox, Oy и Oz соответственно) 4) Арифметическое линейное пространство R тоже является конечномерным Его размерность dim R = Базисом будут являться, например, векторы e = (1; 0;, 0), e = (0;1;, 0), K, e = ( 0; 0; K,1) 1 K K (будем называть его стандартным базисом пространства R ) 5) Линейное пространство R [x] многочленов с коэффициентами из R является бесконечномерным Легко проверить, что для любого натурального многочлены f 0 ( x ) = 1, f 1 ( x ) = x, f ( x ) = x, K, будут линейно независимы f ( x ) = x Роль базиса в линейном пространстве характеризует следующая теорема ТЕОРЕМА 76 (о базисе) Каждый вектор линейного пространства линейно выражается через любой его базис, причем единственным образом ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Пусть e1, e, K, e базис линейного пространства L и a произвольный вектор из L Тогда, по определению базиса, e1, e, K, e линейно независимы и, e, K, e, a линейно зависимы Следова- e1 () 10

11 тельно, существуют числа α 1, α, K, α, β не все равные нулю и такие, что линейная комбинация α1 e1 + α e + K + α e + βa = o Причем, коэффициент β не может быть равен нулю Действительно, если β = 0, то α1 e1 + α e + K + α e = o и среди коэффициенты α 1, α, K, α есть ненулевые Но существование такой линейной комбинации для элементов e1, e, K, e означает, что они линейно зависимы Это противоречит условию (по условию эти элементы образуют базис и, следовательно, линейно независимы) Так как β 0, то линейно выражается через, e, K, e : a e1 βa = α + α + K + α 1 e1 e e, α1 α α a = e1 e K e β β β Теперь докажем, что a линейно выражается через базис единственным образом Предположим противное Пусть a = α e + α e + K + α и 1 1 e a = β e + β e + K + β e 1 1, причем αi βi хотя бы для одного i 1, Пусть для определенности α1 β 1 Тогда a a = α e + α e + K + α e ) ( β e + β e + K + β e ), ( o = α K ) e ( 1 β1) e1 + ( α β ) e + + ( α β α 1 β1 e1 e e e1 e K e Так как α1 β1, то 0 Таким образом, получили, что существует нулевая линейная комбинация векторов,, K,, среди коэффициентов которой есть ненулевые Значит,,, линейно зависимые Но они по условию линейно независимы, так как образуют базис Следовательно, предположение неверное и вектор a разлагается по базису, e, K, e единственным образом e1 e Замечание Из теоремы 76 в частности следует, что если e1, e,k, базис линейного пространства L, то L = L( e, e, K, e ) 1 11

12 4 Координаты вектора Единственность разложения вектора по базису оказалась очень важным результатом Это факт позволил ввести новое понятие, благодаря которому мы сможем легко выполнять любые действия со свободными векторами ОПРЕДЕЛЕНИЕ Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе ПРИМЕРЫ координат вектора 1) Матрица 1 A = имеет в стандартном базисе E1, E, E3, E4 3 4 пространства M (, R ) координаты { 1; ; 3; 4} Действительно, = 1 3 4, A = E1 E 3E3 + 4E4 ) -мерный вектор ( 1; ; 0) имеет в стандартном базисе пространства R 3 координаты { 1; ; 0} 3 3) Многочлен f ( x ) = x + x x + 4 имеет в базисе ( x +1), ( x +1), ( x +1), 1 пространства R 4 [x] координаты { 1; 1; ; 6} В линейном пространстве свободных векторов координаты вектора в декартовом прямоугольном базисе имеют простой геометрический смысл Чтобы указать его, необходимо дать несколько определений ОПРЕДЕЛЕНИЕ Прямую, на которой выбрано направление, называют осью Пусть имеется некоторая ось l и вектор AB Обозначим через A 1 и B 1 ортогональные проекции на ось l точек A и B соответственно Вектор A 1B1 назовем векторной проекцией вектора AB на ось l A B A1 B1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Проекцией (ортогональной проекцией) вектора AB на ось l называется длина его векторной проекции A 1B1 на эту ось, взятая со знаком плюс, если вектор A 1B1 и ось l сонаправлены, и со знаком минус если вектор A 1B 1 и ось l противоположно направлены l 3 1

13 Проекцию вектора AB на ось l обозначают: Пр AB, Пр AB Справедливо следующее утверждение ТЕОРЕМА 77 Координаты вектора a V ( V ) в декартовом прямоугольном базисе i, j (i, j, k ) есть проекции этого вектора на соответствующие координатные оси ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Проведем доказательство для вектора a V Для вектора пространства оно будет аналогичным Построим вектор OA = a (вектор, с началом в точке O и концом в точке A, называется радиус-вектором точки A ) y Обозначим через A и A ортогональные проекции A x A точки x y A на ось Ox и Oy соответственно Тогда Так как a = OA = OA + = α i + β j i x OA y вектор единичной длины, то () () OA x l (3) = α i = α Знак α зависит от направления вектора OA x : если OA x i, то α > 0; если OA x i, то α < 0 (см определение произведения вектора на число) Но согласно определению проекции вектора на ось, это означает, что α проекция вектора OA на ось, сонаправленную с вектором i, те на ось Ox Аналогично показывается, что β = Пр OA Координаты вектора очень важная характеристика вектора любого линейного пространства Знание координат векторов позволяет легко выполнять с ними линейные операции, так как справедлива следующая теорема ТЕОРЕМА 78 1) Если вектор a имеет в базисе e1, e, K, e координаты { α1; α ; K ; α }, вектор b имеет в том же базисе координаты { β1; β; K ; β}, то вектор a + b будет иметь в базисе e1, e, K, e координаты { α 1 + β1; α + β; K ; α + β} ) Если вектор имеет в базисе, e, K, e координаты Oy a e1 { α1; α ; K ; α }, то для любого числа λ R вектор λ a будет иметь в том же базисе координаты { λα ; λα ; K ; λα } 1 O l A y x 13

14 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО По условию a = α e1 + αe + K + αe b = β e1 + βe + K + βe Тогда a + b = ( α1e1 + αe + K + αe ) + ( β1e1 + βe + K + βe ) = = α + β ) e + ( α + β ) e + K + ( α + ) e и 1, 1 ( β 1 e1 + αe + K + αe ) = λα1e1 + λαe + λ a = λ( α K + λα e Из теоремы 78 вытекает справедливость следующего утверждения ТЕОРЕМА 79 (критерий коллинеарности свободных векторов в координатной форме) Векторы a = { α1; α; α3} и b = { β1; β; β3} коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны, α1 α α3 те = = = k β1 β β3 Причем, если коэффициент пропорциональности k > 0, то векторы a и b сонаправлены; если k < 0, то a и b противоположно направлены Координаты вектора определены в данном базисе единственным образом Но в другом базисе вектор будет иметь другие координаты Связь между координатами вектора в разных базисах дает следующая теорема ТЕОРЕМА 710 Пусть e1, e, K, e и f, 1 f, K, f два базиса линейного пространства L Причем имеют место равенства: f1 = τ11e1 + τ1e + K + τ 1e, f = τ1e1 + τe + K + τ e, K K K K K K K K K f = τ1e1 + τe + K + τ e Если вектор a имеет в базисе e1, e, K, e координаты { α1; α ; K ; α }, в базисе f1, f, K, f координаты { β1; β; K ; β}, то справедливо равенство A = TB, α1 β1 τ11 τ1 K τ1 где = α A K, = β B K, τ1 τ K τ T = K K K K α β τ 1 τ K τ Матрицу T называют матрицей перехода от базиса e, 1 e, K, e к базису f, f,k, f 1 14

15 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО По условию a = β 1 f1 + β f + K + β f Расписывая векторы f1, f,k, f по базису e1, e,k, e, получим: a = β1( τ11e1 + τ1e + K + τ 1e ) + β ( τ1e1 + τe + K + τ e ) + K + + β ( τ1e1 + τe + K + τ e ) Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые: a = ( β1τ 11 + βτ1 + K + βτ1 ) e1 + + ( β1τ 1 + βτ + K + βτ ) e + (17) + KKKKKKKKKKKKK + + ( β1τ 1 + βτ + K + βτ ) e Так как по условию a = α 1 e1 + αe + K + αe, то из (17) получаем: α1 = β1τ 11 + βτ1 + K + βτ1, α = β1τ 1 + βτ + K + βτ, KKKKKKKKKKKKKK α = β τ + β τ + K + β τ, 1 1 или в матричном виде A = TB 15

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

10. Линейные операторы

10. Линейные операторы 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А. И. МАДУНЦ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Подробнее

Контрольная 2 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой.

Контрольная 2 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой. Вариант 1 Задача 1. Является ли векторным пространством множество многочленов P (x) степени не выше 2, удовлетворяющих условию P (1) = 0? Если да, постройте какой-нибудь базис и найдите размерность этого

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической логики ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Методические

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

ГЛАВА 1. Проективная геометрия

ГЛАВА 1. Проективная геометрия ГЛАВА 1. Проективная геометрия 1.1. Проективное пространство Пусть дано (n + 1)-мерное векторное пространство V ( 6.1, часть I) и непустое множество P произвольной природы. Говорят, что множество P наделено

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе:

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе: Лекция 3 Базис Теорема 3.1. Любой вектор d единственным образом раскладывается по данному базису, b, c в пространстве. Аналогично, любой вектор c на плоскости единственным образом раскладывается по данному

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Тема 2-1: Линейные пространства

Тема 2-1: Линейные пространства Тема 2-1: Линейные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование),

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств Раздел электронного учебника

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств Раздел электронного учебника

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Лекция 6: Система координат. Координаты точки Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины А. В. БУЗЛАНОВ, С. Ф. КАМОРНИКОВ, В. С. МОНАХОВ АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ.

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (решебник) Ростов-на-Дону 008 Рецензенты: кандидат

Подробнее

1 Билинейная и квадратичная формы.

1 Билинейная и квадратичная формы. 1 Билинейная и квадратичная формы. Пусть ϕ(x, y) числовая функция, заданная на линейном пространстве, то есть ϕ : L L R. Если ϕ(x, y) линейна по каждому из своих аргументов, то её называют билинейной формой.

Подробнее

называется суммой векторов a и b = b. Докажем,. Так как AB = A 1 и и выполнено аналогичное построение: A1 B1

называется суммой векторов a и b = b. Докажем,. Так как AB = A 1 и и выполнено аналогичное построение: A1 B1 Лекция 2 Тема: Сложение и вычитание векторов Умножение вектора на число НДУ коллинеарности План лекции Сложение векторов 2 Вычитание векторов Модуль суммы и модуль разности векторов 3 Определение и свойства

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Глава ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса Система, состоящая из m линейных уравнений с n неизвестными или, как будем дальше говорить,

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВК Барышева, ЕГ

Подробнее

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число Лекция 4 Скалярное произведение φ Определение. Углом φ между ненулевыми векторами и называется тот из углов, образованных этими векторами, отложенными от единого начала, который лежит в пределах от до

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

А н д р и а нов Ю. А., А н д Р и а н о в а Т.Н. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методическое пособие.

А н д р и а нов Ю. А., А н д Р и а н о в а Т.Н. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методическое пособие. А н д р и а нов Ю. А., А н д Р и а н о в а Т.Н. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методическое пособие. Оглавление. 1. Линейное векторное пространство... Базис и размерность. Линейная зависимость и независимость системы

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

Конспект лекции 10 АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 10 АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 10 АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции Лекция Аффинные пространства. 1. Аффинный базис. 2. Аффинные координаты точек. 3. Векторное уравнение прямой. 4. Векторное уравнение плоскости. 5.

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов План лекции Ориентация векторного базиса в пространстве Определение векторного произведения двух векторов Свойства векторного произведения 4 Вычисление векторного

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я линейная зависимость и независимость векторов

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я линейная зависимость и независимость векторов А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я линейная зависимость и независимость векторов ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной

Подробнее

Линейная алгебра и функции многих переменных

Линейная алгебра и функции многих переменных Линейная алгебра и функции многих переменных В. С. Булдырев Б. С. Павлов 9 февраля 22 г. 2 Часть I Линейная алгебра 3 Глава 1 Линейное пространство Эта глава служит введением в теорию линейных пространств.

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ А.Н. БУРОВ, Э.Г. СОСНИНА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие для студентов курса технических и экономических специальностей высших учебных заведений Новосибирск 26 УДК 52.2 ББК 22.

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Предполагается, что для этих двух операций выполнены аксиомы линейного пространства: 1) x + y = y + x коммутативность операции сложения; 2) (x+y)+z =

Предполагается, что для этих двух операций выполнены аксиомы линейного пространства: 1) x + y = y + x коммутативность операции сложения; 2) (x+y)+z = 2. Общие линейные и евклидовы пространства Говорят, что множество X является линейным пространством над полем вещественных чисел, или просто вещественным линейным пространством, если для любых элементов

Подробнее

1. Тензорные произведения модулей

1. Тензорные произведения модулей . Тензорные произведения модулей.. Полилинейные отображения. Рассмотрим произвольные модули V ; V ; : : : ; V и W над произвольным коммутативным кольцом K. Отображение ' из декартова произведения множеств

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

А Л Г Е Б Р А. ЧАСТЬ I. А. М. Водолазов, О.А. Королева, В.В. Кривобок, Е.В. Сецинская

А Л Г Е Б Р А. ЧАСТЬ I. А. М. Водолазов, О.А. Королева, В.В. Кривобок, Е.В. Сецинская ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н. Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО» А. М. Водолазов, О.А. Королева,

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

Смысл. 1-й способ исследования системы (через определители)

Смысл. 1-й способ исследования системы (через определители) ) Является ли система векторов линейно зависимой? a ; ; 0 ; a 0 ; ; ; a 3 30 ; ; ; a 4 000 ; ; ; Смысл Векторы линейно независимы, если векторное равенство a a a 3 3 4a 4 0 имеет единственное (нулевое,

Подробнее

Линейные векторные пространства. Конспект лекций

Линейные векторные пространства. Конспект лекций Матвеева ТА, Светличная ВБ, Агишева ДК, Зотова СА Линейные векторные пространства Конспект лекций Волгоград г Министерство образования и науки РФ Волжский политехнический институт (филиал) федерального

Подробнее

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x.

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x. Демонстрационный вариант 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. 2. Найдите базис системы

Подробнее

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7.

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра инженерной математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра инженерной математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра инженерной математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Руководство к решению задач для студентов механико-технологического

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Линейная алгебра: учебно-методический материал для подготовки к зачету

Линейная алгебра: учебно-методический материал для подготовки к зачету Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Финансовая академия при правительстве Российской Федерации (ФИНАКАДЕМИЯ) Кафедра «Математика» ОБСУЖДЕНО Протокол

Подробнее

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора.

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора. Построение базисов в ядре и образе линейного оператора 1 Речь пойдёт о построении базисов в ядре и образе линейного оператора Будут рассмотрены два примера: первый пример с пояснениями; второй как образец

Подробнее

Тема: Линейное пространство R n

Тема: Линейное пространство R n Тема: Линейное пространство R n А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Собственные числа и собственные векторы

Собственные числа и собственные векторы Собственные числа и собственные векторы 1 Для понимания этой темы нужно знать тему «Ядро и образ линейного оператора» и уметь вычислять определители Значок будет указывать на утверждения, требующие доказательств

Подробнее

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Рецензенты: М.В. Зайцев, д.ф.-м.н., проф. (МГУ им. М.В. Ломоносова) В.В. Коннов, к.ф.-м.н., доц. (Финакадемия)

Рецензенты: М.В. Зайцев, д.ф.-м.н., проф. (МГУ им. М.В. Ломоносова) В.В. Коннов, к.ф.-м.н., доц. (Финакадемия) УДК 5 (075) ББК К 7 Рецензенты: МВ Зайцев дф-мн проф (МГУ им МВ Ломоносова) ВВ Коннов кф-мн доц (Финакадемия) К7 Калачев НВ Линейная алгебра Ч : Линейные и евклидовы пространства: Учебное пособие для подготовки

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию РФ

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию РФ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию РФ Владивостокский государственный университет экономики и сервиса ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Практикум Владивосток Издательство

Подробнее

Лекция 18: Ортонормированный базис

Лекция 18: Ортонормированный базис Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Ортогональные и ортонормированные наборы векторов Из определения угла между векторами

Подробнее

Лекция 5: Смешанное произведение векторов

Лекция 5: Смешанное произведение векторов Лекция 5: Смешанное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции рассматривается

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ

Подробнее

ГУРЬЯНОВ Н.Г., ТЮЛЕНЕВА О.Н. АЛГЕБРА. Учебное пособие. Казань

ГУРЬЯНОВ Н.Г., ТЮЛЕНЕВА О.Н. АЛГЕБРА. Учебное пособие. Казань Казанский (Приволжский) федеральный университет Институт математики и механики им НИ Лобачевского ГУРЬЯНОВ НГ ТЮЛЕНЕВА ОН АЛГЕБРА Учебное пособие Казань УДК 7 Печатается по решению учебно-методической

Подробнее

Список вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии 1 курс, 1 поток, лектор В.В. Колыбасова г.

Список вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии 1 курс, 1 поток, лектор В.В. Колыбасова г. МГУ им. М.В. Ломоносова, физический факультет, кафедра математики Список вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии 1 курс, 1 поток, лектор В.В. Колыбасова 2014 2015 г. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ К ПЕРВОЙ

Подробнее

Лекция 12: Ранг матрицы

Лекция 12: Ранг матрицы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы

Подробнее

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинникова Высшая математика I Практикум по линейной алгебре и аналитической

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее

Векторная алгебра и ее приложения

Векторная алгебра и ее приложения м Векторная алгебра и ее приложения для студентов и аспирантов математических, физических и технических специальностей м МГ Любарский Этот учебник возник на основе лекций по высшей математике, которые

Подробнее

1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса

1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Метод Гаусса Основные понятия Равносильные системы Определение Система линейных алгебраических уравнений (или система линейных уравнений) имеет

Подробнее

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ АФАНАСЬЕВА О.В. ПОТАПЕНКО

Подробнее

В. А. Скляренко О. И. Трубина. Практикум

В. А. Скляренко О. И. Трубина. Практикум Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Владимирский государственный университет В. А. Скляренко О. И. Трубина АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Подробнее

7. Подпространства линейного пространства Линейные оболочки Ранг матрицы и размерность линейной оболочки ее столбцов.

7. Подпространства линейного пространства Линейные оболочки Ранг матрицы и размерность линейной оболочки ее столбцов. Содержание Гл.. Основные понятия. 3. Что такое линейная алгебра?...................... 3 2. Числовые поля.............................. 3 3. Линейная зависимость столбцов и строк................ 4 4. Ранг

Подробнее

Экзамен по аналитической геометрии 2009/2010 учебный год I поток (лектор А. В. Овчинников)

Экзамен по аналитической геометрии 2009/2010 учебный год I поток (лектор А. В. Овчинников) Экзамен по аналитической геометрии 2009/200 учебный год I поток (лектор А. В. Овчинников) Список вопросов к первой части экзамена Цель первой части экзамена проверка знания основных определений и формулировок

Подробнее

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРЫ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРЫ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРЫ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Гомель, 2007 Содержание Тема 1. Векторы и линейные операции над ними 5 1.1 Предмет,

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Практикум по высшей математике. Кафедра прикладной математики и информатики

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Практикум по высшей математике. Кафедра прикладной математики и информатики ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра прикладной математики и

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ В пособии не излагается теория чисел а дан минимальный инструментарий из этой теории который в дальнейшем потребуется для изучения криптографических систем используемых

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

Лекция 4: Векторное произведение векторов

Лекция 4: Векторное произведение векторов Лекция 4: Векторное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой и следующей

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВВ Конев ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Рекомендовано в качестве

Подробнее

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Пусть ABCD параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей, точка K середина его стороны АВ, точка L середина его стороны ВС. Тогда: 1. векторы АВ

Подробнее