Методические указания к контрольным работам

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Методические указания к контрольным работам"

Транскрипт

1 Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости имеет вид: ; M ( ) ( ) M Координаты точки ( ) M на ; (.) M в M 0 0; 0, делящей отрезок M отношении λ 0 (т.е. точка M удовлетворяет условию M M : MM λ ), находятся по формулам λ λ 0, 0. (.) λ λ В частности, при делении отрезка пополам, т.е. при λ, получаем формулы для нахождения координат середины отрезка: 0, 0 (.) Формулы преобразования прямоугольных координат при параллельном переносе осей координат имеют вид: (.), где и координаты нового начала O в старой системе координат. Формулы обратного преобразования имеют вид: (.5). Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид: A B C 0, (.6) где A и B одновременно не равны нулю.

2 Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k tgα, где α угол наклона прямой к положительному направлению оси ОХ, имеет вид: k. (.7) Прямая с угловым коэффициентом k пересекает ось ОУ в точке, ордината которой равна. Угловой коэффициент прямой, заданной двумя точками M ( ; ) и M ( ; ), вычисляется по формуле k M, M. (.8) Уравнение прямой в отрезках называется уравнением вида, (.9) где и длины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях, взятые с соответствующими знаками. Уравнение прямой, проходящей через точку M 0 ( 0; 0) и имеющей угловой коэффициент k, записывается в так: 0 k( 0 ). (.0) Пучком прямых называется совокупность прямых плоскости, проходящих через одну и ту же точку M 0 центр пучка. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки M ( ; ) и M ( ; ), имеет вид:. (.) OX ( ) Если точки M и M лежат на прямой, параллельной оси, то уравнение прямой записывается в виде ; M лежат на прямой, параллельной оси если точки M и OY ( ), то уравнение прямой записывается в виде. Условие перпендикулярности двух прямых, угловые коэффициенты которых соответственно равны k и k, состоит

3 в выполнении соотношения k k 0 или k. (.) k Условие параллельности двух прямых, угловые коэффициенты которых k и k, имеет вид: k k. (.) Нормальным уравнением прямой называется уравнение вида cos α siα p 0, (.) где p длина перпендикуляра, проведенного из начала координат к данной прямой, а α угол, образованный этим перпендикуляром с осью OX. Расстояние от точки M 0 ( 0; 0) до прямой A B C 0 находится по формуле A0 B0 c d. (.5) A B Под углом между двумя прямыми понимается один из двух смежных углов, образованных при их пересечении. Тангенс угла ϕ между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых соответственно равны k и k, вычисляется по формуле tg k k ϕ ±, (6) kk причем знак «плюс» соответствует острому углу ϕ, а знак «минус» тупому. Пример. Треугольник задан своими вершинами ( ; ) B ( ;), C ( ;). Найти: ) периметр треугольника ABC ; ) уравнения сторон треугольника; ) уравнение медианы CM ; ) уравнение высоты CD ; 5) величину угла CBA ; 6) площадь треугольника. A, 5

4 6 Решение.. Воспользовавшись формулой (.), находим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 6 5 ; 5 5; CA BC AB Итак, периметр треугольника ABC P.. Для отыскания уравнений сторон треугольника используем формулу (.): : AB : BC : AC.. Для отыскания уравнения медианы CM прежде находим координаты точки M середины отрезка AB. Используем формулу (.)., M M Итак, точка ; M. Далее используем формулу (.). Напишем уравнение CM : Находим угловой коэффициент прямой AB, используя при этом формулу (.8): AB k. Следовательно, угловой

5 коэффициент прямой CD, перпендикулярной к AB, находим, используя условие перпендикулярности (.): k CD. k AB Наконец, находим уравнение высоты, используя формулу (.0): CD 5 ( ) Для определения угла CBA треугольника следует использовать формулу (.6). С этой целью найдем угловой 5 коэффициент прямой CB : k CB. Угловой коэффициент стороны AB треугольника найден ранее: k AB. Находим величину тангенса угла CBA : 8 tg CBA ; 9 tgϕ ϕ CBA rctg. 6. Для отыскания площади треугольника имеется несколько вариантов. Площадь треугольника найдем, используя известную формулу S h. Основанием треугольника выберем отрезок AB, длина которого AB 5. Вычислим высоту треугольника, т.е. CD. Находим расстояние от точки C ( ;5) до прямой AB : 5 0, используя формулу (.5): ( ) ( 5) ( ) h CD. 8 5 Итак, находим S ABC 5 9( кв. ед. ). 7

6 Площадь ABC можно найти и по координатам вершин треугольника. Пусть A (, ), B(, ), C(, ), тогда площадь треугольника находим по формуле S ABC [( )( ) ( )( ) ]. (.7) 8 Тема. Кривые второго порядка Уравнение окружности с центром в точке O ( ; ) радиусом R имеет вид ( ) ( ) R и. (.) Уравнение (.) называют каноническим уравнением окружности. Общее уравнение окружности задается уравнением A A B C D 0. (.) Приведя уравнение (.) к уравнению (.) путем тождественных преобразований, определяем координаты центра и радиус окружности. В частном случае, если O ( 0;0) (центр окружности совпадает с началом координат системы), имеем уравнение окружности с центром в начале координат: R. (.) Эллипс есть множество точек, сумма расстояний которых от двух фиксированных точек, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная (а), бóльшая, чем расстояние между фокусами (с). Каноническое уравнение эллипса имеет вид:, (.) где c. Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине его большой оси, т.е. c E, (.5) очевидно, что 0 < E <.

7 Если центр симметрии эллипса расположен в точке O ( 0; 0), то каноническое уравнение эллипса имеет вид: ( ) ( ) 0 0. (.6) Если эллипс, определяемый уравнением вида (.), расположен так, что его фокусы лежат на оси ОУ, то тогда > и большой осью служит отрезок, а малой осью отрезок длиной, расположенный на оси OX. Эксцентриситет такого эллипса вычисляется по формуле c E, (.7) где c. Гиперболой называется множество точек, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек,, меньшая, называется фокусами. Это величина постоянная ( ) чем расстояние между фокусами ( c). Простейшее (каноническое) уравнение гиперболы имеет вид:, (.8) где c. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к ее действительной оси: c E. (.9) Очевидно, что E >. Уравнения асимптот гиперболы имеют вид: и. (.0) Если мнимая ось гиперболы направлена по оси OX и имеет длину, а действительная ось длиной направлена по оси OY, то уравнение гиперболы имеет вид: 9

8 . (.) Эксцентриситет такой гиперболы вычисляется по формуле c E. Ее асимптоты те же, что и у гиперболы (.8). Гиперболы (.8) и (.0) называются сопряженными. Гипербола называется равносторонней, если ее действительная и мнимая оси равны, т.е.. Параболой называется множество точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой параболы. Если p расстояние от фокуса до директрисы (параметр параболы), то уравнение параболы имеет вид, зависящий от направления ветвей и расположения оси симметрии.. p.. p.. p.. p. Уравнение c, 0 определяет уравнение параболы, которое можно построить методом элементарных преобразований. Пример. Составить уравнение эллипса, имеющего общие фокусы с гиперболой, если эксцентриситет его равен 5. Решение. Вычислим координаты фокусов гиперболы; приведем уравнение гиперболы к каноническому виду:, Следовательно,,, c c 6, c 6, т.е. F( ;0), ( 6;0). 6 f 0

9 Так как эксцентриситет эллипса c 0. 5 Итак, c Ответ: c E 5, то Тема. Определители. Решение систем уравнений методом Крамера Определителем (минором) второго порядка называется число, определяемое равенством (.), Числа, называются элементами определителя. Элементы, образуют главную диагональ, а элементы, побочную. Определителем третьего порядка называется число, определяемое равенством Минором элемента ij (.) определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, получаемый вычеркиванием i -й строки и j -й столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Алгебраическим дополнением i j его минор, умноженный на ( ), т.е. i j A ij ( ) M ij A ij элемента ij называется. (.).

10 Основные свойства определителей:. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить на столбцы с теми же номерами.. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет свой знак.. Общий множитель всех элементов какой-либо строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя.. Если некоторая строка (столбец) определителя целиком состоит из нулей, то определитель равен нулю. 5. Если элементы какой-либо строки (столбца) определителя пропорциональны соответствующим элементам другой строки (столбца), то определитель равен нулю. 6. Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) определителя есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, отличающихся от данного определителя только i -й строкой (столбцом); i -я строка (столбец) одного из этих определителей состоит из первых слагаемых, другого определителя из вторых слагаемых. 7. Определитель не изменится, если к элементам какойлибо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любой общий множитель. 8. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения. 9. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными (.) при условии, что главный определитель системы 0 имеет единственное решение, которое находится по формулам

11 Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными,, при условии, что главный определитель системы 0, ;. (.5) имеет единственное решение:,,, где вспомогательные определители имеют вид:,,. 5 Пример. Решить систему уравнений. Решение. Главный определитель системы , поэтому система имеет единственное решение, которое находим по формулам (.5): i

12 8 70,. Ответ: ;. В заключение приведем теорему о решении линейных систем. Пусть задана система K, K, (.6) K K.. Если главный определитель системы K K K K 5 0, то система (.6) называется совместной, имеющей единственное решение, которое находят по формулам Крамера: k k, k,, K,, (.7) где k вспомогательные определители.. Если 0 и существует хотя бы один из вспомогательных определителей, равный нулю, то система (.6) называется несовместной и решений не имеет.. Если K 0, то система (.6) называется совместной, имеющей бесконечное множество решений. Тема. Векторы. Операции над векторами Вектор это прямолинейный отрезок, у которого различают начало и конец. Вектор будем обозначать стрелкой:

13 r M M, где M начало вектора, а его конец M. Длина вектора M M обозначается через M M. Если длина вектора равна единице, то он называется единичным вектором, или ортом. Свойства сложения векторов:... c c Свойства умножения вектора на число: λ µ λ µ.. ( ). µ ( λ µ ) λ.. λ λ λ.. 0 λ 0 0. Свойства проекций вектора на ось:. пр L cos ϕ, где ϕ угол между вектором и осью L... пр L прl прl. прl λ λ прl. 5

14 Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними: 6 Свойства скалярного произведения: cosϕ. (.)... c c c.. λ λ.. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. 5. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины:. Пусть векторы и заданы в координатном виде: i j k { ; ; }; i j k ; ; { }, тогда скалярное произведение векторов находим по формуле (.) косинус угла между ними по формуле cosϕ. (.) Условие коллинеарности двух ненулевых векторов и заключается в пропорциональности соответствующих координат: c. (.) c Условие перпендикулярности двух ненулевых векторов: 0. (.5)

15 Пусть вектор l { ; ; } образует с осями координат углы α, β, γ. Направляющими косинусами вектора l называются косинусы этих углов, т.е. величина cos α, cosβ, cosγ ; они находятся с помощью следующих соотношений: cosα ; cosβ ; (.6) cosγ. Векторным произведением вектора на вектор называют такой вектор c, который строится по следующему правилу:. Вектор c перпендикулярен векторам и и направлен таким образом, что кратчайший поворот от к виден из его конца совершающимся против часовой стрелки.. Длина вектора c равна произведению длин векторов и на синус угла ϕ между ними:. c siϕ. Векторное произведение на обозначается так: Свойства векторного произведения:.. c c c.. λ λ.. 7

16 . Векторное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны. Из определения векторного произведения следует siϕ, (.7) т.е. модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. При вычислении координат вектора c пользуются формулой i. (.8) Смешанным произведением трех векторов {, },, c, произведение: j l называется их векторно-скалярное c. (.9) Три ненулевых вектора,, c, заданные своими координатами, компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю. Объем параллелепипеда, построенного на трех ненулевых некомпланарных векторах, численно равен модулю смешанного произведения этих векторов. Следовательно, объем треугольной пирамиды (тетраэдра), простроенной на трех ненулевых векторах, выходящих из одной вершины, вычисляется по формуле V тетр. c. (.0) 6 8

17 Пример. Найти объем тетраэдра с вершинами в точках ; ;0 ; ; ; ; D ; 0;. A ( ), B ( ), C ( ), ( ) AB Решение. Рассмотрим векторы { ; ; } AC (.0), находим: AD { ; 0; }, c { ; ; } V тетр ( куб. ед. ). 6 6,. Используя формулу 0 Тема 5. Плоскость и прямая в трехмерном пространстве Если в пространстве произвольно выбрана прямоугольная декартова система координат, то всякое уравнение первой степени относительно текущих координат,, A B C D 0, (5.) где A, B, C одновременно не равны нулю, определяет плоскость в этой системе координат. Уравнение () называется общим уравнением плоскости, где числа A, B, C есть координаты нормального вектора плоскости (вектора, перпендикулярного к плоскости). Уравнение плоскости, проходящей через точку M ( ; ) и перпендикулярной вектору N { A; B; C} 0 0 0; 0, имеет вид: A ( 0 ) B( 0) C( 0) 0. (5.) Уравнением плоскости в отрезках называется уравнение, (5.) c где,, c длины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях, взятые с соответствующими знаками. 9

18 Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки ; ; M ;, имеет вид: M ( ), M ( ), ( ) ; ; ; 0. (5.) Нормальным уравнением плоскости называется уравнение вида cos α cosβ cosγ p 0, (5.5) где cos α, cosβ, cosγ направляющие косинусы нормального вектора плоскости, p расстояние между началом координат системы и данной плоскостью. Для приведения общего уравнения плоскости (5.) к нормальному виду (5.5) следует умножать все его члены на нормирующий множитель µ ±, где знак перед A B C радикалом противоположен знаку свободного члена D в общем уравнении плоскости. Острый угол ϕ между плоскостями A B C D 0 и A B C D 0 определяется по формуле A A BB CC cosϕ. (5.6) A B C A B C Условие параллельности двух плоскостей имеет вид: A B C. (5.7) A B C Условие перпендикулярности двух плоскостей имеет вид: A A B B CC 0. (5.8) Расстояние от точки M 0 ( 0; 0; 0) до плоскости A B C D 0 находится по формуле A B C D d 0. (5.9) A B C 50

19 5 Уравнение прямой, проходящей через точку ( ) ; ; M и параллельной вектору { } p m l ; ;, записывается в виде p m (5.0) Уравнение (0) называется каноническим уравнением прямой, а вектор l направляющим вектором прямой. Уравнение вида mt 0, t 0, pt 0 (5.) называется параметрическим уравнением прямой, где t принимает любые действительные значения. Уравнение прямой, проходящей через две точки ( ) ; ; M и ( ) ; ; M пространства, имеет вид:. (5.) Общее уравнение прямой в пространстве записывается как линия пересечения двух плоскостей: 0. 0 D C B A D C B A (5.) Острый угол между двумя прямыми p m (5.) и p m (5.5) определяется по формуле cos p m p m p p m m ϕ. (5.6) Условие параллельности двух прямых (5.) и (5.5) имеет вид: p p m m. (5.7)

20 Условие перпендикулярности двух прямых (5.) и (5.5) имеет вид: m m p p 0. (5.8) Угол между прямой m p (5.9) и плоскостью A B C D 0 (5.0) определяется по формуле A m B C p siϕ A B C m p. (5.) Условие параллельности прямой (5.9) и плоскости (5.0) имеет вид: Am B Cp 0. (5.) Условие перпендикулярности прямой (5.9) и плоскости (5.0) имеет вид: A B C. (.) m p Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0( ; ; ) и перпендикулярной плоскостям 0 и 5 0. Решение. С помощью формулы (5.) находим будущий ответ: A ( ) B( ) C( ) 0. Нормальный вектор первой данной плоскости N { ; ; }, второй плоскости { ; ; } N. Так как искомая плоскость с нормальным вектором N { A; B; C} по условию задачи перпендикулярна данным плоскостям, то в качестве вектора N возьмем результат векторного произведения нормальных векторов: 5

21 N N N i j k i j k 5 i j k { 5; ; } { A; B; C}. 5( ) ( ) ( ) Ответ: , Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 0( ; 8; 9) и параллельной прямой 5t, t, 7 0t. Решение. Запишем уравнение данной прямой в 7 каноническом виде:. Так как искомая прямая 5 0 параллельна данной, то в качестве ее направляющего вектора l 5;;0. Используя уравнение (5.0), можно взять { } 9 получаем ответ: Пример. Найти точку пересечения прямой с плоскостью 0. Решение. Запишем уравнение прямой в параметрическом виде: t ; t, t, t. Подставляя значения,, в уравнение плоскости, находим t : t t t 0, ( ) ( ) ( ) 6t t t 0, t 9 t. Подставляя значение t в параметрическое уравнение прямой, находим координаты точки пересечения: 5, 5,. 5

22 Тема 6. Комплексные числа Комплексным числом называется упорядоченная пара действительных чисел: ( ; ) i, где i. Если действительные числа легко отождествлять с точками на прямой, то комплексные числа с точками на плоскости: числу i ставится в соответствие точка с координатами и. 5 Рис. 6. При этом число называется действительной частью комплексного числа ( Re Z), а мнимой частью ( I m Z Y ). С комплексными числами можно совершать арифметические действия. Пусть Z i, Z i и R действительное число, тогда имеют место равенства: ( ) i( ); (6.) ) i( ); (6.) ( α i α ; ( ) i ( α ); (6.) ( ) i ( ). (6.) Ту же точку на плоскости можно задать с помощью полярных координат ρ и ϕ, где ρ расстояние от точки до начала координат, а ϕ угол между положительным направлением оси OX и радиус-вектором OZ, отсчитываемым

23 против часовой стрелки. Число ρ называется модулем числа Z ( Z ) ρ, а угол ϕ аргументом ( ϕ rg.z). При этом ρ и ρ( cosϕ i siϕ) Z. (6.5) Последнее равенство называется тригонометрической формой записи комплексного числа. При решении задач можно использовать тригонометрическую форму записи комплексного числа: [ cos( ϕ ϕ ) i ( ϕ ϕ )] Z ρ ρ ; (6.6) Z si Z Z ρ [ cos( ϕ ϕ ) ( ϕ ϕ )] i si ρ Z ( cos ϕ i si ϕ) ; (6.7) ρ ; (6.8) πk ϕ πk ϕ Z ρ cos i si. (6.9) где k 0,,,...,. Пример. Выполнить действия: i i i i i Решение. Воспользовавшись равенством (6.), находим 0 0( i ) 0( i ) 0( i ) ( i ) i. i ( i )( i ) i i 5 ( i) ( i) i. i ( i)( i) 0 0( i) 0( i) ( i) 6 i. i ( i)( i) 9 5 5( i) 5( i) i. i ( i)( i) 6 9 ( i) i i. i i( i) Итак, выполнив действия, находим: i i 6 i i i 7. Ответ: 7. 55

24 56 Тема 7. Элементы комбинаторики Распространенными задачами комбинаторики являются задачи о числе размещений, числе перестановок, числе сочетаний и задачи, связанные с биномиальной формулой Ньютона. Одним из важных правил комбинаторики является правило умножения. Если объект A может быть выбран K способами, а затем для каждого из таких выборов объекта A другой объект A может быть выбран K способами и т.д., включая m -й объект A m, который может быть выбран K m способами, то объект, состоящий в выборе всех m объектов вместе, т.е. объект A и A и A, и, и способами. A m может быть выбран K K... Km Пример. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0,,,, 6, если цифры могут повторяться? Решение. При составлении трехзначного четного числа A A A из данных цифр вместо A можно взять любую цифру, кроме 0 (6 возможностей); вместо A можно взять любую из них (7 возможностей); вместо A можно взять любую из цифр 0,,, 6 ( возможности). Таким образом, согласно правилу умножения имеется способов составить число, удовлетворяющее условию задачи. Ответ. Из данных цифр можно составить 68 четных трехзначных чисел. Виды соединений:. Соединения, отличающиеся друг от друга составом элементов или их порядком, каждое из которых содержит m ( m> ) элементов, взятых из различных элементов, называются размещениями из элементов по m. Количество m таких соединений принято обозначать A (читается «число размещений из эн по эм»). Формула числа размещений имеет вид:

25 A m!. (7.) ( m)! Пример. Выписать все размещения из элементов,, c, d по два.,, c, c, d, d, c, c, d, d, cd, dc Решение. { } Ответ: A.. Соединения, каждое из которых содержит различных элементов, взятых в определенном порядке, называются перестановками из элементов. Количество всех таких соединений принято обозначать P (читается «число перестановок из эн»). Формула для числа перестановок имеет вид P! (7.) Пример. Выписать все перестановки из элементов,, c. c, c, c, c, c, c. Решение. { } Ответ. P 6.. Соединения, отличающиеся друг от друга по крайней мере одним элементом, каждое из которых содержит m элементов, взятых из различных элементов, называются сочетаниями из элементов по m. Порядок следования элементов не учитывается. Количество всех таких соединений m принято обозначать C (читается «число сочетаний из эн по эм»). Формула для числа сочетаний из элементов по m имеет вид: m m! A C. (7.) m! ( m)! Pm До сих пор рассматривались соединения, в каждое из которых любой из различных элементов входит один раз. Можно рассматривать соединения с повторениями, т.е. соединения, в каждом из которых любой из различных элементов может входить более одного раза. 57

26 . Размещения из элементов, в каждое из которых входит m элементов, причем один и тот же элемент может повторяться в каждом размещении любое число раз, но не более m, называются размещениями из элементов по m с повторениями. A m. Для каждого фиксированного натурального числа справедливо равенство m m A ( ). (7.) 58 Количество всех таких способов обозначим ( ) Пример. Сколькими способами можно разместить восемь пассажиров в три вагона? Решение. Задачу можно рассматривать как задачу о числе распределения среди восьми пассажиров любых восьми выбранных их трех вагонов с повторениями каждого из них любое число раз, но не более восьми. Поскольку A 8 ( ) 8 656, то восемь пассажиров можно разместить в трех вагонах 656 различным способом. 5. Сочетаниями из предметов по m с повторениями называются соединения, содержащие m предметов (без учета их порядка следования), причем любой предмет может входить в соединение некоторое число раз, но не более m. Число всех таких сочетаний с повторениями принято обозначать m( ) ( m )! m C Cm. (7.5) m!! ( ) Пример 5. В кондитерской имеется пять разных сортов пирожных. Сколькими способами можно выбрать набор из четырех пирожных? Решение. Воспользуемся формулой (7.5): ( ) ( 5 )! C ! ( 5)! Это задача о числе сочетаний из пяти по четыре с 5 8! повторениями. Поскольку C ( ) 70, то можно выбрать!! указанным способом пирожные 70 способами.


Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ ЛП КАГАДИЙ ИЛ ШИНКОВСКАЯ ИП ЗАЕЦ ЛФ СУШКО ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Часть I Утверждено на заседании Ученого совета академии

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет им АД Сахарова» Факультет экологического мониторинга Кафедра физики и высшей

Подробнее

1. Определители. 2. Действия над матрицами. Обратная матрица Определитель второго порядка задается равенством

1. Определители. 2. Действия над матрицами. Обратная матрица Определитель второго порядка задается равенством Определители Определитель второго порядка задается равенством Определитель третьего порядка задается равенством Свойства определителей Определитель равен нулю если он содержит две одинаковые или пропорциональные

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости.

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости понимают способ,

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Л.А. Золкина В.М. Мухина. Методические указания для студентов заочного отделения. Часть I ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Л.А. Золкина В.М. Мухина. Методические указания для студентов заочного отделения. Часть I ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЛА Золкина ВМ Мухина ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания для студентов заочного

Подробнее

Высшая математика для психологов

Высшая математика для психологов Саратовский государственный университет им Н Г Чернышевского Галаев СВ, Шевцова ЮВ Высшая математика для психологов Часть (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) Саратов 00 СОДЕРЖАНИЕ Глава Векторная

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Лекция 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости задана декартова система

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

Аналитическая геометрия Векторные пространства Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Аналитическая геометрия Векторные пространства Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Аналитическая геометрия Векторные пространства Конспект лекций для студентов

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Координаты точки. Связь

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C( 1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Лекция 7 Аннотация Линии второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Определение, общие характеристики.

Подробнее

Основные задачи аналитической геометрии. 1. Способы задания линии на плоскости.

Основные задачи аналитической геометрии. 1. Способы задания линии на плоскости. Основные задачи аналитической геометрии Аналитическая геометрия раздел математики, в котором изучаются геометрические объекты с помощью алгебраических методов. Основным методом аналитической геометрии

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , )

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , ) Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» Университетский центр социально-гуманитарных

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ Балаковский инженерно-технологический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ к первой части контрольной работы 1 по дисциплине «Математика»

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ к первой части контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» СТАРООСКОЛЬСКИЙ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ СЕРГО ОРДЖОНИКИДЗЕ»

Подробнее

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ Экзаменационный билет 1 по курсу: 1. Дать определение скалярного произведения векторов. Доказать свойства скалярного произведения. Вывести формулу скалярного произведения в ортонормированном базисе. Приложения

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые ВАРИАНТ 16 1 Через точки M 1 (3 4) и M (6 ) проведена прямая Найти точки пересечения этой прямой с осями координат Составить уравнения сторон треугольника для которого точки A ( 1 ) B ( 3 1) C (0 4) являются

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой.

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой. ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (, ) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 5 (самостоятельное изучение) Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве Формулы для расстояния

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Раздел 1 Элементы линейной алгебры 1 Операции над матрицами и их свойства Определители -го и 3-го порядков 3 Определение минора и алгебраического

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАЗДЕЛ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть I Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Введение в линейную алгебру и аналитическую геометрию Определители Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

Т.А. Капитонова МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского

Т.А. Капитонова МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского ТА Капитонова МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

r = (x, y) r 1 = (x 1,,y 1 ) M 1 (x 1,,y 1 ) L M(x, y) L D = Ax 1 By 1 ; M 1 (x 1, y 1 ) L; N=(A,B) L y=0 x=a x=0 y=b a = ; A

r = (x, y) r 1 = (x 1,,y 1 ) M 1 (x 1,,y 1 ) L M(x, y) L D = Ax 1 By 1 ; M 1 (x 1, y 1 ) L; N=(A,B) L y=0 x=a x=0 y=b a = ; A Уравнения прямой на плоскости в R - - Уравнение прямой проходящей через точку перпендикулярно вектору Общее уравнение прямой k Уравнение прямой с угловым коэффициентом ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ТАБЛИЦАХ

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Приложение 5 Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Саратовский государственный аграрный университет

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее