ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»"

Транскрипт

1 ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

2 ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного на векторах a m n b m n где m и n единичные векторы угол между которыми Вычислить a b ) a ) a ) a если a ˆ ; b ϕ ( b ) π a ˆ ; b ϕ ( b ) π a ˆ b ϕ ( b ) π Даны четыре точки: А ( ) В ( ) С ( ) D ( ) Найти объем тетраэдра с вершинами в этих точках Даны два базиса: e e e и e e e Выразить векторы второго базиса через векторы первого базиса Найти необходимые и достаточные условия того чтобы прямые r r ta и r r tb пространства n R были бы: ) параллельны; ) перпендикулярны r i j k и прямой Найти точку пересечения плоскости ( ) r ( i j k ) t( i j k ) Даны матрицы: Найти: C A T B AB Вычислить определители: B C

3 Найти A если A Вычислить ранг матрицы A Является ли линейным оператором отображение ϕ переводящее каждый вектор ( ) a a a a в вектор b : ) ( ) a a a b ; ) ( ) a a a a a b Решить систему матричным способом: Найти общее решение и фундаментальную систему решений:

4 ВАРИАНТ Даны две точки: М ( ) и N ( ) Вычислить проекцию вектора a i j k на вектор MN Какой угол образуют единичные векторы a и b если известно что векторы p a b и q a b взаимно перпендикулярны? Даны векторы a ( ) и b ( ) Найти координаты векторов: ) a b ; ) a b ; ) a ( a b ) Выяснить компланарны ли векторы a b λ a и γ c где λ γ a b ( ) c ( )? ( ) Является ли вещественным линейным пространством множество чисел вида a b относительно сложения и умножения на действительные числа (а b R)? При каких значениях т и С прямая перпендикулярна к плоскости y Cz? Даны матрицы: Найти: A T B C AC Вычислить определители: Найти A если B A y z m C Вывести условия при которых прямые r r ta и r r ta пересекаются

5 Определить ранг матрицы A Найти матрицу оператора ϕ в базисе e e e если: ) ( ) e e e e ϕ ( ) e e e e ϕ ( ) e e ϕ ; ) ( ) e e ϕ ( ) e e ϕ ( ) e e ϕ Решить систему матричным способом: Найти общее решение и фундаментальную систему решений:

6 ВАРИАНТ На оси OZ найти точку равноудаленную от точек А ( ) и В ( ) Найти угол между диагоналями параллелограмма построенного на векторах a i j b j k Сила { } F приложена к точке В () Найти момент этой силы относительно точки А ( ) Выяснить компланарны ли векторы a b a b a c где () b () c i j k Показать что векторы e ( ) e ( ) ( ) R a e образуют базис в Найти угол между прямыми Найти проекцию точки Q ( ) на плоскость y z Даны матрицы: Найти: A AB A Вычислить определители: Найти A если A B A и

7 Найти ранг матрицы A В базисе e e заданы вектор ( ) a и матрица ϕ A линейного оператора ϕ Найти в этом базисе координаты вектора ( ) a b ϕ Решить систему по формулам Крамера: Найти общее решение и фундаментальную систему решений:

8 ВАРИАНТ Определить координаты центра тяжести треугольника АВС с вершинами А () В () С () Векторы a и b образуют угол ϕ Зная что a b вычислить угол α между векторами p a b и q a b Даны вершины треугольника А () В () и С ( ) Найти площадь треугольника АВС и длины его сторон Вычислить смешанное произведение векторов a b c если: ) a i j k b i j k c i j ; ) a { } b { } { } c n Пусть M множество всех п-мерных векторов-строк из R у которых первая и последняя координаты равны между собой Показать что M есть линейное подпространство в R Указать какой-либо базис M Какова размер- n ность M? Найти угол между прямыми Проверить принадлежат ли прямые одной плоскости Даны матрицы: Найти: AB B A Вычислить определители: A y z B и y z

9 Найти A если A Вычислить ранг матрицы A Доказать что ортогональное проектирование трехмерного пространства на ось ОХ является линейным оператором Найти матрицу этого оператора в базисе k j i Определить ранг и дефект оператора Решить систему по формулам Крамера: Найти общее решение и фундаментальную систему решений:

10 ВАРИАНТ Даны точки А () В ( ) и С (αβ) При каких значениях α и β точка С лежит на прямой АВ? Вектор a составляет с векторами b и c углы соответственно α π β π Найти прa ( b c ) если b c Вычислить a b если ) a b ϕ π ; ) a b ϕ π ; ) a b ϕ π где ( a ˆ b ) ϕ Можно ли провести плоскость через точки: А () В () С ( ) D ( )? n Пусть N множество всех тех п-мерных строк из R у которых координаты с четными номерами равны нулю Показать что N линейное подпространство в R Найти какой-либо базис и указать размерность n N Через точку Q( ) провести прямую параллельную прямой r i j k t i j k ( ) Принадлежат ли прямые одной плоскости? Даны матрицы: Найти: A T C B AB Вычислить определители: y z y z B C

11 Найти A если A Вычислить ранг матрицы A Пусть Z векторное пространство всех квадратных действительных матриц второго порядка Доказать что преобразование ϕ состоящее в умножении матриц а из Z: ) слева; ) справа на матрицу является линейным оператором Найти матрицу оператора ϕ в базисе: Решить систему матричным способом: Найти общее решение и фундаментальную систему решений:

12 ВАРИАНТ На оси ординат найти точку равноудаленную от точек А ( ) и В ( ) Даны два вектора a ( ) и b ( ) Найти вектор при условии что он перпендикулярен к оси OZ и удовлетворяет условиям: a b Векторы a и b ортогональны и a b ) ( b a ) ( b a ) ) ( a b ) ( a b ) ; Найти: Можно ли провести плоскость через точки: А () В ( ) С () и D ( )? Квадратная матрица порядка п A ( a ij ) называется симметрической если ij a ji a для всех i j K n Доказать что все симметрические матрицы порядка п образуют линейное подпространство пространства всех квадратных матриц порядка п Найти базис и размерность этого подпространства Найти точку пересечения прямых ( ) t( ) r ( ) t( ) Найти значение γ при котором прямые принадлежат одной плоскости Даны матрицы: Найти: AB B A Вычислить определители: A r и y z и γ B y z

13 Найти A если A Вычислить ранг матрицы A Пусть ϕ ортогональное проектирование трехмерного пространства на плоскость ХОZ а ψ ортогональное проектирование этого пространства на ось OY Найти матрицы операторов ϕψ и ψϕ в базисе k j i Решить систему по правилу Крамера: Найти общее решение и фундаментальную систему решений:

14 ВАРИАНТ Определить длины диагоналей параллелограмма если стороны его совпадают с векторами OA i j и OB k j Найти вектор перпендикулярный векторам a i j и b j k если известно что его проекция на вектор c i j k равна Даны векторы a { } и b { } ) a b ; ) a b ; ) ( a b ) b Найти координаты векторов: Даны четыре точки: А ( ) В ( ) С ( ) и D ( ) Найти объем параллелепипеда построенного на векторах BA BC и BD как на ребрах Квадратная матрица A ( a ij ) порядка п называется кососимметрической если a ij ji a для всех i j K n Доказать что все кососимметрические матрицы образуют линейное подпространство пространства всех квадратных матриц порядка п Найти базис и размерность этого подпространства Найти точку пересечения прямых r r ta и r r ta где r ( ) a ( ) r ( ) ( ) a Составить уравнение плоскости проходящей через точку В ( ) параллельно прямым y z y z Даны матрицы: Найти: C T A B AB Вычислить определители: B C

15 Найти A если A Вычислить ранг матрицы A Пусть ϕ g ψ ортогональное проектирование трехмерного пространства соответственно на оси ОХ OY ОZ Найти в базисе k j i матрицу оператора: ) (ϕ g ψ) ϕ; ) ψψ; ) (ϕ g) ψϕ Решить систему матричным способом: z y z y z y Найти общее решение и фундаментальную систему решений:

16 ВАРИАНТ Даны векторы a i j k b i j k c i j k Найти проекцию вектора b c на вектор a b Зная что a α векторы Сила { } b ( a b ) π ˆ определить при каком значении p a b и q αa b будут ортогональны F приложена к точке В ( ) Найти момент этой силы относительно точки А ( ) Можно ли провести плоскость через точки: А ( ) В () С ( ) и D ( )? Даны два базиса: e e e и e e e Выразить векторы второго базиса через векторы первого базиса Вывести условия при которых прямые r r ta и r r ta пересекаются Проверить принадлежат ли прямые y z Даны матрицы: Найти: C A T B AB Вычислить определители: Найти A если одной плоскости B A y C z и

17 Определить ранг матрицы A Является ли линейным оператором отображение ϕ переводящее каждый вектор ( ) a a a a в вектор b : ) ( ) a a a b ; ) ( ) a a a a a b Решить систему по правилу Крамера: Найти общее решение и фундаментальную систему решений:

18 ВАРИАНТ Векторы AB { } и { } AC совпадают со сторонами треугольника АВС Определить координаты векторов приложенных к вершинам и совпадающих с медианами AM BN и CP треугольника Найти вектор при условии что он коллинеарен вектору a i j k образует острый угол с осью OZ и Сила { } F приложена к точке Р ( ) Найти момент этой силы относительно начала координат Выяснить компланарны ли векторы a b c если: ) a { } b { } c { } ; ) a { } b { } { } c Доказать что все п-мерные строки из R вида (a b a b a b ) где a b n любые числа образуют подпространство в R Найти базис и размерность этого подпространства Прямая проходит через точку А ( ) и параллельна вектору ( ) Написать параметрические уравнения прямой и векторное уравнение прямой Найти кратчайшее расстояние между двумя прямыми: y z Даны матрицы: Найти: C A T B AB Вычислить определители: B n C y z

19 Найти A если A Вычислить ранг матрицы A В ортонормированном базисе e e e найти матрицу оператора ( ) ( )a a ϕ если: ) e e e a ; ) e e e a Решить систему матричным способом: Найти общее решение и фундаментальную систему решений:

20 ВАРИАНТ Даны проекции силы F на координатные оси: F F F Найти величину силы F и углы образованные вектором F с осями координат Векторы a и b образуют угол ϕ π/ Зная что a b вычислить угол α между векторами p a b и q a b Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) и С ( ) Вычислить: ) площадь треугольника АВС; ) длину высоты опущенной из вершины В на сторону АС Вычислить смешанное произведение векторов: Пусть L состоит из векторов вида ( b c a )( b c p)( a p) λ λ K λ k k где λ λ K λk любые числа а K k некоторые фиксированные n n строки из R Показать что L подпространство R и что размерность подпространства L равна рангу матрицы составленной из векторов-строк K k Написать па- Дана прямая r r ta раметрические уравнения прямой где r ( ) и a ( ) y Написать в векторной форме уравнение прямой проходящей через точку А ( ) параллельно вектору i j k Даны матрицы: Найти: A T C B AB Вычислить определители: B C z

21 Найти A если A Найти ранг матрицы A Доказать что ( ) ( )a a ϕ самосопряженный оператор Решить систему матричным способом: Найти общее решение и фундаментальную систему решений:

22 ВАРИАНТ Найти разложе- Даны три вектора p ( ) q ( ) r ( ) ние вектора c ( ) по базису p q r Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) и С ( ) Найти внутренний угол при вершине А Вычислить a b если ) a b ϕ π ; ) a b ϕ π ; ) a b ϕ π где ( a ˆ b ) ϕ Даны точки: А () В ( ) С ( ) D ( ) Найти объем параллелепипеда построенного на векторах AB AC AD как на ребрах Доказать что если αy то α y где α число; y векторы евклидова пространства L; длина вектора Определить расстояние между плоскостями ( i j k ) r ( i j k ) r и r При каком значении коэффициента α прямая ( i j k ) i j параллельна плоскости r ( αi j k )? Даны матрицы: Найти: A B T C AC Вычислить определители: B C

23 Найти A если A Определить ранг матрицы A ϕ линейный оператор осуществляющий проектирование плоскости XOY на ось ОХ параллельно биссектрисе второй и четвертой четверти Найти сопряженный оператор ϕ * Решить систему матричным способом: Найти общее решение и фундаментальную систему решений:

24 ВАРИАНТ К точке А приложены две силы F и F действующие под углом Найти величину равнодействующей силы F если F F Зная что a векторы b ( a b ) π ˆ определить при каком значении α p αa b и q a b окажутся перпендикулярными Векторы a и b ортогональны и a b Найти: ) [( a b )( a b )] ) [( a b )( a b )] ; Даны вершины тетраэдра А ( ) В ( ) С ( ) и D ( ) Найти объем тетраэдра Определить косинусы внутренних углов треугольника АВС заданного координатами вершин: А (;;;) В (;; ;) С (;;;) Найти расстояние от точек М ( ) и М ( ) до плоскости r i j k ( ) r перпенди-? При каких значениях α и β плоскость ( i αj βk ) кулярна к прямой r ( i j k ) i j k Даны матрицы: Найти: A AB A Вычислить определители: Найти A если A B A

25 Определить ранг матрицы A Отображение ϕ ставит в соответствие каждому вектору ( ) вектор ( ) y Доказать что ϕ линейный ортогональный оператор и найти его матрицу Координаты векторов даны в ортонормированном базисе Решить систему по формулам Крамера: Найти общее решение и фундаментальную систему решений:

26 ВАРИАНТ На оси ОХ найти точку равноудаленную от точек С ( ) и D ( ) Какой угол образуют единичные векторы p и q если известно что векторы m p q и n p q взаимно перпендикулярны? Сила { } F приложена к точке Q () Найти момент этой силы относительно начала координат Можно ли провести плоскость через точки: А () В ( ) С ( ) и D ( )? Показать что векторы e ( ) e ( ) ( ) R Найти угол между прямыми Принадлежат ли прямые одной плоскости? Даны матрицы: Найти: C A T B AB Вычислить определители: Найти A если e образуют базис в y z y z B A C и

27 Найти ранг матрицы A Пусть Z векторное пространство всех квадратных действительных матриц второго порядка Доказать что преобразование ϕ состоящее в умножении матриц а из Z: ) слева; ) справа на матрицу является линейным оператором Найти матрицу оператора ϕ в базисе: Решить систему матричным способом: z y z y z y Найти общее решение и фундаментальную систему решений:

28 ВАРИАНТ Доказать что четырехугольник с вершинами А ( ) В () С () D ( ) есть параллелограмм Найти его стороны Вектор перпендикулярный к векторам a i j k и b i j k образует с осью OY тупой угол Найти его координаты зная что Сила { } F приложена к точке N ( ) Найти момент этой силы относительно начала координат Пусть a b c компланарные векторы Что можно сказать о векторе a b b c c a? R порожден- Построить ортонормированный базис подпространства из ного векторами ( ) ( ) ( ) Составить в векторной и координатной форме уравнение плоскости проходящей через три точки: М ( ) М ( ) и М ( ) Найти значение α при котором прямые y z Даны матрицы: Найти: AB B A Вычислить определители: Найти A если принадлежат одной плоскости A A B y α z

29 Найти ранг матрицы A В базисе e e e заданы вектор ( ) a и матрица ϕ A Найти в этом базисе координаты вектора ( ) a b ϕ Решить систему матричным способом: Найти общее решение и фундаментальную систему решений:

30 ВАРИАНТ Доказать что точки А ( ) В ( ) и С () лежат на одной прямой причем точка В расположена между А и С Найти вектор перпендикулярный векторам a j k и b i k если известно что его проекция на вектор c i j k равна Даны векторы a { } и b { } Вычислить площадь параллелограмма построенного на этих векторах Вычислить смешанное произведение: ( a b c )( b c )( a b ) Построить ортонормированный базис пространства порожденного векторами ( ) ( ) () Составить уравнение плоскости проходящей через точку А ( ) и параллельной векторам a i j k и a j Составить уравнение плоскости проходящей через прямую y z перпендикулярно плоскости y z Даны матрицы: Найти: A A AB A Вычислить определители: Найти A если A B

31 Вычислить ранг матрицы A Найти матрицу линейного оператора ϕ переводящего каждый вектор ( ) в вектор z заданный координатами в том же базисе что и : ) ( ) z ; ) ( ) z Решить систему по правилу Крамера: Найти общее решение и фундаментальную систему решений:

32 ВАРИАНТ Даны точки А () В ( ) и С (αβ) При каких значениях α и β точка С лежит на прямой АВ? Найти вектор при условии что он перпендикулярен оси OZ и к вектору a образует острый угол с осью ОХ и ( ) Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) и С ( ) Вычислить: ) площадь треугольника АВС; ) длину высоты опущенной из вершины С на сторону АВ Вычислить смешанное произведение векторов a b c если: ) a i j k b i j k c i ; ) a { } b { } { } c Построить ортонормированный базис пространства порожденного векторами ( ) ( ) ( ) () Даны точки А ( ) и В ( ) Через середину отрезка АВ провести плоскость перпендикулярную вектору AB Составить уравнение плоскости проходящей через точку А ( ) параллельно прямым y z y z Даны матрицы: Найти: A B T C AC Вычислить определители: Найти A если B A C

33 Вычислить ранг матрицы A Оператор ϕ осуществляет проектирование трехмерного пространства параллельно вектору e на плоскость содержащую векторы e и e Найти матрицу оператора ϕ в базисе e e e Решить систему матричным способом: Найти общее решение и фундаментальную систему решений:

34 ВАРИАНТ Проверить что точки А ( ) В ( ) С ( ) D ( ) служат вершинами трапеции Найти длины ее параллельных сторон Даны три вектора: a ( ) ( ) b c i j k Найти вектор удовлетворяющий условиям: a b c Вычислить a b если ) a b ϕ π ; ) a b ϕ π ; ) a b ϕ π где ( a ˆ b ) ϕ Даны вершины тетраэдра А ( ) В ( ) С ( ) D ( ) Найти объем тетраэдра Найти нормированный вектор ортогональный векторам () ( ) () Найти значения С и D при которых плоскости параллельны и y z C Dy z r При каком значении коэффициента α прямая ( i j k ) i j параллельна плоскости r ( αi j k )? Даны матрицы: Найти: A AB A Вычислить определители: A B

35 Найти A если A Определить ранг матрицы A Доказать что умножение всех квадратных матриц второго порядка слева на матрицу является линейным оператором в пространстве всех квадратных матриц второго порядка Найти матрицу этого оператора в базисе: Решить систему матричным способом: Найти общее решение и фундаментальную систему решений:

36 ВАРИАНТ Вектор a образует с координатными осями OX OY OZ углы соответственно α β и γ тупой угол Вычислить координаты вектора a если a Три силы F ( ) F ( ) ( ) F приложены в одной точке Вычислить какую работу производит равнодействующая этих сил когда ее точка приложения двигаясь прямолинейно перемещается из точки А ( ) в точку В () Даны векторы a { } и b { } ) a b ; ) a b ; ) b ( a b ) Выяснить компланарны ли векторы a b c если: ) a { } b { } { } ) a { } b { } c { } В евклидовом пространстве С [ ] c ; ) скалярное произведение векторов f ( ) и векторами f ( ) и g ( ) Написать в векторной форме уравнение плоскости Найти координаты векторов: найти: ) длину вектора f ( ) ; y z g( ) e ; ) угол между Написать уравнение плоскости проходящей через прямую y z перпендикулярно к плоскости y z Даны матрицы: Найти: A T C B AB Вычислить определители: B C

37 Найти A если A Вычислить ранг матрицы A В векторном пространстве многочленов степень которых не превышает задан оператор дифференцирования ϕ Найти матрицу оператора ϕ в базисе Решить систему матричным способом: z y z y z y Найти общее решение и фундаментальную систему решений:

38 ВАРИАНТ Даны две точки: Р ( ) и Q ( ) Вычислить проекцию вектора b i j k на вектор QP Найти угол между диагоналями параллелограмма построенного на векторах a i j b j k Даны векторы a { } и b { } Вычислить площадь параллелограмма построенного на этих векторах Вычислить смешанное произведение векторов a b c если: ) a i j k b i j k c j k ; ) a { } b { } { } c n Пусть N множество всех тех п-мерных строк из R у которых координаты с четными номерами равны нулю Показать что N линейное подпространство в R Найти какой-либо базис и указать размерность n N Найти точку пересечения прямых ( ) t( ) r ( ) t( ) Найти значение γ при котором прямые принадлежат одной плоскости Даны матрицы: Найти: AB B A Вычислить определители: A r и y z и γ B y z

39 Найти A если A Найти ранг матрицы A Пусть ϕ g ψ ортогональное проектирование трехмерного пространства соответственно на оси ОХ OY ОZ Найти в базисе k j i матрицу оператора: ) (ϕ g ψ) ϕ; ) ψψ; ) (ϕ g) ψϕ Решить систему по правилу Крамера: z y z y z y Найти общее решение и фундаментальную систему решений:

40 ВАРИАНТ Точки А ( ) В ( ) С ( ) являются последовательными вершинами ромба Найти четвертую вершину Вычислить периметр ромба и длины его диагоналей Даны два вектора a ( ) b ( ) Найти вектор зная что он перпендикулярен оси OZ и удовлетворяет условиям: a b Сила { } F приложена к началу координат Найти момент этой силы относительно точки М () Доказать тождество: ( b a )( a c )( c b ) bac R паре векторов ( ) y y В линейном пространстве y y y ставится в соответствие число ( )( ) Будет ли данное пространство евклидовым относительно введенной операции? ( ) уравнение гиперплоскости в ) Написать векторное уравнение данной гиперплоскости; R ) Проверить принадлежат ли данной гиперплоскости точки М ( ) М ( ) M () Написать в векторной форме ( r a b ) уравнение прямой проходящей через две данные точки А () и В ( ) Даны матрицы: Найти: C A B AB T Вычислить определители: Найти A если B A C

41 Определить ранг матрицы A Линейный оператор ϕ задан так: ( ) n i e e i n i K ϕ где n e e e K базис пространства L Найти матрицу ϕ A оператора ϕ в данном базисе а также ранг и дефект оператора Чему равно ϕ? Решить систему матричным способом: Найти общее решение и фундаментальную систему решений:

42 ВАРИАНТ Даны две вершины треугольника А ( ) и В ( ) Найти третью вершину С если известно что середина стороны АС лежит на оси OY а середина ВС на плоскости XOZ Найти вектор перпендикулярный векторам a i k b j k если известно что его проекция на вектор c i j k равна Даны векторы a { } и b { } Вычислить площадь параллелограмма построенного на этих векторах Вычислить смешанное произведение векторов a b c если: ) a i j k b i j k c i k ; ) a { } b { } c { } Нормировать векторы: ( ; ;) y ( ) ( ; ; ; ) уравнение гиперплоскости в z ) Найти координаты вектора a ортогонального этой плоскости; ) Написать векторное уравнение данной гиперплоскости Написать в векторной форме ( r a b ) R уравнение прямой проходящей через точку А ( ) параллельно вектору i j k Даны матрицы: Найти: A T C B AB Вычислить определители: Найти A если B A C

43 Определить ранг матрицы A Найти матрицу ϕ A ранг и дефект оператора ϕ если ( ) ( ) ( ) n e n e e e ϕ ϕ ϕ K где n e e e K базис пространства L Чему равно ϕ? Решить систему с помощью формул Крамера: Найти общее решение и фундаментальную систему решений:

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB. --. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

4. Векторная алгебра

4. Векторная алгебра 15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М( 5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a ( 1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F ( 3; 2; 5) приложенной к точке А(2;

Подробнее

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы. ВАРИАНТ 1 1. ABCDEF вершины правильного шестиугольника. Равны ли векторы a) 4 BC и 2 AD b) 2 DC и 2 AF 2. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + 3q 3r и b = 3 p + 4q где p, q, r - единичные векторы,

Подробнее

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В.

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В. -- Доказать, что векторы e = { ;2;, e 2 = { 2;; }, e 3 = { ;2;3 } образуют базис Найти разложение в этом базисе вектора a = { ;3;2 } 2 Найти длину вектора a = 3e 2e2, где e =, e2 = 2, векторы угол в 30

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» А И Недвецкая Г А Тимофеева Е Г Чеснокова Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

Контрольная 2 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой.

Контрольная 2 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой. Вариант 1 Задача 1. Является ли векторным пространством множество многочленов P (x) степени не выше 2, удовлетворяющих условию P (1) = 0? Если да, постройте какой-нибудь базис и найдите размерность этого

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , )

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , ) Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» Университетский центр социально-гуманитарных

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

Упражнения по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Упражнения по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Упражнения по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Доказать тождество: а y y y y б Доказать что Даны ненулевой вектор и скаляр Найти любое решение уравнения Подсказка: вектор характеризуется направлением и длиной так

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства»

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства» Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления 676 (9) «Технология и дизайн упаковочного производства» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Пусть ABCD параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей, точка K середина его стороны АВ, точка L середина его стороны ВС. Тогда: 1. векторы АВ

Подробнее

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x.

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x. Демонстрационный вариант 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. 2. Найдите базис системы

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ

Подробнее

Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия.

Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры: матрицы определители системы линейных уравнений Условия задач Составить две матрицы

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Тема: «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Номер варианта определяется по последней цифре зачётной книжки. 1 вариант

Тема: «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Номер варианта определяется по последней цифре зачётной книжки. 1 вариант Задания для выполнения расчётно-графической работы по математике на I полугодие - учебного года для студентов курса заочной формы обучения ИСиА Тема: «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Номер

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

С=А Т В 2В Т, А= 2 3 1, В= = = = =3

С=А Т В 2В Т, А= 2 3 1, В= = = = =3 Вариант 1. 1. Вычислить определитель 5 1 4 1 1 4 1 5. 4 1 8 1 3 2 6 2 С=А Т В 2В Т, А= 2 3 1, В=1 1 2 1 1. 2+6+5 =1 5+3 2 =0. 7+4 3 =2 2 3 4 12 1 1 1 Х= 2. 5 4 2 1 3 +4 =1 7 +3 5 +5 =10. 2 +2 3 +2 =3 6.

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5 Аналитическая геометрия Прямая на плоскости Вариант 1 1.) Дана прямая 5 x + 4y 3 = 0. Найти 1) направляющий вектор прямой, ) угловой коэффициент прямой, 3) отрезки отсекаемые прямой на осях координат..)

Подробнее

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» часть II для студентов специальности Т 000 Почтовая связь Минск 00 Составитель Рябенкова ЛА Издание утверждено на заседании

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование),

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7.

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать

Подробнее

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. 1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. ПК-3: способность строго доказывать утверждение, сформулировать результат, увидеть следствия полученного результата. Уровень 1 Основные

Подробнее

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK,

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK, . Дан параллелепипед ABCDA B C D. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы AB, AD, AA, найти координаты: а) вершин C, B, C ; б) точек K и L середин ребер A B и CC соответственно. Решение:

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве»

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве» Банк заданий по теме «Векторы в пространстве Метод координат в пространстве» Учащиеся должны знать/понимать: Понятие вектора, способ его изображения и названия Определение равенства векторов, их коллинеарности,

Подробнее

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса Московский государственный университет им М В Ломоносова Физический факультет Кафедра математики А В Овчинников Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов курса Москва Содержание Правила

Подробнее

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Раздел 1 Элементы линейной алгебры 1 Операции над матрицами и их свойства Определители -го и 3-го порядков 3 Определение минора и алгебраического

Подробнее

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2;-1;1) параллельно

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2;-1;1) параллельно -1-1. Даны стороны треугольника 3 x + y 5 0;4x + 3y 5 0; x + 2y 5 Найти уравнения двух (любых) его высот. 2. Найти точку пересечения прямой x y z 3 2 1 и плоскости 2 x y + z 3 0. 3. Найти проекцию точки

Подробнее

Учебный план дисциплины.

Учебный план дисциплины. 3 Учебный план дисциплины. Студенты дневного отделения изучают математику на I и II курсах. Общий объем учебных часов на дисциплину 600 часов. В первом семестре изучаются следующие разделы: линейная алгебра,

Подробнее

Сборник задач по высшей математике

Сборник задач по высшей математике С. А. Логвенков П. А. Мышкис В. С. Самовол Сборник задач по высшей математике Учебное пособие для студентов социально-управленческих специальностей Москва Издательство МЦНМО 24 УДК 52 (75.8) ББК 22.43

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Пензенский государственный педагогический университет им В Г Белинского О П Сурина М В Сорокина АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Учебное пособие Пенза 9 Печатается по решению редакционно-издательского

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий)

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре

С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РФ Кафедра «Математика и финансовые приложения» СВ Пчелинцев Вопросы и задачи по линейной алгебре для студентов всех специальностей Москва 6 ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

. Найдите произведение. ; B) 2. Найти матрицы n - ой степени : B n ; B) 3.Решите уравнение: 0. x C) x D) x ; B) A) 5 B)9 C)4 D)2

. Найдите произведение. ; B) 2. Найти матрицы n - ой степени : B n ; B) 3.Решите уравнение: 0. x C) x D) x ; B) A) 5 B)9 C)4 D)2 и Найдите произведение A) 8 8 ; B) 8 C) 8 8 D) 8 8 Найти матрицы n - ой степени : α α α α B cos sin sin cos ; A) n n n n B n cos sin sin cos ; B) n n n n B n cos sin sin cos C) n n n n B n cos sin sin

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (государственный университет) С.А. Гришин, С.В. Мустяца, М.А. Петрова, Е.Х. Садекова

МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (государственный университет) С.А. Гришин, С.В. Мустяца, М.А. Петрова, Е.Х. Садекова МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (государственный университет) СА Гришин, СВ Мустяца, МА Петрова, ЕХ Садекова Зачет по аналитической геометрии 1 семестр Москва 2009 УДК 5147(075) БДК 221515я7 З-39

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе.

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе. Задачи к экзамену по стереометрии в 0 классе. Векторы и координаты.. Векторная формула медианы тетраэдра. Докажите, что если М точка пересечения медиан треугольника АВС, а О произвольная точка пространства,

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия Кафедра высшей математики ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии 2007/2008 учебный год

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии 2007/2008 учебный год Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии 2007/2008 учебный год 1 ВВОДНЫЕ ПОНЯТИЯ 1 (a) Системы координат на плоскости и в пространстве: декартова прямоугольная, декартова косоугольная, полярная,

Подробнее

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Далее - несколько нелинейных операций над векторами Для пары векторов, число вектор скалярное произведение

Подробнее

Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии

Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии Саратовский государственный университет им.н.г.чернышевского Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии Саратов 2001 Контрольная работа 1 по теме Основные формулы аналитической

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г.

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. kiv@icm.krasn.ru 1. Вектор. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. 2. Линейные операции над векторами и их свойства.

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление Содержание Введение Линейная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения задач Задачи для самоподготовки Аналитическая геометрия и векторная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра «Вычислительная математика» Г Е О М Е Т Р И Я. по дисциплине «Высшая математика»

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра «Вычислительная математика» Г Е О М Е Т Р И Я. по дисциплине «Высшая математика» 2 8 7 4 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра «Вычислительная математика» Г Е О М Е Т Р И Я по дисциплине «Высшая математика» МОСКВА - 2008 М ОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫ Й

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Логвенков С.А. Мышкис П.А. Панов П.А. Самовол В.С. СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ. Учебное пособие для факультетов менеджмента, политологии и социологии.

Логвенков С.А. Мышкис П.А. Панов П.А. Самовол В.С. СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ. Учебное пособие для факультетов менеджмента, политологии и социологии. Логвенков С.А. Мышкис П.А. Панов П.А. Самовол В.С. СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ. Учебное пособие для факультетов менеджмента, политологии и социологии. Москва Издательство МЦНМО Логвенков С.А. Мышкис П.А.

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ»

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный университет геосистем и технологий»

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Б.В. Заятуев

МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Б.В. Заятуев МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В пособии изложены необходимые теоретические сведения из линейной алгебры и многомерной геометрии базовые примеры с подробными решениями и задачи для самостоятельного

Подробнее