k называется рядом Лорана. Здесь k, z

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "k называется рядом Лорана. Здесь k, z"

Транскрипт

1 Практическое занятие 6 Ряды Тейлора и Лорана 6 Ряд Тейлора 6 Ряд Лорана 6 Ряд Тейлора Т е о р е м а ( Т е й л о р а ) Функция однозначная и аналитическая в круге R единственным образом разлагается в этом круге в ряд Тейлора c где c c! Коэффициенты c учитывая интеграл типа Коши (практическое занятие 5) можно вычислять по формулам d c i c где c произвольная окружность с центром в точке Говорят что функция в некоторой окрестности этой точки раскладывается в ряд по степеням ( ) Функция голоморфная в каждой точке области D называется голоморфной в этой области Особой точкой функции называется точка в которой функция не является аналитической При имеет место ряд Маклорена: голоморфна в точке если она! Разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций комплексной переменной аналогичны разложениям в ряд Тейлора функций действительной переменной:!!! 5 si! 5!! cos!!! l m m mm!! Ряд Тейлора для многозначной функции получается из разложения соответствующей однозначной функции путем прибавления к нему чисел i 6 Ряд Лорана Ряд вида c называется рядом Лорана Здесь фиксированная точка комплексной плоскости переменная точка c коэффициенты ряда Ряд Лорана представляет собой сумму двух рядов c c c Ряд c называется главной частью ряд c правильной частью ряда Лорана Заменой переменной главная часть ряда Лорана преобразуется в степенной ряд который сходится к аналитической функции в круге Возвращаясь к переменной имеем что главная часть сходится к функции 67 68

2 в области Область сходимости представляет собой внешность круга радиуса R с центром в точке Правильная часть ряда Лорана представляет собой степенной ряд поэтому его областью сходимости является круг радиуса R с центром в точке Внутри этого круга ряд сходится к некоторой аналитической функции Если R R то существует общая область сходимости рядов составляющих ряд Лорана Внутри кольца R R ряд Лорана сходится к некоторой аналитической функции Если R R то ряд Лорана расходится Областью сходимости ряда Лорана называется общая часть сходимости его главной и правильной частей Т е о р е м а Функция аналитическая в кольце R R однозначно представляется в этом кольце рядом Лорана c по формуле c где коэффициенты c вычисляются d i любой замкнутый контур в кольце R R содержащий точку внутри Рядом Лорана для аналитической функции в окрестности бесконечно удаленной точки называется ряд сходящийся в кольце R c При преобразовании точка отображается в точку w w и окрестность бесконечно удаленной точки в окрестность точки w В окрестности точки w функция g w является аналитической и ее разложение в ряд w Лорана есть g w ' c w в окрестно- ной w сти бесконечно удаленной точки : g c ' где c Возвращаясь к прежней перемен- получаем ряд Лорана для функции c Вопросы для самоконтроля Сформулируйте теорему Тейлора Как определяется ряд Тейлора для многозначных функций? Какой ряд называется рядом Лорана? Что называется областью сходимости ряда Лорана? 5 Какой ряд называется рядом Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки? Решение типовых примеров Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки и найти область сходимости ряда Р е ш е н и е Найдем нули знаменателя: Тогда Функцию можно записать в виде: 69 7

3 Используя разложение получим: Область сходимости ряда а область сходимости ряда есть есть Поэтому областью сходимо- сти ряда является круг функцию Разложить по степеням Р е ш е н и е Преобразуем функцию : в ряд Маклоре- Используя основное разложение функции на получим:!!! Область сходимости данного ряда Найти несколько первых членов разложения в ряд по степе- ням функции tg Р е ш е н и е Найдем производные функции tg в точке : или cos 5 Отсюда 5 6 Подставляя найденные значения производных в ряд Тейлора получим: 6 5 tg! 5! Разложить в ряд Лорана функцию в круге Р е ш е н и е Преобразуем функцию : Так как то ряд Лорана есть 7 7

4 = 7 8 Полученный ряд сходится в круге 5 Разложить функцию si в ряд Лорана в окрестности особой точки Р е ш е н и е Используя основное разложение функции si в ряд Маклорена получим si 5! 5! 5! 5! 7! Функция является аналитической в кольце 6 Разложить в ряд Лорана функцию а) в круге б) в кольце в) в области Р е ш е н и е Функция Представим функцию в виде а) разложение в круге : имеет две особые точки Ряд для первой функции сходится при условии т е в области для второй в области поэтому ряд для функции сходится в круге б) разложение в кольце : Ряд для первой функции сходится если т е при для второй функции если для функции сходится в кольце в) разложение для : т е если а ряд 7 7

5 Ряд для первой функции сходится в области т е при для второй если т е если поэтому ряд для функции сходится в области 7 Разложить функцию в ряд Лорана в окрестности ее особых точек Р е ш е н и е Преобразуем функцию: Разложение в окрестности точки по степеням до ближайшей особой точки (в кольце ) есть: Разложение в окрестности точки справедливо в кольце : Задания для аудиторной работы по степеням Разложить в окрестности указанных точек в ряд Тейлора и найти его области сходимости функции: а) si и) cos б) по степеням к) l в) i л) cos г) 5 м) sh д) i н) i е) о) ж) 5 п) Разложить в ряд Лорана в окрестности особых точек функции: si а) и) si б) cos к) si i в) л) г) м) д) 5 cos н) е) о) 75 76

6 ж) п) Разложить функции в ряд Лорана: а) в области б) в) г) д) в области в окрестности точек и в окрестности точек и 9 Задания для домашней работы в окрестности точек и i Разложить в окрестности указанных точек в ряд Тейлора и найти его области сходимости функции: а) и) si б) i к) в) л) г) м) i д) н) е) о) 9 ж) l п) 5 Разложить в ряд Лорана в окрестности особых точек функции: si а) и) б) si к) в) л) г) м) 5 д) н) cos x е) о) ж) п) Разложить функции в ряд Лорана: а) в областях и б) в области в) в окрестности точки г) д) в окрестности точек и в окрестности точек и 77 78

7 Практическое занятие 7 Классификация изолированных особых точек аналитической функции 7 Нули аналитической функции 7 Изолированные особые точки аналитической функции 7 Нули аналитической функции Пусть функция является аналитической в точке порядка m если вы- Точка называется нулем функции полняются условия m ' m При m точка называется простым нулем Т е о р е м а Точка является нулем порядка m функции аналитической в точке тогда и только тогда когда в некоторой окрестности точки имеет место равенство m где аналитична в точке и 7 Изолированные особые точки Точка называется изолированной особой точкой функции если существует окрестность этой точки в которой аналитична всюду кроме самой точки Изолированная особая точка функции называется: устранимой особой точкой если существует конечный предел lim a a полюсом если lim существенно особой если lim не существует Точка является полюсом порядка m если для функции g точка является нулем порядка m Полюс по- рядка m называется простым полюсом Т е о р е м а Для того чтобы точка являлась полюсом порядка m функции необходимо и достаточно чтобы функцию можно было представить в виде: m где функция аналитична в точке и Аналитическая функция называется мероморфной в области D если не имеет в ней других особых точек кроме полюсов Пусть аналитическая функция разлагается в ряд Лорана: в окрестности точки c c c c Т е о р е м а Для того чтобы точка была устранимой особой точкой функции необходимо и достаточно что- бы ряд Лорана функции не содержал членов с отрицательными степенями разности (ряд Лорана не содержит главной части) Т е о р е м а Для того чтобы точка была полюсом функции необходимо и достаточно чтобы ряд Лорана функции содержал конечное число членов с отрицательными степенями разности (в главной части ряда содержится конечное число членов) Т е о р е м а 5 Для того чтобы точка была существенно особой точкой функции необходимо и достаточно чтобы ряд Лорана содержал бесконечно много членов с отрица- 79 8

8 тельными степенями разности (в главной части ряда содержится бесконечно много членов с отрицательными показателями) Исследование характера бесконечно удаленной особой точки удобнее проводить путем замены при которой точка переходит в точку w Тогда: w если в разложении в ряд Лорана функции нет членов с положительными степенями то бесконечно удаленная точка называется устранимой особой точкой функции если в разложении в ряд Лорана функции есть лишь конечное число членов с положительными степенями то бесконечно удаленная точка называется полюсом функции если в разложении в ряд Лорана функции есть бесконечно много членов с положительными степенями то бесконечно удаленная точка называется существенно особой точкой функции Функции si cos sh ch в бесконечно удаленной точке имеют существенную особенность так как их разложения в ряд Лорана содержат бесконечное множество положительных степеней Вопросы для самоконтроля Какая точка называется нулем функции? Что называется кратностью нуля? Как представима функция имеющая нуль кратности m? Какая точка называется изолированной особой точкой? Какая изолированная особая точка называется: а) устранимой б) полюсом в) существенно особой? 5 Как влияет характер изолированной особой точки на вид ряда Лорана? 6 Как определяется особенность в бесконечно удаленной точке? Решение типовых примеров Найти нули и определить их порядок функции Р е ш е н и е Приравнивая Отсюда точки cos к нулю получим cos есть нули данной функции Далее ' ' si si '' '' cos Следовательно точки cos являются нулями -го порядка данной функции 8 Найти порядок нуля функции si Р е ш е н и е Используя разложение функции si в окрестности точки получим: si! 5!! 5! 5 5! 5!! 5!! 5! Положим Тогда 5 где причем 6 точке функция аналитическая в Согласно теореме точка является для данной функции нулем 5-го порядка Какую особенность в точке имеет функция si? 8 8

9 Р е ш е н и е способ Точка является устранимой особой точкой так как предел в этой точке равен si lim способ В окрестности точки разложение в ряд Лорана имеет вид: si!! =!! Видно что ряд Лорана в точке не содержит членов с отрицательными степенями т е не содержит главной части Согласно теореме точка является устранимой особой точ- si кой для функции Какую особенность в точке имеет функция? Р е ш е н и е способ Имеем: если вдоль положительной части действительной оси то lim x lim x если вдоль отрицательной части действительной оси x то lim lim x Следовательно данная функция не имеет предела в точке способ Разложение в ряд Лорана функции в окрестности точки имеет вид:!! Видно что главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число членов Согласно теореме 5 точка является существенно особой точкой 5 Определить какую особенность в бесконечно удаленной точке имеет функция Р е ш е н и е Произведем замену переменной на переменную w по формуле Тогда данная функция принимает w w следующий вид При условии w имеет место разложение: w w w w w w Возвращаясь к переменной имеем: Видно что ряд Лорана не содержит правильную часть Следовательно точка является устранимо особой точкой 6 Найти особые точки и определить их характер для функции Р е ш е н и е Особая точка функции есть способ Вычислим предел lim lim lim Значит является устранимой особой точкой функции способ Разложение в ряд Лорана в окрестности точки имеет вид:!! 8 8

10 !!!! Ряд Лорана не содержит главной части значит по теореме точка есть устранимая особая точка данной функции 7 Найти особые точки и определить их характер для функции si Р е ш е н и е Найдем особые точки функции из условия: Решая уравнение получим две особые точки Найдем предел в точке : si si lim lim x x Согласно определению точка полюс Чтобы определить его порядок представим функцию si в виде: si si где аналитична в точке и Отсюда по теореме точка полюс -го порядка Аналогично точка полюс поскольку функции Так как si si lim lim x x si где аналитична в точке и простой полюс функции si то точка 8 Найти особые точки и определить их характер для функции Р е ш е н и е Особая точка функции Так как то точка полюс Для функции lim lim порядка значит для функции точка нуль третьего полюс -го порядка 9 Определить характер особой точки для функции Р е ш е н и е способ Рассмотрим поведение функции на действительной и мнимой осях Пусть x и x x при x y Пусть iy и iy при y Отсюда следует что функция не имеет ни конечного ни бесконечного предела в точке и существенно особая точка функции способ Разложим функцию в ряд Лорана в окрестности точки т е в области : 6!! 85 86

11 Главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число слагаемых поэтому точка является существенно особой точкой функции Задания для аудиторной работы Найти нули и определить их порядок для функций: а) в) cos ch i б) si г) sh Найти порядок нуля для функций: а) si в) б) ch i si г) Определить характер особой точки для функций: а) si в) б) ch г) si Найти особые точки и определить их характер для функций: cos а) д) cos б) si е) в) si ж) г) si и) 5 Определить характер указанных особых точек для функций: а) 6 5 б) cos Задания для домашней работы Найти нули и определить их порядок для функций: а) ch в) si sh i б) cos г) Найти порядок нуля для функций: а) б) si tg Определить характер особой точки для функций: cos si 6 sh б) sh д) l si в) cos si е) Найти особые точки и определить их характер для функций: а) si д) б) е) 5 cos в) cos ж) г) и) 5 Определить характер указанных особых точек для функций: а) г) а) б) 87 88

Ряды Тейлора и Лорана

Ряды Тейлора и Лорана Лекция 7 Ряды Тейлора и Лорана 7. Ряд Тейлора В этой части мы увидим, что понятия степенного ряда и аналитической функции определяют один и тот же объект: любой степенной ряд с положительным радиусом сходимости

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

1.Разложение аналитической функции в степенной ряд.

1.Разложение аналитической функции в степенной ряд. ЛЕКЦИЯ N37. Ряды аналитических функций. Разложение аналитической функции в степенной ряд. Ряд Тейлора. Ряд Лорана..Разложение аналитической функции в степенной ряд.....ряд Тейлора.... 3.Разложение аналитической

Подробнее

16-е занятие. Изолированные особые точки однозначного характера (ИОТОХ) Матем. анализ, прикл. матем., 4-й семестр

16-е занятие. Изолированные особые точки однозначного характера (ИОТОХ) Матем. анализ, прикл. матем., 4-й семестр стр. из 9 6-е занятие. Изолированные особые точки однозначного характера (ИОТОХ) Матем. анализ, прикл. матем., 4-й семестр A Разложить функцию ln z + 2 z 3 в ряд Лорана в окрестности точки. Корни и кратности

Подробнее

Ряды Лорана. n=1. c n (z z 0 ) n сходится в круге с центром в точке. n=0

Ряды Лорана. n=1. c n (z z 0 ) n сходится в круге с центром в точке. n=0 Ряды Лорана Более общим типом степенных рядов являются ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные степени z z 0. Как и ряды Тейлора, они играют важную роль в теории аналитических функций.

Подробнее

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа.

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа. ~ ~ ФКП Производная функции комплексного переменного ФКП условия Коши - Римана понятие регулярности ФКП Изображение и вид комплексного числа Вид ФКП: где действительная функция двух переменных действительная

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Старков В.Н. Материалы к установочной лекции Вопрос 9. Разложение аналитических функций в степенные ряды Определение. Функциональный ряд вида ( ( (... (..., где комплексные постоянные (коэффициенты ряда

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени ИМ ГУБКИНА ИН Мельникова, НО Фастовец ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ОПЕРАЦИОННОЕ

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

Комплексные числа. Операции над комплексными числами. Комплексная плоскость.

Комплексные числа. Операции над комплексными числами. Комплексная плоскость. Методическая разработка Решение задач по ТФКП Комплексные числа Операции над комплексными числами Комплексная плоскость Комплексное число можно представить в алгебраической и тригонометрической экспоненциальной

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет» ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Методические

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

17-е занятие. Вычисление вычетов Матем. анализ, прикл. матем., 4-й семестр

17-е занятие. Вычисление вычетов Матем. анализ, прикл. матем., 4-й семестр стр. из 0 7-е занятие. Вычисление вычетов Матем. анализ, прикл. матем., 4-й семестр Классификация ИОТОХ повторение) Найти ИОТОХ заданной функции и определить их тип: В 4.33 z 3 2 cos z). В 4.37 ez/ z).

Подробнее

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1)

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1) 8. Степенные ряды 8.. Функциональный ряд вида c n (z ) n, (8.) n= где c n числовая последовательность, R фиксированное число, а z R, называют степенным рядом с коэффициентами c n. Выполнив замену переменных

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

Задачи по теории функций комплексного переменного Часть 2

Задачи по теории функций комплексного переменного Часть 2 Задачи по теории функций комплексного переменного Часть На дневном на вечернем и на заочном отделениях факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

9 Определить число корней уравнения в правой полуплоскости. 10 Определить число корней уравнения в правой полуплоскости z 3 4z = 0

9 Определить число корней уравнения в правой полуплоскости. 10 Определить число корней уравнения в правой полуплоскости z 3 4z = 0 Экзаменационные вопросы по ТФКП. Вопрос 1. Задача. 1 Вычислить интеграл + xcosx dx x 2 2x+1 2 Вычислить интеграл + xsinx dx x 2 +4x+2 3 Вычислить интеграл + cosx x 2 +1 x 2 +4 dx 4 Вычислить интеграл +

Подробнее

Лекции по курсу ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Лекции по курсу ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Н.А. Бушуева, В.М. Трутнев Лекции по курсу ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Красноярск 2007 Оглавление ЛЕКЦИЯ. Ряд Лорана 4.. Ряды Лорана и их области сходимости........ 4.2. Разложение голоморфной

Подробнее

20-е занятие. Степенные ряды. Ряды Тейлора Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

20-е занятие. Степенные ряды. Ряды Тейлора Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр -е занятие. Степенные ряды. Ряды Тейлора Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Найти радиус сходимости степенного ряда, используя признак Даламбера: ( 89 ( ) n n (n!) ) p (n + )! n= Ряд Тейлора f(x)

Подробнее

13-е занятие. Частное и суперпозиция степенных рядов. Ряды Лорана для рациональных функций Матем. анализ, прикл. матем.

13-е занятие. Частное и суперпозиция степенных рядов. Ряды Лорана для рациональных функций Матем. анализ, прикл. матем. стр. из 9 3-е занятие. Частное и суперпозиция степенных рядов. Ряды Лорана для рациональных функций Матем. анализ, прикл. матем., 4-й семестр Вычисление коэффициентов композиции и частного Найти первые

Подробнее

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Практическое занятие ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Дифференцирование сложной функции Дифференцирование неявной функции задаваемой одним уравнением Системы неявных и параметрически заданных

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

3 Операция деления комплексных чисел. Как связаны модуль и аргумент частного с модулями и аргументами делимого и делителя?

3 Операция деления комплексных чисел. Как связаны модуль и аргумент частного с модулями и аргументами делимого и делителя? Экзаменационные вопросы по ТФКП. Вопрос 1. Элементарные операции с комплексными числами. Элементарные функции комплексной переменной. 1 Операция сложения комплексных чисел. Ее геометрическая интерпретация.

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания и варианты заданий к контрольной

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N34. Числовые ряды с комплексными членами. Степенные ряды в комплексной области. Аналитические функции. Обратные функции.

ЛЕКЦИЯ N34. Числовые ряды с комплексными членами. Степенные ряды в комплексной области. Аналитические функции. Обратные функции. ЛЕКЦИЯ N34. Числовые ряды с комплексными членами. Степенные ряды в комплексной области. Аналитические функции. Обратные функции..числовые ряды с комплексными членами.....степенные ряды в комплексной области....

Подробнее

, vy,0. Условие несжимаемости divv. 0 потенциального течения rotv. Для двумерного течения условие несжимаемости имеет вид 0, что приводит

, vy,0. Условие несжимаемости divv. 0 потенциального течения rotv. Для двумерного течения условие несжимаемости имеет вид 0, что приводит Методы расчета плоских течений Функция тока В плоском течении уменьшается количество переменных, что позволяет в случае потенциального течения существенно упростить решение задач об определении течения

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ С ПОМОЩЬЮ ВЫЧЕТОВ

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ С ПОМОЩЬЮ ВЫЧЕТОВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный

Подробнее

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16.1. Рассмотрим произвольное множество X и последовательность функций f, определенных на X. Говорят, что последовательность f сходится поточечно

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену и зачету по теории функций комплексной переменной.

Вопросы и задачи к экзамену и зачету по теории функций комплексной переменной. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Т. Волков, А.В. Кравцов, Д.В. Минаев, В.Ю. Попов, Н.Е. Шапкина. Вопросы и задачи к

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Лекция 5 (апрельские тезисы 2) Применение формулы Коши

Лекция 5 (апрельские тезисы 2) Применение формулы Коши Лекция 5 (апрельские тезисы 2) Применение формулы Коши Начнем с примера Пусть требуется вычислить γ: z =2 z 2 +. Подинтегральная функция не голоморфна всюду внутри контура: имеются две особые точки i и

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

3 Операция деления комплексных чисел. Как связаны модуль и аргумент частного с модулями и аргументами делимого и делителя?

3 Операция деления комплексных чисел. Как связаны модуль и аргумент частного с модулями и аргументами делимого и делителя? Экзаменационные вопросы по ТФКП. Вопрос 1. Элементарные операции с комплексными числами. Элементарные функции комплексной переменной. 1 Операция сложения комплексных чисел. Ее геометрическая интерпретация.

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

1. Геометрия комплексных чисел

1. Геометрия комплексных чисел . Геометрия комплексных чисел В первой главе комплексные числа изучались с алгебраической точки зрения. Мы рассмотрели основные алгебраические операции и свойства комплексных чисел. Но комплексные числа

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский государственный технологический университет им.к.э.циолковского Кафедра «Высшая математика» ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Варианты курсовых

Подробнее

Математический анализ Ряды

Математический анализ Ряды Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения Математический анализ Ряды Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

МАТЕМАТИКА ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ ООО «Резольвента», wwwresolvetaru, resolveta@listru, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу ЧИСЛОВЫЕ

Подробнее

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

Типовые задачи c решениями.

Типовые задачи c решениями. Типовые задачи c решениями. Гамма-функция Пример. Найти произведение = 3. Решение. Прежде всего проведем переиндексацию +, чтобы произведение начиналось с единицы. В результате получим +. 3 Далее разложим

Подробнее

19-е занятие. Признаки Абеля и Дирихле. Радиус сходимости степенного ряда Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

19-е занятие. Признаки Абеля и Дирихле. Радиус сходимости степенного ряда Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр 9-е занятие. Признаки Абеля и Дирихле. Радиус сходимости степенного ряда Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Необх. усл. равномерной сходимости функц. ряда f x): f 0. A Исследовать функ. ряд на сх-ть:

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

О логарифмическом вычете моногенных функций бигармонической переменной

О логарифмическом вычете моногенных функций бигармонической переменной Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 200, том 7, N 2, 227 234 УДК 57.96 C.В. Грищук, С.А. Плакса (Институт математики НАН Украины, Киев) О логарифмическом вычете моногенных функций бигармонической

Подробнее

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. Методические указания по выполнению самостоятельной работы

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. Методические указания по выполнению самостоятельной работы Багачук А.В. Бушуева Н.А. Полякова И.А. Трутнев В.М. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Методические указания по выполнению самостоятельной работы Красноярск 2007 Содержание. Общие сведения 3 2. Задания

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

М. С. Семчёнок, Е. Н. Бегун, В. А. Власьева, В. Г. Галкина Математика Конспект лекций

М. С. Семчёнок, Е. Н. Бегун, В. А. Власьева, В. Г. Галкина Математика Конспект лекций 009 М. С. Семчёнок, Е. Н. Бегун, В. А. Власьева, В. Г. Галкина Математика Конспект лекций Часть третья Конспект вёл А. Димент СПбГУКиТ, ФАВТ, гр. 7 ГЛАВА 0. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 0.. ПОНЯТИЕ О СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ

Подробнее

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ С П ПРЕОБРАЖЕНСКИЙ, СР ТИХОМИРОВ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 987 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Формулировка задания 3 Варианты задания 3 Пример выполнения задания и комментарии

Подробнее

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. Приложение. Определение первообразной функции Определение. Дифференцируемая функция F() называется первообразной для функции f() на заданном промежутке, если для всех из этого промежутка. справедливо равенство

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Типовые задачи c решениями.

Типовые задачи c решениями. Типовые задачи c решениями. Формальное суммирование рядов. Формула рекурсии k a k a + a k k Формула умножения λ a k λa k Формула сложения k k k a k + b k a k + k b k k Пример Геометрическая прогрессия.

Подробнее

Тема: Преобразование Лапласа и его свойства

Тема: Преобразование Лапласа и его свойства Математический анализ Раздел: операционное исчисление Тема: Преобразование Лапласа и его свойства Лектор Пахомова Е.Г. 2011 г. 11. Оригинал и изображение. Теорема обращения ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть :R C. Функция

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 3

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 3 Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) Кафедра «Математика»

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

Решение типовых вариантов. контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной. Методические указания

Решение типовых вариантов. контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной. Методические указания Решение типовых вариантов контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной Методические указания УДК 517.91 Методические указания содержат подробные решения типовых вариантов контрольной работы

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

Кривые второго порядка.

Кривые второго порядка. Кривые второго порядка. Определение : Линией кривой) второго порядка называется множество {М} точек плоскости, декартовы координаты X, Y) которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени:,

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» Факультет компьютерных систем и сетей Кафедра высшей математики

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАШИНОСТРОЕНИЯ ИИ Поспелов,

Подробнее

Теория функций комплексного переменного (наименование дисциплины) Направление подготовки физика

Теория функций комплексного переменного (наименование дисциплины) Направление подготовки физика 1 Аннотация рабочей программы дисциплины Теория функций комплексного переменного (наименование дисциплины) Направление подготовки 03.03.02 физика Профиль подготовки «Фундаментальная физика», «Физика атомного

Подробнее

Фонд оценочных средств по теории функций комплексного переменного

Фонд оценочных средств по теории функций комплексного переменного Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Основные понятия теории рядов Критерий Коши сходимости числового ряда Необходимый признак сходимости числовых рядов Достаточные признаки

Подробнее

12. Определенный интеграл

12. Определенный интеграл 58 Определенный интеграл Пусть на промежутке [] задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке [] произвольные числа,, 3,, n-, удовлетворяющие условию:

Подробнее

Методические указания

Методические указания Министерство образования Российской Федерации Владимирский государственный университет Кафедра автоматических и мехатронных систем МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Методические указания

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

"Спецфункции". Лекция 9. Гипергеометрическая функция. ) n. (1 + 1 )(1 + b 1

Спецфункции. Лекция 9. Гипергеометрическая функция. ) n. (1 + 1 )(1 + b 1 "Спецфункции". Лекция 9. Гипергеометрическая функция 1. Гипергеометрический ряд F p,q a 1,..., a p ; b 1,..., b q ; z определяется как степенной ряд вида F p,q a 1,..., a p ; b 1,..., b q ; z = 1 + a 1

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет»

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО РАЗДЕЛУ «РЯДЫ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ

Подробнее

1.Последовательности комплексных чисел. Предел.

1.Последовательности комплексных чисел. Предел. ЛЕКЦИЯ N33. Функции комплексного переменного. Пределы. Непрерывность. Элементарные функции. Дифференцирование ФКП. Свойства производных. 1.Последовательности комплексных чисел. Предел.... 1.Ограниченные

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ АНГАРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ Иванова СВ, Евсевлеева ЛГ, Быкова ЛМ, Добрынина НН ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ 5 СЕМЕСТР

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ 5 СЕМЕСТР МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ 5 СЕМЕСТР А. А. Пожарский Содержание Предисловие 2 занятие. Комплексные числа. 4 2. Регулярные функции комплексного переменного. 8 2 занятие 3. Восстановление регулярной функции по

Подробнее

Лекция 6. Интегральная формула Коши

Лекция 6. Интегральная формула Коши С А Лавренченко wwwlawrcoru Лекция 6 Интегральная формула Коши Теоремы Коши Различные варианты теоремы Коши дают достаточные условия при которых для функций аналитичных в некоторой области D интеграл d

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

Специальные главы математики. Теория функций комплексного переменного

Специальные главы математики. Теория функций комплексного переменного Светличная В. Б., Агишева Д. К., Матвеева Т. А., Зотова С. А. Специальные главы математики. Теория функций комплексного переменного Волгоград 0 г. Министерство образования и науки РФ Волжский политехнический

Подробнее

комплексной переменной.

комплексной переменной. А.Г.Свешников, А.Н.Тихонов ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ из серии КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Под редакцией А. Н. ТИХОНОВА, В. А. ИЛЬИНА, А. Г. СВЕШНИКОВА ВЫПУСК 4 ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее