Иррациональные уравнения и неравенства 2

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Иррациональные уравнения и неравенства 2"

Транскрипт

1 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление Иррациональные уравнения Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень Задание Задание Задание Замена иррационального уравнения смешанной алгебраической системой введением новых переменных Задание 0 Замена иррационального уравнения смешанной алгебраической системой введением новых переменных (продолжение) Приходим к системе уравнений: 6 6 Ответ: Задание Задание 6 8 Конец документа 8 Иррациональные уравнения Определение Уравнение f ( z) 0 называется иррациональным если f ( z) есть алгебраическая иррациональная функция от переменных При решении иррациональных уравнений придется пользовать следующими теоремами: Теорема Уравнение k R( ) P( ) равносильно на множество действительных чисел k уравнению R( ) P ( ) Теорема Уравнение k R ( ) P ( ) равносильно на множестве действительных чисел k R ( ) P ( ) смешанной системе P ( ) 0 Иррациональные уравнения и неравенства Страница

2 Иррациональные уравнения и неравенства Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень Решить уравнение Пример Данное уравнение равносильно смешанной системе: Ответ: Пример 0 Данное уравнение равносильно смешанной системе: Ответ: Пример 8 0 Преобразуем уравнение: 8 Полученное уравнение равносильно смешанной системе: Ответ: = Иррациональные уравнения и неравенства Страница

3 Иррациональные уравнения и неравенства Пример 6 0 Преобразуем уравнение: 6 Полученное уравнение равносильно смешанной системе: Ответ: Пример Преобразуем уравнение: ( ) Полученное уравнение равносильно смешанной системе: ( ) Задание Ответ: ) ( ) ; ) ; ) 0 0 ; ) 0 0; ) 0 9 ; 6) 0 0 Пример 6 0 Область допустимых значений: 0 Преобразуем уравнение: Возведем обе части этого уравнения в квадрат: Полученное уравнение равносильно смешанной системе: Иррациональные уравнения и неравенства Страница

4 Иррациональные уравнения и неравенства 0 ( ) Пример 7 0 Ответ: Область допустимых значений: Преобразуем уравнение: 0 Возведем обе части этого уравнения в квадрат: Полученное уравнение равносильно смешанной системе: (7 ) Пример Ответ: = 8 Найдем область допустимых значений (см рис ): Иррациональные уравнения и неравенства Страница

5 Иррациональные уравнения и неравенства Рис Областью допустимых значений промежуток: или ; Преобразуем уравнение: 7 6 Возведем обе части полученного уравнения в квадрат: ( 6)( ) Это уравнение равносильно смешанной системе: 0 ( ) Пример 9 Ответ: Найдем область допустимых значений (см рис ): Рис Областью допустимых значений является пустое множество значит уравнение не имеет решений Ответ: решений нет Задание Иррациональные уравнения и неравенства Страница

6 Иррациональные уравнения и неравенства При решении иррациональных уравнений этим способом надо использовать теорему и теорему которые приведены выше Следует также помнить что при таком способе решения множество допустимых значений неизвестных может расшириться Это часто приводит к появлению посторонних корней которые не будут принадлежать множеству допустимых значений неизвестных Кроме того если при возведении обеих частей уравнения в четную степень не наложить ограничение P() > 0 (теорема ) то могут появиться посторонние корни входящие в область допустимых значений данного уравнения В этом случае необходимо делать проверку корней принадлежащих множеству допустимых значений неизвестных подстановкой их в данное уравнение Вообще говоря проверка не бесполезна при решении иррациональных уравнений Пример 0 Решить уравнение на множестве действительных чисел Найдем область допустимых значений неизвестной: или [ ; ) Преобразуем уравнение Оставим 8 в левой части уравнения а второй корень перенесем в правую часть уравнения получим: 8 0 Возведем обе части этого уравнения в квадрат получим: Уединим квадратный корень в левой части уравнения а все остальные слагаемые перенесем в правую часть: 8 Полученное уравнение равносильно смешанной системе: Ответ: Пример Решите уравнение Найдем область допустимых значений: Иррациональные уравнения и неравенства Страница 6

7 Иррациональные уравнения и неравенства или ; Возведем обе части уравнения в квадрат получим: 0 0 ( ) Полученное уравнение равносильно смешанной системе: ( ) 0 0 ( ) Ответ: Пример Решите уравнение При попытке найти область определения мы сталкиваемся с трудностями решения системы неравенств 0 0 решая первое из них мы находим что при этих значениях третье 0 неравенство 0 очевидно выполняется так как его правая часть при всех действительных - отрицательна а левая - неотрицательна; остается решить второе неравенство 0 которое будет равносильно системе: 0 Таким образом ОДЗ [; ) Возведем обе части уравнения в квадрат получим () Полученное уравнение равносильно смешанной системе: 0 система не имеет решений Иррациональные уравнения и неравенства Страница 7

8 Иррациональные уравнения и неравенства Ответ: корней нет Пример Решите уравнение ( ) 0 Подкоренные выражения 0 и 0 при всех из множества действительных чисел так как их дискриминанты отрицательны поэтому область допустимых значений - множество всех действительных чисел R Преобразуем уравнение ( ) Возведем обе части уравнения в квадрат При таком возведении в квадрат мы заведомо допускаем что в обеих частях уравнения могут быть отрицательные значения а значит возможно появление посторонних корней и тогда проверка необходима Получаем: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 ( )( ( )) 0 Отсюда получаем либо 0 либо ( ) 0 Из первого уравнения находим Второе уравнение преобразуем и возведем обе его части в квадрат: ( ) ( ) 0 - не имеет корней Проверка Проверим корень 0 00 удовлетворяет уравнению Ответ: Пример Решите уравнение 68 Найти область допустимых значений здесь сложно потому что кроме решения квадратного неравенства 68 0 нам придется решить еще и иррациональное неравенство 68 0 что пока для нас затруднительно Поэтому ОДЗ находить не будем а сделаем проверку после получения значений Возведем обе части уравнения в квадрат и преобразуем его: Иррациональные уравнения и неравенства Страница 8

9 Иррациональные уравнения и неравенства Возведем еще раз в квадрат Полученное уравнение равносильно системе отсюда получаем только один корень 7 Проверка Ответ: 7 Пример Решите уравнение a a a a 0 ОДЗ 0 Преобразуем уравнение a a a a Возведем обе его части в куб () a ( a ) ( a ) ( a )( a ) a a ( a ) ( a ) ( a )( a ) a a ( a a ) a ( a a ) a ( a a ) a ( a a ) Возведем еще раз в куб обе части уравнения a a a a a a 0 Из уравнения () вместо a a подставим a a получим уравнение a a a a a a 0 a a a a 0 Получим два уравнения a a 0 или a a 0 Решаем первое уравнение a a a a a 0 При a 0 уравнение имеет б/м решений из ОДЗ т е 0 а при a 0 уравнение корней не имеет Решаем второе уравнение a a a a 0 ( ) 0 0 Ответ: 0 при любом значении a 0 При a 0 уравнение имеет б/м решений 0 Пример 6 Найти все вещественные корни уравнения Иррациональные уравнения и неравенства Страница 9

10 Иррациональные уравнения и неравенства О д з R Возведем обе части уравнения в куб ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 Из заданного неравенства вместо суммы получим 0 ( ) 0 ( ( ) ) 0 Отсюда находим 0 0 Решим уравнение ( ) 0 ( ) 8( ) 7 ( ) 6 7 Проверка в уравнение подставим ее значение удовлетворяет уравнению 0 удовлетворяет уравнению удовлетворяет уравнению Непосредственная проверка значений и вызывает трудности поэтому поступим так Положим a b c и покажем что a b c () Так как удовлетворяет уравнению то мы имеем a abc b c () и нам надлежит показать что из этого равенства следует равенство () Заметим что если во () вместо c подставить a + b то получится тождество Следовательно по теореме Безу рассматриваемый относительно c многочлен c abc a b делится на двучлен c - (a + b) Проведя деление получим c abc a b c ( a b) c c( a b) a ab b () В силу () левая часть () есть нуль; легко видеть что a > 0 b > 0 c > 0 и значит выражение c c( a b) a ab b положительно а значит c ( a b) 0 Таким образом равенство () доказано Аналогично устанавливается что - также корень уравнения Ответ: Пример 7 Решите уравнение ( a ) a a a Иррациональные уравнения и неравенства Страница 0

11 Иррациональные уравнения и неравенства a 0 ОДЗ a 0 a a 0 a a Преобразуем уравнение ( a ) a a ( a ) a a a a a a 0 a a 0 a ( ) a значит 0 или a 0 a 0 a a 0 a 0 Ответ: 0 a a Пример 8 Решите уравнение Область допустимых значений определяется системой неравенств: ( ) 0 Умножим обе части уравнения на зная что 0 получим 0 ( ) Возведем обе части полученного уравнения в квадрат 9 ( ) ( ) Проверка Ответ: 6 Пример 9 Решите уравнение Иррациональные уравнения и неравенства Страница

12 Иррациональные уравнения и неравенства Область допустимых значений определяется из системы неравенств (рис ): 8 0 ( 8) Рис Умножим обе части уравнения на ( 0) получим неравенство: Положим 8 z z 0 тогда уравнение станет таким z z 7 7 Возведем обе его части в квадрат z z 7z z 79 z 7z z z 0 z 7z z z z 9z z 9 zz не входит в область допустимых значений и является посторонним корнем Ответ: Пример 0 Решить уравнение ( a ) a ( b ) b ab ( a b) a b Область допустимых значений определяется системой неравенств a0 a b0 b a b 0 a b 0 Так как по условию a b то из первых двух неравенств получаем a Последнее неравенство будет выполняться при всех значениях a так как каждый из квадратных корней принимают неотрицательные значения (заведомо предполагаем рассмотрение арифметического значения корня) причем они не могут принимать нулевые значения при одном и том же значении так как a b Таким образом ОДЗ a Преобразуем уравнение Внесем под знаки квадратных корней - a и - b в числителе дроби получим в числителе сумму кубов двух выражений разложим ее на множители Иррациональные уравнения и неравенства Страница

13 Иррациональные уравнения и неравенства ( a) ( b) a b ab a b ( a) ( a)( b) ( b) a b ( a) ( a)( b) ( b) ab a ( a)( b) b ab Из области допустимых значений следует что a 0 b 0 тогда a ( a)( b) b a b ( a) ( a)( b) Возведем обе части уравнения в квадрат получим 8aa a b ab 7a b a ab 0 ( 7ab) a ab0 D ( 7ab) ( a ab) 9a abb 8a ab( ab) 7a b ( a b) 7a b a b 6 6 a a b Ответ: a a b Пример Решите уравнение a6 a При каких вещественных значениях a уравнение будет иметь решение? ab Перенесем в левую часть уравнения и возведем обе части его в квадрат получим a 6 a a 6 a 6 8a 6 a6 a a6 a Возведем полученное уравнение в квадрат a ( a 6) a a a 6 a a Подставим полученное значение в первоначальное уравнение a a a a 6 a a 6a 6 a 8a 6 a 0 ( a 8) ( a ) a 0 a 8 a a 0 Решим последнее уравнение (см рис ): a 8 a a 0 Иррациональные уравнения и неравенства Страница

14 Иррациональные уравнения и неравенства Рис При a 0 получим уравнение a 8 a 8 a получаем a 0 При 0 a получим уравнение a 8 a 8 a 0 a 0 - не входит в промежуток 0 a При a 8 получим уравнение a 8 a 8 a 0 a 8 - входит в промежуток a 8 При a 8 получим уравнение a 8 a 8 a 0 0 = 0 получаем a 8 a Ответ: при a 0 и a 8 или a ( ; ] [ ; ) 0 8 уравнение имеет единственное решение Задание a a a b 8 a a a 9 a a 0 ( ) ( ) ( ) ( ) Иррациональные уравнения и неравенства Страница

15 Иррациональные уравнения и неравенства Замена иррационального уравнения смешанной алгебраической системой введением новых переменных Пример Решите уравнение Положим z причем z 0 Получим смешанную систему: z 0 z z z 0 z 0 z z 0 z z В результате получаем z тогда Возведем обе части уравнения в четвертую степень получаем 6 Это значение входит в область допустимых значений и является корнем уравнения Ответ: 6 Пример Решите уравнение 0 Область допустимых значений переменной: 0 или ; 0 0; Преобразуем уравнение Внесем переменную под корень: Пусть 0 получим смешанную систему: ; Выполним обратную подстановку: 6 8 Ответ: 8; 8 Пример Решите уравнение Иррациональные уравнения и неравенства Страница

16 Иррациональные уравнения и неравенства Преобразуем уравнение: 0 D = = 7; 7 ; ( ) 0 Пусть получим уравнение ; Ответ: 8 ; Пример Решите уравнение 8 Пусть 0 тогда Получим смешанную систему: Делаем обратную подстановку получим: 6 0 Ответ: ; Пример Решите уравнение Пусть 0 0 тогда 0 0 получим систему: Ответ: Иррациональные уравнения и неравенства Страница 6 0

17 Иррациональные уравнения и неравенства Иррациональные уравнения и неравенства Страница 7 Пример 6 Решите уравнение Пусть тогда Преобразуем последнее равенство: 7 ) ( Получим систему: Ответ: Пример 7 Решите уравнение 0 ) ( ) )( ( Преобразуем уравнение: Пусть 0 Получим систему: Ответ: Пример 8 Решите уравнение

18 Иррациональные уравнения и неравенства Иррациональные уравнения и неравенства Страница 8 Выражения и являются взаимно обратными если они не равны нулю т е и т е область допустимых значений: ; ; ; В самом деле: ) )( ( ) )( ( Пусть тогда 0 получим смешанную систему: этот значение переменной входит в область допустимых значений и является корнем уравнения Ответ: = Пример 9 Решить уравнение Область допустимых значений: и т е ; ; ; Выражения и являются взаимно-обратными в самом деле: ) )( ( ) )( ( Пусть 0 получим смешанную систему:

19 Иррациональные уравнения и неравенства Ответ: Иррациональные уравнения и неравенства Страница 9

20 Иррациональные уравнения и неравенства Иррациональные уравнения и неравенства Страница 0 Задание n n a b b a

21 Иррациональные уравнения и неравенства Замена иррационального уравнения смешанной алгебраической системой введением новых переменных (продолжение) Пример Решить уравнение: 7 Положим 0; 0 тогда умножим обе части первого уравнения на - и сложим со вторым уравнением получим При такой подстановке заданное уравнение примет вид 7 Получим систему: ( 7) не является корнем так как 0 значит 9 6 Ответ: 6 Пример Решить уравнение Положим 0 ; 0 Подставим в уравнение получим: - = Получим систему: 0 0 ( ) ( ) 0 0 ; 0 ; 0 ( ) 0 0 Ответ: ; Иррациональные уравнения и неравенства Страница

22 Иррациональные уравнения и неравенства Пример Решить уравнение: Положим z z0 отсюда z z ( z ) получаем уравнение: z z z 6z 9 ( z ) z z z ( z ) ( z ) 8 z z 8 Поскольку z 0 получим: z 8 z z ; Ответ: Пример Решить уравнение: ( ) Положим тогда Получим систему уравнений из которой исключим : Чтобы получить второе уравнение системы замени в данном уравнении и получим уравнение: ( ) ( ) ( ) Из двух уравнений составим систему и решим ее: 8 0 ( ) ( ) ( ) Решим полученное уравнение: ( ) ( ) 0 ( )( ) ( )( ) 0 ( ) ( ) ( ) Последнее уравнение равносильно совокупности уравнений: 0 0 Ответ: Иррациональные уравнения и неравенства Страница

23 Иррациональные уравнения и неравенства 6 Пример Решить уравнение: 9 Положим тогда 9 отсюда можно исключить и получить уравнение содержащие переменные и Из системы уравнений исключим : Подставляя значения в первоначальное уравнение 6 получим: 6 Приходим к системе уравнений: 6 Подставим значения из второго уравнения в первое получим: Это биквадратное уравнение Положим z z 0 тогда придем к квадратному уравнению: z 9z 8 0 которое имеет два корня: z z 6 z не удовлетворяет условию z 0 и является посторонним корнем Находим: 6 6 Ответ: Пример 6 Решить уравнение: Положим тогда Складывая левые и правые части этих равенств получаем: 6 Из данного уравнения находим: Получим систему уравнений: 6 ( )( ) 6 ( ) 6 Иррациональные уравнения и неравенства Страница

24 Иррациональные уравнения и неравенства ( ) ( ) Решим первое уравнение системы: 0 0 ; 7 ; Проверка ; значит - удовлетворяет уравнению ; значит - удовлетворяет уравнению Ответ: -й способ Возведем обе части уравнения в куб получим: ( ) ( ) 8; ( )( ) 8 По условию тогда получим Ответ: Пример 7 Решить уравнение: -й способ Найдем область допустимых значений переменной: Решим эту систему используя метод интервалов (см рис ): Иррациональные уравнения и неравенства Страница

25 Иррациональные уравнения и неравенства Иррациональные уравнения и неравенства Страница Рис В результате получаем ; 0 ; Рассматривая уравнение на этом множестве преобразуем его: Возведем обе части полученного уравнения в квадрат получим 0 0 ) ( 0 0 не входит в область допустимых значений и не является корнем данного уравнения Ответ: -й способ Положим 0 0 тогда Получим систему уравнений из которой исключим Положим Второе уравнение получим заменяя в первоначальном уравнении квадратные корни их значениями: Получим систему уравнений: ) )( ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( Решим первое уравнение системы:

26 Иррациональные уравнения и неравенства 0 0 не удовлетворяет условию 0 и является посторонним корнем Остается второй корень Делаем обратную подстановку и находим значение Ответ: Иррациональные уравнения и неравенства Страница 6

27 Иррациональные уравнения и неравенства Пример 8 Решить уравнение: 9 Найдем область допустимых значений переменной Каждый из трехчленов находящихся под знаком квадратных корней имеют отрицательные дискриминанты поэтому при всех действительных значениях они принимают положительные значения т е областью допустимых значений является множество всех действительных чисел R Положим z тогда z 9 z 7 Уравнение примет вид z z z 7 Область допустимых значений переменной z: z 0 z z 7 0 z z 0 или 0 ; 0 z z 0 Возведем обе части уравнения в квадрат получим: z z z z z 7 z z z z Возведем еще раз в квадрат обе части уравнения получим: z z 0 z z z не удовлетворяет условию z 0 и является посторонним корнем Остается один корень z Выполним обратную подстановку 0 ( ) 0 0 Ответ: 0 Пример 9 Решить уравнение: Положим 0 получим: не удовлетворяет условию 0 и является посторонним корнем Получим уравнение: которое равносильно системе: Иррациональные уравнения и неравенства Страница 7

28 Иррациональные уравнения и неравенства 0 Ответ: Иррациональные уравнения и неравенства Страница 8

29 Иррациональные уравнения и неравенства Пример 0 Решить уравнение: Найдем область допустимых значений: ( ) 0 0 ( ) 0 ; Преобразуем уравнение: Положим 0 0 тогда получим вычитая из первого уравнения второе находим: Подставим в первоначальное уравнение значения и а также приходим к уравнению: ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 Отсюда находим что но это невозможно так как область допустимых значений переменной ; 6 6 Ответ: Пример Решить уравнение: 0 0 Преобразуем уравнение при этом рассмотрим три случая -й случай когда 0 тогда получим уравнение: Иррациональные уравнения и неравенства Страница 9

30 Иррациональные уравнения и неравенства ( ) ( ) 8 является корнем уравнения -й случай когда 0 тогда получим уравнение: ( ) ( ) 8 - не входит в промежуток и не является корнем уравнения -й случай когда тогда получим: является корнем уравнения Ответ: Пример Решите уравнение: 0 Область допустимых значений: 0 ; Пусть z z 0 получим уравнение z z 0 z z Получим совокупность двух уравнений: 6 Оба корня входят в область допустимых значений Ответ: Пример Решить уравнение ( )( ) -й способ Положим получим смешанную систему уравнений: Иррациональные уравнения и неравенства Страница 0

31 0 0 Иррациональные уравнения и неравенства Пусть z z 0 так как 0 и 0 получим квадратное уравнение z z 6 0 z z z - не удовлетворяют условию z 0 и является посторонним корнем Итак получим следующую смешанную систему: ( )( ) ( ) ПРОВЕРКА При = получим равенство ( )( ) 0 0 значит = является корнем уравнения Ответ: = После нескольких примеров вы убедитесь что универсальность этого метода очень велика Большое количество иррациональных уравнений требующих порой неоднократного возведения в квадрат (что может привести к нежелательным последствиям - появления посторонних корней) решаются этим методом значительно проще Иррациональные уравнения содержащие кубические радикалы и более высоких степеней поддаются этому методу Я обращаю на него внимания еще и потому что решение систем уравнений у нас рассмотрено достаточно широко и объемно Во многих случаях пользуясь этим методом мы можем обойтись без неприятной и иногда трудоемкой процедуры нахождения области допустимых значений неизвестных Пример Решите уравнение 6 ОДЗ R Иррациональные уравнения и неравенства Страница

32 Иррациональные уравнения и неравенства Положим 6 тогда 6 Подставляя в уравнение и получим - = а вычитая из чтобы уничтожились получим уравнение 6 В результате приходим к алгебраической системе уравнений с двумя неизвестными 6 ( )( ) 6 6 Выразим из второго уравнения и подставим в первое уравнение получим: ( ) ( ) 6 Решим первое уравнение 0 0 ; Получаем два значения : 6 09; 6 80 Проверка Ответ: Пример Решите уравнение Положим 0 тогда Данное уравнение примет вид: а после вычитания из чтобы уничтожить получим уравнение приходим к системе уравнений: ( ) ( ) 6 60 Решаем первое уравнение ( ) 6( ) 0 ( )( 6) 0 0 или 6 0 Второе уравнение не имеет действительных корней в области действительных чисел а из первого находим Найдем значение причем только для того чтобы убедится что ее значение неотрицательно в самом деле = > 0 Используя любое из этих значений или найдем Ответ: Пример 6 Решите уравнение Иррациональные уравнения и неравенства Страница

33 Иррациональные уравнения и неравенства Пусть 0 0 тогда получим () () Данное уравнение примет вид Вычитая из уравнения () уравнение () находим 6 Приходим к системе уравнений: 6 ( ) Из первого уравнения находим: ( )( ) 0 отсюда либо 0 либо 0 Из того что 0 следует что 0 0 Из того что 0 Получим еще одну систему уравнений сложив их получим ( ) не удовлетворяет уравнению так как + = - что невозможно так как 0 0 значит и 0 Проверка не является решением уравнения 9 - является решением уравнения Ответ: Пример 7 Решите уравнение Исключим радикалы введением новых неизвестных: 0 ; 0; w w0 w В результате получаем систему уравнений w w Иррациональные уравнения и неравенства Страница

34 Иррациональные уравнения и неравенства Из первого уравнения выразим w и подставим в третье уравнение получим: ( ) Подставим во второе уравнение: ( ) 0 0 ( ) 0 0 Находим значения других неизвестных 0 что противоречит условию; 8 0 w Проверка является корнем уравнения Ответ: 6 Пример 8 Решите уравнение ( ) 8 ( ) ОДЗ - R множество всех действительных чисел Положим тогда получим ( ) 9 0 Разложим левую часть уравнения на множители как разность квадратов двух выражений: ( )( ) 0 ( )( ) 0 С другой стороны Получим две системы уравнений: 0 0 () или () Решим первую систему уравнений 0 () () Решим вторую систему Иррациональные уравнения и неравенства Страница

35 Иррациональные уравнения и неравенства () () Ответ: Задание ( )( ) ( )( ) ( 8 ) ( 7 ) ( 8 )( 7 ) 7 Иррациональные уравнения и неравенства Страница

36 Иррациональные уравнения и неравенства Пример 9 Решите уравнение a Обычно примеры такого типа решают двукратным возведением в квадрат При этом возникает необходимость отсеять приобретенные в результате возведения в квадрат посторонние корни что при наличии в уравнении параметра оказывается довольно сложной задачей Решим это уравнение с помощью замены неизвестных приведя его к системе уравнений Введем новые неизвестные 0 a 0 учитывая конечно что 0 a0 a Неизвестные и связаны равенством a исходное уравнение принимает вид Получим систему уравнений a ( )( ) a a ( a ) ( a) Итак ( a ) ( a) 0 откуда получаем a ( a) 0 ( a ) ( a ) Ответ: при a при a решений нет Пример 0 Решите уравнение 0 ОДЗ или [; ) Положим 0 тогда получим следовательно 0 ( ) 0 ( )( ) 0 0 Получаем три значения : 0 Все значения входят в ОДЗ и являются решениями уравнения Ответ: 0 Иррациональные уравнения и неравенства Страница 6

37 Иррациональные уравнения и неравенства Пример Решите уравнение ОДЗ 97 или [ ; 97 ] 0 Положим приходим к системе уравнений 8 (эта система уже известная нам - система симметрических уравнений которую можно решить используя основные симметрические многочлены но мы вспомним еще раз методику их решения) ( ) ( ) ( ) так как + = получим ( 6 ) ( ) 6 6 ( ) Получаем ( ) ( ) 87 0 Положим = t получим квадратное уравнение t t 87 0 t 9 t В результате приходим к двум системам уравнений () и () 9 Первая система не имеет решений а решениями второй будут: и Теперь находим : 96 6 Оба корня входят в ОДЗ и являются решениями уравнения Ответ: 96 6 Пример Решите уравнение Положим 0 0 тогда подстановка приводит первое уравнение системы к виду ( ) ( ) Так как 0 то и удовлетворяют системе Иррациональные уравнения и неравенства Страница 7

38 Иррациональные уравнения и неравенства Преобразуем второе уравнение системы (такое можно было бы проделать и с первым уравнением результат получится тот же) = является корнем уравнения (вы можете его найти среди делителей свободного члена) разложим левую часть на множители: ( )( 7 ) 0 отсюда находим единственный корень = Выполним проверку убеждаемся что он удовлетворяет исходному уравнению Ответ: = Задание 6 a p * a b b c c a 9* 7 7 Конец документа Иррациональные уравнения и неравенства Страница 8

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции»

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции» МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 3

Иррациональные уравнения и неравенства 3 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление 4 Метод исключения радикалов в иррациональном уравнении умножением на сопряженный множитель Задание 7 4 5 Выделение полного квадрата (квадрата двучлена)

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ Указания, решения, ответы УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Уравнение с одной неизвестной.. Решение. Подставим в уравнение. Получим равенство ( 4a b 4) (a b 8) 0. Равенство A B 0, где А и В целые, выполняется,

Подробнее

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений».

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений». Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений» Многочленом степени n называется многочлен вида P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, где a 0, a 1,, a n-1, a n заданные числа, a 0,

Подробнее

Алгебраические уравнения

Алгебраические уравнения Алгебраические уравнения где Определение. Алгебраическим называется уравнение вида 0, P () 0,,, некоторые действительные числа. 0 0 При этом переменная величина называется неизвестным, а числа 0,,, коэффициентами

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ АГЕНТСТВО ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ КРАСНОЯРСКОГО КРАЯ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЗАОЧНАЯ ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНАЯ ШКОЛА при КрасГУ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Подробнее

Тема 1. Действительные числа и действия над ними

Тема 1. Действительные числа и действия над ними Тема 1 Действительные числа и действия над ними 4 часа 11 Развитие понятия о числе 1 Первоначально под числами понимали лишь натуральные числа, которых достаточно для счета отдельных предметов Множество

Подробнее

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ"

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ" В. В. Гарбарук, В. И. Родин, И. М. Соловьева, М. А. Шварц МАТЕМАТИКА

Подробнее

3x x 2 + x = 0.

3x x 2 + x = 0. 4.. Метод замены переменной при решении алгебраических уравнений. В предыдущем пункте метод замены переменной был использован для разложения многочлена на множители. Данный метод широко применяется для

Подробнее

Иррациональные неравенства

Иррациональные неравенства Содержание И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Иррациональные неравенства Учёт ОДЗ.......................................... Равносильные преобразования.............................. Двукратное

Подробнее

Практическое занятие: «Решение иррациональных уравнений, неравенств. Метод интервалов. Степени».

Практическое занятие: «Решение иррациональных уравнений, неравенств. Метод интервалов. Степени». Практическое занятие: «Решение иррациональных уравнений, неравенств. Метод интервалов. Степени». Цель работы: Повторить для подготовки к экзамену следующие темы: 1. определение степени с рациональным показателем,

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 1

Иррациональные уравнения и неравенства 1 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление Свойства корней й степени Свойства корней Свойства степеней с рациональным показателем Примеры 5 Свойства корней -й степени Арифметическим корнем й степени

Подробнее

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) 10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида и найдите его

Подробнее

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007 I вариант 8В класс, 4 октября 007 1 Вставьте пропущенные слова: Определение 1 Арифметическим квадратным корнем из число, которого равен a из числа a (a 0) обозначается так: выражением Действие нахождения

Подробнее

71 Тригонометрические уравнения и неравенства

71 Тригонометрические уравнения и неравенства 7 Тригонометрические уравнения и неравенства Комментарий Устойчивым является заблуждение абитуриентов о том что при решении тригонометрических уравнений не нужна проверка Это так далеко не всегда При решении

Подробнее

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Тождественные преобразования алгебраических выражений Тождественные преобразования алгебраических выражений Алгебраические выражения выражения, содержащие числа и буквы, связанные алгебраическими действиями: сложением, вычитанием, умножением, делением и возведением

Подробнее

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6).

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6). 3.. Методы решения рациональных неравенств 3..1. Числовые неравенства Сначала определим, что мы понимаем под утверждением a > b. Определение 3..1. Число a больше числа b, если разность между ними положительна.

Подробнее

Область определения левой части этих формул может быть шире области определения

Область определения левой части этих формул может быть шире области определения 7 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Комментарий При решении логарифмических уравнений также как в случае иррациональных уравнений возможно появление посторонних корней Причина их появления

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратный трёхчлен. Иррациональные

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Иррациональные уравнения и неравенства Мы называем уравнение или неравенство иррациональным, если оно содержит переменную под радикалами, то есть под знаками

Подробнее

Иррациональные уравнения и системы

Иррациональные уравнения и системы Содержание И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Иррациональные уравнения и системы 1 Учёт ОДЗ 1 Равносильные преобразования 3 Замена переменной 6 4 Умножение на сопряжённое 7 5 Системы уравнений

Подробнее

Программа занятий по математике заочной физико-математической школы.

Программа занятий по математике заочной физико-математической школы. Программа занятий по математике заочной физико-математической школы. Тема Алгебраические уравнения и неравенства. (8 занятий) Почти все необходимые теоретические сведения для решения предлагаемых задач

Подробнее

Решения для 9 класса подготовительного варианта

Решения для 9 класса подготовительного варианта Решения для 9 класса подготовительного варианта. Тема Действия с дробями 7 4 0,5 :, 5 : 5 7 Выполните действия:.,5 :8 4 Решение. Выполним действия в следующем порядке: 5 4 ) 0,5 :,5 : :. 4 4 5 5 7 4 7

Подробнее

Показательные уравнения. Методы решения. Дубова Мария Игоревна

Показательные уравнения. Методы решения. Дубова Мария Игоревна Показательные уравнения. Методы решения. Дубова Мария Игоревна 7 78-57 Показательным называется уравнение, содержащее переменную только в показателе степени. Рассмотрим несколько типов показательных уравнений,

Подробнее

Теоретический материал.

Теоретический материал. 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

Тема 5 Рациональные системы уравнений

Тема 5 Рациональные системы уравнений Тема 5 Рациональные системы уравнений F ( x, x,..., ) 0, F ( x, x,..., ) 0, Система уравнений вида где... Fk ( x, x,..., ) 0, F i( x, x,..., ), i,..., k, некоторые многочлены, называется системой рациональных

Подробнее

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Пензенский государственный университет Физико-математический факультет «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение уравнений. Треугольники Задание 1 для

Подробнее

Уравнения высших порядков

Уравнения высших порядков И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Уравнения высших порядков 1 Непосредственная группировка............................. 1 2 Подбор корня........................................

Подробнее

10.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:

10.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература: 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

URSS. Содержание. От автора... 4 Раздел 1. Метод функциональной подстановки... 5 Раздел 2. Метод тригонометрической подстановки...

URSS. Содержание. От автора... 4 Раздел 1. Метод функциональной подстановки... 5 Раздел 2. Метод тригонометрической подстановки... Содержание От автора... Раздел. Метод функциональной подстановки... 5 Раздел. Метод тригонометрической подстановки... Раздел. Методы, основанные на использовании численных неравенств... 6 Раздел. Методы,

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ГС ЛУКЬЯНОВА АИНОВИКОВ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Рязань Министерство

Подробнее

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения И. В. Яковлев, А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта http://www.ege-study.ru Тригонометрические уравнения В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений

Подробнее

Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва

Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва УДК 7.8:[ + 7] ББК 7.6. А Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва А Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 0 класс : углубл. уровень / [М. И. Шабунин,

Подробнее

( ( ) ( )) ( ( ) + ( ) ( )) ( ) =

( ( ) ( )) ( ( ) + ( ) ( )) ( ) = В школьном курсе математики иррациональные уравнения решают методом возведения обеих частей в соответствующую степень сведением с помощью замены переменной к системе уравнений или используют монотонность

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратный трёхчлен. Иррациональные

Подробнее

Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение.

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Многочлены. Простейшие уравнения и неравенства с модулем. Задание 3 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Многочлены. Простейшие уравнения и неравенства с модулем. Задание 3 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Многочлены. Простейшие уравнения и

Подробнее

Математика. Собрание заданий (09 апреля 2013).

Математика. Собрание заданий (09 апреля 2013). Математика Собрание заданий (09 апреля 013) Задачи с параметром-1 Задача 1 (006 г, Тихов МС, Авдонин АА) Найти все значения параметра a, при каждом из которых система 3 x + ( a 4) x + (5 3 a) x + a 0 (1)

Подробнее

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ по теме «Иррациональные уравнения» для слушателей подготовительных курсов автодорожного института ДонНТУ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ по теме «Иррациональные уравнения» для слушателей подготовительных курсов автодорожного института ДонНТУ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ИНСТИТУТ ГОСУДАРСТВЕННОГО ВЫСШЕГО УЧЕБНОГО ЗАВЕДЕНИЯ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

Подробнее

11 класс, базовый уровень. Задание 1. Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

11 класс, базовый уровень. Задание 1. Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Разложите на множители: 3 11 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) b 3 + 1 Найдите числа A, B, C, при которых справедливо

Подробнее

Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА

Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА 8 Экспериментальный учебник Часть МОСКВА 06 Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА 8 Экспериментальный

Подробнее

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта: СПРАВОЧНИК Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:,,,,, Натуральные числа образуют множество, называемое множеством натуральных чисел Множество

Подробнее

Аналитическое решение алгебраических уравнений степеней 3 и 4

Аналитическое решение алгебраических уравнений степеней 3 и 4 Аналитическое решение алгебраических уравнений степеней 3 и 4 Содержание 1 Введение 1 2 Уравнения третьей степени 3 3 Уравнения четвертой степени 7 1 Введение В данном манускрипте приводятся формулы для

Подробнее

Камчатский государственный технический университет. Л.И. Страх МАТЕМАТИКА

Камчатский государственный технический университет. Л.И. Страх МАТЕМАТИКА Камчатский государственный технический университет Л.И. Страх МАТЕМАТИКА Методические рекомендации к контрольным работам для слушателей заочных подготовительных курсов Петропавловск-Камчатский 7 УДК ББК.

Подробнее

МАТЕМАТИКА НЕРАВЕНСТВА

МАТЕМАТИКА НЕРАВЕНСТВА Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Неравенства Модуль для 0 класса Учебно-методическая

Подробнее

тригонометрические уравнения (типовые задания 13(С1))

тригонометрические уравнения (типовые задания 13(С1)) тригонометрические уравнения (типовые задания 13(С1)) Отбор корней в тригонометрических уравнениях. (типовые задания С1) СОДЕРЖАНИЕ 1. Способы отбора корней в тригонометрических ур-ях. 1 2. Отбор общих

Подробнее

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Действия с дробями: Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Домашнее задание. «Преобразования степенны и иррациональны выражений. Вычисление значений числовы выражений» Формулы

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Уравнения вида 3 a +

Уравнения вида 3 a + Уравнения вида a + b = c Г.И. Фалин д.ф.м.н., профессор кафедра теории вероятностей механико-математический факультет МГУ им.м.в.ломоносова А.И. Фалин к.ф.м.н., доцент кафедра общей математики факультет

Подробнее

Математика 8 класс Многочлены

Математика 8 класс Многочлены МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Подробнее

Тема 7. Степени и корни. Степенная функция. 1. Корень n-й степени из действительного числа

Тема 7. Степени и корни. Степенная функция. 1. Корень n-й степени из действительного числа Тема 7. Степени и корни. Степенная функция 1. Корень -й степени из действительного числа Корнем -й степени (=2,,,5...) из числа а называется такое число b, -я степень которого равна а, то есть a= b, b

Подробнее

Квадратные уравнения. Беседа 8 Как решали квадратные уравнения в древности. Вавилон

Квадратные уравнения. Беседа 8 Как решали квадратные уравнения в древности. Вавилон Глава 7 Квадратные уравнения Беседа 8 Как решали квадратные уравнения в древности. На самом деле вавилонский метод дает решение системы + y =, представляющей собой запись задачи нахождения y = q, сторон

Подробнее

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число АРИФМЕТИКА Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. Порядок действий ) Если нет скобок, то сначала выполняются действия -й степени (возведение в натуральную степень), затем -й степени (умножение

Подробнее

5. Решение алгебраических уравнений выше второй степени Задание Возвратные уравнения второго рода Задание 1...

5. Решение алгебраических уравнений выше второй степени Задание Возвратные уравнения второго рода Задание 1... АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СТАРШИХ СТЕПЕНЕЙ Оглавление АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СТАРШИХ СТЕПЕНЕЙ алгебраических уравнений выше второй степени Многочлены и их корни Деление многочленов Схема деления углом

Подробнее

Теоретические сведения

Теоретические сведения Задание В5 Теоретические сведения...2 Линейное и квадратное уравнения...2 Дробно-рациональные уравнения...3 Иррациональные уравнения... 5 Тригонометрические уравнения... 7 Показательные уравнения...9 Разбор

Подробнее

Показательные и логарифмические неравенства. 2

Показательные и логарифмические неравенства. 2 А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru Показательные и логарифмические неравенства. 2 Продолжим рассказ о решении показательных и логарифмических неравенств. В этой

Подробнее

Два выражения, числовые или буквенные, соединенные знаком равенства (=), образуют равенство (числовое или буквенное).

Два выражения, числовые или буквенные, соединенные знаком равенства (=), образуют равенство (числовое или буквенное). Уравнения Общие сведения об уравнениях Два выражения, числовые или буквенные, соединенные знаком равенства (=), образуют равенство (числовое или буквенное). Всякое верное числовое равенство, а также всякое

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств

МАТЕМАТИКА. Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Минимаксные задачи. 2 cos x + 1 = 3.

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Минимаксные задачи. 2 cos x + 1 = 3. И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Минимаксные задачи Начнём с примера. Пусть требуется решить уравнение 3 x +1 = cos x + 1. 1) Одновременное присутствие показательной и тригонометрической

Подробнее

Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем».

Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем». Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем». Модуль действительного числа это абсолютная величина этого числа. Проще говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак. Обозначается a. Например,

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» А А Г О Л У Б Е В, Т А С П А С С К А Я ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

Подробнее

Содержание. Неравенства... 20

Содержание. Неравенства... 20 Содержание Уравнение............................................ Целые выражения..................................... Выражения со степенями............................. 3 Одночлен.............................................

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Практикум для иностранных граждан подготовительного отделения

МАТЕМАТИКА. Практикум для иностранных граждан подготовительного отделения МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ОДЕССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МАТЕМАТИКА Практикум для иностранны граждан подготовительного отделения ОДЕССА ОНЭУ 4 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Условные

Подробнее

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М В ЛОМОНОСОВА МАЛЫЙ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Методическая разработка для учащихся 8 и 9 классов заочного отделения МОСКВА

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение

Подробнее

Системы алгебраических уравнений

Системы алгебраических уравнений Содержание И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Системы алгебраических уравнений Двойная замена...................................... Симметрические системы.................................

Подробнее

Инструкция к практическому занятию: «Решение иррациональных неравенств»

Инструкция к практическому занятию: «Решение иррациональных неравенств» Инструкция к практическому занятию: «Решение иррациональных неравенств» Преподаватель И. А. Кочеткова Цель работы: 1. Повторить определение арифметического квадратного корня; 2. Закрепить решение линейных

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение

Подробнее

МФТИ помогает готовиться к ЕГЭ ЕГЭ. Иррациональные уравнения

МФТИ помогает готовиться к ЕГЭ ЕГЭ. Иррациональные уравнения МФТИ помогает готовиться к ЕГЭ ЕГЭ Иррациональные уравнения Москва 010 1 Уравнение вида a + b = c + d. В школе довольно много времени уделяется построению графиков элементарных функций, но затем они почти

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год 9 КЛАСС. (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) (y + 1) 4 + (y 1) 4 = 82.

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год 9 КЛАСС. (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) (y + 1) 4 + (y 1) 4 = 82. Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год Задача 1. Найти решения уравнения 9 КЛАСС (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) Решение. После замены переменной x = y 1 уравнение (1) можно записать в виде

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

Практическая работа: Решение тригонометрических уравнений различных типов

Практическая работа: Решение тригонометрических уравнений различных типов Практическая работа: Решение тригонометрических уравнений различных типов Разработчик: И. А. Кочеткова, Ж. И. Тимошко Цель работы: 1) Повторить тригонометрические формулы двойного аргумента, формулы сложения,

Подробнее

КРАТКИЙ КУРС МАТЕМАТИКИ

КРАТКИЙ КУРС МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЛВ Лобанок, ЖИ Покляк УДК 5(7) ББК я7 К 78 Рекомендовано

Подробнее

Первые шаги в решении уравнений и неравенств с параметром

Первые шаги в решении уравнений и неравенств с параметром КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ. Н.И.ЛОБАЧЕВСКОГО Кафедра теории и технологий преподавания математики и информатики Фалилеева М.В. Первые шаги в решении уравнений и

Подробнее

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П.КОРОЛЕВА

Подробнее

ЕГЭ. Профильный уровень. Задание 20 Задачи с параметрами Квадратные уравнения и уравнения с квадратным трёхчленом

ЕГЭ. Профильный уровень. Задание 20 Задачи с параметрами Квадратные уравнения и уравнения с квадратным трёхчленом Общие сведения ЕГЭ Профильный уровень Задание 0 Задачи с параметрами Квадратные уравнения и уравнения с квадратным трёхчленом Дихтярь МБ Уравнение f ( a) x + g( a) x + ϕ ( a) = 0, где f ( a) 0, является

Подробнее

Доклад по теме: Решение задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике

Доклад по теме: Решение задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике Доклад по теме: задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике Выполнила Яценко Ирина Алексеевна Учитель математики МОУ СОШ 16 г. Щелково Щелково 2011 г. Содержание Знакомство с параметрами...

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН Учебно-методическое пособие

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Задание 1 для 9-х классов учебный год

МАТЕМАТИКА. Задание 1 для 9-х классов учебный год МАТЕМАТИКА Рациональные уравнения Системы уравнений Уравнения, содержащие модуль Задание для 9- классов 0-04 учебный год Составитель: кпн, доцент Марина ЕВ Пенза, 0 Введение Вспомним некоторые понятия

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Пособие для подготовки к олимпиаде школьников по математике «Паруса надежды». В.Н. Деснянский, А.И. Камзолов

Пособие для подготовки к олимпиаде школьников по математике «Паруса надежды». В.Н. Деснянский, А.И. Камзолов ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Статус документа Пояснительная записка Настоящая рабочая программа по алгебре для 8 класса (углубленный уровень) основной общей общеобразовательной школы составлена на основе федерального компонента государственного

Подробнее

= 2. 3x + 2y + z, если x : y : z = 2 : 1 : 3. 2x 3y z

= 2. 3x + 2y + z, если x : y : z = 2 : 1 : 3. 2x 3y z В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 В8 С1 С2 С3 С4 Сумма ШИФР Заполняет сотрудник ОКО Вступительная работа по математике для поступающих в 10 физико-химический и химико-биологический классы СУНЦ УрФУ 1 мая 2017 года

Подробнее

Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Р Е А Л Ь Н О Г О В А Р И А Н Т А Е Г Э П О М А Т Е М А Т И К Е

Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Р Е А Л Ь Н О Г О В А Р И А Н Т А Е Г Э П О М А Т Е М А Т И К Е Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Р Е А Л Ь Н О Г О В А Р И А Н Т А Е Г Э - 2001 П О М А Т Е М А Т И К Е Часть 1 А1. Найдите значение выражения. 1. 15 2. 10 3. 5 4. Решение. Ответ: 1. А2. Упростите выражение. 1.

Подробнее

В тесте проверяются теоретическая и практическая части.

В тесте проверяются теоретическая и практическая части. 8.3 класс, Математика (учебник Макарычев) 2016-2017 уч.год Тема модуля 5 «Квадратный корень. Степень с целым показателем» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь Знать

Подробнее

УДК 51(075.8) ББК 22.1 ISBN

УДК 51(075.8) ББК 22.1 ISBN Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ» Ю.Ю. Гнездовский, В. Н. Горбузов, П.Ф. Проневич ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ

Подробнее

Тригонометрические уравнения. 2

Тригонометрические уравнения. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические уравнения. В статье «Тригонометрические уравнения. 1» мы рассмотрели стандартные методы решения весьма простых тригонометрических уравнений.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАШИНОСТРОЕНИЯ ИИ Поспелов,

Подробнее

Тема 1. Уравнения и методы их решения

Тема 1. Уравнения и методы их решения Тема. Уравнения и методы их решения Содержание.0. Общие сведения о уравнениях. Линейные уравнения. Квадратные уравнения.0. Уравнения, сводящиеся к квадратным.0. Использование группировки при решении уравнений.04.

Подробнее

г. Классная работа.

г. Классная работа. 5.0. 014 г. Классная работа. Уравнения и системы уравнений с параметрами. Опыт вступительных экзаменов в вузы показывает, что решение уравнений и неравенств, содержащих параметры, вызывает большие затруднения

Подробнее

Уравнения высших порядков

Уравнения высших порядков И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Уравнения высших порядков 1 Непосредственная группировка............................. 1 2 Подбор корня........................................

Подробнее

- произвольные рациональные выражения, Ρ ( x ),Q( x)

- произвольные рациональные выражения, Ρ ( x ),Q( x) 7 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Комментарий Цель этого раздела предоставить абитуриентам теоретические сведения и практический материал для формирования навыков решения алгебраически уравнений

Подробнее

Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения Тишин В И Логарифмические уравнения год Предисловие к книге «Логарифмические уравнения» Методика изложения решений логарифмических уравнений выдержана в таком же стиле как и решение показательных уравнений

Подробнее

МАТЕМАТИКА ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

МАТЕМАТИКА ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль для класса Учебно-методическая часть/ Сост:

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического

Подробнее