Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:"

Транскрипт

1 Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения часто возникают в прикладных задачах и поэтому их решение приобретает важное значение Задача Коши состоит в нахождении частного решения уравнения f (,, ) удовлетворяющее двум начальным условиям ( ) =, ( ) = p =, ДУ-, допускающие понижение порядка Рассмотрим уравнения -го порядка, которые подходящей подстановкой привести к уравнению -го порядка Случай В уравнении отсутствует переменная, те это уравнение вида F(,, ) = 0 Его порядок понижается при помощи замены = p, = p В результате получаем новое уравнение F(, p, p ) = 0 Решив его, получим общее решение p = f (, C) Подставим p = и получим уравнение = f (, C) меньшего порядка Случай В уравнении отсутствует переменная, те это уравнение вида F(,, ) = 0 Объявляем переменную аргументом, а = ( ) = функцией Производим подстановку = z( ), = z = z z Пример Решить дифференциальное уравнение =, () =, ( ) = 0 Решение В уравнении отсутствует в уравнении явно Поэтому уравнение допускает понижение порядка Замена = p, = p dp dp d dp d Тогда p = p, = p, =, d p = p, ln p = ln + ln C, ln p = ln C, p = C, = C, = C d C = + D C Переобозначим константу на C Общее решение = C + D Находим частное решение, удовлетворяющее начальному условию ( ) = Подставим =, = в общее решение: C D Находим производную ( ) = C + D, = C = + = C+ D Подставим =, = 0 в эту формулу: = C 0= C ; C = 0 = C+ D D = Решаем систему уравнений C = 0 C = 0 Решение задачи Коши это частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, те = C + D = 0 +, = Ответ = C + D, частное решение =

2 Пример Решить задачу Коши = ( ), ( 0) = 5, ( 0) = 3 Решение Это дифференциальное уравнение, допускающее понижение порядка, так как в нем явно отсутствует переменная Сделаем замену dz d dz = z( ), = = z, те = z z Перепишем уравнение z z = z d d d z = 0 или z z В случае z = 0 получаем = 0, = C - решение уравнения Сократим z Получили уравнение с разделяющим переменными dz dz d dz d z = z, = z, = Интегрируем d z = z, ln ln ln ln z = = ln C, z = C, = C = D e C z = + C, Интегрируем d = C d, d d = Cd, C D = +, ln = C + D, = e C + D D C, = e e Заметим, что решение = cons получается из общего решения при C = 0, поэтому не является особым решением Общее решение Подставим = 0, = = в уравнение = C = C Подставим = 0, = в общее решение = D e C, D e = D e C = = D Решение задачи Коши таково = e Ответ = e Пример Найти общее решение уравнения ( + ) + = 0 Решение Это дифференциальное уравнение, допускающее понижение порядка, так как в нем явно отсутствует переменная Сделаем замену p=, p = Перепишем уравнение ( p + ) + p = 0 Это однородное дифференциальное уравнение -го порядка Делаем замену p = z, p = z + z Получаем: ( p + ) + p = 0 p + p =, z + z + z = dz z = z, = ( z +) d dz d Разделяем переменные =, z + dz d = z +, ln z + = ln + C Преобразуем ln z + = ln + C, ln z + = ln + C, C ln z + = ln + ln C, ln z + = ln, C p C C C C z + =, + =, p + =, p = ; p = C Подставим p=, = Интегрируем C = d, = C ln Общее решение = C ln

3 3 Линейные уравнения (ЛДУ-) Линейным уравнением -го порядка называется уравнение вида A( ) + B( ) + C( ) = f ( ) Если правая часть f ( ) = 0, то уравнение называют однородным (кратко: ЛОДУ-), в противном случае неоднородным (кратко: ЛНДУ-) Такие уравнения встречаются в различных прикладных разделах, например, в теории колебаний, при исследовании электрических цепей и тп Если функции A( ), B( ), C( ), f ( ) непрерывны, то данное уравнение удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения Это означает, что задача Коши для любых начальных условий ( 0) = 0, ( 0) = p0 имеет решение и оно единственно Запишем формальное выражение, составленное из функций A( ), B( ), C( ) и d d символов производных, в виде L = A( ) B ( ) C( ) d + d + и назовем его дифференциальным оператором Определим действие этого оператора на функцию по правилу d d d d L = A + B + C A B C = + + d d d d Любое ЛДУ можно записать кратко в форме дифференциального оператора A B C f L = f вида ( ) + ( ) + ( ) = ( ) ( ) Например, запишем линейное однородное уравнение -го порядка в общем виде: L = 0 A + B + C = 0 Дифференциальные операторы наследуют линейные свойства производных ) Действие оператора сумму функций равно сумме действий оператора на каждое слагаемое: L( u+ v) = Lu+ Lv )Константу C можно выносить за знак оператора, L( C u) = C L( u) 3 Линейные однородные уравнения Основные определения и свойства Запишем линейное однородное уравнение в общем виде: L = 0 Например, ЛОДУ-: A + B + C = 0 Свойства решений ЛОДУ ) сумма u+ v решений uv, уравнения L = 0 также является решением ) При умножении решения u уравнения L = 0 на константу C получается решение Доказательство ) Так как функции uv-, решения уравнения L = 0, то можно записать тождества Lu = 0, Lv = 0 Находим действие оператора на сумму: L( u+ v) = Lu+ Lv= 0+ 0= 0 Следовательно, сумма u+ v является решением уравнения L = 0 Теорема Решения ЛОДУ образует векторное пространство, те это множество функции замкнуто относительно суммы и умножения на число (те названные операции не выводя результат за пределы множества решений) Размерность этого пространства равна порядку дифференциального уравнения

4 На примере ЛОДУ- базис пространства решений состоит из двух функций,, которые независимы, те они не пропорциональны и, значит, их отношение не является константой, C Теорема об структуре общего решения ЛОДУ- Общее решение имеет вид = C + C, где C, C - константы, принимающие произвольные значения Сформулируйте теорему об общем решении ЛОДУ- n для произвольного порядка Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами Основные определения и свойства Алгоритм решения ЛОДУ с постоянными коэффициентами это уравнение + p + q = 0, где p, q - константы Для него определяется характеристическое уравнение + p + q= 0 Теорема Функция = e является решением уравнения + p + q = 0 тогда и только тогда, если есть корень характеристического уравнения Эта теорема позволяет конкретизировать формулу общго решения = C + C, где, - независимые частные решения ЛОДУ с постоянными коэффициентами ), корни характеристического уравнения различны и действительны: = e, = e ; ) =, = e, = e ; α α 3), =α±β i, комплексные корни, = e cosβ, = e sinβ Пример Решить задачу Коши = 0, ( 0) =, (0) = 3, Решение Дифференциальное уравнение получим из общего вида линейного однородного уравнения + p + q = 0, считая p = 7, q = 6 Составим характеристическое уравнение Для этого формально переписываем уравнение, заменяя производные согласно условиям,, Находим корни характеристического уравнения: 7+ 6= 0 =, = 6 Эти корни действительны и различны Им соответствуют два независимых между собой частных решения: 6 = = e = e ; = 6 = e = e Согласно теореме о структуре общего решения линейного однородного уравнения можно записать общее решение как линейную комбинацию двух независимых частных решений: 6 = C + C = C e + C e, = C e + C e, Подставим начальные условия = 0, =, = 6 = C e + C e = C + C, Находим производную ( 6 C e C e 6 = + ), = C e + 6C e 3= C+ 6C, Решим систему уравнений

5 = C+ C + 3= ( C ) ( ) 3 = C + + C C+ 6C, 5C = 5, C = 6C = C+ C = C, C = 3 6 Частное решение = 3 e e 6 Ответ = 3 e e + = Пример Решить уравнение 0 Решение Находим корни характеристического уравнения: + = 0 =, = Это случай равных действительных корней Им соответствуют два независимых между собой частных решения: = e = e ; = e = e Общее решение равно линейной комбинации независимых частных решений: = C + C = C e + C e Ответ = C e + C e Пример 3 Решить уравнение + 5 = 0 Решение Находим корни характеристического уравнения: + 5= 0 ± 5 = ±, где - мнимая единица, = ;, i i = =α±β i, где α =, β = Корни комплексные числа, Запишем частные независимые решения для этих корней α α = e cosβ, = e sinβ = e cos, = e sin Линейная комбинация этих решений дает общее решение = C + C = C e cos + C e sin 5 Линейные неоднородные диф уравнения (ЛНДУ) Основные определения и свойства ЛНДУ - это уравнения вида L = f ( ), где L - дифференциальный оператор Например, ЛНДУ-: + P( ) + Q( ) = f ( ) Теорема о структуре общего решения ЛНДУ Общее решение ЛНДУ можно записать так: = + *, где - общее решение ЛОДУ L = 0, а *- частное решение ЛНДУ Докажем, что функция = + * является решение уравнения L = f ( ) Подействуем оператором L на функцию = + * Получаем L = L + * = L + L * = 0 + f ( ) = f ( ) ( ) ( ) ( ) При доказательстве мы применили линейные свойства оператора, а также L =, L( * ) = f ( ) тождества ( ) 0 6 Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами (ЛНДУ) Специальная правая часть ЛНДУ- с постоянными коэффициентами- это уравнение вида + p + q = f ( ), где pq, - константы Функция f ( ) называется специальной правой частью, если она равна 5

6 ( ) α f ( ) = e P( ) cosβ + Q( ) sinβ, где P( ), Q( ) - многочлены, αβ-, постоянные В нестрогом смысле, эта функция f ( ) получается из функций sinβ и многочленов пр и помощи сложения, вычитания и умножения Каждой специальной правой части сопоставляется специальное число =α+β i (ламбда специальное) Рассмотрим простейшие случаи специальной правой части f ( ) = P( ) =α+β i = 0, α = 0, β= 0 f ( ) = e α =α, β = 0 f ( ) = P( ) e α =α, β = 0 f ( ) = P( )cosβ i α = f ( ) = Q( )sin f ( ) = ( ) cos ( ) =β, 0 β =β i, α = 0 P β + Q sinβ =β i, α = 0 e α, cosβ, 6 7 Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами Метод неопределенных коэффициентов Теорема о частном решении ЛНДУ с постоянными коэффициентами (на примере ЛНДУ-) α Пусть f ( ) = e ( P( ) cosβ + Q( ) sinβ ) специальная правая часть уравнения + p + q = f ( ) Частное решение * этого уравнения имеет в основном такой же вид, что и специальная правая часть уравнения: * α = e ( S( ) cosβ + T( ) sinβ ) Здесь многочлены S( ), T( ) с неопределенными коэффициентами, степень которых равна максимальной степени многочленов P( ), Q( ) в записи f ( ) Степень назовем поправкой, где - кратность =α+β i (ламбда специальное) относительно характеристического уравнения + p + q = 0 Поясним: равно числу совпадений с корнями, характеристического уравнения Пример Составить вид частного решения и решить уравнение = 3 Решение Характеристическое уравнение = 0 Корни =, = Частные решения ЛОДУ : = = e = e ; = = e = e Общее решение ЛОДУ = 0 : = C + C = C e + C e, Правая часть специальная многочлен В ее записи отсутствует экспонента e α Поэтому α= 0 Также отсутствуют косинусы и синусы cosβ, sinβ, поэтому β= 0 Следовательно, специальное значение равно =α+β i = 0

7 Частное решение ищем в виде многочлена той же степени, что в правой части уравнения, с поправкой * = a + b+ c, где abc,, - Отсюда ( ) неопределенные ( неизвестные) коэффициенты Так как = 0 не совпадает ни с одним из корней =, = характеристического уравнения, то число = 0 Поэтому поправка =, те отсутствует Итак, ищем частное решение в виде * = a + b + c Чтобы найти значения коэффициентов, подставим эту функцию в исходное уравнения Находим производные * = a + b + c = a b ( ) ( ) ( * ) = ( a+ b) = a ; Получаем + ; = ( ) a a + b+ c = 3, a b + a c = 3 Многочлены равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях : Уравниваем коэффициенты многочленов При имеем равенство a =, a =, a = При : b = 3, b = 3 0 При : a c = 0; c = Итак, частное решение равно * = a + b + c * = + 3 Общее решение неоднородного уравнения представимо в виде = + * Поэтому = C e + C e общее решение Пример Решить уравнение = 6, ( 0) =, ( 0) = Решение Это ЛНДУ со специальной частью Составим характеристическое уравнение 6 + 8= 0 Его корни =, =, корни характеристического уравнения различны и действительны Запишем частные решения однородного дифференциального уравнения: = e, = e = e, e = Общее решение ЛОДУ: = C + C = C e + C e Частное решение * = a, = 0, так как правая часть f( ) = 6 - константа и не содержит выражений e α, cosβ, sinβ Значит α = 0, β = 0 и =α+β i = 0 Его кратность = 0,те не совпадает с корнями характеристического уравнения Частное решение * = a, производные ( *) = 0, ( *) = 0 Подставляем производные в уравнение = a = 6, a =, * = Общее решение неоднородного уравнения = + * = C e + C e + Решим задачу Коши Подставим в общее решение = 0, = C e + C e + 3= C + C +, C+ C = Находим производную = : 7

8 ( ) = C e + C e + = C e + C e Подставим в общее решение = 0, = Получаем C C Решаем систему C+ C = C+ C = C = 0, C = = +, C+ C = Частное решение получаем из общего подстановкой этих констант = C e + C e + = e + Ответ = e + Пример 3 Составить частное решение * с поправкой Лямбда специальное Уравнение с корнями характеристического уравнения и = = e ( ) + = + e = sin 5 = e sin 6 + = cos 7 + = e cos определяется по правой части уравнения = 0, = и = 3 = 0 = 3, = и = 3 = =, = и = 3 = 0 = i, = 0 и = = 0 = + i, = 0 и = = 0 = i, = i и = i = = + i, = i, = i = 0 Общий вид частного решения с поправкой * = ( a + b) Поправки нет, = 3 * = ( a + b) e Поправка есть, = * = ( a + b) e, поправки нет, = * = a cos+ b sin ( ) * = e a cos+ b sin * = ( cos + sin ) Поправка есть, = a b ( ) * = e a cos+ b sin Пример Найти общее решение уравнения + = e Решение Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью Решим линейное однородное дифференциальное уравнение + = 0 Составим характеристическое уравнение + = 0 Его корни, = ± = ± i корни характеристического уравнения различны и комплексны, запишем α частные решения однородного дифференциального уравнения: = e cosβ, α = e sinβ, где, = α± βi, те α = 0, β = Отсюда частные решения однородного уравнения = cos, = sin Запишем общее решение однородного дифференциального уравнения C C = + = cos + C C sin ; 8

9 9 Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения равно сумме = + *, где * - частное решение неоднородного дифференциального уравнения Составим по правой части дифференциального уравнения) частное решение * Оно имеет в основном тот же вид, что и правая часть уравнения, те * α = e ( ( )cos ( )sin ) c R β c+ T β c c= α c ± βci Вычислим специальное значение c =, те α c = (есть экспонента e ), β c = 0 (нет косинусов и синусов ) Число равно кратности c = относительно характеристического уравнения + = 0 В частности, = 0 и * = ( a + b ) e, где a, b - неопределенные коэффициенты Их мы найдем, если частное решение * подставим в исходное дифференциальное уравнение: Находим производные ( *) = (( a + b ) e ) = ( ) a + b e + ( a + b ) ( e ) = a e + ( a + b ) e ( *) = ( a + b + a ) e ( ) ( *) = ( a + b + a ) e = ( a + b + a ) e Подставляем частное решение в месте с производными в исходное уравнение + = e ( a + b + a ) e + ( a + b ) e = e Сокращаем e и получаем: ( a + b + a ) + ( a + b ) = Уравниваем коэффициенты ) При равенство коэффицие6нтов a + a = ; ) Равенство свободных коэффициентов ( b + a ) + b = 0 Решаем систему уравнений: a =, b = Получено частное решение * = ( ) e Тогда общее решение неоднородного дифференциального уравнения таково = + *= C cos + C sin + ( ) e Пример 5 Найдите общее решение дифференциального уравнения второго порядка: + = cos 3sin Решение Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью Решим линейное однородное дифференциальное уравнение + = 0 Составим характеристическое уравнение + = 0 Его корни =, = ;, корни характеристического уравнения различны и действительны, запишем частные решения однородного дифференциального уравнения: = e, = e ; = e, = e Запишем общее решение однородного дифференциального уравнения = C+ C = Ce Общее решение ЛНДУ равно сумме = + *, где * - частное решение неоднородного дифференциального уравнения Частное решение определяем по виду правой части уравнения * = a cos + b sin, ( )

10 специальное значение c = i, те α c = 0 (нет экспоненты e α c ), β c = (есть косинус или синус ) Число равно кратности i относительно характеристического уравнения + = 0 В частности, = 0 * = ( a cos + b sin ), ( *) = ( a sin + b cos ), ( *) = ( a cos b sin ) Подставим частное решение * и производные в уравнение + = cos 3sin ( acos bsin ) + ( asin + bcos ) ( acos + bsin ) = cos 3sin Уравниваем коэффициенты при cos, sin Получим ( acos bsin ) + ( asin + bcos ) ( acos + bsin ) = cos 3sin при cos, 3 a + b =, при sin, 3b a = 3, Решаем a = 0, b = Отсюда * = sin Тогда общее решение исходного неоднородного дифференциального уравнения таково = + * = Ce + sin Найдем решение задачи Коши с начальными условиями ( 0) = 0 Поставим в общее решение значения = 0 при = 0 = Ce + sin 0 = C+ C Находим производную ( sin ) = Ce + = Ce + cos c = :, (0) = Подставим = при = 0 = C+ C + Решаем систему 0 = C+ C, = C+ C + C =, C = Ответ = e + e + sin IV Пример 6 Решить уравнение = 0 Решение Это линейное однородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами Будем решать его по аналогии с ЛОДУ- Составим характеристическое уравнение = 0 Находим корни биквадратного уравнения Выполним подстановку k = Тогда k + 5 k + = 0, k =, k = Решаем уравнения: =, =±,, =± i = 3, =±, 3, =± i Корни характеристического уравнения различны и комплексны, попарно сопряженныезапишем частные решения однородного дифференциального α α уравнения: = e cosβ, = e sinβ для корней, =± i =α±β i Итак, принимаем α= 0, β= Получаем = cos, = sin Для второй пары корней 3, =± i считаем α = 0, β = Отсюда α α 3 = e cosβ, = e sinβ 3 = cos, = sin Запишем общее решение однородного дифференциального уравнения как линейную комбинацию найденных линейно независимых частных решений 0

11 = C + C + C3 3+ C = C cos + C sin + C3 cos+ C sin, где C, C, C3, C - произвольные константы Ответ = C cos + C sin + C3 cos+ C sin 8 Метод вариации для ЛНДУ Этот метод позволяет решить произвольное линейное дифференциальное уравнение L = f ( ) при условии, что известно общее решение ЛОДУ L = 0 Поясним идею метода на примере ЛОДУ- + p + q = f ( ) Пусть = C+ C- общее решение однородного уравнения + p + q = 0 Тогда общее решение ЛНДУ можно отыскать в виде = C + C, где ( ) C ( ) - некоторые функции Эти функции можно определить по формулам C f d W = ( ), C = f ( ) d, W W = - определитель Вронского C, Пример Решить уравнение + = cos Решение Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ- ) с постоянными коэффициентами, у которого правая часть не является специальной Применим метод вариации произвольных постоянных Решим ЛОДУ + = 0 Составим характеристическое уравнение + = 0 Его корни = i, = i комплексны, запишем частные независимые решения α α ЛОДУ: = e cosβ, = e sinβ = cos, = sin Общее решение ЛОДУ = Ccos + Csin Находим определитель Вронского cos sin = = = sin cos W Общее решение ЛНДУ = Ccos+ Csin, где C, C - функции Находим их по формулам sin d( cos ) C = f ( ) d= d W = cos = ln cos + D ; cos sin C = f ( ) d= W d = d = + D sin Общее решение = Ccos+ Csin = ( ln cos + D) cos + ( + D) sin Ответ = ( ln cos + D ) cos + ( + D ) sin 9 Системы уравнений -го порядка Метод исключения Система дифференциальных уравнений -го порядка выражает две зависимости функций = ( ), = ( ) аргумента и их производных d = d d =, d

12 F(,,,, ) = 0 В общем виде запишется так: G(,,,, ) = 0 Выразим производные и получим систему уравнений, разрешенных = f (,, ) относительно производных = g(,, ) Система, в которой явно отсутствует аргумент, называется стационарной Решением системы ДУ называется пара функций = ( ), = (), при подстановке которых в уравнения системы получаются тождества = ( ) График решения, заданного параметрически, называется фазовой = () траекторией Общее решение системы зависит от двух констант C, C и записывается в = (, C, C) виде = (, C, C) Задача Коши состоит в нахождении частного решения, удовлетворяющего начальным условиям = 0, = 0 при = 0 = Пример Решить систему уравнений методом исключения = + Решение Выразим из второго уравнения функцию, те = + = Найдем производную = ( ) = Подставим во первое уравнение найденные величины, : Получаем : = = ( ) + + 6; + 3 = 6 Это линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью Решим однородное уравнение + 3 = 0 Составим характеристическое уравнение + 3= 0 Его корни =, 3 корни действительны и различные Запишем частные решения однородного уравнения = e, = e = e, = e Общее решение однородного уравнения: = C + C = C e + C e Общее решение ЛНДУ равно сумме = + *, где * - частное решение неоднородного уравнения Находим * = a, где a неопределенный коэффициент, = 0, = 0 Поэтому * ( *) = 0 Подставим их в уравнение 3 6 Итак: * = Общее решение ЛНДУ таково: * Находим выражение для из равенства = ( 3 ) ( 3 C e C e C e C e ) = , = a Находим производные ( *) = 0, + = a = 6, a = = +, = C e + C e + =,

13 ( ) = C e + 3C e C e + C e +, = C e + C e 3 3 Ответ = C e + C e, = C e + C e + = + + Пример Решить систему уравнений методом исключения = + Решение Выразим из второго уравнения = 3 функцию, те = ( 3 ) Найдем производную = ( 3 ) = ( 3 ) Подставим во первое уравнение найденные величины, : Получаем : = + ( 3 ) = ( 3 ) +, 3 = 3+ + Упростим: + = Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) -го порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью Решим однородное уравнение + = 0 Составим характеристическое уравнение + = 0 Его корни =, =, корни характеристического уравнения равные Запишем частные решения однородного дифференциального уравнения = e, = e Отсюда = e, = e Общее решение однородного уравнения: = C + C = C e + C e Общее решение ЛНДУ равно сумме = + *, где * - частное решение неоднородного уравнения Находим * = a, где a неопределенный коэффициент, = 0, = 0 Поэтому * ( *) = 0 Подставим их в уравнение Итак: * = Общее решение ЛНДУ таково: * Находим выражение для из равенства = a Находим производные ( *) = 0, + = 0 0+ a =, a = = ( 3 ) 3 ( = C e C e ) ( Ce C e + + ), = Ce + C e 3 Ответ = Ce + C e 3, = Ce + C e = +, = Ce + C e 0 Система линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами Метод Эйлера Это система вида = a + b, abcd,,, - постоянные Для этой системы = c + d a b запишем характеристическое уравнение = 0 c d Общее решение системы можно составить с помощью корней, характеристического уравнения по аналогии как мы составляем общее 3

14 решение для ЛОДУ- Например, в случае, когда корни действительны и различны,, запишем общее решение = Ce, = C3e Из четырех констант только две независимы между собой Выразим константы C 3, C через C, C Для этого подставим общее решение в первое уравнение системы = + Пример Решить систему ЛОДУ, ( 0) = 0, ( 0) = 3 = Решение Составим характеристическое уравнение = 0 Раскрываем определитель ( ) ( ) 8= 0, 9= 0, =3, = 3 = Ce = Ce Общее решение = C3e + Ce = C3e Подставим, в первое уравнение 3 3 = + ( 3 3 ) 3 3 ( 3 3 Ce = Ce + Ce 3 ) 3Ce 3Ce = Ce + Ce 3 + Ce 3Ce 3Ce = ( C+ C3) e + ( C + C) e Уравниваем коэффициенты при e Получим : 3Ce = ( C+ C3) e, 3C = C+ C3; C3 = C Уравниваем коэффициенты при e : 3Ce = ( C + C) e ; 3C = C + C; C = C = Ce Общее решение = Ce Ce Найдем значения констант с помощью начальных данных = 0, = 3 при = 0 = Ce = Ce C e 0 = C+ C 3 = C C Частное решение задачи Коши ; C = C = = e e = e + e Краткая теория Дифференциальное уравнение, допускающее понижение порядка: а) F(,, ) = 0- отсутствует, замена = p( ), = p ( ) ; б) F(,, ) = 0 - отсутствует, замена = z( ), = z z ЛОДУ с постоянными коэффициентами + p + q = 0 ( pq-, константы ) Характеристическое уравнение + p + q= 0 Общее решение = C + C, где, - независимые частные решения ЛОДУ, которые находим по корням характеристического уравнения:

15 5 ), корни характеристического уравнения различны и действительны: = e, = e ; ) =, = e, = e ; случай равных корней α α 3), =α±β i, β 0 - комплексные корни, = e cosβ, = e sinβ 3 ЛНДУ с постоянными коэффициентами + p + q = f( ) Общее решение: = + *, где - общее решение ЛОДУ + p + q = 0, а * - частное решение ЛНДУ Метод неопределенных коэффициентов для ЛНДУ с постоянными α коэффициентами и специальной правой частью f ( ) = e ( P( )cos β + Q( )sinβ ), где P,Q -многочлены, =α+βi - специальное число (ламбда специальное) Частное решение * имеет такую же форму, что и правая часть, те * α = e ( R( )cos β + T( )sinβ ), где - кратность =α+β i, те равно числу корней,, равных c ; R( ), T( - ) многочлены с неопределенными коэффициентами степени, равной наибольшей из степеней аргумента в правой части ЛНДУ Метод вариации для ЛНДУ + p + q = f( ) Общее решение = C( ) + C( ) получается из общего решения ЛОДУ = C + C, где C = f ( ) d, C = f ( ) d W, W = - определитель Вронского W 5 Система линейных однородных уравнений (ЛОДУ ) с постоянными = a + b коэффициентами: = c + d a b Характеристическое уравнение = 0 c d = C + C Общее решение, где функции = C3 + C, определяем по корням, характеристического уравнения Условие Общее решение, действительные и = Ce не равные корни = Ce 3 =, действительные и = C e + C e равные корни = C3 e + C e, =α±β i, β 0, α α = C e cosβ sinβ комплексно сопряженные α α = C3 e cos β sin β корни Чтобы выразить константы C 3, C через C, C, следует выполнить подстановку общего решения в одно из уравнений системы

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Дифференциальные уравнения (лекция 10)

Дифференциальные уравнения (лекция 10) Дифференциальные уравнения лекция 0 Линейные неоднородные уравнения высших порядков Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 6. Линейные неоднородные уравнения -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДУ допускающие понижение ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДУ линейные неоднородные (ДУЛН) ДУ линейные однородные

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского -

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - { общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан однородного линейного дифференциального уравнения

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Занятие 14 Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. 14.1 Комплексные числа Комплексным числом называется выражение вида z = x+iy,где x R. Имеется взаимно однозначное соответствие между множеством

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ЛНДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод неопределенных коэффициентов

ЛНДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод неопределенных коэффициентов Занятие 16 ЛНДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод неопределенных коэффициентов На этом занятии мы будем решать ЛНДУ с постоянными коэффициентами y (n) + a 1 y (n 1) +...+

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Кафедра Высшей и прикладной математики Романова ЛД, Ланцова ВА, Романова ЕГ Контрольные задания по высшей математике и методические

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли Математический анализ Раздел: Дифференциальные уравнения Тема: Однородные уравнения Линейные уравнения Уравнения Бернулли Лектор Рожкова СВ 07 год 8 Однородные уравнения Функция M, называется однородной

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3 Дифференциальные уравнения высших порядков Лекции 2-3 Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида F( x, y, y,..., y() n ) 0, () в котором обязательно наличие n-ой производной. Будем

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ЛГЛелевкина ТАШемякина Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по математическому анализу

Подробнее

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: В.П.Белкин

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: В.П.Белкин Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: ВПБелкин Лекция Неопределенный интеграл Основные понятия Свойства неопределенного интеграла 3 Основная таблица первообразных 3 4 Типовые примеры 3 5 Простейшие

Подробнее

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 6 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами ) ) ) L [] f ) 9) где i постоянные Так

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 24

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 24 кафедра «Математическое моделирование» проф П Л Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса -го семестра специальностей РЛ,,3,6, БМТ, Лекция 4 Однородные системы

Подробнее

x - заданные непрерывные функции от х (или

x - заданные непрерывные функции от х (или ЛЕКЦИЯ 3 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Определение: Линейным уравнением -го порядка называет уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид:

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

О. А. Кононова Н. И. Ильинкова Н. К. Филиппова. Нахождение частного решения неоднородного линейного уравнения методом неопределенных коэффициентов

О. А. Кононова Н. И. Ильинкова Н. К. Филиппова. Нахождение частного решения неоднородного линейного уравнения методом неопределенных коэффициентов Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет Физический факультет Кафедра высшей математики и математической физики О. А. Кононова Н. И. Ильинкова Н. К. Филиппова

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (II семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом

Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом Занятие 19 Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом 19.1 Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Пусть требуется найти частное решение линейного

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

1 Дифференциальные уравнения 1 порядка

1 Дифференциальные уравнения 1 порядка 1 Дифференциальные уравнения 1 порядка Дифференциальным уравнением (ДУ) 1 порядка, разрешённым относительно производной, называется уравнение d dx = F (x, ), где = (x) искомая функция; функция F задана

Подробнее

Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) В М Ипатова О А Пыркова В Н Седов ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ второе

Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка Занятие 13 Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 13.1 Задача и теорема Коши Задачей Коши для дифференциального уравнения порядка n, разрешённого относительно старшей

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 3. Последовательности, определяемые рекуррентными соотношениями. Однородные и неоднородные линейные рекуррентные уравнения (ЛОРУ и ЛНРУ). Общие решения ЛОРУ и ЛНРУ. Лектор - доцент Селезнева Светлана

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету Составители: П.А. Вельмисов Т.Б. Распутько

Подробнее

Системы однородных линейных уравнений

Системы однородных линейных уравнений Системы однородных линейных уравнений А И Буфетов, Н Б Гончарук, Ю С Ильяшенко 10 февраля 2015 г В этом параграфе мы займёмся самым простым типом многомерных дифференциальных уравнений линейными уравнениями

Подробнее

x 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t) x 2 = a 21 (t)x 1 + a 22 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t) (1)

x 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t) x 2 = a 21 (t)x 1 + a 22 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t) (1) ЛЕКЦИИ ПО КУРСУ «Линейная алгебра, системы ДУ с устойчивостью» 2 курс, 2 семестр Лекторы: Мельников Ю.Б., Мельникова Н.В. Оглавление 1. Системы линейных дифференциальных уравнений 4 1.1. Определения................................

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОДУ). Решение системы двух линейных автономных ОДУ. Типы особых точек.

Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОДУ). Решение системы двух линейных автономных ОДУ. Типы особых точек. СЕМИНАР 4 Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОДУ). Решение системы двух линейных автономных ОДУ. Типы особых точек. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Подробнее

Решить дифференциальное уравнение Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

Решить дифференциальное уравнение Решение: составим и решим характеристическое уравнение: Решить дифференциальное уравнение Решение: составим и решим характеристическое уравнение:, Получены два различных действительных корня Всё, что осталось сделать записать ответ, руководствуясь формулой

Подробнее

Задача 396. Решить уравнение y = t +4. Решение: Заметим, что условие задачи исключает случай t = 4. dy dt = dt t +4 e y =ln t +4 + C 1,C 1 IR

Задача 396. Решить уравнение y = t +4. Решение: Заметим, что условие задачи исключает случай t = 4. dy dt = dt t +4 e y =ln t +4 + C 1,C 1 IR Пояснения к тексту: знак читается как "равносильно" и обозначает, что у уравнений справа от знака и слева от знака множество решений совпадает, знак IR обозначает ммножество вещественных чисел, знак IN

Подробнее