Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции"

Транскрипт

1 Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является сплошная нигде не прерывающаяся линия Дадим определение непрерывности функции в точке Определение Функция y f называется непрерывной в точке если существует конечный предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке те f ( ) f ( ) Из этого определения следует что функция непрерывна в точке если выполнены следующие условия: функция определена в точке и в некоторой еѐ окрестности; функция имеет предел в точке ; этот предел равен значению функции в точке Пример Функция f ( ) непрерывна в точке непрерывности: f ( ) f () Пример Функция f ( ) так как выполнены все условия f ( ) не является непрерывной в точке так как а f () Пример Функция f ( ) не является непрерывной в точке так как предел функции в этой точке не существует (левосторонний и правосторонний пределы не равны: f ( ) а f ( ) ) Пример 4 Функция f ( ) не является непрерывной в точке так как в этой точке не определена Сформулируем второе определение непрерывности функции в точке основанное на понятии приращении аргумента и функции Определение Пусть функция y f определена в точке и в некоторой еѐ окрестности Разность называется приращением аргумента а разность f ( ) f ( ) f ( ) - соответствующим приращением функции Функция y f называется непрерывной в точке если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции те f ( ) Пример 5

2 Исследовать на непрерывность функцию y sin в произвольной точке Задав приращение аргумента найдем соответствующее приращение функции: y sin( ) sin cos sin cos sin Отсюда y cos sin Значит по второму определению непрерывности функции функция y sin непрерывна в произвольной точке Теорема Если функции f () и g () непрерывны в точке то функции f ( ) ) f ( ) ) f ( ) ) f ( )/ ) ) также непрерывны в точке Доказательство Докажем теорему для f ( ) ) Так как функции f () и g () непрерывны в точке то из определения непрерывности функции следуют равенства: f ( ) f ( ) и ) ) Отсюда используя свойства пределов получим ( f ( ) )) f ( ) ) f ( ) ) Следовательно по первому определению непрерывности функции сумма функций f ( ) ) непрерывна в точке Эта теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых Остальные случаи теоремы можно доказать аналогично Теорема Если функция y f (u) непрерывна в точке u ) а функция u ) непрерывна в точке то сложная функция y f ( u( )) непрерывна в точке Доказать теорему можно на основе второго определения непрерывности функции Из непрерывности функции u ) следует что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение u А в силу непрерывности функции y u) бесконечно малому приращению аргумента u соответствует бесконечно малое приращение y Из теоремы следует равенство: f ( )) f ( )) Это значит что для непрерывной функции можно переставлять символы предела и функции Пример Вычислить sin sin e e e e e sin

3 5 Непрерывность функции на промежутке Функция называется непрерывной на интервале ( ; b) если она непрерывна в каждой точке этого интервала Если функция определена в точке и при этом f ( ) f ( ) то функция f () в точке непрерывна справа Аналогично если функция определена в точке b и f ( ) f ( b) то функция f () в точке b непрерывна слева b Функция называется непрерывной на отрезке [ ; b] если она непрерывна в каждой его точке (в точке - непрерывна справа в точке b - непрерывна слева) Наименьшим значением функции y f () на отрезке [ ; b] называется такое еѐ значение m f ( ) что f ( ) f ( ) для всех [ ; b] Наибольшим значением функции y f () на отрезке [ ; b] называется такое еѐ значение M f ( ) что f ( ) f ( ) для всех [ ; b] Теорема Если функция y f () непрерывна и строго монотонна на отрезке [ ; b] то обратная ей функция y f ( ) непрерывна и строго монотонна на соответствующем отрезке [ c ; d] Из теорем и следует важное следствие: любая элементарная функция непрерывна на своей области определения Pn Рациональная функция R непрерывна на всей числовой прямой за Q исключением тех точек в которых знаменатель Пример 7 m Q m обращается в ноль Функция y sin непрерывна и строго монотонна на отрезке [ ; ] Обратная ей функция y rcsin непрерывна и строго монотонна на отрезке [ ;] Теорема 4 (Вейерштрасса) Если функция y f () непрерывна на отрезке [ ; b] то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений Из этой теоремы вытекает следствие: если функция непрерывна на отрезке [ ; b] то она ограничена на этом отрезке Y M=f( ) O m=f( ) b X Теорема 5 (Больцано - Коши)

4 Если функция y f () непрерывна на отрезке [ ; b] и принимает на его концах неравные значения f ( ) A и f ( b) B то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между A и B Теорема очевидна из следующего рисунка Для числа C [ A; B] найдется точка c внутри отрезка [ ; b] такая что f ( c) C Y C=f(c) B=f(b) A=f() O c b X Теорему 5 можно применять при решении уравнений f () Если функция y f () непрерывна на отрезке [ ; b] и на его концах принимает значения разных знаков то внутри отрезка [ ; b] найдется хотя бы одна точка c в которой f () обращается в ноль те f (c) (см рисунок) Y O с b X Утверждение о существовании корня уравнения f () находит применение в математической модели рынка Рассмотрим рынок одного товара Основными категориями рынка являются спрос и предложение Эти категории зависят от многих факторов но главный из них цена товара Пусть g p) - функция спроса s s(p) - функция предложения где p - цена товара Предположим что функции p) и s ( p) непрерывны для положительных значений p Тогда есть возможность решить задачу об отыскании такой цены p при которой спрос равен предложению те g ( p) s( p) Так как функции p) и s ( p) непрерывны то существует решение p этого уравнения Цена p называется равновесной 4

5 5 Точки разрыва и их классификация Точки в которых нарушается непрерывность функции y f называются точками разрыва Если точка - точка разрыва то в этой точке не выполняется по крайней мере одно условие непрерывности функции: функция y f определена в окрестности точки но не определена в самой точке функция y f определена в точке и еѐ окрестности но не существует предел функции в этой точке функция y f определена в точке и еѐ окрестности существует предел функции в этой точке но он не равен значению функции в точке Определение Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода если в этой точке существуют конечные односторонние пределы f ( ) b f ( ) b и Если b b то точка называется точкой устранимого разрыва Если b b то точка называется точкой конечного скачка Величину b b называют скачком функции Определение 4 Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода если в этой точке по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности Пример 7 Исследовать на непрерывность функцию sin f ( ) Данная функция имеет различное аналитическое представление При f ( ) sin - непрерывная функция Следовательно точкой разрыва может быть только точка sin Предел в этой точке существует так как но он не равен значению функции в этой точке Значит это точка разрыва первого рода точнее точка устранимого разрыва Если принять f () то функция f () станет непрерывной Пример 8 Исследовать на непрерывность функцию f ( ) 5

6 Преобразуем функцию: f ( ) f ( ) f ( ) Вычислим односторонние пределы: и Так как односторонние пределы не равны то точка является точкой разрыва первого рода а именно точкой конечного скачка Скачок функции равен Пример 9 Найти точки разрыва функции f ( ) 5 Данная функция может иметь разрыв в точках в которых знаменатель обращается в ноль Решив квадратное уравнение 5 получим и Значит функцию можно записать так: f ( ) ( )( ) Вычислим односторонние пределы в точке : f ( ) ( )( f ( ) ( )( Следовательно - точка разрыва второго рода Подобным способом можно показать что тоже точка разрыва второго рода ) ) 54 Задачи для самостоятельного решения В задачах 5 5 найти множество на котором функция f () непрерывна 5 f ( ) 5 f ( ) f ( ) 5 54 f ( ) f ( ) 5 f ( ) sin ln 57 f ( ) 58 f ( ) 8 59 f ( ) ln 5 f ( ) В задачах 5 5 найти точки разрыва функции f () и указать их характеристики 5 f ( ) ; 5 ; f ( ) 4 ; ;

7 ; sin ; 5 f ( ) cos ; 54 f ( ) 55 f ( ) 5 f ( ) 57 f ( ) 58 f ( ) 59 f ( ) ln 5 f ( ) ln 4 В задачах 5 5 найти точки разрыва функции f () Доопределить функцию в точках разрыва если это возможно чтобы функция в точках разрыва стала непрерывной sin tg 5 f ( ) 5 f ( ) cos 5 f ( ) 54 f ( ) sin sin 9 55 f ( ) ( ) 5 f ( ) 57 f ( ) 58 f ( ) 59 f ( ) 5 f ( ) 5 4 В задачах 5 54 определить имеет ли уравнение f () корни принадлежащие отрезку [ ; b] 5 [ ;] 5 4 [; ] 5 5 [;] 54 [; ] 55 [; ] 5 [;] 57 sin 4 [ ; ] 58 cos [; ] 59 ln [; ] 54 ln [; ] Решение задачи 5 Необходимо найти множество на котором функция f ( ) непрерывна 5 Данная функция может иметь точки разрыва только в тех точках в которых знаменатель обращается в ноль Для этого решим уравнение 5 : 4 5 Вычислим односторонние пределы в точках 5 : f ( ) ( 5)( ) f ( ) ( 5)( ) f ( ) 5 ( 5)( ) 7

8 f ( ) 5 ( 5)( ) В обеих точках односторонние пределы равны бесконечности следовательно они являются точками разрыва второго рода Поэтому функция f ( ) 5 непрерывна на множестве ( ; 5) ( 5;) (; ) Решение задачи 5 Необходимо найти точки разрыва функции f ( ) ; и указать их характеристики Данная функция представлена тремя формулами каждая из которых непрерывна при всех значениях аргумента Поэтому функция может иметь точки разрыва только в точках и В точке функция не определена значит это точка разрыва Для уточнения еѐ типа вычислим односторонние пределы: f ( ) f ( ) Оба односторонних предела равны нулю следовательно - точка разрыва первого рода точнее точка устранимого разрыва Чтобы функция стала непрерывной в этой точке необходимо доопределить функцию: f () Вычислим односторонние пределы функции в точке : f ( ) f ( ) ( Односторонние пределы конечны и неравны между собой Следовательно эта точка точка конечного скачка Скачок функции в точке равен f ( ) f ( ) Ответ - точка устранимого разрыва; - точка конечного скачка скачок функции равен Решение задачи 5 Необходимо найти точки разрыва и доопределить функцию в точках разрыва чтобы функция в точках разрыва стала непрерывной sin Точкой разрыва для функции f ( ) является так как в ней функция не sin определена И потому что эта точка является точкой устранимого разрыва Функцию доопределим следующим образом: f () Решение задачи 5 Необходимо определить имеет ли уравнение корни принадлежащие отрезку [ ;] ) ; 8

9 Вычислим значения функции f ( ) на концах отрезка: f ( ) f () Так как функция непрерывна на отрезке и принимает значения разных знаков на его концах то существует по крайней мере один корень уравнения на этом отрезке Ответы 5 ( ; 5) ( 5;) (; ) 5 ( ; ) ( ;) (; ) 5 ( ;) (;5) (5; ) 54 [ ;) (; ) 55 k 5 ( ;) (; ) 57 ( ; ) ( ; ) 58 ( ; ) ( ; ) 59 ( ;) (; ) 5 ( ; ) (; ) 5 - точка устранимого разрыва; - точка разрыва конечного скачка скачок функции равен 5 - точка разрыва конечного скачка скачок функции равен ; - точка разрыва конечного скачка скачок функции равен точка устранимого разрыва; - точка разрыва конечного скачка скачок функции равен 54 - точка устранимого разрыва 55 - точка устранимого разрыва; - точка разрыва -го рода 5 - точка устранимого разрыва; - точка разрыва -го рода 57 - точка разрыва - го рода 58 - точка разрыва -го рода 59 Функция непрерывна на множестве ( ; ) (; ) ; точки и - точки разрыва -го рода 5 Функция непрерывна на множестве (;4) ; точки и 4 - точки разрыва -го рода 5 f () 5 f () 5 f () 54 f () 55 f ( ) e 5 f () 57 - точка разрыва -го рода нельзя функцию доопределить чтобы она непрерывной 58 - точка разрыва -го рода нельзя функцию доопределить чтобы она непрерывной 59 - точка устранимого разрыва в этой точке функцию можно доопределить: f ( ) ; - точка разрыва -го рода в этой точке функцию нельзя доопределить 5 - точка устранимого разрыва в этой точке функцию можно доопределить: f () ; - точка разрыва -го рода в этой точке функцию нельзя доопределить 5 Да 5 Да 5 Нет 54 Да 55 Да 5 Нет 57 Да 58 Да 59 Нет 54 Да 9

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

4. Непрерывность функции 1. Основные определения

4. Непрерывность функции 1. Основные определения 4. Непрерывность функции 1. Основные определения Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x если справедливо равенство f ( x). (1)

Подробнее

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва Лекция 4 Непрерывность функции Классификация точек разрыва Аннотация: Рассматриваются свойства функции, непрерывной на отрезке Приводится пример использования этих свойств при решении нелинейных уравнений

Подробнее

Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ. , если выполняются следующие три условия :

Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ. , если выполняются следующие три условия : 57 Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ Определение 1 Функция = f ( ) называется непрерывной в точке, если выполняются следующие три условия : 1) функция = f (

Подробнее

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для

Подробнее

Бесконечно малые величины. Бесконечно большие величины. Математический анализ (лекция 5) / 52

Бесконечно малые величины. Бесконечно большие величины. Математический анализ (лекция 5) / 52 Бесконечно большие величины Математический анализ (лекция 5) 16.03.2013 2 / 52 Определение Функция α(x) называется бесконечно малой величиной при x x 0 (x ), если lim α(x) = 0 ( x x0 ) lim α(x) = 0 x.

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ Найти область определения D и множество значений Е функции y Р е ш е н и е Функция y определена если те если Поэтому областью определения функции является множество f ; D R Поскольку

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

lim f x f x используя обозначения приращений. 0 (2).

lim f x f x используя обозначения приращений. 0 (2). Лекция подготовлена доц Мусиной МВ Непрерывность функции Пусть функция y = f(x) определена в точке x и в некоторой окрестности этой точки Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x, если существует

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 7 Предел функции СОДЕРЖАНИЕ: Предел функции в точке Предел функции на бесконечности Основные теоремы о пределах функций Бесконечно

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

Учебные материалы по математическому анализу в электронном виде, а также примеры экзаменационных билетов прошлых лет вы можете найти на сайте

Учебные материалы по математическому анализу в электронном виде, а также примеры экзаменационных билетов прошлых лет вы можете найти на сайте Перечень тем и вопросов, выносимых на зимнюю сессию 2013-2014 уч. год, 1 курс, 2 поток Дисциплина Математический анализ, лектор к.ф.-м.н., доцент Фроленков И.В. 1. Понятие функции. График функции. Обзор

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

Непрерывность функции

Непрерывность функции Непрерывность функции Непрерывная в точке функция, свойства Непрерывная на множестве функция Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке. Обратная функция Метод половинного деления. Односторонние пределы.

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Лекция 5. Непрерывность

Лекция 5. Непрерывность Лекция 5 Непрерывность 1 СА Лавренченко 1 Понятие непрерывной функции Физические величины часто моделируются непрерывными функциями Например, скорость автомобиля, температура воздуха или рост человека

Подробнее

Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013

Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013 Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013 1 Определения Сформулируйте определение: 2 ноября 2013 г. 1. ограниченного

Подробнее

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Лекция 8 Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Аннотация: Доказываются все названные теоремы и приводятся примеры раскрытия неопределенностей по правилу Лопиталя Определение Функция y=f() достигает

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Ответы к заданию

Ответы к заданию Ответы к заданию.. понятия одного аргумента.. Основные элементарные.. элементарных функций.4. предела f в точке. х Х Если каждому элементу х из множества Х поставлен в соответствие определенный элемент

Подробнее

Практическая работа 8 Исследование функции на непрерывность и точки разрыва

Практическая работа 8 Исследование функции на непрерывность и точки разрыва Практическая работа Исследование функции на непрерывность и точки разрыва Цель: закрепить навыки исследования функции на непрерывность и точки разрыва Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение):

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

2. Сформулируйте определение того, что предел (по Коши) функции f(x) не равен + 3. Вычислите предел, не используя правила Лопиталя: lim

2. Сформулируйте определение того, что предел (по Коши) функции f(x) не равен + 3. Вычислите предел, не используя правила Лопиталя: lim Билет 1 1 Сформулируйте определение того, что предел (по Коши) функции f(x) равен + при x + Сформулируйте и докажите теорему о пределе произведения двух функций 2 Сформулируйте определение того, что предел

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ПРЕДЕЛЫ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ПРЕДЕЛЫ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ПРЕДЕЛЫ» I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ. Числовые последовательности. Предел последовательности. Свойства пределов последовательности.. Существование предела монотонной ограниченной последовательности.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл Задачи, приводящие к понятию производной Определение Касательной S к линии y f (x) в точке A x ; f (

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x)

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x) Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(, ) f ( ) ( ) (), где ( ) при

Подробнее

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли . Предел функции. Актуальность изучения темы Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента. С помощью

Подробнее

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к экзамену по курсу 1- модулей 1. Расскажите о числах: натуральных, целых, рациональных и иррациональных. Расскажите о числовой прямой

Подробнее

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ» Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

В.И. Иванов С.И. Васин

В.И. Иванов С.И. Васин Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

«Пределы, непрерывность. Производные»

«Пределы, непрерывность. Производные» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЕРЛяликова, ЛИСпинко Несобственные

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры. Математический анализ, 27/28 Группы БПМ7 75 Промежуточный экзамен, модули 2 На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Расскажите о числах: натуральных,

Подробнее

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова, В.М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ

Подробнее

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Подробнее

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ (для

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( )

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( ) Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу (2013 2014) 29 августа 2013 г. Тема I. Вещественные числа 1. Определения 1.1. Сформулируйте правило сравнения вещественных чисел. Сформулируйте определение:

Подробнее

Математический анализ. Введение [1,3,4]

Математический анализ. Введение [1,3,4] I Краткие исторические сведения Математический анализ Введение [1,3,4] Математический анализ часть математики, в которой изучаются функции и их обобщения методами теории пределов Поскольку понятие предела

Подробнее

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр Образцы базовых задач и вопросов по МА за семестр Предел последовательности Простейшие Вычислите предел последовательности l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Вычислите предел последовательности

Подробнее

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций Лекция 5 Производные основных элементарных функций Аннотация: Даются физическая и геометрическая интерпретации производной функции одной переменной Рассматриваются примеры дифференцирования функции и правила

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Министерство образования и науки Российской Федерации Курганский государственный университет Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Подробнее

Лекция 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. 1. Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих

Лекция 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. 1. Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих Лекция НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра

Подробнее

1., 2., 3., где а, d постоянные числа.

1., 2., 3., где а, d постоянные числа. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Курс лекций по математическому анализу. Глава 3. Непрерывность функции одной переменной.

Курс лекций по математическому анализу. Глава 3. Непрерывность функции одной переменной. Глава 3 Непрерывность фнкции одной переменной 1 Непрерывность фнкции в точке Сществет несколько определений непрерывности фнкции одной переменной в точке, каждое из которы использется в определенном слчае

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 Дифференциальное исчисление функций одной

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики ФУНКЦИЯ И ЕЕ

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

Пределы. Решение контрольной работы

Пределы. Решение контрольной работы Пределы. Решение контрольной работы Нахождение предела по определению Задача. Доказать, что a a 5 + 5, 5 a a (указать N(ε)) Нужно показать, что для любого ε > найдется такое N ( ε ), что для всех a > N

Подробнее

Практикум по курсу математического анализа

Практикум по курсу математического анализа ЯА Барлукова, СФ Долбеева Практикум по курсу математического анализа Часть II Улан- Удэ Министерство образования Российской Федерации Бурятский государственный университет ЯА Барлукова СФ Долбеева ПРАКТИКУМ

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Е Б Боронина Эта книга написана для студентов технических вузов желающих подготовиться к экзамену по математическому анализу Содержание данной книги полностью соответствует

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 9-10

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 9-10 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса -го семестра специальностей РЛ,,3,6, БМТ, Лекции 9- Признаки сходимости

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

Лекция 19 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ.

Лекция 19 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. Лекция 19 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ. Пусть имеем некоторую функцию y=f(x), определенную на некотором промежутке. Для каждого значения аргумента xиз этого промежутка функция y=f(x)

Подробнее

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 6 Предел числовой последовательности СОДЕРЖАНИЕ: Предельный переход в неравенствах Подпоследовательности Фундаментальные последовательности

Подробнее

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3 Лекции 56 Глава 6 Производная функции 6 Понятие производной Пусть функция определена и непрерывна на некотором промежутке X Взяв значение X придадим аргументу приращение так что и новое значение не выходит

Подробнее

Функция одной переменной

Функция одной переменной Функция одной переменной Предел функции в точке и непрерывность функции. Точки разрыва. Определение функции. Функцией называется зависимость между двумя переменными (У и Х) в которой каждому значению независимой

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

Семинар 1 Введение в анализ. Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 3. Функции чётные и нечётные; периодические функции.

Семинар 1 Введение в анализ. Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 3. Функции чётные и нечётные; периодические функции. Семинар 1 Введение в анализ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Функция, области определения, способ задания. 2. Понятие сложной и обратной функции. 3. Функции чётные и нечётные; периодические

Подробнее

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1)

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1) 1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения (2006-2007, сем.1 1. Сформулируйте определение ограниченного множества вещественных чисел. 2. Сформулируйте определение

Подробнее

4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3

4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3 MA ksm-n4a-непрерывные функции 4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3 4.. Непрерывные функции одной переменной. 3 4... Непрерывность функции в точке. 3 4... Точки разрыва, устранимые 9

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

Функции нескольких переменных. 1. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП

Функции нескольких переменных. 1. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП Функции нескольких переменных 11. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП 1. Определение функции нескольких переменных ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X = { 1 n i X i R } U R. Функция

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л. И. Магазинников, А. Л. Магазинников ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Дифференциальное

Подробнее

Вариант 2. Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3

Вариант 2. Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3 Вариант Найти область определения функции : y arccos Область определения данной функции определяется неравенством Умножим неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства находим или

Подробнее

Тема 1. Предел и непрерывность функции

Тема 1. Предел и непрерывность функции Уметь: Тема 1. Предел и непрерывность функции Вычислять пределы функций и числовых последовательностей, используя различные приемы, в том числе, замечательные пределы, проводить сравнение бесконечно малых

Подробнее

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. Приложение. Определение первообразной функции Определение. Дифференцируемая функция F() называется первообразной для функции f() на заданном промежутке, если для всех из этого промежутка. справедливо равенство

Подробнее

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP,

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP, 5 Глава ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Пространство R n Понятие функции нескольких переменных Определение Множество всех упорядоченных наборов (,,, n ), где,,, n - действительные числа называется n-мерным

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы Вариант 5 Найти область определения функции lg5 Область определения данной функции определяется неравенством 5 > Корнями уравнения 5+ являются числа, Так как ветви параболы + 5 направлены вниз, то неравенство

Подробнее

Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания.

Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания. ГЛАВА 3. Предел и непрерывность отображения 1. Предельные точки, открытые и замкнутые множества в метрических пространствах Опр. 3.1.1. Пусть (X, ) метрическое пространство, x X, >. Проколотой - окрестностью

Подробнее