Тема 2-4: Подпространства

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Тема 2-4: Подпространства"

Транскрипт

1 Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

2 Понятие подпространства Пусть V линейное пространство над полем F. Определение Подмножество U V называется подпространством пространства V, если U является линейным пространством относительно операций сложения и умножения на скаляр, определенных в V. Это в частности означает, что U, U замкнуто относительно сложения векторов ( x, y U x + y U) и U замкнуто относительно умножения векторов на любые скаляры ( x U λ F λx U). Отсюда непосредственно следует Лемма Если векторы a 1,..., a k принадлежат подпространству U, то a 1,..., a k U.

3 Необходимые и достаточные условия для подмножества быть подпространством Предложение Подмножество U линейного пространства V является подпространством тогда и только тогда, когда U, U замкнуто относительно сложения векторов и U замкнуто относительно умножения векторов на любые скаляры. Доказательство. Если U является подпространством, то требуемые условия выполняются, как отмечено на сл.2. Пусть U непустое подмножество линейного пространства V, замкнутое относительно сложения векторов и относительно умножения векторов на любые скаляры. Убедимся, что для множества U и поля F выполняются все аксиомы сл.3 т.2-1. Аксиомы 1 и 6 выполняются, так как на U определены операции пространства V. Аксиомы 2 3 и 7 10 выполняются, так как они выполняются в множестве V, содержащем U. Множество U содержит некоторый вектор x и потому содержит вектор 0 V = 0 x, так что аксиома 4 также выполняется. Поскольку для любого x U вектор x = ( 1) x U, аксиома 5 выполняется. Следовательно, для U и поля F выполняются все аксиомы сл.3 т.2-1, т.е. U является линейным пространством.

4 Примеры подпространств 1 Тривиальные подпространства В любом линейном пространстве V подпространствами являются само V и {0 V }, называемые тривиальными подпространствами. Подпространства пространства геометрических векторов В линейном пространстве V g подпространствами являются { 0}, V l, где l любая прямая, V π, где π любая плоскость, и само пространство V g. То, что V l и V π являются линейными пространствами, отмечено на сл.4 т.2-1. Линейная оболочка Пусть (a 1,..., a k ) система векторов линейного пространства V. Тогда ее линейная оболочка a 1,..., a k является подпространством в V. Очевидно, что линейная оболочка любой системы векторов удовлетворяет всем условиям предложения сл.3. Поэтому линейную оболочку a 1,..., a k называют подпространством, порожденным системой векторов (a 1,..., a k ). Говорят также, что система векторов (a 1,..., a k ) порождает подпространство a 1,..., a k.

5 Примеры подпространств 2 Система линейных уравнений называется однородной, если свободные члены во всех уравнениях равны нулю. Пространство решений однородной системы линейных уравнений Множество всех частных решений однородной системы линейных уравнений с коэффициентами из поля F α 11x 1 + α 12x α 1nx n = 0; α 21x 1 + α 22x α 2nx n = 0;... α k1 x 1 + α k2 x α kn x n = 0 является подпространством арифметического пространства F n. Для доказательства запишем систему в матричном виде Ax = O, где A = (α ij ) k n, x = (x 1,..., x n) столбец неизвестных, O нулевой столбец свободных членов. Тогда множество ее частных решений U = {c F n Ac = O} содержит нулевую строку и замкнуто относительно сложения строк и умножения строки на любой скаляр: если c, d U, то A(c + d) = A(c + d ) = Ac + Ad = O + O = O и если λ F, то A(λc) = A(λc ) = λ(ac ) = λo = O. Согласно предложению сл.3 U является подпространством.

6 Подпространства конечномерных пространств Теорема Пусть V линейное пространство размерности n 0 над полем F. Тогда для любого подпространства U V, dimu = k n и если k = n, то U = V. Доказательство. Если U = {0 V }, то dimu = 0. Если dimv = 0, то V = {0 V } = U. Пусть a 1 U, a 1 0 V. Тогда a 1 U в силу леммы сл.2. Если a 1 = U, то dimu = 1. В противном случае существует a 2 U\ a 1. Снова по лемме сл.2 имеем a 1, a 2 U. Так как a 2 a 1, система (a 1, a 2) линейно независима в силу свойства 3 сл.7 т.2-2. Если U = a 1, a 2, то система (a 1, a 2) является базисом U и dimu = 2. В противном случае существует a 3 U\ a 1, a 2. Процесс нахождения векторов a j не может иметь более, чем n шагов, так как в пространстве V любая система из более чем n векторов линейно зависима согласно утверждению 1 теоремы сл.6 т.2-3. Завершиться указанный процесс может только равенством U = a 1, a 2,..., a k для некоторой линейно независимой системы (a 1, a 2,..., a k ). Поэтому dimu = k и очевидно, что k n. Если k = n, то согласно утверждению 2 теоремы сл.6 т.2-3 система (a 1, a 2,..., a k ) является базисом пространства V. Следовательно, U = a 1, a 2,..., a k = V и U = V.

7 Характеризация подпространств конечномерных линейных пространств В силу теоремы предыдущего слайда имеет место следующая Теорема Все подпространства конечномерного линейного пространства исчерпываются линейными оболочками всевозможных систем векторов этого пространства. В силу этого подпространства часто задаются как линейные оболочки систем векторов. Если порождающая система подпространства линейно независима, то она является базисом этого подпространства. В противном случае из порождающей системы можно выделить базис, используя алгоритм сл.13 т.2-2 получения максимальной линейно независимой подсистемы данной (порождающей) системы векторов. Другой способ нахождения базиса подпространства по координатам векторов порождающей его системы состоит в том, что из строк координат составляется матрица и с помощью элементарных преобразований строк эта матрица приводится к ступенчатому по строкам виду. Ненулевые строки последней матрицы дают координаты базисных векторов подпространства.

8 Пример нахождения базиса подпространства первый способ Пусть U Q 5, U = a 1, a 2, a 3, a 4, где a 1 = (1, 2, 3, 4, 5), a 2 = (2, 3, 4, 5, 6), a 3 = (3, 4, 5, 6, 7), a 4 = (9, 8, 7, 6, 5). Найти какой-нибудь базис и определить размерность подпространства U. Применяем алгоритм сл.13 т.2-2 к системе векторов (a 1, a 2, a 3, a 4): ( ) Заключаем, что система векторов (a , a 2) является максимальной линейно независимой подсистемой в системе векторов (a 1, a 2, a 3, a 4). Следовательно, базисом подпространства U является система векторов (a 1, a 2) и dimu = 2.

9 Пример нахождения базиса подпространства второй способ Найдем базис подпространства U сл.8 вторым способом. Составим из строк a 1, a 2, a 3, a 4 матрицу и приведем ее к ступенчатому виду Таким образом, в качестве базиса U можно взять систему векторов (1, 2, 3, 4, 5), (0, 1, 2, 3, 4).

10 Сумма двух подпространств Определение Суммой подпространств U 1 и U 2 линейного пространства V над полем F называется множество векторов {x 1 + x 2 x 1 U 1, x 2 U 2}, обозначаемое через U 1 + U 2. Предложение Сумма двух подпространств U 1 и U 2 является подпространством, содержащим как U 1, так и U 2. Если U 1 = a 1, a 2,..., a k и U 2 = b 1, b 2,..., b m, то U 1 + U 2 = a 1, a 2,..., a k, b 1, b 2,..., b m. Доказательство. Тот факт, что U 1 + U 2 является подпространством, сразу следует из предложения сл.3. Так как 0 V U 1 U 2, для любого x U 1 имеем x = x + 0 V U 1 + U 2, откуда следует, что U 1 U 1 + U 2. Аналогично проверяется, что U 2 U 1 + U 2. Пусть U 1 = a 1, a 2,..., a k и U 2 = b 1, b 2,..., b m. Тогда a 1, a 2,..., a k, b 1, b 2,..., b m U 1 + U 2 и по лемме сл.2 a 1, a 2,..., a k, b 1, b 2,..., b m U 1 + U 2. Пусть x U 1 + U 2. Тогда x = x 1 + x 2, где x j U j, j = 1, 2, т.е. x 1 = k i=1 λ i a i, x 2 = m j=1 µ jb j и x = k i=1 λ i a i + m j=1 µ jb j a 1, a 2,..., a k, b 1, b 2,..., b m. Таким образом, U 1 + U 2 a 1, a 2,..., a k, b 1, b 2,..., b m и U 1 + U 2 = a 1, a 2,..., a k, b 1, b 2,..., b m.

11 Сумма конечного семейства подпространств Определение Суммой конечного семейства подпространств U 1, U 2,..., U m линейного пространства V над полем F называется множество векторов {x 1 + x x m x j U j, j = 1, 2,..., m}, обозначаемое через U 1 + U U m или m i=1 U j. По аналогии с предложением сл.10 можно доказать и следующее Предложение Сумма подпространств U 1, U 2,..., U m является подпространством, содержащим каждое слагаемое U j, j = 1, 2,..., m. Если U j = a j1, a j2,..., a jkj, то m j=1 U j = a j1, a j2,..., a jkj j = 1, 2,..., m. Очевидно, что m i=1 U i = ( j J U j) + ( l L U l) для любых множеств индексов J, L таких что J L = {1,..., m}.

12 Пересечение подпространств Определение Пересечением подпространств U 1 и U 2 линейного пространства V над полем F называется множество U 1 U 2 (т.е. пересечение множеств U 1 и U 2). Из предложения сл.3 сразу получаем, что пересечение подпространств является подпространством. В частности, пересечение любых подпространств содержит нулевой вектор и потому не может быть пустым множеством. Следующее утверждение вытекает из предложения сл.10. Наблюдение Если для подпространств U 1 и U 2 имеет место U 1 U 2, то U 1 + U 2 = U 2 и U 1 U 2 = U 1. Наряду с пересечением двух подпространств можно рассматривать и пересечение любого конечного семейства подпространств. Оно также будет подпространством.

13 Связь размерностей суммы и пересечения двух подпространств Теорема Пусть U 1 и U 2 конечномерные подпространства линейного пространства V над полем F. Тогда dim(u 1 + U 2) + dim(u 1 U 2) = dimu 1 + dimu 2. Доказательство. Если U 1 U 2 или U 2 U 1, то требуемое непосредственно вытекает из наблюдения сл.12. Будем предполагать, что U 1 U 2 и U 2 U 1, т.е. U 1 U 2 U 1 и U 1 U 2 U 2. Покажем, что dim(u 1 + U 2) = dimu 1 + dimu 2 dim(u 1 U 2). Для этого построим базис в подпространстве U 1 + U 2 следующим образом. Выберем базис (a 1,..., a k ) в подпространстве U 1 U 2, если это подпространство ненулевое; в противном случае считаем, что k = 0. Дополним этот базис до базиса U 1 векторами b 1,..., b m и до базиса U 2 векторами c 1,..., c n. Тогда dim(u 1 U 2) = k, dimu 1 = k + m и dimu 2 = k + n, т.е. dimu 1 + dimu 2 dim(u 1 U 2) = k + m + n. Докажем, что dim(u 1 + U 2) = k + m + n, этим теорема будет доказана. Убедимся, что система (a 1,..., a k, b 1,..., b m, c 1,..., c n) является базисом в U 1 + U 2. Так как U 1 = a 1,..., a k, b 1,..., b m и U 2 = a 1,..., a k, c 1,..., c n, в силу предложения сл.10 имеем U 1 + U 2 = a 1,..., a k, b 1,..., b m, a 1,..., a k, c 1,..., c n = a 1,..., a k, b 1,..., b m, c 1,..., c n. Окончание доказательства на следующем слайде.

14 Окончание доказательства теоремы о размерности суммы и пересечения подпространств Остается доказать линейную независимость системы векторов (a 1,..., a k, b 1,..., b m, c 1,..., c n). Предположим, что для некоторых скаляров λ 1,..., λ k, µ 1,..., µ m, ν 1,..., ν n F имеет место равенство λ 1a λ k a k + µ 1b µ mb m + ν 1c ν nc n = 0 V. Перенося слагаемые ν 1c ν nc n в правую часть, получим равенство λ 1a λ k a k + µ 1b µ mb m = ν 1c 1... ν nc n. (1) В последнем равенстве левая часть содержится в подпространстве U 1, а правая в подпространстве U 2. Следовательно, вектор x = λ 1a λ k a k + µ 1b µ mb m содержится в U 1 U 2. Если U 1 U 2 = {0 V }, т.е. k = 0, то x = 0 V и из равенства µ 1b µ mb m = 0 V получаем µ j = 0, j = 1,..., m, а из равенства ν 1c 1... ν nc n = 0 V что ν j = 0, j = 1,..., n, и потому система (b 1,..., b m, c 1,..., c n) линейно независима. Пусть k > 0. Тогда x = ξ 1a ξ k a k. Из (1) в силу единственности разложения вектора по базису (в U 1 и U 2) получаем λ i = ξ i, i = 1,..., k, µ j = 0, j = 1,..., m и ν j = 0, j = 1,..., n. Подставив последние значения в (1), получим λ 1a λ k a k = 0 V, откуда λ i = 0, i = 1,..., k. Линейная независимость системы векторов (a 1,..., a k, b 1,..., b m, c 1,..., c n) доказана. Доказательство теоремы сл.13 закончено.

15 Алгоритм нахождения базисов суммы и пересечения подпространств Пусть подпространства U 1 и U 2 линейного пространства V над полем F заданы своими базисами (a 1,..., a k ) и (b 1,..., b m), причем известны столбцы координат всех указанных векторов в некотором базисе пространства V. Чтобы найти базис подпространства U 1 + U 2, выделяем максимальную линейно независимую подсистему из системы векторов (a 1,..., a k, b 1,..., b m), которая порождает U 1 + U 2. Это делается с помощью алгоритма сл.14 т.2-2. Количество векторов, не вошедших с эту систему, равно k + m dim(u 1 + U 2) = dimu 1 + dimu 2 dim(u 1 U 2) = = dim(u 1 U 2). Можно считать, что базис подпространства U 1 + U 2 получен путем дополнения векторов из базиса (a 1,..., a k ) подпространства U 1 некоторыми векторами из базиса (b 1,..., b m) подпространства U 2. Записывая разложение векторов системы (b 1,..., b m), не вошедших в полученный базис подпространства U 1 + U 2, по этому базису, и перенося все слагаемые, содержащие векторы базиса (a 1,..., a k ) в одну часть, а слагаемые, содержащие векторы базиса (b 1,..., b m) в другую, мы получим векторы из U 1 U 2, которые можно взять в качестве базиса этого подпространства.

16 Обоснование алгоритма Убедимся, что в алгоритме получается действительно базис подпространства U 1 U 2. Пусть (a 1,..., a k, b 1,..., b p) базис U 1 + U 2 и b j = λ j1 a λ jk a k + µ j1 b µ jp b p при j = p + 1,..., m для некоторых скаляров λ j1,..., λ jk, µ j1,..., µ jp. Перенося µ j1 b µ jp b p в левую часть, получаем b j µ j1 b 1... µ jp b p = λ j1 a λ jk a k. Левая часть этого равенства принадлежит U 2, а правая часть U 1, поэтому векторы c j = b j µ j1 b 1... µ jp b p (j = p + 1,..., m) принадлежат U 1 U 2. Покажем, что эти векторы образуют линейно независимую систему. Пусть γ p+1c p γ mc m = 0 V. Подставив вместо c j их выражения, получим γ p+1(b p+1 µ p+1,1b 1... µ p+1,pb p)+...+γ m(b m µ m1b 1... µ mpb p) = 0 V, откуда α 1b α pb p + γ p+1b p γ mb m = 0 V (здесь при j = 1,..., p α j = m i=p+1 γ i µ ij ). Так как система (b 1,..., b m) линейно независима, имеем γ p+1 = 0,..., γ m = 0. Таким образом, система (c p+1,..., c m) линейно независима. Так как количество векторов в этой системе равно dim(u 1 U 2), она является базисом подпространства U 1 U 2 в силу утверждения 2 теоремы сл.6 т.2-3.

17 Пример нахождения базиса суммы и пересечения подпространств Найти базисы суммы и пересечения подпространств U 1 = a 1, a 2, a 3, U 2 = b 1, b 2, где a 1 = (1, 2, 3, 4, 5), a 2 = (2, 3, 4, 5, 6), a 3 = (3, 4, 5, 7, 6), b 1 = (2, 3, 4, 3, 2), b 2 = (3, 4, 5, 4, 3) Следовательно, система (a 1, a 2, a 3, b 1) линейно независима и b 2 = a 1 + a 2 + b 1. Таким образом, (a 1, a 2, a 3, b 1) базис U 1 + U 2. Имеем c = b 2 b 1 = a 1 + a 2, c U 1 U 2 и c = (1, 1, 1, 1, 1) базис U 1 U 2.

18 Прямая сумма двух подпространств Определение Сумма подпространств U 1 и U 2 называется прямой, если для любого вектора x U 1 + U 2 существуют единственные векторы x 1 U 1 и x 2 U 2 такие что x = x 1 + x 2. Тот факт, что сумма подпространств U 1 и U 2 является прямой, обозначается так: U 1 U 2. Примеры. 1. В пространстве геометрических векторов V π = V l1 V l2, где прямые l 1 и l 2 пересекаются, а плоскость π проходит через эти прямые. 2. В пространстве геометрических векторов V g = V π V l, где π плоскость, а l любая прямая, пересекающая плоскость π.

19 Характеризация прямой суммы Теорема Следующие условия для подпространств U 1 и U 2 эквивалентны: 1 U 1 U 2 = {0 V }; 2 dim(u 1 + U 2) = dimu 1 + dimu 2; 3 сумма подпространств U 1 и U 2 является прямой. Доказательство. Из теоремы сл.13 следует, что dim(u 1 + U 2) = dimu 1 + dimu 2 dim(u 1 U 2) = 0. Так как для любого подпространства U имеет место U = {0 V } dimu = 0, заключаем, что 1 2. Покажем, что 1 3. Пусть x 1 + x 2 = y 1 + y 2, где x 1, y 1 U 1, x 2, y 2 U 2. Тогда x 1 y 1 = y 2 x 2. Так как левая часть этого равенства принадлежит подпространству U 1, а правая часть подпространству U 2, вектор z = x 1 y 1 U 1 U 2, откуда z = 0 V и x 1 = y 1, x 2 = y 2. Таким образом, сумма подпространств U 1 и U 2 является прямой. Покажем, что 3 1. Пусть z U 1 U 2. Тогда z + 0 V = 0 V + z. Так как сумма подпространств U 1 и U 2 является прямой, имеем z = 0 V и U 1 U 2 = {0 V }. Теорема доказана.

20 Прямое дополнение Теорема Пусть V линейное пространство размерности n над полем F и U его подпространство. Тогда существует такое подпространство W V, что V = U W. Доказательство. Если U = {0 V }, то положим W = V. В силу утверждения 1 теоремы сл.19 имеем V = {0 V } V. Если U = V, то положим W = {0 V }. Пусть {0 V } U V. Выберем базис (a 1,..., a k ) в подпространстве U и дополним его векторами (b k+1,..., b n) до базиса пространства V. Положим W = b k+1,..., b n. Из предложения сл.11 следует, что U + W = a 1,..., a k, b k+1,..., b n = V. Так как dimv = n, dimu = k и dimw = n k, по теореме сл.19 получаем V = U W. Подпространство W называется прямым дополнением подпространства U в линейном пространстве V, если V = U W.

21 Проекция вектора на подпространство Пусть линейное пространство V = U W разлагается в прямую сумму подпространств U V и W V. Для вектора x V существует единственный вектор y U и единственный вектор z W такие что x = y + z. Тогда вектор y называется проекцией вектора x на подпространство U параллельно подпространству W. Составим базис пространства V из базисов (a 1,..., a k ) подпространства U и (b k+1,..., b n) подпространства W. Разложим вектор x по этому базису: x = λ 1a λ k a k + λ k+1 b k λ nb n. Тогда проекция x на подпространство U параллельно подпространству W есть y = λ 1a λ k a k. Очевидно, что проекция суммы векторов равна сумме проекций и проекция произведения вектора на скаляр равна произведению проекции вектора на этот скаляр.

22 Прямая сумма нескольких подпространств Определение Сумма подпространств U 1,..., U m линейного пространства V размерности n над полем F называется прямой, если для любого вектора x m i=1 U i существуют единственные векторы x j U j (j = 1,..., m) такие что x = x x m. Тот факт, что сумма подпространств m i=1 U i является прямой, обозначается одним из трех способов: m i=1 U i, m i=1u i или U 1... U m. Пример. Пусть (b 1,..., b n) базис линейного пространства V. Тогда V = b 1... b n. То, что сумма является прямой, следует из единственности разложения вектора по базису.

23 Характеризация прямой суммы нескольких подпространств Теорема Следующие условия для подпространств U 1,..., U m эквивалентны: 1 U j i j U i = {0 V } для j = 1,..., m; 2 dim( m i=1 U i ) = m i=1 dimu i ; 3 сумма подпространств U 1,..., U m является прямой. Доказательство. 1 2 Используем индукцию по m. При m = 2 требуемое следует из теоремы сл.19. Пусть утверждение доказано для всех 2 k < m. Так как U 1 m i=2 U i = {0 V }, по теореме сл.19 имеем dim(u 1 + m i=2 U i ) = dimu 1 + dim( m i=2 U i ). Так как для всех j = 2,..., m имеет место U j i j U i = {0 V }, по предположению индукции имеем dim( m i=2 U i ) = m i=2 dimu i. Таким образом, dim( m i=1 U i ) = m i=1 dimu i. 2 1 Из равенства dim( m i=1 U i ) = m i=1 dimu i следует dim( i j U i ) = i j dimu i, поскольку согласно предложению сл.11 для любых подпространств имеем dim( p i=1 W i ) p i=1 dimw i. Следовательно, dimu j + dim i j U i = dim(u j + i j U i ), откуда условие 1 вытекает в силу теоремы сл.19. Окончание доказательства на следующем слайде

24 Окончание доказательства теоремы сл Предположим, что x = x x m и x = x x m для некоторых x j, x j U j (j = 1,..., m). Тогда из равенства x x m = x x m получаем x j x j = i j (x i x i ) для j = 1,..., m, откуда x j x j U j i j U i и x j x j = 0 V, т.е. x j = x j. Таким образом, условие 3 выполняется. 3 1 Пусть x j U j i j U i, т.е. x j = i j x i, где x i U i (i = 1,..., m). Тогда имеет место равенство m i=1 y i = m i=1 z i {, где xi, если i j; y i = и z x j, если i = j. i = 0 V для всех i = 1,..., m. Из условия 3 следует, что y i = z i для всех i = 1,..., m, т.е. x j = 0 V и U j i j U i = {0 V }. Теорема полностью доказана. Следствие Если V = U 1... U m, то V = ( i I U i ) ( j J U j) для любых множеств индексов I, J таких что I J = {1,..., m} и I J =. Из условия V = U 1... U m следует V = ( i I U i ) + ( j J U j) а также dimv = m i=1 dimu i = i I dimu i + j J dimu j. Из этого с учетом теоремы сл.19 вытекает утверждение следствия.

25 Конструкция внешней прямой суммы Понятие прямой суммы подпространств, определенное на сл.22, называют еще внутренней прямой суммой. Построим внешнюю прямую сумму линейных пространств V 1,..., V m над полем F. Положим U = V 1... V m декартово произведение множеств V 1,..., V m (определение см. на сл.18 т.1-1). Определим операцию сложения на множестве U. Пусть x = (x 1,..., x m), y = (y 1,..., y m) элементы из U (x j, y j V j, j = 1,..., m). Положим x + y = (x 1 + y 1,..., x m + y m). Определим умножение вектора из U на скаляр: λ F положим λx = (λx 1,..., λx m). Предложение Множество U с определенными только что операциями сложения и умножения на скаляр является линейным пространством над полем F. Доказательство. Проверим справедливость аксиом 1 10 сл.3 т.2-1. Так как сложение векторов и умножение вектора на скаляр для U определены, заключаем, что аксиомы 1 и 6 выполняются. Проверим аксиому 2. Пусть x = (x 1,..., x m), y = (y 1,..., y m) элементы из U (x j, y j V j, j = 1,..., m). Имеем x + y = (x 1 + y 1,..., x m + y m) = = (y 1 + x 1,..., y m + x m) = y + x, т.е. x + y = y + x и аксиома 2 выполняется. Аналогично проверяется аксиома 3. Окончание доказательства на следующем слайде.

26 Окончание показательства предложения сл.25 Так как (x 1,..., x m) + (0 V1,..., 0 Vm ) = (x 1,..., x m), ясно, что 0 U = (0 V1,..., 0 Vm ) нулевой вектор пространства U, поэтому аксиома 4 выполняется. Для вектора x = (x 1,..., x m) вектор ( x 1,..., x m) обладает свойством x + ( x 1,..., x m) = 0 U, поэтому аксиома 5 также выполняется. Проверим аксиому 7. Пусть x = (x 1,..., x m), y = (y 1,..., y m) элементы из U (x j, y j V j, j = 1,..., m) и λ F. Имеем λ(x + y) = λ(x 1 + y 1,..., x m + y m) = (λ(x 1 + y 1),..., λ(x m + y m)) = (λx 1 + λy 1,..., λx m + λy m)) = (λx 1,..., λx m) + (λy 1,..., λy m) = λ(x 1,..., x m) + λ(y 1,..., y m) = λx + λy, т.е. λ(x + y) = λx + λy, и аксиома 7 выполняется. Аксиомы 8 10 проверяются аналогично. Предложение доказано. Определение Линейное пространство U = V 1... V m называется внешней прямой суммой линейных пространств V 1,..., V m над полем F. Обычно внешняя прямая сумма обозначается так же, как внутренняя: U = V 1... V m.

27 Связь внешней прямой суммы с внутренней Основания для использования обозначения V 1... V m для внешней прямой суммы имеются. Обозначим через U j подмножество множества U = V 1... V m вида {(0 V1,..., x j,..., 0 Vm ) x j V j }, состоящее из всех кортежей, имеющих на j-месте любой элемент пространства V j, а на остальных местах нули соответствующих линейных пространств. Очевидно, что U j является подпространством линейного пространства U. Легко проверить, что отображение x j (0 V1,..., x j,..., 0 Vm ) является изоморфизмом линейного пространства V j на подпространство U j. Очевидно также, что U j i j U i = {0 U } для j = 1,..., m. Из теоремы сл.23 вытекает следующее Предложение Линейное пространство U является внутренней прямой суммой подпространств U 1,..., U m.

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Тема 2-15: Ортогональность

Тема 2-15: Ортогональность Тема 2-15: Ортогональность А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Тема 2-20: Аффинные пространства

Тема 2-20: Аффинные пространства Тема 2-20: Аффинные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

Тема 2-7: Линейные отображения

Тема 2-7: Линейные отображения Тема 2-7: Линейные отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Тема 2-5: Ранг матрицы

Тема 2-5: Ранг матрицы Тема 2-5: Ранг матрицы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр) В

Подробнее

Тема 2-17: Сопряженное отображение

Тема 2-17: Сопряженное отображение Тема 2-17: Сопряженное отображение А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

Тема: Линейное пространство R n

Тема: Линейное пространство R n Тема: Линейное пространство R n А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

23. Базис векторного пространства

23. Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Тема 2-1: Линейные пространства

Тема 2-1: Линейные пространства Тема 2-1: Линейные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Тема : Действия над линейными отображениями

Тема : Действия над линейными отображениями Тема : Действия над линейными отображениями А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора

Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

7. Понятие линейного пространства

7. Понятие линейного пространства 7 Понятие линейного пространства 1 Определение и примеры Пусть L некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на действительные числа (например, множество матриц одинакового размера,

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

Лекция 18: Ортонормированный базис

Лекция 18: Ортонормированный базис Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Ортогональные и ортонормированные наборы векторов Из определения угла между векторами

Подробнее

Тема 2-18: Нормальные операторы

Тема 2-18: Нормальные операторы Тема 2-18: Нормальные операторы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы.

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. Основные результаты Лекции 4. 1) Любое подпространство V k F n 2 размерности k задается некоторой системой из n k

Подробнее

Тема 1-5: Системы линейных уравнений

Тема 1-5: Системы линейных уравнений Тема 1-5: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Матрицы и определители (теория к задачам) 215 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 1º Линейным пространством называется множество элементов a, b,

Подробнее

Тема 1: Системы линейных уравнений

Тема 1: Системы линейных уравнений Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Лекция 14: Линейный оператор

Лекция 14: Линейный оператор Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к рассмотрению функций из векторного

Подробнее

Линейные пространства

Линейные пространства Глава 9 Линейные пространства 91 Аксиоматическое определение линейного пространства Пусть V непустое множество, F поле V называется линейным (или векторным) пространством над полем F, если I задано правило

Подробнее

Тема 1-2: Элементы комбинаторики

Тема 1-2: Элементы комбинаторики Тема 1-2: Элементы комбинаторики А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1

Подробнее

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ПГУ) О.В. Якунина МНОГОМЕРНАЯ

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Тема 2-12: Нильпотентные операторы

Тема 2-12: Нильпотентные операторы Тема 2-12: Нильпотентные операторы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

Тема 2-10: Характеристический многочлен. Инвариантные подпространства

Тема 2-10: Характеристический многочлен. Инвариантные подпространства Тема 2-10: Характеристический многочлен. Инвариантные подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики

Подробнее

Лекция IV. IV.1. Линейная зависимость векторов. α 1 a 1 +α 2 a α n a n.

Лекция IV. IV.1. Линейная зависимость векторов. α 1 a 1 +α 2 a α n a n. Лекция IV IV Линейная зависимость векторов Линейной комбинацией векторов a, a 2,, a n называется сумма произведений этих векторов на произвольные числа: α a +α 2 a 2 ++α n a n Линейная комбинация называется

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА

ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА ЛЕКЦИЯ 6 ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА РАНГ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ 1 ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

Подробнее

МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ

МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 7 РАНГ МАТРИЦЫ КРИТЕРИЙ СОВМЕСТНОСТИ МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ 1 РАНГ МАТРИЦЫ В векторном пространстве R m столбцов высоты m рассмотрим n векторов A (j) = [a 1j, a 2j,..., a mj ], j = 1, 2,..., n, и

Подробнее

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ Аксиомы линейного пространства Линейным векторным пространством называется множество V произвольных элементов, называемых векторами, в котором

Подробнее

Тема 1-4: Алгебраические операции

Тема 1-4: Алгебраические операции Тема 1-4: Алгебраические операции А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1

Подробнее

Лекция 12: Ранг матрицы

Лекция 12: Ранг матрицы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы

Подробнее

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство. 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x)

Подробнее

всевозможные решения заданной системы линейных однородных уравнений:

всевозможные решения заданной системы линейных однородных уравнений: . ЯДРО ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Ранее мы охарактеризовали подпространство конечномерного пространства как линейную оболочку. Но возможны и другие истолкования подпространства. Пусть, e, e2, K, en какой-либо

Подробнее

Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр

Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр М.Ф. Насрутдинов 19 ноября 2010 г. Оглавление 1 Линейные векторные пространства 5 1.1 Векторные пространства. Определение и примеры........... 5 1.1.1

Подробнее

Лекция 8. f(x) = 0 W = 0 y = 0 f(z) = f(0 z) = f(0 V ). Таким образом, в силу взаимной однозначности отображения f, получаем x = 0 V ; противоречие.

Лекция 8. f(x) = 0 W = 0 y = 0 f(z) = f(0 z) = f(0 V ). Таким образом, в силу взаимной однозначности отображения f, получаем x = 0 V ; противоречие. Лекция 8 1. ГОМОМОРФИЗМ И ИЗОМОРФИЗМ ЛП Пусть (V, K) (операции +, ) и (W, K) (операции, ) два ЛП над одним и тем же ЧП K. Отображение f : V W называется гомоморфизмом, если f(x + y) = f(x) f(y) x,y V,

Подробнее

10. Линейные операторы

10. Линейные операторы 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций

Подробнее

Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие

Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие Белгород, 2017 ББК 22.144 З 63 Печатается по решению редакционно-издательского совета НИУ «БелГУ» от

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

a 1, a 2,..., a m, m 1, x 1 a 1 + x 2 a x m a m

a 1, a 2,..., a m, m 1, x 1 a 1 + x 2 a x m a m ГЛАВА 8. ПОДПРОСТРАНСТВА 1 1. СУММА И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОДПРОСТРАНСТВ Множество L векторов линейного пространства X называется подпространством, если из того, что x, y L вытекает, что αx + βy L при любых комплексных

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

ГЛАВА 1. Проективная геометрия

ГЛАВА 1. Проективная геометрия ГЛАВА 1. Проективная геометрия 1.1. Проективное пространство Пусть дано (n + 1)-мерное векторное пространство V ( 6.1, часть I) и непустое множество P произвольной природы. Говорят, что множество P наделено

Подробнее

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений 28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Размерность

Подробнее

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора.

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора. Построение базисов в ядре и образе линейного оператора 1 Речь пойдёт о построении базисов в ядре и образе линейного оператора Будут рассмотрены два примера: первый пример с пояснениями; второй как образец

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

Лекция 7. . = [A 1,A 2,...,A n ], AX = B,

Лекция 7. . = [A 1,A 2,...,A n ], AX = B, Лекция 7 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Рассмотрим систему, состоящую из m линейных уравнений с n неизвестными: a x + a x + + a nx n = b, a x + a x + + a nx n = b, a m x + a m x + + a m n x n = b m Сокращенно

Подробнее

5. ПОНЯТИЕ AФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА. ПЛОСКОСТИ В АФ- ФИННОМ ПРОСТРАНСТВЕ. АФФИННЫЕ И ДЕЗАРГОВЫ ПЛОСКОСТИ

5. ПОНЯТИЕ AФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА. ПЛОСКОСТИ В АФ- ФИННОМ ПРОСТРАНСТВЕ. АФФИННЫЕ И ДЕЗАРГОВЫ ПЛОСКОСТИ 5 ПОНЯТИЕ AФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА ПЛОСКОСТИ В АФ- ФИННОМ ПРОСТРАНСТВЕ АФФИННЫЕ И ДЕЗАРГОВЫ ПЛОСКОСТИ Прежде чем продолжить наши рассмотрения, подведем некоторые итоги Напомним, что, пытаясь определить предмет

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств Раздел электронного учебника

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств

Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств Раздел электронного учебника

Подробнее

Кафедра «Информатика и прикладная математика» Методические рекомендации для самостоятельной работы обучающихся по дисциплине. Алгебра и геометрия

Кафедра «Информатика и прикладная математика» Методические рекомендации для самостоятельной работы обучающихся по дисциплине. Алгебра и геометрия ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Информатика и прикладная математика» Методические рекомендации

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

Задачи по линейной алгебре 1

Задачи по линейной алгебре 1 Задачи по линейной алгебре А. А. Гайфуллин, А. В. Пенской, С. В. Смирнов Компиляция: 9 августа г. c А. А. Гайфуллин, А. В. Пенской, С. В. Смирнов. Предварительная версия 4.4 Оглавление Линейные пространства

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Глава ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса Система, состоящая из m линейных уравнений с n неизвестными или, как будем дальше говорить,

Подробнее

или A (3) x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + +x 4 + x 5 = 0 x 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0

или A (3) x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + +x 4 + x 5 = 0 x 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 ЛЕКЦИЯ 6. Метод ГАУССА и ДВОЙСТВЕННЫЙ БАЗИС. В этой лекции мы опишем алгоритм решения систем линейных уравнений, позволяющий найти и двойственный базис для любого базиса пространства F n 2. В Лекциях 7

Подробнее

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение.

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение. Т е м а : «Л и н е й н а я з а в и с и м о с т ь с и с т е м ы в е к т о р о в» ( т и п о в ы е п р и м е р ы с р е ш е н и я м и ) Пример. Путем приведения элементарными преобразованиями исходной матрицы

Подробнее

ВНЕШНИЕ ФОРМЫ. О. В. Якунина. Учебное пособие

ВНЕШНИЕ ФОРМЫ. О. В. Якунина. Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ПГУ) О. В. Якунина ВНЕШНИЕ

Подробнее

Тема 3: Определители

Тема 3: Определители Тема 3: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров Начало

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины А. В. БУЗЛАНОВ, С. Ф. КАМОРНИКОВ, В. С. МОНАХОВ АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51 Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений Линейная алгебра (лекция 5) 06.10.2012 2 / 51 Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Линейная

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва ОВ

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств Раздел электронного учебника

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 2-е, испр. и доп.

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (решебник) Ростов-на-Дону 008 Рецензенты: кандидат

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Тема 2-21: Элементы тензорной алгебры

Тема 2-21: Элементы тензорной алгебры Тема 2-21: Элементы тензорной алгебры А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической

Подробнее

1 Билинейная и квадратичная формы.

1 Билинейная и квадратичная формы. 1 Билинейная и квадратичная формы. Пусть ϕ(x, y) числовая функция, заданная на линейном пространстве, то есть ϕ : L L R. Если ϕ(x, y) линейна по каждому из своих аргументов, то её называют билинейной формой.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Б.В. Заятуев

МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Б.В. Заятуев МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В пособии изложены необходимые теоретические сведения из линейной алгебры и многомерной геометрии базовые примеры с подробными решениями и задачи для самостоятельного

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. З. Ильязова

Подробнее

Тема: Линейные операторы

Тема: Линейные операторы Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Линейные операторы Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г. 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1. Определение линейного оператора Пусть L и V линейные пространства над F (где F

Подробнее

9. Крамеровские системы линейных уравнений

9. Крамеровские системы линейных уравнений 9. Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение крамеровской системы Определение

Подробнее

a a b b 1) Даны линейные подпространства U и W, порождённые системами векторов: Найти базисы подпространств U а) Базис подпространства U W.

a a b b 1) Даны линейные подпространства U и W, порождённые системами векторов: Найти базисы подпространств U а) Базис подпространства U W. и ) Даны линейные подпространства U и W, порождённые системами векторов: a ; ; 3; a a b b 3 ; ; ; ; ; ; ; ; ; 3; 3; ; Найти базисы подпространств U а) Базис подпространства U W. W и U W. Множество всех

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ

Подробнее

Линейные операторы. Ю. Б. Мельников. Раздел электронного учебника для сопровождения лекции. Екатеринбург 2012

Линейные операторы. Ю. Б. Мельников. Раздел электронного учебника для сопровождения лекции. Екатеринбург 2012 Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и доп. e-mail:

Подробнее