1.1. Функция правдоподобия 1.2. Функция результатов наблюдения (статистика)
|
|
- Софья Харитонова
- 2 лет назад
- Просмотров:
Транскрипт
1 Информация
2 План 1. Основные понятия 1.1. Функция правдоподобия 1.2. Функция результатов наблюдения (статистика) 2. Информация Фишера Определение информации 2.2. Свойства информации 3. Достаточные статистики 3.1. Достаточность 3.2. Минимальные достаточные статистики 3.3. Теорема Дармуа 4. Информация и достаточность
3 Определение информации (с) Фишер 1. Информация, содержащаяся в выборке наблюдений, должна возрастать с увеличением числа наблюдений. Удвоение числа событий должно удваивать количество доступной информации, если события независимы. 2. Информация должна быть связана с тем, что мы изучаем в эксперименте. Данные, которые не имеют отношения к проверяемой гипотезе (или измеряемым параметрам), не должны содержать какой- либо информации. Конечно, те же самые данные могут содержать информацию о других параметрах или гипотезах. 3. Информация должна быть связана с точностью: чем больше количество информации, тем выше точность эксперимента.
4 Основные понятия n реальные случайные переменные (X θ) функция плотности вероятности Θ действительный параметр (или совокупность k действительных параметров). Ωθ множество всех допустимых значений X (область X), индекс θ отражает возможную зависимость Ω от параметра θ.
5 1.1 Функция правдоподобия. Рассмотрим выборку из независимых наблюдений X X1,, Хn. Ими могут быть n событий, найденных в эксперименте, где каждому событию соответствует измерение р-величин. Совместная функция плотности вероятности всех X вследствие независимости равна: L X θ) = L X 1,, X n θ) = n i=1 f(x i θ) (1.1.1) L (X θ) функция правдоподобия, если она рассматривается только как функция θ при X фиксированных и равных тем, которые зарегистрированы в эксперименте.
6 1.2 Функция результатов наблюдения Введем новую случайную переменную в виде Y = Ф (X 1,, X n ) Ф функция результатов наблюдений (или статистика)
7 2. Информация Фишера Определение информации Объем информации о параметре θ, содержащейся в наблюдении X, определяется следующим выражением (при условии, что оно существует): I X θ = E ln L (X θ) θ 2 = ln L X θ Ω L X θ dx (2.1.1) θ θ
8 Если θ k-мерное, формула приобретает вид [I X(θ)] ij = E ln L (X θ) θ i ln L (X θ) θ j = Ω θ ln L (X θ) θ i ln L (X θ) θ j L X θ dx (2.1.2) Таким образом, в общем случае I X θ есть матрица размерности k k.
9 2.2. Свойства информации 1. Ωθ не зависит от θ 2. L (X θ) обладает необходимыми свойствами, позволяющими коммутировать операторам 2 / θ i θ j и dx Например, пусть нужно определить массу и направление движения K 0 -мезона по его распаду на π + π. Очевидно, что поперечный импульс каждого π -мезона изменяется в интервале от 0 до р* импульса каждого π-мезона в системе центра инерции, который зависит от массы K 0. Поэтому Ωθ (от 0 до р*) зависит от θ (массы K 0 ).
10 Предполагая, что первое и второе условия выполнены, просто показать, что информация может быть записана в виде 2 [I X (θ)] ij = E ln L X θ θ i θ j Информация, содержащаяся в одном событии, связана с информацией, содержащейся в N событиях, соотношением I N θ = NI 1 (θ) (2.2.1)
11 Пример:
12
13 3. Достаточные статистики Достаточность Т = Ф (X) статистика, достаточна для θ, если условная функция плотности X при данном Т f (X Т) независима от θ. Т и θ могут быть многомерными и иметь различные размерности. Если Т является достаточной статистикой для θ, то любая строго монотонная функция Т также будет достаточной статистикой для θ.
14 Необходимое и достаточное условие того, что Т (X) является достаточной статистикой для θ, состоит в том, что функция правдоподобия может быть представлена в виде L X θ = g T, θ h(x) (3.1.1) 1) h (X) не зависит от θ 2) G (T, θ) пропорционально А(T θ) условной плотности вероятности распределения Т при заданном θ
15 Если множество значений Х не зависит от θ, можно записать: А T θ = L X θ dx = g T, θ h X dx = Ω θ Ω θ При T=const = g T, θ h X dx Ω θ
16
17
18
19 3.2. Минимальные достаточные статистики Очевидно, что первоначальный набор данных (Х1,..., Хn) есть набор достаточных статистик Можно показать, что если θ имеет размерность m, то можно найти S достаточных статистик для множества n измерений, причем очевидно m n, S n, а само S может быть меньше, равно или больше m. Набор достаточных статистик, имеющий наименьшее S, называется минимально достаточным.
20 Сокращение объема данных, производимое S достаточными статистиками, может быть таким, что S пропорционально n, т. е. число достаточных статистик зависит от числа наблюдений. Однако наличие достаточных статистик становится особенно полезным, когда S фиксировано при фиксированных m и не зависит от n. Распределения, допускающие такой набор, определяются теоремой Дармуа
21 3.3. Теорема Дармуа Эта теорема показывает, что только очень ограниченный класс функций плотности вероятностей допускает существование некоторого числа достаточных статистик, не зависящего от количества наблюдений. Результаты теоремы для одномерного случая формулируются так: 1. Если при любом Ωθ существует некоторое n > 1, такое, что множество (Х1,..., Хn) допускает достаточную статистику для θ, тогда ф. п. в. имеет «экспоненциальную форму»: f X θ = exp[α X a θ + β X + c(θ)] (3.3.1) 2. Напротив, множество (Х1,..., Хn) имеет достаточную статистику для всех n > 1 (но только при условий, что Ωθ не зависит от θ), если f X θ имеет экспоненциальную форму и преобразование X 1, X 2,, X n => R, X 2,, X n взаимно однозначно и непрерывно дифференцируемо для всех X.
22 Для многомерного случая «экспоненциальная» форма имеет вид: И S f X θ = exp α j X a j θ + β X + c θ j=1 n R j = α j X i, i=1 j = 1,, S Служит одним возможным набором S совместно достаточных статистик для θ. (3.3.2)
23
24
25
26
27 4. Информация и достаточность Т (достаточная статистика) содержит всю информацию о θ, содержащуюся в наблюдениях Х1,..., Хn. Таким образом, если существует достаточная статистика, то можно произвести уменьшение объема данных без потери информации. Можно уменьшить количество данных от n до αn, (где α < 1 без потери информации). Такой случай возможен, когда существуют 1/α наблюдений каждого из αn событий и в каждом событии нас интересует только одна величина. Если у данного события для требуемой величины существует достаточная статистика, то некоторое сокращение объема данных возможно без потери информации.
28 Из нескольких недостаточных статистик следует выбирать такую статистику T, которая содержит максимум информации IT (θ). I T (θ) I X (θ) (4.1)
29 Доказательство
30 Если имеется k параметров θ, то обобщением соотношения (4.1) является
31 Пример планирования эксперемента Xi четыре новые переменные Θj (j=1,,4) весы N( j α ij θ j σ 2 ) нормальный закон α ij коэффициенты линейных комбинаций σ неточность одного взвешивания α ij = 1,0,+1 Функция правдоподобия равна: L X θ = σ 1 2π 4 4 exp 1 2σ 2 X i α ij θ j i=1 4 j=1 2
32
33
ТЕОРИЯ ОЦЕНОК. Основные понятия в теории оценок Состоятельность и сходимость.
Поиск оценки может быть рассмотрен как измерение параметра (предполагается, что он имеет некоторое фиксированное, но неизвестное значение), основанное на ограниченном числе экспериментальных наблюдений.
План лекции. Статистики, свойства оценок. Методы оценки параметров. Доверительные интервалы, оценка статистических ошибок
План лекции Статистики, свойства оценок. Методы оценки параметров метод моментов метод максимума правдоподобия метод наименьших квадратов Доверительные интервалы, оценка статистических ошибок Функция результатов
Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики
Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 3. Условные распределения
Лекция 4. Доверительные интервалы
Лекция 4. Доверительные интервалы Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2013 1 / 49 Cодержание Содержание 1 Доверительные
Логашенко И.Б. Современные методы обработки экспериментальных данных. Случайные величины
Случайные величины Распределения Случайные величины характеризуются распределениями Дискретное Если случайная величина может принимать дискретное множество значений, то соответствующее распределение называется
(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D
4 СИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ Многомерной случайной величиной (векторной случайной величиной, случайным вектором или случайной точкой) называют упорядоченный набор нескольких случайных
- вероятность класса для точки x (апостериорная вероятность класса), K K ( ) 1)
Глава 1. Байесовское распознавание образов 1.1. Вероятностная модель Распределение (состояние природы) P( x) P( ) P( x ) P( x) P( x), где P( ) P( Y( a) ) - априорная вероятность класса для случайного объекта
Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения
53 Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины. 4.. Равномерный закон распределения Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на промежутке
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
В высшей степени наивно думать, что все физические распределения соответствуют идеальным. Несмотря на то что при некоторых условиях идеальные распределения встречаются в физике, реальная жизнь, к несчастью,
Теория вероятностей и статистика
Теория вероятностей и статистика Тема 7. Статистические оценки параметров распределения Белов А.И. Уральский федеральный университет Екатеринбург, 2018 Содержание 1 Точечные оценки 2 Характеристики положения
Лекция 3. Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович
Лекция 3 Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович Курс «Математические основы теории прогнозирования» 4-й курс, III поток Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция
Способы сравнения оценок
Способы сравнения оценок В предыдущих разделах мы видели, что для одного параметра может быть получено несколько различных оценок. Займемся вопросом о том, какую из найденных оценок нужно предпочесть.
такая, что ' - ее функцией плотности. Свойства функции плотности
Демидова ОА, Ратникова ТА Сборник задач по эконометрике- Повторение теории вероятностей Случайные величины Определение Случайными величинами называют числовые функции, определенные на множестве элементарных
А.В. Колесников. Теория вероятностей 2. Случайные процессы. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг.
А.В. Колесников Теория вероятностей 2. Случайные процессы. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Многомерные диффузионные процессы В настоящей лекции будут изложены (без доказательств
1.4. СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
ЛЕКЦИЯ Сообщения, сигналы, помехи как случайные явления Случайные величины, вектора и процессы 4 СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ Как уже отмечалось выше основная проблематика теории РТС это
Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19
кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные
Лекция 7. Проверка гипотез о равенстве параметров двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Однофакторный дисперсионный анализ
Лекция 7. Проверка гипотез о равенстве параметров двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Однофакторный дисперсионный анализ Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 013 Буре В.М.,
Антонов А. Ю. 18.XI.2017 Лекция 9
Антонов А. Ю. 18.XI.2017 Лекция 9 Итерации функций Рассмотрим функции ϕ(r) и K(r,r ), где r,r R n. Определение 4.1. Интегральное преобразование Kϕ = Kϕ(r) = K(r,r )ϕ(r )dr (4.1) называется итерацией функции
Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства
Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург,
Лекция 9. Множественная линейная регрессия
Лекция 9. Множественная линейная регрессия Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Множественная регрессия... Санкт-Петербург, 2013 1 / 39 Cодержание Содержание 1
Управление, вычислительная техника и информатика
Управление вычислительная техника и информатика УДК 59. ИНФОРМАЦИОННЫЙ АСПЕКТ В СОВМЕСТНОЙ ЗАДАЧЕ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ И ИНТЕРПОЛЯЦИИ. АНАЛИЗ С.В. Рожкова О.В. Рожкова Томский политехнический
2 Статистические оценки неизвестных параметров распределения
Статистические оценки неизвестных параметров распределения Статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения Виды статистических оценок 3 Нахождение оценок неизвестных параметров
Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства
Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые
Высшая математика. Календарно-тематический план. п/п Тема занятия Кол. час. Матричная алгебра; системы линейных уравнений:
Высшая математика Календарно-тематический план п/п Тема занятия Кол. час. 1 -й семестр (0 ауд. часов) Матричная алгебра; системы линейных уравнений: 1 Матрицы; операции над матрицами, их свойства; расширенная
Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии
Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии и биоинформатики. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Лекция 3. Доверительные интервалы
Лекция 3. Доверительные интервалы Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2015 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 3. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2015 1 / 41 Cодержание Содержание
и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение
Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОЦЕНИВАНИЯ И ФИЛЬТРАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ
ЛЕКЦИЯ 1. Постановка задачи оценивания параметров сигналов. Байесовские оценки случайных параметров сигналов при различных функциях потерь. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОЦЕНИВАНИЯ И ФИЛЬТРАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ 3.1.
Лекция 1. Выборочное пространство
Лекция 1. Выборочное пространство Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, 2013 1 / 35 Cодержание Содержание 1 Выборка.
def Интервал ( 1 ; 2 ) называют доверительным интервалом для
.0. Определение доверительного интервала Пусть θ некоторый неизвестный параметр распределения. По выборке X,..., Х из данного распределения построим интервальную оценку параметра θ распределения, то есть
4 Перечень разделов и (или) тем дисциплины и их дидактическое содержание
1. Целью изучения дисциплины является: подготовка высокопрофессионального специалиста владеющего математическими знаниями, умениями и навыками применять методы теории вероятности и математической статистики
Виды и свойства попарной зависимости длин интервалов между последовательными эпизодами в пуассоновской и гамма пуассоновской моделях поведения
Виды и свойства попарной зависимости длин интервалов между последовательными эпизодами в пуассоновской и гамма пуассоновской моделях поведения Столярова Валерия Фуатовна лаборатория теоретических и междисциплинарных
Учебно-методические материалы
http://www-chemo.univer.kharkov.ua/ Учебно-методические материалы Рабочий план и программа курса Хімічна інформатика та хемометрія Примеры экзаменационных билетов Презентации Last updated November, 2008
СИНТЕЗ СТОХАСТИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ ПО СИСТЕМЕ ЕЁ ФРАГМЕНТОВ. Басманов А.Е., Дикарев В.А.
Деп. в УкрИНТЭИ 23.01.97. 76-Уі97 СИНТЕЗ СТОХАСТИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ ПО СИСТЕМЕ ЕЁ ФРАГМЕНТОВ Басманов А.Е., Дикарев В.А. В работе поставлена и решена задача о синтезе (восстановлении) стохастической матрицы
Лекция 12.Байесовский подход
Лекция 12.Байесовский подход Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, 2013 1 / 36 Cодержание Содержание 1 Байесовский подход к статистическому
( ) n n. (например: вероятности приближенно выражаются в
Статистическими данными называются сведения о числе объектов, обладающих теми или иными признаками. Статистический метод метод, опирающийся на рассмотрение статистических данных. Математическая сторона
Распределения случайных векторов
Распределения случайных векторов В.В. Некруткин кафедра статистического моделирования, матмех СПбГУ Материал к практическим занятиям по теории вероятностей, 2018 г. 1 Случайные вектора и их распределения
Матричные вычисления и нормальное распределение
Курс: Байесовские методы машинного обучения, Дата: 9 октября Матричные вычисления и нормальное распределение Дивергенция Кульбака-Лейблера 5 p(x) (x) 5 p(x) (x) 5 5 5 5 5 5-5 5 KL( p) min -5 5 KL(p ) min
Комментарии к теме Распределения случайных векторов
Комментарии к теме Распределения случайных векторов Практические занятия по теории вероятностей, 322 гр., СМ В. В. Некруткин, 2012 1 Случайные вектора и их распределения Многие свойства случайных векторов
Лекция 4. Статистические методы распознавания, Распознавание при заданной точности для некоторых классов, ROC-анализ. Лектор Сенько Олег Валентинович
Лекция 4 Статистические методы распознавания, Распознавание при заданной точности для некоторых классов, ROC-анализ Лектор Сенько Олег Валентинович Курс «Математические основы теории прогнозирования» 4-й
Эконометрика. Шишкин Владимир Андреевич. Пермский государственный национальный исследовательский университет. Модель линейной регрессии
Эконометрика Шишкин Владимир Андреевич Пермский государственный национальный исследовательский университет Теорема Гаусса Маркова Предположим, что 1 y = Xβ + ε; 2 X детерминированная n (m + 1)-матрица
10 Экономическая кибернетика Коэффициент корреляции. , xy y i x i выборочные средние,
Лекция 0.3. Коэффициент корреляции В эконометрическом исследовании вопрос о наличии или отсутствии зависимости между анализируемыми переменными решается с помощью методов корреляционного анализа. Только
Математический анализ Модуль 4. Функции нескольких переменных Текст 4.1
Математический анализ Модуль 4. Функции нескольких переменных Текст 4.1 Аннотация Типы множеств в n-мерном пространстве. Дифференциал функции нескольких переменных. Частные производные высших порядков.
Показательное распределение.
Показательное распределение. 1) Распределение с.в. X подчинено показательному закону с параметром 5. Записать вычислить M X DX. f x Показательное распределение с параметром имеет плотность вероятности:
НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ
НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ Отказы, возникающие в процессе испытаний или эксплуатации, могут быть различными факторами: рассеянием
лектор к.ф.-м.н. Д. А. Шабанов Весна 2012
Программа курса Математическая статистика лектор к.ф.-м.н. Д. А. Шабанов Весна 2012 1. Основная задача математической статистики. Примеры: выборка и линейная модель. 2. Различные виды сходимостей случайных
СУЩЕСТВОВАНИЕ И НЕЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ ОДНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ А. И. Ноаров
Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 2012. Том 53, 6 УДК 517.956.22 СУЩЕСТВОВАНИЕ И НЕЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ ОДНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ А. И. Ноаров Аннотация. На торе
Комментарии к теме «Характеристические функции»
Комментарии к теме «Характеристические функции» Практические занятия по теории вероятностей, 322 гр., СМ, 2013 г. В. В. Некруткин 1 Определение и основные свойства Сначала сделаем следующее замечание.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием элементов
Пусть в этом пункте X линейное нормированное пространство (для простоты понимания можно считать, что X = R n конечномерное пространство).
1 4 Выпуклый анализ Пусть в этом пункте X линейное нормированное пространство (для простоты понимания можно считать, что X = R n конечномерное пространство). 4.1 Элементы выпуклого анализа 4.1.1 Выпуклые
МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 1 Многомерная случайная величина X = (X 1,X 2,,X n ) это совокупность случайных величин X i (i =1,2,,n), заданных на одном и том же вероятностном пространстве Ω. Закон распределения
μ xy = M[(X - m x )(Y - m y )] Для вычислений корреляционного момента используют формулы: для дискретных :
Лекция План лекции 36 Числовые характеристики системы двух случайных величин 37 Коррелированность и зависимость случайных величин 37 Корреляционные матрицы 38 Характеристики многомерных систем 39 Двумерный
Подход распространения ожидания (Expectation Propagation) для приближенного байесовского вывода
Курс: Байесовские методы машинного обучения, 20 Подход распространения ожидания (Expectation Propagation) для приближенного байесовского вывода Дата: 7 декабря 20 Достаточные статистики Рассмотрим задачу
Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин
Лекция ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: построить метод линеаризации функций случайных величин; ввести понятие комплексной случайной величины и получить ее числовые характеристики; определить характеристическую
Лекция 5. Доверительные интервалы
Лекция 5. Доверительные интервалы Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 1 / 31 Cодержание Содержание
ЛЕКЦИЯ 8 ОДНОВРЕМЕННАЯ ИЗМЕРИМОСТЬ ФИЗИЧЕСКИЙ ВЕЛИЧИН. КВАНТОВЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
ЛЕКЦИЯ 8 ОДНОВРЕМЕННАЯ ИЗМЕРИМОСТЬ ФИЗИЧЕСКИЙ ВЕЛИЧИН. КВАНТОВЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 1. Одновременная измеримость физических величин В общем случае состояние системы задается не одной
УДК Г. А. Омарова. Построение траектории движения объекта
УДК 5979 + 5933 Г А Омарова Èíñòèòóò âû èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè åñêîé ãåîôèçèêè ÑÎ ÐÀÍ ïð Àêàä Ëàâðåíòüåâà, 6, Íîâîñèáèðñê, 630090, Ðîññèÿ E-mail: gulzira@ravccru Статистическая модель движения
Лекция 15 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Лекция 5 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие оценки неизвестного параметра распределения и дать классификацию таких оценок; получить точечные оценки математического
ЧАСТЬ ІІ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ МОДЕЛИ
ЧАСТЬ ІІ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ МОДЕЛИ ГЛАВА 6 ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ОЦЕНКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВЕЛИЧИН Описаны точечный и интервальный методы оценки детерминированных величин основанные на представлении оценок гиперслучайными
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Основные понятия математической статистики Совокупность - это множество объектов (элементов совокупности), обладающих общим свойством. Объем совокупности - это число
23. Базис векторного пространства
Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная
9. Двумерная случайная величина. Законы распределения Определения и формулы для решения задач
9 Двумерная случайная величина Законы распределения 9 Определения и формулы для решения задач Определение Двумерной случайной величиной называется упорядоченная пара (, ) одномерных случайных величин и
1.18. Непрерывная одномерная случайная величина
.8. Непрерывная одномерная случайная величина def Случайная величина называется непрерывной, если ее возможные значения сплошь заполняют некоторый промежуток (; b) (или несколько промежутков) и на всей
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11
ЧАСТЬ 6 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие функции случайной величины и провести классификацию возникающих
Домашнее задание по вариационному выводу Задачи для подготовки к контрольной по вариационному выводу Дата: 5 мая 2013 Дата контрольной: 7 ноября 2014
Курс: Графические модели, 2013 Курс: Байесовские методы машинного обучения, осень 2014 Домашнее задание по вариационному выводу Задачи для подготовки к контрольной по вариационному выводу Дата: 5 мая 2013
Статистическая радиофизика и теория информации
Статистическая радиофизика и теория информации Лекция 7 8.Марковские цепи с непрерывным временем Марковские цепи с непрерывным временем представляют собой марковский случайный процесс X t, состоящий из
Программа курса. Математическая статистика. лектор к.ф.-м.н. И.В. Родионов. Весна 2014
Программа курса Математическая статистика лектор к.ф.-м.н. И.В. Родионов Весна 2014 1. Вероятностно статистическая модель. Понятия наблюдения и выборки. Моделирование выборки из неизвестного распределения.
Модели с условной гетероскедастичностью
Модели с условной гетероскедастичностью Борзых Д.А. 10 марта 2014 г. Борзых Д.А. () Модели с условной гетероскедастичностью 10 марта 2014 г. 1 / 38 Положение GARCH-модели среди классических моделей временных
СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 9
ЧАСТЬ 5 СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция 9 ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие системы случайных величин и закона распределения систем двух случайных величин;
Заметки по матричным вычислениям и нормальному распределению
Заметки по матричным вычислениям и нормальному распределению Матричные вычисления Здесь и далее вектора будут обозначаться жирным шрифтом x,y,, а матрицы заглавными буквами A,B, При этом под вектором всегда
Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1
Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1 Аннотация Вещественное линейное пространство, аксиомы и примеры. Линейно зависимые и
Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления
УДК 6-5 Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления К.А. Рыбаков В статье вводится понятие спектральных характеристик линейных
Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ.
Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.
( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.
79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x)
Система линейных уравнений. Система m уравнений с n неизвестными: 8 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n =b 2
Раздел VI. Глоссарий Матрица. Совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей n строк и m столбцов называется матрицей размерности Определитель матрицы. Определителем квадратной
D ставится в соответствие определенная точка w = u + iv. Множество D называется множеством определения
Методические указания к контрольной работе по математике Тема 1. Функции комплексной переменной Дадим определение функции комплексной переменной. Определение. Говорят что на множестве D точек комплексной
Семинары по байесовским методам
Семинары по байесовским методам Евгений Соколов sokolov.evg@gmail.com 5 декабря 2014 г. 2 Нормальный дискриминантный анализ Нормальный дискриминантный анализ это частный случай байесовской классификации,
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Н.Э. БАУМАНА
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Н.Э. БАУМАНА С.П.Еркович ПРИМЕНЕНИЕ РЕГРЕССИОННОГО И КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАВИСИМОСТЕЙ В ФИЗИЧЕСКОМ ПРАКТИКУМЕ. Москва, 994.
2 Распределение вероятностей N (a, σ)
А.Г. Дьячков, «Задания по математической статистике» Задание 2 2 Распределение вероятностей N (a, σ) 2. Определения и обозначения Согласно определению, непрерывная случайная величина ξ имеет стандартное
Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Лекция 4.1. Аннотация
Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 41 Аннотация Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) -го порядка, однородные и неоднородные Теорема о существовании
( A) КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1. Теория вероятностей
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Теория вероятностей Задача В ящике находится 5 кондиционных и бракованных однотипных деталей Какова вероятность того, что среди трех наудачу выбранных деталей окажется хотя бы одна бракованная?
9.3 Гауссовская линейная модель
93 Гауссовская линейная модель В данном разделе будем предполагать, что ошибки ε i являются несмещенными нормальными и гомоскедастичными Иначе говоря, справедливо ε N(0, σ I n ) Такая модель линейной регрессии
Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.
Лекция ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН -МЕРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить числовые характеристики системы двух случайных величин: начальные и центральные моменты ковариацию
Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.
Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 43 Аннотация Нормальные системы ДУ Задача и теорема Коши Частные и общее решения Системы линейных ДУ первого
Лекция 9. Структура ошибки выпуклых комбинаций, комитетные методы, логическая коррекция. Лектор Сенько Олег Валентинович
Лекция 9 Структура ошибки выпуклых комбинаций, комитетные методы, логическая коррекция Лектор Сенько Олег Валентинович Курс «Математические основы теории прогнозирования» 4-й курс, III поток Сенько Олег
Методы Монте Карло по схеме марковских цепей (Markov Chain Monte Carlo, MCMC)
Методы Монте Карло по схеме марковских цепей (Markov Chain Monte Carlo, MCMC) Методы Монте Карло в графических моделях Рассмотрим графическую модель p(x, T Θ), где X набор наблюдаемых переменных, T набор
22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка
Линейные уравнения с частными производными первого порядка Понятие уравнения с частными производными и его интегрирование Уравнением с частными производными называется соотношение связывающее неизвестную
указывать, непрерывной или дискретной является исследуемая случайная величина.
Раздел. Основы статистического анализа данных.. Определение случайной выборки Пусть исследуемая случайная величина, F ( x ) = P( < x) ее функция распределения, вообще говоря, неизвестная. В некоторых случаях
Задачи к экзамену по курсу «Математическая статистика»
Задачи к экзамену по курсу «Математическая статистика» весна 2011 01. Пусть (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) выборка, соответствующая случайному вектору (ξ, η). Докажите, что статистика T = 1 n 1 n (X i X)(Y
Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия.
Квантили Выборочная квантиль x p порядка p (0 < p < 1) определяется как элемент вариационного ряда выборки x (1),, x () с номером [p]+1, где [a] целая часть числа а В статистической практике используется
Содержание. Предисловие... 9
Содержание Предисловие... 9 Введение... 12 1. Вероятностно-статистическая модель и задачи математической статистики...12 2. Терминология и обозначения......15 3. Некоторые типичные статистические модели...18
Статистика ФИВТ ПМИ Прикладной поток. Лекция 15
Статистика ФИВТ ПМИ Прикладной поток Лекция 15 3. Качество оценок Оптимальные оценки Оптимальные оценки X = (X 1,..., X n ) выборка из распр. P P {P θ K = {все несмещенные оценки параметра θ} θ Θ}; Задача:
УДК : ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И НАЧАЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ ДЛИТЕЛЬНОСТИ ИМПУЛЬСОВ ПОТОКА S-СОСТОЯНИЙ
ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ 5 24 УДК 62.39.4:62.396 ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И НАЧАЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ ДЛИТЕЛЬНОСТИ ИМПУЛЬСОВ ПОТОКА S-СОСТОЯНИЙ Г. Б. Георгадзе Ф. В. Голик Новгородский государственный университет
Точечные оценки и их свойства. Грауэр Л.В.
Точечные оценки и их свойства Грауэр Л.В. Статистика ξ генеральная совокупность c ф.р. F ξ (x; θ) θ = (θ 1,..., θ m ) неизвестные параметры X [n] = (X 1,..., X n ) выборка из ξ Статистикой будем называть
Тема: Статистические оценки параметров распределения
Раздел: Теория вероятностей и математическая статистика Тема: Статистические оценки параметров распределения Лектор Пахомова Е.Г. 05 г. 5. Точечные статистические оценки параметров распределения Статистическое
Тема 3 (лекции 5 7). Функция Грина краевых задач для уравнения Пуассона
Тема 3 (лекции 5 7). Функция Грина краевых задач для уравнения Пуассона Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), 2019 Содержание 1 Формула многомерного интегрирования
Лекция Формула Тейлора
Лекция 4.5 1 Формула Тейлора Теорема (формула Тейлора) Пусть функция y = f(x), x = (x 1, x 2,..., x n ) определена и непрерывна вместе со всеми своими частными производными до порядка m включительно в
1. Случайные события. Операции над событиями. Вопросы
ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» /009г ИУ-5,7 курс, 4 семестр 1. Случайные события. Операции над событиями. Определения случайного
Линейная алгебра. Лекция 1.1
Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы
АСИМПТОТИЧЕСКИ НОРМАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРА В ЗАДАЧЕ ДРОБНО ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ Ю. Ю. Линке, А. И. Саханенко
Сибирский математический журнал Январь февраль, 000. Том 41, 1 УДК 519.3.5 АСИМПТОТИЧЕСКИ НОРМАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРА В ЗАДАЧЕ ДРОБНО ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ Ю. Ю. Линке, А. И. Саханенко Аннотация: Рассматривается