Тема 2-15: Ортогональность

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Тема 2-15: Ортогональность"

Транскрипт

1 Тема 2-15: Ортогональность А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

2 Понятие ортогональности обобщает понятие перпендикулярности геометрических векторов на евклидовы и унитарные пространства.

3 Определения, связанные с ортогональностью, и простейшие свойства Пусть V евклидово или унитарное пространство. Определение Векторы x, y V называются ортогональными, если (x, y) = 0. Обозначение: x y. Очевидно, что 0 V x для любого x V. Также легко проверить, что x y = αx βy для любых скаляров α, β. Если α, β 0, то верно и обратное: αx βy = x y. Определения Система векторов (a 1, a 2,..., a m) пространства V называется ортогональной, если a j a k при всех различных j, k {1, 2,..., m}. Ортогональная система, состоящая из ортов, называется ортонормированной. Ортогональная система может содержать нулевой вектор, любая ортонормированная система состоит из ненулевых векторов. Для любых векторов a j, a k ортогональной (соотв. ортонормированной) системы имеет место равенство { a 2 (a j, a k ) = j (соотв. 1), если j = k, 0, если j k. (1)

4 Линейная независимость ортогональных систем Предложение Произвольная ортогональная система, состоящая из ненулевых векторов, линейно независима. Доказательство. Пусть (a 1, a 2,..., a m) ортогональная система, состоящая из ненулевых векторов. Предположим, что λ 1a 1 + λ 2a λ ma m = 0 V. Умножим скалярно обе части этого равенства на вектор a j, где 1 j m. В соответствии с (1) сл.3 получим λ j a 2 j = 0. Так как a j 0 V, имеем a 2 j > 0, откуда λ j = 0. Это справедливо для всех 1 j m, поэтому система (a 1, a 2,..., a m) линейно независима. Следствие Произвольная ортонормированная система векторов линейно независима. Определения Базис подпространства, являющийся ортогональной (соотв. ортонормированной) системой векторов, называется ортогональным (соотв. ортонормированным) базисом.

5 Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Процесс нахождения векторов системы (b 1, b 2,..., b m) по векторам системы (a 1, a 2,..., a m), описанный в доказательстве следующей теоремы, называется процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Теорема Для любой линейно независимой системы векторов (a 1, a 2,..., a m) существует такая ортогональная система из ненулевых векторов (b 1, b 2,..., b m) что a 1 = b 1, a 1, a 2 = b 1, b 2,..., a 1, a 2,..., a m = = b 1, b 2,..., b m. Доказательство. Используем индукцию по m. Положим b 1 = a 1 и будем искать b 2 в виде a 2 + γb 1 для некоторого скаляра γ. Из условия b 2 b 1 имеем 0 = (b 2, b 1) = (a 2 + γb 1, b 1) = (a 2, b 1) + γ(b 1, b 1), откуда (a 2, b 1) + γ(b 1, b 1) = 0. Так как a 1 0 V в силу линейной независимости (a2, b1) системы векторов (a 1, a 2,..., a m), имеем (b 1, b 1) > 0 и γ = (b 1, b. 1) Следовательно, вектор b 2 определен однозначно и b 2 0 V в силу линейной независимости системы (a 1, a 2,..., a m). Из определения векторов b 1, b 2 следует, что a 1, a 2 = b 1, b 2. База индукции установлена.

6 Окончание доказательства теоремы Шаг индукции. Предположим, что уже построена ортогональная система из ненулевых векторов (b 1, b 2,..., b s) (1 < s < m) такая что a 1 = b 1, a 1, a 2 = b 1, b 2,..., a 1, a 2,..., a s = b 1, b 2,..., b s. Будем искать вектор b s+1 в виде a s+1 + γ 1b γ sb s с неопределенными скалярами γ j (j {1,..., s}). Тогда b s+1 0 V в силу линейной независимости системы (a 1, a 2,..., a m). Из условия b s+1 b j для j {1,..., s}, учитывая равенство (1) сл.3, получаем 0 = (b s+1, b j ) = (a s+1 + γ 1b γ sb s, b j ) = = (a s+1, b j ) + γ j (b j, b j ), откуда γ j = (as+1, b j) (j {1,..., s}). (b j, b j ) Следовательно, вектор b s+1 определен однозначно. Покажем, что a 1, a 2,..., a s, a s+1 = b 1, b 2,..., b s, b s+1. Так как b 1, b 2,..., b s a 1, a 2,..., a s и b s+1 = a s+1 + γ 1b γ sb s, заключаем, что b 1, b 2,..., b s, b s+1 a 1, a 2,..., a s, a s+1. Противоположное включение следует из включения a 1, a 2,..., a s b 1, b 2,..., b s и равенства a s+1 = b s+1 γ 1b 1... γ sb s. Шаг индукции доказан. Доказательство теоремы закончено. Процесс ортогонализации можно применять и к линейно зависимой системе векторов (см. сл.17). При этом если система (a 1, a 2,..., a s) линейно независима и (a 1, a 2,..., a s) a s+1, то получается ортогональная система (b 1, b 2,..., b s) и b s+1 = 0 V. Нулевые векторы нужно отбрасывать, как и соответствующие векторы из системы (a 1, a 2,..., a m).

7 Пример применения процесса ортогонализации Найти ортогональный базис подпространства a 1, a 2, a 3 из R 4, где a 1 = (1, 3, 2, 1), a 2 = ( 1, 7, 3, 2), a 3 = (2, 2, 3, 1). Положим b 1 = a 1. Ищем b 2 = a 2 + γb 1. Вычисляем b1 2 = = 15, (a 2, b1) = = 30. Находим (a2, b1) γ = (b 1, b = 30 = 2. Следовательно, 1) 15 b 2 = a 2 + 2b 1 = ( 1, 7, 3, 2) + 2(1, 3, 2, 1) = (1, 1, 1, 0). Проверяем: (b 2, b 1) = = 0. Ищем b 3 = a 3 + γ 1b 1 + γ 2b 2. Вычисляем b2 2 = = 3, (a 3, b1) = = 15, (a 3, b2) = = 3. Находим (a3, b1) γ 1 = (b 1, b = 15 (a3, b2) = 1, γ2 = 1) 15 (b 2, b = 3 = 1. Следовательно, 2) 3 b 3 = a 3 b 1 b 2 = (2, 2, 3, 1) (1, 3, 2, 1) (1, 1, 1, 0) = (0, 0, 0, 0). Таким образом, (a 1, a 2) a 3, поскольку a 3 = b 1 + b 2 = b 1 + a 2 + 2b 1 = = 3b 1 + a 2 = 3a 1 + a 2. Мы видим, что a 1, a 2, a 3 = a 1, a 2 и ортогональный базис этого подпространства состоит из векторов b 1, b 2.

8 Ортогональные и ортонормированные базисы Применяя процесс ортогонализации к произвольному базису евклидова или унитарного линейного пространства, получаем ортогональный базис. Таким образом, справедливо Следствие Произвольное ненулевое конечномерное евклидово или унитарное линейное пространство имеет ортогональный базис и ортонормированный базис. Ортонормированный базис получается из ортогонального базиса путем нормирования каждого вектора (сл.8 т.2-14). Пусть B = (b 1, b 2,..., b n) ортогональный базис евклидова или унитарного линейного пространства V и x V. С помощью скалярного произведения можно найти координаты [x] B. Пусть x = ξ 1b 1 + ξ 2b ξ nb n. Умножим обе части этого равенства скалярно на вектор b j, где 1 j n. С учетом равенства (1) сл.3 получаем (x, b j ) = ξ j (b j, b j ). Таким образом, ξ j = (x, b j) для j = 1,..., n. (b j, b j ) Для ортонормированного базиса C = (c 1, c 2,..., c n) евклидова или унитарного линейного пространства V координаты вектора x V в этом базисе [x] C = (γ 1, γ 2,..., γ n) вычисляются по формулам γ j = (x, c j ) для j = 1,..., n.

9 Ортогональное дополнение Определение Пусть M подмножество евклидова или унитарного линейного пространства V. Ортогональным дополнением множества M называется множество {x V x u u M}. Обозначение: M. В евклидовом пространстве V g для вектора a 0 справедливо равенство { a} = V π, где π плоскость, перпендикулярная к вектору a. Для неколлинеарных векторов a, b V g имеет место равенство { a, b} = V l, где l прямая, перпендикулярная к векторам a, b. Из определения непосредственно следует, что M N = N M. Очевидно также, что V = {0 V } (поскольку x V x x) и {0 V } = V.

10 Предложение 1 Для любого подмножества M V его ортогональное дополнение M является подпространством в V. 2 Для любой системы (a 1, a 2,..., a m) векторов из V справедливо равенство {a 1, a 2,..., a m} = a 1, a 2,..., a m. Доказательство. Для доказательства утверждения 1 используем предложение сл.3 т.2-4. Очевидно, 0 V M. Пусть x, y M. Тогда u M x u и y u, т.е. (x, u) = 0 и (y, u) = 0. Следовательно, (x + y, u) = (x, u) + (y, u) = 0, и потому (x + y) u u M. Таким образом, x + y M. Для любого скаляра α имеем αx u, поэтому αx M. Итак, M подпространство. Докажем утверждение 2. Так как {a 1, a 2,..., a m} a 1, a 2,..., a m, имеем a 1, a 2,..., a m {a 1, a 2,..., a m}. Установим противоположное включение. Пусть x {a 1, a 2,..., a m} и u a 1, a 2,..., a m. Тогда x a j, т.е. (x, a j ) = 0 при j = 1,..., m, и u = λ 1a 1 + λ 2a λ ma m. Далее, (x, u) = (x, λ 1a 1 + λ 2a λ ma m) = λ 1(x, a 1) + λ 2(a 2, u) λ m(a m, u) = 0, так как (a j, u) = 0 при j = 1,..., m. Таким образом, x u и x a 1, a 2,..., a m. Итак, {a 1, a 2,..., a m} a 1, a 2,..., a m. Предложение доказано.

11 Пример Найти базис ортогонального дополнения к подпространству U = a 1, a 2, a 3, где a 1 = (1, 2, 2, 1), a 1 = (3, 2, 2, 3), a 1 = (1, 5, 5, 1). В силу утверждения 2 предложения сл.10 U = a 1, a 2, a 3 = {a 1, a 2, a 3}. Для любого x = (x 1, x 2, x 3, x 4) условие x {a 1, a 2, a 3} равносильно системе условий x a j (j = 1, 2, 3), откуда (a j, x) = 0. Получаем однородную систему линейных уравнений x 1 + 2x 2 + 2x 3 + x 4 = 0, 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 0, Решаем систему методом Гаусса-Жордана: x 1 + 5x 2 + 5x 3 + x 4 = ( ). Находим общее решение: { x1 = x 4, x 2 = x 3. Записываем x 1 x 2 x 3 x 4 фундаментальную систему решений: Базис ортогонального дополнения U : b 1 = (0, 1, 1, 0), b 2 = ( 1, 0, 0, 1).

12 Ортогональное разложение Теорема Пусть U конечномерное подпространство евклидова или унитарного пространства V. Тогда V = U U. Доказательство. Если U = {0 V }, то U = V и доказывать нечего. Пусть dimu = k. Выберем в U ортонормированный базис (e 1,..., e k ). Покажем, что V = U + U. Для любого x V запишем x = u + u 1 с неизвестными u U, u 1 U. Имеем u = λ 1e λ k e k, где λ j неизвестные скаляры, и x = λ 1e λ k e k + u 1. Умножив скалярно обе части последнего равенства на вектор e j (j = 1,..., k), получим (x, e j ) = λ j, так как u 1 e j и (e 1,..., e k ) ортонормированный базис. Теперь положим u = k j=1 (x, e j)e j и u 1 = x u. Очевидно, u U. Покажем, что u 1 U. Так как (u, e j ) = ( k j=1 (x, e j)e j, e j ) = (x, e j ), имеем (u 1, e j ) = (x u, e j ) = = (x, e j ) (u, e j ) = 0. Следовательно, u 1 {e 1,..., e k } = e 1,..., e k = = U в силу утверждения 2 предложения сл.10. Таким образом, V = U + U. Очевидно, что U U = {0 V }. Применение теоремы сл.19 т.2-4 завершает доказательство.

13 Ортогональная проекция и составляющая вектора относительно подпространства Пусть V конечномерное евклидово или унитарное пространство, U подпространство V. Согласно теореме сл.12 V = U U. Для любого вектора x V существуют однозначно определенные векторы y U и z U такие что x = y + z. Определение Вектор y называется ортогональной проекцией, а вектор z ортогональной составляющей вектора x V относительно подпространства V. Доказательство теоремы сл.12 фактически содержит алгоритм нахождения ортогональных проекции и составляющей вектора относительно подпространства. При этом в подпространстве достаточно выбрать какой-то базис, не обязательно ортонормированный. Определение Углом между ненулевым вектором x и ненулевым подпространством U евклидова пространства V называется угол между вектором x и его ортогональной проекцией y на U, если y 0 V, и угол π 2, если y = 0 V.

14 Пример нахождения ортогональных проекции и составляющей вектора Найти ортогональную проекцию и составляющую вектора x = (1, 0, 2, 2) относительно подпространства U = a 1, a 2, где a 1 = (1, 1, 1, 0) и a 2 = (2, 1, 0, 1) в арифметическом пространстве R 4. Определить угол между вектором x и подпространством U. Будем искать ортогональную проекцию y в виде y = λ 1a 1 + λ 2a 2. Запишем x = λ 1a 1 + λ 2a 2 + z, где z U. Умножив это равенство скалярно на a 1 и a 2, получим (x, a 1) = λ 1(a 1, a 1) + λ 2(a 2, a 1) и (x, a 2) = λ 1(a 1, a 2) + λ 2(a 2, a 2). Вычислив { скалярные произведения, 3λ1 + 3λ 2 = 3, получаем систему линейных уравнений Решив эту 3λ 1 + 6λ 2 = 0. систему, находим λ 1 = 2, λ 2 = 1. Таким образом, y = 2a 1 a 2 = (0, 1, 2, 1) и z = x y = (1, 1, 0, 1). Делаем проверку: (z, a 1) = 0, (z, a 2) = 0. Находим угол: cos( x, y) = (x,y) x y = = 6 3.

15 Свойства ортогонального дополнения Предложение Пусть V конечномерное евклидово или унитарное пространство, U 1, U 2 подпространства V. Тогда имеют место следующие утверждения: 1 (U 1 ) = U 1; 2 (U 1 + U 2) = U 1 U 2 ; 3 (U 1 U 2) = U 1 + U 2. Доказательство. Для доказательства утверждения 1 заметим, что U 1 (U1 ) и V = U 1 U1, V = U1 (U1 ), откуда в силу утверждения 2 теоремы сл.19 т.2-4 получаем dimu 1 = dim(u1 ). Применение теоремы сл.6 т.2-4 влечет за собой равенство (U1 ) = U 1. Докажем утверждение 2. Так как U 1, U 2 U 1 + U 2, имеем (U 1 + U 2) U1 U2. Докажем противоположное включение. Пусть x U1 U2. Тогда x u 1, x u 2 для любых векторов u 1 U 1, u 2 U 2. Так как (x, u 1 + u 2) = (x, u 1) + (x, u 2) = 0, заключаем, что x (u 1 + u 2) и x (U 1 + U 2). Утверждение 2 доказано. Выведем утверждение 3 из предыдущих: (U1 + U2 ) = (U1 ) (U2 ) = U 1 U 2, откуда (U 1 U 2) = ((U1 + U2 ) ) = U1 + U2.

16 Пример применения свойств ортогонального дополнения Найти ортогональное дополнение к подпространству, заданному однородной системой линейных уравнений в матричном виде Ax = O. Обозначим строки матрицы A через a 1,..., a k. Тогда пространство решений данной системы является ортогональным дополнением {a 1,..., a k } = a 1,..., a k и его ортогональное дополнение есть ( a 1,..., a k ) = a 1,..., a k подпространство, порожденное строками матрицы A.

17 Ортогональные составляющие в процессе ортогонализации Предложение Пусть к системе векторов (a 1,..., a m) евклидова или унитарного пространства V применяется процесс ортогонализации (сл.5-6). Если эта система линейно независима, то получается ортогональная система (b 1,..., b m), которая помимо свойств, указанных в теореме сл.5, обладает еще таким свойством: при j = 2,..., m вектор b j является ортогональной составляющей вектора a j относительно подпространства a 1,..., a j 1. Если система (a 1,..., a m) линейно зависима и j наименьший индекс, для которого a 1,..., a j 1 a j, то b j = 0 V. Доказательство. Пусть система (a 1,..., a m) линейно независима и 2 j m. По теореме сл.5 имеем a 1,..., a j 1 = b 1,..., b j 1. Так как b j = a j + γ j1 b γ j,j 1 b j 1 и b j b k при j = 1,..., j 1, заключаем, что b j {b 1,..., b j 1 } = b 1,..., b j 1 = a 1,..., a j 1. Поскольку a j = (γ j1 b γ j,j 1 b j 1 ) + b j, по определению b j является ортогональной составляющей вектора a j относительно подпространства a 1,..., a j 1.

18 Окончание доказательства предложения Пусть j наименьший индекс, для которого a 1,..., a j 1 a j. Если j = 1, то a 1 = 0 V и b 1 = a 1, так что доказывать нечего. При j > 1 имеем a 1,..., a j 1 = b 1,..., b j 1. Таким образом, a j a 1,..., a j 1 = = b 1,..., b j 1. Для любых скаляров λ 1,..., λ j 1 справедливо включение a j + λ 1b λ j 1 b j 1 b 1,..., b j 1. По построению вектора b j имеем b j b 1,..., b j 1, но этот вектор должен принадлежать b 1,..., b j 1, откуда b j = 0 V. Предложение доказано.

19 Дополняемость ортогональных и ортонормированных систем до ортогональных и ортонормированных базисов Предложение Пусть V евклидово или унитарное пространство, dimv = n > 1, B = (b 1,..., b k ) (1 k < n) ортоногональная система из ненулевых векторов (соотв. ортонормированная система) из V. Тогда B можно дополнить до ортогонального (соотв. ортонормированного) базиса пространства V. Доказательство. Положим U = B. В силу предложения и следствия сл.4 система B линейно независима, поэтому dimu = k и dimu = n k > 0. Выберем в U ортогональный (соотв. ортонормированный) базис C = (c 1,..., c n k ). Тогда система (b 1,..., b k, c 1,..., c n k ) будет ортогональным (соотв. ортонормированным) базисом пространства V.

20 Обобщение теоремы Пифагора Следующее утверждение обобщает теорему Пифагора, справедливую для перпендикулярных векторов из пространства V g, на ортогональные векторы произвольного евклидова или унитарного пространства. Предложение Пусть V евклидово или унитарное пространство, x, y V и x y. Тогда x + y = x 2 + y 2. Для доказательства заметим, что x + y 2 = (x + y, x + y) = (x, x) + (x, y) + (y, x) + (y, y) = (x, x) + (y, y) = x 2 + y 2, так как (x, y) = (y, x) = 0.

Лекция 18: Ортонормированный базис

Лекция 18: Ортонормированный базис Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Ортогональные и ортонормированные наборы векторов Из определения угла между векторами

Подробнее

Тема 2-17: Сопряженное отображение

Тема 2-17: Сопряженное отображение Тема 2-17: Сопряженное отображение А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Тема 2-18: Нормальные операторы

Тема 2-18: Нормальные операторы Тема 2-18: Нормальные операторы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства Раздел электронного учебника для сопровождения

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства

Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства Раздел электронного учебника для сопровождения

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

a 1, a 2,..., a m, m 1, x 1 a 1 + x 2 a x m a m

a 1, a 2,..., a m, m 1, x 1 a 1 + x 2 a x m a m ГЛАВА 8. ПОДПРОСТРАНСТВА 1 1. СУММА И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОДПРОСТРАНСТВ Множество L векторов линейного пространства X называется подпространством, если из того, что x, y L вытекает, что αx + βy L при любых комплексных

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Тема 2-5: Ранг матрицы

Тема 2-5: Ранг матрицы Тема 2-5: Ранг матрицы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр) В

Подробнее

23. Базис векторного пространства

23. Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Подробнее

Тема 2-20: Аффинные пространства

Тема 2-20: Аффинные пространства Тема 2-20: Аффинные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

Тема 2-7: Линейные отображения

Тема 2-7: Линейные отображения Тема 2-7: Линейные отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений 28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Размерность

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Тема 2-10: Характеристический многочлен. Инвариантные подпространства

Тема 2-10: Характеристический многочлен. Инвариантные подпространства Тема 2-10: Характеристический многочлен. Инвариантные подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики

Подробнее

Тема: Линейное пространство R n

Тема: Линейное пространство R n Тема: Линейное пространство R n А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной

Подробнее

Лекция 3: Скалярное произведение векторов

Лекция 3: Скалярное произведение векторов Лекция 3: Скалярное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции вводится

Подробнее

Контрольная работа по алгебре 2 Вариант матрицы операторов A и A в базисе f 1 = (1, 1, 0), f 2 = (1, 1, 0), f 3 = (0, 0, 1).

Контрольная работа по алгебре 2 Вариант матрицы операторов A и A в базисе f 1 = (1, 1, 0), f 2 = (1, 1, 0), f 3 = (0, 0, 1). Вариант 1 1. В ортонормированном базисе матрица оператора A имеет вид A = 1 0 1 2 1 3 0. Напишите матрицы операторов A и A в базисе f 1 = (1, 1, 0), f 2 = (1, 1, 0), f 3 = (0, 0, 2. Используя процесс ортогонализации,

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора

Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Высший колледж информатики. А.Д.

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Высший колледж информатики. А.Д. ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Высший колледж информатики А.Д.Больбот Задачи по алгебре Часть 2 Последнее изменение: 5 мая

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

Тема 2-12: Нильпотентные операторы

Тема 2-12: Нильпотентные операторы Тема 2-12: Нильпотентные операторы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

11. Скалярное произведение векторов

11. Скалярное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение скалярного произведения векторов Материал этого параграфа, как и предыдущего,

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Глава ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса Система, состоящая из m линейных уравнений с n неизвестными или, как будем дальше говорить,

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Тема : Действия над линейными отображениями

Тема : Действия над линейными отображениями Тема : Действия над линейными отображениями А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (решебник) Ростов-на-Дону 008 Рецензенты: кандидат

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности. Направление

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену. 1.Векторная алгебра. Матрицы. Обратная матрица. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ-14-06. Вопросы к экзамену. 1. Определение вектора. Равенство векторов. Свободные вектора. Линейные

Подробнее

Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр

Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр М.Ф. Насрутдинов 19 ноября 2010 г. Оглавление 1 Линейные векторные пространства 5 1.1 Векторные пространства. Определение и примеры........... 5 1.1.1

Подробнее

Тема 2-1: Линейные пространства

Тема 2-1: Линейные пространства Тема 2-1: Линейные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

12. Линейные операторы на векторных пространствах (продолжение)

12. Линейные операторы на векторных пространствах (продолжение) 12. Линейные операторы на векторных пространствах (продолжение) Единственность жордановой нормальной формы F алгебраически замкнутое поле Теорема 9. τ Пусть A M n (F), A J и A J где J, J жордановы матрицы.

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

14. Евклидовы пространства

14. Евклидовы пространства 9 4 Евклидовы пространства Большое многообразие фактов которыми так богата геометрия в значительной степени объясняется возможностью измерять длины отрезков и углы между прямыми В абстрактном линейном

Подробнее

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство. 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x)

Подробнее

Q n (z) = b 0 + b 1 z + + b n z n

Q n (z) = b 0 + b 1 z + + b n z n Е.М. Карчевский, И.Л. Александрова, К.Н. Стехина Семинары по линейной алгебре и аналитической геометрии Часть 2 Учебное пособие Казанский университет 2015 Оглавление Предисловие...................................

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

9. Крамеровские системы линейных уравнений

9. Крамеровские системы линейных уравнений 9. Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение крамеровской системы Определение

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ

Подробнее

Лекция 4: Векторное произведение векторов

Лекция 4: Векторное произведение векторов Лекция 4: Векторное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой и следующей

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

Государственный университет- Высшая школа экономики

Государственный университет- Высшая школа экономики Министерство экономического развития и торговли Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации Государственный университет- Высшая школа экономики Факультет Мировая Экономика Программа

Подробнее

MATRICES AND SYSTEMS OF LINEAR EQUATIONS

MATRICES AND SYSTEMS OF LINEAR EQUATIONS МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В. А. БРУСИН Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет MATRICES AND SYSTEMS OF LINEAR EQUATIONS V. A. BRUSIN The paper is a continuation of

Подробнее

7. Понятие линейного пространства

7. Понятие линейного пространства 7 Понятие линейного пространства 1 Определение и примеры Пусть L некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на действительные числа (например, множество матриц одинакового размера,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

Линейные преобразования унитарных и евклидовых пространств

Линейные преобразования унитарных и евклидовых пространств Глава 15 Линейные преобразования унитарных и евклидовых пространств 151 Сопряженные преобразования Рассмотрим линейное преобразование ϕ унитарного или евклидова пространства V Отображение V V называется

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких переменных

Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких переменных Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких переменных А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра

Подробнее

Математико - механический факультет. Кафедра алгебры и дискретной математики. Алгебра и геометрия. Программа дисциплины (Стандарт ЕН.Ф.01.

Математико - механический факультет. Кафедра алгебры и дискретной математики. Алгебра и геометрия. Программа дисциплины (Стандарт ЕН.Ф.01. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А.М. Горького» Математико - механический

Подробнее

Лекция 12: Ранг матрицы

Лекция 12: Ранг матрицы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование),

Подробнее

ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической

Подробнее

Планы семинарских занятий по линейной алгебре для студентов физико-химического факультета МГУ. Занятие 1.

Планы семинарских занятий по линейной алгебре для студентов физико-химического факультета МГУ. Занятие 1. Планы семинарских занятий по линейной алгебре для студентов физико-химического факультета МГУ. Занятие 1. Комплексные числа и действия с ними. 1. Сказать несколько вводных слов о матрице, как основном

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Б.В. Заятуев

МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Б.В. Заятуев МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В пособии изложены необходимые теоретические сведения из линейной алгебры и многомерной геометрии базовые примеры с подробными решениями и задачи для самостоятельного

Подробнее

Линейная алгебра: учебно-методический материал для подготовки к зачету

Линейная алгебра: учебно-методический материал для подготовки к зачету Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Финансовая академия при правительстве Российской Федерации (ФИНАКАДЕМИЯ) Кафедра «Математика» ОБСУЖДЕНО Протокол

Подробнее

АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления Прикладная математика и информатика.

АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления Прикладная математика и информатика. АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления 01.03.02 Прикладная математика и информатика. 1. Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины Алгебра и аналитическая

Подробнее

Вопросы, входящие в состав экзаменационных билетов по линейной алгебре, II, III потоки

Вопросы, входящие в состав экзаменационных билетов по линейной алгебре, II, III потоки Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Физический факультет. Кафедра математики Внимание! Все утверждения необходимо доказывать Вопросы, входящие в состав экзаменационных билетов по

Подробнее

Тема 1-5: Системы линейных уравнений

Тема 1-5: Системы линейных уравнений Тема 1-5: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Тема 1-2: Элементы комбинаторики

Тема 1-2: Элементы комбинаторики Тема 1-2: Элементы комбинаторики А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену. Линейная алгебра и аналитическая геометрия Группа АМ-12-06 Вопросы к экзамену 1Векторная алгебра 1 Определение вектора Равенство векторов Свободные вектора Линейные операции над векторами и их свойства

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. З. Ильязова

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

R. Геометрический смысл

R. Геометрический смысл Рабочий учебно-тематический план изучения дисциплины «Линейная алгебра» для профиля «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 1 триместр, лектор -- профессор, д.ф.м.н. Тищенко А.В. Наименовани е Содержание

Подробнее

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической

Подробнее

Тема 1-4: Алгебраические операции

Тема 1-4: Алгебраические операции Тема 1-4: Алгебраические операции А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Тема 1-8: Комплексные числа

Тема 1-8: Комплексные числа Тема 1-8: Комплексные числа А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр)

Подробнее

13. Смешанное произведение векторов

13. Смешанное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение смешанного произведения Определение Смешанным произведением векторов a, b

Подробнее