ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ ВСЕХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ Краматорск 5

2 УДК- Векторная алгебра. Аналитическая геометрия: Методические указания для студентов-заочников всех специальностей/н.г. Бражник.- Краматорск: ДГМА,5.- с. Составитель Бражник Н.Г., ассистент. Рецензент Зозуля Е.С.,ст. преподаватель. Отв. за выпуск Астатов В.Н., доц.

3 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. ВЕКТОРЫ. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ В теоретической и практической деятельности мы имеем дело со скалярными величинами (длина, площадь, объем, работа, мощность, масса, плотность) и векторными величинами (скорость, сила, ускорение). Изучением конкретных свойств величин занимаются соответствующие дисциплины (физика, теоретическая механика, теория упругости). Общие для всех этих величин свойства изучает математика, используя для этого математические модели величин. Математической моделью скалярной величины является соответствующее ей множество действительных чисел - множество ее числовых значений. Математической моделью векторной величины является соответствующее ей множество направленных отрезков (речь идет о величинах, изучаемых в обычном пространстве), так как для векторной величины приходится изучать не только ее числовые характеристики, но и направление ее действия. В b e d g А c f а б в г Рисунок. Направленный отрезок АВ называется вектором и обозначается AB (или ), где А - начало вектора, В - его конец (рис..а). 3

4 Примечание. В определении вектора ничего не сказано о точке его приложения, следовательно, она не фиксирована, и вектор можно перенести в любую точку пространства параллельно самому себе, сохраняя его направление. Расстояние между началом и концом вектора называется длиной вектора (модулем или абсолютной величиной) и обозначается AB или. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых (см. рис.. б, в, г). В противном случае векторы называются неколлинеарными. c b d e Рисунок. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях, в противном случае векторы некомпланарны. На рис.. показаны компланарные векторы, b, c, d, e. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, направлены в одну сторону и имеют равные длины. 4

5 Вектор, у которого начало и конец совпадают, называют нулевым вектором. Нулевому вектору можно придать любое направление. Очевидно, что... Линейные операции над векторами К линейным операциям относятся сложение векторов и умножение вектора на число. Вычитание векторов определяется через сложение. b b c c e d f c в b б Рисунок.3 Суммой двух векторов и b называется вектор c, направленный из начала вектора в конец вектора b, при условии, что начало вектора b совпадает с концом вектора (рис. 3 а): c + b. 5

6 Примечание. Можно показать, что если векторы и b неколлинеарны, то вектор c - диагональ параллелограмма, построенного на векторах и b, приведенных к одному началу (рис..3 б). Можно найти сумму любого конечного числа векторов, если каждый последующий слагаемый вектор будет выходить из конца предыдущего (рис..3в). Так, например, суммой векторов, b, c, d, e будет вектор f, направленный из начала вектора в конец последнего вектора e. Произведением вектора на действительное число λ называется вектор λ, коллинеарный вектору, длина которого равна λ, а направление совпадает с направлением, если λ >, и противоположно, если λ <. (Если λ, то λ ). Перечислим основные свойства линейных операций. Их доказательство можно привести с помощью геометрических операций. Для любых векторов, b, c и любых действительных чисел λ и µ справедливы следующие свойства: ) + b b + ; ) ( b) + c + ( b + c) + ; 3) +, где - нулевой вектор; 4) для каждого вектора вектор (-) - является противоположным, т.е. +(- ); 5) λ ( + b) λ + λb ; 6) ( λ + µ ) λ + µ ; 7) ( λµ ) λ( µ ) ; 8) - умножение вектора на единицу не меняет этого вектора. Разностью двух векторов вектора (- b ), противоположного b : b + ( b). b называется сумма вектора и 6

7 Пример По данным векторам и b построить векторы 3 - b и b -. Решение Отнесем векторы и b к одному началу. Далее см. рис b 3 b b b b Рисунок.4.. Проекция вектора на ось Пусть даны вектор AB и ось L (рис..5).проекцией вектора на ось L называется длина отрезка A B между основаниями перпендикуляров, опущенных из точек А и В на ось L: пр L A B. В В В А А А ϕ A B L B A L L A i B L а б в г Рисунок.5 7

8 Проекция вектора AB есть скаляр и положительна, если направление вектора AB совпадет с направлением оси L. Проекция вектора AB отрицательна, если AB и L противоположно направлены (рис..5 а, б). Перечислим свойства проекций: Проекция равна нулю (т.е. A совпадет с B ) тогда и только тогда, когда вектор перпендикулярен к оси (рис..5 в). При параллельном переносе вектора его проекция не меняется. 3 Пр L AB cosϕ cosϕ - проекция вектора на ось L равна модулю вектора, умноженному на косинус угла между вектором и осью (рис..5 г). 4 ПрL ( + b) прl + прl b имеет место для любого конечного числа векторов. 5 ПрL ( λ ) λпрl, т.е. если вектор умножить на число λ, то его проекция тоже умножается на это число. Пример Найти проекцию вектора AB на ось L, если AB 5, а угол между осью и вектором равен 6 π. Решение По свойству 3 пр L AB AB cosϕ. π Пр L AB 5 cos 5. 6 Пример Найти проекцию суммы векторов 8 + b + c на ось L, если b c 3 и угол ϕ между векторами, b, c и π π осью L соответственно равен, π,. 3

9 Решение По свойству 4 Пр ( + b + c) Пр + Пр b Пр c. L L L + Вычислим проекцию каждого из векторов, b, c на ось L, получим: Пр 3 L cos ϕ 3cosπ 3 ; 3 ПрL b b cosϕ 3cosπ 3 ( ) 3 ; ПрL c c cosϕ 3 3cosπ 3. Тогда искомая проекция суммы: Пр L ( + b + c) Пр L + Пр L b + Пр L L c ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ.. Прямоугольные декартовы координаты в пространстве Из школьного курса математики известно, что прямоугольная декартова система координат на плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных осей Ох и Оу, точка О пересечения которых называется началом координат. Каждую точку М плоскости вполне определяет упорядоченная пара чисел и координаты точки М. Аналогично декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется тремя взаимно перпендикулярными осями O, O, O координатными осями, исходящими из общей точки О начала координат. Положение координатных осей можно задать с помощью единичных векторов, направленных соответственно по осям Ох, Оу, О. Векторы i, j, k называются основными или базисными ортами. Плоскости, проходящие через две координатные оси, называются координатными плоскостями. Это плоскости хо, уо, О, которые делят все пространство на восемь частей - октантов. Система прямоугольных декартовых координат в пространстве задает взаимно однозначное соответствие между точками пространства и упорядоченными тройками чисел,, координатами точки в пространстве. 9

10 Для каждой точки М пространства (рис..6) существует ее радиус- вектор r OM, начало которого - в начале координат, точке О, а конец в точке М. Пусть проекции вектора OM (точки М) на координатные оси соответственно обозначаются буквами,, : Пр O OM абсцисса точки М; Пр O OM ордината точки М; Пр O OM аппликата точки М. Тогда OM i ; OM j ; O M i + j; M M OM 3 k ; OM OM + M ' M i + j + k. M 3 OM i + j + k (.) k О M j i M M M Рисунок.6 Векторы i, j, k называются составляющими или компонентами вектора OM.Запись вектора OM в виде выражения(.)

11 называется разложением вектора OM по ортам i, j, k, или разложением вектора OM на составляющие. Числа,, называются координатами вектора OM (точки М) и обозначаются: OM (; ; )... Формула для вычисления координат вектора M M k i j Рисунок.7 Пусть даны координаты точек M ( ; ; ) и М ( ; ; ) в пространстве.т.к. M M OM OM (рис..7), а координаты радиусвекторов OM иom равны соответственно ( ; ; ) и ( ; ; ), то M M OM OM i + j + k ( i + j + k) ( ) i + ( M ) j + ( ) k M (,, ) (.) Таким образом, чтобы найти координаты вектора M M, нужно из координат его конца M вычесть координаты его начала M. Пример Даны точки М (;;3) и М (;-3; 7). Найти координаты вектора M M.

12 Решение По формулам (.) координаты вектора M M (-;-3-; 7-3) или M M (-; -5; 4), или M M i 5 j + 4k...3 Линейные операции над векторами, заданными своими координатами. Сумма (разность) векторов Пусть даны векторы ( ; ; ) и b ( ; ; ). Найти ± b : ± b ( i + j + k) ± ( i + j + k) ( ± ) i + ( ± ) j + ( ± ) k. ± b ±, ±, ± ) (.3) ( При сложении (вычитании) векторов складываются (вычитаются) их соответствующие координаты...4 Умножение вектора на число Найдем λ : Пусть дан вектор (; ; ), λ -любое действительное число. λ ( i + j + k ) λ ( λ ) i +( λ ) j + ( λ ) k. λ ( λ ; λ ; λ ) (.4) При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число. Пример Даны векторы (;-3;5) и b (;6;-). Записать векторы + b и - b в координатной форме. Решение По формуле (.3) + b (+;-3+6;5-)(3; 3; 3), - b (-;-3-6;5-(-)) (; -9; 7).

13 Пример 3 На материальную точку действуют две силы, f 3b, где 7i + j + 3k, b 3i j 3k. f Найти равнодействующую силу f. Решение Равнодействующая сила f вычисляется по формуле (.3): f f + f 3b. Тогда по формуле (.4) 4i + 4 j + 6k, -3 b 9i + 6 j + 9k. Отсюда искомая равнодействующая 3b ( 4 9) i + ( 4 + 6) j + ( 6 + 9) k 5 i + j + 5k (5; ; 5)..3 ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ЗАДАННОМ ОТНОШЕНИИ Пусть в некоторой декартовой системе координат заданы три точки: М ( ; ; ), M ( ; ; ), M(;;), причем точка М делит отрезок М М в отношении λ, т.е. M MM M λ, или M M λmm. С учетом координат векторов M M (- ; - ; - ), MM ( -; -; -). Из последнего векторного равенства получим: - λ ( -), - λ ( -), - λ ( -). Отсюда найдем,,. + λ + λ + λ ; ; -.5) + λ + λ + λ 3

14 координаты точки М деления отрезка в данном отношении λ. Если точка М - середина отрезка M! M, то λ и координаты точки М равны: ; ; (.6) Пример Даны точки М (;3;-) и M (6;;3). Точка М делит отрезок М М в отношении 3:. Найти координаты М (; ; ). Решение По условию λ,5. Из формулы (.5) следует: + λ +, 5 6 4, + λ +, 5 + λ 3 +, 5,, + λ +, 5 + λ +, λ +, 5 Следовательно, М(4;,;-3)..4 ДЛИНА И НАПРАВЛЕНИЕ ВЕКТОРА Пусть дан вектор i + j + k. Длина вектора находится по формуле + +. (.7) Ортом вектора называется единичный вектор направления, что и. Вектор находим по формуле того же 4

15 а + + i + j + k + + k i j + (.8) Пусть вектор ОМ образует с осями координат углы α, β, γ. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора ОМ. Так как а,то направляющие косинусы являются его координатами: cosα i + cos β j + cosγ k (cosα;cos β;cosγ ). (.9) Направляющие косинусы связаны соотношением: cos α + cos β + cos γ. Сравнивая выражения (.8) и (.9), получим формулы для вычисления направляющих косинусов вектора по его координатам cos α ;cos β ; cosγ (.) Пример Найти орт вектора i -4 j +3 k и его направляющие косинусы. Решение Найдем длину вектора : а + ( 4) Найдем орт вектора : 4 i j Направляющие косинусы вектора - координаты единичного вектора : 3 3 k. 5

16 4 cosα ;cos β ;cosγ ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ.5. Связь декартовых координат с полярными Говорят, что на плоскости определена полярная система координат, если задана точка О, которая называется полюсом, и исходящий из нее луч ОР, который называется полярной осью.. r М(r, ϕ ) ϕ ϕ r P M(r ; ϕ ) Рисунок.8 Положение точки М в этой системе координат задается двумя числами: так называемым полярным радиусом rом и полярным углом ϕ между полярной осью и вектором ОМ, измеряемым в радианах, считываемым от полярной оси против часовой стрелки М(r,ϕ ). В полюсе r, а угол ϕ неопределенный. Для остальных точек плоскости r>, а изменение ϕ примем: ϕ < π. В полярной системе координат также существует взаимно однозначное соответствие между парами чисел (r, ϕ ) и точками плоскости. Совместим декартову систему координат на плоскости с полярной системой координат так, чтобы ось О совпала с полярной осью ОР и начало координат с полюсом (рис..9). 6

17 M(;) r ϕ P Рисунок.9 Пусть координаты точки М в декартовой системе- (;), в полярной - (r;ϕ ). Тогда r cosϕ ; r sinϕ ; (.) r + ; tgϕ, (.) причем для однозначного определения угла ϕ по его тангенсу надо учитывать знаки,. Из формул (.) и (.) следует, что: cosϕ, (.3) r + sinϕ. r + Пример В полярной системе координат построить точки А (; π ) и 4 5 В(3; π ). 3 Решение Проведем луч, образующий угол π с полярной осью и от 4 полюса отложим отрезок, длина которого равна. Конец отрезка искомая точка А. Аналогично строим В. 7

18 А(; π ) 4 π 4 5 π 3 B(3; 5 π ) 3 Рисунок. Пример В декартовой системе координат дана точка М(-;). Найти координаты точки М в полярной системе координат. Решение. Воспользуемся формулами (.): r + ( ) +, 3 tgϕ.из этого следует, что ϕ π. 4 Точка М в полярной системе- 3 М( ; π ). 4.6 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА Определителем второго порядка называется число, записанное в виде квадратное таблицы а а а а и определяемое равенством 8

19 аа аа, где ij i, j,. Определителем третьего порядка называется число, записанное в виде квадратной таблицы а а а элемент i-й строки и j-го столбца ( ) а а 3 и определяемое равенством а аа33 + аа3а3 + а3аа3 а3аа3 ааа33 аа3а3, (.4) т.е. определитель третьего порядка равен алгебраической сумме шести слагаемых, три из которых берутся со знаком +, а три- со знаком -. а а 3 а а Введем понятия: М ij минор элемента а ij определитель, получаемый из данного определителя вычеркиванием i-й строки и j-го столбца (i, j,, 3) ; i+ j А ij M алгебраическое дополнение элемента а ij. ( ) ij Можно показать, что каждый определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т. е. а а а а а а а A + а A + а A где i,, 3; а а а а 3 33 i i i а а а а A + а A + а A, где j,, 3. а 3 а а 3 а а j j Правая часть называется разложением определителя по элементам ряда (строки или столбца). В частности, j i j i3 3 j i3, 3 j 9

20 а а а а3 аa + а A + а3 A3 а а а 3 3 а 3 33 а 3 33 а а3 а а3 а а + а а а а а есть разложение по элементам первой строки. Пример Вычислить определитель второго порядка: Решение ( 4) а а 3 а а 3 Пример Вычислить определитель третьего порядка разложением по элементам первой строки и второго ряда: 3 Решение ( ) 3( ) ( ) ( 5( ) ) + 3( ( 4)( ) 3 ) + ( 4 3 ) ( ) + 3( 8) + ( 9)

21 ( 3)( ) 5( ) ( ) 3( 8) + 5( 4 3) ( + 4) СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.7. Угол между векторами Угол ϕ между векторами и b в пространстве есть угол между векторами, равными данным и имеющим общее начало. Угол ϕмежду векторами и b обозначают ( b) ϕ (, b) ( b, ).,, причем ϕ π и.7. Определение скалярного произведения Скалярным произведением двух векторов и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: b b cosϕ, (.5) где ϕ угол между векторами и b. Так как b cos ϕ пр b, то b пр b или cos ϕ пр, то b b пр, т. е. скалярное произведение векторов равно длине b первого вектора, умноженной на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым вектором..7.3 Свойства скалярного произведения b b. λ ( b) ( λ b) 3 ( + b) c c + b c., где λ действительное число. b.

22 4 b b. Скалярное произведение равно тогда и только тогда, когда его сомножители ортогональны. Таким образом, условие ортогональности векторов и b имеет вид b. (.6) 5 квадрату его длины, отсюда, т. е. скалярный квадрат вектора равен. (.7).7.4 Таблица скалярного умножения ортов i, j, k Используя определение скалярного произведения векторов, получим: i i i i cos. Значит, j j k k. i j i j cos 9. Значит, j k k i. o.7.5 Выражение скалярного произведения через координаты векторов. Пусть даны векторы (,, ) и b (,, ). Перемножим их скалярно, используя свойства скалярного произведения и 3: b i + j + k i + j + k i i + i ( ) ( ) j + + i k + j i + j j + j k + k i + + k j + k k. Так как ) i i j j k k ; ) i j j k k i, b + +. (.8) Таким образом, скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений одноименных координат.

23 .7.6 Модуль вектора Для вектора (,, ) его модуль вычисляется по формуле + +. (.9).7.7 Угол между двумя векторами Из определения скалярного произведения b b cosϕ можно найти угол между двумя векторами,, ) и b b (,, ) по формуле cos ϕ : b ( + + cos ϕ. (.) Условие ортогональности двух векторов Согласно свойству 4 скалярного произведения условием ортогональности двух векторов (,, ) и b (,, ) является равенство: + +. (.).7.9 Расстояние между двумя точками Расстояние между точками M ; ; ) и M ; ; ) ( ( M ( ; ; : можно найти как длину вектора M ) M ( ) + ( ) + ( M )..) 3

24 Пример Найти скалярное произведение векторов ( 4; ; ) 3 и b ( ; 3; 3). Решение b 4 + ( 3) + ( ) Значит, векторы и b ортогональны. Пример Найти угол между векторами i j + k и b i 4 j + k. Решение По формуле (.) ( ) + ( ) ( 4) cos ϕ + ( ) + ( ) + ( 4) ϕ 4 rccos Пример 3 Вычислить проекцию вектора ( 3; 4; ) на ось, имеющую направление вектора b ( 4; 4; ). Решение b Пр b. b b ( 4) 4 + ( ) 8. 3 b ( ) b Тогда пр b. b 6 3 Здесь отрицательный знак показывает, что угол между вектором и осью проекции тупой. 4 4, 9

25 .7. Механический смысл скалярного произведения. Работа под действием сил Пусть материальная точка перемещается из точки В в точку М под действием силы F (рис..), тогда работа А, которую совершает сила F при этом движении, будет равна скалярному произведению силы F на вектор перемещения BM, т.е. φ F B S M Рисунок. A F BM cosϕ F S cosϕ F S, где φ угол между векторами F и BM, а S BM. Пример 4 На материальную точку действуют силы i + j k и F i 3 j + 4k. F Найти работу равнодействующей этих сил R при перемещении из точки B( ; ; ) в положение M ( 3; ; ). Решение Равнодействующая сил R F + F ( + ) i + ( 3) j + ( + 4) k 3i j + k ( 3; ; ). Вектор перемещения S BM ( 3 ) i + ( ) j + ( ( )) k 3 i + j + 3k ( 3; ; 3). 3 Искомая работа силы R при перемещении вдоль вектора BM A R S ( )

26 .8 ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Пусть заданы три некомпланарных вектора, b, c. Будем смотреть из конца вектора c на и b : если кратчайший поворот от к b будет совершаться против часовой стрелки, то такая тройка векторов называется правой;если кратчайший поворот от к b совершается по часовой стрелке, то тройка векторов, b, c называется левой. Векторным произведением двух векторов и b называется такой третий вектор c ( c b), длина и направление которого определяются условиями: c b sinϕ, где ϕ угол между векторами и b. Вектор cперпендикулярен каждому из векторов и b. 3 Векторы, b, c образуют правую тройку векторов, т. е. из конца вектора c виден кратчайший поворот от к b. c b Рисунок. Примечание Если векторы и b неколлинеарны, то модуль вектора c, т. е. c численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и b : c b b sinϕ. (.3) Примечание Из определения векторного произведения следует, что и b коллинеарны тогда и только тогда, когда b. 6

27 .8. Свойства векторного произведения. b b. λ ( b) λ b λb. 3 ( + b) c c + b c..8. Таблица векторного умножения ортов i, j, k Пусть векторы i, j, k образуют правую тройку векторов, т. е. система координат является правой. i k j Рисунок.3 Тогда i i j j k k ; i j k; j k i; k i j. j i k; k j i; i k j. Левую тройку векторов мы не рассматриваем. 7

28 8.8.3 Выражение векторного произведения через координаты векторов. Пусть даны векторы ) ; ; ( и ). ; ; ( b Перемножим их векторно, используя свойства векторного произведения: ) ( ) ( k j i k j i b j j i j k i j i i i k k j k i k k j + k j i ) ( ) ( ) ( k j i k j i +. k j i b. (.4) 8.4 Условие коллинеарности векторов Условием коллинеарности векторов и b является равенство, b т. е. k j i. ; ; b. Тогда условие коллинеарности записывается в виде: ; ;

29 или. (.5).8.5 Площадь треугольника Пусть треугольник построен на векторах и b. Тогда его площадь находят по формуле S b. (.6).8.6 Механический смысл векторного произведения. Вращающий момент силы. m A B F Рисунок.4 С помощью векторного произведения можно вычислить вращающий момент m (рис..4) силы F, приложенной в точке В тела, закрепленного в точке А: m A ( F) AB F. (.7) 9

30 Пример π Векторы и b образуют угол ϕ. Найти модуль вектора 6 c b, если 3, b 4. Решение По формуле (.3) c b b sinϕ Пример Найти векторное произведение векторов ( ; 3; ) и b ( 3; ; ). Решение По формуле (.4) i j k 3 3 c b 3 i j + k ( 6 ) i ( 4 + 3) j + ( 9) k 7i 7 j 7k. Пример 3 Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах i + j k и b i j + k. Решение Искомая площадь S равна модулю векторного произведения векторов и b, т. е. Вычислим b : i S b. b ( ) i ( + ) j + ( ) k j k i 3 j 3k. 3

31 3 Тогда S b + ( 3) + ( 3) 8 3 ( кв. ед.). Пример 4 Найти площадь треугольника с вершинами в точках A ( ; ; ); B( 3; ; 3); C ( 5; ; 6). Решение Площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах AB и AC как на сторонах, т. е. S AB AC. Составим векторы AB и AC : 3 Вычислим AB AC : i 4 Тогда AB ( ; ; 3), AC ( 4; ; 6). AB AC 3 i ( + ) j + 4 j 3 k 6 + ( + 8) k i 4 j + 8k. AB AC ( ) + ( 4) Окончательно S ABC 8 4( кв. ед.). Пример 5 Сила F i j + 4k приложена к точке B ( ; ; 3). Найти момент этой силы относительно точки A( 3; ; ). Решение. Момент m A ( F ) силы F, приложенной к точке В относительно точки А, вычисляется по формуле m A ( F) AB F.

32 Найдем AB : AB ( ; ; 4). 3 Вычислим векторное произведение AB F : i j k AB F 4 ( + 8) i ( 8 4) j + ( 4 ) k 4 Тогда m A ( F) ( 8; ; 4). 4 8 i + j + 4k..9 СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов, b, c называется число, равное скалярному произведению вектора b на вектор c, т. е. ( b) c. Смешанное произведение обозначают так: bc, тогда bc ( b) c..9. Геометрический смысл смешанного произведения Пусть даны три некомпланарных вектора, b, c. Приведем их к общему началу. Обозначим через V объем параллелепипеда, построенного на этих векторах (рис..5). d h φ c b S Рисунок.5 3

33 Тогда V Sh, где S площадь параллелограмма, построенного на векторах и b ; h высота параллелепипеда, h c cosϕ. Пусть d b, тогда по определению векторного произведения d S. Вектор d перпендикулярен векторам и b. Найдем скалярное произведение векторов d и c : d c d c cosϕ Sh. Но d c bc. Следовательно, V bc. Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Смешанное произведение может получиться со знаком "+", если угол между векторами d и c меньше π (векторы, b, c образуют правую тройку векторов), и со знаком "-",если этот угол больше π (векторы, b, c образуют левую тройку векторов). Таким образом, для любой тройки векторов, b, c V bc. (.8).9. Свойства смешанного произведения ( b) c ( b c). При перестановке двух сомножителей смешанное произведение меняет знак: bc bc cb cb. 3 Смешанное произведение равно тогда и только тогда, когда сомножители компланарны (т. е. лежат в одной плоскости)..9.3 Выражение смешанного произведения через координаты Пусть даны три вектора: ; ; ), b ; ; ), c ( 3; 3; 3 ). 33 ( (

34 Найдем bc : i j k b i j + k. Умножим скалярно b на c : ( b) c bc, т. е bc, (.9) т. к. правая часть предыдущего равенства является разложением этого определителя по элементам третьей строки..9.4 Условие компланарности трех векторов Условием компланарности трех векторов является равенство , (.3) где строки определителя координаты векторов, b, c..9.5 Объем пирамиды Так как объем параллелепипеда, построенного на векторах, b, c равен bc, то объем пирамиды c ( 5; 3; 4). V пир bc..3) 6 Пример Установить, компланарны ли векторы ( 3; 5; ), b ( ; ; ),

35 Векторы Решение По формуле (.3) проверим условие компланарности bc : 3 bc 3( 4 6) 5( 4 ) 3( ) 5( 6) , b, c компланарны. 4 Пример Вычислить объем пирамиды с вершинами в точках A( ; 3; 5), B ( ; ; ), C ( ; ; 3), D ( 3; ; 4 ). Решение По формуле (.3) V пир ABAC AD. 6 Найдем векторы AB, AC, AD : 3 Вычислим AB AC AD : AB AC AD AB ( ; 5; 4), AC ( 4; ; ), AD ( ; 5; ). 4 4 ( + ) 5( 4 + ) ( ) ( ) Тогда V пир 36 6( кубед..). 6 35

36 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ЛИНИИ, ПОВЕРХНОСТИ, ИХ УРАВНЕНИЯ.. Геометрический смысл уравнений. Две основные задачи аналитической геометрии Задача Дана линия как геометрическое место точек (г.м.т.) плоскости (поверхности), обладающих некоторыми свойствами. Составить уравнение F(,) (F(,,)), которому удовлетворяют координаты всех точек этой линии (поверхности) и только таких точек. Это уравнение называют уравнением данной линии (поверхности). Задача Дано уравнение F(,) (F(,,)). Найти г.м.т. плоскости (поверхности), координаты которых удовлетворяют данному уравнению. Все такие точки образуют линию (поверхность), соответствующую этому уравнению. Пример Окружность радиуса R есть г.м.т. плоскости, удаленных на расстояние R от некоторой точки C(,b) центра окружности. Составить уравнение окружности данного радиуса с центром в точке C ( рис..а). Решение Пусть М(,) текущая (произвольная) точка окружности. Соединим её с центром С. По определению окружности OM R, т.е. или ( ) + ( b) R ( ) + ( b) R (.) есть уравнение окружности радиуса R с центром в точке C(,b). Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат (рис..а) имеет вид: + R (. ) Пусть теперь дано уравнение окружности. Если координаты точки М(,) удовлетворяют уравнению (.), то, очевидно, значит, эта точка принадлежит окружности. 36 OM R,

37 Таким образом, уравнение (.) есть уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат. Примечание Аналогично можно показать, что уравнение ( ) + ( b) + ( c) R (.3) есть уравнение сферы радиуса R с центром в точке C(,b,c), а уравнение + + R (.4) есть уравнение сферы радиуса R с центром в точке О(,,) (рис..,б). M (, ) M (, ) C(, b) C(, b) О б Рисунок. M (, ) M (, ) а б Рисунок. Линия в пространстве определяется как г.м.т. пересечения поверхностей: F (,, ), F (,, ). Самая простая линия прямая, самая простая поверхность плоскость. 37

38 . ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ.. Уравнение прямой с заданным нормальным вектором, проходящей через заданную точку Положение прямой на плоскости вполне определено нормальным вектором прямой n ( A, B) и точкой М (, ), принадлежащей прямой (рис.3). M (, ) ( A B) n, M (, ) Рисунок.3 M Пусть М(,) текущая точка прямой. Вектор n A, B. В силу (, ) перпендикулярен вектору ( ) M перпендикулярности этих векторов получаем: n M M или ( ) + B( ) A. (.5) Это условие выполняется в том и только в том случае, если точка M лежит на прямой. Уравнение (.5) выполняется для всех точек прямой и не выполняется для точек, не лежащих на этой прямой. Значит, это и есть уравнение данной прямой... Общее уравнение прямой. Пусть дано уравнение прямой (.5). Раскроем скобки и преобразуем его A + B + ( A B ). Обозначим A B C, тогда последнее уравнение примет вид A + B + C. (.6) 38

39 Здесь А и В одновременно не равны. Таким образом, уравнение прямой может быть записано в форме (.6). Можно показать и обратное, т.е., что уравнение (.6) всегда задает прямую. В самом деле, всегда можно подобрать два числа,, удовлетворяющие условию A + B. Это уравнение вычитаем соответственно из уравнения (.6). Получим ( ) + B( ) A, а это уравнение (.5). Из доказанного можно заключить, что уравнение (.6) является общим уравнением прямой...3 Исследование общего уравнения прямой Пусть дано уравнение (.6): A + B + C. а) Если А, то уравнение примет вид B + C, прямая параллельна оси ОХ (рис.4), нормальный вектор n (, B) перпендикулярен оси ОХ (его проекция на эту ось равна ), C. B C Пусть b, тогда b, т.е. все ординаты прямой, параллельной B оси абсцисс, равны между собой. Если b, то уравнение оси абсцисс. n b Рисунок.4 б) Если В, то уравнение (.6) примет вид 39

40 A + C, прямая параллельна оси О, нормальный вектор прямой n ( A, ) перпендикулярен оси О (его проекция на эту ось равна нулю), C. A C Пусть, тогда, т.е. все абсциссы прямой параллельной A оси ординат, равны между собой (рис..5). Если, то уравнение оси O. n Рисунок.5 Рисунок.6 в) Если C, то уравнение (.6) примет вид A + B - это уравнение прямой, проходящей через начало координат (рис.6.)..4 Пересечение прямых Пересечение непараллельных прямых + B + C и A A + B + C есть точка M(,), которая является общей точкой этих прямых. Координаты точки M(,) удовлетворяют каждому из уравнений этих прямых, т.е. системе и обратно. A A + B + B 4 + C + C (.7)

41 ..5 Каноническое уравнение прямой на плоскости Пусть дана точка, ) M и вектор q ( m, n) (, а данная прямая проходит через точку M параллельно данному вектору (рис..7). Вектор q называется направляющим вектором прямой. α q ( m, n) α M (, ) M (, ) M Рисунок.7 Возьмем на прямой текущую точку M (, ). Вектор (, ) коллинеарен вектору q ( m, n) M 4. Поэтому координаты векторов M M и q пропорциональны:. (.8) m n Координаты m, n вектора q называются направляющими коэффициентами прямой...6 Прямая, проходящая через две точки на плоскости. Пусть прямая l задана двумя ее точками М (, ) и М (, ). Эту прямую можно рассматривать как прямую, проходящую через точку М (, ) с направляющим вектором M M (, ) (рис..8). Тогда уравнение прямой l будет иметь вид:. (.9)

42 Примечание. Уравнение (.9) можно записать в виде. l M (,, ) M(,, ) Рисунок.8..7 Параметрические уравнения прямой на плоскости При выводе формулы (.8) было отмечено, что векторы M M (, ) и q ( m, n) коллинеарны, т.е. M M tq, где t любое число. Запишем последнее равенство в координатной форме: tm, tn. Тогда получим: + tm, - (.) + tn параметрические уравнения прямой на плоскости. Здесь t называется переменным параметром. При изменении параметра t точка движется по прямой. 4

43 ..8 Угол наклона прямой и угловой коэффициент прямой на плоскости Углом наклона прямой к оси O называется угол, который образует прямая с положительным направлением оси O. Угол наклона может быть как острым, так и тупым. Угловым коэффициентом прямой k называется тангенс угла α наклона прямой к оси O: k tgα, (.) а) Если прямая параллельна оси O, то α, k tgα tg. π б) Если прямая перпендикулярна к оси O, то α, π k tgα tg...9 Уравнение прямой, проходящей через данную точку, с данным угловым коэффициентом. Уравнение пучка прямых Уравнение (.8) можно представить в виде n ( ), m n n где tgα, т.е. - угловой коэффициент прямой. Тогда уравнение m m (.8) можно представить так: k( ). (.) При произвольном k уравнение (.) есть любая прямая, проходящая через точку M (, ) (здесь выпадает прямая, т.к. эта прямая параллельна оси O), поэтому (.) называется уравнением пучка прямых с центром в точке M (, )... Уравнение прямой с угловым коэффициентом Общее уравнение прямой на плоскости A + B + C разрешим относительно : B A C. A C C A Если B, то. Обозначим : b, k. B B B B Тогда получим: 43

44 k + b (.3) уравнение прямой с угловым коэффициентом (рис.9.). k + b b α Рисунок.9 Здесь ktgα, b начальная ордината... Уравнение прямой в отрезках на осях Пусть прямая l пересекает оси O и O в точках M (,b) и M (,) (рис.),, b. Тогда, используя уравнение (.9) получим:, b b уравнение прямой в отрезках на осях. M (, b), + и, наконец, b + - (.4) b M (,) Рисунок. 44

45 .. Угол между прямыми. Условие перпендикулярности и параллельности прямых, заданных общими уравнениями Прямые l и l заданы уравнениями A + B + C и A + B + C соответственно. Угол между прямыми (рис..)- угол между их нормальными векторами. ϕ ϕ l l Тогда ^ ( n n ) Рисунок. A A + B cosϕ cos,. (.5) A + B A + B Если прямые nи n перпендикулярны и A A + BB (.6) есть условие перпендикулярности прямых, заданных общими уравнениями. Если прямые l l n и n коллинеарны и A B A B (.7) есть условие параллельности двух прямых на плоскости. B 45

46 ..3 Угол между прямыми на плоскости, заданными угловыми коэффициентами. Условие параллельности двух прямых. Условие перпендикулярности двух прямых l ϕ l α α Рисунок. Пусть заданы прямые l : k + b и l : k + b (рис...выразим α ϕ + α, ϕ α α ; tgα tgα tgϕ ; + tgα tgα tg k k α, tg α. k k Тогда tgϕ - (.8) + k k формула для вычисления тангенса угла между двумя прямыми. ) Если прямые l и l параллельны, то угол ϕ, тогда из формулы (.8) следует, что tg ϕ или k, k k k - (.9) условие параллельности двух прямых. π ) Если l и l перпендикулярны, то ϕ, тогда из формулы (.8) следует, что + k k или 46

47 k - (.) k условие перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами. ( A B)..4 Расстояние от точки до прямой на плоскости Пусть дана прямая l: A B + C n, - нормальный вектор прямой. + и точка ( ) M, (рис.. 3), l n d M, ) ( M (, ) Рисунок.3 Расстоянием d от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из точки M на прямую. Это значит, что расстояние от точки M до прямой l можно вычислить как модуль проекции вектора M M (где M (, ) -текущая точка прямой) на направление, определяемое вектором n. d n пр M M, т.е. d M M n, n 47

48 и,наконец, d A ( ) + B( ) A + B A + B + C d - (.) A + B M, до прямой A + B + C на формула расстояния от точки ( ) плоскости (здесь C A B, т.к. ( ) прямой). M, - текущая точка на Пример Написать уравнение прямой l с нормальным вектором n ( ; ), проходящей через точку M (, 4), привести уравнение к общему виду и построить эту прямую. Решение Уравнение прямой, проходящей через точку M,, с нормальным вектором n ( A; B) имеет вид ( ) ( ) + B( ). A Тогда в нашем случае l : ( ) ( 4). Приведем к общему виду: +. Для построения прямой необходимо и достаточно две точки:,, т.е. A ( ; ),,, т.е. B( ; ). Строим прямую: l : + A(;) B( ;) 48

49 Пример Дан треугольник координатами своих вершин A (, ), B(, ), C ( 6, ). Найти уравнение AM - высоты, опущенной из вершины A на сторону BC, а также длину этой высоты d AM. Решение Уравнение высоты AM составим как уравнение прямой, проходящей через точку A (, ) перпендикулярно вектору BC ( ; 3) : l AM : ( ) + 3( ) или в общем виде Длину высоты d вычислим как расстояние от точки A (, ) до прямой l BC. Найдем уравнение l BC как уравнение прямой, проходящей через точки B(, ) и C ( 6, ) : или 6 +, + Тогда 3 ( ) 4( + ), , d 3( ) 4( ) ( 4) ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ.3. Уравнение плоскости заданной нормальным вектором, проходящим через данную точку Положение плоскости в пространстве вполне определено нормальным вектором плоскости n ( A, B, C) и точкой M (,, ), принадлежащей плоскости (рис..4). 49

50 n ( A, B, C) M (, ), (, ) M, M Рисунок.4 Пусть M (, ) (, ) перпендикулярен вектору n ( A, B, C) M,, - текущая точка плоскости. Вектор 5. В силу перпендикулярности этих векторов получаем: n M M или A( ) + B( ) + C( ). (.) Это условие выполняется в том и только в том случае, если точка M лежит на плоскости. Уравнение (.) выполняется для всех точек плоскости и не выполняется для точек, не лежащих на этой плоскости. Значит, (.) и есть уравнение данной плоскости..3. Общее уравнение плоскости Пусть дано уравнение плоскости. Преобразуем его: A + B + C + ( A B C ). Обозначим: A B C D, тогда последнее уравнение примет вид A + B + C + D. (.3) Здесь A, B, C одновременно не равны. Таким образом, уравнение плоскости может быть записано в форме (.3). Можно показать и обратное, т.е., что уравнение (.3) всегда задает плоскость. В самом деле, всегда можно подобрать число (,, ), удовлетворяющее условию A + B + C + D Это уравнение вычтем из уравнения (.3), получим:

51 ( ) + B( ) + C( ) A. А это уравнение (.). Из доказанного можно заключить, что уравнение (.3) является общим уравнением плоскости..3.3 Исследование общего уравнения плоскости Пусть дано уравнение A + B + C + D. Здесь коэффициенты A, B, C, D - любые действительные числа и A, B, C, не равны нулю одновременно. Если A, B, C, D, то плоскость пересекает оси координат (рис..5) k i j Рисунок.5 Если D, то уравнение A + B + C определяет плоскость, проходящую через начало координат (рис..6). i k j Рисунок.6 5

52 3 Если C, то уравнение A + B + D определяет плоскость, параллельную оси O. Нормальный вектор n ( A, B, ) перпендикулярен вектору k (,, ) (оси O ), т.к. проекция вектора n на ось O равна (рис..7а). k i j k i j а б в Рисунок.7 Аналогично, если B и A, то уравнение A + C + D и B + C + D определяют соответственно плоскости, параллельные осям O и O. Нормальные векторы n ( A,, C) и n (, B, C) перпендикулярны векторам j (оси O ) и i (оси O ) (рис..7, б, в). 4 Если C, D, то уравнение A + B определяет плоскость, параллельную оси Oи проходящую через начало координат, а значит, через ось O (рис..8,а). k i j k i j k i б в Рисунок.8 j 5 k i j

53 Аналогично, если B и A, D то уравнения A + C и B + C определяют соответственно плоскости, проходящие через оси O и O (рис..8, б, в). 5 Если B, C, тогда уравнение A + D определяет плоскость параллельную осям O и O, т.к. нормальный вектор ( A, ) n, перпендикулярен векторам j (оси O ) и k (оси O ), а значит, эта плоскость параллельна координатной плоскости O (рис..9,а). k i j k i а) б) в) Рисунок.9 j k i j Аналогично, если A, C и A, B, то плоскости B + D и C + D определяют соответственно плоскости, параллельные координатным плоскостям O и O (рис 9 б, в). 6. Если B, C, D ; A, B, D ; A, C, D, то уравнения A, B, C, определяют соответственно координатные плоскости ( O ), ( O ), ( O ) (рис.). k i j Рисунок. 53

54 .3.4 Уравнение плоскости через три заданные точки Три точки M (,, ), M (,, ), M (, ) 3 3, 3 3, не лежащие на одной прямой, вполне определяют плоскость (рис..). M,, - текущая точка плоскости. Векторы Составим уравнение. ( ) M M (,, ), M M (, ) M M (, ),, 3 3, 3 3 компланарны, т. к. данные точки принадлежат одной плоскости. Из условия компланарности векторов M M M M M следует уравнение M (.4) M (,, ) M (,, ) M (,, ) M 3( 3, 3, 3) Рисунок..3.5 Уравнение плоскости в отрезках на осях M 3 (,, c) M (,, ) M (, b,) M (,,) Рисунок. 54

55 Пусть плоскость пересекает оси координат O, O, O соответственно в точках M (,, ), M (, b, ), M 3 (,, c) (рис..). Тогда, используя уравнение плоскости (.4), получим: b, c ( ) bc ( c) + ( b), bc + c + b bc, (.5) b c уравнение плоскости в отрезках..3.6 Угол между плоскостями Пусть плоскости заданы уравнениями : P : A + B + C + D, P : A + B + C + D. Угол между двумя плоскостями это угол между их нормальными векторами n ( A, B, C ) и n ( A, B, C ). Один из этих углов, в общем случае, может быть острым, а другой тупым. Тогда ^ ( n n ) A A + B B + C C cosϕ cos, ±. (.6) A + B + C A + B + C Здесь ± означает, что можно рассматривать два угла, как острый, так и тупой..3.7 Условие перпендикулярности двух плоскостей Если плоскости P и P перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы n и n. 55

56 A A + BB + CC. (.7).3.8 Условие параллельности плоскостей Если плоскости P и P параллельны, то и векторы n и n параллельны: A B C. (.8) A B C.3.9 Расстояние от точки до плоскости Пусть дана плоскость A + B + C + D и M (,, ) (рис..3). Расстоянием d от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. n d M (,, ) M (,, ) Рисунок.3 Тогда расстояние d от точки M (, ), до плоскости A + B + C + D можно вычислить как модуль проекции вектора M M (,, ), где M (, ) на направление, определяемое вектором n ( A, B, C) d n пр M M,, текущая точка плоскости, : 56

57 n M M d, n A( ) + B( ) + C( ) d A + B + C и, наконец, A + B + C + D d (.9) A + B + C формула для вычисления расстояния от точки M (,, ) до плоскости A + B + C + D. (Здесь D A B C, т.к. M (,, ) - текущая точка плоскости). Пример Составить уравнение плоскости P, проходящей через точку M (,, ) параллельно плоскости P : + +, и вычислить расстояние d от точки M до плоскости P. Решение Уравнение плоскости P имеет вид A( ) + B( ) + C( ), где,, - координаты точки M, а n ( A, B, C) - нормальный вектор плоскости P ( n (, ) ),, т.к. по условию P P : или P : ( ) + ( ) ( ) P : + +. d + + ( ) + + ( ). 6 Пример Составить уравнение плоскости P, проходящей через точки M (,, ) и M (,, ) параллельно вектору ( ; ; ). Решение Задача имеет единственное решение, т.к. векторы M M ( ; ; ) и ( ; ; ) некомпланарны. 57

58 Пусть M (,, ) - текущая точка плоскости. Тогда векторы M M (,, ), M M (,, ) и (,, ) компланарны, т.е. M M M M. Таким образом, искомое уравнение плоскости, т.е. P : +. Так как в последнем уравнении отсутствует свободный член, то плоскость проходит через начало координат..4 ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.4. Каноническое уравнение прямой в пространстве Пусть дана точка M (,, ) и вектор q ( m, n, p), а данная прямая проходит через точку M параллельно данному вектору (рис.4). L q M (,, ) M (,, ) Рисунок.4 Вектор q называется направляющим вектором прямой. Выведем уравнение прямой L. Возьмем на прямой L текущую точку 58

59 (, ). Вектор M M (, ) ( m, n p) M,, коллинеарен вектору q,. Поэтому проекции векторов M M и q пропорциональны:. (.3) m n p Уравнения (.3) называются каноническими..4. Прямая, проходящая через две точки в пространстве Пусть прямая L задана двумя точками: M (, ) M (, ) проходящую через точку M (, ) M M (,, ) (рис..5)., и,. Эту прямую можно рассматривать как прямую,, с направляющим вектором M L M Рисунок.5 Тогда уравнение прямой L будет иметь вид:. (.3).4.3 Общие уравнения прямой в пространстве Пересечение двух непараллельных плоскостей A B + C + D A + B + C + D + ( ) и ( ) P 59 P (рис..6) есть совокупность точек в пространстве, которые образуют прямую линию.

60 A + B + C + D, L : (.3) A + B + C + D. L P P Рисунок.6 Каждая точка прямой удовлетворяет обоим уравнениям (.3). Точки, не принадлежащие прямой, не могут одновременно удовлетворять обоим уравнениям. Следовательно, система(.3) определяет уравнения прямой в пространстве..4.4 Приведение прямой, заданной общими уравнениями, к каноническим уравнениям. Пусть прямая L задана общими уравнениями (.3) A + B + C + D, L : A + B + C + D. Для приведения ее к каноническим уравнениям найдем точку, принадлежащую прямой L. Задав произвольное значение, например, из (.3) получим систему уравнений с двумя неизвестными: B B из которых мы найдем и + C + C 6 + D + D,. M,, принадлежит L.. Точка ( ) Задавая произвольное значение, например, получим систему

61 A + C + D, A + C + D. из которой найдем и. Точка M (,, ) принадлежит L. Составим уравнение прямой L : или. (.3) m n p Примечание. Далее в примерах будет рассмотрен еще один способ приведения прямых к каноническому виду..4.5 Параметрические уравнения прямой в пространстве Канонические уравнения прямой (.3) используют условие коллинеарности векторов M M и q, что можно записать так: M M tq, где t - любое число. Запишем последнее равенство в координатной форме: tm, Тогда получим: tn, tp.. + tm, + tn, + tp - (.33) параметрические уравнения прямой в пространстве. Здесь t называется переменным параметром. При изменении параметра t точка,, движется по прямой. с координатами ( ) 6

62 .4.6 Угол между двумя прямыми в пространстве Пусть заданы две прямые L и L уравнениями L : и L : m n p m (рис..7). n p ϕ ϕ q q L q Рисунок.7 За угол между прямыми можно принять угол между направляющими векторами L и L : q ( m, n, ) и ( m, n ) q,. p 6 p Тогда mm + nn + p p cosϕ cos( q, q ) ±. (.34) m + n + p m + n + p Если прямые L и L перпендикулярны, то условие их перпендикулярности m + n n + p p. (.35) m Если прямые L и L параллельны, то условие их параллельности m n p. (.36) m n p

63 .4.7 Расстояние от точки до прямой в пространстве Пусть заданы точка M (, ), и прямая L своими каноническими уравнениями (рис..8) m n p. M(,, ) d L q M (,, ) Рисунок.8 Расстояние d от точки M (, ), до прямой L можно определить как высоту параллелограмма, сторонами которого служат вектор M M и направляющий вектор q прямой L, отложенный от точки M этой прямой. Поэтому расстояние d можно вычислить по формуле M M q d. (.37) q.4.8 Взаимное расположение двух прямых в пространстве Пусть заданы прямые L и L : L : и L m n p :. m n p 63

64 Тогда возможны следующие три случая взаимного расположения: Прямые пересекаются (рис..9): M q L M q L Рисунок.9 Можно доказать что прямые L и L лежат в одной плоскости (пересекаются) в том и только в том случае, если выполнено условие m m n n p p, (.3) которое известно как условие пересечения двух прямых. Прямые скрещиваются (рис..3): M q L M q L Рисунок.3 Можно доказать, что расстояние d между скрещивающимися прямыми вычисляется по формуле 64

65 3 Прямые параллельны (рис..3): M M q q d. (.3) q q M L q L M Рисунок.3 Расстояние между параллельными прямыми L и L вычисляется по формуле M M q d. (.4) q Пример Написать канонические уравнения прямой: + 3 L : + Решение Каноническое уравнение прямой имеет вид: m n p. M,,, принадлежащую прямой L. Найдём точку ( ) Пусть, тогда из системы 3 + находим и : 65

66 3, , тогда 3 _ 3, тогда M 7,, Найдём направляющий вектор прямой q ( m, n, p) векторное произведение нормальных векторов n (,, ) n (, ) : q i j k как и ( 4) i ( ) j + ( 4 + ) k 3i + 4 j + 5k ( 3, 4 5) n n, 3 Каноническое уравнение Пример Найти расстояние между прямыми L :, L : Решение Расстояние между прямыми L и L находим по формуле M M q q d. q q M ( 7, 4, 3), M (, 5, ), M M ( 8,, 5) ( 3, 4, ), ( 6, 4, ). q q. 66

67 8 5 ( 4 8) + ( 3+ ) + 5( ) M M q q ( ) ( 36) 57, q т.е. прямые скрещиваются, i j k q 3 4 i 9 j 36k. 6 4 ( ) + ( 9) + ( 36) q q 57 3 d ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ.5. Угол между прямой и плоскостью Углом ϕ между прямой и плоскостью называется меньший из двух углов между этой прямой и ее проекцией на эту плоскость π ϕ. q P ϕ ψ L n Рисунок.3 67

68 Пусть заданы плоскость P уравнением P : A + B + С + D и прямая L :. Обозначим угол между m n p направляющим вектором прямой L q ( m, n, p) вектором n ( A, B, C) и нормальным π плоскости P через ψ, тогда ψ ± ϕ, π cos ψ cos ± ϕ sinϕ Am + Bn + Cp sin ϕ (.4) A + B + C m + n + p Это и есть формула для вычисления синуса угла между прямой и π плоскостью. Здесь модуль означает, что sin ϕ, т.к. ϕ..5. Условие перпендикулярности прямой и плоскости Пусть прямая L перпендикулярна плоскости P, тогда вектор q ( m, n, p) коллинеарен нормальному вектору n ( A, B, C). В силу коллинеарности двух векторов получаем: A B C (.4) m n p.5.3 Условие параллельности прямой и плоскости Пусть прямая L параллельна плоскости P, тогда вектор q m, n, p перпендикулярен нормальному вектору плоскости ( ) ( A, B C) n,.из условия перпендикулярности векторов следует, что Am + Bn + Cp (.43) Пример Найти точку пересечения прямой плоскости и 68

69 Решение Запишем уравнения прямой в параметрической форме: 3t + 7 t + 3 t Подставим найденные, и в уравнение плоскости и вычислим t : ( 3t + 7) + ( t + 3) + 7( t ) 3 6 t t + 3 4t 7 3 7t 7 t. 3 Найденное значение t определяет точку пересечения: т.е. (, 4, 3) M Пример Найти уравнение прямой L, проходящей через точку M (,, ) перпендикулярно плоскости P : Решение Канонические уравнения прямой: m n p В нашем случае,,. В качестве направляющего вектора прямой q ( m, n, p) нормальный вектор плоскости n ( 4, 6) + L : примём,,т.к. по условию q n, тогда Пример 3 Найти уравнение плоскости, проходящей через + 3 A,,, перпендикулярно прямой. 5 Решение Уравнение плоскости, проходящей через точку, имеет точку ( ) вид: ( ) + B( ) + C( ) A

70 В нашем случае,,. В качестве нормального вектора плоскости n ( A, B, C) выбираем направляющий вектор прямой q (, 5, ), т.к. по условию n q. Таким образом, имеем: 5 или ( ) ( ) ( ) Пример 4 Написать уравнение плоскости, проходящей через M,, и прямую точку ( ) + L : ( M L, проверить!). L M (,, ) q (,,) M (,,) M (,, ) Решение. Искомое уравнение плоскости можно записать как условие компланарности трёх векторов q, M M и M M, где M (,, ) - текущая точка плоскости : M M M q, т.е. M или КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Кривая второго порядка это кривая, определяемая уравнением второй степени относительно текущих координат вида 7

71 A + B + C + D + E + F (.44) где A, B, C, D, E - действительные число, а коэффициенты A, Bи C одновременно не равны..6. Окружность Выше было приведено уравнение окружности ( ) + ( b) R (.45) Это уравнение второй степени относительно и. Преобразуем его. + + b + b R (.46) Сравним уравнение (.46) и (.44), видим, что для уравнения окружности характерно следующее: а) отсутствует член C произведения координат ; б) коэффициенты при и равны между собой..6. Эллипс Эллипсом называется г.м.т. плоскости, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек Fи F, называемых фокусами, есть величина постоянная ( ), эта величина больше расстояния между фокусами ( c ). Выведем уравнение эллипса. Введем декартову систему координат, а фокусы Fи F (рис..33) расположим на оси абсцисс так, чтобы начало координат совпадало в серединой отрезка F F c. F c, F c,. Тогда ( ) и ( ) M (, ) F ( c,) F ( c,) Рисунок.33 7

72 эллипса Пусть ( ) F M, - текущая точка эллипса. По определению M + F M ( + c), F M ( c) + F + M Тогда. ( c) + + ( c) ) Это и есть уравнение эллипса. Упростим его. Перенесем первый радикал в правую часть ( c) + ( + c) +. Возведем обе части уравнения в квадрат. ( + c) c + c c + c + 4 4, + Изолируя радикал, получим: c ( + c) + +. Возведем обе части последнего равенства в квадрат: c ( + c) + + c + ; c + c + c + + c +, или c + c, ( c ) + +. c c, тогда По определению эллипса > c. Обозначим: 7 c b, +..48) b

73 Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса (рис..34). Симметрия эллипса Уравнение (.48) содержит квадраты текущих координат, поэтому график эллипса будет симметричен относительно осей координат (рис..34). Рисунок.34 Рисунок.35 Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, которые совпадают с координатными осями. Оси симметрии эллипса называются осями эллипса. Точка пересечения осей эллипса называется центром эллипса. Ось симметрии эллипса, на которой располагаются фокусы эллипса, называется фокальной осью. Отрезок F F называется фокусным расстоянием эллипса. Вершины эллипса Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса: а) Пересечение с осью o : пусть в выражении(.48), тогда, эллипса. B (, b) A (,) F ( c,) F ( c,) A (,) A (,) A (,) B (, ) b, ± B (, b) B (, ) b F ( c,) F (,) c. Точки A (, ), ( ) A, - вершины 73

74 б) Пересечение с осью o : пусть в выражении (.48), тогда, b, b ± b ; точки B (, b), B (, b) - вершины эллипса. Отрезки A A и B B b, соединяющие противоположные вершины эллипса, называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. 3 Эксцентриситет эллипса Число, равное отношению половины фокусного расстояния к большой полуоси эллипса называется эксцентриситетом эллипса и обозначается буквой ε : c ε. По определению эллипса c <, поэтому < ε <. Примечание. Если b, то + и + - b окружность. Здесь c b. 4 Эксцентриситет окружности ε. Примечание. Если в уравнении эллипса + b его фокусы расположены на оси o (рис..35) и c b. < b, то Пример Построить эллипс Найти координаты вершин, фокусов, эксцентриситет. 74

75 Решение Здесь 4, b 3. Строим прямоугольник с центром в начале координат и со сторонами, параллельными осям Oи O и соответственно равными 8 и b 6. Внутрь этого прямоугольника вписываем эллипс (рис..36) B (,3) F ( 7,) F ( 7,) A ( 4,) A (4,) B (, 3) B Рисунок.36 Запишем координаты вершин эллипса: A ( 4, ), ( 4 ) (, 3), B (, 3). Вычислим c : c b, 6 9, c 7, c 7. Тогда координаты фокусов F ( 7, ), ( 7 ) Эксцентриситет c ε c 7 4 F,. A,, Пример Составить каноническое уравнение эллипса, если 5, c 4. Решение Вычислимb : b c, b 5 6, b 9,b3. Уравнение эллипса примет вид 75

76 .6.3 Гипербола Гиперболой называется г.м.т. плоскости, разность расстояний каждой из которых до двух данных точек F и F, называемых фокусами, есть величина постоянная (а), эта величина меньше расстояния между фокусами (с). Выведем уравнение гиперболы. Введем декартову систему координат, а фокусы Fи F (рис.33) расположим на оси абсцисс так, чтобы начало координат совпало с серединой отрезка F F c, тогда: F c, F c,. ( ), ( ) Пусть ( ) гиперболы M, - текущая точка гиперболы. По определению F ± M F M ; M ( + c) F +, M ( c) F +. Тогда ( c) + ( c) + ± +. Это и есть уравнение гиперболы. Упростим его: ( c) + ± ( + c) +. Возведем обе части уравнения в квадрат: ( + c) c + c c + c + 4 ± 4 + ; ( + c) + + c c 4 m 4 ; ( + c) c ± 4 ; c ± ( + c) + +. Возведем обе части последнего равенства в квадрат, получим: c ( + c) + + c + ; 76

77 тогда или c + c + c + + c + c + c ( c ) + c +. c По определению гиперболы < c, обозначим b называется каноническим уравнением гиперболы Симметрия гиперболы ; c b, Уравнение гиперболы содержит квадраты координат, поэтому график гиперболы будет симметричен относительно осей координат (рис..37,рис..38). B (, b) F ( c,) F (,) F ( c,) c (,) A (,) A A (,) B (, b) B (, b) A (,) B (, b) F ( c,) Рисунок.37 Рисунок.38 77

78 Гипербола имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, которые совпадают с осями координат. Оси симметрии называются осями гиперболы. Точка пересечения осей гиперболы называется центром гиперболы. Ось симметрии гиперболы, на которой расположены фокусы гиперболы, называется фокальной осью. Отрезок F F называется фокусным расстоянием гиперболы. Вершины гиперболы Точки пересечения гиперболы с осями координат называются вершинами гиперболы: а) Пересечение с осью o : пусть в (), тогда,, ±. Точки A (,), A (,) -вершины гиперболы; б) пересечение с осью o :, тогда,, b b b, ±bi. Точки B (, b), B (,b) - мнимые вершины гиперболы: пересечения с осью o нет. Фокальная ось гиперболы называется ее действительной осью, A A, а ось симметрии, перпендикулярная фокальной оси, называется мнимой осью гиперболы, B B b. - полуось по O, b - полуось по O. Эксцентриситет гиперболы число, равное отношению фокусного расстояния и действительной оси. c c ε ; У гиперболы ε >. 3 Асимптоты гиперболы Асимптотой линии, имеющей бесконечную ветвь, называется прямая, которая обладает тем свойством, что когда точка по кривой удаляется в бесконечность, ее расстояние до этой прямой стремится к. Рассмотрим уравнение гиперболы в виде 78

79 b ±. Если бесконечно возрастает, то выражение под знаком радикала стремится к, так как стремится к. Если заменить радикал единицей, то b ± (.49) Это и есть уравнения асимптот правой и левой ветви гиперболы. Замечание. Если уравнение гиперболы примет вид +, b то это означает, что фокальная ось ось o и координаты фокусов- F (, c) и ( c) F, (рис..38). Пример Построить гиперболу, найти координаты вершин,фокусов, 6 9 эксцентриситет, уравнения асимптот. Решение Данная гипербола имеет центр симметрии в начале координат, полуоси 4 (действительная), b 3 (мнимая). Чтобы построить гиперболу, сначала следует построить прямоугольник с центром в начале координат и со сторонами, параллельными осям o и o и равными соответственно 8 и b 6. Продолженные неограниченно диагонали прямоугольника будут асимптотами гиперболы, уравнения асимптот: 3 ± 4 Ветви гиперболы проведем через вершины A и A (рис..39) 79

80 B (,3) F ( 5,) F (5,) A ( 4,) A (4,) B (, 3) Рисунок.39 Вершинами гиперболы будут точки A ( 4, ) и ( 4 ) действительные, (, 3) и B (, 3) -мнимые вершины. B Параметр c вычислим по формуле c 5, c 5. 8 A, - c + b, т.е. c 6 + 9, Фокусы гиперболы находятся в точках F ( 5, ) и ( 5 ) Эксцентриситет равен: 4 ε. c 5 F,. Пример Дан эллипс +. Найти уравнение 8 5 гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы в вершинах данного эллипса. Построить эллипс и гиперболу. Решение Для данного эллипса: 8, b 5, c b Для искомой гиперболы: c 8, 3, b c Тогда уравнение гиперболы (рис..4) имеет вид. 3 5

81 5 3 8 Рисунок Парабола Параболой называется г.м.т. плоскости, равноудалённых от данной точки F, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Выведем уравнение параболы. Пусть расстояние от фокуса до директрисы равно p, т.е. BF p, где p называется параметром параболы (рис..4) A C M (, ) p B, F p, Рисунок.4 8

82 Ось абсцисс возьмём так, чтобы она проходила через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат в середине p перпендикуляра BF. Тогда фокус- F,, а уравнение директрисы p имеет вид. M, - текущая точка параболы. По определению Пусть ( ) P параболы AM MF, но AM AC + CM +, а P FM +, тогда P P + +. (.5) Это и есть уравнение параболы. Упростим его. Возведем обе части уравнения в квадрат: p p + p + p или p (.5) Уравнение (.5) называется каноническим уравнением параболы..6.5 Исследование формы параболы по её каноническому уравнению. В уравнение (.5) входит в квадрате, поэтому ось o является осью симметрии параболы. Ось симметрии параболы называется фокальной осью. Точка пересечения параболы с осью симметрии называется её вершиной. При получим у, значит, парабола имеет единственную вершину O (,). Из уравнения (.5) ± p, 8

83 поэтому при p >,, значит, все точки параболы лежат справа от оси O. Из уравнения (.5) также следует, что при неограниченном возрастании абсолютная величина неограниченно возрастает. Примечание. Если p, то все точки параболы расположены слева от оси O. Примечание. Если за фокальную ось принять ось ординат, то уравнение параболы примет вид p, ось симметрии которой O, все точки параболы расположены выше оси o. O. Если p, все точки параболы расположены ниже оси Пример Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что парабола проходит через точку A ( 9, 6) и симметрична относительно оси абсцисс. Найти уравнение директрисы, координаты фокуса. Решение Так как по условию парабола проходит через начало координат, точка с абсциссой 9 >, симметрична оси O, то её уравнение- p. Точка A принадлежит параболе, значит, её координаты удовлетворяют уравнению параболы: 6 p 9, p. Тогда уравнение искомой параболы: 4. Уравнение директрисы p. Фокус находится в точке ( ) F,. 83

84 .6.6 Преобразование уравнения линии второго порядка к каноническому виду Если в уравнении второго порядка отсутствует член с произведением координат, т.е. уравнение имеет вид A + C + D + E + F, то оно преобразуется к каноническому виду после параллельного переноса осей координат. Пример Упростить уравнение линии Определить тип, найти координаты центра симметрии, полуоси, построить. Решение Группируем члены с одноименными координатами: ( 4) + ( ) 7 или ( ) + 3( + ) 7. Дополним скобки до полных квадратов: , ( ) ( ) ( ) + 3( + ) ( ) 3( + ) + ( ) ( + ),, Данная линия эллипс (рис..4). Центр симметрии находится в точке C( ),, 6, b. C(, ) Рисунок.4 84

85 Пример Упростить уравнение линии Определить тип линии, центр симметрии, построить. Решение Группируем члены с одноимёнными координатами: , ( ) ( ) 4( ) 6( + 6) 76. Дополним скобки до полных квадратов: ( + ) 6( ) ( ) 6( + 3) ( ) 6( + 3) 4( ) 6( + 3) ( ) ( + 3) , 64,, Данная линия гипербола. 76, Центры симметрии точка C (, 3), 4, b, Построим её (рис..43 ). C(, 3) Рисунок.43 85

86 Пример 3 Упростить уравнение линии + 3. Определить тип линии и построить её. Решение Выделим полный квадрат по у : + 3, ( + ) + 3, ( ) + 3, ( ) ( ). Данная линия парабола. Центр симметрии точка ( ) симметрии параллельна оси O. Строим параболу ( рис.44 ). C,. Ось C(,) Рисунок.44.7 ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.7. Сфера Выше было выведено уравнение сферы с центром в точке O (, b, c) и радиусом R. ( ) + ( b) + ( c) R (.5) Преобразуем уравнение (.5): + + b c + + b + c R, (.53) 86

87 получим уравнение второй степени относительно текущих координат,,, в котором: ) отсутствуют члены с произведением координат; ) координаты при,, равны между собой. Любое уравнение с указанными свойствами, вообще говоря, есть уравнение сферы..7. Цилиндрические поверхности Цилиндрической поверхностью (или цилиндром) называется поверхность, описываемая прямой (образующей), проходящей параллельно некоторой фиксированной прямой и пересекающей данную линию (направляющую) (рис..45,рис..46,рис..47). Рисунок.45 Рисунок.46 Рисунок.47 Всякая цилиндрическая поверхность, образующие которой параллельны оси O (соответственно O, O ) может быть представлена уравнением F (, ) (соответственно F (, ), F (, ) ). На плоскости o уравнение F (, ) определяет линию L - направляющую той цилиндрической поверхности. Например, уравнение + в пространстве определяет цилиндрическую поверхность, b 87

88 направляющая которой- эллипс +, а образующие b параллельны оси O. Такая поверхность называется эллиптическим цилиндром (рис..45) Уравнение определяет цилиндрическую b поверхность, называемую гиперболическим цилиндром с образующими, параллельными оси o и направляющей - гиперболой на b плоскости O (рис..46). Уравнение p определяет цилиндрическую поверхность, называемую параболическим цилиндром, с образующими, параллельными оси o, и направляющей p - параболой в плоскости O (рис..47)..7.3 Kонус Конической поверхностью (конусом) называется поверхность, описываемая прямой (образующей), проходящей через данную точку (,, ) (вершину) и пересекающую данную линию (направляющую) конической поверхности (рис.48). (,, ) Рисунок.48 88

89 89 Уравнение конуса второго порядка имеет вид. + c b (.54) В сечении конуса плоскостями, получаются пары прямых + c c,, +,,, c b c b с помощью которых, соответственно, можно изобразить конус (.54)..7.4 Поверхности вращения Поверхностью вращения называется г.м.т., которое образуется при вращении наклонной плоской линии (образующей) вокруг оси l (оси вращения). Каждая точка образующей при вращении ее вокруг оси l описывает окружность. Если в плоскости o дана некоторая линия F ), (, то, чтобы получить уравнение поверхности, образованной вращением этой линии вокруг оси o, нужно в уравнении этой линии заменить на + ±.. Полученная поверхность будет выражена уравнением F + ±,, а вокруг оси o-., + ± F Некоторые поверхности второго порядка приведены в Таблице..

90 Таблица. Поверхности II порядка Эллипсоид Гиперболоид Название Однополостный 3 Двуполостный Канонические уравнения + + b c + b + b c c (.55) (.56) (.57 Схематический чертеж 4 Конус + b c (.58) 5 Эллиптический + b (.59) 6 Гиперболический Цилиндр b (.6) 7 Параболический p (.6) 8 Эллиптический Параболоид 9 Гиперболический + p (.6) b p (.63) b 9

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет им АД Сахарова» Факультет экологического мониторинга Кафедра физики и высшей

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика»

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика» Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет Кафедра «Высшая математика» ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ ЛП КАГАДИЙ ИЛ ШИНКОВСКАЯ ИП ЗАЕЦ ЛФ СУШКО ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Часть I Утверждено на заседании Ученого совета академии

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Далее - несколько нелинейных операций над векторами Для пары векторов, число вектор скалярное произведение

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич.

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич. МЛ Каган ТС Кузина ТА Мацеевич Векторная алгебра Предлагаемый электронный вариант учебного пособия подготовлен на основе книги МЛ Кагана и МВ Самохина «Математика в инженерном вузе Алгебра и геометрия»

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАЗДЕЛ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть I Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ Е. И. Галахов, О. А. Салиева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие Москва 2009 1 Галахов Е. И., Салиева О. А. Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

Р.М. Минькова ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Р.М. Минькова ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» РМ Минькова ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебно-методическое пособие Научный редактор

Подробнее

Е.А. Гонжа. векторная алгебра и аналитическая геометрия

Е.А. Гонжа. векторная алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) ЕА Гонжа векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания

Подробнее

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Упорядоченная тройка, некомпланарных векторов называется правой (левой), если, приведя их к общему началу, кратчайший поворот от первого вектора ко

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Пособие по векторной алгебре

Пособие по векторной алгебре Пособие по векторной алгебре Сергей Матвеев Содержание 1 Введение 1 2 Векторы в декартовой системе координат 2 3 Деление отрезка в данном отношении 4 4 Базисы на плоскости и в пространстве 5 5 Скалярное

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Белгородский государственный технологический университет им ВГ Шухова Кафедра прикладной математики Утверждено научно-методическим советом университета Линейная алгебра

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий)

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи)

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Раздел 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Лекция Тема: Прямая на плоскости 6 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Прямая, которая служит для изображения действительных чисел, на которой выбраны начальная

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Лекция 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости задана декартова система

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление

Подробнее

Глава 7 Плоскость в пространстве

Глава 7 Плоскость в пространстве Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к решению задач по теме «Аналитическая

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее