Лекция 1. Выборочное пространство

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Лекция 1. Выборочное пространство"

Транскрипт

1 Лекция 1. Выборочное пространство Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, / 35

2 Cодержание Содержание 1 Выборка. Выборочное пространство 2 Эмпирическая вероятностная мера. Гистограмма 3 Теорема Гливенко-Кантелли. 4 Описательная статистика Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, / 35

3 Выборка. Выборочное пространство Выборка. Выборочное пространство Рассмотрим случайную величину ξ(ω) : Ω R и вероятностное пространство значений случайной величины (R, B(R), P ξ ), где B(R) сигма-алгебра борелевских множеств числовой прямой, P ξ вероятностная мера такая, что P ξ (, x] = F ξ (x) = P{ξ x}. Если речь идет о наборе случайных величин (ξ 1,..., ξ n ) : Ω R n, то вероятностное пространство определим следующим образом: (R n, B(R n ), P ξ ), здесь P ξ совместное распределение случайных величин: P ξ (, x 1 ]... (, x n ] = F ξ (x 1,..., x n ). Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, / 35

4 Выборка. Выборочное пространство Часто, в практических задачах, функция распределения неизвестна. Аппроксимация неизвестных функций распределения одна из задач математической статистики. Определение 1 Совокупность взаимно независимых реализаций случайной величины ξ образует выборку X [n] объема n: X [n] = (X 1,..., X n ), где X i числовая реализация случайной величины ξ в i-ом эксперименте (i = 1,..., n). Определение 2 Случайная величина ξ, реализации которой мы наблюдаем, часто называется генеральной совокупностью. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, / 35

5 Выборка. Выборочное пространство Следует отметить, что требование взаимной независимости сужает допустимую область исследований. Однако, требование взаимной независимости наблюдений необходимо для построения строгой математической теории. Функция распределения выборки строится по функции распределения генеральной совокупности: F X[n] (x 1,..., x n ) = F ξ (x 1 )... F ξ (x n ), где x i числовая переменная, соответствующая i-ой координатной оси. Получили выборочное пространство (R n, B(R n ), P X[n] ), соответствующее выборкам объема n, где вероятностная мера P X[n] взаимно однозначно соответствует функции распределения F X[n]. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, / 35

6 Выборка. Выборочное пространство Учитывая необходимость предельного перехода, когда n, рассмотрим бесконечномерное пространство: (R, B(R ), P X[ ] ). Элементарным событием в этом пространстве является бесконечная числовая последовательность (бесконечная выборка). Указанное выше, конечномерное пространство размерности n для выборок объема n является подпространством бесконечномерного пространства, соответствующим первым n координатам. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, / 35

7 Выборка. Выборочное пространство Пусть B B(R n ), рассмотрим цилиндрическое множество J n (B) = {x R : x = (x 1,..., x n,...), (x 1,..., x n ) B}, тогда P X[ ] (J n (B)) = P X[n] (B). Определение 3 Статистикой будем называть любую борелевскую функцию, заданную на выборочном пространстве. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, / 35

8 Выборка. Выборочное пространство Если ξ = (ξ 1,..., ξ m ) T случайный вектор, то при проведении экспериментов фиксируются значения всей совокупности, получаются взаимно независимые вектора X 1 = X 11 X 21. X m1,..., X n = X 1n X 2n. X mn. Аналогично скалярному случаю можно построить выборочное вероятностное пространство для выборок такого типа. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, / 35

9 Выборка. Выборочное пространство Введем обозначения X = R m, получаем (X n, B(X )... B(X ), P X[n] ), где P X[n] (B 1... B n ) = P ξ (B 1 )P ξ (B 2 )... P ξ (B n ), B 1 B(X ),..., B n B(X ). Можно считать, что все построенные конечномерные пространства являются проекциями бесконечномерного пространства (X, B(X )... B(X ), P X ). Элементарными событиями будут бесконечные выборки. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, / 35

10 Эмпирическая вероятностная мера. Гистограмма Эмпирическая вероятностная мера. Гистограмма Пусть имеется генеральная совокупность ξ, представляющая собой случайную величину, и выборка X [n] = (X 1,..., X n ). Определение 4 Эмпирическим распределением назовем вероятностную меру, определенную следующим образом P n(b) = ν(b) n, где B B(R), а ν(b) количество элементов выборки, попавших в B. Если n фиксировано, и выборка X [n] фиксирована, то P n( ) является вероятностной мерой на (R, B(R)), следовательно, ей соответствует единственная функция распределения. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, / 35

11 Эмпирическая вероятностная мера. Гистограмма Определение 5 Эмпирической функцией распределения называется функция F n (x) = P n( ; x] = ν( ; x], x R. n Введем порядковые статистики: X (1) = min {X 1,..., X n } первая порядковая статистика, X (2) = min { {X 1,..., X n } \X (1) } вторая порядковая статистика, X (3) = min { {X 1,..., X n } \ { X (1), X (2) }} третья порядковая статистика,... X (n) = max {X 1,..., X n } n-ая порядковая статистика. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, / 35

12 Эмпирическая вероятностная мера. Гистограмма Очевидно, что X (1) X (2)... X (n). Величины X (1), X (2),..., X (n) образуют вариационный ряд. Если предположить, что все элементы вариационного ряда различны, то есть X (1) < X (2) <... < X (n), то можно определить эмпирическую функцию распределения следующим образом: 0, если x < X (1) ; 1 n, если X (1) x < X (2) ; 2 Fn n, если X (2) x < X (3) ; (x) =... (1) k n, если X (k) x < X (k+1) ;... 1, если x X (n). Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, / 35

13 Эмпирическая вероятностная мера. Гистограмма Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, / 35

14 Эмпирическая вероятностная мера. Гистограмма Имея вариационный ряд, можно построить гистограмму. Возьмем интервал (a, b), где a < X (1) и X (n) < b, разобьем этот интервал на конечную совокупность непересекающихся промежутков: a 0 = a < a 1 < a 2 <... < a m = b, (a i 1, a i ], i = 1,..., m. Пусть n i количество элементов выборки, попавших в полуинтервал (a i 1, a i ]. Тогда n 1 + n n m = n, l i = a i a i 1, h i = n i l i n. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, / 35

15 Эмпирическая вероятностная мера. Гистограмма Получаем гистограмму: f n (x) = 0, если x a 0 ; h 1, если a 0 < x a 1 ;... h m, если a m 1 < x a m ; 0, если x > a m. Гистограмма f n (x) эмпирический аналог плотности распределения. Если в знаменателе при вычислении h i убрать l i, получится гистограмма относительных частот, если, кроме того, в знаменателе убрать n, то получится гистограмма частот n i. Часто при построении гистограммы полагают l i = l = const. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, / 35

16 Эмпирическая вероятностная мера. Гистограмма Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, / 35

17 Теорема Гливенко-Кантелли. Теорема Гливенко-Кантелли. Теорема о предельном распределении эмпирических вероятностей Справедливы следующие теоремы. Теорема 1 Для любого B B(R) выполняется: P n(b) и для любого x R выполняется: F n (x) п.н. n P ξ(b). (2) п.н. n F ξ(x). (3) Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, / 35

18 Теорема Гливенко-Кантелли. Доказательство Очевидно, что справедливо равенство: Pn(B) = 1 n I {X k B}, n k=1 все слагаемые в этой сумме случайные величины, они независимы и одинаково распределены. Каждая случайная величина принимает значение 1 с вероятностью P ξ (B) и 0 с вероятностью 1 P ξ (B). Очевидны равенства: P{X k B} = P{ξ B} = P ξ (B), тогда EI {X k B} = P ξ (B), откуда, учитывая усиленный закон больших чисел Колмогорова следует условие (2): Pn(B) = 1 n п.н. I {X k B} n P ξ(b). n k=1 Для доказательства второго утверждения возьмем B = (, x]. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, / 35

19 Теорема Гливенко-Кантелли. Теорема 2 (Гливенко-Кантелли) Пусть заданы функция распределения F ξ (x) и эмпирическая функция распределения F n (x), тогда sup F п.н. n (x) F ξ (x) 0 x R n Доказательство 1. Рассмотрим случай, когда F ξ (x) непрерывна на R. Выберем любое ε > 0, разобьем ось ординат шагом меньше ε, на оси абсцисс получим точки дробления: = z 0 < z 1 <... < z r =. При этом: 0 F ξ (z k+1 ) F ξ (z k ) < ε. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, / 35

20 Теорема Гливенко-Кантелли. Введем событие A k = {Fn п (z k ) F ξ(z k )}, тогда по Теореме (1): n P(A k ) = 1 для всех k = 1,..., r 1. Рассмотрим событие A = r 1 k=1 A k, тогда справедливо равенство Ā = r 1 k=1 Āk. Очевидно, что P(Ā) r 1 k=1 P(Ā k ) = 0, следовательно, P(Ā) = 0 или P(A) = 1. Будем рассматривать только ω A. В каждой из точек z 1,...,z r 1 выполняется сходимость, тогда существует номер n 0 такой, что для всех номеров n n 0 и для любого k = 1,..., r 1 выполнено: F n (z k ) F ξ (z k ) < ε. Возьмем любую точку x R. Она обязательно попадет в какой-нибудь промежуток z k < x < z k+1. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, / 35

21 Теорема Гливенко-Кантелли. Оценим сверху и снизу разность F n (x) F ξ (x): F n (x) F ξ (x) F n (z k+1 ) F ξ (z k ) F n (z k+1 ) F ξ (z k+1 ) + ε 2ε, F n (x) F ξ (x) F n (z k ) F ξ (z k+1 ) F n (z k ) F ξ (z k ) ε 2ε, Следовательно для любого x R справедливо неравенство: F n (x) F ξ (x) 2ε. Таким образом, мы доказали утверждение о равномерной сходимости с вероятностью единица, так как P(A) = 1. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, / 35

22 Теорема Гливенко-Кантелли. 2. Pассмотрим случай, когда F ξ (x) может иметь разрывы, то есть существует точка x, для которой: F ξ (x 0) < F ξ (x). Выберем произвольное ε > 0 и такие точки разрыва, для которых имеет место неравенство: F ξ (y k ) F ξ (y k 0) > ε 2. Таких точек y k конечное число, включаем их в точки дробления. Далее будем рассматривать участки [y k, y k+1 ], где y k < y k+1, каждый участок разобьем точками дробления: y k = ỹ 1 < ỹ 2 <... < ỹ l = y k+1, F (ỹ i+1 0) F (ỹ i+1 ) < ε. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, / 35

23 Теорема Гливенко-Кантелли. Обозначим через z i, i = 1,..., r 1 все получившиеся в итоге точки дробления: = z 0 < z 1 <... < z r =, F ξ (z k+1 0) F ξ (z k ) < ε. Рассмотрим события A k = {Fn (z k ) F ξ (z k )} и A k = {F n (z k 0) F ξ (z k 0)}. Очевидно, что P(A k ) = 1, P(A k ) = 1, так как F ξ(z k 0) = P ξ (, z k ) и B = (, z k ). Рассмотрим A = r 1 k=1 (A k A k ). Далее полностью повторяются рассуждения предыдущего пункта доказательства. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, / 35

24 Теорема Гливенко-Кантелли. Теорема 3 Для любого борелевского множества B B(R) выполняется: n (P d n (B) P ξ (B)) P ξ (B)(1 P ξ (B))ζ, n где ζ N(0, 1). Доказательство Справедливо: P n(b) P ξ (B) = 1 n n (I {X k B} P ξ (B)). k=1 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, / 35

25 Теорема Гливенко-Кантелли. Применим центральную предельную теорему для одинаково распределенных слагаемых: n(p n (B) P ξ (B)) = n (I {X k B} P ξ (B)). n k=1 Из последнего равенства следует доказательство теоремы. Замечание 1 Теоремы 1, 2, 3 справедливы и в многомерном случае. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, / 35

26 Описательная статистика Описательная статистика В описательную статистику входят оценки числовых характеристик генеральной совокупности ξ, найденные по имеющейся у статистика выборке X [n] = (X 1,..., X n ) объема n, а также всевозможные функции от выборки. Если элементы одномерной выборки упорядочить по возрастанию (построить вариационный ряд X (1) X (2)... X (n) ) и отметить повторяемость наблюдений (подсчитать частоту), то получится статистический ряд, построенный по одномерной выборке X [n]. Разность между максимальным и минимальным элементами выборки называется размахом, R = X max X min. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, / 35

27 Описательная статистика При большом объеме выборки ее элементы иногда объединяются в группы, представляя результаты опытов в виде группированного статистического ряда. Для этого интервал, содержащий все элементы выборки, разбивается на k непересекающихся интервалов. Обычно разбиение производится на интервалы одинаковой длины b = R/k. После чего нетрудно определить частоты количества n i элементов выборки, попавших в i-ый интервал. Статистический ряд часто записывают в виде таблицы. В первой строке таблицы указывают середины интервалов группировки X i, а во второй частоты n i. Подсчитываются также накопленные частоты i j=1 n j, относительные частоты n i /n, накопленные относительные частоты i j=1 n j/n. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, / 35

28 Описательная статистика Для наглядного представления выборки применяют гистограмму и полигон частот. Гистограммой частот группированной выборки называется функция, постоянная на интервалах группировки и принимающая на каждом из них значения n i /b. Площадь ступенчатой фигуры равна n. Аналогично определяется гистограмма относительных частот площадь под графиком равна единице. При увеличении объема выборки и уменьшении ширины интервала группировки гистограмма относительных частот становится похожей на график плотности распределения генеральной совокупности. Полигоном частот называется ломаная с вершинами в точках (X i, n i /b), а полигоном относительных частот ломаная с вершинами в точках (X i, n i (nb)). Эмпирическая функция распределения определяется равенством (1). Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, / 35

29 Описательная статистика Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, / 35

30 Описательная статистика Выборочный начальный момент r-го порядка определяется равенством ar = 1 n Xi r, n i=1 если выборка представлена статистическим рядом, то ar = 1 k n i Xi r, n i=1 выборочный центральный момент r-го порядка определяется равенством ar 0 = 1 n ( Xi X ) r, n i=1 если выборка представлена статистическим рядом, то ar 0 = 1 k ( n i Xi X ) r, n i=1 где X = a 1 = 1 n n i=1 X i выборочное среднее. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, / 35

31 Описательная статистика Выборочная квантиль x p порядка p определяется как элемент вариационного ряда X (1) X (2)... X (n) выборки X [n] с номером [np] + 1, где [a] целая часть числа a. В описательной статистике используют ряд квантилей, имеющих специальные названия персентили (квантили порядков 0.01; 0.02;... ;0.99), децили (квантили порядков 0.1; 0.2;... ;0.9), квартили (квантили порядков 0.25; 0.5; 0.75). Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, / 35

32 Описательная статистика Наиболее распространенными характеристиками положения являются выборочное среднее, выборочная медиана (медианой называется число, которое делит вариационный ряд на две части, содержащие равное количество элементов; если n = 2k + 1, то медианой выборки является элемент вариационного ряда X (k+1), если n = 2k, то медианой выборки является число (X (k) + X (k+1) )/2), выборочная мода (модой называется элемент выборки, имеющий наибольшую частоту). Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, / 35

33 Описательная статистика Наиболее распространенными мерами рассеяния являются размах (размах R = X max X min ), средний межквартильный размах (три квартили Q 1, Q 2, Q 3 делят вариационный ряд на четыре части с равным числом элементов, тогда средний межквартильный размах равен (Q 3 Q 1 )/2), персентильный размах (персентильный размах равен разности персентилей P 90 P 10 ), дисперсия (дисперсия s 2 = a 0 2 ; исправленная дисперсия s 2 = ns 2 /(n 1)) среднее квадратическое отклонение (среднее квадратическое отклонение s = s 2 ). Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, / 35

34 Описательная статистика В качестве меры относительного разброса используют коэффициент вариации v = s/ X, иногда коэффициент записывают в процентах C v = v 100%. Для оценки формы распределения служат коэффициент асимметрии S k1 = µ 3 /s3 и коэффициент эксцесса K = µ 4 /s4 3, для нормального распределения теоретические коэффициенты асимметрии и эксцесса, вычисляемые по распределению генеральной совокупности, равны нулю. Еще один показатель асимметрии вычисляется на основе квантилей S k2 = (Q 3 Q 1 2Q 2 )/(Q 3 Q 1 ). Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, / 35

35 Описательная статистика В случае многомерных случайных выборок помимо характеристик положения и рассеивания рассматривают выборочный коэффициент корреляция (меру линейной связи). Рассмотрим на примере двумерного случайного вектора (ξ, η) T. Пусть выборка наблюдений объема n ( ) ( ) X1 Xn,...,, Y 1 тогда коэффициент выборочной корреляциии определяется по формуле r ξ,η = Y n 1 n n i=1 X iy i X Ȳ s X s Y Графически двумерные выборки удобно представлять с помощью диаграмм рассеивания. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, / 35

Лекция 1. Выборочное пространство

Лекция 1. Выборочное пространство Лекция 1. Выборочное пространство Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, 2014 1 / 29 Cодержание Содержание

Подробнее

Выборка. Выборочное пространство. Описательная статистика. Грауэр Л.В.

Выборка. Выборочное пространство. Описательная статистика. Грауэр Л.В. Выборка. Выборочное пространство. Описательная статистика Грауэр Л.В. План лекций Классическая математическая статистика Описательная статистика Точечные и интервальные оценки Проверка статистических гипотез

Подробнее

1 Первичная обработка статистических данных

1 Первичная обработка статистических данных Первичная обработка статистических данных Абстрактная и конкретная выборки Основные числовые характеристики выборки Вариационные ряды выборки Гистограмма частот 5 Эмпирическая функция распределения Пусть

Подробнее

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург,

Подробнее

Лекция 5. Доверительные интервалы

Лекция 5. Доверительные интервалы Лекция 5. Доверительные интервалы Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 1 / 31 Cодержание Содержание

Подробнее

Лекция 4. Доверительные интервалы

Лекция 4. Доверительные интервалы Лекция 4. Доверительные интервалы Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2013 1 / 49 Cодержание Содержание 1 Доверительные

Подробнее

Лекция 15. Выборочный метод в математической статистике. Основные понятия и определения

Лекция 15. Выборочный метод в математической статистике. Основные понятия и определения МДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 5 ыборочный метод в математической статистике Основные понятия и определения Математическая статистика позволяет получать обоснованные

Подробнее

Математическая статистика

Математическая статистика Математическая статистика 1 Выборка X x, x,, x Опр.1 Пусть одномерная с.в., а 1 значения с.в.,полученные в результате испытания. Будем называть полученные значения выборкой из генеральной совокупности

Подробнее

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия.

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия. Квантили Выборочная квантиль x p порядка p (0 < p < 1) определяется как элемент вариационного ряда выборки x (1),, x () с номером [p]+1, где [a] целая часть числа а В статистической практике используется

Подробнее

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@lst.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые

Подробнее

Лекция. Элементы математической статистики.

Лекция. Элементы математической статистики. Лекция. Элементы математической статистики. План. 1. Статистика как наука. Этапы статистической работы.. I-й этап статистической работы. Генеральная совокупность и выборка. 3. I I-ой этап статистической

Подробнее

Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики

Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 3. Условные распределения

Подробнее

Домашнее задание 2. Обработка результатов наблюдений двухмерного случайного вектора

Домашнее задание 2. Обработка результатов наблюдений двухмерного случайного вектора Домашнее задание. Обработка результатов наблюдений двухмерного случайного вектора.1. Содержание и порядок выполнения работы Дана парная выборка (x i ; y i ) объема 50 из двумерного нормально распределенного

Подробнее

Лекция 3. Доверительные интервалы

Лекция 3. Доверительные интервалы Лекция 3. Доверительные интервалы Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2015 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 3. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2015 1 / 41 Cодержание Содержание

Подробнее

Лекции 5-6. Условия сходимости случайных процессов по распределению в функциональных пространствах

Лекции 5-6. Условия сходимости случайных процессов по распределению в функциональных пространствах Лекции 5-6 Условия сходимости случайных процессов по распределению в функциональных пространствах Применим изложенную теорию сходимости по распределению к случайным процессам. Как известно, случайный процесс

Подробнее

n объектов, Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16

n объектов, Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16 Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16 Математическая статистика занимается методами сбора и обработки статистического материала результатов наблюдений над объектами

Подробнее

Тема Основные понятия математической статистики

Тема Основные понятия математической статистики Лекция 6 Тема Основные понятия математической статистики Содержание темы Задача математической статистики Научные предпосылки математической статистики Основные понятия математической статистики Основные

Подробнее

Расчетно-графическая работа. Математическая статистика

Расчетно-графическая работа. Математическая статистика Расчетно-графическая работа Математическая статистика Выборки сделаны из генеральной совокупности, распределенной по нормальному закону. Для заданной статистической совокупности: - составить интервальный

Подробнее

Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии

Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии и биоинформатики. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

Часть 2 ЭЛеМенТы МАТеМАТиЧесКОй статистики

Часть 2 ЭЛеМенТы МАТеМАТиЧесКОй статистики Часть 2 Элементы математической статистики Глава I. Выборочный метод 1. Задачи математической статистики. Статистический материал Пусть требуется определить функцию распределения F(x) некоторой непрерывной

Подробнее

Элементы математической статистики

Элементы математической статистики Элементы математической статистики Математическая статистика является частью общей прикладной математической дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», однако задачи, решаемые ею, носят

Подробнее

Лекция 6. Критерии согласия. Проверка независимости двух номинальных признаков

Лекция 6. Критерии согласия. Проверка независимости двух номинальных признаков Лекция 6. Критерии согласия. Проверка независимости двух номинальных признаков Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Критерии согласия... Санкт-Петербург, 2013 1

Подробнее

Биологическая статистика

Биологическая статистика Биологическая статистика Математическая статистика-это раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования данных для научных и практических выводов. Генеральная

Подробнее

Лекция 8. Непараметрические критерии однородности и независимости

Лекция 8. Непараметрические критерии однородности и независимости Лекция 8. Непараметрические критерии однородности и независимости Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Непараметрические критерии... Санкт-Петербург, 2013 1 / 39

Подробнее

Выборки и их характеристики

Выборки и их характеристики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Лекция 7. Проверка гипотез о равенстве параметров двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Однофакторный дисперсионный анализ

Лекция 7. Проверка гипотез о равенстве параметров двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Однофакторный дисперсионный анализ Лекция 7. Проверка гипотез о равенстве параметров двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Однофакторный дисперсионный анализ Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 013 Буре В.М.,

Подробнее

Лабораторная работа «Графическое представление выборки и нахождение ее числовых характеристик»

Лабораторная работа «Графическое представление выборки и нахождение ее числовых характеристик» Лабораторная работа «Графическое представление выборки и нахождение ее числовых характеристик» Гугнина С.Е. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Подбор подходящего теоретического распределения

Подбор подходящего теоретического распределения Лекция Подбор подходящего теоретического распределения При наличии числовых характеристик случайной величины (математического ожидания, дисперсии, коэффициента вариации) законы ее распределения могут быть

Подробнее

КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Математическое моделирование и проектирование

КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Математическое моделирование и проектирование МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего образования КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Математическое моделирование

Подробнее

Лекция 1. Введение. Основные понятия и методы математической статистики.

Лекция 1. Введение. Основные понятия и методы математической статистики. 1 Лекция 1. Введение. Основные понятия и методы математической статистики. 1. Что изучают математическая статистика, теория случайных процессов. Изучение данного курса будет состоять из двух частей: «Математическая

Подробнее

Лекция 5. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда

Лекция 5. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Лекция 5. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция

Подробнее

Математика (Статистика, корреляция и регрессия)

Математика (Статистика, корреляция и регрессия) Федеральное агентство воздушного транспорта Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Подробнее

Лекция 9. Множественная линейная регрессия

Лекция 9. Множественная линейная регрессия Лекция 9. Множественная линейная регрессия Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Множественная регрессия... Санкт-Петербург, 2013 1 / 39 Cодержание Содержание 1

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СЛУЧАЙНЫЕ И ГРУБЫЕ ПОГРЕШНОСТИ

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СЛУЧАЙНЫЕ И ГРУБЫЕ ПОГРЕШНОСТИ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СЛУЧАЙНЫЕ И ГРУБЫЕ ПОГРЕШНОСТИ Погрешность В реальных условиях даже очень точные измерения будут содержать погрешность D, которая является отклонением результата измерения x от истинного

Подробнее

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ Отказы, возникающие в процессе испытаний или эксплуатации, могут быть различными факторами: рассеянием

Подробнее

Система линейных уравнений. Система m уравнений с n неизвестными: 8 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n =b 2

Система линейных уравнений. Система m уравнений с n неизвестными: 8 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n =b 2 Раздел VI. Глоссарий Матрица. Совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей n строк и m столбцов называется матрицей размерности Определитель матрицы. Определителем квадратной

Подробнее

Для удобства вычислений генеральной средней и среднего квадратического отклонения составляем таблицу. σ = 874,02 874,020 29,200 = 21,380

Для удобства вычислений генеральной средней и среднего квадратического отклонения составляем таблицу. σ = 874,02 874,020 29,200 = 21,380 Задание. По выборочным данным оценить генеральную среднюю, генеральную дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить полигон относительных частот. Эти же данные разбить на 5 интервалов. По интервальному

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14 ЧАСТЬ 8 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Лекция 4 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятие генеральной и выборочной совокупности и сформулировать три типичные задачи

Подробнее

Retinskaya.jimdo.com

Retinskaya.jimdo.com ЛЕКЦИЯ 1 Классификация экспериментальных исследований Определение и свойства функции распределения. Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал Квантиль распределения Выборочная функция

Подробнее

А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ М.

А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ М. А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 224 с. Книга предназначена для начального

Подробнее

Лекция 1. Понятие случайного процесса и его конечномерные распределения

Лекция 1. Понятие случайного процесса и его конечномерные распределения Лекция 1 Понятие случайного процесса и его конечномерные распределения Теория случайных процессов является частью теории вероятностей. Специфика теории случайных процессов состоит в том, что в ней рассматриваются

Подробнее

Статистика (функция выборки)

Статистика (функция выборки) Статистика (функция выборки) Материал из Википедии свободной энциклопедии Статистика (в узком смысле) это измеримая числовая функция от выборки, не зависящая от неизвестных параметров распределения. В

Подробнее

1. Краткие теоретические сведения

1. Краткие теоретические сведения . Краткие теоретические сведения.. Основные распределения, используемые в математической статистике Равномерное распределение. Случайная величина непрерывного типа Х распределена равномерно на отрезке

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности.

ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности. 1 ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности. Помимо дискретных случайных величин на практике приходятся иметь дело со случайными величинами, значения которых сплошь заполняет некоторые

Подробнее

Эконометрия I: регрессионный анализ

Эконометрия I: регрессионный анализ Методическое пособие для студентов II-III курсов экономического факультета НГУ Эконометрия I: регрессионный анализ Курс эконометрии I состоит из двух частей: регрессионный анализ и временные ряды. Данное

Подробнее

ü описание явлений упорядочивание статистического материала, представление в удобном для экспериментатора виде (таблица, график, диаграмма);

ü описание явлений упорядочивание статистического материала, представление в удобном для экспериментатора виде (таблица, график, диаграмма); Математическая статистика наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями. При этом решаются следующие задачи: ü описание явлений

Подробнее

Глава 3. Непрерывные случайные величины

Глава 3. Непрерывные случайные величины Глава 3. Непрерывные случайные величины. Функция распределения. Если множество значений случайной величины X не конечно и не счетно, то такая случайная величина не может характеризоваться вероятностью

Подробнее

Показательное распределение.

Показательное распределение. Показательное распределение. 1) Распределение с.в. X подчинено показательному закону с параметром 5. Записать вычислить M X DX. f x Показательное распределение с параметром имеет плотность вероятности:

Подробнее

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ С ЗАДАННЫМ ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ С ЗАДАННЫМ ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лабораторная работа МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ С ЗАДАННЫМ ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. АЛГОРИТМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ Дискретные случайные величины Слова "случайная величина" в обыденном смысле употребляют

Подробнее

6.7. Статистические испытания

6.7. Статистические испытания Лекция.33. Статистические испытания. Доверительный интервал. Доверительная вероятность. Выборки. Гистограмма и эмпирическая 6.7. Статистические испытания Рассмотрим следующую общую задачу. Имеется случайная

Подробнее

Лекция 11. Метод наибольшего правдоподобия. Другие характеристики вариационного ряда.

Лекция 11. Метод наибольшего правдоподобия. Другие характеристики вариационного ряда. 1 Лекция 11 Метод наибольшего правдоподобия Другие характеристики вариационного ряда 1 Метод наибольшего правдоподобия Кроме метода моментов, который изложен в предыдущем параграфе, существуют и другие

Подробнее

В. Сидоренко МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

В. Сидоренко МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 1 Министерство образования и науки Республики Казахстан ВОСТОЧНО-КАЗАХСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Д.Серикбаева В. Сидоренко МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Методические указания по выполнению

Подробнее

Понятие случайной величины и её закона распределения. Одномерные дискретные случайные величины. Случайной величиной (СВ) называется функция ξ (ω)

Понятие случайной величины и её закона распределения. Одномерные дискретные случайные величины. Случайной величиной (СВ) называется функция ξ (ω) Понятие и её закона Одномерные дискретные случайные Определение случайной Случайной величиной (СВ) называется функция (ω), определённая на пространстве элементарных событий Ω, со значениями в одномерном

Подробнее

Равномерное распределение.

Равномерное распределение. Равномерное распределение. Равномерным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид, если xa ; b f x b a 0, если xa ; b Математическое ожидание M X

Подробнее

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДАННЫХ

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДАННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика

Подробнее

Лекция 6. Критерии согласия.

Лекция 6. Критерии согласия. Лекция 6. Критерии согласия. Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CS Center) Критерии согласия... Санкт-Петербург, 2014 1 / 26 Cодержание Содержание 1

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ это распределение числа успехов наступлений определенного события в серии из n испытаний при условии, что для каждого из n испытаний вероятность успеха имеет одно и то же значение

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. О.Ю.Пелевин

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. О.Ю.Пелевин МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ О.Ю.Пелевин МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов физического

Подробнее

2. «Простая» статистика

2. «Простая» статистика 2. «Простая» статистика 1 2. «Простая» статистика В большинстве статистических расчетов приходится работать с выборками случайной величины: либо с данными эксперимента, либо с результатами моделирования

Подробнее

ГЛАВА 5 ХАРАКТЕРИСТИКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЫБОРКИ Выборка гиперслучайной величины

ГЛАВА 5 ХАРАКТЕРИСТИКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЫБОРКИ Выборка гиперслучайной величины ГЛАВА 5 ХАРАКТЕРИСТИКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЫБОРКИ Формализовано понятие гиперслучайной выборки и определены ее свойства предложена методология формирования оценок характеристик гиперслучайной величины и исследована

Подробнее

1. Теория вероятностей

1. Теория вероятностей пп. Термины Определения Примечания 1. Теория вероятностей 1.1. Общие понятия 1.1.1. Пространство Множество, элементы которого, называемые Пространство элементарных событий Ω = {ω} лежит в элементарных

Подробнее

ЯГМА Кафедра медицинской физики Лечебный факультет. 1 курс 1 семестр

ЯГМА Кафедра медицинской физики Лечебный факультет. 1 курс 1 семестр ЯГМА Кафедра медицинской физики Лечебный факультет 1 курс 1 семестр «Элементы математической статистики» Составил: Дигурова И.И. 2004 г. 1. Математическая статистика. Ее виды, особенности, задачи. Математическая

Подробнее

Тест по Математическим методам в педагогике и психологии система подготовки к тестам Gee Test oldkyx.com

Тест по Математическим методам в педагогике и психологии система подготовки к тестам Gee Test oldkyx.com Тест по Математическим методам в педагогике и психологии система подготовки к тестам Gee Test oldkyx.com методы и способы сбора информации 1. Принято выделять следующие виды гипотез: 1) [-]подтверждающиеся

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Теория вероятностей Элементы теории множеств и теории функций Вероятностное пространство

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Теория вероятностей Элементы теории множеств и теории функций Вероятностное пространство СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Хуснутдинов, Р. Ш. Курс теории вероятностей. Казань : Издво КГТУ, 2000. 200 с. 2. Хуснутдинов, Р. Ш. Курс математической статистики. Казань : Изд-во КГТУ, 2001. 344 с. 3. Хуснутдинов,

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика 4. Тип заданий Контрольные работы Количество этапов формирования компетенций

Теория вероятностей и математическая статистика 4. Тип заданий Контрольные работы Количество этапов формирования компетенций 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):. Кафедра Общие сведения. Направление подготовки Экономика Математики и математических методов в экономике

Подробнее

Работа 1. Моделирование случайных чисел с заданным законом распределения

Работа 1. Моделирование случайных чисел с заданным законом распределения Работа. Моделирование случайных чисел с заданным законом распределения Целью данной комплексной работы является практическое ознакомление с алгоритмами моделирования случайных чисел с заданным законом

Подробнее

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема Генеральная совокупность и выборка Точечные оценки и их свойства Центральная предельная теорема Выборочное среднее, выборочная дисперсия Генеральная совокупность Генеральная совокупность множество всех

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика. НК-2, третий семестр Математическая статистика. Характеристики выборки

Теория вероятностей и математическая статистика. НК-2, третий семестр Математическая статистика. Характеристики выборки Теория вероятностей и математическая статистика. НК-, третий семестр Математическая статистика. Характеристики выборки Для заданных выборок: построить вариационный и статистический ряды; найти наименьший

Подробнее

Часть 2. Элементы математической статистики

Часть 2. Элементы математической статистики Часть 2. Элементы математической статистики Замечательно, что науке, начинавшейся с рассмотрения азартных игр, суждено было стать важнейшим объектом человеческого знания. Лаплас Вероятность это важнейшее

Подробнее

3 Операции над матрицами: сложение и вычитание

3 Операции над матрицами: сложение и вычитание Определение детерминанта матрицы Квадратная матрица состоит из одного элемента A = (a ). Определитель такой матрицы равен A = det(a) = a. ( ) a a Квадратная матрица 2 2 состоит из четырех элементов A =

Подробнее

Тесты по дисциплине «Математика (математические методы в психологии)»

Тесты по дисциплине «Математика (математические методы в психологии)» МАОУ ВО «КРАСНОДАРСКИЙ МУНИЦИПАЛЬНЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ ИНСТИТУТ ВЫСШЕГО СЕСТРИНСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ» Кафедра педагогики и психологии Тесты по дисциплине «Математика (математические методы в психологии)» 1. Какую

Подробнее

Задача скачана с сайта www.matburo.ru МатБюро - Решение задач по высшей математике

Задача скачана с сайта www.matburo.ru МатБюро - Решение задач по высшей математике Тема: Статистика Задача скачана с сайта MatBuroru ЗАДАНИЕ Имеются данные 6%-ного механического отбора магазинов торговой фирмы по стоимости основных фондов (млрд руб): 4,,9 3,1 3,9 1,7,8 1,8,9 7,1,5 4,7

Подробнее

Обработка и анализ результатов моделирования

Обработка и анализ результатов моделирования Практическая работа Обработка и анализ результатов моделирования Задача. Проверить гипотезу о согласии эмпирического распределения с теоретическим распределением с помощью критериев Пирсона и Колмогорова-

Подробнее

Математическая статистика.

Математическая статистика. Лекция. Математическая статистика. Основной задачей математической статистики является разработка методов получения научно обоснованных выводов о массовых явлениях и процессах из данных наблюдений и экспериментов.

Подробнее

Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда

Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2015 Грауэр Л.В., Архипова

Подробнее

Программа курса. Математическая статистика. лектор к.ф.-м.н. И.В. Родионов. Весна 2014

Программа курса. Математическая статистика. лектор к.ф.-м.н. И.В. Родионов. Весна 2014 Программа курса Математическая статистика лектор к.ф.-м.н. И.В. Родионов Весна 2014 1. Вероятностно статистическая модель. Понятия наблюдения и выборки. Моделирование выборки из неизвестного распределения.

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Томский Государственный архитектурно-строительный университет

Министерство образования Российской Федерации Томский Государственный архитектурно-строительный университет Министерство образования Российской едерации Томский Государственный архитектурно-строительный университет Первичная обработка выборочных данных Методические указания и варианты заданий. Томск 00 Данная

Подробнее

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Числовые характеристики дискретных случайных величин 1 Числовые характеристики дискретных случайных величин Математическое ожидание Expected Value (i.e. Mean) - характеризует среднее весовое значение случайной величины с учётом вероятности появлений значений

Подробнее

Основные понятия и определения

Основные понятия и определения 1 Основные понятия и определения Вспомним основные понятия и определения, которые употреблялись в курсе теории вероятностей. Вероятностный эксперимент (испытание) эксперимент, результат которого не предсказуем

Подробнее

Репозиторий БНТУ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Методическое пособие. Часть 1

Репозиторий БНТУ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Методическое пособие. Часть 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика 3» В. И. Ерошевская Е. Л. Ерошевская Л. П. Минченкова МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Подробнее

Примеры распределений дискретных случайных величин

Примеры распределений дискретных случайных величин Примеры распределений дискретных случайных величин 1 Биномиальное распределение = μ ( ) Рассмотрим случайную величину равную числу появлений события A в серии n независимых испытаний. Распределение вероятностей

Подробнее

АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ

АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к зачету по дисциплине «Математика» I семестр

2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к зачету по дисциплине «Математика» I семестр 2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к зачету по дисциплине «Математика» I семестр I Элементы линейной алгебры 1. Понятие определителей 2-го и 3-го порядка, их вычисление и

Подробнее

Тема Свойства выборочных характеристик. Интервальные ряды

Тема Свойства выборочных характеристик. Интервальные ряды Лекция 7 Тема Свойства выборочных характеристик. Интервальные ряды Содержание темы Свойства средней арифметической Свойства выборочной дисперсии Интервальный ряд и его характеристики Основные категории

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Математическая статистика.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Математическая статистика. Математическая статистика. Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении статистических данных результатах наблюдений. Первая задача математической статистики

Подробнее

1 ПАСПОРТ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ

1 ПАСПОРТ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ СОДЕРЖАНИЕ 1 ПАСПОРТ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ 3 УСЛОВИЯ РЕАЛИЗАЦИИ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ КОНТРОЛЬ И ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ 3

Подробнее

Точечные оценки и их свойства. Грауэр Л.В.

Точечные оценки и их свойства. Грауэр Л.В. Точечные оценки и их свойства Грауэр Л.В. Статистика ξ генеральная совокупность c ф.р. F ξ (x; θ) θ = (θ 1,..., θ m ) неизвестные параметры X [n] = (X 1,..., X n ) выборка из ξ Статистикой будем называть

Подробнее

Лабораторная работа 1.

Лабораторная работа 1. Компьютерные методы моделирования строительства скважин. Лабораторная работа. Построение вариационных рядов. Расчет числовых характеристик Цель работы: овладение способами построения рядов распределения

Подробнее

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Учебная дисциплина Б.2.1 - Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент Тематика

Подробнее

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 1. Основные понятия и определения теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое и статистическое определение вероятности

Подробнее

Лекция 12. Стационарные последовательности

Лекция 12. Стационарные последовательности Лекция 12 Стационарные последовательности Рассмотрим еще один класс случайных последовательностей, обобщающих последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Пусть Ω, F, P исходное

Подробнее

Лекция 6. Критерии согласия.

Лекция 6. Критерии согласия. Лекция 6. Критерии согласия. Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2015 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Критерии согласия... Санкт-Петербург, 2015 1 / 35 Cодержание Содержание 1 Критерии

Подробнее

Лабораторная работа 2.

Лабораторная работа 2. Компьютерные методы моделирования строительства скважин. Лабораторная работа. ПРОВЕРКА СООТВЕТСТВИЯ ВЫБОРКИ НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Цель работы: овладение студентом способами построения эмпирической

Подробнее

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика»

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» Задача 1. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» В результате тестирования группа из 24 человек набрала баллы: 4, 0, 3, 4, 1, 0, 3, 1, 0, 4, 0, 0,

Подробнее

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным 1. КОНЕЧНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА Рассмотрим последовательность случайных величин ξ n, n 0, 1,..., каждая из коорых распределена дискретно и принимает значения из одного и того же множества {x 1,...,

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ БИОЛОГИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ.

ЭЛЕМЕНТЫ БИОЛОГИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ. ЭЛЕМЕНТЫ БИОЛОГИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ. План. 1. Предмет биологической статистики. Этапы статистической работы.. Первый этап статистической работы. a) Генеральная совокупность и выборка. b) Способы формирования

Подробнее

лектор к.ф.-м.н. Д. А. Шабанов Весна 2012

лектор к.ф.-м.н. Д. А. Шабанов Весна 2012 Программа курса Математическая статистика лектор к.ф.-м.н. Д. А. Шабанов Весна 2012 1. Основная задача математической статистики. Примеры: выборка и линейная модель. 2. Различные виды сходимостей случайных

Подробнее

Лекция 8. Непараметрические критерии независимости. Корреляционный анализ

Лекция 8. Непараметрические критерии независимости. Корреляционный анализ Лекция 8. Непараметрические критерии независимости. Корреляционный анализ Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Непараметрические критерии... Санкт-Петербург,

Подробнее