~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности."

Транскрипт

1 ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого можно составить функцию его порядкового номера. 3 4 гармонический ряд общий член Определение: Частичной суммой ряда называется сумма первых членов этого ряда. S ( N) Определение: уммой ряда называется предел его частичной суммы S lim S. Определение: Ряд называется сходящимся, если предел его любой частичной суммы существует и конечен. Определение: Ряд называется расходящимся, если предел его частичной суммы не существует или бесконечен.

2 ~ ~ Ряд составленный из членов геометрической прогрессии (РГП). i где - -ый член ряда, q- знаменатель. q, оставим частичную сумму: S q... q () Умножим левую и правую части () на q: qs q q q ().... ( q ) Вычитаем () из () S( q) ( q ) S q Например: Легенда: Изобретателю шахмат эмир пообещал любую награду. Изобретатель предложил эмиру на клетку шахматной доски положить зерно, на вторую клетку в раза больше и т.д q S64,8 Вычислим предел частичной суммы для исследования ряда на сходимость: lim S lim( q ) q -й случай: q, пусть q lim( ) q конечное число. q -й случай: q lim( q ) ряд расходится. q 3-й случай: q S... ; lim S lim ряд расходится. 4-й случай: q S S раз Предел от составленной частичной суммы не существует т.к. эта функция не однозначна, а предел должен быть единственен. Вывод: РГП сходится, если q S q и расходится, если q.

3 ~ 3 ~ Необходимый признак сходимости ряда. Гармонический ряд. Теорема: Если числовой ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю. Доказательство: сходится lim S ( ) S S S S S lim lim S lim S S S Замечание: Необходимый признак не является достаточным. Замечание: Если предел, то ряд расходится. () lim lim ( ) S ( ) ( ) ( ( ) Гармонический ряд. необходимый признак выполняется. оставим частичную сумму для вспомогательного ряда () S ( ) ( ) ( ) ( ) ) 8 () () () S ; S ; 3 3 lim S ) lim( ) ( ( ) S () второй ряд расходится ( ) 3 S.. () () Из сравнения видно, S S первый ряд больше второго, сумма второго ряда бесконечна сумма первого ряда бесконечна первый ряд расходится. Вывод: Гармонический ряд является расходящимся.

4 ~ 4 ~ войства сходящихся числовых рядов. -е свойство: Если числовой ряд сходится, то прибавление или вычитание конечного числа членов ряда не меняет его сходимость, а перестановка конечного числа членов ряда не меняет ни сходимость, ни сумму этого ряда. Доказательство: сходится lim S S; S... k k... S S k S k lim s lim S k lim S k ; Sk S k S S k lim S k. lim S k S S k S ( k) конечное число. Частичная сумма S k соответствует ряду, полученному из исходного, если из него убрать первые k-слагаемые, этот ряд сходится, т.к. предел его частичной суммы конечное число сходимость не изменится, если из ряда вычесть ( k) ( k) конечное число членов этого ряда S Sk S S Sk сумма ряда не изменится при перестановки конечного числа членов ряда. k Под S ( ) и S скрываются суммы членов ряда, значит, от перестановки k конечного числа членов ряда сумма и сходимость не меняются. -е свойство: Произведение сходящегося ряда на константу образует сходящийся ряд. Доказательство: () () () сходится () lim S S ; S... c () () () () () ()... (... ) ; lim lim cost S c c c cs S c S cs S конечное число c c S сs () () 3-е свойство: умма двух сходящихся рядов образует сходящийся ряд. Доказательство: (3)... () сходится lim () () () S S ; S b () сходится () () () lim S S ; S b... b (3) () () ( b ) S ( b )... ( b ) (... ) ( b... b ) S S (3) () () () () (3) lim S lim S lim S S S S конечное число c ().

5 ~ 5 ~ ( b ) ( ) ( b ) (3) () () S S S Понятие знакоположительного ряда. Лемма о его сходимости. Определение: Знакоположительным называется ряд, у которого все члены положительные. Лемма: Для того, чтобы знакоположительный числовой ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы частичная сумма была ограниченна. Доказательство: Необходимость: сходится ( ) lim S S. Ряд знакоположительный (, ) S S S S S ограниченная функция, т.к. удовлетворяет условию ограниченности: f ( ) M Достаточность: S ограниченность S S, S S S 3 частичная сумма представляет монотонно возрастающую и сверху ограниченную функцию по признаку Вейерштрасса эта функция имеет предел lim S S ряд сходится.

6 ~ 6 ~ 4 Два признака сравнения для оценки сходимости знакоположительного ряда. Признак сравнения: Если для двух знакоположительных рядов () ; b (), начиная с некоторого номера к выполняется следующее условие: b ( k, ) (3), то: ) Ряд () сходится при условии сходимости большего ряда (). ) Ряд () расходится при условии расходимости меньшего ряда (). Доказательство: оставим из ряда () дополнительный ряд: b (4). Пусть -й ряд сходится, значит по -му свойству сходящихся рядов, будет сходиться и 4-й ряд. оставим k из -го ряда дополнительный ряд: (5). Из условия (3) следует, что S 5) S (4). k ( Если 4-й ряд сходится, то по лемме его частная сумма ограничена (4) (4) (5) (4) (5) S S S S S - ограниченная, значит, по лемме сходится 5-й ряд, значит, по -му свойству сходящихся рядов будет сходиться и -й ряд. Пусть -й ряд расходится, значит: расходится и 5-й ряд, S (5). Из (5) (4) (4) условия (3) следует: S S S. Вывод: Значит: 4-й и -й ряды расходятся. Порядок исследования на сходимость по признаку сравнения. ) Исследуемый ряд считаем рядом () и для него подбираем сходящийся ряд (). Если для этих рядов выполняется условие (3), то исходный ряд сходится, в противном случае переход ко второму пункту. ) Исследуемый ряд обозначаем как ряд () и для него подбираем расходящийся ряд (). Если для этих рядов выполняется условие (3), то исходный ряд расходится. В противном случае переход к п.3. 3) Признак не применим, исходный ряд требуется исследовать по другим признакам. Недостатки признака сравнения: ) Требуется или дополнительных ряда с известными свойствами. ) Требуется вычислять значения членов ряда для поиска такого номера (к), начиная с которого будет выполняться условие (3).

7 () Пример: S ~ 7 ~ равним со сходящимся РГП: () S S () () S ()... 3 S условие (3) не выполняется, переходим к п ряд () расходится. (3) S... S S () (3) Предельный признак сравнения. условие (3) выполняется и исходный Если для -х знакоположительных рядов () и () существует предел lim b c, расходятся. lim b c b, то эти ряды одновременно сходятся или одновременно c cb Доказательство:, пусть -й ряд сходится, тогда по -му свойству сходящихся рядов будет сходиться ряд cb, значит по признаку сравнения исходный ряд () сходится. Порядок исследования на сходимость по предельному признаку:. Для исходного ряда подбирается сходящийся и вычисляется предел с. Если с,, то исходный ряд сходится, в противном случае п... Для исходного ряда подбирается расходящийся ряд и вычисляется с. Если с, то исходный ряд расходится, в противном случае п Признак не применим, необходимо использовать другой признак. Недостаток этого признака: Требуется или ряда с известными свойствами.

8 ~ 8 ~ Пример:. равним со сходящимся РГП: с lim lim lim Используем -й замечательный предел: c lim e, lim lim k e k значит ряд исходный ряд сходится. Признаки сходимости знакоположительного ряда: Даламбера, Коши и интегральный признак Коши. Признак Даламбера. Если для знакоположительного числового ряда lim, то: сходится при < расходится при > признак неприменим при = а существует предел Пример: e 3 3 3( ) 3 3 C lim e 3 e e Пример:! e e! C lim lim ( )! ряд сходится. ряд расходится.

9 ~ 9 ~ Признак Коши. Если для знакоположительного ряда а существует предел, lim то: сходится при < расходится при > признак неприменим при = Замечание: признак Коши применяется в том случае, если общий член ряда содержит степень кратную. Пример: C lim lim ряд сходится Интегральный признак Коши. Если для знакоположительного ряда а существует несобственный интеграл d (c-cost), то: c ряд сходится, если несобственный интеграл сходится ряд расходится, если несобственный интеграл расходится () признак неприменим, если интеграл не вычисляется Пример: p ряд Дирихле (р- cost) Если р =, то ряд Дирихле даѐт гармонический ряд расходится Применим интегральный признак: b p b p p p p b b p p b с c c d lim d lim lim( b c ) I p p c случай: p p I lim( c ) p p b b p I сходится, сходится ряд p lim( ) p b p случай: p p I b c I расходится, расходится ряд.

10 ~ ~ Знакочередующийся ряд. Признаки сходимости: Лейбница и Абеля-Дирихле. Определение: Знакочередующимся называется такой ряд, у которого знаки «+» и «-» чередуются между собой. Обозначения знакочередующихся рядов:. ( ) ( ) - начинается со знака «+». ( ) b (, b ) начинается со знака минус Признак Лейбница: Если для знакочередующегося ряда ( ), ( ) выполняются следующие условия: ) 3... (монотонное убывание). ) lim (необходимый признак сходимости ряда), то ряд сходится. Если одно из этих условий не выполняется, то ряд расходится. Доказательство: Исследуем соседних чѐтные частные суммы. S ( ) ( 3 4)... ( ) Каждая из скобок согласно условию () положительная, значит S Туже частичную сумму представим в другом виде: S ( 3)... S (т.к. из положительного вычитаются положительные числа). S S ( ) S S чѐтная частичная сумма представляет собой монотонную возрастающую и ограниченную сверху функцию, значит, по признаку Вейерштрасса, эта функция имеет предел lim S. S Вычислим нечѐтную частичную сумму: S S lim S lim S lim S ( по му условию ) S Вывод: Предел любой частичной суммы существует, значит, ряд расходится. Определение: Знакочередующимся рад называется абсолютно сходящимся, если он сам сходится и сходится ряд, составленный из модулей. Определение: Знакочередующимся рад называется условно сходящимся, если он сам сходится, а ряд, составленный из модулей, расходится.

11 ~ ~ Пример: ( ) 3 )... выполнено. ) выполнено исходный ряд сходится. lim оставим ряд из модулей: гармонический ряд ряд из модулей расходится исходный ряд сходится условно. Если для знакочередующегося ряда Признак Абеля-Дирихле. ( ) b (, b ) следующие условия: )...; ) lim ограничена, то ряд сходится. 3, выполняются ; 3) Частичная сумма ряда Замечание: Этот признак применяется в том случае, если общий член ряда имеет достаточно громоздкую структуру и разбивается на произведение -х частей и b. Пример: ; b cos cos lim ) выполняется; ) выполняется; ) Частная сумма ограничена т.к. косинус является ограниченной функцией cos. исходный ряд сходится. оставим ряд из модулей: - ряд Дирихле сходится. cos cos ; По признаку сравнения сходится ряд, составленный из модулей исходный ряд сходится абсолютно. b -

12 ~ ~ Знакопеременный ряд. Достаточный признак его абсолютной сходимости. Определение: знакопеременным называется такой ряд, у которого знаки (+) и ( ) располагаются в произвольном порядке. Достаточный признак абсолютной сходимости. Если для знакопеременного ряда сходится ряд составленный из модулей, то он является абсолютно сходящимся. () - исходный ряд () сходящийся по условию Доказательство: оставим дополнительные ряды, состоящие отдельно из положительных членов исходного ряда и модулей отрицательных членов этого ряда. ( ) (3) (4) ( ) умма (3) и (4) рядов даѐт сходящийся ряд (), значит по (3) свойству (3) (3) (4) (4) сходящихся рядов ряды (3) и (4) сходится lim S S ; lim S S Разность (3) и (4) ряда даѐт () ряд, значит, () (3) (4) () (3) (4) (3) (4) () S S S lim S lim S lim S S S S конечное число, значит, () ряд сходится, причѐм абсолютно.

13 ~ 3 ~ Знакопеременный ряд, достаточный признак его условной сходимости. Определение: Знакоперменным называется ряд, у которого знаки «+» и «-» располагаются в произвольном порядке. Достаточный признак условной сходимости. Если для знакопеременного ряда расходятся ряды, составленные отдельно из положительных и модулей отрицательных членов ряда, то ряд условно сходится. Доказательство: По определению условной сходимости: - исходный ряд сходится, - расходится. оставим дополнительные ряды, состоящие отдельно из положительных членов исходного ряда и модулей отрицательных членов этого ряда: ( ) (3) (4) Используем метод от противного, т.е. предполагаем, что: ) (3) и (4) ряды сходятся, сумма этих рядов по третьему свойству сходящихся рядов должна дать сходящийся ряд, но сумма этих рядов составляет второй ряд, который расходится, получим противоречие условию. ) Пусть (3) - сходится, (4) расходится. Разность (3) и (4) ряда дает, но эта разность составляет () ряд, который сходится, получили противоречие условию. 3) Пусть (3) - расходится, (4) сходится. Разность (3) и (4) ряда дает, но эта разность составляет () ряд, который сходится, получили противоречие условию. Вывод: Значит (3) и (4) ряды должны одновременно расходиться. Пример: условно сходится. оставим дополнительные ряды, состоящие отдельно из положительных членов исходного ряда и модулей отрицательных членов этого ряда (3) расходится; (4) расходится. Для подтверждения расходимости рядов (3) и (4) используем интегральный признак Коши: b b d lim d lim l c lim(l b l c ) - расходящийся b b b c c интеграл. Вывод: исходный ряд условно сходится. ( )

14 ~ 4 ~ Понятие функционального ряда. Мажорируемый ряд. Определение: Функциональным рядом называют такой ряд, у которого каждый его член является функцией одного переменного. f ( ) Замечание: При каждом значении х функциональный ряд преобразуется в числовой. Определение: Значение х, при котором получается сходящийся числовой ряд называется точкой сходимости функционального ряда. cos Например: ряд Дирихле для случае степени больше значения - сходится точка сходимости. Определение: овокупность точек сходимости образуют область сходимости функционального ряда. Например: равним этот ряд с РГП. q ; q РГП - сходится, если q ( ; ) область сходимости. Для РГП известна его сумма S S Обозначим: q сумма функционального ряда является функцией аргумента х. S() f ( ) - сумма ряда, S () f k r ( ) f k k k ( ) ( ) - частичная сумма функционального ряда - остаток функционального ряда

15 ~ 5 ~ S( ) S ( ) r ( ) () Пусть функциональный ряд сходится в некоторой области lim S ( ) S( ),. Вычислим предел левой и правой части (). lim S( ) lim S ( ) lim r ( ) S( ) S ( ) lim r ( ) lim r ( ) Вывод: В области сходимости функционального ряда предел его остатка равен нулю. Мажорируемый ряд. Определение: Функциональный ряд f ( ) называется мажорируемый в некоторой области D, если для него можно подобрать числовой знакоположительный сходящийся ряд (мажорант), такой, что для этих рядов выполняется следующее условие f ( ) ( N, D). Например: cos () оставим ряд из модуля Подберѐм мажорант: cos cos (3) сходящийся По признаку сравнения сходится (3) ряд. По достаточному признаку абсолютной сходимости сходится абсолютно второй ряд. Вывод: Всякий мажорируемый в некоторой области функциональный ряд является абсолютно сходящимся в этой области.

16 ~ 6 ~ войства функциональных рядов -е свойство: равномерная сходимость. Теорема: Если функциональный ряд является мажорируемым на ; b, то M, такое, что M выполняется следующее неравенство: S S Доказательство: f - мажорируемый S S r S S r S r. S ; r f 3. k k Для ряда () известен мажорант: (4) остаточный член ряда. k ; k т.к. (4) ряд сходится; k т.к. (4) ряд знакоположительный. () и (4) ряды связаны по определению мажорируемости следующим неравенством: f 6 N. оставим соотношение (6) для,, членов ряда: f f fk k k из5 fk fk rk k k k k... r (7). k ; Подставляем (7) в (): S S, ч.т.д. k k k (5) Определение: Функциональный ряд, для которого справедлива доказанная теорема, называется равномерно сходящимся. Второе свойство: непрерывность суммы. умма мажорируемого на а, в функционального ряда, составленного из непрерывных функций является непрерывной функцией. S( ) f( ) Если f( ) непрерывная функция () S непрерывная.

17 ~ 7 ~ 3-е свойство: интегрирование суммы функционального ряда. Интеграл от суммы мажорируемого на отрезке, b функционального ряда равен сумме интегралов вычисленных от каждого члена этого ряда. х S tdt f tdt,,, b Доказательство: Требуется доказать, что ряд, составленный из интегралов, стоящий в правой части (), сходится. S t f t St S t r t. Интегрируем левую и правую часть формулы (): S * S b * r * t t t S dt S dt r dt S* S * - сумма ряда составленного из интеграла. - частная сумма этого интеграла. - остаток этого ряда. r * r t dt r t dt r * dt t, Из первого свойства известно: r t b r * b r *, тк... Остаток ряда, составленный из интеграла, стремиться к значит, формула верна. r * если. если этот ряд сходится, Пример: cos t cos t si t si dt,969 dt точность.

18 ~ 8 ~ Четвѐртое свойство: дифференцирование сумма ряда. Производная от суммы мажорируемого на а, в функционального ряда равна сумме производных вычисленных от каждого члена этого ряда Зададим: ав, Доказательство: S ( t) f ( t) (); S( ) f ( ) f cost ( ) ( ), а, в () S (3), а,в Используем третье свойство, интегрируем левую и правую часть формулы (): S( t) dt f ( t) dt f ( t) dt; ds( t) S( t) dt; df( t) f ( t) dt t ds( t) df( t) S( t) f( t) S( ) S( ) S( ) S( ) Получили тождество, значит формула () верна. S( ) S( ) f ( ) f ( ) формула () формула (3)

19 ~ 9 ~ Понятие степенного ряда, признак его сходимости. Теорема Абеля. Определение: тепенным называется такой функциональный ряд, у которого каждый его член является степенной функцией. Виды записи степенных рядов, cost ; Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке,, то этот ряд сходится в интервале. Если степенной ряд расходится в точке, *, то он расходится в интервале *. ряд. Доказательство: составим из -го ряда, ряд из модулей. получим из -го ряда сходящийся знакоположительный числовой Подставим в () х х : 3- сходится по условию теоремы. Используем необходимый признак сходимости для 3-го ряда. lim используем определение предела k. из (4) равним полученный ряд с Р.Г.П. : q ; Р.Г.П. сходится, если q q. 5-й ряд сходится при. -й ряд меньше 5-го, значит, по признаку сравнения -й ряд сходится при. По достаточному признаку абсолютной сходимости, если ряд из модулей () сходится, то сходится исходный ряд () при.

20 Пусть * ~ ~ - ряд расходится. Используем метод от противного, т.е. предполагаем, что при * - ряд сходится, * сх. * сходится. Получим противоречие условию, * значит ряд расходится при *. расх сх расх -х * -х х х * Радиус сходимости степенного ряда. Определение: Радиусом сходимости ряда называется точка = R (R>), отделяющая интервалы сходимости и расходимости. * Из теоремы Абеля R, R Когда точки совпадают, получаются два интервала R R R - область абсолютной сходимости.. расх сх расх -R R Вычисление радиуса сходимости по формуле Даламбера. lim ряд сходится. lim lim ; R R lim () Вычисление радиуса сходимости по формуле Коши. lim ряд сходится lim lim R lim () Замечание: Формула (,) применяется, если в степенном ряде в степени располагается подряд, т.е. =,,3 В противном случае для каждой

21 ~ ~ конкретной задачи необходимо выводить свою формулу радиуса сходимости. Пример: lim ( ) lim ( ) R ( ;) Исследуем поведение ряда на границах интервала сходимости. ( ) ряд Дирихле сходится. Ответ: ; область абсолютной сходимости. войства сходящихся степенных рядов.. умма степенного ряда является непрерывной функцией. Это является следствием -го свойства функциональных рядов, т.к. степенной ряд составлен из непрерывных степенных функций.. тепенной ряд можно неограниченное число раз дифференцировать и интегрировать. Это является следствием 3 и 4 свойств функционального ряда т.к. производная и интеграл от степенной функции остаѐтся степенной функцией. 3. В степенном ряде можно вычитать или прибавлять конечное число слагаемых. Это является следствием -го свойства числовых рядов. Замечание: -3 свойства справедливы в области сходимости степенного ряда. 4. умма и произведение -х степенных рядов является сходящимся степенным рядом на пересечении областей сходимости -х степенных рядов. ряд R,R ряд R,R -R -R R R х R, R - область сходимости суммы или произведения.

22 ~ ~ Разложение функции в степенной ряд: необходимое условие и вид разложения. Определение: Разложением функции в степенной ряд называется представление этой функции в виде ряда. S ( ) ( ( ) S( ) ) f () Необходимое условие. Теорема: Если функция разложима в степенной ряд, то она бесконечное число раз дифференцируема. Это является вторым следствием степенных ряда, так как выполняется равенство (). Вид разложения. Теорема: Если функция разложима в степенной ряд, то это разложение имеет следующий вид: 3 ( ) f ( )( ) f ( )( ) f ( ) f ( ) f ( f ) ( )( ) ( )! 3!! Доказательство: 3 S( ) ( ) ( ) 3( ) ( ) f ) S( ) f ( ) ( f ( ) S( ) ( ) 33 ( ) ( ) f ( ) f ( ) S ( ) 3 3( ) ( )( ) f( ) f ( )!! f ( ) S ( ) 33 ( )( )( ) f( ) f ( ) 3! 3 3 3!... ( ) ( ) ( ) ( ) f ( f ( ) S ( )! f ( )! )!

23 ~ 3 ~ Достаточные признаки разложения функции в ряд Тейлора. ряд Тейлора. f f! Формула Тейлора с остаточным членом в виде Лагранжа: f f f f f '... (3), где!!, В формуле (3) первые - слагаемых соответствуют частичной сумме ряда (). f S R (5). Признак. Если функция бесконечное число раз дифференцируема и lim 4, R то функцию можно разложить в ряд Тейлора. Доказательство: Пусть ряд ()-сходится, тогда lim S. S Вычислим предел левой и правой части формулы (5): f lim S lim R f S функция разложима в степенной ряд. lim. Признак. Если функция бесконечное число раз дифференцируема, и все еѐ производные в точке ограничены, т.е. f M M то функция разложима в ряд Тейлора. f Доказательство: R!, f R! R, т.к. отрезок лежит внутри области сходимости от - R до R R M! Рассмотрим вспомогательный ряд и докажем его сходимость,! используя признак Даламбера.! lim lim сходится, отсюда по необходимому признаку! сходимости числового ряда предел общего члена равен.. lim!

24 lim R M lim ~ 4 ~ условие (4) выполняется, значит, по -му признаку! функция разложима в ряд Тейлора. Разложение функций вряд Маклорена. Замечание: Ряд Маклорена получается из ряда Тейлора, если принять в ряде Тейлора. f ( ) e. 3 ( ) f () f () f () f ( ) f () f ()! 3!! f ( ) ; f ( ) ( ) e ; ( f ) () f ( ), с учѐтом, что:!!! Найдѐм область сходимости полученного ряда, используя признак Даламбера.! lim ( )! lim ( ; ) область сходимости Пример: e! d d d d!!!.36! f ( ) si. f ( ) f ( ) cos ; f() m; f ( ) si ; f ( ) f ( ) cos ; f ( ) ; f ( ) si ; f () ( )! lim ( )! сходимости. 3 f ( ) si 3! lim ( ) ( ) ( )! ( ; ) область

25 ~ 5 ~ 3. f ( ) cos f ( ) ; f ( ) si ; f ( ) ; f ( ) cos ; f ( ) f ( ) si ; f ( ) ; f ( ) cos ; f () 4 ( ) f ( ) cos, ( ; ) область сходимости.! 4! ()! 4. f ( ) ( ) m m f ( ) ; f ( ) m( ) ; f ( ) m f ( ) m( m )( ) ; f () m( m ) f ( ) ( ) m m( m ) m! m( m ) ( m ( ))! m( m ) ( m ) m lim lim ( )! m( m ) ( m ( )) (; ) - область сходимости.

26 ~ 6 ~ Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов. Решение исходного дифференциального уравнения будем искать в виде ряда y'' y''' 3 Тейлора: y y y'...! 3! помощью степенных рядов можно интегрировать дифференциальные уравнения произвольного порядка. y y y' ' f, y, y'. н.у.. y' y Коэффициенты для первых -х слагаемых в решении () берутся из н.у. y' ' -получится, если подставить н.у. в исходное уравнение (): y' ' f, y, y y Третья и т.д. производная будут найдены, если необходимое число раз продифференцировать дифференциальное уравнение () как сложную функцию и подставить в полученный результат н.у.: y''' f ', y, y' f ' y, y, y' f ' y', y, y ' y '' y''' f ', y, y y f ' y, y, y y f ' y', y, y y y y y y! 3 y 3! 3 3 y y... Пример: y' '' y y' y' '. Н.у. y ; y ; y'' ; y''' 3; y y' y'' y''' y y! 3! 4!

27 ~ 7 ~ Понятие ряда Фурье и определение его коэффициентов. Определение: Функциональный ряд называется тригонометрическим, если общий член его содержит функцию cos или si. f ( ) cos в si () Рассмотрим знакоположительный сходящийся числовой ряд S в () () ряд больше ряда составленного из абсолютных величин ряда (), значит () является мажорируемым, его можно интегрировать. Так как cos и si периодические функции, то ряд () будем интегрировать на интервале от до. Для нахождения коэффициента проинтегрируем левую и правую часть формулы (). f ( ) d d cos в si d d cos d в si х cos d si d Замечание: Определѐнный интеграл на отрезке, симметричном относительно, от нечѐтной функции равен, от чѐтной функции равен двум интегралам на половине отрезка. f ( ) d (3) Для нахождения коэффициента, левую и правую часть () умножаем на cos k ( k cost, k N) и интегрируем. f ( )cos kd cos kd si k I cos kd k I cos kcos d в I si cos kd случай ( k ). Используя формулу тригонометрии cos cos получим: cos si I d d cos ( ) (4),

28 ~ 8 ~ случай ( k ) Используя формулу тригонометрии cos cos cos cos, получим: I cosk cosd cosk cosd cos( ( k )) cos( ( k )) d si( ( k )) si( ( k )) si( k ) si( ( k )) k k k k I si d,( k ),так как si - нечѐтная. I si cos kd,( k ) нечѐтная В итоге имеем: I, I,( ) k, I,( k ), I,( k ), I,( k ) Подставляем значение интегралов I, I, I в формулу (4): f ( ) cos kd (когда k = ) f ( )cos( ) d (5) Для нахождения коэффициента в левую и правую часть формулы () умножаем на si k и интегрируем. В итоге аналогично получим: в f ( ) si d Определение: Рядом Фурье называется тригонометрический ряд (), если коэффициенты для него вычисляются по формулам (3,5,6). (6)

29 ~ 9 ~ Необходимое условие разложения функции в ряд Фурье. Если функция разложима в ряд Фурье, то она является периодической функцией. Определение: Функция называется кусочно-монотонной, если она имеет точки разрыва -го рода. y -3π -π π 3π Пример: f,,,, y -3π -π π 3π f d d ; f cosd cosd

30 ~ 3 ~ si u, du d; dv cos d, v ; cos si si d cos Интегрируем по частям: Анализируем два случая: нечѐтная cos, четная cos cos ; cos b f si d. по частям : u ; du d; dv si d; k b cos cos d si b ; f cos bsi cos si 4.

31 ~ 3 ~ Ряд Фурье для чѐтных и нечѐтных функций. f ( ) случай: f () чѐтная f ( ) cos чѐтная f ( ) cos d o f ( ) si нечѐтная в d f ( ) cos Замечание: Пример для этого случая приведен в следующем вопросе. случай: f () нечѐтная f ) cos f ( ) si чѐтная в f ( ) si d Пример: f,, y ( нечѐтная f ( ) в si -3π -π π 3π И рисунка видно, что на основном интервале:, график функции симметричен относительно начала координат, значит, исходная функция - нечѐтная cos b х si d. по частям : u ; du d; dv si d; k b cos cos d si b ; f b si si.

32 ~ 3 ~ Ряд Фурье для функции с периодом L, т. е. L, L tl Преобразуем исходную функцию f с помощью замены: в функцию f t. Выразив из формулы замены: t, найдѐм интервал для новой L L функции: t ; tb t. Полученная функция f t имеет период, L значит, для неѐ справедливы формулы (), (3), (5), (6): f t cos t b si t ; L tl f dt f d f d L L L L tl f tdt f d L L L cos cos L Аналогично: L b f si d L L L Делаем обратную замену: L L f cos d ; L L L f cos bsi L L Пример:,, f ; L,, Из рисунка видно, что график функции симметричен относительно оси ординат, значит, исходная функция - чѐтная. d 5 b y - х по частям : u ; du d cos d si si d 5 dv cos d; v si cos ;

33 f 5 ~ 33 ~ cos 5 cos ; Ряд Фурье для функции на произвольном отрезке, b. y y M (,y) t а L L а b t Переместим ось y в середину отрезка, b. Тогда: b L ; помощью замены переменных t L получится функция с периодом L, которую можно разложить в ряд Фурье по формулам предыдущего вопроса, заменяя в этих формулах на t. После разложения функции f t в ряд Фурье осуществляется обратная замена и вместо t подставляется: t L. Пример: f 3, 3,7 y y b 73 L ; t L t 3 Замена : t 5 Обратная замена : t 5 ; 3 f t 3t 5 ; f tdt 3t 5dt L 3t 3 5 t 3; L L х

34 ~ 34 ~ L по частям : u t 5 du dt t t f tcos dt 3t 5cos dt t t L L L dv cos dt v si t t t t dt si si cos. L по частям : u t 5 du dt t t b f tsi dt 3t 5si dt t t L L L dv si dt v cos 3 t t 3 t t t f t cos bsi 5 si ; L L t 5 cos cos dt 7 3 si f 5 5 si.


Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды Числовые и функциональные ряды Основные понятия Знакочередующиеся ряды Функциональные ряды Степенные ряды и разложение функций в степенной ряд Применение степенных рядов Ряды Фурье Основные понятия Пусть

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Глава Ряды Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Числовые ряды называется числовым рядом Суммы S, называются частичными суммами ряда Если существует предел lim S, S то ряд

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

Математический анализ Ряды

Математический анализ Ряды Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения Математический анализ Ряды Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики

Подробнее

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста)

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Подробнее

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г.

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. Замечание. 1) вопросы, не содержащие доказательства; ) вопросы, с серьезным доказательством; 3) вопросы с небольшим

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n Тема 9 Степенные ряды Степенным рядом называется функциональный ряд вида при этом числа... коэффициентами ряда, а точка разложения ряда.,,...,,... R... называются центром Степенные ряды Общий член степенного

Подробнее

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО, CА ИЗОТОВА, ЛА МАЛЫШЕВА РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов заочного обучения ( III семестр ) Уфа Дан теоретический материал (понятия,

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ. по модулю «Ряды»

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ. по модулю «Ряды» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТОЛЬЯТТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика и математическое моделирование» Ахметжанова ГВ Павлова ЕС Кошелева НН ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ по

Подробнее

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров, ОА Кузнецова РЯДЫ Учебно-методическое пособие Тольятти ТГУ 9 РЯДЫ РЯДЫ u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров,

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики И В Прусова Н А Кондратьева Н К Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Подробнее

Комплексные числовые ряды

Комплексные числовые ряды Тема Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд k ak с комплексными числами вида Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность S его частичных сумм S a k k. При этом предел S последовательности

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Решение типовика выполнено на сайте Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу

Решение типовика выполнено на сайте   Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу МИРЭА. Типовой расчет по математическому анализу Контрольные задания по теме Ряды Задание. Найти сумму числового ряда ) ) = + + ( )( 5) + ) ( ) = 5 = Решение ) 5 ( ) + + = = = = + + 5 + + 5 + + 5 + + 5

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна Третий семестр Лектор: Князева Людмила Павловна Темы: Наименование раздела, темы Всего аудиторных часов Лекции, часы Практически е занятия, часы 1 2 3 4 Тема 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Поточечная и равномерная сходимость. Действия над рядами, связанные с предельным переходом методические

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

Теоретичеcкие вопроcы и задачи

Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Дифференциальное иcчиcление функции неcкольких переменных. Дайте определение раccтояния (, b ) между точками, b, q докажите cвойcтва функции

Подробнее

Тема: Степенные ряды.

Тема: Степенные ряды. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд Лектор Рожкова С.В. 3 г. 34. Степенные ряды Степенным рядом рядом по степеням называется

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда u ; u числа, числовой ряд; u числа по изменению знаков членов ряда знакопостоянные знакоположительные знакопеременные знакочередующиеся k= u степенные u ; u функции, функциональный ряд u функции по классам

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

1.8. Общие функциональные ряды

1.8. Общие функциональные ряды Лекция. Степенные ряды. Гармонический анализ; ряды и преобразование Фурье. Свойство ортогональности.8. Общие функциональные ряды.8.. Уклонение функций Ряд U + U + U называется функциональным, если его

Подробнее

РЯДЫ. Учебное пособие

РЯДЫ. Учебное пособие РЯДЫ Учебное пособие Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б Н Ельцина Ряды Учебное пособие Рекомендовано методическим

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

3 РЯДЫ Хабаровск 2004

3 РЯДЫ Хабаровск 2004 РЯДЫ Хабаровск 4 4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовым рядом называется выражение, где,,, числа, которые образуют бесконечную числовую последовательность, общий член ряда, где N ( N множество натуральных чисел) Пример

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Числовые ряды. lim. S n. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида:

Числовые ряды. lim. S n. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: Тема 9 Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: a 1 a2 a3... a... a Если предел последовательности последовательностью частичных сумм ряда. lim S S 1 Необходимое условие сходимости:

Подробнее

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида ХVIII Ряды Понятие о числовом ряде Числовым рядом называется выражение вида (8) где,, 3, некоторые числа, называемые членами ряда Если п произвольный (текущий) номер, то число а п называют общим членом

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им НГ Чернышевского» ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Определение 1. Наибольший из частных пределов последовательности называется верхним пределом последовательности и обозначается

Определение 1. Наибольший из частных пределов последовательности называется верхним пределом последовательности и обозначается Глава. РЯДЫ. Понятия верхнего и нижнего пределов последовательности Пусть дана ограниченная числовая последовательность ( ) (все её члены заключены на числовой прямой между числами а и b), т.е. По теореме

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа.

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа. ~ ~ ФКП Производная функции комплексного переменного ФКП условия Коши - Римана понятие регулярности ФКП Изображение и вид комплексного числа Вид ФКП: где действительная функция двух переменных действительная

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ВН Алексеев, ДА Приказчиков, ВВ Ридель РЯДЫ Утверждено редакционно-издательским советом РОАТ в качестве учебного пособия РОАТ Москва 9 5 УДК 575(75)

Подробнее

Вопросы и задачи по математическому анализу

Вопросы и задачи по математическому анализу Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СР Свирщевский Вопросы и задачи по математическому

Подробнее

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши Лекция. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши.. Некоторые сведения о последовательностях Пусть каждому значению N поставлено в соответствие

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга является вторым томом учебника «Математика для инженеров»в данном томе излагаются основы числовых и функциональных рядов; кратных и поверхностных интегралов; теории поля; основы

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx.

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Лекция 5. Понятие несобственного интеграла -го рода, его вычисление. Критерий сходимости. Интегралы от положительных функций. Признаки сравнения, абсолютная

Подробнее

{основные понятия основные теоремы о сходящихся рядах - необходимый признак сходимости ряда - достаточные признаки сходимости рядов с положительными

{основные понятия основные теоремы о сходящихся рядах - необходимый признак сходимости ряда - достаточные признаки сходимости рядов с положительными {основные понятия основные теоремы о сходящихся рядах - необходимый признак сходимости ряда - достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами признак Даламбера, признак Коши, интегральный

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды»

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ------------------------------------------------------------------------------------------------- О.Г. Илларионова, В.А. Ухова МАТЕМАТИКА

Подробнее

Сходимость знакопеременных числовых рядов

Сходимость знакопеременных числовых рядов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Сходимость знакопеременных числовых рядов Числовой ряд u, в котором имеется бесконечно много как положительных, так = и отрицательных элементов, называется числовым рядом с произвольными

Подробнее

a......, a,... называют членами...

a......, a,... называют членами... РЯДЫ Числовые ряды Основные понятия числового Пусть дана последовательность вещественных или комплексных чисел Числовым рядом называется сумма всех членов числовой последовательности: Числа,,,, называют

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Пусть имеем функцию определенную на множестве X и пусть точка X - внутренняя точка те точка для которой существует окрестность X Возьмем любую точку и обозначим через называется

Подробнее

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Механико-математический факультет Кафедра теории функций

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Механико-математический факультет Кафедра теории функций Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского Механико-математический факультет Кафедра теории функций Михаил Александрович Солдатов Светлана Серафимовна Круглова Евгений Валентинович Круглов

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения» Кафедра «Высшая и прикладная математика» И

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16.1. Рассмотрим произвольное множество X и последовательность функций f, определенных на X. Говорят, что последовательность f сходится поточечно

Подробнее