Алгебра и теория чисел

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Алгебра и теория чисел"

Транскрипт

1 Московский международный институт эконометрики информатики финансов и права Балюкевич ЭЛ Романников АН Алгебра и теория чисел Москва

2 УДК ББК А Балюкевич ЭЛ Романников АН Алгебра и теория чисел // Московский международный институт эконометрики информатики финансов и права М 6 с Балюкевич ЭЛ г Романников АН г Московский международный институт эконометрики информатики финансов и права г

3 Оглавление ГЛАВА I АЛГЕБРА МАТРИЦ Матрицы Основные определения Действия над матрицами 6 Задания для самостоятельной работы по главе 9 ГЛАВА ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Перестановки и подстановки Определители и их свойства Миноры и алгебраические дополнения 7 Вычисление определителей -го порядка 9 Задания для самостоятельной работы по главе ГЛАВА АЛГЕБРА МАТРИЦ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) Обратная матрица Ранг матрицы Линейная зависимость и независимость строк матрицы 8 Многочленные матрицы Задания для самостоятельной работы по главе 9 ГЛАВА РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Система линейных уравнений Методы решения системы линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера-Карелли 6 Метод Жордана-Гаусса 8 Однородные системы линейных уравнений 6 6 Задания для самостоятельной работы по главе 6 ГЛАВА ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 6 Понятие векторного пространства 6 Линейная зависимость и независимость векторов 6 Базис векторного пространства 67 Изоморфизм векторных пространств 69 Преобразование координат при изменении базиса 7 6 Евклидово пространство 7 7 Ортогональные преобразования 8 8 Выпуклые множества 8 9 Задания для самостоятельной работы по главе 8 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 87 6 Определение линейного оператора 87 6 Характеристический многочлен и характеристическое уравнение 9

4 6 Собственный вектор и собственное число линейного оператора 9 6 Задания для самостоятельной работы по главе 6 99 ГЛАВА 7 КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 7 Определение квадратичной формы 7 Линейное преобразование переменных в квадратичной форме 7 Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду 7 7 Положительно определенные квадратичные формы 7 Задания для самостоятельной работы по главе 7 ГЛАВА 8 ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ 8 Алгебраические операции 8 Полугруппы и моноиды 7 8 Группы: определение и примеры 8 Циклические группы Группы подстановок 8 Кольца: определение свойства примеры 86 Поле6 87 Задания для самостоятельной работы по главе 88 ГЛАВА 9 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ 9 9 Наибольший общий делитель9 9 Наибольшее общее кратное 9 Простые числа 9 Сравнения и классы вычетов 9 Функция Эйлера 96 Функция Мебиуса 97 Задания для самостоятельной работы по главе 9 Список литературы 6

5 ГЛАВА I АЛГЕБРА МАТРИЦ Матрицы Основные определения Матрицей А( а ij ) m называется прямоугольная таблица чисел содержащая m строк и столбцов: m m m Числа ij ( i m ; j ) составляющие данную матрицу называются её элементами; i номер строки матрицы j номер столбца Если m то матрица называется квадратной порядка 7 Например 8 квадратная матрица третьего порядка Про 6 9 элементы такой матрицы говорят что они стоят на главной ii диагонали Треугольная матрица квадратная матрица у которой все элементы стоящие по одну из сторон главной диагонали равны нулю: 8 7 например 6 9 m треугольная матрица третьего порядка Квадратная матрица вида α α называется диагональной матрицей Диагональные матрицы в которых все диагональные элементы равны те α i k ( i ) k cost называются скалярными матрицами Если α i ( i ) то скалярная матрица называется единичной и обозначается буквой Е те: α α

6 E Например матрицы А B E являются соответственно диагональной скалярной и единичной третьего порядка B E 9 Симметрической называется квадратная матрица у которой элементы расположенные симметрично относительно главной диагонали равны те ( i ; j ) ij ji 6 8 Например - симметрическая матрица четвертого порядка Матрица состоящая из одной строки называется векторомстрокой а матрица состоящая из одного столбца вектором-столбцом Матрица все элементы которой равны нулю называется нулевой матрицей и обозначается О Например О - нулевая матрица размера два на три Действия над матрицами Две матрицы ( ) и B b ) ij m ( ij m называются равными АВ если их соответствующие элементы равны те а ij b ij ( i m; j ) Суммой двух матриц ( ij ) m и Β ( b ij ) m называется матрица CB элементы которой с ij равны сумме соответствующих элементов ij и b ij матриц и B те c b Например ij ij 6 9 B 8 C B 7 Для суммы матриц справедливы следующие свойства: BB коммутативность; (BC)(B)C ассоциативность; О ij 6

7 Произведением матрицы ( ij ) m ( b ij ) m на число α называется матрица B элементы которой равны произведению соответствующих элементов матрицы на число α те b ij α ij Например если α а 9 матрица то B α 6 Пусть B C матрицы α β числа Из определения произведения матрицы на число вытекают следующие свойства: α α α ( β Α) ( α β )Α ( α β ) Α α Α β Α О 6 α ( Α Β) α Α α Β Матрица ( ) ( ) называется противоположной матрице Если матрицы и B одинаковых размеров то их разность равна B ( ) B Произведением матрицы ( ij ) порядка m k на матрицу B ( b ij ) порядка k называется матрица C B порядка m элементы которой с ij равны: c ij i b j ib j ikbkj ( i m ; j ) Из определения произведения матриц следует: чтобы получить элемент стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца матрицы С необходимо элементы i-ой строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить Произведение АВ имеет смысл тогда и только тогда когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В В результате получится матрица у которой число строк совпадает с числом строк первого сомножителя а число столбцов с числом столбцов второго сомножителя Для произведения матриц справедливы следующие свойства: (BC) (B)C ( B)C C BC α (B) (α )B C(B) C CB Эти свойства легко доказываются на основе соответствующих определений Произведение двух матриц некоммутативно те в общем случае АВ ВА В случае прямоугольных матриц легко подобрать примеры когда одно из этих произведений не будет существовать из-за невыполнения условия равенства числа столбцов сомножителя стоящего первым числу строк второго сомножителя Очевидно что для квадратных матриц порядка существуют АВ и ВА Однако для всех начиная с можно привести примеры некоммутативных (неперестановочных) матриц 7

8 8 Пример Найти произведение АВ и ВА матриц: А В Решение B ; B Пример Найти произведение матриц А и В B Решение: B ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Если АВВА то матрицы А и В называются коммутативными Так например единичная матрица Е коммутативна с любой квадратной матрицей того же порядка причем АЕЕАА Скалярная матрица может быть представлена в виде произведения элемента матрицы стоящего на ее главной диагонали на единичную матрицу того же порядка: Аα Е Легко видеть что произведение любой квадратной матрицы на скалярную матрицу того же порядка коммутативно Квадратную матрицу А можно возвести в степень для чего ее надо умножить на саму себя раз те Транспонирование матрицы это такое преобразование при котором строки заменяются соответствующими столбцами: m m m m m T

9 Транспонированная матрица обладает следующими свойствами которые следуют из определения: (А / ) / А; (АВ) / А / B / ; (B) / B / / Если матрица А симметрическая то А / А те симметрическая матрица совпадает со своей транспонированной Очевидно что произведение САА / представляет собой симметрическую матрицу Действительно С / (АА / ) / (А / ) / А / АА / С При этом А может быть и прямоугольной матрицей произвольного порядка С же будет квадратной порядка соответствующего числу строк матрицы А В различных приложениях используется понятие нормы матрицы Под нормой матрицы А ( ij ) m понимается действительное число удовлетворяющее условиям: а) причем тогда и только тогда когда АО; б) α α (α - число) и в частности - ; в) B B ; г) B B где А и В матрицы для которых соответствующие операции имеют смысл Для матрицы А(а ij ) m произвольного типа рассматриваются главным образом три вида норм: ) m m ij (m норма); ) l j i j m i ij (l норма); ) k (k норма) i j ij Все они удовлетворяют перечисленным выше условиям Задания для самостоятельной работы по главе

10 cosα siα siα cosα диагонали равны нулю все элементы матрицы стоящие вне главной 6 7 Как изменится произведение АВ матриц А и В если: а) переставить i-ую и j-ую строки матрицы А? б) к i-ой строке матрицы А прибавить j-ую строку умноженную на число с? в) переставить i-ый и j-ый столбцы матрицы В? г) к i-му столбцу матрицы В прибавить j-ый столбец умноженный на число с? 8 Следом квадратной матрицы называется сумма элементов стоящих на главной диагонали Доказать что след АВ равен следу ВА 9 Доказать что если А диагональная матрица и все элементы ее главной диагонали различны между собой то любая матрица перестановочная с А также диагональна Доказать что умножение матрицы А слева на диагональную матрицу B вызывает умножение строк А соответственно на а умножение А на В справа вызывает аналогичное изменение столбцов

11 ГЛАВА ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Перестановки и подстановки Для определения и изучения определителей порядка рассмотрим некоторые понятия относящиеся к конечным множествам Пусть дано некоторое конечное множество N состоящее из элементов Эти элементы пронумеруем с помощью первых натуральных чисел Числа можно помимо их естественного порядка упорядочить многими другими способами Определение Всякое расположение чисел в некотором определенном порядке называется перестановкой из чисел (символов) Число различных перестановок из символов равно произведению! (читается факториал) Если в некоторой перестановке поменять местами какие-либо два символа не обязательно стоящие рядом а все остальные символы оставить на месте то получим новую перестановку Такое преобразование называется транспозицией Пусть α α α некоторая перестановка чисел Говорят что в данной перестановке числа α i и α j образуют инверсию (беспорядок) если α > α и i<j Общее число инверсий в перестановке i α α α обозначим через iv( α α j α ) Перестановка называется четной если iv( α α ) четное α число или ноль и нечетной в противоположном случае Пример Определить четность перестановки 6 Решение Число образует четыре инверсии с числами Число образует две инверсии с числами и Число не образует инверсий Число 6 образует инверсии с числами и Число образует одну инверсию с числом Общее число инверсий iv( 6 )9 следовательно данная перестановка является нечетной Очевидно что перестановка четна при любом так как общее число инверсий iv( ) Теорема Всякая транспозиция меняет четность перестановки Определение Всякое взаимно однозначное отображение множества первых натуральных чисел на себя называется подстановкой ой степени Всякая подстановка может быть записана при помощи двух перестановок i k i i i α i α i α i где α i это то число в которое при подстановке переходит число k k

12 Существуют различные формы записи подстановок которые получают транспозицией нескольких столбцов Всякая подстановка ой степени может быть записана в виде α α α те с естественным расположением чисел в верхней строке Очевидно что при такой форме записи подстановки отличаются друг от друга перестановками стоящими в нижней строке Поэтому число различных подстановок ой степени равно числу перестановок из символов те равно! Определение Подстановка называется четной если общее число инверсий в двух строках любой ее записи четно и нечетной в противоположном случае Покажем что четность подстановки не зависит от формы ее записи Рассмотрим произвольную запись некоторой подстановки i i α i α i i α i Перестановки составляющие верхнюю и нижнюю строки этой записи могут иметь или одинаковые или противоположные четности Переход к любой другой записи подстановки можно осуществить с помощью нескольких транспозиций столбцов причем каждая транспозиция меняет четность обеих перестановок и следовательно сохраняет совпадение или противоположность четностей Определители и их свойства Свяжем с каждой квадратной матрицей А( ij ) m определенную численную характеристику называемую определителем соответствующим этой матрице и обозначим его Если те А ( ) то определитель первого порядка соответствующий этой матрице равен величине элемента те Если то матрица А имеет вид () Определителем второго порядка соответствующим этой матрице назовем число () Формула () представляет собой правило вычисления определителя второго порядка по элементам соответствующей ему матрицы

13 Перейдем теперь к понятию определителя соответствующего матрице А порядка > и установим общий закон по которому определитель любого порядка будет выражаться через элементы соответствующей ему матрицы Всякий член определителя второго порядка есть произведение двух элементов стоящих как в разных строках так и в разных столбцах матрицы А причем в качестве членов определителя использованы все произведения такого вида какие только можно составить из элементов матрицы второго порядка (их всего два) Пусть дана квадратная матрица А порядка : () Рассмотрим всевозможные произведения по элементов этой матрицы расположенных в разных строках и в разных столбцах те произведения вида α α α () где индексы α α α составляют некоторую перестановку из чисел Число таких произведений равно числу различных перестановок из символов те равно! Будем считать все эти произведения членами определителя порядка соответствующего матрице () Определим знак с каким произведение () входит в состав определителя Рассматривая определитель второго порядка () отметим что член входит со знаком плюс если его индексы составляют четную подстановку и со знаком минус если его индексы составляют нечетную подстановку Распространим и эту закономерность на определитель порядка Определение Определителем порядка соответствующим матрице () называется алгебраическая сумма! членов составленная из всевозможных произведений элементов этой матрицы взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца причем член берется со знаком плюс если его индексы составляют четную подстановку и со знаком минус в противоположном случае те

14 ! iv( α α α ) ( ) α α α () где суммирование распространяется на всевозможные перестановки из чисел Рассмотрим свойства определителей Свойство равноправности строк и столбцов При транспонировании те при замене каждой строки определителя столбцом с тем же номером определитель не меняется Пусть определитель (6) соответствует матрице А / полученной транспонированием матрицы А Всякий член определителя () имеет вид α α α (7) где вторые индексы составляют некоторую перестановку из чисел Однако все множители произведения (7) и в определителе (6) остаются в разных строках и в разных столбцах те (7) является членом и для транспонированного определителя / Верно очевидно и обратное и поэтому определители () и (6) состоят из одних и тех же членов Знак члена (7) в определителе () определяется четностью подстановки α α α (8) а знак члена (7) в определителе (6) определяется четностью подстановки α α α (9)

15 Подстановки (8) и (9) имеют очевидно одну и ту же четность Следовательно определители () и (6) имеют одинаковые члены взятые с одинаковыми знаками те равны друг другу Доказанное свойство означает равноправность строк и столбцов определителя и позволяет все последующие свойства доказывать лишь для строк не доказывая их справедливость для столбцов Свойство антисимметрии при перестановке двух строк При перестановке двух строк определитель сохраняет свою абсолютную величину но меняет знак на противоположный Пусть в определителе () переставляются i ая и j ая строки а все остальные строки остаются на месте В результате получим определитель () j i j i j i ( i) ( j) () Если (7) есть член определителя () то все его множители и в определителе () остаются очевидно в разных строках и в разных столбцах Таким образом определители () и () состоят из одних и тех же членов Члену (7) в определителе () соответствует подстановка i j α α αi α j α () а в определителе () подстановка j i α α αi α j α () тк элемент i ij стоит в () в j ой строке но остается в i α -ом столбце Подстановка () получена из подстановки () одной транспозицией в верхней строке те имеет противоположную четность

16 Отсюда следует что все члены определителя () входят в определитель () с обратными знаками те определители отличаются друг от друга лишь знаком Линейное свойство определителя Будем говорить что некоторая строка ( ) линейной комбинацией строк ( b b b ) и ( c c c ) является с коэффициентами и µ если j b j µ c j j Если в определителе го порядка некоторая i-ая строка ( i i i ) является линейной комбинацией строк ( b b b ) и ( c c c ) с коэффициентами и µ то µ где определитель у которого i ая строка равна ( b b b ) а все остальные те же что и у а определитель у которого i ая строка равна ( c c c ) а все остальные строки те же что и у Всякий член определителя можно представить в виде b µ c α α α α iα i b α i α α α α µ α ( ) α α i c α i α i α α Группируя первые и вторые слагаемые и вынося общие множители получим µ Линейное свойство справедливо и для случая когда i ая строка является линейной комбинацией m строк m > Доказанные три свойства являются основными свойствами определителя Следующие пять свойств являются логическими следствиями трех основных свойств Следствие Определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю Действительно при перестановке двух одинаковых строк с одной стороны определитель не изменится а с другой стороны в силу свойства изменит знак на противоположный Таким образом - откуда Следствие Умножение всех элементов некоторой строки определителя на число равносильно умножению определителя на это число Иными словами общий множитель всех элементов можно вынести за знак этого определителя Это свойство следует из свойства при µ 6

17 Следствие Если все элементы некоторой строки определителя равны нулю то и сам определитель равен нулю Это свойство вытекает из предыдущего при Следствие Если элементы двух строк определителя пропорциональны то определитель равен нулю Действительно в силу следствия множитель пропорциональности можно вынести за знак определителя после чего останется определитель с двумя одинаковыми строками который равен нулю Следствие Если к элементам некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементы другой строки умноженные на произвольный множитель то величина определителя не изменится Действительно полученный в результате определитель в силу свойства можно разбить на сумму двух определителей первый из которых совпадает с исходным а второй в силу следствия равен нулю Следствие широко применяется при вычислении определителей порядка Замечание В силу свойства все доказанные утверждения справедливы и для столбцов определителя Миноры и алгебраические дополнения Вычисление определителей на основании данного выше определения представляет некоторые трудности Существует более простой метод вычисления определителей основанный на том что определитель порядка может быть выражен через определители более низких порядков Пусть дана квадратная матрица ( ij ) Будем называть минором элемента ij матрицы А определитель (-)-го порядка соответствующий матрице которая получается из матрицы А вычеркиванием i ой строки и j го столбца Минор элемента ij будем обозначать символом M ij 7 7 Например 8 M Алгебраическим дополнением ij элемента j называется его минор взятый со знаком (-) 8 Например в предыдущей матрице 9 ij матрицы А i j ij M i те ( ) ij 7

18 Теорема Произведение любого элемента ij на его алгебраическое дополнение в определителе является алгебраической суммой слагаемые которой будут некоторыми членами определителя причем их знаки в этой сумме совпадают с теми знаками с которыми они входят в состав определителя Покажем сначала что произведение является алгебраической суммой слагаемые которой удовлетворяют условию теоремы В определителе М занимает правый нижний угол Число ij является в этом случае четным и поэтому M Произвольный член α α α () M имеет в миноре M знак ( ) iv(α α α ) есть число инверсий в подстановке α iv( α α α ) α где Умножая на () получим произведение α α α () элементов расположенных в разных строках и разных столбцах определителя Поэтому каждое такое произведение () будет членом определителя Знаки членов () и () совпадают так как знак члена () определяется выражением iv( α α α ) iv( α α α ) ( ) ( ) ( ) Такой же знак имеет каждый член () и в определителе так как четность подстановки α α составленной из индексов этого члена определяется выражением ( ) iv( α α α ) Перейдем к рассмотрению общего случая Переставляя соседние строки и столбцы определителя передвинем произвольный элемент ij в левый верхний угол Для этой цели переставим i ую строку на (i ) раз и j ый столбец на (j ) раз Очевидно что при данной перестановке взаимное расположение строк и α 8

19 столбцов в миноре M ij остается без изменения После этих преобразований получим новый определитель с тем же минором M ij для элемента ij но расположенный в правом нижнем углу определителя Как доказано выше произведение ij M ij является суммой некоторого числа членов определителя Однако определитель получен из определителя путем (ij-) перестановок строк и столбцов и поэтому члены определителя отличаются от j соответствующих членов определителя лишь знаком ( ) i Отсюда i j следует что произведение ( ) ij M ij состоит из некоторого количества членов определителя взятых с такими же знаками какие они имеют в этом определителе Теорема доказана Вычисление определителей -го порядка Полученные в предыдущем параграфе результаты позволяют свести вычисление определителей порядка к вычислению нескольких определителей порядка - Действительно ij ij является суммой нескольких членов определителя Легко подсчитать число этих членов: оно равно числу членов в миноре M ij те равно (-)! Рассмотрим теперь все произведения элементов i-ой строки на соответствующие им алгебраические дополнения те произведения i i i i i i () С одной стороны никакой член определителя не может войти в состав двух разных произведений () так как все члены определителя входящие в любое произведение ij ij ( j ) содержат из i-й строки элемент ij и поэтому отличается от членов входящих в остальные произведения С другой стороны общее число членов определителя входящих во все произведения () равно (( )!)! те совпадает с числом членов определителя порядка Таким образом мы доказали что имеет место следующая теорема Теорема Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки на их алгебраические дополнения те i i i i i i () Аналогично разложение определителя можно получить и по любому его столбцу Теорема Сумма произведений элементов какой-либо строки (или какого-либо столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (другого столбца) равна нулю Перепишем выражение () в виде 9

20 i i i i i i () так как алгебраические дополнения ij не зависит от элементов i- ой строки то равенство () является тождеством относительно элементов i i i Заменив элементы i i i соответствующими элементами любой k-ой строки k i получим k k k k k k k k k k k k () Левая часть равенства () есть определитель содержащий две одинаковые строки и следовательно равна нулю Теорема доказана Вычисление определителей -го порядка производится на основании соотношения () разложением определителя по элементам какой-либо строки или какого-либо столбца В этом случае необходимо вычислить определителей порядка - Используя следствие можно свести вычисления определителя порядка к вычислению лишь одного определителя порядка (-) Для этого на основании следствия необходимо так преобразовать определитель порядка чтобы некоторая строка (столбец) содержала только один ненулевой элемент Пример Вычислить определитель Решение На основании свойства определителей именно следствия преобразуем данный определитель следующим образом: из элементов второго столбца вычтем удвоенные соответствующие элементы первого столбца:

21 Элемент назовем направляющим элементом Второй столбец преобразуем в единичный с единицей на месте направляющего элемента Для этого ко второй и к четвертой строкам прибавим направляющую пятую строку соответственно умноженную на и на Тогда Разложим определитель по элементам второго столбца 6 8 Из элементов второй строки вычтем удвоенные соответствующие элементы первой строки ( ) Выбирая в качестве направляющего элемента элемент преобразуем вторую строку в единичную Для этого ко второму третьему и четвертому столбцам прибавим первый столбец умноженный на Разложим определитель по элементам второй строки: 7 ( ) ( ) 6 7 Вычтем из второй строки первую и разложим определитель по элементам второй строки В результате получим

22 ( ) (6 7) Задания для самостоятельной работы по главе siα si β cos β cosα t t t t t t t t logb log b cos β cosα siα si β Доказать что для равенства нулю определителя второго порядка необходимо и достаточно чтобы его строки были пропорциональны То же верно и для столбцов (если некоторые элементы определителя равны нулю то пропорциональность можно понимать в том смысле что элементы одной строки получаются из соответствующих элементов другой строки умножением на одно и то же число быть может равное нулю) b 6 Показать что значение дроби где по крайней мере c d одно из чисел с или d отлично от нуля тогда и только тогда не зависит b от значения х когда c d 7 Найти наибольшее значение которое может принимать определитель -го порядка при условии что все его элементы равны или (-) 8 Найти наибольшее значение которое может принимать определитель -го порядка при условии что все его элементы равны или 9 Доказать что от любой перестановки чисел содержащей k инверсий можно перейти к исходному положению путем k смежных транспозиций но нельзя перейти путем меньшего числа таких транспозиций Выбрать значения i и k так чтобы произведение 6i k 6 входило в определитель 6-го порядка со знаком минус

23 Вычислить определитель в котором все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю Решить уравнение Доказать что определитель не изменится если к каждому столбцу начиная со второго прибавить предыдущий столбец Разлагая по -ей строке вычислить определитель Вычислить определитель b 8 c d 6 7 6

24 ГЛАВА АЛГЕБРА МАТРИЦ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) Обратная матрица Пусть задана квадратная матрица ( ij ) порядка Определение Квадратная матрица А - порядка называется обратной к матрице А если она удовлетворяет соотношению E () Присоединенной матрицей квадратной матрицы А называется матрица А* каждый элемент ij которой есть алгебраическое дополнение элемента ij транспонированной матрицы А те * Квадратная матрица А называется невырожденной (неособенной) если ее определитель отличен от нуля и вырожденной если Теорема Для всякой невырожденной матрицы А существует единственная обратная матрица А - определяемая следующим выражением: * () Доказательство Докажем сначала единственность Предположим что существуют две различные обратные матрицы и Тогда имеем E () E () ( ) ( ) Из двух последних равенств следует что Покажем теперь что выражение () действительно задает обратную матрицу Составим произведение АА * Очевидно что элементами данного произведения являются суммы произведений элементов строк матрицы А на алгебраические дополнения те ik jk Как известно из гл при ij ik jk В итоге получаем k k

25 или * E * E * откуда В заключение отметим что А * перестановочна с А те * * что видно непосредственно Теорема доказана Пример Вычислить обратную матрицу для матрицы А равной: Решение 7 Вычислим присоединенную матрицу А * : А - А - А - А * ; Проверкой убеждаемся что АА - Е Обратная матрица обладает следующими свойствами: Определитель обратной матрицы равен обратной величине определителя исходной матрицы те - Произведение двух невырожденных матриц А и В является невырожденной матрицей и ( ) B B Если матрица А невырожденная то ( ) Обратная матрица к транспонированной является транспонированной матрицей к обратной те ( ') ( )' Ранг матрицы Рассмотрим прямоугольную матрицу ( ij ) m Выделим в матрице произвольно k строк и k столбцов ( k m k ) Определитель М к стоящий на пересечении выделенных строк и столбцов называется минором k-го порядка матрицы А Число миноров k-го порядка равно k k C mc Определение Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля ее миноров Ранг матрицы обозначается r() Ранг матрицы равен нулю только у нулевой матрицы Если матрица отлична от нулевой то { m } r ( ) mi

26 Если ранг матрицы равен r то среди миноров этой матрицы есть по крайней мере один минор M r порядка r отличный от нуля а все миноры порядков (r) и выше равны нулю Следует отметить что если все миноры некоторого порядка матрицы А равны нулю то равны нулю все миноры более высоких порядков Справедливость этого утверждения следует из теоремы о разложении определителя Одним из способов вычисления ранга матрицы является метод элементарных преобразований матрицы Перечислим элементарные преобразования: Перестановка двух строк или столбцов Умножение всех элементов строки или столбца на любое число отличное от нуля Прибавление ко всем элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца) умноженных на одно и то же число Теорема При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется Доказательство Справедливость теоремы относительно преобразований и доказывается на основании соответствующих свойств определителей Докажем теорему относительно преобразования Рассмотрим матрицу В полученную из матрицы прибавлением к i-му столбцу k-го столбца умноженного на число : B m m i i mi k k mk k k mk m Пусть ранг матрицы А равен r(а) Покажем что r( B) r( ) Для этого докажем что любой минор M r порядка r матрицы В равен нулю Рассмотрим минор M r матрицы В который не содержит i-ый столбец В этом случае M r в точности соответствует некоторому минору порядка r матрицы А и следовательно равен нулю Если минор M r содержит i-ый и k-ый столбцы то по свойству определителей он равен сумме двух миноров порядка r причем один из них равен нулю так как совпадает с минором (r)-го порядка матрицы А а второй минор равен нулю так как i-ый и k-ый столбцы его пропорциональны Пусть минор M r содержит i-ый столбец но не содержит k-ый столбец В этом случае минор M r равен сумме двух миноров один из которых совпадает с минором порядка (r) матрицы А и поэтому равен 6

27 нулю а второй минор равен нулю так как отличается от соответствующего минора матрицы А множителем Таким образом r( B) r( ) () Матрицу А можно получить из матрицы В с помощью элементарного преобразования следовательно r( ) r( B) () Из полученных равенств () и () следует что r ( ) r( B) Теорема доказана С помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к виду содержащему единичную подматрицу порядка r Пример Вычислить ранг матрицы с помощью элементарных преобразований 7 9 Решение Осуществим над матрицей А элементарные преобразования: () 7 9 Прибавим ко второй строке матрицы первую строку умноженную на ( ) третью строку оставим без изменения к четвертой строке прибавим первую строку умноженную на ( ) Получим матрицу () Прибавим первый столбец умноженный на ( ) на ( ) на ( ) и на ( ) соответственно ко второму третьему четвертому и пятому столбцам Затем вторую строку прибавим к третьей и четвертой строкам Умножим вторую строку на Получим: 7

28 () 7 9 Прибавим второй столбец умноженный на нужные множители к третьему четвертому и пятому столбцам: () r() Определение Минор M r отличный от нуля называется базисным минором матрицы Число базисных миноров матрицы А ( ij ) m не r r больше чем C mc Строки и столбцы на пересечении которых стоит некоторый базисный минор называются базисным Линейная зависимость и независимость строк матрицы Введем понятие линейной зависимости и независимости строк матрицы Пусть дана некоторая матрица А ( ij ) m и l l lm ее строки Будем говорить что k-ая ( k m ) строка матрицы является линейной комбинацией остальных ее строк (линейно выражается через остальные) если l k l l k lk k lk mlm () где k k m какие-то числа (некоторые из этих чисел или даже все могут быть равны нулю) Это означает наличие следующих равенств между элементами столбцов: k k k k k k k k k k! k k! R R R m m m m или ij j i i k i ij Из () вытекает что l l k lk ( ) lk k lk mlm () где нулевая строка m m 8

29 Определение Строки l l lm матрицы А линейно зависимы если существуют такие числа α α α m не все равные нулю одновременно что α l α l α mlm () Если равенство () справедливо тогда и только тогда когда α α αm то строки l l lm называются линейно независимыми Соотношение () показывает что если одна из строк линейно выражается через остальные то строки линейно зависимы Легко видеть и обратное: если строки линейно зависимы то найдется строка которая будет линейной комбинацией остальных строк Пусть например в () α тогда α α l l m lm α α Определение Пусть в матрице А выделен некоторый минор r-го порядка M r и пусть минор (r)-го порядка этой же матрицы M r целиком содержит внутри себя минор M r Будем говорить что в этом случае минор M r окаймляет минор M r (или M r является окаймляющим для M ) r Теперь докажем важную лемму Лемма об окаймляющих минорах Если минор M r порядка r матрицы А ( ij ) m отличен от нуля а все окаймляющие его миноры равны нулю то любая строка (столбец) матрицы А является линейной комбинацией ее строк (столбцов) составляющих M r Доказательство Не нарушая общности рассуждений будем считать что отличный от нуля минор r-го порядка M r стоит в левом верхнем углу матрицы А ( r m ij ) m : r m 9 r r rr mr r m Для первых k строк матрицы А утверждение леммы очевидно: достаточно в линейную комбинацию включить эту же строку с коэффициентом равным единице а остальные с коэффициентами равными нулю Докажем теперь что и остальные строки матрицы А линейно выражаются через первые k строк Для этого построим минор (r)-го порядка M r путем добавления к минору M r k-ой строки ( r k m ) и l- го столбца ( l ):

30 M r k r l r r k Полученный минор равен нулю при всех k и l Если l r то он равен нулю как содержащий два одинаковых столбца Если l > r то полученный минор M r является окаймляющим минором для M r и следовательно равен нулю по условию леммы Разложим минор M r по элементам последнего l-го столбца: l l rl r kl r () где r - алгебраические дополнения к элементам l l kl Алгебраические дополнение r есть минор M r матрицы А поэтому r Разделим () на r и выразим kl через l l rl : kl γ i где γ i i r r Полагая l получим: γ γ γ k k k l γ l γ rrl () γ γ γ γ r r r r γ γ r r r rr kr l rl kl (6) Выражение (6) означает что k-я строка матрицы А линейно выражается через первые r строк Так как при транспонировании матрицы значения ее миноров не изменяются (ввиду свойства определителей) то все доказанное справедливо и для столбцов Теорема доказана Следствие I Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией ее базисных строк (столбцов) Действительно базисный минор матрицы отличен от нуля а все окаймляющие его миноры равны нулю Следствие II Определитель -го порядка тогда и только тогда равен нулю когда он содержит линейно зависимые строки (столбцы) Достаточность линейной зависимости строк (столбцов) для равенства определителя нулю доказана ранее как свойство определителей Докажем необходимость Пусть задана квадратная матрица -го порядка единственный минор которой M равен нулю Отсюда следует

31 что ранг этой матрицы меньше те найдется хотя бы одна строка которая является линейной комбинацией базисных строк этой матрицы Докажем еще одну теорему о ранге матрицы Теорема Максимальное число линейно независимых строк матрицы равно максимальному числу ее линейно независимых столбцов и равно рангу этой матрицы Доказательство Пусть ранг матрицы А ( ij ) m равен r Тогда любые ее k базисных строк являются линейно независимыми иначе базисный минор M r был бы равен нулю С другой стороны любые r и более строк линейно зависимы Предположив противное мы могли бы найти минор порядка более чем r отличный от нуля по следствию предыдущей леммы Последнее противоречит тому что максимальный порядок миноров отличных от нуля равен r Все доказанное для строк справедливо и для столбцов В заключение изложим еще один метод нахождения ранга матрицы Ранг матрицы можно определить если найти минор максимального порядка отличный от нуля На первый взгляд это требует вычисления хотя и конечного но быть может очень большого числа миноров этой матрицы Следующая теорема позволяет однако внести в этот значительные упрощения Теорема Если минор M r матрицы А отличен от нуля а все окаймляющие его миноры равны нулю то ранг матрицы равен r Доказательство Достаточно показать что любая подсистема строк * * * матрицы l l ls при S>r будет в условиях теоремы линейно зависимой (отсюда будет следовать что r максимальное число линейно независимых строк матрицы или любые ее миноры порядка больше чем k равны нулю) * * * Предположим противное Пусть строки l l ls линейно независимы По лемме об окаймляющих минорах каждая из них будет линейно выражаться через строки l l ls в которых стоит минор M r и которые ввиду того что M отличен от нуля линейно независимы: r l * l l * * s α l α l α l s α l α α l l α l r α r s sr r l α l r r (7) Рассмотрим матрицу К из коэффициентов линейных выражений (7):

32 α α K α S α α α S α к α r α Sr Строки этой матрицы обозначим через K K K S Они будут линейно зависимы так как ранг матрицы К те максимальное число ее линейно независимых строк не превышает r<s Поэтому существуют такие числа β β β S не все равны нулю что β K β K β S K S Перейдем к равенству компонент S i β j r (8) iα ij Теперь рассмотрим следующую линейную комбинацию: S * * * βl β S l или i β l S β i l * i Используя (7) и (8) получаем S S * r r S β ili βi αij l βiαij l j j i i j j i * * * что противоречит линейной независимости строк l l ls Следовательно наше предположение неверно и значит любые S>r строк в условиях теоремы линейно зависимы Теорема доказана Рассмотрим правило вычисления ранга матрицы метод окаймляющих миноров основанный на данной теореме При вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков Если уже найден минор r-го порядка M r отличный от нуля то требуется вычислить лишь миноры (r)-го порядка окаймляющие минор M r Если они равны нулю то ранг матрицы равен r Этот метод применяется и в том случае если мы не только вычисляем ранг матрицы но и определяем какие столбцы (строки) составляют базисный минор матрицы Пример Вычислить методом окаймляющих миноров ранг матрицы 7 9 Решение Минор второго порядка стоящий в левом верхнем углу матрицы А отличен от нуля:

33 M Однако все окаймляющие его миноры третьего порядка равны нулю: () () M ; M ; 7 9 () () M ; M ; () (6) M ; M Следовательно ранг матрицы А равен двум: r ( ) Первая и вторая строки первый и второй столбцы в данной матрице являются базисными Остальные строки и столбцы являются их линейными комбинациями В самом деле для строк справедливы следующие равенства: l l ( ) l l l ( ) l В заключение отметим справедливость следующих свойств: ) ранг произведения матриц не больше ранга каждого из сомножителей; ) ранг произведения произвольной матрицы А справа или слева на невырожденную квадратную матрицу Q равен рангу матрицы А Многочленные матрицы Определение Многочленной матрицей или -матрицей называется прямоугольная матрица элементы которой являются многочленами от одного переменного с числовыми коэффициентами Над -матрицами можно совершать элементарные преобразования К ним относятся: - перестановка двух строк (столбцов); - умножение строки (столбца) на число отличное от нуля; - прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца) умноженной на любой многочлен f ( ) Две -матрицы () и B () одинаковых размеров называются эквивалентными: ( ) ~ B( ) если от матрицы () к B () можно перейти с помощью конечного числа элементарных преобразований

34 Пример Доказать эквивалентность матриц ( ) ( )( ) B ( ) Решение Поменяем местами в матрице () первый и второй столбцы: ( ) ~ Из второй строки вычтем первую умноженную на ( ): ( ) ~ Умножим вторую строку на ( ) и заметим что ( )( ) Получим ( ) ~ ( )( ) Вычтем из второго столбца первый умноженный на ( ) получим ( ) ~ ( )( ) Множество всех -матриц данных размеров [ m ] разбивается на непересекающиеся классы эквивалентных матриц Матрицы эквивалентные между собой образуют один класс не эквивалентные - другой Каждый класс эквивалентных матриц характеризуется канонической или нормальной -матрицей данных размеров Определение Канонической или нормальной -матрицей размеров [ m ] называется -матрица у которой на главной диагонали стоят многочлены E ( ) E( ) E p ( ) где р - меньшее из чисел m и ( p mi{ m } ) причем не равные нулю многочлены имеют старшие коэффициенты равные и каждый следующий многочлен делиться на предыдущий Все элементы вне главной диагонали равны Из определения следует что если среди многочленов имеются многочлены нулевой степени то они в начале главной диагонали Если имеются нули то они стоят в конце главной диагонали Матрица B () предыдущего примера есть каноническая Матрица

35 C ( ) ( ) также каноническая Каждый класс -матриц содержит единственную каноническую -матрицу те каждая -матрица эквивалентна единственной канонической матрице которая называется канонической формой или нормальной формой данной матрицы Многочлены стоящие на главной диагонали канонической формы данной -матрицы называются инвариантными множителями данной матрицы Один из методов вычисления инвариантных множителей состоит в приведении данной -матрицы к канонической форме Так для матрицы C () предыдущего примера инвариантными множителями являются E ( ) E ( ) E ( ) ( ) E ( ) Из сказанного следует что наличие одной и той же совокупности инвариантных множителей является необходимым и достаточным условием эквивалентности -матриц Приведение -матриц к каноническому виду сводится к определению инвариантных множителей Dk ( ) ( ) E k k r ; D Dk( ) где r ранг -матрицы; D k - наибольший общий делитель миноров k-го порядка взятый со старшим коэффициентом равным Пример Пусть дана -матрица ( ) Решение Очевидно наибольший общий делитель первого порядка D те E ( ) Определим миноры второго порядка: ( ) и тд Уже этих данных достаточно для того чтобы сделать вывод: D D следовательно E D Определяем D

36 D ( ) ( ) ( ) Следовательно E Таким образом канонической формой данной матрицы является следующая -матрица: ( ) Матричным многочленом называется выражение вида S S F ( ) S где - переменное; S - квадратные матрицы порядка с числовыми элементами Если то S называют степенью матричного многочлена порядком матричного многочлена Любую квадратичную -матрицу можно представить в виде матричного многочлена Справедливо очевидно и обратное утверждение те любой матричный многочлен можно представить в виде некоторой квадратной -матрицы Справедливость данных утверждений со всей очевидностью вытекает из свойств операций над матрицами Остановимся на следующих примерах: Пример Представить многочленную матрицу ( ) в виде матричного многочлена можно следующим образом Пример Матричный многочлен G ( ) можно представить в виде следующей многочленной матрицы ( - матрицы) ( ) G Эта взаимозаменяемость матричных многочленов и многочленных матриц играет существенную роль в математическом аппарате методов факторного и компонентного анализа 6

37 7 Матричные многочлены одинакового порядка можно складывать вычитать и умножать аналогично обычным многочленам с числовыми коэффициентами Следует однако помнить что умножение матричных многочленов вообще говоря не коммутативно тк не коммутативно умножение матриц Два матричных многочлена называются равными если равны их коэффициенты те соответствующие матрицы при одинаковых степенях переменного Суммой (разностью) двух матричных многочленов ( ) F и ( ) G называется такой матричный многочлен у которого коэффициент при каждой степени переменного равен сумме (разности) коэффициентов при той же степени в многочленах ( ) F и ( ) G Чтобы умножить матричный многочлен ( ) F на матричный многочлен ( ) G нужно каждый член матричного многочлена ( ) F умножить на каждый член матричного многочлена ( ) G сложить полученные произведения и привести подобные члены Степень матричного многочлена произведения ( ) F ( ) G меньше или равна сумме степеней сомножителей Операции над матричными многочленами можно осуществлять с помощью операций над соответствующими -матрицами Чтобы сложить (вычесть) матричные многочлены достаточно сложить (вычесть) соответствующие -матрицы То же относится к умножению -матрица произведения матричных многочленов равна произведению -матриц сомножителей Пример ( ) F ( ) G ( ) ( ) G F С другой стороны ( ) F и ( ) G можно записать в виде ( ) F и ( ) G ( ) ( ) G F Так как умножение матриц не коммутативно для матричных многочленов определяются два деления с остатком правое и левое Пусть даны два матричных многочлена порядка

38 S S t t ( ) S G ( ) B B Bt F где В невырожденная матрица При делении F ( ) на G ( ) существует однозначно определенное правое частное Q ( ) и правый остаток R ( ) F ( ) Q ( ) G( ) R ( ) где степень R меньше степени G ( ) или R ( ) (деление без остатка) а также левое частное Q ( ) и левый остаток R ( ) F ( ) G( ) Q ( ) R ( ) где степень R ( ) меньше степени G ( ) или R ( ) (деление без остатка) Обобщённая теорема Безу При делении матричного многочлена F ( ) на многочлен ( E ) правый остаток равен правому значению F при те матрице делимого ( ) S S пр ) S F( R () а левый остаток левому значению делимого F ( ) при те матрице S S F( лев ) S R () Доказательство Доказательство справедливости обеих формул () и () осуществляется одинаково непосредственной подстановкой Докажем одну из них Итак делимое - F () делитель - G E в качестве частного имеем многочлен S S S Q ( ) ( ) ( ) ( S S S Определим произведение ( E ) Q ( ) : ( ( S S ( ) S S ( ) S S ) ( ) ) ( S ) S S S S S S ( S S ( S ) F( ) ( E ) Q ( S S F( ) ( E ) Q ( ) ( S S S R S S S S S S ) те ) или ) те что и требовалось доказать S ) 8

39 9 Следствие ( ) F делится справа (слева) на многочлен ) ( E тогда и только тогда когда ) ( ) ( ) ( R F R F лев пр равно Пример Показать что матричный многочлен ( ) F делится на матричный многочлен ) ( E где слева без остатка Решение В самом деле справедливо равенство ( ) ( ) ) ( R Q E F где R ; E ( ) Q Подсчитаем значение левого остатка по теореме Безу R Задания для самостоятельной работы по главе Найти обратную матрицу 6 Найти обратную матрицу порядка Найти обратную матрицу порядка

40 Найти обратную матрицу порядка Найти обратную матрицу cosα siα siα cosα 6 Найти обратную матрицу порядка () 7 Найти обратную матрицу порядка 8 Как изменится обратная матрица если в данной матрице : а) переставить i-ую и j-ую строки? б) i-ую строку умножить на число с не равное нулю? в) к i-ой строке прибавить j-ую умноженную на число с или совершить аналогичное преобразование столбцов?

41 Ek U 9 Найти матрицу обратную для матрицы где O El E k и E l единичные матрицы соответственно порядков k и l U произвольная матрица порядка k l а все остальные элементы равны нулю Показать что операция транспонирования матрицы обладает свойствами: а) ( B) B ; б) ( B ) B ; в) ( c ) c ; г) ( ) ( ) где с число а А и В матрицы Доказать что если А и В симметрические квадратные матрицы одинакового порядка то матрица C B B B является симметрической Показать что для любой матрицы В матрица B B является симметрической Квадратная матрица ( ij ) порядка называется ортогональной если E где Е единичная матрица Показать что для ортогональности квадратной матрицы А необходимо и достаточно любое из следующих условий: а) столбцы А образуют ортонормированную систему те k j i ki kj δ j i где δ символ Кронекера обозначающий при ij и при б) строки А образуют ортонормированную систему те k j i ik jk δ i j ; Доказать что ранг суммы двух матриц не больше суммы их рангов Доказать что если ранг матрицы А равен r то минор d стоящий на пересечении любых r линейно независимых строк и r линейно независимых столбцов этой матрицы отличен от нуля

42 ГЛАВА РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Система линейных уравнений Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система m алгебраических уравнений первой степени вида b m где m m b b m () j j - неизвестные подлежащие определению; ij - числа называемые коэффициентами при неизвестных; b i - числа называемые свободными членами Решением системы уравнений () называется совокупность чисел α α α таких что если в каждое уравнение системы вместо неизвестных подставить эти числа ( α вместо α вместо α вместо ) то все уравнения обратятся в тождества Если система линейных уравнений () имеет хотя бы одно решение то она называется совместной В противном случае система называется несовместной Совместная система имеющая единственное решение называется определенной а система имеющая более одного решения неопределенной Две системы линейных уравнений называются эквивалентными если любое решение каждой из них является одновременно решением и другой системы Две произвольные несовместные системы считаются эквивалентными Системе линейных уравнений () поставим в соответствие и расширенную матрицу матрицу ( ij ) m b ~ b m m m bm полученную присоединением к матрице А столбца свободных членов

43 Методы решения системы линейных уравнений с неизвестными Рассмотрим систему линейных уравнений с неизвестными b b b () Определитель матрицы А называется определителем системы () Теорема Крамера Если определитель системы () отличен от нуля то система совместна и имеет единственное решение Доказательство Пусть система () совместна и α α α - одно из ее решений Тогда получим тождеств: α α α b α α α α α b α b () Умножим обе части первого из равенств () на алгебраическое дополнение А j обе части второго равенства умножим на алгебраическое дополнение А j и тд и обе части -ого равенства на А j Складывая левые и правые части полученных выражений придем к следующему равенству: ( А j ( А j j А j А j j ) α b А А j j b А А j j ) α ( j А j b j А А j j ) α ( А j А j А А j j ) α () Коэффициент при α j равен определителю системы () коэффициент при α α α j α j α равен нулю а правая часть равенства () является определителем полученным из определителя путем замены j-го столбца столбцом свободных членов Обозначим данный определитель через b b b j j j j

44 Тогда равенство () примет вид: j j А α откуда j j j α () Из формулы () следует что если система () совместна то она обладает единственным решением Формулы () называются формулами Крамера Непосредственной подстановкой значений j j j α во все уравнения системы убедимся в том что они образуют ее решение: k j kj ij k j k kj k ij j j ij j j ij b b При k i ; j kj ij при k i j ij kj Таким образом получим i b b i i j j ij Теорема доказана Пример Решить систему линейных уравнений методом Крамера: 7 Решение Вычислим определитель : 9 А 9 ) ( 7 А 7 7 А А

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВК Барышева, ЕГ

Подробнее

Глава 3. Определители

Глава 3. Определители Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АЛМАТИНСКИЙ ФИЛИАЛ НЕГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОФСОЮЗОВ» СЖ КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА задания

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва,

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ ББК я К Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского

Подробнее

ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. В.Л. Клюшин. Учебное пособие

ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. В.Л. Клюшин. Учебное пособие РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ В.Л. Клюшин Высшая МАтемаТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ Учебное пособие Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ (часть 2)

ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ (часть 2) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ (часть ) Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы Линейная алгебра Лекция Обратная матрица Ранг матрицы Обратная матрица Определение Матрица А - называется обратной по отношению к квадратной матрице если при умножении этой матрицы на данную матрицу как

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВВ Конев ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Рекомендовано в качестве

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

Основы матричной алгебры. Положение элементов определяется двойным индексом. Первый ( - номер строки, второй - номер столбца.

Основы матричной алгебры. Положение элементов определяется двойным индексом. Первый ( - номер строки, второй - номер столбца. ) Матрицы, основные определения ) Элементарная алгебра матриц ) Определители и их свойства 4) Обратные матрицы ) Матрицы, основные определения I Определения Совокупность элементов, расположенных в виде

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ Содержание. Полилинейные отображения 2. Перестановки 3. Определение и формула для вычисления определителя 2 4. Свойства определителя 2 5. Формула для элементов обратной

Подробнее

А Л Г Е Б Р А. ЧАСТЬ I. А. М. Водолазов, О.А. Королева, В.В. Кривобок, Е.В. Сецинская

А Л Г Е Б Р А. ЧАСТЬ I. А. М. Водолазов, О.А. Королева, В.В. Кривобок, Е.В. Сецинская ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н. Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО» А. М. Водолазов, О.А. Королева,

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах Литература

Подробнее

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Допущены к проведению занятий в - учгоду Заведующий кафедрой профессор АП Господариков

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct ББК я К Печатается

Подробнее

3. Определители высших порядков

3. Определители высших порядков Определители высших порядков Понятие определителя п-го порядка и его основные свойства Понятие определителя п-го порядка вводится на основе изучения структуры определителей -го и -го порядков Так например

Подробнее

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En 4 Обратная матрица Понятие обратной матрицы Существование и единственность обратной матрицы Присоединенная матрица Определение 4 Пусть А квадратная матрица порядка п Матрица B называется правой обратной

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

1. Линейные системы и матрицы

1. Линейные системы и матрицы 1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Основные алгебраические структуры

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Основные алгебраические структуры ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР Занятие 1 Основные алгебраические структуры 11 Является ли операция на множестве A ассоциативной если a A = N x y = x y b A = N x y = НОДx y c A = N x y = 2xy d A = Z x y = x 2 + y 2 e A

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

Казанский (Приволжский) федеральный университет

Казанский (Приволжский) федеральный университет Казанский (Приволжский) федеральный университет МС МАЛАКАЕВ ЛР СЕКАЕВА ОН ТЮЛЕНЕВА ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Учебно-методическое пособие Казань 2013 УДК 510 Печатается по решению учебно-методической комиссии

Подробнее

Линейная алгебра с приложениями

Линейная алгебра с приложениями Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» Институт образовательных информационных технологий РМ Минькова Линейная алгебра с приложениями Учебно-методическое

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n:

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: Билет 1 Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: расположенных в m строках и n столбцах. Матрица называется квадратной, если m=n (n - порядок

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса

1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Метод Гаусса Основные понятия Равносильные системы Определение Система линейных алгебраических уравнений (или система линейных уравнений) имеет

Подробнее

УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ Как изменится произведение B матриц и B если: а переставить -ю и j -ю строки матрицы? б переставить -й и j -й столбцы матрицы B? в к -й строке матрицы прибавить ее j -ю строку

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление.

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление. ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители..Определители, свойства, вычисление. 2.Определители высших порядков... 4 Рассмотрим таблицу вида:.определители, свойства, вычисление. A = Эта таблица, состоящая

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы. Е.Л. Первова

Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы. Е.Л. Первова Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы ЕЛ Первова Оглавление Глава 1 Перестановки и матрицы 5 1 Перестановки и их свойства 5 2 Матрицы и операции над ними 7 3 Определители

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия учебное пособие

Линейная алгебра и аналитическая геометрия учебное пособие НДВыск, КЮ Осипенко Линейная алгебра и аналитическая геометрия учебное пособие МАТИ-РГТУ им КЭ Циолковского Кафедра «Высшая математика» 0 3 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

Министерство образования и науки РФ. Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина. Кафедра высшей математики С.И.

Министерство образования и науки РФ. Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина. Кафедра высшей математики С.И. Министерство образования и науки РФ Российский государственный университет нефти и газа имени И М Губкина Кафедра высшей математики СИ ВАСИН ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие для студентов Москва

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

Н.Д.Выск, К.Ю. Осипенко. Линейная алгебра и аналитическая геометрия учебное пособие

Н.Д.Выск, К.Ю. Осипенко. Линейная алгебра и аналитическая геометрия учебное пособие НДВыск, КЮ Осипенко Линейная алгебра и аналитическая геометрия учебное пособие МАТИ-РГТУ им КЭ Циолковского Кафедра «Высшая математика» 0 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания

Подробнее

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ЛЕКЦИЯ 10 ОБЪЕМ n-мерного ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Объем параллелепипеда. Ничто не мешает сейчас ввести общее понятие определителя,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре, 2 семестр. Репин О.Н., под редакцией Зайцева Ю.В. 13 февраля 2006 г.

Лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре, 2 семестр. Репин О.Н., под редакцией Зайцева Ю.В. 13 февраля 2006 г. Лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре, 2 семестр Репин ОН, под редакцией Зайцева ЮВ 13 февраля 2006 г 1 Аннотация Данные лекции читались на радиофизическом факультете ННГУ им Лобачевского

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Тема 3: Определители

Тема 3: Определители Тема 3: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров Начало

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

3. Вычислить произведение всех комплексных корней n-ной степени из Вычислить сумму всех комплексных корней n-ной степени из 1.

3. Вычислить произведение всех комплексных корней n-ной степени из Вычислить сумму всех комплексных корней n-ной степени из 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 1. Пусть ε первообразный корень нечетной степени n из 1. Доказать, что ε первообразный корень степени 2n из 1. 2. Пусть α первообразный корень степени 2n из 1. Вычислить 1+α+...+α n 1.

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Методические

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам:

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам: Лекция 5 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 1.1. Определение. Определитель третьего порядка (сокращенно det-3) должен состоять из трех строк и трех столбцов чисел; будем считать его функцией его столбцов:

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 0. План лекции 1. Определитель второго порядка. 1.1 Система двух уравнений. 1.2. Метод исключения переменных. 1.3. Матрица 2 2. 1.4.

Подробнее