Разностные схемы для уравнения колебаний в многомерном случае

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Разностные схемы для уравнения колебаний в многомерном случае"

Транскрипт

1 Разностные схемы для уравнения колебаний в многомерном случае Для многомерных уравнений колебаний можно составить аналог схемы «крест» и неявной схемы. При этом явная схема «крест» так же, как и в одномерном случае, будет условно устойчивой. В случае неявной схемы весовой параметр σ, с которым в разностное уравнение входят аппроксимированные на сетке слагаемые с пространственными производными, взятые на слоях j 1 и j +1, можно подобрать так, чтобы схема была безусловно устойчивой. Непосредственное решение получающейся при этом системы алгебраических уравнений требует большого числа действий, а соответствующая схема не является экономичной. Поэтому на практике часто от неявной схемы переходят к модифицированной факторизованной схеме, безусловно устойчивой при тех же значениях σ, что и неявная схема, и аппроксимирующей исходную задачу с тем же порядком погрешности аппроксимации, что и неявная схема. Факторизованная схема является экономичной и решается в несколько этапов для каждого координатного направления. Каждая из возникающих при этом вспомогательных задач решается методом прогонки. 1 Двумерное уравнение колебаний в прямоугольной области Для того чтобы продемонстрировать основные идеи численного решения уравнения колебаний конечно-разностными методами, рассмотрим двумерное уравнение колебаний в прямоугольной области. Пусть нам необходимо решить следующую начально-краевую 1

2 задачу: u t = a u + fx, y, t, x 0, l x, y 0, l y, t 0, T ], u u t=0 = ϕx, y, t = ψx, y, t=0 u x=0 = µ 1 y, t, u x=lx = µ y, t, 1.1 u y=0 = µ 3 x, t, u y=ly = µ 4 x, t. Введем в области x [0, l x ], y [0, l y ] равномерную сетку с шагом h x по переменной x, h y по переменной y и шагом τ по времени: x n = nh x, n = 0, 1,..., N, Nh x = l x, y m = mh y, m = 0, 1,..., M, Mh y = l y, t j = jτ, j = 0, 1,..., J, Jτ = T. Граничные условия задачи 1.1 аппроксимируются на сетке точно: w j 0,m = µ 1 y m, t j, w j N,m = µ y m, t j, m = 0, 1,..., M, j = 0, 1,..., J, w j n,0 = µ 3 x n, t j, w j n,m = µ 4x n, t j, n = 0, 1,..., N, j = 0, 1,..., J. 1. Начальные условия задачи аппроксимируем со вторым порядком погрешности по τ: w 0 n,m = ϕx n, y m, w 1 n,m w 0 n,m τ при n = 0, 1,..., N, m = 0, 1,..., M. = ψx n, y m + τ a ϕx n, y m + fx n, y m, Дифференциальное уравнение в задаче 1.1 при j = 1,,..., J 1 можно аппроксимировать с помощью явной схемы «крест», а можно использовать факторизованную неявную схему. 1.1 Схема «крест» в двумерном случае Используем для аппроксимации двумерного уравнения колебания шаблон, приведенный на рис. 1. Заменяя производные в уравнении конечными разностями, приходим к следующему разностному уравнению:

3 Рис. 1: Шаблон схемы «крест» в двумерном случае wn,m j+1 wn,m j + wn,m j 1 w j = a n+1,m wn,m j + w j n 1,m + wj n,m+1 wn,m j + w j n,m 1 + f τ h n,m j y 1.4 при j = 1,..., J 1, n = 1,..., N 1, m = 1,..., M 1. В узле x n, y m, t j разностное уравнение 1.4 аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение с погрешностью Oτ + +. При каждом фиксированном j = 1,,..., J 1 неизвестными в уравнении 1.4 являются n,m, которые могут быть легко выражены. После того как все n,m при n = 1,..., N 1, m = 1,..., M 1 найдены, для завершения перехода на слой j + 1 нужно воспользоваться граничными условиями при n = 0, n = N, m = 0 и m = M. Для исследования схемы «крест» на устойчивость по начальным данным можно использовать метод гармоник. Множители роста при этом удовлетворяют квадратному уравнению: 4a λ τ pq λ pq + 1 = λ pq sin α q + 4a τ sin β p. 1.5 Условие λ pq 1 выполняется, если дискриминант уравнения 1.5 неположителен: D 4 = 1 a τ sin α q то есть когда справедливы неравенства 1 1 a τ sin α q + sin β p + sin β p 1 0, 1. Последнее условие выполнено, если: a τ , 3

4 откуда получаем условие устойчивости схемы «крест» в двумерном случае: 1 aτ Замечание 1.1 В трехмерном случае условие устойчивости схемы «крест» имеет вид: 1 aτ h z Схему «крест» удобно использовать в расчетах, не требующих высокой надежности вычислений, то есть когда не может возникнуть локальное нарушение условия Неявная схема для двумерного уравнения колебаний. Эволюционная факторизация. Двумерный аналог неявной схемы с весами для уравнения колебаний имеет вид: где Λ 1 w = w xx и Λ w = wȳy. w tt = a Λ s [σŵ + 1 σw + σ ˇw] + f, 1.7 s=1 За счет своей симметрии относительно слоя j схема 1.7 обладает погрешностью аппроксимации Oτ + +, однако она не является экономичной, так как переход со слоя на слой требует слишком большого числа действий. Заметим, что для выражения, на которое действуют операторы Λ s уравнения 1.7, справедливо равенство: σŵ + 1 σw + σ ˇw = στ w tt + w, в правой части которое позволяет переписать уравнение 1.7 в виде: E στ a Λ s w tt = a Λ s w + f. 1.8 s=1 } {{ } B Рассмотрим приближенный факторизованный оператор B следующего вида: B = E στ a Λ 1 E στ a Λ = E στ a Λ 1 + Λ + σ τ 4 a 4 Λ }{{} 1 Λ. }{{} B Oτ 4 s=1 4

5 Операторы B и B отличаются на величину порядка Oτ 4. Таким образом, если в уравнении 1.8 заменить оператор B на оператор B, погрешность аппроксимации этим разностным уравнением исходного дифференциального уравнения не будет испорчена она останется равной Oτ ++. В результате замены B на B получаем факторизованную разностную схему: E στ a Λ 1 E στ a Λ w tt = a Λw + f, Λ = Λ 1 + Λ. 1.9 Исследовать схему 1.9 на устойчивость можно с помощью метода гармоник. При этом для множителей роста получаем следующее квадратное уравнение: 1 + 4σa τ sin α q 1 + 4σa τ sin β p λ pq λ pq + 1 = которое можно переписать в виде: λ pq 1 где введены обозначения = λ pq 4a τ sin α q γ 1 = a τ + sin β p γ 1 + γ 1 + σγ σγ sin α q, γ = a τ sin β p., λ pq + 1 = 0, 1.10 Условие λ pq 1 выполнено, если дискриминант уравнения 1.10 неположителен, то есть если справедливы неравенства: γ 1 + γ σγ σγ σγ 11 + σγ γ 1 + γ. Последнее неравенство заведомо выполнено при σ 1. Следовательно, как и в одномерном случае, схема 1.9 безусловно устойчива при σ 1. На практике целесообразно 4 [ 4 1 выбирать σ 4, 1 ], так чтобы вес 1 σ центрального слоя не был отрицателен. Добавляя к системе уравнений 1.9, рассматриваемых при j = 1,,..., J 1, n = 1,,..., N 1, m = 1,,..., M 1, разностную аппроксимацию начальных и граничных условий задачи 1.1, получаем для не разностную схему. Рассмотрим алгоритм ее решения. Введем вспомогательную функцию w 1 = E στ a Λ w tt. Тогда E στ a Λ 1 E στ a Λ w tt = a Λw + f, }{{} w 1 5

6 откуда для w 1 получаем уравнение E στ a Λ 1 w 1 = a Λw + f, n = 1,..., N 1, m = 1,..., M Для того чтобы при каждом фиксированном m = 1,,..., M 1 получить для неизвестных w 1 n,m полую систему уравнений, к уравнению 1.11 нужно добавить граничные условия для w 1 n,m при n = 0 и n = N. Получим их из граничных условий для функции w j n,m: 0,m = E στ a Λ w tt n=0 = E στ a Λ µ 1y m, t j+1 µ 1 y m, t j + µ 1 y m, t j 1 = µ τ 1,m, w 1 N,m = E στ a Λ w tt n=n = E στ a Λ µ y m, t j+1 µ y m, t j + µ y m, t j 1 = µ τ,m, w 1 где m = 1,..., M 1. В результате для w 1 n,m при каждом фиксированном m = 1,,..., M 1 приходим к системе линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей: w 1 0,m = µ 1,m, στ a w 1 n 1,m w 1 N,m = µ,m, 1 + στ a w 1 n,m + στ a w 1 n+1,m = +a wj n,m 1 w j n,m + w j n,m+1 { + f j n,m a wj n 1,m wn,m j + w j n+1,m + }, n = 1,..., N 1, 1.1 которая может быть решена методом прогонки. В результате решения системы 1.1 находим значения вспомогательной функции w 1 n,m для всех n = 0, 1,..., N и m = 1,,..., M 1. После того, как значения w 1 n,m найдены, рассмотрим уравнение E σa τ Λ w tt = w 1, n = 1,..., N 1, m = 1,..., M 1. Добавляя к нему граничные условия при m = 0 и m = M, при каждом фиксированном 6

7 n = 1,..., N 1 получаем систему: n,0 = µ 3 x n, t j+1, στ a n,m 1 + στ a 1 + στ a w j 1 n,m 1 w j n,m 1 + στ a n,m = µ 4x n, t j+1. n,m + στ a 1 + στ a { n,m+1 = τ w n,m+ 1 w j 1 n,m w j n,m + w j 1 n,m+1 w j n,m+1 }, m = 1,..., M 1, 1.13 Система 1.13 при каждом фиксированном n = 1,,..., N 1 решается прогонкой. После того, как n,m найдены при всех m = 0, 1,..., M, n = 1,,..., N 1, значения 0,m и N,m можно найти из граничных условий при x = 0 и x = l x. Пример реализации схемы «крест» и эволюционнофакторизованной схемы для уравнения колебаний в прямоугольнике Проиллюстрируем применение схемы «крест» и эволюционно-факторизованной безусловно устойчивой схемы на примере следующей начально-краевой задачи: u = 4 u, x 0,, y 0, 1, t 0, T ], t u u x=0 = 0, u x= = ty, u y=0 = 0, y = tx, y=1 πx πy u u t=0 = sin sin, t = xy. t=0.1 Задача.1 допускает аналитическое решение. Будем искать ее решение в виде суммы двух функций, одна из которых удовлетворяет неоднородным граничным условиям: ux, y, t = vx, y, t + qx, y, t, где q x=0 = 0, q x= = ty, q y=0 = 0, q y = tx. y=1 Этим условиям удовлетворяет, например, функция qx, y, t = txy. При этом для функции 7

8 vx, y, t получаем начально-краевую задачу с однородными граничными условиями: v = 4 v, x 0,, y 0, 1, t 0, T ], t v v x=0 = 0, v x= = 0, v y=0 = 0, y = 0, y=1 πx πy v v t=0 = sin sin, t = 0. t=0 Используя для ее решения метод разделения переменных, находим: v = cosπ t sin Следовательно, решение задачи.1 имеет вид: u = txy + cosπ t sin πx πy sin. Для численного решения задачи.1 введем равномерную сетку: x n = nh x, n = 0, 1,..., N, h x = N, y m = mh y, m = 0, 1,..., M, Mh y = 1 + h y h y = t j = jτ, j = 0, 1,..., J, τ = T J. πx πy sin.. 1 M 1/, Аппроксимируем начальные и граничные условия задачи. Граничные условия: w j 0,m = 0, w j N,m = t jy m, j = 0, 1,..., J, m = 0, 1,..., M, w j n,0 = 0, w j n,m wj n,m 1 h y = t j x n, j = 0, 1,..., J, n = 0, 1,...N. За счет выбора сетки по направлению y граничное условие Неймана при y = 1 аппроксимируется со вторым порядком погрешности аппроксимации. Начальные условия: w 1 n,m w 0 n,m τ при n = 0, 1,..., N, m = 0, 1,..., M. w 0 n,m = sin πxn πym sin, = x n y m + τ 4 u t=0 = x ny m τπ sin πxn πym sin, Схема «крест». Для устойчивости схемы «крест» будем задавать N и M произвольно, а число J интервалов по времени подбирать так, чтобы выполнялось условие T J 8

9 Например, пусть 1 J = 1 + round T + 1. Разностная аппроксимация уравнения колебаний в задаче.1 имеет вид: wn,m j+1 wn,m j + wn,m j 1 w j n+1,m wn,m j + w j n 1,m = 4 + wj n,m+1 wn,m j + w j n,m 1,.3 τ где n = 1,,..., N 1, m = 1,,..., M 1, j = 1,,..., J 1. Когда начальные условия заданы, при j = 1 в уравнении.3 неизвестными являются значения n,m, которые легко могут быть найдены по формуле w j wn,m j+1 = wn,m j wn,m j 1 + 4τ n+1,m wn,m j + w j n 1,m + wj n,m+1 wn,m j + w j n,m 1 в цикле при n = 1,,..., N 1, m = 1,,..., M 1. После этого можно найти значения 0,m, N,m, wj+1 n,0 и n,m, пользуясь граничными условиями: 0,m = 0, N,m = t j+1y m, m = 0, 1,..., M, n,0 = 0, n,m = wj+1 n,m 1 + h yt j+1 x n, n = 1,...N 1. Когда переход на слой j = завершен, аналогично можно найти значения n,m на всех оставшихся временных слоях. Результаты расчетов по схеме «крест» для нескольких моментов времени в случае, когда T = 1, N = 100 и M = 50, приведены на рис

10 Рис. : График аналитического решения задачи.1, ее численного решения по схеме «крест», а также погрешности в момент времени t = соответствует j = 50 10

11 Рис. 3: График аналитического решения задачи.1, ее численного решения по схеме «крест», а также погрешности в момент времени t = соответствует j =

12 Рис. 4: График аналитического решения задачи.1, ее численного решения по схеме «крест», а также погрешности в момент времени t = 1 соответствует j = J = 143 Эволюционно-факторизованная схема. При использовании эволюционно- факторизованной схемы переход со слоя j на слой j + 1 осуществляется в два этапа с использованием вспомогательной функции w 1 n,m. Прежде всего, получим для этой функции граничные условия, пользуясь тем, что в рассматриваемой задаче u x=0 = µ 1 y, t, u x= = µ y, t, где µ 1 y, t = 0, µ y, t = ty. Следовательно, в нашем случае µ 1,m = E 4στ Λ µ 1,tt = 0, µ,m = E 4στ Λ µ,tt = 0, так как µ 1 = 0 и µ,tt = y m j + 1τ jτ + j 1τ τ = 0. 1

13 Для функции w n,m 1 при каждом фиксированном m = 1,,..., M 1 получаем систему: w 1 0,m = 0, 4στ w 1 h n 1,m x w 1 N,m = στ w 1 n,m + 4στ + wj n,m 1 w j n,m + w j n,m+1 w 1 n+1,m = 4 w j n 1,m wn,m j + w j n+1,m +, n = 1,,..., N 1,.4 Решая систему.4 прогонкой в цикле по m, находим w 1 n,m при всех n = 0, 1,..., N, m = 1,,..., M 1. Переход на слой j + 1 осуществим, пользуясь уравнением E 4στ Λ w tt = w 1 и граничными условиями для функции n,m при m = 0 и m = M. В результате при каждом фиксированном n = 1,,..., N 1 получаем систему с трехдиагональной матрицей: n,0 = 0, 4στ h n,m 1 y + 4στ 1 + 8στ w j 1 n,m 1 w j n,m 1 + 4στ n,m = wj+1 n,m 1 + h yt j+1 x n. n,m + 4στ 1 + 8στ n,m+1 = τ w n,m 1 + w j 1 n,m w j n,m + w j 1 n,m+1 w j n,m+1, m = 1,,..., M 1,.5 Решая систему.5 методом прогонки в цикле по n, находим значения n,m при всех n = 1,,..., N 1 и m = 0, 1,..., M. При n = 0 и n = N значения функции n,m получаем из граничных условий: 0,m = 0, N,m = t j+1y m, m = 0, 1,..., M. Результаты численного решения задачи с помощью эволюционно-факторизованной схемы для тех же параметров сетки, что и в случае схемы «крест», представлены на рис

14 Рис. 5: График аналитического решения задачи.1, ее численного решения с помощью эволюционно-факторизованной схемы, а также погрешности в момент времени t = соответствует j = 50 14

15 Рис. 6: График аналитического решения задачи.1, ее численного решения с помощью эволюционно-факторизованной схемы, а также погрешности в момент времени t = соответствует j =

16 Рис. 7: График аналитического решения задачи.1, ее численного решения с помощью эволюционно-факторизованной схемы, а также погрешности в момент времени t = 1 соответствует j = J =

17 3 Задания для самостоятельного решения Решите начально-краевую задачу u = u + x + y, x 0, 1, y 0, 1, t 0, 1], t u x = t, u x=1 = t 1 + y, x=0 u y = t, u y=1 = t x + 1, y=0 πx 3πy u t=0 = 5 cos cos, u t = 0 t=0 аналитически и численно с помощью схемы крест и эволюционно-факторизованной схемы. Сравните результаты. 17

1 Метод переменных направлений для уравнения теплопроводности

1 Метод переменных направлений для уравнения теплопроводности Экономичные разностные схемы для многомерных задач математической физики. Схема переменных направлений для начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности в прямоугольнике. Как уже было показано

Подробнее

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы.

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы. Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы. Рассмотрим несколько вариантов разностной аппроксимации линейного уравнения колебаний:

Подробнее

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы.

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы. Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы. 1 Разностная аппроксимация уравнения теплопроводности Рассмотрим различные варианты разностной

Подробнее

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач.

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных

Подробнее

Экономичные разностные схемы для многомерных задач математической физики

Экономичные разностные схемы для многомерных задач математической физики Экономичные разностные схемы для многомерных задач математической физики Как известно, явные схемы, в которых оператор, содержащий производные по пространственным координатам, аппроксимируется на слое,

Подробнее

Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса.

Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса. Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса. Для численного решения нелинейных задач в различных ситуациях используют как линейные, так и нелинейные схемы. Устойчивость соответствующих

Подробнее

Уравнения переноса. Схемы «бегущего» счета

Уравнения переноса. Схемы «бегущего» счета Уравнения переноса. Схемы «бегущего» счета Рассмотрим ряд наиболее часто используемых разностных схем, аппроксимирующих начально-краевые задачи для линейного уравнения переноса: u t + c(x, t) u x = f(x,

Подробнее

Простейшие способы исследования разностных схем на устойчивость

Простейшие способы исследования разностных схем на устойчивость Простейшие способы исследования разностных схем на устойчивость Напомним, что разностная схема L h y h = ϕ h (x), x ω h, l h y h = χ h (x), x γ h, аппроксимирующая краевую или начально-краевую задачу Lu

Подробнее

Понятие разностной схемы. Аппроксимация. Устойчивость. Сходимость.

Понятие разностной схемы. Аппроксимация. Устойчивость. Сходимость. Понятие разностной схемы. Аппроксимация. Устойчивость. Сходимость. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений

Подробнее

Спектральный анализ разностных схем

Спектральный анализ разностных схем Спектральный анализ разностных схем 1 Исследование схем на устойчивость по начальным данным методом гармоник Одним из достаточно простых и эффективных способов исследования линейных разностных схем на

Подробнее

Однородные разностные схемы. Консервативность.

Однородные разностные схемы. Консервативность. Однородные разностные схемы. Консервативность. Достаточно часто на практике встречаются задачи, которые содержат дифференциальные операторы с переменными коэффициентами. При построении разностных схем

Подробнее

20. Метод установления решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Схема переменных направлений

20. Метод установления решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Схема переменных направлений Варианты заданий 0. Метод установления решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Схема переменных направлений 0.1. Постановка задачи Рассматривается задача Дирихле для эллиптического уравнения Lu

Подробнее

Предварительные сведения теории разностных схем

Предварительные сведения теории разностных схем Предварительные сведения теории разностных схем 1 Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций Получим ряд соотношений, которые в дальнейшем будем использовать при исследовании

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Устойчивость решения задачи Коши по начальным данным и правой части Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области

Подробнее

Методы решения сеточных уравнений

Методы решения сеточных уравнений Методы решения сеточных уравнений 1 Прямые и итерационные методы В результате разностной аппроксимации краевых и начально-краевых задач математической физики получаются СЛАУ матрицы которых обладают следующими

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ. ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ (конспект лекций) Преподаватель: Игнатьев Михаил Юрьевич

ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ. ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ (конспект лекций) Преподаватель: Игнатьев Михаил Юрьевич ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ. ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ конспект лекций) Преподаватель: Игнатьев Михаил Юрьевич Саратов, 203 205 Уравнения в частных производных Решение одномерного уравнения теплопроводности с постоянными

Подробнее

Уравнения параболического типа Уравнение теплопроводности. Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван

Уравнения параболического типа Уравнение теплопроводности. Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван Уравнения параболического типа Уравнение теплопроводности Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван Одномерное уравнение теплопроводности Уравнение теплопроводности Типичный представитель уравнений параболического

Подробнее

1) Схема переменных направлений

1) Схема переменных направлений 4. Экономичные разностные схемы Схемы применяемые для решения многомерных задач и сочетающие в себе достоинства явных и неявных схем называются экономичными. Экономичная разностная схема: )является безусловно

Подробнее

4. Экономичные разностные схемы.

4. Экономичные разностные схемы. 4. Экономичные разностные схемы. Схема переменных направлений. Схемы применяемые для решения многомерных задач и сочетающие в себе достоинства явных и неявных схем называются экономичными. Экономичная

Подробнее

А.А. Дегтярев ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. Тесты для самоконтроля знаний студентов

А.А. Дегтярев ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. Тесты для самоконтроля знаний студентов МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА

Подробнее

Численное решение смешанной краевой задачи явным методом сеток. Методическая разработка по курсу Численные методы

Численное решение смешанной краевой задачи явным методом сеток. Методическая разработка по курсу Численные методы Численное решение смешанной краевой задачи явным методом сеток Методическая разработка по курсу Численные методы. Постановка задачи Г.К. Измайлов Решить методом сеток смешанную краевую задачу для дифференциального

Подробнее

Численное решение задач с уравнениями параболического типа

Численное решение задач с уравнениями параболического типа Численное решение задач с уравнениями параболического типа. Постановка задачи в общем виде.. Разностные схемы для одномерного линейного параболического уравнения. 3. Схема для уравнения теплопроводности

Подробнее

Методы решения сеточных уравнений

Методы решения сеточных уравнений Методы решения сеточных уравнений 1 Прямые и итерационные методы В результате разностной аппроксимации краевых задач математической физики получаются СЛАУ, матрицы которых обладают следующими свойствами:

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ , (1) Простейшая прямая задача состоит в нахождении функции, удовлетворяющей уравнению (1) и условиям

ВВЕДЕНИЕ , (1) Простейшая прямая задача состоит в нахождении функции, удовлетворяющей уравнению (1) и условиям РЕФЕРАТ Выпускная квалификационная работа по теме «Численная идентификация правой части параболического уравнения» содержит 45 страниц текста 4 приложения 6 использованных источников 4 таблицы ОБРАТНАЯ

Подробнее

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Подробнее

ГЛАВА: Метод конечных разностей. Лекция 3: Разностные схемы аппроксимаций ДУ в ЧП (6 слайдов)

ГЛАВА: Метод конечных разностей. Лекция 3: Разностные схемы аппроксимаций ДУ в ЧП (6 слайдов) ГЛАВА: Метод конечных разностей. Лекция 3: Разностные схемы аппроксимаций ДУ в ЧП (6 слайдов) Слайд 1: Построение разностных схем. В исходном дифференциальном уравнении f (x, y,, x, y, xx,...) = 0 применительно

Подробнее

5. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

5. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 5. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ В настоящем разделе рассматривается метод конечных разностей который является одним из наиболее распространенных численных методов

Подробнее

19. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа. Итерационные методы решений сеточных уравнений

19. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа. Итерационные методы решений сеточных уравнений Варианты заданий 9. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа. Итерационные методы решений сеточных уравнений 9.. Постановка задачи Рассматривается задача Дирихле для эллиптического уравнения:

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Лабораторные работы по дисциплине «Численные методы» для группы АК3 Лектор: доцент кафедры ФН-11, Кутыркин В.А.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Лабораторные работы по дисциплине «Численные методы» для группы АК3 Лектор: доцент кафедры ФН-11, Кутыркин В.А. Оглавление Введение... Лабораторная работа Погрешности при решении СЛАУ... 3 Лабораторная работа Метод наименьших квадратов и модели регрессии... 7 Лабораторная работа 3 Методы простой итерации и Зейделя...

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика 3» ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика 3» ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика» ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ по уравнениям математической физики для студентов строительных

Подробнее

Решение дифференциальных уравнений в частных производных

Решение дифференциальных уравнений в частных производных Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского Факультет Вычислительной математики и кибернетики Параллельные численные методы Решение дифференциальных уравнений в частных производных При

Подробнее

8. Критерии алгоритмов решения ОДУ

8. Критерии алгоритмов решения ОДУ 8. Критерии алгоритмов решения ОДУ 1 8. Критерии алгоритмов решения ОДУ Теперь, когда мы уже чуть больше знаем об алгоритмах решения задач Коши для ОДУ, продолжим разговор об их классификации. Остановимся

Подробнее

Способы учета граничных условий I рода при решении задач методом конечных элементов

Способы учета граничных условий I рода при решении задач методом конечных элементов УДК 519.624.1 Способы учета граничных условий I рода при решении задач методом конечных элементов Введение Корчагова В.Н., студент Россия, 105005, г. Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана кафедра «Прикладная математика»

Подробнее

5. Метод Эйлера: явные разностные схемы

5. Метод Эйлера: явные разностные схемы 5. Метод Эйлера: явные разностные схемы 5. Метод Эйлера: явные разностные схемы Вернемся к модели взаимодействия световых пучков (см. 2) и рассмотрим наиболее универсальный метод решения краевых задач

Подробнее

Уравнение Лапласа в декартовой системе координат.

Уравнение Лапласа в декартовой системе координат. Линейные и нелинейные уравнения физики Уравнение Лапласа в декартовой системе координат. Старший преподаватель кафедры ВММФ Левченко Евгений Анатольевич 25. Разделение переменных в уравнении Лапласа 511

Подробнее

Воронежская государственная технологическая академия, Воронеж

Воронежская государственная технологическая академия, Воронеж ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 009. Т. 50, N- 6 19 УДК 59.; 5; 517.946 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О КРУЧЕНИИ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ s-угольного СЕЧЕНИЯ МЕТОДОМ РАСШИРЕНИЯ ГРАНИЦ А. Д. Чернышов Воронежская государственная

Подробнее

1 Сведение неоднородных краевых условий к однородным.

1 Сведение неоднородных краевых условий к однородным. 1 Сведение неоднородных краевых условий к однородным. Рассмотрим неоднородную начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности с неоднородными краевыми условиями первого рода. u t a 2 u xx = fx,

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого

Подробнее

МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ С ЭКСТРАПОЛЯЦИЕЙ ПО ВРЕМЕНИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ЗАДАЧ СО СМЕШАННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ С ЭКСТРАПОЛЯЦИЕЙ ПО ВРЕМЕНИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ЗАДАЧ СО СМЕШАННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Вычислительные технологии Том 1 1996 МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ С ЭКСТРАПОЛЯЦИЕЙ ПО ВРЕМЕНИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ЗАДАЧ СО СМЕШАННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ В. Ф. Формалев Московский государственный авиационный институт

Подробнее

Уравнения эллиптического типа. Уравнение Пуассона. Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван

Уравнения эллиптического типа. Уравнение Пуассона. Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван Уравнения эллиптического типа. Уравнение Пуассона Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван Задача Дирихле для уравнения Пуассона Уравнение Пуассона Чаще всего на практике уравнения эллиптического типа представлены

Подробнее

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ. Лекторы: проф. Б. И. Квасов, проф. Г. С. Хакимзянов. 5 6 семестры

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ. Лекторы: проф. Б. И. Квасов, проф. Г. С. Хакимзянов. 5 6 семестры МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ Лекторы: проф. Б. И. Квасов, проф. Г. С. Хакимзянов 5 6 семестры 1. Математические модели и вычислительный эксперимент. Классификация уравнений математической физики. Примеры корректных

Подробнее

9. Вопросы устойчивости и численной реализации решения задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений и систем

9. Вопросы устойчивости и численной реализации решения задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений и систем Варианты задания 9. Вопросы устойчивости и численной реализации решения задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений и систем 9.1. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го

Подробнее

ГЛАВА: Метод конечных разностей. Лекция 5: Устойчивость разностных схем (10 слайдов, 6 рисунков)

ГЛАВА: Метод конечных разностей. Лекция 5: Устойчивость разностных схем (10 слайдов, 6 рисунков) ГЛАВА: Метод конечных разностей. Лекция 5: Устойчивость разностных схем (10 слайдов, 6 рисунков) Слайд 1: Классификация РС по типам устойчивости. По типам устойчивости выделяют следующие РС: абсолютно

Подробнее

Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè

Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Задача о нагреве стержня, вывод уравнения теплопроводности. Краевые условия. Метод Фурье решения уравнения теплопроводности для бесконечного стержня.

Подробнее

Решение дифференциальных уравнений в частных производных

Решение дифференциальных уравнений в частных производных Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского Факультет Вычислительной математики и кибернетики Решение дифференциальных уравнений в частных производных При поддержке компании Inel Баркалов

Подробнее

Г. С. Хакимзянов, С. Г. Черный

Г. С. Хакимзянов, С. Г. Черный ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Механико-математический факультет Г. С. Хакимзянов, С. Г. Черный МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ Часть 3. Численные методы решения задач

Подробнее

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ... Задача Коши для одного обыкновенного дифференциального уравнения. Рассматривается задача Коши

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

= u. u(x) dx и u(x) dx, u ρρ (1, θ) dθ. u(x) = 0, x := (x 1, x 2 ) B1(0);

= u. u(x) dx и u(x) dx, u ρρ (1, θ) dθ. u(x) = 0, x := (x 1, x 2 ) B1(0); Самостоятельная работа 2 Задание 1. Гармонические функции. 1. Найти все гармонические в R 2 функции u(x, y), для которых u y (x, y) = 3xy 2 x 3. 2. Найти все гармонические в R n функции, принадлежащие

Подробнее

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход.

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход. Метод Ритца Выделяют два основных типа методов решения вариационных задач. К первому типу относятся методы, сводящие исходную задачу к решению дифференциальных уравнений. Эти методы очень хорошо развиты

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Операторно-разностные схемы 1.1 Введение Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области G R m, и пусть u(t) абстрактная

Подробнее

Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики. 2-е изд. -М.: Научный мир, с.

Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики. 2-е изд. -М.: Научный мир, с. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики. 2-е изд. -М.: Научный мир, 2003.-316 с. Книга является учебным пособием по численным методам решения задач математической физики, предназначенным

Подробнее

Направление Компьютерные и информационные науки. Профиль «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА»

Направление Компьютерные и информационные науки. Профиль «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА» Направление 02.06.01 Компьютерные и информационные науки Профиль 01.01.07 «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА» 1. Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции. Первообразная непрерывной функции. 2.

Подробнее

1 Метод Фурье для эллиптического уравнения. 717 a).случай однородных краевых условий по x. Найти решение u(x, t) краевой задачи

1 Метод Фурье для эллиптического уравнения. 717 a).случай однородных краевых условий по x. Найти решение u(x, t) краевой задачи 1 Метод Фурье для эллиптического уравнения. 717 a).случай однородных краевых условий по x. u(, y) = u x (, y) =, y (, s), u(x, ) =, u(x, s) = f(x), x (, ). (1.1) Шаг 1. Будем искать решение уравнения u

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Самарский А. А.

ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Самарский А. А. ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Самарский А. А. Книга написана на основе курса лекций, читавшихся автором па факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ, и предназначается для ознакомления с началами

Подробнее

Дифференциально-разностный метод исследования процессов диффузии материалов.

Дифференциально-разностный метод исследования процессов диффузии материалов. УДК 6780153083 Дифференциально-разностный метод исследования процессов диффузии материалов Мартышенко ВА (Военная академия радиационной, химической и бактериологической защиты и инженерных войск) Процессы

Подробнее

5. Теор. задача. Доказать, что среди явных многошаговых методов ( k=0

5. Теор. задача. Доказать, что среди явных многошаговых методов ( k=0 Прием заданий производится как правило в часы семинарских занятий ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА 3 курс 6 семестр 6 Жесткие ОДУ Участки решения характеризующиеся быстрым его изменением Понятие методов Гира

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

2. Разностные схемы Разностные схемы

2. Разностные схемы Разностные схемы 2. Разностные схемы 1 2. Разностные схемы В качестве численных алгоритмов решения уравнений в частных производных наиболее часто используют метод сеток (разностные схемы). Его математический смысл чрезвычайно

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

3.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ задано множество несовпадающих точек. (интерполяционных узлов), в которых известны значения функции

3.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ задано множество несовпадающих точек. (интерполяционных узлов), в которых известны значения функции ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЧИСЛЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ В настоящем разделе рассмотрены задачи приближения функций с помощью многочленов Лагранжа и Ньютона с использованием сплайн интерполяции

Подробнее

7. Алгоритмы Рунге-Кутты

7. Алгоритмы Рунге-Кутты 7. Алгоритмы Рунге-Кутты 1 7. Алгоритмы Рунге-Кутты Наиболее эффективным и часто использующемся методом решения ОДУ остается метод Рунге-Кутты. Большинство расчетов задач Коши для ОДУ, которые не являются

Подробнее

Об устойчивости разностных схем

Об устойчивости разностных схем Доклады Академии наук СССР 963 Том 9 3 А Н Тихонов А А Самарский Об устойчивости разностных схем Неоднократно высказывалась гипотеза что если разностная схема устойчива в классе постоянных коэффициентов

Подробнее

(5.1) (5.2) (5.3) (5.4) t x u

(5.1) (5.2) (5.3) (5.4) t x u 5. Расщепление потоков Для того, чтобы лучше понять разностное представление членов, учитывающих конвективный перенос, рассмотрим упрощенную задачу: ) вязкие члены не учитываются ) течение является одномерным

Подробнее

ИТЕРАЦИОННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

ИТЕРАЦИОННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ИТЕРАЦИОННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Вабищевич П.Н. 1, Васильев В.И. 2 1 Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН ул. Большая Тульская д.52, 115191 Москва,

Подробнее

Численные методы Тема 2. Интерполяция

Численные методы Тема 2. Интерполяция Численные методы Тема 2 Интерполяция В И Великодный 2011 2012 уч год 1 Понятие интерполяции Интерполяция это способ приближенного или точного нахождения какой-либо величины по известным отдельным значениям

Подробнее

ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ

ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ доцент Александр Иванович Черных Программа курса лекций (7-й семестр, лекции 36 ч., семинары 36 ч., диф. зач.) 1. Решение уравнений f(x) = 0. Методы деления пополам, простых

Подробнее

2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Общие замечания

2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Общие замечания . ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.. Общие замечания Математическое моделирование многих задач механики, физики, химии и других областей науки и техники

Подробнее

РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Н.Н. Меркулова М.Д. Михайлов РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

Таширова Екатерина Евгеньевна

Таширова Екатерина Евгеньевна Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина» На правах рукописи

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

О. А. Махинова СВОЙСТВА КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОГО АНАЛОГА ОДНОМЕРНОГО ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА НА ГРАФЕ

О. А. Махинова СВОЙСТВА КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОГО АНАЛОГА ОДНОМЕРНОГО ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА НА ГРАФЕ ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 10. 01. Вып. 1 УДК 517.95 О. А. Махинова СВОЙСТВА КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОГО АНАЛОГА ОДНОМЕРНОГО ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА НА ГРАФЕ 1. Введение. В последнее время в естествознании

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Mah-N.Ru Общероссийский математический портал Г. И. Шишкин, Л. П. Шишкина, Схема улучшенного порядка точности для сингулярно возмущенного параболического уравнения реакции-диффузии на основе метода декомпозиции

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач.

Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач. Московский физико-технический институт Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач. Методическое пособие по подготовке к олимпиадам.

Подробнее

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ И ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ И ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика

Подробнее

Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Постановка задачи Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение сокращенно ОДУ первого порядка f,, [,b ] 6 с начальным условием

Подробнее

Численные методы вычисления определенного интеграла

Численные методы вычисления определенного интеграла Глава 1 Численные методы вычисления определенного интеграла Цель работы изучение численных методов интегрирования и их практическое применение для приближенного вычисления однократных интегралов. Продолжительность

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Сборник задач для упражнений по курсу:

Сборник задач для упражнений по курсу: МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский физико-технический институт (государственный университет) Сборник задач для упражнений по курсу: Основы вычислительной математики Москва

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С НЕЛОКАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ К. Б. Сабитов, Н. В. Мартемьянова

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С НЕЛОКАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ К. Б. Сабитов, Н. В. Мартемьянова Сибирский математический журнал Май июнь, 1. Том 53, 3 УДК 517.95 ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С НЕЛОКАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ К. Б. Сабитов, Н. В. Мартемьянова Аннотация.

Подробнее

Контрольная работа 1. дифференциальному уравнению первого порядка. Р е ш е н и е. Найдем первую производную от заданной функции

Контрольная работа 1. дифференциальному уравнению первого порядка. Р е ш е н и е. Найдем первую производную от заданной функции Контрольная работа 1 Задание 1 Показать, что функция удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка Р е ш е н и е Найдем первую производную от заданной функции ( После подстановки

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Минимаксные задачи. 2 cos x + 1 = 3.

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Минимаксные задачи. 2 cos x + 1 = 3. И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Минимаксные задачи Начнём с примера. Пусть требуется решить уравнение 3 x +1 = cos x + 1. 1) Одновременное присутствие показательной и тригонометрической

Подробнее

Метод конечных разностей

Метод конечных разностей Решение задач 4 6 1 Метод конечных разностей Пусть надо решить дифференциальное уравнение y'' 0,5y + 0,5xy = 2x с краевыми (граничными) условиями y'(1) = 0,5 2y(1,3) y' (1,3) = 2 1) Диапазон изменения

Подробнее

Метод конечных элементов

Метод конечных элементов Метод конечных элементов 1. Область применения МКЭ. 2. Основная концепция МКЭ. 3. Преимущества МКЭ. 4. Разбиение расчётной области на конечные элементы. 5. Способ аппроксимации искомой функции в конечном

Подробнее

МАГИСТЕРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ

МАГИСТЕРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ Московский энергетический институт (технический университет) Институт автоматики и вычислительной техники Кафедра математического моделирования МАГИСТЕРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ Семейства разностных схем с приближенными

Подробнее

и x 1x 2, в частности сумму одинаковых

и x 1x 2, в частности сумму одинаковых Тема Квадратное уравнение Формулы Виета Два алгебраических выражения, соединенных знаком «=», образуют равенство Равенство, справедливое при всех допустимых значениях входящих в него переменных, называется

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Математика и теоретическая механика» Методические рекомендации

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Mat-Net.Ru Общероссийский математический портал О. А. Махинова Свойства конечно-разностного аналога одномерного оператора Лапласа на графе Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 10. Прикл. матем. Информ. Проц.

Подробнее

Введение в численные методы решения задач гиперболического типа. МФТИ 27 августа 2012 А.И.Лобанов

Введение в численные методы решения задач гиперболического типа. МФТИ 27 августа 2012 А.И.Лобанов Введение в численные методы решения задач гиперболического типа МФТИ 27 августа 2012 А.И.Лобанов Численные методы Конечные разности Производные по тем или иным правилам заменяются разностными отношениями

Подробнее

Локальная теорема Коши Пикара.

Локальная теорема Коши Пикара. Локальная теорема Коши Пикара. Теорема (о существовании и единственности локального решения). Пусть дана задача Коши x = f(t, x) x(t 0 ) = x 0, (1) где правая часть f(t, x) определена и непрерывна в прямоугольнике

Подробнее

Численное решение уравнений эллиптического типа на неструктурированных сетках

Численное решение уравнений эллиптического типа на неструктурированных сетках Численное решение уравнений эллиптического типа на неструктурированных сетках Кошкина Алиса Александровна Томский Государственный университет (Томск), Россия alsakoskna@yandex.ru Введение Бурное развитие

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

Уравнение Лапласа в полярной системе координат.

Уравнение Лапласа в полярной системе координат. Линейные и нелинейные уравнения физики Уравнение Лапласа в полярной системе координат. Старший преподаватель кафедры ВММФ Левченко Евгений Анатольевич 518 Глава 5. Уравнения эллиптического типа 25.2. Разделение

Подробнее