Основные понятия и определения

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Основные понятия и определения"

Транскрипт

1 1 Основные понятия и определения Вспомним основные понятия и определения, которые употреблялись в курсе теории вероятностей. Вероятностный эксперимент (испытание) эксперимент, результат которого не предсказуем заранее, т.к. он является случайным в силу сложного сочетания естественных причин. Событие это любой исход или совокупность исходов какого-либо вероятностного эксперимента. Событие, которое может произойти или не произойти в условиях данного эксперимента, называется случайным. Если событие происходит всегда в условиях данного эксперимента, оно называется достоверным. Событие называется невозможным, если оно не происходит никогда в условиях данного эксперимента. События, которые не могут происходить одновременно, называются несовместимыми. В противном случае они называются совместимыми. Два события называются противоположными, если одно из них происходит тогда и только тогда, когда не происходит другое (прибор работает безотказно в течение какого-то времени прибор выходит из строя в течение определенного времени). Событие, представимое в виде совокупности (суммы) нескольких элементарных событий, называется составным (в течение определенного времени не менее одного газоперекачивающего агрегата находилось в резерве мог находиться один ГПА, два и т.д.). Вероятность события это количественная мера, которая вводится для сравнения событий по степени возможности их появления. Вероятностью события A называется отношение m элементарных событий (исходов), благоприятствующих появлению события A к числу n всех элементарных событий в условиях данного вероятностного эксперимента PA ( ) m n Из определения следуют свойства вероятности

2 1. Вероятность не может принимать значения, меньшие 0 и большие 1 0 PA ( ) 1. Вероятность невозможного события равна Вероятность достоверного события равна Если события A и B несовместимы, то P( A B) P( A) P( B) 5. Если события A и A противоположные события, то P( A) 1 P( A) В случайных экспериментах обычно нас интересуют величины, имеющие числовое выражение рост человека, время химической реакции, давление газа на компрессорной станции. Чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что измеряемая по ходу опыта числовая характеристика зависит от его случайного исхода и потому сама является случайной, ее называют случайной величиной. Случайная величина (СВ) величина, которая в результате наблюдения (эксперимента) принимает то или иное значение, заранее неизвестное и зависящее от случайных обстоятельств. Дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретные случайные величины могут принимать счетное количество значений. Размер одежды студента, число газоперекачивающих агрегатов, работающих на компрессорной станции, количество датчиков, подлежащих ремонту в течение месяца. Дискретная случайная величина имеет счетное число значений. Непрерывные случайные величины могут принимать любое значение из конечного или бесконечного интервала. Время протекания химической реакции, давление на выходе газоперекачивающего агрегата, глубина залегания пласта, объем газа, затребованный потребителем в определенный момент времени. Непрерывная случайная величина теоретически имеет бесконечное число значений.

3 Функция распределения случайной величины Fx ( ) функция, определяющая вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x. F( x) P( X x) Графики функций распределения непрерывной и дискретной СВ приведены на рисунках 1 и соответственно. Дискретная СВ принимает значения от 1 до 5 с одинаковой вероятностью 0.. Свойства функции распределения. 1. Функция распределения не может принимать значения меньшие 0 и большие 1 0 Fx ( ) 1. Функция распределения Fx ( ) не убывающая F( x) F( x x) 3. Вероятность события, что случайная величина X примет значение, принадлежащее отрезку ab, ; определяется как разность значений функции распределения на концах отрезка. P( a X b) F( b) F( a) 4. Вероятность события, что случайная величина X примет значение, превышающее b, определяется как разность 1 и значения функции распределения в точке b. P( X b) 1 F( b)

4 Рисунок 1. График функции распределения непрерывной СВ. Рисунок. График функции распределения дискретной СВ. Плотность вероятности (плотность распределения вероятностей) случайной величины для непрерывной функции называют функцию P( x X x x) F( x x) F( x) f ( x) lim lim F( x) x0 x x0 x На рисунке 3 приведен один из возможных графиков плотности вероятности.

5 Свойства функции плотности вероятности. 1. Так как функция распределения неубывающая, ее производная не может быть отрицательной, поэтому функция плотности вероятности не отрицательная. f( x) 0. Вероятность события, что случайная величина X примет значение, принадлежащее отрезку ab, ; может быть вычислена как определенный интеграл функции плотности вероятности на отрезке ab ; b P( a X b) f ( t) dt a 3. Функция распределения и функция плотности могут быть получены одна из другой дифференцированием и интегрированием соответственно. x F( x) f ( t) dt f ( x) F ( x) 4. Неопределенный интеграл функции плотности распределения равен 1. f ( t) dt 1

6 Рисунок 3. График функции плотности распределения. Основные характеристики случайных величин Для изучения случайных величин необходимо знать их числовые характеристики. Среди числовых характеристик могут быть выделены характеристики положения и характеристики рассеивания. К характеристикам положения относят математическое ожидание, медиану, моду, квартили. Характеристики рассеивания абсолютное отклонение, дисперсия, среднеквадратическое отклонение, асимметрия, эксцесс. Математическое ожидание характеризует среднее ожидаемое значение СВ. Математическое ожидание может быть представлено как центр массы геометрической фигуры, ограниченной функцией плотности распределения и осью X

7 Для дискретной случайной величины X, принимающей значения x1, x,..., x n с вероятностями p1, p,..., p n математическое ожидание вычисляется по формуле n M( X) x p i1 i i Для непрерывной случайной величины X с плотностью вероятности f( x ) математическое ожидание вычисляется по формуле M( X) xf ( x) dx Свойства математического ожидания. 1. Математическое ожидание имеет ту же размерность, что и СВ.. Математическое ожидание постоянной величины равно ей самой. M( C) C 3. Математическое ожидание СВ, равной произведению СВ X и константы, равно произведению математического ожидания СВ X и константы. M( C X) C M( X) 4. Математическое ожидание суммы (разности) двух случайных величин равно сумме (разности) математических ожиданий этих случайных величин M( X Y) M( X) M( Y)

8 5. Для независимых СВ математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению математических ожиданий этих случайных величин M( X Y) M( X) M( Y) Медиана значение признака, которое делит ранжированную совокупность (вариационный ряд выборки) на две равные части: 50 % «нижних» единиц ряда данных будут иметь значение признака не больше, чем медиана, а «верхние» 50 % значения признака не меньше, чем медиана. Если имеется чётное количество случаев и два средних значения различаются, то медианой, по определению, может служить любое число между ними (например, в выборке {1,, 3, 4} медианой, по определению, может служить любое число из интервала (,3)). На практике в этом случае чаще всего используют среднее арифметическое двух средних значений. Мода - значение во множестве наблюдений, которое встречается наиболее часто. Случайная величина может не иметь моды. Иногда в совокупности встречается более чем одна мода (например:, 6, 6, 6, 8, 9, 9, 9, 10; Мо = 6 и 9). В этом случае можно сказать, что совокупность мультимодальна. Как правило, мультимодальность указывает на то, что набор данных не подчиняется нормальному распределению. Мода как средняя величина употребляется чаще для данных, имеющих нечисловую природу. Среди перечисленных цветов автомобилей белый, черный, синий металлик, белый, синий металлик, белый мода будет равна белому цвету. Для исследования случайных величин необходимо знать разброс возможных значений случайной величины относительно центра. Например, при выборе катализатора, если имеется продукция разных производителей, при одинаковом среднем значении времени реакции предпочтительнее тот, характеристики которого стабильнее разброс значений которого меньше. Для характеристики разброса возможных значений случайной величины

9 служит дисперсия. Дисперсией СВ X называется математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания. Для дискретной случайной величины X, принимающей значения x1, x,..., x n с вероятностями p1, p,..., p n дисперсия вычисляется по формуле n i i1 D( X) M( X M( X)) M( X ) M ( X) ( x x) p Для непрерывной случайной величины X с плотностью вероятности f( x ) дисперсия вычисляется по формуле D( x) ( x x) f ( x) dx Свойства дисперсии: 1. Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности СВ.. Дисперсия константы равна нулю. DC ( ) 0 3. Дисперсия случайной величины, полученной как произведение случайной величины на константу равна произведению дисперсии этой случайной величины на квадрат константы. D C X C D X ( ) ( ) 4. Для независимых СВ дисперсия суммы (разности) двух СВ равна сумме дисперсий этих случайных величин D( X Y) D( X) D( Y) i Для того, чтобы представить разброс значений СВ в тех же единицах измерений, используют среднеквадратическое отклонение. Среднеквадратическое отклонение вычисляется как квадратный корень из дисперсии СВ. Другое название этой величины стандартное отклонение. ( X) D( X) В дальнейшем дисперсию мы чаще всего будем обозначать как.

10 Чтобы оценить разброс значений случайной величины относительно ее среднего вводится коэффициент вариации ( X) VX ( ) MX ( ) На рисунке приведен график box-and-whisker (так называемый ящик с усами), показывающий минимальное, максимальное значение, медиану, верхний и нижний квартили. Большинство случайных величин подчиняются определенному закону распределения, зная который можно предсказать вероятность попадания СВ в интересующие нас интервалы. Нормальное распределение (распределение Гаусса). Для нормального распределения функция распределения имеет вид x ( tm) 1 F( x) e dt На рисунке 4 приводится график функции распределения СВ, имеющей нормальный закон распределения. Представленная на рисунке СВ имеет математическое ожидание, равное 3. Этому значению соответствует значение функции распределения 0.5

11 Рисунок 4. График функции распределения СВ, распределенной по нормальному закону. Функция плотности распределения записывается таким образом f ( x) 1 e ( xm) Нормальное распределение полностью определяется параметрами математическое ожидание m и среднеквадратическое отклонение. На рисунке 5 изображены графики функции плотности распределения СВ, распределенных по нормальному закону. График плотности распределения для нормального закона имеет форму колокола. Чем меньше дисперсия СВ, тем выше точка максимума. Свойства нормального распределения. 1. Для нормального распределения график плотности вероятности симметричен относительно прямой xm. Вероятность попадания в интервалы P( X m ) 0,68 P( X m ) 0,95 P( X m 3 ) 0,9973

12 3. Линейная комбинация любого количества независимых нормально распределенных СВ имеет нормальное распределение X N( m, ), Y N( m, ) x x y y Z ax by, Z N( m z, z ) m am bm, a b z x y z x y Рисунок 5. График функций плотности распределения СВ, распределенных по нормальному закону. Нормальное распределение распространено в ситуациях, когда на интересующий нас результат воздействует большое количество независимых случайных факторов, среди которых нет сильно выделяющихся. Примеры случайных величин, имеющих нормальное распределение: - рост студента - случайное отклонение измеряемого параметра от номинального

13 Равномерное распределение. Для равномерного распределения функция распределения имеет вид 0, если x a Fx ( ) xa, если a x b b a 1, если x b На рисунке 6 показан график функции распределения для равномерного закона распределения. Наклон его к оси X не изменяется. Рисунок 6. График функции распределения СВ, распределенной по равномерному закону Для равномерного распределения функция плотности распределения имеет вид 1, если xa, b f( x) b a 0, если xa, b

14 Рисунок 7. График функции плотности распределения СВ, распределенной по равномерному закону Математическое ожидание СВ, равномерно распределенной на отрезке ab, ; определяется как середина этого отрезка. MX ( ) b a Дисперсия СВ, равномерно распределенной на отрезке ab ;, рассчитывается по формуле ba ba D( X) t dt ba b a Примеры СВ, имеющих равномерное распределение Время, в течение которого водитель ждет включения зеленого сигнала светофора. Если красный горит 30 сек, то время ожидание деленного сигнала СВ, имеющая равномерное распределение на отрезке 0;30. Шкала измерительного прибора проградуирована в некоторых единицах (например, у весов в граммах). Ошибка округления до

15 ближайшего целого значения случайная величина, равномерно распределенная на отрезке от 0;1 Все вышесказанное относилось к курсу теории вероятности, когда мы для СВ полагаем, что известны закон распределения, вероятность, что дискретная СВ примет какое-либо значение, математическое ожидание и дисперсия для СВ, имеющей нормальное распределение. Однако на практике мы имеем дело с данными, для которых эти характеристики неизвестны. Перед нами стоит цель исследовать закономерности случайных явлений в ситуациях, когда мы не располагаем заранее построенной вероятностной моделью. При исследовании реальных процессов приходится обрабатывать большие объемы статистических данных по самым разноплановым показателям, которые по своей сути являются случайными величинами. По ходу проводимого анализа возникают задачи оценивания числовых значений различных параметров, выдвигаются и проверяются различные предположения, устанавливается наличие и сила зависимости между различными факторами. Для практических задач мы имеем дело с конкретными реализациями рассматриваемых СВ. Количество таких реализаций в силу самых разных причин ограничено (вся совокупность может быть слишком велика или ее элементы малодоступны или СВ является непрерывной и у нас есть возможность наблюдать некоторое количество ее значений), и это не позволяет применять напрямую методы теории вероятности. Поэтому для анализа экспериментальных данных используются методы и модели математической статистики. Под статистическими данными подразумеваются данные наблюдений за значениями некоторой случайной величины (или нескольких случайных величин), характеризующей изучаемый процесс. По типу решаемых задач математическая статистика подразделяется на 3 раздела:

16 Описание данных, определение способов сбора и группировки статистических данных, полученных в результате наблюдений или испытаний Оценивание параметров оценка неизвестной вероятности события, неизвестной функции распределения, неизвестных параметров известного распределения, определение наличия зависимости двух или нескольких случайных величин Проверка статистических гипотез. По виду обрабатываемых статистических данных в математической статистике может быть выделено 4 направления - одномерная статистика, где результат наблюдения описывается действительным числом. - многомерный статистический анализ, где результат наблюдения над объектом может быть описан несколькими числами (вектором). - статистика случайных процессов и временных рядов. Результат наблюдения в этом случае может быть представлен в виде функции. - статистика объектов нечисловой природы, где результат наблюдения, например, получен в результате упорядочивания характеристик среди ряда объектов или отражает качественный признак.


характеристики положения характеристики рассеивания

характеристики положения характеристики рассеивания Числовые характеристики характеристики положения характеристики рассеивания Виды распределений Нормальное Равномерное Биномиальное характеристики положения Математическое ожидание Медиана характеристики

Подробнее

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 1 ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайной величиной называется переменная, которая

Подробнее

)? (Вероятность попадания непрерывной СВ

)? (Вероятность попадания непрерывной СВ Случайные величины. Определение СВ ( Случайной называется величина, которая в результате испытания может принимать то или иное значение, заранее не известное).. Какие бывают СВ? ( Дискретные и непрерывные.

Подробнее

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева Е.Г. Основные определения и

Подробнее

Числовые характеристики случайной величины

Числовые характеристики случайной величины Числовые характеристики случайной величины Числовые характеристики случайной величины Применяются вместо закона распределения случайной величины В сжатой форме выражают наиболее существенные особенности

Подробнее

М.П. Харламов Конспект

М.П. Харламов  Конспект М.П. Харламов http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Конспект Теория вероятностей и математическая статистика Краткий конспект первого раздела (вопросы и ответы) Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов

Подробнее

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Надежность технических систем и техногенный риск

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Надежность технических систем и техногенный риск ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Надежность технических систем и техногенный риск 2018 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 2 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ отказы ТС* ошибки операторов ТС внешние негативные воздействия *Отказ это

Подробнее

Измерения и обработка результатов измерений Случайные погрешности

Измерения и обработка результатов измерений Случайные погрешности В теории вероятностей изучаются различные законы распределения, каждому из которых соответствует определенная функция плотности вероятности Они получены путем обработки большого числа наблюдений над случайными

Подробнее

Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем. 1.

Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем. 1. Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем.. Теория вероятности (задачи 7.0 7.80)... Теоремы умножения

Подробнее

Лекция 6 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Лекция 6 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция 6 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить числовые характеристики положения и моменты непрерывных и дискретных случайных величин Числовые характеристики положения Закон

Подробнее

Тема 5. Непрерывные случайные величины.

Тема 5. Непрерывные случайные величины. Тема 5. Непрерывные случайные величины. Цель и задачи. Цель контента темы 5 дать определение непрерывной случайной величины, ее функции распределения и функции распределения; рассмотреть особенности задания

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ это распределение числа успехов наступлений определенного события в серии из n испытаний при условии, что для каждого из n испытаний вероятность успеха имеет одно и то же значение

Подробнее

Большинство исследований проводимых в химической технологии сводятся к решению оптимальных задач. Существует два подхода к решению оптимальных задач:

Большинство исследований проводимых в химической технологии сводятся к решению оптимальных задач. Существует два подхода к решению оптимальных задач: Лекция Большинство исследований проводимых в химической технологии сводятся к решению оптимальных задач. Существует два подхода к решению оптимальных задач: 1. Для решения оптимальных задач необходимо

Подробнее

Случайные величины и законы их распределения.

Случайные величины и законы их распределения. Случайные величины и законы их распределения. Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Сначала рассмотрим примеры. Число вызовов, поступивших от абонентов в течение

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности.

ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности. 1 ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности. Помимо дискретных случайных величин на практике приходятся иметь дело со случайными величинами, значения которых сплошь заполняет некоторые

Подробнее

1.18. Непрерывная одномерная случайная величина

1.18. Непрерывная одномерная случайная величина .8. Непрерывная одномерная случайная величина def Случайная величина называется непрерывной, если ее возможные значения сплошь заполняют некоторый промежуток (; b) (или несколько промежутков) и на всей

Подробнее

Глоссарий. Вариационный ряд группированный статистический ряд

Глоссарий. Вариационный ряд группированный статистический ряд Глоссарий Вариационный ряд группированный статистический ряд Вариация - колеблемость, многообразие, изменчивость значения признака у единиц совокупности. Вероятность численная мера объективной возможности

Подробнее

Понятие случайной величины и её закона распределения. Одномерные дискретные случайные величины. Случайной величиной (СВ) называется функция ξ (ω)

Понятие случайной величины и её закона распределения. Одномерные дискретные случайные величины. Случайной величиной (СВ) называется функция ξ (ω) Понятие и её закона Одномерные дискретные случайные Определение случайной Случайной величиной (СВ) называется функция (ω), определённая на пространстве элементарных событий Ω, со значениями в одномерном

Подробнее

Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии

Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии и биоинформатики. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

Формулы по теории вероятностей

Формулы по теории вероятностей Формулы по теории вероятностей I. Случайные события. Основные формулы комбинаторики а) перестановки P =! = 3...( ). б) размещения A m = ( )...( m + ). A! в) сочетания C = =. P ( )!!. Классическое определение

Подробнее

Retinskaya.jimdo.com

Retinskaya.jimdo.com ЛЕКЦИЯ 1 Классификация экспериментальных исследований Определение и свойства функции распределения. Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал Квантиль распределения Выборочная функция

Подробнее

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ Отказы, возникающие в процессе испытаний или эксплуатации, могут быть различными факторами: рассеянием

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЗАНЯТИЕ 4 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Понятие случайной величины одно из важнейших понятий теории вероятностей. Под случайной величиной понимается величина,

Подробнее

НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 1 Случайная величина X называется непрерывной, если она принимает более, чем счётное число значений. Случайная величина X называется

Подробнее

Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить функции плотности и числовые характеристики случайных величин имеющих равномерное показательное нормальное и гамма-распределение

Подробнее

Практическое занятие 8. Числовые характеристики случайных величин

Практическое занятие 8. Числовые характеристики случайных величин Практическое занятие 8. Числовые характеристики случайных величин Закон распределения вероятностей случайной величины содержит полную информацию о случайной величине. Однако полная информация не всегда

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика. Случайные величины

Теория вероятностей и математическая статистика. Случайные величины Теория вероятностей и математическая статистика Случайные величины 1 Содержание Случайные величины Основные законы распределения 2 Случайные величины Понятие случайной величины и закона ее распределения

Подробнее

Тема: Статистические оценки параметров распределения

Тема: Статистические оценки параметров распределения Раздел: Теория вероятностей и математическая статистика Тема: Статистические оценки параметров распределения Лектор Пахомова Е.Г. 05 г. 5. Точечные статистические оценки параметров распределения Статистическое

Подробнее

Лекция 5 Тема. Содержание темы. Основные категории. Непрерывные случайные величины (НСВ)

Лекция 5 Тема. Содержание темы. Основные категории. Непрерывные случайные величины (НСВ) Лекция 5 Тема Непрерывные случайные величины (НСВ) Содержание темы Способы задания: интегральный закон распределения, плотность распределения. Связь между ними. Свойства плотности распределения. Применение

Подробнее

Непрерывная случайная величина

Непрерывная случайная величина Непрерывная случайная величина Непрерывная случайная величина принимает бесконечное количество значений из определенного интервала числовой прямой. 0 6 месяцев Срок службы лампочки 2 Пример. Рост человека

Подробнее

характеристики положения характеристики рассеивания

характеристики положения характеристики рассеивания Числовые характеристики характеристики положения характеристики рассеивания Виды распределений Нормальное Равномерное Биномиальное характеристики положения Математическое ожидание Медиана характеристики

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Н.Э. БАУМАНА

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Н.Э. БАУМАНА МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Н.Э. БАУМАНА С.П.Еркович ПРИМЕНЕНИЕ РЕГРЕССИОННОГО И КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАВИСИМОСТЕЙ В ФИЗИЧЕСКОМ ПРАКТИКУМЕ. Москва, 994.

Подробнее

Пример Пусть Х число очков выпавшее на игральной кости при одном броске. Тогда, эта с.в. распределена по закону

Пример Пусть Х число очков выпавшее на игральной кости при одном броске. Тогда, эта с.в. распределена по закону Случайные величины Случайные величины (с.в.) численное значение, появляющееся в результате опыта, и принимающее произвольное значение из заранее определенного множества. Существует два типа случайных величин:

Подробнее

указывать, непрерывной или дискретной является исследуемая случайная величина.

указывать, непрерывной или дискретной является исследуемая случайная величина. Раздел. Основы статистического анализа данных.. Определение случайной выборки Пусть исследуемая случайная величина, F ( x ) = P( < x) ее функция распределения, вообще говоря, неизвестная. В некоторых случаях

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 4 по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 4 по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы 4 по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто Минск 018 018 Кафедра высшей

Подробнее

, (3.4.3) ( x) lim lim

, (3.4.3) ( x) lim lim 3.4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБОРОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОГНОЗНЫХ МОДЕЛЕЙ До сих пор мы рассматривали способы построения прогнозных моделей стационарных процессов, не учитывая одной весьма важной особенности.

Подробнее

Лекция 7. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности.

Лекция 7. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности. Лекция 7. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности. Помимо дискретных случайных величин на практике приходятся иметь дело со случайными величинами, значения которых сплошь заполняет некоторые

Подробнее

Лекция. Элементы математической статистики.

Лекция. Элементы математической статистики. Лекция. Элементы математической статистики. План. 1. Статистика как наука. Этапы статистической работы.. I-й этап статистической работы. Генеральная совокупность и выборка. 3. I I-ой этап статистической

Подробнее

Теория вероятностей и статистика

Теория вероятностей и статистика Теория вероятностей и статистика Тема 7. Статистические оценки параметров распределения Белов А.И. Уральский федеральный университет Екатеринбург, 2018 Содержание 1 Точечные оценки 2 Характеристики положения

Подробнее

ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Понятие непрерывной случайной величины. Функция распределения, плотность распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Подробнее

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

Тема Основные понятия математической статистики

Тема Основные понятия математической статистики Лекция 6 Тема Основные понятия математической статистики Содержание темы Задача математической статистики Научные предпосылки математической статистики Основные понятия математической статистики Основные

Подробнее

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций 2009 М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций Выполнил студент группы 712 ФАВТ А. В. Димент СПбГУКиТ Случайное событие всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти, и

Подробнее

1. (10;20) 2. (15;25) 3. (10;15) 4. (5;25) 5. (0;20) Тогда статистическая оценка математического ожидания равна

1. (10;20) 2. (15;25) 3. (10;15) 4. (5;25) 5. (0;20) Тогда статистическая оценка математического ожидания равна Тема: Математическая статистика Дисциплина: Математика Авторы: Нефедова Г.А.. Точечная оценка параметра равна 5. Укажите, какой вид может иметь интервальная оценка:. (0;0). (5;5) 3. (0;5) 4. (5;5) 5. (0;0).

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ Пермский национальный исследовательский политехнический университет Кафедра математического моделирования систем и процессов МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ к.ф.-м.н., доц. П.С.

Подробнее

Лекция 8. Числовые характеристики случайных величин. Основные свойства математического ожидания:

Лекция 8. Числовые характеристики случайных величин. Основные свойства математического ожидания: МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 8 Числовые характеристики случайных величин При изучении случайных величин важную роль играют их числовые характеристики Математическим

Подробнее

Математика Статистика

Математика Статистика Лукьянова Е.А. Математика Статистика «Сестринское дело» Основные понятия статистики Генеральная совокупность и выборка Типы данных и их представление Точечное оценивание Интервальное оценивание 2015

Подробнее

называют пару гипотез. 9. Случаями называют равновозможные гипотезы. n событий A i, A i

называют пару гипотез. 9. Случаями называют равновозможные гипотезы. n событий A i, A i . ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Основные понятия теории вероятностей Многие объекты в математике определяются указанием операций которые можно выполнять над объектами и перечислением свойств которым удовлетворяют

Подробнее

n объектов, Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16

n объектов, Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16 Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16 Математическая статистика занимается методами сбора и обработки статистического материала результатов наблюдений над объектами

Подробнее

X и значения k и c, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (a/2, b/2). Построить график функции распределения.

X и значения k и c, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (a/2, b/2). Построить график функции распределения. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1 Варианты контрольной работы

Подробнее

а) отношение числа случаев, благоприятствующих событию А к общему числу

а) отношение числа случаев, благоприятствующих событию А к общему числу ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Задание. Выберите правильный ответ:. Относительной частотой случайного события А называется величина, равная... а) отношению числа случаев, благоприятствующих

Подробнее

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема Генеральная совокупность и выборка Точечные оценки и их свойства Центральная предельная теорема Выборочное среднее, выборочная дисперсия Генеральная совокупность Генеральная совокупность множество всех

Подробнее

8. Вероятность попадания в цель для двух стрелков равна соответственно 0.7 и 0.8. Тогда вероятность поражения цели равна

8. Вероятность попадания в цель для двух стрелков равна соответственно 0.7 и 0.8. Тогда вероятность поражения цели равна Тема: Теория вероятностей Дисциплина: Математика Авторы: Нефедова Г.А. Дата: 9.0.0. Вероятность случайного события может быть равна. 0.5. 3. 0. 0.7 5..5 6. - 7. 0.3. Вероятность достоверного события равна.

Подробнее

Система линейных уравнений. Система m уравнений с n неизвестными: 8 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n =b 2

Система линейных уравнений. Система m уравнений с n неизвестными: 8 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n =b 2 Раздел VI. Глоссарий Матрица. Совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей n строк и m столбцов называется матрицей размерности Определитель матрицы. Определителем квадратной

Подробнее

Медицинская информатика

Медицинская информатика Лукьянова Е. А. Медицинская информатика Теория вероятностей Специальность «Фармация» Заочное отделение 2010 Консультация 2 Темы контрольной работы 2 Случайные величины Числовые характеристики случайных

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СЛУЧАЙНЫЕ И ГРУБЫЕ ПОГРЕШНОСТИ

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СЛУЧАЙНЫЕ И ГРУБЫЕ ПОГРЕШНОСТИ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СЛУЧАЙНЫЕ И ГРУБЫЕ ПОГРЕШНОСТИ Погрешность В реальных условиях даже очень точные измерения будут содержать погрешность D, которая является отклонением результата измерения x от истинного

Подробнее

8. Канонические непрерывные законы распределения Определения и формулы для решения задач

8. Канонические непрерывные законы распределения Определения и формулы для решения задач 8 Канонические непрерывные законы распределения 8 Определения и формулы для решения задач Определение Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется интеграл M x f ( x) dx Этот интеграл

Подробнее

Лекция 4 Тема. Содержание темы. Основные категории. Введение в случайные величины

Лекция 4 Тема. Содержание темы. Основные категории. Введение в случайные величины Лекция 4 Тема Введение в случайные величины Содержание темы Случайная величина. Понятия дискретной и непрерывной случайной величины. Ряд распределения дискретной случайной величины. Функция распределения,

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ.

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Математическая статистика (МС) раздел прикладной математики, который, основываясь на положении теории вероятностей, разрабатывает методы сбора, анализа и обработки результатов

Подробнее

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Числовые характеристики непрерывных случайных величин Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X + = px ( ) xp( x)

Подробнее

Математическое ожидание

Математическое ожидание Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X px ( ) xp( x) dx.

Подробнее

случайных величин f(x) и ее свойства Дифференциальной функцией распределения называется 1-я производная от интегральной

случайных величин f(x) и ее свойства Дифференциальной функцией распределения называется 1-я производная от интегральной Лекция 6 План лекции.3.3 Дифференциальная функция распределения непрерывных случайных величин.4 Числовые характеристики случайных.4. Математическое ожидание и его свойства..4. Дисперсия случайных величин

Подробнее

Элементы математической статистики

Элементы математической статистики Элементы математической статистики Математическая статистика является частью общей прикладной математической дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», однако задачи, решаемые ею, носят

Подробнее

(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D

(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D 4 СИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ Многомерной случайной величиной (векторной случайной величиной, случайным вектором или случайной точкой) называют упорядоченный набор нескольких случайных

Подробнее

Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины

Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины Случайные величины Дискретная и непрерывная случайные величины Наряду с понятием случайного события в теории вероятности используется другое более удобное понятие случайной величины Случайной величиной

Подробнее

Лекция 1. Выборочное пространство

Лекция 1. Выборочное пространство Лекция 1. Выборочное пространство Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, 2013 1 / 35 Cодержание Содержание 1 Выборка.

Подробнее

2. «Простая» статистика

2. «Простая» статистика 2. «Простая» статистика 1 2. «Простая» статистика В большинстве статистических расчетов приходится работать с выборками случайной величины: либо с данными эксперимента, либо с результатами моделирования

Подробнее

Зав. кафедрой математики, физики и медицинской информатики, доцент. /Авачева Т.Г./ «22» сентября 2017г.

Зав. кафедрой математики, физики и медицинской информатики, доцент. /Авачева Т.Г./ «22» сентября 2017г. Перечень Основных контрольных вопросов для зачета (экзамена) по дисциплине Физика, математика, модуль М атематика, для студентов 1 курса медикопрофилактического факультета 1. Понятие функции. Способы задания

Подробнее

Цель : Напомнить основные понятия теории надежности, характеризующие случайные величины.

Цель : Напомнить основные понятия теории надежности, характеризующие случайные величины. Лекция 3. Основные характеристики и законы распределения случайных величин Цель : Напомнить основные понятия теории надежности, характеризующие случайные величины. Время: часа. Вопросы: 1. Характеристики

Подробнее

Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения

Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения 53 Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины. 4.. Равномерный закон распределения Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на промежутке

Подробнее

Тесты по дисциплине «Математика (математические методы в психологии)»

Тесты по дисциплине «Математика (математические методы в психологии)» МАОУ ВО «КРАСНОДАРСКИЙ МУНИЦИПАЛЬНЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ ИНСТИТУТ ВЫСШЕГО СЕСТРИНСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ» Кафедра педагогики и психологии Тесты по дисциплине «Математика (математические методы в психологии)» 1. Какую

Подробнее

1. Биномиальный закон распределения

1. Биномиальный закон распределения Лекция 4 Тема: Законы распределения СВ 1. Биномиальный закон распределения Опр. Дискретная СВ Х имеет биномиальный закон распределения, если выполнены следующие условия: 1) эксперимент заключается в последовательном

Подробнее

6. Элементы математической статистики.

6. Элементы математической статистики. Минестерство образования Республики Беларусь УО «итебский государственный технологический университет» 6. Элементы математической статистики. Кафедра теоретической и прикладной математики. 90 80 70 60

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра 2. Направление подготовки 3. Дисциплина (модуль) Информатики, вычислительной

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра 2. Направление подготовки. Дисциплина (модуль) Информатики, вычислительной техники

Подробнее

ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ

ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ .. Скалярные гиперслучайные величины 4 ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГЛАВА ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ВЕЛИЧИНЫ Введены понятия гиперслучайного события и гиперслучайной величины. Предложен ряд характеристик и параметров

Подробнее

{ выборка из генеральной совокупности - эмпирическая (выборочная) функция распределения гистограмма статистические оценки точечные оценки параметров

{ выборка из генеральной совокупности - эмпирическая (выборочная) функция распределения гистограмма статистические оценки точечные оценки параметров { выборка из генеральной совокупности - эмпирическая (выборочная функция распределения гистограмма статистические оценки точечные оценки параметров и их критерии методы получения оценок параметров метод

Подробнее

по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей

по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Методические указания к самостоятельной подготовке за четвертый семестр по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто Минск

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Математическая статистика.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Математическая статистика. Математическая статистика. Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении статистических данных результатах наблюдений. Первая задача математической статистики

Подробнее

Показательное распределение.

Показательное распределение. Показательное распределение. 1) Распределение с.в. X подчинено показательному закону с параметром 5. Записать вычислить M X DX. f x Показательное распределение с параметром имеет плотность вероятности:

Подробнее

такая, что ' - ее функцией плотности. Свойства функции плотности

такая, что ' - ее функцией плотности. Свойства функции плотности Демидова ОА, Ратникова ТА Сборник задач по эконометрике- Повторение теории вероятностей Случайные величины Определение Случайными величинами называют числовые функции, определенные на множестве элементарных

Подробнее

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А 8 Методические рекомендации по выполнению контрольны работ, курсовы работ К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А Д и с ц и п л и н а «М а т е м а т и к а» ) Решить систему линейны уравнений методом Гаусса 7

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. ЛЕКЦИИ... 8 ВВЕДЕНИЕ... 9 ЛЕКЦИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. ЛЕКЦИИ... 8 ВВЕДЕНИЕ... 9 ЛЕКЦИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. ЛЕКЦИИ... 8 ВВЕДЕНИЕ... 9 ЛЕКЦИЯ 1... 13 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ... 13 1. Определение теории вероятностей... 13 2. Некоторые примеры... 14 3. Устойчивость частот в массовых статистических

Подробнее

Химия (направление); Фундаментальная и прикладная химия (специальность).

Химия (направление); Фундаментальная и прикладная химия (специальность). 0000.6-Химия (направление); http://kpfu.ru/pdf/portal/oop/4853.pdf 000.65 - Фундаментальная и прикладная химия (специальность). Дисциплина: «Математика» (бакалавриат, специалитет, курс, очное обучение).

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ. Институт управления и предпринимательства. Статистические методы анализа рынков Экзаменационные материалы

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ. Институт управления и предпринимательства. Статистические методы анализа рынков Экзаменационные материалы ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А.М. Горького» ИОНЦ «Бизнес информатика»

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Для решения многих практических задач совсем не обязательно знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, а достаточно указать

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3. Задачи надёжности электроснабжения Теория надежности служит научной основой деятельности лабораторий, отделов, бюро и групп надежности на

ЛЕКЦИЯ 3. Задачи надёжности электроснабжения Теория надежности служит научной основой деятельности лабораторий, отделов, бюро и групп надежности на 1 ЛЕКЦИЯ 3. Задачи надёжности электроснабжения Теория надежности служит научной основой деятельности лабораторий, отделов, бюро и групп надежности на предприятиях, в проектных, научно-исследовательских

Подробнее

Равномерное распределение.

Равномерное распределение. Равномерное распределение. Равномерным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид, если xa ; b f x b a 0, если xa ; b Математическое ожидание M X

Подробнее

Учебно-методические материалы

Учебно-методические материалы http://www-chemo.univer.kharkov.ua/ Учебно-методические материалы Рабочий план и программа курса Хімічна інформатика та хемометрія Примеры экзаменационных билетов Презентации Last updated November, 2008

Подробнее

Контрольная работа по курсу Математика «Теория вероятностей и математическая статистика»

Контрольная работа по курсу Математика «Теория вероятностей и математическая статистика» Контрольная работа по курсу Математика «Теория вероятностей и математическая статистика» Вариант N 1 (X \ Z) (Y \ Z) Решить задачи: 2.В партии 1000 деталей, из них 20 дефектных. Какова вероятность того,

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Подробнее

Фонд оценочных средств

Фонд оценочных средств ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е. АЛЕКСЕЕВА» ИНСТИТУТ ТРАНСПОРТНЫХ СИСТЕМ

Подробнее

Элементы математической статистики

Элементы математической статистики Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Российский национальный исследовательский медицинский университет имени Н.И. Пирогова» Министерства здравоохранения

Подробнее

Лекция 2. Корреляционный анализ. Описательные статистики.

Лекция 2. Корреляционный анализ. Описательные статистики. Лекция Корреляционный анализ. Описательные статистики. Коэффициент корреляции определяется: xy Корреляционный анализ M mx Y m Коэффициент показывает меру линейной зависимости между x и y, где x и y среднеквадратичные

Подробнее

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения»

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Математическая статистика Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Введение Математическая статистика наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Лекция 5. Показатели вариации

Лекция 5. Показатели вариации Лекция 5. Показатели вариации Основные показатели вариации Вариация значений признака представляет наибольший интерес при исследовании социально-экономических явлений и процессов. Вариация колеблемость,

Подробнее