ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное пособие Санкт-Петербург

2 УДК 5995 (758) Обыкновенные дифференциальные уравнения Рецензенты: канд физ-мат наук, доцент Е К Ершов (СПбГАСУ); канд физ-мат наук, доцент Д Ю Волков (РГПУ им А И Герцена) Смирнова, В Б Обыкновенные дифференциальные уравнения: учеб пособие / В Б Смирнова, Л Е Морозова; СПбГАСУ СПб, 87 с Пособие предназначено для самостоятельного изучения раздела «Обыкновенные дифференциальные уравнения» студентами специальностей с сокращенным курсом математики Даны основные определения и теоремы Приводится методика решения задач Рассмотрены многочисленные примеры Ил Библиогр: 6 назв Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве учебного пособия Введение Изучение различных задач геометрии, механики, физики часто приводит к уравнениям, содержащим искомые переменные величины и их производные Такие уравнения принято называть дифференциальными Если искомые величины являются функциями одной переменной, то дифференциальные уравнения называются обыкновенными Если искомые величины являются функциями нескольких переменных, то уравнения называются дифференциальными уравнениями с частными производными В данном учебном пособии изучаются только обыкновенные дифференциальные уравнения Дадим развернутое определение этого понятия Обыкновенным дифференциальным уравнением называется равенство, выражающее зависимость между функцией одной переменной, ее аргументом и ее производными Это равенство может не содержать самой функции ее аргумента, может не содержать ни функции, ни аргумента, но оно обязательно содержит хотя бы одну производную функции Приведем примеры обыкновенных дифференциальных уравнений: + ; () sin ; tg ; 5 Всюду далее обыкновенные дифференциальные уравнения будем называть дифференциальными уравнениями Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей входящей в него производной В приведенных выше примерах порядки уравнений, рассматриваемых сверху вниз, таковы: ; ; ; В Б Смирнова, Л Е Морозова, Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет,

3 Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Общий вид дифференциального уравнения первого порядка таков: F (,, ) () Здесь у у( Решением уравнения () на промежутке X (открытом замкнутом, конечном бесконечном) называется дифференцируемая на промежутке X функция (, которая при подстановке в () обращает его в тождество относительно аргумента X Если уравнение () можно разрешить относительно производной, то оно принимает вид f (, ), ( ( ) () В этом пособии мы будем рассматривать именно такие уравнения Приведем два примера уравнений первого порядка и постараемся найти их решения Рассмотрим уравнение ( cos () Легко видеть, что функция ( sin является решением уравнения () при всех (, ) Действительно, ( первообразная для функции cos Но любая функция вида sin + C, () Глава Дифференциальные уравнения первого порядка где C const, также является первообразной функции cos и, следовательно, является решением уравнения () Так что уже этот пример позволяет сделать вывод, что дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений Рассмотрим уравнение ( ( (5) Нетрудно догадаться, что его решением при всех (, ) является функция ( e (ведь только функция вида e, где α число, не меняет своего вида при дифференцировании) Нетрудно также увидеть, что любая функция Ce, (6) где C const, является решением уравнения (5) Таким образом, вывод, что дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, подтверждается и на этом примере Любое уравнение () имеет бесконечное множество решений Чтобы конкретизировать какую-то функцию из этого множества, для уравнения () задают начальное условие ( α (7) Оно читается так: функция ( при имеет значение Условие (7) часто записывают в виде ) ( Заметим, что при, функция f (, ) должна быть определена Поскольку любое уравнение () имеет бесконечно много решений, для него вводятся понятия общего и частного решений Общим решением уравнения () называется семейство функций ϕ(, C), зависящих от независимой переменной и произвольной постоянной C, обладающее следующими свойствами: 5

4 ) для любого конкретного значения C C функция ϕ(, C ) удовлетворяет уравнению (); ) для любой пары чисел, ), для которой функция f (, ) ( определена, найдется такое значение C C, что ϕ (, C ) удовлетво-оряет начальному условию (7) Обратимся к рассмотренным ранее примерам Убедимся, что решение () является общим решением уравнения () Пусть задано условие (7) Оно эквивалентно требованию sin + C Таким образом, C sin Тогда функция sin + sin удовлетворяет условию (7) Легко убедиться, что формула (6) дает общее решение уравнения (5) Действительно, при любом С функция Ce удовлетворяет уравнению (5), и для любой пары, ) функция ( (т е C ) удовлетворяет начальному условию (7) e ( e ) e Частным решением уравнения () называется решение, полученное из общего при конкретном значении C Таким образом, общее решение является совокупностью частных решений У уравнения () могут оказаться решения, которые не могут быть получены из общего решения ни при каком значении С Мы их рассматривать не будем Нас будет интересовать нахождение общих и частных решений дифференциальных уравнений Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения Замечание Часто при интегрировании дифференциального уравнения зависимость между функцией, ее аргументом и произвольной Глава Дифференциальные уравнения первого порядка постоянной C не удается получить в виде ϕ(, C), а удается получить в виде Φ(,, C) (8) Равенство (8) называется общим интегралом дифференциального уравнения () Равенство Φ(,, C ), (9) полученное из (8) при конкретном значении C C, называется частным интегралом уравнения () Заметим, что каждое частное решение уравнения () ϕ(, C ) задает линию на плоскости O Эта линия называется интегральной кривой уравнения Общее решение геометрически определяет множество интегральных кривых В связи с частными решениями уравнения () часто ставится задача Коши Эта задача состоит в нахождении решения уравнения (), удовлетворяющего заданному начальному условию (7) Мы не излагаем здесь теорем, гарантирующих существование и единственность решения задачи Коши (), (7) Они изложены в учебном пособии [6] Если дифференциальное уравнение таково, что его общее решение общий интеграл можно выразить через элементарные функции и неопределенные интегралы от элементарных функций (при этом интегралы могут оказаться неберущимися), то говорят, что уравнение интегрируется в квадратурах Существует несколько типов уравнений первого порядка, которые интегрируются в квадратурах В этом пособии будут рассмотрены следующие типы уравнений: простейшее, с разделяющимися переменными, линейное, обобщенное линейное (уравнение Я Бернулли) и однородное Простейшие уравнения Их общий вид таков: f ( () 6 7

5 Их общее решение представляет собой неопределенный интеграл от функции f (, т е f ( d + C Здесь и во всех последующих записях решений дифференциальных уравнений под символом f ( d имеется в виду одна (любая) первообразная подынтегральной функции Уравнение () является простейшим Уравнения с разделяющимися переменными Так называются уравнения вида f ( g( ) () Чтобы получить общее решение (общий интеграл) уравнения (), d следует воспользоваться тем, что (, а затем «разделить» переменные, т е записать уравнение () в виде d d f ( d g( ) d d d ) g( ) ( f ( d Деля обе части () на g (), можно потерять решения вида η, где η является решением уравнения g ( ) Эти решения после получения общего решения следует рассмотреть отдельно Может оказаться, что они не являются частными решениями () Если дифференциалы двух функций равны, то сами функции могут отличаться друг от друга лишь на постоянное слагаемое (См теорему о первообразных учебного пособия []) Следовательно, f ( d + d C () g( ) Формула () и дает общее решение (общий интеграл) уравнения () Заметим, что простейшее дифференциальное уравнение () является частным случаем уравнения с разделяющимися переменными (), когда g ( ) Пример Найти общее решение уравнения () Решение Правую часть этого уравнения можно разложить на множители: Глава Дифференциальные уравнения первого порядка ( ) + ( + ) ( + ) + ( + ) ( + )( + ) Следовательно, уравнение () можно переписать в виде ( + )( + ) + d ( + )( + ) d и «разделить» в нем переменные: d ( ) d + + Отсюда d ( + ) d + C + () arctg + + C Тем самым получен общий интеграл уравнения () Его можно переписать в виде arctg + + C

6 Пример Найти общее решение уравнения + (5) Решение Перепишем уравнение в виде d + d и, «разделив» переменные, получим Отсюда d d (6) + + d + d ln C Здесь произвольная постоянная выбрана в виде ln C ( C ) После вычисления интегралов получаем Глава Дифференциальные уравнения первого порядка Проинтегрируем (9) Получим d d + C + C () Получен общий интеграл уравнения (7) Легко увидеть, что геометрически формула () определяет семейство полупарабол ( + C), > C (рисунок) ln + + ln + ln C + + C ( С ) Тем самым получен общий интеграл исходного уравнения (5) Пример [] Дано дифференциальное уравнение ( > ) (7) А Найти его общее решение Б Решить для него задачу Коши с начальным условием (8) Решение А Запишем уравнение (7) в виде d d (9) Интегральные кривые уравнения (7) Б Чтобы решить задачу Коши (7), (8), подставим в формулу () начальные данные и Получим + C ; C Следовательно, искомое частное решение имеет вид () График функции () отмечен на рисунке жирной линией

7 Линейные уравнения Линейным уравнением называется уравнение вида + p( f ( ( p( ) () откуда Глава Дифференциальные уравнения первого порядка ln v p( d, v( p ( d e (7) Заметим, что искомая функция и ее производная входят в уравнение () только в первой степени и между собой не перемножаются Общее решение этого уравнения будем искать методом Бернулли Согласно этому методу решение ищется в виде произведения двух функций ( u( v(, () где функция v ( выбирается произвольно, а функция u ( определяется при известной уже v ( так, чтобы ( была решением () Подставим функцию () в уравнение () Получим u v + v u + p( uv f ( u v + u( v + p( v) f ( () Наложим на функцию v ( условие, состоящее в том, что она удовлетворяет уравнению v + p( v (5) Здесь мы воспользовались возможностью произвольно выбрать v ( Уравнение (5) уравнение с разделяющимися переменными Поэтому представим его в виде dv p( d (6) v Нам нужна лишь одна, любая функция, удовлетворяющая (5), поэтому произвольную постоянную при интегрировании положим равной нулю Подставив функцию v ( в уравнение (), получим для определения u ( простейшее уравнение f ( u v( Его общее решение имеет вид f ( u( d + C v( Тогда f ( ( Cv( + d v(, v( где v ( определяется по формуле (7) Пример Найти общее решение уравнения uv Тогда (8) запишется сле- Решение Ищем решение в виде дующим образом: (8) uv u v + v u (9) Проинтегрируем (6) Получим dv p( d v Функцию v ( ищем как решение уравнения v v

8 Обыкновенные дифференциальные уравнения dv d v uv Тем самым выражение v u в уравнении (9) обращается в ноль Интегрируя последнее равенство, получаем ln v ln v Подставляем найденную функцию v ( в уравнение (9) Получаем Тогда u u u ( + C Общее решение (8) имеет вид ( C + Пример 5 Найти общее решение уравнения dv d v Интегрируя это равенство, получаем ln v ln, откуда v α (Мы воспользовались свойством α ln A ln A ( A >, α R) ) откуда Глава Дифференциальные уравнения первого порядка Подставляем найденную функцию v ( в () Получаем, u e u( e d + C u( e e + C Общее решение уравнения () имеет вид C ( + e e Пример 6 Решить задачу Коши + e () Решение Ищем решение уравнения () в виде uv Тогда () принимает вид uv u v + v u + e () Выберем функцию v ( так, чтобы она была решением уравнения v v + () 5 + cos (e ), () () Решение Прежде всего следует получить общее решение уравнения () Ищем решение в виде uv Подставим его в () Получим u v + v u + uv cos (e ) (5) Выберем функцию v так, чтобы v u + uv Тогда v + v (6)

9 откуда Обыкновенные дифференциальные уравнения Решаем (6) как уравнение с разделяющимися переменными: dv d, v dv d, v ln v, e v (7) Подставляем функцию v ( из (7) в уравнение (5) Получаем u e cos (e ), e u( e cos (e ) d + C Отдельно найдем первообразную, стоящую в правой части, с помощью замены z : e cos (e ) d cos zdz ( cos z + ) dz ( e ) + e z sin z + sin 8 8 Таким образом, ( e ) + e + C u( sin, 8 и общее решение уравнения () имеет вид ( Ce + e sin(e ) + (8) 8 Теперь, чтобы найти постоянную C, подставим значения и из начального условия () в общее решение (8) Получим C + sin + 8 Глава Дифференциальные уравнения первого порядка 7 Следовательно, C sin, и решение задачи (), () имеет 8 вид ( e ) 7 ( sin e + e sin Обобщенные линейные уравнения (уравнения Бернулли) Уравнение Я Бернулли имеет вид a + p( f (, (9) где a и a (в случае a уравнение (9) превращается в уравнение с разделяющимися переменными, а в случае a в линейное уравнение) Решение уравнения (9) осуществляется тем же методом Бернулли, что и линейное уравнение (), т е реализуется следующая схема: Ищем решение в виде произведения двух функций ( u( v( () Подставляем функцию () в уравнение (9), получаем уравнение u v + v u + p( uv f ( u a v a () и выбираем функцию v ( так, чтобы она была частным решением уравнения v + p( v () Тогда p( d v( e () Подставляем найденную функцию () в уравнение () и получаем для определения u ( уравнение с разделяющимися переменными a a u v( f ( v ( u () 6 7

10 Находим общий интеграл уравнения () Для этого разделяем переменные и получаем Тогда u a du a f ( v ( d a u a a f ( v ( d + C (5) 5 Находим общий интеграл уравнения (9) При этом удобно в (5) заменить функцию u ( по формуле ( u (, v( полученной из () Общий интеграл имеет вид a ( a a ( a) v ( ( f ( v ( d C) + Пример 7 Найти общее решение уравнения (6) ln (7) Решение Это уравнение Бернулли с a Применяем метод Бернулли и ищем решение в виде uv Тогда уравнение (7) приобретает вид uv u v + v u u v ln (8) в виде Глава Дифференциальные уравнения первого порядка Интегрируем (9): Учитывая, что u u ln du ln d u (9) u ln d + C ln + C (5) u 9 u, получим из (5) общий интеграл (7) ln 9 + C 9 (5) 6 ln + C Пример 8 Найти общее решение уравнения + (5) + Решение Это уравнение Бернулли, где a Согласно методу Бернулли полагаем uv Тогда уравнение (5) принимает вид Выбираем функцию v так, чтобы она удовлетворяла уравнению v v В примере показано, что решением этого уравнения является функция v Тогда из (8) получаем уравнение для нахождения u (: 8 9 uv u v u v + v u + (5) + Выбираем функцию v так, чтобы она удовлетворяла уравнению v v +

11 При решении примера 5 показано, что решением этого уравнения является функция v Тогда из (5) получаем уравнение для нахождения u (: u du u Интегрируем (5) Получаем Найдем d ( + ) u u ( + ) d ( + ( в виде суммы простейших дробей: + ) (5) ) d + C (55) ( + ) Для этого представим правильную дробь A B + D + ( + ) + Определим коэффициенты А, В и D из тождественного равенства многочленов откуда A ( + ) + ( B + D), A + B ; D ; A, A, B, D Таким образом, d + ) d откуда Глава Дифференциальные уравнения первого порядка d ln ln + 8 ( + ) ln ( Тогда формула (55) приобретает вид ln u + C + u Учитывая, что uv, а значит, u, получим ln + C, + C + ln + Пример 9 [] Найти общее решение уравнения + + ( > ) (56) Решение Это уравнение Бернулли, где a Ищем его решение в форме uv Тогда уравнение (56) приобретает вид u v + v u + uv u v (57) Требуем, чтобы функция v ( удовлетворяла уравнению v + v (58) Решаем уравнение (58) как уравнение с разделяющимися переменными: dv d, v

12 Обыкновенные дифференциальные уравнения dv d, v ln v, v e Подставляем найденную функцию v ( в (57) Получаем Интегрируем (59): u e e u du e d (59) u du e d + C (6) u Найдем первообразную, стоящую в правой части (6), интегрируя по частям Положив t, dz e d, найдем dt d и z e Тогда d e e d e e e Формула (6) принимает вид u e e + C (6) Учитывая, что u, u e, определим из (6) общий интеграл уравнения (56) в v виде + Ce Глава Дифференциальные уравнения первого порядка 5 Однородные уравнения Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если оно может быть приведено к виду f (6) Чтобы найти общее решение ( общий интеграл) уравнения (6), ( введем новую функцию z(, так что ( z( Тогда ( z ( + z( и уравнение (6) можно записать в виде z f ( z) z (6) Мы получ уравнение с разделяющимися переменными Проинтегрируем его: dz f ( z) z dz d f ( z) z d + ln C ( C ) ; dz ln C (6) f ( z) z Получен общий интеграл уравнения (6) После определения первообразной, стоящей в левой части (6), и замены z на получим общий интеграл уравнения (6) Пример Найти общее решение уравнения + (65)

13 Решение Уравнение (65) можно записать в виде +, (66) поделив числитель и знаменатель его правой части на Вводим новую функцию z, и уравнение (66) приобретает вид откуда Преобразуем его: + z z + z z + z z z z dz + z d z Разделяя здесь переменные, получаем Интегрируем (67) Тогда z d dz (67) + z z d dz + ln C, + z arctg z ln( z + ) ln + ln C ( C ( + ) ) arctg z ln z Отсюда C arctg z + ) e ( z Заменяя здесь z на, находим окончательно arctg ( ) e C + Это общий интеграл уравнения (65) Пример Найти общее решение уравнения e + (68) Решение Сделаем замену искомой функции по формуле запишем уравнение (68) следующим образом: откуда Значит, Глава Дифференциальные уравнения первого порядка Отсюда находим, что C при ln > C, > e z + z + z e z z e, z d e dz e z dz + z z d C e ln + C ( C) z ln ln + Таким образом, общее решение уравнения (68) имеет вид C ( ln + C) ( > e ) ln z и 5

14 Пример [] Найти общее решение уравнения (69) + Решение Уравнение (69) является однородным Действительно, преобразуем его к виду Глава Дифференциальные уравнения первого порядка В результате формула (7) приобретает вид ln z + z 6z ln ln C ( z + z z) C 6 (7) + Это общий интеграл уравнения (7) Заменяя в нем z на и C на C, находим общий интеграл уравнения (69) + 6 C Теперь сделаем замену z Получим z z z + z z + z z + z 6z z (7) z z + «Разделим» переменные в уравнении (7) и проинтегрируем его Это дает что z z + d dz ln C (7) z + z 6z Вычислим первообразную, стоящую в левой части (7) Заметим, Тогда ( + z 6z) 6z + 6z 6 z ( z + z 6z) z + z z z z + d dz ln 6 z z 6z + z + z 6z 6 Решение задачи Коши для различных типов уравнений первого порядка Пример [] Решить задачу Коши: 6 7 +, (7) e (7) e Решение Сначала получим общий интеграл уравнения (7) Это однородное уравнение (его можно рассматривать и как уравнение Бернулли, где a ) Введем функцию z( Тогда ( ( z ( + z ( и уравнение (7) примет вид z (75) z d zdz (76)

15 Интегрируя (76), получим z ln + C Общий интеграл уравнения (7) имеет вид ln + C (77) Теперь подставим в (77) значения и из начального условия (7) Получим для определения C уравнение + С, откуда С Тогда искомый частный интеграл уравнения (7) имеет вид ln Учитывая (7), можем утверждать, что решение задачи Коши (7) (7) имеет вид у ln Пример Решить задачу Коши: +, (78) (79) Решение Уравнение (78) является уравнением Бернулли ( a ) Найдем его общее решение Положим uv Уравнение (78) приобретает вид uv u v + v u + u v (8) Глава Дифференциальные уравнения первого порядка Выбираем функцию v так, чтобы она удовлетворяла уравнению v v + При решении примера 5 показано, что этому уравнению удовлетворяет решение v Тогда из (8) получаем уравнение для нахожде- ния u (: u u du d (8) u Интегрируя (8), получаем ln + C u Тогда, поскольку u, общий интеграл уравнения (78) имеет вид v ln C (8) Подставим начальные значения и из (79) в общий интеграл (8) Получим С Тогда решение задачи (78) (79) имеет вид ( ln ) Пример 5 Решить задачу Коши:, (8) + 8 9

16 (8) Решение Прежде всего определим тип уравнения (8) Для этого представим его в виде d + d (85) Уравнение (85) является линейным относительно функции () Ищем его общее решение в виде uv Тогда из (85) следует, что Тогда uv u v + v u (86) Выбираем функцию v, удовлетворяющую уравнению v v dv d v Это уравнение с разделяющимися переменными Найдем его частное решение: Подставим (87) в (86) и получим уравнение для определения u( Глава Дифференциальные уравнения первого порядка Его общее решение имеет вид u u u ( ) + C Тогда общее решение уравнения (85) запишется следующим образом: ( ) + C (88) Подставим в (88) начальные значения и из (8) Получим + С, откуда С Таким образом, частный интеграл для задачи Коши (8) (8) имеет вид + dv d v, ln v ln, v (87)

17 Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА Общий вид дифференциального уравнения второго порядка таков: F (,,, ) () Здесь ( Решением уравнения () на промежутке X называется дважды дифференцируемая функция (, которая при подстановке в уравнение () обращает его в тождество относительно аргумента х на промежутке X Во многих случаях уравнение () может быть разрешено относительно старшей производной Тогда оно принимает вид ( ) f,, () Именно такие уравнения мы и будем рассматривать Рассмотрим пример уравнения второго порядка + () Здесь легко «угадать» решения: sin и cos Нетрудно также догадаться, что любая функция вида C sin + C cos, где C и C любые числа, также будет решением данного уравнения Ещё один пример: () Любая функция вида + C + C, где C и C числа, является решением этого уравнения Действительно, C C + ( C + C ) Итак, уравнение второго порядка, так же как и уравнение первого порядка, имеет множество решений В отличие от уравнений первого порядка множество решений здесь определяется не одним параметром C, а двумя параметрами: C и C Чтобы конкретизировать какую-то функцию из этого множества решений, для уравнения () задают начальные условия ( b, ( b (5) ( ( ) b, ( ) b f,, должна быть определена при, b, b Для уравнения второго порядка (так же как и для уравнения первого порядка) введем понятия общего и частного решений Общим решением уравнения () называется семейство функций ϕ(, C, C ), зависящих от независимой переменной и двух произвольных постоянных C и C, обладающее следующими свойствами: ) для любых значений C, C функция ϕ(, C, C ) является решением (); ) для любых трёх чисел, b, b, таких, что значение f (, b b ) определено, существуют такие значения C, C, что, Глава Дифференциальные уравнения второго порядка ) Функция ( ) ϕ(, C, C ) удовлетворяет начальным условиям (5) Частным решением уравнения () называется решение, полученное из общего решения при конкретных значениях C и C Задача Коши для уравнения () состоит в нахождении его частного решения, удовлетворяющего начальным условиям (5)

18 Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка Приведем некоторые типы уравнений второго порядка, которые могут быть сведены к уравнениям первого порядка Простейшие уравнения Общий вид простейшего уравнения таков: f ( (6) Общее решение этого уравнения получается последовательным интегрированием Запишем (6) в виде уравнения первого порядка относительно (: ( ) f ( (7) и получим общее решение этого простейшего уравнения: ( f ( d + C (8) Равенство (8) снова является простейшим уравнением первого порядка Его общее решение имеет вид ( ( f ( d + C ) d + C ( f ( d d + C + C ( ) (9) Приведенное ранее в качестве примера уравнение () является простейшим уравнением Пример Дано уравнение cos () А Найти его общее решение Б Решить задачу Коши для уравнения () с начальными условиями Глава Дифференциальные уравнения второго порядка, () Решение А Последовательно интегрируем (): ( cos d + C ( sin + C; () ( ( sin + C) d + C ( cos + C + C () Б Подставим значения, и из начальных условий () последовательно в () и () Из () получим + C, откуда C Из () получим + C, 5 откуда C Итак, решение задачи Коши () () имеет вид 5 ( cos + Уравнения, в которых отсутствует искомая функция Это уравнение имеет вид f (, ) () 5

19 Введём новую функцию z ( ( (5) Тогда ( z ( и уравнение () можно рассматривать как уравнение первого порядка относительно z( z f (, z) Пусть z ϕ(, C) является общим решением этого уравнения Тогда, учитывая (5), имеем ϕ, C ) (6) ( Мы получ простейшее уравнение первого порядка для определения ( Общее решение уравнения (6) имеет вид Это и есть общее решение уравнения () Пример Дано уравнение ( ϕ(, C d + C (7) ) (8) А Найти его общее решение Б Решить задачу Коши для уравнения (8) с начальными условиями, (9) Решение А Введём z ( ( Тогда ( z (, и (8) можно записать в виде z z + () Мы получ линейное уравнение первого порядка относительно z ( Решаем его методом Бернулли: 6 7 z uv, uv u v + v u + () Выбираем функцию v так, чтобы v v + Это уравнение имеет решение (см решение уравнения () из примера 5) v Подставляем его в () Получаем и Тогда Отсюда Глава Дифференциальные уравнения второго порядка u u u ( + C z( + C C z ( + Интегрируем простейшее уравнение (): C ( + () C ( + d + C

20 Обыкновенные дифференциальные уравнения ( + C ln + C () Глава Дифференциальные уравнения второго порядка Равенство (6) является уравнением первого порядка относитель- : но функции ( ) ( C ) ( ( ) Ψ, (7) Б Подставим значения, и из начальных условий (9) последовательно в () и () Получим из () + C, откуда C Получим из () откуда C + C, Решение задачи Коши (8), (9) имеет вид ( + ln Замечание В уравнениях, допускающих понижение порядка, при решении задачи Коши значения одной из двух произвольных постоянных можно находить сразу после первого интегрирования Уравнения, не содержащие независимой переменной Такие уравнения имеют вид f (, ) () Примем за новую независимую переменную и введем новую функцию этой переменной p ( ) Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, получим: ( ) ( p( ) ) p p p Теперь уравнение () превратилось в уравнение первого порядка p p f (, p) ( p p( ) ) (5) Предположим, что нам известно его общее решение p Ψ(,C ) (6) Это уравнение с разделяющимися переменными Интегрируем его: d Получен общий интеграл уравнения () Пример [] Решить уравнение + C (8) Ψ(, C ) ( ) ( ( ) (9) Решение Вводим новую независимую переменную и новую функцию p ( ) Тогда p p, и (9) принимает вид p p p + p p p + ( p p( ) ) () Отметив, что p (т е const) является решением (), рассмотрим теперь уравнение p p + () Уравнение () является уравнением с разделяющимися переменными Приведем () к виду dp d () p 8 9

21 и проинтегрируем (): откуда Тогда Учитывая, что Обыкновенные дифференциальные уравнения dp d + ln C ( C p ) ln p ln + ln C ( C ), C p () p, перепишем () следующим образом: C ( ( ) () Это тоже уравнение с разделяющимися переменными Отделим переменные в () и снова проинтегрируем: Отсюда d Cd d C + C C + C ± C + (5) C Получено общее решение уравнения (9) Заметим, что решение const входит в общее решение (5) Пример [] Найти общий интеграл ( общее решение) уравнения ( ) + ( ( ) (6) Решение Вводим новую независимую переменную и новую функцию p ( ) Тогда p p и (6) принимает вид + p p p ( p p( ) ) (7) Это уравнение с разделяющимися переменными Приведем его к виду и проинтегрируем: Тогда Из (8) и замены Интегрируем (9): Глава Дифференциальные уравнения второго порядка pdp + p pdp + p d + ln C d ( С ) ( + p ) ln + ln C ( С ) ln C + p C ( С ) (8) p ( ) следует, что C ± C (9) d ± + C C ± + C ( С ) Таким образом, найден общий интеграл исходного уравнения (6) ( ± C + C ) ( С ) C

22 Примеры различных уравнений, допускающих понижение порядка Пример 5 Решить задачу Коши, (), () Решение Уравнение () не содержит ни аргумента, ни искомой функции Положим ( z( Тогда ( z (, и уравнение () приобретает вид z z dz d () z Общий интеграл уравнения () имеет вид Снова используем формулы () Получим () + C, откуда С Итак, решение задачи Коши () () имеет вид Глава Дифференциальные уравнения второго порядка ( + ) ( + ( + + Пример 6 [] Найти общее решение уравнения ln () Решение Уравнение () не содержит искомой функции Введем функцию z ( ( Уравнение () приобретает вид z + C () Подставим в () начальные значения z и, доставляемые формулами () Получим C Подставив значение C в (), получим уравнение первого порядка + ( + ) Его общее решение имеет вид ( + ) ( + + C z z z ln (5) z Это однородное уравнение Осуществим замену u Тогда z u и z u + u Уравнение (5) преобразуется к виду u u(ln u ) du u(ln u ) Проинтегрировав (6), получим du d + ln ( ) (ln ) C C u u d (6)

23 Глава Дифференциальные уравнения второго порядка Отсюда Тогда ln ln u ln C ( C ) ln C u C+ u e z e C + C+ e (7) p p p ( p p( ) ) (5) Отметим, что p является решением уравнения (5) Оно не удовлетворяет начальным условиям (9) Так что интересующее нас решение задачи Коши удовлетворяет уравнению p p d dp (5) p Уравнение (7) простейшее уравнение первого порядка Найдем ( непосредственным интегрированием Получаем C + Общее решение () имеет вид C ( ( e d + C e C + Пример 7 Решить задачу Коши: ( ) C e C e + C + ( ( ) + C,, (8), (9) Проинтегрируем (5) и получим ln ln p + C (5) Подставим начальные значения и p из условий (9) Получим, что C Тогда из (5) следует, что ( ) d d (5) ( ) Интегрируя (5), получаем + С (5) ( ) Решение Уравнение (8) не содержит аргумента Будем рассматривать переменную как новую независимую переменную Введем новую функцию p ( ) Тогда p p, и уравнение (8) принимает вид Подставляя значения и из условий (9) в (5), получаем, что C Таким образом, искомое решение имеет вид 5

24 Глава ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА Общий вид линейного дифференциального уравнения второго порядка таков: + p( f ( () Если f (, то уравнение () называется однородным В противном случае оно называется неоднородным Рассмотрим линейное однородное уравнение + p( () Свойство суперпозиции решений линейного однородного уравнения Теорема Если функции ( и ( являются решениями линейного однородного уравнения () ) на промежутке X, то любая функция вида C ( + C ( ), () ( где C и C произвольные постоянные, тоже является решением уравнения () на промежутке X Доказательство Вычислим первую и вторую производные от функции (): ( C ( + C (, ( C ( + C ( Подставим функцию и ее производные в левую часть уравнения () Получим ( + p( ( ( C + C ( ) + ( Глава Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка + p( ( C ( + C ( C ( + C ( ) + ( ) () Перегруппируем слагаемые в правой части равенства () Тогда ( + p( ( ( C { ( + p( ( ( }+ + C + p( ( ( ) (5) { } ( Выражения, стоящие в фигурных скобках в правой части (5), обращаются в ноль, поскольку ( и ( являются решениями уравнения () Следовательно, при любых C и C справедливо тождество ( + p( ( (, и функция () при любых C и C является решением () Теорема доказана Вронскиан и его свойство Снова рассмотрим линейное однородное уравнение () Пусть ( и ( два его частных решения на промежутке X Определитель вида ( ( W ( ( ( ( ( ( ( называется вронскианом решений (, ( (по имени польского математика Ю Вронского) Конкретный вид функции W ( определяется видом решений ( и ( Однако, каковы бы ни были ( и (, функциям W ( присуще одно общее свойство о Теорема Либо вронскиан W ( тождественно равен нулю при всех из промежутка X, либо он ни при одном значении в ноль не обращается 6 7

25 Доказательство Запишем W ( в виде и продифференцируем эту функцию: W ( ( ( ( ) (6) ( W ( ( + ( ( ( ( ( ( ) ( ( ( ( ( (7) Составим теперь уравнение, связывающее W ( и W ( Для этого проведем следующие рассуждения Справедливы тождества + p, (8) ( + p (9) ( Умножим тождество (8) на ( ) и сложим полученные тождества В результате получим, а (9) на + ) + p( ( + ) ( Из равенств (6), (7) следует тогда, что W ( удовлетворяет уравнению W ( + p( W ( () Уравнение () является уравнением первого порядка с разделяющимися переменными Найдем его общее решение Запишем () в виде dw ( p( W ( d dw ( p( d W ( Глава Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка Отсюда Тогда dw ( W ( p( d + ln C lnw ( ln C + ln e p( d ( ) ( ) p C d ( C ) () ( C ) () W e () Заметим, что в формулах () и () мы должны предположить, что C Однако в итоговой формуле () это ограничение можно снять, так как W ( очевидным образом является решением уравнения () Из формулы () следует, что либо функция W ( нигде в ноль не обращается (при C ), либо W ( (при C ) Теорема доказана Ясно, что обращение необращение вронскиана W ( в ноль зависит от того, на каких решениях он построен В следующем пункте мы выделим в отдельные классы пары решений (, (, для которых W (, и пары, для которых W ( нигде не обращается в ноль Линейно зависимые и линейно независимые частные решения линейного однородного уравнения Пусть ( и ( какие-либо частные решения однородного уравнения () на промежутке X Будем говорить, что ( и ( являются линейно независимыми на промежутке X, если ( / const ( ( X ) () В противном случае, т е если ( const ( ( X ), (5) эти решения называются линейно зависимыми на промежутке X 8 9

26 В качестве примера рассмотрим снова уравнение () ( + ( Это линейное однородное уравнение второго порядка Легко проверить, что у него есть следующие частные решения: ( sin, ( cos, ( 5sin Решения ( и ( являются линейно независимыми Действительно, ( tg / const ( Точно так же линейно независимыми являются решения ( и ( А решения ( и ( являются линейно зависимыми, так как ( 5 ( Теорема Для того чтобы частные решения ( и ( линейного однородного уравнения () были линейно независимыми на промежутке X, необходимо и достаточно, чтобы соответствующий им вронскиан W ( нигде на промежутке X не обращался в ноль ( и продифференци- ( руем ее: Доказательство Рассмотрим функцию ( ( ( ( ( ( W ( (6) ( ( Необходимость Пусть решения ( и ( линейно независимы, т е справедливо соотношение () В силу соотношения () можем утверждать, что не равна тождественно при X ( ( Глава Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка (Известно, что если для какой-либо функции Φ ( справедливо тождество Φ ( ) при ( a, b), то функция Φ( ) const при ( a, b) ) Но тогда из (6) следует, что вронскиан W ( ни при каком X в ноль не обращается Достаточность Пусть W ( нигде на промежутке X в ноль не обращается Воспользуемся снова формулой (6) Из нее следует, что ( / ( X ) ( Следовательно, Теорема доказана ( / const ( ( X ) Структура общего решения линейного однородного уравнения Теорема Общее решение линейного однородного уравнения () имеет вид C ( + C ( ), (7) ( где C и C произвольные постоянные, а ( и ( любые линейно независимые частные решения уравнения () Доказательство Исходя из определения общего решения, нужно показать: ) функция (7) при любых C и C удовлетворяет уравнению (); ) для любых, b, b найдутся конкретные значения C, C такие, что функция ( C ( + C ( будет удовлетворять начальным условиям (5) Справедливость первого из этих утверждений непосредственно следует из свойства суперпозиции решений Покажем справедливость утверждения ) Рассмотрим начальные условия (5): 5 5

27 ( b, ( b Подставим значение в решение (7) и его производную и потребуем выполнения условий (5) Получим систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными C и C вида C ( ) + C ( ) b, C ( ) + C ( ) b (8) Значения ( ), ( ), ( ), ( ) являются её коэффициентами Заметим, что определителем матрицы системы (8) является вронскиан W ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) Так как решения ( и ( линейно независимы, то W ( ) Следовательно, система (8) всегда имеет единственное решение Его можно получить по формулам Крамера: C ; C, (9) W ( ) W ( ) где Функция b ( ) b, ( ) ( ) b ( ) b ( C ( + C ( удовлетворяет и уравнению (), и начальным условиям (5) Теорема доказана 5 Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами Рассмотрим частный случай уравнения (), когда p ( и q( постоянны, т е рассмотрим уравнение Глава Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка + p + q, () где p и q числа Покажем, что для уравнения () всегда можно найти пару линейно независимых частных решений и, следовательно, всегда можно построить общее решение Будем искать частные решения уравнения () в виде k e, () где k число Заметим, что k ke, k e Подставим решение в виде () и его производные в уравнение () Получим k e k e + pke k ( k k k + qe k + pk + q) () Равенство () превращается в тождество лишь тогда, когда k является решением квадратного уравнения k + pk + q () ( ) j (Оно получено из () заменой производных ( j,, ) на степе- k j ни k ) Уравнение () называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения () Итак, если k является корнем квадратного уравнения (), то функция e является решением дифференциального уравнения () Известна формула, по которой вычисляются решения квадратного уравнения (): k, p ± p q () Заметим, что уравнение () может иметь два различных корня (если p > q ), два одинаковых корня (при p q ) и может не иметь действительных корней (когда p < q ) 5 5

28 Рассмотрим каждый из трёх случаев отдельно p > q Тогда k k и у уравнения () есть два решения: k e и k e Они линейно независимы, так как ( k k ) e const Следовательно, в этом случае общее решение уравнения () имеет вид k k C e C e ( + p p q Тогда k k, и говорят, что уравнение () имеет один двукратный корень В этом случае мы получаем с помощью нашего предшествующего рассуждения лишь одно решение уравнения (): p e Покажем, что в этом случае функция p e также является решением () Действительно, Тогда p p ( ) ( ) e, + p + q e p + p p p ( ) ( + ) e p p p + p p + q Поскольку в данном случае q, легко установить, что выражение, стоящее в скобках, обращается в ноль и, следовательно, ( ) удов- летворяет уравнению () Решения ( и ( ) линейно независимы Общее решение () имеет вид Глава Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка p ( ( C C + ) e p < q В этом случае уравнение () не имеет корней в области вещественных чисел Введём в рассмотрение числа p q p α, β и покажем, что функции (5) α ( ) e sinβ, α ( ) e cosβ являются решениями () Рассмотрим ( ) и вычислим её производные e Тогда α {( α α α ( αe sin β + βe cosβ, α α ( ( α β ) e sin β + αβ e cosβ + p + q β )sin β + αβ cosβ + αp sin β + pβcosβ + q sin β} e α {( α β + αp + q)sin β + (αβ + βp)cosβ} Рассмотрим коэффициенты, стоящие в фигурных скобках при sin β и при cos β, и вычислим их с учетом (5): α β p p p + αp + q q + + q, αβ + βp β(α + p) Таким образом, выражение, стоящее в фигурных скобках, обращается в ноль и, следовательно, ( является решением () Точно так же можно показать, что ( ) является решением () Решения ( и ( ) линейно независимы Общее решение () в этом случае имеет вид α α ( C e sin β + Ce cosβ 5 55

29 Замечания: Если характеристическое уравнение () имеет два вещественных корня, то эти корни называются простыми (в отличие от двукратного корня) В случае, когда характеристическое уравнение () не имеет вещественных корней, говорят о его комплексных корнях α ± i β, где i, а α и β определяются по формулам (5) Арифметические действия сложения и умножения над комплексными числами осуществляются как действия над многочленами относительно i с учетом того, что i Так, ( α ± β) + p( α ± iβ) + q ( α β + pα + q) ± ( αβ + βp) i i Пример Найти общее решение уравнения (6) Решение Составим характеристическое уравнение k + 6k 7 Оно имеет корни k, k 7 (случай ) Общее решение (6) имеет вид 7 ( C e + C e Пример Найти общее решение уравнения (7) Решение Отметим сперва, что уравнение (7) формально отличается от уравнения () тем, что коэффициент при у него отличен от В этом случае можно поделить уравнение на коэффициент при и привести его к виду () Можно поступить иначе: получить для него алгебраическое характеристическое уравнение относительно k, заменяя ( ) производные j j ( j,, ) на степени k, и решать его по формулам, составленным для полного (а не приведённого, как ()) квадратного уравнения Составим характеристическое уравнение k + 5k + Глава Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка Найдём его корни: 5 ± 5 6 ; k, Общее решение (7) имеет вид e + Ce ( C Пример Найти общее решение уравнения (8) Решение Составляем характеристическое уравнение 9k + k + 6 Оно имеет один двукратный корень k k (случай ) Общее решение уравнения (8) имеет вид ( ( C C + ) e Пример Найти общее решение уравнения + (9) Решение Составляем характеристическое уравнение k k +, в котором p, q Это уравнение не имеет вещественных корней, так как p q 6 8 < (случай ) Введём числа α и β из (5): α p q p 8 6, β Общее решение уравнения (9) имеет вид + ( C e sin C e cos 56 57

30 Пример 5 Решить задачу Коши: + + 8, (), () Решение Найдём сначала общее решение уравнения () Составим его характеристическое уравнение k + k + 8, () в котором p, q 8 Уравнение () не имеет вещественных корней, поскольку p q 6 < (случай ) Введём числа p q p α, β Общее решение имеет вид ( C e sin + C e cos Подставим в него значения, и из начальных условий () Для этого сначала найдём его производную: Далее: ( e ( C sin C cos + C cos C {( C C )sin + (C C ) cos } e ( ) C, ( ) C C, sin откуда C, C Решение задачи Коши (9) () имеет вид ( e sin Пример 6 Решить задачу Коши: , (), () Глава Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка Решение Характеристическое уравнение имеет вид k + 5k + 6 Оно имеет два корня: k, k Общее решение () имеет вид ( Ce + Ce Вычисляем его производную e C e ( C Подставляем в общее решение и его производную значения, и из начальных условий (): ( ) C + C, ( ) C C Получена система уравнений для определения C и C C + C ; C C Эквивалентная (равносильная) система примет вид C + C C ;, откуда C 5, C Решение задачи Коши (), () имеет вид 5e e ( Пример 7 Решить задачу Коши: , (5), 5 (6) Решение Найдем сперва общее решение уравнения (5) Составим его характеристическое уравнение k + 6k + 9 (7) 58 59

31 Оно имеет один двукратный корень: k k (случай ) Общее решение (5) имеет вид ( Ce + C e Подставим в него значения, и из начальных условий (6) Для этого найдем производную общего решения ( Ce + Ce C e Далее: ( ) C, ( ) 5 C + C, откуда C, C Решение задачи Коши (5) (6) имеет вид ( e e Глава ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение + p( f ( ( f ( / ) () Структура общего решения линейного неоднородного уравнения Пусть ~ ( ) какое-либо частное решение уравнения (), т е справедливо тождество ~ + p( ~ ~ f ( ) () Теорема 5 Общее решение линейного неоднородного уравнения () имеет вид ( ( ) ~ + (, () где ( ) общее решение соответствующего однородного уравнения p( () а ~ ( ) частное решение неоднородного уравнения () Доказательство Учитывая вид общего решения однородного уравнения (), нам нужно показать, что общее решение уравнения () имеет вид C ( + C ( + ~ ( ), (5) ( где (, ( ) линейно независимые частные решения однородного уравнения (); C и C произвольные постоянные, а ~ ( ) частное решение уравнения () Так же, как доказательство теоремы об общем решении однородного уравнения (), доказательство данной теоремы разделим на две части

32 Докажем, что при любых значениях постоянных C и C функция (5) удовлетворяет уравнению () Для этого дважды продифференцируем функцию () и подставим саму функцию и ее производные в левую часть уравнения () Получим: + p( ( + ~ ) + ( )( + ~ ) + ( )( + ~ p q ) + p( ) + ( ~ + p( ~ ~ ) (6) ( Поскольку общее решение уравнения (), где C ( + C (, выражение в первой скобке правой части равенства (6) обращается в ноль С другой стороны, в силу того, что ~ ( ) удовлетворяет тождеству (), выражение во второй скобке правой части (6) равно f ( Так что при любых значениях C, C справедливо тождество + p( f ( Докажем, что для любых начальных условий ( ) b, ( ) b найдутся такие значения C и C, для которых функция (7) C ( + C ( + ~ ( ) (8) ( удовлетворяет начальным условиям (7) Для этого вычислим значение функции (5) и ее производной при и потребуем выполнения (7) Получим систему линейных алгебраических уравнений относительно C и C Глава Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка Единственное решение этой системы можно найти по формулам Крамера: где W ( C b ~ ~ ( ) ( ) ( ) b ( ) b ~ ( ) ( ) ( ) ~ b ( ), C, () W ( ) W ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) значение вронскиана линейно независимых частных решений ( ), ( ) Напомним, что W ( ), так как решения и ( ) линейно независимы Таким образом, функция ( (8), где постоянные C и C вычислены по формулам (), удовлетворяет начальным условиям (7) Теорема доказана Существует несколько методов отыскания частных решений ~ ( ) уравнения () Один из них является универсальным, другие приспособлены к определенным видам правых частей уравнения () Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) Этот метод позволяет находить частное решение ~ ( ) неоднородного уравнения () всегда, когда известно общее решение ( однородного уравнения () Более того, он позволяет сразу получить общее решение () Итак, рассмотрим параллельно оба уравнения () и (): + p( f (, + p( C ( C ( ) + C ) + C ( ( ) b ) b ~ ( ); ~ ( ) (9) Пусть общее решение () известно и имеет вид ( ( C ( + C ( const () ( 6 6

33 Будем искать частное решение () в виде (), заменив постоянные C и C неизвестными пока функциями A( и B( Тогда ~ ( A( ( + B( ( ), () где функции A( и B( подлежат дальнейшему определению Их следует выбрать так, чтобы решение ~ ( ) удовлетворяло уравнению () Продифференцируем функцию () Получим ~ ( A( ( + B( ( + A ( ( + B ( ( Потребуем, чтобы выполнялось условие A ( + B ( ( () ( Найдем теперь вторую производную от функции (), учитывая дополнительные условия () Получим ~ ( A( ( + B( ( + A ( ( + B ( ( Подставим ~ (, ~ (, ~ ( ) в левую часть уравнения () Получим ~ ( + p( ~ ( ~ ( A( [ ( + p( ( ( ] + + B( [ ( + p( ( ( ] + () + A ( ( + B ( ( A ( ( + B ( ( Действительно, поскольку ( и ( ) есть частные решения однородного уравнения (), выражения, стоящие в квадратных скобках в цепочке равенств (), обращаются в ноль Требуется теперь, чтобы выполнялось равенство A ( + B ( ( f ( ) (5) ( Тогда ~ ( ) будет решением уравнения () Итак, получена система уравнений для определения A ( и B ( Ее составляют уравнения () и (5) Она имеет вид Глава Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка A ( ( + B ( ( ; A ( ( + B ( ( f ( (6) Заметим, что определитель этой линейной относительно A ( и B ( системы является вронскианом решений ( и ( ) уравнения () ( ( ( ( Поскольку решения ( и ( ) линейно независимы, он всегда отличен от нуля Система (6) имеет единственное решение, выражающее A ( и B ( через (, ( ) и их производные Оно может быть найдено по формулам Крамера Зная A ( и B (, определим их первообразные: A ( A ( d и B ( B ( d Частное решение () может быть записано в виде ( A ( d ( + ( B ( d ( ) ~ ( (7) Тогда общее решение () имеет вид ( A ( d + C ) ( + ( B ( d C ) ( ) ( + (8) Пример Найти общее решение уравнения + (9) sin Решение Рассмотрим соответствующее уравнению (9) однородное уравнение + () 6 65

34 Его общее решение имеет вид Обыкновенные дифференциальные уравнения ( + C sin C cos () Здесь ( sin и ( cos являются его линейно независимыми частными решениями Частное решение уравнения (9) ищем в виде ~ ( A( sin + B( cos Для отыскания функций A ( и B ( составим систему (6): A ( sin + B ( cos ; A ( cos B ( sin sin Определитель этой системы имеет вид Тогда sin cos ( ) W sin cos cos sin cos sin A ( ctg ; B ( sin cos sin sin Далее: A( ctg d ln sin, B(, и общее решение уравнения (9) имеет вид ( (ln sin + C)sin + ( C cos Пример Найти общее решение уравнения () + + () e + Решение Соответствующее () однородное уравнение имеет вид + + () Глава Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка Его характеристическое уравнение k + k + имеет два действительных корня: k ; k Следовательно, () имеет два линейно независимых частных решения e и e, а его общее решение запишется следующим образом: ( Ce + Ce Частное решение уравнения () ищем в виде ~ ( A( e + B( e Для нахождения функций A ( и B ( составляем систему уравнений A ( e A ( e + B ( e B ( e Ищем определитель системы (5): Тогда W ( e e e e e ; e + + e e e e A ( e ; e e + e + e e B ( e e e + e + (5) Можно решить систему (5) и по-другому Сложим оба уравнения системы (5) и получим A ( e e

35 Обыкновенные дифференциальные уравнения e A ( e + Подставим полученный результат в первое уравнение системы (5) и найдем e B ( e + Ищем первообразные функций A ( и B (: ( e + ) e (e ) ( ) + ln e + d A d, e + e d(e ) d arctg e B( e + e + Общее решение уравнения () имеет вид ( e + ) e + ( C + arctg e ) ( C ln e Пример Найти общее решение уравнения Глава Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка Ищем частное решение уравнения (6) в виде ~ ( A( e + B( e Для отыскания A ( и B ( составляем систему уравнений A ( e A ( e + B ( e + B ( ; ( e + e ) A ( + B ( ; A ( + B ( ( + Определитель системы (8) имеет вид Тогда e W ( A ( +, (8) e Решение Составляем однородное уравнение Его характеристическое уравнение k (6) + (7) k + имеет один кратный корень k Общее решение (7) имеет вид ( Ce + C e B ( Можно решить систему (8) по-другому Первое уравнение системы (8) умножим на ( ) и сложим со вторым уравнением Получим B ( + 9 и подставим этот результат в первое уравнение системы (8) Находим первообразные функций A ( и B (: A ( d ln( + 9),

36 d B ( arctg + 9 Тогда общее решение уравнения (6) имеет вид ( + 9) e + C + arctg ( C ln e Линейные дифференциальные уравнения со специальными правыми частями Пусть функции p ( и q ( в левой части уравнения () являются постоянными Тогда для определенных типов правых частей этого уравнения вид частного решения заранее известен и нет необходимости применять метод вариации постоянных Рассмотрим здесь два варианта специальных правых частей I Уравнение () имеет вид + p + q P n e λ ( ), (9) n n где Pn ( a + a + + an + an ( a ) многочлен степеí è n, а λ вещественное число Уравнению (9) соответствует однородное уравнение + p + q с характеристическим уравнением k + pk + q () Теорема 6 (без доказательства) Уравнение (9) имеет частное решение ~ вида λ Qn ( e, если λ не является корнем (); ~ ( λ Qn ( e, если λ является простым корнем (); λ Qn ( e, если λ является кратным корнем (), Глава Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка n n где Qn ( b + b + + bn + bn ( b ) многочлен той же степени n, что и многочлен P n (, с коэффициентами b, b,, b n, bn, подлежащими дальнейшему определению Коэффициенты b i ( i,,, n) многочлена Q n ( должны быть такими, чтобы функция ~ ( ) удовлетворяла уравнению (9), поэтому для их отыскания используют следующий алгоритм С помощью теоремы 6 устанавливается вид частного решения ~ ( ) Затем находятся производные ~ ( ) и ~ ( Решение ~ ( и его производные с неопределенными пока коэффициентами подставляются в уравнение (9) и обе его части сокращаются на e Далее мы λ определяем коэффициенты b i ( i,,, n) исходя из тождественного равенства двух многочленов, стоящих в левой и правой частях полученного равенства Пример Найти общее решение уравнения ( ) e () Решение Общее решение ищем в виде ~ + Неоднородному уравнению () соответствует однородное уравнение + 5 () Его характеристическое уравнение k + k 5 () имеет корни k, k 5 Следовательно, общее решение однородного уравнения () имеет вид 5 ( Ce + Ce Обратимся теперь к правой части уравнения () Здесь λ, P n ( +, следовательно, n Поскольку λ k, частное решение уравнения () следует искать в виде ~ ( ( A + B) e ( A + B e, где коэффициенты A и B неизвестны 7 7

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Первообразная и неопределённый интеграл Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении производной (или дифференциала) данной функции. Интегральное исчисление

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие 57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция 15 Решение

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ЛГЛелевкина ТАШемякина Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по математическому анализу

Подробнее

Неопределенный интеграл. Вводная часть.

Неопределенный интеграл. Вводная часть. Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F( ) называется первообразной для данной функции f( ), если F( ) f( ), или, что то же самое, df f d Данная функция f( ) может иметь различные первообразные,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Неопределённый интеграл

Неопределённый интеграл Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА Неопределённый интеграл Учебное пособие Санкт-Петербург

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :

Подробнее

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x)

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x) ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P Q, где P и Q многочлены Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P ниже степени

Подробнее

Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Основные понятия и формулы 1. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке

Подробнее

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный технический университет Аксёнов АП СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДУ допускающие понижение ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДУ линейные неоднородные (ДУЛН) ДУ линейные однородные

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики А.В. Капусто Минск 07 07 Кафедра «Высшая

Подробнее

x - заданные непрерывные функции от х (или

x - заданные непрерывные функции от х (или ЛЕКЦИЯ 3 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Определение: Линейным уравнением -го порядка называет уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид:

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

Подробнее

Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ" matem.org.ua

Кафедра высшей математики ГВУЗ НГУ matem.org.ua matmorgua Министерство образования и науки Украины НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Библиотека иностранного студента ЛВ Новикова ЕС Синайский ЛИ Заславская МАТЕМАТИКА Часть ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: В.П.Белкин

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: В.П.Белкин Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: ВПБелкин Лекция Неопределенный интеграл Основные понятия Свойства неопределенного интеграла 3 Основная таблица первообразных 3 4 Типовые примеры 3 5 Простейшие

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

9. Первообразная и неопределенный интеграл

9. Первообразная и неопределенный интеграл 9. Первообразная и неопределенный интеграл 9.. Пусть на промежутке I R задана функция f(). Функцию F () называют первообразной функции f() на промежутке I, если F () = f() для любого I, и первообразной

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

А.В. Чичурин О СУЩЕСТВОВАНИИ ОБЩИХ ИНТЕГРАЛОВ СПЕЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ У УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА

А.В. Чичурин О СУЩЕСТВОВАНИИ ОБЩИХ ИНТЕГРАЛОВ СПЕЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ У УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА МАТЭМАТЫКА 9 УДК 579 АВ Чичурин О СУЩЕСТВОВАНИИ ОБЩИХ ИНТЕГРАЛОВ СПЕЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ У УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА Рассматривается метод построения общего интеграла специальной формы для нелинейного дифференциального

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова Высшая математика IV САМОУЧИТЕЛЬ

Подробнее

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. Приложение. Определение первообразной функции Определение. Дифференцируемая функция F() называется первообразной для функции f() на заданном промежутке, если для всех из этого промежутка. справедливо равенство

Подробнее

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Кафедра Высшей и прикладной математики Романова ЛД, Ланцова ВА, Романова ЕГ Контрольные задания по высшей математике и методические

Подробнее