АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА"

Транскрипт

1 ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский Федеральный Университет» Институт математики и механики им НИ Лобачевского АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА Учебное пособие I-II семестры Курс лекций для студентов математического факультета проф ЮГ Игнатьева, АА Агафонова (Специальности: математика и информатика, математика и английский язык Большое количество примеров по всем разделам! Примеры решения задач в пакете Mple Большое количество конкретных примеров! По просьбе студентов издание дополнено рядом примеров, выполненных с применением системы компьютерной математики Mple! Лаборатория НИЛИТМО КФУ Казанский университет 2014

2 Печатается по рекомендации учебно-методической комиссии Института математики и механики им НИ Лобачевского, протокол 6 от 19 июня 2014 г УДК 513 Игнатьев ЮГ, Агафонов АА Аналитическая геометрия евклидового пространства Учебное пособие I-II семестры - Казань: Казанский университет, 2014, с Учебное пособие является приложением к Курсу лекций ЮГ Игнатьева по аналитической геометрии евклидового пространства и посвящено изложению основ аналитической геометрии, базирующихся, фактически, на школьной аксиоматике векторов При этом осуществляется постепенный переход к понятию векторных пространств и метода координат Таким образом, курс лекций является переходным мостиком от школьной, по существу, гильбертовской аксиоматики геометрии, к вейлевской аксиоматике, изучаемой позднее Курс лекций снабжен большим количеством примеров решений основных геометрических задач аналитической геометрии, в том числе и примеров решения задач аналитической геометрии средствами пакета программ Mple Материалы пособия предназначены для студентов математических факультетов педагогических отделений по специальностям «Математика», «Математика и информатика», «Математика и иностранный язык» Рецензенты: Сушков СВ, д-р физ-мат наук, проф, (КФУ; Мухлисов ФГ, д-р физ-мат наук, проф, университет, ЮГ, 2014

3 Оглавление Введение 6 Основные обозначения 7 I Аналитическая геометрия 8 I Векторы и действия над ними 9 I1 Векторы и их преобразования 9 I2 Базис и аффинные координаты 19 I3 Проекция вектора 22 I4 Полярная система координат 26 I5 Скалярное произведение векторов 27 I6 Векторное произведение векторов 31 I7 Смешанное произведение векторов 36 I8 Двойное векторное произведение 39 I9 Преобразование на плоскости 40 I10 Преобразования в пространстве 42 II Линии на плоскости 44 II1 Уравнения прямой на плоскости 44 II2 Параметрические уравнения линии 49 II3 Канонические уравнения прямой 51 II4 Общие уравнения прямой 51 II5 Различные виды уравнений 53 II6 Нормированное уравнение прямой 56 II7 Общее уравнение кривой второго порядка 62 II8 Форма и свойства эллипса 66 II9 Форма и свойства гиперболы 69 II10 Форма и свойства параболы 72 II11 Полярные уравнения 74 3

4 Оглавление II12 Касательные к кривым II-го порядка 76 II13 Оптические свойства 80 II14 Диаметры кривых II-го порядка 84 III Поверхности и линии в пространстве 87 III1 Уравнения поверхности и линии в пространстве 87 III2 Прямая в пространстве 91 III3 Взаимное расположение прямых 93 III4 Плоскости в пространстве 94 III5 Взаимное расположение плоскостей 98 III6 Прямые и плоскости в пространстве 100 III7 Исследование формы поверхностей второго порядка 104 III8 Криволинейные координаты в пространстве 110 IV Сведения из линейной алгебры 116 IV1 Определители и матрицы 116 IV2 Свойства определителей 120 IV3 Свойства матриц 125 IV4 Линейные уравнения 128 II Задачи аналитической геометрии 142 V Векторы и действия над ними 143 V1 Основные формулы векторной алгебры 143 V11 Проекция вектора на направление 146 V12 Скалярное произведение векторов 147 V13 Векторное произведение векторов 150 V14 Смешанное произведение векторов 151 V15 Двойное векторное произведение 152 V2 Задачи на векторные операции 153 VI Прямые и плоскости 158 VI1 Определения и теоремы 158 VI11 Прямые линии 158 VI12 Взаимное расположение прямых на плоскости 159 VI13 Прямые линии в пространстве 161 VI14 Плоскости 162 VI15 Взаимное расположение плоскостей 165 4

5 Оглавление VI16 Взаимное расположение прямой и плоскости 166 VI2 Евклидовы задачи планиметрии 167 VI3 Евклидовы задачи стереометрии 170 VII Кривые II-го порядка на евклидовой плоскости 176 VII1 Основные факты теории кривых II-го порядка 176 VII11 Канонические уравнения кривых второго порядка 176 VII12 Элементы кривых второго порядка 177 VII13 Фокальные свойства кривых II-го порядка 178 VII14 Директориальные свойства кривых II-го порядка 179 VII15 Оптические свойства кривых II-го порядка 179 VII16 Полярное уравнение кривых второго порядка 180 VII2 Задачи о кривых II-го порядка 180 III Задачи аналитической геометрии и алгебры в системе компьютерной математики Mple 183 VIII Математическое моделирование и СКМ Mple 184 VIII1 Пакет Mple и принципы программирования в нем 187 VIII2 Возможности динамической интерактивной 3d-графики пакета Mple 187 VIII3 Принципы программирования в пакете Mple 188 VIII4 Создание пользовательских библиотек в пакете Mple 188 IX Операции над векторами и матрицами в пакете Mple190 IX1 Задание векторов и матриц 190 IX2 Извлечение массива 191 IX3 Простейшие операции над векторами и матрицами 192 IX4 Векторная алгебра 195 IX5 Собственные векторы 195 IX6 Построение пространственных фигур в пакете Mple 197 Литература 200 5

6 Введение В курсе лекций изложены первоначальные понятия аналитической геометрии в соответствие с требованиями нового Госстандарта Российской Федерации В этом издании Курса лекций исправлены неточности и недостатки предыдущего издания, а также рассмотрены некоторые дополнительные вопросы Вопросы линейной алгебры (определители и матрицы, системы линейных алгебраических уравнений даны в форме справочного материала Теория кривых II-го порядка значительно дополнена изучением касательных к этим кривым, оптическими свойствами кривых II-го порядка и свойств диаметров этих кривых Курс разделен на три части Аналитическая геометрия и Задачи аналитической геометрии Вторая часть содержит сжатое изложение основных понятий и формул и примеры решения основных задач аналитической геометрии Эта Часть будет особенно полезна студентам при выполнении самостоятельных контрольных работ Третья часть книги Задачи аналитической геометрии в системе компьютерной математики Mple содержит примеры решения задач аналитической геометрии в системе компьютерной математики Mple Курс лекций хорошо иллюстрирован компьютерными изображениями основных геометрических фигур Авторы 6

7 Оглавление Основные обозначения {, b, } - множество, состоящее из элементов, b, ; A - принадлежит множеству A ; A - не принадлежит множеству A ; B A - множество A включает в себя множество B ; B A - множество A не включает в себя множество B ; A B - объединение множеств A и B ; A B - пересечение множеств A и B ; α = 1, n - α пробегает значения от 1 до n на множестве натуральных чисел N ; R - множество действительных чисел ; R + - множество неотрицательных чисел ; N - множество натуральных чисел (включая 0 ; Z - множество целых чисел ; x X x + = b, (, b X - для любых, b, принадлежащих множеству X существует элемент x, принадлежащий множеству X, такой, что x+ = b ; = b - из следует b ; b - b имеет место тогда и только тогда, когда имеет место Ø - пустое множество; [, b] - замкнутый промежуток; (, b - открытый промежуток, интервал; (, b], [, b - полуоткрытые промежутки; 0 - нуль-вектор; A\B - дополнение множества B до множества A, те: A = B A\B; A def = B - A по определению равно B {} = A - элемент пробегает все множество A 7

8 Часть I Аналитическая геометрия

9 Глава I Векторы и действия над ними I1 Векторы и геометрические преобразования над ними Строгое аксиоматическое определение n - мерного евклидова пространства будет дано позднее, а сейчас мы будем опираться лишь на те геометрические понятия евклидова пространства, что рассмотрены в школьном курсе элементарной геометрии Хотя содержание аналитической геометрии концентрируется вокруг понятия координат, целесообразно начать ее изложение с понятия вектора и аксиоматически ввести операции с векторами, а затем уже переходить к координатной записи Отметим, что физика и механика дают нам многочисленные примеры использования векторных величин, как, например, скорость, ускорение тела, сила и т д В геометрии абстрагируются от конкретного физического содержания векторных величин и говорят просто о векторе Отметим, что далее в качестве числового поля выступает поле вещественных чисел Определение ОI1 Если для двух точек A, B указано, какая из них является начальной и какая конечной, то говорят об упорядоченной паре точек (A, B (A - начальная точка, B - конечная точка 9

10 Глава I Векторы и действия над ними b а б в РисI1 вектор AB; б коллинеарные векторы; в равные векторы Определение ОI2 Геометрическим вектором AB называется всякая упорядоченная пара точек (A, B Обычно векторы обозначают малой латинской буквой со стрелкой сверху:, b,, m, Определение ОI3 Расстояние между точками A и B называют длиной вектора AB и для обозначения длины пользуются символом модуля (абсолютной величины: AB,, Определение ОI4 Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой либо на параллельных прямых Определение ОI5 Вектор называется нулевым (пишется 0, если его начало и конец совпадают Очевидно, что длина нулевого вектора равна нулю, а направление не определено (можно считать, что его направление какое угодно Вследствие этого нулевой вектор коллинеарен с любым вектором пространства Определение ОI6 Два вектора считаются равными, если их длины равны и они имеют одинаковые направления (сонаправлены Пишем: = b 10

11 I1 Векторы и их преобразования а C б 2 b B E C 1 4 B 3 A A D AC = + b AE = РисI2 (см РисРисI1 Из последнего определения следует, что каковы бы ни были точка P и вектор, всегда найдется такая точка Q, что P Q = Это означает, что точка приложения вектора может быть выбрана произвольно Такие векторы называют свободными В дальнейшем мы будем рассматривать только свободные векторы Для свободных векторов введем две линейные операции и укажем их свойства Определение ОI7 Суммой векторов k называется вектор пишем ( = k, который замыкает ломаную линию, построенную из данных векторов так, что начало каждого последующего вектора совмещается с концом предыдущего Замыкающий вектор направлен из начала первого вектора к концу последнего (см РисI2 Операция сложения векторов обладает следующими свойствами Свойство СI1 (коммутативность Для любых векторов + b = b+ В самом деле для коллинеарных векторов свойство очевидно В случае неколлинеарных векторов (РисV54 AD = = BC, DC = b = AB Поэтому + b = AC = b + 11

12 Глава I Векторы и действия над ними ( B C (b B b + b c C b A b + + b D b b + A D + b = b + ( + b + c = + ( b + c РисI3 К доказательству коммутативности ( и ассоциативности (b операции сложения векторов b b A B C b + + b D b B b + A + b = b + b + b D c C ( + b + c = + ( b + c РисI4 12

13 I1 Векторы и их преобразования Свойство СI2 (ассоциативность Для любых векторов ( + b + c = + ( b + c Действительно (РисV54 b AD = AC + CD и AD = AB + BD Поэтому ( + b + c = + ( b + c Свойство СI3 + 0 = Нуль - вектор является нулем сложения: Прежде чем переходить к формулировке четвертого свойства, дадим определение противоположного вектора Определение ОI8 Вектор (обозначается также символом называется противоположным по отношению к вектору, если длины векторов и равны, а направления противоположны Поскольку для любых точек выполнено AB + BA = AA, то можно сформулировать Свойство СI4 Для любого вектора существует противоположный вектор, такой, что + = 0 Следствие СI1 Сумма векторов, являющихся сторонами любой замкнутой ломаной, причем таких, что начало каждого последующего совпадает с концом предыдущего, равна нуль-вектору Действительно, из правила треугольника имеем: A 1 A 2 + Доказательство: A 2 A 3 = A 1 A 3 ; A 1 A 3 + A 3 A 4 = A 1 A 4 ; ; A 1 A n 2 + A n 2 A n 1 = A 1 A n Таким образом: A 1 A 2 + A 2 A 3 + A 3 A A n 1 A n = A 1 A n Заменяя вектор A 1 A n противоположным, получим окончательно: A 1 A 2 + A 2 A 3 + A 3 A A n 1 A n + A n A 1 = 0 (I1 Векторное равенство (I1 называется основным векторным тождеством для 13

14 Глава I Векторы и действия над ними A 3 A 2 A 3 A 3 A 4 A 2 A 2 A 4 A 4 A 1 A 2 A 1 A 3 A 1 A 4 A 1 A n РисI5 К доказательству основного векторного тождества многоугольников 1 Перейдем к следующей операции умножению вектора на вещественное число Определение ОI9 Произведением вектора на число λ называется вектор (символ λ такой, что (1, λ = λ ; (2, векторы и λ сонаправлены, если λ > 0, и противоположно направлены, если λ < 0, и λ = 0, если λ = 0 Операция произведения вектора на число обладает следующими четырьмя свойствами, доказательства которых просты Свойство СI5 1 = для любого вектора 0 Свойство СI6 (λ + µ = λ + µ для любых λ, µ R и любого вектора 1 Заметим, что при его доказательстве не предполагалось, что многоугольник плоский 14

15 I1 Векторы и их преобразования B C b b b A D РисI6 Свойство СI7 (λµ = λ(µ для любых λ, µ R и любого Свойство СI8 и b λ( + b = λ + λ b для любого λ R и любых векторов Из определения операции умножения вектора на число следует, что противоположный вектор может быть получен путем умножения вектора на 1 : = ( 1 Отсюда и обозначение, принятое для противоположного вектора Определение ОI10 Разностью векторов и b называем сумму вектора и противоположного вектора b Обозначаем разность символом b Итак, b def = + ( 1 b (см Рис РисI6 Пользуясь операцией умножения вектора на число, выведем формулу для нахождения орта вектора Определение ОI11 Ортом вектора называется вектор единичной длины, имеющий тоже направление, что и вектор Орт вектора обозначают символом 0 (либо e По определению 0 = λ, где λ > 0 Но 0 = 1 Поэтому λ = λ = 1 Следовательно, множитель λ = 1 Окончательно можно 15

16 Глава I Векторы и действия над ними записать, что 0 = 1 = (I2 Обе линейные операции позволяют нам рассмотреть линейные комбинации векторов s с коэффициентами λ 1 + λ λ s l = λ1 1 + λ λ s s (I3 Определение ОI12 Система векторов s называется линейно - зависимой, если существуют такие числа λ 1 λ s, среди которых хотя бы одно не равно нулю, что выполнено λ λ λ s s = 0 (I4 Если (I4 для системы s выполнено тогда и только тогда, когда все λ i = 0, то система векторов называется линейно - независимой Приводимые ниже теоремы полностью разъясняют геометрический смысл линейной зависимости векторов Теорема ТI1 Для того, чтобы система, состоящая из одного вектора, была линейно - зависимой, необходимо и достаточно, чтобы он был нулевым вектором Доказательство: В самом деле, пусть система (, состоящая из одного вектора, линейно зависима Следовательно, λ = 0, где λ 0 Вектор нулевой Пусть, обратно, вектор есть нуль - вектор Очевидно, что при любом λ 0 имеем λ = 0 Вывод из этой теоремы можно сформулировать и так: Каждый ненулевой вектор есть линейно - независимый вектор Теорема ТI2 Для того, чтобы система, состоящая из двух векторов, была линейно - зависимой, необходимо и достаточно, чтобы векторы были коллинеарны 16

17 I1 Векторы и их преобразования Доказательство: Действительно, если система (, b из двух векторов линейно - зависима, то λ + µ b = 0, где λ 0 или µ 0 Если λ 0, то ( = µ ( b и векторы коллинеарны Если µ 0, то b = λ Имеем λ µ коллинеарные векторы Пусть, обратно, векторы и b коллинеарны между собой Если хотя бы один из них нулевой (например, = 0, то очевидным образом выполняется λ +0 b = 0, где λ 0 Система линейно - зависима Если же ни один из векторов не нулевой, то согласно определениям операции умножения вектора на число и орта вектора получим b = ε b, где ε = ±1, когда направления векторов и b совпадают, ε = 1, когда направления векторов и b b противоположны Обозначив, ε = λ, получим λ b = 0, где λ 0 Линейная зависимость имеет место Вывод из доказанной теоремы может быть сформулирован следующим образом: Любая пара неколлинеарных векторов образует систему линейно - независимых векторов Определение ОI13 Векторы, расположенные в одной плоскости или параллельные одной и той же плоскости, называются компланарными Теорема ТI3 Для того, чтобы система, состоящая из трех векторов, была линейно - зависимой, необходимо и достаточно, чтобы тройка векторов была компланарной Доказательство: Необходимость Дано, что (, b, c линейно - зависимая тройка Это означает, что выполнено λ + µ b + ν c = 0, где хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля Например, λ 0 В таком случае ( = µ ( b + ν c λ λ 17

18 Глава I Векторы и действия над ними A O c b B РисI7 ( µ λ b вектор есть диагональ параллелограмма, построенного на векторах ( и ν c Это означает (в силу коллинеарности векторов λ ( b и µ b, c и ( λ ν c, что тройка векторов (, λ b, c лежит в плоскости указанного параллелограмма и, следовательно, компланарна В случае, когда хотя бы один из тройки векторов нулевой, доказательство становится очевидным Достаточность Пусть тройка (, b, c компланарна Если хотя бы один из векторов нулевой (например, = 0, то имеет место равенство λ +0 b+0 c = 0, где λ 0, и в данном случае тройка является линейно - зависимой Пусть ни один из векторов не является нулевым Приведем их к общему началу O и спроектируем конец вектора (проектирующие прямые строим параллельно векторам b и c на прямые, на которых лежат векторы b и c : = OB = OA + AB Но OA = λ c ( OA коллинеарен c, AB = µ b ( AB коллинеарен вектору b Таким образом, имеет место равенство λ c µ b = 0 Тройка векторов линейно - зависима Данные рассуждения справедливы, когда b и c неколлинеарные векторы (что и отражено на Рис РисI7 Если же b и c коллинеарны, то в силу теоремы ТI2 b λ c + 0 = 0 имеем линейно - зависимую систему векторов Вывод из теоремы ТI3 таков: Всякая некомпланарная тройка векторов есть линейно - независимая система векторов 18

19 I2 Базис и аффинные координаты c b O x B РисI8 A Теорема ТI4 Всякая четверка векторов (в трехмерном пространстве линейно - зависима Доказательство: Если все четыре вектора компланарны, то в силу теоремы ТI3 они линейно - зависимы Пусть векторы, b, c некомпланарны, а x произвольный четвертый вектор Приведем четверку к общему началу ( Рис РисI8 Из конца вектора OB = x проведем прямую, параллельную вектору c, до встречи в точке A с плоскостью векторов и b Из точки A проведем прямые, параллельные и b, до пересечения с прямыми, на которых лежат и b Имеем, что x = Ob = OA+ AB Но OA = λ +µ b, AB = ν c и, следовательно, x = λ + µ b + ν c, (I5 что и доказывает линейную зависимость четверки векторов I2 Базис и аффинные координаты e 3 e 3 e 2 e 1 e 1 à á e 2 РисI9 а правая тройка; б левая тройка Определение ОI14 Тройка { e 1, e 2, e 3 } ( пара { e 1, e 2 } линейно - незави- 19

20 Глава I Векторы и действия над ними симых векторов называется базисом в пространстве (на плоскости, если любой вектор x может быть представлен в виде линейной комбинации: x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 : ( x = x 1 e 1 + x 2 e 2 Числа (x 1, x 2, x 3 (а на плоскости (x 1, x 2 называются координатами x в указанном базисе Из этого определения на основании теоремы ТI3 вытекает, что Всякая пара неколлинеарных векторов образует базис на плоскости На основании теоремы ТI4 вытекает: Всякая тройка некомпланарных векторов образует базис в пространстве Определение ОI15 Упорядоченная тройка некомпланарных векторов ( e 1, e 2, e 3 называется правой (левой тройкой, если, будучи приведенной к общему началу, кратчайший поворот вокруг e 3 от e 1 к e 2 совершается против часовой стрелки (по часовой стрелке(см РисI9 Соответственно базис в пространстве называется правым (левым Определение ОI16 Упорядоченная пара неколлинеарных векторов ( e 1, e 2 называется правой (левой, если, будучи приведенной к общему началу, кратчайший поворот на плоскости от e 1 к e 2 происходит против часовой стрелки (по часовой стрелке Соответственно базис на плоскости называется правым (левым Теорема ТI5 Координаты вектора в данном базисе определены однозначным образом 20

21 I2 Базис и аффинные координаты Доказательство: Действительно, если предположить, что это не так и одновременно: то при вычитании векторов получим: x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 x = y 1 e 1 + y 2 e 2 + y 3 e 3, (x 1 y 1 e 1 + (x 2 y 2 e 2 + (x 3 y 3 e 3 = 0 (I6 Но для тройки линейно - независимых векторов равенство (I6 имеет место лишь тогда, когда все коэффициенты равны нулю Таким образом, x 1 = y 1, x 2 = y 2, x 3 = y 3 Теорема доказана Теорема ТI6 При сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число Доказательство: В самом деле, пусть Тогда + b = = 3 i e i, b = i=1 3 i e i + i=1 3 b i e i i=1 3 b i e i = i=1 3 ( i + b i e i Согласно определению ( 1 +b 1, 2 +b 2, 3 +b 3 есть координаты вектора + b Умножим вектор на число λ Имеем λ = λ 3 i e i = i=1 i=1 3 (λ i e i Числа (λ 1, λ 2, λ 3 есть координаты вектора λ Обе теоремы имеют место и для вектора плоскости i=1 Определение ОI17 Аффинной системой координат в пространстве R{O; e 1, e 2, (на плоскости R{O; e 1, e 2 } называется совокупность некоторой точки O и базиса { e 1, e 2, e 3 } ({ e 1, e 2 }, приведенного к общему началу в этой точке 21

22 Глава I Векторы и действия над ними b M(x 1 x 2 x 3 e 2 e 3 e 2 O O M(x 1, x 2 e 1 РисI10 а аффинная система координат в пространстве; б аффинная система координат на плоскости Определение ОI18 Аффинными координатами точки M в пространстве (на плоскости в данной аффинной системе координат R{O; e 1, e 2, e 3 } (R{O; e 1, e 2 } называются координаты вектора OM относительно базиса { e 1, e 2, e 3 } ({ e 1, e 2 } (РисI10 Координаты OM, как показано нами, определены однозначным образом в данном базисе Тем самым показано, что каждой точке M однозначным способом сопоставлено три числа ее аффинные координаты Отметим, что в аналитической геометрии употребляются только правые системы координат, те тройка (пара ( e 1, e 2, e 3 (( e 1, e 2 в системе координат R{O; e 1, e 2, e 3 } (R{O; e 1, e 2 } есть правая тройка векторов I3 Проекция вектора на направление Прежде чем переходить к наиболее используемым в приложениях прямоугольным системам координат, являющимся частным случаем аффинных, остановимся на свойствах проекции вектора на ось 22

23 I3 Проекция вектора Пусть задана прямая и с помощью орта i на ней указано направление Такая прямая называется осью Определение ОI19 Проекцией вектора AB на ось Ox называется длина отрезка A B этой оси, заключенного между основаниями перпендикуляров, опущенных из A и B на ось, взятая со знаком плюс, если направление A B совпадает с направлением i, и взятая со знаком минус, если направление вектора A B и i противоположны Символически записываем следующим образом: Πp Ox AB = A B, если сонаправлены векторы i и A B A B, если направления i и A B противоположны Углом вектора AB (= A B 1 с осью Ox называется угол α (Рис РисI11, на который нужно кратчайшим способом повернуть ось Ox около точки A, чтобы совместить с вектором A B 1 (0 α π B B A 1 B1 A B i à A' B' A' B' á i РисI11 Проекция вектора на ось Теорема ТI7 Проекция вектора на ось равна длине вектора, умноженного на косинус угла α Доказательство: Пусть α острый угол Из треугольника A B 1 B (РисI11а имеем: Πp Ox AB = A B = A B 1 cos α = AB cos α 23

24 Глава I Векторы и действия над ними A O A C C B B x РисI12 Пусть α тупой угол (РисI11b Из треугольника B B 1 A имеем: Πp Ox AB = A B = A B 1 cos (π α = A B 1 cos α = AB cos α Если длина вектора AB равна единице (имеем орт - вектор, то Πp Ox AB = cos α Косинус угла α называется направляющим косинусом единичного вектора с осью Ox Таким образом, теорема доказана Теорема ТI8 При умножении вектора на число λ его проекция умножается на то же число Доказательство: Пусть вектор составляет с осью Ox угол α и λ > 0 В таком случае вектор λ с осью Ox составляет тот же угол, а вектор ( λ угол (π α Согласно теореме ТI7 имеем и Πp Ox (λ = λ cos α = λ cos α = λπp Ox Πp Ox ( λ = λ cos(π α = λ cos α = λπp Ox Таким образом, теорема доказана 24

25 I3 Проекция вектора Теорема ТI9 Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций этих векторов на ту же ось Доказательство: Рассмотрим сумму двух векторов AC = AB + BC Для доказательства теоремы спроектируем точки A, B, C на ось Ox и получим три точки A, B, C на оси В общем случае возможны следующие 6 случаев расположения и направления штрихованных точек на оси: (1A, B, C ; (2 A, C, B ; (3B, A, C ; (4B, C, A ; (5C, A, B ; (6C, B, A Доказательство проведем для случая (2 (Рис РисI12 Имеем { Πp Ox ( AB + BC = Πp Ox AC = A C Πp Ox AB + Πp Ox BC = A C B C = A C Из сравнения соотношений вытекает, что Πp Ox ( AB + BC = Πp Ox AB + Πp Ox BC Аналогично доказываются остальные случаи Теорема ТI9 по индукции распространяется на любое число слагаемых векторов Определение ОI20 Система координат R{O; i, j, k} в пространстве (на плоскости R{O; i, j} называется декартовой прямоугольной системой координат, если базисные векторы { i, j, k} (пара { i, j} попарно ортогональны и имеют длину, равную единице Базисные векторы i, j, k соответственно называются ортами координатных осей Ox, Oy, Oz (на плоскости (Ox, Oy Определение ОI21 Декартовыми прямоугольными координатами точки M в пространстве (на плоскости относительно выбранной прямоугольной системы координат называются координаты вектора OM в ортонормированном базисе { i, j, k} (на плоскости { i, j}, те OM = x i + y j + z k M(x, y, z Из определения проекции вектора на ось следует геометрический смысл прямоугольных координат точки M x = Πp Ox OM, y = Πp Oy OM, 25 z = Πp Oz OM

26 Глава I Векторы и действия над ними Для плоскости имеем буквальное повторение сказанного I4 Полярная система координат на плоскости Некоторые задачи аналитической геометрии на плоскости целесообразно решать используя не прямоугольную систему координат на плоскости а полярную систему координат, которая строится следующим образом Выбираем точку O на плоскости (полюс и ось с ортом i ( полярная ось (РисI13 Любой точке плоскости можно однозначно сопоставить (за исключением полюса пару чисел (полярные координаты r = OM и φ угол между OM и полярной осью При этом считаем φ > 0, если поворот от i к OM совершается против часовой стрелки Полюс задается одним числом r = 0 Когда 0 r < и 0 φ < 2π (или π < φ π, мы пробегаем все множества точек плоскости Из определения проекции вектора на ось и с учетом геометрического смысла прямоугольных координат точки следует связь полярных и прямоугольных координат { x = r cos φ y = r sin φ, { r = x2 + y 2 tgφ = y x (I7 Замечание В задачах, связанных с перемещением материальной точки на плоскости, часто требуют, чтобы переменная φ менялась в пределах < φ < + y M(r, j O i r M' x РисI13 Полярная система координат 26

27 I5 Скалярное произведение векторов I5 Скалярное произведение векторов и его приложения Определение ОI22 Углом α между векторами 0 и b 0 называется наименьший угол между этими векторами, приведенными к общему началу Его обозначение α = b Очевидно, что 0 α π Определение ОI23 Скалярным произведением двух векторов и b (пишем ( b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними ( b = b cos b (I8 Обращаясь к формуле, по которой вычисляется проекция вектора на ось, можно (I8 записать в виде ( ( b = Πp b; (b ( b = b Πp b (I9 Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно длине одного из них, умноженной на проекцию второго вектора на ось, направление которой определяется первым вектором Свойство СI9 Для любых и b имеем ( b = ( b В самом деле, из равенства cos b = cos b следует коммутативность скалярного произведения Свойство СI10 Для любого 0; ( = 2 = 2 > 0 Скалярный квадрат вектора равен нулю тогда и только тогда, когда есть нуль - вектор 27

28 Глава I Векторы и действия над ними ( Свойство СI11 Для любого λ R и любых векторов и b (λ b = λ ( b Действительно, ( (λ b = b Πp b (λ = b λπp b = λ ( b ( Свойство СI12 Для любых векторов, b, c выполнено ( b + c = ( ( b + c На основании (I9 имеем ( ( b + c = Πp ( b + c = Πp b + Πp c = ( ( b + c Теорема ТI10 Два вектора ортогональны друг другу тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю Доказательство: Пусть векторы и b ненулевые и ортогональны между собой: π b = 2 Так как cos π b = cos 2 = 0, то ( b = 0 Если же один из векторов нулевой, то его длина равна нулю и ( b = 0 Обратно, если ( b = b cos b = 0, то хотя бы один из множителей равен нулю В случае равенства нулю одного из первых двух множителей один из векторов нулевой, который всегда можно считать ортогональным к любому вектору Если cos π b = 0, то b = векторы ортогональны между собой 2 Все перечисленные выше определения и свойства установлены безотносительно к какой - либо системе координат они инвариантны относительно выбора системы координат Введем сейчас прямоугольную систему координат и установим, как вычисляется скалярное произведение векторов, заданных своими координатами в базисе { i, j, k} Все приводимые ниже формулы выведены для пространства (для плоскости во всех формулах третью координату следует положить равной нулю 28

29 I5 Скалярное произведение векторов Учитывая, что базис { i, j, k} есть ортонормированный базис, получим ( i i = 1, ( i j = 0, ( i k = 0, ( j j = 1, ( j k = 0, (I10 ( k k = 1 Если = x 1 i+y 1 j +z 1 k, то воспользовавшись свойствами 133 и 134, имеем ( ( ( ( ( b = x1 x 2 i i + x1 y 2 i j + x1 z 2 i k + y1 x 2 j i + ( ( ( ( ( +y 1 y 2 j j + y1 z 2 j k + z1 x 2 k i + z1 y 2 k j + z1 z 2 k k С учетом (I10 и свойства СI9 окончательно получим ( b = x1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 (I11 Итак, скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе равно сумме произведений одноименных координат этих векторов На основании (I11 могут быть тотчас получены вычислительные формулы для длины вектора, орта вектора, проекции вектора, косинуса угла между векторами и другие геометрические приложения Длина вектора (x 1, y 1, z 1 = ( = x y2 1 + z2 1 (I12 Орт вектора (x 1, y 1, z 1 ( 0 0 = = x 1 i + y 1 j + z 1 k (I13 x y2 1 + z2 1 Поэтому для направляющих косинусов вектора имеем cos α = x 1 x y2 1 + z2 1, cos β = y 1 x y2 1 + z2 1, cos γ = z 1 x y2 1 + z (I14

30 Глава I Векторы и действия над ними Проекция вектора b(x 2, y 2, z 2 на ось с направлением (x 1, y 1, z 1 ( 0 Πp b = ( b = x 1x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 (I15 x y2 1 + z2 1 Косинус угла между векторами ( 0, b 0 cos b = b b = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 (I16 x y2 1 + z2 1 x y2 2 + z2 2 На основании доказанной выше теоремы получаем, что необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является следующее условие: x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0 (I17 Пример ПI1 Найти орт вектора (1, 1, 5 Согласно (I13 имеем 0 = i j + 5 k 12 + ( = 1 27 i 1 27 j k Пример ПI2 Дан вектор (6, 18, z Найти z, если = 21 В силу (I12 имеем 21 = ( z 2, z = ± = ±9 Понятие скалярного произведения векторов пришло из физики, и мы остановимся на одном из физических приложений скалярного произведения для подсчета работы силы 30

31 I6 Векторное произведение векторов F C A i C' B РисI14 К вычислению работы силы Пусть требуется вычислить работу W силы F по перемещению материальной точки из точки A в точку B по прямолинейному пути (РисI14 Если бы материальная точка двигалась по направлению действия силы F (угол α = 0, то, по определению, работа силы равна произведению величины силы на длину перемещения: W = F AB = ( F AB Если же точка движется под углом α к направлению силы, то работает только составляющая AC, направленная по линии перемещения AB Перпендикулярная составляющая силы уравновешивается сопротивлением Поэтому W = (Πp AB F ( AB = F AB (I18 I6 Векторное произведение векторов и его приложения Определение ОI24 Векторным произведением векторов и b называется вектор x, который:(1 перпендикулярен к плоскости векторов и b; (2 x = b sin b ; (3 направлен так, что тройка (, b, x правая (РисI15 Векторное произведение обозначается символом x = [ b ] (либо x = b Приведенные условия (1 (3 однозначно определяют векторное произведение, если сомножители ненулевые векторы Если хотя бы один из множителей нуль - вектор, векторное произведение, по определению, есть нулевой вектор 31

32 Глава I Векторы и действия над ними Отметим также, что из условия (2 вытекает: Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и b Рассмотрим свойства векторного произведения Свойство СI13 Для любых и b: [ b ] = [ b ] Действительно, для x 1 = [ b ] выполнены условия (1, (2 Но, чтобы тройка ( b,, x была правой, вектор x 1 должен быть направлен в сторону, противоположную вектору x = [ b ] Свойство СI14 Для любого λ R и любых и b имеем [ (λ b ] = λ [ ] [ b = (λ ] b (I19 Пусть λ = 0, - справедливость равенства очевидна Пусть λ [ > 0 Тогда λ имеет то же направление, что и вектор Длины векторов (λ b ] и λ [ b ] совпадают, так как [ (λ b ] = λ b sin [ ] b = λ b sin b = λ b Направления их также совпадают (ориентация тройки не меняется Аналогичные рассуждения имеют место и при λ < 0 Свойство СI15 Для любых векторов, b, c имеем [ ( + ] b c = [ ] [ ] c + b c (I20 Предварительно докажем, что имеет место равенство [ ( + b c 0 ] = [ c o ] + [ b c o ], (I21 где c 0 орт вектора c Умножив затем (I21 на λ = c, получим выполнение (I20 32

33 I6 Векторное произведение векторов x = [ b ] α O b x 1 = [ b ] РисI15 Для доказательства (I21 заметим, что вектор [ c ] 0 можно построить следующим образом На плоскость перпендикулярную к c 0, спроектируем направленный отрезок OA = Затем повернем по часовой стрелке вектор OA на угол π и получим вектор OA (РисI16 Имеем: OA = [ ] c o, 2 так как (1 OA перпендикулярен и c 0, OA = OA = cos( π 2 φ = c 0 sin φ, (3тройка (, c 0, OA правая Спроектируем далее на плоскость, перпендикулярную к c 0 векторы, b, ( + b (РисI16b и получим векторы OA, A B, и OB После поворота на α = π этих векторов по 2 часовой стрелке можно записать что OA + A B = OB Обращаясь к высказанному замечанию, заключаем, что справедливо равенство (I21, а после умножения его на λ = c убеждаемся в выполнении равенства (I20 Теорема ТI11 Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения Доказательство: 33

34 Глава I Векторы и действия над ними c o A c o A b B A'' O A' B'' O A'' A' B' РисI16 РисI16b Пусть векторы и b коллинеарны Следовательно, либо b = 0, либо b = π В обоих случаях sin b = 0 Это означает, что [ b ] = 0 Векторное произведение есть нуль - вектор Пусть, обратно, [ b ] = 0 Тогда [ b ] = b sin b = 0 Если хотя бы один из первых сомножителей равен нулю, то данный вектор является нулевым и коллинеарность установлена Если sin b = 0, то (1 b = 0, (2 b = π Векторы коллинеарны Изложенные свойства векторного произведения инвариантны относительно выбора системы координат Пусть задана прямоугольная система координат R{O; i, j, k} Легко проверить, что выполнены следующие условия: [ i i ] = 0, [ j j ] = 0, [ k k ] = 0 [ i j ] = k, [ j k ] = i, [ k i ] = j (I22 Пользуясь свойствами 141; 142; 143 и правилами (I22, для векторов = x 1 i + y 1 j + z 1 k и b = x2 i + y 2 j + z 2 k получим [ b ] = x1 x 2 [ i i ] + x1 y 2 [ i j ] + x1 z 2 [ i k ] + y1 x 2 [ j i ] + [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] +y 1 y 2 j j + y1 z 2 j k + z1 x 2 k i + z1 y 2 k j + z1 z 2 k k = i y 1 z 1 y 2 z 2 j x 1 z 1 x 2 z 2 + k x 1 y 1 x 2 y 2 (I23 Обращаясь к свойству разложения определителя по элементам строки окончательно получим формулу вычисления векторного произведения векторов, 34

35 I6 Векторное произведение векторов заданных своими координатами в ортонормированном базисе [ ] i j k b = x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 (I24 Заметим, что хотя в первой строке определителя стоят векторы (а не числа! запись (I24 законная, так как операции умножения вектора на число и суммы векторов подчиняются тем же правилам, что и числовые элементы Поскольку условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения, то, приравнивая определитель в правой части (I23 нулю и учитывая линейную независимость векторов i, j, k, получим, что ранг матрицы ( x1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 равен 1 и, следовательно, условие ( x1 y rnk 1 z 1 = 1 (I25 x 2 y 2 z 2 является необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов и b Одним из геометрических приложений векторного произведения является вычисление с его помощью площади треугольника с вершинами в точках A 1 (x 1, y 1, z 1 ; A 2 (x 2, y 2, z 2 ; A 3 (x 3, y 3, z 3 Имеем: = A 1 A 2 = i(x 2 x 1 + j(y 2 y 1 + k(z 2 z 1, b = A 1 A 3 = i(x 3 x 1 + j(y 3 y 1 + k(z 3 z 1 В силу того, что площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах A 1 A 2, A 1 A 3, получим S = 1[ ] b = 1 i j k 2 2 x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 (I26 x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z 1 Если речь идет о площади треугольника на плоскости, заданного своими вершинами A 1 (x 1, y 1 ; A 2 (x 2, y 2 ; A 3 (x 3, y 3, то в формуле (I26 необходимо положить z 1 = z 2 = z 3 = 0 и разложить определитель по элементам последнего столбца S = 1 2 i j k x 2 x 1 y 2 y 1 0 x 3 x 1 y 3 y 1 0 = 1 2 x 2 x 1 y 2 y 1 x 3 x 1 y 3 y 1 35 (I27

36 Глава I Векторы и действия над ними Одним из физических приложений является подсчет момента силы с помощью векторного произведения Пусть твердое тело закреплено в точке A и в точке B приложена сила F Вращающий момент, возникающий в этом случае, вычисляется по следующей формуле (так показывает опыт: M = AB F (I28 I7 Смешанное произведение векторов Зная операции скалярного и векторного умножения двух векторов, что можно сказать о комбинированных произведениях трех векторов? Имеются следующие возможности для комбинированного произведения: (1 ( b c; (2 ( [ b ] c; (3 [ [ b c ] ] В первом случае ответ простой получаем вектор, коллинеарный вектору c Случаи (2 и (3 требуют более подробного рассмотрения Определение ОI25 Смешанным произведением трех векторов, b, c называется число, получаемое от умножения вектора [ b ] скалярно на c Оно обозначается символом (, b, c, те (, b, c def = ( [ b ] c Выясним геометрический смысл смешанного произведения, считая, что (, b, c некомпланарная тройка векторов Учитывая, что вектор x = [ b ] имеет длину, равную численно площади параллелограмма, построенного на векторах и b, и перпендикулярен к плоскости параллелограмма, из равенства выводим, что ( [ b ] c = ( x c = x Πp x c = ±h S (I29 В случае правой тройки смешанное произведение равно объему V параллелепипеда, построенного на векторах, b, c, а в случае левой тройки, объему параллелепипеда, взятому со знаком минус (РисI17 36

37 I7 Смешанное произведение векторов x = [ b ] b h c b h c b x = [ ] b РисI17 Смешанное произведение трех векторов Теорема ТI12 Тройка векторов (, b, c компланарна тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю Доказательство: Необходимость Пусть тройка векторов (, b, c компланарна Это может осуществиться в трех случаях: (1 один из векторов есть нуль - вектор, (2 пара векторов коллинеарна, (3 векторы лежат в одной или параллельных плоскостях Во всех трех случаях в соотношениях (I29 либо x = 0 либо Πp x c = 0 и, следовательно, смешанное произведение равно нулю Достаточность Пусть (, b, c = 0 Это означает, что [ b ] Πp x c = 0 Если первый сомножитель равен нулю, то векторное произведение [ b ] равно нулю, векторы, b коллинеарные, а, следовательно, тройка (, b, c компланарна Если Πp x c = 0, то вектор c ортогонален к вектору x = [ b ] и, следовательно, параллелен плоскости параллелограмма, построенного на векторах и b Имеем компланарную тройку векторов Теорема доказана Свойство СI16 Операции скалярного и векторного умножений в смешанном произведении можно поменять местами, те ( [ ] [ ] [ ] b c = ( b c = ( b c (I30 37

38 Глава I Векторы и действия над ними Свойство СI17 Круговая перестановка сомножителей не меняет величины смешанного произведения Перестановка местами двух соседних сомножителей изменяет знак произведения на противоположный, те (, b, c = ( b, c, = ( c,, b = ( b,, c = (, c, b = = ( c, b, (I31 В самом деле, в силу коммутативности скалярного произведения и свойства СI16 имеем (, b, c = ( [ b ] c = ( c [ b ] = ( c,, b (, b, c = ( [ b c ] = ( [ b c ] = ( b, c, (I32 В силу антикоммутативности векторного произведения и равенства (I32 получим (, b, c = ( [ b ] c = ( [ b ] c = ( b,, c (I33 Пусть выбрана прямоугольная система координат В ортонормированном базисе { i, j, k} векторы, b, c имеют координаты (x 1, y 1, z 1, (x 2, y 2, z 2, (x 3, y 3, z 3 Согласно определению смешанного произведения как скалярного произведения векторов [ ] [ ] b и c и выражению (I23 для b получим ( y, b, c = 1 z 1 x3 y 2 z 2 y 3 x 1 z 1 x 2 z 2 + z 3 x 1 y 1 x 2 y 2 (I34 Правая часть (I34 с учетом свойств определителей представляет собой разложение определителя третьего порядка по элементам последней строки Поэтому (, b, c = x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 (I35 Получили компактное выражение смешанного произведения через координаты векторов - сомножителей 38

39 I8 Двойное векторное произведение I8 Двойное векторное произведение Переходим к рассмотрению третьей возможности комбинированного произведения трех векторов Определение ОI26 Двойным векторным произведением векторов, b, c называется выражение вида [ [ b c ] ] Рассмотрим это произведение в прямоугольной системе координат, когда векторы, b, c заданы своими координатами: = x 1 i + y 1 j + z 1 k, b = x2 i + y 2 j + z 2 k, c = x3 i + y 3 j + z 3 k i 1 j 1 k 1 [ [ ] ] x b c = 1 y 1 z 1 y 2 z 2 y 3 z 3 x 2 z 2 x 3 z 3 x 2 y 2 x 3 y 3 Раскрывая определитель по элементам первой строки, вычисляя определители второго порядка и добавляя в сомножителях при i, j, k соответственно нули в виде (x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3, (y 1 y 2 y 3 y 1 y 2 y 3, (z 1 z 2 z 3 z 1 z 2 z 3, получим [ [ b c ] ] = i(y 1 x 2 y 3 y 1 x 3 y 2 z 1 x 3 z 2 + z 1 x 2 z 3 + x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 + j(z 1 y 2 z 3 z 1 y 3 z 2 x 1 x 2 y 3 + x 1 x 3 y 2 + +y 1 y 2 y 3 y 1 y 2 y 3 + k(x 1 x 3 z 2 x 1 x 2 z 3 y 1 y 2 z 3 + +y 1 y 3 z 2 + z 1 z 2 z 3 z 1 z 2 z 3 = = (x 2 i + y 2 j + z 2 k(x1 x 3 + y 1 y 3 + z 1 z 3 (x 3 i + y 3 j + z 3 k(x1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 Поскольку (x 1 x 3 + y 1 y 3 + z 1 z 3 = ( c, (x1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = ( b, то окончательно имеем [ [ b c ] ] = b ( c c ( b (I36 Формула (I36 носит название формулы раскрытия двойного векторного произведения по векторам - сомножителям внутреннего векторного произведения 39

40 Глава I Векторы и действия над ними Очевидно, что используя определение смешанного произведения векторов и (I36, можно рассматривать различные комбинированные произведения четырех и т д векторов Пример ПI3 Компланарны ли векторы = (2, 3, 1, b = (1, 1, 3, c = (1, 9, 11? Вычислим определитель Векторы компланарны = 2( ( (9 + 1 = 0 Пример ПI4 Проверить справедливость равенства [ [ b ] c] + [ [ b c ] ] + [ [ c ] b] = 0 Переставим сомножители во внешних векторных произведениях и воспользуемся формулой (I36 Имеем: [ c [ b ] ] = ( c b b ( c, [ [ b c ] ] = b ( c c ( b, [ b [ c ] ] = c ( b ( b c Сложим все три равенства и учтем коммутативность скалярного произведения пары векторов При сложении правые части взаимно уничтожаются и справедливость написанного равенства доказана I9 Преобразование прямоугольной системы координат на плоскости Рассмотрим преобразование прямоугольной системы координат на плоскости Пусть R{O; i, j} некоторая прямоугольная система координат на плоскости и пусть R{O ; i, j } другая прямоугольная система координат (РисI18 Координаты точки M в первой системе координат есть координаты OM в базисе { i, j} 40

41 I9 Преобразование на плоскости y j O y i M(x; y (x ; y j i O x x б j j i α i РисI18 ( OM = ix+ jy Координаты точки M во второй системе координат есть координаты вектора O M в базисе { i, j } ( O M = x i + y j Установим связь координат (x; y с координатами (x ; y точки M С этой целью заметим, (РисI18b что i = (Πp i i i + (Πp j i j = i cos i i + j cos j i j = (Πp i j i + (Πp j j j = i cos i j + j cos j j (I37 Если обозначить через α угол между осью Ox и осью O x, то (I37 примет вид } i = i cos α + jsinα j (I38 = i sin α + jcosα Радиусы - векторы точки M в первой и второй системе координат связаны соотношением OM = OO + O M (I39 Если (; b координаты нового начала O, то (I39 примет вид x i + y j = i + b j + x i + y j (I40 Подставляя в (I40 вместо i, j их выражения (I38, окончательно получим x i + y j = i + b j + x ( i cos α + j sin α + y ( i sin α + j cos α (I41 В силу линейной независимости векторов i и j коэффициенты при них в левой и правой частях (I41 равны между собой Мы получаем связь координат не штрихованной системы координат с координатами штрихованной 41

42 Глава I Векторы и действия над ними системы координат x = x cos α y sin α + y = x sin α + y cos α + b } (I42 Если (I42 разрешить относительно x, y, то получим выражение для новых (штрихованных координат } x = x cos α + y sin α + y = x sin α + y cos α + b (I43 Очевидно, что если α = 0, то совершен лишь параллельный перенос начала координат без вращения осей координат Полагая α = 0 в (I42, (I43 и выражениях для и b, получим x = x + y = y + b } x = x y = y b } (I44 Если = b = 0, α 0, то перенос начала координат не совершается, происходит лишь поворот осей Для него имеем } } x = x cos α sin α x = x cos α + y sin α y = x sin α + y cos α y (I45 = x sin α + y cos α I10 Преобразование прямоугольной системы координат в пространстве Осуществим сейчас переход в пространстве от одной прямоугольной системы координат R{O; i, j, k} к другой прямоугольной системе координат R{O ; i, j, k } без переноса начала координат ( OO = 0 и с сохранением ориентации (обе тройки векторов правые Очень часто в приложениях формулы перехода, связывающих штрихованные и нештрихованные координаты, требуется записать через три независимых параметра углы Эйлера С этой целью переход от первого ортонормированного базиса ко второму разобьем на три этапа Первый этап Повернем вокруг оси Oz на угол φ оси Ox и Oy Новые оси обозначим через Ox 1, Oy 1, Oz 1 Согласно формулам (I45 поворота осей на плоскости P имеем x = x 1 cos φ y 1 sin φ y = x 1 sin φ + y 1 cos φ z = z 1 42 (I46

43 I10 Преобразования в пространстве Второй этап Повернем вокруг оси Ox 1 оси Oy 1, Oz 1 на угол θ Новые оси обозначим через Ox 2,Oy 2, Oz 2 Имеем x 1 = x 2 y 1 = y 2 cos θ z 2 sin θ (I47 z 1 = y 2 sin θ + z 2 cos θ Третий этап Повернем вокруг оси Oz 2 в плоскости Q оси Ox 2, Oy 2 на угол ψ Получим оси Ox, Oy, Oz Формулы перехода следующие: x 2 = x cos ψ y sin ψ y 2 = x sin ψ + y cos ψ z 2 = z (I48 Подставляя сейчас (I48 в (I47, а затем полученный результат в (I46, получим следующий переход от одной прямоугольной системы координат в пространстве к другой прямоугольной системе без переноса начала координат: x = (cos φ cos ψ sin φ cos θ sin ψx (cos φ sin ψ + sin φ cos θ cos ψy + z sin φ sin θ, y = (sin φ cos ψ + cos φ cos θ sin ψx (sin φ sin ψ (I49 cos φ cos θ cos ψy z cos φ sin θ, z = x sin θ sin ψ + y sin θ cos ψ + z cos θ Чтобы получить выражение x, y, z через старые координаты x, y, z, необходимо в (I49 заменить φ на φ, θ на θ, ψ на ψ, штрихованные координаты на нештрихованные В случае, если осуществлен и перенос начала координат ( OO = i + b j + c k, то к правым частям соотношений (I49 нужно добавить соответственно слагаемые, b, c 43

44 Глава II Линии на плоскости II1 Каноническое и общее уравнения прямой на плоскости Как нами установлено ранее, при помощи системы координат устанавливается взаимно - однозначное соответствие между геометрическими образами точками и алгебраическими объектами числами Показано, что каждой точке плоскости в прямоугольных и полярных координатах соответствует пара чисел, взятых в определенном порядке, и обратно, каждой паре чисел соответствует единственная точка плоскости Взаимно - однозначное соответствие между точками и их координатами сводит изучение геометрических свойств различных объектов к изучению аналитических соотношений между координатами точек множеств, задающих рассматриваемые геометрические объекты Прежде чем переходить к установлению соответствия между линиями на плоскости и уравнениями с двумя переменными x и y или r и φ, остановимся на трех простейших фактах, знание которых необходимо при решении задач аналитической геометрии на плоскости Согласно определению расстояние между точками M 1 (x 1 ; y 1 и M 2 (x 2 ; y 2 равно модулю вектора M 1 M 2, те d(m 1, M 2 = d(m 2, M 1 = M 1 M 2 Поскольку то согласно (I12 имеем M 1 M 2 = OM 2 OM 1 = (x 2 x 1 i + (y 2 y 1 j, d = (x 2 x (y 2 y 1 2 (II1 Пусть задан, далее, отрезок как упорядоченная пара точек A(x 1 ; y 1, B(x 2 ; y 2 Пусть задана также третья точка C(x, y, лежащая на прямой, соединяющей точки A и B, и не совпадающая с концом B отрезка (точка C может 44

45 II1 Уравнения прямой на плоскости находиться как внутри отрезка, так и вне его Рассмотрим векторы AC и CB Они коллинеарны так как находятся на одной прямой Поэтому AC = λ CB (II2 Определение ОII1 Число λ в (II2 называется отношением, в котором точка C делит отрезок AB Отметим, что поскольку точки A и B не совпадают между собой, то λ 1 В координатах (II2 имеет вид (x x 1 i + j(y y 1 = λ((x 2 x i + (y 2 y j В силу линейной независимости векторов i и j получим λ = x x 1 x 2 x, λ = y y 1 y 2 y, (II3 а также x = x 1 + λx λ, y = y 1 + λy λ (II4 При λ = 1 точка C делит отрезок пополам Согласно (II4 координаты середины отрезка имеют вид x = x 1 + x 2 2, y = y 1 + y 2 (II5 2 Наконец, часто приходится иметь дело с формулой вычисления площади треугольника, заданного своими вершинами A 1 (x 1 ; y 1, A 2 (x 2 ; y 2, A 3 (x 3 ; y 3 Приведем ее S = 1 2 x 2 x 1 y 2 y 1 x 3 x 1 y 3 y 1 (II6 Используя свойства определителей, выражение (II6 часто записывают в следующей эквивалентной форме: S = 1 x 1 y x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 (II7 В самом деле, вычитая первую строку из второй и третьей строк и понижая порядок определителя, приходим к соотношению (II6 45

46 Глава II Линии на плоскости Следующим этапом является установление между линиями на плоскости и уравнениями с двумя переменными x и y (r и φ определенного соответствия, что позволяет свести изучение геометрических свойств линий к изучению аналитических свойств соответствующих уравнений В аналитической геометрии всякую линию рассматривают как геометрическое место точек, обладающих общим свойством Так, например, пусть задана прямоугольная декартова система координат и требуется вывести уравнение окружности радиуса R, центр которой находится в точке C(; b Определение ОII2 Окружностью с центром в точке C называется геометрическое место точек, находящихся на одном и том же расстоянии R от центра Пусть x и y координаты произвольной точки M окружности (текущая точка M окружности Тогда CM = R и, следовательно, CM 2 = R 2 Последнее равенство в координатах запишется в виде (x 2 + (y b 2 = R 2 (II8 Равенство (II8 называется уравнением окружности в прямоугольной системе координат Если центр окружности совпадает с началом координат ( = b = 0, то ее уравнение принимает вид x 2 + y 2 = R 2 (II9 В полярной системе координат уравнение окружности с центром в полюсе имеет наиболее простой вид: r = R В общем случае посредством уравнения, связывающего координаты x, y (или r, φ переменной точки M, выражаем общее свойство точек линии Определение ОII3 Уравнение F (x, y = 0 (Φ(r, φ = 0 в прямоугольной системе координат (в полярной системе координат называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на ней Если уравнение имеет вид y = f(x, то оно называется явным в отличие от неявного уравнения F (x, y = 0 46

47 II1 Уравнения прямой на плоскости Отметим, что множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению, может обладать особенностями и не составлять линии на плоскости в том смысле, который придается этому слову Перечислим наиболее часто встречающиеся особенности: (1 уравнение F (x, y = 0, (Φ(r, φ = 0 не определяет ни одной точки плоскости (например, x 2 + y = 0; (2 уравнение задает одну или несколько точек (например, x 2 +y 2 = 0, (3 левая часть уравнения F (x, y = 0 распадается на k штук сомножителей: F (x, y = f 1 (x, yf 2 (x, y f k (x, y и тем самым выделяется k ветвей линии с уравнениями f ( x, y = 0,, f k (x, y = 0 Например, x 2 y 2 = 0 представляется в виде двух ветвей (x y = 0 и (x + y = 0 Рассмотрим конкретные примеры часто встречающихся в приложениях уравнений линий в полярной системе координат M r = O Окружность: r = ( > 0 Const РисII19 47

48 Глава II Линии на плоскости Спираль Архимеда: r = φ ( положительная константа 0 φ < (РисII20 РисII Логарифмическая спираль: r = e kφ (, k положительные константы, < φ < + (РисII21 РисII21 48

49 II2 Параметрические уравнения линии Кардиодида: r = (1 + cos φ ( > 0 const, 0 φ < 2π (РисII22 РисII22 Пересечением двух (трех и т д линий называется геометрическое место точек, координаты которых одновременно удовлетворяют уравнениям обеих линий { F1 (x, y = 0 (II10 F 2 (x, y = 0 II2 Параметрические уравнения линии на плоскости Часто линию на плоскости удобно (особенно при рассмотрении движения материальных точек в механике задавать системой уравнений, в которой каждая текущая координата есть некоторая функция одной переменной t (например, в механике времени t, называемой параметром В данном случае уравнение вида } x = x(t (t T (II11 y = y(t называются параметрическими уравнениями линии на плоскости При фиксированном значении t = t 0 (II11 определяют координаты x 0 = x(t 0, y 0 = y(t 0 точки M 0 линии 49

50 Глава II Линии на плоскости Исключив из (II11 параметр t, мы получим уравнение F (x, y = 0 (либо y = f(x, задающее ту же линию на плоскости, что и уравнение (II11 Например, уравнения { x = R cos t (0 t < 2π y = R sin t определяют окружность с центром в O(0; 0 и радиуса R, так как, возводя в квадрат уравнения и складывая, получим уравнение x 2 + y 2 = R 2, описывающее окружность с центром в начале координат Параметр t в рассматриваемом случае есть угол между осью Ox и радиусом - вектором текущей точки окружности В качестве еще одного примера выведем параметрические уравнения циклоиды, определяемой 2 15 как траектория точки M окружности радиуса при ее качении по прямой линии без скольжения РисII23 Циклоида (РисII23 В качестве параметра t выберем увеличивающийся при качении угол t = AC 1 M Имеем OM = OA + AC 1 + C 1 M Поэтому } x = Πp Ox OA + Πp Ox AC1 + Πp Ox C 1 M = (t sin t (t [0, 2π] y = Πp Oy OA + Πp Oy AC1 + Πp Oy C 1 M = (1 cos t Если линия задана в полярной системе координат явным способом r = r(φ, то, используя связь полярных и декартовых координат (I7, легко получить ее параметрическое представление x = r(φ cos φ y = r(φ sin φ } (φ Φ (II12 Если задано неравенство F (x, y > 0 или F (x, y < 0, то его геометрический смысл легко устанавливается Такие неравенства определяют в прямоугольной системе координат множество точек плоскости область плоскости, границей которой является линия с уравнением F (x, y = 0 Аналогично и в полярной системе координат Так, например, неравенство x 2 + y 2 < R 2 определяет множество точек, находящихся внутри окружности x 2 +y 2 = R 2, называемое открытым кругом радиуса R 50

51 II3 Канонические уравнения прямой y p(e, m M 0 (x 0, y 0 M(x, y r O r 0 x РисII24 В заключении остановимся на выводе канонического и общего уравнения прямой линии на плоскости в прямоугольной системе координат II3 Канонические уравнения прямой на плоскости Прямую на плоскости можно задать, если фиксировать некоторую точку M 0 (x 0 ; y 0 (опорная точка прямой и направляющий вектор p(l, m РисII24 Пусть r(x, y радиус - вектор текущей точки искомой прямой линии Тогда векторы r r 0 и p суть коллинеарные векторы ( r r 0 = t p, и мы имеем r = r 0 + t p ( < t < + (II13 Получили параметрическое уравнение прямой в векторном виде В координатной записи (II13 имеет вид } x = x 0 + lt ( < t < + (II14 y = y 0 + mt Коллинеарность векторов r r 0 и p согласно (I25 может быть выражена и так: x x 0 = y y 0 l m (II15 Имеем каноническое уравнение прямой на плоскости Если l = 0 (m = 0, то соответствующее уравнение прямой имеет вид x = x 0 (y = y 0 II4 Общие уравнения прямой на плоскости Прямую на плоскости можно задать другим способом Зафиксируем некоторую точку прямой M 0 (x 0 ; y 0 и вектор N(A, B, ортогональный к искомой 51

52 y Глава II Линии на плоскости M 0 (x 0, y 0 M r O r 0 x РисII25 прямой (он носит название нормального вектора прямой Пусть r(x; y радиус - вектор текущей точки прямой Тогда (РисII25 ( N( r r 0 = 0 (II16 суть векторное уравнение прямой с нормальным вектором В координатах имеем A(x x 0 + B(y y 0 = 0 (II17 Чтобы описать все множество прямых на плоскости, мы должны произвольным образом задавать N и M 0, те считать A, B и C = Ax 0 By 0 произвольными параметрами, пробегающими множество вещественных чисел Таким образом, уравнение Ax + By + C = 0 (II18 называется общим уравнением прямой на плоскости Геометрический смысл коэффициентов при x и y следующий: Коэффициенты A и B суть координаты в ортонормированном базисе { i, j} нормального вектора прямой Геометрический смысл параметра C будет выяснен ниже Этот параметр связан с расстоянием от начала координат до прямой В частности, при C = 0 имеем Ax + By = 0 уравнение прямой, проходящей через начало координат Обратно, если в прямоугольной системе координат на плоскости имеем уравнение 1-й степени вида (II18, то это будет уравнение прямой линии 52

53 II5 Различные виды уравнений Действительно, (II18 как уравнение с двумя неизвестными всегда имеет решение Пусть (x 0 ; y 0 некоторое решение, те Ax 0 + By 0 + C 0 Вычитая это тождество (II18, получим эквивалентное ему уравнение A(x x 0 +B(y y 0 = 0, которое может быть записано в виде ( N( r r 0 = 0, где N = A i+b j, r = x i+y j переменный радиус - вектор, r 0 = x 0 i+y 0 j фиксированный вектор, задающий точку M 0 (x 0 ; y 0 Очевидно, что данному уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой линии, проходящей через M 0 и имеющей нормальный вектор N, и не удовлетворяют координаты ни одной точки с радиус - вектором r,не лежащей на прямой, так как r r 0 и N не ортогональны между собой II5 Различные виды уравнений прямой на плоскости Остановимся на трех видах уравнений прямой, имеющих наибольшие приложения Уравнение в отрезках Пусть в общем уравнении прямой Ax+By +C = 0 коэффициенты A 0, B 0, C 0 Тогда это уравнение можно переписать в виде x ( C A + y ( C B = 1 Обозначив = C A, b = C, получим уравнение прямой в отрезках b x + y b = 1 (II19 Видим, что точки с координатами (; 0 и (0; b удовлетворяют уравнению (II19, и, следовательно, уравнение (II19 описывает прямые, отсекающие от осей координат отрезки длиной и b Уравнение с угловым коэффициентом Каноническое уравнение (II15 может быть записано в виде где l 0 Вспомним, что y y 0 = m l (x x 0, l = Πp i p = p cos φ, m = Πp j p = p sin φ, и поэтому коэффициент k = m l = tg φ, (II20 53

54 Глава II Линии на плоскости [( где φ (рассматриваемый в пределах φ 0, π ( π ] 2 2, π, угол между векторами i и p (угол наклона прямой к оси Ox, называем угловым коэффициентом Если обозначить b = y 0 m l x 0, то уравнение прямой с угловым коэффициентом примет вид y = kx + b (II21 Легко убедиться в том, что точка с координатами (0; b удовлетворяет уравнению (II21, и, следовательно, прямая (II21 отсекает от оси Oy отрезок длиной b (РисII26 y y = kx+b O x (o,b РисII26 РисII26b Если в общем уравнении прямой B 0 (прямая не параллельна оси ординат, то его можно привести к виду y = A B x C B Обозначив k = A B, b = C, приходим к уравнению прямой с угловым коэффициентом B Используя геометрический смысл углового коэффициента k, легко получить выражение для тангенса угла между двумя прямыми Определение ОII4 Углом θ между прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами, будем называть угол, на который надо повернуть против часовой стрелки первую прямую вокруг точки S до совмещения со второй прямой (0 θ π (РисII26b Пусть заданы прямые y = k 1 x + b 1 и y = k 2 x + b 2 Поскольку φ 2 = φ 1 + θ ( РисII26b, то tg θ = tg(φ 2 φ 1 Учитывая, что tg φ 1 = k 1, tg φ 2 = k 2, и 54

55 II5 Различные виды уравнений применяя формулу для тангенса разности углов, получим tg θ = k 2 k k 1 k 2, (1 + k 1 k 2 0 (II22 Если прямые заданы общими уравнениями A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 то, так как из (II22 имеем k 1 = A 1 B 1, k 2 = A 2 B 2, tg θ = A 1B 2 B 1 A 2 A 1 A 2 + B 1 B 2, (A 1 A 2 + B 1 B 2 0 (II23 Последняя формула годится и в том случае, когда одна из прямых параллельна оси ординат Формула (II22 этот случай не затрагивает Теорема ТII1 Для того, чтобы прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы k 1 = k 2 (A 1 B 2 = B 1 A 2 Доказательство: Пусть прямые параллельны Угол θ = 0 (либо θ = π, и, следовательно, tg θ = 0 Из (II22 вытекает, что k 1 = k 2, а из (II23 A 1 B 2 = B 1 A 2 Необходимость доказана Пусть обратно k 1 = k 2 (A 1 B 2 = B 1 A 2 Тогда tg θ = 0 Следовательно, прямые параллельны Достаточность доказана Теорема ТII2 Для того, чтобы прямые были перпендикулярны между собой, необходимо и достаточно, чтобы k 2 = 1 k 1 (A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 Доказательство: В самом деле, если прямые ортогональны друг другу, то ортогональны и их нормальные векторы, и имеющие для прямых с угловым коэффициентом вид: N 1 = k 1 i j, N2 = k 2 i j, а для прямых с общим уравнением N 1 = A 1 i + B 1 j, N2 = A 2 i + B 2 j В силу равенства ( N1 N2 = 0 получим, что k1 k = 0 и соответственно A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 55

56 Глава II Линии на плоскости Пусть обратно, k 2 = 1 k 1 Это значит k 1 k = 0 Поскольку для прямой y = k 1 x + b 1 нормальный вектор N 1 имеет координаты (k 1, 1, а для прямой y = k 2 x + b 2 N2 = k 2 i j, то равенство k 1 k = 0 эквивалентно ( N1 N2 = 0 Следовательно, нормальные векторы у прямых ортогональны Ортогональны и прямые Аналогичное рассуждение приводится в случае выполнения условия A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0, если вспомнить, что N 1 = A 1 i + B 1 j, N2 = A 2 i + B 2 j II6 Нормированное уравнение прямой Нормированное уравнение прямой Рассмотрим прямую, не проходящую через начало координат, опустим из начала координат перпендикуляр на прямую ( РисII27 и обозначим через Q точку пересечения перпендикуляра и прямой Пусть n орт вектора OQ = q Для любой точки M прямой вектор ( r q ортогонален к n, те (( r q n = 0 Поскольку n орт - вектор, то n = i cos α + j sin α, где α = i n, и ( q n = q n cos q n = p (длина перпендикуляра, равная расстоянию от начала координат до прямой Поэтому равенство в координатах имеет вид (( r q n = ( r n ( q n = 0 x cos α + y sin α p = 0 (II24 Уравнение (II24 носит название нормированного (нормального уравнения прямой Пусть прямая задана общим уравнением Ax + By + C = 0 или ( r N + C = 0 Найдем выражение для единичного вектора n, коллинеарного с N Получим, что n = N ϵ N = A ϵ A 2 + B 2 i + 56 B ϵ A 2 + B 2 j

57 II6 Нормированное уравнение прямой b M r O y p n α Q x O y n Q R M 0 (x 0, y 0 r 0 M x РисII27 Поэтому нормированное уравнение имеет следующий вид: A ϵ A 2 + B 2x + B ϵ A 2 + B 2y + C ϵ A 2 + B = 0, (II25 2 где ϵ = +1, если свободный член C < 0 и ϵ = 1, если C > 0 Такой выбор знака перед корнем определяется тем, что в (II24 свободный член p всегда отрицателен Пример ПII1 Пронормировать уравнение прямой x y +1 = 0 Так как свободный член положителен, то нормирующий множитель будет равен ( 1 = Поэтому нормированное уравнение имеет вид: 1 x + 1 y 1 = Используя нормированное уравнение прямой, легко вывести формулу вычисления расстояния d от точки до прямой Пусть M 0 (x 0 ; y 0 точка вне прямой x cos α + y sin α p = 0 Определение ОII5 Отклонением δ точки M 0 от прямой называется число, равное +d, если M 0 и начало координат находятся по разные стороны прямой, и равное d, если 0 и начало координат находятся по одну сторону от прямой 57

58 Глава II Линии на плоскости Теорема ТII3 Для вычисления отклонения δ точки M 0 (x 0 ; y 0 от прямой x cos α + y sin α p = 0 нужно в левую часть уравнения вместо x и y подставить координаты x 0 и y 0 точки M 0, те δ = x 0 cos α + y 0 sin α p (II26 Для вычисления расстояния от точки до прямой получаем формулу d = x 0 cos α + y 0 sin α p (II27 Доказательство: Доказательство проведем для случая, когда начало координат и M 0 находятся по разные стороны прямой (Рис РисII27b В другом случае все повторяется буквально Для рассматриваемой ситуации δ = Πp n M M 0 = Πp n QR Но Поэтому ( QR = Πp n OM 0 n p n = ( r0 n n p n δ = ( QR n = ( r0 n p, так как ( n n = 1 Формулы (II26, а, следовательно, и (II27 доказаны Пример ПII2 3 = 0 Найти расстояние от точки P (1, 2 до прямой 2x+y Нормируем согласно (II25 данное уравнение: 2 x + 1 y 3 = Подставляем координаты точки P (1, 2 Получим, что δ = ( =

59 II6 Нормированное уравнение прямой Биссектрисы углов В качестве приложения формулы для отклонения (II26 выступает вывод уравнений биссектрис углов, образованных при пересечении прямых A 1 x + B 1 y +C 1 = 0 и A 2 x+b 2 y +C 2 = 0 Так как биссектриса есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла, то, учитывая знак отклонения текущей точки биссектрисы M(X; Y от первой и второй прямой, получим уравнение биссект А именно A 1 A 2 X + Y + ϵ 1 A B2 1 ϵ 2 A B2 2 ϵ 1 A B2 1 ϵ 2 A B2 2 C 1 + = 0 ϵ 1 A B2 1 ϵ 2 A B2 2 для угла, где отклонения совпадают по знаку, а также A 1 A 2 + X + + Y + ϵ 1 A B2 1 ϵ 2 A B2 2 ϵ 1 A B2 1 ϵ 2 A B2 2 C = 0 ϵ 1 A B2 1 ϵ 2 A B2 2 для углов, где отклонения разнятся знаком Пример ПII3 Найти уравнение биссектрис углов, образованных пересечением прямых x 2y + 1 = 0 и 2x + y 2 = 0 Решение Нормируем прямые Имеем C 2 C 2 B 1 B x y 1 5 = 0 B 2 B 2 и 2 x + 1 y 2 = Для одинаковых знаков δ получим, что 3 5 X Y = 0 59

60 Глава II Линии на плоскости или Y = 3X 1 Для разных знаков δ получим, что 1 X + 3 Y 3 = 0, те X + 3Y 3 = 0 или Y = 1 3 X + 1 Взаимное расположение двух прямых A 1 x+b 1 y+c 1 = 0 и A 2 x+b 2 y+c 2 = 0 на плоскости описывается тремя ситуациями: (1 прямые пересекаются; (2 прямые параллельны, но не совпадают; (3 прямые совпадают Рассмотрение системы уравнений { A1 x + B 1 y + C 1 = 0 (II28 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 с привлечением теории систем линейных уравнений приводит нас к следующим выводам: (1 если определитель A 1 B 1 A 2 B 2 0, то система (II28 имеет единственное решение прямые пересекаются; (2 если A 1 B 1 A 2 B 2 = 0, а ранг матрицы ( A1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 равен двум, то система несовместна прямые параллельны и не совпадают; (3 если ранг ( A1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 равен 1, то прямые совпадают Перейдем к описанию пучка прямых Определение ОII6 Множество всех прямых плоскости, проходящих через точку M 0 (x 0 ; y 0 плоскости (называемую центром, называется пучком прямых Как задать пучок прямых? Первый способ состоит в задании центра пучка M 0 (x 0 ; y 0 В таком случае множество всех прямых, проходящих через эту 60

61 II6 Нормированное уравнение прямой точку, описывается соотношениями { y y0 = k(x x 0 x = x 0 } ( < k < + (II29 Второй способ состоит в задании двух фиксированных пересекающихся прямых: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 + B 2 y + C 2 = 0 (A 1 B 2 A 2 B 1 0 Теорема ТII4 Уравнение пучка прямых с центром в точке пересечения прямых A 1 x+b 1 y+c 1 = 0 и A 2 x+b 2 y+c 2 = 0 (без определения координат точки пересечения описывается соотношениями вида λ(a 1 x + B 1 y + C 1 + µ(a 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (II30 где λ µ произвольные вещественные числа Доказательство: Действительно, (II30 относится к уравнению вида Ax + By + C = 0 и, следовательно, есть уравнение прямой (при µ = 0 имеет первую базисную прямую пучка, при λ = 0 имеет вторую базисную прямую Прямая, описываемая уравнением (II30, проходит через точку пересечения базовых прямых, ибо координаты точки пересечения обращают в нуль как первую скобку, так и вторую и, следовательно, удовлетворяют (II30 Наконец, (II30 описывает все прямые пучки, те какова бы ни была наперед заданная прямая, проходящая через центр пучка, она будет описываться уравнением (II30 при некоторых значениях параметров λ и µ В самом деле, наперед заданная прямая пучка однозначно определяется заданием еще одной точки P (x 1 ; y 1 (через две точки проходит единственная прямая Если мы покажем, что найдутся такие λ и µ, что координаты точки P удовлетворяют (II30, то доказательство теоремы будет закончено Все эти условия соблюдаются, так как, взяв, мы получим λ = A 2x 1 + B 2 y 1 + C 2 A 1 x 1 + B 2 x 1 + C 1 µ λ (A 1 x 1 + B 1 y 1 + C 1 + µ (A 2 x 1 + B 2 y 1 + C 2 0 Пример ПII4 Через точку пересечения прямых x y + 1 = 0 и 2x + y + 1 = 0 проходит прямая, параллельная прямой 3x + y + 1 = 0 Написать ее 61

62 Глава II Линии на плоскости уравнение Решение Имеем λ(x y µ(2x + y + 1 = 0 или (λ + 2µx + ( λ + µy + λ + µ = 0 Условие параллельности: λ + 2µ = 3 и λ + µ = 1, т е λ = 1 3, µ = 4 3 Ответ: 3x + y = 0 II7 Общее уравнение кривой второго порядка и классификация кривых второго порядка Линия, определяемая в прямоугольной системе ко- Определение ОII7 ординат уравнением Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, (II31 где A, B, C одновременно не обращаются в нуль, называется кривой второго порядка, а уравнение (II31 ее общим уравнением Совершенно очевидно, что всякая окружность (x 2 +(y b 2 = R 2 есть кривая второго порядка (II31 при A = C, B = 0, так как после возведения в квадрат имеем: x 2 + y 2 2x 2by b 2 R 2 = 0 Обратно, если в (II31 A = C, B = 0, F < 0, то (II31 есть уравнение окружности В самом деле, A умножив (II31 на 1 ( A, получим x2 +y 2 2x 2by c = 0 = D A, b = E A, c = F которое может быть записано в виде (x 2 + (y b 2 = c b 2 Нашей целью является выбор такой новой прямоугольной системы координат R{O ; i, j, k }, относительно которой уравнение кривой (II31 имеет наименьшее число числовых параметров (каноническое уравнение Переход осуществляется по формулам (I42 x = x cos α y sin α + y = x sin α + y cos α + b 62 } (II32

63 II7 Общее уравнение кривой второго порядка Подставив вместо x и y в (II31 их выражения (II32, получим A(x 2 cos 2 α + y 2 sin 2 α + 2 2x y cos α sin α + 2x cos α 2y sin α+ +2B(x 2 cos α sin α+x y cos 2 α+bx cos α x y sin 2 α y 2 sin α cos α by sin α+ +x sin α+y cos α+b+c(x 2 sin 2 α+y 2 cos 2 α+b 2 +2x y cos α sin α+2bx sin α+ +2by cos α + 2D(x cos α y sin α + α + 2E(x sin α + y cos α + b + F = 0 Приведя подобные члены, имеем A x 2 + 2B x y + C y 2 + 2D x + 2E y + F = 0, (II33 где новые коэффициенты выражаются следующим образом: A = A cos 2 α + 2B cos α sin α + C sin 2 α B = B cos 2α + 1 (C A sin 2α 2 C = A sin 2 α 2B sin α cos α + C cos 2 α D = (A cos α + B sin α + b(b cos α + C sin α + D cos α + E sin α E = (b cos α A sin α + b(c cos α B sin α D sin α + E cos α F = A 2 + 2Bb + Cb 2 + 2D + 2Eb + F (II34 Отметим следующий факт: Определитель = A B B C, составленный из коэффициентов при второй степени есть инвариант относительно преобразований координат (II32 В самом деле, подставив в выражение = A C B 2 значения A, B, C из (II34, получим = A C B 2 = (AC B 2 sin 4 α+(ac B 2 cos 4 α+2(ac B 2 sin 2 α cos 2 α = = (AC B 2 (sin 2 α + cos 2 α 2 = (II35 Если в уравнении B 0, то в преобразованиях (II32 угол α подберем таким, чтобы коэффициент B в (II33 обратился в нуль Для этого достаточно, чтобы B cos 2α + 1 (C A sin 2α = 0, 2 63

64 Глава II Линии на плоскости те ctg 2α = 1 (A C 2B (II36 Распорядимся сейчас выбором параметров и b для упрощения уравнения (II33, где B = 0 С этой целью дальнейшее рассмотрение разобьем на два случая в зависимости от того, отличен от нуля определитель = AC B 2 в уравнении (II31 или он равен нулю (A Пусть = AC B 2 0 Заметив, что определитель, составленный из коэффициентов при и b для D и E в (II34 A cos α + B sin α B cos α + C sin α B cos α A sin α C cos α B sin α = AC B2 0, (II37 выберем и b таким образом, чтобы D = 0 и E = 0 Для этого, согласно (II34, необходимо решить систему уравнений относительно неизвестных и b (значение α фиксировано равенством (II36 (A cos α + B sin α + b(b cos α + C sin α = D cos α E sin α (B cos α A sin α + b(c cos α B sin α = D sin α E cos α В силу (II37 для и b по формулам Крамера имеем единственное решение Подставив найденные значения α,, b, в A, C, F из (II34, мы получим в штрихованной системе координат с началом в точке O (; b следующее уравнение: px 2 + qy 2 = r (II38 Покажем, что начало координат O (; b является центром симметрии кривой (II38, а штрихованные оси координат осями симметрии В самом деле, если в уравнении (II38 вместо координаты x подставить x, то уравнение не изменится Не изменится оно и после замены y на y Это значит, что точка O (пересечение осей O x и O y есть центр симметрии кривой (II38 Линию второго порядка, имеющую единственный центр симметрии называют центральной, остальные носят название нецентральных Если r 0, то центральная кривая называется невырожденной, при r = 0 вырожденной (A1 Невырожденные центральные кривыепредставив уравнение (II38 в виде x 2 ( + ( y2 = 1 r r p q 64 }

65 II7 Общее уравнение кривой второго порядка (ради упрощения записи штрихи у переменных опустим и обозначив получим r p = ϵ 1 2, r q = ϵ 2b 2 (, b > 0, ϵ 1 ± 1, ϵ 2 = ±1, ϵ y2 ϵ 2 b 2 = 1 При ϵ 1 = 1, ϵ 2 = 1 имеем каноническое уравнение эллипса x 2 x y2 b 2 = 1 (II39 (II40 Когда = b, эллипс представляет собой окружность При ϵ 1 = 1, ϵ 2 = 1 имеем каноническое уравнение гиперболы x 2 2 y2 b 2 = 1 (II41 При ϵ 1 = 1, ϵ 2 = 1 опять имеем уравнение гиперболы, в котором по сравнению с II41 роль переменной x играет y и наоборот Этот случай принципиально не отличается от предыдущего При ϵ 1 = 1, ϵ 2 = 1 вещественных точек не существует (мнимый эллипс Очевидно, что первый и четвертый случай соответствуют ситуации, когда > 0, второй и третий, когда < 0 (A2 Вырожденные центральные кривые При r = 0 уравнение II38 записывается в виде x 2 ϵ ϵ y 2 2 b 2 = 0 ( ϵ 1 2 = 1 p, ϵ 2b 2 = 1 q (II42 При ϵ 1 = 1, ϵ 2 = 1 ( > 0 имеем одну точку O (0, 0 При ϵ 1 = 1, ϵ 2 = 1 ( < 0 левая часть II42 распадается на два сомножителя ( x + y ( x b y = 0 b Поэтому имеем пару пересекающихся прямых x + y b = 0, x y b = 0 (II43 При ϵ 1 = 1, ϵ 2 = 1 ( < 0 ситуация та же самая Этот случай ничем принципиальным от предыдущего не отличается Наконец, При ϵ 1 = 1, ϵ 2 = 1 ( > 0 возвращаемся к первой ситуации 65

66 Глава II Линии на плоскости (B Пусть = AC B 2 = 0 Взяв = 0, b = 0 в (II42, после выбора угла поворота осей, α, в виде (II36 мы получим, что B = 0 Из - за инвариантности имеем = A C = 0 Пусть A = 0 (если C = 0, то все рассуждения повторяются буквально, только роль x будет играть y, и, следовательно, C 0 Уравнение (II33 принимает после умножения на 1 C следующий вид: y 2 + 2px + 2qy + r = 0 (II44 После переноса начала координат в точку ( q O 2 r 2p ; q x = x + r q2 2p, y = y + q (случай p = 0 будет рассмотрен ниже имеем y 2 = 2px (II45 Получили каноническое уравнение нецентральной невырожденной кривой второго порядка параболы Если в (II44 p = 0, то после переноса начала координат в точку O (0; q : x = x, y = y +q имеем каноническое уравнение вырожденной нецентральной кривой второго порядка (y 2 = ϵ 2 (ϵ 2 = q 2 r, ϵ = ±1 (II46 При ϵ = 1 уравнение (II36 описывает пару параллельных прямых (при = 0 слившихся, при ϵ = 1 пару мнимых параллельных прямых На этом классификация всех возможных алгебраических линий второго порядка закончена II8 Исследование формы и свойств эллипса Перейдем к рассмотрению свойств и установлению формы эллипса (II40 При этом мы будем предполагать, что b < (при b > роли переменных x и y меняются местами, и называть большой полуосью эллипса, b малой полуосью эллипса Введем параметр c > 0, определив его из равенства c 2 = 2 b 2, и рассмотрим на оси Ox две точки F 1 ( c; 0 и F 2 (c; 0 так, что начало координат делит отрезок F 1 F 2 пополам Вычислим сейчас расстояния r 1 и r 2 от точек F 1 и F 2 до произвольной точки эллипса M(x; y : r 1 = (x + c 2 + y 2, r 2 = 66

67 II8 Форма и свойства эллипса (x c2 + y 2 Из уравнения (II40, подставив вместо b 2 его выражение b 2 = 2 c 2, получим y 2 = 2 c 2 x 2 + c2 2x2 и внесем его под корни для r 1 и r 2 ( r 1 = 2cx c2 2x2 = + c 2 x c = + x ( r 2 = 2cx c2 2x2 = c 2 x c = x Из уравнения (II40 следует, что x, и так как c <, то c x < Таким образом, + c x > 0 и c x > 0 Поэтому для r 1 и r 2 окончательно имеем r 1 = + ex, r 2 = ex, (II47 РисII28 осью OX Эллипс с главной где параметр e = c < 1 называют эксцентриситетом эллипса Складывая равенства (II47, получим, что r 1 + r 2 = 2 для любой точки эллипса Это свойство позволяет определить эллипс таким образом: Эллипс это геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек F 1 и F 2 (называемых фокусами эллипса есть величина постоянная (большая чем расстояние между фокусами Числа r 1 и r 2 из (II47 часто называют фокальными радиусами эллипса Исследуем форму эллипса по его каноническому уравнению Нами уже установлено, что оси координат являются осями симметрии, а начало ко- 67

68 Глава II Линии на плоскости ординат центром симметрии Поскольку x2 2 1 и y2 b 2 1, то эллипс расположен в прямоугольнике x, y b Для исследования формы эллипса в силу симметрии достаточно рассмотреть ту его часть, что лежит в первой координатной четверти: y = b 2 x 2 Получив график этой линии и достроив ее симметрично в остальных четвертях, получим линию эллипса ( РисII28 При изучении эллипса особую роль играют две прямые, перпендикулярные к оси Ox, с уравнениями x = ± ( РисII29 директрисы эллипса Для эллипса e e < 1, >, и, следовательно, директрисы расположены вне e эллипса Для дирректрис имеет место теорема, которую можно взять за новое определение эллипса РисII29 Эллипс Теорема ТII5 Отношение расстояния от любой точки эллипса до фокуса к расстоянию ее до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса Действительно, пусть M(x; y точка эллипса, d 1 и Доказательство: d 2 расстояния до соответствующих диррект В силу симметрии достаточно доказать теорему для одного из фокусов (например, ( для F 2 Точка M имеет координаты (x; 0, а D 2 e ; 0 Поэтому d 2 = M D 2 = e x Поскольку r 2 = ex, то r 2 d 2 = ( exe ex = e В заключении остановимся на параметрическом уравнении эллипса С этой целью рассмотрим окружность x 2 + y 2 = 2 и произведем точечное 68

69 II9 Форма и свойства гиперболы сжатие плоскости вдоль ординат точек x = X y = Y (II48 b Подставив в уравнение окружности, получим уравнение эллипса X Y 2 b 2 = 1 Пусть окружность задана в параметрической форме: x = cos t, y = sin t, (t [0, 2π] Из (II48 находим X = cos t, Y = b y = b cos t (t [0, 2π] Поэтому параметрическое уравнение эллипса с полуосями и b имеют вид x = cos t y = b sin t } (0 t < 2π (II49 В следующем разделе мы изучим гиперболу и параболу II9 Исследование формы и свойств гиперболы Перейдем к рассмотрению геометрических свойств и формы гиперболы x 2 2 y2 2 = 1 (, b > 0 (II50 b Введем параметр c > 0 с помощью равенства c 2 = 2 + b 2, так что c >, и рассмотрим на оси Ox две точки F 1 ( c; 0 и F 2 (c; 0, которые назовем левым и правым фокусами гиперболы Вычислим фокальные расстояния F 1 M, F 2 M до произвольной точки гиперболы M(x; y : F 1 M = r 1 = (x + c2 + y 2, F 2 M = r 2 = (x c 2 + y 2 Из (II50 находим y 2 = c2 2x2 x 2 c и подставляем в выражение для r 1 и r 2 Имеем ( r 1 = + c 2 x = + ex ( r 2 = c 2 x = ex (II51 69

70 Глава II Линии на плоскости где e = c параметр, называемый эксцентриситетом гиперболы Заметим, что для гиперболы e > 1, так как c > Исследуем различные возможности, представляемые равенствами (II51 Из (II50 следует, что x2 2 1, те x Поэтому в зависимости от того, лежит ли M(x; y в правой полуплоскости (x > 0, или в левой (x < 0 выражения для (II51 различные Если x > 0, то + ex > 0 и ex < 0, так как, e > 1, x >, ex > Поэтому в правой полуплоскости выполнено r 1 = + ex, r 2 = + ex (II52 Если x < 0, то + ex < 0, так как, ex > и ex > 0 Поэтому в в левой полуплоскости выполнено r 1 = ex, r 2 = ex (II53 Из этих рассуждений вытекает, что гипербола состоит из двух симметричных ветвей, расположенных соответственно в правой и левой полуплоскостях Из (II52 и (II53 для обеих ветвей выводим инвариантное равенство r 1 r 2 = 2 (II54 На основании (II54 можно дать новое определение гиперболы: Гипербола есть геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек F 1, F 2, называемых фокусами гиперболы есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая расстояния между фокусами При установлении формы гиперболы отметим, что оси Ox и Oy являются осями симметрии, а их пересечение центром симметрии (центр гиперболы Поскольку x2 2 1 ( x, то ветви гиперболы лежат на плоскости вне полосы < x < Точки пересечения ветвей с осью Ox (y = 0, A 1 ( ; 0 называются вершинами гиперболы Для гиперболы, заданной уравнением (II50 ось Ox называется действительной осью гиперболы, а ось Oy мнимой осью гиперболы (пересечения нет из - за равенства y2 b 2 = 1 В силу симметрий достаточно исследовать форму гиперболы в первой четверти, 70

71 II9 Форма и свойства гиперболы y = b x2 2, а затем распространить на всю плоскость Наряду с указанной ветвью гиперболы целесообразно рассмотреть луч, исходящий из начала координат, с уравнением Y = b x Пусть M точка гиперболы с абсциссой x, N точка, указанной прямой с той же абсциссой Для разности ординат имеем Y y = b (x x 2 2 РисII30 Гипербола При неограниченном возрастании x данная разность монотонно стремится к нулю, так как lim (Y y = b x lim (x x 2 2 = b x lim x x 2 x (x + x 2 2 = 0 Поэтому прямые y = ± b x являются асимптотами гиперболы x 2 2 y2 b 2 = 1 Для построения асимптот строим прямоугольник со сторонами x = ±, y = ±b Асимптоты прямые, содержащие диагонали прямоугольника При построении гиперболы удобно построить сначала асимптоты, а затем ветви гиперболы ( РисII30 71

72 Глава II Линии на плоскости Для гиперболы вводятся две прямые, перпендикулярные к оси Ox, с уравнениями x = ± e, и называемые директрисами гиперболы В силу неравенства e > 1 директрисы лежат между вершинами гиперболы Так же, как и для эллипса, имеет место утверждение: r 1 d 1 = r 2 d 2 = e, где d 1 и d 2 расстояния от точки гиперболы до соответствующих директрис ( РисII31 РисII31 Доказательство совершенно аналогично тому, что проведено для эллипса, и поэтому мы приводить его не будем Приведем лишь формулировку теоремы, которая является фактически еще одним определением гиперболы Теорема ТII6 Отношение расстояния от любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию ее до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы e > 1 Отметим, что гипербола y 2 b 2 x2 2 = 1 называется сопряженной по отношению к гиперболе (II50 Действительной осью сопряженной гиперболы является ось Oy, асимптоты остаются прежними II10 Исследование формы и свойств параболы Перейдем к установлению геометрических свойств и вида формы параболы y 2 = 2px (p > 0 (II55 Прежде всего отметим, что кривая лежит в правой полуплоскости ( (x 0 p и проходит через начало координат Рассмотрим точку F 2 ; 0, называе- 72

73 II10 Форма и свойства параболы мую фокусом параболы, и прямую, перпендикулярную к оси Ox, с уравнением x = p, называемую директрисой параболы Пусть M(x; y произвольная точка параболы Вычислим 2 расстояние F M = r = ( x p 2 + y2, 2 подставив y 2 из соотношения (II55 Получим ( r = x + p 2 x p = + = x + p (II56 Расстояние d от M до директрисы x = p 2 также равно x + p Поэтому для 2 параболы r d = 1 Таким образом: Парабола есть геометрическое место точек, для которых расстояние до фиксированной точки F (фокуса параболы равно расстоянию до фиксированной прямой (директрисы параболы Так как для эллипса и гиперболы отношение r есть постоянное число, равное d e эксцентриситету, то и для параболы отношение r d = e называют эксцентриситетом, те для параболы e = 1 Из приведенного рассуждения следует, что эллипс, гипербола и парабола обладают общим геометрическим свойством: Отношение расстояния r от любой точки M каждой из этих кривых до фокуса к расстоянию d от этой точки M до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету e кривой 73

74 Глава II Линии на плоскости Форма параболы легко устанавливается с использованием симметрии относительно оси Ox и монотонного возрастания функции y = 2px (( РисII32 РисII32 Парабола II11 Полярные уравнения кривых второго порядка Для вывода единого уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат воспользуемся установленным единым для этих кривых свойством r d = e Пусть задана какая - либо из перечисленных кривых Поместим полюс полярной системы координат в фокус F, а полярную ось по перпендикуляру от директрисы к фокусу (РисII33 Пусть B точка пересечения кривой с перпендикуляром к полярной оси, исходящим из фокуса F, а p длина вектора F B, называемая фокальным параметром Согласно свойству r = e имеем, что d Поэтому p = CB p = e EF EF = p e, а также d = DM = EN = EF + r cos φ = p e + r cos φ 74

75 II11 Полярные уравнения Подставляя данное выражение в отношение r d = e, получим p e r = e + r cos φ откуда следует полярное уравнение для рассматриваемых кривых второго порядка (e < 1 эллипс, e > 1 гипербола, e = 1 парабола: r = p 1 e cos φ (II57 РисII33 К полярному уравнению параболы Отметим, что при e > 1 из - за условия r > 0 уравнение (II57 описывает только одну ветвь гиперболы, внутри которой лежит фокус Эллипс, гиперболу и параболу называют коническими сечениями, потому что их можно получить путем сечения плоскостями кругового конуса Если плоскость пересекает только одну полость конуса и параллельна одной из образующих конуса, то получим параболу Если секущая плоскость пересекает только одну полость конуса и не параллельна ни одной образующей конуса, то коническое сечение будет эллипсом Когда секущая плоскость перпендикулярна оси конуса, получаем окружность Наконец, если секущая плоскость не проходит через вершину и параллельна оси конуса, то получим гиперболу 75

76 Глава II Линии на плоскости II12 Касательные к кривым второго порядка Условия касания Рассмотрим сначала условия касания прямой и кривой второго порядка, заданной своим каноническим уравнением Рассмотрение подробно проведем для эллипса Для гиперболы и параболы все повторяется буквально, и для них мы приведем лишь результат Пусть задана прямая Ax + By + C = 0 и эллипс x y2 b 2 = 1 Считаем B 0, так как прямые, перпендикулярные к оси Ox (B = 0 и касающиеся эллипса, известны (x = ± Совместное рассмотрение системы уравнений y = A B x C B x y2 b 2 = 1 приводит к квадратному уравнению x b 2 ( A B x + C B 2 = 1, корни которого должны совпадать (прямая Ax + By + C = 0 касается кривой Поэтому дискриминант D = A2 C 2 ( ( 1 B 4 b A2 C 2 B 2 b 2 B 2 b 2 1 = 0, откуда следует условие касания прямой Ax+By+C = 0 и эллипса x2 2 + y2 b 2 = 1 A B 2 b 2 = C 2 (II58 Аналогично рассуждая, получим условие касания прямой и гиперболы (II50 A 2 2 B 2 b 2 = C 2, (II59 а также прямой y = kx + b и параболы y 2 = 2px (k p 2 = k 2 b 2 76

77 II12 Касательные к кривым II-го порядка Пример ПII5 Написать уравнение касательной к эллипсу x y2 16 = 1, которая была бы перпендикулярна прямой 2x 3y + 1 = 0 Решение Условие перпендикулярности прямой Ax + By + C = 0 и прямой 2x 3y + 1 = 0 записывается в виде 2A 3B = 0 (A = 32 B, а условия касания: 25A B 2 = C 2 ( Решая совместно данные условия, получим B 2 = C 2, те C = ± 17 2 B Подставляя в уравнение прямой значения параметров A = 3 2 B, C = ± 17 2 B и сокращая на общий множитель 1 B, получим два решения задачи: 2 3x + 2y ± 17 = 0 Канонические уравнения касательной Приступим теперь к выводу уравнения касательной линии к кривой второго порядка Рассмотрим произвольную линию γ на плоскости, заданную явным уравнением: y = f(x, (II60 где f(x - непрерывно - дифференцируемая функция на отрезке [, b] Пусть M 0 (x 0, y 0 - некоторая точка кривой γ, где y 0 = f(x 0 Как известно из математического анализа, y 0 def = y x=x0 = df(x dx x=x 0 = tg α есть тангенс угла наклона касательной к кривой (II60 в точке M 0 (x 0, y 0 Таким образом, уравнение касательной к кривой (II60 с точкой касания M 0 (x 0, y 0 можно записать в явном виде: y y 0 = k(x x 0 = y y 0 = y 0(x x 0 (II61 Сравнивая явное уравнение прямой (II61 с с ее общим уравнением, найдем, например, координаты ее вектора нормали: N = (y 0, 1 (II62 Рассмотрим теперь каноническое уравнение эллипса: x y2 b 2 = 1, 77

78 Глава II Линии на плоскости полагая для определенности > b Поскольку эллипс является центральной фигурой, те, при заменах x x или y y свойства эллипса не меняются, то достаточно рассмотреть касательную с точкой касания M 0 в первой четверти, где x 0, y 0 В этой четверти: y = b 1 x2 2 Вычисляя производную от этой функции, найдем: y x bx = 2 1 x2 2 Пусть теперь x 0 0 -абсцисса точки касания M 0 (x 0, y 0, тогда ордината точки касания в первой четверти есть: y 0 = b 1 x2 0 2, откуда найдем полезное соотношение: 1 x2 0 2 = y 0 b Подставляя это последнее соотношение в выражение для производной в точке касания, найдем: y 0 = b2 2 x 0 y 0 (II63 Подставляя выражение для y 0 из (II63 в уравнение касательной (II61, приведем последнее к виду: y y 0 + b2 2 x 0 y 0 (x x 0 = 0 Умножая это уравнение на y 0 2 и собирая переменные, получим: b xx yy 0 b 2 x2 0 2 y2 0 b 2 = 0 78

79 II12 Касательные к кривым II-го порядка Касательные к эл- РисII34 липсу Учитывая теперь то обстоятельство, что координаты точки касания, x 0, y 0, удовлетворяют уравнению эллипса, получим окончательно каноническое уравнение касательной к эллипсу: xx yy 0 2 = 1, (II64 b где (x 0, y 0 - координаты точки касания к эллипсу, связанные между собой каноническим уравнением эллипса, (x, y - координаты текущей точки M касательной к эллипсу (см РисII34 Очевидно, что совершенно аналогично можно получить каноническое уравнение касательной к гиперболе, заданной своим каноническим уравнением x 2 2 y2 2 = 1, = b xx 0 2 yy 0 b 2 = 1 (II65 Приступим к выводу уравнения касательной к параболе, заданной своим каноническим уравнением: y 2 = 2px Продифференцируем это уравнение по переменной x: yy = p Поскольку парабола симметрична относительно оси Ox (те, свойства ее не изменяются при замене y y, то рассмотрим, как и выше, касательную к параболе с точкой касания M 0 (x 0, y 0 в первой четверти декартовой системы координат x 0 0, y 0 0 (при p > 0 В этой четверти: и производная функции y(x равна: y = 2px, y = p y = p 2x 79

80 Глава II Линии на плоскости Поэтому уравнение касательной с точкой касания M 0 (x 0, y 0 есть: y y 0 = p (x x 0 y 0 Расписывая это уравнение, получим: yy 0 px y0 2 + px = 0 Используя уравнение параболы, получим окончательно каноническое уравнение касательной: yy 0 = p(x + x 0 (II66 II13 Оптические свойства кривых второго порядка Все кривые второго порядка обладают рядом замечательных оптических свойств Под оптическими здесь понимаются свойства, связанные с отражением лучей света от кривых, так, как если бы эти кривые были зеркальными линиями, а свет бы распространялся в плоскости При этом важен закон отражения света, согласно которому угол падения луча на зеркало равен углу отражения Хотя закон отражения сформулирован для плоского зеркала, он применим и для кривого, если его понимать как равенство угла между падающим лучом и направляющим вектором касательной, с одной стороны, отраженным лучом и направляющим вектором касательной, - с другой стороны Оптические свойства эллипса Пусть луч света выходит из одного из фокусов эллипса E (для определенности левого, F 1 и попадает в точку эллипса M 0 (x 0, y 0, для определенности находящуюся в первой четверти x 0, y 0 Каноническое уравнение касательной (II64, проходящей через эту точку, есть: xx yy 0 b 2 = 1, поэтому направляющий вектор касательной имеет координаты: ( y0 q = b 2 ; x 0 2 Фокальные радиусы-векторы точки M 0 : r 1 = F 1 M 0 и r 2 = M 0 F 2 имеют следующие координаты: r 1 = (x 0 + c, y 0 ; r 2 = (c x 0, y 0 80

81 II13 Оптические свойства РисII35 К оптическим свойствам зллипса Вычислим косинусы углов между направляющим вектором нормали и указанными фокальными радиусами - векторами точки M 0, r 1 q и r2 q : ( cos r1 q r1 q = ; r 1 q ( cos r2 q r2 q = ; r 1 q Вычисляя эти величины с учетом полученных ранее выражений (II47 для фокальных радиусов r 1, r 2, найдем: cos α def = cos r1 q = cy 0 2 b 2 q r 1 (cx = cy 0 b 2 q ; cos α def = cos r2 q = cy 0 2 b 2 q r 2 (cx 0 2 = cy 0 b 2 q Таким образом, для луча, выходящего из точки отражения M 0 и проходящего через второй фокус эллипса: cos α = cos α, (II67 те, именно этот луч и является отраженным лучом Таким образом, мы доказали теорему (см РисII35: Теорема ТII7 Луч света, испущенный из одного из фокусов эллипса, после отражения от эллипса проходит через второй его фокус При условии идеального отражения луч света, испущенный точечным источником света из одного фокуса, после отражения прошел бы через второй фокус и, отразившись еще раз, снова прошел бы через первый фокус Этот процесс повторялся бы бесконечно Частным случаем теоремы ТII7 является оптическое свойство окружности (ε = 0: Луч света, испущенный из центра окружности, после отражения от нее снова проходит через центр 81

82 Глава II Линии на плоскости Оптические свойства гиперболы Поскольку каноническое уравнение гиперболы получается из канонического уравнения эллипса заменой b 2 b 2, то произведя указанную замену в приведенных выше вычислениях, докажем теорему (см РисII36: РисII36 К оптическим свойствам гиперболы Теорема ТII8 Луч света, испущенный из одного из фокусов гиперболы, после отражения от гиперболы распространяется так, как если бы он был испущен из другого ее фокуса Это свойство гиперболы (точнее, гиперболоида вращения, используется на практике для создания конусообразных источников света (фар автомобилей, прожекторов и тп 1 Оптические свойства параболы Перейдем к исследованию оптических свойств параболы (II55: y 2 = 2px (p > 0 Напомним, что фокус параболы находится в точке: F ( p 2 ; 0 1 В связи с этим следует упомянуть о произведении небезызвестного писателя АНТолстого Гиперболоид инженера Гарина Основная сюжетная линия этого произведения вьется вокруг якобы сконструированного указанным инженером прибора "гиперболоида который фокусирует энергию в узкий луч света, с помощью чего авантюристу Гарину удается создать мощное оружие и средство добычи золота Как мы видим, сюжет повести Толстого основан на незнании им элементарных законов геометрии и оптики Следует заметить, что таким же образом фабрикуется основная масса так называемой научно - фантастической литературы, которая на самом деле к науке не имеет ни малейшего отношения 82

83 II13 Оптические свойства Пусть из фокуса F испускается луч света, который попадает в точку M 0 параболы Фокальный радиус-вектор этой точки есть: F M 0 = (x 0 p 2, 2px 0 (для определенности мы положили y 0 Из уравнения касательной (II66 следует, что направляющий вектор касательной к параболе в точке M 0 (x 0, y 0 есть: q = (y 0, p Таким образом, с учетом выражения для фокального радиуса точки M 0 параболы (II56: r 0 = x 0 + p 2 косинус угла падения на параболу луча, вышедшего из ее фокуса, cos α, равен: cos α = cos r0 q = y 0 (x 0 + p 2 q (x 0 + p 2 = y 0 q Вычислим теперь косинус угла между вектором касательной, q, и ортом оси параболы Ox, i = (1, 0: cos α = cos q i = y 0 q Таким образом, справедливо соотношение: cos = cos α, следовательно, отраженный луч света параллелен оси параболы (см РисII37 Итак, мы доказали теорему: Теорема ТII9 Луч света, испущенный из фокуса параболы, после отражения от параболы распространяется вдоль ее оси 83

84 Глава II Линии на плоскости РисII37 К оптическим свойствам параболы Это уникальное свойство параболы (точнее говоря, параболоида вращения используется в оптической и радио - астрономии, а также в радиовещании и телевидении Параболические антенны или параболические зеркала являются главной частью приборов, принимающих электромагнитные сигналы от удаленных источников, так как соответствующие лучи от удаленных источников излучения являются почти параллельными Это позволяет при совпадении оси параболоида с направлением на излучающий объект многократно усилить принимаемый электромагнитный сигнал путем его фокусирования в фокусе параболоида II14 Диаметры кривых второго порядка Все кривые II-го порядка обладают замечательными свойствами своих диаметров Исследуем взаимное расположение кривой, Γ II-го порядка и прямой d, заданных на плоскости своими общими уравнениями: Γ : 11 x xy + 22 y 2 + b 1 x + b 2 y + c = 0; (II68 d : Ax + By + C = 0, (II69 где коэффициенты ij, а также A, B одновременно не равны нулю С точки зрения алгебры система уравнений {(II68, (II69} как система уравнений второго порядка может: 1 Либо не иметь вещественных решений в этом случае прямая и кривая II-го порядка не пересекаются; 2 Либо иметь одно вещественное решение в этом случае прямая и кривая II-го порядка касаются в единственной точке; 84

85 II14 Диаметры кривых II-го порядка 3 Либо иметь 2 вещественные решения в этом случае прямая и кривая II-го порядка пересекаются в двух точках Условия касания и пересечения подробно рассмотрены в разделе II12 Определение ОII8 Отрезки прямой, заключенные между точками пересечения прямой и кривой II-го порядка, называются диаметрами (хордами кривых II-го порядка Изучим свойства диаметров кривых второго порядка на примере эллипса, заданного своим каноническим уравнением: Γ : x y2 b 2 = 1 (II70 Пусть для определенности большой осью эллипса будет ось Ox, те, b Зададим уравнение прямой d в явном виде: d : y = kx + g, (g = Const (II71 и найдем точки пересечения прямой d и эллипса Γ, для чего подставим y из (II71 в уравнение (II70 и разрешим последнее относительно x: где При выполнении условия x 2 (b 2 + k 2 + x2kg c 2 = 0 = x ± = kg2 ± b 2 + k 2 2, (II72 = k 2 2 g 2 c 2 (b 2 + k 2 2 k 2 2 (g 2 c 2 > c 2 b 2 (II73 прямая d и эллипс G пересекаются в двух точках, M + и M : x + = kg2 + b 2 + k 2 2 ; x = kg2 b 2 + k 2 2 ; y + = kx + + g; y = kx + g Найдем координаты середины диаметра, точки M(x, y: x = x + + x 2 2 = kg b 2 + k 2 2; y = y + + y 2 b 2 = g b 2 + k 2 2 (II74 85

86 Глава II Линии на плоскости Рассмотрим теперь пучок параллельных прямых, пересекающих эллипс, Π(d Прямые этого пучка будут описываться уравнениями вида (II71 с одинаковыми угловыми коэффициентами k и различными свободными членами g i : d i Π(d : y = kx + g i Таким образом, согласно (II74 середины диаметров пучка параллельных прямых, M i (x i, y i имеют координаты: x i = kg i 2 b 2 + k 2 2; y i = g i b 2 b 2 + k 2 2 Вектор p ik = M i M k, соединяющий середины двух диаметров, есть: РисII38 К свойствам диаметров эллипса p ik = g k g i b 2 + k 2 2( k2, b 2 Поскольку все эти векторы коллинеарны, справедлива следующая теорема: Теорема ТII10 Геометрическое место середин диаметров кривых второго порядка есть прямая линия Ясно, что для центральных кривых второго порядка указанные прямые проходят через центр симметрии фигуры, что дает возможность геометрическими построениями с помощью циркуля и линейки найти указанный центр 86

87 Глава III Поверхности и линии в пространстве III1 Простейшие задачи аналитической геометрии Переходим к аналитическому рассмотрению геометрических образов в пространстве относительно прямоугольной системы координат R(O, i, j, k Предварительно остановимся на трех простейших понятиях аналитической геометрии в пространстве, лежащих в основе решений прикладных задач Определение ОIII1 Расстоянием d(m 1, M 2 между двумя точками M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1, M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2 называется модуль вектора M 1 M 2, те d(m 1, M 2 = d(m 2, M 1 = M 1 M 2 = (x 2 x (y 2 y (z 2 z 1 2 (III1 Пусть задана упорядоченная пара точек A(x 1 ; y 1 ; z 1, B(x 2 ; y 2 ; z 2 Проведем прямую линию, проходящую через точки A и B, и выберем на прямой точку C(x; y; z, не совпадающую с точкой B Рассмотрим векторы AC и CB Они коллинеарны, и мы можем записать AC = λ CB (III2 Число λ в (III2 называется отношением, в котором точка C делит отрезок AB В координатах (III2 имеет вид x x 1 = λ(x 2 x, y y 1 = λ(y 2 y, z z 1 = λ(z 2 z, 87

88 Глава III Поверхности и линии в пространстве откуда находим а также λ = x x 1 x 2 x = y y 1 y 2 y = z z 1 z 2 z, x = x 1 + λx λ, y = y 1 + λy λ, z = z 1 + λz λ (III3 В частности, при λ = 1 точка C делит отрезок пополам Координаты середины отрезка будут иметь вид x = x 1 + x 2 2, y = y 1 + y 2 2, z = z 1 + z 2 (III4 2 Часто в приложениях участвует формула для площади треугольника, заданного своими вершинами A 1 (x 1 ; y 1 ; z 1, A 2 (x 2 ; y 2 ; z 2,A 3 (x 3 ; y 3 ; z 3 Напомним ее S = 1 2 i j k x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z (III5 1 Перейдем к выяснению геометрического смысла уравнения с тремя переменными Целесообразно начать с примера Пусть нам задана сфера с центром в точке C(; b; c и радиуса R Сферу можно определить таким образом: Сфера это геометрическое место точек пространства, отстоящих от центра сферы на одном и том же расстоянии R Если M(x, y, z произвольная точка сферы, то CM = R или CM 2 = R 2 В координатах это равенство называется уравнением сферы и выглядит следующим образом: (x 2 + (y b 2 + (z c 2 = R 2 (III6 В частности, если центр сферы находится в начале координат, уравнение будет иметь вид x 2 + y 2 + z 2 = R 2 (III7 В аналитической геометрии поверхность рассматривается как множество точек пространства, обладающее определенным свойством Поэтому, если M(x, y, z произвольная точка поверхности, то посредством соотношения, связывающего 3 переменные x, y, x, выражают их общее свойство 88

89 III1 Уравнения поверхности и линии в пространстве Определение ОIII2 Соотношение F (x, y, z = 0 называется неявным уравнением поверхности в пространстве (z = f(x, y явным уравнением, если ему удовлетворяют координаты любой точки поверхности и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не принадлежащей поверхности Заметим, что уравнение F (x, y, z = 0 может иметь особенности и множество точек, координаты которых удовлетворяют ему, может быть пустым, составлять конечное или счетное множество, распадаться на ветви и тд Например, множество действительных точек, удовлетворяющих уравнению x 2 + y 2 + z = 0, есть пустое множество, уравнение x 2 + y 2 + z 2 = 0 определяет одну точку O(0; 0; 0, уравнение x 2 z 2 = 0 может быть представлено в виде (x z(x + z = 0 и поверхность распадается на две ветви: x z = 0, x + z = 0 Пусть в уравнение поверхности не входит одна из переменных Какую поверхность определяет такое уравнение? Чтобы ответить на этот вопрос дадим определение цилиндрической поверхности Определение ОIII3 Цилиндрической поверхностью (цилиндром называется поверхность, полученная движением прямой, перемещающейся параллельно некоторому вектору и пересекающей во время движения фиксированную линию Движущаяся прямая называется образующей цилиндрической поверхности Пусть, например, уравнение не содержит z и имеет вид F (x, y = 0 На плоскости xoy уравнение определяет линию Но этому уравнению удовлетворяют также координаты точек пространства, у которых первые две координаты совпадают с координатами точек L, а координата z произвольна, те координаты точек всех прямых, перпендикулярных к плоскости xoy в точках кривой L Данная поверхность получена движением прямой вдоль L параллельно вектору k Итак: Уравнение F (x, y = 0 определяет цилиндрическую поверхность с образующей параллельной оси Oz Аналогично, F (x, z = 0 задает цилиндрическую поверхность с образую- 89

90 Глава III Поверхности и линии в пространстве щей параллельной оси Oy, а F (y, z = 0 цилиндр, образующие которого параллельны оси Ox Методы аналитической геометрии и линейной алгебры позволяют выяснить свойства поверхностей, левая часть уравнений которых представляет полиномы первой и второй степени (поверхности, описываемые более сложными уравнениями, изучаются методами математического анализа и дифференциальной геометрии В связи с этим дадим определение алгебраической поверхности Определение ОIII4 Алгебраической поверхностью m - го порядка называется поверхность, левая часть уравнения которой представляет полином m - степени относительно переменных x, y, z, те сумму слагаемых вида Ax p y q z r, где p + q + r m (p, q, r 0 Например, Ax + By + Cz + D = 0 общее уравнение алгебраической поверхности первого порядка, а Ax 2 + 2Bxy + 2Cxz + Dy 2 + 2Eyz + F z 2 + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0 общее уравнение алгебраической поверхности второго порядка Линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей } F 1 (x, y, z = 0 (III8 F 2 (x, y, z = 0 те (или { z = f1 (x, y z = f 2 (x, y, Линия есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют системе двух уравнений с тремя неизвестными Линию в пространстве в классической механике рассматривают как след движущейся материальной точки, координаты которой есть функции времени t (параметра t x = x(t y = y(t z = z(t 90 (t T (III9

91 III2 Прямая в пространстве В аналитической геометрии от временного смысла параметра отказываются, и t может иметь смысл переменного угла и др Уравнения (III9 носят название параметрических уравнений линии в пространстве Пример ПIII1 Пусть отрезок OB длины равномерно вращается и равномерно движется вдоль оси Oz ( РисIII39 Точка B описывает линию, находящуюся на поверхности цилиндра Она носит название винтовой линии Если за параметр t выбрать угол поворота отрезка, то параметрические уравнения винтовой линии имеют вид z A O r B y x B' РисIII39 Цилиндрическая винтовая линия x = cos t y = sin t ( < t < + (III10 z = bt III2 Прямая в пространстве Прямая в пространстве полностью определена, если на ней задана точка M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 (опорная точка прямой и направляющий вектор p(l, m, n Пусть M(x; y; z текущая точка прямой Тогда векторы M 0 M и p коллинеарны, и мы можем записать r r 0 = t p ( < t < + (РисIII40, 91

92 Глава III Поверхности и линии в пространстве b z M 0 M z N 1 N2 O r 0 y O 1 p y 2 x x РисIII40 те для радиус - вектора r текущей точки имеем r = r 0 + t p ( < t < + (III11 Уравнение (III11 есть векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве В координатной записи (III11 выглядит следующим образом: x = x 0 + lt y = y 0 + mt ( < t < + (III12 z = z 0 + nt Исключим t из (III12, разрешив их сначала относительно t, а затем приравняв правые части равенств имеем: x x 0 = y y 0 l m = z z 0 n (III13 Уравнения (III13 носят название канонических уравнений прямой в пространствезаметим, что если какая - либо координата направляющего вектора равна нулю, то равен нулю и числитель дроби Например, выражение z z 0 понимают условно, оно означает равенство z z 0 = 0 0 На основании (III13 легко написать уравнение прямой, проходящей через две точки M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1 и M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2 Первую точку, например, мы принимаем за опорную, а за направляющий вектор p 0 возьмем вектор M 1 M 2 = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 Поэтому уравнение прямой через две точки примет вид x x 1 x 2 x 1 = y y 1 y 2 y 1 = z z 1 z 2 z 1 92 (III14

93 III3 Взаимное расположение прямых III3 Взаимное расположение прямых в пространстве В механике часто уравнение прямой записывают в виде момента вектора p Поскольку [ вектор ] r r 0 коллинеарен с p, то их векторное произведение ( r r 0 p = 0 Обозначив [ ] r0 p =, получим векторное уравнение прямой в виде момента [ ] r0 p = (III15 Используя сведения из векторной алгебры, легко вывести значение косинуса угла между прямыми, подразумевая под ними угол (в пределах от нуля до π между направляющими векторами прямых φ = p1 p2 Поэтому ( p1 p2 cos φ = p 1 p 2 = l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 (III16 l1 2 + m2 1 + n2 1 l2 2 + m2 2 + n 2 2 Теорема ТIII1 Необходимым и достаточным условием параллельности прямых в пространстве является условие ( [ ] l1 p1 p2 = 0 = m 1 = n 1 l 2 m 2 n 2 Доказательство теоремы совпадает дословно с доказательством теоремы о необходимых и достаточных условиях коллинеарности двух векторов Аналогично имеет место следующая теорема Теорема ТIII2 Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух прямых является условие ( p1 p2 = 0 (l1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0 Как узнать, являются ли две данные прямые скрещивающимися? Если прямые не являются скрещивающимися (те пересекаются или параллельны, то они лежат в одной плоскости и векторы M 1 M 2, p 1, p 2, где M 1 и M 2 опорные точки прямых, компланарны, те x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 = l 1 m 1 n 1 l 2 m 2 n 2 = 0 (III17 93

94 Глава III Поверхности и линии в пространстве N(A, B, C b x O z M(x, y, z M 0 (x 0, y 0, z 0 r r 0 y x O z M 1 M3 3 M r 1 r 3 r M 2 r 2 y РисIII41 Если 0, то прямые являются скрещивающимися Пример ПIII2 x в одной плоскости? Лежат ли прямые = y 1 0 = z + 2 1, x 2 1 = y = z 5 0 Решение Проверим равенство (III17 Вычисляем определитель = = = Прямые являются скрещивающимися и в одной плоскости не лежат III4 Плоскости в пространстве Обратимся сейчас к исследованию алгебраической поверхности первой степени С этой целью рассмотрим некоторую плоскость в пространстве Ее можно зафиксировать, если задать точку M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 (опорная точка плоскости и нормальный вектор N(A, B, C 0 (вектор, ортогональный к плоскости Пусть точка M(x; y; z текущая точка плоскости (РисIII41 Вектор r r 0 ортогонален к N Поэтому уравнение ( N( r r 0 = 0 (III18 94

95 III4 Плоскости в пространстве есть векторное уравнение плоскости с опорной точкой и нормальным вектором N В координатной записи имеем A(x x 0 + B(y y 0 + C(z z 0 = 0 (III19 Если раскрыть скобки и обозначить D = Ax 0 By 0 Cz 0, то приходим к алгебраическому уравнению первого порядка Ax + By + Cz + D = 0 (III20 Обратно, если в прямоугольной системе координат имеем уравнение (III20, то это будет уравнение некоторой плоскости В самом деле, уравнение (III20 есть линейное уравнение с тремя неизвестными Оно всегда имеет решение Пусть (x 0, y 0, z 0 некоторое решение (III20, те Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D 0 Вычитая это тождество из (III20, получим A(x x 0 +B(y y 0 +C(z z 0 = 0 На левую часть этого соотношения можно смотреть как на скалярное произведение вектора N(A, B, C и вектора r r 0, где r = ix + jy + kz переменный радиус - вектор, r 0 = ix 0 + jy 0 + kz 0 фиксированный вектор, задающий точку M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0, те ( N( r r 0 = 0 Очевидно, что данному уравнению удовлетворяют координаты любой точки плоскости, проходящей через M 0 и имеющей нормальный вектор N, и не удовлетворяют координаты ни одной точки P с радиус - вектором r, не лежащей на плоскости, так как r r 0 не ортогонален N и, следовательно, ( N ( r r0 0 Определение ОIII5 Уравнение Ax+By+Cz+D = 0 называется общим уравнением плоскости в пространстве В зависимости от того, какой из параметров A, B, C, D равен нулю или отличен от нуля, расположение плоскости относительно системы координат будет обладать определенным свойством (параллельность координатной оси, координатной плоскости и т д Например, Ax+By +Cz +D = 0 есть уравнение плоскости, проходящей через начало координат Исследование других частных случаев предоставим читателю и остановимся лишь на видах уравнения плоскости, имеющих наибольшие приложения Уравнение в отрезках Пусть A 0, B 0, C 0, D 0 Тогда общее уравнение (III20 можно переписать в виде x ( D A + y ( D B + z ( D C = 1 95

96 Глава III Поверхности и линии в пространстве Обозначив = D A, b = D B, c = D, имеем уравнение плоскости в отрезках C x + y b + z c = 1 (III21 Плоскость отсекает от осей координат отрезки длиной, b, c, поскольку уравнению (III21 удовлетворяют координаты точек P 1 (; 0; 0, P 2 (0; b; 0, P 3 (0; 0; c Уравнение плоскости, проходящей через три точки Заданы три точки M i (x i ; y i ; z i, не лежащие на одной прямой Пусть M(x; y; z текущая точка плоскости Векторы M 1 M, M 2 M 1, M 1 M 3 компланарны, и, следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю (РисIII41b (( r r 1 ( r 2 r 1 ( r 3 r 1 = 0 (III22 Имеем векторное уравнение плоскости, проходящей через три точки В координатной записи (III22 имеет вид x x 1 y y 1 z z 1 x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z 1 = 0 (III23 Нормированное (нормальное уравнение плоскости Пусть плоскость не проходит через начало координат Опустим перпендикуляр через начало координат на плоскость и рассмотрим вектор OP = p Опустим перпендикуляр из начала координат на плоскость и рассмотрим вектор OP = p Пусть n = i cos α + j cos β + k cos γ орт вектора p M(x, y, z текущая точка плоскости (РисIII42 ( Видим, что ( r p n ортогонален вектору n и, следовательно, ( r p n n = 0 Раскрывая скобки, имеем ( r n p = 0 (p > 0 (III24 Получили нормированное (нормальное уравнение плоскости в векторном виде В координатной записи (III24 имеет вид x cos α + y cos β + z cos γ p = 0 (p > 0 (III25 Если уравнение плоскости задано общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, то его можно пронормировать, учитывая, что n = N ϵ N = A ϵ A 2 + B 2 + C 2 i + B ϵ A 2 + B 2 + C 2 j + 96 C ϵ A 2 + B 2 + C 2 k,

97 III4 Плоскости в пространстве b R M O z r n p y z O P M 0 (x 0, y 0, z 0 n M y x x РисIII42 где ϵ = +1, когда D < 0, и ϵ = 1, когда D > 0 Итак, Ax ϵ By A 2 + B 2 + C 2+ ϵ Cx A 2 + B 2 + C 2+ ϵ D A 2 + B 2 + C 2+ ϵ A 2 + B 2 + C = 0 2 (III26 нормированное уравнение плоскости, полученное из общего уравнения Определение ОIII6 Отклонением δ точки M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 от плоскости называется число, равное +d, где d расстояние от точки M 0 до плоскости, если M 0 и начало координат находятся по разные стороны плоскости, и равное d, если M 0 и начало координат находятся по одну сторону плоскости Поскольку δ = Πp n OM 0 p (РисIII42b, то В координатной записи имеем δ = ( OM 0 n p = ( r0 n p δ = x 0 cos α + y 0 cos β + z 0 cos γ p (III27 Из (III27 следует, что для расстояния от точки до плоскости имеет место формула d = x 0 cos α + y 0 cos β + z 0 cos γ p (III28 97

98 Глава III Поверхности и линии в пространстве Пример ПIII3 Найти расстояние от точки M(1, 1, 2 до плоскости 3x y + z + 1 = 0 Решение Нормируем уравнение плоскости: 3x 11 + y 11 z 1 = По (III28 получаем d = = Наконец, остановимся на условиях параллельности и перпендикулярности двух плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 Поскольку параллельность плоскостей означает коллинеарность нормальных векторов плоскостей, то в силу необходимых и достаточных условий коллинеарности двух векторов мы имеем следующее утверждение Теорема ТIII3 Необходимым и достаточным условием параллельности двух плоскостей является условие ( [ N 1N2 A1 B ] = 0 р 1 C 1 A 2 B 2 C 2 = 1 (III29 III5 Взаимное расположение плоскостей Перпендикулярность двух плоскостей эквивалентна ортогональности их нормальных векторов Поэтому имеем еще одно утверждение Теорема ТIII4 Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух плоскостей является условие ( N 1 N2 = 0 A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0 (III30 Пример ПIII4 Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (1, 2, 2 и параллельно плоскости 3x + 2y z + 1 = 0 98

99 III5 Взаимное расположение плоскостей Решение Нормальный вектор N 1 имеет координаты (3, 2, 1 За нормальный вектор искомой плоскости можно взять (ради простоты решения вектор, совпадающий с N 1 Поэтому имеем 3(x 1 + 2(y 2 (z + 2 = 0 или 3x + 2y z 9 = 0 Пример ПIII5 Найти уравнение множества плоскостей, проходящих через точку M 0 (1; 2; 2 и перпендикулярных к плоскости 3x+2y z +1 = 0 Решение Из (III30 следует 3A 2 + 2B 2 C 2 = 0 Находим C 2 = 3A 2 + 2B 2 и подставим в уравнение A 2 (x 1 + B 2 (y 2 + C 2 (z + 2 = 0 Окончательно имеем: A 2 x + B 2 y + (3A 2 + 2B 2 z = 5A 2 2B 2 параметрическое семейство плоскостей Прямая в пространстве может быть задана также как пересечение двух плоскостей { A1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 (III31 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 Плоскости пересекаются, если их нормальные векторы не коллинеарны (иначе плоскости параллельны Поэтому за направляющий вектор p прямой может быть взят вектор, полученный от перемножения N 1 и N 2 векторным способом (РисIII40b Итак, p = [ ] N1 N2 За опорную точку искомой прямой можно взять любую тройку чисел, удовлетворяющую системе (III31 Если A 1 B 1 A 2 B 2 0, то положив в (III31 z = 0 и решая оставшуюся систему двух уравнений с двумя неизвестными, находим x 0 и y 0 Точка с координатами (x 0 ; y 0 ; 0 и будет опорной точкой прямой Тем самым от уравнения прямой в виде (III31 мы переходим к каноническим (или параметрическим уравнениям той же прямой Пример ПIII6 Прямая задана в виде { x y + 2z + 1 = 0 x + y + 3z + 2 = 0 Написать ее канонические уравнения Решение Положив z = 0, решаем систему { x y = 1 x + y = 2 99

100 Глава III Поверхности и линии в пространстве Находим, что x = 3 2, y = 1 Итак, опорная точка имеет координаты 2 ( 32 ; 12 ; 0 Найдем направляющий вектор p p = [ ] N1 N2 = i j k Канонические уравнения прямой имеют вид x y = 2 1 = z 2 = 5 i j + 2 k III6 Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Перейдем к рассмотрению ряда задач на взаимное расположение прямой и плоскости Используя доказанные в векторной алгебре теоремы, проведем 3 утверждения Теорема ТIII5 Необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямой и плоскости является условие [ N p ] = 0 (и A l = B m = C n Теорема ТIII6 Необходимым и достаточным условием параллельности прямой и плоскости является условие ( N p = 0 (иal + Bm + Cn = 0 Теорема ТIII7 Необходимым и достаточным условием принадлежности прямой плоскости является одновременное выполнение условий: Al + Bm + Cn = 0, Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 100

101 III6 Прямые и плоскости в пространстве В самом деле, первое условие выполнено в силу теоремы ТIII6, а второе условие означает, что опорная точка прямой принадлежит плоскости и, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости Пример Лежит ли прямая x 1 1 = y на плоскости 2x + 3y + z 4 = 0? = z 5 2 Решение Проверяем первое условие: 2 ( Проверяем второе условие: ( Прямая принадлежит плоскости Задача 1 Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую x x 0 l = y y 0 m = z z 0 n и точку M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1, не лежащую на прямой Пусть M(x; y; z текущая точка плоскости В таком случае векторы M 0 M (M 0 опорная точка прямой, M 0 M 1 и p компланарны Это значит x x 0 y y 0 z z 0 x 1 x 0 y 1 y 0 z 1 z 0 l m n = 0 (III32 Это и есть уравнение искомой плоскости Задача 2 Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и параллельной прямой x x 0 l = y y 0 m = z z 0 n x x 1 l 1 = y y 1 m 1 = z z 1 n 1 ( [ p p1 ] 0 За нормальный вектор плоскости можно взять вектор, равный векторному произведению p и p 1 : N = [ p p1 ] За опорную точку плоскости можно взять опорную точку прямой, через которую проходит плоскость Поэтому искомое уравнение имеет вид ( [ p p1 ] ( r r0 = 0 101

102 Глава III Поверхности и линии в пространстве В координатах имеем x x 0 y y 0 z z 0 l m n l 1 m 1 n 1 = 0 (III33 Задача 3 Написать уравнение плоскости, которая перпендикулярна к плоскости A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и проходит через прямую x x 0 l = y y 0 m = z z 0 n За нормальный вектор искомой плоскости возьмем N = [ p N1 ], а за опорную точку искомой плоскости опорную точку прямой, так как плоскость проходит через нее Имеем, что ( [ ] p N1 ( r r0 = 0 или в координатах x x 0 y y 0 z z 0 l m n A 1 B 1 C 1 = 0 (III34 Задача 4 Найти координаты точки пересечения прямой x x 0 = y y 0 l m = z z 0 n и плоскости Ax + By + Cz + D = 0 Решение Запишем параметрические уравнения прямой: x = x 0 + lt, y = y 0 + mt, z = z 0 + nt Подставив в уравнение плоскости эти значения, получим A(x 0 + lt + B(y 0 + mt + C(z 0 + nt + D = 0, откуда при Al + Bm + Cn 0 найдем значение параметра t = t, которое удовлетворяет данному уравнению Тогда x = x 0 + lt, y = y 0 + mt, z = z 0 + nt есть координаты точки пересечения Если Al + Bm + Cn = 0, то прямая параллельна плоскости Задача 5 Найти расстояние от точки до прямой в пространстве Решение Пусть прямая задана векторным параметрическим уравнением r = r 0 + t p с опорной точкой M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 и точкой M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1 вне прямой Опустим из точки M 1 перпендикуляр M 1 M 1 (42 Совместим начало направляющего вектора с опорной точкой M 0 и построим параллелограмм на векторах p и M 0 M 1 Тогда расстояние d от точки M 1 до прямой мы можем найти, разделив площадь параллелограмма на длину основания p Площадь параллелограмма, как известно, совпадает с модулем векторного произведения M 0 M 1 p Поэтому d = ( r 1 r 0 p (III35 p 102

103 III6 Прямые и плоскости в пространстве b M 1 z r 1 M 1 M 0 r O 0 y p d n p 2 n M 2 x p 1 M 1 РисIII43 Пример ПIII7 прямой Требуется найти расстояние от точки M 1 (1, 1, 2 до x = y 1 1 = z 3 2 Имеем 1 [( r 1 r 0 p] = i j k [( r 1 r 0 p] = = 29; 3 p = = d = 5 = 3 i 4 j + 2 k; Задача 6 Найти расстояние между прямыми в пространстве Если прямые пересекаются или параллельны (условие (III17, то в первом случае расстояние равно нулю, а во втором расстояние между прямыми равно расстоянию от опорной точки первой прямой до второй прямой и вычисляется по формуле (III35 Пусть прямые x x 1 l 1 = y y 1 m 1 = z z 1 n 1 и x x 1 l 2 = y y 2 m 2 = z z 2 n 2 103

104 Глава III Поверхности и линии в пространстве скрещивающиеся Для них определитель (III17 отличен от нуля Кратчайшее расстояние между ними равно расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими соответственно через первую и вторую прямые Очевидно, за нормальный вектор N к плоскости может быть выбран вектор [ p1 p2 ] Опорные точки M1 (x 1 ; y 1 ; z 1, M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2 прямых могут быть взяты за опорные точки плоскостей Уравнения плоскостей будут иметь вид ( [ p1 p2 ] ( r r1 = 0, ( [ p1 p2 ] ( r r2 = 0 Искомое расстояние будет равно модулю проекции вектора M 1 M 2 на N n = N (42b Окончательно имеем d = Πp n M 1 M 2 = (( r 2 r 1 n = ( r 2 r 1 p 1 p 2 [ p1 p2 ] (III36 Заметим, что в числителе дроби (III36 стоит объем параллелепипеда, построенного на векторах, p 1 p 2, M 1 M 2, а в знаменателе площадь параллелограмма Поэтому кратчайшее расстояние совпадает с длиной перпендикуляра, опущенного из вершины параллелепипеда ( p 1, p 2, M 1 m 2 на основание ( p 1, p 2 III7 Исследование формы поверхностей второго порядка Будем исследовать формы поверхностей второго порядка методом параллельных сечений по их каноническим уравнениям Строгая классификация поверхностей второго порядка будет дана ниже с использованием методов линейной алгебры 1 Эллипсоид: x y2 b 2 + z2 2 = 1 ( > 0, b > 0, c > 0 (III37 c 104

105 III7 Исследование формы поверхностей второго порядка Поскольку из (III37 следует, что x, y b, z c, то эллипсоид заключен в прямоугольном параллелепипеде со сторонами 2, 2b, 2c Координатные плоскости являются плоскостями симметрии Рассечем поверхность плоскостями z = h ( h c Получим кривые с уравнениями РисIII44 Эллипсоид 2 Однополостной гиперболоид: x y2 b 2 = 1 h2 c 2, z = h Это эллипс с полуосями 1 h2 c 2 и b 1 h2 c 2 При h = 0 эллипс имеет наибольшие полуоси Когда h растет, то полуоси эллипсов уменьшаются и при h = c эллипсы вырождаются в точки A 1 (0; 0; c и A 2 (0; 0; c (РисIII44 Аналогичная картина возникает, если рассекать эллипсоид плоскостями, перпендикулярными к оси Ox и Oy x y2 b 2 z2 c 2 = 1 Координатные плоскости являются плоскостями симметрии (при замене x на x, y на y, z на z уравнение не меняется Рассекаем плоскостями, параллельными плоскости xoy : z = h Получим линии сечения с уравнениями x y2 b 2 = 1 + h2 c 2, z = h ( < h < + Это эллипсы, полуоси которых 1 + h2 c 2, b h2 c 2

106 Глава III Поверхности и линии в пространстве растут вместе с ростом h Наименьший эллипс имеем при h = 0 (плоскость xoy Он носит название горлового эллипса (РисIII45 Сечение плоскостями x = 0, y = 0 дают нам гиперболы РисIII45 гиперболоид Однополостной y 2 b 2 z2 c 2 = 1, x 2 2 z2 c 2 = 1 Точки этих гипербол являются вершинами эллипсов, получаемых при сечении поверхности плоскостями z = h 3 Двуполостной гиперболоид: x y2 b 2 z2 c 2 = 1 Двуполостной ги- РисIII46 перболоид Координатные плоскости являются плоскостями симметрии Сечения z = h дают линии с уравнениями x y2 b 2 = h2 2 1, z = h c При h < c имеем мнимые эллипсы Следовательно, поверхность расположена выше плоскости z = c и ниже плоскости z = c При h c получаем вещественные эллипсы, полуоси которых h 2 c 2 1, b h 2 c 2 1 растут вместе с ростом h 106

107 III7 Исследование формы поверхностей второго порядка При сечении плоскостями x = 0 и y = 0 имеем сопряженные гиперболы y 2 b 2 z2 c 2 = 1, x 2 2 z2 c 2 = 1, в точках которых лежат вершины эллипсов, получаемых сечениями z = h ( h c РисIII46 4 Эллиптический параболоид: z = x2 2 + y2 b 2 Плоскости yoz и xoz являются плоскостями симметрии Поверхность проходит через начало координат и расположена над плоскостью xoy, так как z 0 Сечения z = h дают эллипсы x y2 b 2 = h, полуоси которых h, b h растут с ростом h(рисiii47 При сечении плоскостями x = 0 и y = 0 имеем параболы РисIII47 параболоид Эллиптический z = y2 b 2, z = x2 2, точки которых являются вершинами указанных выше эллипсов 5Гиперболический параболоид: z = x2 2 y2 b 2 Плоскости yoz и xoz являются плоскостями симметрии Рассечем поверхность плоскостью y = 0 В плоскости xoz получим параболу z = x

108 Глава III Поверхности и линии в пространстве Сечение плоскостью x = 0 дает нам в плоскости yoz параболу z = y2 b 2, ветви которой направлены вниз Сечение координатной плоскостью z = 0 есть пара пересекающихся прямых x 2 2 y2 b 2 = 0 (y = ± b x Сечение плоскостями z = h дает гиперболы с уравнениями РисIII48 параболоид Гиперболический x 2 h 2 y2 hb 2 = 1, причем при h > 0 ветви расположены вдоль оси Ox, а при h < 0 ветви расположены вдоль оси Oy Построив соответствующие сечения, мы получим вид гиперболического параболоида (РисIII48 6 Эллиптический конус: x y2 b 2 z2 c 2 = 0 108

109 III7 Исследование формы поверхностей второго порядка Поверхность симметрична относительно всех координатных плоскостей Сечения плоскостями z = h дают нам эллипсы РисIII49 конус Эллиптический x y2 b 2 = h2 c 2 с полуосями h c, h b c Полуоси эллипсов растут с ростом h При h = 0 имеем точку (начало координат Сечения плоскостями x = 0 и y = 0 дают соответственно пару прямых z = ± c b y и z = ± c x Вид эллиптического конуса дан на РисIII49 7 Цилиндры второго порядка Для примера приведем лишь цилиндры, с образующими, параллельными оси Oz: ( эллиптический цилиндр: x y2 b 2 = 1; (b гиперболический цилиндр: x 2 2 y2 b 2 = 1; (c параболический цилиндр: y 2 = 2px Поскольку кривые второго порядка изучены нами ранее, то вид цилиндров устанавливается легко (РисIII50 Аналогично обстоит дело, когда отсутствует какая - либо другая переменная РисIII50 цилиндр Эллиптический Если нужно получить уравнение общей цилиндрической поверхности с образующими, параллельными вектору p(l, m, n и проходящими через точ- 109

110 Глава III Поверхности и линии в пространстве { F1 (x, y, z = 0 ки линии L:, то поступаем следующим образом Напишем F 2 (x, y, z = 0 уравнение образующей X x = Y y l m = Z z, где x, y, z координаты n переменной точки линии L Затем из четырех уравнений F 1 (x, y, z = 0 F 2 (x, y, z = 0 X x l = Y y m = Z z n исключим переменные x, y, z В результате получим уравнение искомой цилиндрической поверхности Φ(X, Y, Z = 0 III8 Криволинейные координаты в евклидовом пространстве При исследовании различных фигур в пространстве часто бывает удобно применять системы координат, отличные от декартовых, те, определять положение любой точки, M, упорядоченным набором трех чисел (u, v, w однозначно связанных с декартовыми координатами точки (x, y, z Таким образом, зададим три непрерывные функции трех переменных: x = F (u, v, w ; y = G(u, v, w ; z = H(u, v, w (III38 Выясним, каким условиям должны удовлетворять функции F (u, v, w, G(u, v, w и H(u, v, w Во - первых, как мы указали, F, G, H должны быть функциями своих аргументов, те, каждой тройке чисел (u, v, w D из некоторой области D должна соответствовать одна и только одна тройка чисел (x, y, z R 3 Однако, это соответствие должно быть и взаимно однозначным, те, каждой тройке чисел (x, y, z R 3 должна соответствовать одна и только одна тройка чисел (u, v, w Фиксируя значения переменных v = v 0, w = w 0 D и изменяя перемен- 110

111 III8 Криволинейные координаты в пространстве ную u в области D, получим: x = F (u, v 0, w 0 ; y = G(u, v 0, w 0 ; z = H(u, v 0, w 0 те, получим:, (III39 x = x(u; y = y(u; z = z(u = r = r(u (III40 параметрическое уравнение кривой линии, где параметром служит новая координата u Эта линия называется координатной линией u Аналогично получим координатные линии v и w Система координат, построенная таким образом, называется криволинейной системой координат Заметим, что строго говоря, криволинейные координаты получаются лишь в том случае, когда функции (III38 не являются линейными функциями переменных u, v, w В последнем же случае, когда: x = C 1 1 u + C1 2 v + C1 3 w + x0 ; y = C 2 1 u + C2 2 v + C2 3 w + y0 ;, (III41 z = C 3 1 u + C3 2 v + C3 3 w + z0 где C i k, (i, k = 1, 3, x0, y 0, z 0 - некоторые числа, система координат (u, v, w называется косоугольной или аффинной Выясним, что означает указанное выше условие взаимной однозначности соответствия Дифференцируя по параметру u радиус - вектор точки M(x, y, z (III40 и придавая затем переменной u фиксированное значение u = u 0 D, получим согласно геометрическому смыслу производной вектор, касательный к координатной линии u в точке M 0 ( r 0, где r 0 = (x 0, y 0, z 0 ; x 0 = F (u 0, v 0, w 0, y 0 = G(u 0, v 0, w 0, z 0 = H(u 0, v 0, w 0, ( d τ u = du F (u, v 0, w 0 d, u=u0 du G(u, v 0, w 0 d, u=u0 du H(u, v 0, w 0 = τ u = ( F u, G u, H u u=u 0,v=v 0,w=w u=u0 (III42

112 Глава III Поверхности и линии в пространстве Аналогично получим векторы τ v и τ w, касательные к координатным линиям v и w, соответственно: τ v = ( F v, G v, H ; v u=u 0,v=v 0,w=w 0 (III43 τ w = ( F w, G w, H w u=u 0,v=v 0,w=w 0 (III44 Для того, чтобы указанное соответствие было взаимно однозначным в каждой точке M 0, необходимо и достаточно, чтобы на касательных векторах τ u, τ v, τ w в каждой точке M 0 можно было построить координатную систему, те, чтобы эти векторы были линейно независимыми в каждой точке M 0 Таким образом, необходимым и достаточным условием взаимной однозначности соответствия (III38 является: (x, y, z (u, v, w def = F u F v F w G u G v G w H u H v H w M 0 0 (III45 Определитель J = (x, y, z (u, v, w в соотношении (III45 называется якобианом преобразования (III38 Таким образом, якобиан преобразования должен быть отличен от нуля Точки M, в которых якобиан обращается в нуль или не существует, называются особыми точками криволинейной системы координат Практически все криволинейные координаты имеют особые точки Заметим, что область D изменения переменных (u, v, w определяется из требования взаимной однозначности соответствия Рассмотрим некоторые, наиболее распространенные криволинейные системы координат 112

113 III8 Криволинейные координаты в пространстве Цилиндрические координаты Для цилиндрических координат (ρ, φ, z формулы связи (III38 имеют вид: x = ρ cos φ ; y = ρ sin φ ; (III46 z = z Таким образом, при фиксированной координате z координаты ρ, φ совпадают с полярными координатами на плоскости (см РисIII51 Нетрудно видеть, что для того, чтобы данная система координат покрывала все евклидово пространство точек, необходимо, чтобы переменные ρ, φ, z изменялись в следующих пределах: ρ [0, + ; φ [0, 2π, z (, + (III47 Вычисляя якобиан преобразования (III46, найдем: J = ρ Поэтому все точки с ρ = 0 являются особыми точками цилиндрической системы координат Однако, очевидно, что такая точка всего одна это начало декартовой системы координат: O(0, 0, 0 Особенность этой точки состоит в том, что этой точке соответствуют любые значения полярного угла φ В таких случаях, будем говорить, что координатная особенность несущественная Ось Oz называется полярной осью цилиндрической системы координат Обратный переход от цилиндрических координат к декартовым осуществляется с помощью формул: ρ = x 2 + y 2 ; φ = rctg y x ; (III48 z = z При этом надо помнить, что полярный угол изменяется в пределах [0, 2π Наиболее просто в цилиндрических координатах записываются уравнение поверхностей вращения Для этого необходимо направить полярную ось цилиндрической системы координат вдоль оси вращения поверхности Координатные линии φ = Const называются меридианами поверхности вращения, а линии z = Const ее параллелями 113

114 Глава III Поверхности и линии в пространстве Сферические координаты Для сферической системы координат (r, φ, θ формулы связи (III38 принимают вид (см Рис РисIII51: x = r cos φ cos θ ; y = r sin φ cos θ ; z = r sin θ (III49 Нетрудно видеть, что для того, чтобы данная система координат покрывала все евклидово пространство точек, необходимо, чтобы переменные r, φ, θ изменялись в следующих пределах: r [0, + ; φ [0, 2π, θ ( π 2, +π (III50 2 Вычисляя якобиан преобразования, найдем: J = r 2 cos θ Поэтому все точки с r = 0 или (и θ = π/2, +π/2 являются особыми точками сферической системы координат Очевидно, что все эти точки лежат на оси Oz это, во - первых, начало декартовой системы координат: O(0, 0, 0, и кроме того все точки, соответствующие значениям θ = ±π/2 Эти координатные особенности также являются несущественными 114

115 III8 Криволинейные координаты в пространстве x z o j r q Ì Ì' РисIII51 Цилиндрическая и сферическая системы координат y Обратный переход от сферических координат к декартовым осуществляется с помощью формул: r = x 2 + y 2 + z 2 ; φ = rctg y x ; θ = z x2 + y 2 + z 2 (III51 Наиболее просто в цилиндрических координатах записываются уравнение сферы: r = (= Const 115

116 Глава IV Сведения из линейной алгебры В этой главе в качестве справочного материала мы приведем необходимые сведения из линейной алгебры, опуская доказательство теорем IV1 Определители и матрицы Таблица чисел A = n n m 1 m 2 m n = 0 (IV1 называется матрицей системы уравнений Она имеет m строк и n столбцов Если m = n, то матрица называется квадратной, если же m n прямоугольной Числа i j называются элементами матрицы Матрица, содержащая только одну строку, называется матрицей - строкой (с n элементами A = ( 1, 2,, n (IV2 Матрица, содержащая один столбец, называется матрицей - столбцом (с m элементами 1 2 A = (IV3 m Если в (IV3 все i = 0, то имеем нуль - столбец, обозначаемый символом 116

117 IV1 Определители и матрицы 0 Два столбца A = 1 2 m, B = b 1 b 2 b m (IV4 считаем равными (пишем A = B, если i = b i (1, m Если хотя бы одно из чисел k (k фиксированно не совпадает с соответствующим числом b k, то столбцы считаются различными (A B Под суммой столбцов A и B (пишем A + B понимаем столбец 1 + b b 2 m + b m (IV5 Под умножением столбца A на число λ K (пишем λa понимаем столбец вида λ 1 λ 2 (IV6 λ m Введенные операции позволяют рассматривать линейные комбинации матриц - столбцов Пусть имеем k столбцов A 1 = 1 1, A 2 = 1 2,, A k = 1 ḳ m 1 m 2 m k Линейной комбинацией столбцов A 1,, A k с коэффициентами λ 1,, λ k 117

118 Глава IV Сведения из линейной алгебры (пишем λ 1 A 1 + λ 2 A λ k A k называется столбец вида k λ j 1 j j=1 k λ j m j j=1 (IV7 Столбцы A 1,, A k называются линейно - зависимыми, если существуют такие числа λ 1,, λ k, среди которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполнено λ 1 A 1 + λ 2 A λ k A k = 0 (0 н Если равенство λ 1 A 1 + λ 2 A λ k A k = 0 выполнено тогда и только тогда, когда λ 1 = 0, λ 2 = 0,, λ k = 0, то система матриц - столбцов {A 1,, A k } называется линейно - независимой Например, система столбцов A 1 = , A 2 = , A 3 = является линейно - зависимой, так как A 1 +2A 2 A 3 = 0, а система столбцов A 1 = 0, A 2 = 2, A 3 = является линейно - независимой, поскольку из соотношения λ 1 A 1 + λ 2 A 2 + λ 3 A 3 = 0 на основании равенства матриц - столбцов следует λ 1 + λ 2 = 0 2λ 2 + λ 3 = 0 = λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0 λ 3 = 0 Очевидно, если между столбцами A 1,, A k (k > 1 существует линейная зависимость, то один из этих столбцов является линейной комбинацией других В самом деле, пусть выполнено λ 1 A 1 + λ 2 A λ k A k = 0, где, например, λ 1 0 Тогда ( A 1 = λ ( 2 A λ k A k λ 1 λ

119 IV1 Определители и матрицы Обратно, если какой - либо столбец есть линейная комбинация других, то данная система столбцов линейно - зависима Действительно, пусть A 1 = µ 2 A µ k A k Тогда имеем ( 1A 1 + µ 2 A µ k A k = 0, где первый коэффициент отличен от нуля Все приведенное выше для матриц - столбцов тривиальным образом переносится и для матриц - строк, если ввести в рассмотрение нуль - строку 0 = [0, 0,, 0], сумму A + B = [ 1 + b 1,, n + b n ], умножение на число λa = [λ 1,, λ n ] Сформулируем правило согласно которому каждой квадратной матрице A = ( i j (i, j = 1, n сопоставим число, называемое дискриминантом (определителем n - го порядка матрицы Это число обозначают символом det A, а сам определитель обозначают так: det A = n n n 1 n 2 n n Термин вычислить (раскрыть определитель означает указать данное число, следуя сформулированному ниже определению детерминанта с использованием свойств определителей Для введения детерминанта используем альтернатор δ i 1i 2 i k j 1 j 2 j k (i 1, i 2,, i k, j 1, j 2,, j k = 1, n Он определяется следующими условиями: δ i 1i 2 i k j 1 j 2 j k = ±1, если j 1, j 2,, j k есть некоторая перестановка значений индексов i 1, i 2,, i k, считая, что все эти значения различны; при этом берется +1, если перестановка четная, и 1, если она нечетная Во всех остальных случаях δ i 1i k j 1 j k = 0 (те если среди значений i 1, i 2, i k или среди значений j 1, j 2,, j k есть одинаковые, а также если среди значений i 1, i 2, i k есть такие, каких нет среди j 1, j 2,, j k и наоборот { 1, i = j Так, при k = 1 имеем альтернатор δj i = 0, i j Кронекера 119, называемый символом

120 Глава IV Сведения из линейной алгебры IV2 Свойства определителей Детерминантом (определителем матрицы A на- Определение ОIV1 зывается число: det A = n i 1,,i n =1 δ 12n i 1 i 2 i n i 1 1 i 2 2 i n n Поскольку существует n! перестановок, то, согласно определению альтернатора: Определитель есть сумма n! произведений элементов матрицы, выбранных по одному из каждого столбца на различных строках и взятых со знаком плюс в случае четной перестановки номеров строк и со знаком минус в случае нечетной перестановки Пример ПIV = 2 вычисления определителя второго порядка 2 i 1,i 2 =1 δ 12 i 1 i 2 i 1 1 i 2 2 = δ δ δ δ По определению альтернатора δ11 12 = 0, δ12 12 = 1, δ21 12 = 1 Поэтому для любого определителя второго порядка имеем + b = d cb c d Пример ПIV2 вычисления определителя третьего порядка (члены с нулевым альтернатором не пишем = δi i 2 i 3 i 1 1 i 2 2 i 3 3 = δ δ δ δ i 1,i 2,i 3 =1 +δ δ

121 IV2 Свойства определителей Используя определение альтернатора, приходим к правилу Саррюса вычисления определителя третьего порядка b c b d g e h f k d g h = ek + bfg + cdh gec hf kdb Рассмотрим матрицу из m строк и n столбцов n A = m 1 m 2 m n Ей можно сопоставить матрицу из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером Эту матрицу m 1 A = m 2 1 n 2 n m n называют транспонированной матрицей и обозначают символом A T, а переход от A к B транспонированием В случае квадратных матриц транспонирование можно определить как поворот вокруг главной диагонали Элементы b i j транспонированной матрицы связаны с элементами матрицы A соотношением b i j = j i (i = 1, n; j = 1, m Свойство СIV1 При транспонировании квадратной матрицы значение определителя не меняется, те det A T = det A Это свойство позволяет формулировать и доказывать свойства определителей с использованием лишь столбцов определителя Автоматически все переносится и на его строки Свойство СIV2 При перестановке двух столбцов (строк в матрице ее детерминант меняет знак 121

122 Глава IV Сведения из линейной алгебры Обратимся к более общему случаю, когда меняются местами s-й и l-й столбец, между которыми находится k столбцов Такую перестановку можно осуществить последовательными перестановками s-го столбца с соседними столбцами, двигаясь к l-му столбцу на его место Понадобится k + 1 перестановок Передвигая после этого аналогичным образом l-й столбец на место s-го, произведем еще k перестановок Определитель получит множитель ( 1 2k+1, те изменит свой знак на противоположный Определитель, имеющий два одинаковых столбца (стро- Следствие СIV1 ки равен нулю В самом деле, переставляя одинаковые столбцы, мы, с одной стороны, не изменим определителя, а, с другой, в силу свойства СIV2 он изменяет знак на противоположный, те det A = det A Свойство СIV3 Если элементы s-го столбца матрицы A представляют собой линейную комбинацию вида i s = λ 1 i 1s + λ 2 i 2s + + λ k i ks, то det A = λ 1 det A 1 + λ 2 det A λ k det A k, где матрицы A 1,, A k получаются из матрицы A путем замены -го столбца на элементы i 1s, i 2s,, i ks Следствие СIV2 Общий множитель у всех элементов столбца (строки можно вынести за знак определителя, те если i s = λ i s, то det A = λ det A Свойство СIV4 Если какой - либо столбец (строка есть линейная комбинация других столбцов (строк, то определитель равен нулю Свойство СIV5 Определитель не изменится, если к элементам столбца (строки прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки, умноженного на какое - либо число 122

123 IV2 Свойства определителей Пример ПIV3 Требуется вычислить определитель n 1 x 1 2 n = 1 1 x 2 n x n Умножая последовательно первый столбец на n, n 1,, 1 и вычитая результат после каждого умножения из (n + 1-го, n-го и тд столбцов, получим по свойству СIV5 = x x 2 2 n x n n Вычитая первую строку из всех остальных, мы придем к определителю, у которого все элементы, за исключением главной диагонали (она останется неизменной, нули Из всех (n + 1! произведений ненулевым останется лишь одно произведение элементов по главной диагонали В итоге = (x 1 1 (x 2 2 (x n n Важную роль в теории определителей играют понятия алгебраического дополнения и минора соответствующих фиксированному элементу k s Чтобы их ввести в рассмотрение, зафиксируем s-ый столбец и представим определитель как сумму n слагаемых, вынося в качестве множителя элементы s-го столбца det A = δi 1sn 1 i s i n i 1 1 i s s i n n = 1 s δ 1sn i 1 1i n i 1 1 i s 1 s 1 i s+1 s+1 i n n s δ 1sn i 1 2i n i 1 1 i s 1 s 1 i s+1 s+1 i n n + + n s δ 1sn i 1 ni n i 1 1 i s 1 s 1 i s+1 s+1 i n n Обозначим соответственно суммы, стоящие после множителей 1 s,, n s через A 1 s, A 2 s,, A n s, и назовем их алгебраическими дополнениями элементов 1 s, 2 s, n s 123

124 Глава IV Сведения из линейной алгебры Итак, det A = 1 sa 1 s + 2 sa 2 s + + n s A n s = n k sa k s k=1 (IV8 Формула (IV8 носит название разложения определителя по элементам s-го столбца Приведенное выше определение алгебраического дополнения A k s не имеет конструктивного характера, удобного для вычисления Чтобы преодолеть эту трудность, дадим определение минора M k s элемента k s и установим связь между алгебраическим дополнением A k s и минором M k s Определение ОIV2 Если в определителе мысленно вычеркнуть s-ый столбец и k-ю строку, то оставшийся определитель (n 1-го порядка называется минором элемента k s и обозначается символом Ms k Теорема ТIV1 Имеет место следующая связь между алгебраическими дополнениями и соответствующими минорами: A k s = ( 1 k+s M k s (IV9 Пример ПIV4 определителе Вычислить алгебраическое дополнение Aα элемента α в = α 0 β Согласно формуле (IV9 имеем A(α = ( = ( = 2 (IV10 124

125 IV3 Свойства матриц Пример ПIV5 Разложить определитель IV10 по элементам третьего столбца и вычислить его = 2 ( α β ( 1( = 4 2α + β 2 α β Наконец, приведем два следующих замечания Замечание 1 В силу свойства СIV1 имеет место аналогичная формуле (IV8 формула разложения определителя по элементам строки det A = n l ka l k (l ф! (IV11 k=1 Замечание 2Пусть определитель имеет два одинаковых столбца (например, j-й и s-й, те k j = k s (k = 1, n Он, как указано выше, равен нулю Разложим его по элементам j-го столбца Имеем 1 sa 1 j + 2 sa 2 j + + n s A n j = 0 (j s (IV12 Этот результат можно сформулировать так: Сумма произведений элементов какого - либо столбца (строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца (строки всегда равна нулю IV3 Свойства матриц В матрице A = ( i j (i = 1, m; j = 1, n зафиксируем p произвольно выбранных строк и p произвольно выбранных столбцов матрицы Из элементов, стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов, построим квадратную матрицу p-го порядка A p Определение ОIV3 Детерминант матрицы A p называется минором p-го порядка матрицы A 125

126 Глава IV Сведения из линейной алгебры ( Например, для матрицы имеем следующие миноры второго порядка , , , а миноры первого порядка совпадают с элементами матрицы Определение ОIV4 Число r называется рангом матрицы A (пишем ранг A = r, если у нее имеется хотя бы один минор r-го порядка, отличный от нуля, а все миноры (r + 1-го порядка (следовательно, в силу формулы разложения (IV8 (r + 2-го порядка и тдравны нулю При этом всякий отличный от нуля минор r-го порядка называется базисным, а соответственно столбцы и строки матрицы A называются базисными столбцами и строками Пример ПIV6 A = ( Найти ранг матриц, B = , C = Очевидно, что ранг A = 1 Ранг B = 1, так как все миноры второго ( порядка равны нулю Ранг C = 2, ибо существует минор т , который отличен от нуля, а все миноры третьего порядка содержат нулевую строку и поэтому обращаются в нуль В матрице C каждый из указанных миноров 2-го порядка может быть выбран за базисный минор, Теорема ТIV2 (о базисном миноре Любой столбец (строка матрицы A есть линейная комбинация ее базисных столбцов (строк Перейдем к следствиям из этой теоремы Следствие СIV3 Пусть дана квадратная матрица A и известно, что det A = 0 Это означает, что ранг A < n, и, следовательно, по крайней мере один из столбцов (строк является (на основании теоремы о базисном 126

127 IV3 Свойства матриц миноре линейной комбинацией остальных столбцов (строк, что говорит о линейной зависимости столбцов определителя Учитывая свойство СIV4 для определителей и только что полученный факт, можно сделать вывод: Детерминант матрицы A равен нулю тогда и только тогда, когда его столбцы (строки линейно - зависимы Следствие СIV4 Ранг матрицы равен максимальному числу линейно - независимых столбцов (строк матрицы Максимальное число линейно - независимых столбцов матрицы всегда совпадает, с максимальным числом линейно - независимых строк матрицы и равно ее рангу На основании этого следствия можно дать второе определение ранга матрицы Определение ОIV5 Рангом матрицы называется максимальное число линейно - независимых столбцов (строк этой матрицы Следствие СIV5 Ранг матрицы не изменится, если (1 переставить местами столбцы (строки; (2 умножить столбец (строку на число, отличное от нуля; (3 прибавить к столбцу (строке другой столбец (строку, умноженный на некоторый общий множитель Преобразования (1 - (3, не меняющие ранга матрицы, позволяют дать следующий конструктивный метод нахождения ранга матрицы Пусть в матрице A = ( i j (i = 1, m; j = 1, n имеется элемент α 1 0 Переставляя строки и столбцы, поместим его в левом верхнем углу Затем, вычитая из каждой строки матрицы первую строку, умноженную на соответствующий 127

128 Глава IV Сведения из линейной алгебры множитель, обратим в нуль все оставшиеся элементы первого столбца Аналогичную операцию проводим и со столбцами, обращая в нуль все элементы первой строки Имеем A = n n 1 m m 2 m n α b 2 2 b 2 n 0 b m 2 b m n Знак означает эквивалентность матриц в смысле неизменности ранга у обеих матриц Аналогично поступаем с матрицей B = (b i j (i = 2, m; j = 2, n В итоге мы придем к матрице вида α 1 α α r 0 0 Число не равных нулю и расположенных по главной диагонали блока элементов совпадает с рангом матрицы A Пример ПIV7 Найти ранг матрицы A = Ранг матрицы A равен двум IV4 Сведения из теории систем линейных уравнений Под системой m линейных уравнений с n неизвестными понимается m рассматриваемых в совокупности соотношений вида 1 1x x nx n = b 1 2 1x x nx n = b 2 (IV13 m 1 x 1 + m 2 x m n x n = b m 128

129 IV4 Линейные уравнения или в краткой форме n i jx j = b j (i = 1, m, (IV14 j=1 где i j K коэффициенты системы, bi K свободные члены, а x j K неизвестные, подлежащие определению Рассмотрим систему вида (IV13 Решением системы (IV13 называется матрица - столбец X = если после подстановки чисел c 1,, c n вместо неизвестных x 1,, x n соотношения в (IV13 обращаются в тождества При этом решения c 1 1 c 1 c c 2 2 X 1 =, X 2 = c n 1 c n 2 считаются различными, если X 1 X 2 Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеются по крайней мере два различных решения В случае отсутствия решений система называется несовместной, при наличии решений совместной Например, система { x 1 x 2 x 3 = 0 c 1 c 2 c n, x 1 + x 2 + x 3 = 0 является неопределенной, так как X 1 = 0 1, X 2 = 1 два различных решения указанной системы

130 Глава IV Сведения из линейной алгебры Система уравнений { x 1 + x 2 2x 3 = 0 x 1 x 2 + 2x 3 = 0 является несовместной системой, так как правые части обоих уравнений одинаковы, а левые отличаются знаком В теории систем линейных уравнений рассматривают три основные задачи: (1 Выяснить, является ли система совместной или несовместной (2 Если система совместна, то является она определенной или неопределенной В случае определенной системы необходимо указать способ нахождения ее единственного решения (3 В случае неопределенной системы описать все множество ее решений При решении этих задач важную роль играют два понятия: (1 детерминант (определитель квадратной матрицы и (2 ранг матрицы Рассмотрим систему n уравнений с m неизвестными, когда определитель матрицы системы отличен от нуля Наша цель состоит в доказательстве, что такая система уравнений всегда совместна и имеет единственное решение Пусть задана система уравнений n j=1 i j xj = b i (i = 1, n, где A = ( i j матрица системы и det A 0 Покажем, что система совместна С этой целью рассмотрим набор чисел c s = s det A (s = 1, n, где s есть определитель вида 1 1 b 1 1 n 2 1 b 2 2 n s =, (IV15 n 1 b n n n те в матрице A s-ый столбец заменен столбцом из свободных членов системы Подставим числа c s вместо неизвестных x s в систему уравнений, заметив предварительно, что разложение детерминанта (IV15 по элементам s-го столбца дает следующее выражение: s = n b k A k s, где A k s алгебраические дополнения элементов s-го столбца матрицы A Имеем k=1 n i jc j = j=1 n i j j det A = 1 j=1 det A n i j j=1 n k=1 b k A k j = 1 det A n k=1 b k n i ja k j j=1 (IV16 130

131 IV4 Линейные уравнения Вспомнив формулу (IV8 и замечание 2 параграфа IV2, мы получим, что n i ja k j = j=1 { det A, i = k, 0, i k (IV17 Поэтому при суммирование по k в правой части (IV16 останется лишь одно слагаемое, равное b i det A, те n j=1 i jc j = 1 det A bi det A = b i имеем тождественное выполнение уравнений системы Итак, 1 det A X = (IV18 n det A есть решение системы (IV15 Докажем, что оно единственное Доказательство: Предположим, что имеется решение x s = c s, отличное от IV18 Имеем n тождеств n j=1 i j cs b i (i = 1, n Умножим каждое тождество на алгебраические дополнения A i s (s фиксировано и просуммируем их по индексу i от 1 до n Имеем следующие тождества: или n i=1 A i s n j=1 n i jc j = j=1 c j n b i A i s (s = 1, n i=1 n i ja i s = s (s = 1, n (IV19 i=1 В силу (IV8 и (IV10 вытекает, что c s det A = s (s = 1, n Единственность решения системы доказана Оно всегда имеет вид (IV18 и носит название формул Крамера Исследование более общих систем линейных уравнений, чем системы вида (IV15, приводит нас к введению важнейшего понятия ранга матрицы 131

132 Глава IV Сведения из линейной алгебры Пусть задана система уравнений n i jx j = b i j=1 (i = 1, m Если хотя бы одно из чисел b i отлично от нуля, то система называется неоднородной Если все свободные члены b i равны нулю, то система называется однородной Перейдем к установлению условий совместности неоднородной системы уравнений Ее можно записать в виде x m 1 + x m x n 1 n 2 n m n = b 1 b 2 b m (IV20 Кроме матрицы системы A = ( i j будем рассматривать расширенную матрицу системы B = n b 1 m 1 m n b m Теорема ТIV3 (Кронекера - КапеллиДля того, чтобы неоднородная система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы совпадали Пример ПIV8 Совместна ли система уравнений? x 1 + 2x 2 3x 3 = 1, x 1 x 2 + 2x 3 = 0, 2x 1 + x 2 x 3 = 1 Решение: B =

133 IV4 Линейные уравнения Ранг A = ранг B = 2 Система совместна Обратимся к рассмотрению однородных систем уравнений n i j xj = 0 (i = 1, m Такая система всегда совместна, так как набор 0, 0,, 0 всегда удовлетворяет системе Нулевое решение называется тривиальным и нас не интересует Поставим вопрос об условиях нетривиальной совместности однородной системы уравнений Ответ дает следующее утверждение Теорема ТIV4 Для того, чтобы однородная система линейных уравнений была нетривиально совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных j=1 Как описать все множество решений системы линейных уравнений? Чтобы ответить на этот вопрос, дадим определение общего решения для системы линейных уравнений Определение ОIV6 Общим решением называется набор функций ϕ 1 (, b, c 1,, зависящих от коэффициентов системы, свободных членов и q числовых параметров, удовлетворяющий двум условиям: (1 подстановка ϕ 1,, ϕ n в систему вместо x 1,, x n обращает уравнения в тождества; (2 любое решение системы может быть получено из этого набора путем фиксирования определенных значений параметров c 1,, c q Как конструктивно найти общее решение системы? Предлагается следующий метод Пусть r ранг матрицы системы За счет перенумерации переменных и уравнений можно добиться того, что базисный минор матрицы эквивалентной системы уравнений будет находиться в левом верхнем углу матрицы Все дальнейшие рассуждения проводятся для этого случая Рассмотрим первые r уравнений системы (IV20 и перепишем их в следующем виде 1 1x rx r = b 1 1 r+1c r+1 1 nc n r 1x r rx r = b r 1 r+1c r+1 1 nc n 133 (IV21

134 Глава IV Сведения из линейной алгебры Здесь переменные x r+1,, x n являются параметрами и обозначены через c r+1,, c n (c q K, q = r + 1, n Определитель данной системы уравнений совпадает с базисным минором и, применяя формулы Крамера, получим x p = p (p = 1, r, (IV22 где p = {}}{ n 1 1 b 1 1 qc q q=r b 2 n 2 qc q p q=r+1 1 r 2 r r 1 b r n q=r+1 r qc q r r (IV23 Из приведенных рассуждений следует, что набор чисел 1,, r, cr+1,, c n, подставленных вместо неизвестных, обращает в тождество первые r уравнений системы линейных уравнений (IV20 Покажем, что этот набор обращает в тождества и оставшиеся (m r уравнений рассматриваемой неоднородной системы С этой целью вспомним, что (r + 1-я,, m-я строка расширенной матрицы есть линейная комбинация первых r базисных строк Для системы линейных уравнений это означает, что каждое уравнение, начиная с (r + 1-го и кончая m-ым, есть линейная комбинация первых r уравнений Вследствие тождественного удовлетворения рассматриваемым набором первых r уравнений тождественно удовлетворяются и оставшиеся (m r уравнений системы 134

135 IV4 Линейные уравнения Итак, матрица - столбец X = 1 r c r+1 c n (IV24 есть решение исследуемой системы уравнений Докажем, что X задает общее решение системы Для этого нам необходимо показать, что любое решение системы содержится в X при определенных значениях параметров c r+1,, c n Пусть набор c 1, c 2,, c n некоторое решение системы Оно является также решением системы (IV21 Зафиксируем в правой части (IV21 значения параметров c q, положив, c r+1 = c r+1,, c n = c n Как известно, по формулам Крамера решение определяется однозначным образом Поэтому с необходимостью числа c p (p = 1, r будут совпадать с числами p, где за p обозначены определители (IV23, у которых вместо параметров c q выступают фиксированные значения c q (q = r + 1, n Пример ПIV9 Решить систему уравнений x 1 + 2x 2 3x 3 = 1 x 1 x 2 + 2x 3 = 0 2x 1 + x 2 x 3 = 1 Разбирая предыдущий пример, мы показали, что система совместна Ранг основной и расширенной матриц равен двум Минор второго порядка в левом верхнем углу = = 3 является базисным 135

136 Глава IV Сведения из линейной алгебры Поступаем согласно разработанному алгоритму Имеем { x1 + 2x 2 = 1 + 3c 3 x 1 x 2 = 2c 3, x 1 = 1 + 3c 3 2 2c = 1 3 (1 c 3, x 2 = c 3 1 2c 3 3 = 1 3 (5c Получили общее решение системы При нахождения общего решения однородной системы линейных уравнений важную роль играют понятия нормальной фундаментальной системы решений и фундаментальной системы решений Пусть, задана однородная система n i j xj j=1 = 0 (i = 1, m Пусть ранг матрицы A = ( i j равен r Согласно предложенному выше методу решение системы находится по формулам (IV24, где в определителях p необходимо положить b p = 0 (p = 1, r Зададимся (n r наборами значений параметров c r+1,, c n, фиксируя их следующим образом: c r+1 1 c r+2 1 c n 1 = 1 0 0, c r+1 2 c r+2 2 c n 2 = 0 1 0,, c r+1 n r c r+2 n r c n n r = (IV25 136

137 IV4 Линейные уравнения Этим наборам, согласно (IV24, будет соответствовать (n r решений X 1 = x 1 1 x r , X 2 = x 1 2 x r , X n r = x 1 n r x r n r 0 0 1, (IV26 где x p 1,, x p n r подсчитываем по формулам (IV22, с учетом фиксированных значений c q (q = r + 1, n Они имеют вид x p 1 = ( 1 r+1 1 r 2 1 ( 2 r+1 2 r r 1 ( r r+1 }{{} p r r,, x p n r = ( 1 n 1 r 2 1 ( 2 n 2 r r 1 ( r n }{{} p r r (IV27 Система полученных решений образует линейно - независимую систему матриц - столбцов, так как в матрице, содержащий n строк и n r столбцов x 1 1 x 1 2 x 1 n r x r 1 x r 2 x r n r , 137

138 Глава IV Сведения из линейной алгебры имеется минор (n r-го порядка , отличный от нуля Определение ОIV7 Система решений (IV26 однородной системы линейных уравнений, соответствующая (n r наборам (IV25, параметров c q (q = r + 1, n, называется нормальной фундаментальной системой решений Теорема ТIV5 Общее решение однородной системы уравнений есть линейная комбинация с произвольными постоянными нормальной фундаментальной системы решений В самом деле, рассматривая общее решение (IV24, где в определителях p постоянные b i (i = 1, m равны нулю, используя свойство СIV3 определителей, получим 1 1 ( 1 r+1c r+1 1 r 1 1 ( 1 nc n 1 r x p = 1 r 1 ( r r+1c r+1 }{{} p r r r 1 ( r nc n }{{} p r r или x q = c q (q = r + 1, n; p = 1, r x p = c r+1 ( 1 p + c r+2 ( 2 p x q = c q (q = r + 1, n; p = 1, r ( n r + + c n p (IV28, (IV29 138

139 IV4 Линейные уравнения где 1 p = ( 1 r+1 1 r ( r }{{ r+1 } r r p 1 1 r 1,, n r p = ( 1 n 1 r ( r n r r С учетом (IV26, (IV27 общее решение (IV29 может быть записано в виде 1 1 r 1 X = c r+1 X 1 + c r+2 X c n X n r, (IV30 что и доказывает теорему Зададимся сейчас (n r наборами параметров c r+1,, c n, фиксируя их произвольным образом c r+1 1 c r+1 2 c r+1 n r,,, c n 1 c n 2 c n n r с одним лишь условием, чтобы детерминант матрицы N = c r+1 1 c r+1 c r+1 n r 2 c n 1 c n 2 c n n r (IV31 был отличен от нуля Наборам (IV31 отвечает (n r линейно - независимых (из - за det N 0 решений X1= x 1 1 x r 1 c r+1 1 c n 1, X2= x 1 2 x r 2 c r+1 2 c n 2,, Xn r= 139 x 1 n r x r n r c r+1 n r c n n r (IV32

140 Глава IV Сведения из линейной алгебры Система решений (IV32, отвечающая наборам (IV31 параметров c r+1,, c n, при условии det N 0, называется фундаментальной системой решений Как и выше, можно доказать: Общее решение однородной системы линейных уравнений есть линейная комбинация с произвольными постоянными фундаментальной системы решений Доказательство приводить не будем, заметив только, что каждое из Xs (s = 1, n r по доказанной выше теореме есть конкретная линейная комбинация нормальной фундаментальной системы решений Из - за линейной независимости систем {X s } и { Xs} каждое из X s также представляет собой фиксированную линейную комбинацию матриц - столбцов Xs (ее конкретный вид может быть получен по формулам Крамера Подстановка этих комбинаций в (IV30 приведет нас к желаемому результату В заключении вернемся к неоднородным системам линейных уравнений n i j xj = b i (i = 1, m Система n i j xj = 0 (i = 1, m с той же матрицей j=1 j=1 A = ( i j называется однородной системой, соответствующей рассматриваемой неоднородной системе Теорема ТIV6 Общее решение неоднородной системы есть сумма частного решения неоднородной системы и общего решения соответствующей однородной системы В самом деле, пусть x 1 0 x 2 0 X 0 = x n 0 частное решение неоднородной системы ( n i jx j 0 bi j=1 140 (i = 1, m

141 IV4 Линейные уравнения Вместо неизвестных x j в неоднородной системе введем новые неизвестные y j, положив x j = x j 0 + yj Имеем n n n i j(x j 0 + yj = i jx j 0 + i jy j = b i j=1 j=1 j=1 Поскольку n i j xj 0 bi, то получаем, что j=1 (i = 1, m n i jy j = 0 j=1 (i = 1, m Неизвестные y j являются неизвестными для соответствующей однородной системы Пусть Y общее решение этой системы уравнений, найденное по формуле (IV30 Тогда для неоднородной системы общее решение имеет вид n r X = X 0 + c r+s X s, (IV33 где {X s } образуют нормальную фундаментальную систему решений (фундаментальную систему решений s=1 141

142 Часть II Задачи аналитической геометрии

143 Глава V Векторы и действия над ними V1 Основные формулы векторной алгебры 1 Сумма векторов Суммой векторов = AB и b = BC называется вектор c = AC (см РисV52 Это правило называется правилом треугольника Для получения разности векторов b необходимо в определении суммы векторов заменить вектор b на противоположный ( b Удобнее поэтому применять правило параллелограмма, согласно которому сумма и разность векторов определяются диагоналями параллелограмма, построенного на данных векторах как на сторонах (см РисV53 2 Координаты вектора в базисе Координатами вектора x в базисе { e 1, e 2, e 3 } называется упорядоченная тройка чисел (x 1, x 2, x 3, таких что: x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 На плоскости это будет парой чисел (x 1, x 2 : x = x 1 e 1 + x 2 e 2 (V1 (V2 Необходимо помнить, что базисом может быть лишь линейно независимая система векторов и их число, n, должно совпадать с размерностью пространства (на плоскости n = 2 и базисом может являться любая пара неколлинеарных векторов { e 1, e 2 } Для того, чтобы выяснить, образует ли данная система трех (двух векторов базис, достаточно вычислить определитель, составленный из координат этих векторов 3 При сложении (вычитании векторов их соответствующие координаты складываются (вычитаются: 143

144 Глава V Векторы и действия над ними B = AB b = BC A c = + b = AC C AB + BC = AC РисV52 Сумма векторов (правило треугольника B C b + b b b A D AD + AB = AC РисV53 Правило параллелограмма 144

145 V1 Основные формулы векторной алгебры A 2 A 3 A 3 A 3 A 4 A 1 A 2 A 2 A 1 A 3 A 2 A 4 A 1 A 4 A 4 A 1 A n РисV54 Основное векторное равенство для многоугольников Пусть: x = (x 1, x 2, x 3, y = (y 1, y 2, y 3, тогда: x ± y = z = (x 1 ± y 1, x 2 ± y 2, x 3 ± y 3 (V3 4 Основное векторное равенство для многоугольников Сумма векторов, являющихся сторонами любой замкнутой ломаной, причем таких, что начало каждого последующего совпадает с концом предыдущего, равна нуль-вектору (см РисV54: A 1 A 2 + A 2 A 3 + A n 1 A n + A n A 1 = 0 (V4 5 Произведение вектора на число Произведением α (или также α вектора на число α называется вектор, модуль которого равен произведению модуля вектора на число α; он параллелен вектору или лежит с ним на одной прямой и направлен также, как вектор, если α - число положительное, и противоположное вектору, если α - число отрицательное При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число λ x = (λx 1, λx 2, λx 3 (V5 6 Коллинеарные векторы Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными 145

146 Глава V Векторы и действия над ними Признаком коллинеарности двух векторов = (x 1 ; y 1 ; z 1, b = (x2 ; y 2 ; z 2 является пропорциональность их координат: x 2 x 1 = y 2 y 1 = z 2 z 1 Координаты точки 1 Системой координат называется совокупность точки O и векторного базиса, R{O; e 1, e 2, e 3 } Точка O называется началом аффинной системы координат 2 Координатами точки M относительно системы координат R{O; e 1, e 2, e 3 } называется координаты ее радиуса вектора r = OM : M(x 1, x 2, x 3 OM = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 (V6 3 Координаты геометрического вектора AB равны разности координат начала и конца отрезка [AB] : AB = (x 1 B x 1 A, x 2 B x 2 A, x 3 B x 3 A (V7 4 Координаты точки, делящей отрезок в данном отношении Если точка M(x 1, x 2, x 3 делит отрезок [AB] в отношении λ, те: AM = λ MB, то координаты этой точки находятся из соотношений: (V8 x 1 = x1 A + λx 1 B 1 + λ, x2 = x2 A + λx 2 B 1 + λ ; x3 = x3 A + λx 3 B 1 + λ (V9 V11 Проекция вектора на направление Осью l будем называть прямую с заданным на ней направлением q 146

147 V1 Основные формулы векторной алгебры Определение проекции Проекцией вектора AB на ось l: Πp q AB называется длина отрезка A B этой оси, заключенного между основаниями перпендикуляров, опущенных из A и B на ось, взятая со знаком плюс, если направление A B совпадает с направлением q, и взятая со знаком минус, если направление вектора A B и i противоположны Свойства проекции 1 Проекция вектора на ось равна длине вектора, умноженного на косинус угла α 2 При умножении вектора на число λ его проекция умножается на то же число 3 Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций этих векторов на ту же ось 4 Проекция суммы векторов на направление u равна сумме их проекций: Πp u ( n = Πp u 1 + Πp u Πp u n 5 При умножении вектора на число его проекция умножается на то же число: Πp u ( α = απp u V12 Скалярное произведение векторов Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов и b ( ( b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: 147

148 Глава V Векторы и действия над ними ( b = b cos b (V10 Скалярное произведе- Связь скалярного произведения и проекции ние можно выразить через проекции: ( b = Πp b = b Πp b (V11 и обратно: Πp b = ( b b (V12 Свойства скалярного произведения 1 Скалярное произведение симметрично: ( b = ( b ; (V13 2 линейно по каждому из сомножителей: ( (λ + µ b c = λ ( ( c + µ b c ; (V14 3 два ненулевых вектора ортогональны друг другу тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: ( b = 0 b (V15 4 Длину вектора можно выразить через скалярное произведение вектора на себя (скалярный квадрат вектора: ( = 2 = = ( (V16 5 Угол между векторами Углом α = b между ненулевыми векторами и b называется наименьший угол между этими векторами, приведенными к общему началу Этот угол изменяется на промежутке [0, π] 148

149 V1 Основные формулы векторной алгебры Если b = 0, векторы и b являются сонаправленными, если b = π, векторы и b являются противоположно направленными Ортонормированный базис 1 Вектор единичной длины ( e e = 1 называется ортом 2 Базис называется ортонормированным, если все его векторы взаимно ортогональны и имеют единичную длину (орты: ( e i e k = δ ik = (1, i = k; 0, i k (V17 3 В дальнейшем будем обозначать орты ортонормированного базиса трехмерного пространства посредством i, j, k : i = j = k = 1, (V18 ( i j = ( j k = ( i k = 0 (V19 4 Система координат (репер, являющаяся совокупностью точки O и ортонормированного базиса { i, j, k}, называется прямоугольной декартовой системой координат, а точка O - ее началом В этой системе координат произвольный вектор r принято записывать в одном из двух эквивалентных видов: r = ix + jy + kz или r = (x, y, z Запись скалярного произведения в ортонормированном базисе Пусть в ортонормированном базисе { i, j, k} векторы и b имеют координаты: = (x, y, z, b = (xb, y b, z b 149

150 Глава V Векторы и действия над ними 1 Координатная запись скалярного произведения: ( b = x x b + y y b + z z b (V20 2 Длина вектора: = ( = x 2 + y 2 + z 2 (V21 3 Косинус угла между ненулевыми векторами: cos b = ( b b = x x b + y y b + z z b (V22 x 2 + y 2 + z 2 x 2 b + y2 b + z2 b V13 Векторное произведение векторов Определение Векторным произведением векторов и b называется вектор x, который:(1 перпендикулярен к плоскости векторов и b; (2 x = b sin b ; (3 направлен так, что тройка (, b, x правая Свойства векторного произведения 1 Антисимметричность [ b ] = [ b ] (V23 2 Линейность по каждому аргументу [ (λ + µ ] b c = λ [ ] [ ] c + µ b c (V24 3 Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и b 4 Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения: 150

151 V1 Основные формулы векторной алгебры = λ b [ b ] = 0 (V25 5 Координатная запись векторного произведения В ортонормированном базисе: [ b ] = i j k x y z x b y b z b (V26 6 Формула площади треугольника ABC Пусть декартовы координаты вершин треугольника равны: Тогда: A(x A, y A, z A ; B(x B, y B, z B ; C(x C, y C, z C S = 1 2 [ ] 1 b = 2 i j k x B x A y B y A z B z A x C x A y C y A z C z A (V27 7 Площадь треугольника на плоскости: S = 1 2 x B x A y B y A x C x A y C y A = 1 ( (x2 x (y 3 y 1 (y 2 y 1 (x 3 x 1 2 (V28 V14 Смешанное произведение векторов Определение Смешанным произведением трех векторов, b, c называется число, получаемое от умножения вектора [ b ] скалярно на c Оно обозначается символом (, b, c, те: (, b, c def = ( [ b ] c (V29 Свойства смешанного произведения 1 Симметричность по отношению к перестановке векторного произведения: ( [ b ] c = ( [ b c ] = ( [ b c ] (V30 151

152 Глава V Векторы и действия над ними 2 Перестановка элементов: (, b, c = ( b, c, = ( c,, b = = ( b,, c = (, c, b = ( c, b, (V31 3 Условие компланарности Тройка векторов (, b, c компланарна тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю:, b, c (, b, c = 0 (V32 4 Координатная запись смешанного произведения В ортонормированном базисе: (, b, c = x y z x b y b z b x c y c z c (V33 5 Геометрическое значение смешанного произведения Модуль смешанного произведения векторов, b, c равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах (см РисV55 Пусть A, B, C, D какие-либо вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, и пусть координаты этих вершин обозначаются соответственно их названиям Тогда: V = x B x A y B y A z B z A x C x A y B y A z C z A x D x A y D y A z C z A (V34 При этом надо помнить соотношение между объемами простейших многогранников с одинаковыми соответствующими ребрами: V = 1 3 V V15 Двойное векторное произведение Двойным векторным произведением векторов, b, c называется выражение вектор [ [ b c ] ] 152

153 V2 Задачи на векторные операции x = [ b ] b h c b h c b x = [ ] b РисV55 Смешанное произведение трех векторов Формула ABC=BAC-CAB Справедлива формула: [ [ b c ] ] = b ( c c ( b (V35 Вследствие этой формулы двойное векторное произведение сводится к известным операциям V2 Задачи на векторные операции Пример ПV1 Пусть x = 3 4 b + 2 c и известно, что векторы, b, c образуют базис трехмерного пространства 1 Найти координаты вектора x в базисе {, b, c} 2 Доказать, что векторы также образуют базис p = 2 b + c, q = + 2 b c, r = + b 2 c Решение 153

154 Глава V Векторы и действия над ними 1 Из (V1 следует, что координаты вектора x в базисе {, b, c} есть коэффициенты разложения вектора x по этому базису, те, они равны x = (3, 4, 2 2 Аналогично найдем координаты векторов p, q, r в базисе {, b, c}: p = (2, 1, 1, q = (1, 2, 1, r = ( 1, 1, 2 Проверим, образуют ли эти векторы базис трехмерного пространства, для чего составим из их координат определитель, в котором каждому вектору соответствует столбец: = Вычисляя, найдем: = 6 0, следовательно, векторы p, q, r линейно независимы, те, образуют базис трехмерного пространства Пример ПV2 В ортонормированном базисе даны векторы = (1, 2, 2 и b = (2, 4, 4 Найти длины этих векторов, угол между ними и проекцию вектора на направление b и площадь параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах Решение 1 Найдем длины векторов: = ( 2 2 = 3; b = ( = 2 3 = 6 ( b = ( 4 + ( 2 4 = 14 2 Найдем косинус угла между векторами: угол тупой cos b = ( b b == =

155 V2 Задачи на векторные операции 3 Найдем проекцию: Πp b = ( b b = Найдем векторное произведение: [ b ] = i j k Найдем площадь параллелограмма: = 0 i 8 j 8 k = 8(0, 1, 1 S = [ b ] = 8 2 Пример ПV3 Для предыдущего примера найти вектор c, делящий пополам угол b Поскольку вектор c должен лежать в одной плоскости с векторами и b, должно быть: c = λ + µ b Так как c = c b = ( c = ( c b Таким образом, получаем уравнение для определения коэффициентов λ, µ: λ + µ ( b = λ ( b b b + µ b Подставляя сюда результаты предыдущего примера, получим: Таким образом, получим: 3λ 14 3 µ = 7 3 λ + 6µ 16λ = 32µ = λ = 2µ 155

156 Глава V Векторы и действия над ними Полагая, например, µ = 1, получим: λ = 2 Таким образом: c = 2 + c = (4, 0, 0 = c = (1, 0, 0 = i Пример ПV4 Даны вершины тетраэдра: A(1, 1, 1; B(3, 1, 2; C(2, 3, 3; D(1, 2, 5 Найти объем тетраэдра, площадь его основания ABC и высоту, опущенную из вершины D на это основание Решение 1 Найдем векторы, соответствующие ребрам тетраэдра: 2 Найдем длины ребер: AB = (x B x A, y B y A, z B z A = (2, 2, 1; AC = (1, 2, 2; BC = ( 1, 4, 1; AD = (0, 3, 4 AB = 3; AC = 3; AD = 5; BC = Найдем векторное произведение: p = [ AB AC ] = i j k Найдем площадь основания тетраэдра: 5 Найдем смешанное произведение: = (6, 3, 6 = 3(2, 1, 2 S = 1 2 [ AB AC ] = 9 2 ( ( AB, AC, AD = 156 p AC = 33

157 V2 Задачи на векторные операции 6 Находим объем тетраэдра: 7 Найдем высоту: V = 1 ( 11 AB, AC, AD = 6 2 h = 3V S =

158 Глава VI Прямые и плоскости VI1 VI11 Основные определения и теоремы Прямые линии 1 Определение прямой Прямой d = d(m 0 ; q, проходящей через точку M 0 в направлении q, называется геометрическое место точек M, таких что: M 0 M = λ q (VI1 Точка M 0 называется опорной точкой прямой, вектор q направляющим вектором этой прямой, а число λ, пробегающее все множество действительных чисел, - параметром 2 Параметрические уравнения прямой Пусть в декартовой системе координат текущая M и опорная M 0 точки прямой имеют координаты: M(x, y, z; M 0 (x 0, y 0, z 0, а направляющий вектор прямой q в базисе { i, j, k} имеет координаты q = (l, m, n Тогда векторное равенство (VI1 можно записать в виде параметрических уравнений прямой: x = x 0 + λl ; y = y 0 + λm ; z = z 0 + λn x = x 0 + λl ; ( := y = y 0 + λm 158 (VI2

159 VI1 Определения и теоремы 3 Канонические уравнения прямой После исключения из (VI2 параметра λ получаются канонические уравнения прямой: x x 0 l = y y 0 m = z z 0 n ; ( := x x 0 l = y y 0 m (VI3 VI12 Взаимное расположение прямых на плоскости 1 Общее уравнение прямой на плоскости Общее уравнение прямой на плоскости можно записать в одном из двух эквивалентных видов: A(x x 0 + B(y y 0 = 0, или: Ax + By + C = 0, где A, B одновременно не обращаются в нуль (VI4 (VI5 4 Связь коэффициентов общего и параметрического уравнения Коэффициенты A, B связаны с координатами (l, m направляющего вектора прямой q соотношениями: A = νl, B = νm, (ν 0 (VI6 5 Геометрический смысл коэффициентов общего уравнения Коэффициенты при неизвестных равны координатам вектора N нормали прямой d: ( N = (A, B, N q = 0 (VI7 При этом общее уравнение прямой можно записать в эквивалентной векторной формулировке: ( N M 0 M = 0 (VI8 6 Теорема о взаимном расположении прямых на плоскости Две прямые d 1 и d 2, заданные своими общими уравнениями: d 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 159

160 Глава VI Прямые и плоскости пересекаются в единственной точке, если: параллельны, если: и совпадают, если: A 1 A 2 B 1 B 2, A 1 A 2 = B 1 B 2 C 1 C 2 A 1 A 2 = B 1 B 2 = C 1 C 2 7 Нормированное уравнение прямой Введем нормирующий множитель µ : 1 µ = sgn(c A2 + B 2, (VI9 выбирая знак этого множителя противоположным знаку свободного члена общего уравнения прямой Тогда умножая на µ общее уравнение прямой, получим нормированное уравнение прямой: x cos α + y sin α p = 0, (VI10 где α - угол между нормалью к прямой, проведенной из начала координат, и осью Ox, а p - расстояние от начала координат до прямой: A B cos α = sgn(c sin α = sgn(c A2 + B2; A2 + B 2; p = C A2 + B 2 (VI11 8 Отклонение точки от прямой Отклонением δ точки M 0 от прямой называется число, равное +d, если M 0 и начало координат находятся по разные стороны прямой, и равное d, если M 0 и начало координат находятся по одну сторону от прямой Отклонение вычисляется по формуле: δ = x 0 cos α + y 0 sin α p, (VI12 если (x 0, y 0 координаты точки M 0 160

161 VI1 Определения и теоремы 9 Угол между прямыми Углом между прямыми называется угол между их направляющими (нормальными векторами: ( ( q 1 q N1 2 N2 cos d 1, d 2 = q 1 q 2 ; cos d 1, d 2 = N 1 N 2 (VI13 Угол между прямыми определен с точностью до π 10 Расстояние между параллельными прямыми Если уравнения двух параллельных прямых приведены к общим уравнениям с одинаковыми коэффициентами при неизвестных, то расстояние между прямыми вычисляется по формуле: ρ d1,d 2 = C 2 C 1 A2 + B 2 (VI14 VI13 Прямые линии в пространстве 1 Теорема о взаимном расположении прямых в пространстве Две прямые d 1 (M 1, ; q 1 и d 2 (M 2 ; q 2 в пространстве могут а лежать в одной плоскости при выполнении условия: б скрещиваться при выполнении условия: ( q 1, q 2, M 1 M 2 = 0 (VI15 ( q 1, q 2, M 1 M 2 0 (VI16 2 В случае (VI15, когда прямые лежат в одной плоскости, они могут пересекаться при выполнении условия: [ ] q 1 q 2 0, (VI17 161

162 Глава VI Прямые и плоскости б быть параллельными при выполнении условий: [ ] [ q 1 q 2 = 0; q 1 ] M 1 M 2 0, (VI18 в или совпадать при выполнении условий: [ ] [ q 1 q 2 = 0; q 1 ] M 1 M 2 = 0 (VI19 3 Расстояние между скрещивающимися прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми находится по формуле: ( q 1, q 2, M 1 M 2 ρ d1,d 2 = [ ] (VI20 q 1 q 2 4 Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между параллельными прямыми в пространстве находится по формуле: [ q 1 ] M 1 M 2 ρ d1 d 2 = (VI21 q 1 VI14 Плоскости Определение плоскости Плоскостью Π(M 0 ; q 1, q 2, проходящей через точку M 0 в двумерном направлении { q 1, q 2 }, называется геометрическое место точек M пространства, таких что: M 0 M = λ 1 q 1 + λ 2 q 2, (VI22 где M 0 опорная точка плоскости, q 1, q 2 направляющие векторы плоскости, которыми могут служить любые неколлинеарные векторы, λ 1, λ 2 параметры, которые независимо пробегают все множество действительных чисел (см РисVI56 Каждой паре значений параметров соответствует одна и только одна точка плоскости 162

163 VI1 Определения и теоремы N q 1 M 0 M q 2 Π Π(M 0 ; q 1, q 2 РисVI56 Плоскость в пространстве 2 Параметрические уравнения плоскости Пусть в декартовой системе координат: M 0 (X 0, y 0, z 0 ; M(x, y, z; q 1 = (l 1, m 1, n 1 ; q 2 = (l 2, m 2, n 2 Тогда параметрические уравнения плоскости Π(M 0, q 1, q 2 принимают вид: x = λ 1 l 1 + λ 2 l 2 ; y = λ 1 m 1 + λ 2 m 2 ; z = λ 1 n 1 + λ 2 n 2 (VI23 3 Другой вид уравнения плоскости Определение (VI22 можно записать в виде условия компланарности векторов q 1, q 2, M 0 M: x x 0 y y 0 z z 0 l 1 m 1 n 1 l 2 m 2 n 2 = 0 (VI24 4 Другое определение плоскости Плоскостью Π(M 0 ; N, проходящей через точку M 0 перпендикулярно вектору N, называется геометрическое место точек M пространства, таких что: ( M 0 M N = 0 (VI25 163

164 Глава VI Прямые и плоскости Ненулевой вектор N называется вектором нормали (нормальным вектором плоскости Π (См РисVI56 5 Общее уравнение плоскости Пусть нормальный вектор имеет координаты: N = (A, B, C Тогда общее уравнение плоскости Π(M 0 ; N согласно определению (4 можно записать в одном из эквивалентных видов: или: A(x x 0 + B(y y 0 + C(z z 0 = 0, Ax + By + Cz + D = 0 (VI26 (VI27 6 Связь между вектором нормали и направляющими векторами: [ ] N = q 1 q 2 (VI28 Формула (VI28 устанавливает соответствие между уравнениями плоскости (VI24 и (VI26 7 Нормированное уравнение плоскости Нормированное уравнение плоскости получается умножением общего уравнения плоскости (VI27 на нормирующий множитель µ : 1 µ = sgn(d A2 + B 2 + C 2 (VI29 (знак нормирующего множителя выбирается противоположным знаку свободного члена и имеет вид: x cos α + y cos β + z cos γ p = 0, (VI30 где α, β, γ - углы между нормалью плоскости, проведенной из начала координат, а p расстояние от начала координат до плоскости: A cos α = sgn(d A2 + B 2 + C 2; cos β = sgn(d B A2 + B 2 + C 2; C cos γ = sgn(d A2 + B 2 + C 2; p = D A2 + B 2 + C 2 (VI31 164

165 VI1 Определения и теоремы Аналогично (VI12 определяется отклонение и расстояние точки от плоскости VI15 Взаимное расположение плоскостей 1 Теорема о взаимном расположении плоскостей Две плоскости Π 1 (M 1 ; N 1 и Π 2 (M 2 ; N 2 в трехмерном пространстве а могут пересекаться при: [ ] N1 N2 0, (VI32 б быть параллельными при: [ ] N1 N2 = 0 в или совпадать при: [ ] N1 N2 = 0 ( N1, N 2, M 1 M 2 0 (VI33 ( N1, N 2, M 1 M 2 = 0 (VI34 2 Если плоскости заданы своими общими уравнениями, то они пересекаются, если коэффициенты при координатах непропорциональны; параллельны, если: A 1 = B 1 = C 1 D 1 (VI35 A 2 B 2 C 2 D 2 и совпадают, если: A 1 A 2 = B 1 B 2 = C 1 C 2 = D 1 D 2 (VI36 3 Угол Θ между плоскостями Угол между плоскостями Π 1 (M 1 ; N 1 и Π 2 (M 2 ; N 2 определяется как угол между их нормальными векторами: ( N1 N2 Π 1 Π 2 = N1 N2 = cos Θ = 165 N 1 N 2 (VI37

166 Глава VI Прямые и плоскости 4 Прямая пересечения плоскостей Прямая d пересечения плоскостей Π 1 (M 1 ; N 1 и Π 2 (M 2 ; N 2 есть d(m 0 ; q, где M 0 (x 0, y 0, z 0 - любая общая точка этих плоскостей, а направляющий вектор q равен: q = [ N1 N2 ] (VI38 5 Расстояние между параллельными плоскостями Пусть общие уравнения параллельных плоскостей приведены к виду с одинаковыми коэффициентами при координатах: Ax + By + Cz + D 1 = 0 ; Ax + By + Cz + D 2 = 0 Тогда расстояние между плоскостями находится по формуле: ρ Π1 Π 2 = D 2 D 1 A2 + B 2 + C 2 (VI39 VI16 Взаимное расположение прямой и плоскости 1 Теорема о взаимном расположении прямой и плоскости в пространстве Прямая d(m 1 ; q может: а пересекаться с плоскостью Π(M 2 ; N в единственной точке при: ( q N 0; (VI40 б быть параллельной этой плоскости при: в лежать в этой плоскости при: ( q N = 0 [ q M 1 M 2 ] 0, (VI41 ( q N = 0 [ q M 1 M 2 ] = 0 (VI42 2 Угол между прямой и плоскостью Углом α между прямой d(m 1 ; q и плоскостью Π(M 2 ; N называется угол между направляющим вектором 166

167 VI2 Евклидовы задачи планиметрии этой прямой и его ортогональной проекцией на плоскость Π Таким образом: sin α = ( q N q N (VI43 3 Расстояние между параллельными прямой и плоскостью Расстояние между прямой и плоскостью можно определить, как расстояние от опорной точки прямой до плоскости: ρ d,π = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2 (VI44 или как длину проекции вектора M 1 M 2 на направление нормали N: ρ d,π = ( M 1 M 2 N N ( q 1, q 2, M 1 M 2 = N (VI45 VI2 Евклидовы задачи планиметрии Пример ПVI1 Прямая d 1 проходит через точку A(1, 2 в направлении q = (3, 4, прямая d 2 задана своим общим уравнением: 4x + 3y 15 = 0, а прямая d 3 своими каноническими уравнениями: x 2 4 = y 3 3 Провести полное исследование взаимного расположения прямых d 1 и d 2 и d 1 и d 3 Решение Направляющий вектор прямой d 1 есть q = (3, 4, а, значит, ее нормальный вектор N 1 = (4, 3 Нормальный вектор прямой d 2 есть N 2 = (4, 3, 167

168 Глава VI Прямые и плоскости - значит, эти прямые параллельны или совпадают Запишем общее уравнение прямой d 1 : 4(x 1 + 3(x 2 = 0 = 4x + 3y 10 = 0 Так как свободные члены общих уравнений прямых не пропорциональны, прямые d 1 и d 2 параллельны Расстояние между ними равно: ρ d1,d 2 = 15 ( = 5 5 = 1 Прямая d 3 проходит через точку (2, 3 в направлении (4, 3, поэтому вектор нормали этой прямой есть N 3 = ( 3, 4, а ее общим уравнением будет: 3(x 2 + 4(y 3 = 0 = 3x + 4y 2 = 0 Так как: ( N1 N3 = 4 ( = 0, то прямые d 1 и d 3 перпендикулярны Точка их пересечения находится совместным решением двух уравнений: 4x + 3y 10 = 0 ; 3x + 4y 2 = 0 Решая эту систему, найдем точку пересечения: ( 34 M 25, На плоскости дан треугольник ABC своими верши- Пример ПVI2 нами: A(1, 2; B(4, 6; C(8, 3 Найти уравнения высоты, медианы и биссектрисы, выходящих из вершины B, а также длину этой высоты и угол B Решение 1Найдем векторы, соответствующие сторонам треугольника: AB = (3, 4; BC = (4, 3; AC = (7, 1 168

169 VI2 Евклидовы задачи планиметрии Так как то угол B прямой: B = π 2 ( AB BC = ( 3 = 0, 2 Найдем уравнение высоты Уравнение высоты (BD получается как уравнение прямой, проходящей через точку B перпендикулярно вектору N = AC : ( AC BM = 0 = 7(x 4 + 1(y 6 = 0 = (AC : 7x + y 34 = 0 3 Найдем высоту h Учтем, что вектор нормали к прямой (AC получается из координат этого вектора по правилу: q = (l, m = N = ( m, l Таким образом, найдем вектор нормали: и уравнение прямой (AC: N 1 = ( 1, 7 (AC : 1(x 1 + 7(y 2 = 0 = x + 7y 13 = 0 Приведем это уравнение к нормированному виду ( 50 = 5 2: (AC : x y = 0 Таким образом, отклонение точки B от прямой (AC равно: δ B = Это и будет длиной высоты h = Найдем уравнение медианы Найдем координаты середины отрезка [AC], точки E: x E = = 9 2 ; y E = = 5 2

170 Глава VI Прямые и плоскости Таким образом: BE = ( 1 2, 7 = q = (1, 7 2 Запишем уравнение медианы (BE: x 4 1 = y 6 7 = 7x + y 34 = 0 5 Найдем уравнение биссектрисы Биссектрису d 1 угла B определим как геометрическое место точек, равноудаленных от прямых (AB и (BC Запишем уравнения прямых (AB и (CD: (AB : x 1 3 x 4 (BC : 4 Нормируем эти уравнения: (AB : = y 2 4 = y 6 3 = 4x 3y + 2 = 0; = 3x + 4y 36 = 0 4x + 3y 2 5 = 0; 3x + 4y 36 (BC : = 0 5 Таким образом, биссектрисы угла B (их две определятся уравнениями: δ d1,(ab = ±δ d1,(bc Нам необходимо выбрать знак, соответствующий биссектрисе внутреннего угла треугольника в этом случае отклонения имеют разные знаки Таким образом, найдем уравнение биссектрисы: d 1 : x 7y + 38 = 0 VI3 Евклидовы задачи стереометрии Пример ПVI3 Исследовать взаимное расположение прямых d 1 (M 1, q 1 и d 2 (M 2, q 2, если: M 1 (1, 2, 5; q 1 = ( 2, 1, 2; M 2 (5, 6, 3; q 2 = ( 1, 2, 2 170

171 VI3 Евклидовы задачи стереометрии Решение 1 Выясним, лежат ли две прямые в одной плоскости Найдем вектор M 1 M 2 = (4, 4, 2 = 2(2, 2, 1 и вычислим смешанное произведение: ( q 1, q 2, M 1 M 2 = Таким образом, прямые d 1 и d 2 скрещивающиеся = Найдем расстояние между прямыми Для этого сначала вычислим векторное произведение: [ ] i j k q 1 q 2 = = ( 2, 2, Найдем теперь расстояние: ρ d1,d 2 = ( q 1, q 2, M 1 M 2 [ ] q 1 q 2 = Найдем косинус угла между прямыми Косинус угла вычислим по формуле: ( q 1 q 2 cos α = q 1 q 2 = 8 9 Пример ПVI4 Исследовать взаимное расположение плоскости: Π : 4x 2y + 4z + 25 = 0 171

172 Глава VI Прямые и плоскости и прямых: d 1 : d 2 : x 2 1 x 3 2 = y 4 4 = y 1 1 = z 1 1, = z 1 2 Решение 1 Найдем координаты необходимых нам векторов По коэффициентам уравнений восстановим нормальный вектор плоскости N и направляющие векторы прямых q 1, q 2 : N = (4, 2, 4 = N = (2, 1, 2; q 1 = (1, 4, 1; q 2 = (2, 1, 2 2 Найдем координаты опорной точки плоскости Для этого найдем любое решение уравнения плоскости Например, можно положить: x = z = 0, тогда найдем y = 25/2 Таким образом, является опорной точкой плоскости M 0 = (0, 25 2, 0 3 Найдем скалярные произведения ( q 1 N = 0, таким образом, прямая d 1 параллельна плоскости или лежит в ней ( q 2 N = 1 0, Следовательно, прямая d 2 пересекается с плоскостью в точке 4 Вычислим вектор, соединяющий опорные точки Π и d 1 : ( M 0 M 1 = 4, 17 2, 1 172

173 VI3 Евклидовы задачи стереометрии Очевидно, что этот вектор не коллинеарен направляющему вектору прямой q 1, следовательно, прямая d 1 параллельна плоскости Π 5 Найдем расстояние от прямой до плоскости Для этого нормируем уравнение плоскости (µ = 1/6: 2 3 x y 2 3 z 25 6 = 0 Отклонение точки M 1 от плоскости равно: δ M1 = = 29 6 Таким образом, расстояние от прямой d 1 до плоскости равно: ρ = 29/6 6 Найдем точку пересечения F прямой d 2 с плоскостью Для этого запишем уравнения прямой в параметрическом виде: x = 3 + 2t ; y = 1 + t ; z = 1 2t и подставим переменные x, y, z в уравнение плоскости: откуда найдем: 4(3 + 2t 2(1 + t + 4(1 2t + 25 = 0, t = 39 2 Подставляя найденное значение параметра в параметрические уравнения прямой, найдем координаты точки пересечения: ( F = 42, 41 2, 38 7 Найдем угол между прямой d 2 и плоскостью Угол вычисляем по формуле: ( q 2 N sin α = 173 q 2 N

174 Глава VI Прямые и плоскости Таким образом получим: sin α = = 1 9 Пример ПVI5 Исследовать взаимное расположение плоскостей: Π 1 : 2x 2y + z 21 = 0; Π 2 : x + 2y 2z + 9 = 0 1 Найдем нормальные векторы плоскостей N 1 = (2, 2, 1; N2 = (1, 2, 2 2 Вычислим векторное произведение нормальных векторов [ ] i j k q = N1 N2 = = (2, 5, Векторы неколлинеарны, значит плоскости пересекаются по прямой 3 Найдем прямую пересечения Для этого найдем ее опорную точку какое-либо совместное решение уравнений плоскостей Положим, например, z = 0 Тогда уравнения плоскостей примут вид: 2x 2y 21 = 0; x + 2y + 9 = 0 = 3x 12 = 0 = x = 4; y = 13 2 Таким образом, M 0 = (4, 13 2, 0 Направляющий вектор прямой пересечения есть вектор q Запишем канонические уравнения прямой: d = Π 1 Π 2 : x = y = z 6

175 VI3 Евклидовы задачи стереометрии 4 Найдем угол между плоскостями Косинус этого угла равен: cos Θ = ( N1 N2 N 1 N 2 = 0 Таким образом, плоскости Π 1 и Π 2 пересекаются под прямым углом 175

176 Глава VII Кривые II-го порядка на евклидовой плоскости VII1 VII11 Основные факты теории кривых II-го порядка Канонические уравнения кривых второго порядка Существуют три и только три типа кривых второго порядка: эллипс, гипербола, парабола При надлежащем выборе декартовой системы координат их уравнения можно записать в следующих канонических формах 1 Каноническое уравнение эллипса Пусть и b - положительные параметры Тогда каноническое уравнение эллипса имеет вид: x y2 b 2 = 1 (VII1 2 Каноническое уравнение гиперболы Каноническое уравнение гиперболы с главной осью Ox имеет вид: x 2 2 y2 b 2 = 1, (VII2 а каноническое уравнение сопряженной гиперболы (с главной осью Oy имеет вид: x2 2 + y2 b 2 = 1 (VII3 3 Каноническое уравнение параболы Пусть p положительный параметр Тогда каноническое уравнение параболы с осью Ox имеет вид: y 2 = 2px (VII4 176

177 VII1 Основные факты теории кривых II-го порядка VII12 Элементы кривых второго порядка 1 Элементы эллипса Главной осью эллипса является его б ольшая ось Пусть > b В этом случае главной осью эллипса является ось Ox Введем число c = 2 b 2 <, (VII5 а также число ϵ = c < 1, (VII6 которое называется эксцентриситетом эллипса Введем на главной оси эллипса две точки: F 1 ( c, 0 F 2 (c, 0, которые называются фокусами эллипса В случае, когда b > числа c и ϵ вычисляются по формулам (VII5 и (VII6, в которых необходимо поменять местами числа и b Главной осью в этом случае будет ось Oy, на которой и будут расположены фокусы 2 Директрисы эллипса Прямые d 1, d 2, перпендикулярные главной оси эллипса: d 1,2 : x = ± (= ± 2 ϵ c (VII7 называются директрисами эллипса 3 Касательные к эллипсу Каноническое уравнение касательной к эллипсу с точкой касания M 0 (x 0, y 0 имеет вид: xx yy 0 2 = 1 (VII8 b 4 Элементы гиперболы Главной осью гиперболы является та, которой соответствует знак + в каноническом уравнении гиперболы Введем число а также число c = 2 + b 2 >, b, ϵ = c > 1, (VII9 (VII10 177

178 Глава VII Кривые II-го порядка на евклидовой плоскости которое называется эксцентриситетом эллипса Введем на главной оси гиперболы две точки: F 1 ( c, 0 F 2 (c, 0, которые называются фокусами гиперболы Прямые d 1, d 2, перпендикулярные главной оси гиперболы: d 1,2 : x = ± ϵ называются директрисами гиперболы (= ± 2 c (VII11 5 Касательные к гиперболе Каноническое уравнение касательной к гиперболе с точкой касания M 0 (x 0, y 0 имеет вид: xx 0 2 yy 0 2 = 1 (VII12 b 6 Асимптоты гиперболы Прямые: y = ± b x (VII13 являются асимптотами гиперболы 7 Элементы параболы Точка M(p/2, 0 называется фокусом параболы, а прямая d, перпендикулярная его оси: d : x = p 2, (VII14 называется директрисой параболы Каноническое уравнение касательной к параболе с точкой касания M 0 (x 0, y 0 имеет вид: yy 0 = p(x + x 0 (VII15 VII13 Фокальные свойства кривых II-го порядка 1 Фокальное свойство эллипса Введем фокальные радиусы точки M кривой II-го порядка: ρ 1,2 = F 1,2 M (VII16 178

179 VII1 Основные факты теории кривых II-го порядка Тогда имеет место утверждение: Сумма фокальных радиусов эллипса есть величина постоянная, равная большой оси эллипса: ρ 1 + ρ 2 = 2 (VII17 2 Фокальное свойство гиперболы Для гиперболы имеет место аналогичное утверждение: Модуль разности фокальных радиусов эллипса есть величина постоянная, равная главной оси гиперболы: ρ 1 ρ 2 = 2 (VII18 Для параболы аналогичное свойство отсутствует VII14 Директориальные свойства кривых II-го порядка Директориальные свойства всех кривых II-го порядка совпадают; 1 Отношение фокального радиуса любой точки кривой второго порядка к расстоянию d от этой точки до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету кривой: F M d = ϵ (VII19 VII15 Оптические свойства кривых II-го порядка 1 Оптическое свойства эллипса Луч света, испущенный из одного из фокусов эллипса, после отражения от эллипса проходит через второй его фокус 2 Оптическое свойства гиперболы Луч света, испущенный из одного из фокусов гиперболы, после отражения от гиперболы распространяется так, как если бы он был испущен из второго ее фокуса 179

180 Глава VII Кривые II-го порядка на евклидовой плоскости 3 Оптическое свойства параболы Луч света, испущенный из из фокуса параболы, отражается от параболы параллельно ее оси VII16 Полярное уравнение кривых второго порядка 1 Если поместить полюс полярной системы координат в фокус кривой второго порядка, а в качестве полярной оси выбрать главную ось этой кривой, то уравнение кривой II-го порядка можно записать в полярных координатах в виде: p ρ = 1 + ϵ cos φ (VII20 VII2 Задачи о кривых II-го порядка В качестве примера решим наиболее типичную задачу Пример ПVII1 Известно, что прямая d : 3x 4y + 5 = 0 является директрисой эллипса с эксцентриситетом ϵ = 1/2 и что точка F 1 ( 5, 10 является соответствующим фокусом эллипса Найти уравнение эллипса и его элементы Решение Нормируем уравнение директрисы: 3 5 x y 1 = 0 Отклонение фокуса F 1 от директрисы равно: δ F1 = ( = 10 Таким образом, расстояние от фокуса F 1 до соответствующей директрисы равно 10 Но с другой стороны расстояние от фокуса до соответствующей 180

181 VII2 Задачи о кривых II-го порядка директрисы равно: ϵ c = 2 c c = 2 c 2 c = b2 c Из соотношения 2 b ϵ = 2 = 1 2 получаем: 3 b = 2 Подставляя этот результат в выражение для расстояния от фокуса до директрисы, найдем: = 10 3 ; b = 5, c = Направляющий вектор директрисы равен: q = (4, 3, поэтому уравнение главной оси эллипса есть: 4(x (y 10 = 0 = 4x + 3y 10 = 0 Пусть теперь M(x 0, y 0 - произвольная точка эллипса Тогда отклонение этой точки от данной директрисы есть: δ M = 3 5 x y 0 1, а соответствующее расстояние равно: ρ M0 = 3 5 x y 0 1 Расстояние от фокуса до точки M 0 равно: ρ 1 = (x (y 10 2 Из директориального свойства эллипса получим: ρ 2 1 = ϵ 2 ρ 2 M 0 Таким образом, подставляя сюда найденные выражения, получим: (3x 0 4y = 25 4 ( (x (y

182 Глава VII Кривые II-го порядка на евклидовой плоскости Перенося все члены в одну часть уравнения, получим уравнение второго порядка относительно переменных (x 0, y 0 это и будет искомое уравнение эллипса Поскольку полученное уравнение весьма громоздко, мы не будем его приводить здесь Отметим лишь, что в канонической системе координат, в которой ось Ox направлена вдоль вектора N = ( 4, 3 (а начало координат нетрудно найти, зная элементы эллипса, каноническое уравнение эллипса имеет вид: 3x y = 1 Для примера приведем лишь цилиндры, с образующими, параллельными оси Oz: ( эллиптический цилиндр: x2 2 + y2 b 2 = 1; (b гиперболический цилиндр: x2 2 y2 b 2 = 1; (c параболический цилиндр: y 2 = 2px Поскольку кривые второго порядка изучены нами ранее, то вид цилиндров устанавливается легко (РисIII50 Аналогично обстоит дело, когда отсутствует какая - либо другая переменная 182

183 Часть III Задачи аналитической геометрии и алгебры в системе компьютерной математики Mple

184 Глава VIII Математическое моделирование и система компьютерной математики Mple Методы математического моделирования объектов, явлений, процессов и структур самой различной природы постепенно становятся важнейшей составляющей процесса познания человечеством окружающего мира С другой стороны, эти методы постепенно становятся и основой современного физикоматематического и технического образования 1 Согласно одному из основоположников математического моделирования, академику АА Самарскому, (см, например, [18] «математическая модель - это эквивалент объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства - законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям, и т д» [18], причем «сама постановка задачи о математическом моделировании какого - либо объекта порождает четкий план действий Его можно условно разбить на три этапа: модель -алгоритм-программа На первом этапе выбирается (или строится эквивалент объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства - законы, которым он подчиняется, связи присущие составляющим его частям и тд Математическая модель (или ее фрагменты исследуется теоретическими методами, что позволяет получить важные предварительные знания об объекте Второй этап - выбор (или разработка алгоритма для реализации модели на компьютере Модель представляется в форме, удобной для применения численных методов, определяется последовательность вычислительных и логических операций, которые нужнопроизвести, чтобы найти искомые 1 см, например, книгу одного из Авторов [17] 184

185 величины с заданной точностью Вычислительные алгоритмы должны не искажать основные свойства модели и, следовательно, исходного объекта, быть экономичными и адаптирующимися к особенностям решаемых задач и используемых компьютеров На третьем этапе создаются программы, переводящие модель и алгоритм на доступный компьютеру язык К ним также предъявляются требования экономичности и адаптивности Их можно назвать электронным эквивалентом изучаемого объекта, уже пригодным для непосредственного испытания на экспериментальной установке - компьютере Создав триаду модель - алгоритм - программа, исследователь получает в руки универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который вначале отлаживается, тестируется в пробных вычислительных экспериментах После того как адекватность (достаточное соответствие триады исходному объекту удостоверена, с моделью проводятся разнообразные и подробные опыты, дающие все требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта Процесс моделирования сопровождается улучшением и уточнением, по мере необходимости, всех звеньев триады» Таким образом, академик АА Самарский дал четкое, ставшее классическим, определение объекта математического моделирования и основных задач математического моделирования Уникальные графические возможности системы компьютерной математики (СКМ Mple, в частности, возможности создания трехмерных анимационных моделей, хорошо проработанные программные процедуры численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ, сплайновой и B - сплайновой интерполяции функций позволяют рассматривать СКМ Mple в качестве мощного современного инструмента математического моделирования объектов механики и родственных им [26] [24] В настоящее время методы математического моделирования в СКМ начали эффективно применяться в исследованиях математических моделей как фундаментальных физических явлений, так и прикладных задач В частности, монографии ДП Голоскокова [21, 22] целиком посвящены проблемам математического моделирования в СКМ Mple объектов математической физики физических полей, гидродинамических процессов, процессов теплопереноса и диффузии; в фундаментальной монографии ВП Дьяконова [23] обширная глава посвящена применению СКМ Mple в математическом моделировании, в частности, моделировании электронных схем и измерительных систем на основе эффекта Допплера; монографии МН Кирсанова [24] содержит материалы по применению графов в математическом модели- 185

186 Глава VIII Математическое моделирование и СКМ MAPLE ровании и математическому моделированию сложных механических систем со связями и визуализации математических моделей этих систем [25] В работах ЮГ Игнатьева с соавторами [36] - [44] методы математического моделирования с помощью СКМ Mple успешно применяются для решения весьма сложных задач релятивистской кинетики, теории гравитации и космологии ранней Вселенной В последнее время СКМ Mple, особенно ее приложение Mplet, стала применяться для компьютерного моделирования процесса обучения, в частности, для создания системы аналитического тестирования знаний [45, 46, 47] Важным преимуществом СКМ Mple является и возможность интеграции этой системы с СКМ MtLb, которая приспособлена к моделированию электронных систем и технологических процессов Перейдем теперь к работам по математическому моделированию в системах компьютерной математики СКМ с самого начала обратили внимание исследователей как мощное средство компьютерного моделирования объектов, свойств и, особенно, процессов В настоящее время трудно представить развитие современной теоретической физики, физики высоких энергий, фундаментальных полей, астрофизики и космологии без систем компьютерной математики Необходимо отметить, что СКМ как раз и были созданы в лабораториях физики высоких энергий Как ни странно, но одними из первых монографий, посвященных систематическому применению СКМ в математическом моделировании были монографии Альфреда Грэя [31], [?], посвященные применению пакета Mthemtic к проблемам дифференциальной геометрии и теории обыкновенных дифференциальных уравнений Далее следует отметить монографию ВП Дьяконова, посвященную моделированию научно - технических задач с помощью пакета Mthemtic 4 [48], монографию ЧГ Эдвардса и ДЭ Пенни [49], посвященную моделированию краевых задач в пакете Mthemtic, цитированные выше монографию АВ Матросова [26], посвященную математическому моделированию задач механики, монографии ДП Голоскокова [21, 22], посвященные математическому моделированию задач математической физике в пакете Mple, и другие [50]- [59] Следует заметить, что пакет компьютерной математики Mple, начиная уже с самых ранних версий имеет несомненные преимущества в области 3Dграфики, особенно, интерактивной и динамической, по сравнению с пакетом «Mthemtic», и позволяет программными средствами решить указанные задачи 2 2 О сравнительных характеристиках систем «Mthemtic» и «Mple» см, например, [30, 32] 186

187 VIII1 Пакет MAPLE и принципы программирования в нем VIII1 Пакет Mple и принципы программирования в нем Обратим внимание на некоторые особенности пакета Mple, которые делаю этот пакет оптимальным для наших задач Во-первых, это непревзойденные возможности интерактивной графики, в частности, возможности покадрового создания 3-х мерной динамической интерактивной графики Вовторых, это весьма удобный для пользователя Mple-язык программирования, имеющий четкую логику, доступную не профессиональному программисту В-третьих, это возможность простыми способами создавать пакеты прикладных программ и встраивать их в систему Mple Кратко опишем эти особенности VIII2 Возможности динамической интерактивной 3dграфики пакета Mple Графические возможности последних версий пакета Mple достаточно подробно описаны в фундаментальной монографии ВП Дьяконова [23] В этой монографии возможностям и технике визуализации вычислений в пакете Mple посвящена обширная глава Помимо стандартных графических программных процедур ядра пакета Mple, ответственных за 2-мерную и 3-мерную графику, plot( и plot3d и имеющих около 50-ти необязательных опций, которыми можно регулировать изображением, пакет Mple имеет несколько специализированных графических библиотек, plots, PlottingGuide, plottools и др, значительно расширяющих графические возможности пакета Одна только библиотека plots содержит 60 графических программных процедур Для наших целей особенно важны возможности покадрового строительства динамической графики с помощью процедуры disply библиотеки plots, позволяющей создавать графические последовательности из любых объектов, в том числе, использовать в качестве объектов строковые переменные Последнее обстоятельство позволяет создавать цифровое оснащение динамической графике 187

188 Глава VIII Математическое моделирование и СКМ MAPLE VIII3 Принципы программирования в пакете Mple Последние версии СКМ Mple содержат около 4000 функций, в этом обилии функций одно из главных достоинств Mple Однако, программные возможности Mple позволяют значительно расширить и этот богатый ассортимент Для нас будут важны два формата задания функции пользователя В первом, наиболее близком к языку TurboPscl функция пользователя записывается в виде процедуры: >nme:=proc(x1,x2,,xn locl y1,y2,,ym: y1:=f1;y2:=f2: end proc: где nme имя процедуры; x1,x2, параметры процедуры, - внешние переменные; y1,y2, локальные переменные Второй, упрощенный, формат функции пользователя имеет вид: >nme:=(x1,x2,,xn->f(x1,x2,,xn: Язык программирования Mple имеет стандартные управляющие структуры в виде условных выражений и циклов В частности, условные выражения имеют структуру: 3 if <условие сравнения> then <элементы>: elif <условие сравнения> then <элементы>: else <элементы>: end if: Наиболее подробно основные принципы программирования в СКМ Mple описаны в цитированных выше книгах АВ Матросова [26] и ВП Дьяконова [23] VIII4 Создание пользовательских библиотек в пакете Mple Наиболее простым способом создания пользовательской библиотеки программных процедур, при котором она не встраивается в систему Mple, но всегда может быть вызвана, является следующая [23] 3 В более ранних версиях Mple условное выражение оканчивалось знаком fi вместо end if 188

189 VIII4 Создание пользовательских библиотек в пакете MAPLE Файл, содержащий библиотеку Nme, следует начать с образования пустой таблицы: >restrt: Nme:=tble(: Создаваемые процедуры Com_i библиотеки должны иметь следующий формат: >Nme[Com_i]:=proc(x,y, end proc: Библиотека сохраняется в виде файла c именем Filem с помощью процедуры: >sve(nme, Pth/Filem : После запуска программы она генерирует Filem по адресу Pth Указанный файл не открывается в текстовой моде, и поэтому содержимое его не доступно для просмотра Вызов библиотеки Nme производится процедурой: >restrt: red "YuDifEqutm"; Отметим следующий немаловажный замеченный факт: обращение к программной процедуре в библиотеке зачастую выполняется быстрее, чем непосредственное обращение к этой же программной процедуре в файле Этот эффект, по - видимому, вызван тем обстоятельством, что топология системы Mple устроена таким образом, что обращение к внутренним процедурам пакета производится быстрее, чем внешнее обращение 189

190 Глава IX Операции над векторами и матрицами в пакете Mple IX1 Задание векторов и матриц Существует несколько способов задания векторов и матриц в зависимости от специфики задачи, в которой применяются эти объекты Разберем простейший из них, задаваемой командой общего ядра Mple и служащий для ввода массива: >rry(1n,1m,[[1,2,],[b1,b2,], [c1,c2, ] ], где n, m размеры матрицы, вертикальный (количество строк и горизонтальный (количество столбцов, соответственно; в квадратных скобках перечисляются элементы каждой строки Можно записать и проще: >rry([[1,2,],[b1,b2,], [c1,c2, ] ] В частности, вектор можно задать командой типа: rry(1n,[1,2,] или rry([1,2,] Однако, вектор можно задать и просто упорядоченным списком: [1,2,,n] > restrt: A:=rry(14,[,b,c,d]; A := [ b c d ] > B:=rry(13,14,[[lph,bet,gmm,delt], [epsilon,zet,et,thet], [iot,kpp,lmbd,mu]]; 190

191 IX2 Извлечение массива B := α β γ δ ϵ ζ η θ ι κ λ µ > B1:=rry([[lph,bet,gmm,delt], [epsilon,zet,et,thet], [iot,kpp,lmbd,mu]]; > G:=[,b,c,d]; > G := [, b, c, d]; B1 := α β γ δ ϵ ζ η θ ι κ λ µ G := [, b, c, d] G := [, b, c, d] IX2 Извлечение массива Извлечение элемента массива (матрицы производится следующим образом: > A[2];B[2,3];G[4]; b η d Для извлечения столбца или строки матрицы применяются команды библиотеке linlg : col(a,k и row(a,i, гдеa матрица, k,i номера столбца Для вывода всей матрицы используется команда print(a: Пример 1: > linlg[col](b,2;linlg[row](b1,3; [ β ζ κ ] [ ι κ λ µ ] Команда rry имеет и необязательные параметры, которые можно вводить для упрощения записи ряда матриц: sprse при указании этого параметра элементы, не определенные элементы матрицы по умолчанию по- 191

192 Глава IX Операции над векторами и матрицами в пакете MAPLE лагаются равными нулю; symmetric, ntisymmetic - при указании этой опции не определенные элементыa k,i полагаются равными+a i,k (-A i,k : Пример 2: > f:=rry(13,13,symmetric,sprse; > f[1,1]:=-1:f[1,2]=4:f[2,2]:=-2:f[3,3]:=1: f := > f[2,3]; 0 IX3 Простейшие операции над векторами и матрицами В случаях, когда необходимо применить общую команду ко всем элементам массива или списка, применяется команда mp(команда, список общего ядра Mple: Пример 3: > v(x:=[x,x^2,x^3,x^4]; v (x := ( x, x 2, x 3, x 4 > dv(x:=mp(diff,v(x,x; dv (x := ( 1, 2 x, 3 x 2, 4 x 3 > Iv(x:=mp(int,dv(x,x; Iv (x := ( x, x 2, x 3, x 4 > V(t:=rry([cos(t,sin(t,t]; V (t := ( cos (t sin (t t > dv(t:=mp(diff,v(t,t; dv (t := ( sin (t cos (t 1 > D3V(t:=mp(diff,V(t,t$3; D3V (t := ( sin (t cos (t 0 Для умножения матрицы на число применяется команда sclrmul(a,mu библиотеки linlg, где A матрица, mu число: 192

193 IX3 Простейшие операции над векторами и матрицами Пример 4: > linlg[sclrmul](dv(t,sin(t; [ (sin (t 2 sin (t cos (t sin (t ] Для вычисления линейной комбинации матриц A и B одинаковой размерности с коэффициентами α иβ применяется команда mtdd библиотеки linlg : mtdd(a, B, lph, bet: Пример 5: > linlg[mtdd](b,b1,1,-1; Для транспонирования матрицы A применяется команда trnspose(a библиотеки linlg : Пример 6: > B_T:=linlg[trnspose](B; α ϵ ι β ζ κ B_T := γ η λ δ θ µ Для вычисления ранга матрицы A применяется команда rnk(a библиотеки linlg : Пример 7: > linlg[rnk](b1; 3 Для вычисления определителя матрицы A применяется команда det(a библиотеки linlg : Пример 8: 193

194 Глава IX Операции над векторами и матрицами в пакете MAPLE > S:=rry([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]; S := > linlg[det](s; 0 > 0; 0 Для нахождения матрицы, обратной к данной квадратной матрице A, применяется команда inverse(a библиотеки linlg : Пример 9: > R:=rry([[0,-1,2],[3,-5,2],[2,-1,1]]; R := > R_1:=linlg[inverse](R; 8 3/13 1/13 13 R_1 := 1/ /13 3/13 Произведение двух матриц A и B, первая из которых имеетm столбцов, а вторая -n строк, осуществляется с помощью команды multiply(a, B библиотеки linlg : Пример 10: > linlg[multiply](b, B_T; α 2 + β 2 + γ 2 + δ 2 α ϵ + β (ζ + γ η + δ θ α ι + β κ + γ λ + δ µ α ϵ + β (ζ + γ η + δ θ ϵ 2 + ζ 2 + η 2 + θ 2 ϵ ι + (ζ κ + η λ + θ µ α ι + β κ + γ λ + δ µ ϵ ι + (ζ κ + η λ + θ µ ι 2 + κ 2 + λ 2 + µ 2 194

195 IX4 Векторная алгебра IX4 Векторная алгебра Операции векторной алгебры, скалярное, векторное и смешанное произведения, осуществляются также с помощью библиотеки linlg : Скалярное: (b= dotprod(,b; (b= innerprod(,b; Векторное: [b]= crossprod(,b; Смешанное (,b,c = innerprod(,crossprod(b,c На наш взгляд, для вычисления скалярного произведения надежнее применять команду innerprod(,b чем dotprod(,b Разница между ними видна из дальнейшего на примере вычисления смешанного произведения Пример 11: > restrt: > :=[1,2,3];b:=[-7,4,1];c:=[x,y,z]; := [1, 2, 3] > linlg[dotprod](,b; > linlg[innerprod](,b; b := [ 7, 4, 1] c := [x, y, z] > linlg[crossprod](b,c; [ 4 z y x + 7 z 7 y 4 x ] > linlg[dotprod](,linlg[crossprod](b,c; conjugte (4 z y + 2 conjugte (x + 7 z + 3 conjugte (7 y 4 x > linlg[innerprod](,linlg[crossprod](b,c; 18 z 22 y 10 x 4 4 IX5 Собственные векторы Канонический, жордановский, вид квадратной матрицы A получается с помощью команды jordn(a, P библиотеки "linlg": Пример 12: > restrt: > A:=rry([[1,-1,0],[-1,1,1],[0,1,1]]; 195

196 Глава IX Операции над векторами и матрицами в пакете MAPLE A := > A_J:=linlg[jordn](A, P ; A_J := Собственные векторы и собственные значения матрицы A находятся с помощью команд eigenvectors(a и eigenvulues(a, соответственно: Пример 13: > L_A:=linlg[eigenvlues](A; > V_A := linlg[eigenvectors](a; L_A := 1, 1 + 2, 1 2 V _A := [1 + 2, 1, {[ ]} ], [1 2, 1, {[ ]} ], [1, 1, {[ ]} ] При этом запись ответа для операции eigenvectors(a имеет следующую форму: каждая квадратная скобка описывает параметры соответствующего собственного вектора: 1 величина - соответствующее собственное значение; 2 величина - кратность этого собственного значения; 3 - квадратная скобка - координаты соответствующего собственного вектора Заметим, что в случае кратных корней, внутри соответствующей квадратной скобки выписываются последовательно независимые собственные векторы, соответствующие кратному собственному значению Заметим также, что полученные собственные векторы не являются единичными Соответствующей информация извлекается из полученного списка следующим приемом: A[i][k], где i- порядковый номер собственного значения, k=1 соответствующее собственное значение, k=2 его кратность, k=3 координаты соответствующего собственного вектора: > V_A[1][1]; #Первое собственное значение > V_A[1][2]; #Его кратность > V_A[1][3]; #Собственный вектор {[ ]} 1 196

197 IX6 Построение пространственных фигур в пакете MAPLE > V_A[2][1]; #Второе собственное значение > V_A[2][2]; #Его кратность 1 2 > V_A[2][3]; #Собственный вектор {[ ]} Поскольку матрица A была симметричной, то собственные векторы должны быть автоматически ортогональны Проверим это: > linlg[innerprod](op(v_a[1][3],op(v_a[2][3]; 0 1 Здесь мы применили командуop(aдля извлечения вектора из-под скобки IX6 Построение пространственных фигур в пакете Mple >:=plots[spcecurve]([t,0,0],t=01,color=nvy: b:=plots[spcecurve]([0,t,0],t=01,color=nvy: c:=plots[spcecurve]([0,0,t],t=01,color=nvy: 1:=plots[spcecurve]([t,1,0],t=01,color=nvy: c1:=plots[spcecurve]([0,1,t],t=01,color=nvy: b2:=plots[spcecurve]([0,t,1],t=01,color=nvy: 2:=plots[spcecurve]([t,0,1],t=01,color=nvy: b3:=plots[spcecurve]([1,t,1],t=01,color=nvy: 3:=plots[spcecurve]([t,1,1],t=01,color=nvy: c3:=plots[spcecurve]([1,1,t],t=01,color=nvy: 4:=plots[spcecurve]([t,0,0],t=01,color=nvy: b4:=plots[spcecurve]([1,t,0],t=01,color=nvy: c4:=plots[spcecurve]([1,0,t],t=01,color=nvy: text:=plots[textplot3d]([[0,0,0,"a"],[0,1,0,"b"], [1,0,0,"D"],[1,1,0,"C"],[0,0,1,"A1"],[0,1,1,"B1"], [1,0,1,"D1"],[1,1,1,"C1"]],lign={LEFT,ABOVE},color=RED: >plots[disply](,b,c,1,c1,2,b2,b3,3,c3,b4,c4,text; 197

198 Глава IX Операции над векторами и матрицами в пакете MAPLE Построение куба в виде изобра- РисIX57 жений ребер >Sech:=plots[polygonplot3d]([[05,0,1],[0,05,1],[0,1,05], [05,1,0],[1,05,0],[1,0,05]],style=PATCHCONTOUR: plots[disply](,b,c,1,c1,2,b2,b3,3,c3,b4,c4,text,sech; 198

199 IX6 Построение пространственных фигур в пакете MAPLE РисIX58 Построение шестиугольного сечения куба с помощью команды polygonplot3d пакета plots 199

200 Литература [1] Игнатьев ЮГ Аналитическая геометрия Курс лекций I семестр Компьютерная версия, Казань, 2000 [2] Игнатьев ЮГ Аналитическая геометрия Курс лекций II семестр Компьютерная версия, Казань, 2001 [3] Игнатьев ЮГ Проективная геометрия Курс лекций III семестр Компьютерная версия, Казань, 2001 [4] Игнатьев ЮГ Аффинная геометрия Курс лекций II семестр Компьютерная версия, Казань, 1997 [5] АПНорден Дифференциальная геометрия, Москва, Учпедгиз, 1948 [6] АПНорден, Лекции по дифференциальной геометрии, Москва, Учпедгиз, 1965 [7] АПНорден, Краткий курс дифференциальной геометрии, Москва, Наука, 1962 [8] БАДубровин, СПНовиков, АТФоменко, Современная геометрия, Москва, Наука, 1979; Главы 1, 2 [9] Сборник задач и упражнений по дифференциальной геометрии, под редакцией ВТВоднева, Минск, Высшая школа, 1970 [10] ПКРашевский Риманова геометрия и тензорный анализ, М, Наука, 1964 [11] ЛПЭйзенхарт Риманова геометрия, M, ГИФМЛ, 1948 [12] Базылев ВТ, Дуничев КИ, Иваницкая ВП Геометрия II М, Просвещение, 1975 [13] Атанасян ЛС, Базылев ВТ Геометрия Часть II М, Просвещение,

201 Литература [14] Погорелов АВ Геометрия М, Наука, 1984 [15] Беклемишева ЛА, Петрович АЮ, Чубаров ИА Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре М, Наука, 1987 [16] Базылев ВТ, Дуничев КИ, Иваницкая ВП, Кузнецова ГБ, Майоров ВМ, Скопец ЗА Сборник задач по геометрии М, Просвещение, 1990 [17] Игнатьев, Юрий Геннадьевич Математическое и компьютерное моделирование фундаментальных объектов и явлений в системе компьютерной математики Mple: [лекции для школы по математическому моделированию] / Ю Г Игнатьев; Казан (Приволж федер ун-т, Ин-т математики и механики им Н И Лобачевского Казань: Казанский университет, с: http : //libwebksuru/ebooks/05 IMM/ pdf [18] Самарский А А, Михайлов А П Математическое моделирование: Идеи Методы Примеры 2-е изд, испр М: Физматлит, с [19] Введение в математическое моделирование: Учеб пособие / Под ред П В Трусова - М: Логос, с [20] Матросов АВ Mple 6 Решение задач высшей математики и механики СПб: БХВ-Петербург, 2001, 528 с [21] Голоскоков ДП Уравнения математической физики Решение задач в системе Mple СПб: Питер, 2004, 539 с [22] Голоскоков ДП Практический курс математической физики в системе Mple СПБ: ООО «ПаркКом» с [23] Дьяконов ВП Mple 95/10 в математике, физике и образовании М: Солон-Пресс, 2006, 720 с [24] Кирсанов МН Графы в Mple М: Физматлит с [25] Кирсанов МН Mple 13 и Mplet Решение задач механики М: Физматлит, 2010, 349 с [26] Матросов АВ Mple 6 Решение задач высшей математики и механики СПб: БХВ-Петербург с 201

202 Литература [27] Дьяконов ВП Mple 7: Учебный курс СПб: Питер с [28] Дьяконов ВП Mple 95/10 в математике, физике и образовании М: Солон-пресс с [29] Дьяконов ВП Компьютерная математика // Соровский образовательный журнал С [30] Аладьев ВЗ Основы программирования в Mple Таллинн: Международная Академия Ноосферы, с [31] Gry A Modern Differentil Geometry of Curves nd Surfces with Mthemtic, Second Edition New-York:CRC Press p [32] Аладьев ВЗ, Бойко ВК, Ровба ЕА Программирование в пакетах Mple и Mthemtic: Сравнительный аспект Гродно: Изд-во Гродненский госуниверситет, Беларусь, с [33] Игнатьев ЮГ Проблемы информационных технологий в математическом образовании Казань: Изд - во ТГГПУ, с [34] Розакова ЛИ Методы математического и компьютерного моделирования в СКМ Mple графических и анимационных материалов для школьных курсов математики // Вестник ТГГПУ, (21 С [35] Кирсанов МН Практика программирования в системе Mple - М: Издательский дом МЭИ с [36] Ignt ev YuG, Chepkunov EG The moving semibounded mgnetoctive plsm in field of plne grvittionl wve // Grvittion & Cosmology, Vol10, 2004г,No 4, p [37] Igntyev YuG, Alsmdi K A complect reltivistic kinetic model of symmetry violtion in n nisotropic expnding plsm II X-boson distribution function // Grvittion nd Cosmology, 2005, vol 11, No 4, p 363 [38] Igntyev YuG nd Miftkhov RF Sttisticl systems of prticles with sclr interction in cosmology // Grvittion nd Cosmology, Vol 12 (2006, No 2-3,

203 Литература [39] Igntyev YuG, Alsmdi K A complect reltivistic kinetic model of symmetry violtion in n nisotropic expnding plsm III Specific entropy clcultion // Grvittion nd Cosmology, 2007, vol 13, No 2, p 114 [40] Игнатьев ЮГ, Зиатдинов РА Асимптотическое приближение модели Фоккера-Планка космологической эволюции сверхтепловых ультрарелятивистских частиц при наличии скейлинга взаимодействий // Известия Вузов, сер Физика, 2009, т 42, No 2, с 87 [41] Игнатьев ЮГ, Эльмахи Н Динамическая модель сферических возмущений во вселенной Фридмана III Автомодельные решения // Известия Вузов, серфизика, 2008, т 42, 1, с 69 [42] Igntyev YuG, Igntyev DYu Kinetics of the nonequilibrium Universe III Stbility of Nonequilibrium Scenrio // Grvittion nd Cosmology, 2008, vol 14, No 4, p [43] Igntyev YuG, Agfonov AA Bremsstrhlung Response of Homogeneous Mgnetoctive Plsm to Grvittionl Wve // Grvittion nd Cosmology, Grvittion nd Cosmology, 2010, Vol 16, No 1 p16-24 [44] Игнатьев ЮГ Релятивистская кинетика неравновесных процессов в гравитационных полях - Казань: Фолиант с [45] Игнатьев ЮГ Использование аналитических возможностей пакета Mple для создания программ аналитического тестирования, самотестирования и генерации индивидуальных заданий в курсах высшей математики // В сб «Проблемы информационных технологий в математическом образовании» под ред ЮГ Игнатьева Казань: Изд-во ТГГПУ с 9-24 [46] Адиятуллина ГР Система аналитического тестирования в форме маплетов //Системы компьютерной математики и их приложения Смоленск: Изд-во СмолГУ 2010 Вып 11 с 5-8 [47] Адиятуллина ГР, Игнатьев ЮГ Принципы моделирования системы аналитического тестирования знаний на основе системы компьютерной математики Mple // Вестник ТГГПУ, 2010, вып 2(20 с 6-12 [48] Дьяконов ВП Mthemtic 41/42/50 в математических и научно - технических расчетах М: СОЛОН-Пресс 2004 Аннотация 628с 203

204 [49] Эдвардс Чарльз Генри, Пенни Дэвид Э Дифференциальные уравнения и краевые задачи: моделирование и вычисление с помощью Mthemtic, Mple и MATLAB 3-е издание Киев: Диалектика- Вильямс с [50] Тан К Символьный С ++: Введение в компьютерную алгебру с использованием объектно - ориентированного программирования М: Мир c [51] Семененко М Математическое моделирование в MthCd М: Альтекс-А с [52] Бертяев ВД Теоретическая механика на базе Mthcd Практикум С-Пб: БХВ-Петербург с [53] Поршнев ДС Компьютерное моделирование физических процессов с использованием пакета Mthcd Учебное пособие М: Горячая линия - Телеком с [54] Глушаков С, Жакин И, Хачиров Т Математическое моделирование Mthcd 2000 Mtlb 53 М: АСТ с [55] Каганов В Радиотехника + компьютер + Mthсd М:Горячая линия - Телеком с [56] Шестаков Н, Власов А Расчеты процессов обработки металлов давлением в среде Mthcd Учебное пособие М:МГИУ с [57] Панько М Расчет и моделирование автоматических систем регулирования в среде Mthcd М: Изд-ство МЭИ с [58] Очков В Физические и экономические величины в Mthcd и Mple М: Финансы и статистика с [59] Тарасевич Ю Математическое и компьютерное моделирование Вводный курс М: Едиториал-УРСС с

205 На этом диске: 1 Mple-пособия по работе в Mple 2 TeX-пособия по работе в LTeX 3 Возможность работы в Mple 55 прямо с CD 4 Установка Mple 8 5 Установка MikTeX 6 Текстовые пособия по: - Дифференциальным уравнениям - Дифференциальной геометрии - Римановой геометрии - Теоретической механике - Теории гравитации - По работе в LTeX - По пакету Mple Информационные технологии в математике и ее Проф ЮГИгнатьев 2004г На этомпрофессор диске: ЮГИгнатьев Sfz Казань КГПУ 2004г Удобная система работы и ссылок! На этом диске: 1 Mple-пособия по работе в Mple 2 TeX-пособия по работе в LTeX 3 Возможность работы в Mple 55 прямо с CD 4 Установка Mple 8 5 Установка MikTeX 6 Оригинальные Mple-методики исследований профессора Игнатьева 7 Текстовые пособия по: - Дифференциальным уравнениям - Дифференциальной геометрии - Римановой геометрии - Теоретической механике - Теории гравитации - По работе в LTeX - По пакету Mple 8 Полные версии дипломных работ 9 Оригинальные научные статьи Удобная система работы и ссылок! Компакт-диск для дипломников математика и ее Проф ЮГИгнатьев 2003г Профессор ЮГИгнатьев Sfz Казань КГПУ 2003г

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРЫ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРЫ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРЫ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Гомель, 2007 Содержание Тема 1. Векторы и линейные операции над ними 5 1.1 Предмет,

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов План лекции Ориентация векторного базиса в пространстве Определение векторного произведения двух векторов Свойства векторного произведения 4 Вычисление векторного

Подробнее

Гольдман М.Л. Сивкова Е.О.

Гольдман М.Л. Сивкова Е.О. Аналитическая геометрия М. Л. Гольдман Е. О. Сивкова Москва 014 ББК М УДК Рецензенты: Научный редактор: Гольдман М. Л., Сивкова Е. О. Аналитическая геометрия. Учебное пособие/ Федеральное государственное

Подробнее

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова Е. В. Мартынова, И. П. Мурзина, Т. М. Степанюк,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по учебному предмету: «Геометрия» на учебный год

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по учебному предмету: «Геометрия» на учебный год Муниципальное общеобразовательное автономное учреждение г. Бузулука «Средняя общеобразовательная школа 8» РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по учебному предмету: «Геометрия» на 206-207 учебный год Класс : 0- Количество

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ (АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ) ЧАСТЬ ПЕРВАЯ Составил

Подробнее

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ, АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ МОЛДОВА И В БЕЛОУСОВ МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ учебное пособие по линейной алгебре Издание второе, исправленное и дополненное Кишинев: 2006 УДК 519612

Подробнее

Векторы в физике. Содержание. И. В. Яковлев Компания «Ваш репетитор» 1 Скалярные и векторные величины 2

Векторы в физике. Содержание. И. В. Яковлев Компания «Ваш репетитор» 1 Скалярные и векторные величины 2 И. В. Яковлев Компания «Ваш репетитор» Векторы в физике Содержание 1 Скалярные и векторные величины 2 2 Сложение векторов 4 2.1 Правило треугольника.................................. 4 2.2 Правило параллелограмма................................

Подробнее

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1.

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1. 1 Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Специализированный учебно-научный центр ГОУ лицей 1580. Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, 2014-2015 учебный

Подробнее

ПОСОБИЕ ПО АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ (для физических специальностей педагогических вузов)

ПОСОБИЕ ПО АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ (для физических специальностей педагогических вузов) ПОСОБИЕ ПО АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ (для физических специальностей педагогических вузов) вопросы и задачи по алгебре и геометрии применение методов алгебры и геометрии при решении задач физического содержания

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Гущин Д. Д. ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Проверяемые элементы содержания и виды деятельности: владение понятиями треугольник, четырехугольник,

Подробнее

«ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ»

«ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

Лекция 18: Ортонормированный базис

Лекция 18: Ортонормированный базис Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Ортогональные и ортонормированные наборы векторов Из определения угла между векторами

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

Тема 2-1: Линейные пространства

Тема 2-1: Линейные пространства Тема 2-1: Линейные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины А. В. БУЗЛАНОВ, С. Ф. КАМОРНИКОВ, В. С. МОНАХОВ АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ.

Подробнее

Теорема Пифагора утверждает, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов. c 2 = a 2 + b 2

Теорема Пифагора утверждает, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов. c 2 = a 2 + b 2 Теорема Пифагора Формулировка Теорема Пифагора утверждает, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов. c 2 = a 2 + b 2 Другими словами, площадь квадрата, построенного

Подробнее

Программа вступительного экзамена по математике

Программа вступительного экзамена по математике Программа вступительного экзамена по математике Программа составлена на основе Федерального компонента государственного стандарта основного общего и среднего (полного) общего образования (приказ Минобразования

Подробнее

Содержание: Линейная алгебра. Основные определения. Основные действия над матрицами. Транспонированная матрица. Определители. Дополнительный минор.

Содержание: Линейная алгебра. Основные определения. Основные действия над матрицами. Транспонированная матрица. Определители. Дополнительный минор. Содержание: Линейная алгебра. Основные определения. Основные действия над матрицами. Транспонированная матрица. Определители. Дополнительный минор. Элементарные преобразования. Миноры. Алгебраические дополнения.

Подробнее

Векторная алгебра и ее приложения

Векторная алгебра и ее приложения м Векторная алгебра и ее приложения для студентов и аспирантов математических, физических и технических специальностей м МГ Любарский Этот учебник возник на основе лекций по высшей математике, которые

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ 1. Числовые множества. Арифметические действия над числами. Натуральные числа (N).

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 3. Аналитическая геометрия на плоскости 1. Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(4; 1) a) параллельно прямой

Подробнее

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ ФГБОУ ВПО «ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Персиановский

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки РФ Российский государственный университет нефти и газа имени И М Губкина Кафедра высшей математики СИ ВАСИН, ВИ ИВАНОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебно-методическое пособие

Подробнее

Лекция 17: Евклидово пространство

Лекция 17: Евклидово пространство Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания При решении многих задач возникает необходимость иметь числовые

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) Федеральный Университет» Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Учебное пособие.

Подробнее

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Настоящая программа по геометрии для 0 класса составлена на основе Федерального компонента Государственного стандарта среднего общего образования (приказ МОиН РФ от 05.03.2004г. 089),

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты:

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты: ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты: Содержание программы 1. Числа, корни и степени. Числовые последовательности Натуральные числа. Простые

Подробнее

Факультативно. Ковариантная форма физических законов.

Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Ковариантность и контравариантность. Слово "ковариантный" означает "преобразуется так же, как что-то", а слово "контравариантный" означает "преобразуется

Подробнее

Лекция 5: Определители

Лекция 5: Определители Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии уже говорилось об определителях

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ НА ОБУЧЕНИЕ ПО ПРОГРАММАМ БАКАЛАВРИАТА И ПРОГРАММАМ СПЕЦИАЛИТЕТА

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ НА ОБУЧЕНИЕ ПО ПРОГРАММАМ БАКАЛАВРИАТА И ПРОГРАММАМ СПЕЦИАЛИТЕТА Минобрнауки России Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сыктывкарский государственный университет имени Питирима Сорокина» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Первый семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Первый семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» МП Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Первый семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

Рабочая программа учебного предмета. «Геометрия» классов. Срок реализации:10 класс учебный год

Рабочая программа учебного предмета. «Геометрия» классов. Срок реализации:10 класс учебный год Приложение к основной образовательной программе среднего общего образования МБОУ «Сергачская СОШ 1» утвержденной приказом директора 27.08.2015 г. 64-о Рабочая программа учебного предмета «Геометрия» 10-11

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

Лекция 14: Линейный оператор

Лекция 14: Линейный оператор Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к рассмотрению функций из векторного

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Векторы в пространстве и метод координат. Задача C2

Векторы в пространстве и метод координат. Задача C2 А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru Векторы в пространстве и метод координат. Задача C Существует два способа решения задач по стереометрии. Первый классический

Подробнее

Лекция 1: Комплексные числа

Лекция 1: Комплексные числа Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В школьном курсе математики понятие числа постепенно расширяется.

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А. И. МАДУНЦ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Подробнее

базисы в то эти базисы называются гомотетичными. Отношение гомотетичности базисов будем обозначать

базисы в то эти базисы называются гомотетичными. Отношение гомотетичности базисов будем обозначать Лекция 2 Тема: Понятие проективного репера и проективных координат точки Построение точки по ее координатам на модели проективной прямой и плоскости Преобразование проективных координат План лекции 1 Понятие

Подробнее

Лекция 11: Обратная матрица

Лекция 11: Обратная матрица Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение обратной матрицы Определение Пусть A произвольная матрица. Матрица B называется

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Поверхности второго порядка. Определение функции х переменных. Геометрическая интерпретация. Частные приращения функции. Частные производные.

Подробнее

С.р.2 углов. Изображать с помощью чертёжных инструментов геометрические фигуры: 4 Смежные и

С.р.2 углов. Изображать с помощью чертёжных инструментов геометрические фигуры: 4 Смежные и Название темы Колво часов Приложение к рабочей программе по геометрии Учебно-тематический план Геометрия 7 класс ( часа в неделю, всего 70 часов) Характеристика деятельности обучающихся Глава. Простейшие

Подробнее

Перевод на «язык равенств и неравенств»

Перевод на «язык равенств и неравенств» Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Перевод на «язык равенств и неравенств» Раздел электронного пособия «Элементарная математика» e-mail:

Подробнее

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 2. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 2. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 2. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Гомель, 2007 Содержание Тема 1. Эллипс 4 1.1 Эллипс и его каноническое уравнение............

Подробнее

Кафедра высшей математики ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ МАТЕМАТИКА. Модуль Алгебра и геометрия. Направление подготовки Программная инженерия

Кафедра высшей математики ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ МАТЕМАТИКА. Модуль Алгебра и геометрия. Направление подготовки Программная инженерия Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и человека «Дубна» (университет «Дубна») Кафедра высшей

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ для студентов экономических специальностей I КУРС (МОДУЛЬ 1 2)

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ для студентов экономических специальностей I КУРС (МОДУЛЬ 1 2) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ СН Кузнецова, М В

Подробнее

Определение 9.2. Назовем трехкратным интегралом от функции f(x, y, z) по области V выражение вида:

Определение 9.2. Назовем трехкратным интегралом от функции f(x, y, z) по области V выражение вида: Лекция 9. Вычисление тройного интеграла. Криволинейные системы координат. Якобиан и его геометрический смысл. Замена переменных в кратных интегралах. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам

Подробнее

Тема 1: Системы линейных уравнений

Тема 1: Системы линейных уравнений Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп.

Подробнее

Пояснительная записка.

Пояснительная записка. Пояснительная записка. Данная рабочая программа по геометрии для 11 социально-гуманитарного класса составлена в соответствии с федеральным компонентом государственного образовательного стандарта среднего

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств Раздел электронного учебника

Подробнее

Определенный интеграл. Графический смысл перемещения.

Определенный интеграл. Графический смысл перемещения. Определенный интеграл. Графический смысл перемещения. Если тело движется прямолинейно и равномерно, то для определения перемещения тела достаточно знать его скорость и время движения. Но как подойти к

Подробнее

1.5. Виды контроля: текущий - выполнение самостоятельных работ промежуточный выполнение контрольных работ, коллоквиумы итоговый зачет

1.5. Виды контроля: текущий - выполнение самостоятельных работ промежуточный выполнение контрольных работ, коллоквиумы итоговый зачет . Пояснительная записка.. Требования к студентам Студент должен обладать следующими исходными компетенциями: базовыми положениями математических и естественных наук владеть навыками самостоятельной ы самостоятельно

Подробнее

Глава 3. Определители

Глава 3. Определители Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором

Подробнее

Лекция 2. Инварианты плоских кривых

Лекция 2. Инварианты плоских кривых Лекция 2. Инварианты плоских кривых План лекции. Гладкие кривые на плоскости, число вращения, классификация кривых с точностью до гладкой гомотопии, точки самопересечения, число Уитни, теорема Уитни..1

Подробнее

Летняя школа специализированного учебно-научного центра. Методическое пособие

Летняя школа специализированного учебно-научного центра. Методическое пособие Летняя школа специализированного учебно-научного центра Методическое пособие Екатеринбург 2014 ЛЕТНЯЯ ШКОЛА (2014г) П р о г р а м м а Алгебра 1. Метод интервалов на прямой. 2. Метод областей на плоскости.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств Раздел электронного учебника

Подробнее

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ЕН.Ф.01 «МАТЕМАТИКА»

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ЕН.Ф.01 «МАТЕМАТИКА» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» (ТГПУ) ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ЕН.Ф.01

Подробнее

Пояснительная записка целей: Место предмета в федеральном базисном учебном плане СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ

Пояснительная записка целей: Место предмета в федеральном базисном учебном плане СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ Пояснительная записка Программа направлена на достижение следующих целей: овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения практической деятельности изучения смежных дисциплин,

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я линейная зависимость и независимость векторов

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я линейная зависимость и независимость векторов А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я линейная зависимость и независимость векторов ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

Лекция 12: Ранг матрицы

Лекция 12: Ранг матрицы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы

Подробнее

Пояснительная записка к рабочей программе. по геометрии в 10 классе

Пояснительная записка к рабочей программе. по геометрии в 10 классе Пояснительная записка к рабочей программе по геометрии в 0 классе Всего 2 часа в неделю 72 часа в год. Рабочая программа составлена на основе следующих документов: o Федерального компонента государственного

Подробнее

Рабочая программа по геометрии

Рабочая программа по геометрии Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 3 города Пудожа Рассмотрено на заседании МО математики и информатики Протокол 1 от 29.08.2016 Руководитель МО Купцова

Подробнее

Программа к вступительному испытанию по общеобразовательному предмету «Математика» при поступлении в Сыктывкарский лесной институт в 2016 году

Программа к вступительному испытанию по общеобразовательному предмету «Математика» при поступлении в Сыктывкарский лесной институт в 2016 году Программа к вступительному испытанию по общеобразовательному предмету «Математика» при поступлении в Сыктывкарский лесной институт в 2016 году Программа предназначена для подготовки к массовой письменной

Подробнее

Пояснительная записка Предлагаемая программа по геометрии составлена на основе методических материалов, представленных в сборнике Примерное планирован

Пояснительная записка Предлагаемая программа по геометрии составлена на основе методических материалов, представленных в сборнике Примерное планирован Московский Институт открытого образования Средняя школа 179 МИОО Разработано и согласовано Председатель МОМИ школы 179 МИОО /Константинов Н.Н./ Учебная программа по предмету Геометрия для классов с углубленным

Подробнее

10 класс Повторение планиметрии

10 класс Повторение планиметрии Учебное пособие по геометрии 10 класс Повторение планиметрии (задачи в картинках) Для учащихся Лицея 1502 при МЭИ І полугодие Краткое содержание 1. Программа коллоквиума по «Планиметрии». 2. Содержание

Подробнее

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа вступительного испытания. по математике

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа вступительного испытания. по математике Федеральное государственное автономное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа вступительного испытания по математике

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ МИНОБРНАУКИ РОССИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Новосибирский государственный университет экономики и управления «НИНХ» (ФГБОУ ВО «НГУЭУ», НГУЭУ)

Подробнее

7. Подпространства линейного пространства Линейные оболочки Ранг матрицы и размерность линейной оболочки ее столбцов.

7. Подпространства линейного пространства Линейные оболочки Ранг матрицы и размерность линейной оболочки ее столбцов. Содержание Гл.. Основные понятия. 3. Что такое линейная алгебра?...................... 3 2. Числовые поля.............................. 3 3. Линейная зависимость столбцов и строк................ 4 4. Ранг

Подробнее

Рабочая программа составлена для учащихся 7-9 классов, рассчитана на 220 часов (68 часа в год, 2 часа в неделю).

Рабочая программа составлена для учащихся 7-9 классов, рассчитана на 220 часов (68 часа в год, 2 часа в неделю). ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Нормативная база преподавания предмета Рабочая программа по геометрии для 7-9 класса составлена на основании следующих нормативноправовых документов: 1. Федерального компонента государственного

Подробнее

Глава 5 ПЛОЩАДИ, УГЛЫ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 5.1. ПЛОЩАДИ

Глава 5 ПЛОЩАДИ, УГЛЫ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 5.1. ПЛОЩАДИ Глава 5 ПЛОЩАДИ, УГЛЫ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 5.. ПЛОЩАДИ 5... Понятие площади. Площади подобных фигур. Площадь треугольника (выражение через основание и высоту и формула Герона) и трапеции. Важным геометрическим

Подробнее

Аннотация к рабочей программе по «Геометрии» класс

Аннотация к рабочей программе по «Геометрии» класс Аннотация к рабочей программе по «Геометрии» 10-11 класс Рабочая программа по математике составлена на основе следующих нормативных документов: 1. Образовательная программа общеобразовательного учреждения

Подробнее

Линейная алгебра и функции многих переменных

Линейная алгебра и функции многих переменных Линейная алгебра и функции многих переменных В. С. Булдырев Б. С. Павлов 9 февраля 22 г. 2 Часть I Линейная алгебра 3 Глава 1 Линейное пространство Эта глава служит введением в теорию линейных пространств.

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Т А Матвеева В Б Светличная С А Зотова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

Тема6. «Определенный интеграл»

Тема6. «Определенный интеграл» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема6. «Определенный интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б.Дуниной

Подробнее

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ТЕХНИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (на базе

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Министерство образования и науки Российской Федерации. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет» МАТЕМАТИКА Методические

Подробнее

15. Гильбертовы пространства

15. Гильбертовы пространства 5 Гильбертовы пространства Гильбертово пространство линейное нормированное пространство, со скалярным произведением из или, полное относительно нормы, порожденным скалярным произведением Рассмотрим случай

Подробнее

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение городского округа Тольятти «Школа с углубленным изучением отдельных предметов 61»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение городского округа Тольятти «Школа с углубленным изучением отдельных предметов 61» Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение городского округа Тольятти «Школа с углубленным изучением отдельных предметов 61» Рабочая программа принята решением Педагогического совета МБУ «Школа

Подробнее

4. Сценарии уроков Сценарии уроков раздела "Введение" Урок 1. Первые теоремы о треугольниках (пункт 1 Введения)

4. Сценарии уроков Сценарии уроков раздела Введение Урок 1. Первые теоремы о треугольниках (пункт 1 Введения) 4. Сценарии уроков В рубриках Цели урока, которыми мы начинаем сценарии, сначала в п. 1) говорится о содержании урока, затем следует п. 2) Познакомить учащихся с возможностями компьютера в изучении геометрии,

Подробнее

Пояснительная записка Целью задачи имеет представление о умеет

Пояснительная записка Целью задачи имеет представление о умеет Пояснительная записка Данная рабочая программа составлена на основе Примерной программы среднего (полного) общего образования по математике (геометрия), авторской программы Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов,

Подробнее

ОБ УГЛАХ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ И НЕМНОГО О ПРОЧИХ УГЛАХ

ОБ УГЛАХ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ И НЕМНОГО О ПРОЧИХ УГЛАХ АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ 9 ВИРыжик ОБ УГЛАХ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ И НЕМНОГО О ПРОЧИХ УГЛАХ Окончание Начало см в 3 за 2008 г Задачи на вычисление угла между скрещивающимися прямыми Ясно, что установление

Подробнее

Решение задач (по выбору учителя) Контрольная работа (МИЭТ) по разделу БДЗ по разделу (по выбору) Числовые функции.

Решение задач (по выбору учителя) Контрольная работа (МИЭТ) по разделу БДЗ по разделу (по выбору) Числовые функции. Приложение 2.5.2. Примерное планирование курса «Алгебра и начала математического анализа» Учебник. 1. А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. Алгебра и начала математического анализа (профильный уровень). 10 класс

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ В пособии не излагается теория чисел а дан минимальный инструментарий из этой теории который в дальнейшем потребуется для изучения криптографических систем используемых

Подробнее

Рабочая программа по геометрии КЛАССЫ

Рабочая программа по геометрии КЛАССЫ Согласовано зам. директора по УР Г.И. Беликова Утверждаю директор МКОУ «Борятинская СОШ» Е.А.Мартынова 20 г. муниципальное казенное образовательное учреждение «Борятинская средняя общеобразовательная школа»

Подробнее