Дифференциальные уравнения

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Дифференциальные уравнения"

Транскрипт

1 ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое составлено относительно неизвестной функции и производных от неѐ. Определение: Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящие в это дифференциальное уравнение. Определение: дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если оно составлено относительно неизвестной функции одного переменного. f(,,',, (n) ) = = () Например; дифференциальное уравнение третьего порядка: 5 Определение: дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных, если оно составлено относительно функции нескольких переменных. F (,, z(, ), z, z z, ) = z Например: уравнение Лапласа: z = Определение: Решением дифференциального уравнением называется неизвестная функция, обращающая это уравнение в тождество. Определение: Процесс отыскания решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

2 ~ ~ Задача на составление дифференциального уравнения. Дано: Материальная точка массой m брошена c некоторой высоты со скоростью V, в среде с коэффициентом сопротивления. Требуется составить дифференциальное уравнение движения материальной точки. F m На материальную точку действуют: F силы сопротивления среды F mg и силы тяжести F V. По третьему закону Ньютона: F F ma, где ускорение вычисляется через скорость: a V. Тогда: mg V m V : m точки. V V g - дифференциальное уравнение движения материальной m

3 ~ 3 ~ Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка и теорема Коши для него. Обыкновенное уравнение первого порядка имеют вид: ' f ( ; ) () т. Коши: Если в уравнении () функции f, f ' являются непрерывными D R, то через каждую точку области D проходит единственное решение. M M M Рис. В точке М (Рис.) походят решения, что () противоречит т. Коши, значит решения уравнения () представляют собой непересекающиеся линии (Рис.). () () () Т.к. область содержит бесчисленное множество точек, то уравнение () имеет бесчисленное множество решений. Рис. Например: ' g - const; d g d gd ; d gd ; g c. d Вывод: решение уравнения () отличаются друг от друга на величину произвольной постоянной. Определение: решение ( ; c) непрерывно зависящее от аргумента и произвольной постоянной с, определѐнной единственным образом для каждой точки области, называется общим решением уравнения (). Определение: условие прохождения решения через заданную точку области называется начальным условием (н.у.). Замечание: Количество н.у. определяется порядком дифференциального уравнения. Для дифференциального уравнения первого порядка н.у. имеет вид: ( ) Определение: решение (, c ) удовлетворяющее н.у. называется частным решением. Например: н.у. ( ) ; g c c ; g. Определение: Решение дифференциального уравнения представленное в виде неявной функции называется общим интегралом дифференциального уравнения. 3 Например: sin.

4 ~ 4 ~ Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Определение: дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, если правая часть его представлена в виде произведения двух функций, отдельно зависящих от и : f( ) f ( ) Замечание: если правая часть содержит только f ( ), или f ( ), или const, то это дифференциальное уравнение также будет являться частным случаем дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. d d d d. f ) f ( ) ( Порядок решения:.переносим всѐ, что касается в левую, что в правую часть: d f ( ) f ( ) d 3.Интегрируем левую и правую части: d f ( ) f ( ) d Пример: d d d d ln ln c. Замечание: Произвольную постоянную с можно представить через любое выражение или функцию с этой постоянной. ln ln ln c ln ln c c - общее решение

5 ~ 5 ~ Однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Определение: Функция f (, ) называется однородной, если для неѐ n выполняется следующее условие f (, ) f (, ) (.) n-порядок однородности функции. од- Например: f (, ) f (, ) нородная функция второго порядка. ( ) ( ) ( ) f (, ) Определение: дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если правая часть этого уравнения представлена однородной функцией нулевого порядка:. f (, ) f (, ) f (, ) f (, ) Порядок решения: Замечание: Если дифференциальное уравнение содержит, то это является признаком неоднородности.. f, u u u u u u u u является формулой обратной замены. u u ( u) u ( u) u 3.Замена ( ) Замечание: ( ) 4. Замечание: Однородное дифференциальное уравнение первого порядка всегда приводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными. du u ( u) u du ( u) u 5. Пример: u ; du u d u u u u u u d u du d ln u ln ln c u c u c u Линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

6 ~ 6 ~ Определение: Дифференциальное уравнение называется линейным, если коэффициенты перед неизвестной функцией и еѐ производной являются функциями одного переменного, а неизвестная функция и еѐ производная входит в уравнение первой степени. a ( ) a( ) a3( ) : a( ) Замечание: a ( ) т.к. в противном случае мы получим не дифференциальное уравнение, а алгебраическое уравнение: a( ) a3( ) a( ) a a3( ) ' ( ) a ( ) p( ) g( ) (). Вывод формулы решения В уравнении () временно примем правую часть равную нулю: p( ) p( ) дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. d d p( ) p( ) d ln p( ) d ln c с( ) d с p( ) d p( ) d ( ) с( ) p d () Замечание: Т.к. в уравнении () правая часть неравна нулю и является функцией от, то в решении () с является функцией от. Для того чтобы удовлетворить решение () уравнению (), найдѐм производную от этого решения: p( ) d p( ) d c( ) c( ) ( p( ) d) ( ) ( ) c ( ) p d p d c( ) ( p( )). (3) Подставляем () и (3) в (): p d p d p d c'( ) ( ) ( ) ( ) c( ) ( p( ) p( ) c( ) p d g( ) ; c'( ) ( ) g( ) c g p ( ) '( ) ( ) d дифференциальное уравнение разделяющимися переменными dc p( ) d p( ) d g p( ) d ( ) dc g( ) d c( ) g( ) d c (4) d p d p d Подставляем (4) в (): ( g( ) ( ) d c) ( ) (5) Например: ' g,n,g-const; m ( m g d d c ) m d ( m g d c ) m m m g m c ( ) ; g m m c - общее решение. gm gm gm gm н.у. ( ) ; c c m ( ) - частное решение. Дифференциальное уравнение Бернулли.

7 ~ 7 ~ Уравнение Бернулли имеет вид: n P( ) g( (6) ) Замечание: уравнение Бернулли является нелинейным, так как в нѐм присутствует функция n - ой степени. Частные случаи решения (6).. n P( ) g( ) () - линейное уравнение первого порядка. n P( ) g( ) ( g( ) P( )) - дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными n 3. n ; Разделим обе части уравнения (6) на Замена z n P( ) n g( ) n (7) n n z z z ( n) P( ) z g( ) z ( n) P( ) z ( n) g( ) n n линейное дифференциальное уравнение первого порядка, для которого известно решение (5). ( n) P( ) d ( n) P( ) d Z ( n) g( ) d c (8) После определения Z по формуле (8) осуществляется обратная замена по формуле (7). Пример: P( ) g( ) n 3 Z Z ( dх c) ( d c) 3 d d dt Замена: t dt d d t dt t t Z ( c) ( dt c) ( c) ( c) Z c c - общее решение. c

8 ~ 8 ~ «Общие сведения о дифференциальном уравнении -го порядка и теорема Коши для него» Дифференциальное уравнение -го порядка имеют вид: '' f (,, ') () т. Коши: Если в уравнении () функции f, f ', f ' ' непрерывны ' V R 3, то через каждую точку области V проходит единственное решение уравнения (), удовлетворяющее двум начальным условиям. Замечание: Решением уравнения () будет являться бесконечное число поверхностей проходящих через каждую точку области V. Определение: Общим решением уравнения () будет являться функция (, c, c ) непрерывно зависящая от аргумента и двух произвольных постоянных определяемых единственным образом для любых н.у. Определение: Частным решением уравнения () называется функция (, c, c) удовлетворяющая двум н.у. ( ) ; '( )

9 ~ 9 ~ Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Первый случай: Признаком этого случая является отсутствие в явном виде в уравнении () переменной у, то есть дифференциальное уравнение имеет вид: у f ( х, у). Замена: z( х) у () z z f ( х, z) (3) Решая дифференциальное уравнение первого порядка (3), находим функцию z z(, c). Подставляя z z(, c) в дифференциальное уравнение первого порядка () и решая его, находим искомую функцию (, c, c). Пример: z z у у х х - линейное дифференциальное уравнение второго порядка. P( ) ; g( ) P( ) d P( ) d Используем формулу: z g( ) d C 3 d d ln ln z [ d C] d C [ d C] [ C] 3 3 C z 3 C -дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными d C C d ( ) d d Cln C 9 - общее решение.

10 ~ ~ Второй случай: В этом случае уравнение () не содержит в явном виде переменной х, то есть имеет вид f (, ). Замена: z z( ) (4) z zz z z f (, z (5) ) Замечание: Если уравнение (5) является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, то dz z. d Решая дифференциальное уравнение (5), находим функцию z z(, c). Подставляя z z(, c) в дифференциальное уравнение (4) и решая его, находим (, c, c). Пример: 3 н.у. ( 3) ; ( 3) zz 3z z 3z dz z dz d z C z C d 3z - дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. 3 C - дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными ` d 3 C d d 3 C d Общего решения дифференциальное уравнение не имеет, т.к. интеграл левой части не имеет первообразный в элементарных функциях. 3 Из н.у. следует C C d C 3 3 d C C C 3 C C 3 C ln 3ln Из н.у. 3ln C 3ln( ) - частное решение. C 3

11 ~ ~ Понятие линейного дифференциального уравнения -го порядка. Определение: Дифференциальное уравнение -го порядка называются линейными, если коэффициенты перед функцией производными от неѐ являются функциями только аргумента х, и функция еѐ производной входит в уравнение первой степени. a ( ) '' a ( ) ' a ( ) a ( ) : a ( ) 3 4 Замечание: a ( ) т.к. в противном случае получится дифференциальное уравнение - го порядка: a( ) ' a3( ) a4( ) a( ) a3( ) a4( ) '' ' a( ) a( ) a( ) p ( ) ' p ( ) g( ). (). Определение: Линейное дифференциальное уравнение называется однородным, если правая часть в уравнении () равна нулю и неоднородным в противном случае. Определение: Два частных решения в уравнении () называются линейно зависимыми, если их отношение равно константе и независимыми, если их отношение - функция. Определение: Два частных линейно независимых решения образуют фундаментальную систему уравнения (). Определение: Определитель -го порядка составленный из -х частных решений и производных от них называется определителем Вронского. W ' '

12 ~ ~ войства однородного дифференциального уравнения -го порядка. Первое свойство: сумма двух частных решений P P. () войство: умма двух частных решений уравнения () так же является решением этого уравнения. Доказательство: у,у - частные решения уравнения (). Требуется доказать: что у=у +у () - частное решение уравнения () Подставляем частное решение у,у в уравнение () P P + P P ( ) P ( ) P ( ) Каждая из скобок заменяется формулой () P P () решение () является частным решением уравнения (). Второе свойство: умножение решения на константу. войство: Произведение частного решения на константу также является частным решением уравнения (). Доказательство: - частное решение уравнения (). Требуется доказать: c (3) - частное решение (). Подставляем (3) в (): c '' cp ' cp : c '' p ' p () (3) - частное решение уравнения (). ледствие из -го и -го свойства: Линейная комбинация -х частных решений уравнения () также является частным решением этого уравнения: c c.

13 ~ 3 ~ Третье свойство: формула Остроградского - Лиувилля. войство: Пусть, - частное решение уравнения ().Подставляем у,у в уравнение (). + P P (-у ) P P (у ) ( ) P ( ) P ( ). Вычислим определитель Вронского w вторая скобка является определителем Вронского. Вычислим производную от определителя Вронского w первая скобка является производной от определителя Вронского. w P w w P w- дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными dw dw Pw Pd d w ( const;, D область решения дифференциального уравнения) ln w( ) w( ) ln w( ) P d ln w( ) ln w( ) P d w( ) w( ) P ( ) d P d формула Остроградского - Лиувилля. ледствия из третьего свойства. ледствие : Если определитель Вронского не равен нулю в одной какойто точке области решения, то он не равен нулю и во всех точках этой области. ледствие 3: Определитель Вронского равен нулю, если он составлен из линейно зависимых решений. C C C w C ледствие 4: Определитель Вронского не равен нулю, если он составлен из линейно независимых решений.

14 ~ 4 ~ Четвертое свойство: труктура общего решения. войство: Если, - фундаментальная система решений уравнения (), то c c (4) является общим решением этого уравнения. Доказательство: Решение (4) является частным решением уравнения (), что следует из следствия. Для доказательства общности решения необходимо подтвердить, что c и с определяются единственным образом из -х производных н.у.: ( ) и ' ( ) c ( ) c ( ) Удовлетворяем решение (4) начальным условиям:. (5) c '( ) c '( ) Получим систему линейных алгебраических уравнений (5) относительно c, с, которую ( ) ( ) решаем методом Крамера: dt A W ( ) '( ) '( ) W ( ) по 4-му следствию т.к. по условию, W ), D - линейно независимые. (, по -му следствиюсистема (5) имеет единственное решение c, с определяются единственным образом для любых н.у. решение (4) является общим решением уравнения ().

15 ~ 5 ~ Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. P P () (P,P - const) Решение уравнения () ищем в следующем виде: () где - неизвестная константа. Найдем производные: (3) (4) Подставляем (,3,4) в (): P P : P P - характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (). Вычислим дискриминант: D P 4P Корни характеристического уравнения действительные, разные. P D, Подставляем, в решение () получаем два частных решения: D ; Покажем, что эти два решения линейно независимы ( ) - функция, так как, - линейно независимые решения C C C C Пример: D ; 6 C C - общее решение.

16 ~ 6 ~ Корни характеристического уравнения действительные, равные. P D (5) Подставляя (5) в () получим одно частное решение. Второе частное решение будем искать в следующем виде: u( ) (6) u u ( u u) (7) ( u u) ( u u) ( u u u ) (8) Подставляем (6,7,8) в уравнение () и сокращаем на. u u u Pu Pu P u u u( P ) u( P P ) Вторая скобка равна нулю, так как она является левой частью характеристического уравнения. Подставим в первую скобку из (5) P u u( ( ) P ) u u C - дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. du C d du C d u C C Для получения частного решения зададим произвольные постоянные C ; C u (9) Подставляем (9) в (6). Покажем, что эти решения линейно независимы: - функция, - линейно независимы C C Пример: 4 4 н.у. ( ) C C ) ( ) ( C C) C C C C C C ( 4 4 ( ) ( C C) - общее решение. Из н.у. ( ) - частное решение.

17 ~ 7 ~ Корни характеристического уравнения комплексные. Обозначим этого числа. p D i D,, ( p D, i. i ); p - действительная часть комплексного числа, D - мнимая часть к, i. () Лемма: Если u( ) v( ) i () является решением уравнения (), то действительная часть u () и мнимая часть v () этого решения в отдельности также является решением уравнения (). Доказательство: подставляем решение () в уравнение (). u ' v'' i p u' p v' i p u p vi ; u '' p u' p u) i( v'' p v' p v). ' ( Замечание: Комплексное число равно нулю, если одновременно равны нулю его действительные и мнимые части. u '' pu ' pu () и v '' p v' pv () u, v решения уравнения (). Подставляем () в (): ( i). Используем формулу Эйлера: u cos b i b i a bi a (cos sin ) (cos sin ) ; v sin Покажем, что эти решения являются линейно независимыми: cos ctg функция, линейно независимы c c sin ( c cos c sin ) Пример: '' 4' 3 43 b b D D ac i, 3i ; 3 9 ( c cos3 c sin3 ). - общее решение.

18 ~ 8 ~ Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка: теорема о структуре общего решения. P ) P ( ) g( ) () ( Теорема: Если является общим решением соответствующего однородного уравнения, а * - частное решение неоднородного уравнения, то их сумма является общим решением уравнения (), то есть *. () Доказательство:. Докажем, что () является решением уравнения (). Для этого подставим () в (). * P P * P P * g( ) ( P P ) ( * P * P *) g( ) Первая скобка равна нулю, так как является общим решением однородного уравнения с нулевой правой частью. Вторая скобка равна g (),так как * является частным решением неоднородного уравнения g ( ) g( ) решение () - является частным решением уравнения (). Докажем общность решения: C C * (3) Для того чтобы доказать, что решение (3) является общим необходимо подтвердить, что произвольные постоянные, определяются единственным образом для любых начальных условий: н.у. ( ) ; ( ) Из н.у. следует: C ) C ( ) *( ) и C ) C ( ) * ( ) ( ( ( ) C ( ) C *( ) ( ) C ( ) C * ( ) (4) Решаем систему линейных алгебраических уравнений методом Кремера: ( ) ( ) dt A w( ) ( ) ( ) w ( ) по 4 следствию, так как, линейно независимые ( ) D по следствию dt A система (4) имеет единственное решение, определяются единственным образом для любых н.у. решение (3) является общим решением уравнения (). w,

19 ~ 9 ~ Линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами. ' ' p ' p g( ) (), где p p const. лучаи нахождения частного решения *. -й случай: Если правая часть имеет вид: g( ) An ( ), r то частное решение ищет в виде: * Bn ( ) A n () известный многочлен n-ой степени; известная константа; B n () многочлен n-ой степени с неизвестными коэффициентами. Например: A ( ) 5 B ( ) b b b n n A ( ) B ( ) b n A ( ) B ( ) b n n n, если r, если ;, если Замечание: Для нахождения неизвестных коэффициентов b, b, b... необходимо подставить * в исходное уравнение () и приравнять коэффициенты перед одинаковыми степенями в полученной левой и правой части. Замечание: При этом должны сократиться все степени n. Пример: '' ' Общее решение однородного уравнения: '' ' ( ). ( c c) ( c c) Частное решение неоднородного уравнения: n B ( ) b ; r ; * b ; *' b ( ) b ( ); *'' b ( ( ) ( )) b ( 4 ). Замечание: При подстановке * в исходное уравнение, всегда сокращается. b ( 4 4 ) b b ; * * ( c c )

20 ~ ~ -ой случай: Если правая часть имеет вид: g( ) ( An ( )cos Bm ( )sin, ), r то частное решение ищет в виде: * ( Cl ( )cos Dl ( )sin). A n (), B ( ) известные многочлены степеней m,n., известные константы. m l l многочлены с неизвестными коэффициентами в степени l ma n, m C ( ), D ( ) Замечание: Если g () не содержит, то. Замечание: Если g () не содержит Cos или Sin, то * обязательно содержит и Cos, и Sin., если i i r, если i i. где, - действительная и мнимая части комплексных корней характеристического уравнения. Замечание: Если корни характеристического уравнения действительные, то в этом случае r. Для нахождения неизвестных коэффициентов c, c,...; d, d,..., решение * подставляется в исходное уравнение () и приравниваются коэффициенты перед Cos и Sin левой и правой части. Пример: ' ' ' cos 3sin ; н.у. ( ) ; '(). Общее решение однородного уравнения: D 8 9,. c c c c. Частное решение неоднородного уравнения: ; r ; n m C ( ) c c, D ). ( d * c cos d sin *' c sin d cos *'' c cos d sin. cos d sin c sin d cos c cos d sin cos 3sin ; c d c ; d c d 3 d 3c 3 3d c 3 d d * sin c ; c. c sin ' c c cos. cc cc Из н.у. 3c, c c. sin. c c cc Замечание: Если правая часть представлена суммой, то решается неоднородное дифференциальное уравнение для каждого слагаемого в отдельности, находятся соответствующие частные решения, а полученные результаты складываются.

21 ~ ~ Понятие системы и нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка. Определение: истемой дифференциальных уравнений называется такая система, которая содержит неизвестные функции n производные до n порядка включительно от них., и ( n) ( n) F (, n n,, n )... ( n) ( n) Fn (, n n,, n ) Определение: истемой дифференциальных уравнений первого порядка называется системой, если она содержит неизвестные функции и первые производные от них. F (, n n )... Fn (, n n ) Определение: Нормальной системой дифференциальных уравнений первого порядка в левых частях, которых стоят последовательно первые производные от каждой функции в отдельности, а правые части этих производных не содержит. f(,, n)... n fn(,, n) Определение: Общим решением систем называются функции, n, зависящие от аргумента и n произвольных n. Определение: Частным решением систем называется решение удовлетворяющие n н.у. ( ) ( )... n( ) n

22 ~ ~ Решение нормальной системы линейного дифференциального уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами методом подстановки. ' ' 4 (); 3 (); н. у. : (), (). Решение: Дифференцируем левую и правую часть уравнения (). ' ' Подставляем, ' из () и () в (3): ' ' '' 4 3 '' 3 3 (4). ' ' ' 3 3 ' '' 5 ' ' ' 5 Выразим из -го уравнения: (5). Подставляем (5) в (4): '. Переносим в левую часть всѐ, что касается : (6). Уравнение (6) является линейным неоднородным дифференциальным уравнением -го порядка. оставляем характеристическое уравнение: Общее решение однородного уравнения: ( c c) (7), r ; n B ( ) b b ; Подставляем (8), (9), () в (6) ' (3) ( ) ; * b b (8); *' b (9); *'' (). b 5 b b b 5 b b b 9 Подставляем b, b в (8) * 5 9 (). Подставляем (), (3) в (5) c 9 c Из н.у. c c 4 c 6 Подставляем c,c в () и (4): (7) () ( c c ) 5 9 (). ' ( c c) c 5 ' ( c c c) 5 ( c c c ) 5 ( c c ) 5 9. (3). ( c c c ) 6 4 (4). ( 6) 5 9 ( 4 ) 6 4


Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет» ВИ Фомин ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) В М Ипатова О А Пыркова В Н Седов ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ второе

Подробнее

Линейные однородные дифференциальные уравнения с. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с

Линейные однородные дифференциальные уравнения с. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения. Свойства общего решения. Теорема Коши. Интегральные кривые. Особое решение. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения вида у fх.

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены

1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены Глава III. Теория устойчивости 1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены III.1.1. Устойчивые решения линейных ОДУ Существенную роль в исследовании различных процессов, поведение которых описывается

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу "ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ" 2 семестр группы АК1,2,4-11 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2 семестр группы АК1,2,4-11 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу "ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ" 2 семестр группы АК,2,4- ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Неопределенный интеграл. Первообразная функции. Таблица первообразных.

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8.

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: 16x 10x + 2x = 8, 40x + 25x 5x = 20. Ответ: Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 1 2 + 5 8 x 1 8 x, x, x R; базисное

Подробнее

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова Высшая математика IV САМОУЧИТЕЛЬ

Подробнее

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы Лекция 3: Однородные и неоднородные системы линейных уравнений Система линейных уравнений Определение Линейным уравнением (или уравнением первого порядка) с n неизвестными x 1, x 2,..., x n называется

Подробнее

Дифференциальные уравнения: конспект лекций

Дифференциальные уравнения: конспект лекций [DEshrt.te, 09.01.09] Дифференциальные уравнения: конспект лекций В 006 году студент -го курса Д.В. Кальянов набрал в LaTeX'е конспект моих лекций по курсу "Дифференциальные уравнения". Я переписал его

Подробнее

5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ)

5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ) 5 ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 5 Программа курса «Ряды и обыкновенные дифференциальные уравнения» Аннотация: Изучаются числовые и степенные ряды а также

Подробнее

x a x 18. Вычисление пределов lim, lim, lim.

x a x 18. Вычисление пределов lim, lim, lim. Перечень экзаменационных вопросов: 1 семестр 1. Множества и операции над ними. 2. Декартово произведение множеств. 3. Предельные точки. 4. Предел последовательности. 5. Предел функции. 6. Бесконечно малые.

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР)

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР) ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР) А.В.СТЕПАНОВ Введение Эти заметки не заменяют курс лекций, но для сильных студентов могут

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (СПЕЦГЛАВЫ) ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНИКОВ НАПРАВЛЕНИЯ , ,

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (СПЕЦГЛАВЫ) ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНИКОВ НАПРАВЛЕНИЯ , , МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (СПЕЦГЛАВЫ) ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНИКОВ НАПРАВЛЕНИЯ 7, 7, СПБ ГУТ Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика

Подробнее

1.5. Виды контроля: текущий - выполнение самостоятельных работ промежуточный выполнение контрольных работ, коллоквиумы итоговый зачет

1.5. Виды контроля: текущий - выполнение самостоятельных работ промежуточный выполнение контрольных работ, коллоквиумы итоговый зачет . Пояснительная записка.. Требования к студентам Студент должен обладать следующими исходными компетенциями: базовыми положениями математических и естественных наук владеть навыками самостоятельной ы самостоятельно

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Тема 1. Множества. Введение в логику. Понятие функции. Кривые второго порядка. Основные понятия о множествах. Символика, ее использование.

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Министерство образования Российской Федерации САРАПУЛЬСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ филиал Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «ИЖЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений

dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений dx d ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 2, 2004 Электронный журнал, рег. N П23275 от 07.03.97 hp://www.neva.ru/journal e-mail: diff@osipenko.su.neva.ru Теория обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

РЕШЕНИЯ ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ 2014 II курс. Задача 1 (5 баллов) Решение

РЕШЕНИЯ ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ 2014 II курс. Задача 1 (5 баллов) Решение РЕШЕНИЯ ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ II курс Задача ( баллов) Вычислить определитель -го порядка Сложим все строки определителя и запишем в первую строку, получим Вычтем из каждой строки первую строку: ( ) Ответ:

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Часть 1

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Часть 1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ А.М. ДЕНИСОВ, А.В. РАЗГУЛИН ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Часть 1 МОСКВА 2009 г. Пособие

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Очная форма обучения. Бакалавры. I курс,2 семестр. Направление «Техносферная безопасность» Дисциплина - «Высшая математика».

Очная форма обучения. Бакалавры. I курс,2 семестр. Направление «Техносферная безопасность» Дисциплина - «Высшая математика». Очная форма обучения. Бакалавры. I курс,2 семестр. Направление 280700 «Техносферная безопасность» Дисциплина - «Высшая математика». Содержание Содержание... 1 Лекции... 1 Практические занятия... 3 Литература...

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической

Подробнее

10. Определенный интеграл

10. Определенный интеграл 1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Подробнее

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1 Введение В курсе математического анализа первого семестра одно из центральных мест занимает теорема Ролля. Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН. Высшая математика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН. Высшая математика МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН Западно-Казахстанский государственный университет им. М.Утемисова РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА Высшая математика 5В011200 химия, 5В060600 химия, 5В060800

Подробнее

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии Кафедра высшей математики Высшая математика ( семестр Разделы Функции. Пределы. Дифференцирование. Интегрирование. Основные формулы по темам

Подробнее

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.И. Лобачевского. Национальный исследовательский университет

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.И. Лобачевского. Национальный исследовательский университет НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет Учебно-научный и инновационный комплекс "Модели, методы и программные средства" Механико-математический

Подробнее

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА Глава 3 НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА 3 Число и вектор Фробениуса Число и вектор Фробениуса используются в балансовых экономических моделях и, в частности, в модели международной торговли

Подробнее

Список задач. для итогового контроля знаний по математическому анализу Группа НМ-101 Семестр 2. x x dx;

Список задач. для итогового контроля знаний по математическому анализу Группа НМ-101 Семестр 2. x x dx; Список задач для итогового контроля знаний по математическому анализу Группа НМ-101 Семестр 2 I. Неопределённый интеграл. Вычислить интеграл: 1. 1 sin 2x (0 x π); 2. 3. x 2 + 1 x 4 + 1 ; 3 sin 2 x 8 sin

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Методические указания и контрольные задания по математике для обучающихся 2 курса СПО

Методические указания и контрольные задания по математике для обучающихся 2 курса СПО ГАОУ СПО ЛО Киришский политехнический техникум Методические указания и контрольные задания по математике для обучающихся курса СПО Методическая разработка по дисциплине «Математика» Разработала преподаватель

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Функция Грина и ее применение

Функция Грина и ее применение Министерство образования и науки Украины Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина А. В. Луценко, В. А. Скорик Функция Грина и ее применение Методическое пособие по курсу Дифференциальные

Подробнее

24 4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций Универсальная тригонометрическая подстановка

24 4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций Универсальная тригонометрическая подстановка СОДЕРЖАНИЕ Глава Неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла Свойства неопределённого интеграла Таблица основных неопределённых

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) А. Е. Умнов, Е. А. Умнов ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Подробнее

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. занятия: нет 2 часа в неделю ВСЕГО АУДИТОРНЫХ ЧАСОВ 132

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. занятия: нет 2 часа в неделю ВСЕГО АУДИТОРНЫХ ЧАСОВ 132 УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе Ю.А. Самарский 10 июня 2010 г. ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ по дисциплине: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ по направлению подготовки: 010600 факультет: для всех факультетов (кроме

Подробнее

Программа по «Математике» (базовый уровень) Тема 1. Векторы и матрицы.

Программа по «Математике» (базовый уровень) Тема 1. Векторы и матрицы. Программа по «Математике» (базовый уровень) РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии Тема 1. Векторы и матрицы. N-мерные векторы. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость

Подробнее

П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е

П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е Санкт-Петербургский государственный университет А. В. О С И П О В К О Н С П Е К Т Л Е К Ц И Й П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е Часть II (-й курс, -й семестр) Санкт-Петеpбуpг 0 0 Конспект лекций по высшей

Подробнее

Глава 7. Определенный интеграл

Глава 7. Определенный интеграл 68 Глава 7 Определенный интеграл 7 Определение и свойства К понятию определенного интеграла приводят разнообразные задачи вычисления площадей, объемов, работы, объема производства, денежных потоков и тп

Подробнее

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА)

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Постановка задачи. Рассматривается задача о вычислении однократного интеграла J(F ) = F (x) dx. ()

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

"Спецфункции". Лекция 9. Гипергеометрическая функция. ) n. (1 + 1 )(1 + b 1

Спецфункции. Лекция 9. Гипергеометрическая функция. ) n. (1 + 1 )(1 + b 1 "Спецфункции". Лекция 9. Гипергеометрическая функция 1. Гипергеометрический ряд F p,q a 1,..., a p ; b 1,..., b q ; z определяется как степенной ряд вида F p,q a 1,..., a p ; b 1,..., b q ; z = 1 + a 1

Подробнее

Конспект лекций по высшей математике

Конспект лекций по высшей математике Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра высшей математики Конспект лекций по высшей математике для студентов экономических

Подробнее

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению.

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению. ТЕМА 7 Задача Штурма-Лиувилля Собственные значения и собственные функции Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению Основные определения и теоремы Оператором Штурма-Лиувилля называется дифференциальный

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

Тема 4. Операторный метод решения линейных дифференциальных уравнений и систем. + e pt f(t)dt. (4.1) f(t) = = lim. = lim p

Тема 4. Операторный метод решения линейных дифференциальных уравнений и систем. + e pt f(t)dt. (4.1) f(t) = = lim. = lim p 1 Тема 4. Операторный метод решения линейных дифференциальных уравнений и систем 4.1 Преобразование Лапласа Оригиналом называется любая функция f(t) действительного переменного t, удовлетворяющая следующим

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

Основы функционального анализа и теории функций

Основы функционального анализа и теории функций Основы функционального анализа и теории функций Лектор Сергей Андреевич Тресков 3 семестр. Ряды Фурье. Постановка задачи о разложении периодической функции по простейшим гармоникам. Коэффициенты Фурье

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение. Интегральным уравнением Фредгольма рода называется уравнение x ( s, ds f (.

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) ЛН Романова ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Курс лекций Омск Издательство СибАДИ ЛН РОМАНОВА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ

Подробнее

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения И. В. Яковлев, А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта http://www.ege-study.ru Тригонометрические уравнения В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений

Подробнее

Тема6. «Определенный интеграл»

Тема6. «Определенный интеграл» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема6. «Определенный интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б.Дуниной

Подробнее

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра.

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Глава. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Определенный интеграл f ( d ) в главе был введен для случая ко нечного промежутка [, ] и ограниченной функции f (). Теперь это понятие

Подробнее

1. Что такое обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Понятие решения. Автономные и неавтономные уравнения. Уравнения и системы порядка

1. Что такое обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Понятие решения. Автономные и неавтономные уравнения. Уравнения и системы порядка 1. Что такое обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Понятие решения. Автономные и неавтономные уравнения. Уравнения и системы порядка выше первого и их сведение к системам первого порядка.

Подробнее

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101 ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Основная 1. Бугров Я. С., Никольский С.М. Высшая математика. Т.2. Дифференциальное

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература...

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература... ОГЛАВЛЕНИЕ Введение................................................ 3 Глава. Неопределенный интеграл.......................... 6.. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла........................

Подробнее

Содержание. Используемые обозначения Числовые множества и операции с числами... 14

Содержание. Используемые обозначения Числовые множества и операции с числами... 14 Содержание Используемые обозначения... 12 1. Числовые множества и операции с числами... 14 1.1. Числовые множества...............................14 1.2. Числовые промежутки...16 1.3. Признаки делимости...17

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ] 8 Барроу Исаак (Brrow Is) -77 английский математик, филолог, богослов. Профессор Кембриджского университета. Автор труда лекции по оптике и геометрии (9-7). Из теоремы следует, что определенный интеграл

Подробнее

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине «Элементы высшей математики».

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине «Элементы высшей математики». МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ «ДОНСКОЙ БАНКОВСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Методические

Подробнее

Д. Г. Орловский. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРАКТИКУМ Часть 1

Д. Г. Орловский. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРАКТИКУМ Часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ Д. Г. Орловский ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРАКТИКУМ Часть Рекомендовано УМО Ядерные физика и технологии

Подробнее

Н. В. Шарай, В. Н. Шинкаренко

Н. В. Шарай, В. Н. Шинкаренко УДК 57.9 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА Н. В. Шарай В. Н. Шинкаренко Одес. нац. ун-т им. И. И. Мелчникова Украина 65 Одесса ул. Дворянская

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ. по высшей математике

КУРС ЛЕКЦИЙ. по высшей математике Министерство образования и науки, молодежи и спорта Донецкий национальный технический университет Улитин Г.М., Гончаров А.Н. КУРС ЛЕКЦИЙ по высшей математике Учебное пособие Донецк 2011 УДК 51 (075.8)

Подробнее

12. Определенный интеграл

12. Определенный интеграл 58 Определенный интеграл Пусть на промежутке [] задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке [] произвольные числа,, 3,, n-, удовлетворяющие условию:

Подробнее

Тема 1: Системы линейных уравнений

Тема 1: Системы линейных уравнений Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ. Методические рекомендации для выполнения практических работ по дисциплине «Математика»

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ. Методические рекомендации для выполнения практических работ по дисциплине «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ БРАТСКИЙ ЦЕЛЛЮЛОЗНО БУМАЖНЫЙ КОЛЛЕДЖ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БРАТСКИЙ

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Программа вступительного экзамена на программы магистратуры по направлению Прикладная математика и информатика

Программа вступительного экзамена на программы магистратуры по направлению Прикладная математика и информатика ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ѕсанктпетербургский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТї Программа вступительного экзамена на программы магистратуры

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А. И. МАДУНЦ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Подробнее

Аннотация предмета. Математика для экономистов

Аннотация предмета. Математика для экономистов Математика для экономистов Предмет По-немецки Mathematik für die Ökonomen По-английски Mathematics for Economists Форма обучения Доклад/Практикум по математике 2/2 Год изучения 1 (два семестра) ECTS 6

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений 28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Размерность

Подробнее

Нелинейные уравнения и системы. Устойчивость решений.

Нелинейные уравнения и системы. Устойчивость решений. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Физический факультет Кафедра высшей математики физического факультета Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Подробнее

ПРЕДЕЛ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРЕДЕЛ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ПРЕДЕЛ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Н. В. Чашников nik239@list.ru 13 марта 21 г. Пусть натуральное число, отличное от единицы. Определим периодический B-сплайн первого

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Факультет среднего профессионального образования УТВЕРЖДЕНО Председатель

Подробнее

2.Определенный интеграл К понятию определенного интеграла подойдем из рассмотрения геометрической задачи.

2.Определенный интеграл К понятию определенного интеграла подойдем из рассмотрения геометрической задачи. Лекция Доцент Ильич Г.К. ( кафедра мед. и биол. физики ) ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛАХ 1.Первообразная функция и неопределенный интеграл В элементарной математике сложение и вычитание, умножение и деление, возведение

Подробнее

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье.

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье. Лекция 4. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда..4. Равенство Парсеваля Пусть система вещественных функций g( ), g( ),..., g ( ),... ортогональна и

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА учебной дисциплины Математика

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА учебной дисциплины Математика Департамент внутренней и кадровой политики Белгородской области Областное государственное автономное образовательное учреждение среднего профессионального образования ГУБКИНСКИЙ ГОРОНО-ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее