АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ"

Транскрипт

1 Пензенский государственный педагогический университет им В Г Белинского О П Сурина М В Сорокина АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Учебное пособие Пенза 9

2 Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического университета им В Г Белинского УДК 5(76) ББК я7 Сурина, О П Аналитическая геометрия в пространстве/ О П Сурина, М В Сорокина/ Учебное пособие для студентов педагогических вузов Пенза: Пензенский государственный педагогический университет им В Г Белинского, 9 с Учебное пособие представляет собой рекомендации к проведению практических занятий по аналитической геометрии, изучаемой в рамках курса геометрии в педагогическом вузе Пособие содержит краткие теоретические сведения, примеры решённых задач по каждой теме, список задач для самостоятельного решения, вопросы к коллоквиуму и экзамену Пособие предназначено для студентов и преподавателей математических специальностей педагогических вузов Рецензент: доктор технических наук, профессор А М Данилов Пензенский государственный педагогический университет им В Г Белинского О П Сурина М В Сорокина

3 Оглавление Занятие Линейные операции над векторами Скалярное произведение векторов 4 Занятие Системы координат в пространстве Деление отрезка в данном отношении Формулы преобразования координат точки Занятие Прямоугольная декартова система координат Расстояние между точками Понятие об ориентации пространства Формулы преобразования прямоугольной декартовой системы координат 8 Занятие 4 Векторное произведение векторов 4 Занятие 5 Смешанное произведение векторов Занятие 6 Различные способы задания плоскости в пространстве 8 Занятие 7 Взаимное расположение плоскостей Пучок плоскостей Угол между плоскостями 46 Занятие 8 Расстояние от точки до плоскости Геометрический смысл знака многочлена A B C D 55 Занятие 9 Контрольная работа 64 Занятие Способы задания прямой в пространстве 65 Занятие Взаимное расположение прямых Взаимное расположение прямой и плоскости 7 Вопросы к коллоквиуму 8 Занятие - Поверхности вращения Цилиндрические поверхности 84 Занятие 4 Конические поверхности 89 Занятие 5 Эллипсоид 9 Занятие 6 Гиперболоиды 99 Занятие 7-8 Параболоиды Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка 6 Занятие 9 Контрольная работа 6 Вопросы к экзамену 7 Литература 9

4 Занятие Тема: Линейные операции над векторами Скалярное произведение I Теоретические сведения векторов Определения вектора, суммы, разности двух векторов, умножения вектора на число, скалярного произведения векторов вводятся в евклидовом пространстве E так же, как и на плоскости E Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или существует плоскость, которой они параллельны Сумму трех некомпланарных векторов a, b, с можно получить по правилу параллелепипеда Отложим от некоторой точки О пространства О С В Совокупность трех некомпланарных (линейно независимых) векторов, взятых в определенном порядке, называется базисом векторного пространства евклидова пространства пространства V А Е Д векторы ОА a, ОВ b, ОС c и построим на этих векторах, как на сторонах параллелепипед Тогда диагональ параллелепипеда ОД ОАОВ ОС ОА АЕ ЕД является вектором суммы данных векторов a, b, c V Число векторов (направленных отрезков E ) базиса определяет размерность векторного e k e e i j Dim V = Dim V = 4

5 В = e, e e базис, аффинный базис В = i j, k, ортонормированный Базис называется ортонормированным, если выполняются следующие условия: ) i j, i k, j k ) i j k Коэффициенты разложения вектора по векторам базиса называются координатами вектора относительно данного базиса, те если a ae ae ae, то a, a, a координаты вектора a относительно базиса В = e, e e : a a, a a,, Для того чтобы векторы a, b, c были компланарными, необходимо и достаточно, чтобы определитель, составленный из координат этих векторов был равен нулю Те a, b, c компланарны a a a b b b c c c =, где a a, a a, b b, b b, c, c c,, c, В дальнейшем будем использовать только ортонормированные базисы Пусть, b b, b b, следующим образом: a b заданы координатами, то есть a, a a a,, Тогда операции над векторами в координатах выражаются a b а b ; a b ; a b, λ a a, a a,, a b = ab ab ab, a a a a a, () a b ab ab ab cos a, b, a b a a a b b b 5

6 sin a, b a a a b b a a a a Если, и углы, которые составляет a с базисными векторами, те = i a j a k a,, то cos, cos, cos,, = b b b a a b,, = называются направляющими косинусами вектора a Пусть a имеет координаты a a, a, }, тогда a = { a a cos, b b b a = a cos, () a = a cos Формулы () выражают геометрический смысл координат вектора a относительно ортонормированного базиса Из () и () следует, что cos + cos + cos = Последнее равенство позволяет определить один из углов,,, если известны два других Проекцией a на ось u называется число, равное произведению длины вектора a на косинус угла наклона вектора a к оси u пр u a = a cos Используя операцию скалярного произведения векторов, проекцию произвольного вектора {,, } на какую-нибудь ось u можно определить формулой пр u s s e, где e единичный вектор, направленный по оси u Если даны углы,,, которые ось u составляет с координатными осями, то e cos,cos,cos и проекция вектора s на ось u вычисляется по формуле: пр u s = cos cos cos 6

7 II Упражнения 4 Вычислить направляющие косинусы вектора a ; ; Дан модуль a = и углы =45, =6, = Вычислить проекции вектора a на координатные оси Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы: ) =45, =6, = ; ) =45, =5, =6 ; ) =9, =5, =6 4 Вектор составляет с осями Ох и О углы = и =45 Какой угол он составляет с осью О? 5 Определить при каких значениях и векторы a i j k и b i 6 j k коллинеарны? 6 Даны тройки векторов: ) a {;; }, a {;;5 }, a {; ;} ; ) b {5; ;4}, b {; 5;}, b { ; ; } Указать среди них тройки компланарных векторов 7 Найти орт вектора 6 ; ; a III Основные типовые задачи Построение линейной комбинации векторов Разложение вектора по векторам базиса векторного пространства Вычисление координат линейной комбинации данных векторов 4 Вычисление длины вектора 5 Вычисление угла между векторами Д С О IV Примеры решения задач А В Задача В параллелепипеде АВСДА'В'С'Д' заданы векторы, совпадающие с его ребрами: АВ m, К АД n, АА Д p Построить каждый из С А О В 7

8 следующих векторов: ) m n p ; ) m n p ; ) m n p Решение ) По правилу параллелепипеда сложения трех некомпланарных векторов в пространстве имеем: m n p = АВ ВС СС АС ) m n p = m n p АС АА АО ) m n p = m n p АС AA' CA AA CA AK CK, где К середина ребра АА' Задача Даны три вектора ;; вектора d ;7; 7 по базису a, b, c a, b ; ;, ;; c Найти разложение Решение Обозначим коэффициенты разложения вектора d по базису a, b, c через,, Тогда d a b c Запишем это соотношение в координатах: 7 7 Получили систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными Решая ее, получим =, =, = и d a b c Ответ: d a b c ; 4; N ;; 5 P ; ;4, Задача Даны три силы M, и приложенные к одной точке Вычислить, какую работу производит равнодействующая этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается на вектор s { ; 4;} 8

9 Решение Если вектор f изображает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора s, то работа А этой силы определяется равенством А = f s Найдем силу f, являющуюся равнодействующей данных сил M, N, P, те f M N P, f ; ; Вектор перемещения имеет координаты s ; 4; Найдем скалярное произведение f s в координатах: f s = ( )+( ) ( 4)+ = Ответ: А = Задача 4 На векторах AB { ;; 4} и AC { 4;; } построен треугольник Определить его внутренний угол при вершине В Решение В Внутренний угол при вершине В треугольника АВС можно определить как угол между неколлинеарными векторами ВА и ВС А Найдем координаты этих векторов BA AB BA {;;4 } С BC AC AB BC {7;; } a b a b a b Используем формулу cos a, b a a a b b b cos B = Следовательно, B = arccos = 45 Ответ: B = 45 Задача 5 Вектор, коллинеарный вектору a6; 8; 7,5, образует острый угол с осью O Зная, что 5, найти его координаты 9

10 Решение Так как коллинеарен вектору a, то его координаты 6 ; 8 ; 7,5 Найдем длину пропорциональны координатам a, те вектора : , 5 56, 5 Учитывая, что 5, получим 56,5α = 5 α = 6 α = 4 Отсюда следует, что имеет координаты 4; ; или 4;; Но вектор образует острый угол с осью O, следовательно k >, где k направляющий вектор оси O, ;; k Найдем k <, k > Учитывая, что k, получим, что α = 4 и вектор имеет координаты 4;; Ответ: 4;; Задача 6 Вычислите угол, который образуют единичные векторы a и b, если известно, что векторы m a b и n a b взаимно перпендикулярны Решение Из того, что векторы m и n взаимно перпендикулярны следует, что их скалярное произведение равно m n a b a b 6a 8a b b 6 a b 8 a b cos a, b Так как a b имеем: 8+8 cos a, b = cos a, b =, a, b = 8 Ответ: π

11 V Задачи для самостоятельной работы Проверить коллинеарность векторов a; ; и b 6;; 9 Установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены в одну или в противоположные стороны a ; ;6 b ;; приложены к одной точке Два вектора и Определить координаты вектора c, направленного по биссектрисе угла между векторами a и b, при условии, что c 4 Даны три вектора p; ;, q;;, r ;; Найти разложение c ; 6;5 по базису p, q, r 4 Даны неколлинеарные векторы a и b При каких значениях α и β для векторов u a b, v a b, w 4a b выполняется равенство u v w? 5 Найдите координаты вектора a, если известны его длина и углы, и, которые он образует с векторами базиса i ; j ; k а) a 4, 6, 45, 6 ; б) a 8, 5, 6, 6 ; в) a,, 45, 6 Доказать, что вектор p b a c c a b перпендикулярен к вектору a 7 Найдите угол между векторами a e e e и b 4e e e, если e, e, e, e, e e, e 6, e и e взаимноперпендикулярны AC ;; 8 Треугольник АВС задан векторами AB;; и Найдите длины медиан АМ и ВР треугольника и угол между ними f ; ; 5, когда ее точка 9 Вычислить, какую работу производит сила приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается на вектор AB { ; 5; 6} Треугольник АВС задан векторами BA { ;; } и BC { 4;; } Определить его внешний угол при вершине А Найти вектор, коллинеарный вектору a;; и удовлетворяющий условию a Даны три вектора: a; ;4, b ; 4;, c ;;4 Вычислить пр b c a Даны векторы AB { 5; ; 9} и BC { ; ; } Вычислить AB пр AC

12 Занятие Тема: Системы координат в пространстве Деление отрезка в данном отношении Формулы преобразования координат точки I Теоретические сведения Аффинной системой координат (или аффинным репером) в пространстве называется совокупность точки О пространства и упорядоченной тройки линейно-независимых (некомпланарных) векторов e, e, e R = O, e, e, e Точка О называется началом О e e M e системы координат Координатные оси O, O, O называются называются координатными (базисными) векторами соответственно осями абсцисс, ординат и аппликат, а плоскости O, O, O координатными плоскостями Векторы e, e, e Под координатами точки М пространства мы будем понимать координаты ее радиус-вектора OM в базисе { e, e, e }: OM e e, когда = M M e М(,, ) Точка М(,, ) принадлежит плоскости O тогда и только тогда, Аналогично, М(,, ) O =, М(,, ) O = Точка М(,, ) лежит на оси O тогда и только тогда, когда = и = Аналогично, М(,, ) O =, = M М (,, ) O =, =

13 Координаты вектора AB в пространстве равны разности соответствующих координат конца В и начала А вектора AB,,, где A(,, ), B(,, ) Говорят, что точка М делит отрезок М М в отношении, если M M MM Пусть относительно некоторой аффинной системы координат М (,, ), М (,, ), тогда координаты точки М, делящей отрезок MM М М в отношении ( ) вычисляются по формулам: MM,, Если М середина отрезка М М, то и тогда,, Формулы преобразования координат при переходе от новой аффинной системы координат R' = O, e, e, e к старой R = O, e, e, e имеют вид: c c c c c c c, c c e c, c, c, e c, c, c, e c, c, c где О'(,, ) R, det C = det (C T ), где базиса к новому, а координат R R R c c c C c c c c c c C T c c c c c c c c c матрица перехода от старого матрица преобразования II Упражнения Определить точку N, с которой совпадает конец вектора a { 5; ;}, если его начало совпадает с точкой M( ; 4; )

14 Определить начало вектора a { 5; ;}, если его конец совпадает с точкой (5; ; ) а) Какова особенность координат точки Р(,, ), если она лежит в плоскости O? б) Известно, что точка с координатами,, лежит на оси O Что можно сказать о ее координатах? в) Где лежат точки пространства, ординаты которых равны нулю? 4 Чему равны координаты проекций точки М(-,,) на плоскости O, O, O и на оси O, O, O? 5 Как связаны между собой координаты симметричных друг другу точек относительно: а) плоскости XOY; б) плоскости YOZ; в) прямой O; г) прямой O; д) начала координат? III Основные типовые задачи Построение точки пространства по ее координатам Вычисление координат вектора по координатам его концов Нахождение координат точки, делящей отрезок в данном отношении 4 Нахождение формул преобразования координат точек IV Примеры решения задач Задача Даны две вершины треугольника: А( 4; ;), В(;5; 6) Найти третью вершину С, зная, что середина стороны АС лежит на оси O, а середина стороны ВС на плоскости O А Р В Середина Q стороны ВС лежит на плоскости O Q = По формулам координат середины отрезка имеем: P Q Q С A C, B C, Решение Обозначим координаты точки С (,, ) Середина Р стороны АС лежит на оси O P =, P = 4 C, 5 C, C C 4 5 4

15 P A C, Итак, точка С (4; 5; ) C, C Задача Прямая проходит через две точки М ( ;6;6) и М (; 8; ) Найти точку ее пересечения с координатной плоскостью O Решение Точка пересечения прямой М М с координатной плоскостью O делит отрезок М М в некотором отношении λ Тогда М 6 8, 6 8, 4 Следовательно, М делит отрезок М М в отношении 4 По формулам деления отрезка в данном отношении получим: M М M, М Точка М (,, ) лежит в плоскости O = С другой стороны M M 4, M M, 6 4 4, 8 7 Итак, точка М пересечения прямой М М с плоскостью O имеет координаты М ( 5 ;; ) Задача Написать формулы преобразования аффинной системы координат, если известны координаты нового начала и новых координатных векторов в старой системе: e,, }, e{,, }, e{,, }, O (,, ) { 5

16 Решение Формулы преобразования координат при переходе от старой аффинной системы координат R = O, e, e, e к новой R' = O, e, e, e имеют вид: c c c c c c c, c c e c, c, c, e c, c, c, e c, c, c где О'(,, ) R, В нашем случае R R R c, c, c, c, c, c, c, c, c,,, Подставляя эти значения в формулу (*), получаем, ( ), ( ) ( ),,, (*) V Задачи для самостоятельной работы Изобразите точки А(; ; ), В( ; 4; ), С(4; ; 5), D( ; ; 5) Даны три вершины А(;-;), В(-4;;-5) и С(;-;-4) параллелограмма АВСD Найти его четвертую вершину, противоположную В Даны координаты трех вершин параллелепипеда ABCDABCD, а также точки О пересечения его диагоналей: А(; ; ), В(; ; 4), С( ; ; ), О(; ; ) Найдите координаты остальных вершин 4 Даны тройки точек: а) A (,, ), B (5,, ), C (,,4 ) ; б) A (,,5), B (,,7), C (,4, ) ; в) A (,,4), B (,, ), C (8,9, 5) Указать среди них точки, лежащие на одной прямой 6

17 5 Даны координаты двух вершин треугольника АВС: А( 4,, ), В(, 5, 6) Найдите координаты третьей вершины, если известно, что середина стороны АС лежит на оси O, а середина стороны ВС на плоскости O 6 На прямой, проходящей через точки А(; ; 4) и В(; ; ) найти точку С такую, чтобы АС=АВ и точка В лежала между точками А и С 7 На прямой l взяты последовательно точки A, A, A, A4, A5, A6 так, что A A A A A A4 A4 A5 A5 A6 Зная координаты точек A (; ; ) и A (; ; 4), определить отношения, в которых точки 5 A, A, A4, A6 делят отрезок A A 5, также координаты этих точек 8 Отрезок прямой, ограниченный точками А(5;-8;) и В(;;-7), разделен точками С, D, Е, F на пять равных частей Найти координаты этих точек 9 Найти отношение, в котором каждая из координатных плоскостей делит отрезок АВ: А(; ; 7), В(4; 5; ) Написать формулы преобразования аффинной системы координат, если известны координаты нового начала и новых координатных векторов в старой системе: а) e,, }, e{, 4, }, e{,, }, O (,,), { б) e,, }, e{,, }, {,, 5}, O ( 5,, ) { e Определить координаты новых векторов и нового начала в старой системе координат, если формулы преобразования имеют вид: а),, ; б),, ; в),, Дан тетраэдр ОАВС Написать формулы преобразования координат точек при переходе от системы координат e OA, e OB, e OC к системе О=А, e ' AO, e AB, e AC 7

18 Занятие М Тема: Прямоугольная декартова система координат Расстояние между точками Понятие об ориентации пространства Формулы преобразования прямоугольной декартовой системы М i О k j М М координат Аффинная система координат O, i, j, k называется прямоугольной декартовой системой координат, если ее базисные векторы единичны и попарно ортогональны: i j k, i j, i k, j k М(,, ) OM i j k Пусть М произвольная точка пространства, М, M, M ее проекции на координатные оси, тогда OM, OM, OM («+» берется в том случае, если проекция точки М на соответствующую принадлежит ось положительной полуоси; отрицательной полуоси) Расстояние между двумя точками в пространстве A( ; ; ), B( ; ; ), заданными своими координатами в прямоугольной декартовой системе координат вычисляется по формуле: A, B Репер R= { O, i, j, k} называется правым, если поворот от первого базисного вектора ко второму происходит против часовой стрелки, если смотреть из конца третьего вектора Если поворот происходит по часовой стрелке, то репер называется левым 8

19 координат В дальнейшем мы будем использовать в основном правую систему k j i O Прямоугольная декартова система координат (правая) k i j Прямоугольная декартова система координат (левая) Две правых (или две левых) системы координат называются одинаково ориентированными Формулы преобразования координат при переходе от новой прямоугольной декартовой системы координат R' = O, i, j, k к старой прямоугольной декартовой системе координат R = O, i, j, k имеют вид: где c c c C c c c c c c c c c c c c c c c, матрица перехода от старого базиса к новому является ортогональной В этом случае det C= Если реперы R и R одинаково ориентированы, то det C=, если противоположно ориентированы, то det C= II Упражнения а) Найти расстояние точки М(,,) до начала системы координат б) Найти расстояние точки М(,,) до координатных плоскостей Вывести формулы для нахождения расстояний от точки М(,,) до координатных осей Чему равно расстояние между точками М(,, ) и N (,, )? 9

20 III Основные типовые задачи Построение точки пространства по ее координатам Вычисление расстояния между точками Нахождение формул преобразования координат точек при переходе от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой IV Примеры решения задач Задача Построить точки М( ;;) и N(4;;5) N i k О j N N M M M Решение Для построения точки по ее координатам достаточно построить координатную ломанную, состоящую из трех звеньев, параллельных координатным осям O, O, O М( ;;) OM i, MM j, M M k Аналогично, N(4;;5) ON 4 i, N N j, N N 5k Задача Доказать, что треугольник с вершинами в точках А(, 5, 4), В(,, ), С( 5, 5, ) является равнобедренным Решение Воспользуемся формулой расстояния между точками A, B и вычислим длины сторон треугольника: AB ( ) ( 5) ( ( 4)) = , AC ( 5 ) ( 5 5) ( ( 4)) = BC ( 5 ( )) ( 5 ) ( ) = Таким образом, видим, что АВ=ВС Следовательно, треугольник равнобедренный Задача Дан прямоугольный параллелепипед АВСДА В С Д, в котором АВ =, АД =, АА = Найдите координаты вершин этого

21 параллелепипеда в системе координат, если: а) начало координат совпадает с точкой А, точки В, Д, А принадлежат соответственно положительным полуосям координат O, O, O; б) она получается из системы координат пункта а) параллельным переносом в центр параллелепипеда A k А= Д C Д j i B B АА = = Следовательно, точка A (; ; ) Под координатами точки С мы понимаем координаты ее радиусвектора AC AC AB АД i j Следовательно, AC ;; Значит С (; ; ) Аналогично, АВ АВ АА i k B ;; АС АВ АД АА i j k C ; ; АД АД АА j k Д ; ; б) Формулы преобразования координат точек при параллельном переносе системы координат R C Решение а) Так как А совпадает с началом системы координат, то А (; ; ) Точка В O =, = AB = = Следовательно, точка B (; ; ) Точка Д O =, = АД = = Значит, точка Д (; ; ) Точка А O =, = R имеют вид:,, где (;;), координаты точки относительно старой системы координат R, (';';') координаты точки относительно новой системы координат R, а ( ; ; ) координаты начала новой системы координат относительно старой Координаты нового начала О' определяются следующим образом: АО АС i j k О ;; Формулы преобразования для точки А имеют вид:

22 А( ; ; ) Аналогично, В (; ; ) R С (; ; ) R : Д (; ; ) R : В (; ; ) R'; С (;; ) R'; Д ( ;; ) R' Точка С симметрична точке А относительно О' С (;; ) Аналогично, Д симметрична В относительно О' Д ( ;; ) В симметрична Д относительно О' В (; ; ) А симметрична С относительно О' А ( ; ; ) V Задачи для самостоятельной работы Даны координаты двух вершин равностороннего треугольника A ( 4;; 7) и B (;; ) Найдите его площадь Определить радиус сферы, проходящей через точку (,, ) и имеющей центр в точке (,, 6)

23 Доказать, что четырехугольник, вершины которого находятся в точках А(7; ; 4), В(4; 4; ), С(6; 7; 8), D(9; ; ), является квадратом 4 Даны вершины треугольника А(; ; 4), В(; ; 6), С( 5; ; ) Вычислить длину его медианы, проведенной из вершины А 5 Даны вершины треугольника А(;;-), В(;-;) и С(-4;7;5) Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине В 6 Даны четыре точки А(; ; ), В(; ; ), С( ; ; ), D(; ; ) Найти точку одинаково удаленную от данных точек 7 Найти координаты центра и радиус сферы, которая проходит через точки (,, ), (,, ), (,, ), (,, ) 8 Прямая АВ пересекает координатные плоскости O и O в точках M и N Вычислить длину отрезка MN, если А(,, ), В(,, ) 9 Даны две точки А(,, ) и В(,, ) Найти множество точек С, для которых АВС равносторонний треугольник Длина ребра куба равна а Найти расстояние между центрами двух его смежных граней Найти формулы преобразования при переходе от системы O к системе O, если начало новой системы координат совпадает с началом О, ось O совпадает с осью O, лучи O и O являются соответственно биссектрисами углов O и O и новые координатные векторы являются единичными

24 Занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов I Теоретические сведения В евклидовом пространстве E зададим правую прямоугольную декартову систему координат R { O, i, j, k}, тем самым мы определяем ориентацию в пространстве и пространство становится положительно ориентированным Пусть a и b - неколлинеарные векторы Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c такой что: ) Длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла между ними: c a b sin a, b ; ) Вектор c перпендикулярен к каждому из векторов a и b : c a, c b ; ) Тройка векторов a, b, c одинаково ориентирована с тройкой базисных векторов i, j, k, те также является правой Обозначать операцию векторного произведения векторов будем следующим образом: a, b c i О k j c S a b a b пар, Если векторы a и b коллинеарны, то их векторным произведением называется нулевой вектор 4

25 Геометрический смысл векторного произведения векторов состоит в том, что модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b как на сторонах Выражение векторного произведения в координатах: a a a a a a a, b,,, где a { a, a, a} R, b{ b, b, b} R, b b b b b b i j k [ a, b] a a a b b b Свойства векторного произведения a, b a b a, b b, a (антикоммутативность) a, b a, b (ассоциативность относительно скалярного произведения) a a, b a, b a, b (дистрибутивность) 4 Свойства и 4 означают линейность операции векторного произведения векторов по первому аргументу, но в силу свойства оно линейно и по второму аргументу II Упражнения Вычислить векторные произведения векторов i, j, i, k, j, k, j, i Показать, что a, b a b a b Выяснить геометрический смысл равенства a b, a b a, b, изображая векторы a b и a b, диагоналями параллелограмма 4 Известно, что a, b Верно ли, что a или b? 5

26 5 Какому условию должны удовлетворять единичные векторы a и b, чтобы векторы m a b и n a b были: а) коллинеарны; б) взаимно перпендикулярны III Основные задачи Вычисление координат векторного произведения Доказательство коллинеарности двух векторов Вычисление площади и линейных элементов геометрических фигур 4 Вычисление момента силы IV Примеры решения задач a ; ; Задача Даны векторы векторных произведений: ) a b, b Решение Найти координаты a b, a b и b ;; ; ) Воспользуемся свойствами векторного произведения: a b, b a, b b, b a, b ) a a a a a a a b Следовательно, a b, b ; ;4 a b, a b a, a b b, a b ) a,a a, b b, a b, b 4 a, a a, b a, b b, b 4 a, b Следовательно, a b, a b = ;4;8,,,,, 5;;7 b b b b b b Задача Найдите вектор, зная, что он перпендикулярен векторам a; ;, b ;; и удовлетворяет условию i j 7k 6

27 Решение Вектор перпендикулярен векторам a и b, значит он коллинеарен векторному произведению a, b Вычислим координаты векторного произведения: a, b,, 5;7; a, b 5,7, Найдем скалярное произведение векторов: i j 7k 7 7 С другой стороны Тогда 5;7; i j 7k Следовательно, имеем Задача Векторы a, b, c и d связаны соотношениями a, b c, d, a, c b, d Доказать коллинеарность векторов a d и b c Решение Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю a d, b c a, b d, b a, c d, c c, d d, b b, d d, c c, d b, d b, d c, d Следовательно, векторы a d и b c коллинеарны Задача 4 Даны вершины треугольника А (;-;), В (5;-6;) и С (;;-) Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины В на АС А h В К С Решение Треугольник АВС рассмотрим как треугольник, сторонами которого являются векторы AB и AC Используя геометрический смысл векторного произведения: SABC, имеем AB4; 5;, AC;4; AB, AC 7

28 Найдем AB, AC,, 5;;6 5 С другой стороны, SABC AC BK SABC AC Тогда, Ответ: h = BK BK 5 Задача 5 Даны векторы a;;5 и b ;; Вычислите площадь параллелограмма, для которого векторы a и b являются диагоналями А В О b a Д С Решение Диагонали параллелограмма точкой О делятся пополам Следовательно, AO AC a, BO BД b Выразим стороны параллелограмма АД и АВ через векторы a и b АД АО ОД a b ; AB AO OB AC ВД a b Площадь параллелограмма вычислим по формуле: SAВСД АД, АВ,,,, АД АВ a b a b a a a b a, b b, b a, b SАВСД АД, AB a, b Найдем a, b,, ; ; Ответ: S 4 Задача 6 Сила p; 4;5 момент этой силы относительно точки А(;; ) приложена к точке М (4;-;) Определить 8

29 Если вектор p Решение изображает силу, приложенную к какой-нибудь точке М, а вектор a идет из некоторой точки А в точку М, то вектор a, p представляет собой момент L силы p относительно точки А Найдем координаты a и a, p a AM ; 4; L a, p,, 4;;4 Следовательно, момент силы равен вектору L4;; 4 V Задачи для самостоятельной работы Векторы a и b взаимно перпендикулярны Зная, что a, b 4, вычислить: ) a b, a b ; ) a b, a b Векторы a и b образуют угол Зная, что a, b, вычислить: ) a, b ; ) a b, a b ; ) a b,a b Какому условию должны удовлетворять векторы a и b, чтобы векторы a b и a b были коллинеарны? 4 Известно, что a, b, a, b Вычислите: а) a, b 6, б) a b,a b 5 Вектор, перпендикулярный векторам a4; ; образует с осью O тупой угол Зная, что 6 координаты и b ;;,, найти его, образует острый угол с осью O Зная, что m 5, найти его 6 Вектор m, перпендикулярный к оси O и к вектору a8; 5; координаты 9

30 7 Даны точки А(;;), В(;; ) и С(5;;6) Вычислить площадь треугольника АВС 8 Дан треугольник АВС, в котором А(;; ), В(;;), С( ;;) Вычислить длину его высоты AH 9 На векторах AB6;; и AД 4;;4 построен параллелограмм АВСД Вычислите расстояние между прямыми: а) АВ и СД; б) AД и ВС Найдите расстояние от точки А(;; ) до прямой, проходящей через точки В(;;) и С(5;;) Сила Q { ;4; } приложена к точке С(; ; ) Определите величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно начала координат Сила P ;;9 приложена к точке А(4;; ) Определить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно точки С(;4;) Вычислить площадь параллелограмма АВСД, если AB m n, AC m n, m 5, n, ( m, n )

31 Занятие 5 Тема: Смешанное произведение векторов I Теоретические сведения Пусть E ориентированное евклидово пространство Смешанным произведением трех некомпланарных векторов а, b и с, взятых в определенном порядке, называется скалярное произведение вектора а на векторное произведение векторов b и с а, b, с а b, с Геометрический смысл смешанного произведения векторов заключается в том, что оно с точностью до знака совпадает с объемом параллелепипеда, построенного на векторах а, b и с как на сторонах а V пар = а, b, с с b Свойства смешанного произведения Пусть в Е задан правый ортонормированный репер R { O, i, j, k} Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами численно равно определителю третьего порядка, составленного из координат векторов Пусть аа, а, а b b, b, b с с, с, с,, а b с а, b, с а b с а b с, тогда Если базис левый, то знак смешанного произведения меняется на противоположный

32 Тройка некомпланарных векторов а, b, с одинаково ориентирована с тройкой базисных векторов i, j, k тогда и только тогда, когда а, b, с > Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих векторов равно нулю 4 Смешанное произведение не меняет значения при циклической перестановке векторов, и меняет знак при перестановке двух векторов а, b, с b, с, а с, а, b а, b, с b, а, с ; а, b, с а, с, b 5 Операция смешанного произведения векторов линейна по каждому аргументу а, b, с а, b, с а, b, с а, b, с а) б) а а, b, с а, b, с а, b, с 6 а b, с а, b с II Упражнения Определить, какой является тройка векторов а, b, с (правой или левой), если: а) а = j, b = i, с = k ; б) а = k, b = i, с = j ; в) а = i + j, b = j, с = k Векторы а, b, с, образующие правую тройку, взаимноперпендикулярны Зная, что а = 4, b = 5, с =, вычислить а, b, с Вектор с перпендикулярен к векторам а и b, угол между а и b равен Зная, что а =, b = 6, с =, вычислить а, b, с 4 Доказать, что смешанное произведение трех векторов, из которых два коллинеарны, равно нулю

33 5 Можно ли следующие тройки векторов принять за базисные векторы пространства: а ;;, b ;; 4, с,, а ;;7, b ;;4, с ;; а) б) ; III Примеры решения задач Задача Вычислите смешанное произведение векторов а, b, с : а) а = а ;;5, b ;;, с ; ;5 i + + j 5 k, b = i j, с = j 4 k ; б) Решение а) а = i + j 5 k, следовательно, а; ; 5 b = i j b ; ; ; с = j 4 k с ;; 4 а b с,, 4 5 ( ) = + 8 = б),, 5 5 (5 5 а b с ) 5 Задача Установить, компланарны ли векторы а, b, с, если: а) а; ;, b ;;, с ; ; ; а ; ;, b ; ;, с ; 4;7 б) векторов: а) Решение Воспользуемся достаточным условием компланарности трех а, b, с Векторы а, b, с не компланарны

34 а, b, с Векторы а, b, с 7 б) компланарны Задача Доказать, что четыре точки А(;; ), В(;;5), С( ;;), Д(;;) лежат в одной плоскости Решение: Четыре точки А, В, С, Д лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы АВ, АС и АД компланарны АВ; ;6, АС ; ;, АД ; ; 4 Д Найдем смешанное произведение С векторов АВ, АС, АД : А В АВ, АС, АД = Векторы компланарны Следовательно, точки А, В, С, Д лежат в одной плоскости Задача 4 Дан тетраэдр АВСД, в котором А( ;;), В(;5; ), С( ;4; ) Найдите координаты точки Д, если известно, что она лежит на оси O, а объем тетраэдра равен 7 А Д В С Решение Объем тетраэдра равен объема 6 параллелепипеда, построенного на векторах АВ, АС, АД АВ; 4; 4, АС;; Так как точка Д O, то Д(;;), тогда АД имеет координаты АД {; ; },, 4 ( ) V = AB AC AD 4

35 6 6 6 Но объем тетраэдра равен 7, следовательно, 6 7 6, = 4 или 6 = 4 = 48 = 6 = 6 = Ответ: Д(;;6) или Д(;; ) Задача 5 Найти длину вектора ДН тетраэдра АВСД, вершины которого находятся в точках А(; 4;5), В( ; ;4), С(5;5; ), Д(; ;) А Векторы имеют следующие координаты: АВ ;;, АС ;9; 6, АД ; ; Д Н АВ, АС, АД ) = = 45 5 Следовательно, V тетр = Вычислим теперь площадь основания тетраэдра, те площадь треугольника АВС, используя геометрический смысл операции векторного произведения векторов: SABC Sпарал AB, AC В С Решение Объем тетраэдра АВСД вычисляется по формуле V S h, где h ДH 5 осн V тетр Отсюда следует, что ДН Sосн Вычислим объем тетраэдра, используя геометрический смысл смешанного произведения векторов: V тетр = АВ, АС, АД 6

36 i j k AB, AC i j k i j k AB, AC ( ) ( ) S ABC Отсюда, DH Ответ: 6 IV Задачи для самостоятельной работы Найти смешанное произведение векторов и определить ориентацию тройки векторов а, b, с в каждом из следующих случаев: а) а; ;, b ;;, с ;; ; б) а;;5, b ;;, с;4; Определить, какой является тройка а, b, с (правой или левой), если: ) a i j, b i j, c j ; ) a i j, b i j, c k Даны три некомпланарных вектора m, n, p Компланарны ли векторы a m n p, b m n p и c m n? 4 Векторы а, b, с некомпланарны При каких значениях скаляра компланарны векторы а b с, 4 а 5 b 6 с, 7а 8b с? 5 Даны точки А(;;-), В(;;), С(5;;), Д(;-;), являющиеся вершинами тетраэдра Найти: ) объем тетраэдра; ) длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины С 6 Пусть а, b, с и d - произвольные векторы Проверить тождества: а) a, b c b a c a b c ; б) a, b c, d a c b d a d b c ; в) a b, c b c, a c a, b 6

37 7 Объем тетраэдра V = 5, три его вершины находятся в точках А(;; ), В(;;), С(; ;) Найти координаты четвертой вершины Д, если известно, что она лежит на оси O 8 Дан параллелепипед АВСДА'В'С'Д', построенный на векторах АВ 4;; АД ;; АА ; ;5 Найти: а) объем, и параллелепипеда; б) площади граней; в) длину высоты, проведенной из вершины А' на грань АВСД; г) косинус угла между ребром АВ и диагональю В'Д; д) косинус угла между гранями АВСД и АД Д' А' 9 В треугольной призме АВС А'В'С' векторы АВ;;, АС; ;4 определяют основание, а вектор АА;; направлен по боковому ребру Найти: а) объем призмы; б) площади граней; в) высоту; г) угол между ребрами В'С' и А А' Дан тетраэдр, построенный на векторах АВ;;, АС;4; АД ;4; Найти: а) объем тетраэдра; б) площади граней; в) длину высоты h, проведенной из вершины Д; г) косинус угла между ребрами АВ и ВС; д) косинус угла между гранями АВС и АДС и 7

38 Занятие 6 Тема: Различные способы задания плоскости в пространстве I Теоретические сведения Направляющими векторами плоскости называются два неколлинеарных вектора а и b, параллельных плоскости а b Любой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости, называется вектором нормали плоскости n Основные виды уравнений плоскости Векторное уравнение плоскости, заданной точкой М и направляющими векторами а и b а М b Любая точка М евклидовой плоскости принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда векторы М М, а, b компланарны Векторы М М, а, b компланарны u, v R : M M u a v b, где < u <, < v < - параметры Параметрические уравнения плоскости, заданной точкой М (х,у, ) R и направляющими векторами аа, а, а и b b, b, b ua vb ua vb ua vb R 8 R

39 Каноническое уравнение плоскости, заданной точкой М (х,у, ) R и направляющими векторами аа, а, а и b b, b, b R R а b М х х у у а а а b b b 4 Уравнение плоскости, заданной тремя точками, не лежащими на одной прямой М (,, ), M (,, ), M (,, ) R M M M 5 Уравнение плоскости, заданной двумя точками М ( ; ; ), M ( ; ; ) и параллельным плоскости вектором аа, а, а, где а не R параллелен ММ М М а а а а 6 Уравнение плоскости «в отрезках» М е е е М, где a b c a b c и M a,,, M, b,, M,, c - точки R R R пересечения плоскости с осями координат М 7 Уравнение плоскости в прямоугольной декартовой системе координат 9

40 i k О j A B C n М Пусть в Е задана прямоугольная декартова система координат R O, i, j, k, na, B, CR - вектор нормали плоскости, М (х,у, ) R точка, принадлежащая плоскости, тогда уравнение плоскости имеет вид 8 Общее уравнение плоскости A B C Д, где A B C Геометрический смысл коэффициентов А, В, С в прямоугольной декартовой системе координат состоит в том, что вектор нормали плоскости имеет координаты na, B, C Теорема Любая плоскость в пространстве имеет уравнение вида A B C Д, где А, В, С действительные числа, не равные нулю одновременно, те A B C Справедливо и обратное утверждение: любое уравнение первой степени вида A B C Д определяет плоскость в пространстве II Упражнения Найти необходимое и достаточное условия параллельности вектора m m, m, m плоскости, заданной уравнением A B C Д В аффинной системе координат дана плоскость 5 Определить: а) координаты нескольких векторов, параллельных данной плоскости; б) координаты нескольких векторов, параллельных одновременно данной плоскости и одной из координатных плоскостей Исследовать положение плоскости, заданной общим уравнением A B C Д относительно системы координат, если: а) один из коэффициентов А, В, С, Д равен нулю; б) два из коэффициентов А, В, С равны нулю и Д равно нулю 4

41 4 Укажите особенности в расположении относительно системы координат плоскости: а) 5 ; б) 7 ; в) 4 5 ; г) 4 9 ; д) ; е) 4 5 Определить, какие из точек М (;;9), М (;;4), М ( ;;4) лежат на плоскости 5 6 Определить координаты нескольких точек, лежащих в плоскости 7 Определить координаты точки, имеющей абсциссу, равную единице, и расположенной в плоскости O и 6 III Примеры решения задач Задача Написать уравнение плоскости, проходящей через: а) точку a ; ; b 5; 4; ; б) три точки М(;-;-5) параллельно векторам и М(;;), К(;;-), Р(;4;5) Указать их расположение относительно системы координат Решение а) Воспользуемся каноническим уравнением плоскости и преобразуем его: 5 ; ; ; Получим уравнение плоскости: 5 Так как все коэффициенты в уравнении плоскости отличны от нуля, то плоскость пересекает все три оси координат и не проходит через начало точки: б) Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три 4

42 начало Преобразуем его: 4 5 ; Получим уравнение плоскости: 8 5 Плоскость пересекает все три оси координат и не проходит через Задача Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку М(; ;4) перпендикулярно плоскостям 5, 9 Решение ;; 5 Векторы нормалей n и n ;; данных плоскостей параллельны искомой плоскости и не коллинеарны, так как их соответствующие координаты не пропорциональны, следовательно, они являются направляющими векторами для искомой плоскости Воспользуемся уравнением плоскости, заданной точкой и направляющими векторами: 4 5, 7 4, 7 Уравнение искомой плоскости имеет вид: 7 Задача Составить уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка с концами в точках М (; ;) и М (4; ; ) перпендикулярно к нему 4

43 Решение Середина отрезка, точка М, имеет координаты: M 4 7, M M ; ; M Вектор, M, 7 M ; ; перпендикулярен плоскости по условию задачи, те является вектором нормали плоскости Воспользуемся уравнением плоскости в прямоугольной декартовой системе координат: 7, 7 Уравнение искомой плоскости имеет вид: 6 7 Задача 4 Составить уравнение плоскости, параллельной вектору l ;; и отсекающей на координатных осях O и O отрезки а =, b = Решение Воспользуемся уравнением плоскости «в отрезках»: Преобразуем это уравнение: c c c 6 6c Плоскость параллельна вектору l ;;, следовательно, используя необходимое и достаточное условия параллельности вектора плоскости, заданной общим уравнением, получим: c c 6 4c c 6 c 6 Тогда уравнение искомой плоскости имеет вид: 8 6 6, 6 4

44 Задача 5 Составить уравнение касательной плоскости к сфере 4 в точке М (;;) Решение Точка М (;;) принадлежит сфере, тк ее координаты удовлетворяют уравнению сферы и она принадлежит касательной плоскости по условию задачи, следовательно, точка М является точкой касания сферы и плоскости По свойству касательной плоскости к сфере имеем, что радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен касательной плоскости, те является вектором нормали плоскости OM ; ; 4 Центр сферы имеет координаты О(;;-), тогда Воспользуемся уравнением плоскости в прямоугольной декартовой системе координат: 4, 4 Уравнение искомой плоскости имеет вид: 5 IV Задачи для самостоятельной работы Напишите уравнение плоскости, проходящей через: а) точку М( ;; 5) параллельно плоскости XOY; б) точки М (;;) и Р(;;) параллельно оси аппликат; в) точку М(4;5; 5) и ось абсцисс; г) начало координат параллельно векторам a ;; и b ;; Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М (;; ) и имеет нормальный вектор n; ; Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки: M, M и ; ; 4; ; M ;; 4 Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям:, 5 Составить уравнение плоскости, которая проходит через две точки M ; ; и M ;; перпендикулярно к плоскости 5 44

45 6 Плоскость проходит через точку М (6; ;) и отсекает на оси абсцисс отрезок а = и на оси аппликат отрезок с = Составить для этой плоскости уравнение «в отрезках» 7 Составить уравнение плоскости, отсекающей на оси O отрезок с = 5 и перпендикулярной к вектору n;; 8 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(; ;) и параллельной плоскости: а) ; б) 5; в) 4 u v, u v, 7u v 9 Три грани параллелепипеда лежат в плоскостях 8, 4 5, 6, а одна из его вершин А имеет координаты ( ;;) Составить уравнение остальных граней параллелепипеда Точки А(;;) и В( ;;) являются вершинами тетраэдра АВСД, точка К( ;5;) серединой ребра ВС, а точка М(;;4) точкой пересечения медиан грани ВСД Составить уравнения плоскостей, в которых лежат грани тетраэдра 45

46 Занятие 7 Тема: Взаимное расположение плоскостей Пучок плоскостей Угол между плоскостями I Теоретические сведения Возможны следующие случаи взаимного расположения двух плоскостей в пространстве: Плоскости и пересекаются по прямой d ; Плоскости и параллельны ); Плоскости и совпадают ( d Пусть относительно некоторой прямоугольной декартовой системы координат R { O, i, j, k} плоскости заданы общими уравнениями: Пусть : A B C Д, n { A, B, C}, : A B C Д, n { A, B, C} A B C r rg, A B C Д r rg, тогда A B C A B C Д справедливы следующие утверждения: r = d r =, r' = r =, r' = Пусть даны две пересекающиеся плоскости и : : A B C Д ; : A B C Д Углом между плоскостями называется любой из двугранных углов, образованных этими плоскостями Угол между пересекающимися плоскостями и вычисляется по формуле: cos cos, n n A A B B C C A B C A B C 46

47 Отсюда следует, что плоскости и перпендикулярны тогда и только тогда, когда A A BB CC Пучком плоскостей называется совокупность плоскостей, проходящих через одну прямую Прямая - ось пучка Пусть плоскости и относительно некоторой аффинной системы координат заданы уравнениями: : A B C Д ; : A B C Д Тогда уравнение A B C Д A B C Д, где называется уравнением пучка плоскостей и не равны нулю одновременно обозначим уравнение пучка плоскостей можно записать в виде: A B C Д t A B C Д t, где t R и II Упражнения Проверить, что плоскости, пересекаются Указать координаты какой-нибудь точки, лежащей на линии пересечения данных плоскостей Показать, что уравнение любой плоскости, параллельной плоскости, заданной уравнением A B C Д, можно записать в виде: A B C Д Установить, какие из следующих пар уравнений определяют параллельные плоскости: а) 5 7, 5 ; б) 4 4 5, ; в) 6, Привести пример уравнений двух взаимно перпендикулярных плоскостей 5 Установить, какие из следующих пар уравнений определяют перпендикулярные плоскости: 47

48 а) 5, 9 ; б), 5 ; в) 5, 6 Привести аналитическое условие пересечения трех плоскостей в единственной точке 7 Указать координаты вектора, параллельного двум плоскостям, заданным относительно некоторой аффинной системы координат уравнениями: A B C Д ; A B C Д III Примеры решения задач Задача Определить взаимное расположение плоскостей: а) и ; б) 7 и ; в) 4 и 6 4 Решение а) Составим основную и расширенную матрицы Найдем ранг этих матриц: r ranga rang A и A r ranga rang Так как r rga и rga, то плоскости П и П совпадают б) r rga rg 7, r rga rg Следовательно, плоскости П и П параллельны в) r rg пересекаются по прямой 4, следовательно плоскости П и П

49 Задача Через точку М ( 5;6;) проведены две плоскости: одна из них содержит ось абсцисс, другая ось ординат Вычислить угол между этими двумя плоскостями Решение Составим уравнение плоскости П, которая проходит через точку М и содержит ось абсцисс Плоскость П задается двумя точками М ( 5;6;) и О(;;) и направляющим вектором i ;; Следовательно, уравнение плоскости П имеет вид: Или П : Аналогично составим уравнение плоскости П, проходящей через j ;; ) точку М и содержащей ось ординат (П : М, О, Тогда 5 6 П : 5 6 или П : cos Угол между плоскостями П и П равен 4 arccos Задача Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М (;-;-7) параллельно плоскости 5 Решение Искомая плоскость П имеет уравнение вида Д Так как точка М П, то ее координаты удовлетворяют этому уравнению: Д 7 Отсюда Д = 7 Тогда П: 7 49

50 Задача 4 Напишите уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей 5 и и через точку М(;;) Решение Так как искомая плоскость П проходит через линию пересечения двух плоскостей П и П, то она принадлежит пучку плоскостей, образованному плоскостями П и П Уравнение пучка плоскостей имеет вид: имеет вид: 5 t, где t R Тогда уравнение любой плоскости пучка и в частности плоскости П t t 5 t t Точка М(;;) П, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости: t t 5 t t, t t Отсюда имеем, что уравнение плоскости П: 5, 6 или 6 Задача 5 Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку М(; ;4) перпендикулярно плоскостям 5 и 9 Решение Искомая плоскость перпендикулярна плоскости : 5 и : 9 Следовательно, векторы нормали к плоскостям и будут параллельны плоскости Таким образом, плоскость определяется точкой М(;-;4) и двумя направляющими ;; 5 ;; векторами: n и n Уравнение плоскости имеет вид: : 4 5, 5

51 5 5 4, Итак, плоскость задается уравнением 7 Задача 6 Определить, при каких значениях a и b плоскости, b, a 6 : ) имеют одну общую точку; ) проходят через одну прямую; ) пересекаются по трем различным параллельным прямым Решение ) Три плоскости, заданные относительно аффинной системы координат общими уравнениями: :, : b, : a 6 имеют одну общую точку тогда и только тогда, когда система, составленная из уравнений этих плоскостей, имеет единственное решение (Рис ) Рис Рис Система имеет единственное решение определитель 6 a 6 6 a a 6 4 a a 5a 5 a 7 Итак, плоскости имеют одну общую точку при a 7 ) Введем обозначения: 5

52 m a 6, M b a 6 соответственно к плоскостям,, n, n, n, - векторы нормали Плоскости, и проходят через прямую, если rg m, rg M и векторы n, n, n - не коллинеарны (Рис ) rg m rg 5 5, rg m a 5 a 5 a 4 a 7 a 5, a rg M rg 5 5 b, rg M 7 b 7 b a 5 При a 7 и b векторы нормали к плоскостям имеют координаты: n ; ;, n ; ;, n ;7; 6 Нетрудно заметить, что n не параллелен n и не параллелен n Следовательно, плоскости, и пересекаются по прямой при a 7 и b ) Плоскости, и пересекаются по трем различным прямым, Рис - не если rg m, rg M и векторы n, n, n коллинеарны IV Задачи для самостоятельной работы rg m rg 5 5, rg m a 7 a 5 rg M b При a 7 и b n не параллелен n и не параллелен n Плоскости, и пересекаются по трем различным прямым при a 7 и b Установить взаимное расположение следующих пар плоскостей: 5

53 а), 4 ; б), 6 ; в), ; г), Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и параллельной плоскости: а) 4 5 ; б) 7 6 ; в) 5 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(; ;) и параллельной плоскости: а) ; б) 4 u v, u v, 7u v 4 Даны две плоскости Установить, являются ли они пересекающимися, параллельными или совпадающими: а) и 5 ; б) и 6 ; в) u v, u v, u v и 5 u, v, u v 5 При каких a плоскости a и ) пересекаются; ) параллельны; ) совпадают? a a 9 : 9 6 Определить, при каких значениях и m следующие пары уравнений будут определять параллельные плоскости: ) 5, m 6 6 ; ) 9, m ; ) m, 5 7 Определить, при каком значении следующие пары уравнений будут определять перпендикулярные плоскости: ) 5, 5 ; ) 5, ; ) 7, 8 Найти угол между плоскостями: а) 4 и ; б) и ; в) и 5 ; 5

54 г) и u, u v, 7 u v ; д) и Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(;; ) и перпендикулярной двум плоскостям: 5 и В пучке, определяемом плоскостями 5 и 4 5, найти две перпендикулярные друг другу плоскости, одна из которых проходит через точку М(;;) Показать, что плоскости 4, и 6 пересекаются в одной точке; найти ее координаты Показать, что плоскости, и 4 пересекаются по одной прямой Показать, что плоскости 4, 5, 5 пересекаются по трем параллельным между собой прямым 4 Найдите угол между плоскостями, проходящими через точку М(; ; ), одна из которых содержит ось O, а другая ось O 5 Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки М(;;) и Р(;;) и образующей угол 45 с плоскостью 6 Через линию пересечения плоскостей и проведите плоскость под углом 45 к плоскости XOY 7 Написать уравнение плоскости, перпендикулярной плоскости 4 и пересекающей ее по прямой, лежащей в плоскости OYZ 8 В прямоугольной декартовой системе координат даны уравнения граней трехгранного угла 4 5 6, 4 7, 4 5 Написать уравнения трех плоскостей, каждая из которых проходит через некоторое ребро и перпендикулярна противолежащей грани 9 Определить двугранные углы между следующими парами плоскостей: а) 6 8, 5 ; б) 5 4 5, 6 54

55 Занятие 8 Тема: Расстояние от точки до плоскости Геометрический смысл знака многочлена A B C Д I Теоретические сведения Нормальным уравнением плоскости называется уравнение cos cos cos p, () где cos,cos,cos направляющие косинусы нормали плоскости, p расстояние плоскости от начала координат O n знак нормирующего множителя берется противоположным знаку свободного члена Д уравнения () P Принято считать, что нормаль направлена от начала координат к плоскости Общее уравнение плоскости A B C Д () приводится к нормальному виду () умножением на нормирующий множитель A B C, Замечание: Если Д =, то знак нормирующего множителя можно выбрать любой Если в левую часть уравнения плоскости в нормальной форме подставить координаты любой точки пространства, то получится число, с точностью до знака, равное расстоянию от этой точки до плоскости Формула для нахождения расстояния от точки М (,, ) до плоскости П: A B C Д имеет вид: d ( M, П) A B C Д A B C 55

56 Геометрический смысл знака многочлена A B C Д состоит в следующем: неравенство A B C Д задает то полупространство относительно плоскости A B C Д, которому принадлежит n A, B, C этой плоскости, отложенного от конец вектора нормали некоторой точки плоскости; неравенство A B C Д задает другое полупространство относительно указанной плоскости II Упражнения Вывести формулу для вычисления расстояния между параллельными плоскостями Выяснить условия, при которых общее уравнение плоскости A B C Д является нормальным уравнением Привести уравнение плоскости 5 к нормальному виду 4 Определить положение точек М(;;-) и N(5;;) относительно плоскости Даны две параллельные плоскости A B C Д, A B C Д, Д Д Записать линейные неравенства, характеризующие область, расположенную между ними, и внешние области и III Основные типовые задачи Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду Нахождение расстояния от точки до плоскости Определение положения точки относительно заданной области пространства IV Примеры решения задач Задача Привести к нормальному виду уравнения плоскостей: а) 8 ; б)

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

4. Векторная алгебра

4. Векторная алгебра 15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М( 5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a ( 1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F ( 3; 2; 5) приложенной к точке А(2;

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г.

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. kiv@icm.krasn.ru 1. Вектор. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. 2. Линейные операции над векторами и их свойства.

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика»

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика» Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет Кафедра «Высшая математика» ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 8 Тема: Прямая на плоскости План Способы задания и уравнения прямой Общее уравнение прямой Особенности расположения прямой в АСК 3 Аналитическое задание полуплоскости 4 Взаимное расположение

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе.

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе. Задачи к экзамену по стереометрии в 0 классе. Векторы и координаты.. Векторная формула медианы тетраэдра. Докажите, что если М точка пересечения медиан треугольника АВС, а О произвольная точка пространства,

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1,

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ»

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный университет геосистем и технологий»

Подробнее

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Пусть ABCD параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей, точка K середина его стороны АВ, точка L середина его стороны ВС. Тогда: 1. векторы АВ

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление

Подробнее

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Далее - несколько нелинейных операций над векторами Для пары векторов, число вектор скалярное произведение

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы. ВАРИАНТ 1 1. ABCDEF вершины правильного шестиугольника. Равны ли векторы a) 4 BC и 2 AD b) 2 DC и 2 AF 2. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + 3q 3r и b = 3 p + 4q где p, q, r - единичные векторы,

Подробнее

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016 Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам 01-03 к экзамену в январе 2016 1. Операции сложения векторов и умножения вектора на число, их свойства. 2. Линейно зависимые и линейно независимые системы

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

Преобразование АСК Основные факты Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат O e 1

Преобразование АСК Основные факты Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат O e 1 МОДУЛЬ МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Практическое занятие 6-7 Тема: Преобразование координат Полярные координаты Расстояние между точками Деление отрезка в данном отношении Метод координат План Преобразование

Подробнее

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет им АД Сахарова» Факультет экологического мониторинга Кафедра физики и высшей

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» А И Недвецкая Г А Тимофеева Е Г Чеснокова Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB. --. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n

Подробнее

Пособие по векторной алгебре

Пособие по векторной алгебре Пособие по векторной алгебре Сергей Матвеев Содержание 1 Введение 1 2 Векторы в декартовой системе координат 2 3 Деление отрезка в данном отношении 4 4 Базисы на плоскости и в пространстве 5 5 Скалярное

Подробнее

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Упорядоченная тройка, некомпланарных векторов называется правой (левой), если, приведя их к общему началу, кратчайший поворот от первого вектора ко

Подробнее

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве»

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве» Банк заданий по теме «Векторы в пространстве Метод координат в пространстве» Учащиеся должны знать/понимать: Понятие вектора, способ его изображения и названия Определение равенства векторов, их коллинеарности,

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

7 класс 1. Виды углов.

7 класс 1. Виды углов. 7 класс 1. Виды углов. Угол называется прямым, если он равен 90 0. Угол называется острым, если он меньше 90 0. Угол называется тупым, если он больше 90 0, но меньше 180 0. Прямой угол Острый угол Тупой

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Структурно-логическая схема. Понятие вектора (В) Линейные операции над В. Сложение. Вычита-ние. Коллинеарность

Структурно-логическая схема. Понятие вектора (В) Линейные операции над В. Сложение. Вычита-ние. Коллинеарность Практическое занятие 3. Практикум (рекомендации к практической части) МОДУЛЬ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Тема: Линейные операции над векторами План. Понятие вектора. Основные отношения векторов.. Сложение векторов.

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды

6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды Условия задач Расчетно-графическая работа 9 4 Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии Расчет пирамиды Выбрать в декартовой прямоугольной системе координат четыре произвольные точки A B C

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия Кафедра высшей математики ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

КРАТКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ Часть I

КРАТКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ Часть I Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга» О. В. Шереметьева КРАТКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ Часть I Учебно-методическое пособие Петропавловск-Камчатский

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат 6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат Понятия вектора и линейных операций над векторами алгебраизируют геометрические высказывания т.е. заменяют геометрические утверждения

Подробнее

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK,

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK, . Дан параллелепипед ABCDA B C D. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы AB, AD, AA, найти координаты: а) вершин C, B, C ; б) точек K и L середин ребер A B и CC соответственно. Решение:

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее