Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка"

Транскрипт

1 Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию F, независимую переменную, её функцию и производные (или дифференциалы) функции () Определение Решением дифференциального уравнения () называют всякую n раз непрерывно дифференцируемую на интервале ( a, b) функцию, при подстановке которой уравнение превращается в тождество, верное для ( a, b) Пример Проверить, что каждая из функций:, e является решением данного дифференциального уравнения для ( 0, ) 0 Определение Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения Вообще говоря, дифференциальное уравнение имеет бесконечно много решений Если задачу об отыскании всех решений дифференциального уравнения свести к вычислению конечного числа интегралов и производных от известных функций, используя конечное число алгебраических операций, то говорят, что «уравнение интегрируется в квадратурах» Но класс таких дифференциальных уравнений достаточно узок Поэтому для решения дифференциального уравнения чаще используют численные методы Определение 4 Порядком дифференциального уравнения () называют порядок старшей производной (или дифференциалов), входящей в уравнение Например, порядок дифференциального уравнения равен единице Это дифференциальное уравнение первого порядка Дифференциальное уравнение первого порядка 4

2 Определение Дифференциальное уравнение вида F(, ( ), ( )) 0 () называют дифференциальным уравнением первого порядка Дифференциальное уравнение называют разрешенным относительно производной, если его удается записать в виде f (, Для дифференциального уравнения () ставится задача: найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее условию ( 0) 0, где 0 и 0 заданные числа Такую задачу называют задачей Коши Пусть () решение уравнения () на интервале ( a, b) График функции () называют интегральной кривой Геометрически задача Коши звучит так: найти интегральную кривую дифференциального уравнения (), проходящую через заданную точку, ) 5 ( 0 0 Теорема (существования и единственности) Пусть функция и дf (, её частная производная непрерывны в области D Po, точка д ( 0, 0) принадлежит области D Тогда a) существует решение задачи коши в некоторой окрестности точки 0 ; b) если ( ) и ( ) решения задачи Коши, то ( ) ( ) в некоторой окрестности точки 0 Замечания: a) если условия теоремы выполнены, то через любую точку ( 0, 0), принадлежащую области D проходит одна интегральная кривая; b) решение, в любой точке которого нарушена единственность решения задачи Коши, называется особым решением дифференциального уравнения Определение Общим решением дифференциального уравнения F, ( ), 0 в области D называется функция φ(, C), зависящая от и произвольной постоянной C, удовлетворяющая дифференциальному уравнению при любом допустимом значении постоянной C Замечание Если решение дифференциального уравнения получено в неявном виде G (,, C), его называют общим интегралом уравнения При конкретном значении постоянной C мы получаем частное решение (или частный интеграл) уравнения

3 Пример Проверить, что функция C является интегралом дифференциального уравнения ( Решение: функция задана неявно Дифференцируем её 0 ( Что и требовалось доказать Пример ctg cos 0 Можно проверить, что sin будет решение этого уравнения Определение 4 Точки (, плоскости, в которых не выполняется условие существования и единственности решения называются особыми точками дифференциального уравнения В этих точках терпит разрыв либо функция f (,, либо её производная f (, Замечание Через каждую особую точку может проходить либо несколько интегральных кривых, либо не проходит ни одной Пример Рассмотрим уравнение Здесь функции f (, и f (, непрерывны при 0 Таким образом, за исключением оси OY, точки всей плоскости OXY удовлетворяют услови- ям Коши Особыми точками будут все точки на оси OY Пример 4Составить дифференциальное уравнение семейства кривых C( C) Решение Дифференцируем неявно заданную функцию: C ( C ) Получили дифференциальное уравнение первого порядка Далее: 6 C Подставим C и C в исходное уравнение Получим искомое дифференциальное уравнение: 0 Дифференциальное уравнение с разделяющими переменными Пусть нам удалось записать дифференциальное уравнение в виде M( ) N(, где функции M () и N ( непрерывны, и каждая из них является функцией только одного аргумента Дифференциальное уравнение 6

4 d d M ( ) N( называют дифференциальным уравнением с разделяющими переменными f (, f( ) Пример, sin sin Пример, f(, f( ) Для того чтобы разделить переменные, решаем пропорцию так, чтобы все дифференциалы попали в числители: d (4) M ( ) d N( Такое дифференциальное уравнение называют дифференциальным уравнением с разделяющими переменными Оно решается операцией интегрирования: d M ( ) d N( Пример Решить дифференциальное уравнение Решение Мы имеем дифференциальное уравнение с разделяющими переменными Решаем пропорцию, разделяя переменные: d d Получили уравнение с разделенными переменными Интегрируем его: d d или d ln d ln C общий интеграл ln Замечание Для того чтобы решить дифференциальное уравнение первого порядка, его сводят разными методами к дифференциальному уравнению с разделенными переменными, так как последнее уравнение решается с помощью операции интегрирования Использование дифференциальных уравнений в экономике Пусть (t) объем производства, реализованный к моменту времени t Считаем, что цена данного товара постоянна в течение рас- 7 ()

5 сматриваемого интервала времени Тогда функция (t) удовлетворяет уравнению: k, ( ) где k mpl, m норма инвестиций, p продажная цена, l коэффициент пропорциональности Дифференциальное уравнение ( ) является уравнением с разделяющимися переменными Его решение имеет вид: k( tt 0 ) 0 e, где 0 ( t 0 ) Уравнение ( ) описывает динамику роста цен при постоянной инфляции, а также рост населения Пример Найти функцию спроса, если эластичность спроса относительно цены выражена формулой E p const, причем ( ) 6 Напомним: эластичность спроса относительно цены определяется формулой p d E p ( dp 4 Однородные уравнения Определение 4 Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно представить в виде (5) φ, где функция φ только отношения переменных Примеры d sin d d ln e d 8

6 Для решения этого уравнения делаем замену переменной z() или z( ) Затем дифференцируем это равенство, получим d dz z( ) z( ) или z d d В уравнение (7) произведем замену и получим dz dz dz d z φ(z) φ( z) z d d φ( z) z Таким образом, пришли к уравнению с разделяющимися переменными, в предположении, что φ ( z) z 0 Интегрирую равенство, получим dz ln C φ( z) z После нахождения интеграла, подставим z, получим общее решение уравнения (5) Пример 4 Решите дифференциальное уравнение первого порядка Решение Запишем уравнение в виде : Делаем замену z, z( ) z( ), получаем z dz z dz z z z z z d d dz d z z dz d z dz d z ln C ln C z Интеграл решения дифференциального уравнения: ln C 5 Линейные дифференциальные уравнения 9

7 Определение 5 Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называют уравнение вида p( ) ( ) f ( ), (6) где функции p () и f () непрерывны для любого a, b Если f ( ) 0, a, b, то уравнение (6) называют однородным Если f ( ) 0, то уравнение (6) называют неоднородным Заметим, если f ( ) 0, то уравнение (6) является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными Примеры d cos cos d e sin не линейное уравнение Если же f ( ) 0, то используют три способа их решения I Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) В начале решают соответствующее однородное дифференциальное d d уравнение: p( ) ; где Тогда p( ) d, откуда d d p( ) d, иln p( ) d Общее решение однородного дифференциального уравнения: p( ) d C e Далее, считаем C C() функцией аргумента Тогда её можно дифференцировать (варьировать по ): ( ) C( ) e Подставим полученное решение в исходное дифференциальное уравнение, предварительно найдя : d dc p( ) d p( ) d e C( ) e p( ) d d Имеем: dc p( ) d p( ) d p( ) d e C( ) e p( ) C( ) e p( ) f ( ) d p( ) d или dc( ) f ( ) e d Интегрируем дифференциальное уравнение с разделёнными переменными: 40 p( ) d

8 p( ) d C( ) f ( ) e d A, где тогда решение неоднородного дифференциального уравнения примет вид: p( ) d p( ) d ( ) f ( ) e d A e p( ) d p( ) d p( ) d e f ( e d A e Ae e p( ) d p( ) d f о н ) общее решение соответствующего однородного; о о p( ) d ( ) e d ч н частное решение исходного неоднородного дифференциального уравнения 4 Пример 4 Найти общее решение уравнения Уравнение содержит неизвестную функцию () и её производную в первой степени, поэтому мы имеем линейное дифференциальное уравнение первого порядка (оно неоднородное) Для его решения используем метод вариации произвольной постоянной Решим соответствующее однородное: 0 d d d d d d Интегрируем:, откуда ln ln ln C, тогда C Считаем C C(), тогда C( ) Для нахождения неизвестной функции C () подставим найденные и в исходное дифференциальное уравнение: 4 C( ) C( ) C C C, тогда dc d dc( ) C( ) A d Итак, запишем общее решение исходного дифференциального уравнения: A A, где о о A общее решение соответствующего однородного, частное решение исходного неоднородного ч н II Метод подстановки

9 Решение дифференциального уравнения p( ) ( ) f ( ) можно свести к решению двух дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными Для этого ищут решение уравнения в виде произведения двух функций: ( ) u( ) v( ) Тогда ( ) u v v u Подставляем и в исходное дифференциальное уравнение: u v v u р u v f () Оно содержит две неизвестные функции: u () и v () В силу произвола выбора вида решения будем считать, что коэффициент при любой из функций u () или v () равен нулю Например, коэффициент при u () равен нулю Тогда v р( ) v( ) 0, и оставшаяся часть исходного дифференциального уравнения: u v f () Итак, имеем два дифференциальных уравнения с разделяющимися переменными: dv р( ) v( ), d du v( ) f ( ) d Решение первого из них р ( v e ) ( ) d, где константу интегрирования можно считать равной единице в силу свободы выбора функции v () Подставляем v () во второе уравнение: ( ) du e р d f ( ), d тогда u f e р( ) d ( ) ( ) d C Окончательно, так как ( ) u( ) v( ), то общее решение р ( ) d р( ) d ( ) e f ( ) e d C Замечание Бывает, мы имеем дело с дифференциальным уравнением вида: p( ( f (, которое линейно относительно ( и ( Тогда её решение ищут в виде ( u( v( 4

10 Пример 5 Найти общее решение дифференциального уравнения Будем искать решение в виде ( ) u( ) v( ) Тогда ( ) u v v u Подставляем в дифференциальное уравнение: u v v u u v, откуда возникает два дифференциальных уравнения: dv v( ), d du v( ) d Решаем первое из них: dv d ln v v e v Подставляем v () во второе уравнение: d d du e d u du d Обозначим I e d e ; dv e d v u du d I e e d e ; dv e d v I e e e С 4 Тогда o н e e С e 4 или o н С e 4 Пример 6 Решите дифференциальное уравнение первого порядка cos cos Решение Здесь P( ) cos, Q( ) cos Делаем замену uv, uv vu, и составляем систему 4

11 v cos v 0, vu cos Решаем первое уравнение системы v cos v 0 v cos v dv dv dv cos v cosd d v cos d ln v sin v sin v e sin Подставляем найденное v e во второе уравнение системы: sin e cos du sin sin u cos u cose du cose d sin e d sin sin du cos e d u e C Исходное решение системы получается следующим sin uv e sin C e III Метод интегрирующего множителя (метод Эйлера) Обе части дифференциального уравнения: p( ) ( ) f ( ) умножают на интегрирующей множитель, где e р( ) d p( ) e р( ) d e Тогда μ ( ) f ( ) μ( ) d 44 р( ) d р( ) d μ ( ) e,, после интегрирования получаем: μ ( ) f ( ) μ( ) d C или e p( ) d f ( ) μ ( ) d C Пример 7 Найти общее решение дифференциального уравнения: Запишем дифференциальное уравнение в виде: Найдем интегрирующей множитель дифференциального уравнения: d ln μ ( ) e μ ( ) e μ ( ) Умножим дифференциальное уравнение на множитель μ () : или

12 / Его левая часть μ (), то есть Интегрируем это уравнение: / C, откуда общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид: / C Пример 8 Решить дифференциальное уравнение Имеем: ( Решим с помощью интегрирующего множителя: так как p ( ), то уравнение на μ ( e : μ ( e d e Умножим дифференциальное e e e Его левая часть: e e e, тогда e e ( e e e e C ( e e e C или ( e Ce 6 Уравнения Бернулли n Дифференциальное уравнение вида p( ) ( ) f ( ), где n 0, n,, называют уравнением Бернулли С помощью подстановки n z уравнение Бернулли сводится к линейному: z p( ) z f ( ) n При решении уравнений Бернулли их не преобразовывают в линейные; их сразу решают методом вариации или методом подстановки Пример Решить уравнение Бернулли Преобразуем уравнение к виду: 45

13 Решение ищем в виде u( ) v( ), ( ) u v v u Подставим в исходное уравнение: u v v u u v u v Получаем два дифференциальных уравнения: dv d, v du v d u v Решаем первое: ln v ln v Подставим v () во второе du уравнение: u du d d / u Интегрируем: тогда 4 u 4 C 4 u 4C 4, 4 о н u v C 4 4 Пример Решите дифференциальное уравнение первого порядка 4 Решение Здесь P ( ), Q( ), n 4 Делаем замену uv, uv vu, и составляем систему dv v v v 0, 4 u u v Решаем первое уравнение системы v v 0 v v d dv d v ln v ln ln v ln ln v ln 46

14 v Подставляем найденное v во второе уравнение системы 4 u u u 4 u du d du d 4 u u 4 u ln C u u ln C ln C Решение исходного уравнения получается следующим: uv ln C 7 Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Интегрирующий множитель o Определение 7 Уравнение вида P (, d Q(, d 0, левая часть которого представляет собой полный дифференциал некоторой функции двух переменных u (,, называют «уравнением в полных дифференциалах» Итак, запишем: du (, 0 Его общее решение находим операцией интегрирования: u(, c Другими словами, мы должны восстановить функцию по её полному дифференциалу, чтобы решить дифференциальное уравнение данного типа Один из способов нахождения функции u (, дает теорема: Теорема 7 Пусть функции P (, и Q (, определены и непрерывны в области D P и имеют в ней непрерывные частные про- дp дq изводные и Чтобы выражение д д P (, d Q(, d представляло собой полный дифференциал некоторой функции u (,, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие для любой дp дq д д точки (, D; при этом функцию u (, можно найти по одной из следующих формул: u(, P(, d Q( 0, d, или

15 u(, P(, 0 ) d Q(, d, 0 где точка ( 0, 0) D выбирается так, чтобы получившиеся функция была интегрируема Докажем необходимость Пусть выражение P (, d Q(, d является полным дифференциалом функции двух переменных u (, в области D : P(, d Q(, d du(, Тогда дu дu P(,, Q(, ) Найдем частные производные функций P (, и Q (, д д : дp д u дq д u, д дд д дд Мы знаем, что смешанные производные равны, если они непрерывны Но по условию функции и непрерывны, что и доказы- д д дp дq дp дq вает справедливость формулы: д д Покажем, что можно восстановить функцию по её полному дифференциалу, зная её частные дифференциалы Итак, du(, d u d u, где d u P(, d, d u Q(, d Например, можно проинтегрировать фиксированным Тогда u(, P(, d φ( 0 d u P(, d, считая Теперь найдем дu д P(, d ( Q(, д д φ, по усл откуда выражаем φ и находим функцию φ ( Найденную функцию φ ( подставляем в формулу: u(, P(, d φ( Пример Найти общий интеграл уравнения e d e d 0 48

16 В данном примере P(, e, Q(, e Находим дp и дq e e, то есть имеем дело с дифференциальным уравнением в полных дифференциалах Восстановим функцию u (, по её д д полному дифференциалу Так как du e d, то u(, e d φ( или дu u(, e φ( Находим e φ По условию: д e φ Q(, e, откуда φ или dφ d Интегрируем: 49 φ C, тогда общий интеграл: e u(, или e С Пример Найдите общий интеграл уравнения sin d e cos d e 0 Решение Здесь P(, e sin, Q(, e cos и дp дq cos, cos Следовательно, левая часть уравнения д д есть полный дифференциал некоторой функции u (,, то есть дu дu дu e sin, e cos Проинтегрируем по : д д д дu e sin d, д u(, e sin C( Найдем функцию C (, продифференцировав последнее выражение по cos C( дu д Получаем уравнение находим C ( e, то есть уравнения имеет вид e cos C( cos e, откуда C( e Таким образом, общий интеграл sin e C Интегрирующий множитель Если уравнение P (, d Q(, d 0 не является уравнением в дp дq полных дифференциалах, то есть, но существует функция д д

17 μ (, такая, что при умножении на неё мы получаем уравнение в полных дифференциалах: μ Pd Qd du, то функцию μ (, называют интегрирующим множителем Когда интегрирующий множитель найден тем или иным способом, он умножается на исходное дифференциальное уравнение, тем самым дифференциальное уравнение превращается в уравнение в полных дифференциалах Остается найти его общий интеграл Замечание: дифференциальное уравнение первого порядка, удовлетворяющее условиям теоремы о существовании решения, имеет бесконечное множество интегрирующих множителей Но общих приемов отыскания интегрирующих множителей нет Для отдельных типов уравнений первого порядка удается отыскать интегрирующий множитель Рассмотрим два таких случая: A Интегрирующий множитель является функцией только аргумента, то есть μ () Тогда 0, и μ () находят по формуле: дμ д d Q μ () e B Интегрирующий множитель есть функция только аргумента дμ, то есть μ ( Тогда 0, и μ ( находят по формуле: д 50 P Q P Q d μ ( e P Пример Найти общее решение уравнения d d ln d Преобразуем уравнение: ln d d 0 запишем функции дp дq P(, ln, Q(, Найдем,, частные производные не равны, но их разность, тогда есть д д дp дq P Q д д Q функция только аргумента, то есть d ln μ ( ) e e Мы нашли интегрирующий множитель μ ( ) Умножаем на него исходное дифференциальное уравнение:

18 ln 0 d d ln дp Выписываем функции P, Q Тогда, д дq то есть мы получили дифференциальное уравнение в полных д ln дифференциалах В данном случае d u d, d u d Проинтегрируем d u : u d ψ( ) u(, ψ( ) Дифференцируем функцию u (, по аргументу : дu ln dψ ln ln d ψ, откуда или dψ Интегрируем последнее уравнение: д по усл d d u ln du d ln d ψ ln ψ d, тогда dv v ln ψ С ln Окончательно: u(, или общее решение: c ln Глава Дифференциальные уравнения высших порядков Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка Определение Дифференциальным уравнением второго порядка называют уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и её первые две производные: 5

19 f (,,, ) 0 Определение Решением дифференциального уравнения второго порядка называют всякую дважды дифференцируемую функцию, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество Дифференциальное уравнение второго порядка имеет бесконечное множество решений В общем виде решение дифференциального уравнения второго порядка можно записать по формулам: φ(, C, C) () или Ф (,, C, C) 0, () куда входят две не зависящие друг от друга произвольные постоянные Решение вида () называют общим решением; вида () общим интегралом ДУ Когда произвольным постоянным C и C придают конкретные числовые значения, полученное решение называют частным решением Каждое частное решение изображается интегральной кривой на плоскости Общее решение дает семейство интегральных кривых Для выделения частного решения из общего используют начальные условия: задаются значение функции и значение её первой производной при конкретном значении независимой переменной: ( 0) 0( 0), ( 0) 0 ( 0) () Для определения частного решения из общего по начальным условиям находят числовые значения C и C из системы уравнений 0 φ( 0, C, C), 0 φ( 0, C, C), или Ф( 0, 0, C, C) 0, Ф ( 0, 0, C, C) 0 Теорема Пусть f (,, дифференциальное уравнение второго порядка и заданы начальные условия (); причем: a) функция f (,, ) непрерывна в окрестности точки 0, 0, 0 по всем своим аргументам; b) функция f (,, имеет ограниченные частные производные по аргументам и в окрестности точки, 0 0, 0 5

20 Тогда существует единственное решение данного дифференциального уравнения, которое определено и непрерывно в интервале 0 δ, 0 δ, удовлетворяющее заданным начальным условиям () Для дифференциального уравнения второго порядка существует ряд случаев, когда введением новой переменной удается понизить порядок уравнения, то есть превратить его в дифференциальное уравнение первого порядка Перейдем к рассмотрению таких случаев: Простейшее дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид: f () Оно не содержит искомую функцию и её производную первого порядка Для нахождения искомой функции () два раза последовательно находим неопределенные интегралы: C f ( ) d C, ( ) f ( ) d d C C Полученная функция содержит две произвольные постоянные C и Дифференциальное уравнение второго порядка не содержит искомую функцию (), то есть имеет вид f (,, ) 0 Вводим новую переменную z (), положив z( ), тогда z ( ), что превращает исходное дифференциальное уравнение в уравнение первого порядка: f (, z, z) 0 Решаем, если это возможно, дифференциальное уравнение первого порядка и получаем его общее решение в виде z φ, C ) Заменяем z ( на, тогда φ (, C) d C Дифференциальное уравнение второго порядка не содержит независимой переменной, то есть имеет вид: f (,, ) 0 Вводим новую переменную z (), положив z( ) В таком случае d dz d d d d или dz z d 5

21 dz Запишем преобразованное уравнение: f, z, z 0 Решаем, d если возможно, это уравнение и получаем общее решение в виде: z φ(, C) d Подставляем вместо z : φ(, C) Это дифференциальное d уравнение первого порядка с разделяющимися переменными Решаем его: d d d C φ(, C) φ(, C) Последнее равенство дает общее решение исходного дифференциального уравнения 4 Дифференциальное уравнение второго порядка не содержит ни, ни и имеет вид: f ( Его можно решать как указанно в п Укажем другой способ решения Используем соотношение: d d Умножим левую часть исходного дифференциального уравнения d f ( d на d, а правую на d : d f ( d, откуда можно записать f ( d C f ( d d ), тогда интегрируем: f ( d C Заменяем на d d : f ( d C d d d d f ( d C Интегрируем последнее уравнение и получаем общее решение исходного дифференциального уравнения в виде: C φ, ) ( C Пример Найти общее решение дифференциального уравнения: ln Оно не содержит и Дважды последовательно интегрируем: ) ln d ln C, ln C d ( ln C C 4 54

22 Получили общее решение исходного дифференциального уравнения Пример Найдите частное решение уравнения ( IV ) cos, удовлетворяющее начальным условиям:, 0,, Решение Найдем общее решение последовательным интегрированием данного уравнения: sin cos d C, 4 sin cos C d C C, cos sin C C d C C C 4 8, 6 4 sin cos C C C d C C C C Воспользуемся начальными условиями: C 0, C, C 0, C4 8 8 C 0, C, C 0, C4 0 4 Следовательно, искомое частное решение имеет вид: 4 cos C 6 Пример Найдите общее решение уравнения ln Решение Полагая z, преобразуем уравнение к виду z z z z z ln или z ln Это однородное уравнение первого порядка Полагая z t, получим уравнение: t t t ln t, или Интегрируем, находим 55 dt t(ln t ) d z t, откуда

23 ln t ln ln C ln, или ln t C Откуда t e C ; возвращаясь к переменной z t, приходим к C уравнению z e Следовательно, C e C C C или e d e e C C C Пример 4 Решить дифференциальное уравнение: Дифференциальное уравнение не содержит независимой переменной Введем новую переменную z( ), тогда z Под- dz d ставим и в исходное дифференциальное уравнение: dz dz z z z z или d d Получили линейное неоднородное уравнение первого порядка Его решение ищем в виде z( u( v( z uv vu, откуда u v vu u v Приравняем к нулю коэффициент при u : dv v dv d v d v du Решаем второе уравнение: d du d u C, тогда z( C Заменяем z ( на d d, тогда C d d : d d C, откуда d d C C C C C ln C общий интеграл исходного дифференциального уравнения Пример 5 Решите уравнение 56

24 Решение Положим z, dz z d Уравнение примет вид dz z z ; это уравнение первого порядка относительно z с разделяющими переменными Разделим переменные и интегрируем: d zdz d zdz d z z ln z ln ln C z C z C Отсюда, возвращаясь к переменной, имеем C d d C или ln C C ( C) C ( C C e ) C ( C ) Пример 6 Найти общий интеграл дифференциального уравнения: Дифференциальное уравнение не содержит ни независимой переменной, ни Умножаем левую часть дифференциального уравнения на d, правую на d : d d, откуда d, или тогда C d Заменим на : d e C d C d d d C d Можно интегрировать d C C C C общий интеграл исходного дифференциального уравнения Пример 7 Решите уравнение 4 или 57

25 Решение Разделив обе части уравнения на : 4 Положим z, откуда z, или z z В результате получим уравнение z 4z 4z или 4z z, то есть dz d z 4 Отсюда, интегрируя, находим arctgz C, или z tgc, или tgc Интегрируя последнее уравнение, получим 4 tgc или C cos C 4 4 Линейные дифференциальные уравнения Определение Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называют уравнение вида: p( ) g( ) f ( ), где () искомая функция, и p ( ), g( ), f ( ) известные непрерывные функции Дифференциальное уравнение называют неоднородным, если f ( ) 0; при f ( ) 0 дифференциальное уравнение называют однородным Итак, линейное дифференциальное уравнение линейно относительно искомой функции () и её производных и Линейные дифференциальные уравнения имеют широкое применение и обладают свойствами, позволяющими относительно просто найти общее решение Теорема Если функции ( ) и ( ) являются решениями однородного дифференциального уравнения p( ) g( ) 0, то их линейная комбинация α β, α, β R также является решением данного дифференциального уравнения Для доказательства теоремы подставляют функцию α β в исходное дифференциальное уравнение и получают тождество 58

26 Определение Две функции ( ) и ( ) называют линейно независимыми на интервале a, b, когда не существует постоянных α и β, из которых хоть одна отлична от нуля и таких, что имеет место тождество α β 0 для всех a, b Возьмем две функции ( ) и ( ) составим для них определитель: Δ, Этот определитель называют определителем Вроньского (или вроньскианом) Теорема 4 Если два решения ( ) и ( ) дифференциального уравнения p( ) g( ) 0 линейно независимы в интервале a, b, то 0 a, b W для любого, Следствие Вроньоскан равен нулю, если два решения дифференциального уравнения ( ) и ( ) a, b линейно зависимы в интервале Теорема 5 Если ( ) и ( ) линейно независимые решения линейного однородного дифференциального уравнения p( ) g( ) 0, то выражение C C, где C и C произвольные постоянные, является общим решением данного дифференциального уравнения Рассмотрим линейное неоднородное уравнение: p( ) g( ) f ( ) () Соответствующее однородное уравнение имеет вид: p( ) g( ) 0 () Теорема 6 Сумма какого-либо одного частного решения неоднородного уравнения () и общего решения соответствующего однородного уравнения () есть общее решение данного дифференциального уравнения () Следующая теорема предлагает способ нахождения частного решения неоднородного уравнения Его называют методом вариации произвольных постоянных Теорема 7 Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения может быть записано в виде u( ) v( ), где ( ) и ( ) два линейно независимых решения соответствую- 59

27 щего однородного уравнения, а u () и v () две специальным образом подобранные функции, содержащие произвольные постоянные Доказательство Так как u v решение, то находим u u v v В силу произвола выбора вида решения подбираем функции u () и v () так, чтобы u v 0 Тогда u v Находим u u v v Подставляем в дифференциальное уравнение и группируем слагаемые: u u v v u p( ) g( ) v p( ) g( ) u v f ( ) 0 Откуда получаем уравнение: u v f ( ) Итак, мы получаем вариационную систему: u v 0, () u v f ( ) В этой системе неизвестными являются u () и v () ; величины,,, известны Чтобы система () была разрешима, достаточно, чтобы определитель системы был отличен от нуля: Δ, Это определитель двух линейно независимых решений однородного дифференциального уравнения, поэтому он не равен нулю для любых a, b, значит, система () разрешима Из неё находим выражения для u () и v () После интегрирования получим: u( ) φ ( ) C, v( ) ψ ( ) C Откуда φ ( ) C ψ( ) C Раскрываем скобка: C C φ ( ) ψ( ), где C C общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения; тогда выражение φ ( ) ψ( ) будет частным решением исходного неоднородного дифференциального уравнения Пример Решить дифференциальное уравнение: cos Выписываем и решаем соответствующее однородное уравнение: 0 Его общее решение имеет вид: 60 0

28 o o C cos C sin Далее будем считать, что C C( ) и C C( ) Составим вариационную систему: C cos C sin 0, cos C sin C cos sin cos sin После умножения складываем строки: C или cos sin dc d Интегрируем: C A cos cos sin sin Выражаем C C, тогда dc d или cos 4 cos tg C tg dtg Запишем C B Получаем решение: tg A cos B sin cos o н Пример Найдите общее решение уравнения 4 cos Решение Находим частные решения дифференциального уравнения 4 0 Для него составляем характеристическое уравнение k 4 0 и находим его корни k i, k i Получаем, что ( ) cos, ( ) sin есть фундаментальная система решений, а следовательно, ( ) C cos C sin общее решение однородного уравнения 4 0 Поэтому общее решение неоднородного уравнения запишется в виде ( ) C( )cos C( )sin Запишем систему для нахождения C ( ), C ( ) Она имеет вид C ( )cos C ( )sin 0, C ( )sin C ( )cos cos Решая эту систему относительно C ( ), C ( ), находим 0 sin cos cos sin cos C ( ) tg, cos sin cos sin sin cos 6

29 cos 0 sin cos C ( ) cos sin cos sin sin cos Интегрируя C ( ) tg, C ( ), получаем ~ ~ C( ) tgd ln cos С, C( ) d С 4 Подставляя эти выражения в равенство ( ) C cos C sin, получим частное решение данного неоднородного уравнения ~ ~ ( ) ln cos С cos С sin 4 Пример Найдите общее решение уравнения tg Решение Находим частные решения дифференциального уравнения 0 Для него составляем характеристическое уравнение k 0 и находим его корни k i, k i Получаем, что ( ) cos, ( ) sin есть фундаментальная система решений, а, следовательно, ( ) C cos C sin общее решение однородного уравнения 0 Поэтому общее решение неоднородного уравнения запишется в виде ( ) C( )cos C( ) sin Запишем систему для нахождения C ( ), C ( ) Она имеет вид C ( )cos C ( )sin 0, C ( )sin C ( )cos tg Решая эту систему относительно C ( ), C ( ), находим 0 sin tg cos sin tg sin C ( ), cos sin cos sin cos sin cos cos 0 sin tg C ( ) sin cos sin sin cos sin Интегрируя C ( ), C ( ) sin, получаем cos 6

30 sin ~ cos π ~ C( ) d C sin ln, cos tg tg C cos 4 ~ C( ) sin d cos C Подставляя эти выражения в равенство ( ) C cos C sin, получим частное решение данного неоднородного уравнения π ~ ~ ( ) sin ln tg tg C cos cos C sin 4 Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами Пусть в дифференциальном уравнение p g 0, p, g R (4) Чтобы при подстановке функции, являющейся решением дифференциального уравнения, все члены взаимно уничтожились, производные функции решения должны быть подобны ей самой Мы знаем, что такими свойствами обладает показательная функция Попробуем искать решение дифференциального уравнения (4) в виде: k e Тогда уравнение: k ke, k k k e Подставим, 6 k pk q 0 e k, в дифференциальное Множитель e не равен нулю для любого конечного значения, поэтому k pk q 0 Это алгебраическое уравнение называют характеристическим Таким образом, если k корень характеристического, то функция e является решением дифференциального уравнения k (4) Рассмотрим все случаи корней, которые могут встретиться при решении характеристического уравнения Теорема Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами может быть записано одной из формул: Если корни характеристического уравнения вещественны и k, то k k o o Ce Ce Если корни характеристического уравнения вещественны и совпадают k k k, то k

31 k o o Ce Ce Если характеристическое уравнение имеет два комплексных сопряженных корня k α iβ, β 0 тогда, α o o e C cos β C sin β Пример Найти частное решение дифференциального уравнения: 9 0, при начальных условиях ( ) () Найдем общее решение дифференциального уравнения Так как линейное дифференциальное уравнение имеет постоянные коэффициенты, то его решение будем искать в виде e, k откуда k ke, k k e Подставим уравнение: k 9 0 k e k 64 k, и в исходное дифференциальное Но e 0, для любого конечного, откуда получаем характеристическое уравнение: k 9 0 k i чисто мнимые комплекс-, ные корни, тогда ч cos, ч sin o o C cos C sin Используем начальные условия для нахождения частного решения: ( ) () Для этого найдем C sin C cos, o o () C cos C sin, C () C sin C cos Подставим C в первое уравнение: cos C sin cos sin Откуда част cos cos sin sin C C Пример Найти общее решение дифференциального уравнения: 4 0 Имеем линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами Его решение ищем в виде e, ke, k e k k k Подставляем функции, и в дифференциальное уравнение: k 4k 0 e k или k 4k 0 ( k )( k ) 0 k, k Кони характеристического вещественны и различны: ч e, ч e

32 o o C e C e Пример Найти частное решение дифференциального уравнения при начальных условиях ( 0), (0) Так как дифференциальное уравнение линейное, с постоянными коэффициентами, то его решение будем искать в виде e, k откуда k, k 0 ke k e e k k 4 4 k 0, k k Корни характеристического уравнения вещественны и совпадают ч e, ч e Проверим линейную независимость функций и : ч ч e e 4 4 W e e 0 e e o o C e C e Используем начальные условия для нахождения частного решения Вначале найдем (0) C, o o C e C e (0) C C, C, C 0 част e Пример 4 Найдите общее решение уравнения Решение Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет вид k 5k 6k 0 Его корни k, k, k Фундаментальная система частных решений: 0 0 e e Y C Ce,, e Общее решение уравнения имеет вид Ce Пример 5 Найдите общее решение уравнения 0 Решение Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет вид k k 0 Его корни k k Фунда- ментальная система частных решений: e, e Общее решение уравнения имеет вид Y e C C Пример 6 Найдите общее решение уравнения ( V ) ( IV ) 0 65

33 Решение Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет вид k k k k 0 Решаем его, разлагая ле- 5 4 вую часть на множители: 5 4 k k k k k ( k k k ) k k ( k ) k( k ) k ( k )( k ) k ( k ) ( k ) Его корни k k, k k, k Фундаментальная система e, e частных решений:, e, 4 e, 5 e Общее решение уравнения имеет вид Y C C e ( C C4) C5e Пример 7 Найдите общее решение уравнения 4 0 Решение Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет вид k 4k 0 Его корни k i, k i Здесь α, β Фундаментальная система частных решений: e cos, e sin Общее решение уравнения имеет вид Y e C cos C sin Пример 8 Найдите общее решение уравнения 0 Решение Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет вид k 0 Его корни k i, k i Здесь α 0, β Фундаментальная система частных решений: cos, sin Общее решение уравнения имеет вид Y C cos C sin 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид p g f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда можно решить методом вариации произвольных постоянных, который является универсальным для решения вышеназванных дифференциальных уравнений Но этот метод зачастую приводит к громоздким выкладкам Его используют при решении дифференциального уравнения с правой частью f () так назы- 66

34 ваемого общего вида Например, f ( ) ln, f ( ) tgβ, f () есть отношение функций и тому подобное α Определение 4 Функцию f ( ) e Pn ( ) cos β Qm ( ) sin β называют функцией специального вида, где P n () и Q m () многочлены степеней n и соответственно Если правая m часть f () дифференциального уравнения (5) является функцией специального вида, то есть представляет собой линейную комбинацию показательной функции, многочленов и тригонометрических функций, то можно дать способ нахождения частного решения исходного неоднородного дифференциального уравнения, который состоит в выполнении некоторых алгебраических операций, но не содержит процесса интегрирования Этот способ называют методом неопределенных коэффициентов Рассмотрим различные правые части дифференциального уравнения (5) ) Пусть f ( ) a0 a a n многочлен В этом случае частное решение ищут также в виде многочлена той же степени: n u( ) b0 b b n φ(, C, C) (*) При этом следует учитывать, какие корни имеет характеристическое уравнение соответствующего однородного дифференциального уравнения: a) Если среди корней характеристического уравнения нет корней k 0, то чн ищем в виде (*): n ч н b0 b bn b) Если один из корней характеристического уравнения n k 0, k 0, то ч н b 0 b bn c) Если оба корня характеристического уравнения k k 0, то 67 n n ч н b0 b bn ) Пусть правая часть f () дифференциального уравнения (5) имеет вид: f ( ) e α Pn ( ) Частное решение ищем в виде: α ч н e b0 b bn корнем характеристического уравнения; n a), если число α не является

35 b) Число α является корнем характеристического уравнения α n кратности один Тогда ч н e b 0 b bn c) Число α является двукратным корнем характеристического уравнения В этом случае ч н e b 0 b bn И обычным способом определяем коэффициенты входящего в ре- α n шение многочлена Пример 4 Найти вид частного решения дифференциального уравнения: e Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка, со специальной правой частью В начале, найдем общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения: Решение ищем в виде: e k k 5k ч e и e k, откуда k, k, тогда ч e, о о Сe Сe Запишем правую часть дифференциального уравнения: f ( ) 5 e, для неё один из корней α, поэтому частное решение неоднородного дифференциального уравнения ищем в виде: A B C D e ч н ) Пусть правая часть дифференциального уравнения (5) имеет вид: α f ( ) e Pn ( ) cos β Qn ( ) sin β, где P n () и Q m () многочлены соответственно n и m степеней В этом случае уравнению p g f () будет удовлетворять функция, построенная по одному из нижеследующий правил: a) Если комплексные корни α iβ являются корнями функции f (), но не являются корнями характеристического уравнения для однородного дифференциального уравнения: p g 0, то частное решение исходного неоднородного дифференциального уравнения ищут в виде: α p p уч н e b 0 b bp cos β a 0 a ap sin β, где p наибольшее из чисел n и m ; для нахождения чисел b b,, b 0, p, 0, a a p используют метод неопределенных коэффициентов a,, b) Если комплексные числа α iβ являются корнями и правой части f (), и характеристического уравнения, составленного по

36 однородному дифференциальному уравнению, соответствующему исходному дифференциальному уравнению, то частное решение данного неоднородного уравнения ищут в виде: α p p уч н e b 0 b bp cos β a 0 a ap sin β Замечание Если f () не содержит многочленов, в записи функции f () присутствуют только синусы или только косинусы, то в чн все равно следует брать члены и с синусами, и с косинусами Теорема 4 Сумма частных решений двух уравнений p g f ( ) и p g f ( ) дает частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения: p g f( ) f( ) Докажите теорему Пример Найдите частное решение дифференциального уравнения: sin Найдем общее решение соответствующего однородного: k 0 Решение ищем в виде e e k k 0, откуда k i, Корни правой части f ( ) sin комплексно сопряженные: 0 i, не совпадают с корнями характеристического уравнения, поэтому ч н Asin Bcos Методом неопределенных коэффициентов находим A 4, B 0, тогда 4sin 5 Уравнение Эйлера ч н Уравнение вида p q f ( ) или a b p a b q f ( ) называют уравнением Эйлера С помощью подстановок e и a b e эти уравнения приводятся к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами Пример Найти общее решение уравнения Эйлера t dt t Осуществим подстановку: e t ln e d Найдем и : d d dt d e d dt d dt t, t t 69

37 t e dt dt d dt dt d d t e dt dt Подставим, и в исходное уравнение: d d t dt t d t d e e e t d d t t t d t e e 5e e 4e dt dt t 5 4e линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэф- dt kt фициентами Его решение ищем в виде e Решаем соответствующее однородное: t e 4 о о С С k 4k 0 e kt Откуда k, k Так как корни характеристического уравнения не сов- t пали с корнем правой части α, то ищем ч Ae, откуда 5A 4, 4-4t 4 t A Тогда о н ( t) С Сe e Так как e t, то окончательно ( ) С С о н 5 Пример Решить дифференциальное уравнение 4 0 Решение Будем искать частное решение k, k k, k k( k ) Подставим значения этих производных в исходное уравнение Получим k k k k( k ) k 0 или k k( k ) k 0 Если 0, то k является корнем решения кратности два и следовательно ln,, два частных линейно независимых решения, тогда общее решение примет вид: ln о н ( ) С С 6 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами Линейным дифференциальным уравнением n порядка называют уравнение вида ( n) ( n) ( n) p p p p f ( ) n n

38 Если f ( ) 0, то уравнение называют однородным, если f ( ) 0, то уравнение называют неоднородным Его соответствующее однородное имеет вид: ( n) ( n) ( n) p p p p 0 (6) Для дифференциального уравнения (6) справедливы все результаты главы II Определение 7 Функции ( ), ( ),, n ( ) называют линейно независимыми в интервале a, b, если не существует постоянных α, α,, α n, их которых хоть одна отлична от нуля, таких, что имеет месть тождество ) α ( ) ( ) 0 a, b 7 n α для всех ( α n n ( n n ( n) ( n) p С, С,, Сn Теорема 7 Пусть функции ( ), ( ),, n ( ) являются системой линейно независимых решений уравнения (6), тогда выражение ) C ( ) C ( ) C ( ) является общим решением диф- ( n) ференциального уравнения p p p 0 где произвольные постоянные Теорема 7 Сумма какого-либо частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения ( n) ( n ) ( n) p p p p f ( ) (7) и общего решения соответствующего ему однородного дифференциального уравнения (6) есть общее решение неоднородного дифференциального уравнения (7) Если коэффициенты дифференциального уравнения (7) постоянны, то его линейно независимые частные решения можно находить по правилам, изложенным в главе II Пример Найти общее решение дифференциального уравнения: e Решим соответствующее однородное уравнение: 0 Это линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами Решение ищем в виде e e k k k 0 k 0, k k, i, откуда о о С C cos С sin Корни характеристического уравнения: 0, i Корни правой части f ( ) e : 0, Один из корней совпадает: k 0, поэтому частное решение исходного дифференциального уравнения ищем в виде: n n n n n,

39 ч н A B De, при этом A B ч, ч De ч A, ч A Найдем ч A B: B, ч 0 A B A, B 0 ч Найдем ч De : ч De ч ч De De e D, тогда ч e e Окончательно: о н С C cos Сs in 7 Нормальные системы дифференциальных уравнений Определение 8 Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенная относительно производных, называется нормальной системой: d f(,,,, ), (*) n d d f(,,,, n ), d dn fn (,,,, n ) d Если правые части уравнений, входящих в систему, являются линейными функциями относительно,,, n, то система называется линейной Задача нахождения решения i i (), i, n удовлетворяющая 0 начальным условиям i ( 0) i, i, n, называется задачей Коши Для существования решения задачи Коши достаточно, чтобы правые части уравнения (*) были непрерывны в окрестности начальной (0) (0) (0) точки 0,,,, n Определение 8 Совокупность дифференцируемых по функций φ C, C,,, i, n (**) i, C n R n определенных в области D изменения переменных, C, C,, Cn называют общим решением системы (*) в области D В каждой точке области D решение задачи Коши существует и единственно, если выполняются условия: 7

40 Система уравнений (*) разрешима в области D относительно произвольных постоянных C C,, C, n : ψi,, C i,, n, i, n ; Совокупность функций (**) является решением системы (*) при всех значениях C, C,, Cn, которые получены, когда точка,,,, n D Одним из способов решения нормальной системы является метод последовательного исключения неизвестных Суть его состоит в следующем Из системы (*) исключают n функцию Для этого составляют дополнительные уравнения, дифференцируя уравнения данной системы Сведение нормальной системы к одному дифференциальному уравнению достигается исключением всех неизвестных, кроме одного После нахождения этого неизвестного определяют остальные t 5 4 e, Пример Решить систему: t 8 5e Дифференцируем второе уравнение еще раз: t 8 5e (а) t 5 4 e Из первого уравнения выражаем, а из второго t 8 5e уравнения : и подставляем в полученное уравнение (а): t t e 5e t t 6 5 e 0e t t 6 5 e 0e t 4 8e t t t e e 0e t 4e Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами Решая соответствующее однородное уравнение, находим o o t t C e C e 7

41 Корни характеристического уравнения не совпали с корнем правой t части неоднородного уравнения, тогда ч н Ae Методом неопределенных коэффициентов находим A, тогда C e C e e t t t Найдем 8 5e o н t t t o н Ce Ce e и подставим в формулу t, тогда t t t o н C e Ce e Задаче к главе II Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения: 4 4 d d 0 Ответ: C sin ln Ответ: Ctg e Ответ: C 4 d d 0 Ответ: 4 Ce 5 Ответ: ln C Найти частное решение дифференциального уравнения: 6 d d 0; начальные условия ( ) Ответ: ln π 7 d ctg d 0; начальные условия Ответ: cos ; начальные условия ( ) Ответ: 8 e e ln e ln e 9 d d 0 ; начальные условия ( 0) Ответ: 74

42 0 d d 0; начальные условия ( 0) Ответ: Найти общее решение или общий интеграл: 4 0 Ответ: C C ln Ответ: e e Ответ: ln C e 4 Ответ: C e d 7 d 0 Ответ: C 5 Найти частное решение дифференциального уравнения: 6 ln / e 7 ln ; начальные условия ; начальные условия 8 d d 0 4 e Ответ: Ответ: ; начальные условия 4 0 Ответ: 9 d d 0 Ответ: 0 0 d d d ln 0 ; начальные условия ; начальные условия 0 Решить уравнения: e 8 C Ответ: 4 e Ответ: C e 4 4 Ответ: cos d sin sin d Ответ: C e 75

43 d C 4 0 Ответ: ln d 5 Ответ: C e Найти частное решение: 6 5 ; начальные условия e 7 cos sin sin e sin 8 ; начальные условия 0 ; начальные условия 76 Ответ: Ответ: 9 sin 4 sin π ; начальные условия Ответ: cos e 0 ; начальные условия Ответ: 4 Найти общее решение дифференциального уравнения Бернулли: 4 tg cos Ответ: cos C 4 Ответ: Ce 4 sin cos cos sin Ответ: Csin 44 Ответ: 4 C Ответ: C 5 Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения: 5 sin d cos sin d 0

44 Ответ: sin cos C Ответ: C d 5 4 d 0 Ответ: C 54 ln d d 0 Ответ: ln C 55 d d 0 Ответ: C Найти частное решение или частный интеграл: 56 e ln d e d 0; начальные условия 0 Ответ: ln e e 57 e e 0 58 e d e d 0 ; начальные условия 0 От- вет: e d d 59 d d 0 вет: arctg 4 d 4 ; начальные условия 0 77 Ответ: ; начальные условия 0 50 d 0 От- ; начальные условия 0 0 Ответ: 0 6 Найти решение дифференциального уравнения с помощью интегрирующего множителя вида μ () или μ ( : 6 d d ln d 0, μ () Ответ: C ln, μ ( ) 6 cos d d 0, () C sin 6 d d 0 4 μ Ответ:, μ ( Ответ: C

45 64 d d 0, μ ( Ответ: C Задаче к главе III 7 Найти общее решение дифференциального уравнения 4 sin cos C C 4 7 cos Ответ: sin C C C 7 sin Ответ: 7 C Ответ: C C arcsin C 74 0 Ответ: C Ce C 75 4 Ответ: C C C Найти частное решение дифференциального уравнения 76 0 ; начальные условия ( ) () Ответ: 77 ; начальные условия ( 0), (0) Ответ: 0 78 ln ; начальные условия ( ) () ln , ( ) 0 Ответ: 79 e ; начальные условия ( ) () (0) 0 Ответ: 70 e ; начальные условия ( ) 0, () 4 Ответ: 8 Найти общее решение дифференциального уравнения Найти частное решение дифференциального уравнения

46 86 4 0; начальные условия ( 0) 0, (0) 87 0; начальные условия ( 0), (0) ; начальные условия ( 0), (0) 89 0; начальные условия ( 0) 0, (0) 80 0; начальные условия ( 0), (0) 9 Записать общее решение и определить вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения по известным корням характеристического уравнения и его правой части f () 9 k 0, k, f ( ) a b c 9 k, k, f ( ) e a b 9 k i, f ( ) asin, 94 k 95 k i k, f ( ) a b de,, f ( ) acos k 0, k, f ( ) 7 e k k, f ( ) e 5cos Найти общее решение дифференциального уравнения (в ответах даны только частные решения) e Ответ: ч н 6e 0 sin Ответ: 4sin 0 4 Ответ: ч н ч н 4 8 sin ч н e 04 cos Ответ: ч н e Ответ: Найти частное решение дифференциального уравнения sin, начальные условия ( 0) (0) 0 Ответ: e 4sin cos 5 5 ч н 07 5e sin cos, начальные условия ( 0) 4, (0) 5 Ответ: e sin 4cos ч н 08 e π π 4 cos, начальные условия ( π) πe, ( π) e Ответ: ч н e sin cos Найти общее решение дифференциального уравнения 79

47 4 5 4 sin Ответ: C sin cos C ctg sin ln e e 4 e Ответ: e C C arctg ln e C C 4 arcsin Ответ: Ответ: e e ln e C e C e Найти частное решение дифференциального уравнения e e ln, начальные условия ( ) e, () e Ответ: ч н Решить систему дифференциальных уравнений 5, Ответ: t t e e C cos t C sin t, C C cos t C C sin t 5 t 5 e, t 4t t t Ce Ce e 4e, Ответ: t 5e t 4t t t C e C e e e 80 Найти частное решение системы дифференциальных уравнений 0, 5e 5 t e e 5 t e e t t t sin t, t e t e начальные условия ( 0) 0, (0) 0 Ответ: cos t sin t cos t sin t t Найти общее решение уравнения Эйлера, полагая e Ответ: C C ln ln Ответ:, C C ln C C 4ln 4 Ответ: Ответ: C C 6

48 5 C C Ответ: 8 Использование дифференциальных уравнений в экономике Пусть (t) объем производства, реализованный к моменту времени t Считаем, что цена на данный товар остается постоянной Тогда функция (t) удовлетворяет уравнению k, где k m p l ; m норма инвестиций, p продажная цена; l коэффициент пропорциональности между величиной инвестиций и скорости выпуска продукции Уравнение k является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными Его решение имеет вид: 0 e, где 0 ( t 0 ) Оно описывает динамику роста цен при постоянной инфляции В общем случае цена p является убывающей функцией от объема реализованной продукции Тогда уравнение принимает вид: ml p( Оно остается уравнением с разделяющимися переменными Деятельность предприятия можно описать дифференциальным уравнением l m p( l u k, где k коэффициент выбытия фондов, u внешние инвестиции Величина m p( представляет собой объем внутренних инвестиций Пример В течение 6-ти месяцев завод десятую часть выручки направляет на расширения производства Известно, что кривая спроса задается уравнение p( 0, где p цена одной тонны продукции, объем продукции в тоннах Скорость производства составляет один процент от вложенных инвестиций Найти объем реализованной продукции за указанный период, если до его начала продавалось 0 тонн стали в месяц Решение Обозначим массу выпущенной заводом продукции в момент времени t через (t) Тогда доход завода в момент t составит 0 единиц; скорость производства равна , откуда следует уравнение: k( t t 0 ) 8

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ЛГЛелевкина ТАШемякина Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по математическому анализу

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Кафедра Высшей и прикладной математики Романова ЛД, Ланцова ВА, Романова ЕГ Контрольные задания по высшей математике и методические

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :

Подробнее

Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ" matem.org.ua

Кафедра высшей математики ГВУЗ НГУ matem.org.ua matmorgua Министерство образования и науки Украины НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Библиотека иностранного студента ЛВ Новикова ЕС Синайский ЛИ Заславская МАТЕМАТИКА Часть ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 6 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами ) ) ) L [] f ) 9) где i постоянные Так

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция 15 Решение

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

ISBN ISBN

ISBN ISBN Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет имени А. Д. Сахарова» Факультет мониторинга окружающей среды Кафедра физики

Подробнее

Глава 6. Неопределенный интеграл

Глава 6. Неопределенный интеграл Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F'() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ на проведение практических занятий по теме «Интегральное исчисление» Кривулин Н.П., Мойко Н.В. г. Пенза

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Занятие 14 Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. 14.1 Комплексные числа Комплексным числом называется выражение вида z = x+iy,где x R. Имеется взаимно однозначное соответствие между множеством

Подробнее

9. Первообразная и неопределенный интеграл

9. Первообразная и неопределенный интеграл 9. Первообразная и неопределенный интеграл 9.. Пусть на промежутке I R задана функция f(). Функцию F () называют первообразной функции f() на промежутке I, если F () = f() для любого I, и первообразной

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Часть III для студентов уровня ВО заочной формы обучения специальности 5 0 0 «Сети телекоммуникаций»

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету Составители: П.А. Вельмисов Т.Б. Распутько

Подробнее

Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Основные понятия и формулы 1. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке

Подробнее

Витебский государственный технологический университет

Витебский государственный технологический университет МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Кратные интегралы Дифференциальные уравнения Ряды Методические указания к практическим занятиям для студентов второго

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

называется вертикальной асимптотой графика функции f (x)

называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) Исследование и построение графиков функций Схема исследования графика функции Найти область определения функции множество значений (по возможности точки разрывов вертикальные асимптоты Прямая 0 называется

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Первообразная и неопределённый интеграл Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении производной (или дифференциала) данной функции. Интегральное исчисление

Подробнее