~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности."

Транскрипт

1 ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого можно составить функцию его порядкового номера. 3 4 гармонический ряд общий член Определение: Частичной суммой ряда называется сумма первых членов этого ряда. S ( N) Определение: уммой ряда называется предел его частичной суммы S lim S. Определение: Ряд называется сходящимся, если предел его любой частичной суммы существует и конечен. Определение: Ряд называется расходящимся, если предел его частичной суммы не существует или бесконечен.

2 ~ ~ Ряд составленный из членов геометрической прогрессии (РГП). i где - -ый член ряда, q- знаменатель. q, оставим частичную сумму: S q... q () Умножим левую и правую части () на q: qs q q q ().... ( q ) Вычитаем () из () S( q) ( q ) S q Например: Легенда: Изобретателю шахмат эмир пообещал любую награду. Изобретатель предложил эмиру на клетку шахматной доски положить зерно, на вторую клетку в раза больше и т.д q S64,8 Вычислим предел частичной суммы для исследования ряда на сходимость: lim S lim( q ) q -й случай: q, пусть q lim( ) q конечное число. q -й случай: q lim( q ) ряд расходится. q 3-й случай: q S... ; lim S lim ряд расходится. 4-й случай: q S S раз Предел от составленной частичной суммы не существует т.к. эта функция не однозначна, а предел должен быть единственен. Вывод: РГП сходится, если q S q и расходится, если q.

3 ~ 3 ~ Необходимый признак сходимости ряда. Гармонический ряд. Теорема: Если числовой ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю. Доказательство: сходится lim S ( ) S S S S S lim lim S lim S S S Замечание: Необходимый признак не является достаточным. Замечание: Если предел, то ряд расходится. () lim lim ( ) S ( ) ( ) ( ( ) Гармонический ряд. необходимый признак выполняется. оставим частичную сумму для вспомогательного ряда () S ( ) ( ) ( ) ( ) ) 8 () () () S ; S ; 3 3 lim S ) lim( ) ( ( ) S () второй ряд расходится ( ) 3 S.. () () Из сравнения видно, S S первый ряд больше второго, сумма второго ряда бесконечна сумма первого ряда бесконечна первый ряд расходится. Вывод: Гармонический ряд является расходящимся.

4 ~ 4 ~ войства сходящихся числовых рядов. -е свойство: Если числовой ряд сходится, то прибавление или вычитание конечного числа членов ряда не меняет его сходимость, а перестановка конечного числа членов ряда не меняет ни сходимость, ни сумму этого ряда. Доказательство: сходится lim S S; S... k k... S S k S k lim s lim S k lim S k ; Sk S k S S k lim S k. lim S k S S k S ( k) конечное число. Частичная сумма S k соответствует ряду, полученному из исходного, если из него убрать первые k-слагаемые, этот ряд сходится, т.к. предел его частичной суммы конечное число сходимость не изменится, если из ряда вычесть ( k) ( k) конечное число членов этого ряда S Sk S S Sk сумма ряда не изменится при перестановки конечного числа членов ряда. k Под S ( ) и S скрываются суммы членов ряда, значит, от перестановки k конечного числа членов ряда сумма и сходимость не меняются. -е свойство: Произведение сходящегося ряда на константу образует сходящийся ряд. Доказательство: () () () сходится () lim S S ; S... c () () () () () ()... (... ) ; lim lim cost S c c c cs S c S cs S конечное число c c S сs () () 3-е свойство: умма двух сходящихся рядов образует сходящийся ряд. Доказательство: (3)... () сходится lim () () () S S ; S b () сходится () () () lim S S ; S b... b (3) () () ( b ) S ( b )... ( b ) (... ) ( b... b ) S S (3) () () () () (3) lim S lim S lim S S S S конечное число c ().

5 ~ 5 ~ ( b ) ( ) ( b ) (3) () () S S S Понятие знакоположительного ряда. Лемма о его сходимости. Определение: Знакоположительным называется ряд, у которого все члены положительные. Лемма: Для того, чтобы знакоположительный числовой ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы частичная сумма была ограниченна. Доказательство: Необходимость: сходится ( ) lim S S. Ряд знакоположительный (, ) S S S S S ограниченная функция, т.к. удовлетворяет условию ограниченности: f ( ) M Достаточность: S ограниченность S S, S S S 3 частичная сумма представляет монотонно возрастающую и сверху ограниченную функцию по признаку Вейерштрасса эта функция имеет предел lim S S ряд сходится.

6 ~ 6 ~ 4 Два признака сравнения для оценки сходимости знакоположительного ряда. Признак сравнения: Если для двух знакоположительных рядов () ; b (), начиная с некоторого номера к выполняется следующее условие: b ( k, ) (3), то: ) Ряд () сходится при условии сходимости большего ряда (). ) Ряд () расходится при условии расходимости меньшего ряда (). Доказательство: оставим из ряда () дополнительный ряд: b (4). Пусть -й ряд сходится, значит по -му свойству сходящихся рядов, будет сходиться и 4-й ряд. оставим k из -го ряда дополнительный ряд: (5). Из условия (3) следует, что S 5) S (4). k ( Если 4-й ряд сходится, то по лемме его частная сумма ограничена (4) (4) (5) (4) (5) S S S S S - ограниченная, значит, по лемме сходится 5-й ряд, значит, по -му свойству сходящихся рядов будет сходиться и -й ряд. Пусть -й ряд расходится, значит: расходится и 5-й ряд, S (5). Из (5) (4) (4) условия (3) следует: S S S. Вывод: Значит: 4-й и -й ряды расходятся. Порядок исследования на сходимость по признаку сравнения. ) Исследуемый ряд считаем рядом () и для него подбираем сходящийся ряд (). Если для этих рядов выполняется условие (3), то исходный ряд сходится, в противном случае переход ко второму пункту. ) Исследуемый ряд обозначаем как ряд () и для него подбираем расходящийся ряд (). Если для этих рядов выполняется условие (3), то исходный ряд расходится. В противном случае переход к п.3. 3) Признак не применим, исходный ряд требуется исследовать по другим признакам. Недостатки признака сравнения: ) Требуется или дополнительных ряда с известными свойствами. ) Требуется вычислять значения членов ряда для поиска такого номера (к), начиная с которого будет выполняться условие (3).

7 () Пример: S ~ 7 ~ равним со сходящимся РГП: () S S () () S ()... 3 S условие (3) не выполняется, переходим к п ряд () расходится. (3) S... S S () (3) Предельный признак сравнения. условие (3) выполняется и исходный Если для -х знакоположительных рядов () и () существует предел lim b c, расходятся. lim b c b, то эти ряды одновременно сходятся или одновременно c cb Доказательство:, пусть -й ряд сходится, тогда по -му свойству сходящихся рядов будет сходиться ряд cb, значит по признаку сравнения исходный ряд () сходится. Порядок исследования на сходимость по предельному признаку:. Для исходного ряда подбирается сходящийся и вычисляется предел с. Если с,, то исходный ряд сходится, в противном случае п... Для исходного ряда подбирается расходящийся ряд и вычисляется с. Если с, то исходный ряд расходится, в противном случае п Признак не применим, необходимо использовать другой признак. Недостаток этого признака: Требуется или ряда с известными свойствами.

8 ~ 8 ~ Пример:. равним со сходящимся РГП: с lim lim lim Используем -й замечательный предел: c lim e, lim lim k e k значит ряд исходный ряд сходится. Признаки сходимости знакоположительного ряда: Даламбера, Коши и интегральный признак Коши. Признак Даламбера. Если для знакоположительного числового ряда lim, то: сходится при < расходится при > признак неприменим при = а существует предел Пример: e 3 3 3( ) 3 3 C lim e 3 e e Пример:! e e! C lim lim ( )! ряд сходится. ряд расходится.

9 ~ 9 ~ Признак Коши. Если для знакоположительного ряда а существует предел, lim то: сходится при < расходится при > признак неприменим при = Замечание: признак Коши применяется в том случае, если общий член ряда содержит степень кратную. Пример: C lim lim ряд сходится Интегральный признак Коши. Если для знакоположительного ряда а существует несобственный интеграл d (c-cost), то: c ряд сходится, если несобственный интеграл сходится ряд расходится, если несобственный интеграл расходится () признак неприменим, если интеграл не вычисляется Пример: p ряд Дирихле (р- cost) Если р =, то ряд Дирихле даѐт гармонический ряд расходится Применим интегральный признак: b p b p p p p b b p p b с c c d lim d lim lim( b c ) I p p c случай: p p I lim( c ) p p b b p I сходится, сходится ряд p lim( ) p b p случай: p p I b c I расходится, расходится ряд.

10 ~ ~ Знакочередующийся ряд. Признаки сходимости: Лейбница и Абеля-Дирихле. Определение: Знакочередующимся называется такой ряд, у которого знаки «+» и «-» чередуются между собой. Обозначения знакочередующихся рядов:. ( ) ( ) - начинается со знака «+». ( ) b (, b ) начинается со знака минус Признак Лейбница: Если для знакочередующегося ряда ( ), ( ) выполняются следующие условия: ) 3... (монотонное убывание). ) lim (необходимый признак сходимости ряда), то ряд сходится. Если одно из этих условий не выполняется, то ряд расходится. Доказательство: Исследуем соседних чѐтные частные суммы. S ( ) ( 3 4)... ( ) Каждая из скобок согласно условию () положительная, значит S Туже частичную сумму представим в другом виде: S ( 3)... S (т.к. из положительного вычитаются положительные числа). S S ( ) S S чѐтная частичная сумма представляет собой монотонную возрастающую и ограниченную сверху функцию, значит, по признаку Вейерштрасса, эта функция имеет предел lim S. S Вычислим нечѐтную частичную сумму: S S lim S lim S lim S ( по му условию ) S Вывод: Предел любой частичной суммы существует, значит, ряд расходится. Определение: Знакочередующимся рад называется абсолютно сходящимся, если он сам сходится и сходится ряд, составленный из модулей. Определение: Знакочередующимся рад называется условно сходящимся, если он сам сходится, а ряд, составленный из модулей, расходится.

11 ~ ~ Пример: ( ) 3 )... выполнено. ) выполнено исходный ряд сходится. lim оставим ряд из модулей: гармонический ряд ряд из модулей расходится исходный ряд сходится условно. Если для знакочередующегося ряда Признак Абеля-Дирихле. ( ) b (, b ) следующие условия: )...; ) lim ограничена, то ряд сходится. 3, выполняются ; 3) Частичная сумма ряда Замечание: Этот признак применяется в том случае, если общий член ряда имеет достаточно громоздкую структуру и разбивается на произведение -х частей и b. Пример: ; b cos cos lim ) выполняется; ) выполняется; ) Частная сумма ограничена т.к. косинус является ограниченной функцией cos. исходный ряд сходится. оставим ряд из модулей: - ряд Дирихле сходится. cos cos ; По признаку сравнения сходится ряд, составленный из модулей исходный ряд сходится абсолютно. b -

12 ~ ~ Знакопеременный ряд. Достаточный признак его абсолютной сходимости. Определение: знакопеременным называется такой ряд, у которого знаки (+) и ( ) располагаются в произвольном порядке. Достаточный признак абсолютной сходимости. Если для знакопеременного ряда сходится ряд составленный из модулей, то он является абсолютно сходящимся. () - исходный ряд () сходящийся по условию Доказательство: оставим дополнительные ряды, состоящие отдельно из положительных членов исходного ряда и модулей отрицательных членов этого ряда. ( ) (3) (4) ( ) умма (3) и (4) рядов даѐт сходящийся ряд (), значит по (3) свойству (3) (3) (4) (4) сходящихся рядов ряды (3) и (4) сходится lim S S ; lim S S Разность (3) и (4) ряда даѐт () ряд, значит, () (3) (4) () (3) (4) (3) (4) () S S S lim S lim S lim S S S S конечное число, значит, () ряд сходится, причѐм абсолютно.

13 ~ 3 ~ Знакопеременный ряд, достаточный признак его условной сходимости. Определение: Знакоперменным называется ряд, у которого знаки «+» и «-» располагаются в произвольном порядке. Достаточный признак условной сходимости. Если для знакопеременного ряда расходятся ряды, составленные отдельно из положительных и модулей отрицательных членов ряда, то ряд условно сходится. Доказательство: По определению условной сходимости: - исходный ряд сходится, - расходится. оставим дополнительные ряды, состоящие отдельно из положительных членов исходного ряда и модулей отрицательных членов этого ряда: ( ) (3) (4) Используем метод от противного, т.е. предполагаем, что: ) (3) и (4) ряды сходятся, сумма этих рядов по третьему свойству сходящихся рядов должна дать сходящийся ряд, но сумма этих рядов составляет второй ряд, который расходится, получим противоречие условию. ) Пусть (3) - сходится, (4) расходится. Разность (3) и (4) ряда дает, но эта разность составляет () ряд, который сходится, получили противоречие условию. 3) Пусть (3) - расходится, (4) сходится. Разность (3) и (4) ряда дает, но эта разность составляет () ряд, который сходится, получили противоречие условию. Вывод: Значит (3) и (4) ряды должны одновременно расходиться. Пример: условно сходится. оставим дополнительные ряды, состоящие отдельно из положительных членов исходного ряда и модулей отрицательных членов этого ряда (3) расходится; (4) расходится. Для подтверждения расходимости рядов (3) и (4) используем интегральный признак Коши: b b d lim d lim l c lim(l b l c ) - расходящийся b b b c c интеграл. Вывод: исходный ряд условно сходится. ( )

14 ~ 4 ~ Понятие функционального ряда. Мажорируемый ряд. Определение: Функциональным рядом называют такой ряд, у которого каждый его член является функцией одного переменного. f ( ) Замечание: При каждом значении х функциональный ряд преобразуется в числовой. Определение: Значение х, при котором получается сходящийся числовой ряд называется точкой сходимости функционального ряда. cos Например: ряд Дирихле для случае степени больше значения - сходится точка сходимости. Определение: овокупность точек сходимости образуют область сходимости функционального ряда. Например: равним этот ряд с РГП. q ; q РГП - сходится, если q ( ; ) область сходимости. Для РГП известна его сумма S S Обозначим: q сумма функционального ряда является функцией аргумента х. S() f ( ) - сумма ряда, S () f k r ( ) f k k k ( ) ( ) - частичная сумма функционального ряда - остаток функционального ряда

15 ~ 5 ~ S( ) S ( ) r ( ) () Пусть функциональный ряд сходится в некоторой области lim S ( ) S( ),. Вычислим предел левой и правой части (). lim S( ) lim S ( ) lim r ( ) S( ) S ( ) lim r ( ) lim r ( ) Вывод: В области сходимости функционального ряда предел его остатка равен нулю. Мажорируемый ряд. Определение: Функциональный ряд f ( ) называется мажорируемый в некоторой области D, если для него можно подобрать числовой знакоположительный сходящийся ряд (мажорант), такой, что для этих рядов выполняется следующее условие f ( ) ( N, D). Например: cos () оставим ряд из модуля Подберѐм мажорант: cos cos (3) сходящийся По признаку сравнения сходится (3) ряд. По достаточному признаку абсолютной сходимости сходится абсолютно второй ряд. Вывод: Всякий мажорируемый в некоторой области функциональный ряд является абсолютно сходящимся в этой области.

16 ~ 6 ~ войства функциональных рядов -е свойство: равномерная сходимость. Теорема: Если функциональный ряд является мажорируемым на ; b, то M, такое, что M выполняется следующее неравенство: S S Доказательство: f - мажорируемый S S r S S r S r. S ; r f 3. k k Для ряда () известен мажорант: (4) остаточный член ряда. k ; k т.к. (4) ряд сходится; k т.к. (4) ряд знакоположительный. () и (4) ряды связаны по определению мажорируемости следующим неравенством: f 6 N. оставим соотношение (6) для,, членов ряда: f f fk k k из5 fk fk rk k k k k... r (7). k ; Подставляем (7) в (): S S, ч.т.д. k k k (5) Определение: Функциональный ряд, для которого справедлива доказанная теорема, называется равномерно сходящимся. Второе свойство: непрерывность суммы. умма мажорируемого на а, в функционального ряда, составленного из непрерывных функций является непрерывной функцией. S( ) f( ) Если f( ) непрерывная функция () S непрерывная.

17 ~ 7 ~ 3-е свойство: интегрирование суммы функционального ряда. Интеграл от суммы мажорируемого на отрезке, b функционального ряда равен сумме интегралов вычисленных от каждого члена этого ряда. х S tdt f tdt,,, b Доказательство: Требуется доказать, что ряд, составленный из интегралов, стоящий в правой части (), сходится. S t f t St S t r t. Интегрируем левую и правую часть формулы (): S * S b * r * t t t S dt S dt r dt S* S * - сумма ряда составленного из интеграла. - частная сумма этого интеграла. - остаток этого ряда. r * r t dt r t dt r * dt t, Из первого свойства известно: r t b r * b r *, тк... Остаток ряда, составленный из интеграла, стремиться к значит, формула верна. r * если. если этот ряд сходится, Пример: cos t cos t si t si dt,969 dt точность.

18 ~ 8 ~ Четвѐртое свойство: дифференцирование сумма ряда. Производная от суммы мажорируемого на а, в функционального ряда равна сумме производных вычисленных от каждого члена этого ряда Зададим: ав, Доказательство: S ( t) f ( t) (); S( ) f ( ) f cost ( ) ( ), а, в () S (3), а,в Используем третье свойство, интегрируем левую и правую часть формулы (): S( t) dt f ( t) dt f ( t) dt; ds( t) S( t) dt; df( t) f ( t) dt t ds( t) df( t) S( t) f( t) S( ) S( ) S( ) S( ) Получили тождество, значит формула () верна. S( ) S( ) f ( ) f ( ) формула () формула (3)

19 ~ 9 ~ Понятие степенного ряда, признак его сходимости. Теорема Абеля. Определение: тепенным называется такой функциональный ряд, у которого каждый его член является степенной функцией. Виды записи степенных рядов, cost ; Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке,, то этот ряд сходится в интервале. Если степенной ряд расходится в точке, *, то он расходится в интервале *. ряд. Доказательство: составим из -го ряда, ряд из модулей. получим из -го ряда сходящийся знакоположительный числовой Подставим в () х х : 3- сходится по условию теоремы. Используем необходимый признак сходимости для 3-го ряда. lim используем определение предела k. из (4) равним полученный ряд с Р.Г.П. : q ; Р.Г.П. сходится, если q q. 5-й ряд сходится при. -й ряд меньше 5-го, значит, по признаку сравнения -й ряд сходится при. По достаточному признаку абсолютной сходимости, если ряд из модулей () сходится, то сходится исходный ряд () при.

20 Пусть * ~ ~ - ряд расходится. Используем метод от противного, т.е. предполагаем, что при * - ряд сходится, * сх. * сходится. Получим противоречие условию, * значит ряд расходится при *. расх сх расх -х * -х х х * Радиус сходимости степенного ряда. Определение: Радиусом сходимости ряда называется точка = R (R>), отделяющая интервалы сходимости и расходимости. * Из теоремы Абеля R, R Когда точки совпадают, получаются два интервала R R R - область абсолютной сходимости.. расх сх расх -R R Вычисление радиуса сходимости по формуле Даламбера. lim ряд сходится. lim lim ; R R lim () Вычисление радиуса сходимости по формуле Коши. lim ряд сходится lim lim R lim () Замечание: Формула (,) применяется, если в степенном ряде в степени располагается подряд, т.е. =,,3 В противном случае для каждой

21 ~ ~ конкретной задачи необходимо выводить свою формулу радиуса сходимости. Пример: lim ( ) lim ( ) R ( ;) Исследуем поведение ряда на границах интервала сходимости. ( ) ряд Дирихле сходится. Ответ: ; область абсолютной сходимости. войства сходящихся степенных рядов.. умма степенного ряда является непрерывной функцией. Это является следствием -го свойства функциональных рядов, т.к. степенной ряд составлен из непрерывных степенных функций.. тепенной ряд можно неограниченное число раз дифференцировать и интегрировать. Это является следствием 3 и 4 свойств функционального ряда т.к. производная и интеграл от степенной функции остаѐтся степенной функцией. 3. В степенном ряде можно вычитать или прибавлять конечное число слагаемых. Это является следствием -го свойства числовых рядов. Замечание: -3 свойства справедливы в области сходимости степенного ряда. 4. умма и произведение -х степенных рядов является сходящимся степенным рядом на пересечении областей сходимости -х степенных рядов. ряд R,R ряд R,R -R -R R R х R, R - область сходимости суммы или произведения.

22 ~ ~ Разложение функции в степенной ряд: необходимое условие и вид разложения. Определение: Разложением функции в степенной ряд называется представление этой функции в виде ряда. S ( ) ( ( ) S( ) ) f () Необходимое условие. Теорема: Если функция разложима в степенной ряд, то она бесконечное число раз дифференцируема. Это является вторым следствием степенных ряда, так как выполняется равенство (). Вид разложения. Теорема: Если функция разложима в степенной ряд, то это разложение имеет следующий вид: 3 ( ) f ( )( ) f ( )( ) f ( ) f ( ) f ( f ) ( )( ) ( )! 3!! Доказательство: 3 S( ) ( ) ( ) 3( ) ( ) f ) S( ) f ( ) ( f ( ) S( ) ( ) 33 ( ) ( ) f ( ) f ( ) S ( ) 3 3( ) ( )( ) f( ) f ( )!! f ( ) S ( ) 33 ( )( )( ) f( ) f ( ) 3! 3 3 3!... ( ) ( ) ( ) ( ) f ( f ( ) S ( )! f ( )! )!

23 ~ 3 ~ Достаточные признаки разложения функции в ряд Тейлора. ряд Тейлора. f f! Формула Тейлора с остаточным членом в виде Лагранжа: f f f f f '... (3), где!!, В формуле (3) первые - слагаемых соответствуют частичной сумме ряда (). f S R (5). Признак. Если функция бесконечное число раз дифференцируема и lim 4, R то функцию можно разложить в ряд Тейлора. Доказательство: Пусть ряд ()-сходится, тогда lim S. S Вычислим предел левой и правой части формулы (5): f lim S lim R f S функция разложима в степенной ряд. lim. Признак. Если функция бесконечное число раз дифференцируема, и все еѐ производные в точке ограничены, т.е. f M M то функция разложима в ряд Тейлора. f Доказательство: R!, f R! R, т.к. отрезок лежит внутри области сходимости от - R до R R M! Рассмотрим вспомогательный ряд и докажем его сходимость,! используя признак Даламбера.! lim lim сходится, отсюда по необходимому признаку! сходимости числового ряда предел общего члена равен.. lim!

24 lim R M lim ~ 4 ~ условие (4) выполняется, значит, по -му признаку! функция разложима в ряд Тейлора. Разложение функций вряд Маклорена. Замечание: Ряд Маклорена получается из ряда Тейлора, если принять в ряде Тейлора. f ( ) e. 3 ( ) f () f () f () f ( ) f () f ()! 3!! f ( ) ; f ( ) ( ) e ; ( f ) () f ( ), с учѐтом, что:!!! Найдѐм область сходимости полученного ряда, используя признак Даламбера.! lim ( )! lim ( ; ) область сходимости Пример: e! d d d d!!!.36! f ( ) si. f ( ) f ( ) cos ; f() m; f ( ) si ; f ( ) f ( ) cos ; f ( ) ; f ( ) si ; f () ( )! lim ( )! сходимости. 3 f ( ) si 3! lim ( ) ( ) ( )! ( ; ) область

25 ~ 5 ~ 3. f ( ) cos f ( ) ; f ( ) si ; f ( ) ; f ( ) cos ; f ( ) f ( ) si ; f ( ) ; f ( ) cos ; f () 4 ( ) f ( ) cos, ( ; ) область сходимости.! 4! ()! 4. f ( ) ( ) m m f ( ) ; f ( ) m( ) ; f ( ) m f ( ) m( m )( ) ; f () m( m ) f ( ) ( ) m m( m ) m! m( m ) ( m ( ))! m( m ) ( m ) m lim lim ( )! m( m ) ( m ( )) (; ) - область сходимости.

26 ~ 6 ~ Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов. Решение исходного дифференциального уравнения будем искать в виде ряда y'' y''' 3 Тейлора: y y y'...! 3! помощью степенных рядов можно интегрировать дифференциальные уравнения произвольного порядка. y y y' ' f, y, y'. н.у.. y' y Коэффициенты для первых -х слагаемых в решении () берутся из н.у. y' ' -получится, если подставить н.у. в исходное уравнение (): y' ' f, y, y y Третья и т.д. производная будут найдены, если необходимое число раз продифференцировать дифференциальное уравнение () как сложную функцию и подставить в полученный результат н.у.: y''' f ', y, y' f ' y, y, y' f ' y', y, y ' y '' y''' f ', y, y y f ' y, y, y y f ' y', y, y y y y y y! 3 y 3! 3 3 y y... Пример: y' '' y y' y' '. Н.у. y ; y ; y'' ; y''' 3; y y' y'' y''' y y! 3! 4!

27 ~ 7 ~ Понятие ряда Фурье и определение его коэффициентов. Определение: Функциональный ряд называется тригонометрическим, если общий член его содержит функцию cos или si. f ( ) cos в si () Рассмотрим знакоположительный сходящийся числовой ряд S в () () ряд больше ряда составленного из абсолютных величин ряда (), значит () является мажорируемым, его можно интегрировать. Так как cos и si периодические функции, то ряд () будем интегрировать на интервале от до. Для нахождения коэффициента проинтегрируем левую и правую часть формулы (). f ( ) d d cos в si d d cos d в si х cos d si d Замечание: Определѐнный интеграл на отрезке, симметричном относительно, от нечѐтной функции равен, от чѐтной функции равен двум интегралам на половине отрезка. f ( ) d (3) Для нахождения коэффициента, левую и правую часть () умножаем на cos k ( k cost, k N) и интегрируем. f ( )cos kd cos kd si k I cos kd k I cos kcos d в I si cos kd случай ( k ). Используя формулу тригонометрии cos cos получим: cos si I d d cos ( ) (4),

28 ~ 8 ~ случай ( k ) Используя формулу тригонометрии cos cos cos cos, получим: I cosk cosd cosk cosd cos( ( k )) cos( ( k )) d si( ( k )) si( ( k )) si( k ) si( ( k )) k k k k I si d,( k ),так как si - нечѐтная. I si cos kd,( k ) нечѐтная В итоге имеем: I, I,( ) k, I,( k ), I,( k ), I,( k ) Подставляем значение интегралов I, I, I в формулу (4): f ( ) cos kd (когда k = ) f ( )cos( ) d (5) Для нахождения коэффициента в левую и правую часть формулы () умножаем на si k и интегрируем. В итоге аналогично получим: в f ( ) si d Определение: Рядом Фурье называется тригонометрический ряд (), если коэффициенты для него вычисляются по формулам (3,5,6). (6)

29 ~ 9 ~ Необходимое условие разложения функции в ряд Фурье. Если функция разложима в ряд Фурье, то она является периодической функцией. Определение: Функция называется кусочно-монотонной, если она имеет точки разрыва -го рода. y -3π -π π 3π Пример: f,,,, y -3π -π π 3π f d d ; f cosd cosd

30 ~ 3 ~ si u, du d; dv cos d, v ; cos si si d cos Интегрируем по частям: Анализируем два случая: нечѐтная cos, четная cos cos ; cos b f si d. по частям : u ; du d; dv si d; k b cos cos d si b ; f cos bsi cos si 4.

31 ~ 3 ~ Ряд Фурье для чѐтных и нечѐтных функций. f ( ) случай: f () чѐтная f ( ) cos чѐтная f ( ) cos d o f ( ) si нечѐтная в d f ( ) cos Замечание: Пример для этого случая приведен в следующем вопросе. случай: f () нечѐтная f ) cos f ( ) si чѐтная в f ( ) si d Пример: f,, y ( нечѐтная f ( ) в si -3π -π π 3π И рисунка видно, что на основном интервале:, график функции симметричен относительно начала координат, значит, исходная функция - нечѐтная cos b х si d. по частям : u ; du d; dv si d; k b cos cos d si b ; f b si si.

32 ~ 3 ~ Ряд Фурье для функции с периодом L, т. е. L, L tl Преобразуем исходную функцию f с помощью замены: в функцию f t. Выразив из формулы замены: t, найдѐм интервал для новой L L функции: t ; tb t. Полученная функция f t имеет период, L значит, для неѐ справедливы формулы (), (3), (5), (6): f t cos t b si t ; L tl f dt f d f d L L L L tl f tdt f d L L L cos cos L Аналогично: L b f si d L L L Делаем обратную замену: L L f cos d ; L L L f cos bsi L L Пример:,, f ; L,, Из рисунка видно, что график функции симметричен относительно оси ординат, значит, исходная функция - чѐтная. d 5 b y - х по частям : u ; du d cos d si si d 5 dv cos d; v si cos ;

33 f 5 ~ 33 ~ cos 5 cos ; Ряд Фурье для функции на произвольном отрезке, b. y y M (,y) t а L L а b t Переместим ось y в середину отрезка, b. Тогда: b L ; помощью замены переменных t L получится функция с периодом L, которую можно разложить в ряд Фурье по формулам предыдущего вопроса, заменяя в этих формулах на t. После разложения функции f t в ряд Фурье осуществляется обратная замена и вместо t подставляется: t L. Пример: f 3, 3,7 y y b 73 L ; t L t 3 Замена : t 5 Обратная замена : t 5 ; 3 f t 3t 5 ; f tdt 3t 5dt L 3t 3 5 t 3; L L х

34 ~ 34 ~ L по частям : u t 5 du dt t t f tcos dt 3t 5cos dt t t L L L dv cos dt v si t t t t dt si si cos. L по частям : u t 5 du dt t t b f tsi dt 3t 5si dt t t L L L dv si dt v cos 3 t t 3 t t t f t cos bsi 5 si ; L L t 5 cos cos dt 7 3 si f 5 5 si.

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Математический анализ Ряды

Математический анализ Ряды Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения Математический анализ Ряды Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики

Подробнее

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров, ОА Кузнецова РЯДЫ Учебно-методическое пособие Тольятти ТГУ 9 РЯДЫ РЯДЫ u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров,

Подробнее

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики И В Прусова Н А Кондратьева Н К Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида ХVIII Ряды Понятие о числовом ряде Числовым рядом называется выражение вида (8) где,, 3, некоторые числа, называемые членами ряда Если п произвольный (текущий) номер, то число а п называют общим членом

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

Тема: Степенные ряды.

Тема: Степенные ряды. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд Лектор Рожкова С.В. 3 г. 34. Степенные ряды Степенным рядом рядом по степеням называется

Подробнее

РЯДЫ. Учебное пособие

РЯДЫ. Учебное пособие РЯДЫ Учебное пособие Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б Н Ельцина Ряды Учебное пособие Рекомендовано методическим

Подробнее

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда u ; u числа, числовой ряд; u числа по изменению знаков членов ряда знакопостоянные знакоположительные знакопеременные знакочередующиеся k= u степенные u ; u функции, функциональный ряд u функции по классам

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

1.8. Общие функциональные ряды

1.8. Общие функциональные ряды Лекция. Степенные ряды. Гармонический анализ; ряды и преобразование Фурье. Свойство ортогональности.8. Общие функциональные ряды.8.. Уклонение функций Ряд U + U + U называется функциональным, если его

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа.

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа. ~ ~ ФКП Производная функции комплексного переменного ФКП условия Коши - Римана понятие регулярности ФКП Изображение и вид комплексного числа Вид ФКП: где действительная функция двух переменных действительная

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

3 РЯДЫ Хабаровск 2004

3 РЯДЫ Хабаровск 2004 РЯДЫ Хабаровск 4 4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовым рядом называется выражение, где,,, числа, которые образуют бесконечную числовую последовательность, общий член ряда, где N ( N множество натуральных чисел) Пример

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ВН Алексеев, ДА Приказчиков, ВВ Ридель РЯДЫ Утверждено редакционно-издательским советом РОАТ в качестве учебного пособия РОАТ Москва 9 5 УДК 575(75)

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16.1. Рассмотрим произвольное множество X и последовательность функций f, определенных на X. Говорят, что последовательность f сходится поточечно

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения» Кафедра «Высшая и прикладная математика» И

Подробнее

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx.

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Лекция 5. Понятие несобственного интеграла -го рода, его вычисление. Критерий сходимости. Интегралы от положительных функций. Признаки сравнения, абсолютная

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А.

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А. РЯДЫ ФУРЬЕ Автор-составитель: доцент каф ВМ Цапаева СА Великий Новгород ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ГАРМОНИК Определение Гармониками называются комплекснозначные функции вида iω ( ) e, где действительная переменная,

Подробнее

6. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Функции ϕ (x)

6. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Функции ϕ (x) 6 Ряды Фурье 6 Ортогональные системы функций Ряд Фурье по ортогональной системе функций Функции ϕ () и ψ (), определенные и интегрируемые на отрезке [, ], называются ортогональными на этом отрезке, если

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

П Р О Г Р А М М А ( С О Д Е Р Ж А Н И Е ) ( В О П Р О С Ы ) Э К З А М Е Н А

П Р О Г Р А М М А ( С О Д Е Р Ж А Н И Е ) ( В О П Р О С Ы ) Э К З А М Е Н А П Р О Г Р А М М А ( С О Д Е Р Ж А Н И Е ) ( В О П Р О С Ы ) Э К З А М Е Н А П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е З А 4 С Е М Е С Т Р Д Л Я С Т У Д Е Н Т О В Г Ф 2 1-4, 7-8. Май 2011 г. Лектор Лисеев И.А.

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

Сходимость знакопеременных числовых рядов

Сходимость знакопеременных числовых рядов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Сходимость знакопеременных числовых рядов Числовой ряд u, в котором имеется бесконечно много как положительных, так = и отрицательных элементов, называется числовым рядом с произвольными

Подробнее

Теория рядов 1. Теория рядов

Теория рядов 1. Теория рядов Теория рядов 1 Теория рядов ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Решение задачи представленной в математических терминах например в виде комбинации различных функций их производных и интегралов нужно уметь довести до числа

Подробнее

Глава III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ 3.1. Двойные интегралы

Глава III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ 3.1. Двойные интегралы Глава III ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ Двойные интегралы ЛИТЕРАТУРА: [], гл; [], глii; [9], гл XII, 6 Для решения задач по этой теме необходимо,

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет»

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО РАЗДЕЛУ «РЯДЫ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

a......, a,... называют членами...

a......, a,... называют членами... РЯДЫ Числовые ряды Основные понятия числового Пусть дана последовательность вещественных или комплексных чисел Числовым рядом называется сумма всех членов числовой последовательности: Числа,,,, называют

Подробнее

Математический анализ (v2.0)

Математический анализ (v2.0) Математический анализ (v.) 1 Числовые ряды. 1.1 Понятие числового ряда. Сходимость числового ряда. Определение. Рассмотрим числовую последовательность {a n } и образуем выражение вида: a 1 + a +... + a

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ИНСТИТУТ

Подробнее

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЕВ Небогина, ОС Афанасьева РЯДЫ ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Самара 9 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

ПЛАН ЛЕКЦИИ. Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов

ПЛАН ЛЕКЦИИ. Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ПЛАН ЛЕКЦИИ Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов ЧИСЛОВОЙ РЯД Бесконечная сумма чисел вида: а а а... а... 3 называется числовым

Подробнее

Лекция 1. Функциональные ряды

Лекция 1. Функциональные ряды С А Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция Функциональные ряды Понятие функционального ряда Ранее мы изучали числовые ряды, т е членами ряда были числа Сейчас мы переходим к изучению функциональных рядов, т

Подробнее

Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр)

Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр) Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр) 1. Определения основных операций над множествами. 2. Законы дистрибутивности для операций над множествами. 3. Произведение множеств, простейшие свойства произведений

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский государственный технологический университет им.к.э.циолковского Кафедра «Высшая математика» ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Варианты курсовых

Подробнее

21-е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

21-е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр -е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Найти разложения функции в степенной ряд по степеням, вычислить радиус сходимости степенного ряда: A f()

Подробнее

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Химический факультет.

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Химический факультет. Московский Государственный Университет им МВЛомоносова Химический факультет Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока Третий семестр Числовые ряды Дифференциальные

Подробнее

Р.Б. КАРАСЕВА Р Я Д Ы

Р.Б. КАРАСЕВА Р Я Д Ы РБ КАРАСЕВА Р Я Д Ы Омск Министерство образования и науки РФ ГОУ ВПО «Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)» РБКарасева Р Я Д Ы Учебное пособие Омск СибАДИ УДК ББК К Рецензенты:

Подробнее

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1 Глава 3. Числовые ряды 3.. Занятие 0 3... Сумма ряда Рассмотрим числовую последовательность {a k } k=. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3... Рядом называется выражение вида a + a 2 +...+ a k +...= a k. k= Величина a k называется

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Демина ЕЛ, Демин СЕ РЯДЫ г Нижний Тагил 00 Предисловие В настоящем

Подробнее