Определение (Масштаб на отрезке). Масштабом на отрезке [a, b] называется строго положительная

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Определение (Масштаб на отрезке). Масштабом на отрезке [a, b] называется строго положительная"

Транскрипт

1 Дата последнего обновления: 16 марта 2008 г. Список определений: 1.1 Неперекрывающиеся отрезки Система неперекрывающихся отрезков Разбиение отрезка Подразбиение отрезка Отмеченное разбиение Интегральная сумма Интеграл Римана Масштаб на отрезке Интеграл Курцвейла Хэндстока Разбиение меньше числа Разбиение, согласованное с масштабом Критерий Коши Критерий Коши для интеграла Римана Критерий Коши для интеграла Курцвейла Хэндстока Верхняя мера Лебега Множество меры ноль Почти всюду Колебания f или осцилляция Классы R и H Измеримая функция Составляющие интервалы Список теорем: Лемма 1.1 О существовании разбиения, согласованного с масштабом Предложение 1.1 Риман К Х Предложение 1.2 Арифметика интегралов Предложение 1.3 Арифметика интегралов Предложение 2.1 О неравенствах Теорема 2.1 Интегрируемость на подотрезках Лемма 2.1 Необходимое условие интегрируемости по Риману Теорема 2.2 Интеграл на [, b] [b, c] Теорема 3.1 Формула Ньютона Лейбница Предложение 4.2 Критерий меры ноль Теорема 5.1 Необходимое условие интегрируемости по Риману Следствие Критерий Лебега интегрируемости по Риману Лемма 6.1 О разбинии открытого множества Теорема 6.1 Эквивалентность двух определений измеримой функции Теорема 6.2 Необходимое условие интегрируемости по Курцвейлу Хэндстоку Теорема 7.2 Аддитивность по отрезкам

2 Лекция Определение (Неперекрывающиеся отрезки). Отрезки [, b] и [c, d] называются неперекрывающимися, если их пересечение пусто или состоит из одной точки (являющейся концом каждого). Определение (Система неперекрывающихся отрезков). Системой неперекрывающихся отрезков называется система отрезков, в которой любые два не перекрываются. Определение (Разбиение отрезка). Разбиением T = { } n =1 отрезка [, b] называется набор неперекрывающихся отрезков, объединение которых равно [, b]. Определение (Подразбиение отрезка). Подразбиением [, b] будет называться любой набор принадлежащих [, b] неперекрывающихся отрезков. Чаще всего отрезки разбиения T нумеруются в порядке расположения на оси R, то есть = 0 < 1 <... < n = b = [, +1 ] = 0,..., n 1. Определение (Отмеченное разбиение). Пусть имеется разбиение T = { } n =1 отрезка [, b] и набор точек ξ = {ξ } n =1 (быть может, повторяющихся), причём ξ. Тогда T = {(, ξ )} n =1 называется отмеченным разбиением [, b] или разбиением с отмеченными точками ξ (с метками ξ ). Определение (Интегральная сумма). Пусть функция f определена на [, b], а T = {(, ξ )} n =1 отмеченное разбиение [, b]. Интегральной суммой (суммой Римана) функции f, соответствующей разбиению T, называют σ(f, T) = n =1 f(ξ ), где длина. Определение (Интеграл Римана). Функция f интегрируема по Риману на [, b] и I её интеграл, если f определена на [, b] и ε > 0 δ > 0: отмеченного разбиения T = {(, ξ )} n =n с < 0 верно равенство σ(f, T) I = n =1 f(ξ ) I < ε. Пишут: I = (R) b f dx = (R) [,b] f dx. Определение (Масштаб на отрезке). Масштабом на отрезке [, b] называется строго положительная функция на [, b] Определение (Интеграл Курцвейла Хэндстока). Функция интегрируема по Курцвейлу Хэндстоку на [, b] и число I её интеграл, если f определена на [, b] и ε > 0 масштаб δ такой, что для любого отмеченного разбиения T = {(, ξ )} n =1 с < δ(ξ ) верно неравенство σ(f, T) I = n =1 f(ξ ) I < ε. Лемма 1.1 (О существовании разбиения, согласованного с масштабом). Для любого масштаба δ найдётся отмеченное разбиение T = {(, ξ )} n =1, удовлетворяющее условию < δ(ξ ). Доказательство. Предположим обратное: для данного масштаба δ такого отмеченного разбиения T нет. Разделим [, b] пополам. Хотя бы для одной половины отмеченного разбиения с условием < δ(ξ ) также нет. Разделим её пополам и т.д. Получим последовательность сходящихся отрезков. Пусть ξ их общая точка. Найдётся отрезок из последовательности такой, что [ n, b n ] < δ(ξ). Тогда T = {([ n, b n ], ξ)} подходящее отмеченное разбиение отрезка [ n, b n ]. Противоречие. Определение (Разбиение меньше числа). Разбиение T (отмеченное разбиение T) меньше числа δ > 0, если < δ. Определение (Разбиение, согласованное с масштабом). Отмеченное разбиение T = {(, ξ )} n =1 согласовано с масштабом δ, если < δ(ξ). Функции f на [,b] соответствует функция σ(f, T) на множестве отмеченных разбиений T отрезка [, b]. На множестве отмеченных разбиений T введём базы B R и B H. B δ = { T = {(, ξ )} n =1 : < δ } элемент базы Римана, определённый числом δ. B δ = { T = {(, ξ )} n =1 : < δ(ξ ) } элемент базы Курцвейла Хэндстока, определённый масштабом δ. B δ1 B δ2 = B mn(δ1,δ 2) второе свойство базы. 2

3 Исходя из вышесказанного, получаем (R) (H) b b f dx = lm BR σ(f, T) f dx = lm BH σ(f, T) Предложение 1.1 (Риман К Х). Если f интегрируема по Риману на [, b] и её интеграл Римана I, то f интегрируема по К Х на [, b] и то же I её интеграл по К Х (очевидно). Предложение 1.2 (Арифметика интегралов). Если f интегрируема по К Х или по Риману, то для любого числа c cf интегрируема в том же смысле и b сf dx = c b f dx. Доказательство. δ(cf, T) = cf(ξ ) = c σ(f, T) Предложение 1.3 (Арифметика интегралов). Если f и g интегрируемы на [, b] по К Х или Риману, то f ± g интегрируема на [,b] в том же смысле и b (f ± g)dx = b f dx ± b g dx. 3

4 Лекция Предложение 2.1 (О неравенствах). Если f и g интегрируемы на [, b] (быть может, в разных смыслах), и f(x) g(x) на [, b], то b f dx b g dx. Доказательство. Можно считать, что обе функции интегрируемы в смысле К Х (из интегрируемости по Риману следует интегрируемость по К Х). σ(f, T) = n =1 f(ξ ) n =1 g(ξ ) = σ(g, T). Значит, b f dx = lm σ(f, T) lm σ(g, T) = b B H BH g dx. Определение (Критерий Коши). Конечный lm B f(x ) < ε. существует ε > 0 B B: x, x B f(x) Определение (Критерий Коши для интеграла Римана). (R) b f dx ε > 0 δ > 0: T = {(, ξ )}, T = {( j, ξ j )} меньше δ σ(f, T) σ(f, T ) < ε. Определение (Критерий Коши для интеграла Курцвейла Хэндстока). (H) b f dx ε > 0 масштаб δ : T, T, согласованных с масштабом δ σ(f, T) σ(f, T ) < ε. Теорема 2.1 (Интегрируемость на подотрезках). Если F интегрируема (по Риману или К Х на [,b], то на любом [ā, b] [, b] f интегрируема в том же смысле. Доказательство. Пусть функция интегрируема на [, b]. Тогда выполнен критерий Коши для интеграла на [, b]. Пусть T = {(, ξ )}, T = {( j, ξ j )} отмеченное разбиение [ā, b] мельче δ(согласованное с δ). Если < ā, то пусть T отмеченное разбиение [, ā] мельче δ(согласованное с δ). Если = ā, то T =. Аналогично построим T b. Положим T = T T T b, T = T T T b Тогда σ(f, T) σ(f, T ) = ( σ(f, T) + σ(f, T ) + σ(f, T b ) ) ( σ(f, T ) + σ(f, T ) + σ(f, T b ) ) = σ(f, T) σ(f, T ) < ε. Лемма 2.1 (Необходимое условие интегрируемости по Риману). Если f интегрируема по Риману на [, b], то f ограничена на [, b]. Доказательство. Пусть f неограничена на [, b], T = { } разбиение [, b] (без отмеченных точек). Тогда k T, на котором f неограничена. Фиксируем отмеченные точки ξ ( k). Т.к. f неограничена на k, то, выбирая соответствующие ξ k k, можно получит сколь угодно большие f(ξ k ), а значит и f(ξk ) f(ξ k ). Тогда σ(f, T) = f(ξ ) также неограничена для любого разбиения. Следовательно, она не может иметь конечный предел. Следовательно, интеграл по Риману не существует. Пример. Функция Дирихле { 1, x Q D(x) = 0, x / Q D(x) не интегрируема по Риману на любом [, b], < b. T = { } можно выбрать все ξ рациональными. Тогда σ(d, T) = = b > 0. Если же выбрать все ξ иррациональными, то σ(d, T) = 0. В то же время D(x) интегрируема по Курцвейлу Хэндстоку на [, b] и (H) b D(x) dx = 0. Возьмём произвольный ε > 0. Пусть r, N все рациональные точки [, b]. Положим δ(r ) = 2 2 ε, а если x / Q, то δ(x) = 1. Возьмём согласованное с δ отмеченное разбиение T = {(, ξ )} n =1. Имеем 0 σ(d, T) = D(ξ ) = D(ξ ) D(r )2 2 ε = ε 2 2 = ε =1 =1 4 < ε. ξ Q Теорема 2.2 (Интеграл на [, b] [b, c]). Если функция интегрируема по Риману (по К Х) на [, b] и на [b, c], то f интегрируема в том же смысле на [, c] и c f dx = b f dx + c b f dx. Доказательство. ε > 0 δ 1 > 0 T отмеченного разбиения [, b] меньше δ 1 : σ(f, T) I 1 < ε, где I 1 = b f dx; δ 2 > 0 T отмеченного разбиения [b, c] меньше δ 2 : σ(f, T) I 2 < ε, где I 2 = c b f dx. Т.к. f ограничена на [, b] и [b, c], то f ограничена на [, c]. Следовательно, найдётся такое δ > 0, что δ sup f < ε и δ < mn(δ 1, δ 2 ). Рассмотрим отмеченное разбиение T = {(, ξ )} отрезка [, c] [,c] мельче δ. Рассмотрим два случая: 4

5 1. Точка b не является внутренней точкой ни одного δ. Тогда возьмём T 1 = {(, ξ ) T: [, b]}, T 2 = {(, ξ ) T: [b, c]}. T 1 отмеченное разбиение [, b] мельче δ 1, T 2 отмеченное разбиение [b, c] мельче δ 2. Следовательно, σ(f, T) I 1 I 2 < 2ε. 2. b внутренняя точка k. Пусть T отмеченное разбиение [, c], полученное из T заменой пары ( k, ξ k ) на две пары ( k [, b], b) и ( k [b, c], b). σ(f, T) σ(f, T ) f(ξk ) k + f(b) ( k [, b] + k [b, c] ) < 2 sup f δ < 2ε. Разбиение T относится к уже ранее [,c] рассмотренному типу, следовательно, σ(f, T) I 1 I 2 < 4ε. 5

6 Лекция Сначала продолжим доказательство факта, сформулированного в конце прошлой лекции, а именно того, что (H) c f dx = b f dx + c b f dx Доказательство. Пусть I 1 = (H) b f dx. Тогда для любого ε > 0 существует масштаб δ 1 на [, b], что для любого отмеченного разбиения T 1 отрезка [, b] согласованного с δ 1 σ(f, T 1 ) I 1 < ε. Существует масштаб δ 2 на [b, c], что для любого отмеченного разбиения T 2 отрезка [b, c] согласованного с δ 2 σ(f, T 2 ) I 2 < ε. mn ( δ 1 (x), b x ), x < b Положим δ(x) = mn ( δ 1 (x), δ 2 (x) ), x = b mn ( δ 2 (x), x b ), b < x c Пусть T отмеченное разбиение [, c], согласованное с δ. Если отмеченная точка ξ [, b), то < δ(ξ ) b ξ и, значит, [, b). Если отмеченная точка ξ (b, c], то < δ(ξ ) ξ b и, значит, (b, c]. Следовательно b одна из отмеченных точек (так как она должна быть покрыта каким-то. Рассмотрим два случая: 1. Точка b принадлежит двум отрезкам отмеченного разбиения j и j+1. Тогда в T входят пары ( j, b) и ( j+1, b) (так как если b не является отмеченной для одного из этих отрезков, то тогда(см. выше) этот отрезок вообще не содержит b). Положим T 1 = {(, ξ ): [, b]} = {(, ξ ): j}, если занумерованы в порядке расположения на R, T 2 = {(, ξ ): [b, c]} = {(, ξ ): > j}, если занумерованы в порядке расположения на R. Тогда T = T 1 T 2, T 1 T 2 = σ(f, T) I 1 I 2 = σ(f, T 1 ) I 1 + σ(f, T 2 ) I 2 < 2ε (так как δ(x) δ 1 на [, b] и δ(x) δ 2 на [b, c]). 2. Точка b принадлежит только j. Заменим (b, j ) на ( j [, b], b) и ( j [b, c], b). Полученное разбиение T согласовано с δ(x) и σ(f, T) = σ(f, T). Разбиение T относится к случаю 1. Значит, σ(f, T) I 1 I 2 = σ(f, T) I 1 I 2 < 2ε. Теорема 3.1 (Формула Ньютона Лейбница). Если f определена на [, b], F непрерывна на [, b] и F = f всюду на [, b], кроме не более чем счётного множества. Тогда f интегрируема на [, b] в смысле К Х и (H) b f dx = F (b) F (). Доказательство. Возьмём произвольный ε > 0. Пусть {x } N не более чем счётное множество точек, где F не существует или F f. Используя непрерывность F, выберем δ(x ) таким, чтобы F (B δ(x)(x )) = F ( (x δ(x ), x + δ(x ) )) B ε 2 2( F (x ) ) и f(x ) δ(x ) < ε 2 2. Если x точка [, b], где F (x) = f(x), то выберем δ(x) таким, чтобы x, x < δ(x): F (x + x) F (x) f(x) x < ε x 2(b ) (это возможно, т.к. F (x + x) F (x) = F (x) x + ō( x)). Пусть T = {(, ξ )} отмеченное разбиение [, b], согласованное с δ. Оценим σ(f, T) ( F (b) F () ). Пусть = [ 1, ], = 0 < 1 <... < n = b. σ(f, T) ( F (b) F () ) = n ( f(ξ )( 1 ) ( F ( j ) F ( j 1 ) )). Если ξ j = x, то f(ξ j ) j ( F ( j ) F ( j 1 ) ) f(x ) δ(x ) + F (j ) F ( j 1 ) < ε ε 2 1 = 3ε 2 2. Если ξ j : F (ξ j ) = f(ξ j ), то f(ξ j ) j ( F ( j ) F ( j 1 ) ) = ( F ( j ) F (ξ j ) f(ξ j )( j ξ j ) ) ( F (ξj ) F ( j 1 ) f(ξ j )(ξ j j 1 ) ). Значит, f(ξ j ) j ( F ( j ) F ( j 1 ) ) ε ( < j ξ j) 2(b ) + ε (ξj j 1) 2(b ) = ε ( j j 1) 2(b ) Итак, n = ε j 2(b ) σ(f, T) ( F (b) F () ) ( j=1 ε j 2(b ) = 3 4 ε + ε 2 = 5 4 ε ξ j {x } + ξ j / {x } =1 ) f(ξj ) j ( F ( j ) F ( j 1 ) ) < 2ε =1 Следствие Если F дифференцируема на [, b], то F (H) b F dx = F (b) F (). интегрируема по К Х на [, b] и 6

7 Следствие Если F обобщённая первообразная f, f определена на [, b], то f интегрируема по К Х на [, b] и (H) b f dx = F (b) F (). Следствие Если F 1 и F 2 непрерывны на промежутке I, дифференцируемы на I, кроме не более чем счётного числа точек, и F 1 = F 2 всюду на I, кроме не более чем счётного числа точек, то F 1 F 2 постоянна на R. Доказательство. Фиксируем x 0 I. Пусть x 1 I. Доопределим F 1(x) = 0, F 2(x) = 0 для тех точек x, где F 1(x) F 2(x). Тогда x 1 x 0 F 1dx = x 1 x 0 F 2dx = F 1 (x 1 ) F 1 (x 0 ) = F 2 (x 1 ) F 2 (x 0 ). Значит, F 1 (x 1 ) F 2 (x 2 ) = F 1 (x 0 ) F 2 (x 0 ). 7

8 Лекция Определение (Верхняя мера Лебега). Верхней (внешней) мерой Лебега множества R называют nf l, где l интервал. ( S l ) Будем верхнюю меру обозначать µ, 0 µ +. Предложение 4.1. Если вместо интервалов в определении взять отрезки, то получится эквивалентное определение. Доказательство. Пусть µ 1 будет обозначать верхнюю меру по первому определению, а µ 2 по второму. Если l интервал, то через l будем обозначать полученный из l добавлением концов отрезок. Если l, то l и l = l. Поэтому µ 2 µ 1. Если h отрезки, h покрывают, то для каждого N найдём интервал l h и l < h +ε 2, где ε > 0. Так получим систему интервалов {l }, l h и l h +ε 2 h + ε. Поэтому µ 1 µ 2 + ε, где ε > 0. А так как ε выбран произвольно, то µ 1 µ 2. Значит, µ 1 = µ 2. Свойства верхней меры: 1. Монотонность: если D, то µ µ D. Очевидно. 2. Счётная полуаддитивность: если (объединение конченое или счётное), то µ µ. Доказательство. Если : µ = +, то свойство верно. Поэтому рассмотрим случай, когда µ < +. Возьмём любой ε > 0 и для каждого найдём систему интервалов {e j } j, покрывающую и чтобы e j < µ + ε 2. Тогда система интервалов {e j },j покрывает и e j e j < µ + ε.,j j Следовательно, µ µ + ε, ε > 0 µ µ. Определение (Множество меры ноль). Множество множество меры ноль (по Лебегу), если µ = 0. Предложение 4.2 (Критерий меры ноль). µ = 0 тогда и только тогда, когда ε > 0 система интервалов (или отрезков) {e }, покрывающая и e < ε. Свойства множеств меры ноль. 1. Если D и µ D = 0, то µ = Если, µ = 0, то µ = 0.{ 3. Если не более чем счётное множество, то µ = 0. Определение (Почти всюду). Если какое-либо свойство выполнено для всех точек, за исключением подмножества меры ноль (по Лебегу), то говорят, что это свойство выполнено почти всюду на. Определение (Колебания f или осцилляция). Если f определена на, то колебания f на def osc = sup f(x) f(y). 0 osc f +, если. x,y Лемма 4.1. Если действительнозначная f определена на, то osc f = sup f nf f. 8

9 Доказательство. Если sup f = + или nf f =, то osc f = + и равенство доказано. Если sup f < + и nf f >, то ε > 0 x : f(x) > sup f ε, y : f(y) < nf f + ε. Значит, f(x) f(y) > sup osc osc f nf f 2ε osc f > sup f sup f nf f. Если x, y и f(x) f(y), то f(x) f(y) sup f = sup f nf f f sup 2ε и, в силу произвольности ε > 0, f nf f osc f sup f nf f. Значит, Лемма 4.2. Если T = { } разбиение [, b], то I = [c, d] [, b] невырожденные I образуют разбиение [c, d] и I = I. Доказательство. = 0 <... < n = b, = [ 1, ], = 1,..., n. Найдётся p, 1 p n, то p 1 c < p. Найдётся q p, 1 q n, что q 1 < d q. Они образуют разбиение I = [c, d], d c = (d q q 1 + (q q 1 q 2) ( p c). Если p = q, то есть p 1 < c < d < p, то [ p 1, p ] I = I = [c, d]. Теорема 4.1. Если f ограничена и непрерывна почти всюду на [, b], то f интегрируема по Риману на [, b]. Доказательство. Пусть [, b] множество точек разрыва f на [, b]. Возьмём ε > 0 и найдём систему интервалов {e }, покрывающую, e < ε. Если x точка непрерывности f, то существует δ(x) > 0: f ( B δ(x) (x) ) ( ) B ε f(x). Система интервалов e и B δ(x) (x) (x [, b] \ ) покрывает [, b]. Выделим конечное подпокрытие e 1,..., e p, B δ(x1)(x 1 ),..., B δ(xq)(x q ). Пусть δ > 0, δ < mn e j и δ < mn δ(x k). Пусть T = {(, ξ )} и 1 j p 1 k q T = {( j, ξ j )} отмеченные разбиения меньше δ. σ(f, T) σ(f, T ) = f(ξ ) f(ξ j ) j = ( f(ξ ) j ) ( f(ξ j ) j ) j j j Значит, σ(f, T) σ(f, T ) f(ξ ) f(ξ j ) j. j ξ S p k=1 e k 2 sup f [,b] j f(ξ ) f(ξ j) j 2 sup [,b] f ξ S p k=1 e k p ( e k + 2δ) (так как δ < e k ) 6 sup f k=1 [,b] p k=1 2 sup [,b] f e k 6 sup f ε [,b] p k=1 ξ e k ξ S q k=1 B δ(x k ) = 2ε f(ξ ) f(ξ j) j 2ε j = 2ε(b ) j (f ( B δ(xk )(x k ) ) ( B ε f(xk ) ) ) = j Значит, σ(f, T) σ(f, T ) ( 6 sup f + 2(b ) ) ε. То есть, выполнен критерий Коши интегрируемости по Риману. [,b] Следствие Если f C[, b], то f интегрируема по Риману на [, b]. Следствие Если f монотонна на [, b], то f интегрируема по Риману на [, b]. 9

10 Лекция Определение (Классы R и H). Класс интегрируемых по Риману функций на [, b] будем обозначать R[, b], а по Курцвейлу Хэндстоку H[, b]. Лемма 5.1. Пусть T = { } разбиение [, b]. Тогда для любой определённой на [, b] действительнозначной функции f osc σ(f, T) = osc f. ξ Доказательство. Если f неограничена на [, b], то f неограничена хотя бы на одном j. Тогда osc σ(f, T) = sup f(ξ ) f(ξ ) = +. ξ ξ,ξ Если f ограничена на [, b], то ξ, ξ f(ξ ) f(ξ ) f(ξ ) f(ξ ) osc f osc σ(f, T) osc f. ξ Пусть отмечено разбиение ( = 1,..., n). ε > 0 ξ : f(ξ ) > sup ξ : f(ξ ) < nf f + ε 2n, = 1,..., n. Тогда f(ξ ) f(ξ ) > ε 2 2n osc f ε (b ) osc σ(f, T) ξ f ε 2n, = 1,..., n; sup f nf f osc f. Теорема 5.1 (Необходимое условие интегрируемости по Риману). Если f R[, b], то f ограничена на [, b] и непрерывна почти всюду на [, b]. Доказательство. Ограниченность уже доказана ранее (см. лемму 2.1). Докажем, что f непрерывна почти всюду на [, b]. Фиксируем ε > 0. j N δ j > 0 T, T меньше δ j выполнена оценка σ(f, T) σ(f, T ) < ε 2 2j. Пусть T j = { j } разбиение меньше δ j. Тогда osc σ(f, T) = osc f ξ j j j j ε 2 2j. Выберем такие j, что osc f 2 j. j j ε 2 j, а j ε 2 j = ε, выбр. j выбр. j=1 то есть µ j = 0. j,выбр. Покажем, что выбранные j покрывают все точки разрыва f на [, b]. Возьмём ε > 0. Найдём такое j N: 2 j < ε. Если точка x не попала в выбранные отрезки j, то x либо внутренняя точка некоторого j с osc f < 2 j, или граничная точка такого j j. В первом случае B δ(x) j и osc f < B δ (x) 2 j < ε f непрерывна в точке x. Во втором случае x граничная точка j и j +1. osc j f < 2 j и osc j +1 f. Значит, выбранные j f < 2 j. B δ (x) j j +1 и osc B δ (x) f < 2 j < ε x также точка непрерывности покрывают все точки разрыва f на [, b]. Следствие (Критерий Лебега интегрируемости по Риману). f R[, b] f ограничена на [, b] и непрерывна почти всюду на [, b]. Отсюда следуют Свойства интеграла Римана. 1. Если f и g R[, b], то fg R[, b]. 2. Если f R[, b], ϕ C[α, β], [α, β] f([, b]), то ϕ(f) R[, b]. 3. Если f R[, b], то f R[, b]. 4. Если значение определённой на [, b] f изменить на конечном множестве точек, то интегрируемость f не изменится, а если f R[, b], то изменённая функция f R[, b] и b f dx = b f dx. Доказательство. Разность f f 0 на конечном множестве, f f ограничена и непрерывна всюду, кроме конечного числа точек (f f) R[, b] b (f f) dx = 0, так как если точек, где f f всего n, а отмеченное разбиение T мельче δ, то σ(f f, T) < 2nδ sup f f. Если f R[, b], то f = f (f f) R, а если f R, то f = (f f) + f R. 5. Если f(x) 0 на [, b] и существует точка x 0 [, b], что f непрерывна в x 0 (по [, b]) и f(x 0 ) > 0, f R[, b], то b f dx > 0. 10

11 Доказательство. B δ (x 0 ) x B δ (x 0 ) [, b]: f(x) > f(x0) 2. Пусть g(x) = { f(x0) 2, x B δ (x 0 ) [, b] 0, x / B δ (x 0 ) [, b] b f(x0) g(x) dx = 2 Bδ(x 0 ) [, b] > 0. А так как f(x) g(x) на [, b] и для интеграла Римана верны свойства предела по базе, то b f dx > 0. 11

12 Лекция Определение (Измеримая функция). Функция f измерима на [, b], если f определена почти всюду на [, b] и ε g C[, b]: µ {x [, b]: f(x) g(x)} < ε. Определение. Функция f измерима на [, b], если ε [, b], µ < ε: f C[, b] \ (по [, b] \ ). Лемма 6.1 (О разбинии открытого множества). Если G открытое множество на R, то G является объединением не более чем счётного набора интервалов (α, β ), где α, β / G. Доказательство. Для G = утверждение верно. Если x G, то пусть α = nf{t: [t, x] G},β = sup{t: [x, t] G}. Если α < z < x, то найдётся t < z : [t; x] G. Значит, z G.Если x < z < α, то найдётся t > z : [x; t] G. Значит, z G. Если α G, то существует t < α: [t, α] G [t, x] = [t, α] (α, x] G, что противоречит определению α α / G. Аналогично β / G. Построим такие интервалы для всех x G.Любые два из них либо совпадают, либо не пересекаются. Следовательно, их не более чем счётное число. Искомый набор найден. Определение (Составляющие интервалы). Интервалы из леммы 6.1 называются составляющими интервалами открытого множества G. Если F замкнутое подмножество R, то составляющие интервалы R \ F называются смежными интервалами F. Лемма 6.2. Пусть F непустое замкнутое множество, функция f определена и непрерывна на F. Доопределим f на конечные смежные интервалы F (α, β) так, что f линейна на [α, β], а на бесконечные смежные интервалы F вида ( ; β) или (α; + ) так, что f постоянна на ( ; β) или на (α; + ). Тогда доопределённая функция f непрерывна на R. Доказательство. Очевидно, что f непрерывна на смежных интервалах. Покажем, что f осталась непрерывной на F. Пусть x F. Если x левый конец смежного интервала F, то f(t) = f(x). lm t x+0 Если x не левый конец смежного интервала, то δ > 0: (x; x + δ) F. Так как f непрерывна на F, то ε δ > 0 t B δ (x) F : f(t) f(x) < ε. t0 > x, t o (x, x + δ) F. Тогда t [x, t 0 ] f(t) f(x) < ε. Значит, и в этом случае lm f(t) = f(x). То есть, если x F, то t x+0 lm f(t) = f(x). Аналогично: если x F, то lm t x+0 t x 0 f(t) = f(x). Значит, lm t x f(t) = f(x). Теорема 6.1 (Эквивалентность двух определений измеримой функции). Определения 1 и 2 эквивалентны. Доказательство. 1 2 Пусть выполнено определение 1. Положим = {x [, b]: f(x) g(x)}. µ < ε; g, а значит и f, непрерывна на [; b] \. 2 1 Возьмём любое ε > 0 и найдём [, b], что µ < ε и f непрерывна на [; b] \. Существует система интервалов {l }, покрывющих, что l < ε. Положим G = l, µ G l < ε. Пусть F = [, b] \ G = [, b] (R \ G) [, b] \ (так как G), F замкнуто, f непрерывна на F. Пользуясь леммой 6.2 доопределим f на R \ F и обозначим доопределённую функцию через g. Тогда g C[R]. {x [; b]: f(x) g(x)} G, µ {x [; b]: f(x) g(x)} µ G < ε. Теорема 6.2 (Необходимое условие интегрируемости по Курцвейлу Хэндстоку). Если f определена на [, b], ограничена на [, b] и измерима на [, b], то f H[, b]. Доказательство. Для доказательства необходима очевидная x, x c Лемма 6.3. Функция [x] c = cx, c > 0 непрерывна на R., x > c x 12

13 Так как f измерима на [, b], то ε > 0 найдётся g C[, b], µ {x [, b]: f(x) g(x)} < ε. Если f(x) c на [, b], то можно заменить g(x) на [g(x)] c, µ {x [, b]: f(x) [g(x)] c } < ε. Поэтому будем считать, что g(x) c на [, b]. Функция g C[, b] она интегрируема по Риману на [, b]. Пусть I = b g(x) dx. γ > 0, что отмеченного разбиения T мельче γ σ(g, T) I < ε.пусть {x [, b]: f(x) g(x)}. Найдётся система интервалов {l }, покрывающая, что l < ε. Если x [, b]\ l, то положим δ(x) = γ. Если x l, то l x. Тогда возьмём δ(x): B δ(x) (x) l и δ(x) < γ. Пусть T = {(, ξ )}, T = {(, ξ )} отмеченные разбиения, согласованные с δ(x). σ(f, T) σ(f, T ) σ(f, T) σ(g, T) + σ(g, T) I + I σ(g, T ) + σ(g, T ) σ(f, T ) }{{}}{{} ( σ(f, T) σ(g, T) = f(ξ ) g(x ) ) ( = f(ξ ) g(ξ ) ) = r <ε ξ S l r r <ε ξ l r 2c 2c r l r < 2cε Аналогично σ(g, T ) σ(f, T ) < 2cε. Таким образом, критерий Коши интегрируемости по Курцвейлу Хэндстоку выполнен. 13

14 Лекция Свойства измеримой функции: 1. Если f и g измеримы на [, b], то f ± g и f g измеримы на [, b], а если g(x) f(x) почти всюду на [, b], то и f/g измерима на [, b]. 2. Если f измерима на [, b], ϕ непрерывна на f([, b]), то ϕ(f) измерима на [, b]. 3. Если f 1,..., f n измеримы на [, b], то mx f k(x) и mn f k(x) измеримы на [, b]. 1 k n 1 k n 1. Доказательство. ε > 0 [, b]: µ < ε, f C[, b] \ [, b]: µ < ε, f C[, b] \ Тогда µ ( D) µ + µ D < 2ε и f ± g, f g непрерывны на [, b] \ [ D]. Пусть g(x) 0 почти всюду на [, b], то есть если H = {x [, b]: g(x) = 0}, то µ H = 0. Тогда µ ( D H) µ + µ D + µ H < 2ε и f g неперерывна на [, b] \ [ D H]. 2. Доказательство. ε > 0 [, b]: µ < ε и f непрерывна на [, b] \. Тогда ϕ(f) непрерывна на [, b] \. 3. Доказательство. Докажем сначала этот факт для двух функций. изм. изм. измерима {}}{{}}{{}}{ mx f f 1 (x) + f 2 (x) f 1 (x) f 2 (x) k(x) = + = mx 1 k f k(x) измерима на [, b] 1 k 2 изм. изм. измерима {}}{{}}{{}}{ mn f f 1 (x) + f 2 (x) f 1 (x) f 2 (x) k(x) = = mn 1 k f k(x) измерима на [, b] 1 k 2 Теперь заметим, что mx f k(x) = mx ( mx f k(x), f n+1 (x) ), 1 k n+1 1 k n mn f k(x) = mn ( mn f k(x), f n+1 (x) ). 1 k n+1 1 k n Свойство доказано. Теорема 7.1. Если f определена на [, b] и равна 0 почти всюду на [, b], то f H[, b] и (H) b f dx = 0. Доказательство. Пусть j = {x [, b]: j < f(x) j + 1}, j Z + = {0} N. µ j = 0. Возьмём произвольный ε > 0 и найдём систему интервалов {e j }, покрывающую j и такую, что e j < 1 j+1 2 j 1 ε. Выберем масштаб δ так, что если x / j, то δ(x) = 1, а если x j, то найдём e j x и возьмём δ(x): B δ(x) (x) e j. Пусть T = {(, ξ )} отмеченное разбиение, согласованное с δ. f(ξ ) = j=0 Значит, σ(f, T) 0 < ε. j=0 f(ξ ) (j + 1) e j < 1 (j + 1) j j 1 ε = ε ξ j j=0 j=0 Следствие Если f и g определены на [, b] и f = g почти всюду на [, b], то f и g одновременно либо интегрируемы, либо неинтегрируемы по К Х и, в случае интегрируемости, (H) b f dx = (H) b g dx. Доказательство. По предыдущей теореме f g H[, b] и (H) b f = g + (f g), а g = f (f g). (f g) dx = 0. При этом 14

15 Определение. Пусть f определена почти всюду на [, b]. Если доопределённая каким-либо образом функция интегрируема по К Х, то говорят, что начальная f интегрируема по К Х на [, b] и интеграл от неё равен интегралу от доопределённой функции. Определение. Считаем, что R f dx = 0(интеграл Римана или К Х), а если > b, то b f dx = b f dx. Теорема 7.2 (Аддитивность по отрезкам)., b, c R верно, что если два из трёх интегралов (R или H) b f dx, c b f dx, c f dx существуют, то существует и третий и c f dx = b f dx + c b f dx. Определение. Если f R[, b] (или H[, b]), то x 0 [, b] и C = const R величину f(x) = x x 0 f dt + C, где x [, b] называют неопределённым интегралом Римана или К Х (соответственно) или интегралом с неопределённым верхним пределом. Предложение 7.1. Если F 1 (x) = x x 1 f dt + C 1 и F 2 (x) = x x 2 f dt + C 2 два неопределённых интеграла (Римана или К Х), то F 1 (x) F 2 (x) постоянна на [, b]. Доказательство. F 1 (x) F 2 (x) = ( x x 1 x x 1 )f dt + C 1 C 2 = ( x x 1 + x 2 x )f dt + C 1 C 2 = x 2 x 1 f dt + C 1 C 2. Определение. Функция f принадлежит классу Липшица (иногда говорят Гёльдера) на R, если f определена на и существует постоянная c 0 такая, что x 1, x 2 : f(x 1 ) f(x 2 ) c x 1 x 2. Будем писать f Lp(). Предложение 7.2. Если f Lp(), то f равномерно непрерывна на. Теорема 7.3. Если f R[, b] или f H[, b] и f ограничена на [, b], то неопределённый интеграл от f F Lp([, b]), а если f непрерывна в точке x 0 [, b], то F (x 0 ) = f(x 0 ). Доказательство. x 1, x 2 [, b] F (x 1 ) F (x 2 ) = x1 ( x 0 x 2 x 0 )f dt = x1 x 2 f dt, а так f(x) c на [, b], то x 1 x 2 f dt c x1 x 2, то есть F Lp([, b]). F (x) F (x 0 ) f(x 0 ) = F (x 0 + x) F (x 0 ) f(x 0 ) = 1 x x 0 x x = 1 x 0+ x f(t) f(x 0 ) dt x x 0 F (x 0 + x) F (x 0 ) f(x 0 ) x Значит, существует sup f(t) f(x 0 ) t [x 0,x 0+ x] x 0+ x x 0 f(t) dt f(x 0 ) = osc f 0 [x 0,x 0+ x] x 0 F (x 0 + x) F (x 0 ) lm = F (x 0 ) = f(x 0 ). x 0 x Следствие Если f C[, b], то f имеет точную первообразную. Следствие Если f ограничена на [, b] и непрерывна всюду на [, b], кроме конечного числа точек, то f имеет обобщённую первообразную. Следствие Если f R[, b], F неопределённый интеграл f, то F = f почти всюду на [, b]. 15


) i, где i длина i. i=1. Определение (Масштаб на отрезке). Масштабом на отрезке [a, b] называется строго положительная

) i, где i длина i. i=1. Определение (Масштаб на отрезке). Масштабом на отрезке [a, b] называется строго положительная Дата последнего обновления: 29 марта 2008 г. Список определений: 1.1 Неперекрывающиеся отрезки................................... 2 1.2 Система неперекрывающихся отрезков..............................

Подробнее

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла.

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла. Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R 2. 1. Необходимость расширения понятия интеграла. Сначала обсудим построение интеграла Римана. Пусть функция f(x) определена на собственном отрезке [a, b]. Определим разбиение

Подробнее

0.1. Предисловие Обозначения.

0.1. Предисловие Обозначения. 0.1. Предисловие. Вот уже который год Тарас Павлович Лукашенко продолжает радовать мехматянских первокурсников интегралами Мак-Шейна и Курцвейля Хенстока. Этот текст призван помочь в восстановлении и расшифровке

Подробнее

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R 2 1. Необходимость расширения понятия интеграла Сначала обсудим построение интеграла Римана. Пусть функция f(x) задана на собственном отрезке [a, b]. Определим

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега 1. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции 3 было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега 1. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Подробнее

Лекция 4 25 февраля 2009

Лекция 4 25 февраля 2009 Действительный анализ. Лекция 4. 25 февраля 2009 1 Действительный анализ. IV семестр. 2009 год. Лектор Скворцов В. А. Об ошибках писать на july.tih@gmail.com Лекция 4 25 февраля 2009 Лебег определял класс

Подробнее

Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Измеримые по Лебегу функции.

Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Измеримые по Лебегу функции. Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. Интеграл Лебега, конечно, строиться не для всех функций, а только для так называемых измеримых. В дальнейшем для удобства вместо тройки (, µ,µ ) мы будем

Подробнее

Лекция 1. Пространство функций ограниченной вариации. Интеграл Римана Стилтьеса

Лекция 1. Пространство функций ограниченной вариации. Интеграл Римана Стилтьеса Лекция 1. Пространство функций ограниченной вариации. Интеграл Римана Стилтьеса Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 23 февраля 2012 г.

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Основные понятия и теоремы 1. Интегральные суммы и определенный интеграл. Пусть функция f(x) определена на промежутке [a, b] (где a < b). Произвольное

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Абсолютно непрерывные функции. Гёльдеровы функции. (b k a k ) < δ, f(b k ) f(a k ) < ε. (1) (b k a k ) < δ 1, (2) f(b k ) f(a k ) < ε.

ЛЕКЦИЯ 3А Абсолютно непрерывные функции. Гёльдеровы функции. (b k a k ) < δ, f(b k ) f(a k ) < ε. (1) (b k a k ) < δ 1, (2) f(b k ) f(a k ) < ε. ЛЕКЦИЯ 3А Абсолютно непрерывные функции. Гёльдеровы функции 0. Напомним определение, данное на лекции. Определение 1. Функция f(x) называется абсолютно непрерывной на отрезке [; b], если для любого ε >

Подробнее

Лекция 1 ПРОСТРАНСТВО ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ.

Лекция 1 ПРОСТРАНСТВО ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ. Лекция 1 ПРОСТРАНСТВО ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ. 1. Определение пространства BV[, b] и его свойства Пусть вещественная функция f(x) определена на отрезке [,b] R 1. Рассмотрим на отрезке [,b] произвольное

Подробнее

Семинар Лекция 3 АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ. 1. Определения и свойства

Семинар Лекция 3 АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ. 1. Определения и свойства Семинар Лекция 3 АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 1. Определения и свойства Напомним определение, данное на лекции. Определение 1. Функция f(x) называется абсолютно непрерывной на отрезке [; b], если для

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ].

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ]. Лекция 8 Определённый интеграл Определенный интеграл Римана Пусть f ( ) некоторая функция, определенная на отрезке [, ] Произведем разбиение R отрезка [, ] на п частей: = < 1 < K < n = Выберем на каждом

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 5-6

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 5-6 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекции 5-6 Определенный

Подробнее

Лекция апреля 2009

Лекция апреля 2009 Действительный анализ. Лекция 11. 22 апреля 2009 1 Действительный анализ. IV семестр. 2009 год. Лектор Скворцов В. А. Об ошибках писать на july.tikh@gmil.com Лекция 11 22 апреля 2009 Задача 1. Привести

Подробнее

Семинар Лекция 1 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ. 2. Другие важные свойства

Семинар Лекция 1 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ. 2. Другие важные свойства Семинар Лекция 1 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание) Для удобства ссылок приведём некоторые основные факты. Л 1. Функции ограниченной вариации образуют линейное

Подробнее

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 29 сентября 2011 г. Измеримые функции Интеграл Лебега,

Подробнее

В. А. ЗОРИЧ ИНТЕГРАЛ

В. А. ЗОРИЧ ИНТЕГРАЛ В. А. ЗОРИЧ ИНТЕГРАЛ Ниже дано общее содержание темы Одномерный интеграл (Римана) и приведены записи раздела, относящегося к вопросам существования интеграла и описанию классов интегрируемых функций. 1

Подробнее

Лекция апреля 2009

Лекция апреля 2009 Действительный анализ. Лекция 10. 15 апреля 009 1 Действительный анализ. IV семестр. 009 год. Лектор Скворцов В. А. Об ошибках писать на july.tih@gmil.com Лекция 10 15 апреля 009 Продолжим доказательство

Подробнее

Лекция 7-8. Замкнутые множества и непрерывные функции. 1 Предельные точки.

Лекция 7-8. Замкнутые множества и непрерывные функции. 1 Предельные точки. Лекция 7-8. Замкнутые множества и непрерывные функции. 1 Предельные точки. Определение 1 Предельная точка для множества - это такая точка a, к которой сходится некоторая последовательность точек множества,

Подробнее

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана Лекция 6 Определенный интеграл Римана Аннотация: Отмечается что кроме интеграла Римана существуют и другие интегралы Рассматриваются свойства определенного интеграла Понятие определенного интеграла настолько

Подробнее

С. К. Водопьянов ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО РИМАНУ

С. К. Водопьянов ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО РИМАНУ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ С. К. Водопьянов ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО РИМАНУ Учебное пособие Новосибирск 2012 ББК В.162.12

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1А Функции ограниченной вариации. 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание)

ЛЕКЦИЯ 1А Функции ограниченной вариации. 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание) ЛЕКЦИЯ 1А Функции ограниченной вариации 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание) Для удобства ссылок приведём некоторые основные факты. Л1. Функции ограниченной вариации образуют линейное пространство.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима. 1. Заряды

ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима. 1. Заряды ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима Это занятие будет посвящено доказательству теоремы Радона Никодима. Она будет нужна нам для того, чтобы доказать изоморфизм пространств L p (Ω) и (L q (Ω)) *, где

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

1. Определение и основные свойства интеграла Римана. Разбиением отрезка [a, b] называется набор точек. a = x 1 < x 2 < < x n+1 = b.

1. Определение и основные свойства интеграла Римана. Разбиением отрезка [a, b] называется набор точек. a = x 1 < x 2 < < x n+1 = b. 1. Определение и основные свойства интеграла Римана Определение разбиения Разбиением отрезка [, b] называется набор точек = x 1 < x 2 < < x n+1 = b. Разбиение обозначают буквой P. Разбиение может быть

Подробнее

О. Б. Васюнина, С. В. Самуйлова ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА

О. Б. Васюнина, С. В. Самуйлова ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет» О. Б. Васюнина, С. В.

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Пусть X множество, -алгебра подмножеств множества X и на задана -аддитивная полная

Подробнее

Общая топология II: Метрические пространства, полнота, компактность

Общая топология II: Метрические пространства, полнота, компактность Листок 9д сентябрь 013 Общая топология II: Метрические пространства, полнота, компактность Часть 1: Метрические пространства Определение 1. Метрическим пространством называется множество M вместе с функцией

Подробнее

Лекция 2 АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА. 1. Схема построения абстрактной меры Лебега.

Лекция 2 АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА. 1. Схема построения абстрактной меры Лебега. Лекция 2 АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА На прошлой лекции мы рассмотрели построение меры Лебега плоских множеств. Теперь наша задача обобщить эту процедуру на случай произвольных множеств. При этом существо схемы

Подробнее

1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте.

1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте.. Теорема о промежуточных значениях Теорема. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Лекции по функциональному анализу

Лекции по функциональному анализу Ю.А. Чаповский Лекции по функциональному анализу Группы: КА 53, 54 III курс, семестр 5 Киев 2017 c Ю.А. Чаповский Оглавление 1 Мера и интеграл 2 1.1 Семейства подмножеств................. 3 1.2 Мера множества......................

Подробнее

11. Производная (продолжение); непрерывные функции

11. Производная (продолжение); непрерывные функции 11. Производная (продолжение); непрерывные функции На прошлой лекции мы вывели правило дифференцирования произведения функций; сейчас мы разберемся и с дифференцированием частного. Заметим для начала,

Подробнее

Лекция 4. Метрические пространства и их свойства

Лекция 4. Метрические пространства и их свойства Лекция 4. Метрические пространства и их свойства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 21 сентября 2011 г. Определение метрического пространства

Подробнее

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z Лекция 5 Интеграл типа Коши 5.1 Интеграл типа Коши Пусть C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой непрерывная функция. Для любой точки z C \ функция t f(t) z непрерывна по переменной

Подробнее

Лекция 5 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение топологического пространства

Лекция 5 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение топологического пространства Лекция 5 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение топологического пространства Определение 1. Произвольное множество X с выделенной системой подмножеств τ множества X называется топологическим пространством

Подробнее

5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции

5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции 5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции Мера и интеграл понятия весьма близкие. Мера множества есть интеграл его характеристической функции. Наоборот, если на пространстве задана мера, можно говорить

Подробнее

Очевидно, такое название оправдывается ролью множества X при «умножении» (т. е. пересечении)

Очевидно, такое название оправдывается ролью множества X при «умножении» (т. е. пересечении) ЛЕКЦИЯ 2А Системы множеств. Элементы общей теории меры 1. Системы множеств Как вы помните, в лекции 2 построение общей теории меры велось исходя из алгебры измеримых множеств, а прямоугольники, исходя

Подробнее

Лекция 3 ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. ПРОДОЛЖЕНИЕ. 1. Следствие неравенства Гельдера

Лекция 3 ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. ПРОДОЛЖЕНИЕ. 1. Следствие неравенства Гельдера Лекция 3 ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. ПРОДОЛЖЕНИЕ В этой лекции мы продолжим рассмотрение пространств Лебега, начатое в третьей лекции предыдущего семестра. Для более полного понимания следует посмотреть эту лекцию..

Подробнее

5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции

5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции 5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции Мера и интеграл понятия весьма близкие. Мера множества есть интеграл его характеристической функции. Наоборот, если на пространстве задана мера, можно говорить

Подробнее

Лекция 11 АБСТРАКТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. 1. Интеграл Бохнера

Лекция 11 АБСТРАКТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. 1. Интеграл Бохнера Лекция АБСТРАКТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. Интеграл Бохнера Перейдем к построению интеграла Бохнера, являющегося банаховозначным обобщением интеграла Лебега. Как и в случае интеграла Лебега путь у нас имеется

Подробнее

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K)

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K) Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 1. Пространство функций D(K) Символом α будем обозначать длину мультииндекса α: α α 1 + α 2 + + α N, α Z N + Z + Z }{{ +. } N Символом α k k обозначаем

Подробнее

Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств

Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 5 сентября 2012 г. Введение Функция Дирихле не интегрируема

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства. 1. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств

ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства. 1. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства 1. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств 1) Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна по каждому из аргументов.

Подробнее

Лекция 5 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Лекция 5 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ Лекция 5 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ В этой лекции мы рассмотрим некоторые результаты об операторах со слабой особенностью и теорию поверхностей Ляпунова. 0. План лекции. Свойства a), b) и c). 2. Теорема

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

9. Формула Ньютона Лейбница. Формула замены переменной в определённом интеграле и интегрирование по частям. f(t) dt = Φ(x) Φ(a). f(t) dt = Φ(x) + C.

9. Формула Ньютона Лейбница. Формула замены переменной в определённом интеграле и интегрирование по частям. f(t) dt = Φ(x) Φ(a). f(t) dt = Φ(x) + C. ПРЕДИСЛОВИЕ Пособие является продолжением [7]. Оно создано на базе хорошо известных учебных пособий по математическому анализу [ 6]. В его основу положены лекции В. В. Жука, которые неоднократно читались

Подробнее

Лекция 7. Банаховы пространства

Лекция 7. Банаховы пространства Лекция 7. Банаховы пространства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 17 декабря 2012 г. Определение. Определение 1. Банаховым пространством

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2А Интеграл Римана Стилтьеса. F (x)dg(x) F C[a;b]Va b (g) (1) f n f C[a;b] Va b (g) 0. a. f(x)dg n (x)

ЛЕКЦИЯ 2А Интеграл Римана Стилтьеса. F (x)dg(x) F C[a;b]Va b (g) (1) f n f C[a;b] Va b (g) 0. a. f(x)dg n (x) ЛЕКЦИЯ А Интеграл Римана Стилтьеса 1. Пусть f n (x) C[; b], g(x) BV[; b], f n (x) f(x) на [; b]. Тогда Действительно, в силу оценки f n (x)dg(x) f(x)dg(x). F (x)dg(x) F C[;b]V b (g) (1) и свойств линейности

Подробнее

Математический анализ. Введение [1,3,4]

Математический анализ. Введение [1,3,4] I Краткие исторические сведения Математический анализ Введение [1,3,4] Математический анализ часть математики, в которой изучаются функции и их обобщения методами теории пределов Поскольку понятие предела

Подробнее

Лекция 2. Абстрактная мера Лебега.

Лекция 2. Абстрактная мера Лебега. Лекция 2. Абстрактная мера Лебега. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 29 сентября 2011 г. Введение На прошлой лекции мы рассмотрели построение

Подробнее

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы 1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. 1.1 Теорема о промежуточных значениях Теорема 1. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) f(b). Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ (a, b), что f(γ) = C. Доказательство. Пусть, например, f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на [a, b]. Кроме того, g(a) < 0, g(b) > 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка γ (a, b), что g(γ) = 0. Разделим отрезок [a, b] точкой x 0 на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x 0 ) = 0 и, значит, искомая точка γ = x 0 найдена, либо g(x 0 ) 0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g принимает значения разных знаков, точнее, на левом конце значение меньше нуля, на правом - больше. Обозначим этот отрезок [a 1, b 1 ] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке γ, в которой g(γ) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков [a n, b n ] по длине стремящихся к нулю и таких, что g(a n ) < 0 < g(b n ) (1) Пусть γ - общая точка всех отрезков [a n, b n ], n = 1, 2,... Тогда γ = lim a n = lim b n. Поэтому, в силу непрерывности функции g Из (1) находим, что g(γ) = lim g(a n ) = lim g(b n ) (2) Из (2) и (3) следует, что g(γ) = 0. lim g(a n ) 0 lim g(b n ) (3) Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. 1.2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup E f (α = inf E f), если существует такая точка x 0 E, что f(x 0 ) = β (f(x 0 ) = α). 1

Подробнее

1. Определение пространства абсолютно непрерывных функций

1. Определение пространства абсолютно непрерывных функций Лекция 2 ПРОСТРАНСТВО AC И ПРОСТРАНСТВА ГЕЛЬДЕРА. 1. Определение пространства абсолютно непрерывных функций Определение 1. Будем говорить, что функция f(x) AC[,b], если для любого ε > 0 найдется такое

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

3 Следствия теоремы Коши

3 Следствия теоремы Коши 3 Следствия теоремы Коши Дифференцируемость интегралов типа Коши позволяет получить важное следствие: Теорема 3.1. Дифференцируемая в области Ω C функция f(z) является бесконечно дифференцируемой в каждой

Подробнее

(1=n; 1 1=n), и конечного подпокрытия из этого покрытия не выберешь. Приведем теперь позитивный пример.

(1=n; 1 1=n), и конечного подпокрытия из этого покрытия не выберешь. Приведем теперь позитивный пример. 21. Компактность Компактность чрезвычайно важное техническое понятие топологии и анализа. Начнем с определения. Определение 21.1. Топологическое пространство X называется компактным, если оно обладает

Подробнее

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1 В.В. Жук, А.М. Камачкин 5 Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, возможность перестановки предельных переходов, интегрирование и дифференцирование рядов и последовательностей.

Подробнее

Лекция 5. Топологические пространства и их свойства

Лекция 5. Топологические пространства и их свойства Лекция 5. Топологические пространства и их свойства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 3 октября 2011 г. Определение топологического

Подробнее

Виды сходимости последовательностей случайных величин

Виды сходимости последовательностей случайных величин С.Я. Шатских Лекции по теории вероятностей Виды сходимости последовательностей случайных величин Черновик Сходимость по вероятности. Будем считать, что все интересующие нас случайные величины определены

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Лекция 4 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение и пример.

Лекция 4 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение и пример. Лекция 4 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 1. Определение и пример. Определение 1. Множество Y называется метрическим пространством, если на нем задана вещественная функция d : Y Y R 1 + такая, что выполнены следующие

Подробнее

Интеграл Лебега. Тема Соглашения и обозначения. 5.2 Формализация суммирования

Интеграл Лебега. Тема Соглашения и обозначения. 5.2 Формализация суммирования Тема 5 Интеграл Лебега. Напомним, что такое интеграл Лебега и обсудим основные его свойства. Нам понадобятся следующие естественные соглашения, одно из которых мы уже использовали. 5.1 Соглашения и обозначения

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

Полнота, компактность, внутренние метрики.

Полнота, компактность, внутренние метрики. Тема 2 Полнота, компактность, внутренние метрики. 2.1 Сходимость и полнота Определение 2.1. Последовательность точек x 1, x 2,... метрического пространства (X, d) называется фундаментальной, если для любого

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11А Фундаментальные решения в пространстве D. 1. Фундаментальные решения линейного дифференциального оператора

ЛЕКЦИЯ 11А Фундаментальные решения в пространстве D. 1. Фундаментальные решения линейного дифференциального оператора ЛЕКЦИЯ 11А Фундаментальные решения в пространстве D 1. Фундаментальные решения линейного дифференциального оператора Определение 1. Линейным дифференциальным оператором с постоянными коэффициентами порядка

Подробнее

Меры на сигма-алгебрах.

Меры на сигма-алгебрах. Тема 2 Меры на сигма-алгебрах. Идея меры является далеко идущим обобщением первоначального представления о площади и объеме подмножеств R n. Естественные требования, предъявляемые к объему, таковы: объем

Подробнее

Лекция 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. 1. Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих

Лекция 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. 1. Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих Лекция НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n lm n m Δх 0 f ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

Если мера, A S, то значение (A) (конечное или равное + ) функции называется мерой множества A., определенная на полукольце S, удовлетворяющая

Если мера, A S, то значение (A) (конечное или равное + ) функции называется мерой множества A., определенная на полукольце S, удовлетворяющая ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА МЕРА. ЛЕБЕГОВО ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Определение. Пусть S полукольцо подмножеств множества X. Функция : S [0+ ] тождественно не равная + называется

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4В Теорема Коши. 1. Определения. Рассмотрим задачу Коши { (1)

ЛЕКЦИЯ 4В Теорема Коши. 1. Определения. Рассмотрим задачу Коши { (1) ЛЕКЦИЯ 4В Теорема Коши В этой лекции будет доказана теорема о существовании и единственности решения задачи Коши. 1. Определения Рассмотрим задачу Коши { y = f(t, y), y( ) = y 0. (1) Пусть функция f(t,

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

Лекция мая 2009

Лекция мая 2009 Действительный анализ. Лекция 3. 3 мая 2009 Действительный анализ. IV семестр. 2009 год. Лектор Скворцов В. А. Об ошибках писать на july.tikh@gmail.com Лекция 3 3 мая 2009 Приведём несколько примеров применения

Подробнее

Лекция 3. Пространства Лебега. Продолжение

Лекция 3. Пространства Лебега. Продолжение Лекция 3. Пространства Лебега. Продолжение Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 28 февраля 2012 г. Введение В этой лекции мы продолжим

Подробнее

22. Связность; полнота

22. Связность; полнота 22. Связность; полнота Эта лекция посвящена двум слабо связанным между собой темам из «абстрактной топологии» (по возможности, с конкретными приложениями). 22.1. Связность Предложение-определение 22.1.

Подробнее

Задачи по функциональному анализу (V семестр)

Задачи по функциональному анализу (V семестр) Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова Факультет Вычислительной Математики и Кибернетики Кафедра Общей Математики Задачи по функциональному анализу (V семестр) лектор доцент Н. Ю.

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Лекция 1 (12 января 2015)

Лекция 1 (12 января 2015) КОНСПЕКТ ЛЕКТОРА, интеграл Лебега математический анализ, 2 курс, 3 модуль, 2015 А.М. Красносельский Лекция 1 (12 января 2015) Буду рассматривать скалярные функции, заданные на пространстве с мерой, то

Подробнее

Новосибирский государственный университет Кафедра математического анализа

Новосибирский государственный университет Кафедра математического анализа БИЛЕТ 1 «3» Определение первообразной «3» Теорема 11 (об интегрируемости кусочно непрерывной функции) «3» Пример (гармонический ряд расходится) «3» Пример ( 1/n 2 сходится) «3» Теорема 6 (интегральный

Подробнее

13. Экспонента и логарифм

13. Экспонента и логарифм 13. Экспонента и логарифм Для завершения доказательства предложения 12.8 нам остается дать одно определение и доказать одно предложение. Определение 13.1. Ряд a i называется абсолютно сходящимся, если

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

4. Непрерывность функции 1. Основные определения

4. Непрерывность функции 1. Основные определения 4. Непрерывность функции 1. Основные определения Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x если справедливо равенство f ( x). (1)

Подробнее

УДК 517(075.8) ББК ISBN

УДК 517(075.8) ББК ISBN Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ» В.Н. Горбузов МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ Учебное

Подробнее

А.А.Быков boombook.narod.ru,

А.А.Быков boombook.narod.ru, 1 MA k1sm3-n10-определенный интеграл 9. Лекция 9. Определенный интеграл. 7 9.1. Определенный интеграл... 7 9.1.1. Разбиение, выборка, интегральные суммы.... 7 9.1.. Верхние и нижние суммы. 9 9.1.3. Потомки

Подробнее

Д. Г. Орловский. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРАКТИКУМ Часть 1

Д. Г. Орловский. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРАКТИКУМ Часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ Д. Г. Орловский ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРАКТИКУМ Часть Рекомендовано УМО Ядерные физика и технологии

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n d lm n m Δõ ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

x называется равномерно непрерывной на множестве x X x x <δ f x f x <ε.3

x называется равномерно непрерывной на множестве x X x x <δ f x f x <ε.3 Глава 7. РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ Функция f ( ) x называется равномерно непрерывной на множестве X если > δδ ( ) > ( ) ( ) x x X x x

Подробнее

«5» Шаг 1 (достаточность) «5» Шаг 2 () «5» Шаг 3 (необходимость) «3» Теорема 3 (теорема сравнения для рядов/мажорантный признак)

«5» Шаг 1 (достаточность) «5» Шаг 2 () «5» Шаг 3 (необходимость) «3» Теорема 3 (теорема сравнения для рядов/мажорантный признак) БИЛЕТ 1 «3» Определение первообразной «3» Пример (гармонический ряд расходится) «3» Пример ( 1/n 2 сходится) «3» Теорема 6 (интегральный признак) БИЛЕТ 2 «3» Определение обобщенной первообразной «3» Теорема

Подробнее

4 Определенный интеграл Римана. Определение,

4 Определенный интеграл Римана. Определение, 4 Определенный интеграл Римана. Определение, обобщенная теорема о среднем значении, интеграл с переменным верхним пределом, формула замены переменной, интегрирование по частям, некоторые неравенства. 4.1

Подробнее

Семинар Лекция 2 СВОЙСТВА ИЗМЕРИМЫХ МНОЖЕСТВ. 1. Тождества теории множеств (продолжение)

Семинар Лекция 2 СВОЙСТВА ИЗМЕРИМЫХ МНОЖЕСТВ. 1. Тождества теории множеств (продолжение) Семинар Лекция 2 СВОЙСТВА ИЗМЕРИМЫХ МНОЖЕСТВ 1. Тождества теории множеств (продолжение) Обсудим ещё некоторые утверждения теории множеств. Пусть A P, B P. Тогда Также нам понадобится, что A \ B = A (P

Подробнее