Неопределенный интеграл. Вводная часть.

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Неопределенный интеграл. Вводная часть."

Транскрипт

1 Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F( ) называется первообразной для данной функции f( ), если F( ) f( ), или, что то же самое, df f d Данная функция f( ) может иметь различные первообразные, но все они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое Поэтому все первообразные для f( ) содержатся в выражении F c, которое называется неопределенным интегралом функции f( ) и обозначается f( ) d F( ) c, c - const Например, d c c, так как d ln c d tg c cos sin d cos c 5, так как ln c tg c cos cos c sin c, так как, так как d c, так как 6 d c, так как c 5 7 d c, так как 5 5 c Методом математической индукции можно вывести общую формулу: n n n 8 d c, так как n c n n d 9 d c c, так как c d 0 d c c c, так как c Методом математической индукции можно вывести общую формулу d n d c n n n Примеры: d c c c,

2 5 5 d c c c d 8 c 8 c 7, d d d c c c c, d d d c c c c, d d d c c c c, d 7 7 c c c d d c c c Правило Интеграл от суммы равен сумме интегралов Примеры ( ) d d d c; ( ) d d d c; cosd d cosd sin c,,, ( cos ) d d cosd sin c, d d d tg c, cos cos d d d d d ln c

3 Правило Постоянная выносится за знак интеграла Примеры 5 5d 5 d 5 c c 6 d 6 d 6 c c cos d cos d sin c ( sin ) d d sin d cos c cos c d d ln c sin d sin d ( cos ) c c cos d d 6 d d 6 d 6 c c Пример Найти интеграл cos d c c c и сделать проверку cos d sin c Проверка: sin c cos Использование подстановки при вычислении интегралов d d Пример Найти интеграл Мы знаем, что: ln c Поэтому делаем подстановку: t dt ( ) dt d d d dt Тогда имеем: ln t c Т к t, то ln t c ln c t Знак модуля берется потому, что число, стоящее под знаком логарифма, должно быть d положительным Следовательно, ln c d Пример Найти интеграл: dt Делаем подстановку: t Тогда d, те dt dt d Следовательно, d Поэтому: 5

4 dt d dt ln t c ln c t t dt Пусть t f, тогда f ( ), тогда dt f ( ) d, например: d Пусть dt t, тогда dt d или имеем dt d d Пусть t dt d dt d, тогда Пусть t sin, тогда dt (sin ) d dt cos d d Пример Найти интеграл Заметим, что d d Запишем интеграл в виде подстановку t dt d или dt d и, тогда Сделаем d d dt ln t c ln( ) c t Выражение не берется по модулю, тк оно положительно при любом х Пример Найти интеграл d Сделаем подстановку dt t, отсюда d или dt d Тогда d dt d ln t c ln c t Проверим ответ: ln c ( ) Обычно запись решения оформляется в более краткой форме: d t dt d dt d t ln t c ln c t Пример Проверка: sin t sin sin cos d dt (sin ) d t dt c c dt cos d sin sin c (sin ) sin cos 6

5 Пример d d t dt dt d d t t c t c c Проверка: c Пример Найти интеграл e d Так как ( ), то делаем подстановку t t t t e e e d e d e dt c c dt ( ) d d Пример Найти интеграл e d t t t e e e d e d e dt c c dt d Проверка: e e e c ( ) e Пример Найти интеграл cos d t cos d cos d costdt sint c sin c dt d Проверка: sin c cos ( ) cos cos Пример Найти интеграл sin d t cos sin d sin sin ( cos ) d tdt t c c dt d Пример Найти интеграл cos d t cos d cos cos sin sin d tdt t c c dt d Проверка: sin c cos cos cos Пример Найти интеграл a d a sin t a d a a sin t a costdt d a costdt 7

6 a sin t a cos tdt a cos t cos tdt a cos t cos tdt a cos tdt cos t a a a a a a dt t sin t c t sin t c t sin t cos t c Тк a sin t, то: sin t, t arcsin a cos t sin t a a a a a a d arcsin a c a a a a a d arcsin a c a Формула интегрирования по частям имеет вид: udv uv vdu () Пример Найти интеграл cos d Этот интеграл находим при помощи формулы () Пусть dv cos d, тогда v dv или v cos d sin В данном случае постоянная с полагают равной нулю u ; du d d; cos d sin sin d dv cos d; v sin ; sin cos c Для некоторых студентов на первых порах формула () вызывает затруднения Поэтому можно ее переписать в другом виде, а именно: путем замены: dv vd, du ud формуле () можно придать другой вид: uvd uv uvd () Например Найти интеграл cos d Учитывая то, что (sin ) cos, имеем: u ; v cos ; cos d (sin ) d sin sin d v sin ; u ; sin sin d sin cos c Формула () используется для интегрирования следующих классов функций: n n I) e d, II) n n cos d, III) sin d, IV) ln d, V) arctg d, VI) e sin d и подобных Интегралы, находящиеся с использованием формулы интегрирования по частям Вариант а) по формуле (), вариант б) по формуле () Примеры : a 8

7 а) ln d ln d ln ln d ln d ln ln ln d c c u ln ; dv d; ln d б) ln d d du ; v ; ln ln d c а) e e e e e d d d e d e e e e c c u ; dv e d; e e e e б) e d e d c du d; v ; а) ( ) sin d ( )( cos ) d d ( ) cos ( ) ( cos ) d c ( ) cos cos ( ) cos sin б) u ; dv sin d; ( ) sin d du d; v cos ; ( ) cos cos d sin ( ) cos c sin sin sin а) ( ) cos d ( ) d ( ) ( ) d sin ( ) sin ( )sin sin d d cos ( )sin c ( )sin cos c u ; dv cos d ; б) ( ) cos d ( )sin sin d du d; v sin ; cos ( ) sin c ( ) sin cos c 9

8 Решения Найти интегралы d sin 5 d sin d 5 d d cos 5 ln c; d d d d ln c; d d d d ln c Проверка: ln c ; ( ) ( ) 6 8 d 6 8 d d d d d 6 8 c c; d 5 d d d d d c; ( ) d d d ln c ( ) 6 7 d d d 6 d 6 d 9 d 6 9 c; 8 d d ( ) ( ) d ( ) d ( ) d d arctg c c arctg ; d d d d 9 0

9 d d ln c ln c; arctg d d d arctg 0 c c; 6 d d d d ( )( ) d d d ( ) d arctg c; cos sin d ctg d d d d ctg c; sin sin sin sin cos d tg d d d d tg c; cos cos cos cos cos d d d d d d cos cos cos cos tg c; так как: tg ; cos cos 5 d d d c ln ln Проверка: ln ln ( ) c ln ln ln ln Пользуясь заменой переменной, найти данные интегралы d d t dt 6 ln t c ln c; dt d t d d t dt ln t c ln c; dt d t d d t dt c ln t c ln ; dt d t d d t 9 5 dt c ln t c ln 9 5 ; 9 5 dt 5d 5 t 5 5 d t dt c c ( ) dt d t t ( ) ;

10 d t dt c c ; 5 5 ( ) dt d t t ( ) d d t dt c c ; ( ) ( ) dt d t t ( ) d d t dt c ( ) ( ) dt d t t c c 9t 9( ) Проверка: ( ) ( ) ( ) 9( ) c 9 c 9 ( ) t d ( ) d tdt dt d t c c t c ( ) c ( ) ; t 5 5 d (5 ) 5d t dt t c 5 dt 5d 5 5 (5 ) c (5 ) c; 0 0 t 8 d 8 8 d tdt t dt d dt t c 8 c 8 c; d d t dt t dt dt d t t c c ( ) c ( ) 8 8 t t t e e d e d e dt e c c; dt d t t t e e e d e 0 d e dt c c; 0 dt 0d 0 0 0

11 t t t e e e d e ( 5) d e dt c c ; 5 dt 5d t t t d 5d dt c c; 5 dt 5d 5 5 ln 5 ln t ln ln t ln d d tdt c c dt Проверка: ln ln c ln (ln ) t ln d dt d ln t c ln ln c; ln dt t t ln d dt c c d ; ln dt t t ln z ln t ln( 5) t 5 ln t 5 d dt dt zdz 5 dt d t dz t z ln t ln ( 5) c c c; 6 6 d d t dt 6 c c ( ) ( ) dt d t t 8 Проверка: ( ) ( ) c c ( ) 8 ( ) d d t d 7 ( ) ln ( ) dt d ( )ln ( ) ( )ln ( ) z ln t dt dz z dz z c c c; dt dz ln t ln( ) t ln t t z Проверка: c ln ( ) c ln ( )(ln( )) ln( ) ( ) ; ( ) ln ( ) ln ( )

12 d d t 7 dt t 6 c ln ln 7 c; dt 8 d 8 t 8 8 t t d ( ) d dt dt d t c c ; ln ln t t t e e 6 e d e d e dt c c dt d e d t 5 e d e ( 6 ) d 6 dt 6d t 5 t e e 6 e dt c c c 6 6 6e 5 t 8 8 d 8 ( ) d tdt dt d t (8 ) ; t dt t c c c 9 9 t t e e t e e d d d e dt c c; dt d d 5 d c; ln ln 7 7 sin ( sin ) d t cos dt tg d d cos cos dt sin d t c ln t c ln cos ; cos t sin dt ctg d d ln t c ln sin c; sin dt cos d t t sin sin cos d sin cos d dt cos d t sin ; t dt c c ;

13 8 9 sin sin t sin t e cos d e cosd e dt dt cos d t e sin c e c; t cos 5 cos 5 sin 5d cos 5 ( 5 sin 5 ) d 5 dt 5 sin 5d ( cos 5 ) ; 5 tdt t dt c t c t c t arctg arctg arctg t arctg 50 d d ; d t dt c c 9 9 dt 9 5 d d e d t e e e e e dt e d e dt t e ln c ln c; t t e d d 5 arctg c ; 9 d d 5 ln ( ) c; 5 d d ln ( ) ln 8 ; c c 8 ( ) 55 d d ln c ; e d t e dt ln t t c ln e e c; e dt e d t ln t t e d t e dt c e dt e d t ln e e c; cos d t sin dt 58 ln t t c ln sin sin c; cos sin dt d t cos d cos d cos d 59 cos sin (cos sin ) cos sin ( cos sin ) 5

14 cos d cos d cos d t sin sin sin sin dt cos d dt t sin ln c ln c; t sin t d d d d 60 d Вычислим каждый интеграл d t dt ln ln( ) t c c dt d t d d arctg c d ln( ) arctg c; - 6 d d d d d d d d ln arctg c ln arctg c; d d 6 d d d d ln ln ; c d 5 d 6 d 5 d d d 5 d( 8) 5 ln ln 8 c ( ) 8 5 ln ln 8 c; 6

15 d d d d d 8 8 ( ) d( ) 5 ln 5 ln ln ln ; 8 c c d d 65 d d d d ln c; + ( ) d d 66 d d d 9 arcsin 9 c 9 arcsin 9 (9 ) Проверка: c 9 9 ; sin t sin t t sin 67 e sin d e dt e c e c; dt sin cos d sin d d d t 68 d 8 ( ) ( ) dt d dt arcsin arcsin( ) ; t c c t t tg d d dt 69 d cos ( tg ) cos ( tg ) dt t cos ln t c ln tg c; ( arctg ) d arctg 70 d d Вычислим каждый интеграл 7

16 d d( ) ln( ) c ; t arctg arctg t arctg d d tdt c c dt ( arctg ) arctg d ln( ) c 7 t arctg arctg arctg d d d ( ) ( ) dt tdt t c arctg c; 7 sin d sin d t cos cos cos dt sin d dt ( cos ) ; t t dt c t c Интегралы, находящиеся с использованием формулы интегрирования по частям 7а) ln d ln d ln (ln ) d ln d ln c; d u ln ; du ; d б) ln d ln ln d ln c; dv d; v ; 7а) ln d ln d ln (ln ) d ln ln ln d ; d c 9 d u ln ; du ; d б) ln d ln dv d; v ; ln ln ; d c 9 75а) ln d ln d ln (ln ) d ln d ln d ln ; c 6 8

17 б) d u ln ; du ; d ln d ln dv d; v ; ln ln d c; 6 76а) ln( 7 ) d ln( 7 ) d ln( 7 ) 7d 7d ln( 7 ) d ln( 7 ) ln( 7 ) ; ; d 7d d( 7 ) d d ln 7 c ; 7 7 ln( 7 ) d ln( 7 ) ln( 7 ) c ln( 7 ) c; 7 7 dt t 7 ; u ln t; du б) ln( 7 ) d ln( 7 )7d ln tdt t 7 dt 7 d; 7 dv dt; v t; dt t ln t t 7 7 t ln t t t ln t dt c ln( 7 ) c; 7 t d 77а) d d ln ln ln d ; ln ln c ln ln u ; du d; d б) d ; ; ln c dv d v ln ln ln ln 78а) ln d ln d ln (ln ) d ln ln d ln ln d ln ln d ln ln ln ln (ln ) d d 9

18 ln ln ln ln ; d c ln u ln ; du d; ln б) ln d ln d dv d; v ; d u ln ; du ; ln ln ln ln d dv d; v ; d ln ln ln ln d c; 79а) ln d ln d ln (ln ) d ln ln d ln ln d ln ln d ln ln (ln ) d ln ln d ln ln d ln ln c; б) ln ln d u ln ; du ; ln d d ln dv d; v ; d u ln ; du ; d ln ln d ln ln dv d; v ; ln ln c; 80а) sin d ( cos ) d cos ( cos ) d cos cos d cos sin c; б) u ; du d; sin d cos cos d c cos sin ; dv sin d; v cos ; sin(6 ) 5 sin(6 ) sin(6 ) 8а) 5 cos(6 ) d 5 (5 ) 6 d 6 d 6 5 sin(6 ) sin(6 ) d sin(6 ) cos(6 ) c; u 5 ; dv cos(6 ) d; б) 5 cos(6 ) d sin(6 ) du 5 d; v 6 0

19 sin(6 ) sin(6 ) sin(6 ) cos(6 ) ; 6 6 d c 6 6 t ; 8а) ln ( ) d ln ( )( ) d dt d; и тд согласно ln tdt t ln tdt t(ln t) dt примеру 79а t ln t t ln t t ln t t c ln t t t c ( )ln ( ) ln ( ) c; t ; б) ln ( ) d ln ( )( ) d ln tdt dt d; ln tdt u ln t; du ; t ln tdt t t ln t t ln t ln tdt t dv dt; v t; dt u ln t; du ; tdt t t ln t t ln t t dv dt; v t; t ln t t ln t t ln t t c t ln t t c ( )ln ( )ln ( ) c; d u ln ; du ; ln d 8 ln d dv d; v ; t ln t t ln t dt ln ln ln ; d c c 9 9 d u ln ; du ; ( ) ln 8 ( ) ln d ( ) dv ( ) d; v ; ( ) d ( ) ln ( ) ln d ( ) ln ln d c; 9

20 85 u ; du 6 d; sin 5 cos 5 d sin 5 0 dv cos 5 d; v ; 0 6 sin 5 6 sin 5 sin 5 sin d d sin 5 6 cos 5 sin 5 (5 ) ; 00 d c 0 00 u ; dv sin 7d; cos 7 86 sin 7d cos 7 cos 7 ; 7 7 d du d v 7 u ; dv cos 7 d; cos 7 sin 7 sin 7 sin 7 d du d; v sin 7 cos 7 sin 7 cos 7 sin 7d cos 7 c; u ln( ); dv d; ln( ) 87 ln( ) d d d du ; v ; Преобразуем подынтегральную функцию, выделив целую часть: ( )( ) Теперь d d d d d ln( ) c ln( ) ln( ) ln( ) d c; 88 ln d ln( ) d ln( ) ln( ) d d t ln tdt см t7 t t( ln c ) (ln( c) ) ; dt d 89 5 u ; dv e d; ( ) e d e e d 5 du d; v e ; c e ; 5 5

21 5 u ; dv e d; 5 5 e e d e e d du d; v u ; dv e d 5 e e e d e du d; v e e e c; t 9 arcsin d arcsin d arcsin tdt dt d dt u arcsin t; du tdt dv dt; v t; t t t arcsin t tdt d( t ) t arcsin t t arcsin t t t t arcsin t t c arcsin c; u arctg ; dv d; d 9 arctg d d arctg du ; v ; ( ) ( ) 88d d( ) arctg arctg arctg ln( ) c; u arctg( 5); dv d; 9 arctg( 5) d d du ; v ; ( 5) arctg( 5) d arctg( 5) d ( 5) 0 6 Преобразуем подынтегральную функцию, выделив целую часть: 0 6 (0 6) Теперь d 0 5 d d d ( 5)

22 d( 0 6) d( 5) d ( 5) 5 ln( 0 6) arctg( 5) c arctg( 5) 5 arctg( 5) d ln( 0 6) arctg( 5) c; u arctg ; dv d; d 9 arctg d d arctg du d; v ; 9 9 Преобразуем подынтегральную функцию: ; arctg d arctg d arctg 9 9 d 8d arctg 9 d d 6 9 d( 9 ) arctg d arctg ln( 9 ) c; 8 6 d ln sin u ln sin ; dv ; 95 tg ln sin d cos cos du ctg d; v tg ; ctg tg d tg ln sin d tg ln sin c; 96 d u ln cos ; dv ; ln cos d cos cos sin du d; v tg ; cos tg ln cos tg d см N 97 tg ln cos tg c; u t ; dv sin tdt; ; cos t sin d t sin t tdt t sin tdt d tdt du t dt v t u t ; dv cos tdt; t cos t t cos tdt t cos t 6 t cos tdt du tdt; v sin t t cos t 6 t sin t t sin tdt t cost 6t sint t sintdt

23 u t; dv sin tdt; t cos t 6t sin t t cost costdt du dt; v cost t cost 6t sin t t cos t sint c 6 sin cos cos sin c; 98 u arccos ; dv d; arccos du ; v ( ) ; d d ( ) ( ) arccos d ( ) arccos d d ( ) arccos ( ) arccos ; d c 9 99 u arctg ; dv d; arctg ; ; du d v arctg d arctg arctg d arctg arctg arctg arctg arctg d d d Вычислим каждый из полученных интегралов arctg arctg d arctg d(arctg ) c; u arctg ; dv d; arctg d d arctg d arctg du ; v ; d( ) arctg arctg ln( ) d c arctg arctg d arctg arctg ln( ) c; d u arcsin ; dv ; arcsin arcsin d 00 d d du ; v ; dt t arcsin arcsin dt t dt d t t t t 5

24 arcsin arcsin c ln t t c ln ; sin u ; dv d; du d; sin cos 0 d cos sin sin d(cos ) v d d ; cos cos cos cos d tg c; cos cos cos 0 cos d ( cos ) d d cos d Вычисляем ; d c u ; dv cos d; sin cos sin sin d d du d; v ; sin cos c 8 sin cos cos d c; 8 cos d 0 tg d d d; cos cos Вычислим первый интеграл d u ; dv ; d cos tg t tg d cos tg dt d du d; v ; tg tg ln(cos t) tg ln(cos ) tg tdt c c; tg ln(cos ) tg d c; t arctg ln(arctg ) d 0 ln см N7 ln d tdt t t t c dt arctg ln(arctg ) arctg c; a u e ; dv sin d; a a e a a e sin d cos e cosd a du ae d; v sin ; 05 6

25 a u e ; dv cos d; a a e a e a a cos sin e sin d a du ae d; v sin ; a a ae e a a sin cos e sin d; после двукратного интегрирования по частям пришли к исходному интегралу Приводя подобные члены, приходим к соотношению a a a e + e sin d ( a sin cos ) c a a e e sin d a sin cos c ; a 06 u e ; dv cos d; e e cos d sin e sin d du e d; v sin ; u e ; dv sin d; e e sin cos cos e d du e d; v cos ; e 9 sin e cos e cos d ; как и в задаче 05, после приведения подобных членов получаем: 9 e e cos d sin e cos c e cos d e sin e cos c; 07 e sin d ( cos ) cos e d e d e d e см N06 e c sin e cos ; 6 6 u sin(ln ); dv d; 08 sin(ln ) d cos(ln ) sin(ln ) cos(ln ) d du d; v u cos(ln ); dv d; sin(ln ) sin(ln ) cos(ln ) sin(ln ) d; du d; v ; и здесь после двукратного интегрирования по частям приходим к исходному интегралу 7

26 sin(ln ) d sin(ln ) cos(ln ) c sin(ln ) d sin(ln ) cos(ln ) c; u arcsin ; dv d; arcsin 09 arcsin d arcsin arcsin d du d; v ; d u arcsin ; dv ; d arcsin arcsin d du ; v ; arcsin arcsin d arcsin arcsin c; 0 arctg d u arctg ; dv d; d du ; v ; ( ) d d arctg arctg ; ( ) d t ; t ; ttdt t dt t dt d tdt; t t t dt dt t arctg t c arctg c t arctg d arctg arctg c; t e e ln e d e ln e d ln tdt dt e d e см N7 t ln t t c e ln e c; d u arcsin ; dv ; arcsin d arcsin d du ; v ; d d c arcsin arcsin ; 8

27 u arcsin ; dv = d; v ; arcsin d d d du ; d d arcsin arcsin arcsin d arcsin c; t ln( ) d ln( ) d dt d t см N7 t ln t c ln( ) c; u ; dv sin d; 5 sin cos d sin d du d; v cos ; sin cos cos d cos c Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен d 6 Преобразуем квадратный трехчлен, выделив полный квадрат ln tdt 9 ( ) 9 ( ) Теперь t arctg arctg d d t dt c c ( ) dt d t d Преобразуем знаменатель ( ) Теперь d d d( ), так как d( ) d 6 0 ( ) ( ) d( ) d arctg( ) c arctg( ) c ( ) 6 0 9

28 Проверка:arctg( ) c ; ( ) d d d d 8 ( ) ( ) d( ) ln c ln c; ( ) d d d d ( ) 9 d d( ) 5 ln c ln c; ( ) ( ) 8 d d Преобразуем знаменатель: d d 7 ln ln ; 7 c c 6 d d 5 5 Преобразуем знаменатель: d d d arctg c; 5 d d

29 Преобразуем знаменатель d d ln c ln c; d d d d d ln c 9 ( ) 5 5 ln c c ln c ln ; d d d d d = d d Вычислим оба интеграла t dt ln ln( ) d t c c dt ( ) d t Выражение берется не по модулю, а в скобки, потому что >0 при любом Действительно, находим дискриминант: D ( ) 6 Дискриминант отрицательный, следовательно, действительных корней нет d d d arctg c ( ) d ln( ) arctg c; d d d 5 5 5

30 d d d 5 d d d Вычислим оба интеграла 5 ( ) d t 5 5 dt 5 5 ln ln( 5) ; 6 t c c 5 dt ( ) d 6 t 6 6 d d d arctg( ) c 5 ( ) 5 5 d ln( 5) arctg( ) c; d d d d d ; 7 7 Вычислим оба интеграла 7 t 7 dt ln ln 7 ; d t c c 7 dt ( 7) d t d d d d d d 7 ln ln c c 7 7 d ln 7 ln c; 7 d Преобразуем подкоренное выражение ( ) ( ) d d 6 5 ( )

31 t dt ln t t c dt d t ln ( ) c ln 6 5 c; d d Преобразуем подкоренное выражение: d d d Теперь 9 8 ln c ln c d 8 ln c; 8 8d 9 5 Преобразуем подкоренное выражение 5 5 ( )

32 d 8d 8d arcsin c 8 arcsin c; 9 9 d d Преобразуем подкоренное выражение d d d arcsin c arcsin c; 5 5 d d d 8 6 d d d d d d d d Вычислим сначала t dt d t c c dt ( ) d t

33 Теперь найдем интеграл d Преобразуем квадратный трехчлен: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; Теперь d d d( ) arcsin c ( ) ( ) d arcsin c c c arcsin ; d d d 9 d 6 d Сначала вычислим 6 t dt d t c c dt ( 6 ) d t Теперь найдем d d Преобразуем квадратный трехчлен Теперь d d 6 arcsin arcsin(6 ) c c d arcsin(6 ) c 9 arcsin(6 ) c; 5

34 d d d d d d d 6 d d Вычислим сначала 6 t 6 7 dt d ln t c ln 6 7 c 6 7 dt ( 6) d t Теперь найдем d d d ( ) 7 d d( ) ( ) ( ) ( ) ln ( ) ( ) ( ) c ln 6 7 c ln 6 7 ln d 6 7 c 6 7 Один из способов, позволяющих вычислить интегралы, опирается на разложение подынтегральной функции на элементарные дроби d ( )( )( ) Примеры разложения дробей на простейшие A B C ) ; ( )( ) ( ) A B C D E ) ; ( )( ) 7 A B C D E F ) ; ( ) ( ) ( ) ( ) A B C D ) ; ( ) A B C 5) ; ( )( ) A B C 6) ; ( )( ) ( )( )( ) 6

35 A B C 7) ; ( 6)( 5) ( 6)( 5)( 5) A B C 8) ; ( )( 5 6) ( )( )( 5) 5 Разложим дробь на элементарные дроби: ( )( )( ) A B C ( )( )( ) A( )( ) B( )( ) C( )( ) ( )( )( ) A( 6) B( ) C( ) ( )( )( ) A A 6A B B B C C C ( )( )( ) Если у равных дробей равны знаменатели, то равны и числители: A A 6A B B B C C C; ( A B C) ( A B C) 6A B C Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях х Получаем линейную систему: A B C; A B C; 0 6 A B C Решим эту систему Складывая почленно уравнения, получим 6A или A / Из первого уравнения выразим C : C A B и подставим во второе уравнение: A B A B B 6 /5 Тогда С ( )( )( ) 5 0 Примечание В этом случае удобен также такой способ нахождения коэффициентов Для дроби имеем: ( )( )( ) A( )( ) B( )( ) C( )( ); при : 6A, отсюда A ; при : 8 5B, отсюда 6 B ; 5 7

36 при : 0C, отсюда C 0 Осталось проинтегрировать каждое слагаемое: 6 d d d d ( )( )( ) ln ln ln c; d ( )( ) A B C ; ( )( ) A( )( ) B( ) C( ) A A A B B C C ( A B C) ( A B C) A В левой части нет члена, содержащего, поэтому коэффициент при в левой части равен нулю: 0 ( A B C) ( A B C) A Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему 0 A B C A B C 0 A A Подставим теперь это значение в первое уравнение: 0 B C B C 5 B C B C Сложим полученные уравнения: 8 C C Теперь 9 8 B C 6 6 ( )( ) 6 Осталось проинтегрировать каждое слагаемое d d d d ( )( ) 6 ln ln ln c 6 Но не все квадратные трехчлены разлагаются на линейные множители Например, рассмотрим дроби: 8

37 8 A B C ) ( 7)( 7) 7 7 У квадратного трехчлена 7 0 дискриминант отрицательный D 7 0, следовательно, этот квадратный трехчлен не разлагается на линейные множители A B C D E ( ) ( ) 5 A B C D E ) ( )( )( 8) 8 5 A B C D ) ( ) ( 6) ( ) E F M N 6 ( 6) 6 6 d ( )( 5) Определим сначала, разлагается ли квадратный трехчлен (х +х+) на линейные множители Для этого решаем уравнение: 0; D 6 ; D ; ; ( )( ) Теперь разложим дробь на простейшие 6 6 A B C ( )( 5) ( )( )( 5) 5 A( )( 5) B( )( 5) C( )( ) ; ( )( )( 5) 6 A( )( 5) B( )( 5) C( )( ); при имеем: 8A A ; при имеем: 8 B B ; при 5 имеем: 8C C 6 ( )( )( 5) 5 Итак, 6 d d d ( )( 5) 5 ( ) ( 5) ln ln 5 ln c ln c; ( ) 7 d В тех дробях, где степень числителя равна или больше степени знаменателя, необхо- 9

38 димо разделить дробь на дробь, выделить целую часть и сделать так, чтобы в полученной дроби степень числителя была меньше степени знаменателя те d d d d ; d c; d d; ( ) A B C A( ) B( ) C ( ) ( ) A A B B C Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х A C 0 A B 0 B B ; A B ; C A ( ) Теперь d d d d ln ln c ( ) Окончательно d ln ln c d ( )( 5 6) Степень числителя равна четырем, а знаменателя трем: ( )( 5 6) Разделим числитель на знаменатель , поэтому ; 6 6 ( )( 5 6) ; 0

39 d d d; ( )( 5 6) ( )( 5 6) d c 6 Найдем интеграл d ( )( 5 6) Разложим на множители квадратный трехчлен ( )( ) 6 6 A B C ; ( )( 5 6) ( )( )( ) 6 A( )( ) B( )( ) C( )( ); при : 0 A A 5; при : B B ; при : 0 C C 5 Теперь 6 d d d d 5 5 ( )( )( ) 5 ln 5 ln ln c; Окончательно d 5 ln 5 ln ln c; ( )( 5 6) 9 ( ) A B C D A B( ) C( ) D( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B B C C C D D D D Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х: C D 0 B C D 0 A B C D 0 D D Из первого уравнения C D Из второго уравнения B C D 9 7 Из третьего уравнения A B C D 7 9 7, ( ) ( ) ( ) теперь d 7 d d d d ( ) ( ) ( )

40 d( ) d( ) d( ) d 7 7 ( ) ( ) ( ) 7 ln ln c ln c; ( ) d d; ( )( ) ( )( )( ) 0 A B C D ( )( )( ) ( A B)( )( ) C( )( ) D( )( ) ; ( )( )( ) A A B B C C C C D D D D Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х : 0 A C D B C D A C D 0 B C D Из первого уравнения имеем A C D, а из второго B D C Подставим эти значения в третье и четвертое уравнения: C D C D; D C; D C C D; 5 D C Сложив уравнения, получим: 8C, отсюда C Тогда: D D D D ; A C D ; 5 7 B D C ; 7 ( )( ) 7 Теперь 7 d d d d ( )( ) Вычислим каждый интеграл

41 7 d 7 d d 8 d 8 ( ) d( ) 7 d 7 ln( ) arctg 8 ( ) 8 c 7 ln( ) arctg c; 8 d d ln ; ln c c Окончательно 7 d ln( ) arctg ln ln c; ( )( ) 8 d ( ) A B C D A( ) B( ) ( C D) ( ) ( ) A A B B C D Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х 0 A C 0 B D A 0 B A ; B ; C A ; D B ( ) d d Теперь d d ( ) Вычислим каждый интеграл: d d ln ; ; c c d d d d d( ) d ln( ) arctg c 8 8 ln( ) arctg c 8 Окончательно ;

42 d ln ln( ) arctg c ( ) 8 d d ; 8 ( )( ) A B C ( A B)( ) C( ) ; ( )( ) ( )( ) ( A B)( ) C( ); при : C, те C ; при 0 : B C, те B ; при : A A ; ( )( ) d d Теперь 8 Вычислим d ln ; c 8 ( ) d 6d d d ( ) d d d( ) d( ) ( ) ( ) ln( ) arctg c Окончательно d ln ln( ) arctg c; 8 ( 7) d ( 7) d 7 d 6 ( ) ( ) ( )( ) Разложив дробь на простейшие, получим 7 9 d d 9 d d 0 5 ( )( ) ln( ) arctg ln c; d 5 8

43 Находим корни уравнения: Возможные корни: ; ; (это числа, на которые делится свободный член) Ищем корни методом подбора при : ; при : Имеем корень: ; при : ; при : Имеем корень: Остался один неизвестный корень (число корней равно наибольшей степени х) Поэтому можно не проверять числа и -, а разделить выражение 5 8 на ( )( ) : ( )( ) ; те 5 8 ( )( )( ) ( )( ) A B C ; 5 8 ( )( ) ( ) 0 A( ) B( ) C( )( ) A A A B B C C C; A C A, 0 = A B C B, 0 A B C C 0 Теперь 5 8 ( ) Окончательно d d d d( ) d( ) 5 8 ( ) ( ) ln c; ( ) d Разложим знаменатель на множители 5 6 0; 5

44 t; t 5t 6 0; D 5 ; t 5 5 ; t ; t 5t 6 ( t )( t ) 5 6 ( )( ) A B C D ( A B)( ) ( C D)( ) ( )( ) ( )( ) A A B B C C D D; 0 A C B D 0 A C 0 B D C A ; из третьего уравнения имеем: 0 A A; A 0; тогда C 0 B D B D B D B D Отняв второе уравнение из первого, имеем: 5 D; D 5; B D Теперь ( )( ) Окончательно d d d d d ( ) ( ) 5 6 arctg 5 arctg c arctg arctg c 6


ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ на проведение практических занятий по теме «Интегральное исчисление» Кривулин Н.П., Мойко Н.В. г. Пенза

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Подробнее

. 4 Основные методы интегрирования

. 4 Основные методы интегрирования 5. 4 Основные методы интегрирования Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов, основанное на приведение подынтегрального выражения к табличной форме и использование свойств неопределенного

Подробнее

Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Основные понятия и формулы 1. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке

Подробнее

9. Неопределенный интеграл.

9. Неопределенный интеграл. 9. Неопределенный интеграл. Функция F() называется первообразной для функции f() на промежутке (b), если для всех (b) выполняется равенство F() = f(). Например, для функции первообразной будет функция

Подробнее

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x)

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x) ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P Q, где P и Q многочлены Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P ниже степени

Подробнее

«Неопределенный интеграл»

«Неопределенный интеграл» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МАХАЧКАЛИНСКИЙ ФИЛИАЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧЕРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕСИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОГО АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО

Подробнее

Простейшие неопределенные интегралы

Простейшие неопределенные интегралы Простейшие неопределенные интегралы Примеры решения задач Следующие интегралы сводятся к табличным путем тождественного преобразования подынтегрального выражения. 1. dx = dx = 2x 2/3 /3 + 2x 1/2 + C. >2.

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов Методические указания к изучению темы «Неопределенный интеграл» (для студентов

Подробнее

"В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие"

В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие "В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие" -площади плоских фигур и поверхности; -объема и массы тела; -статистическиих моментов и моментов инерции плоской фигуры, материальной

Подробнее

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x)

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x) Глава II Интегралы Первообразная функция и ее свойства Функция F( ) называется первообразной непрерывной функции f( ) на интервале a b, если F( ) f( ), a; b ( ; ) Например, для функции f( ) первообразными

Подробнее

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

Подробнее

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие 57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Подробнее

Автор - проф. Филиппов А.Н.

Автор - проф. Филиппов А.Н. Пять лекций по неопределенному интегралу Лекция Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и ее свойства Действие, обратное дифференцированию, называется интегрированием f д и ф ф е р и н т

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ О.И. Судавная, С.В.

Подробнее

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Методические

Подробнее

6. Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл

6. Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл Занимаясь дифференцированием функций, мы по данной функции находили ее производную Сейчас перейдем к обратной задаче: найти функцию, зная

Подробнее

Неопределённый интеграл

Неопределённый интеграл Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА Неопределённый интеграл Учебное пособие Санкт-Петербург 007 УДК

Подробнее

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt =

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt = 57 Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа ( M N ) d ( ) p q p Сделаем замену переменной, положив d. где a p q. Тогда Интеграл M N d p p p q q a, M p N Mp q d M ( p q) p

Подробнее

ТЕХНИКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ

ТЕХНИКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическая физика и вычислительная математика» ИВ Дубограй, ЕВ Коломейкина, СИ Шишкина

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме),

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме), типового варианта «Комплексные числа Многочлены и рациональные дроби» Задание Даны два комплексных числа и cos sn Найдите и результат запишите в алгебраической форме результат запишите в тригонометрической

Подробнее

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: В.П.Белкин

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: В.П.Белкин Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: ВПБелкин Лекция Неопределенный интеграл Основные понятия Свойства неопределенного интеграла 3 Основная таблица первообразных 3 4 Типовые примеры 3 5 Простейшие

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Первообразная функция и неопределённый интеграл первообразной Лемма Функция F( называется первообразной для функции f( на промежутке X, если F ( = f( X Функция,

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Для интегрирования рациональной функции

Для интегрирования рациональной функции Интегрирование рациональных функций Для интегрирования рациональной функции последовательность шагов:, где P(x) и Q(x) - полиномы, используется следующая 1. Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) степени

Подробнее

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл:

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл: Тема Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования Интегрирование по частям Пусть u и v две дифференцируемые функции одного и того же аргумента Известно, что d( u v) udv vdu (77) Возьмем от обеих

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Глава 1. Неопределенный интеграл.

Глава 1. Неопределенный интеграл. Глава Неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Изучая дифференциальное исчисление, мы, в частности, рассматривали следующую задачу: на интервале числовой оси задана функция, надо

Подробнее

Интегрирование простейших рациональных дробей. q R, называются простейшими рациональными дробями I, II, III и IV типов.

Интегрирование простейших рациональных дробей. q R, называются простейшими рациональными дробями I, II, III и IV типов. Правильные рациональные дроби вида где Интегрирование простейших рациональных дробей. A a I A, k a kn, k II M N, p q0 pq III M N, p q0, k pq kn, k IV A, M, N, a, p, q R, называются простейшими рациональными

Подробнее

4 Разложите рациональную дробь на простейшие дроби

4 Разложите рациональную дробь на простейшие дроби Разложите рациональную дробь на простейшие дроби Выполните упражнение согласно выбранным вариантам. Сравните результат с ОТВЕТОМ. Протокол работы поместите в отчет. Рациональная дробь 7 6 67 87 7 ) ( )

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Первообразная и неопределённый интеграл Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении производной (или дифференциала) данной функции. Интегральное исчисление

Подробнее

Глава 6. Неопределенный интеграл

Глава 6. Неопределенный интеграл Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F'() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для самостоятельной работы студентов 1 курса

Подробнее

2. Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ

2. Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ Основной целью данных методических указаний является оказание помощи студентам всех специальностей дневного обучения при изучении

Подробнее

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. Методические указания для самостоятельной работы студентов

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. Методические указания для самостоятельной работы студентов Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Методические

Подробнее

Интегрирование рациональных функций (продолжение)

Интегрирование рациональных функций (продолжение) Занятие 4 Интегрирование рациональных функций (продолжение) Рациональной функцией (или, по-просту, дробью) называется отношение двух многочленов, то есть функция вида R() = f() g() = a 0 m + a m +...+

Подробнее

21-е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

21-е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр -е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Найти разложения функции в степенной ряд по степеням, вычислить радиус сходимости степенного ряда: A f()

Подробнее

Тема 1 Неопределенный интеграл. 1.2 Неопределенный интеграл и его геометрический смысл

Тема 1 Неопределенный интеграл. 1.2 Неопределенный интеграл и его геометрический смысл Тема Неопределенный интеграл Практическое занятие Первообразная и неопределенный интеграл Определение первообразной функции Неопределенный интеграл и его геометрический смысл Основные свойства неопределенного

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЫ

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЫ МИНИСТЕРСТВО ВНУТРЕННИХ ДЕЛ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ Кафедра высшей математики Телкова СА ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЫ ВОРОНЕЖ - 9 УДК 7 Т 8 Рецензенты: Профессор кафедры алгебры и топологических

Подробнее

9. Первообразная и неопределенный интеграл

9. Первообразная и неопределенный интеграл 9. Первообразная и неопределенный интеграл 9.. Пусть на промежутке I R задана функция f(). Функцию F () называют первообразной функции f() на промежутке I, если F () = f() для любого I, и первообразной

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Первообразная функция и неопределённый интеграл первообразной Функция F() называется первообразной для функции f() на промежутке X, если F / () = f() X.

Подробнее

Неопределённый интеграл

Неопределённый интеграл Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА Неопределённый интеграл Учебное пособие Санкт-Петербург

Подробнее

Методы интегрирования

Методы интегрирования Методы интегрирования Методы интегрирования. Интегралы, содержащие квадратный трехчлен в знаменателе. Понятия о рациональных функциях и их свойствах. Интегрирование простейших рациональных дробей. Теорема

Подробнее

МАТЕМАТИКА. III часть ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГБОУ ВПО «ТГТУ»

МАТЕМАТИКА. III часть ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГБОУ ВПО «ТГТУ» МАТЕМАТИКА III часть ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГБОУ ВПО «ТГТУ» Учебное издание МАТЕМАТИКА Часть III Задания контрольных работ Составители: МОРДОВИНА Елена Евгеньевна, ПЕТРОВА Елена Анатольевна Редактор ЛВ Комбарова

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ИНТЕГРАЛЫ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ИНТЕГРАЛЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Ж Н КУЛЬБАКОВА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ИНТЕГРАЛЫ Практическое пособие

Подробнее

Определенный интеграл

Определенный интеграл Определенный интеграл. Основные формулы и теоремы. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница f ( ) F( ) F( ) F( ); () где F() - одна из первообразных для f(), т.е. F f ( ) () Замечание:

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ИМЭИ ИГУ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Гражданцева ЕЮ, Дамешек ЛЮ В пособии излагается основной теоретический материал по теме: Неопределенный интеграл Приводятся

Подробнее

Тема: Интегрирование рациональных дробей

Тема: Интегрирование рациональных дробей Математический анализ Раздел: Неопределенный интеграл Тема: Интегрирование рациональных дробей Лектор Пахомова Е.Г. 0 г. 5. Интегрирование рациональных дробей ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рациональной дробью называется

Подробнее

. Имеем. . Запишем теорему Ланграджа для функции ϕ ( x ) ϕ(

. Имеем. . Запишем теорему Ланграджа для функции ϕ ( x ) ϕ( Лекция.. Интегральное исчисление Неопределенный интеграл Определение Функция F) называется первообразной для функции f) на отрезке [;], если для всех [;] выполнено равенство F)f) Примеры f ) F ) Замечание

Подробнее

Методические указания по выполнению индивидуальных домашних заданий

Методические указания по выполнению индивидуальных домашних заданий Методические указания по выполнению индивидуальных домашних заданий Методические указания к решению индивидуального задания Индивидуальное задание соответствует теме «Неопределённый интеграл» теоретического

Подробнее

РЕПОЗИТОРИЙ БГПУ ПРЕДИСЛОВИЕ

РЕПОЗИТОРИЙ БГПУ ПРЕДИСЛОВИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ Математика как учебная дисциплина прочно заняла место в учебны плана нематематически специальностей высши учебны заведений Для специалиста нематематического профиля важно понимать роль и место

Подробнее

Тема 4. Операторный метод решения линейных дифференциальных уравнений и систем. + e pt f(t)dt. (4.1) f(t) = = lim. = lim p

Тема 4. Операторный метод решения линейных дифференциальных уравнений и систем. + e pt f(t)dt. (4.1) f(t) = = lim. = lim p 1 Тема 4. Операторный метод решения линейных дифференциальных уравнений и систем 4.1 Преобразование Лапласа Оригиналом называется любая функция f(t) действительного переменного t, удовлетворяющая следующим

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования Российской Федерации «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского Кафедра «Высшая математика» НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Варианты

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» А А АТВИНОВСКИЙ И В ПАРУКЕВИЧ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Подробнее

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x или или I ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Определение Функция F называется первообразной для f F f если () df f d () 5 f 5 так как 5 5 Пример F есть первообразная для 5 d Пример F si есть первообразная

Подробнее

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Л.А.

Федеральное агентство по образованию. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Л.А. Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Л.А.Сайкова НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» УТВЕРЖДАЮ Декан ЕНМФ Ю.И. Тюрин 006г. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ

Подробнее

Èíòåãðèðîâàíèå èððàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé

Èíòåãðèðîâàíèå èððàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé Èíòåãðèðîâàíèå èððàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Интегрирование простейших иррациональностей. Подстановки Эйлера. Интеграл от дифференциального бинома. Интегрирование иррациональностей

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Методические указания и задания по высшей математике для

Подробнее

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1 Дифференциальные уравнения Решение контрольных на wwwmatburoru Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант Часть Задание Построить интегральные кривые при помощи изоклин ( d ( d 0 Решение d d

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕЖДУНАРОДНЫЙ ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕЖДУНАРОДНЫЙ ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕЖДУНАРОДНЫЙ ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ Кафедра «Информационные системы и технологии» МАТЕМАТИКА

Подробнее

4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)

4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ -------------------------------------------------------------------------------------------------

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N11. Методы интегрирования.

ЛЕКЦИЯ N11. Методы интегрирования. ЛЕКЦИЯ. Методы интегрирования..интегрирование по частям..рациональные дроби. Разложение правильной дроби на простейшие...интегрирование рациональных дробей..интегрирование по частям. Пусть u и v две непрерывные

Подробнее

Интегрирование функций одной переменной

Интегрирование функций одной переменной Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГГ Литова, ДЮ Ханукаева Интегрирование функций одной переменной Методическое пособие для самостоятельной работы

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения Модуль 1. Неопределенный интеграл Лекция 1.2

Интегралы и дифференциальные уравнения Модуль 1. Неопределенный интеграл Лекция 1.2 Интегралы и дифференциальные уравнения Модуль 1. Неопределенный интеграл Лекция 1.2 Аннотация Рациональные дроби. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших. Интегрирование простейших

Подробнее

8. Первообразная и неопределенный интеграл

8. Первообразная и неопределенный интеграл ТЕОРИЯ 8. Первообразная и неопределенный интеграл Пусть на промежутке I R задана функция f(). Функцию F() называют первообразной функции f() на промежутке I, если F () = f() для любого I, и первообразной

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий Разделы Интегральное

Подробнее

Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 5

Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 5 Решить уравнения: 0 Преобразуем уравнение: Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 0 Уравнение с разделяющимися переменными: ( ) d ( ) arcsin arcsin d Ответ: arcsin d d d Так как f, то заданное

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана ЕБ Павельева НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Методические указания к решению задач по курсу «Интегралы и дифференциальные уравнения» УДК 57

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Неопределенный интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл. Как по данной функции fх найти такую функцию Fх, производная которой равна данной функции. Опр. Функция Fх называется первообразной от

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур.

Приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур. Приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур.. Найти площадь фигуры, ограниченной линией и координатной осью O (заштрихованная область рис.). Пусть,. Площадь фигуры найдем по формуле

Подробнее

Тема: Производная. Краткие теоретические сведения. Таблица производных. ( c) 0

Тема: Производная. Краткие теоретические сведения. Таблица производных. ( c) 0 Тема: Производная. Краткие теоретические сведения. Таблица производных. ( c) 0 (arcsin ) ( ) (arccos ) (sin ) cos (cos ) sin ( arctg ) ( tg) cos ( arcctg ) ( ctg ) sin v vln u vln u v v ( u ) ( e ) e (

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. Приложение. Определение первообразной функции Определение. Дифференцируемая функция F() называется первообразной для функции f() на заданном промежутке, если для всех из этого промежутка. справедливо равенство

Подробнее

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X,

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, Глава 4. Интеграл 1. Неопределенный интеграл 1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, если x X: F'(x) = f(x). Пример

Подробнее

В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f ( x ) найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f ( x ) найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление . НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.. Понятие неопределенного интеграла В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f ( ) найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает

Подробнее

Учебный план дисциплины.

Учебный план дисциплины. Учебный план дисциплины. Студенты дневного отделения изучают математику на I и II курсах. Общий объем учебных часов на дисциплину 6 часов. Во втором семестре изучаются следующие разделы: линейная алгебра,

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

МАТЕМАТИКА. «Уральский государственный экономический университет» Для студентов направления «Менеджмент» «Государственное муниципальное управление»

МАТЕМАТИКА. «Уральский государственный экономический университет» Для студентов направления «Менеджмент» «Государственное муниципальное управление» ФГБОУ ВО «Уральский государственный экономический университет» МАТЕМАТИКА Для студентов направления «Менеджмент» «Государственное муниципальное управление» заочной формы обучения семестр Екатеринбург,

Подробнее

О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского»

О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского» ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им НГ Чернышевского» УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ: «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Подробнее

Непосредственное интегрирование.

Непосредственное интегрирование. Непосредственное интегрирование. Метод интегрирования, при котором интеграл путём тождественных преобразований подинтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределённого интеграла приводится

Подробнее

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова Высшая математика IV САМОУЧИТЕЛЬ

Подробнее

Интегралы. Часть 1. Основные приёмы интегрирования.

Интегралы. Часть 1. Основные приёмы интегрирования. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» А. И. ЕФИМОВ В. А. ЗНАМЕНСКИЙ Интегралы. Часть. Основные приёмы интегрирования. Учебное

Подробнее