РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок; 6 Электроника и наноэлектроника; 6 Биотехнические системы и технологии; 6 Приборостроение Подготовлено кафедрой вычислительных методов и уравнений математической физики Екатеринбург 5

2 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ 4 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РЯДОВ 5 Первичные определения и иллюстрирующие их примеры 5 Необходимый признак сходимости ряда 9 Операции с числовыми рядами ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ (РАСХОДИМОСТИ) РЯДОВ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ Признаки сравнения Признак Даламбера и радикальный признак Коши 5 Интегральный признак Коши 8 ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ Абсолютная и условная сходимость Знакочередующиеся ряды 4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ 7 5 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 9 5 Основные понятия 9 5 Равномерная сходимость функционального ряда 6 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 6 6 Область сходимости степенного ряда 6 6 Свойства степенных рядов 9 6 Степенные ряды в комплексной плоскости 4 64 Разложение функций в степнные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Некоторые приложения теории степенных рядов 5 65 Приближенное вычисление значений функции 5 65 Вычисление интегралов, неберущихся в элементарных функциях 5 65 Решение дифференциальных уравнений 5 7 РЯДЫ ФУРЬЕ 56 7 Основные понятия 56 7 Достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье 58

3 7 Ряды Фурье для четных и нечетных функций 6 74 Разложение в ряд Фурье функций, заданных на половине периода 6 75 Ряды Фурье для функций с произвольным периодом Комплексная форма ряда Фурье 66 8 ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 68 9 ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ 7 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 94

4 ВВЕДЕНИЕ В теории рядов есть много тонких и сложно доказываемых результатов Поэтому строгое изложение этого раздела приводит к очень большому объему учебно-методического пособия Это пособие предназначено также и для бакалавров, в учебных планах которых на эту тему отводится малое количество часов Поэтому мы попытались кратко изложить материал, но пришлось отказаться от доказательства многих теорем Упор был сделан на методы решения задач и рассмотрение типовых примеров В пособии также приведены 5 вариантов заданий для самостоятельной работы студентов Нумерация формул, теорем и определений вводится для каждого раздела Нумерация рисунков единая для всего пособия 4

5 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РЯДОВ Первичные определения и иллюстрирующие их примеры Определение Рассмотрим бесконечную последовательность u, u,, u, Выражение называется рядом Слагаемые u u u u u () u членами ряда Если все u числа, то ряд называется числовым Если все u функции, то ряд называется функциональным u f ( ), N называют «энным», или общим членом ряда Примеры числовых рядов: ) ; ) 5 ( ) ( ) Примеры функциональных рядов: ) e e e e e ; si si si si si ) 4 9 Заметим, что ряд () и последующие примеры являются, по сути, символами, описывающими операцию суммирования бесконечного множества чисел или функций Понятно, что реально выполнить такую операцию невозможно Можно ли тогда дать ряду-символу () разумный смысл? Да, можно Рассмотрим способ, предложенный великим французским математиком Коши Для этого введем следующие определения Определение Сумма конечного числа первых членов ряда () называется -й частичной суммой ряда и обозначается S Так, S u, S u u, S u u u, S u u u () 5

6 Определение Если существует конечный предел последовательности S ряда () S lim S, () то ряд () называется сходящимся, а число S суммой ряда Если же lim S или вообще не существует, то ряд () называется расходящимся В терминах теории пределов сходимость ряда () к сумме S выражается следующим образом:, N ( ) : N ( ) S S Рассмотрим вопрос о сходимости некоторых конкретных числовых рядов с помощью определения () ), u, S, lim S lim, следовательно, данный ряд расходится ) ( ), u ( ) В этом случае все нечетные частичные суммы будут равны S S S, а частичные суммы с четными номерами S S S Поскольку различные 4 подпоследовательности нашей числовой последовательности S имеют разные пределы, то в целом последовательность S предела не имеет (определение предела последовательности по Гейне), значит, исследуемый ряд расходится ), u В этом случае члены ряда являются членами арифметической прогрессии ( a, d ), что позволяет свернуть ( ) частичную сумму S по формуле суммы первых ( ) членов арифметической прогрессии Тогда lim S lim, и наш ряд расходится 6

7 4) a aq aq aq aq, u aq, где a cost, q cost, т е члены ряда представляют собой члены геометрической прогрессии с первым членом b a и знаменателем прогрессии q Известно, что сумма первых членов геометрической прогрессии S a( q ), ( q ) Тогда q a lim S lim( q ) q Рассмотрим несколько частных случаев a а) q lim q lim S S, q т е ряд сходится; б) q lim q lim S, т е ряд расходится; в) q, при этом записанная выше формула для S неверна, т к ряд принимает вид: a a a a, u a, S a, lim S a lim, те ряд расходится; г) q, ряд принимает вид ( ), ( ), a a a a a u a S S S a; S S S 4 Это означает, что, как и в примере, lim S расходится не существует и ряд Сделаем общий вывод: ряд, составленный из членов геометрической прогрессии, сходится в случае q и расходится для q, u 5) 6 ( ) ( ) ( ) Рассмотрим общий член ряда u и разложим его на простейшие дроби Найдем корни знаменателя u : ( ), значит,, Тогда u 7

8 разлагается на простейшие дроби ( A и B неопределенные коэффициенты): u A B A( ) B, ( ) ( ) что приводит нас к равенству A( ) B, подставляя в которое значения корней и, найдем A, B Таким образом, для любых u, что позволяет упростить частичную сумму S 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 u u u u u (второе слагаемое -го члена сокращается с первым слагаемым ( ) члена) Тогда сходится, и его сумма S lim S lim( ) lim lim S, т е данный ряд 6) l( ) l( ) l( ) l( ) l( ), u l( ) l( ) l( ) l S u u u (l l) (l l ) (l 4 l ) u u u (l l( )) (l( ) l ) l( ) u u Тогда lim S lim l( ), т е ряд расходится Замечание При исследовании ряда на сходимость по определению () нужно частичную сумму ряда S преобразовать тождественно так, чтобы даже при в ней было конечное число слагаемых, поскольку одна из основных теорем теории пределов «Предел суммы равен сумме пределов» справедлива лишь в случае конечного числа слагаемых, и вычислить «в лоб» предел 8

9 lim S lim( u u u ) невозможно (число слагаемых под знаком предела стремится к бесконечности) Необходимый признак сходимости ряда Теорема (Необходимый признак сходимости ряда) Если ряд () u сходится, то предел его общего члена lim u Доказательство По условию теоремы ряд () сходится, т е существует lim S S Запишем частичную сумму в следующем виде: S S u, тогда u S S Найдем lim u lim( S S ) lim S lim S S S, ч т д Следствие Если предел общего члена lim u, то ряд () расходится Пример Исследовать на сходимость ряд Найдем lim u lim, т е исследуемый ряд расходится, поскольку противоречит необходимому признаку сходимости Замечание Данный признак является необходимым, но не является достаточным Так, существуют расходящиеся ряды, для которых lim u, Таким примером может служить ряд, у которого lim u lim, но этот ряд расходится (будет доказано в дальнейшем) Определение 4 Если у ряда u () отбросить первых членов, т е -ю частичную сумму S, то получим ряд u u u u, (4) который называется -м остатком ряда () и обозначается r 9

10 Таким образом, u S r (5) Можно доказать, что если ряд () сходится, то его сумму S можно представить в виде S S r, (6) где S его -я частичная сумма, а r сумма его -го остатка Откуда следует S S r (7) Замечание В дальнейшем очень много внимания будет уделено вопросу: «Сходится исследуемый ряд или расходится?» Почему это важно? При решении многих вычислительных задач не удается получить точный результат, но нередко его можно представить в виде ряда Если этот ряд расходится, то о вычислении его не может быть и речи Но если этот ряд сходится, то формулы (6), (7) показывают путь приближенного нахождения суммы ряда S S с абсолютной погрешностью r Дальнейшие усилия могут быть направлены на уменьшение погрешности до необходимого в этой задаче уровня Операции с числовыми рядами Теорема Если сходится ряд, полученный из данного ряда отбрасыванием конечного числа его первых членов, то данный ряд также сходится Заметим, что обратная теорема также имеет место Другими словами, на сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его первых членов Доказательство Представим -ю частичную сумму S C, где C сумма первых отброшенных членов, сумма остальных членов -й частичной суммы Тогда lim S lim( C ) lim C lim C lim Здесь lim C C как предел константы Из записанного равенства очевидно,

11 что если существует конечный предел lim, то существует и конечный предел lim S, и наоборот Тем самым теорема доказана Теорема Если ряд () a сходится и его сумма равна S, то ряд () ca также сходится и его сумма равна cs Здесь c cost Доказательство Рассмотрим -е частичные суммы рядов () и () соответственно S a a a и ca ca ca Поскольку они содержат конечное число слагаемых, то во второй сумме можно вынести общий множитель cs Тогда lim lim cs c lim S cs, так как по условию теоремы ряд () сходится, а это означает существование конечного предела lim S S Теорема доказана Теорема 4 Если ряды () a и () b сходятся к a S и S b соответственно, то ряды ( a b ) сходятся к ( S S ) a b Доказательство По условию ряд () сходится к S Это значит, что a a a существует конечный предел lim S S, где S a a a Аналогично b b lim S S, где S b b b Рассмотрим частичные суммы b ( a b ) ( a b ) ( a b ) ( a a ) ( b b ) S S a b a Тогда lim lim( S a S b ) lim S a lim S b S S Теорема доказана a b

12 ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ (РАСХОДИМОСТИ) РЯДОВ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ Признаки сравнения Рассмотрим два ряда с неотрицательными членами () u и () v, где для любых u и v Теорема (Первый признак сравнения) Если для любых выполняется неравенство u v, и ряд () сходится, то ряд () тоже сходится Доказательство Распишем частичные суммы этих рядов S u и v По условию теоремы u v, следовательно, S Так как ряд () сходится, то существует конечный предел lim Поскольку v для любых, то, значит, выполняется неравенство S и S, т е последовательность частичных сумм S ограничена числом и при этом является монотонной (т к u, то S S ) Известно, что монотонная ограниченная последовательность имеет предел Тогда существует конечный предел lim S S, ч т д Замечание Смысл теоремы () состоит в том, что если сходится ряд с большими членами, то ряд с меньшими членами тоже сходится Пример Исследовать на сходимость ряд Для него u Возьмем для сравнения ряд, где v (эталонный ряд) Он сходится, т к его члены образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q При этом для всех,,4, выполняется неравенство u v или

13 (это можно проверить) Тогда исследуемый ряд сходится по первому признаку сравнения Теорема (Второй признак сравнения) Если для любых выполняется неравенство u v и ряд () расходится, то ряд () тоже расходится Замечание Смысл теоремы : если расходится ряд с меньшими членами, то ряд с большими членами тоже расходится Доказательство По условию теоремы u v и оба ряда состоят из неотрицательных членов, поэтому S Так как ряд () расходится, то lim S По теореме о предельных переходах в неравенствах получим lim, т е ряд () тоже расходится Пример Исследовать на сходимость ряд, где v Сравним его с рядом, где u Ранее мы с помощью определения доказали, что этот ряд расходится Поскольку для любых,,, выполняется неравенство, то исследуемый ряд тоже расходится по второму признаку u v сравнения Замечание Теоремы и справедливы и в том случае, когда неравенство u v выполняется не для всех натуральных, а лишь для ( некоторое фиксированное натуральное число) Теорема (Предельный признак сравнения) Если для любых u натуральных u и v и существует lim l, причем l, то v ряды u и v либо оба сходятся, либо оба расходятся Теорема приводится без доказательства

14 Пример Исследовать на сходимость ряд ( ), u Возьмем для сравнения ряд, v, про который известно, что он расходится Рассмотрим u lim lim lim( ) Поскольку, то v исследуемый ряд тоже расходится Пример Исследовать на сходимость ряд tg, u tg 4 4 Заметим, что общий член ряда u tg при является бесконечно 4 малой эквивалентной 4 Поэтому в качестве эталонного возьмем ряд, v tg u, который расходится Рассмотрим lim lim 4 lim 4 v 4 Так как, то исследуемый ряд расходится 4 Замечание При исследовании ряда на сходимость с помощью признаков сравнения второй (эталонный) ряд мы должны подобрать сами Этот эталонный ряд должен быть в чем-то похож на исследуемый ряд (чтобы можно было применить признаки сравнения), и мы должны точно знать, сходится он или расходится Чаще всего в качестве эталонного берут ряд, члены которого образуют геометрическую прогрессию, либо обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле) с общим членом u p, который сходится при p и расходится для p 4

15 Признак Даламбера и радикальный признак Коши Теорема 4 (Признак Даламбера) Если для ряда u, в котором для u любых u, существует предел lim l, причем u ) если l, то ряд сходится; ) если l, то ряд расходится; ) если l, то о сходимости ряда ничего сказать нельзя u Доказательство По условию теоремы lim l В терминах теории u u пределов это означает, N ( ) : N ( ) l Распишем u последнее неравенство Рассмотрим три случая l u l (*) u Пусть l Выберем таким, чтобы l, и обозначим l q, u причем q В силу неравенства (*) u q, а так как u, то u qu, и это справедливо для любых N Выпишем цепочку этих неравенств: u u u q u q аналогично u q,, N N N N N u u q N N и т д Рассмотрим вспомогательный ряд 5 u q u q u q Он сходится, N N N так как содержит члены бесконечной убывающей геометрической прогрессии ( q ) В силу выписанных выше неравенств каждый член этого сходящегося ряда больше соответствующего члена ряда u u u N N N, (**) поэтому по первому признаку сравнения ряд (**) сходится Если к ряду (**) добавим конечное число первых членов u u u, N то получим исследуемый ряд, и он сходится в силу теоремы

16 Пусть l Выберем таким, чтобы l Тогда с учетом u u неравенства (*) l, т е, а значит, для любых N u u выполняется неравенство u u ( u ) Поэтому u u u, и, N N N начиная с номера N, члены нашего ряда возрастают при, т е не выполняется необходимый признак сходимости ряда Поэтому исследуемый ряд расходится Пусть l Рассмотрим несколько рядов ), u гармонический ряд Известно, что он расходится (докажем это далее) Применим к нему признак Даламбера: u, u lim lim u ) u, u ( ) Ранее по определению было доказано, что этот ряд сходится и его сумма равна единице u ( )( ) Вычислим u ( ) lim lim lim u ( )( ) Таким образом, из этих примеров видно, что при l ряды могут быть и сходящимися, и расходящимися В этом случае необходимо дополнительное исследование, которое может проводиться с помощью других признаков, определения сходящегося ряда и т д Пример Исследовать на сходимость ряд u, u 4! Для этого ряда u 4 ( )! ( ) Вычислим 6

17 u 4 ( )! 4( ) lim lim lim 4 lim u ( ) 4! ( ) ( ) ( ) 4 4 lim e Значит, данный ряд расходится Пример Исследовать на сходимость ряд Здесь u, ( ) u Вычислим Данный ряд сходится u ( ) lim lim lim u Теорема 5 (Радикальный признак Коши) Если для ряда u, в котором для любых u, существует предел lim u l, причем Даламбера ) если l, то ряд сходится; ) если l, то ряд расходится; ) если l, то о сходимости ряда ничего сказать нельзя Доказательство этой теоремы аналогично доказательству признака Пример Исследовать на сходимость ряд Здесь u Вычислим Следовательно, ряд сходится lim u lim lim Пример Исследовать на сходимость ряд Здесь u Вычислим 7

18 lim u lim lim lim e lim Ряд сходится Замечание Признак Коши (радикальный) «сильнее» признака Даламбера, так как предел lim u u может существовать, а предел lim u нет u Если же предел lim u существует, то существует и предел lim u, причем оба эти предела оказываются равными Отсюда вытекает, что если применение одного из этих признаков не дает ответа о сходимости ряда (соответствующий предел равен единице), то применение другого признака также бесполезно Применение признака Даламбера целесообразно, если общий член ряда содержит факториал или показательную функцию от номера члена ряда Интегральный признак Коши Теорема 6 (Интегральный признак Коши) Пусть общий член ряда () u, f ( ) Если функция f ( ), принимающая в точках, где,,,, значения ( ), ;, то f монотонно убывает на промежутке ряд () и несобственный интеграл одновременно f ( ) d сходятся или расходятся Доказательство Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную линиями y f ( ), y,, Впишем и опишем около криволинейной трапеции ступенчатые фигуры, состоящие из прямоугольников с основаниями ;, ;,, ; соответственно и высотами f (), f (),, f ( ) и f (), f (),, f ( ) 8

19 Рис Криволинейная трапеция со вписанной и описанной ступенчатыми фигурами Тогда площадь криволинейной трапеции SТР f ( ) d, площадь вписанной фигуры S f () f () f ( ) u u u S u, ВП площадь описанной фигуры S f () f () f ( ) u u u S u Очевидно, что OП S S S, ВП ТР ОП т е S u f ( ) d S u Откуда S u f ( ) d, (*) S u f ( ) d (**) Если существует несобственный интеграл f ( ) d, то это значит, что существует конечный lim f ( ) d I Поскольку функция f ( ), то при 9

20 увеличении f ( ) d тоже увеличивается и не превосходит своего предела f ( ) d lim f ( ) d I В силу неравенства (*) S u I Таким образом, последовательность S является ограниченной и монотонной (так как u, то S S ), а значит, имеет конечный предел, т е существует конечный lim S, и ряд () сходится Если несобственный интеграл f ( ) d расходится, то lim ( ) f d (так как f ( ) ) В силу неравенства (**) S u f ( ) d Это означает, что последовательность частичных сумм S не ограничена, т е lim S и ряд () расходится Теорема доказана Примеры Исследовать на сходимость ряды: а) ; ( ) l ( ) б) в) гармонический ряд; ряд Дирихле или обобщенный гармонический; p г) Рассмотрим соответствующие несобственные интегралы а) d d (l( )), ( ) l ( ) l ( ) l( ) l т е несобственный интеграл и ряд а) оба сходятся

21 б) d l, значит, несобственный интеграл и ряд б) оба расходятся в), p p d, случай p рассмотрен в примере б) p p, p p Таким образом, несобственный интеграл d и ряд в) оба сходятся при p p и оба расходятся при p г) d d ( ) l( ), т е несобственный интеграл и ряд г) оба расходятся

22 ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ Абсолютная и условная сходимость Определение Ряд () называется знакопеременным u с членами произвольных знаков Наиболее интересен случай, когда знакопеременный ряд содержит бесконечно много как положительных, так и отрицательных членов Именно его мы и будем рассматривать в дальнейшем (расстановка Пример u знаков: плюса, затем минуса, плюса минуса и т д) Определение Ряд () u называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд () u, составленный из модулей членов ряда () Ряд () называется условно схоящимся, если он сходится, а ряд () расходится Для знакопеременных рядов имеют место следующие теоремы (приводятся без доказательства) Теорема Из сходимости ряда () u вытекает сходимость ряда () u Это достаточный признак сходимости знакопеременного ряда Он не является необходимым, поскольку существуют знакопеременные ряды, которые сходятся, тогда как ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся (именно такие ряды называются условно сходящимися) Теорема Сходящийся знакопеременный ряд (в том числе и знакопостоянный) остается сходящимся и не меняет величины суммы при любой группировке его членов, произведенной без изменения порядка их следования

23 Теорема Абсолютно сходящийся ряд остается сходящимся и не меняет величины суммы ряда при любой перестановке его членов Абсолютно сходящиеся ряды занимают особое место среди знакопеременных рядов На них переносятся основные свойства конечных сумм, в том числе и указанное выше свойство переместительности Теорема 4 Изменяя порядок следования членов в условно сходящемся ряде, можно сделать сумму ряда равной любому наперед заданному числу или даже сделать ряд расходящимся Теорема 5 Если знакопеременный ряд () u сходится абсолютно, то сходятся ряды, составленные из его а) положительных членов; б) отрицательных членов Если же знакопеременный ряд сходится лишь условно, то вышеупомянутые ряды расходятся Из последней теоремы вытекает, что абсолютно сходящиеся ряды сходятся только за счет того, что их члены достаточно быстро стремятся к нулю при Условно сходящиеся ряды сходятся за счет частичной компенсации сумм рядов с членами разных знаков Замечание При исследовании на сходимость знакопостоянных рядов мы имеем только две возможности: ряд либо сходится, либо расходится Для знакопеременных рядов появляются три возможности: ряд сходится абсолютно, либо сходится условно, либо расходится Знакочередующиеся ряды Среди знакопеременных рядов особо выделяют класс знакочередующихся рядов Определение Ряд ( ) ( ), u u u u u u 4 () в котором все u (,,,) числа одного знака, называется знакочередующимся

24 Далее для определенности будем считать, что все u Для знакочередующихся рядов справедлив следующий достаточный признак сходимости Теорема 6 (Признак Лейбница) Если члены знакочередующегося ряда () монотонно убывают по абсолютной величине, т е u u u u, и lim u, то этот ряд сходится, причем, S u, где S сумма ряда Доказательство Рассмотрим частичные суммы с четными номерами S u u u u, m N Сгруппируем члены попарно, т е m m m S ( u u ) ( u u ) Здесь каждая круглая скобка больше нуля, так m m m как члены ряда () убывают по абсолютной величине, и мы суммируем m положительных слагаемых Поэтому S, и последовательность частичных m сумм монотонно возрастает при увеличении m Перегруппируем члены виду S u u u u u u u u ( ) ( ) ( ) m 4 5 m m m S к m Каждая круглая скобка (внутри квадратной) больше нуля (также и u ), следовательно, выражение, стоящее в квадратной скобке, больше m нуля Поэтому, S u для любых m Таким образом, последовательность m m четных частичных сумм S содержит положительные члены, монотонно возрастает при увеличении m и притом ограничена Это означает, что существует положительный конечный предел этой последовательности lim S m S, причем S u (В теории пределов существует теорема о том, m что монотонная ограниченная последовательность имеет предел) Рассмотрим последовательность частичных сумм с нечетными номерами S S u, m N m m m Найдем m m m m m m m m m lim S lim ( S u ) lim S lim u S При вычислении предела мы учли, что по условию теоремы lim u, тогда и lim um Таким образом, последовательности и четных, и нечетных m 4

25 частичных сумм имеют один и тот же предел Это означает, что последовательность частичных сумм ряда () имеет конечный предел lim S S, т е ряд () сходится Теорема доказана Следствие Знакочередующийся сходящийся ряд () можно представить в виде ( ) u S r или S S r, где S сумма ряда, S -я частичная сумма ряда, r является знакочередующимся рядом -й остаток ряда, который сам также r ( ) u ( ) u В силу доказанной теоремы сумма остатка ряда по абсолютной величине не превосходит первого из членов этого ряда r u При замене суммы ряда S на частичную сумму 5 S, т е S S мы отбрасываем остаток ряда r Так как r S S, то получаемая при этом погрешность r S S u не превосходит по модулю первого из отброшенных членов Пример: Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд ( ) Составим ряд из абсолютных величин его членов Этот ряд сходится (по интегральному признаку Коши) Значит, исследуемый ряд сходится абсолютно Пример Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд () ( ) 4 Ряд, составленный из модулей его членов, является гармоническим, который, как известно, расходится Таким образом, у ряда () уже не может быть абсолютной сходимости Исследуем его на условную сходимость с помощью признака Лейбница Так

26 как для любых N :, то члены ряда () монотонно убывают по абсолютной величине Найдем lim u lim Оба условия теоремы Лейбница выполняются, значит, ряд () сходится условно Найдем приближенное значение суммы S данного ряда с точностью до, Для этого используем приближенное равенство S S Абсолютная погрешность такого приближения есть r u, 99 Тогда и вычисление членов частичной суммы следует проводить с такой же точностью 6

27 4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ В соответствии с заголовком, члены ряда являются комплексными числами z ( u iv ) u i v (4) Определение 4 Ряд с комплексными членами (4) сходится, если сходятся оба ряда с вещественными членами (4) u и (4) v Если хотя бы один из рядов (4) и (4) расходится, то и ряд с комплексными членами (4) также расходится Ряд с комплексными членами (4) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов (44) z u iv u v Пример Ряд() ( ) i l( ) исследовать на сходимость Рассмотрим знакоположительный ряд () u Применим признак Даламбера u ( ) lim lim u Значит, ряд () сходится Рассмотрим знакочередующийся ряд () ( ) ( ) l( ) v Применим признак Лейбница Функция N,, l( ) l(( ) ) y l возрастающая, тогда для любого т е члены ряда () убывают по абсолютной величине Вычислим lim v lim l( ) Тогда ряд () является сходящимся Поскольку ряды () и () оба сходятся, ряд () также сходится Выясним, обладает ли он абсолютной сходимостью Рассмотрим ряд из модулей 7

28 l ( ) l ( ) l( ) 4 z u v (*) Анализ графиков показывает, что для l, т е ( ) l( ), а значит, l( ) Ряд с общим членом a ведет себя так же, как гармонический b, т е расходится Значит, ряд с большими членами v l( ) по признаку сравнения также расходится В силу неравенства (*) ряд с большими членами z будет расходиться по признаку сравнения Таким образом, исследуемый ряд () сходится, но абсолютной сходимости у него нет Пример Исследовать на абсолютную сходимость ряд () ( ) z i 5 Рассмотрим z ( 5) Так как показательная функция возрастает быстрее, чем степенная, то при больших т е ( 5) ( 5), Значит, a ( 5) ( 5) 5 (*) Ряд с общим членом a ведет себя так же, как ряд с общим членом b (по предельному признаку сравнения), который, как известно, сходится Тогда в силу неравенства (*) и признака сравнения ряд с меньшими членами z сходится Значит, исследуемый ряд () сходится абсолютно 8

29 5 Основные понятия 5 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Определение 5 Пусть дана последовательность функций u ( ) (,,,), определенных на некотором множестве X Тогда символ u ( ) u ( ) u ( ) u ( ) u ( ) (5) называется функциональным рядом Если в ряд (5) подставить конкретное значение X, то из (5) получим числовой ряд u ( ) u ( ) u ( ) u ( ) u ( ) (5) Функциональный ряд (5) называется сходящимся в точке X, если сходится числовой ряд (5) Точка называется в этом случае точкой сходимости ряда (5) Совокупность всех точек сходимости называется областью сходимости функционального ряда (5) D Может оказаться, что для некоторых D ряд (5) сходится абсолютно, а для некоторых условно Поэтому различают области абсолютной и условной сходимости функционального ряда (5) Определение 5 Ряд (5) u ( ) называется абсолютно сходящимся на множестве D, где D X, если во всех точках множества D сходится ряд u ( ) (5) Множество D называется областью абсолютной сходимости ряда (5) Ряд (5) называется условно сходящимся на множестве D, где D X, если во всех точках множества D ряд (5) расходится, а ряд (5) сходится Множество D называется областью условной сходимости ряда (5) Тогда область сходимости ряда (5) D есть D D D 9

30 Для нахождения областей сходимости функциональных рядов можно использовать табличные разложения функций в степенные ряды и достаточные признаки сходимости числовых рядов Рассмотрим некоторые примеры Пример Найти область сходимости и абсолютной сходимости ряда ( ) Члены ряда определены для всех действительных Для нахождения области абсолютной сходимости применим признак Даламбера u ( ) ( ) lim lim lim ( ) u ( ) ( ) ( ) Тогда область абсолютной сходимости задается неравенством ( ), или, или, или 5 7 ; ; Область расходимости определяется условием ( ) или 5 7 ; Точки, для 5 7 которых ( ) и, и в которых признак Даламбера не работает, требуют дополнительного исследования При 7 : 7 получаем гармонический ряд, который расходится При 5 ( ) : 5 4 Этот знакочередующийся ряд сходится условно (доказывали ранее) Таким образом, область условной сходимости состоит из одной точки 5 Итак, область сходимости исследуемого ряда 5 7 ; ; ; область абсолютной сходимости есть 5 7 ; ;

31 Пример Найти область сходимости ряда l Данный ряд определен при и представляет собой сумму членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q l Так как прогрессия сходится лишь при q, то ряд сходится абсолютно при l, т е при l Поэтому область сходимости данного ряда совпадает с областью абсолютной сходимости e e ; Понятие суммы функционального ряда вводится аналогично случаю числового ряда Определение 5 Сумма S ( ) u ( ), где,,, называется -й частичной суммой функционального ряда (5) Суммой сходящегося на множестве D ряда (5) называется предел последовательности частичных сумм ( ) S lim S ( ) S ( ) (если он существует) Ряд u ( ) u ( ) u ( ) называется -м остатком функционального ряда (5), его сумму в случае сходимости обозначим как r ( ) Теорема 5 Остаток функционального ряда (5) сходится на множестве D тогда и только тогда, когда на D сходится сам ряд (5) (без доказательства) В этом случае S( ) S ( ) r ( ) Ясно, что для сходящегося ряда lim r ( ) Пример Найти сумму функционального ряда ( ) ( ) Все члены ряда определены для любых R Если, все члены ряда тождественно равны нулю и сумма ряда S() Если же, то члены ряда образуют геометрическую прогрессию, для которой b q, q, Сумма этой бесконечно убывающей геометрической прогрессии есть

32 b S ( ) ( ) Таким образом, сумма ряда q, S( ),, ее график представлен на рис Рис График суммы исследуемого функционального ряда Несмотря на то что все члены ряда определены и являются непрерывными функциями для любых R, а сам ряд сходится для любых R, его сумма является разрывной функцией, т е для lim S ( ) S ( ) u ( ) или lim u ( ) lim u ( ), что служит иллюстрацией утверждения: «Предел суммы бесконечного числа слагаемых не обязательно равен сумме их пределов» Дальнейший анализ этого примера требует введения понятия равномерной сходимости функционального ряда 5 Равномерная сходимость функционального ряда Определение 54 Сходящийся на некотором промежутке E функциональный ряд (5) u ( ) называется равномерно сходящимся на этом промежутке, если для любого существует номер N ( ), не зависящий от и такой, что для всех N( ) справедливо неравенство r ( ) S ( ) S ( ) одновременно для всех значений из рассматриваемого промежутка

33 Дадим геометрическое истолкование понятию равномерной сходимости Построим на рассматриваемом промежутке ab ; графики функций y S( ) (сумма ряда), y S( ), y S( ) и y S ( ) ( -я частичная сумма) Равномерная сходимость функционального ряда к сумме S( ) будет означать, что все графики частичных сумм y S ( ) данного ряда на отрезке ab ; начиная с некоторого N( ) будут расположены между кривыми y S( ) и y S( ) Рис Геометрическая трактовка равномерной сходимости Приведем достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда признак Вейерштрасса Теорема 5 (Признак Вейерштрасса) Если члены функционального ряда (5) u ( ) на некотором промежутке не превосходят по абсолютной величине соответствующих членов сходящегося числового ряда a с положительными членами, т е если для всех из упомянутого промежутка u ( ) a, то функциональный ряд (5) сходится на этом промежутке абсолютно и равномерно

34 В этом случае числовой ряд a называется числовой мажорантой, или мажорирующим рядом для функционального ряда промежутке u ( ) на некотором si Пример Установить равномерную сходимость ряда на всей числовой оси si Для всех значений R выполняется неравенство, т е числовой ряд с общим членом a мажорирует данный функциональный ряд на всей числовой оси Так как ряд p сходится, то исследуемый функциональный ряд по признаку Вейерштрасса сходится равномерно и абсолютно на всей числовой оси Помимо признака Вейерштрасса, существует еще несколько достаточных признаков равномерной сходимости (Дини, Абеля, Дирихле) Выделение среди сходящихся функциональных рядов класса равномерно сходящихся функциональных рядов обусловлено тем, что последние обладают рядом важных свойств, связанных с непрерывностью суммы ряда, возможностью дифференцирования и интегрирования функциональных рядов Теорема 5 Если функциональный ряд u ( ) имеет своими членами непрерывные на некотором промежутке функции и сходится равномерно на этом промежутке, то и его сумма S( ) непрерывна на этом промежутке, Рассмотренная в предыдущем параграфе сумма ряда S( ), имела разрыв в точке, т к данный ряд не является равномерно сходящимся на любом отрезке, содержащем точку 4

35 Теорема 54 Если функциональный ряд u ( ) имеет своими членами непрерывные на отрезке ab ; функции и сходится на этом отрезке равномерно к функции S( ), то его можно почленно интегрировать на этом отрезке Таким образом, при условиях, оговоренных в теореме, знаки суммирования и интегрирования можно менять местами даже в случае бесконечного числа слагаемых b u ( ) d S ( ) d или a a b b u ( ) d u ( ) d a a b Теорема 55 Если на некотором промежутке: ) функциональный ряд u ( ) сходится к сумме S( ); ) члены u ( ) данного ряда имеют непрерывные производные u ( ) ; ) ряд этих производных u ( ) сходится равномерно, то данный функциональный ряд можно почленно дифференцировать в каждой точке упомянутого промежутка Иными словами, из справедливости равенства u ( ) S ( ) следует справедливость равенства u( ) S ( ) (при условиях, оговоренных в теореме), т е знаки суммирования и дифференцирования можно менять местами даже в случае бесконечного числа слагаемых u ( ) u ( ) 5

36 6 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 6 Область сходимости степенного ряда Определение 6 Степенным рядом по степеням ( ) называется функциональный ряд вида a a ( ) a ( ) a ( ) a ( ), (6) где a, a, a, есть постоянные числа, называемые коэффициентами этого ряда Степенный ряд по степеням (т е в случае ) имеет вид a a a a a (6) Область сходимости степенного ряда (6) определяется теоремой Абеля Теорема 6 (Теорема Абеля) Если степенный ряд (6) сходится в некоторой точке r, то он абсолютно сходится для любых, для которых r Доказательство Так как по условию теоремы числовой ряд ar сходится, то при его общий член u a r, и поэтому числовая последовательность ar ограничена (в теории пределов известна теорема о том, что если последовательность имеет предел, то она ограничена) Поэтому существует такое постоянное число M, что для,,, a r M Тогда для -го члена ряда (6) можно сделать оценку a a r M (*) r r Если r, то ряд M M M M (**) r r r 6

37 является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q, и поэтому он сходится В силу оценки (*) для всех r значений, для которых r, члены ряда a a a (***) не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда (**) Поэтому ряд (***) сходится по первому признаку сравнения Для ряда (6) это означает его абсолютную сходимость для всех, для которых r Следствие Если степенной ряд (6) расходится при r, то он расходится при любых, для которых выполняется неравенство r Действительно, если r и ряд ar расходится, то расходится и ряд (6), так как если бы ряд (6) сходился, то по теореме Абеля сходился бы и ряд ar, что противоречит условию данного следствия Теорема 6 Областью сходимости степенного ряда (6) является интервал ( RR, ) с центром в начале координат Доказательство Действительно, если точка сходимости степенного ряда (6), то по теореме Абеля весь интервал (, ) заполнен точками сходимости Если точка расходимости степенного ряда (6), где, то по следствию из теоремы Абеля точки расходимости заполняют область (, ) (, ) Следовательно, существует такое число R, что при R ряд (6) абсолютно сходится, а при R расходится Замечания Указанный интервал ( RR, ) называют интервалом сходимости степенного ряда (6), а число R его радиусом сходимости На концах интервала сходимости, т е при 7 R вопрос о сходимости и расходимости ряда (6) решается индивидуально для каждого конкретного ряда

38 Всякий степенной ряд (6) сходится при, т к при этом он превращается в числовой ряд a, который, очевидно, сходится Если степенной ряд (6) не имеет точек сходимости, кроме, то будем считать, что R Если степенной ряд (6) сходится на всей числовой оси, то R Если рассматривается степенной ряд по степеням ( ), где, то центр области сходимости сдвигается в точку, а ее структура остается неизменной а) б) Рис 4 Структура области сходимости степенного ряда: а) для степенного ряда (6); б) для ряда по степеням ( ) (6) 4 Радиус сходимости степенного ряда (6) определяется с помощью радикального признака Коши или признака Даламбера (рассмотрим на примерах) Пример Найти интервал и радиус сходимости степенного ряда! Общий член ряда u ( )!, член с номером ( ) есть u ( ) Применим признак Даламбера ( )! lim lim lim ( ) ( )! u ( )! u 8

39 И это выполняется для любых Таким образом, радиус сходимости степенного ряда R, а его область абсолютной сходимости совпадает со всей числовой осью Пример Найти интервал и радиус сходимости степенного ряда u ( ), u ( ) ( ) u u lim lim lim ( ) ( ) Если, т е (,), ряд сходится абсолютно Если, т е (, ) (, ), ряд расходится Рассмотрим отдельно концы интервала сходимости, где, т е При наш степенной ряд превращается в числовой ряд Это гармонический ряд, который, как известно, расходится При получим числовой ряд ( ) Это знакочередующийся ряд, который сходится 4 условно (доказывали ранее с помощью признака Лейбница) Итак, для этого ряда радиус сходимости R, область абсолютной сходимости (,), а область сходимости ; 6 Свойства степенных рядов Для степенного ряда по степеням (6) равномерной сходимости a справедлива теорема о Теорема 6 Степенной ряд (6) сходится равномерно на всяком отрезке, принадлежащем интервалу сходимости ( RR, ) Вследствие этой теоремы свойства равномерно сходящихся функциональных рядов о непрерывности суммы ряда, почленном интегрировании и дифференцировании рядов справедливы и для степенных рядов 9

40 Теорема 64 Сумма степенного ряда (6) есть функция непрерывная во всех внутренних точках интервала сходимости ряда (6) ( RR, ) Теорема 65 Степенной ряд (6) можно почленно интегрировать, если пределы интегрирования являются внутренними точками интервала сходимости ряда (6) ( RR, ) Если степенной ряд (6) почленно проинтегрировать на отрезке,, где R, то получившийся степенной ряд будет иметь такой же радиус сходимости R, как исходный степенной ряд (6) Теорема 66 Степенной ряд (6) внутри его интервала сходимости ( RR, ) можно почленно дифференцировать сколько угодно раз Получающиеся при этом степенные ряды будут иметь тот же радиус сходимости R, что и степенной ряд (6) Все перечисленные свойства-теоремы приводятся без доказательства Пример Найти сумму S( ) ряда 4 ( ) ( ) (*) Используем признак Даламбера для нахождения интервала сходимости ( ) ( ) u ( ), ( ) ( ) u ( ), ( ) u ( ) lim lim lim u ( ) ( ) Интервал сходимости находится из условия ; рассмотрим отдельно точки, где (концы интервала сходимости): : из ряда (*) получим 4 ( ) ( ), : ( ) Эти числовые ряды расходятся, т к для них не выполняется необходимый признак сходимости Итак, область абсолютной сходимости ряда (*) есть (,) Проинтегрируем ряд (*) почленно на отрезке,, где (,) 4

41 S ( ) 4 ( ) ( ), 4 S ( t ) dt ( ) Правая часть последнего равенства представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q первым членом b формуле, и мы получим равенство и Указанная сумма находится по соответствующей S ( t) dt Найдем производные от его левой и правой части Таким образом, для S( ) ( ) Пример Найти сумму S( ) ряда : ( ) ( ) ( ) 5 ( ) 5 (это степенный ряд с пропусками, т е в нем отсутствует некоторые степени, в данном случае четные) Применим признак Даламбера u lim lim u ( ) ( ) ( ) ( ), т е Рассмотрим точки на границах интервала сходимости (**) : ( ), 5 : ( ) 5 Эти два числовых ряда являются знакочередующимися, отличаются знаком и оба сходятся условно по признаку Лейбница Область сходимости 4

42 ряда (**),, область абсолютной сходимости (,), т е для всех существует сумма ряда (**) 5 ( ) 5 Продифференцируем обе части этого равенства (правую часть дифференцируем почленно) для внутренних точек отрезка, 4 ( ) ( ) S В правой части стоит сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом b и знаменателем Значит, S( ) Тогда q Таким образом, для : arctg ( ) 6 Степенные ряды в комплексной плоскости Рассмотрим ряд (6) a ( z z ), где z комплексная переменная, z некоторое фиксированное комплексное число, a, a, a, коэффициенты нашего ряда (могут быть комплексными числами) Теорема 67 Областью сходимости ряда (6) является круг радиуса R на комплексной плоскости с центром в точке z R называют радиусом сходимости ряда (6) Во всех точках внутри этого круга ряд (6) сходится абсолютно, в точках вне круга ряд (6) расходится Вопрос о сходимости ряда в точках, лежащих на самой окружности, требует дополнительного исследования Теорема приводится без доказательства ( z i) Пример Найти область абсолютной сходимости ряда i 4

43 Составим ряд из абсолютных величин членов исследуемого ряда z i и применим к нему признак Даламбера i u z i i lim lim z i lim z i u i z i ( ) или z z, где z i, ( ) i( y ), ( ) ( y ), ( ) ( y ) Область абсолютной сходимости множество внутренних точек круга радиуса R с центром в точке z i (точка C(; ) ) Рис 5 Область абсолютной сходимости исследуемого ряда Пример Найти область абсолютной сходимости ряда z i i Перейдем к ряду из абсолютных величин членов исходного ряда z i и применим к нему радикальный признак Коши i или z i z i z i z i lim u lim, i i z Множество внутренних точек круга радиуса R с центром в точке i (точка D (;) ) образуют область абсолютной сходимости этого ряда 4

44 Рис 6 Область абсолютной сходимости данного ряда 64 Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Определение 6 Если существует степенной ряд (6) a ( ), суммой которого на интервале ( R, R) является функция f ( ), то говорят, что функция f ( ) для ( R, R) может быть разложена в степенной ряд (6) В этом случае говорят, что степенной ряд (6) сходится к функции f ( ) на интервале ( R, R) Теорема 67 Для того чтобы функция f ( ) могла быть разложена в степенной ряд (6) на интервале ( R, R), необходимо, чтобы она имела на указанном интервале непрерывные производные любого порядка Действительно, по свойствам степенных рядов ряд (6) внутри промежутка сходимости можно почленно дифференцировать сколько угодно раз, причем все полученные при этом ряды сходятся внутри промежутка ( R, R), а суммы этих рядов представляют собой функции, непрерывные внутри интервала ( R, R) Определение 6 Пусть функция f ( ) определена в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке производные всех порядков Тогда степенной ряд 44

45 ( ) f ( ) ( ) (64)! называется рядом Тейлора функции f ( ) в точке (коэффициенты этого степенного ряда есть a f ( ) ( ) ) При! этот ряд называется рядом Маклорена функции f ( ) в точке Для этого ряда a ( f ) ()! ( ) f () (65)! Теорема 68 (О единственности разложения функции в степенной ряд) Если функция раскладывается в некоторой окрестности данной точки в степенной ряд, то такой ряд единственный, и он является ее рядом Тейлора Доказательство Пусть функция f ( ) на интервале ( R, R) может быть разложена в степенной ряд f ( ) a a ( ) a ( ) a ( ) (*) Продифференцируем ряд (*) почленно раз f ( ) a a ( ) a ( ) a ( ), f a a a, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f a a ( )! ( )! ( ) Подставим в эти формулы и получим f ( ) a, f ( ) a, f ( ) a,, ( )! Откуда a ( ) f a 45 ( ) f ( ),,,,,! Таким образом, коэффициенты степенного ряда (*), в который может быть разложена функция f ( ), однозначно задаются формулой a f ( ) ( ), т е являются коэффициентами ряда Тейлора функции f ( ) Итак, если функция разлагается в степенной ряд по степеням ( ), то этот ряд является!

46 ее рядом Тейлора, а сама функция f ( ) имеет производные всех порядков в окрестности точки Тем самым теорема доказана Рассмотрим обратную задачу Пусть нам дана бесконечно дифференцируемая в точке функция f ( ) Формально составим для нее ряд Тейлора, вычислив коэффициенты a f ( ) Возникает вопрос: будет ли! сумма данного ряда Тейлора, составленного формально для функции f ( ), совпадать с самой функцией f ( )? Если функция f ( ) является суммой формально составленного для нее ряда Тейлора, то говорят, что эта функция разложима в ряд Тейлора Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора задаются двумя следующими теоремами ( ) Теорема 69 Для того чтобы бесконечно дифференцируемая в точке функция f ( ) являлась суммой составленного для нее ряда Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора R ( ) этой функции стремился к нулю при Доказательство Запишем для функции f ( ) формулу Тейлора в точке f ( ) f R (*) ( ) ( ) ( ) ( ),,,,! Запишем остаточный член формулы Тейлора R ( ) в форме Лагранжа Обозначим ( ) f ( c) R ( ) ( ), c (, ), или c (, ) ( )! f ( ) S, ( ) ( ) ( )! где S ( ) многочлен Тейлора -й степени или -я частичная сумма ряда Тейлора Тогда равенство (*) можно записать в виде f ( ) S ( ) R ( ) (**) 46

47 Докажем необходимое условие для заявленной теоремы Пусть функция f ( ) является суммой составленного для нее ряда Тейлора, т е lim S ( ) f ( ) Докажем, что в этом случае lim R ( ) Действительно, из равенства (**) R ( ) f ( ) S ( ) Вычислим предел lim R ( ) lim( f ( ) S ( )) lim f ( ) lim S ( ) f ( ) f ( ) Проведем доказательство достаточности Пусть теперь lim R ( ), и нужно доказать, что f ( ) lim S ( ) Так как R ( ) f ( ) S ( ) и по условию теоремы lim R ( ) lim( f ( ) S ( )) lim f ( ) lim S ( ) f ( ) lim S ( ) Откуда f ( ) lim S ( ), что и означает, что функция f ( ) есть сумма своего ряда Тейлора Теорема доказана Теорема 6 Если функция f ( ) имеет на некотором промежутке, содержащем точку, производные всех порядков, ограниченные одним и тем же числом M, т е если ( f ) ( ) M для любых и любых из упомянутого промежутка, то функция f ( ) в каждой точке данного промежутка разложима в ряд Тейлора f ( ) f ( ) ( ) ( )! Теорема приводится без доказательства На практике при разложении функций в степенные ряды обычно используют следующие приемы Непосредственное разложение функций в ряд Тейлора Для этого приема выделим такие этапы: ) для функции f ( ) формально составляют ряд Тейлора, для чего вычисляют производные функции всех порядков в точке ; 47

48 ) находят область сходимости полученного ряда; ) находят область разложимости функции в ряд Тейлора, для чего с помощью достаточных условий разложимости выясняют, для каких из области сходимости можно поставить знак равенства между функцией f ( ) и порожденным ею рядом Тейлора Использование табличных разложений для некоторых функций Отметим, что сами табличные разложения получены методом непосредственного разложения ) e, ( )!!!! ) ) 4) 5 ( ) si, ( ) ( )!! 5! 4 6 ( ) cos, ( ) ( )!! 4! 6! m m ( m ) ( m ) ( m ) ( )! m m( m ) m( m )( m ) ( ) m!! Это биноминальный ряд Для любых действительных чисел m интервал сходимости задается условием ; на границах интервала сходимости, т е при, разложение ведет себя так: m абсолютно сходится на обеих границах; m расходится при и условно сходится при ; m расходится на обеих границах 5), ( ) 6) 7) 4 ( ) l( ), ( ) ( ) arctg, ( )

49 на число рядов Использование сложения и вычитания рядов, а также умножения ряда 4 Использование дифференцирования и интегрирования степенных Замечание В скобках для каждого разложения указана область сходимости данного ряда и область разложимости данной функции По определению! Примеры Разложить функцию f ( ) в ряд Тейлора по степеням (здесь, т е это фактически ряд Маклорена) Используем метод непосредственного разложения ) вычислим производные всех порядков в точке : f ( ), f () ; f ( ) l, f () l ; f ( ) l, f () l ; ( ) f ( ) l, ( ) f () l Тогда ряд Тейлора по степеням для нашей функции имеет вид l l l l!!!! ) с помощью признака Даламбера найдем область сходимости полученного ряда ( ) l u! u lim lim l lim ( ) ( )! l Полученное число меньше единицы для любых, значит, ряд абсолютно сходится на всей числовой оси; ) найдем область разложимости функции в ряд Тейлора Учтем, что для любого l, а показательная функция является монотонно возрастающей и поэтому на любом отрезке R, R f ( ) R Тогда 49

50 производные всех порядков этой функции на любом отрезке R, R ограничены числом R : ( ) R f ( ) l Это означает, что найденное разложение сходится к f ( ) на всей числовой оси (второе достаточное условие разложимости) l! Разложить в ряд по степеням функцию f ( ) cos Используем табличное разложение для функции cos y, сделав предварительно замену переменной y 4 6 y y y ( ) y cos cos y! 4! 6! ( )! ( ) 4 6! 4! 6! ( )! При использовании табличных разложений не нужно исследовать вопрос об области сходимости и области разложимости ряда Поскольку для функции cos y область сходимости и области разложимости есть y R, то для исследуемой функции эти области задаются условием R Разложить функцию f ( ) 5 табличные разложения и умножение ряда на число по степеням ( ) Используем 5 ( ) ( ) y, где y ( ) 5

51 Тогда y y y y 5 y ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) Для табличного разложения функции y области сходимости и разложимости определяются неравенством y, тогда для нашей функции из неравенства ( ) получим 5, 4 Разложить в ряд по степеням функцию f ( ) Используем ( ) дифференцирование рядов и табличные разложения ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) 4 ( ) ( ) Поскольку интервал сходимости степенного ряда при дифференцировании не меняется, то полученное разложение справедливо для (,) Заметим, что ранее мы для этого ряда находили сумму с помощью операции почленного интегрирования Здесь решена обратная задача 65 Некоторые приложения теории степенных рядов 65 Приближенное вычисление значений функции Для этого функцию f ( ) разлагают в степенной ряд, и в полученном разложении полагают (точка должна принадлежать области сходимости ряда) При этом получается числовой ряд Для вычисления f( ) используют приближенное равенство f ( ) f ( ), где f ( ) -я частичная 5

52 сумма получившегося числового ряда Погрешность, совершаемая при этом приближении, равна модулю -го остатка ряда r, она может быть уменьшена при увеличении Задача оценки погрешности для многих рядов является достаточно сложной Она легко решается лишь для знакочередующегося сходящегося ряда, где погрешность не превышает модуля первого из отброшенных членов Пример Вычислить 4 84 с точностью до, Раскладываем в ряд функцию 4 и берем Используем 7 табличное разложение m, где m !! 4! ! 4! 4 4! Тогда ! 7 4! 7 4 4! 7 Если не считать единицу (нулевой член), то в квадратных скобках находится знакочередующийся сходящийся (т к ) ряд Погрешность 7 не превышает первого из отброшенных членов Оценим r u,, тогда как r u, 4! Поэтому для достижения требуемой точности в разложении достаточно сохранить нулевой и первый члены 4 84, 8,

53 синусом 65 Вычисление интегралов, неберущихся в элементарных функциях ) нахождение первообразных Рассмотрим на примере функции, которую называют интегральным si t t t t t t t Si( ) dt t dt dt t t! 5! 7!! 5! 7! 5 7! 5 5! 7 7! ) приближенное вычисление определенных интегралов Пример Вычислить si d с точностью до, Используем первообразную для подинтегральной функции в виде степенного ряда (см предыдущий пример) si d! 5 5! 7 7! 9 9!! 5 5! 7 7! 9 9! Это знакочередующийся сходящийся ряд Для вычисления с требуемой точностью достаточно взять 4 члена, так как r, Тогда r 9 u,, при этом 9 9! Решение дифференциальных уравнений ) метод последовательных дифференцирований Рассмотрим данный метод на конкретном примере Пример Решить задачу Коши для дифференциального уравнения y y ; y() Найти пять ненулевых членов разложения в ряд частного решения дифференциального уравнения (ДУ) Частное решение ДУ ищем в виде 5

54 (4) (5) y() y() y () y () 4 y () 5 y( ) y()!!! 4! 5! По сути, нам нужно найти ( y ) () и подставить их в разложение () y задано начальным условием; y () найдем из самого ДУ: y y () Чтобы найти y (), дифференцируем само ДУ, учитывая при этом теорему о производной сложной функции и подставляя в полученные выражения y () и y () y() y( ) y y Подобным же образом действуем при нахождении y (), y () y ( ) y ( y) y y, (4) (4) 4 y (4) (), y () y ( ) 6 y ( y) 6 y yy y y 8, (5 y ) () y () y ( ) 4 y ( y) 6 y ( y) y 6 y ( y) 8 y yy y y 48 (5) (5) ( 4) Искомое разложение запишется в виде ) метод неопределенных коэффициентов 4 5 y( ) 5 Обычно этот метод применяется для решения линейных дифференциальных уравнений Рассмотрим его на следующем примере Пример Решить задачу Коши для ДУ y y ; y() Частное решение записать в виде степенного ряда по степеням (так как начальное условие задано в нуле, значит ) Найти область сходимости полученного ряда Частное решение ДУ ищем в виде степенного ряда ( ) (*) y c c c c c Коэффициенты ряда c являются неопределенными, наша цель найти их Продифференцируем почленно ряд (*): y c c c c (**) ( ) 54

55 Подставим оба степенных ряда (*) и (**) в ДУ: c c c c c c c c С учетом начального условия y() c c Далее приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях уравнения (т е при линейно независимых функциях) c c :, c c :, c c :, c c 4 : 4, 4 c c 5 : 5, Решая последовательно эту систему уравнений для c получим: c ; c c ; c c ; c 4 c ; Можно доказать, что общий вид коэффициентов есть: c ; c ( ),,,, Здесь ()!! 5 ( ) Мы нашли ( )!! неопределенные коэффициенты и можем записать искомый ряд y( ) ( ) ( )!! Для нахождения области сходимости применим признак Даламбера: u ( ) ( ) ( )!! ; u ( ) ( ) ( )!! u ( ) ( )!! u lim lim lim ( ) ( )!! Поскольку для любых этот предел равен нулю (меньше единицы), наш ряд сходится абсолютно на всей числовой оси 55

56 7 Основные понятия 7 РЯДЫ ФУРЬЕ Определение 7 Функциональный ряд вида a a cos b si a cos b si a cos b si (7) a ( a cos b si ), где a, a, b, a, b, числовые коэффициенты, называется тригонометрическим рядом Замечание Поскольку общий период для всех функций ряда (7) T, то, если ряд (7) сходится к функции f ( ), эта функция также должна быть периодической, т е f ( ) f ( ) Теорема 7 Если функция f ( ), интегрируемая на отрезке,, разложима в сходящийся к ней тригонометрический ряд (7), допускающий почленное интегрирование на отрезке, ( ) ( cos si ), a f a b (7) то коэффициенты этого ряда определяются формулами a f ( ) cos( ) d,,,,, b f ( )si( ) d,,,, (7) Доказательство Почленно проинтегрируем обе части равенства (7) на отрезке, : f d d a d b d a ( ) cos( ) si( ) a a a Здесь d a, a cos( ) d si( ), 56

57 b b si( ) d cos( ) Откуда a f ( ) d Умножим равенство (7) на cos( ) и проинтегрируем почленно на отрезке, : f d d a d b d a ( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) si( ) cos( ) a a Здесь cos( ) d si( ), a если, то a cos( ) cos( ) d cos( ) cos( ) d a si( ) si( ), если, то a cos ( ) ( cos( )) a d d a Аналогично доказывается, что для любых натуральных b si( ) cos( ) d Таким образом, f ( ) cos( ) d a, т е a f ( ) cos( ) d,,,, Подобным образом можно получить Теорема доказана b f ( )si ( ) d,,,, Определение 7 Коэффициенты a и b, найденные по формулам (7), называются коэффициентами Фурье функции f ( ) Тригонометрический ряд 57

58 (7) с коэффициентами a и b, найденными по формулам (7), называется рядом Фурье функции f ( ) Теорема 7 Если сходится числовой ряд a b, то тригонометрический ряд Фурье сходится абсолютно и равномерно на всей числовой оси (без доказательства) 7 Достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье Формально для каждой периодической интегрируемой на отрезке, функции f ( ) можно составить ряд Фурье, однако он не всегда сходится к функции f ( ) Сформулируем достаточные условия разложимости функции f ( ) в тригонометрический ряд Фурье, т е условия того, что формально составленный для функции f ( ) ряд Фурье имеет своей суммой саму функцию f ( ) Введем некоторые вспомогательные понятия Определение 7 Функция f ( ) называется кусочно-непрерывной на ab,, если она непрерывна всюду на ab,, за исключением, быть может, конечного числа точек разрыва первого рода Кусочно-непрерывная функция f ( ) называется кусочно-гладкой на ab,, если существует f ( ), непрерывная всюду на ab,, за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых f ( ) терпит разрыв первого рода Функция f ( ) называется кусочно-монотонной на ab,, если она имеет конечное число максимумов и минимумов на этом промежутке (другими словами имеет конечное число интервалов монотонности на этом промежутке) 58

59 в Рис 7 Функции: а) кусочно-непрерывная функция, и точки разрыва первого рода f ( ); б) кусочно-гладкая функция, точка разрыва первого рода f ( ),, и точки разрыва первого рода f ( ), т е точки излома f ( ); 4 в) кусочно-монотонная функция Теорема 7 (Достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье) Если периодическая функция f ( ) имеет период T и является кусочно-гладкой на периоде или ограниченной и кусочно-монотонной на периоде, то ряд Фурье этой функции сходится на всей числовой оси, и сумма этого ряда равна: а) f ( ) во всех точках непрерывности функции f ( ); б) f ( ) f ( ) во всех точках разрыва функции f ( ) Замечания В этой формулировке мы фактически объединили две разные теоремы; одну из них обычно называют теоремой Дирихле 59

60 Здесь f ( ) и f ( ) есть правый и левый односторонние пределы функции в точке : f ( ) lim f ( ), f ( ) lim f ( ) Сумма ряда Фурье является функцией периодической с периодом Теорема приводится без доказательства Пример Разложить в ряд Фурье функцию с периодом T, которая на (, ) задается формулой, f ( ), Рис 8 График периодического продолжения разлагаемой функции Функция является кусочно-непрерывной, найдем коэффициенты ряда Фурье по формулам (7) a f ( ) d ( ) d d, a f ( ) cos( ) d ( ) cos( ) d cos( ) d,,,,, b f ( )si( ) d ( )si( ) d si( ) d, четные 4, нечетные cos( ) cos( ) ( cos( )) 6

61 4 si si si 5 4 si( ) Тогда f ( ) 5 Это равенство справедливо для любых, кроме точек разрыва,,,, в которых сумма ряда равна нулю Рассмотрим частичные суммы для этого тригонометрического ряда S ( ) si, S ( ) si si, S ( ) si si si 5 5 y Рис 9 Графики частичных сумм S ( ) и S ( ) Даже по этим двум графикам можно сделать вывод, что чем больше, тем точнее частичная сумма S ( ) представляет функцию f ( ) 7 Ряды Фурье для четных и нечетных функций Напомним ряд существенных для рассмотрения этого вопроса фактов Если f ( ) f ( ), то f ( ) четная функция; если f ( ) f ( ), то f ( ) нечетная функция четная Произведение двух четных или нечетных функций есть функция Произведение четной функции на нечетную есть функция нечетная 4 Определенный интеграл по симметричному относительно нуля промежутку равен 6

62 l l, если функция f нечетная, l f ( ) d f ( ) d, если функция f четная Тогда для четной функции f ( ) с периодом T произведение f ( )si( ) будет нечетной функцией, а f ( ) cos( ) четной Поэтому b f ( )si( ) d,,,, a f ( ) cos( ) d,,,,, Таким образом, ряд Фурье для четной функции f ( ) содержит только четные функции (косинусы) a f a ( ) cos( ) Это равенство верно во всех точках непрерывности функции f ( ) Аналогично, для нечетной функции f ( ) с периодом T коэффициенты a, где,,,, b f ( )si( ) d,,,, Поэтому ряд Фурье для нечетной функции f ( ) содержит только нечетные функции (синусы) f ( ) b si( ), равенство выполняется во всех точках непрерывности f ( ) 74 Разложение в ряд Фурье функций, заданных на половине периода Поставим задачу: разложить в ряд Фурье функцию f ( ), заданную на отрезке, и удовлетворяющую на этом промежутке достаточным условиям разложимости в ряд Фурье 6

63 Продолжим f ( ) на, нечетным образом Найдем коэффициенты f ( ), F ( ) f ( ), разложение функции F ( ) в ряд по синусам косинусам b по известным формулам и запишем F ( ) b si( ) Продолжим f ( ) на, четным образом Найдем коэффициенты f ( ), F ( ) f ( ), a и запишем разложение F ( ) в ряд по a F a ( ) cos( ) Продолжим f ( ) на, произвольным образом f ( ), F ( ), ( ), где ( ) произвольная функция, удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле Отметим, что это продолжение не является единственным Вычислим коэффициенты a и b и запишем разложение функции F ( ) в ряд Фурье общего вида a F a b ( ) ( cos( ) si( )) Заметим, что все три этих ряда Фурье на отрезке, сходятся к функции f ( ) (в точках непрерывности) 6

64 Рис Пример нечетного ( ) F, четного F и произвольного F ( ) продолжения функции f ( ) на вторую половину периода Замечания Суммы этих трех рядов Фурье являются периодическими функциями с периодом T Знак «~» в приведенных выше формулах означает равенство левой части формулы ее правой части с учетом теоремы Дирихле 75 Ряды Фурье для функций с произвольным периодом Пусть функция f ( ) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле на ll, ( ) и имеет период по переменной T l Сделаем замену переменной l t l Тогда f ( ) f t имеет период по переменной t T Разложим ее в тригонометрический ряд Фурье по переменной t : t 64

65 где l a f t a t b t ( cos( ) si( )), l a f t dt, l a f t cos( t) dt, l b f t si( t) dt,,,, Сделаем обратную замену интегрирования по t Тогда l t, t, dt d Пределы l l становятся пределами интегрирования по l l l a f ( ) d, a f ( ) cos d, l l l l l, (74) l b f ( )si d,,,, l l l a f a b (75) ( ) ( cos si ) l l Замечание Все сказанное выше относительно рядов Фурье функций периода справедливо и для рядов Фурье функций периода l Пример Функция f ( ) Фурье по синусам и по косинусам задана на отрезке, Разложить ее в ряд ) Продолжим функцию на промежуток, нечетным образом T l, l, a a l ( ) b f ( )si d si( ) d, l l т е b ( ) f ( ) si( ) ) Продолжим функцию на, b четным образом T l, l, 65

66 l a f ( ) d d l l, четные (( ) ) a f ( ) cos d cos( ) d 4 l l, нечетные В этом случае a 4 cos( ) f ( ) ( ) по сравнению с нечетным продолжением, т е с ростом коэффициенты убывают быстрее Рис Графики функций, рассмотренных в этом примере а) исходная функция; б) нечетное продолжение на вторую половину периода; в) четное продолжение 76 Комплексная форма ряда Фурье Возьмем для удобства T, т е l Тогда a f a b, где,,, и ( ) ( cos( ) si( )) a f ( ) d, a f ( ) cos( ) d, b f ( )si( ) d Воспользуемся формулами Эйлера i i e cos i si, e cos isi, откуда получим cos e e, i si i i i i i i i e e e e 66

67 Подставим эти выражения в ряд Фурье a a ib a f ( ) ( e e ) ( e e ) c e c e i i i i i i, (*) где c a ib, c a ib Во второй сумме в соотношении (*) заменим на, тогда Здесь a a ib a ib i i i f ( ) e e c e a ib i : c f ( )(cos i si ) d f ( ) e d, a : ( ), c f d a ib i : c f ( )(cos( ) i si( )) d f ( ) e d Таким образом, для любых целых справедлива формула i c f ( ) e d (76) Итак, для периодической функции с периодом T комплексная форма ряда Фурье имеет вид i f ( ) c e, (77) где c определяется записанной выше формулой Для периодической функции с произвольным периодом T l f ( ) c e i l, где l i l c f ( ) e d l (78) Отметим, что комплексная форма ряда Фурье наиболее удобна для перехода к интегральному преобразованию Фурье l 67

68 8 ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ В случае, когда функция f ( ) задана на всей числовой прямой и не является периодической, ее можно разложить не в ряд Фурье, а в интеграл Фурье при некоторых дополнительных условиях Пусть функция f ( ) определена и абсолютно интегрируема на всей числовой оси, т е существует несобственный интеграл f ( ) d Q Пусть функция f ( ) такова, что для любого конечного l на промежутке ll, она удовлетворяет достаточным условиям разложимости функции в ряд Фурье: где a f ( ) a cos b si l l, l t a f ( t) cos dt l,,,,, l l l l t b f ( t)si dt l,,,, l Подставим коэффициенты в тригонометрический ряд l l l t t f ( ) f ( t) dt f ( t) cos dt cos f ( t)si dt si l l l l l l l l l l l l t t f ( t) dt f ( t) cos cos si si dt l l l l l l l l l ( t ) f ( t) dt f ( t) cos dt l l l l l l Рассмотрим предел при условии l Так как l l f () t dt Q, то l l Q f ( t) dt f ( t) dt l l l l l 68

69 Введем новую переменную, которая на, принимает равноотстоящие значения,,, Тогда l l l, и при условии l получим l Можно переписать ряд Фурье в этих обозначениях f ( ) f ( t) cos ( t ) dt l Это выражение напоминает интегральную сумму В пределе при l, l,, d Тогда где f ( ) d dt f ( t) cos ( t ) f ( t) cos tdt cos f ( t) si tdt si d A( ) cos B( ) si d, (8) A( ) f ( t) cos( t) dt, B( ) f ( t)si( t) dt (8) Здесь функции A( ) и B( ) есть прямое преобразование Фурье функции f ( ), а сама функция f ( ), записанная в виде (8), называется обратным преобразованием Фурье Можно сказать, что формула (8) на всей числовой оси дает разложение функции f ( ) на гармонические колебания, причем частота этих колебаний изменяется непрерывно от нуля до бесконечности (для ряда Фурье частота изменяется дискретно в соответствии с ) При этом бесконечная сумма (ряд) превращается в интеграл, а функции A( ) и B( ) являются аналогами коэффициентов a и b для ряда Фурье Если функция f ( ) четная, то 69

70 B( ), A( ) f ( t) cos( t) dt ; для нечетной функции f ( ) A( ), B( ) f ( t)si( t) dt Пример Разложить в интеграл Фурье функцию f ( ) e Проверим существование несобственного интеграла e d e d e Так как функция четная, то B( ), t t A( ) e cos( t) dt e cos( t) dt t Для вычисления неопределенного интеграла I ( t) e cos( t) dt дважды выполним интегрирование по частям и применим интегрирования Получим метод возвратного Тогда I() t t e ( si( t) cos( t)) запишем t e ( si( t) cos( t) A( ) I ( t) ( ) Таким образом, с учетом непрерывности f ( ) на всей числовой оси e A( ) cos( ) d cos( ) d ( ) 7

71 9 ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ Условия к заданиям каждого варианта Написать пять первых членов ряда Проверить для данных рядов выполнение необходимого признака сходимости сумму ряда Коши Исследовать ряды на сходимость по определению сходимости Найти Исследовать ряды на сходимость с помощью признаков сравнения 4 Исследовать ряды на сходимость с помощью признака Даламбера 5 Исследовать ряды на сходимость с помощью интегрального признака 6 а) записать общий член ряда; б) исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость 7 Найти область сходимости функциональных рядов 8 а) разложить функцию f ( ) в ряд Тейлора по степеням ( ); б) разложить функцию f ( ) в ряд Маклорена, пользуясь табличными разложениями 9 Найти частное решение данного дифференциального уравнения в виде степенного ряда (четыре ненулевых члена) а) найти неопределенный интеграл в виде степенного ряда; б) вычислить определенный интеграл; в) вычислить значение указанной функции (Вычисления выполнить с точностью до,) Разложить в ряд Фурье указанные функции на заданных интервалах (тоже для задания ) Далее приводятся рекомендации по оформлению решений каждого примера и способа представления ответа В примере ответ представить в виде «необходимый признак сходимости выполняется (не выполняется)» В примере ответ должен иметь вид «ряд сходится (расходится) Сумма ряда равна (для сходящегося ряда)» В примерах 5 возможные варианты ответа «ряд сходится» или «ряд 7

72 расходится» В примере 6 «ряд сходится абсолютно / ряд сходится условно / ряд расходится» В примере 7 область сходимости ряда указать после исследования его на сходимость в крайних точках полученного интервала В примере 8 представить -4 первых члена разложения и общий член разложения В примерах 9 и требования к ответу достаточно четко сформулированы в условии В примерах и сначала построить графики раскладываемых в ряды Фурье функций с учетом их периодичности После нахождения коэффициентов Фурье записать ответ в виде соответствия f ( ) Построить графики сумм рассматриваемых рядов Вариант ( ) а), б) а), б) ( )( 4) а), б) l 4 а)!, б) ( 5) 4 7 ( ) 5 а), б) ( ) 6 а), б) 4 7 а) 4, б) ( ) ( )! ( ) ( )( ), в) ( ) 8 а) f e, б) ( ), f ( ) si 9 y, y() y 7

73 cos( ) а) d, б),5 arctg d, в) 9 а) f ( ), (, ), б) f ( ), (, ) по синусам, (,) а) f ( ), б) f ( ),,,, Вариант по косинусам а), б) а), б) а), б) ( ) 5 4 а)!, б) 5 8 ( ) 5 7 ( ) 5 а), б) 5 ( 5) 5 6 а), б) ( ) ( )! 7 а) , б), в) ( ) ( 5) 8 8 а) f ( ),, б) f ( ) e si 9 y y, y(), y() а) si(7 ) d, б),5 d, в) а), (,) f ( ), б) f ( ), (, ) по косинусам, (, ) 7

74 а) f ( ) 5, (,), б) Вариант,, 4 f ( ),, 4 по синусам а), б) 5 а) ( ), б) а), б) 4 tg 7 4 а), б) 4! ( 5) 5 а), б) ( ) 6 а) 4, б) 5 7 ( ) 7 а) ( ) ( ) ( ), б) 5 ( )!, в) ( ) ( ) (4 ) 8 а) f ( ) cos,, б) f ( ) 9 y y y, () y, y() а) а) а) e d, б),5 d, в) 5 64, (,) f ( ), б) f ( ), (, ) по синусам,, f ( ), (, ), б) f ( ), (,) по косинусам 74

75 Вариант 4 а), б) 4 l а), б) 5 ( ) а), б)! 7 4 а), б) ( )! 5 а), б) ( ) 4 6 а) 4 5 ( ), б) а) 5, б) 5 ( ), в) ( ) ( )! 8 а) f ( ) e,, б) f ( ) e cos( ) 9 y si y, y(), y() а) si(5 ) d, б),5 d 4, в) cos а) косинусам, (,) f ( ), б) f ( ), (, ) по, (, ) а) f ( ), (,), б) f ( ), (,) по синусам Вариант 5 а), б) l а) ( ), б) ( )( ) 75

76 а) si, б) l( ) 4 а) ( ) 5, б) 5 ( )! 5 а) arctg ( ), б) а), б) 5 7 ( ) 7 а) 4, б) 4 ( ) ( ) 5 ( 4), в) ( )! 8 а) f ( ), 4, б) f ( ) l( ) 9, () y y y а) si d, б),5 cos(4 ) d, в) 4 5 а) а), (,) f ( ), б) f ( ), (, ) по синусам,, f ( ), (, ), б) f ( ), (,) по косинусам Вариант 6 а) 9, б) l а), б) 6 ( )( ) а), б) si 5 4 а)! 4 7 ( ), б) ( ) 5 а), б) l 76

77 6 а) 4 ( ), б) ( ) 7 а) 4 6, б) 4 6 ( ) ( ) 4, в) ( ) 8 а) f ( ) cos,, б) f ( ) e cos( ) 9 y y cos, y(), y() d а), б) 5,5 d, в) si а) f ( ), (, ), б) f ( ),, по косинусам, а) f ( ), б) f ( ), (,) по синусам, Вариант 7 ( ) а), б) ( ) а), б) 5 ( )( ) а), б) 4 а) 5 а)!, б), б)!si ( ) 6 а), б) 4 4 ( ) 7 а) ( ) ( ) ( ), б), в) ( ) 8 а) f ( ) l,, б) f ( ) e cos 77

78 9 y y, y() y() si( ) а) d, б),5 si(5 ) d, в),98 а) f ( ), (, ), б) f ( ), (, ) по косинусам а) Вариант 8, f ( ),, б) f ( ), (,) по синусам а), б) 5 а) а), б) 7 5, б) ( )( ) 4 а), б) ( )! 4 5 а), б) 4 4 l 6 а), б) 4 7 ( )! si( ) si( ) 7 а) si, б) ( ), в) 5 ( ) 8 а) f ( ) tg,, б) f ( ) si cos 9 y y y, y() y() а) e d, б) l d 5, в) cos а), (,) f ( ), б) f ( ), (, ) по косинусам,, 78

79 , 4 а) f ( ), б), 4 Вариант 9 f ( ), (,) по синусам а), б) 5 а) ( ) 7, б) 49 а) 4 а), б), б)! tg ( ) 5 8 ( ) 5 а) 6 а), б) 4 4, б) l l l 4 l 5 ( ) 4 7 а) 4, б) 4 ( ) si, в)!( ) 8 а) f ( ), 4 9 y y cos, y(), y(), б) f ( ) si cos d а), б) 4 6, d, в) cos а) f ( ), (, ), б) f ( ), (, ) по синусам а) Вариант, f ( ),, б) f ( ), (,) по косинусам а), б)

80 а) а) ( ) 4, б) tg, б) 4 а) 4, б)! 5 а) ( ), б) l 5 6 а) 4, б) 5 7 cos( ) ( ) 7 а), б) ( ), в) а) f ( ) cos,, б) f ( ) e cos( ) 9 y ( ) y, y(), y() а) e d, б),5 si( ) d, в) 7 а), (,) f ( ), б) f ( ), (, ) по синусам,, а) f ( ) 4, (,), б) f ( ), (,) по косинусам Вариант а), б) 5 si а) а), б) , б) 8

81 4 а), б) ( )! 5 а), б) (l )! 6 а) ( ) ( ), б) 6 9 ( ) 7 а)!!, б), в) ( ) 4 8 а) f ( ) e,, б) f ( ) si( ) cos( ) 9, () y y y si( ) а) d, б), e d, в) si 4 а), (,) f ( ), б), (, ) f ( ), (, ) по косинусам а) f ( ), (,), б) f ( ), (,) по синусам Вариант а), б) ( ) tg а), б) а) 4 а), б) l( ) ( ), б)! 5 ( ) 8 4 ( 5) 5 а), б) 4 5 ( ) l( ) 6 а) 4, б) ( ) ( )! 8

82 7 а), б)!! ( ), в) 7 ( ) 4 8 а) f ( ) cos,, б) f ( ) 4 5 9, () y y e y а) si( ) d, б),5 arctg d, в) 4 7 а) а) f ( ), (,), (, ), б) f ( ) 4, (, ) по косинусам f ( ), (, ), б) f ( ), (,) по синусам Вариант а), б) 5 а), б) а), б) tg 4 а)!, б) ( ) 6 6 (5 ) 5 ( ) 5 а) arctg ( ), б) 9 6 а) ( ), б) ( ) 7 а) ( ) ( ) ( ), б), в) ( ) ( ) 8 а) f ( ) l,, б) f ( ) si( ) 9 ( ) y y, y(), y () 8

83 а) e cos d, б),5 d, в)cos, а) f ( ), (, ), б) f ( ), (, ) по синусам, (,) а) f ( ), б),, Вариант 4,, 4 f ( ),, 4 по косинусам а), б) si а), б) 5 ( ) а), б) l( ) 5 4 а) ( )!, б) 6 9 ( ) 5 ( ) 5 а), б) (4 ) l 6 а), б) 5 8 ( )! 7 а) 4 5, б) ( ) ( ) 5, в) ( ) 9 ( ) 8 а) f ( ) arcsi,, б) 9 y y, y(), y() f ( ) ( cos( )) а) cos(5 ) d, б),5 d, в) 4 4 si 8

84 а) f ( ), (, ), б),, f ( ),, по косинусам а) f ( ), (,), б) f ( ), (,) по синусам Вариант 5 а), б) 5 а) ( ), б) а) tg, б) 5 4 а)!, б) 4 7 ( ) 7 9 ( 5) 5 а), б) 4 ( ) 6 а), б) ( ) ( )! 7 а) ( ) ( ), б) 4 ( ), в) 4 ( ) ( 5) 8 8 а) f ( ),, б) f ( ) ( ) 9, () () y y y y а) e d, б),5 d, в) 7 si 5 а), (,) f ( ), б), (, ) f ( ), (, ) по синусам а), (,) f ( ), (, ), б) f ( ), (,) по косинусам 84

85 Вариант 6 а), б) 5 а), б) а), б) l 4 4 а), б) 5 ( )! 5 а), б) 4 ( ) 4 6 а), б) 4 ( ) ( ) 7 а) 4, б) ( ) si( ), в) ( ) ( ) 8 а) f ( ), 4, б) 9 y cos y, y() f ( ) e а) si cos d, б) cos d, в) 8 а), (,) f ( ), (, ), б) f ( ) 5, (, ) по косинусам, (,) а) f ( ), б), (, ) Вариант 7 f ( ), (,) по синусам а) ( ), б) а) 4, б)

86 а) si, б) 4 4 а) 4, б) 5 ( )! 5 а), б) ( ) 5 ( ) 6 а), б) 5 7 ( ) ( ) l( ) 7 а) , б), в) ( ) ( ) а) f ( ) si,, б) f ( ) cos(4 ) 9 y y y, y() y() а) l( ) d, б), ( e ) d, в) cos а) f ( ), (, ), б) f ( ), (, ) по косинусам а) f ( ) 5, (,), б) Вариант 8, (,) f ( ),, по синусам а), б) l а) ( ) 4, б) 9 5 а), б) 4 tg 4 а), б)! 5 ( ) ( )! 5 а), б) 5 ( ) 86

87 6 а), б) ( ) l( ) 7 а) ( ) ( ) ( ), б), в) ( ) ( ) 5 ( ) 8 а) f, б) f ( ) si( ) ( ), 9 y y, y(), y() cos( ) а) d, б),5 6 e d, в) 5 4 а), (,) f ( ), б) f ( ), (, ) по синусам, (, ) а) f ( ), (,), б) f ( ), (,) по косинусам Вариант 9 а), б) l а) 7, б) а), б) ( 5) tg 7 4 а), б) 5 tg 5 а), б) ( l ) 4 6 а) 4 5, б) ( ) ( ) 7 а), б) 4, в) ( ) ( ) 8 8 а) f, б) ( ), f ( ) 4 87

88 9 y yy, y() y() si( ) а) d, б) cos d, в) 4 а), (,) f ( ), (, ), б) f ( ), (, ) по косинусам а) f ( ), (,), б) Варинат f ( ), (,) по синусам а), б) ( )( ) si 5 ( ) а), б) 9 5 а), б) 4 а) 6, б) arctg 5! 5 а), б) 5 ( 4) 4 (l ) 6 а), б) 4 ( ) ( ) 7 а) si si( ) si( ), б) 9 7!, в) ( ) ( ) ( 4) 5 8 а) f ( ) arccos,, б) f ( ) l( ) 9 y y y y y ( ), () 4, () а) e d, б),5 d, в) 4 а), (,) f ( ),, б) f ( ), (, ) по косинусам а) f ( ), (,), б) f ( ), (,) по синусам 88

89 Вариант а) si, б) l а) а), б) si, б) 4 8 l( ) 4 а), б) ( )! ( 5) 5 а) arctg ( ), б) 5 ( ) 6 а) 4 9 6, б) ( ) l( ) 7 а) 4 4, б), в)! ( ) ( 4) ( ) 9 cos( ) 8 а) f ( ) ( e ),, б) f ( ) 9 y y e y y, а) d, б) 4 5,5 l( ) d, в) si,5, (,) а) f ( ), (, ), б) f ( ), (, ) по косинусам а) f ( ), (,), б) f ( ), (,) по синусам Вариант а), б) 5 а) ( ) 6, б)

90 а), б) ( )! 4 а) si, б) ( ) ( )! 5 а), б) 7 ( )(l( )) 6 а), б) 5 7 ( ) l( ) 7 а) 4 6, б), в) ( ) ( ) ( ) 5! si 8 а) f ( ) l( ),, б) f ( ) 9 y y, y() а) e d, б),5 t dt, в) cos 5 а) f ( ), (, ), б), (,) f ( ), (, ) по синусам, (,) а) f ( ),, Вариант, б) f ( ) 4, (,) по косинусам а), б) l 6 а), б) а), б) l 5 4 а) 5, б) ( )! ( ) ( ) 9

91 5 а), б) ( ) ( ) l( ) 6 а), б) ( ) ( ) ( ) 7 а), б) ( )!, в) ( ) ( ) 8 а) f ( ) si( ),, б) f ( ) l( 8 ) 4 9 cos, () y y y а) d, б),5 arctg d, в) а) f ( ), (, ), б),, f ( ),, по косинусам а) f ( ), (, ), б) f ( ), (,) по синусам Вариант 4 а), б) ( ) а), б) 5 ( )( ) а), б) l( ) 4 а) 5, б)! 5 а), б) 5 ( ) ( ) l( ) ( ) 6 а), б)

92 7 а) ( ) ( ) ( ), б), в) ( ) ( ) ( 4) 7 8 а) f e, б) si ( ), f ( ) 9 y y, y() а) si( ) d, б),5 4, в) 6 65 d а) f ( ), (, ), б) f ( ), (, ) по косинусам а) f ( ), (,), б) Вариант 5, (,) f ( ), (, ) по синусам а), б) 5 а) ( ), б) а), б) l l( ) 4 а)!, б) 5 а), б) ( ) l ( ) ( ) ( ) 6 а), б) а) ( ) ( ) ( ), б) ( ), в) ( ) а) f, б) ( ) cos, f ( ) l( ) 9, (), () y y y y y 9

93 а) e d, б) si d, в) 4 8 а) f ( ), (, ), б) f ( ), (, ) по синусам а), (,) f ( ), б), (, ), (,) f ( ) по косинусам, (, ) 9

94 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Бугров, ЯС Дифференциальные уравнения Кратные интегралы Ряды Функции комплексного переменного / ЯС Бугров, СМ Никольский М : Наука, с Воробьев, НН Теория рядов / НН Воробьев М : Наука, с Голикова, ЕА Дифференциальные уравнения, ряды, несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра / ЕА Голикова, АВ Зенков, АС Соболева Екатеринбург : УрФУ, с 4 Кузнецов, ЛА Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) / ЛА Кузнецов М : Высшая школа, с 5 Романовский, ПИ Ряды Фурье Теория поля Аналитические и специальные функции Преобразование Лапласа / ПИ Романовский М : Наука, 98 6 с 6 Смирнов, ВИ Курс высшей математики Т / ВИ Смирнов М : Наука, с 7 Шмелев, ПА Теория рядов в задачах и упражнениях / ПА Шмелев М : Высшая школа, с 94

95 Учебное электронное текстовое издание Владимир Алексеевич Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Выпускающий редактор Редактор Подготовка к публикации НВ Лутова АВ Ерофеева АВ Ерофеевой Рекомендован Методическим советом ФГАОУ ВПО УрФУ Разрешено к публикации 6 Электронный формат pdf Объем 4,56 уч-изд л УрФУ 6, г Екатеринбург, ул Мира, 9 Информационный портал УрФУ


Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК)

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Федеральное агентство по образованию Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ по курсу ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Числовые

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО, CА ИЗОТОВА, ЛА МАЛЫШЕВА РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов заочного обучения ( III семестр ) Уфа Дан теоретический материал (понятия,

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n Тема 9 Степенные ряды Степенным рядом называется функциональный ряд вида при этом числа... коэффициентами ряда, а точка разложения ряда.,,...,,... R... называются центром Степенные ряды Общий член степенного

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Глава Ряды Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Числовые ряды называется числовым рядом Суммы S, называются частичными суммами ряда Если существует предел lim S, S то ряд

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров, ОА Кузнецова РЯДЫ Учебно-методическое пособие Тольятти ТГУ 9 РЯДЫ РЯДЫ u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров,

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна Третий семестр Лектор: Князева Людмила Павловна Темы: Наименование раздела, темы Всего аудиторных часов Лекции, часы Практически е занятия, часы 1 2 3 4 Тема 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста)

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Поточечная и равномерная сходимость. Действия над рядами, связанные с предельным переходом методические

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга является вторым томом учебника «Математика для инженеров»в данном томе излагаются основы числовых и функциональных рядов; кратных и поверхностных интегралов; теории поля; основы

Подробнее

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши Лекция. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши.. Некоторые сведения о последовательностях Пусть каждому значению N поставлено в соответствие

Подробнее

Комплексные числовые ряды

Комплексные числовые ряды Тема Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд k ak с комплексными числами вида Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность S его частичных сумм S a k k. При этом предел S последовательности

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Механико-математический факультет Кафедра теории функций

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Механико-математический факультет Кафедра теории функций Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского Механико-математический факультет Кафедра теории функций Михаил Александрович Солдатов Светлана Серафимовна Круглова Евгений Валентинович Круглов

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ВН Алексеев, ДА Приказчиков, ВВ Ридель РЯДЫ Утверждено редакционно-издательским советом РОАТ в качестве учебного пособия РОАТ Москва 9 5 УДК 575(75)

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда u ; u числа, числовой ряд; u числа по изменению знаков членов ряда знакопостоянные знакоположительные знакопеременные знакочередующиеся k= u степенные u ; u функции, функциональный ряд u функции по классам

Подробнее

1.8. Общие функциональные ряды

1.8. Общие функциональные ряды Лекция. Степенные ряды. Гармонический анализ; ряды и преобразование Фурье. Свойство ортогональности.8. Общие функциональные ряды.8.. Уклонение функций Ряд U + U + U называется функциональным, если его

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики И В Прусова Н А Кондратьева Н К Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды Числовые и функциональные ряды Основные понятия Знакочередующиеся ряды Функциональные ряды Степенные ряды и разложение функций в степенной ряд Применение степенных рядов Ряды Фурье Основные понятия Пусть

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

Математический анализ Ряды

Математический анализ Ряды Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения Математический анализ Ряды Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский государственный технологический университет им.к.э.циолковского Кафедра «Высшая математика» ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Варианты курсовых

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г.

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. Замечание. 1) вопросы, не содержащие доказательства; ) вопросы, с серьезным доказательством; 3) вопросы с небольшим

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

Теоретичеcкие вопроcы и задачи

Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Дифференциальное иcчиcление функции неcкольких переменных. Дайте определение раccтояния (, b ) между точками, b, q докажите cвойcтва функции

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

Тема: Степенные ряды.

Тема: Степенные ряды. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд Лектор Рожкова С.В. 3 г. 34. Степенные ряды Степенным рядом рядом по степеням называется

Подробнее

a......, a,... называют членами...

a......, a,... называют членами... РЯДЫ Числовые ряды Основные понятия числового Пусть дана последовательность вещественных или комплексных чисел Числовым рядом называется сумма всех членов числовой последовательности: Числа,,,, называют

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения» Кафедра «Высшая и прикладная математика» И

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им НГ Чернышевского» ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Демина ЕЛ, Демин СЕ РЯДЫ г Нижний Тагил 00 Предисловие В настоящем

Подробнее

Сходимость знакопеременных числовых рядов

Сходимость знакопеременных числовых рядов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Сходимость знакопеременных числовых рядов Числовой ряд u, в котором имеется бесконечно много как положительных, так = и отрицательных элементов, называется числовым рядом с произвольными

Подробнее

4. Функциональные ряды Основные определения. Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X

4. Функциональные ряды Основные определения. Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X 4 Функциональные ряды 4 Основные определения Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X u ), u ( ), K, u ( ),K ( ОПРЕДЕЛЕНИЕ Выражение u ) + u ( ) + K + u ( ) +

Подробнее

Нижнетагильский технологический институт (филиал) Ряды

Нижнетагильский технологический институт (филиал) Ряды Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши Лекция. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши.. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд Определение. Числовой ряд вида

Подробнее

Решение типовика выполнено на сайте Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу

Решение типовика выполнено на сайте   Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу МИРЭА. Типовой расчет по математическому анализу Контрольные задания по теме Ряды Задание. Найти сумму числового ряда ) ) = + + ( )( 5) + ) ( ) = 5 = Решение ) 5 ( ) + + = = = = + + 5 + + 5 + + 5 + + 5

Подробнее

Лекция 1 (13 января 2017)

Лекция 1 (13 января 2017) КОНСПЕКТ ЛЕКТОРА математический анализ, курс, 2 семестр, 207, А.М. Красносельский Числовые ряды Лекция (3 января 207) Рассмотрим последовательность R и напишем «бесконечную сумму»: a k a + a 2 +... + a

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

РЯДЫ. Учебное пособие

РЯДЫ. Учебное пособие РЯДЫ Учебное пособие Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б Н Ельцина Ряды Учебное пособие Рекомендовано методическим

Подробнее

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия»

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания для практически

Подробнее

Вопросы и задачи по математическому анализу

Вопросы и задачи по математическому анализу Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СР Свирщевский Вопросы и задачи по математическому

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

1.Разложение аналитической функции в степенной ряд.

1.Разложение аналитической функции в степенной ряд. ЛЕКЦИЯ N37. Ряды аналитических функций. Разложение аналитической функции в степенной ряд. Ряд Тейлора. Ряд Лорана..Разложение аналитической функции в степенной ряд.....ряд Тейлора.... 3.Разложение аналитической

Подробнее

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида ХVIII Ряды Понятие о числовом ряде Числовым рядом называется выражение вида (8) где,, 3, некоторые числа, называемые членами ряда Если п произвольный (текущий) номер, то число а п называют общим членом

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее