удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности."

Транскрипт

1 Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным дифференциальным уравнением п-го порядка называется уравнение линейное относительно неизвестной функции и ее производных: ϕ 9 Если ϕ уравнение называется линейным однородным Если а х не равно нулю ни в одной точке некоторого отрезка [b] линейное однородное уравнение удобно записывать в форме p p p 9 или p 9 Замечание Если коэффициенты p непрерывны на [b] то в окрестности любых начальных значений при [ b] удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности Замечание Линейность и однородность уравнения сохраняются при любом преобразовании ϕt где ϕ t - п раз дифференцируемая функция и ϕ t на [b] d d d d d ϕ t так как и тд то есть производная любого 3 d ϕ t d ϕ t ϕ t порядка по х является линейной однородной функцией производных по t Замечание 3 Линейность и однородность уравнения сохраняются также при линейном однородном преобразовании неизвестной функции z Определение 9 Назовем линейным дифференциальным оператором L[ ] p p p 93 результат применения к функции у операций задаваемых левой частью уравнения 9 При этом уравнение 9 можно записать в виде L[] Свойства линейного дифференциального оператора Постоянный множитель выносится за знак линейного оператора: L[] L[] так как су L[ ] L[ ] L[ ] Действительно у у откуда следует справедливость сформулированного свойства Следствие L L[ ] 94 Используя свойства линейного оператора можно указать некоторые свойства решений линейного однородного уравнения 9 Теорема 9 Если у решение уравнения 9 то и су где с произвольная постоянная тоже решение этого уравнения Доказательство Если L[ ] то по свойству линейного оператора L[с ] что и требовалось доказать PDF rtd wth FPrt pdfftor trl vrso 66

2 Теорема 9 Сумма у у решений уравнения 9 тоже является решением этого уравнения Доказательство Так как L[ ] и L[ ] по свойству линейного оператора L[ у ] L[ ] L[ ] что доказывает утверждение теоремы Следствие теорем 9 и 9 Линейная комбинация решений уравнения 9 у у у т с произвольными постоянными коэффициентами тоже является решением этого уравнения Если рассматривается линейное неоднородное уравнение 9 которое при можно записать в виде p p p f 95 или L[] f то при непрерывности функций p и f оно имеет единственное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям 83 Из свойств линейного оператора следуют свойства решений неоднородного линейного уравнения: Сумма ~ решения ~ неоднородного уравнения 95 и решения у соответствующего однородного уравнения 9 является решением неоднородного уравнения 95 Доказательство L ~ ] L[ ~ ] L[ ] f f [ Если решение уравнения L[] f то является решением уравнения L[ ] f где постоянные принцип суперпозиции или наложения Доказательство L L[ ] L[ ] f что и требовалось доказать Лекция Линейная зависимость и независимость системы функций Определитель Вронского его свойства Фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения Общее решение однородного уравнения Определение Функции у х у х у п х называются линейно зависимыми на некотором отрезке [b] если существуют такие числа п хотя бы одно из которых не равно нулю что у у п у п на рассматриваемом отрезке Если же равенство справедливо только при всех функции у х у х у п х называются линейно независимыми на отрезке [b] Примеры Функции ² линейно независимы на любом отрезке так как равенство 3 ² справедливо только при всех Иначе в левой части равенства стоял бы многочлен степени не выше п который может обращаться в нуль не более чем в п точках рассматриваемого отрезка PDF rtd wth FPrt pdfftor trl vrso 67

3 k k Линейно независимой на любом отрезке является система функций k Если предположить что эта система линейно зависима то существуют такие числа k k k п пусть для определенности что п k Разделим полученное равенство на и продифференцируем: k k k k k k k k Проделав эту операцию п- раз k k придем к равенству k k k k k k что невозможно 3 k k так как по предположению k k 3 Подобным образом можно доказать линейную независимость системы функций k k k k k p k k p p k k p Определение Определитель вида W W[ ] j называется определителем Вронского системы функций у у у п Теорема Если функции у у у п линейно зависимы на отрезке [b] то их определитель Вронского на этом отрезке тождественно равен нулю Доказательство Дифференцируя п- раз тождество у у п у п где не все получим линейную однородную систему относительно п : которая по условию должна иметь нетривиальное решение при любом х из отрезка [b] а это возможно только в том случае если главный определитель этой системы см правило Крамера равен нулю Поскольку этот главный определитель является определителем Вронского для выбранной системы функций теорема доказана Теорема Если линейно независимые функции у у у п являются решениями линейного однородного уравнения 9 с непрерывными на отрезке [b] коэффициентами то определитель Вронского для этих функций не может обратиться в нуль ни в одной точке отрезка [b] Доказательство Пусть [ b] : W Выберем числа не все равные нулю так чтобы удовлетворялась система уравнений PDF rtd wth FPrt pdfftor trl vrso 68

if ($this->show_pages_images && $page_num < DocShare_Docs::PAGES_IMAGES_LIMIT) { if (! $this->doc['images_node_id']) { continue; } // $snip = Library::get_smart_snippet($text, DocShare_Docs::CHARS_LIMIT_PAGE_IMAGE_TITLE); $snips = Library::get_text_chunks($text, 4); ?>

4 3 Определитель этой системы неизвестными в которой считаем равен W и следовательно равен нулю поэтому система имеет ненулевое решение Тогда по условию теоремы - решение уравнения 9 с нулевыми начальными условиями что следует из системы 3 Очевидно что этим условиям удовлетворяет нулевое решение: 4 а по теореме существования и единственности это решение единственно Но при этом из равенства 4 следует что функции у у у п линейно зависимы что противоречит условиям теоремы Следовательно W ни в одной точке отрезка [b] Замечание В теореме важно что функции у у у п решения уравнения 9 Для произвольной системы функций утверждение теоремы не справедливо Теорема 3 Общим решением на [b] уравнения 9 с непрерывными коэффициентами p является линейная комбинация 5 п линейно независимых на [b] частных решений с произвольными постоянными коэффициентами Доказательство Для доказательства теоремы с учетом теоремы существования и единственности достаточно показать что можно подобрать постоянные так чтобы удовлетворялись произвольно заданные начальные условия: 6 где х произвольная точка отрезка [b] Подставив в равенства 6 выражение для у вида 5 получим линейную систему из п уравнений относительно неизвестных с с с п : определителем которой является определитель Вронского для выбранных п линейно независимых решений рассматриваемого уравнения который по теореме не равен нулю Следовательно по правилу Крамера система имеет решение при любых правых частях Теорема доказана Следствие Максимальное число линейно независимых решений однородного уравнения 9 равно его порядку Определение 3 Любые п линейно независимых решений однородного линейного уравнения 9 называются его фундаментальной системой решений Таким образом общее решение уравнения 9 является линейной комбинацией любой его фундаментальной системы решений PDF rtd wth FPrt pdfftor trl vrso 69

5 Лекция Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Построение фундаментальной системы решений Неоднородные линейные дифференциальные уравнения Частное и общее решения Определим вид частных решений однородного линейного уравнения в котором коэффициенты постоянны Можно показать что они имеют вид k где k p p k постоянная Действительно при этом k и после подстановки в уравнение получаем: k k k k k или после сокращения на k k k k - так называемое характеристическое уравнение для уравнения Числа k k являющиеся его решениями при подстановке в функцию дают частные решения уравнения Исследуем различные возможности количества и вида решений характеристического уравнения Все корни уравнения действительны и различны: k k k Тогда они задают максимально возможное количество линейно независимых решений уравнения их линейная независимость показана в примере лекции то есть определяют фундаментальную систему решений Следовательно в этом случае общее решение уравнения может быть записано в виде: k k k Пример 5 Общее решение уравнения 5 4 можно найти решив характеристическое уравнение k 5 5k 3 4k Разложим левую часть на множители: k k 4 k Следовательно корни характеристического уравнения: k k k k k Поэтому общее решение исходного уравнения имеет вид: Корни уравнения различны среди них есть комплексные При этом как было показано ранее они образуют пары комплексно сопряженных чисел При этом решения уравнения соответствующие паре комплексно сопряженных β β решений уравнения k β и k β имеют вид и могут быть заменены двумя действительными решениями: действительной и мнимой частями указанных решений Следовательно так как β os β s β решениями уравнения будут os β и s β Пример 6 k 6k k 3 ± 3 os s 3 Характеристическое уравнение имеет кратные корни В этом случае число линейно независимых решений предыдущих типов меньше п и для получения фундаментальной системы нужно найти дополнительные решения иного вида Докажем что при наличии у характеристического уравнения корня k кратности такими решениями будут k k k Предположим вначале что выбранный кратный корень k Тогда характеристическое уравнение имеет вид: 3 os PDF rtd wth FPrt pdfftor trl vrso 3 s и 7

6 k k k а соответствующее дифференциальное уравнение: Очевидно что частными решениями такого уравнения будут функции ² все производные которых порядка и выше равны нулю Кстати линейная независимость такой системы функций показана в примере лекции Пусть теперь корень характеристического уравнения k кратности не равен нулю k Сделаем замену переменной: z тогда при подстановке в дифференциальное уравнение его линейность и однородность не нарушается а коэффициенты изменяются но по-прежнему остаются постоянными: b z b z b z При этом корни характеристического уравнения b p b p b p 3 отличаются от корней уравнения k k k p k k p на слагаемое k так как при z z то есть k k p Следовательно уравнение 3 имеет корень р кратности которому соответствуют линейно независимые частные решения z z z При обратной замене получаем набор линейно независимых решений исходного k k k уравнения: 4 Таким образом каждый кратный корень уравнения задает серию линейно независимых частных решений уравнения количество которых равно его кратности Следовательно вновь построена фундаментальная система решений Замечание Кратные комплексно сопряженные корни задают частные решения вида os β s β Примеры Характеристическое уравнение для уравнения 3 3 имеет вид k ³ то есть k - корень кратности 3 Следовательно фундаментальная система решений состоит из функций а общее решение можно записать в виде 3 4 Для уравнения 8 6 характеристическим уравнением является k 4 8k 6 то есть k²4² Следовательно k ± - корни кратности Тогда общим решением исходного дифференциального уравнения является os s 3 4 Линейные неоднородные уравнения Ранее было показано см лекцию 9 что сумма решений линейного неоднородного уравнения L[] f и соответствующего однородного уравнения L[] является решением неоднородного уравнения Используя это свойство можно доказать следующую теорему: Теорема Общее решение на отрезке [b] уравнения L[] f с непрерывными на [b] коэффициентами p и правой частью f равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения PDF rtd wth FPrt pdfftor trl vrso 7

7 7 Доказательство Требуется доказать что для любых начальных условий k k k можно подобрать такие значения постоянных чтобы функция ~ 5 где линейно независимые частные решения однородного уравнения L[] а ~ - частное решение рассматриваемого неоднородного уравнения была решением этого неоднородного уравнения с заданными начальными условиями Это требование приводит нас к системе уравнений относительно неизвестных с с с п : ~ ~ ~ ~ 6 главным определителем которой является определитель Вронского ] [ W как известно не равный нулю Поэтому система 6 имеет единственное решение что и доказывает утверждение теоремы Замечание Таким образом при найденном общем решении однородного уравнения решение неоднородного уравнения сводится к подбору его частного решения Лекция Методы нахождения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения метод вариации произвольных постоянных метод неопределенных коэффициентов и принцип суперпозиции Распространим метод вариации произвольных постоянных рассмотренный в лекции 9 для решения линейного уравнения первого порядка на линейные уравнения высших порядков Будем искать решение неоднородного уравнения в виде При этом требуется найти п неизвестных функций с х с х с п х которые удовлетворяли бы только одному уравнению f p p Поэтому можно дополнительно потребовать чтобы искомые функции удовлетворяли еще каким-нибудь п- уравнениям выбранным так чтобы производные функции имели по возможности такой же вид как при постоянных Первая производная решения имеет вид: Потребуем чтобы вторая сумма в этом выражении равнялась нулю: тогда Зададим такое же условие для второй производной: PDF rtd wth FPrt pdfftor trl vrso

8 73 Продолжая вычислять производные функции до порядка п включительно и требуя каждый раз чтобы k получим: в последнем равенстве уже нельзя потребовать чтобы вторая сумма равнялась нулю так как на искомые функции уже наложено п условие а последним требованием является то что эти функции должны удовлетворять уравнению Подставив с учетом в получим: f p p но частные решения однородного уравнения следовательно все слагаемые второй суммы равны нулю и уравнение сводится к следующему: f 3 Добавив его к первым п уравнениям системы получим систему из п уравнений для определения с с с п определитель которой является определителем Вронского для функций у у у п и следовательно не равен нулю Следовательно из этой системы можно единственным образом найти производные искомых функций а затем с помощью интегрирования и сами функции с с с п Пример Найдем решение однородного уравнения для чего составим характеристическое уравнение k² - k k k Следовательно общее решение однородного уравнения имеет вид у с е х то есть фундаментальную систему решений составляют функции у е х и у хе х Будем искать общее решение неоднородного уравнения в виде у с хе х с ххе х Составим систему : с откуда l C C где С и С произвольные постоянные Таким образом найдено общее решение исходного уравнения: у е х хl - C C PDF rtd wth FPrt pdfftor trl vrso

9 Подбор частного решения для неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами Для некоторых видов правой части линейного неоднородного дифференциального уравнения f 4 можно подобрать частное решение в виде функции с неопределенными коэффициентами которые определяются путем подстановки этой функции в уравнение 4 f A s A s- A s а п При этом существует частное решение уравнения 4 имеющее такой же вид: B s B s- B s Действительно подставив эту функцию в уравнение 4 и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х получим разрешимую единственным образом систему линейных уравнений: B A B s B A B s B s s B A Bs As Пример Будем искать частное решение в виде у Ах В тогда A и после подстановки в уравнение получим: 3А Ах В 3х 5 Тогда А 3 3А В Следовательно A B и общее решение уравнения можно записать в виде: Если то есть k является кратным корнем характеристического уравнения то частное решение имеет вид: s s B B Bs Легко убедиться что функция подобного вида является решением уравнения 4 при поставленных условиях Пример Пусть у частн х Ах Вх С Ах Вх Сх 3 у 4Ах 3Вх Сх у Ах 6Вх С у 4Ах 6В Подставляя в уравнение получим: 4Ах 6В 36Ах 8Вх 6С х 5 откуда 36А 4А 8В 6В 6С 49 5 Решая эту систему получаем A B C Следовательно общее решение уравнения имеет вид: p s s 3 f A A As Если число р при этом не является корнем характеристического уравнения можно задать частное решение в виде: p s s B B B Если же р корень характеристического уравнения s p s s кратности частное решение имеет вид: B B Bs В обоих случаях с помощью подстановки в исходное уравнение можно убедиться что выбранные функции являются его решениями Пример Найдя корни характеристического уравнения k² k : k k - видим что р - не является корнем этого уравнения Поэтому будем искать частное решение в форме - A B При этом A B A A A B PDF rtd wth FPrt pdfftor trl vrso 74

10 Подставляя в уравнение получаем: A A B откуда А -А В то есть A B Итак общее решение уравнения: 4 4 Пример Здесь р корень характеристического уравнения кратности поэтому частное решение имеет вид A A A 4 Подстановка в уравнение дает Ае х е х откуда А а общее решение: у с с х х²е х 4 В аналогичной форме задаются частные решения в случае когда правая часть уравнения p имеет вид f P os q Q s q где Р и Q некоторые многочлены: а если p ± q - не корни характеристического уравнения то можно подобрать частное p ~ ~ ~ ~ решение в виде P os q Q s q где P и Q - многочлены с неопределенными коэффициентами степень т которых есть старшая из степеней многочленов Р и Q б если p ± q - корни характеристического уравнения кратности то p ~ ~ P os q Q s q Пример 4 у os При этом ± - корни характеристического уравнения кратности поэтому следует искать частное решение в виде: A Bos C Ds 5 Если правая часть уравнения представляет собой сумму функций рассмотренных в предыдущих пунктах то по принципу суперпозиции частное решение будет задаваться как сумма решений соответствующих каждому из слагаемых правой части Пример 3 Для уравнения 4 4 s частное решение ищем в виде: 3 A B C D E os F s Лекция 3 Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами методы их решения Определение 3 Система дифференциальных уравнений называется линейной если она линейна относительно всех неизвестных функций и их производных В частности система линейных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами имеет вид: d j j f t 3 j Можно использовать матричную запись такой системы если ввести матрицы d f f X F A f матричное уравнение dx dx d d Тогда системе 3 эквивалентно AX F 3 PDF rtd wth FPrt pdfftor trl vrso 75

11 dx Если же рассмотреть линейный оператор L[ X ] AX уравнение 3 примет вид: L [ X ] F 33 Так как оператор L обладает свойствами линейности: L[X] L[X]; L[X X ] L[X ] L[X ] то для решений линейной однородной системы 33 при F справедливы те же свойства: если Х и Х решения однородного уравнения 33 то и их линейная комбинация будет решением того же уравнения Можно ввести понятие линейной зависимости решений Х Х Х п : Определение 3 Векторы столбцы Х Х Х п где t t X называются линейно зависимыми при t b если существуют t числа п не все равные нулю что Х Х п Х п 34 при t b Если же тождество 34 справедливо только при всех векторы называются линейно независимыми Замечание Назовем определителем Вронского для уравнения 34 определитель вида W 35 являющийся определителем системы уравнений получаемых при координатной записи равенства 34 Можно показать что так же как и в случае решения линейного однородного уравнения при W решения Х Х Х п линейно зависимы на [b] Тогда справедлива следующая теорема: Теорема 3 Линейная комбинация X п линейно независимых решений линейной однородной системы является общим решением этой системы Будем искать фундаментальную систему решений линейной однородной системы с постоянными коэффициентами d d d 36 kt kt kt в виде: 37 где постоянные Подставив 37 в 36 и сократив на kt получим: PDF rtd wth FPrt pdfftor trl vrso 76

12 k k 38 k Для того чтобы эта система имела ненулевое решение необходимо и достаточно чтобы ее главный определитель был равен нулю: k k 39 что представляет собой уравнение п й степени относительно k называемое характеристическим Если все корни характеристического уравнения различны то подставляя их последовательно в систему 38 можно найти соответствующие им значения j и тем самым п различных решений системы 36 Эти решения линейно независимы Действительно если бы существовали числа β β β п такие что kt β kt β k то в силу линейной независимости функций t отсюда kt β β β следовало бы что для каждого Но поскольку хотя бы одно из β не равно нулю получаем что все β Следовательно найденные решения 37 линейно независимы и общее решение системы имеет вид: где произвольные постоянные j kt j 3 Пример d k Составим характеристическое уравнение: k 6k 5 d k k k 5 Для k получаем систему для определения : то есть 3 3 t t Примем тогда При k 5 3 5t 5t 3 Тогда 3 Следовательно общее решение системы имеет t 5t t 5t 3 вид: В случае кратных корней характеристического уравнения решение системы 36 имеет вид PDF rtd wth FPrt pdfftor trl vrso 77

13 ~ ~ ~ s s s γ kst X t A A t Aγ t где γ кратность корня k s Пример d k Характеристическое уравнение имеет вид: k 6k 9 d 4 4 k k k 3 Пусть t 3t 3 4 t 3t Выразим постоянные с 3 и с 4 через с и с Для этого подставим найденные решения в одно из уравнений системы и приравняем коэффициенты при 3t и t 3t : 3 3 t 3t 3 3t 4 t 3t 3 4 Итак общее решение системы получено в форме: t 3t с t 3t Замечание Для неоднородной системы 3 общим решением так же как для неоднородного уравнения будет сумма общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной системы При подборе частных решений справедлив принцип суперпозиции Пример d 5t 3 4 t 5t Найдем частное решение в виде: A 5 B При подстановке d получим: 5A 3A B 4 откуда А 3 В Прибавив к полученному частному 5B A B решению общее решение соответствующей однородной системы запишем общее решение исходной системы: t 4t 3 5t - t 4t 5t Лекция 4 Устойчивость решений дифференциальных уравнений и их систем Определение устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости Автономные системы дифференциальных уравнений Фазовое пространство плоскость фазовая траектория Точки покоя Классификация точек покоя системы двух однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Условия устойчивости точки покоя Поскольку при решении реальных задач с помощью дифференциальных уравнений начальные условия обычно являются результатами измерений и следовательно получены с некоторой погрешностью очень важным является вопрос о том как изменится решение уравнения при малом изменении начальных условий В частности если такие изменения существенно меняют решение то подобное решение очевидно не имеет практической ценности Пусть некоторое явление описывается системой дифференциальных уравнений d Φ t 4 с начальными условиями t Определение 4 Решение φ t ǐ называется устойчивым по Ляпунову если PDF rtd wth FPrt pdfftor trl vrso 78

14 ε > δ > такое что для всякого решения t той же системы начальные условия которого удовлетворяют неравенствам t ϕ t < δ ε для всех t t справедливы неравенства t ϕ t < ε 4 то есть близкие по значениям решения остаются близкими для всех t t Если хотя бы для одного решения t неравенства 4 не выполняются решение φ t называется неустойчивым Если решение φ t не только устойчиво по Ляпунову но и удовлетворяет условию l t ϕ t 43 t при t ϕ t < δ δ > то это решение называется асимптотически устойчивым Замечание Одно условие 43 не обеспечивает устойчивость решения Фазовая плоскость Дифференциальное уравнение второго порядка d d f t 44 равносильно системе уравнений первого порядка d d& & f t & 45 Геометрически общее решение уравнения 44 или системы 45 можно представить семейством фазовых траекторий на фазовой плоскости O& Особенно удобно такое представление в случае когда функция f t & не содержит явным образом независимого переменного t Тогда система 45 имеет вид d d& P & Q & 46 и называется автономной системой Фазовые траектории в этом случае удовлетворяют дифференциальному уравнению первого порядка d& Q & 47 d P & которое каждой точке ставит в соответствие наклон проходящей через нее интегральной кривой Точки покоя Определение 4 Точка & фазовой плоскости системы 46 называется обыкновенной точкой если P & и Q & дифференцируемы и не обращаются одновременно в нуль; через каждую обыкновенную точку проходит одна фазовая траектория Точка & называется особой точкой если P & и Q & Замечание Особые точки классифицируются по характеру фазовых траекторий в их окрестности Исследование на устойчивость некоторого решения t системы 4 можно свести к исследованию тривиального решения точки покоя расположенной в начале координат преобразуя систему к новым переменным: t - отклонениям прежних неизвестных от решения исследуемого на устойчивость В новых переменных система 4 принимает вид: PDF rtd wth FPrt pdfftor trl vrso 79

15 d d Φ t t t t 48 Простейшие типы точек покоя Исследуем расположение траекторий в окрестности точки покоя х у системы двух линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами: d где 49 d Характеристическое уравнение при этом имеет вид: k k Рассмотрим различные наборы корней этого уравнения: k и k действительны и различны Тогда общее решение системы 49 можно задать kt kt β так: При этом возможны следующие случаи: kt kt β k а если k < и k < то точка покоя асимптотически устойчива так как l t и все точки находящиеся в начальный момент t t в любой δ окрестности начала координат при достаточно большом t переходят в точки лежащие в сколь угодно малой ε окрестности начала координат а при t стремятся к началу координат Такая точка покоя называется устойчивым узлом б если k > k > можно свести исследование к предыдущему случаю заменой t на t При этом фазовые траектории имеют такой же вид но направление движения меняется на противоположное то есть при увеличении t точка удаляется от начала координат поэтому подобная точка покоя неустойчивый узел неустойчива по Ляпунову в при k > k < точка покоя тоже неустойчива так как движущаяся по траектории k t kt точка с возрастанием t выходит из ε окрестности начала координат Точка покоя рассматриваемого типа называется седлом k p ± q Тогда общее решение системы 49 можно представить в виде pt os s ~ qt qt os ~ где pt ~ ~ - линейные комбинации произвольных qt s qt постоянных с с При этом возможны следующие случаи: pt а p < q Тогда при t а тригонометрические функции являются ограниченными Поэтому фазовые траектории являются спиралями асимптотически приближающимися при t к началу координат Таким образом точка покоя асимптотически устойчива Она называется устойчивым фокусом б p > q Изменяется направление движения по фазовым траекториям следовательно точки удаляются от начала координат и точка покоя неустойчива неустойчивый фокус в р Траекториями являются замкнутые кривые окружающие точку покоя называемую в этом случае центром Такая точка покоя устойчива так как можно подобрать такое δ что замкнутые траектории начальные точки которых лежат в δ окрестности начала координат не выходят за пределы ε окрестности начала координат ² t ² t < ε² 3 Корни кратны: k k t PDF rtd wth FPrt pdfftor trl vrso 8

16 8 а k k < Тогда общее решение t k t k t t t t β β стремится к нулю при t и точка покоя вновь называется устойчивым узлом При β β получаем частный случай устойчивого узла так называемый дикритический узел б k k > Направление движения по траекториям меняется - неустойчивый узел PDF rtd wth FPrt pdfftor trl vrso

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Стр. 1 из 17 26.10.2012 11:39 Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Специальность: 010300.62 Математика. Компьютерные науки Дисциплина: Дифференциальные уравнения Время выполнения

Подробнее

Дифференциальные уравнения (лекция 10)

Дифференциальные уравнения (лекция 10) Дифференциальные уравнения лекция 0 Линейные неоднородные уравнения высших порядков Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 6. Линейные неоднородные уравнения -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

Тема: Понятие устойчивости решения ДУ и решения системы ДУ

Тема: Понятие устойчивости решения ДУ и решения системы ДУ Математический анализ Раздел: дифференциальные уравнения Тема: Понятие устойчивости решения ДУ и решения системы ДУ Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г. 5. Понятие устойчивости решения 1. Предварительные замечания

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости ГЛАВА УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В этой главе исследуется устойчивость самого простого класса дифференциальных систем линейных систем В частности, устанавливается, что для линейных систем с постоянными

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

Уравнения первого порядка

Уравнения первого порядка Глава 1. Введение Лекция 1 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения. 2. Общее решение дифференциального уравнения, общий интеграл. 3. Постановка основных задач для обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

Рассмотрим систему двух автономных обыкновенных ди ф- ференциальных уравнений общего вида: dx dt dy dt

Рассмотрим систему двух автономных обыкновенных ди ф- ференциальных уравнений общего вида: dx dt dy dt Семинар 4 Система двух обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Фазовая плоскость. Фазовый портрет. Кинетические кривые. Особые точки. Устойчивость стационарного состояния. Линеаризация системы в

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Тематика и расписание 3-х тестов по дифференциальным уравнениям. (ориентировочные сроки 05 марта, 10 апреля, 15 мая)

Тематика и расписание 3-х тестов по дифференциальным уравнениям. (ориентировочные сроки 05 марта, 10 апреля, 15 мая) Тематика и расписание 3-х тестов по дифференциальным м (ориентировочные сроки 05 марта, 10 апреля, 15 мая) Тест по интегральным м и вариационному исчислению предполагается один - в конце семестра (ориентировочно,

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 6 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами ) ) ) L [] f ) 9) где i постоянные Так

Подробнее

1 о. Определение асимптотически устойчивого решения. Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений в векторной форме (1)

1 о. Определение асимптотически устойчивого решения. Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений в векторной форме (1) 29. Асимптотическая устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, область притяжения и методы ее оценки. Теорема В.И. Зубова о границе области притяжения. В.Д.Ногин 1 о. Определение

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДУ допускающие понижение ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДУ линейные неоднородные (ДУЛН) ДУ линейные однородные

Подробнее

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНО- ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОДУ). Решение системы двух линейных автономных ОДУ. Типы особых точек.

Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОДУ). Решение системы двух линейных автономных ОДУ. Типы особых точек. СЕМИНАР 4 Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОДУ). Решение системы двух линейных автономных ОДУ. Типы особых точек. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

Расписание курсовых контрольных работ (компьютерных тестов) 4-го семестра 2017 г.

Расписание курсовых контрольных работ (компьютерных тестов) 4-го семестра 2017 г. Расписание курсовых контрольных работ (компьютерных тестов) 4-го семестра 2017 г. По дифференциальным м предполагается 3 теста. Ориентировочные сроки 01-10 марта, 10-20 апреля, 15-20 мая). По интегральным

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 31

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 31 ГЛАВА. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 3 Следствие. Всякое решение асимптотически устойчивой линейной системы (как однородной, так и неоднородной) асимптотически устойчиво в целом. 3. Устойчивость линейной

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ 1. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы Пусть имеется n степеней свободы. q 1, q 2,,

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Метод Лагранжа

Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Метод Лагранжа Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Метод Лагранжа Лекция 6 В. Н. Задорожный, В. Ф. Зальмеж, А. Ю. Трифонов, А. В. Шаповалов Курс: Дифференциальные уравнения Семестр 3, 2009 год portal.tpu.ru

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами

Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами Математический анализ Раздел: дифференциальные уравнения Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами Лектор Пахомова ЕГ 0 г 4 Системы линейных однородных дифференциальных уравнений

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 24

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 24 кафедра «Математическое моделирование» проф П Л Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса -го семестра специальностей РЛ,,3,6, БМТ, Лекция 4 Однородные системы

Подробнее

x 1 x 2 x 3 x k y 1 y 2 y 3 y k

x 1 x 2 x 3 x k y 1 y 2 y 3 y k ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ Е. С. Тверская МГТУ им. Н.Э. Баумана Москва Методы аппроксимации функции. Постановка задачи приближения функции. Задачи, приводящие к задаче приближения функций. Функция

Подробнее

1. Что такое обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Понятие решения. Автономные и неавтономные уравнения. Уравнения и системы порядка

1. Что такое обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Понятие решения. Автономные и неавтономные уравнения. Уравнения и системы порядка 1. Что такое обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Понятие решения. Автономные и неавтономные уравнения. Уравнения и системы порядка выше первого и их сведение к системам первого порядка.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

Системы однородных линейных уравнений

Системы однородных линейных уравнений Системы однородных линейных уравнений А И Буфетов, Н Б Гончарук, Ю С Ильяшенко 10 февраля 2015 г В этом параграфе мы займёмся самым простым типом многомерных дифференциальных уравнений линейными уравнениями

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция Нормальные

Подробнее

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора. Материалы к установочной лекции Вопрос 9. Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.. Матричное представление линейных операторов Будем обозначатьчерез

Подробнее

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского -

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - { общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан однородного линейного дифференциального уравнения

Подробнее

Предварительные сведения теории разностных схем

Предварительные сведения теории разностных схем Предварительные сведения теории разностных схем 1 Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций Получим ряд соотношений, которые в дальнейшем будем использовать при исследовании

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Елабужский государственный педагогический университет. Л.Б. Миронова. Теория устойчивости. Елабуга 2006

Елабужский государственный педагогический университет. Л.Б. Миронова. Теория устойчивости. Елабуга 2006 Елабужский государственный педагогический университет ЛБ Миронова Теория устойчивости Елабуга 6 УДК 579 ББК 6 И 64 Печатается по решению редакционно-издательского совета Елабужского государственного педагогического

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение.

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение. Т е м а : «Л и н е й н а я з а в и с и м о с т ь с и с т е м ы в е к т о р о в» ( т и п о в ы е п р и м е р ы с р е ш е н и я м и ) Пример. Путем приведения элементарными преобразованиями исходной матрицы

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейная алгебра Лекция 3 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейное (векторное) пространство Определение Множество элементов произвольной природы X называется линейным (или векторным) пространством если для любых

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный машиностроительный

Подробнее

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный технический университет Аксёнов АП СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее