ТЕМА 2. Элементы теории линейных операторов. Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ТЕМА 2. Элементы теории линейных операторов. Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор."

Транскрипт

1 ТЕМА Элементы теории линейных операторов Обратный оператор Вполне непрерывный оператор Основные определения и теоремы Оператор A, действующий из линейного пространства L в линейное пространство L, называется линейным, если для любых элементов y и y из L и любых вещественных чисел α и α выполнено равенство A( αy+ αy) = αay+ αay Пусть DA- ( ) область определения, а R( A) - множество значений оператора А Если оператор A: y = A, действующий из линейного пространства L в линейное пространство L, взаимно однозначный, то можно ввести обратный оператор A : A y = с областью определения DA ( ) = RA ( ) и множеством значений R( A ) = D( A) = L Нуль-пространством оператора A называется множество Ker A = { L : A = θ} Очевидно, что Ker A линейное подпространство L, причем θ Ker A Если Ker A { θ } (нуль-пространство нетривиально), то оператор A называется вырожденным Определение А Оператор A, действующий из нормированного пространства N в нормированное пространство N, называется непрерывным в точке y D( A) N, если для любой последовательности y D( A), такой что y y, последовательность Ay сходится к Ay Определение Б Оператор A, действующий из нормированного пространства N в нормированное пространство N, называется непрерывным в точке y D( A) N, если для любого ε > найдется такое δ >, что для всех y D( A) и удовлетворяющих неравенству y y δ выполняется неравенство Ay Ay ε Сформулированные определения А и Б эквивалентны Оператор A называется непрерывным на множестве DA ( ) (на N ), если он непрерывен в каждой точке этого множества Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, если он является непрерывным в нуле Нормой линейного оператора A называется число A N sup N = Ay N Линейный оператор называется ограниченным, если существует y N = sup y N = Ay N <+ Теорема Линейный оператор A: N N, является непрерывным тогда и только тогда, когда он ограничен Теорема Для любого y N выполнено неравенство Ay A y N, где А N N N линейный ограниченный оператор, действующий из нормированного пространства N в нормированное пространство N Линейный оператор A называется вполне непрерывным, если для любой ограниченной последовательности элементов y из N последовательность z = Ay элементов N такова, что из любой ее подпоследовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность (те вполне непрерывный оператор преобразует любую ограниченную последовательность в компактную) 8

2 Вполне непрерывный оператор является ограниченным (следовательно, непрерывным), однако не любой непрерывный линейный оператор является вполне непрерывным Примеры решения задач Пример Докажите, что интегральный оператор Фредгольма Ay = K (, s) y( s) s с непрерывным ядром является ограниченным при действии из Ca [, ] в Ca [, ] и найдите оценку сверху для нормы оператора Решение Пусть z ( ) = Ay K( syss, ) ( ), где ys ()- произвольная непрерывная на [ a, ] a функция, причем y Ca [, ] = ma y( ) = Так как ядро K(, s ) непрерывно на замкнутом [ a, ] ограниченном множестве (квадрате [ a, ] [ a, ]), то оно ограничено Обозначив K = ma K(, s), получим, что для любого [ a, ] имеет место s, [ a, ] z ( ) = Ks (, ) y( s) s K(, s) y( s) s ma y( s) K(, s) s y Ca [, ] K ( a) s [ a, ] a a a Тогда Ay Ca [, ] = z Ca [, ] ma z( ) y Ca [, ] K ( a) = K ( a) [ a, ] = a, откуда следует, что оператор Фредгольма с непрерывным ядром, действующий из Ca [, ] в Ca [, ], ограничен Так как доказанное выше неравенство верно для любой непрерывной функции y ( ): y =, то и для нормы оператора справедлива оценка Ca [, ] A sup Ay K ( a) y = Пример Докажите, что интегральный оператор Фредгольма с непрерывным ядром является вполне непрерывным при действии из Ca [, ] в Ca [, ] Решение Рассмотрим произвольную ограниченную последовательность непрерывных на [ a, ] функций y ( ) и заметим, что для любого имеет место оценка y = ma y ( ) M Ca [, ] [ a, ] Пусть z ( ) Ay K(, s) y ( s) s = Для решения задачи достаточно показать, что a последовательность z( ) равномерно ограничена и равностепенно непрерывна на отрезке [ a, ] а) Докажем сначала равномерную ограниченность Обозначим K = ma K(, s) Тогда z ( ) K(, s) y ( s) s K(, s) y ( s) s M K ( a) C 9 s, [ a, ] = =, что и требовалось a a K M доказать б) Докажем теперь равностепенную непрерывность последовательности z( ) Возьмем произвольные точки [ a, ] Имеем, z ( ) z ( ) = [ K(, s) K(, s)] y ( s) s K(, s) K(, s) y ( s) s a a M

3 Фиксируем произвольное ε > Функция K(, s ) непрерывна по совокупности аргументов, s на замкнутом ограниченном множестве [ a, ] [ a, ] и, следовательно, равномерно непрерывна на этом множестве Поэтому для любого ε > найдется такое ε δ >, что K(, s) K(, s) при условии δ M ( a) Итак, для любого ε > существует δ >, что z ( ) z ( ) K(, s) K(, s) y ( s) s K(, s) K(, s) y ( s) s ε a a ε M M ( a) для всех =,, и любых, [ a, ], удовлетворяющих неравенству δ, те последовательность z( ) равностепенно непрерывна По теореме Арцела, из последовательности непрерывных функций z () можно выделить равномерно сходящуюся (к непрерывной функции!) подпоследовательность Этим же свойством обладает и любая подпоследовательность последовательности z (), поэтому оператор A является вполне непрерывным при действии Ca [, ] Ca [, ] Пример 3 Доказать, что если линейный оператор B : N N3 является ограниченным, а линейный оператор A : N N вполне непрерывным, то BA : N N3 вполне непрерывный оператор ( N, N, N 3 нормированные пространства) Решение а) Оператор A: N N является вполне непрерывным, поэтому для любой ограниченной последовательности z N соответствующая ей последовательность Az N является компактной б) Докажем, что ограниченный оператор B: N N3 переводит компактную последовательность y N в компактную By N3 Так как y компактна, то из любой ее подпоследовательности можно выделить сходящуюся yk y N Рассмотрим последовательность By N3 и любую ее подпоследовательность By k Из соответствующей последовательности yk N можно выделить подпоследовательность ym y Ввиду непрерывности оператора B последовательность By m также сходится: Bym By N3, а значит By является компактной Поэтому оператор BA : N N3 переводит любую ограниченную последовательность N в компактную BAz N3, те является вполне непрерывным z Пример 4 Пусть A - линейный ограниченный оператор, действующий в нормированном пространстве Доказать, что множество элементов пространства таких, что Ay = θ, образует замкнутое линейное подпространство (нуль-пространство оператора) Решение а) Рассмотрим произвольные элементы y и y такие, что Ay = θ и Ay = θ Тогда для любых α, α выполнено A( αy+ αy) = αay+ αay = θ, те множество элементов y : Ay = θ - линейное пространство б) Докажем его замкнутость, те если Ay = θ и y y Так как A - ограниченный линейный оператор, то, то Ay = θ

4 Ay = ( Ay Ay ) + Ay Ay Ay + Ay A y y = Поэтому Ay =, а значит Ay = θ, что и требовалось доказать при Замечание Так как вполне непрерывный оператор является ограниченным, то доказанное утверждение справедливо и для вполне непрерывного оператора Пример 5 Доказать, что если линейный оператор A имеет обратный, то обратный оператор A также является линейным Решение Пусть A - взаимно однозначный оператор, тогда существует обратный оператор A Для решения задачи достаточно проверить при любых y, y R( A) и любых α, α справедливость равенства A ( αy+ αy) = αa y+ αa y Пусть A = y, A = y, тогда из линейности оператора A следует A( α + α ) = α A + α A = α y + α y, и по определению обратного оператора С другой стороны, α+ α= A ( αy+ αy) =, =, откуда умножая на, αa y+ αa y = α+ α A ( αy αy) α α αa y αa y A y A y Из двух последних равенств имеем требовалось доказать α α и складывая, получим + = + = +, что и Пример 6 Доказать, что если оператор A линейный, то обратный оператор A существует тогда и только тогда, когда оператор A невырожденный Решение а) Достаточность Пусть оператор A невырожденный, те A = θ = θ (нульпространство оператора А тривиально) Тогда для любых двух элементов имеем A ( ) θ A A, те оператор A взаимно однозначный, а значит существует обратный оператор A б) Необходимость Пусть оператор A имеет обратный A Заметим; что A - линейный оператор (см пример 5) и докажем что A - невырожденный Пусть это не так, те существует θ такой, что A = θ Тогда θ = A A= A ( A) = A θ = θ Полученное противоречие показывает, что если A = θ, то = θ, те оператор A - невырожденный = θ Пример 7 Пусть оператор дифференцирования A = определен на подпространстве () C [,] непрерывно дифференцируемых функций y, ( ) удовлетворяющих условию y () = Доказать, что оператор A имеет обратный и найти Решение Множеством значений оператора A является пространство C [,] Докажем, что обратный оператор A существует Так как уравнение Ay = θ y( ), y() = имеет единственное решение y ( ) = θ, те нуль-пространство оператора А тривиально, то оператор А невырожденный, и обратный оператор A существует A

5 Чтобы найти A, нужно для любой функции z ( ) C[,] решить уравнение () Ay = z ( y( ) C [,]), или y ( ) = z ( ), y () = Решением указанной задачи Коши является y ( ) = zss ( ), те A z = z() s s Замечание Если рассматривать оператор дифференцирования A =, действующим C () [,] C[,], то он является вырожденным, так как нуль-пространство в этом случае нетривиально и состоит из функций y ( ) = c Поэтому обратный оператор не существует Вспомните, что первообразная непрерывной функции определяется с точностью до постоянной (элемент из Ker A (нуль-пространства) оператора A = ), те отображение C () [,] C[,], осуществляемое оператором дифференцирования, не является взаимно однозначным Пример 8 Доказать, что если оператор A, действующий в бесконечномерном нормированном пространстве, является вполне непрерывным, то обратный оператор неограничен Решение Предположим, что обратный оператор A является ограниченным Так как A - вполне непрерывный оператор, а по предположению, оператор A является ограниченным, то оператор A A является вполне непрерывным (см пример 3), что неверно, так тождественный оператор A A= I не является вполне непрерывным (см курс лекций) Полученное противоречие доказывает, что A - неограничен Пример 9 Рассмотрим оператор Вольтерра By = y() s s ( [,]), действующий в пространстве C [,] а) Доказать, что B является ограниченным б) Доказать, что B имеет обратный оператор, который определен на некотором подпространстве и неограничен в) Построить оператор ( I B) Решение а) Очевидно, что оператор B является линейным и определен на всем пространстве C [,] Рассмотрим множество y = ma y( ) = На этом множестве имеем C[,] [,] [,] [,] By = ma yss ( ) ma ys ( ) s рассматриваемого оператора, что и доказывает ограниченность б) Оператор B отображает все пространство C [,] на линейное подпространство непрерывно дифференцируемых функций z () = Так как из равенства z ( ) = By= yss ( ), удовлетворяющих условию yss= () (верного для всех [,] ) вытекает, что

6 y ( ), то By = θ y = θ, те нуль-пространство оператора B содержит только нулевой элемент Следовательно, оператор B - невырожденный, и имеет обратный, который определен на указанном выше подпространстве Обозначим DA ( ) - область определения оператора A Легко видеть, что B =, так как BB y = y () s s y() y() y() = = и B By = y() s s y() = Докажем, что обратный оператор неограничен Рассмотрим последовательность y D( A ) C[,] : y( ) = si π, ( y() =!!!), y C[,] =, =,,3 Тогда B y = = π, те C[,] ma si π [,] B является неограниченным sup B y y D( A ), y = не существует, и оператор Замечание Действуя аналогично примеру, можно показать, что рассматриваемый в данном примере оператор Вольтерра является вполне непрерывным, следовательно, обратный оператор неограничен (пример 8) в) Чтобы построить оператор ( I ) B, нужно для произвольной непрерывной функции z ( ) решить уравнение y ( ) yss ( ) = z ( ) Заметим сразу, что y() = z() Так как z ( ) может не быть дифференцируемой, то ищем решение в виде y ( ) = z ( ) + w ( ), где w ( ) - новая неизвестная функция, для которой имеем Очевидно, что ( ) w( ) = z( s) s + w( s) s, w() = w дифференцируема; для ее определения получаем задачу Коши w ( ) = w( ) + z( ), w() =, решение которой имеет вид s w ( ) = e zse ( ) s Поэтому определяется формулой Замечание Рассмотрим оператор s y ( ) = z ( ) + e zse ( ) s, и обратный оператор s ( I B) z z( ) z( s) e s = + t () () ( ) () B y = t y s s= y s s t = s y s s s ( I ) B Легко показать, например, методом математической индукции, что t + ( t s) ( t s) ( s) B y = BB y = t y() s s = y() s s t = y() s s ( )! ( )!! s Далее, разложив функцию s e в ряд ( s) + s ( s) e =, будем иметь! ( I B) z = z( ) + z( s) s= z+ B z Таким образом, мы получили! представление оператора ( I B) в виде ряда Неймана I B I B ( ) = + 3

7 Пример Доказать, что оператор дифференцирования A = а) не является вполне непрерывным при действии C () [,] C[,] ; б) является вполне непрерывным при действии C () [,] C[,] Решение а) Рассмотрим в пространстве C () [,] последовательность cos y = π, =,,3, Эта последовательность ограничена в C () [,], так как для любого номера имеем y = ma y ( ) ma ( ) () [,] + y C = + < Однако последовательность образов ее [,] [,] элементов, получаемая при действии оператора дифференцирования Ay si = π π, =,,3, некомпактна в пространстве C [,] (см пример 7) Поэтому оператор дифференцирования не является вполне непрерывным при действии C () [,] C[,] а) Пусть y - произвольная ограниченная последовательность в пространстве C () [,], те существует M > такая, что y = ma y ( ) ma ( ) ma ( ) () [,] + y C + y M для [,] [,] [,] любого номера Заметим, что отсюда сразу вытекают два неравенства: ma y ( ) M и ma y ( ) M [,] [,] Рассмотрим последовательность z( ) = Ay = y( ) Все функции z( ) непрерывны, причем, ввиду сделанного замечания, последовательность z( ) = y ( ) равномерно ограничена Докажем, что последовательность z ( ) равностепенно непрерывна Действительно, ε так как ma y ( ) M, то для любого ε > найдется такое δ, что < δ Поэтому [,] M при всех, [,], δ имеет место неравенство y ( ) y ( ) = y ( ) Mδ ε Далее, применяя теорему Арцела, получаем, что последовательность z = Ay компактна в C [,], а оператор дифференцирования A = является вполне непрерывным при действии C () [,] C[,] Задачи для самостоятельного решения Доказать, что интегральный оператор Фредгольма отображает линейное пространство ha [, ] в себя и является линейным оператором Доказать, что интегральный оператор Вольтерра отображает линейное пространство ha [, ] в себя и является линейным оператором 3 Доказать, что линейный оператор, действующий в нормированных пространствах, непрерывен тогда и только тогда, когда он непрерывен в нуле 4 Доказать, что линейный оператор, действующий в нормированных пространствах, непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен 4

8 5 Доказать, что нелинейный интегральный оператор является непрерывным и sup Ay < + y = s Ay e y () s s =, действующий C[,] C[,], Замечание: результат предыдущей задачи в данном случае, вообще говоря, неприменим, так как оператор не является линейным 6 Доказать эквивалентность двух определений непрерывности в точке оператора, действующего в нормированных пространствах 7 Доказать, что линейный оператор ограничен тогда и только тогда, если существует постоянная C >, что для любого элемента y выполнено неравенство Ay C y 8 Доказать, что оператор дифференцирования, действующий из C () [ a, ] в Ca [, ], является ограниченным 9 Доказать, что оператор дифференцирования, определенный на подпространстве непрерывно дифференцируемых функций пространства Ca [, ] и действующий из Ca [, ] в Ca, [, ] не является ограниченным Доказать, что если A - линейный ограниченный оператор, действующий A: N N, где N и N нормированные пространства, причем Ay, то A > а) Доказать, что линейный оператор A имеет ограниченный обратный тогда и только тогда, если существует число m > такое, что для всех y DA ( ) выполнено Ay m y б) Доказать, что в этом случае норма обратного оператора равна A =, где M - максимальное из M возможных значений m, найденных в п а) Доказать, что если линейный оператор B: N N является вполне непрерывным, а линейный 3 оператор A: N N ограниченный, то BA : N N - вполне непрерывный оператор ( 3 N, N, N 3 нормированные пространства) Сравнить с результатом примера 3 3 Доказать, что интегральный оператор Фредгольма, действующий из ha [, ] в Ca [, ], является вполне непрерывным оператором 4 Доказать, что интегральный оператор Фредгольма, действующий из ha [, ] в ha [, ], является вполне непрерывным оператором 5 Доказать, что интегральный оператор Вольтерра By = K(, s) y( s) s является вполне непрерывным при действии Ca [, ] Ca [, ] 6 Доказать, что оператор умножения на независимую переменную : Ay = y( ), действующий Ca [, ] Ca [, ], не является вполне непрерывным 7 Доказать, что единичный оператор, действующий в пространстве Ca [, ], не является вполне непрерывным 8 Доказать, что интегральный оператор ys () Ay = ( s) s действии C[,] C[,] 9 () Доказать, что дифференциальный оператор Ay= y ( ) + 4 y ( ), действующий C [,] C[,] () ( C [,] - подпространство непрерывно дифференцируемых на [,] функций, удовлетворяющих условию y () =, с нормой пространства C () [,] ), имеет ограниченный обратный, и найти его Ответ: 4( s) A y = e y() s s a 5

В. Т. Волков, А. Г. Ягола. Интегральные уравнения Вариационное исчисление

В. Т. Волков, А. Г. Ягола. Интегральные уравнения Вариационное исчисление Московский государственный университет им М В Ломоносова Физический факультет В Т Волков, А Г Ягола Интегральные уравнения Вариационное исчисление Методы решения задач Учебное пособие для студентов курса

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

ТЕМА 4. Принцип сжимающих отображений. Метод последовательных приближений для уравнения Фредгольма 2-рода с "малым" λ.

ТЕМА 4. Принцип сжимающих отображений. Метод последовательных приближений для уравнения Фредгольма 2-рода с малым λ. ТЕМА 4 Принцип сжимающих отображений Метод последовательных приближений для уравнения Фредгольма -рода с "малым" λ Основные определения и теоремы Пусть D оператор вообще говоря нелинейный действующий D:

Подробнее

Список задач с решениями по функциональному анализу.

Список задач с решениями по функциональному анализу. Список задач с решениями по функциональному анализу Пусть линейное нормированное пространство Доказать, что для любых элементов выполняется неравенство из аксиом нормы:, тогда: Можно ли в пространстве

Подробнее

В. Т. Волков, А. Г. Ягола

В. Т. Волков, А. Г. Ягола В Т Волков, А Г Ягола ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (курс лекций) Предисловие Учебное пособие "Интегральные уравнения Вариационное исчисление (курс лекций)" написано на основе опыта чтения

Подробнее

Материалы к экзамену по курсу "Интегральные уравнения. Вариационное исчисление"

Материалы к экзамену по курсу Интегральные уравнения. Вариационное исчисление Материалы к экзамену по курсу "Интегральные уравнения Вариационное исчисление" Экзамен по курсу "Интегральные уравнения Вариационное исчисление" состоит из -х частей -я часть экзамена - тест на знание

Подробнее

9. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке.

9. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке. Лекция 6 9 Принцип сжимающих отображений Теоремы о неподвижной точке Пусть D оператор, вообще говоря, нелинейный, действующий из банахова пространства B в себя Определение Оператор D, действующий из банахова

Подробнее

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению.

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению. ТЕМА 7 Задача Штурма-Лиувилля Собственные значения и собственные функции Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению Основные определения и теоремы Оператором Штурма-Лиувилля называется дифференциальный

Подробнее

ТЕМА 5. Линейное уравнение Вольтерра 2-го рода.

ТЕМА 5. Линейное уравнение Вольтерра 2-го рода. ТЕМА 5 Линейное уравнение Вольтерра -го рода Основные определения и теоремы Уравнение y = λ K(, ) y( ) d+ f( ),, [,, или в операторной форме y = λ By+ f, называется уравнением Вольтерра -го рода Пусть

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ Часть вторая

ЛИНЕЙНЫЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ Часть вторая Министерство образования и науки Троицкий филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ. 1. Простейшие свойства метрических пространств

Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ. 1. Простейшие свойства метрических пространств Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ 1. Простейшие свойства метрических пространств Свойство 1. Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ. Классический и регуляризованный операторы Пуассона

ВВЕДЕНИЕ. Классический и регуляризованный операторы Пуассона ВВЕДЕНИЕ При изучении стационарных процессов различной физической природы (колебания теплопроводность диффузия и др обычно приходят к уравнениям эллиптического типа Наиболее распространенным уравнением

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. НОРМА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА И ФУНКЦИОНАЛА

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. НОРМА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА И ФУНКЦИОНАЛА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 9 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. НОРМА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА И ФУНКЦИОНАЛА. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение. Пусть и векторные

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 18 18.1. Компактные метрические пространства (продолжение) В качестве простого следствия доказанной на прошлой лекции теоремы 17.5 мы получаем известный вам

Подробнее

10. Линейные операторы

10. Линейные операторы 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

Предварительные сведения теории разностных схем

Предварительные сведения теории разностных схем Предварительные сведения теории разностных схем 1 Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций Получим ряд соотношений, которые в дальнейшем будем использовать при исследовании

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 23 23.1. Компактные операторы в гильбертовом пространстве Про компактные операторы в банаховых пространствах нам уже довольно много известно (см. лекции 18

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 6 Предел числовой последовательности СОДЕРЖАНИЕ: Предельный переход в неравенствах Подпоследовательности Фундаментальные последовательности

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы 1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. 1.1 Теорема о промежуточных значениях Теорема 1. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) f(b). Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ (a, b), что f(γ) = C. Доказательство. Пусть, например, f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на [a, b]. Кроме того, g(a) < 0, g(b) > 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка γ (a, b), что g(γ) = 0. Разделим отрезок [a, b] точкой x 0 на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x 0 ) = 0 и, значит, искомая точка γ = x 0 найдена, либо g(x 0 ) 0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g принимает значения разных знаков, точнее, на левом конце значение меньше нуля, на правом - больше. Обозначим этот отрезок [a 1, b 1 ] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке γ, в которой g(γ) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков [a n, b n ] по длине стремящихся к нулю и таких, что g(a n ) < 0 < g(b n ) (1) Пусть γ - общая точка всех отрезков [a n, b n ], n = 1, 2,... Тогда γ = lim a n = lim b n. Поэтому, в силу непрерывности функции g Из (1) находим, что g(γ) = lim g(a n ) = lim g(b n ) (2) Из (2) и (3) следует, что g(γ) = 0. lim g(a n ) 0 lim g(b n ) (3) Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. 1.2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup E f (α = inf E f), если существует такая точка x 0 E, что f(x 0 ) = β (f(x 0 ) = α). 1

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Операторно-разностные схемы 1.1 Введение Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области G R m, и пусть u(t) абстрактная

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости ГЛАВА УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В этой главе исследуется устойчивость самого простого класса дифференциальных систем линейных систем В частности, устанавливается, что для линейных систем с постоянными

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения А. И. Буфетов, Н. Б. Гончарук, Ю. С. Ильяшенко 10 февраля 2015 г. В этом параграфе мы докажем теорему, которой пользовались в

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7А Слабая сходимость, дальнейшие факты. 1. Примеры и контрпримеры

ЛЕКЦИЯ 7А Слабая сходимость, дальнейшие факты. 1. Примеры и контрпримеры ЛЕКЦИЯ 7А Слабая сходимость, дальнейшие факты. Примеры и контрпримеры Определение. Множество M в банаховом пространстве B называется слабо замкнутым, если из x x, {x } M следует x M. (Иными словами, речь

Подробнее

5 Элементы функционального анализа

5 Элементы функционального анализа 5 Элементы функционального анализа 5.1 Линейные, нормированные и банаховы пространства 5.1.1 Определение пространств Непустое множество X элементов x, y, z,... называется линейным (векторным) пространством,

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте.

1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте.. Теорема о промежуточных значениях Теорема. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье.

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье. Лекция 4. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда..4. Равенство Парсеваля Пусть система вещественных функций g( ), g( ),..., g ( ),... ортогональна и

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ. 1. Слабая производная

Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ. 1. Слабая производная Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ 1. Слабая производная Определение 1. Функция v(x) L p loc () называется слабой производной x α функции u(x) L p loc () и пишем v(x) = α u(x), если для всякой функции

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ УДК 517.95 В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ В работе рассмотрен принцип симметрии для функций, являющихся решениями уравнения Гельмгольца

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 10 СРАВНЕНИЯ СТЕПЕНЕЙ ВЫШЕ ПЕРВОГО

ЛЕКЦИЯ 10 СРАВНЕНИЯ СТЕПЕНЕЙ ВЫШЕ ПЕРВОГО ЛЕКЦИЯ 10 СРАВНЕНИЯ СТЕПЕНЕЙ ВЫШЕ ПЕРВОГО Переходя от сравнений первой степени к сравнениям более высоких степеней, целесообразно сначала рассмотреть тот случай, когда модуль простое число В этом случае

Подробнее

Задача 1. dx x. Найти экстремум функционала. f C. y y = + = 2 = + ~ +

Задача 1. dx x. Найти экстремум функционала. f C. y y = + = 2 = + ~ + Задача Найти экстремум функционала d d b a d d d ~ Задача Найти экстремум функционала d d b a d d ~ Задача Найти экстремум функционала d d b a d d ~ Задача Решить интегральное уравнение d d 6 d d 6 8 Найдём

Подробнее

1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 1 Метрические пространства 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА Пусть X Y {(x, y) x X, y Y } прямое произведение множеств X и Y. Определение. Функция ρ : X X R + называется метрикой в X, если a) ρ(x, y) = ρ(y, x)

Подробнее

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 29 сентября 2011 г. Измеримые функции Интеграл Лебега,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Бондаренко Н.П., Федосеев А.Е. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Бондаренко Н.П., Федосеев А.Е. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Бондаренко Н.П., Федосеев А.Е. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ УДК 517.968.2 Бондаренко Н.П., Федосеев А.Е. Методы решения интегральных уравнений: Учеб. пособие для студ. матем. спец. Саратов, 214.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 10А Банаховы пространства 3. Банаховы алгебры. Элементы спектральной теории. 0. Аналитичность. Равносильные условия

ЛЕКЦИЯ 10А Банаховы пространства 3. Банаховы алгебры. Элементы спектральной теории. 0. Аналитичность. Равносильные условия ЛЕКЦИЯ А Банаховы пространства 3. Банаховы алгебры. Элементы спектральной теории Всюду речь будет идти о банаховой алгебре A. В некоторых случаях мы потребуем, чтобы она представляла собой алгебру ограниченных

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства. 1. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств

ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства. 1. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства 1. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств 1) Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна по каждому из аргументов.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической

Подробнее

Операционное исчисление. Преобразование Лапласа

Операционное исчисление. Преобразование Лапласа Лекция 6 Операционное исчисление Преобразование Лапласа Образы простых функций Основные свойства преобразования Лапласа Изображение производной оригинала Операционное исчисление Преобразование Лапласа

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

Л Е К Ц И Я 2. СОСТОЯНИЯ МИКРОСИСТЕМ ПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ Продолжение

Л Е К Ц И Я 2. СОСТОЯНИЯ МИКРОСИСТЕМ ПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ Продолжение Л Е К Ц И Я 2 СОСТОЯНИЯ МИКРОСИСТЕМ ПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ Продолжение Согласно принципу, если система может находиться в состояниях ψ 1 и ψ 2, то она может находиться и в состоянии ψ, описываемом

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 4 4.1. Банаховы пространства Напомним, что последовательность (x n ) в метрическом пространстве (, ρ) называется фундаментальной (или последовательностью Коши),

Подробнее

ε > 0 N N n, m N d(x n, x m ) < ε,

ε > 0 N N n, m N d(x n, x m ) < ε, 4. Основные факты дифференциального исчисления функций многих переменных 4.5. Теорема об обратной функции. Теорема об обратной функции одна из фундаментальных теорем дифференциального исчисления функций

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ Часть первая

ЛИНЕЙНЫЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ Часть первая Министерство образования и науки Троицкий филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Топология, лекция 2: метрики и нормы на векторных пространствах

Топология, лекция 2: метрики и нормы на векторных пространствах Топология, лекция 2: метрики и нормы на векторных пространствах Миша Вербицкий 15 апреля, 2012 матфак ВШЭ 1 Метрические пространства (повторение) Определение: Пусть M - множество. Метрикой на M называется

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 22 22.1. Операторы в гильбертовом пространстве. Сопряженный оператор До сих пор мы занимались линейными операторами между произвольными банаховыми пространствами;

Подробнее

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP,

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP, 5 Глава ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Пространство R n Понятие функции нескольких переменных Определение Множество всех упорядоченных наборов (,,, n ), где,,, n - действительные числа называется n-мерным

Подробнее

30. Задачи управления и наблюдения в линейных системах. Критерии полной управляемости и наблюдаемости. Смирнов Н.В.

30. Задачи управления и наблюдения в линейных системах. Критерии полной управляемости и наблюдаемости. Смирнов Н.В. 3. Задачи управления и наблюдения в линейных системах. Критерии полной управляемости и наблюдаемости Смирнов Н.В. 1. Постановка задачи. [1] Рассмотрим линейную нестационарную систему ẋ = P(t)x + Q(t)u

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 26 26.1. Двойственность. Слабые топологии Мы уже немного знакомы с теорией двойственности для банаховых пространств (см. лекцию 13). Напомним, что теория двойственности

Подробнее

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16.1. Рассмотрим произвольное множество X и последовательность функций f, определенных на X. Говорят, что последовательность f сходится поточечно

Подробнее

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 27. Том 48, 6 УДК 517.53/.57 НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Аннотация. Рассмотрена

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 8 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Пусть Х и Y банаховы пространства, F отображение, определенное в окрестности

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Сазонов Л. И. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ДЛЯ

Подробнее

2. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ФУНКЦИЙ

2. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ФУНКЦИЙ Рассмотрим систему функций y y K y определенных и непрерывных на интервале a оси O Эта система функций называется линейно зависимой на a если существует постоянных величин

Подробнее

Простейшие задачи вариационного исчисления

Простейшие задачи вариационного исчисления Глава VI. Простейшие задачи вариационного исчисления 1. Функционалы в линейном нормированном пространстве Опр. 6. 1. Функционалом J[y] в линейном нормированном пространстве E называется закон соответствия,

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

11. Производная (продолжение); непрерывные функции

11. Производная (продолжение); непрерывные функции 11. Производная (продолжение); непрерывные функции На прошлой лекции мы вывели правило дифференцирования произведения функций; сейчас мы разберемся и с дифференцированием частного. Заметим для начала,

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Лекция 4. Метрические пространства и их свойства

Лекция 4. Метрические пространства и их свойства Лекция 4. Метрические пространства и их свойства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 21 сентября 2011 г. Определение метрического пространства

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу Министерство образования Российской федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Кафедра дискретного анализа Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

Раздел 1. ЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. Тема 1. Существование и единственность решения краевой задачи. Матричные функции Грина.

Раздел 1. ЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. Тема 1. Существование и единственность решения краевой задачи. Матричные функции Грина. 6 Раздел ЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Тема Существование и единственность решения краевой задачи Матричные функции Грина Рассмотрим на отрезке по линейную краевую задачу для системы из обыкновенных дифференциальных

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

НЕБОЛЬШАЯ ПОДГОТОВКА К КОЛЛО- КВИУМУ (нет в тексте лекции)

НЕБОЛЬШАЯ ПОДГОТОВКА К КОЛЛО- КВИУМУ (нет в тексте лекции) ЛЕКЦИЯ 12 НЕБОЛЬШАЯ ПОДГОТОВКА К КОЛЛО- КВИУМУ (нет в тексте лекции) ПОНЯТИЕ КОЛЬЦА ПРИМЕРЫ КОЛЕЦ ИДЕАЛЫ В КОЛЬЦАХ 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛЬЦА Определение 1. Множество R с операциями сложения + и умножения называется

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики

Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 3. Условные распределения

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Тема: Понятие устойчивости решения ДУ и решения системы ДУ

Тема: Понятие устойчивости решения ДУ и решения системы ДУ Математический анализ Раздел: дифференциальные уравнения Тема: Понятие устойчивости решения ДУ и решения системы ДУ Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г. 5. Понятие устойчивости решения 1. Предварительные замечания

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

4.2 Отделимость выпуклых множеств

4.2 Отделимость выпуклых множеств 4.2 Отделимость выпуклых множеств При выводе необходимых условий экстремума (принципа Лагранжа) в выпуклых задачах и в задачах с равенствами и неравенствами мы будем использовать свойство отделимости непересекающихся

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 11 11.1. Каноническое вложение во второе сопряженное. Рефлексивные пространства Пусть X нормированное пространство над полем K = R или K = C. Для каждого x

Подробнее

2. Метрические пространства

2. Метрические пространства 2 2. Метрические пространства Одним из часто встречающихся в математике понятий является понятие расстояния. Оно используется в аналитической геометрии при изучении свойств геометрических объектов в евклидовых

Подробнее

Лекция 17 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ.

Лекция 17 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ. Лекция 7 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ.. ОПРЕДЕЛЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОЙ АНТАГОНИСТИЧЕСКОЙ ИГРЫ Естественным обобщением матричных игр являются бесконечные антагонистические игры (БАИ), в которых хотя бы один

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР)

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР) ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР) А.В.СТЕПАНОВ Введение Эти заметки не заменяют курс лекций, но для сильных студентов могут

Подробнее

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Интегральные уравнения

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Интегральные уравнения Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ивановский государственный химико-технологический университет

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Комплексные числа. Операции над комплексными числами. Комплексная плоскость.

Комплексные числа. Операции над комплексными числами. Комплексная плоскость. Методическая разработка Решение задач по ТФКП Комплексные числа Операции над комплексными числами Комплексная плоскость Комплексное число можно представить в алгебраической и тригонометрической экспоненциальной

Подробнее

МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА Министерство образования и науки Троицкий филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Лекция 8. Вариационные методы. Метод глобального расслоения С. И. Похожаева.

Лекция 8. Вариационные методы. Метод глобального расслоения С. И. Похожаева. Лекция 8. Вариационные методы. Метод глобального расслоения С. И. Похожаева. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 26 октября 2011 г. Введение. В этом параграфе мы

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее