НЕЯВНАЯ ИТЕРАЦИОННАЯ СХЕМА НА ОСНОВЕ МЕТОДА НЬЮТОНА ДЛЯ ДВУМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "НЕЯВНАЯ ИТЕРАЦИОННАЯ СХЕМА НА ОСНОВЕ МЕТОДА НЬЮТОНА ДЛЯ ДВУМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА"

Транскрипт

1 МЕЖДУНАРОДНАЯ НАУЧНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ «Актуальные проблемы современной математики механики и информатики» «ТАРАПОВСКИЕ ЧТЕНИЯ -» НЕЯВНАЯ ИТЕРАЦИОННАЯ СХЕМА НА ОСНОВЕ МЕТОДА НЬЮТОНА ДЛЯ ДВУМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА аспирант Гризун М.Н. НТУ «ХПИ» научный руководитель: проф. д.т.н. Ершов С.В. ИПМаш НАНУ ХАРЬКОВ -3 мая г.

2 Цель и задачи Цель работы состоит в построении высоко-эффективной по точности и быстродействию неявной итерационной разностной схемы для расчета течений в решетках турбомашин. Цель обуславливает следующие задачи: Построение неявных итерационных разностных схем с помощью метода Ньютона метода линеаризации. Уменьшение нефизических осцилляций решения полученного по неявной итерационной схеме. Увеличение шага по времени в неявной итерационной разностной схеме путем добавления искусственной вязкости. Исследование порядка аппроксимации и устойчивости построенной неявной итерационной разностной схемы. Доказательство устойчивости явной ENO-схемы. Проведение численного исследования.

3 3 Расчетная область основные уравнения и обозначения Рассмотрены двухмерные уравнения Эйлера в криволинейной системе координат в консервативной форме: - Якобиан преобразования координат - полная энергия единицы массы Приняты обозначения для матриц Якоби в декартовой и криволинейной системе координат: Рис.. Расчетная область - решетка профилей. В качестве модельного для системы Эйлера выбрано линейное уравнение переноса: Введены следующие обозначения для приращений сеточных функций: - приращение на одном шаге по времени - суммарное приращение по всем итерациям на одном шаге по времени - приращение на одной итерации. - соответствует номеру пространственной ячейки - номерслояповремени - номер итерации по Ньютону. η ξ η J B = B = a j j p e e v p e v p E v p e p v v ξ η η ξ J E E = E = B + + δ

4 Постановка граничных условий На входе заданы на выходе p T α * * * - полное давление - статическое - полная температура давление - угол потока Значения параметров на входной и выходной границах вычисляются по следующим формулам: где параметры с индексом параметры в ближайшей к границе ячейке а приращения могут вычислены по таким формулам (для входа и выхода соответственно): v α cos α γ c vgα v gα α cos α γ c S c p c Верхняя и нижняя границы: Стенка: условие непротекания Около передней и задней кромок: где p S v p - энтропийная функция - - тангенс угла потока γ g α c - скорость звука. p v - энтальпия S S S α α α p e p p p v v v γ S p p e p c c p v p условие периодичности

5 Построение неявной разностной итерационной схемы с использованием метода линеаризации Производная по времени аппроксимируется с помощью переменного шаблона: трехслойная производная / (3) двухслойная производная Выполняется линеаризация потоковых членов: После интегрирования по площади двухмерной ячейки и выполнения ряда преобразований можно получить итерационную неявную разностную схему (5): где I S + 5 S / j / j / j / j / ξ / / ξ / J - площадь ячейки а Следует отметить что на первой итерации при = имеем классическую схему Бима-Уорминга: I S J + 6 которая имеет второй порядок аппроксимации по пространству и времени что приводит к тому что уже на первой итерации итерационная схема (5) имеет формально второй порядок и добиваться полной сходимости итерационного процесса не нужно. Данное замечание особенно важно для решения нестационарных задач.

6 6 Построение неявной разностной итерационной схемы с использованием метода Ньютона Обозначим левую часть системы уравнений Эйлера (): Она является невязкой численной аппроксимации уравнений. Теперь к системе уравнений (7) можно применить метод Ньютона в форме (8): где производная вычисляется приближенно: После линеаризации потоков на каждой итерации и подстановки производной в исходное уравнение (8) получим такую итерационную схему: Проинтегрируем ее по площади пространственной ячейки аппроксимируем при этом производную по времени с помощью переменного шаблона (3) и используем интегральные теоремы о среднем и Гаусса- Остроградского. Получим неявную итерационную разностную схему (5): Она совпадает с неявной схемой построенной с помощью метода линеаризации. 7 ξ η J R 8 + R = R R J J R R R J J J 5 + S J I

7 7 Явные схемы повышенной точности При аппроксимации пространственных производных потоковые переменные могут быть получены с помощью задачи распада разрыва ( номер ячейки): где начальные данные определяются согласно равенству (9): При чем - сеточный шаг по пространству в соответствующем направлении - шаг по времени - номера соответствующих граней ячеек. Пространственные производные в равенстве (9) вычисляются согласно выбранной аппроксимации: ) TVD-схема Годунова-Колгана (-го порядка): ) TVD-схема повышенной точности с ограничителем ISNS (3-го порядка): 3) ENO-схема (-го порядка): / / / H 9 / od / / l l l lj l v 3 ISNS od od od

8 Уменьшение нефизических осцилляций решения С целью минимизации нефизических осцилляций решения применялось переключение с трехслойной аппроксимации производной по времени на двухслойную в соответствии со следующим алгоритмом. Если то выбирается трехслойный временной шаблон и соответственно трехслойная схема: I 3 J 3 3 S + ' Иначе выбираем двухслойную схему: I J +. '' S 8

9 9 Использование неявных граничных условий на стенке Рассматривается неявная итерационная схема для двумерных уравнений Эйлера в характеристических переменных относительно криволинейного направления : где и - векторы примитивных и характеристических переменных соответственно - нормальная и касательная компоненты вектора скорости относительно направления - матрица перехода от консервативных переменных к примитивным - матрицы Якоби в примитивных переменных - матрица Якоби в характеристических переменных - диагональная матрица собственных значений матрицы - матрицы левых и правых собственных векторов соответственно матрицы Установлено что на стенке при выполнении условия непротекания справедлива такая зависимость между значениями приращений в «нулевой» и первой ячейках: 3 M M / / q L J I dag L L p v q l c U p U c U v U v U U p p U U U B q dq = Td dq = L d q E q B q U U T L L Â Â B. c c c c L c c c c c L

10 Использование неявных граничных условий на стенке После расщепления разностного уравнения по знаку собственных значений матриц Якоби приращение в первой ячейке можно получить через значение приращения в «нулевой» с помощью рекуррентной формулы : Подставив в равенство (3) получим систему уравнений для нахождения вектора приращений в первой ячейке: откуда его можно найти по-компонентно: где Для нижней границы вывод формул аналогичен RHS RHS RHS RHS RHS RHS 5'' 3/ / 3/ J q L J I 5''' / 3/ q L M J J I J / / q L RHS RHS 5'' 5''

11 Исследование свойств неявной разностной итерационной схемы ) Порядок аппроксимации. При условии сходимости итераций по Ньютону δ и следовательно левая часть неявной схемы (5) также равна нулю а правая часть имеет вид (5): ξ η При выборе трехточечного шаблона для приближения временных производных / и при аппроксимации пространственных производных со вторым (или третьим) порядком схема на гладких решениях будет аппроксимировать систему уравнений Эйлера со вторым порядком по времени и вторым (третьим) порядком по пространству. ) Устойчивость. Итерационный алгоритм построенной неявной итерационной разностной схемы представляет собой метод Ньютона сходимость которого детально изучена. Согласно теореме о сходимости метода Ньютона последовательность * сходится к простому корню с квадратичной скоростью при правильном выборе начального приближения и выполнении некоторых условий накладываемых на функцию.

12 Устойчивость неявной разностной итерационной схемы Дальнейшее исследование устойчивости проводилось при условии сходимости итерационного процесса по Ньютону. Построена неявная итерационная схема для линейного уравнения переноса () с трехточечной обратной формулой при дискретизации временных производных и с различными шаблонами пространственной аппроксимации вчастности центрально-разностным: 3 a 6 Для схемы (6) проведено доказательство устойчивости методом Неймана показано что коэффициент усиления (7) не выходит за пределы единичного круга при числе CL большем. ν s φ 3 ν s φ λ 7 ν c.

13 3 Устойчивость явной ENO-схемы Для аппроксимации пространственных производных в правой части неявной итерационной схемы (5) может быть использована явная ENO-схема. Явная ENO-схема для уравнения переноса (): Сеточная функция предполагается финитной с одним экстремумом (для определенности максимумом). Она является квадратичной относительно числа CL. После дифференцирования получено условие сохранения монотонности сеточной функции на участке содержащем ячейки и -: Справделивость его свидетельствует о невозрастании полной вариации сеточной функции. Для ENO-схемы с учетом определения пространственных производных можно получить оценку Откуда видно что условие () выполняется если верно такое неравенство: Рассмотрены различные участки поведения сеточной функции (монотонности случай экстремума в точке в точке (-) соответственно): Исследован каждый из них для всевозможных сочетаний величин приращений по пространству. ' od 8 9 od od od d d * od od

14 Устойчивость явной ENO-схемы С помощью использования условия невозрастания полной вариации для ENO-схемы было установлено что в окрестности точек локального максимума рост полной вариации возможен при выполнении условий (А) случай экстремума в точке или (В) случай экстремума в точке (-): С целью сравнения выбрана явная схема с центрально-разностным шаблоном пространственных производных для линейного уравнения переноса () : Она устойчива по Нейману при с таким модулем коэффициента усиления: Такая схема дает рост полной вариации в случае выполнения условия (С): Из каждого из условий возможности роста полной вариации сеточной функции по ENO-схеме (А) и (В) вытекает условие возможного возрастания полной вариации по центрально-разностной схеме (С). Это означает что в случае роста полной вариации по ENO-схеме полная вариация по центрально-разностной схеме также растет. 3 B 3 s cos C '

15 Устойчивость явной ENO-схемы В силу определения пространственных производных для ENO-схемы (8 9) и Центрально-разностной схемы () между производными справедлива такая зависимость: С помощью равенства (3) и тогофакта что центрально-разностная производная в точке локального экстремума меняет знак можно доказать что на максимуме значения сеточной функции по ENO-схеме ограничены сверху значениями по центральноразностной схеме т.е. выполнено неравенство Для случая минимума доказательство проводится аналогично.. Таким образом на монотонном участке явная ENO-схема не дает роста полной вариации а в точках локального экстремума и при выполнении условий (А) и (В) т.е. в случаях возможности роста полной вариации значения сеточной функции по ENO-схеме ограничены значениями сеточной функции по центрально-разностной схеме которая является устойчивой. Отсюда следует устойчивость явной ENO-схемы что и требовалось доказать. 3 5

16 Распределение давления при CL.8 в момент времени. (D) тест Сода точное решение схема данной работы (5) сявной схема Бима-Уорминга (6) сявнойeno частью () ISNS частью () + формулы ( ) 3 схема данной работы (5) сявнойeno частью () 5 схема данной работы (5) сявной ENO частью () + формулы ( ) 6

17 Распределение давления при CL. в момент времени. (D) тест Сода точное решение схема данной работы (5) сявной схема Бима-Уорминга (6) сявнойeno частью () ISNS частью () + формулы ( ) 3 схема данной работы (5) сявнойeno частью () 5 схема данной работы (5) сявной ENO частью () + формулы ( ) 7

18 Изолинии числа Маха на тангенциальной поверхности (D) Решетка профилей Ходсона (сетка 9х со сгущениями). Рис. 3. Схема данной работы с явной частью Годунова (CL=5). Рис.. Схема данной работы с явной частью TVD (CL=35). Рис. 5. Схема данной работы с явной частью TVD-ISNS (CL=5). Рис. 6. Схема данной работы с явной частью ENO (CL=8).

19 Распределение адиабатического числа Маха по профилю (D) Решетка профилей Ходсона (сетка 9х со сгущениями). Рис. 7. Схема данной работы с явной частью Годунова (CL=5). Рис. 8. Схема данной работы с явной частью TVD (CL=35). Рис. 9. Схема данной работы с явной частью TVD-ISNS (CL=5). Рис.. Схема данной работы с явной частью ENO (CL=8)

20 Сравнение решений по схеме Бима-Уорминга (CL=7) и по неявной итерационной схеме данной работы (CL=3) с ENO схемой в явной части Решетка Ходсона (сетка 5х без сгущений) Рис. Адиабатическое число Маха (схема Бима-Уорминга). Рис. Изолинии числа Маха (схема Бима-Уорминга). Рис. 3 Адиабатическое число Маха (неявная итерационная схема). Рис. Изолинии числа Маха (неявная итерационная схема).

21 Численное исследование сходимости схем (D) Погрешности в нормах l l l для числа CL=.8. Табл. CL=.8 l l l p p p BW (6) ENO () Схема данной работы (5) ENO () ISNS () ENO+(''') ISNS+(''') Погрешности в нормах l l l для числа CL=.. Табл. CL=. l l l p p p BW (6) ENO () Схема данной работы (5) ENO () ISNS () ENO+(''') ISNS+(''') Полная вариация. Табл. 3 TV CL=.8 CL=. p p Явная BW (6) ENO () Схема данной работы (5) ENO () ISNS () ENO+(''') ISNS+(''') TV

22 Численное исследование сходимости схем (D) Рис. 5. График погрешности в норме l на сетке 5х по схеме данной работы (CL>3). Рис. 6. График погрешности норме l на сетке 5х по схеме данной работы с одной итерацией (CL=7) Рис. 7. График погрешности норме l на сетке 5х Рис. 8. График погрешности норме l на сетке 9х по схеме Бима-Уорминга в решателе (CL=7). по схеме данной работы. (CL>8)

23 Сравнение схем по быстродействию Рассматривается решетка Ходсона. Сетка 5х (без сгущений) Табл. Сетка 9х (со сгущениями) Табл.5 Годунов CL Время Шагов по времени Всего Явная.5 :: BW (6) 7 :: 8 8 Схема (5) :: Годунов CL Время Шагов по времени Toal Явная. :: BW (6) 5 :: Схема (5) :3: TVD BW (6) 5 ::5 7 7 Схема (5) 35 :: TVD BW (6) :: 5 5 Схема (5) 35 :: ISNS () BW(6) 5 :: Схема (5) 35 ::8 797 ISNS () BW (6) :: 5 5 Схема (5) 5 :: ENO () BW(6) 5 ::7 7 7 Схема (5) 3 :: ENO () BW (6) ::5 5 5 Схема (5) 8 :6:

24 Заключение С помощью метода линеаризации и метода Ньютона могут быть построены неявные итерационные схемы на первой итерации совпадающие с классической схемой Бима-Уорминга. При дискретизации пространственных производных в правой части схемы могут использоваться ENO и TVD-схемы повышенного порядка точности. Приведенный подход построения схемы позволяет добиться второго и выше порядка аппроксимации по пространству и второго порядка по времени (при трехслойной разностной аппроксимации производной по времени). Исследована устойчивость построенной неявной итерационной схемы. Показана устойчивость явной ENO-схемы. Схема предложенная в данной работе по сравнению с классической схемой Бима-Уорминга имеет более высокое быстродействие для одномерного случая также дает лучшую сходимость решения. Получено соответствие решений в двухмерном случае по неявной итерационной схеме данной работы по схеме Бима-Уорминга по явным схемам с решателем. Водномерномслучаетакже показано что схема Бима-Уорминга имеет существенно меньшую скорость ударной волны чем схема данной работы по сравнению с точным решением. Удалось добиться повышения устойчивости неявной итерационной схемы увеличения шага по времени и уменьшения нефизических осцилляций полученного по ней решения.

25 Спасибо за внимание! 5

Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса.

Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса. Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса. Для численного решения нелинейных задач в различных ситуациях используют как линейные, так и нелинейные схемы. Устойчивость соответствующих

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

А.А. Дегтярев ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. Тесты для самоконтроля знаний студентов

А.А. Дегтярев ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. Тесты для самоконтроля знаний студентов МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА

Подробнее

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ. Лекторы: проф. Б. И. Квасов, проф. Г. С. Хакимзянов. 5 6 семестры

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ. Лекторы: проф. Б. И. Квасов, проф. Г. С. Хакимзянов. 5 6 семестры МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ Лекторы: проф. Б. И. Квасов, проф. Г. С. Хакимзянов 5 6 семестры 1. Математические модели и вычислительный эксперимент. Классификация уравнений математической физики. Примеры корректных

Подробнее

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы.

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы. Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы. Рассмотрим несколько вариантов разностной аппроксимации линейного уравнения колебаний:

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

20. Метод установления решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Схема переменных направлений

20. Метод установления решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Схема переменных направлений Варианты заданий 0. Метод установления решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Схема переменных направлений 0.1. Постановка задачи Рассматривается задача Дирихле для эллиптического уравнения Lu

Подробнее

Методы решения сеточных уравнений

Методы решения сеточных уравнений Методы решения сеточных уравнений 1 Прямые и итерационные методы В результате разностной аппроксимации краевых задач математической физики получаются СЛАУ, матрицы которых обладают следующими свойствами:

Подробнее

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы.

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы. Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы. 1 Разностная аппроксимация уравнения теплопроводности Рассмотрим различные варианты разностной

Подробнее

Лабораторная работа 2. Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции

Лабораторная работа 2. Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции Лабораторная работа Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции Постановка задачи: Требуется найти безусловный минимум функции одной переменной (

Подробнее

Численное решение смешанной краевой задачи явным методом сеток. Методическая разработка по курсу Численные методы

Численное решение смешанной краевой задачи явным методом сеток. Методическая разработка по курсу Численные методы Численное решение смешанной краевой задачи явным методом сеток Методическая разработка по курсу Численные методы. Постановка задачи Г.К. Измайлов Решить методом сеток смешанную краевую задачу для дифференциального

Подробнее

1 Метод переменных направлений для уравнения теплопроводности

1 Метод переменных направлений для уравнения теплопроводности Экономичные разностные схемы для многомерных задач математической физики. Схема переменных направлений для начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности в прямоугольнике. Как уже было показано

Подробнее

Приложение А. Комплект оценочных средств (контролирующих материалов) по дисциплине

Приложение А. Комплект оценочных средств (контролирующих материалов) по дисциплине Приложение А. Комплект оценочных средств (контролирующих материалов) по дисциплине Приложение А-1. Тесты текущего контроля СТО БТИ АлтГТУ 15.62.2.0008-2014 Вопросы к модулям (разделам) курса «Вычислительная

Подробнее

ТЕЧЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ ИЗЛОМА ПЕРЕДНЕЙ КРОМКИ ТОНКОГО КРЫЛА НА РЕЖИМЕ СИЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

ТЕЧЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ ИЗЛОМА ПЕРЕДНЕЙ КРОМКИ ТОНКОГО КРЫЛА НА РЕЖИМЕ СИЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ У Ч Е Н Ы Е З А П И С К И Ц А Г И Т о м X L I I УДК 53.56. ТЕЧЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ ИЗЛОМА ПЕРЕДНЕЙ КРОМКИ ТОНКОГО КРЫЛА НА РЕЖИМЕ СИЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ Г. Н. ДУДИН А. В. ЛЕДОВСКИЙ Исследовано течение

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

Раздел 1. Цели и задачи учебной дисциплины.

Раздел 1. Цели и задачи учебной дисциплины. Раздел 1. Цели и задачи учебной дисциплины. 1.1. Цель преподавания дисциплины. Преподавание курса Численные методы имеет целью приобретение студентами навыков решения различных математических задач, анализа

Подробнее

Методы решения сеточных уравнений

Методы решения сеточных уравнений Методы решения сеточных уравнений 1 Прямые и итерационные методы В результате разностной аппроксимации краевых и начально-краевых задач математической физики получаются СЛАУ матрицы которых обладают следующими

Подробнее

Оглавление Методы градиентного и наискорейшего спуска Метод минимальных невязок... 56

Оглавление Методы градиентного и наискорейшего спуска Метод минимальных невязок... 56 Оглавление Предисловие............................... 13 Лекция 1. Предмет вычислительной математики. Обусловленность задачи, устойчивость алгоритма, погрешности вычислений. Задача численногодифференцирования..................

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ. ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ (конспект лекций) Преподаватель: Игнатьев Михаил Юрьевич

ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ. ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ (конспект лекций) Преподаватель: Игнатьев Михаил Юрьевич ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ. ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ конспект лекций) Преподаватель: Игнатьев Михаил Юрьевич Саратов, 203 205 Уравнения в частных производных Решение одномерного уравнения теплопроводности с постоянными

Подробнее

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач.

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных

Подробнее

Направление Компьютерные и информационные науки. Профиль «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА»

Направление Компьютерные и информационные науки. Профиль «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА» Направление 02.06.01 Компьютерные и информационные науки Профиль 01.01.07 «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА» 1. Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции. Первообразная непрерывной функции. 2.

Подробнее

1 Элеметарная теория погрешностей. 2

1 Элеметарная теория погрешностей. 2 Содержание Элеметарная теория погрешностей. Решение СЛАУ. 4. Нормы в конечномерных пространствах... 4. Обусловленность СЛАУ............ 5.3 Итерационные методы решения линейных систем......................

Подробнее

6 Методы приближения функций. Наилучшее приближение.

6 Методы приближения функций. Наилучшее приближение. 6 Методы приближения функций. Наилучшее приближение. Рассмотренные в прошлой главе методы приближения требуют строгой принадлежности узлов сеточной функции результирующему интерполянту. Если не требовать

Подробнее

19. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа. Итерационные методы решений сеточных уравнений

19. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа. Итерационные методы решений сеточных уравнений Варианты заданий 9. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа. Итерационные методы решений сеточных уравнений 9.. Постановка задачи Рассматривается задача Дирихле для эллиптического уравнения:

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных) уравнений f = ) заключается в нахождении значений,

Подробнее

Введение в численные методы решения задач гиперболического типа. МФТИ 27 августа 2012 А.И.Лобанов

Введение в численные методы решения задач гиперболического типа. МФТИ 27 августа 2012 А.И.Лобанов Введение в численные методы решения задач гиперболического типа МФТИ 27 августа 2012 А.И.Лобанов Численные методы Конечные разности Производные по тем или иным правилам заменяются разностными отношениями

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

А.П.Попов. Методы оптимальных решений. Пособие для студентов экономических специальностей вузов

А.П.Попов. Методы оптимальных решений. Пособие для студентов экономических специальностей вузов А.П.Попов Методы оптимальных решений Пособие для студентов экономических специальностей вузов Ростов-на-Дону 01 1 Введение В прикладной математике имеется несколько направления, нацеленных в первую очередь

Подробнее

Пирумов У. Г. Численные методы: Учеб. пособие для студ. втузов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Дрофа, с.: ил.

Пирумов У. Г. Численные методы: Учеб. пособие для студ. втузов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Дрофа, с.: ил. Рецензенты: проф., д. ф.-м. н. В. Б. Миносцев (зав. каф. общей и прикладной математики Московского государственного индустриального университета); проф., д. ф.-м. н., действ, чл. РАЕН Ю. И. Яламов Пирумов

Подробнее

Планы ответов на вопросы экзаменационных билетов госэкзамена по курсу ОПТИМИЗАЦИЯ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ, лектор проф. М. М. Потапов

Планы ответов на вопросы экзаменационных билетов госэкзамена по курсу ОПТИМИЗАЦИЯ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ, лектор проф. М. М. Потапов Планы ответов на вопросы экзаменационных билетов госэкзамена по курсу ОПТИМИЗАЦИЯ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ, лектор проф. М. М. Потапов Вопрос: 4. Симплекс-метод для канонической задачи линейного программирования:

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ПРОГРАММА-МИНИМУМ кандидатского экзамена по специальности 01.01.07 «Вычислительная математика» по физико-математическим наукам Программа-минимум содержит

Подробнее

1. Численные методы решения уравнений

1. Численные методы решения уравнений 1. Численные методы решения уравнений 1. Системы линейных уравнений. 1.1. Прямые методы. 1.2. Итерационные методы. 2. Нелинейные уравнения. 2.1. Уравнения с одним неизвестным. 2.2. Системы уравнений. 1.

Подробнее

Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Постановка задачи Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение сокращенно ОДУ первого порядка f,, [,b ] 6 с начальным условием

Подробнее

Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. f f(x, y 1,..., y n ), (x, y) D. y(x 0 ) = y 0. (1.

Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. f f(x, y 1,..., y n ), (x, y) D. y(x 0 ) = y 0. (1. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1. Постановка задачи Пусть в области D = {a x b, y i y i 0 b i } R n+1 Необходимо найти решение удовлетворяющее начальному

Подробнее

Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики. 2-е изд. -М.: Научный мир, с.

Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики. 2-е изд. -М.: Научный мир, с. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики. 2-е изд. -М.: Научный мир, 2003.-316 с. Книга является учебным пособием по численным методам решения задач математической физики, предназначенным

Подробнее

Рабочая программа дисциплины (с аннотацией) «Численные методы решения задач математической физики»

Рабочая программа дисциплины (с аннотацией) «Численные методы решения задач математической физики» Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВО «Тверской государственный университет» Утверждаю: Руководитель ООП: 0 г. Рабочая программа дисциплины (с аннотацией) «Численные методы решения

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ , (1) Простейшая прямая задача состоит в нахождении функции, удовлетворяющей уравнению (1) и условиям

ВВЕДЕНИЕ , (1) Простейшая прямая задача состоит в нахождении функции, удовлетворяющей уравнению (1) и условиям РЕФЕРАТ Выпускная квалификационная работа по теме «Численная идентификация правой части параболического уравнения» содержит 45 страниц текста 4 приложения 6 использованных источников 4 таблицы ОБРАТНАЯ

Подробнее

Планы ответов на вопросы экзаменационных билетов госэкзамена по курсу ОПТИМИЗАЦИЯ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ, лектор проф. М. М. Потапов

Планы ответов на вопросы экзаменационных билетов госэкзамена по курсу ОПТИМИЗАЦИЯ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ, лектор проф. М. М. Потапов Планы ответов на вопросы экзаменационных билетов госэкзамена по курсу ОПТИМИЗАЦИЯ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ, лектор проф. М. М. Потапов Вопрос: 4. Симплекс-метод для канонической задачи линейного программирования:

Подробнее

Численные методы и математическое моделирование в физике (наименование дисциплины) Направление подготовки физика

Численные методы и математическое моделирование в физике (наименование дисциплины) Направление подготовки физика 1 Аннотация рабочей программы дисциплины Численные методы и математическое моделирование в физике (наименование дисциплины) Направление подготовки 03.03.02 физика Профиль подготовки «Фундаментальная физика»,

Подробнее

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции 10 Исследование функций и построение графиков 10 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1 Возрастание и убывание функции 1 x ( 1 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция y = f (x) называется возрастающей (неубывающей)

Подробнее

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4.0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных

Подробнее

Понятие разностной схемы. Аппроксимация. Устойчивость. Сходимость.

Понятие разностной схемы. Аппроксимация. Устойчивость. Сходимость. Понятие разностной схемы. Аппроксимация. Устойчивость. Сходимость. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений

Подробнее

Численное решение задач с уравнениями параболического типа

Численное решение задач с уравнениями параболического типа Численное решение задач с уравнениями параболического типа. Постановка задачи в общем виде.. Разностные схемы для одномерного линейного параболического уравнения. 3. Схема для уравнения теплопроводности

Подробнее

Дельта-функция. Определение дельта-функции

Дельта-функция. Определение дельта-функции Дельта-функция Определение дельта-функции Пусть финитная бесконечно дифференцируемая функция (т. е. основная функция),. Будем писать:. О. Дельта-функцией Дирака называется линейный непрерывный функционал

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ

Подробнее

Лекция 1. Аннотации к лекциям И.Б. Петров, А.И. Лобанов "Численные методы решения уравнений в частных производных"

Лекция 1. Аннотации к лекциям И.Б. Петров, А.И. Лобанов Численные методы решения уравнений в частных производных Аннотации к лекциям И.Б. Петров, А.И. Лобанов "Численные методы решения уравнений в частных производных" Лекция 1 Исследование разностных схем для эволюционных уравнений на устойчивость и сходимость В

Подробнее

Виды учебных занятий (в часах)

Виды учебных занятий (в часах) Содержание Аннотация... 3 1. Цели освоения дисциплины... 4 2. Место дисциплины в структуре ООП... 4 3. Компетенции обучающегося, формируемые при освоении дисциплины... 4 4. Структура и содержание дисциплины...

Подробнее

РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЗАДАЧИ КОШИ МОДЕЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА

РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЗАДАЧИ КОШИ МОДЕЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им Н П ОГАРЁВА»

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Самарский А. А.

ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Самарский А. А. ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Самарский А. А. Книга написана на основе курса лекций, читавшихся автором па факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ, и предназначается для ознакомления с началами

Подробнее

2. Решение нелинейных уравнений.

2. Решение нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает: ) возможность написания «точной формулы», а точнее говоря

Подробнее

Оглавление. От авторов... 3

Оглавление. От авторов... 3 Оглавление От авторов... 3 Вариационное исчисление. Необходимые условия 4 Гла ва XLI X Экстремумы функционалов... 5 1. Некоторые сведения и понятия из функционального анализа 5 1.1. Функциональные пространства...

Подробнее

Национальный технический университет «ХПИ», Украина РАСЧЕТ ДВУМЕРНЫХ НЕВЯЗКИХ ТЕЧЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА НЬЮТОНА

Национальный технический университет «ХПИ», Украина РАСЧЕТ ДВУМЕРНЫХ НЕВЯЗКИХ ТЕЧЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА НЬЮТОНА Двигатели и энергоустановки аэрокосмических летательных аппаратов 7 УДК 59.6:533.6 М.Н. ГРИЗУН С.В. ЕРШОВ Национальный технический университет «ХПИ» Украина ИПМаш им. А.Н. Подгорного НАНУ Украина РАСЧЕТ

Подробнее

Уравнения переноса. Схемы «бегущего» счета

Уравнения переноса. Схемы «бегущего» счета Уравнения переноса. Схемы «бегущего» счета Рассмотрим ряд наиболее часто используемых разностных схем, аппроксимирующих начально-краевые задачи для линейного уравнения переноса: u t + c(x, t) u x = f(x,

Подробнее

Лабораторная работа 5 Предел последовательности: определение, свойства

Лабораторная работа 5 Предел последовательности: определение, свойства Лабораторная работа 5 Предел последовательности: определение, свойства Необходимые понятия и теоремы: определение числовой последовательности, ограниченные и неограниченные последовательности, монотонные

Подробнее

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ... Задача Коши для одного обыкновенного дифференциального уравнения. Рассматривается задача Коши

Подробнее

Численные методы Тема 2. Интерполяция

Численные методы Тема 2. Интерполяция Численные методы Тема 2 Интерполяция В И Великодный 2011 2012 уч год 1 Понятие интерполяции Интерполяция это способ приближенного или точного нахождения какой-либо величины по известным отдельным значениям

Подробнее

(5.1) (5.2) (5.3) (5.4) t x u

(5.1) (5.2) (5.3) (5.4) t x u 5. Расщепление потоков Для того, чтобы лучше понять разностное представление членов, учитывающих конвективный перенос, рассмотрим упрощенную задачу: ) вязкие члены не учитываются ) течение является одномерным

Подробнее

Исследование областей сходимости численных методов второго порядка

Исследование областей сходимости численных методов второго порядка Электронный научный журнал «Вестник Омского государственного педагогического университета» Выпуск 6 www.oms.edu А.Т. Когут, Н.Ю. Безбородова Омский государственный университет путей сообщения Исследование

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого

Подробнее

Лекция ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Лекция ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Лекция 4 8 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматривается проблема решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка связывающих

Подробнее

ПОИСК МИНИМУМА ФУНКЦИЙ, КОТОРЫЕ ИМЕЮТ РАЗРЫВЫ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

ПОИСК МИНИМУМА ФУНКЦИЙ, КОТОРЫЕ ИМЕЮТ РАЗРЫВЫ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ УДК 59.8 О. А. Юдин, аспирант ПОИСК МИНИМУМА ФУНКЦИЙ, КОТОРЫЕ ИМЕЮТ РАЗРЫВЫ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Проанализированы возможные варианты решения задачи поиска минимума функции, которая имеет разрыв частной

Подробнее

Дифференциальные уравнения Т С

Дифференциальные уравнения Т С Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35. 6. С.784-792. УДК 517.957 ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ Ю. В. Жерновый 1. Введение. Постановка задачи. Наиболее

Подробнее

Триангуляция и метод конечных элементов АВТОРЕФЕРАТ МАГИСТЕРСКОЙ РАБОТЫ. Ромзаевой Анастасии Сергеевны

Триангуляция и метод конечных элементов АВТОРЕФЕРАТ МАГИСТЕРСКОЙ РАБОТЫ. Ромзаевой Анастасии Сергеевны Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САРАТОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

НЕЯВНАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА КВАДРАТНОЙ АДАПТИВНОЙ СЕТКЕ

НЕЯВНАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА КВАДРАТНОЙ АДАПТИВНОЙ СЕТКЕ НЕЯВНАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА КВАДРАТНОЙ АДАПТИВНОЙ СЕТКЕ Н.Г. КАРЛЫХАНОВ, А.В. УРАКОВА Российский федеральный ядерный центр Всероссийский НИИ технической физики им. акад.

Подробнее

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. 1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. ОПК-1 способностью самостоятельно осуществлять научно-исследовательскую деятельность в соответствующей профессиональной области с использованием

Подробнее

Вариационное исчисление

Вариационное исчисление Глава 1 Вариационное исчисление Началу появления вариационного исчисления дала толчок работа И. Бернулли 1696 года Новая задача, к решению которой приглашаются математики, в которой поставлена задача о

Подробнее

Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по Введению. Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по разделу 1

Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по Введению. Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по разделу 1 1. Оценочные средства текущего контроля. Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по Введению -Назовите виды погрешности. - Как рассчитывается абсолютная погрешность? - Как рассчитывается относительная

Подробнее

1) Схема переменных направлений

1) Схема переменных направлений 4. Экономичные разностные схемы Схемы применяемые для решения многомерных задач и сочетающие в себе достоинства явных и неявных схем называются экономичными. Экономичная разностная схема: )является безусловно

Подробнее

Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения»

Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения» Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения» ВАРИАНТ 5 Выполнил: студент -го курса, гр. АК3-3 Ягубов Роман Борисович

Подробнее

5. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

5. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 5. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ В настоящем разделе рассматривается метод конечных разностей который является одним из наиболее распространенных численных методов

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Разностные схемы для уравнения колебаний в многомерном случае

Разностные схемы для уравнения колебаний в многомерном случае Разностные схемы для уравнения колебаний в многомерном случае Для многомерных уравнений колебаний можно составить аналог схемы «крест» и неявной схемы. При этом явная схема «крест» так же, как и в одномерном

Подробнее

1. Построить область определения следующих функций. то область определения функции является множество

1. Построить область определения следующих функций. то область определения функции является множество 1. Построить область определения следующих функций. a) Так как функции определена при то область определения функции является множество - полуплоскость. b) Так как область определения функции является

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ

ЛЕКЦИЯ 5 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ ЛЕКЦИЯ 5 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ На прошлой лекции были рассмотрены основные итерационные методы решения СЛАУ, такие как метод простой итерации в широком и узком смыслах, метод Якоби, метод Зейделя

Подробнее

Новосибирский государственный университет Кафедра математического анализа

Новосибирский государственный университет Кафедра математического анализа БИЛЕТ 1 «3» Определение первообразной «3» Теорема 11 (об интегрируемости кусочно непрерывной функции) «3» Пример (гармонический ряд расходится) «3» Пример ( 1/n 2 сходится) «3» Теорема 6 (интегральный

Подробнее

Вопросы на экзамен по курсу. Вычислительные методы линейной алгебры. 2-й курс, 3-й семестр Лектор: профессор С.Б. Сорокин

Вопросы на экзамен по курсу. Вычислительные методы линейной алгебры. 2-й курс, 3-й семестр Лектор: профессор С.Б. Сорокин Вопросы на экзамен по курсу Вычислительные методы линейной алгебры 2-й курс, 3-й семестр Лектор: профессор С.Б. Сорокин Часть 1. Численный анализ Тема 1. Алгебраические методы интерполирования. 1. Формулировка

Подробнее

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г.

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В курсовой работе предполагается построить приближенное решение краевой задачи для обыкновенного

Подробнее

Билеты по курсу «Введение в численные методы» (2 ой поток) (2013)

Билеты по курсу «Введение в численные методы» (2 ой поток) (2013) Билеты по курсу «Введение в численные методы» (2 ой поток) (2013) Билет 1. Прямые методы решения СЛАУ. Метод Гаусса. Билет 2. Трехдиагональные системы линейных алгебраических уравнений. Метод прогонки.

Подробнее

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных).

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных). Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных. Зададим некоторое начальное приближение [,b] и линеаризуем функцию f( в окрестности с помощью отрезка ряда Тейлора f( = f( + f '( ( -. (5 Вместо уравнения ( решим

Подробнее

ЛЕКЦИИ. Лекция 1. Раздел I. ТЕОРИЯ ОПТИМИЗАЦИИ 1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

ЛЕКЦИИ. Лекция 1. Раздел I. ТЕОРИЯ ОПТИМИЗАЦИИ 1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЛЕКЦИИ Лекция 1 Раздел I. ТЕОРИЯ ОПТИМИЗАЦИИ 1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ Постановка задачи поиска минимума функций содержит: целевую функцию f ( x ), где x = ( x1,..., x

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Устойчивость решения задачи Коши по начальным данным и правой части Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области

Подробнее

Программа по курсу «Вычислительная математика»

Программа по курсу «Вычислительная математика» Программа по курсу «Вычислительная математика» 1. Организационно-методический раздел. 1.1. Использование ЭВМ в различных областях науки и техники и управления народным хозяйством вызывают необходимость

Подробнее

Разностные схемы для уравнений Навье-Стокса сжимаемого газа

Разностные схемы для уравнений Навье-Стокса сжимаемого газа Алгоритмы расщепления при решении многомерных задач В. М. Ковеня Институт вычислительных технологий СО РАН69Новосибирск Россия koeya@ct.sc.ru Бурное развитие ЭВМ в 6-х годах прошлого века способствовало

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Параллельный алгоритм решения дробно-дифференциальных уравнений переноса на основе модифицированного метода Шварца

Параллельный алгоритм решения дробно-дифференциальных уравнений переноса на основе модифицированного метода Шварца Международная научная конференция Параллельные вычислительные технологии ПаВТ Параллельный алгоритм решения дробно-дифференциальных уравнений переноса на основе модифицированного метода Шварца Лукащук

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО - РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 1. В.А. Коробицын. Томский государственный университет.

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО - РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 1. В.А. Коробицын. Томский государственный университет. УДК 59.63 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО - РАЗНОСТНЫХ СХЕМ В.А. Коробицын Томский государственный университет. Методом базисных операторов построены согласованные осесимметричные

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений Часть 2. Прямые и итерационные методы решения. Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван

Системы линейных алгебраических уравнений Часть 2. Прямые и итерационные методы решения. Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван Системы линейных алгебраических уравнений Часть 2. Прямые и итерационные методы решения Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван Методы решения СЛАУ Прямые и итерационные методы Численные методы решения СЛАУ

Подробнее

1. ВЕРТИКАЛЬНАЯ РАСПРЕДЕЛЕННАЯ НАГРУЗКА

1. ВЕРТИКАЛЬНАЯ РАСПРЕДЕЛЕННАЯ НАГРУЗКА 1. ВЕРТИКАЛЬНАЯ РАСПРЕДЕЛЕННАЯ НАГРУЗКА В настоящем разделе изложены материалы исследований, направленных на построение общего и частных решений задачи об определении напряженно-деформированного состояния

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

2. Разностные схемы Разностные схемы

2. Разностные схемы Разностные схемы 2. Разностные схемы 1 2. Разностные схемы В качестве численных алгоритмов решения уравнений в частных производных наиболее часто используют метод сеток (разностные схемы). Его математический смысл чрезвычайно

Подробнее

~ 1 ~ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. называется функцией двух переменных xy,, если каждой паре значений x, Область определения. D - замкнутая область

~ 1 ~ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. называется функцией двух переменных xy,, если каждой паре значений x, Область определения. D - замкнутая область ~ 1 ~ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 3 Функция двух переменных, область определения, способы задания и геометрический смысл. Определение: z f, называется функцией двух переменных,, если каждой паре значений,

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

9. Вопросы устойчивости и численной реализации решения задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений и систем

9. Вопросы устойчивости и численной реализации решения задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений и систем Варианты задания 9. Вопросы устойчивости и численной реализации решения задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений и систем 9.1. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го

Подробнее