Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных"

Транскрипт

1 Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Методические указания и варианты индивидуальных заданий Составители: доцент Селиванов Ю В ассистент Яновская Е В Москва 00 г PDF created with FinePrint pdffactor trial ersion

2 Введение Данное пособие входит в серию методических разработок кафедры призванных способствовать овладению студентами теоретическими основами материала и появлению у них навыков решения задач по основным разделам курса математики Оно предназначено для преподавателей и студентов МАТИ В пособии рассмотрены следующие вопросы теории функций нескольких переменных: функции от двух или n переменных область определения геометрическое толкование частные производные и дифференцирование сложных функций неявные функции и их дифференцирование полный дифференциал и его применение к приближенным вычислениям Пособие предназначено главным образом для использования во время практических занятий по математическому анализу и в качестве задачника для самостоятельной работы и курсовых (контрольных) работ для студентов дневного и вечернего отделений всех факультетов Каждая курсовая работа содержит теоретические вопросы и расчетную часть - задачи Теоретические вопросы являются общими для всех студентов задачи - для каждого студента группы индивидуальные В первом разделе приведены некоторые основные понятия и определения а также расчетные формулы и примеры решения задач по указанным темам во втором разделе помещены теоретические вопросы в третьем разделе варианты задач по темам пособия Каждая задача расчетного задания включает 0 вариантов Среди задач отыскание области определения функции двух переменных вычисление частных производных дифференцирование сложных и неявных функций применение полного дифференциала к приближенным вычислениям Работа частично поддержана федеральной программой Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки (проект 480) Основные определения расчетные формулы и разбор примеров Понятие функции нескольких переменных Произвольный упорядоченный набор из n действительных чисел K n обозначается n M K ) и называется точкой n -мерного арифметического пространства R ; сами числа ( n n ( n K называются координатами точки M M ( K n ) n Пусть D R - произвольное множество точек n -мерного арифметического пространства Если каждой точке M ( K n ) D поставлено в соответствие некоторое действительное число f M ) f ( K ) то говорят что на множестве D задана числовая функция от n переменных K n Множество D называется областью определения функции f (M ) В частном случае когда n функция двух переменных f ( ) может рассматриваться как функция точек плоскости O в трехмерном пространстве с фиксированной декартовой системой координат Графиком этой функции называется множество точек пространства Γ {( R : f ( ) } представляющее собой некоторую поверхность в R Пример Найти область определения функции arccos( + ) PDF created with FinePrint pdffactor trial ersion

3 Решение Функция определена при + Следовательно областью определения функции является замкнутый круг единичного радиуса с центром в начале координат Частные производные Частные производные первого порядка Рассмотрим функцию двух переменных f ( ) Придавая значению переменной приращение рассмотрим предел (при 0 ) lim f ( + ) f ( ) Этот предел называется частной производной (первого порядка) данной функции по переменной в точке ( ) и обозначается или f ( ) Точно так же определяется частная производная этой функции по переменной и обозначается или f ( ) Частные производные вычисляются по обычным формулам дифференцирования при этом все переменные кроме одной рассматриваются как постоянные Пример Найти частные производные функции arccos ( > 0) Решение Считая величину постоянной получаем Считая величину постоянной получаем Частные производные высших порядков Пусть f ( ) есть функция двух переменных и Частными производными второго порядка функции f ( ) называются частные производные от ее частных производных первого порядка если они существуют Частные производные второго порядка обозначаются следующим образом: f f f f f ; f ; f f f f f ; f Аналогично определяются и обозначаются частные производные более высокого порядка Частная производная второго или более высокого порядка взятая по нескольким различным пере- 4 PDF created with FinePrint pdffactor trial ersion

4 менным называется смешанной частной производной Относительно смешанных частных производных имеет место следующая теорема Теорема Две смешанные частные производные одной и той же функции отличающиеся лишь порядком дифференцирования равны между собой при условии их непрерывности Пример Найти частную производную от функции e (cos + sin ) Решение Имеем e (cos + sin + sin ) e (cos sin + cos ) e (cos sin + cos ) Полный дифференциал и его применение Пусть дана функция двух переменных f ( ) Предположим что ее аргументы и получают соответственно приращения и Тогда функция f ( ) получает полное приращение f ( + + ) f ( ) Геометрически полное приращение равно приращению аппликаты графика функции f ( ) при переходе от точки M ( ) в точку M( + + ) Функция f ( ) называется дифференцируемой в точке ( ) если ее полное приращение может быть представлено в виде A( ) + B( ) + o( ρ) где ρ ( ) + ( ) а o (ρ) - бесконечно малая более высокого порядка чем ρ Если функция f ( ) дифференцируема в данной точке то ее полным дифференциалом называется главная часть полного приращения этой функции линейная относительно и т е A( ) + B( ) Дифференциалы независимых переменных по определению равны их приращениям d d Для дифференциала функции f ( ) справедлива формула d + d Заменяя приближенно приращение функции ее дифференциалом (в предположении достаточной малости значений и ) получим f ( ) d + f ( ) d Отсюда имеем 5 PDF created with FinePrint pdffactor trial ersion

5 f ( + + ) f ( ) + f ( ) + f ( ) d + f ( ) d Все изложенное распространяется на функции трех и более переменных 4 Пример 4 Вычислить приближенно ln( ) Решение Искомое число будем рассматривать как значение функции f ( ) ln( + 4 ) при если Применяя формулу f ( ) f ( 0 0 ) + f ( 0 0) d + f ( 0 ) d получаем Следовательно f f 4 f ( 0 0 ) ln( + ) 0 ( 0 0 ) 4 + ( 0 0 ) ln( ) ( 000) Дифференцирование сложных функций Случай одной независимой переменной Пусть f ( ) есть дифференцируемая функция двух переменных и причем аргументы этой функции сами являются дифференцируемыми функциями независимой переменной t : ϕ(t) и ψ (t) Тогда сложная функция f ( ϕ( t) ψ ( t)) дифференцируема и ее производная вычисляется по формуле d d + Пусть теперь f ( ) где ϕ() Тогда f ( ϕ( )) т е функция есть функция одной переменной Этот случай сводится к предыдущему где роль переменной t играет Полная производная функции по равна d + d d Пример 5 Найти если + 5 e где sin t t Решение Имеем 5 e + 5e + 5 e cost + 5e t d d cost t ; e sin t+ 5t (cost + 5t ) 6 PDF created with FinePrint pdffactor trial ersion

6 Пример 6 Найти частную производную + 4 Решение Имеем e d e + e e и полную производную d d d ( e ) + 4 если e а Случай нескольких независимых переменных Предположим теперь что f ( ) где ϕ( u ) и ψ ( u ) Тогда есть сложная функция двух независимых переменных u и Частные производные этой сложной функции находят по формулам + и + Эти формулы обобщаются на случай сложной функции любого конечного числа аргументов Во всех случаях справедлива формула d + d (свойство инвариантности формы полного дифференциала) Пример 7 Найти частные производные и если u u Решение Имеем ln u u ; ln + u ( + ln( u)) ( u) ln u u ( ln( u)) u ( u) + u 5 Неявные функции и их дифференцирование Пусть F - дифференцируемая функция трех переменных и и пусть уравнение F ( 0 определяет как функцию независимых переменных и Частные производные этой неявной функции ( ) в точке ( ) вычисляются по следующим формулам: PDF created with FinePrint pdffactor trial ersion 7

7 F ( F ( и F ( F ( при условии что F ( 0 где ( ) и F ( 0 8 Пример 8 Найти частные производные из уравнения и если определяется как функция от и Решение Обозначим левую часть данного уравнения через F ( Тогда Отсюда получаем F ( 4 F ( 8 F ( 4 F ( 4 ; F ( 4 F ( 8 F ( 4 Теоретические вопросы Понятие функции двух переменных f ( ) Геометрическое истолкование Область определения Предел и непрерывность функции нескольких переменных Свойства функций непрерывных в ограниченной замкнутой области 4 Определение и геометрический смысл частных производных 5 Частные производные высших порядков Теорема о независимости смешанных производных от порядка дифференцирования 6 Дифференцирование сложной функции f ( ) где ϕ(t) ψ (t) 7 Понятие полной производной 8 Дифференцирование сложной функции f ( ) где ϕ( u ) ψ ( u ) 9 Касательная плоскость и нормаль к поверхности определяемой графиком функции двух переменных 0 Определение и геометрический смысл полного дифференциала функции f ( ) Дифференцируемость функции нескольких переменных Свойства дифференцируемой функции: непрерывность существование частных производных Достаточные условия дифференцируемости функции двух переменных Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям 4 Инвариантность формы и другие свойства полного дифференциала 5 Дифференциалы высших порядков 6 Формула Тейлора для функции двух переменных 7 Неявные функции и их дифференцирование 8 Уравнение касательной к кривой задаваемой неявной функцией 9 Определение точек экстремума функции f ( ) Необходимые и достаточные условия экстремума PDF created with FinePrint pdffactor trial ersion

8 Варианты индивидуальных заданий Задача Найти область определения функции двух переменных (дать геометрическое истолкование) ln( + ) ln + cos ln 4 ln 5 5 ln( sin ) 6 log ( + 9) 7 9 arcsin + 8 ln ln( ) 0 ln ( ) ln + ln sin ln 4 + ( + )(4 ) ( + ) ln( ) 8 ( + ) ln 9 + ln( ) 0 cos arcsin( + ) + 9 arccos + arcsin( ) sin( + ) + arcsin( ) 5 arcsin + arccos( ) 6 sin cos 7 8 sin 9 ( )( + ) 0 ln ln Задача Найти частные производные от функции ( ) ln( + + ) ln( + ) ln( + ) ln( + ) 4 ln 9 PDF created with FinePrint pdffactor trial ersion

9 5 ln( + ) 6 ln( 5 + ln ) 7 ( + log ) 8 ln(sin + cos ) 9 ln( sin ) 0 ln + ( ) e ( sin + cos ) 4 + arcsin( + ) 6 ln( ) cos( ) + cos 8 arcsin + 9 ln cos 0 sin( + ) 5 cos 4 + cos (sin ) arctg arcsin + cos sin 6 arctg + 7 e 8 arccos ln + 9 arctg 0 arcsin arccos( ) + Вычислить производные сложных функций Задача u sin + cos где u ;? 4 e где cos( t) sin t ;? + где sin t arccos( e t );? + 4 ( + ) e где cos( t ) t ;? t 5 arcsin где sin t cos ;? 6 tg( + ) где t ;? t 7 где u u + u ;? + 0 PDF created with FinePrint pdffactor trial ersion

10 8 arctg где + d? 4 9 где t cost t sin t ;? 0 arcsin( ) где ln( t +) 4t ;? + arctg где t + sin t ;? + ln( ln ) где sin t arccos( t 5 );? ln( 6 e + e ) где ;? d t 4 ln где tg t ctg ;? 5 ln( u ) где u ;? t 6 sin + cos где t t ;? t + 7 где tg( t +) ctg( t 4 ) ;? 8 + где ln( t t + t) 0 ;? t 9 ln( + ) где sin t ;? t + u 0 где ;? + u u + + t t где ;? sin t cost + sin где tg( t + t) ctg( t +);? + t t где tg( e +) ctg ;? ln 4 где sin(u) cos( u);? sin t 5 где ln t te ;? sin 6 ln где sin t cost ;? t te? 7 arccos( ) где t ln t ; sin 8 cos( ) где t 9 sin + cos где t ;? ln t π π ln t ;? PDF created with FinePrint pdffactor trial ersion

11 + u где ; u u + Задача 4? Найти частные производные от неявной функции ln( + ) e tg( + ) 4 44 e cos( tg( ) + 45 sin + sin + sin e + e + e tg 40 tg( + e sin( ) ln( ln + 46 e sin + arctg 47 ln + 48 arcsin e e cos 4 tg + sin + cos e e ln ln e sin cos( 48 sin 49 cos + cos + cos Задача 5 Вычислить приближенно с помощью полного дифференциала 5 (00) ln ( 00 (00) + (0) ) sin 9 tg (05) 58 ( 0) + (97) PDF created with FinePrint pdffactor trial ersion

12 59 ( 60) + (804) 50 5 ln[(009) (099) ] ( 00) ln ( ) (0) 5 ( 009) (007) ( 00) (004) 57 ( 0) + (00) ( 0) e 07 ( 00) ln(0) (04) ( 0) 5 e (0) 0 5 arctg 54 ( 0) (097) ( 405) + (9) 56 cos ( 0) e 50 sin 0 ( 095) ( 0) + (000) ЛИТЕРАТУРА Берман Г Н Сборник задач по курсу математического анализа М Наука 985 Бугров ЯС Никольский СМ Дифференциальное и интегральное исчисление М Наука 988 Данко ПЕ Попов АГ Кожевникова ТЯ Высшая математика в упражнениях и задачах Ч М Высшая школа Пискунов НС Дифференциальное и интегральное исчисления Т М Наука Сборник задач по математике для втузов В 4-х частях Ч Линейная алгебра и основы математического анализа Под ред АВ Ефимова БП Демидовича М Наука 99 PDF created with FinePrint pdffactor trial ersion

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Часть 4. Функции нескольких переменных

МАТЕМАТИКА. Часть 4. Функции нескольких переменных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» ОГ Павловская ЕС Плюснина МАТЕМАТИКА Часть Функции нескольких переменных Методические указания

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации. МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. К. Э.

Министерство образования Российской Федерации. МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. К. Э. Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика РЯДЫ Методические указания к курсовой работе Составитель:

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. Контрольная работа для студентов заочной формы обучения

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. Контрольная работа для студентов заочной формы обучения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии ОВ Исакова, ЛА Сайкова Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Рекомендовано

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. 1. Понятие производной функции

ЛЕКЦИЯ 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. 1. Понятие производной функции ЛЕКЦИЯ 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1 Понятие производной функции Рассмотрим функцию у=f(), определенную на интервале (а;в) Возьмем любое значение х (а;в) и зададим аргументу

Подробнее

13. Частные производные высших порядков

13. Частные производные высших порядков 13. Частные производные высших порядков Пусть = имеет и определенные на D O. Функции и называют также частными производными первого порядка функции или первыми частными производными функции. и в общем

Подробнее

называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности.

называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности. 5 Точка в которой F F F или хотя бы одна из этих производных не существует называется особой точкой поверхности В такой точке поверхность может не иметь касательной плоскости Определение Нормалью к поверхности

Подробнее

Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения.

Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения. Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения Цель: сформировать умение находить производные функций, заданных в явном, логарифмическом и параметрическом

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x :

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x : СОДЕРЖАНИЕ ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Дифференцирование неявных функций Логарифмическое дифференцирование Производные высших порядков Дифференцирование функции, заданной параметрически 6 Уравнение

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ

Подробнее

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные

Подробнее

существовании предела монотонной последовательности. Предел последовательности

существовании предела монотонной последовательности. Предел последовательности ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Определение вектора. Равенство векторов. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов. Базис и координаты.

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Пусть на множестве X задана функция f Фиксируем точку X и задаем приращение аргумента Тогда точка соответствует f и f f называется приращением функции Если существует

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

Индивидуальные домашние задания. ИДЗ-1 Вычисление частных производных. z sin. 1 Найти область определения функций: 2.. z 2x z ctg xy.

Индивидуальные домашние задания. ИДЗ-1 Вычисление частных производных. z sin. 1 Найти область определения функций: 2.. z 2x z ctg xy. Индивидуальные домашние задания ИДЗ-1 Вычисление частных производных 1 Найти область определения функций: 11 z /( 5) 1 z arcsin( ) 1 z 1 z ln( ) 15 z /(6 ) 16 z 5 17 z arccos( ) 18 z /( ) 19 z 9 11 z ln(

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Практическое занятие ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Дифференцирование сложной функции Дифференцирование неявной функции задаваемой одним уравнением Системы неявных и параметрически заданных

Подробнее

Контрольная работа 3.

Контрольная работа 3. Контрольная работа В промежутке между сессиями студенты должны провести самостоятельную подготовку Проработать теоретический материал по лекциям на тему «Функции нескольких переменных» (Материал представлен

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ

Министерство общего и профессионального образования РФ Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет Министерство общего и профессионального образования РФ Назарова Л.И. Дифференциальные

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Дифференциальные уравнения Методические указания

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Министерство образования и науки Российской Федерации Курганский государственный университет Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Подробнее

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

ЧЕЛЯБИНСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) Кафедра информационных систем и технологий

ЧЕЛЯБИНСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) Кафедра информационных систем и технологий МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТОРГОВО - ЭКОНОМИЧЕСКИЙ

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 Дифференциальное исчисление функций одной

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Министерство образования и науки РФ Российский государственный университет нефти и газа имени И М Губкина Кафедра высшей математики СИ ВАСИН ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебно-методическое пособие для

Подробнее

Производная и дифференциал. Лекция 4-5

Производная и дифференциал. Лекция 4-5 Производная и дифференциал Лекция 4-5 Приращения функции и аргумента Пусть функция y f ( x) определена в некоторой окрестности U( x) точки x и x U( x) произвольная точка из этой окрестности. Разность x

Подробнее

Производная функции. Ее геометрический и физический смысл. Техника дифференцирования.

Производная функции. Ее геометрический и физический смысл. Техника дифференцирования. Производная функции Ее геометрический и физический смысл Техника дифференцирования Основные определения Пусть f ( ) определена на (, ) a, b некоторая фиксированная точка, приращение аргумента в точке,

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Пензенский государственный университет ОГНикитина ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие Пенза УДК 5755 Никитина ОГ Функции нескольких переменных Дифференциальное исчисление:

Подробнее

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр Министерство образования и науки РФ Северный Арктический федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности 000. «Теплоэнергетика

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл Задачи, приводящие к понятию производной Определение Касательной S к линии y f (x) в точке A x ; f (

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Дифференциальное и интегральное исчисление функции одного переменного. Числовые и функциональные ряды.

Дифференциальное и интегральное исчисление функции одного переменного. Числовые и функциональные ряды. Теоретические вопросы по курсу математики для студентов заочной формы обучения специальности 76 «Промышленное и гражданское строительство» семестр Дифференциальное и интегральное исчисление функции одного

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 3

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 3 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ Ю.Г. Костына, Г.П. Мартынов ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных,

Подробнее

УТВЕРЖДАЮ. Направление подготовки Техносферная безопасность. Квалификация (степень) выпускника. бакалавр. Форма обучения Очная. г. Сыктывкар 2011 г.

УТВЕРЖДАЮ. Направление подготовки Техносферная безопасность. Квалификация (степень) выпускника. бакалавр. Форма обучения Очная. г. Сыктывкар 2011 г. Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сыктывкарский государственный университет» Институт точных наук

Подробнее

Дифференциал функций Методические указания для практических занятий

Дифференциал функций Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Уфимский государственный технический университет. lim 7 5). 1

Уфимский государственный технический университет. lim 7 5). 1 Уфимский государственный технический университет ПРОБНИК. Задача: Вычислить предел функции + 4 Ответы: ). ). ). /4 4). 0 5). нет правильного ответа. Задача: Найти предел: 0 sin5 7 Ответы: ). 5 ). 7 ).

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов СИ Бородина ВВ Показеев БЭ Теуш ОИ Ткаченко ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

Производная сложной и неявно заданной функции нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Производная сложной и неявно заданной функции нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Производная сложной и неявно заданной функции нескольких переменных Касательная плоскость и нормаль к поверхности Пусть f ( где (t (t причём функции f ( (t (t дифференцируемы Тогда

Подробнее

Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова Биологический факультет

Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова Биологический факультет Московский Государственный Университет имени МВ Ломоносова Биологический факультет УТВЕРЖДАЮ " " 00 г Рабочая программа дисциплины Высшая математика Направление подготовки Биология Профили подготовки Форма

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» Институт образовательных информационных технологий Функции нескольких переменных Методические указания

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных, из некоторого множества D ставится в соответствие переменная величина, то называется функцией двух

Подробнее

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины "дифференциальное исчисление,

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины дифференциальное исчисление, Номер недели РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины "дифференциальное исчисление, УЧЕБНЫЙ ПЛАН : Факультет линейная алгебра и аналитическая геометрия"

Подробнее

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского Центр Дистанционного

Подробнее

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (РГГУ) Филиал в г Домодедово

Подробнее

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y)

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y) 44 Пример Найти полную производную сложной функции = sin v cos w где v = ln + 1 w= 1 По формуле (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Найдем теперь полный дифференциал сложной функции f

Подробнее

РГРТУ. ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Функции нескольких переменных» Задание 1. Найти область определения функции. z z ln y. z arcsin. ln z. z 81.

РГРТУ. ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Функции нескольких переменных» Задание 1. Найти область определения функции. z z ln y. z arcsin. ln z. z 81. ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Функции нескольких переменных» Задание Найти область определения функции f, и изобразить её на координатной плоскости 9 6 ln ln 8 ln arccos ln ln 5 arccos 5 6 8 6 7 8 arcsin ln 7 9 arcsin

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» БОРИСОГЛЕБСКИЙ ФИЛИАЛ (БФ ФГБОУ ВО «ВГУ») УТВЕРЖДАЮ Заведующий

Подробнее

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения. Э. Е. Поповский П. П.

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения. Э. Е. Поповский П. П. Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Э Е Поповский П П Скачков ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Типовой расчет Екатеринбург 1 Федеральное

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Заочные подготовительные курсы ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Заочные подготовительные курсы ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Заочные подготовительные курсы ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и контрольные задания Волгоград Составитель

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

Идз-1 ВЫЧИСЛЕНИЕ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ z arcsin( 2x z 1 x y z

Идз-1 ВЫЧИСЛЕНИЕ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ z arcsin( 2x z 1 x y z Идз- ВЫЧИСЛЕНИЕ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Найти область определения указанных функций / arcsin ln / 7 arccos 8 / ln / arcsin / ln / 7 arccos 8 arcsin ln / / / / ln 7 / 7 8 e / / Найти частные производные и частные

Подробнее

Учебные материалы по математическому анализу в электронном виде, а также примеры экзаменационных билетов прошлых лет вы можете найти на сайте

Учебные материалы по математическому анализу в электронном виде, а также примеры экзаменационных билетов прошлых лет вы можете найти на сайте Перечень тем и вопросов, выносимых на зимнюю сессию 2013-2014 уч. год, 1 курс, 2 поток Дисциплина Математический анализ, лектор к.ф.-м.н., доцент Фроленков И.В. 1. Понятие функции. График функции. Обзор

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (II семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.Г.ШУХОВА ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2

БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.Г.ШУХОВА ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2 Поток: ТВГТ -I ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1 1Определители -го и -го порядка Правила вычисления Общий алгоритм исследования графика функций с помощью производных Нахождение наибольшего и наименьшего значений

Подробнее

Определенный интеграл

Определенный интеграл Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные П л а н 1. Понятие функции двух и нескольких переменных.. Предел и непрерывность

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «Кемеровская государственная медицинская академия» Министерства здравоохранения Российской Федерации КАФЕДРА медицинской

Подробнее

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Веб- страница кафедры http://kvm.gubkin.ru 1 Функции многих переменных 2 Определение

Подробнее

«Предел, непрерывность, дифференциальное исчисление функции одной переменной»

«Предел, непрерывность, дифференциальное исчисление функции одной переменной» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Новосибирский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский

Подробнее

Комплект. контрольно-оценочных средств учебной дисциплины ЕН.01. Элементы высшей математики

Комплект. контрольно-оценочных средств учебной дисциплины ЕН.01. Элементы высшей математики ГБОУ СПО Прокопьевский политехнический техникум Комплект контрольно-оценочных средств учебной дисциплины ЕН Элементы высшей математики основной образовательной программы (ОПОП) по направлению подготовки

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

Математическое моделирование в задачах нефтегазовой отрасли. Методы математической физики Элементарный математический аппарат

Математическое моделирование в задачах нефтегазовой отрасли. Методы математической физики Элементарный математический аппарат Математическое моделирование в задачах нефтегазовой отрасли. Методы математической физики Элементарный математический аппарат Николай Андрианов n_andrianov@hotmail.com Кафедра прикладной математики и компьютерного

Подробнее

. Раз- 0 0 x 0 называется приращением функции в точке x 0. в точке x 0. Формулы дифференцирования основных элементарных функций. log a. 4.

. Раз- 0 0 x 0 называется приращением функции в точке x 0. в точке x 0. Формулы дифференцирования основных элементарных функций. log a. 4. ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ Раз- 0 0 0 называется приращением функции в точке 0 f ( 0 ) Если существует конечный предел lim f ( 0 ), то он называется производной функции f ( ) в точке 0 0 Отыскание производной

Подробнее

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Дифференциальное исчисление функции одной переменной Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет УГТУ Дифференциальное исчисление

Подробнее

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн.

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Если величина однозначно определяется заданием значений величин и, независимых друг от друга,

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. Программа и контрольные работы 5-7 по курсу. «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. Программа и контрольные работы 5-7 по курсу. «Высшая математика» Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии Факультет дистанционных форм обучения МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Программа и контрольные работы

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

Вариант 1 1. Исходя из определения производной, найти f '(x 0 ) для функций:

Вариант 1 1. Исходя из определения производной, найти f '(x 0 ) для функций: Вариант Исходя из определения производной, найти f '( 0 ) для функций: tg f ( ) = ( ), 0 = + sin, 0 f ( ) = 0 =0 0, = 0, Найти производную функций: y = ln( +) y = sin + ( ) 5 + + + y = e y = 5 y = + 6

Подробнее

Дифференциал функции нескольких переменных. Формулы. 3 u. Условности при записи символов дифференцирования

Дифференциал функции нескольких переменных. Формулы. 3 u. Условности при записи символов дифференцирования Дифференциал функции нескольких переменных Формулы. Первый дифференциал функции нескольких переменных (, стр. 3): u u ux, : du dx d x u u u u x,, z: du dx d dz x z Второй и третий дифференциалы функции

Подробнее

высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1

высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1 Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1 Линейная алгебра. Аналитическая

Подробнее

«Строительство» 1 семестр

«Строительство» 1 семестр Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, 1 семестр. Направление 270800 «Строительство» Дисциплина - «Математика-1». Содержание Содержание... 1 Лекции... 1 Практические занятия... 4 Практические занятия

Подробнее

ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ:

ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ: ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ: 11 Функциональная связь Предел функции 1 Производная функции 1 Механический физический и геометрический смысл производной 14 Основные

Подробнее

Вариант 6 1. Исходя из определения производной, найти f '(x 0 ) для функций:

Вариант 6 1. Исходя из определения производной, найти f '(x 0 ) для функций: Вариант 6 Исходя из определения производной, найти f '( 0 ) для функций: f ( ) =, 0 = f ( ) = ln( ), 0 0 =0 0, = 0, Найти производную функций: ( ) ln( y = + ) y = 5 0 + sin( ) y = ( ) y = 5 y = + 6 y =

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

Приложение 1 1. Определение производной Пусть x 1 и x 2 значения аргумента, а y f ) и y f ) - соответствующие значения функции y f (x)

Приложение 1 1. Определение производной Пусть x 1 и x 2 значения аргумента, а y f ) и y f ) - соответствующие значения функции y f (x) Приложение Определение производной Пусть и значения аргумента, а f ) и f ) - ( ( соответствующие значения функции f () Разность называется приращением аргумента, а разность - приращением функции на отрезке,

Подробнее

II. Аннотация 1. Цели и задачи дисциплины Преподавание дисциплины «Математический анализ» имеет следующие цели и задачи: - ознакомить студентов с

II. Аннотация 1. Цели и задачи дисциплины Преподавание дисциплины «Математический анализ» имеет следующие цели и задачи: - ознакомить студентов с II. Аннотация 1. Цели и задачи дисциплины Преподавание дисциплины «Математический анализ» имеет следующие цели и задачи: - ознакомить студентов с теоретическими и практическими основами математического

Подробнее

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP,

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP, 5 Глава ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Пространство R n Понятие функции нескольких переменных Определение Множество всех упорядоченных наборов (,,, n ), где,,, n - действительные числа называется n-мерным

Подробнее

Семинар 1 Введение в анализ. Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 3. Функции чётные и нечётные; периодические функции.

Семинар 1 Введение в анализ. Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 3. Функции чётные и нечётные; периодические функции. Семинар 1 Введение в анализ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Функция, области определения, способ задания. 2. Понятие сложной и обратной функции. 3. Функции чётные и нечётные; периодические

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

1. ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ Приращением функции = f() называется разность f f, где - приращение аргумента Из рис видно, что g () Рис Производной функции = f() в точке называется конечный

Подробнее

Функции многих переменных

Функции многих переменных Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

Программа дисциплины «Математика» Автор: доцент Рыбников А.К., ст. преподаватель Шарапова М.Л.

Программа дисциплины «Математика» Автор: доцент Рыбников А.К., ст. преподаватель Шарапова М.Л. Программа дисциплины «Математика» Автор: доцент Рыбников А.К., ст. преподаватель Шарапова М.Л. Цели освоения дисциплины. Целями освоения дисциплины "Математика" являются: формирование математической культуры

Подробнее

С.А. Лавренченко. Производная функции, фундаментальное понятие дифференциального исчисления, определяется как предел разностного отношения.

С.А. Лавренченко. Производная функции, фундаментальное понятие дифференциального исчисления, определяется как предел разностного отношения. Лекция 6 1 СА Лавренченко Производные 1 Определения производной Производная функции фундаментальное понятие дифференциального исчисления определяется как предел разностного отношения Определение 11 (производной

Подробнее

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Программа экзамена по математике для студентов специальности «Финансы и кредит» (заочная форма обучения) 1 Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Понятие функции Определение функции,

Подробнее

Рецензенты Доктор ф.-м. наук, профессор Т.Г. Сукачёва Канд. ф.-м. наук, доцент А.В. Ласунский

Рецензенты Доктор ф.-м. наук, профессор Т.Г. Сукачёва Канд. ф.-м. наук, доцент А.В. Ласунский Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) ЛН Романова ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Курс лекций Омск Издательство СибАДИ ЛН РОМАНОВА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ

Подробнее

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» часть V для студентов-заочников всех специальностей МИНСК 999 4 Составители Гладков Л.Л. Назарова И.В.

Подробнее

Федеральное агентство по образованию ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ I

Федеральное агентство по образованию ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ I Ф ТПУ 7.- /0 Федеральное агентство по образованию ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УТВЕРЖДАЮ: Декан факультета АВТ С.А. Гайворонский МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ I Рабочая программа для интегрированных образовательных

Подробнее

И.Л. Фаустова, Е.Г. Пахомова ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Учебное пособие

И.Л. Фаустова, Е.Г. Пахомова ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Учебное пособие М И Н И С Т Е Р С Т В О О Б Р А З О В А Н И Я И Н А У К И Р О С С И Й С К О Й Ф Е Д Е Р А Ц И И ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «Национальный исследовательский

Подробнее

Рабочая программа Ф СО ПГУ /06. Министерство образования и науки Республики Казахстан. Кафедра математики

Рабочая программа Ф СО ПГУ /06. Министерство образования и науки Республики Казахстан. Кафедра математики Рабочая программа Ф СО ПГУ 7.18.2/06 Министерство образования и науки Республики Казахстан Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова Кафедра математики дисциплины РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА ДИСЦИПЛИНЫ УТВЕРЖДАЮ Зав.кафедрой Арефьев К.П г.

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА ДИСЦИПЛИНЫ УТВЕРЖДАЮ Зав.кафедрой Арефьев К.П г. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА ДИСЦИПЛИНЫ УТВЕРЖДАЮ Зав.кафедрой Арефьев К.П. 2007 г. Дисциплина Дифференциальное исчисление Вид учебной работы Кредитная стоимость 5 Аудиторные занятия Самостояте льная работа

Подробнее