МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш"

Транскрипт

1 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ

2 Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость ряда Ряды с положительными членами Знакопеременные ряды Функциональные ряды 7 Сходимость функциональных рядов 7 Степенные ряды 7 Ряды Фурье Примеры решений расчетных заданий Числовые ряды Ряды Фурье 7

3 Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость ряда Необходимый признак сходимости Пусть задана некоторая бесконечная последовательность чисел Тогда выражение a, a,, a, a a a a a () Называется числовым рядом, а сами числа a, a, членами ряда Сумма первых членов ряда называется й частичной суммой ряда и обозначается S : S a k k a a a Если существует предел S бесконечной последовательности чисел S,, S, S,, те lim S, S () () то этот предел называют суммой ряда (), а сам ряд () в этом случае называется сходящимся Если же предел lim S не существует, то ряд () называется расходящимся Расходящийся ряд суммы не имеет Однако, если lim S, то иногда говорят, что ряд () имеет бесконечную сумму Пусть ряд () сходится Тогда его частичная сумма S является приближенным значением для суммы S Погрешность этого приближения r S S () называется остатком ряда Этот остаток является суммой ряда: Если ряд () сходится, то lim r k k r a a a () Бесконечная геометрическая прогрессия a aq aq aq ( a ) (6) есть сходящийся числовой ряд, если q Сумма ряда (6) равна в этом случае

4 a S q В случае q ряд (6) расходится Если ряд () имеет сумму S, то ряд c a ca ca ca (7) сходится и имеет сумму c S Если же ряд () расходится, то (при c ) расходится и ряд (7) Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, т е, если даны сходящиеся ряды S a a a (8) b b b, (9) то ряды ( a b ) ( a b ) ( a b ) () ( a b ) ( a b ) ( a b ) () тоже сходятся, и суммы их соответственно равны S и S Необходимый признак сходимости ряда: Если ряд () сходится, то его общий член стремится к нулю при, те lim a Обратное утверждение неверно Из того, что lim a, сходимость ряда a не следует Для сходимости ряда общий член ряда должен не просто стремиться к нулю, но делать это достаточно быстро Ряды с положительными членами Достаточные признаки сходимости Рассмотрим числовые ряды с положительными членами: a a a b b b a b ( a ) () ( b ) () Первый признак сравнения Если для a b и ряд () сходится, то сходится также и ряд () Если для a b и ряд () расходится, то расходится и ряд () Второй признак сравнения Если существует конечный и отличный от нуля предел

5 a lim A, b то ряды () и () сходятся или расходятся одновременно При использовании признаков сравнения исследуемый ряд часто сравнивают или с бесконечной геометрической прогрессией aq, ( a ), которая при q сходится, а при q расходится, или с рядом p Признак Даламбера Пусть для ряда () a lim q a Если q, то ряд сходится, если q, то ряд расходится При q вопрос о сходимости ряда остаётся нерешённым Признак Коши Пусть для ряда () lim a q Если q, то ряд сходится, если q, то ряд расходится При q вопрос о сходимости ряда остаётся нерешённым Интегральный признак Если f () - неотрицательная невозрастающая функция при с интегралом, то ряд f ( ) сходится или расходится одновременно f ( ) d Замечание Нижним пределом интегрирования может быть любое другое положительное число из области определения функции Замечание С помощью интегрального признака легко доказать, что ряд p сходится при p и расходится при p Знакопеременные ряды Числовой ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены, называется знакопеременным Пусть дан знакопеременный ряд a () Рассмотрим ряд (), составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

6 a a a a () Если ряд () сходится, то сходится и ряд () Ряд () в этом случае называется абсолютно сходящимся Если ряд () расходится, то из этого не следует, вообще говоря, что и () расходится: ряд () может оказаться как сходящимся, так и расходящимся Возможен случай, когда ряд () сходится, а () расходится; тогда ряд () называется условно (неабсолютно) сходящимся Признак Лейбница для знакопеременных рядов Если члены знакочередующегося ряда ( ) a a a ( ) a ( a ) (6) ) монотонно убывают по абсолютной величине: a a (,,, ) ) и стремятся к нулю: lim a, то ряд (6) сходится, сумма его S положительна и не превосходит первого члена ряда: S a Если знакочередующийся ряд начинается с отрицательного члена: a a, ( a ), и для этого ряда выполнены условия ) и ) a теоремы Лейбница, то и такой ряд сходится, сумма его S отрицательна и удовлетворяет неравенству a S При замене суммы S ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, суммой его первых членов ( S ) абсолютная величина ошибки r не превышает абсолютного значения первого из отброшенных членов: r a Знак ошибки (знак r ) совпадает со знаком первого из отброшенных членов Здесь r S S ( ) Замечание Ряд ( ), называемый рядом Лейбница, сходится по признаку Лейбница В то же время ряд, составленный из абсолютных величин его членов расходится (гармонический ряд) Таким образом, ряд Лейбница условно (неабсолютно) сходящийся ряд

7 Функциональные ряды Сходимость функциональных рядов Ряд u ( ) u( ) u( ) u( ) (7) называется функциональным, если его члены являются функциями от аргумента При каждом фиксированном значении функциональный ряд (7) становится числовым рядом u ( ) u( ) u( ) u( ) (8) Если ряд (8) сходится, то называется точкой сходимости ряда (7) Совокупность всех точек сходимости функционального ряда (7) называется его областью сходимости, а функция S( ) lim S ( ) lim u ( ) k суммой данного ряда Функция r ( ) S( ) S( ) называется остатком ряда (7) Если ряд (8) расходится, то значение называется точкой расходимости ряда В простейших случаях для определения области сходимости ряда (7) можно применять к нему известные признаки сходимости числовых рядов, считая фиксированным Степенные ряды Степенным рядом называется функциональный ряд вида u ( ) a ( a) a a( a) a( a), (9) где a, (,,, ) ряд принимает вид числа, называемые коэффициентами ряда При a a a a a a k () Теорема Абеля ) Если ряд () сходится при, то он абсолютно сходится при любом значении, удовлетворяющем неравенству

8 ) Если ряд () расходится при, то он расходится и при любом значении, для которого Область сходимости степенного ряда () есть симметричный относительно начала координат O интервал ( R; R), называемый интервалом сходимости ряда () Число R, ( R ) называется радиусом сходимости ряда () Радиус сходимости может быть вычислен по формулам a R lim () a или R lim () a Степенной ряд () внутри интервала сходимости сходится абсолютно Вне интервала сходимости ряд () расходится При R или R ряд () может оказаться расходящимся, сходящимся условно или сходящимся абсолютно Степенной ряд (9) сходится абсолютно на интервале ( a R, a R) На всяком отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости, сумма степенного ряда есть непрерывная функция Если пределы интегрирования, лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то определённый интеграл от суммы ряда в этих пределах равен сумме таких же интегралов от членов ряда Интервал сходимости нового ряда остаётся прежним Пусть S a a a ( ) a степенной ряд, имеющий интер- вал сходимости ( R, R) Тогда ряд ( ) a a a a сходится на том же интервале, и его сумма ( ) S'( ) при R Простейшим примером степенного ряда является геометрическая прогрессия Этот ряд сходится при q Следовательно, для данного ряда радиус сходимости R, а интервалом сходимости является интервал (, ) Сумма этого ряда равна S( ) a (в соответствии с формулой S( ), a, q ) Поэтому для a q функции S( ) имеем следующее разложение в степенной ряд:

9 Ряд Тейлора ( q ) () Пусть функция f () имеет на некотором отрезке непрерывные производные до ( ) го порядка включительно, а точка a находится внутри этого отрезка Тогда для любого из этого отрезка имеет место формула Тейлора: ( ) f '( a) f ( a) f ( ) f ( a) ( a) ( a) R ( ), ()!! где остаточный член R () может быть записан в виде ( ) f ( ) R ( ) ( a) () ( )! (форма Лагранжа), причем лежит между a и Очевидно, число можно записать также в виде a ( a), где В случае a формула Тейлора принимает вид: f '() f () f ( ) f () R ( ), (6)!! где ( ) f ( ) R ( ), ( ) (7) ( )! Формула (6) носит название формулы Маклорена Если функция f () имеет производные всех порядков на некотором отрезке, содержащем внутри себя точку a, и выполняется условие lim ( ) (8) R для всех из указанного отрезка, то функция на этом отрезке является суммой степенного ряда f '( a) f ( a) f ( ) f ( a) ( a) ( a) (9)!! Этот ряд называется рядом Тейлора для данной функции В случае a ряд Тейлора принимает вид f '() f () f ( ) f () ()!! Этот ряд называется рядом Маклорена для данной функции Разложение функции в степенной ряд единственно, т е, если функция f () разложена каким-либо образом в степенной ряд f ( ) a a ( a) a( a), то ( ) f ( a) a!

10 Формально ряд Тейлора можно написать для всякой функции, которая в окрестности точки a имеет производные любого порядка Однако этот ряд будет сходиться к породившей его функции f () только при тех значениях, при которых остаточный член R () при неограниченном возрастании стремится к нулю Для разложения данной функции в ряд Тейлора нужно: ) Написать ряд Тейлора для данной функции, т е вычислить значения этой функции и её производных при a и подставить их в общее выражение ряда Тейлора (9); ) исследовать остаточный член R формулы Тейлора для данной функции и определить те значения, при которых полученный ряд сходится к данной функции, т е при которых lim ( ) R При разложении функций в степенные ряды часто используются разложения в ряд Маклорена следующих функций: e!!!!, ( ) ; () 7 si( ) ( ), ( ) ; ( )!!! 7! () 6 cos( ) ( ) ()!!! 6!, ( ) ; () l( ) ( ), ( ) ; () ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ; ()!!!, ( ) ; (6) ( ), ( ) (7) В скобках указаны промежутки, на которых верны данные разложения Ряды Фурье Рядом Фурье функции f (), определенной на отрезке [-, ], называется ряд ( a cos b si ), коэффициенты которого a определяются по формулам

11 a b a ) f ( d, f ( ) cos d, (,, ), f ( ) si d, (,, ), (8) При этом пишут a f ( ) ~ ( a cos b si ) (9) Поскольку построение ряда (9) выполнено формально, то этот ряд может расходиться или сходиться, но сумма его, вообще говоря, может не совпадать с разложенной в него функцией Сформулируем достаточные условия, при выполнении которых ряд (9) имеет сумму, равную заданной функции f (): функция f () может иметь на отрезке [-, ] лишь конечное число максимумов и минимумов и должна быть непрерывной, за исключением, быть может, конечного числа точек разрыва первого рода Эти условия называются условиями Дирихле Теорема Дирихле Если функция f () удовлетворяет условиям Дирихле на отрезке [-, ], то её ряд Фурье сходится к функции f () во всех точках, в которых она непрерывна В точках разрыва функции ряд сходится к полусумме её предельных значений слева и справа f ( c ) f ( c ) (c точка разрыва первого рода) Если f ( ) f ( ), то в точках ряд f ( ) f ( ) сходится к значению При этом сумма ряда (9) является периодической с периодом функцией на всей оси O Пусть теперь функция f () задана на отрезке [ l, l] Ряд Фурье в этом случае имеет вид a f ( ) ~ ( a cos b si ), () l l где l a f ( ) d, l l l a f ( ) cos d, (,, ), l l l l b f ( ) si d, (,, ) () l l l

12 Вопрос о сходимости ряда (), в свою очередь, определяется теоремой Дирихле, но на отрезке [ l, l], соответственно Суммой ряда будет периодическая на всей числовой оси функции с периодом l Замечание: Значок ~ в (9) и () нужно понимать следующим образом: если f () удовлетворяет условиям Дирихле на [-, ] и [ l, l] соответственно, то во всех точках её непрерывности значок ~ надо заменить знаком = и помнить, что в точках разрыва сумма ряда равна полусумме левого и правого пределов f ( ) f ( ) f ( l) f ( l) f () в этих точках, а на концах отрезка ( ), если f ( ) f ( ) ( f ( l) f ( l) соответственно ) Примеры решений расчетных заданий Числовые ряды Задание 7 Найти сумму ряда ( )( ) Решение Разложим дробь на сумму элементарных дробей методом неопределенных коэффициентов: A B C A( ) B( ) C( ) ( )( ) ( )( ) ( A B C ) ( A B C ) A Приравнивая коэффициенты при равных степенях, находим A, B, C : A B C A B C A, B, C A Запишем ряд с новым общим членом: ( )( ) Найдем для каждой дроби - ую частичную сумму S,S,S : S ; 6 7 S 6 7 S 6 7

13 Тогда, S S S S, S S ; 6 7 S S S S Тогда, по определению, сумма ряда равна: S lim S lim Ответ: S Задание 8 Исследовать сходимость числового ряда tg Решение При, следовательно tg ~ Поскольку ряд расходится (как гармонический ряд C, C cost ), тогда и исходный ряд tg будет также расходиться Ответ: числовой ряд tg расходится Задание 9 Исследовать сходимость числового ряда l Решение Применим интегральный признак Коши и исследуем сходимость несобственного интеграла: B B d lim B B B B l l l B l cost интеграл сходится, следовательно, сходится и исходный ряд l Ответ: числовой ряд сходится l Задание Исследовать сходимость числового ряда cos lim l d(l ) lim lim B

14 cos Решение Так как cos, тогда Ряд сходится (как обобщенный гармонический ряд, ), значит, по признаку сравнения сходится (причем абсолютно) и исходный ряд Ответ: числовой ряд cos абсолютно сходится Задание Найти сумму ряда ( ) с заданной точностью, Решение Найдем значение нескольких членов нашего ряда по модулю и сравним с : u ;, u ; u, ; u, ; u, ; u, ; u, Все члены ряда, начиная с u, можно отбросить, при этом погрешность 6 вычислений не превысит, (по теореме Лейбница) Следовательно, ( ),,,,,, 78 Ответ: ( ),78 Задание Исследовать сходимость ряда Решение Воспользуемся признаком Коши: где lim l lim l, l Следовательно, при 8 ряд сходится абсолютно, при 8 ряд расходится В точках 8 и исследуем сходимость дополнительно п При ряд принимает вид: l Применим интегральный признак Коши для знакоположительного ряда и исследуем сходимость несобственного интеграла:

15 B B d B lim lim l d(l ) lim l lim B B B B l 6 6 l B l cost интеграл сходится, значит, ряд тоже сходится 6l l п При 8 ряд принимает вид: ( ) l Так как ряд, составленный из модулей данного знакочередующегося ряда, сходиться (см п), то он сходиться абсолютно (по определению) l Значит, ряд на отрезке 8, сходится абсолютно l Ответ: область сходимости ряда 8, Задание Используя известные разложения элементарных функций в ряд, представить в виде степенного ряда функцию y Решение Разложим функцию в ряд, для чего воспользуемся формулой:,, заменив на, получим:, ряд сходится при Ответ: при l( ) Задание Вычислить определенный интеграл d с точностью, Решение Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена, для этого в основное разложение функции l( ) подставим вместо : l( ) ( ) ( ) ( )

16 Тогда, l( ) Проинтегрируем ряд на отрезке ( ), : ( ) l( ) d ( ) ( ) d d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Полученный числовой ряд есть знакочередующийся, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница, поэтому для вычисления возьмем несколько первых членов ряда, то ошибка, которая будет при этом сделана, не превзойдет абсолютной величины первого из отброшенных членов Замечаем, что одиннадцатый член ряда при a, 7 Следовательно, чтобы вычислить интеграл с точностью до,, достаточно взять десять членов ряда l( ) d,8,6,6,,,7,,,,,678 l( ) Ответ: d, 678 Задание Найти приближенное решение задачи Коши y ' y ; y ( ) Решение Искомое решение запишем в виде ряда Маклорена: () () ( ) y'() y"() y () y () y () y ( ) y()!!!!! Продифференцируем исходное уравнение: y" y' ; y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y" 6 ; y y 6; y y Вычислим значения этих производных при, принимая во внимание начальное условие y ( ) и данное уравнение y ' y, откуда y '( ) ; y "( ) ; y ( ) ( ) ; y ) ( ) 6 (

17 Подставляя эти значения в ряд Маклорена, получаем y( ) Ответ: y(!! )!!! Ряды Фурье!!!! Задание 6 Представить рядом Фурье функцию y( ) si, ( ; ) Решение Данная функция нечетная, удовлетворяет условиям Дирихле, поэтому достаточно вычислить коэффициенты b ряда Фурье по формуле: l b y( )si d l l Тогда при l, получим: b si si d cos ( ) cos ( ) d si ( ) si ( ) si ( ) si ( ) ( ) ( ) 8 cos ( ) При нахождении коэффициента b были использованы следующие формулы: а) si si cos( ) cos( ) ; б) si( ) cos ; в) cos ( ) Подставляя найденный коэффициент b в ряд y ( ) ~ b si, l получаем: si 8 ~ ( ) si, (, ) Ответ: si 8 ~ ( ) si, (,)

18 si,, Задание 7 Функцию y ( ) разложить в ряд Фурье, по синусам кратных дуг Решение Известно, что y ( ) ~ b si ; l b y( )si d, l l l тогда для нашей функции при l имеем: b si si d si d В первом интеграле применим формулу тригонометрии si si cos( ) cos( ), во втором интеграле используем формулу интегрирования по частям b b u du d; b udv uv a vdu; a a dv si d v cos Тогда, b cos ( ) d cos ( ) d cos ( ) cos d si ( ) si ( ) cos si ( ) ( ) si ( ) si ( ) cos ( ) ( ) si si si( ) cos ;si cos cos cos si ( ) ( ) cos ( ) si ( ) ( ), чет, ( ), нечет

19 Значит, y ( ) ~ cos si si ( ) Ответ: y ( ) ~ cos si si ( ) Задание 8 Представить интегралом Фурье функцию при, f при, при Решение Справедливы формулы: f () ( A ( )cos B( )si ) d; A( ) f ( ) cos d; B( ) f ( ) si d Тогда, для нашей функции имеем: A ( ) cos d si si ; B( ) si d cos (cos ) si Следовательно, f ( ) ( si cos si si ) d,, Ответ: f ( ) ( si cos si si ) d

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

3 РЯДЫ Хабаровск 2004

3 РЯДЫ Хабаровск 2004 РЯДЫ Хабаровск 4 4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовым рядом называется выражение, где,,, числа, которые образуют бесконечную числовую последовательность, общий член ряда, где N ( N множество натуральных чисел) Пример

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения» Кафедра «Высшая и прикладная математика» И

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЕВ Небогина, ОС Афанасьева РЯДЫ ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Самара 9 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ

Подробнее

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров, ОА Кузнецова РЯДЫ Учебно-методическое пособие Тольятти ТГУ 9 РЯДЫ РЯДЫ u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров,

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ИНСТИТУТ

Подробнее

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики И В Прусова Н А Кондратьева Н К Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ. Кафедра «Математика»

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ. Кафедра «Математика» ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Математика» Учебно-методическое пособие по дисциплине «Математика» «Ряды Часть II» Авторы

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

Теория рядов 1. Теория рядов

Теория рядов 1. Теория рядов Теория рядов 1 Теория рядов ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Решение задачи представленной в математических терминах например в виде комбинации различных функций их производных и интегралов нужно уметь довести до числа

Подробнее

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1 Глава 3. Числовые ряды 3.. Занятие 0 3... Сумма ряда Рассмотрим числовую последовательность {a k } k=. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3... Рядом называется выражение вида a + a 2 +...+ a k +...= a k. k= Величина a k называется

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский государственный технологический университет им.к.э.циолковского Кафедра «Высшая математика» ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Варианты курсовых

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

Сходимость знакопеременных числовых рядов

Сходимость знакопеременных числовых рядов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Сходимость знакопеременных числовых рядов Числовой ряд u, в котором имеется бесконечно много как положительных, так = и отрицательных элементов, называется числовым рядом с произвольными

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ВН Алексеев, ДА Приказчиков, ВВ Ридель РЯДЫ Утверждено редакционно-издательским советом РОАТ в качестве учебного пособия РОАТ Москва 9 5 УДК 575(75)

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ПРОГРАММА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Часть IV для студентов уровня ВО заочной формы обучения специальности 45 «Сети

Подробнее

Глава III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ 3.1. Двойные интегралы

Глава III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ 3.1. Двойные интегралы Глава III ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ Двойные интегралы ЛИТЕРАТУРА: [], гл; [], глii; [9], гл XII, 6 Для решения задач по этой теме необходимо,

Подробнее

ПЛАН ЛЕКЦИИ. Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов

ПЛАН ЛЕКЦИИ. Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ПЛАН ЛЕКЦИИ Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов ЧИСЛОВОЙ РЯД Бесконечная сумма чисел вида: а а а... а... 3 называется числовым

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

Математический анализ Конспект лекций

Математический анализ Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Математический анализ Конспект лекций для направления

Подробнее

Тема: Степенные ряды.

Тема: Степенные ряды. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд Лектор Рожкова С.В. 3 г. 34. Степенные ряды Степенным рядом рядом по степеням называется

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет»

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО РАЗДЕЛУ «РЯДЫ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

РЯДЫ. Учебное пособие

РЯДЫ. Учебное пособие РЯДЫ Учебное пособие Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б Н Ельцина Ряды Учебное пособие Рекомендовано методическим

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

1.8. Общие функциональные ряды

1.8. Общие функциональные ряды Лекция. Степенные ряды. Гармонический анализ; ряды и преобразование Фурье. Свойство ортогональности.8. Общие функциональные ряды.8.. Уклонение функций Ряд U + U + U называется функциональным, если его

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд 3. Признаки сходимости знакопеременных рядов Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд Ряд u, не являющийся знакоположительным или знакоотрицательным

Подробнее

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида ХVIII Ряды Понятие о числовом ряде Числовым рядом называется выражение вида (8) где,, 3, некоторые числа, называемые членами ряда Если п произвольный (текущий) номер, то число а п называют общим членом

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Демина ЕЛ, Демин СЕ РЯДЫ г Нижний Тагил 00 Предисловие В настоящем

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРАКТИКУМ ПО ТЕМЕ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ» С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМЫ MATHCAD

РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРАКТИКУМ ПО ТЕМЕ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ» С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМЫ MATHCAD РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРАКТИКУМ ПО ТЕМЕ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ» С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМЫ MATHCAD Рязань 009 Предисловие Практикум является приложением к учебному

Подробнее

n =1,2, K. Ряд называют

n =1,2, K. Ряд называют 2. Признаки сходимости знакоположительных рядов Ряд u называют знакоположительным, если все его члены неотрицательны, т.е. если u 0 для любого,2, K. Ряд называют знакоотрицательным, если все его члены

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

Математический анализ Ряды

Математический анализ Ряды Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения Математический анализ Ряды Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. Учебное пособие

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ

Подробнее

a......, a,... называют членами...

a......, a,... называют членами... РЯДЫ Числовые ряды Основные понятия числового Пусть дана последовательность вещественных или комплексных чисел Числовым рядом называется сумма всех членов числовой последовательности: Числа,,,, называют

Подробнее

Р.Б. КАРАСЕВА Р Я Д Ы

Р.Б. КАРАСЕВА Р Я Д Ы РБ КАРАСЕВА Р Я Д Ы Омск Министерство образования и науки РФ ГОУ ВПО «Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)» РБКарасева Р Я Д Ы Учебное пособие Омск СибАДИ УДК ББК К Рецензенты:

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x или или I ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Определение Функция F называется первообразной для f F f если () df f d () 5 f 5 так как 5 5 Пример F есть первообразная для 5 d Пример F si есть первообразная

Подробнее

Практикум: «Формула Тейлора». Если функция f (x)

Практикум: «Формула Тейлора». Если функция f (x) Практикум: «Формула Тейлора» Если функция f () имеет производные до (п +)-го порядка включительно в интервале ( 0, 0 ), 0, то для всех х из этого интервала справедлива формула Тейлора (порядка п) ( ) f

Подробнее

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли . Предел функции. Актуальность изучения темы Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента. С помощью

Подробнее

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Химический факультет.

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Химический факультет. Московский Государственный Университет им МВЛомоносова Химический факультет Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока Третий семестр Числовые ряды Дифференциальные

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

Нижнетагильский технологический институт (филиал) Ряды

Нижнетагильский технологический институт (филиал) Ряды Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России

Подробнее

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1)

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1) 8. Степенные ряды 8.. Функциональный ряд вида c n (z ) n, (8.) n= где c n числовая последовательность, R фиксированное число, а z R, называют степенным рядом с коэффициентами c n. Выполнив замену переменных

Подробнее

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16.1. Рассмотрим произвольное множество X и последовательность функций f, определенных на X. Говорят, что последовательность f сходится поточечно

Подробнее

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда u ; u числа, числовой ряд; u числа по изменению знаков членов ряда знакопостоянные знакоположительные знакопеременные знакочередующиеся k= u степенные u ; u функции, функциональный ряд u функции по классам

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

6. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Функции ϕ (x)

6. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Функции ϕ (x) 6 Ряды Фурье 6 Ортогональные системы функций Ряд Фурье по ортогональной системе функций Функции ϕ () и ψ (), определенные и интегрируемые на отрезке [, ], называются ортогональными на этом отрезке, если

Подробнее

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3 Лекции 56 Глава 6 Производная функции 6 Понятие производной Пусть функция определена и непрерывна на некотором промежутке X Взяв значение X придадим аргументу приращение так что и новое значение не выходит

Подробнее

Экзаменационный билет 2 Кафедра высшей математики

Экзаменационный билет 2 Кафедра высшей математики Экзаменационный билет Факультет: ПО и ВП, гр.04, 07 и 7.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.. Признак Лейбница. 3 Вычислить интеграл: dx 0 x 6x + Экзаменационный билет Факультет: : ЭМФ.

Подробнее