Пример решения варианта контрольной работы 1.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Пример решения варианта контрольной работы 1."

Транскрипт

1 Пример решения варианта контрольной работы Задание Вычислить определитель Решение: при решении подобных задач используются следующие свойства определителя: ) Если в определителе все элементы какой-либо строки или столбца равны нулю, то = ) Если в определителе поменять местами две строки или столбца, то определитель изменит знак на противоположный ) Если в определителе имеются две одинаковые строки или два одинаковых столбца, то определитель равен нулю ) Если все элементы какой-либо строки или столбца умножить на одно и то же число, то значение определителя умножится на то же число ) Если в определителе имеются две пропорциональные строки или два пропорциональных столбца, то значение определителя равно нулю ) Если к элементам какой-либо строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то значение определителя не изменится Пользуясь свойством, получим нули вместо элементов a, a Для этого умножим первую строку на ( ) и поэлементно прибавим ко второй строке (См рис): 8 + = 7 8 Затем умножим первую строку на и прибавим к четвертой строке: 9 + = Получим, раскладывая определитель по первому столбцу:

2 Полученный определитель третьего порядка можно уже вычислить по правилу треугольников или по правилу дополнительных столбцов, но можно снова воспользоваться методом «обнуления элементов», примененным выше к определителю четвертого порядка ( 8 ) 8 Были произведены следующие действия: ) к первой строке прибавили третью ) к первому столбцу прибавили второй и к третьему столбцу прибавили второй, умноженный на ) разложили определитель по второму столбцу ) вычислили определитель второго порядка Ответ: 8 Задание Решить систему уравнений 7 8 а) по формулам Крамера б) методом Гаусса Решение: а) Для системы a a a nn b a a ann b a a a b n n nn n n корни находят по формулам Крамера (при ) a a a n a a a n,,,, n n где основной определитель из коэффициентов a a a n n nn

3 b a a n b a an первый вспомогательный определитель, полученный b a a n n nn заменой в основном определителе элементов первого столбца соответствующими свободными членами a b a n a b an второй вспомогательный определитель, полученный a b a n n nn заменой в основном определителе элементов второго столбца соответствующими свободными членами и так далее до определителя n включительно 7 8 По формулам Крамера получим: б) Основная идея метода Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных и приведении системы к специальному виду: все уравнения, начиная со второго, не содержат первой неизвестной все уравнения, начиная с третьего, второй неизвестной все уравнения, начиная с четвертого, третьей неизвестной и тд Умножим первое уравнение на -, прибавим ко второму уравнению и результат запишем вместо второго уравнения: 8 8 затем умножим первое уравнение на -, 7 8 прибавим к третьему уравнению и результат запишем вместо третьего уравнения:

4 8 8 из второго уравнения получаем Подставив значение в третье уравнение, получим Подставив значения и в первое уравнение, получим Ответ:,, Задание Найти матрицу B A 8A, если A Решение: Над матрицами можно выполнять следующие линейные операции, после выполнения которых получаются матрицы того же размера: ) умножение матрицы на число ) сложение (вычитание) матриц Обе эти операции производятся поэлементно Матрицы A и B в произведении AB будем называть согласованными, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B В этом и только в этом случае матрицу A можно умножать на матрицу B a a a Если m a a a матрица A a a a b b b k b b b k B bm bm bmk m n n nm имеет порядок n m, а матрица порядок m k (те матрицы согласованы), то матрицу А можно умножать на матрицу В При этом получится матрица С порядка n k, элементы которой находятся по правилу c a b a b a b, ij i j i j im mj те каждый элемент i-й строки матрицы A умножается на соответствующий (по порядку) элемент j-го столбца матрицы B, и полученные попарные произведения складываются 9 A A A A 8 A 8A A 8A

5 Ответ: Задание Решить систему линейных однородных уравнений с матрицей 9 Решение: запишем систему уравнений с коэффициентами из матрицы: Приводим матрицу коэффициентов к ступенчатому виду, используя элементарные преобразования Поскольку осталось две ненулевые строки, то ранг матрицы равен Выписываем по ступенчатой матрице эквивалентную систему уравнений: Ранг r A, поэтому выбираем две базисных неизвестных Неизвестные и нельзя использовать в качестве базисных, так как определитель при этих неизвестных равен нулю Выберем в качестве базисных неизвестных и Тогда свободными неизвестными будут, и Выражаем базисные неизвестные через свободные, используя эквивалентную СЛАУ

6 Ответ:,, могут принимать произвольные значения, при этом, Задание В пространстве заданы четыре точки A B D C а) Найти координаты вектора a AB AC AD б) Найти длину и направляющие косинусы вектора a в) Проверить, будет ли четырехугольник ABCD трапецией Решение: а) Если заданы координаты начала и конца вектора, то для того, чтобы найти координаты самого вектора, нужно из координат конца отнять координаты начала: AB 9, 8 AC, AD Сложение, вычитание и умножение на число векторов, как и матриц, происходит поэлементно: AB 9 7, 8 AD 8 a AB AC AD Ответ: a a a a a б) длина вектора a вычисляется по формуле AC, a a a a, поэтому Направляющие косинусы вычисляются по формулам a a a cos, cos, cos, поэтому cos, cos, cos a a a Ответ: a , cos, cos, cos в) четырехугольник ABCD будет трапецией, если хотя бы одна пара векторов AB, CD или AD, CB будет коллинеарной Векторы коллинеарны тогда и только тогда когда их координаты пропорциональны 9 AB, CD, 8 CB равенства коллинеарность векторов AD и CB : равенства не коллинеарны Ответ: четырехугольник ABCD не является трапецией AD, Проверяем коллинеарность векторов AB и CD : неверны, значит векторы не коллинеарны Проверяем 8 неверны, значит и эти векторы

7 Задание В пространстве заданы четыре точки A B D а) Найти скалярное произведение AB CD б) Найти векторное произведение AB AC в) Найти вектор единичной длины, перпендикулярный к векторам AB и AC Решение: а) AB 9, 9 9 AB CD Ответ: AB CD 9 б) Если a a, a, a и b b b, b вычисляется с помощью определителя i j k 9 7i 9 j k C CD скалярное произведение равно (, ) i j k a a a b b b, то векторное произведение, значит, AC 7 9 Ответ: AB AC 7 9 AB в) векторное произведение по определению перпендикулярно каждому из перемножаемых векторов, поэтому для решения задачи достаточно поделить все координаты вектора AB AC на его длину 7 9 AB AC Искомый вектор AB AC имеет координаты 7 Ответ: или или Контрольная работа Задание На плоскости задан треугольник с вершинами в точках A,,, B, C, Составить уравнение его медианы AM, высоты CD и найти тангенс угла между медианой AM и высотой CD Решение: прямая, отрезок которой является высотой CD треугольника ABC, перпендикулярна прямой AB Составим уравнение прямой AB как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

8 Угловой коэффициент высоты определим из условия Уравнение искомой высоты можно записать в виде не определен kk : k k b, где коэффициент b пока Значение этого коэффициента определим из того, что прямая CD проходит через b b 7 Уравнение высоты 7 данную точку C, : Ответ: уравнение высоты - 7 Медиана AM треугольника ABC по определению проходит через вершину A и середину M стороны BC Координаты точки M можно найти как среднее арифметическое координат точек B и C : M M 9 Уравнение медианы можно теперь составить как уравнение прямой, проходящей через две точки: Ответ: уравнение медианы - 9 Тангенс угла между двумя прямыми вычисляется по формуле угловые коэффициенты рассматриваемых прямых g Ответ: g k k g, где k, k kk Задание В пространстве заданы четыре точки A, B, 79 D 8 8 а) Составить уравнения плоскостей ABC и BCD C, б) Составить канонические уравнения прямой DH, перпендикулярной плоскости ABC в) Найти косинус угла между плоскостями ABC и BCD

9 г) найти косинус угла между прямыми DH и AB д) найти синус угла между прямой DH и плоскостью BCD Решение: а) уравнение плоскости, проходящей через три точки задается определителем z z z z z z Уравнение плоскости ABC - 7 z 9 определитель и приводя подобные, получим 7z Аналогично, уравнение плоскости BCD z 9 8 z 8 Раскрывая 9 z 8z 9 Ответ: уравнение плоскости ABC - 7z, уравнение плоскости BCD - 8z 9 б) Нормальный вектор плоскости ABC имеет координаты 7 Этот же вектор является направляющим для прямой, перпендикулярной плоскости Прямая, по условию, проходит через точку D 8 8, поэтому канонические уравнения искомой прямой имеют вид 8 z z 8 Ответ: уравнения прямой DH - 7 в) Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами n 7и n 8: n n 7 8 cos,8 n n Ответ: косинус угла между плоскостями равен, г) Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами направляющим вектором прямой DH является 7, а направляющим вектором прямой AB - вектор AB 7 cos 7 Ответ: косинус угла между прямыми равен д) синус угла между прямой и плоскостью равен косинусу угла между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости: 7 8 cos,

10 Ответ: синус угла между плоскостью и прямой равен, Задание Вычислить пределы а) lim 9 б) lim в) 99 9 lim sin cg 8 г) lim ln Решение: а) lim lim lim б) lim lim cos 8 sin в) lim sin cg 8 lim sin lim cos 8 sin 8 9 sin 8 sin sin 8 lim : lim lim cos 8 : 8 д) lim ln 7 ln lim z z 7 z ln lim ln e z Задание Найти производные функций а) Решение: 7 7 ln lim sin б) arcg а) sin sin sin sin cos sin sin cos б) arcg arcgln e arcg ln arcg ln ln arcg arcg ln arcg e e Задание Исследовать функцию и построить ее график e Решение: использования производной Выполняем первый этап исследования свойств и поведения функции без Исследуем общие свойства функции (непрерывность, симметричность, периодичность) Определяем непрерывность функции: устанавливаем наличие точек и интервалов разрыва, интервалы непрерывности и область естественного существования функции

11 Функция e принимает конечные значения при любом значении аргумента из множества действительных чисел R неограниченный интервал f, D Проверяем симметричность (четность-нечетность) функции Функция является четной, тк f e e f Поэтому область существования представляет собой Вследствие четности функция имеет вертикальную ось симметрии O, и исследование функции далее можно проводить при (в полубесконечном интервале, ) Функция не является периодической, тк f f T только при T Находим координаты точек пересечения графика функции с осями координат Точки пересечения графика функции с осью O называют нулями (нулевыми точками) функции e координат, и пересекает ось O в той же точке, таким образом, функция касается оси O в начале Определяем интервалы знакопостоянства функции Проверку проводим при методом пробных точек При имеем e, 7 np графика функции лежит над осью O Аналогично и левая часть графика, в силу симметричности, лежит над осью O Интервал знакопостоянства единственен и совпадает с интервалом непрерывности, Определяем наличие асимптот Вертикальных асимптот e Таким образом, правая часть нет, тк функция не имеет точек разрыва Проверяем наличие наклонных и горизонтальных асимптот при Пусть уравнение асимптоты - k b : f e k lim lim lim lim e e b lim e e e f k lim f lim lim lim

12 При имеется горизонтальная асимптота Значит, в силу четности, та же прямая является асимптотой и при Поскольку e при любом значении, то все числовые значения функции лежат над асимптотой Изображаем эскиз графика функции по результатам первого этапа (рис ): - график симметричен относительно оси O и не имеет точек разрыва - ось O является горизонтальной асимптотой и график находится над асимптотой - нуль функции имеет место при Выполняем второй этап исследования свойств функции с использованием производных Находим критические точки первого рода: e e e e, при,, M,, M, e имеем Для правой части графика имеем две критические точки первого рода Находим критические точки второго рода: e e e e 7,,8,8 7, В правой части графика функции (при ) имеем две критические точки второго рода,8,,,,,, M M Составляем сводную таблицу результатов для правой части графика функции: Характерные Знак или числовое Знак первой Знак второй Краткая точки ( ) и значение функции производной производной характеристика интервалы f функции f функции f поведения функции = + Нуль функции, критическая точка

13 первого рода - минимум (,8) Возрастает, выпукла вниз =,8, Критическая точка второго рода - перегиб (,8 ) Возрастает, выпукла вверх =,7 - Критическая точка первого рода - максимум (,) Убывает, выпукла вверх =,, Критическая точка второго рода точка перегиба, Убывает, выпукла вниз Замечание: данные, выделенные жирным шрифтом, указаны по результатам первого этапа, подчеркнутые данные приведены по результатам, Остальные данные заполняются по результатам 7 В первом столбце приведены характерные точки графика и интервалы, разделенные этими точками Определяем интервалы монотонности, выпуклости и вогнутости методом пробных точек в интервалах, указанных в сводной таблице Интервал,8 :,,, e,,,,,, e ïð - функция возрастает - функция выпукла вниз

14 Интервал,8 :,,, e,,,,,, e ïð - функция возрастает - функция выпукла вверх Интервал, :,,, e,,,,,, e ïð - функция убывает - функция выпукла вверх Интервал, : e e ïð - функция убывает - функция выпукла вниз Полученные данные вносим в таблицу Определяем возможные экстремумы в критических точках Указанные точки являются точками стационарности, поэтому можно использовать любое из двух достаточных условий экстремума Применим первое достаточное условие экстремума: Точка стационарности : минимум Точка стационарности : при,, 8 Точка, : при,, пр максимум Функция является гладкой (имеет первую и вторую производную), поэтому для проверки используем второе достаточное условие экстремума Проверка: При : : - максимум - минимум при Определим возможные точки перегиба среди критических точек второго рода Точка, 8 : при,, 8 получим, f, получим, получим, пр f перегиб f, пр

15 получим, при, пр f перегиб По данным сводной таблицы и эскизу графика строим график функции на всей области существования, используя его симметричность относительно оси O Контрольная работа Задание Проверить сходимость ряда n n! n Решение: при наличии факториалов под знаком суммы имеет смысл использовать признак n n n n! Даламбера: an, an lim lim Поскольку значение n! n! n n n! n n предела меньше, то ряд сходится Ответ: ряд сходится Задание Составить ряд Маклорена для функции e Решение: Воспользуемся известным рядом Маклорена для функции n n n n n e Ответ: n! n n! n n n e n n! n n n n n e Задание Вычислить приближенно e с точностью, Решение: Воспользуемся известным рядом Маклорена для функции n! n n! e : n e n n! : тогда e : n e n n! n e тогда n e поскольку n n!!!! e n n!!!! полученный ряд является знакочередующимся, то для достижения нужной точности,, достаточно взять слагаемые, превосходящие по абсолютной величине,!,!,,! 9,8 e!!! Ответ:,8 Задание Найти частные производные первого порядка функции z sin

16 Решение: по формуле производной произведения sin sin z z cos sin cos sin Аналогично z cos sin sin sin Ответ: z cos sin, z cos sin Задание Найти экстремумы функции z Решение: находим частные производные первого порядка z, z Приравниваем эти производные к нулю и решаем полученную систему уравнений вычтем из первого уравнения второе:, значит, : подставим полученное значение неизвестной в первое уравнение системы: таким образом, если экстремум есть, то только в точке M Находим частные производные второго порядка z, z z, z и составляем из них матрицу оба главных минора этой матрицы положительны, значит, в точке M функция имеет минимум Ответ: функция имеет единственный экстремум минимум в точке M Задание Привести квадратичную форму z z к каноническому виду Решение: поскольку квадратичная форма не содержит квадратов переменных, делаем предварительную замену переменных по формулам z : Записываем полученную квадратичную форму в виде делаем замену переменных по формулам u u u : u u u u u записываем полученную квадратичную

17 форму в виде u u u u u u u u u делаем v u последнюю замену переменных: v u u : v v v поскольку полученное v u выражение не содержит попарных произведений переменных, то канонический вид квадратичной формы найден Ответ: v v v Контрольная работа Задание В ящике находятся белых и 7 черных шара Вынимаются шара Найти вероятность того, что один из них белый и три черные Решение: задачу можно решить по формуле классической вероятности количество способов! вынуть шара из 7 равно C количество способов выбрать один белый шар из!!! трех равно C, а количество способов выбрать три черных шара из семи равно!! 7! C C7 C 7 искомая вероятность равна!! C Ответ: Задание Монета подбрасывается раза Вероятность того, что монета станет на ребро, равна, Для случайной величины X - количества выпадений герба составить ряд распределения, найти функцию распределения, найти математическое ожидание и дисперсию Решение: поскольку вероятности выпадения орла (герба) и решки, очевидно, одинаковы, то, каждая из них равна p, Так как в задаче речь идет о повторении испытаний, то можно воспользоваться формулой Бернулли: Вероятность того, что X, равна p C,,, 9 Вероятность того, что Вероятность того, что Вероятность того, что C,, C,, X, равна C,,, p X, равна, p X, равна, p Вероятность того, что X, равна p C,,, Составляем ряд распределения: Значения Х вероятности,9,,,,

18 Составляем функцию распределения: При F При F, 9 При F,9,, 7 При F,9,,, 88 При F,9,,,, 97 При F,9,,,,, при,9, при,7, при F,88, при,97, при, при Математическое ожидание равно MX i p i i Вычисляем дисперсию MX i p i i DX MX,9,,,,,,9, MX,,, 9,,,, Задание Даны ряды распределения независимых случайных величин X и Y: Х р,, Y Q,,,7 Найти ряд распределения случайной величины Z Y / X Решение: вероятность, не указанная в ряде распределения случайной величины X, равна,,, для каждой пары значений X, Y случайных величин X и Y вычисляем величину Y / X : / / / / / / / / / Составляем таблицу полученных значений, при этом, в силу независимости случайных величин X и Y вероятности значений величины Y / X будут равны произведениям соответствующих вероятностей

19 Z вероятности,,,,,,,,, Полученная таблица не является рядом распределения, тк в строке значений случайной величины несколько раз встречается одно и то же значение при составлении ряда распределения вероятности одинаковых значений суммируются: Z вероятности,,,,,,, Задание Непрерывная случайная величина Y задана плотностью при f C при Найти функцию распределения, математическое ожидание, при дисперсию и вероятность попадания случайной величины в интервал Решение: значение коэффициента C определяется из условия d f : C d C C C, откуда C из свойств функции распределения Fследует, что F при При F d при Значит, F при 78 при Математическое ожидание: MX f d Вычисляем дисперсию: MX f d d 7 d DX MX MX, 9 7 Вероятность попадания в заданный интервал: ,8 7 98,7 9 и F при

20 P X F F, Задание Убедиться, что функция f e является плотностью некоторой нормально распределенной случайной величины, найти математическое ожидание, дисперсию и вероятность попадания этой величины в интервал Найти какой-либо интервал, в который эта величина попадает с вероятностью,997 Решение: e 9 e 8 9 случайной величины имеет вид в общем виде плотность нормально распределенной a e из равенства следует, что должно быть 7 проверим выполнение равенства 9 : верно, значит, функция нормально распределенной случайной величины Математическое ожидание: MX a 8 Дисперсия: DX 7 98 f e является плотностью a a 7 9 P X,, 7 7,9,, С вероятностью,997 нормально распределенная случайная величина попадает, например, в a a 8 8,, интервал

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Контрольная работа T=3. Задание 1. [1, стр. 2]

Контрольная работа T=3. Задание 1. [1, стр. 2] Дана матрица Контрольная работа A 0 T= Задание [, стр ] Определите ее размерность Выпишите характеристики этой матрицы: прямоугольная, квадратная, симметричная, единичная, нулевая, треугольная, диагональная,

Подробнее

ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» направление «Экология и природопользование» 1 семестр

ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» направление «Экология и природопользование» 1 семестр ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» направление «Экология и природопользование» семестр. Разложить вектор X по векторам P, Q, R. Систему решить ) методом Крамера, ) матричным методом,

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n Решения типовых задач Задача Доказать по определению предела числовой последовательности что n li n n Решение По определению число является пределом числовой последовательности n n n N если найдется натуральное

Подробнее

Найти х из уравнений:

Найти х из уравнений: Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля) Планы практических занятий Матрицы и определители, системы линейных уравнений Матрицы Операции над матрицами Обратная матрица Элементарные

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

1. Найти значение матричного многочлена:

1. Найти значение матричного многочлена: 1. Найти значение матричного многочлена: f(a) = A + 5A E f(x) = x + 5x, A = ( 0 1 4 ) 5 1 A = ( 0 1 4 ) ( 0 1 4 ) = 5 1 5 1 + 0 5 + 1 ( ) ( ) + 4 1 = ( 0 + 1 0 + 4 5 0 + 1 1 + 4 ( ) 0 ( ) + 1 4 + 4 1)

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2 Вариант Найти область определения функции : y + Область определения данной функции определяется неравенством Кроме того знаменатель не должен обращаться в нуль Найдём корни знаменателя: Объединяя результаты

Подробнее

1 1 c) n n. 1 1 b) n. lim. lim. lim. lim. 1. Найти общий член последовательности 0,,,,. 2. Найти. a) 28 7 b) 7 c) 7 d) Найти. 4.

1 1 c) n n. 1 1 b) n. lim. lim. lim. lim. 1. Найти общий член последовательности 0,,,,. 2. Найти. a) 28 7 b) 7 c) 7 d) Найти. 4. Найти общий член последовательности,,,, ) Найти b) lim ( ) c) 9 7 7 ) 8 7 b) 7 c) 7 d) 7 Найти ( )!! lim ( )! ) b) c) Найти 6 si lim si d) ) b) c) d) d) ( ) Найти lim [ (l( ) l )] ) b) c) e d) l 6 Найти

Подробнее

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Учебная дисциплина Б.2.1 - Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент Тематика

Подробнее

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию:

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию: Вариант 7 Найти область определения функции : y + / lg Область определения данной функции определяется следующими условиями:, >, те > / Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или Объединяя результаты,

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? . КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми.

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми. Контрольная работа Тема Пределы и производные функций Найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя) а) б) в) г) Пример а) Решение Определяем вид неопределенности При формальных

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства»

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства» Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления 676 (9) «Технология и дизайн упаковочного производства» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА СОДЕРЖАНИЕ АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА ФУНКЦИИ...10 Основные свойства функций...11 Четность и нечетность...11 Периодичность...12 Нули функции...12 Монотонность (возрастание, убывание)...13 Экстремумы (максимумы

Подробнее

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ» Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

В.И. Иванов С.И. Васин

В.И. Иванов С.И. Васин Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» в зимнюю сессию учебного года, для I курса экономического факультета дневного

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» в зимнюю сессию учебного года, для I курса экономического факультета дневного Программа письменного экзамена по «Высшей математике» в зимнюю сессию - учебного года для I курса экономического факультета дневного отделения (специальностей «экономика» и «экономическая теория») заочного

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

Учебный план дисциплины.

Учебный план дисциплины. 3 Учебный план дисциплины. Студенты дневного отделения изучают математику на I и II курсах. Общий объем учебных часов на дисциплину 600 часов. В первом семестре изучаются следующие разделы: линейная алгебра,

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Сборник задач по высшей математике

Сборник задач по высшей математике С. А. Логвенков П. А. Мышкис В. С. Самовол Сборник задач по высшей математике Учебное пособие для студентов социально-управленческих специальностей Москва Издательство МЦНМО 24 УДК 52 (75.8) ББК 22.43

Подробнее

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7.

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ (для

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK,

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK, . Дан параллелепипед ABCDA B C D. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы AB, AD, AA, найти координаты: а) вершин C, B, C ; б) точек K и L середин ребер A B и CC соответственно. Решение:

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством x 3x 2. 0 являются числа x =, x 4. Так как ветви

Область определения данной функции определяется неравенством x 3x 2. 0 являются числа x =, x 4. Так как ветви Вариант Найти область определения функции Область определения данной функции определяется неравенством > Корнями уравнения являются числа Так как ветви параболы направлены вверх то неравенство > выполняется

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8.

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: 16x 10x + 2x = 8, 40x + 25x 5x = 20. Ответ: Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 1 2 + 5 8 x 1 8 x, x, x R; базисное

Подробнее

Вариант 1. Математический факультет ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН уч.г., Вариант 2.

Вариант 1. Математический факультет ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН уч.г., Вариант 2. Вариант 1. 1. Поле комплексных чисел. Его конструкция. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Формула Муавра и формула извлечения корней n ой степени из комплексного числа.

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

1. Производная Рассмотрим график непрерывной функции секущая графика. будем называть касательной. в точке x

1. Производная Рассмотрим график непрерывной функции секущая графика. будем называть касательной. в точке x Лекция: Основы дифференциального исчисления Конспект лекции. Производная Рассмотрим график непрерывной функции на отрезке b M M секущая графика. Тогда тангенс угла наклона секущей. Предельное положение

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП

ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП

Подробнее

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и Вариант 5 Найти область определения функции : y arcsin + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и или Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

Проективная геометрия

Проективная геометрия Проективная геометрия Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии. Москва - Ижевск: ЗАО НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2002. 384 с. 1297 Найти ангармоническое отношение

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Е В Морозова, С В Мягкова БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ЧАСТЬ I ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

Подробнее

«Линейная алгебра» B Решить

«Линейная алгебра» B Решить Контрольные работы по дисциплине «Высшая математика» для студентов направления 876 () «Техносферная безопасность» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия на плоскости

Подробнее

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики АВ Капусто Минск 016 016 Кафедра высшей

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Московский государственный. торгово-экономический университет. Тульский филиал

Московский государственный. торгово-экономический университет. Тульский филиал Московский государственный торгово-экономический университет Тульский филиал СВ Юдин Математика Методические указания по решению задач Тула-00 ББК 6 УДК 57 (0758) Юдин СВ Математика Методические указания

Подробнее

МАТЕМАТИКА Контрольные работы для студентов заочного обучения 1 семестр

МАТЕМАТИКА Контрольные работы для студентов заочного обучения 1 семестр М.М. Белоусова, К.С. Поторочина МАТЕМАТИКА Контрольные работы для студентов заочного обучения семестр Екатеринбург 07 ФГАОУ ВО «Уральский Федеральный Университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина»

Подробнее

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление Содержание Введение Линейная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения задач Задачи для самоподготовки Аналитическая геометрия и векторная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения

Подробнее

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x.

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x. Демонстрационный вариант 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. 2. Найдите базис системы

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л И Магазинников, А Л Магазинникова ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Конспект лекций по высшей математике

Конспект лекций по высшей математике Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра высшей математики Конспект лекций по высшей математике для студентов экономических

Подробнее

Тесты по контролю промежуточных знаний по высшей математике для студентов I курса I семестра факультетов МТ и АТ

Тесты по контролю промежуточных знаний по высшей математике для студентов I курса I семестра факультетов МТ и АТ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Московский государственный технический университет «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Проф, дф-мн Кадымов ВА Доц, кф-мн Соловьев ГХ Тесты по контролю промежуточных

Подробнее

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0.

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0. Вариант Найти область определения функции : lg 5 + Область определения данной функции определяется неравенством > 5+ Найдём корни знаменателя:, Так как ветви параболы 5+ направлены вверх, то 5+ 6< при

Подробнее

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2.

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

Подробнее

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А 8 Методические рекомендации по выполнению контрольны работ, курсовы работ К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А Д и с ц и п л и н а «М а т е м а т и к а» ) Решить систему линейны уравнений методом Гаусса 7

Подробнее

~ 1 ~ «Признаки монотонности функции»

~ 1 ~ «Признаки монотонности функции» ~ 1 ~ «Признаки монотонности функции» Теорема: Для того чтобы функция f(x), дифференцируемая на a,b возрастала (убывала) на a,b необходимо и достаточно, чтобы x a,b выполнялось неравенство f (x) 0 (f (x)

Подробнее

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2 Вариант Найти область определения функции : y arcsi + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами и Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Примеры решения задач, аналогичных задачам 1-10 Необходимо найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя).

Примеры решения задач, аналогичных задачам 1-10 Необходимо найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя). Контрольная работа 2 (КР-2) Тема 3. Пределы и производные функций Примеры решения задач, аналогичных задачам 1-10 Необходимо найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя).

Подробнее

и плоскостью, проходящей через точки K(0; 0; 1), L(2; 4; 6), M(2; 2; 3). 4. Дана функция Вычислить ее производную 20-го порядка в точке x = 0.

и плоскостью, проходящей через точки K(0; 0; 1), L(2; 4; 6), M(2; 2; 3). 4. Дана функция Вычислить ее производную 20-го порядка в точке x = 0. Билет Матрицы, действия над ними Числовая последовательность, свойства бесконечно малых последовательностей Вычислить расстояние от точки M( ; ; ) до плоскости, проходящей через точки A( ; ; 0), B( ; ;

Подробнее

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления»

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления» 4 Методические указания к выполнению контрольной работы «Производная и ее приложения Приложения дифференциального исчисления» Производная Приложения дифференциального исчисления Производной функции f (

Подробнее

Л.В. Китаева, М.О. Сысоева, Т.А. Шайхудинова МАТЕМАТИКА. В четырех частях. Часть 1

Л.В. Китаева, М.О. Сысоева, Т.А. Шайхудинова МАТЕМАТИКА. В четырех частях. Часть 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Бийский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Алтайский государственный

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Векторная алгебра. Контрольная работа ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Векторная алгебра. Контрольная работа ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Векторная алгебра. Контрольная работа Задача. Длина вектора a равна t см, длина вектора b равна t + см, а угол между ними t + a tb. 6. Найдите длину вектора ( ) Решение. По условию, длина вектора a равна

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная 3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы. Порядок

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА ( курс,, и 9 гр) специальности 6, 6 семестр Теоретическая часть часть Матрицы Действия с ними Определители квадратных матриц Свойства Миноры и алгебраические

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ 1 Семестра Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы.

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену 1 семестр

Вопросы и задачи к экзамену 1 семестр Направление: «Строительство» Вопросы и задачи к экзамену семестр. Матрицы: определение, виды. Действия с матрицами: транспонирование, сложение, умножение на число, умножение матриц. 2. Элементарные преобразования

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы Вариант 5 Найти область определения функции lg5 Область определения данной функции определяется неравенством 5 > Корнями уравнения 5+ являются числа, Так как ветви параболы + 5 направлены вниз, то неравенство

Подробнее

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале Вариант + Найти область определения функции: y lg Область определения данной функции определяется неравенством + те Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg или ± Кроме того аргумент логарифма

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

Теоретический минимум по вычислительной геометрии

Теоретический минимум по вычислительной геометрии Теоретический минимум по вычислительной геометрии для групп параллели B Летняя компьютерная школа, 2010 г. Содержание 1 Вектора 1 1.1 Скалярное произведение векторов.................................. 2

Подробнее

СХЕМА ПОЛНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ ПРИМЕРЫ

СХЕМА ПОЛНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ ПРИМЕРЫ СХЕМА ПОЛНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ Найти область определения функции Исследовать четность и периодичность функции Исследовать точки разрыва найти вертикальные асимптоты 4 Найти наклонные асимптоты (если

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ М и н и с т е р с т в о о б р а з о в а н и я и н а у к и Р о с с и й с к о й Ф е д е р а ц и и Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный

Подробнее

1. При каких значениях ранг матрицы. Решение:

1. При каких значениях ранг матрицы. Решение: . При каких значениях ранг матрицы равен двум? Решение: Ранг матрицы равен порядку базисного минора. Поскольку требуется, чтобы ранг матрицы был равен двум, то базисным должен быть какой-либо минор второго

Подробнее

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2 Вариант Найти область определения функции : arccos Область определения данной функции определяется неравенством Освободимся от знака модуля: Если то Из левого неравенства находим или / Из правого неравенства

Подробнее

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Основные алгебраические структуры

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Основные алгебраические структуры ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР Занятие 1 Основные алгебраические структуры 11 Является ли операция на множестве A ассоциативной если a A = N x y = x y b A = N x y = НОДx y c A = N x y = 2xy d A = Z x y = x 2 + y 2 e A

Подробнее

1 Билинейная и квадратичная формы.

1 Билинейная и квадратичная формы. 1 Билинейная и квадратичная формы. Пусть ϕ(x, y) числовая функция, заданная на линейном пространстве, то есть ϕ : L L R. Если ϕ(x, y) линейна по каждому из своих аргументов, то её называют билинейной формой.

Подробнее

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Линейная алгебра ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Линейная алгебра ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Математика» Набор тестов для студентов очной формы обучения всех специальностей Автор

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее