Неопределенный интеграл. Вводная часть.

Транскрипт

1 Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F( ) называется первообразной для данной функции f( ), если F( ) f( ), или, что то же самое, df f d Данная функция f( ) может иметь различные первообразные, но все они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое Поэтому все первообразные для f( ) содержатся в выражении F c, которое называется неопределенным интегралом функции f( ) и обозначается f( ) d F( ) c, c - const Например, d c c, так как d ln c d tg c cos sin d cos c 5, так как ln c tg c cos cos c sin c, так как, так как d c, так как 6 d c, так как c 5 7 d c, так как 5 5 c Методом математической индукции можно вывести общую формулу: n n n 8 d c, так как n c n n d 9 d c c, так как c d 0 d c c c, так как c Методом математической индукции можно вывести общую формулу d n d c n n n Примеры: d c c c,

2 5 5 d c c c d 8 c 8 c 7, d d d c c c c, d d d c c c c, d d d c c c c, d 7 7 c c c d d c c c Правило Интеграл от суммы равен сумме интегралов Примеры ( ) d d d c; ( ) d d d c; cosd d cosd sin c,,, ( cos ) d d cosd sin c, d d d tg c, cos cos d d d d d ln c

3 Правило Постоянная выносится за знак интеграла Примеры 5 5d 5 d 5 c c 6 d 6 d 6 c c cos d cos d sin c ( sin ) d d sin d cos c cos c d d ln c sin d sin d ( cos ) c c cos d d 6 d d 6 d 6 c c Пример Найти интеграл cos d c c c и сделать проверку cos d sin c Проверка: sin c cos Использование подстановки при вычислении интегралов d d Пример Найти интеграл Мы знаем, что: ln c Поэтому делаем подстановку: t dt ( ) dt d d d dt Тогда имеем: ln t c Т к t, то ln t c ln c t Знак модуля берется потому, что число, стоящее под знаком логарифма, должно быть d положительным Следовательно, ln c d Пример Найти интеграл: dt Делаем подстановку: t Тогда d, те dt dt d Следовательно, d Поэтому: 5

4 dt d dt ln t c ln c t t dt Пусть t f, тогда f ( ), тогда dt f ( ) d, например: d Пусть dt t, тогда dt d или имеем dt d d Пусть t dt d dt d, тогда Пусть t sin, тогда dt (sin ) d dt cos d d Пример Найти интеграл Заметим, что d d Запишем интеграл в виде подстановку t dt d или dt d и, тогда Сделаем d d dt ln t c ln( ) c t Выражение не берется по модулю, тк оно положительно при любом х Пример Найти интеграл d Сделаем подстановку dt t, отсюда d или dt d Тогда d dt d ln t c ln c t Проверим ответ: ln c ( ) Обычно запись решения оформляется в более краткой форме: d t dt d dt d t ln t c ln c t Пример Проверка: sin t sin sin cos d dt (sin ) d t dt c c dt cos d sin sin c (sin ) sin cos 6

5 Пример d d t dt dt d d t t c t c c Проверка: c Пример Найти интеграл e d Так как ( ), то делаем подстановку t t t t e e e d e d e dt c c dt ( ) d d Пример Найти интеграл e d t t t e e e d e d e dt c c dt d Проверка: e e e c ( ) e Пример Найти интеграл cos d t cos d cos d costdt sint c sin c dt d Проверка: sin c cos ( ) cos cos Пример Найти интеграл sin d t cos sin d sin sin ( cos ) d tdt t c c dt d Пример Найти интеграл cos d t cos d cos cos sin sin d tdt t c c dt d Проверка: sin c cos cos cos Пример Найти интеграл a d a sin t a d a a sin t a costdt d a costdt 7

6 a sin t a cos tdt a cos t cos tdt a cos t cos tdt a cos tdt cos t a a a a a a dt t sin t c t sin t c t sin t cos t c Тк a sin t, то: sin t, t arcsin a cos t sin t a a a a a a d arcsin a c a a a a a d arcsin a c a Формула интегрирования по частям имеет вид: udv uv vdu () Пример Найти интеграл cos d Этот интеграл находим при помощи формулы () Пусть dv cos d, тогда v dv или v cos d sin В данном случае постоянная с полагают равной нулю u ; du d d; cos d sin sin d dv cos d; v sin ; sin cos c Для некоторых студентов на первых порах формула () вызывает затруднения Поэтому можно ее переписать в другом виде, а именно: путем замены: dv vd, du ud формуле () можно придать другой вид: uvd uv uvd () Например Найти интеграл cos d Учитывая то, что (sin ) cos, имеем: u ; v cos ; cos d (sin ) d sin sin d v sin ; u ; sin sin d sin cos c Формула () используется для интегрирования следующих классов функций: n n I) e d, II) n n cos d, III) sin d, IV) ln d, V) arctg d, VI) e sin d и подобных Интегралы, находящиеся с использованием формулы интегрирования по частям Вариант а) по формуле (), вариант б) по формуле () Примеры : a 8

7 а) ln d ln d ln ln d ln d ln ln ln d c c u ln ; dv d; ln d б) ln d d du ; v ; ln ln d c а) e e e e e d d d e d e e e e c c u ; dv e d; e e e e б) e d e d c du d; v ; а) ( ) sin d ( )( cos ) d d ( ) cos ( ) ( cos ) d c ( ) cos cos ( ) cos sin б) u ; dv sin d; ( ) sin d du d; v cos ; ( ) cos cos d sin ( ) cos c sin sin sin а) ( ) cos d ( ) d ( ) ( ) d sin ( ) sin ( )sin sin d d cos ( )sin c ( )sin cos c u ; dv cos d ; б) ( ) cos d ( )sin sin d du d; v sin ; cos ( ) sin c ( ) sin cos c 9

8 Решения Найти интегралы d sin 5 d sin d 5 d d cos 5 ln c; d d d d ln c; d d d d ln c Проверка: ln c ; ( ) ( ) 6 8 d 6 8 d d d d d 6 8 c c; d 5 d d d d d c; ( ) d d d ln c ( ) 6 7 d d d 6 d 6 d 9 d 6 9 c; 8 d d ( ) ( ) d ( ) d ( ) d d arctg c c arctg ; d d d d 9 0

9 d d ln c ln c; arctg d d d arctg 0 c c; 6 d d d d ( )( ) d d d ( ) d arctg c; cos sin d ctg d d d d ctg c; sin sin sin sin cos d tg d d d d tg c; cos cos cos cos cos d d d d d d cos cos cos cos tg c; так как: tg ; cos cos 5 d d d c ln ln Проверка: ln ln ( ) c ln ln ln ln Пользуясь заменой переменной, найти данные интегралы d d t dt 6 ln t c ln c; dt d t d d t dt ln t c ln c; dt d t d d t dt c ln t c ln ; dt d t d d t 9 5 dt c ln t c ln 9 5 ; 9 5 dt 5d 5 t 5 5 d t dt c c ( ) dt d t t ( ) ;

10 d t dt c c ; 5 5 ( ) dt d t t ( ) d d t dt c c ; ( ) ( ) dt d t t ( ) d d t dt c ( ) ( ) dt d t t c c 9t 9( ) Проверка: ( ) ( ) ( ) 9( ) c 9 c 9 ( ) t d ( ) d tdt dt d t c c t c ( ) c ( ) ; t 5 5 d (5 ) 5d t dt t c 5 dt 5d 5 5 (5 ) c (5 ) c; 0 0 t 8 d 8 8 d tdt t dt d dt t c 8 c 8 c; d d t dt t dt dt d t t c c ( ) c ( ) 8 8 t t t e e d e d e dt e c c; dt d t t t e e e d e 0 d e dt c c; 0 dt 0d 0 0 0

11 t t t e e e d e ( 5) d e dt c c ; 5 dt 5d t t t d 5d dt c c; 5 dt 5d 5 5 ln 5 ln t ln ln t ln d d tdt c c dt Проверка: ln ln c ln (ln ) t ln d dt d ln t c ln ln c; ln dt t t ln d dt c c d ; ln dt t t ln z ln t ln( 5) t 5 ln t 5 d dt dt zdz 5 dt d t dz t z ln t ln ( 5) c c c; 6 6 d d t dt 6 c c ( ) ( ) dt d t t 8 Проверка: ( ) ( ) c c ( ) 8 ( ) d d t d 7 ( ) ln ( ) dt d ( )ln ( ) ( )ln ( ) z ln t dt dz z dz z c c c; dt dz ln t ln( ) t ln t t z Проверка: c ln ( ) c ln ( )(ln( )) ln( ) ( ) ; ( ) ln ( ) ln ( )

12 d d t 7 dt t 6 c ln ln 7 c; dt 8 d 8 t 8 8 t t d ( ) d dt dt d t c c ; ln ln t t t e e 6 e d e d e dt c c dt d e d t 5 e d e ( 6 ) d 6 dt 6d t 5 t e e 6 e dt c c c 6 6 6e 5 t 8 8 d 8 ( ) d tdt dt d t (8 ) ; t dt t c c c 9 9 t t e e t e e d d d e dt c c; dt d d 5 d c; ln ln 7 7 sin ( sin ) d t cos dt tg d d cos cos dt sin d t c ln t c ln cos ; cos t sin dt ctg d d ln t c ln sin c; sin dt cos d t t sin sin cos d sin cos d dt cos d t sin ; t dt c c ;

13 8 9 sin sin t sin t e cos d e cosd e dt dt cos d t e sin c e c; t cos 5 cos 5 sin 5d cos 5 ( 5 sin 5 ) d 5 dt 5 sin 5d ( cos 5 ) ; 5 tdt t dt c t c t c t arctg arctg arctg t arctg 50 d d ; d t dt c c 9 9 dt 9 5 d d e d t e e e e e dt e d e dt t e ln c ln c; t t e d d 5 arctg c ; 9 d d 5 ln ( ) c; 5 d d ln ( ) ln 8 ; c c 8 ( ) 55 d d ln c ; e d t e dt ln t t c ln e e c; e dt e d t ln t t e d t e dt c e dt e d t ln e e c; cos d t sin dt 58 ln t t c ln sin sin c; cos sin dt d t cos d cos d cos d 59 cos sin (cos sin ) cos sin ( cos sin ) 5

14 cos d cos d cos d t sin sin sin sin dt cos d dt t sin ln c ln c; t sin t d d d d 60 d Вычислим каждый интеграл d t dt ln ln( ) t c c dt d t d d arctg c d ln( ) arctg c; - 6 d d d d d d d d ln arctg c ln arctg c; d d 6 d d d d ln ln ; c d 5 d 6 d 5 d d d 5 d( 8) 5 ln ln 8 c ( ) 8 5 ln ln 8 c; 6

15 d d d d d 8 8 ( ) d( ) 5 ln 5 ln ln ln ; 8 c c d d 65 d d d d ln c; + ( ) d d 66 d d d 9 arcsin 9 c 9 arcsin 9 (9 ) Проверка: c 9 9 ; sin t sin t t sin 67 e sin d e dt e c e c; dt sin cos d sin d d d t 68 d 8 ( ) ( ) dt d dt arcsin arcsin( ) ; t c c t t tg d d dt 69 d cos ( tg ) cos ( tg ) dt t cos ln t c ln tg c; ( arctg ) d arctg 70 d d Вычислим каждый интеграл 7

16 d d( ) ln( ) c ; t arctg arctg t arctg d d tdt c c dt ( arctg ) arctg d ln( ) c 7 t arctg arctg arctg d d d ( ) ( ) dt tdt t c arctg c; 7 sin d sin d t cos cos cos dt sin d dt ( cos ) ; t t dt c t c Интегралы, находящиеся с использованием формулы интегрирования по частям 7а) ln d ln d ln (ln ) d ln d ln c; d u ln ; du ; d б) ln d ln ln d ln c; dv d; v ; 7а) ln d ln d ln (ln ) d ln ln ln d ; d c 9 d u ln ; du ; d б) ln d ln dv d; v ; ln ln ; d c 9 75а) ln d ln d ln (ln ) d ln d ln d ln ; c 6 8

17 б) d u ln ; du ; d ln d ln dv d; v ; ln ln d c; 6 76а) ln( 7 ) d ln( 7 ) d ln( 7 ) 7d 7d ln( 7 ) d ln( 7 ) ln( 7 ) ; ; d 7d d( 7 ) d d ln 7 c ; 7 7 ln( 7 ) d ln( 7 ) ln( 7 ) c ln( 7 ) c; 7 7 dt t 7 ; u ln t; du б) ln( 7 ) d ln( 7 )7d ln tdt t 7 dt 7 d; 7 dv dt; v t; dt t ln t t 7 7 t ln t t t ln t dt c ln( 7 ) c; 7 t d 77а) d d ln ln ln d ; ln ln c ln ln u ; du d; d б) d ; ; ln c dv d v ln ln ln ln 78а) ln d ln d ln (ln ) d ln ln d ln ln d ln ln d ln ln ln ln (ln ) d d 9

18 ln ln ln ln ; d c ln u ln ; du d; ln б) ln d ln d dv d; v ; d u ln ; du ; ln ln ln ln d dv d; v ; d ln ln ln ln d c; 79а) ln d ln d ln (ln ) d ln ln d ln ln d ln ln d ln ln (ln ) d ln ln d ln ln d ln ln c; б) ln ln d u ln ; du ; ln d d ln dv d; v ; d u ln ; du ; d ln ln d ln ln dv d; v ; ln ln c; 80а) sin d ( cos ) d cos ( cos ) d cos cos d cos sin c; б) u ; du d; sin d cos cos d c cos sin ; dv sin d; v cos ; sin(6 ) 5 sin(6 ) sin(6 ) 8а) 5 cos(6 ) d 5 (5 ) 6 d 6 d 6 5 sin(6 ) sin(6 ) d sin(6 ) cos(6 ) c; u 5 ; dv cos(6 ) d; б) 5 cos(6 ) d sin(6 ) du 5 d; v 6 0

19 sin(6 ) sin(6 ) sin(6 ) cos(6 ) ; 6 6 d c 6 6 t ; 8а) ln ( ) d ln ( )( ) d dt d; и тд согласно ln tdt t ln tdt t(ln t) dt примеру 79а t ln t t ln t t ln t t c ln t t t c ( )ln ( ) ln ( ) c; t ; б) ln ( ) d ln ( )( ) d ln tdt dt d; ln tdt u ln t; du ; t ln tdt t t ln t t ln t ln tdt t dv dt; v t; dt u ln t; du ; tdt t t ln t t ln t t dv dt; v t; t ln t t ln t t ln t t c t ln t t c ( )ln ( )ln ( ) c; d u ln ; du ; ln d 8 ln d dv d; v ; t ln t t ln t dt ln ln ln ; d c c 9 9 d u ln ; du ; ( ) ln 8 ( ) ln d ( ) dv ( ) d; v ; ( ) d ( ) ln ( ) ln d ( ) ln ln d c; 9

20 85 u ; du 6 d; sin 5 cos 5 d sin 5 0 dv cos 5 d; v ; 0 6 sin 5 6 sin 5 sin 5 sin d d sin 5 6 cos 5 sin 5 (5 ) ; 00 d c 0 00 u ; dv sin 7d; cos 7 86 sin 7d cos 7 cos 7 ; 7 7 d du d v 7 u ; dv cos 7 d; cos 7 sin 7 sin 7 sin 7 d du d; v sin 7 cos 7 sin 7 cos 7 sin 7d cos 7 c; u ln( ); dv d; ln( ) 87 ln( ) d d d du ; v ; Преобразуем подынтегральную функцию, выделив целую часть: ( )( ) Теперь d d d d d ln( ) c ln( ) ln( ) ln( ) d c; 88 ln d ln( ) d ln( ) ln( ) d d t ln tdt см t7 t t( ln c ) (ln( c) ) ; dt d 89 5 u ; dv e d; ( ) e d e e d 5 du d; v e ; c e ; 5 5

21 5 u ; dv e d; 5 5 e e d e e d du d; v u ; dv e d 5 e e e d e du d; v e e e c; t 9 arcsin d arcsin d arcsin tdt dt d dt u arcsin t; du tdt dv dt; v t; t t t arcsin t tdt d( t ) t arcsin t t arcsin t t t t arcsin t t c arcsin c; u arctg ; dv d; d 9 arctg d d arctg du ; v ; ( ) ( ) 88d d( ) arctg arctg arctg ln( ) c; u arctg( 5); dv d; 9 arctg( 5) d d du ; v ; ( 5) arctg( 5) d arctg( 5) d ( 5) 0 6 Преобразуем подынтегральную функцию, выделив целую часть: 0 6 (0 6) Теперь d 0 5 d d d ( 5)

22 d( 0 6) d( 5) d ( 5) 5 ln( 0 6) arctg( 5) c arctg( 5) 5 arctg( 5) d ln( 0 6) arctg( 5) c; u arctg ; dv d; d 9 arctg d d arctg du d; v ; 9 9 Преобразуем подынтегральную функцию: ; arctg d arctg d arctg 9 9 d 8d arctg 9 d d 6 9 d( 9 ) arctg d arctg ln( 9 ) c; 8 6 d ln sin u ln sin ; dv ; 95 tg ln sin d cos cos du ctg d; v tg ; ctg tg d tg ln sin d tg ln sin c; 96 d u ln cos ; dv ; ln cos d cos cos sin du d; v tg ; cos tg ln cos tg d см N 97 tg ln cos tg c; u t ; dv sin tdt; ; cos t sin d t sin t tdt t sin tdt d tdt du t dt v t u t ; dv cos tdt; t cos t t cos tdt t cos t 6 t cos tdt du tdt; v sin t t cos t 6 t sin t t sin tdt t cost 6t sint t sintdt

23 u t; dv sin tdt; t cos t 6t sin t t cost costdt du dt; v cost t cost 6t sin t t cos t sint c 6 sin cos cos sin c; 98 u arccos ; dv d; arccos du ; v ( ) ; d d ( ) ( ) arccos d ( ) arccos d d ( ) arccos ( ) arccos ; d c 9 99 u arctg ; dv d; arctg ; ; du d v arctg d arctg arctg d arctg arctg arctg arctg arctg d d d Вычислим каждый из полученных интегралов arctg arctg d arctg d(arctg ) c; u arctg ; dv d; arctg d d arctg d arctg du ; v ; d( ) arctg arctg ln( ) d c arctg arctg d arctg arctg ln( ) c; d u arcsin ; dv ; arcsin arcsin d 00 d d du ; v ; dt t arcsin arcsin dt t dt d t t t t 5

24 arcsin arcsin c ln t t c ln ; sin u ; dv d; du d; sin cos 0 d cos sin sin d(cos ) v d d ; cos cos cos cos d tg c; cos cos cos 0 cos d ( cos ) d d cos d Вычисляем ; d c u ; dv cos d; sin cos sin sin d d du d; v ; sin cos c 8 sin cos cos d c; 8 cos d 0 tg d d d; cos cos Вычислим первый интеграл d u ; dv ; d cos tg t tg d cos tg dt d du d; v ; tg tg ln(cos t) tg ln(cos ) tg tdt c c; tg ln(cos ) tg d c; t arctg ln(arctg ) d 0 ln см N7 ln d tdt t t t c dt arctg ln(arctg ) arctg c; a u e ; dv sin d; a a e a a e sin d cos e cosd a du ae d; v sin ; 05 6

25 a u e ; dv cos d; a a e a e a a cos sin e sin d a du ae d; v sin ; a a ae e a a sin cos e sin d; после двукратного интегрирования по частям пришли к исходному интегралу Приводя подобные члены, приходим к соотношению a a a e + e sin d ( a sin cos ) c a a e e sin d a sin cos c ; a 06 u e ; dv cos d; e e cos d sin e sin d du e d; v sin ; u e ; dv sin d; e e sin cos cos e d du e d; v cos ; e 9 sin e cos e cos d ; как и в задаче 05, после приведения подобных членов получаем: 9 e e cos d sin e cos c e cos d e sin e cos c; 07 e sin d ( cos ) cos e d e d e d e см N06 e c sin e cos ; 6 6 u sin(ln ); dv d; 08 sin(ln ) d cos(ln ) sin(ln ) cos(ln ) d du d; v u cos(ln ); dv d; sin(ln ) sin(ln ) cos(ln ) sin(ln ) d; du d; v ; и здесь после двукратного интегрирования по частям приходим к исходному интегралу 7

26 sin(ln ) d sin(ln ) cos(ln ) c sin(ln ) d sin(ln ) cos(ln ) c; u arcsin ; dv d; arcsin 09 arcsin d arcsin arcsin d du d; v ; d u arcsin ; dv ; d arcsin arcsin d du ; v ; arcsin arcsin d arcsin arcsin c; 0 arctg d u arctg ; dv d; d du ; v ; ( ) d d arctg arctg ; ( ) d t ; t ; ttdt t dt t dt d tdt; t t t dt dt t arctg t c arctg c t arctg d arctg arctg c; t e e ln e d e ln e d ln tdt dt e d e см N7 t ln t t c e ln e c; d u arcsin ; dv ; arcsin d arcsin d du ; v ; d d c arcsin arcsin ; 8

27 u arcsin ; dv = d; v ; arcsin d d d du ; d d arcsin arcsin arcsin d arcsin c; t ln( ) d ln( ) d dt d t см N7 t ln t c ln( ) c; u ; dv sin d; 5 sin cos d sin d du d; v cos ; sin cos cos d cos c Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен d 6 Преобразуем квадратный трехчлен, выделив полный квадрат ln tdt 9 ( ) 9 ( ) Теперь t arctg arctg d d t dt c c ( ) dt d t d Преобразуем знаменатель ( ) Теперь d d d( ), так как d( ) d 6 0 ( ) ( ) d( ) d arctg( ) c arctg( ) c ( ) 6 0 9

28 Проверка:arctg( ) c ; ( ) d d d d 8 ( ) ( ) d( ) ln c ln c; ( ) d d d d ( ) 9 d d( ) 5 ln c ln c; ( ) ( ) 8 d d Преобразуем знаменатель: d d 7 ln ln ; 7 c c 6 d d 5 5 Преобразуем знаменатель: d d d arctg c; 5 d d

29 Преобразуем знаменатель d d ln c ln c; d d d d d ln c 9 ( ) 5 5 ln c c ln c ln ; d d d d d = d d Вычислим оба интеграла t dt ln ln( ) d t c c dt ( ) d t Выражение берется не по модулю, а в скобки, потому что >0 при любом Действительно, находим дискриминант: D ( ) 6 Дискриминант отрицательный, следовательно, действительных корней нет d d d arctg c ( ) d ln( ) arctg c; d d d 5 5 5

30 d d d 5 d d d Вычислим оба интеграла 5 ( ) d t 5 5 dt 5 5 ln ln( 5) ; 6 t c c 5 dt ( ) d 6 t 6 6 d d d arctg( ) c 5 ( ) 5 5 d ln( 5) arctg( ) c; d d d d d ; 7 7 Вычислим оба интеграла 7 t 7 dt ln ln 7 ; d t c c 7 dt ( 7) d t d d d d d d 7 ln ln c c 7 7 d ln 7 ln c; 7 d Преобразуем подкоренное выражение ( ) ( ) d d 6 5 ( )

31 t dt ln t t c dt d t ln ( ) c ln 6 5 c; d d Преобразуем подкоренное выражение: d d d Теперь 9 8 ln c ln c d 8 ln c; 8 8d 9 5 Преобразуем подкоренное выражение 5 5 ( )

32 d 8d 8d arcsin c 8 arcsin c; 9 9 d d Преобразуем подкоренное выражение d d d arcsin c arcsin c; 5 5 d d d 8 6 d d d d d d d d Вычислим сначала t dt d t c c dt ( ) d t

33 Теперь найдем интеграл d Преобразуем квадратный трехчлен: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; Теперь d d d( ) arcsin c ( ) ( ) d arcsin c c c arcsin ; d d d 9 d 6 d Сначала вычислим 6 t dt d t c c dt ( 6 ) d t Теперь найдем d d Преобразуем квадратный трехчлен Теперь d d 6 arcsin arcsin(6 ) c c d arcsin(6 ) c 9 arcsin(6 ) c; 5

34 d d d d d d d 6 d d Вычислим сначала 6 t 6 7 dt d ln t c ln 6 7 c 6 7 dt ( 6) d t Теперь найдем d d d ( ) 7 d d( ) ( ) ( ) ( ) ln ( ) ( ) ( ) c ln 6 7 c ln 6 7 ln d 6 7 c 6 7 Один из способов, позволяющих вычислить интегралы, опирается на разложение подынтегральной функции на элементарные дроби d ( )( )( ) Примеры разложения дробей на простейшие A B C ) ; ( )( ) ( ) A B C D E ) ; ( )( ) 7 A B C D E F ) ; ( ) ( ) ( ) ( ) A B C D ) ; ( ) A B C 5) ; ( )( ) A B C 6) ; ( )( ) ( )( )( ) 6

35 A B C 7) ; ( 6)( 5) ( 6)( 5)( 5) A B C 8) ; ( )( 5 6) ( )( )( 5) 5 Разложим дробь на элементарные дроби: ( )( )( ) A B C ( )( )( ) A( )( ) B( )( ) C( )( ) ( )( )( ) A( 6) B( ) C( ) ( )( )( ) A A 6A B B B C C C ( )( )( ) Если у равных дробей равны знаменатели, то равны и числители: A A 6A B B B C C C; ( A B C) ( A B C) 6A B C Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях х Получаем линейную систему: A B C; A B C; 0 6 A B C Решим эту систему Складывая почленно уравнения, получим 6A или A / Из первого уравнения выразим C : C A B и подставим во второе уравнение: A B A B B 6 /5 Тогда С ( )( )( ) 5 0 Примечание В этом случае удобен также такой способ нахождения коэффициентов Для дроби имеем: ( )( )( ) A( )( ) B( )( ) C( )( ); при : 6A, отсюда A ; при : 8 5B, отсюда 6 B ; 5 7

36 при : 0C, отсюда C 0 Осталось проинтегрировать каждое слагаемое: 6 d d d d ( )( )( ) ln ln ln c; d ( )( ) A B C ; ( )( ) A( )( ) B( ) C( ) A A A B B C C ( A B C) ( A B C) A В левой части нет члена, содержащего, поэтому коэффициент при в левой части равен нулю: 0 ( A B C) ( A B C) A Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему 0 A B C A B C 0 A A Подставим теперь это значение в первое уравнение: 0 B C B C 5 B C B C Сложим полученные уравнения: 8 C C Теперь 9 8 B C 6 6 ( )( ) 6 Осталось проинтегрировать каждое слагаемое d d d d ( )( ) 6 ln ln ln c 6 Но не все квадратные трехчлены разлагаются на линейные множители Например, рассмотрим дроби: 8

37 8 A B C ) ( 7)( 7) 7 7 У квадратного трехчлена 7 0 дискриминант отрицательный D 7 0, следовательно, этот квадратный трехчлен не разлагается на линейные множители A B C D E ( ) ( ) 5 A B C D E ) ( )( )( 8) 8 5 A B C D ) ( ) ( 6) ( ) E F M N 6 ( 6) 6 6 d ( )( 5) Определим сначала, разлагается ли квадратный трехчлен (х +х+) на линейные множители Для этого решаем уравнение: 0; D 6 ; D ; ; ( )( ) Теперь разложим дробь на простейшие 6 6 A B C ( )( 5) ( )( )( 5) 5 A( )( 5) B( )( 5) C( )( ) ; ( )( )( 5) 6 A( )( 5) B( )( 5) C( )( ); при имеем: 8A A ; при имеем: 8 B B ; при 5 имеем: 8C C 6 ( )( )( 5) 5 Итак, 6 d d d ( )( 5) 5 ( ) ( 5) ln ln 5 ln c ln c; ( ) 7 d В тех дробях, где степень числителя равна или больше степени знаменателя, необхо- 9

38 димо разделить дробь на дробь, выделить целую часть и сделать так, чтобы в полученной дроби степень числителя была меньше степени знаменателя те d d d d ; d c; d d; ( ) A B C A( ) B( ) C ( ) ( ) A A B B C Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х A C 0 A B 0 B B ; A B ; C A ( ) Теперь d d d d ln ln c ( ) Окончательно d ln ln c d ( )( 5 6) Степень числителя равна четырем, а знаменателя трем: ( )( 5 6) Разделим числитель на знаменатель , поэтому ; 6 6 ( )( 5 6) ; 0

39 d d d; ( )( 5 6) ( )( 5 6) d c 6 Найдем интеграл d ( )( 5 6) Разложим на множители квадратный трехчлен ( )( ) 6 6 A B C ; ( )( 5 6) ( )( )( ) 6 A( )( ) B( )( ) C( )( ); при : 0 A A 5; при : B B ; при : 0 C C 5 Теперь 6 d d d d 5 5 ( )( )( ) 5 ln 5 ln ln c; Окончательно d 5 ln 5 ln ln c; ( )( 5 6) 9 ( ) A B C D A B( ) C( ) D( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B B C C C D D D D Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х: C D 0 B C D 0 A B C D 0 D D Из первого уравнения C D Из второго уравнения B C D 9 7 Из третьего уравнения A B C D 7 9 7, ( ) ( ) ( ) теперь d 7 d d d d ( ) ( ) ( )

40 d( ) d( ) d( ) d 7 7 ( ) ( ) ( ) 7 ln ln c ln c; ( ) d d; ( )( ) ( )( )( ) 0 A B C D ( )( )( ) ( A B)( )( ) C( )( ) D( )( ) ; ( )( )( ) A A B B C C C C D D D D Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х : 0 A C D B C D A C D 0 B C D Из первого уравнения имеем A C D, а из второго B D C Подставим эти значения в третье и четвертое уравнения: C D C D; D C; D C C D; 5 D C Сложив уравнения, получим: 8C, отсюда C Тогда: D D D D ; A C D ; 5 7 B D C ; 7 ( )( ) 7 Теперь 7 d d d d ( )( ) Вычислим каждый интеграл

41 7 d 7 d d 8 d 8 ( ) d( ) 7 d 7 ln( ) arctg 8 ( ) 8 c 7 ln( ) arctg c; 8 d d ln ; ln c c Окончательно 7 d ln( ) arctg ln ln c; ( )( ) 8 d ( ) A B C D A( ) B( ) ( C D) ( ) ( ) A A B B C D Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х 0 A C 0 B D A 0 B A ; B ; C A ; D B ( ) d d Теперь d d ( ) Вычислим каждый интеграл: d d ln ; ; c c d d d d d( ) d ln( ) arctg c 8 8 ln( ) arctg c 8 Окончательно ;

42 d ln ln( ) arctg c ( ) 8 d d ; 8 ( )( ) A B C ( A B)( ) C( ) ; ( )( ) ( )( ) ( A B)( ) C( ); при : C, те C ; при 0 : B C, те B ; при : A A ; ( )( ) d d Теперь 8 Вычислим d ln ; c 8 ( ) d 6d d d ( ) d d d( ) d( ) ( ) ( ) ln( ) arctg c Окончательно d ln ln( ) arctg c; 8 ( 7) d ( 7) d 7 d 6 ( ) ( ) ( )( ) Разложив дробь на простейшие, получим 7 9 d d 9 d d 0 5 ( )( ) ln( ) arctg ln c; d 5 8

43 Находим корни уравнения: Возможные корни: ; ; (это числа, на которые делится свободный член) Ищем корни методом подбора при : ; при : Имеем корень: ; при : ; при : Имеем корень: Остался один неизвестный корень (число корней равно наибольшей степени х) Поэтому можно не проверять числа и -, а разделить выражение 5 8 на ( )( ) : ( )( ) ; те 5 8 ( )( )( ) ( )( ) A B C ; 5 8 ( )( ) ( ) 0 A( ) B( ) C( )( ) A A A B B C C C; A C A, 0 = A B C B, 0 A B C C 0 Теперь 5 8 ( ) Окончательно d d d d( ) d( ) 5 8 ( ) ( ) ln c; ( ) d Разложим знаменатель на множители 5 6 0; 5

44 t; t 5t 6 0; D 5 ; t 5 5 ; t ; t 5t 6 ( t )( t ) 5 6 ( )( ) A B C D ( A B)( ) ( C D)( ) ( )( ) ( )( ) A A B B C C D D; 0 A C B D 0 A C 0 B D C A ; из третьего уравнения имеем: 0 A A; A 0; тогда C 0 B D B D B D B D Отняв второе уравнение из первого, имеем: 5 D; D 5; B D Теперь ( )( ) Окончательно d d d d d ( ) ( ) 5 6 arctg 5 arctg c arctg arctg c 6