Приближенные формулы, описывающие профили лежащих и висящих капель в случаях малых чисел Бонда и сильной смачиваемости

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Приближенные формулы, описывающие профили лежащих и висящих капель в случаях малых чисел Бонда и сильной смачиваемости"

Транскрипт

1 Журнал технической физики, 6, том 86, вып. Приближенные формулы, описывающие профили лежащих и висящих капель в случаях малых чисел Бонда и сильной смачиваемости Е.В. Галактионов, Н.Е. Галактионова, Э.А. Тропп Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе, 94 Санкт-Петербург, Россия Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, 955 Санкт-Петербург, Россия Поступило в Редакцию 5 мая 6 г.) Даны вариационные постановки задач о лежащей и висящей каплях с учетом силы тяжести в осесимметричном случае. Получены приближенные формулы, описывающие профили поверхностей этих капель при малых числах Бонда асимптотическим методом, а при условии сильной смачиваемости методом линеаризации. Введение Результаты теоретического исследования профиля поверхности жидкой капли малого объема на твердой поверхности при наличии зоны трехфазного контакта представляют ценную информацию для решения многих научных и технологических проблем []. Задачи о равновесии капиллярных поверхностей являются базой для изучения формы жидких менисков в процессе роста кристаллов по способу Степанова []. Как известно, использование вариационной постановки задачи позволяет получить и дифференциальные уравнения, и граничные условия естественные условия экстремума функционала). В своей монографии [] Н.М. Гюнтер пишет:...вариационная постановка задачи способствует обнаружению законов, управляющих явлением. В работе [4] сформулирована вариационная постановка основных задач этого класса: капля на твердой поверхности, капля на капле другой жидкости, капля с частично ограненной поверхностью. В работах [,5,6] проведено исследование задачи о капле, лежащей на твердой поверхности с учетом действия силы тяжести, кроме того, в [] рассмотрена и задача о висящей капле. В [5] с помощью метода линеаризации получены приближенные формулы, описывающие профиль лежащей капли при условии сильной смачиваемости в декартовых координатах для бесконечной балки с сечением в виде профиля капли). В настоящей работе рассматрены осесимметричные задачи о лежащей и висящей каплях в цилиндрических координатах с учетом силы тяжести, даны их вариационные постановки. Построены приближенные решения этих задач для случая малых чисел Бонда найдено нулевое и первое приближения асимптотического разложения). При условии сильной смачиваемости методом линеаризации получены приближенные формулы, справедливые для любого значения числа Бонда. Построена асимптотика решений при угле смачивания, стремящемся к нулю. Исследование таких задач актуально для изучения процессов, имеющих место при затравлении кристаллов, выращиваемых из расплава []. Лежащая капля. Постановка задачи Рассмотрим случай капли лежащей на твердой поверхности при наличии трех фаз и с учетом силы тяжести рис. ). Ввиду осевой симметрии будем решать задачу о нахождении профиля капли в цилиндрической системе координат. Область, занимаемая каплей на твердой поверхности, представляет собой круг радиуса r r искомая величина). Объем капли заданная величина V и, следовательно, I {u r)} = π r u r)rr = V, ) где u r) искомая функция, описывающая профиль поверхности лежащей капли. Будем рассматривать только случай однозначной функции u r). z x, y Рис.. Капля, лежащая на твердой поверхности. твердая среда, жидкая, газообразная; θ угол смачивания. 7

2 8 Е.В. Галактионов, Н.Е. Галактионова, Э.А. Тропп Введем в рассмотрение функционал, включающий в себя поверхностную энергию и энергию силы тяжести. Поверхностная энергия в свою очередь состоит из части, соответствующей свободной поверхности капли, и части, соответствующей контакту жидкости с твердым телом. Таким образом, следуя [5], функционал можно записать в виде J {u r)} = π r {α + u ) +α α + } gρu rr, ) где α i j поверхностные натяжения между различными средами: твердой ), жидкой ) и газообразной ), g ускорение силы тяжести, ρ плотность жидкости. Итак, надо найти экстремум функционала ) при условии, что функционал ) принимает заданное значение, т. е. приходим к изопериметрической задаче [] со свободной границей r искомая величина). Для ее решения необходимо минимизировать функционал где J +λ I = r H r, u r), u r)) = π H r, u r), u r) ) r, ) {α + u ) +α α + gρu +λ u }r. Уравнение Эйлера для функционала ) будет иметь вид α ru ) = gρru r + u +λ r. 4) ) Кроме условия постоянства объема ) при этом должны еще выполняться условия u r ) =, u ) = 5) и условие трансверсальности [] { } H u H u =, r=r которое с учетом первого из условий 5) дает известное соотношение, связывающее угол смачивания и поверхностные натяжения в точке контакта трех фаз cosθ + u ) r=r = α α α α. 6) Наличие условия трансверсальности связано с тем, что решается вариационная задача с подвижной границей точка с координатами r,) может двигаться по оси абсцисс). Ввиду предположения об однозначности функции, описывающей профиль капли, угол θ не должен превосходить 9 и правая часть 6) положительна. Приведем задачу к безразмерному виду c помощью введения следующих масштабов: ξ = r V /, w = u V /, λ = λv / α V / характерный размер капли) и введем обозначение B = gρv/. α Безразмерная постоянная B число Бонда см. []). В новых переменных задача будет иметь следующий вид: уравнение Эйлера условия ξw ξ) ) + = B ξw ξ) + λ ξ, 7) w ξ)) ξ w ξ)ξ = π, 8) w ξ ) =, w ) =, 9) + w ) ξ=ξ = α, ) где ξ значение новой независимой переменной, соответствующее значению r. Лежащая капля. Асимптотический метод Построим решение задачи о лежащей капле для случая малых чисел Бонда. Малые числа Бонда соответствуют жидким каплям малого объема, например, для случая капли расплава Al O [] число Бонда меньше., если диаметр капли меньше двух миллиметров. Итак, пусть B малый параметр задачи 7) ). Будем искать решение в виде ряда по степеням малого параметра B : w ξ) = w ξ) +w ξ)b +w ξ)b +... Искомые величины ξ, λ также будем искать в виде разложений по степеням B : ξ = ξ +ξ B +ξ B +..., λ = λ + λ B + λ B +... Журнал технической физики, 6, том 86, вып.

3 Приближенные формулы, описывающие профили лежащих и висящих... 9 Подставив эти разложения в уравнение 7) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра B в левых и правых частях, получим ξw ξ) ) = λ + w ξ, ) ξ)) ξw ξ) ) [ + w ξ) ) ] / = w ξ)ξ + λ ξ ) уравнения нулевого и первого приближений соответственно. Условие постоянства объема капли условие 8)) даст в этих приближениях следующие условия: ξ ξ w ξ)ξ = π, ) w ξ)ξ +w ξ )ξ ξ =. 4) Первое из условий 9) даст в нулевом и первом приближениях соответственно w ξ ) =, 5) w ξ ) +w ξ )ξ =. 6) Второе из условий 9) даст в нулевом и первом приближениях соответственно w ) =, 7) w ) =. 8) И наконец, четвертое условие условие )) даст, соответственно + w ξ ) ) = α, 9) w ξ ) +w ξ )ξ =. ) Таким образом, получили задачу нулевого приближения ), ), 5), 7), 9) и задачу первого приближения ), 4), 6), 8), ). Решив задачу нулевого приближения, получим { π α ) λ } / +α ) =, ξ = λ ) α, ) а профиль лежащей капли в нулевом приближении будет определяться выражением ) w ξ) = λ ) α.5 λ ξ. ) Перейдем к решению задачи первого приближения. В результате получим систему двух линейных алгебраических уравнений для определения λ и ξ : λ = ξ [ α ξ π ], ) ξ = 4π α )/ +α ) [ λ λ +4α 4]. 4) Решив эту систему, найдем λ и ξ : λ = α +α )α )[ λ +π α ) +α )ξ ], ξ = [ λ +4π α )ξ ] { } π α [ λ +π α ) +α )ξ ], а первая поправка для профиля лежащей капли будет иметь вид α ) λ w ξ)= ξ + {.5 λ ξ) α α ) 4 α.5 λ ξ) λ λ +α ) )} +.5 λ ξ) +4ln. +α 5) Тогда приближенная формула, описывающая форму поверхности лежащей капли с точностью до членов второго порядкамалостиотносительночисла Бонда B, может быть записана в следующей форме: w ξ) = w ξ) +w ξ)b. 6) Лежащая капля. Метод линеаризации Построим решение задачи о лежащей капле задачу 7) )) для случая сильной смачиваемости методом линеаризации. Условие ) перепишем в виде α w ξ ) = γ. 7) α Другими словами, рассмотрим случай γ. 8) Тогда уравнение 7) можно заменить на линеаризованное уравнение ) ξw ξ) = B ξw ξ) + λ ξ. 9) Журнал технической физики, 6, том 86, вып.

4 Е.В. Галактионов, Н.Е. Галактионова, Э.А. Тропп Общее решение этого уравнения имеет вид w ξ) = C I B ξ) + C K B ξ) λ B, ) где C и C произвольные постоянные. С учетом второго из условий 9) получим C = и, следовательно, w ξ) = C I B ξ) λ, w B ξ) = C B I B ξ). ) Отсюда с учетом условия 7) и первого из условий 9) находим γ C = B I B ξ ), ) C I B ξ ) = λ B. ) Из ) с учетом ) получим выражение для нахождения множителя Лагранжа λ, а именно λ = γ B I B ξ ) I B ξ ). 4) Осталось найти ξ. Подставим в 8) выражение для w ξ) из ) и, выполнив интегрирование, получим трансцендентное уравнение для нахождения величины ξ : { I } B ξ ) I B ξ ξ = B. 5) B ξ ) πγ Решив это уравнение, найдем ξ, далее по формуле 4) определим λ, а по формуле ) C. Приближенную формулу для профиля лежащей капли, полученную в результате первого шага процесса линеаризации, даст ). Далее, подставим полученное нулевое приближение для функции w ξ) в знаменатель левой части уравнения 7). Получим линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка для нахождения следующего приближения процесса линеаризации и повторим весь процесс, описанный выше. Таков алгоритм процесса линеаризации для случая капли, лежащей на твердой поверхности. Рассмотрим случай γ = нулевой угол смачивания). В этом случае для ξ < + из ) следует C =, из ) λ = и ) дает w ξ), но условие 8) при этом не выполняется и w ξ) не есть решение исходной задачи. Построим асимптотику решения задачи первого шага процесса линеаризации при γ. Из трансцендентного уравнения 5) видно, что при γ + необходимо ξ +, а из асимптотики модифицированных функций Бесселя при больших значениях аргумента следует, что I B ξ ) I B ξ ) +. ξ + Главным членом в левой части уравнения 5) при этом будет член B ξ, следовательно, ξ D / γ, где постоянная D = B ) /4 / π. Далее, после того как найдена асимптотика значения ξ при γ +, выражения ) и 4) дадут асимптотику величин C, λ, а именно π) /4 C B ) /8 exp B ) /4 / )γ ) /4, λ B γ πγ при γ +. Следовательно, асимптотика при γ + для профиля лежащей капли после первого шага процесса линеаризации будет иметь вид π) /4 γ ) /4 w ξ) B ) /8 expb ) /4 / πγ ) I B ξ ) + γ. B Видно, что максимум модуля асимптотического представления решения в каждой точке линейно стремится к нулю при γ +. Висящая капля. Постановка задачи Перейдем к рассмотрению висящей капли см. рис. ). Пусть капля висит на твердой поверхности плоскость z = h, h > ). Поверхностные натяжения между твердой и жидкой, твердой и газообразной средами на этой плоскости α 4 и α 4 соответственно. Область контакта висящей капли и плоскости z = h область ) представляет собой круг радиуса r r искомая величина). Объем висящей капли заданная величина V и, следовательно, I {u r)} = π r h u r) ) rr = V, 6) где u r) искомая функция, описывающая профиль поверхности висящей капли. Далее, по аналогии с рассмотренным выше случаем лежащей капли введем в рассмотрение функционал, включающий в себя поверхностную энергию и энергию силы тяжести. Поверхностная энергия в свою очередь будет состоять из части, соответствующей свободной поверхности капли, и части, соответствующей контакту z h 4 x, y Рис.. Капля, висящая на твердой поверхности. 4 твердая среда, жидкая, газообразная; θ угол смачивания. Журнал технической физики, 6, том 86, вып.

5 Приближенные формулы, описывающие профили лежащих и висящих... жидкости с твердым телом. Этот случай будет отличаться от рассмотренного выше только тем, что в уравнение энергетического баланса энергия силы тяжести войдет с противоположным знаком. Таким образом, функционал будет иметь следующий вид: J {u r)} = π r {α + u ) +α 4 α 4 gρh u ) }rr. 7) Надо найти экстремум функционала 7) при условии, что функционал 6) принимает заданное значение, т. е. приходим к изопериметрической задаче со свободной границей r искомая величина). Для ее решения необходимо минимизировать функционал где J +λ I = r H r, u r), u r)) = π H r, u r), u r)) r, 8) {α + u ) +α 4 α 4 } gρh u ) +λ h u ) r. Уравнение Эйлера для функционала 8) будет иметь вид α ru ) = gρh u r + u )r λ r. 9) ) Кроме условия 6) должны выполняться еще три: условия u r ) = h, u ) = 4) и условие трансверсальности { } H u H u =. 4) r=r Это условие с учетом первого из условий 4) можно переписать в следующей форме: cosθ + u ) r=r = α 4 α 4 α α. 4) Имеем четыре условия, включая условие постоянства объема, и четыре неизвестные постоянные: r,λ и две постоянные интегрирования уравнения Эйлера. В этой задаче кроме параметра α появился еще один параметр высота h в безразмерном виде h = h/v / ). Далее, аналогично случаю лежащей капли, приведем задачу к безразмерному виду и введем постоянную Бонда B. В новых переменных задача будет иметь следующий вид: уравнение Эйлера ξw ξ) + = B h w ξ) ) ξ λ ξ, 4) w ξ)) условия ξ h w ξ))ξ = π, 44) w ξ ) = h, w ) =, 45) α w ξ ) = γ, 46) α где ξ значение новой независимой переменной, соответствующее значению r. Висящая капля. Асимптотический метод Построим решение задачи о висящей капле для случая малых чисел Бонда. Итак, пусть B малый параметр задачи 4) 46). Будем искать решение в виде ряда по степеням малого параметра B аналогично случаю лежащей капли. В результате получим ξw ξ) ) + = λ ξ, 47) w ξ)) ξw ξ) ) [ + w ξ) ) ] / = h w ξ) ) ξ λ ξ 48) уравнения нулевого и первого приближений соответственно. Условие постоянства объема капли условие 44)) даст в этих приближениях следующие условия: ξ ξ h w ξ) ) ξ = π, 49) w ξ)ξ = [ h w ξ )]ξ ξ. 5) Первое из условий 45) даст в нулевом и первом приближениях соответственно w ξ ) = h, 5) w ξ ) +w ξ )ξ =. 5) Второе из условий 45) даст в нулевом и первом приближениях соответственно w ) =, 5) w ) =. 54) Журнал технической физики, 6, том 86, вып.

6 Е.В. Галактионов, Н.Е. Галактионова, Э.А. Тропп И наконец, четвертое условие условие 46)) даст соответственно w ξ α ) =, 55) α w ξ ) +w ξ )ξ =. 56) Таким образом, получили задачу нулевого приближения 47), 49), 5), 5), 55) и задачу первого приближения 48), 5), 5), 54), 56) для висящей капли. Решив задачу нулевого приближения, получим { π α ) λ } / +α ) =, ξ = λ ) α, 57) а профиль поверхности висящей капли будет описываться формулой ) } w ξ) = h λ ) {α.5 λ ξ. 58) Нетрудно заметить, что если выполнено условие α = α, то при построении нулевых приближений для лежащей и висящей капель будем иметь λ = λ, ξ = ξ и соответствующие профили будут симметричны относительно прямой f ξ) = h/. Приступим к решению задачи первого приближения для висящей капли. В результате получим систему двух линейных алгебраических уравнений для определения λ и ξ : λ = [ ξ α ξ + ], 59) π ξ = 4π α )/ +α ) [ λ λ 4α +4]. 6) Решив эту систему, найдем λ и ξ : λ = α +α )α )[ λ +π α ) +α )ξ ], ξ = [ λ +4π α )ξ ] { π α [ λ +π α) +α )ξ]}, а первая поправка для профиля висящей капли будет иметь вид α { ) λ w ξ)= ξ +.5 λ ξ) α [ α 4 α.5 λ ξ) + λ λ α ) )} +.5 λ ξ) +4ln. 6) +α ] Видно, что в случае α = α будем иметь λ = λ, ξ = ξ и первые поправки к профилям лежащей и висящей капель будут совпадать. Приближенная формула, описывающая форму поверхности висящей капли с точностью до членов второго порядка малости относительно числа Бонда B, может быть записана в следующей форме: w ξ) = w ξ) +w ξ)b. 6) Висящая капля. Метод линеаризации Построим решение задачи о висящей капле задачи 4) 46)) для случая сильной смачиваемости методом линеаризации. Заметим, что при использовании такого подхода нет ограничений на величину числа Бонда аналогичная ситуация имеет место и для лежащей капли). Итак, рассмотрим случай γ. 6) Тогда уравнение 4) можно заменить на линеаризованное уравнение ) ξw ξ) = B ξ h w ξ) ) λ ξ. 64) Общее решение этого уравнения имеет вид w ξ) = C J B ξ) + C 4 Y B ξ) + h λ B, 65) где C и C 4 произвольные постоянные. С учетом второго из условий 45) получим C 4 = и, следовательно, w ξ) = C J B ξ) + h λ B, w ξ) = C B J B ξ). 66) Отсюда с учетом условия 46) и первого из условий 45) находим B C J B ξ ) = γ, 67) C J B ξ ) = λ B. 68) Подставив в 44) выражение для w ξ) и выполнив интегрирование, получим уравнение, связывающее неизвестные C, ξ, λ, C B ξ J B ξ ) = λ ξ ) B π. 69) В предположении J B ξ ) из соотношений 67), 68) следует C = γ B J B ξ ), λ = B γ J B ξ ) J B ξ ). 7) Журнал технической физики, 6, том 86, вып.

7 Приближенные формулы, описывающие профили лежащих и висящих... Подставив эти выражения для C, λ в 69), получим трансцендентное уравнение для нахождения ξ : { J } B ξ ) J B ξ ξ = B. 7) B ξ ) πγ Решив это уравнение, найдем ξ, далее определим λ и C, а профиль висящей капли найдем из 66). Таким образом, сделан первый шаг процесса линеаризации. Далее, подставим полученное приближение для функции w ξ) в знаменатель левой части уравнения 4). Получим линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка для нахождения следующего приближения и повторим весь процесс, описанный выше. Таков алгоритм процесса линеаризации для висящей капли в предположении сильной смачиваемости. Пусть γ = нулевой угол смачивания). Тогда из 67) следует: либо ) C =, из 68) λ = и 66) дает w ξ) h, но условие 59) не выполняется и w ξ) h не является решением поставленной задачи; либо ) J B ξ ) =, C в отличие от случая лежащей капли появляется альтернатива). Рассмотрим вариант ). В этом случае получим ξ = ξ k = β k / B, k =,,..., где β k k-ый положительный корень уравнения J z) =. Из 69) следует, что λ = λ k = B ) /πβ k ), а из 68) C = C k = B /πβ k ) J β k )), k =,,... Таким образом, в случае висящей капли для нулевого угла смачивания на первом шаге процесса линеаризации в отличие от случая лежащей капли появляются решения следующего вида: w k ξ) = B J B ξ) πβ k ) J β k ) ) + h, k =,,... Проведенные расчеты показывают, что при выборе первого положительного нуля β =.87, J β ) = ) полученное таким образом решение имеет физический смысл. Построим асимптотику решения задачи первого шага процесса линеаризации при γ для висящей капли. Предположим, что величина ξ имеет такую же асимптотику при γ +, как и соответствующая величина в случае лежащей капли, т.е. ξ D / γ, где постоянная D = B ) /4 / π. Подставим выбранное асимптотическое представление для ξ в уравнение 7), умноженное на γ. С учетом поведения функций Бесселя при больших значениях аргумента получим ctg B ξ π 4 ) D ) B B π +D γ. Следовательно, существует числовая последовательность ξ k + при k +, на которой B ctg ξ k π ) B = 4 πd ) = Рис.. Результаты расчета профилей лежащей и висящей h =.5) капель число Бонда B =.88, угол смачивания θ = 5 ). Сплошная линия нулевое приближение асимптотического разложения для малого числа Бонда, штриховая сумма нулевого и первого приближений этого разложения, пунктирная нулевое приближение процесса линеаризации для малого угла смачивания. Отсюда ξ k = k +)π, γ k = B ) / B k +) π, k =,,... Далее, найдем C k, λ k по формулам, приведенным выше. А их асимптотика при больших значениях k будет иметь вид C k )k+ B π k +) /, λ k B ) π k +). Следовательно, асимптотика при γ + k + ) для профиля поверхности висящей капли после первого шага процесса линеаризации будет иметь вид w k ξ) )k+ π /4 γ k ) /4 B ) /4 J B ξ) + h γ k B. Видно, что максимум модуля асимптотического представления решения в каждой точке стремится к h как γ k ) /4 при γ + k + ). На рис. приведены результаты расчетов профилей лежащей и висящей капель, выполненных с помощью формул, полученных выше. Заключение В работе даны вариационные постановки задач о лежащей и висящей каплях с учетом силы тяжести в осесимметричном случае в цилиндрической системе координат). Для этих задач построены нулевое и первое Журнал технической физики, 6, том 86, вып.

8 4 Е.В. Галактионов, Н.Е. Галактионова, Э.А. Тропп приближения асимптотического разложения для случая малых чисел Бонда. Кроме того, дан алгоритм линеаризации этих задач при условии сильной смачиваемости и получены приближенные формулы, справедливые для любого значения числа Бонда. Построена асимптотика решений для случая, когда угол смачивания стремится к нулю. Показано, что в случае нулевого угла смачивания для висящей капли существуют решения в отличие от лежащей капли). Список литературы [] Финн Р. Равновесные капиллярные поверхности. Математическая теория. М.: Мир, 989. с. [] Антонов П.И., Затуловский Л.М., Костыгов А.С. и др. Получение профилированных монокристаллов и изделий способом Степанова / Под ред. В.Р. Регеля, С.П. Никанорова. Л.: Наука, с. [] Гюнтер Н.М. Курс вариационного исчисления. Л. М.: ОГИЗ, с. [4] Галактионова Н.Е., Галактионов Е.В., Тропп Э.А. // Изв. РАН, сер. физ. 9. Т. 7. Вып.. С [5] Френкель Я.И.// ЖЭТФ Т. 8. Вып. 7. С [6] Канчукоев В.З.// Письма в ЖТФ. 4. Т.. Вып.. С. 6. Журнал технической физики, 6, том 86, вып.

ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОГИБОВ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ

ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОГИБОВ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 007. Т. 48, N- 5 УДК 539.3 ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОГИБОВ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ Ю. В. Захаров, К. Г. Охоткин,

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО КЛАССА ЗАДАЧ. где - текущая угловая координата,,, - сечения ЛП на входе и

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО КЛАССА ЗАДАЧ. где - текущая угловая координата,,, - сечения ЛП на входе и Труды III международной межвузовской научно-практической конференции "Инновационные технологии и передовые решения". - 2015 - С. 43-47 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО КЛАССА ЗАДАЧ

Подробнее

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

УДК Мирсалимов М. В. ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ. (Тульский государственный университет)

УДК Мирсалимов М. В. ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ. (Тульский государственный университет) ВЕСТНИК ЧГПУ им И Я ЯКОВЛЕВА МЕХАНИКА ПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ 7 УДК 5975 Мирсалимов М В ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ (Тульский государственный университет) Рассматривается задача механики

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

Моделирование волн деформаций в физически нелинейной оболочке, содержащей вязкую несжимаемую жидкость

Моделирование волн деформаций в физически нелинейной оболочке, содержащей вязкую несжимаемую жидкость Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск 69 www.ai./siee/dy/ УДК 5.8:5.56 Моделирование волн деформаций в физически нелинейной оболочке содержащей вязкую несжимаемую жидкость Блинков Ю. А. * Иванов С. В.

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ОМИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРЯМОГО МНОГОПРОВОЛОЧНОГО ПРОВОДНИКА

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ОМИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРЯМОГО МНОГОПРОВОЛОЧНОГО ПРОВОДНИКА Параметры динамики наружной освещенности являются исходными данными для оценки светового режима в помещении частоты включений и интервалов между ними и разработки автоматических устройств Айзенберг ЮБ

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

ГЛАВА: Введение в численные методы. Лекция 3: Численное интегрирование (15 слайдов)

ГЛАВА: Введение в численные методы. Лекция 3: Численное интегрирование (15 слайдов) ГЛАВА: Введение в численные методы. Лекция 3: Численное интегрирование (15 слайдов) Слайд 1: Методы численного интегрирования. Требуется вычислить определенный интеграл: Методы решения такой задачи: 1.

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

О СХОДЯЩЕМСЯ ЛАМИНАРНОМ ПОТОКЕ ЖИДКОСТИ МЕЖДУ ДВУМЯ ВРАЩАЮЩИМИСЯ ДИСКАМИ

О СХОДЯЩЕМСЯ ЛАМИНАРНОМ ПОТОКЕ ЖИДКОСТИ МЕЖДУ ДВУМЯ ВРАЩАЮЩИМИСЯ ДИСКАМИ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2. Т. 41, N- 2 77 УДК 66.67.5 О СХОДЯЩЕМСЯ ЛАМИНАРНОМ ПОТОКЕ ЖИДКОСТИ МЕЖДУ ДВУМЯ ВРАЩАЮЩИМИСЯ ДИСКАМИ Е. В. Семенов Московский государственный университет пищевых

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Б.П.Демидович СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ В сборник (11-е изд. 1995 г.) включено свыше 4000 задач и упражнений по важнейшим разделам математического анализа: введение в анализ:

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

Общая постановка задачи о замене переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Пусть функции ( ) ( ) ( )

Общая постановка задачи о замене переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Пусть функции ( ) ( ) ( ) 6 9 Замена переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Общий случай замены переменной в двойном и тройном интегралах. Якобиан. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах

Подробнее

1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены

1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены Глава III. Теория устойчивости 1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены III.1.1. Устойчивые решения линейных ОДУ Существенную роль в исследовании различных процессов, поведение которых описывается

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Бесконечные системы линейных уравнений в случае первой основной граничной задачи для прямоугольной призмы

Бесконечные системы линейных уравнений в случае первой основной граничной задачи для прямоугольной призмы Динамические системы, вып. 28 2010, 89 98 УДК 539.3 Бесконечные системы линейных уравнений в случае первой основной граничной задачи для прямоугольной призмы С. О. Папков Севастопольский национальный технический

Подробнее

y велики; y = p x + 1 Re v t + u v = p y + 1 Re u x + v y = 0 = v y=0 y=0 t=0

y велики; y = p x + 1 Re v t + u v = p y + 1 Re u x + v y = 0 = v y=0 y=0 t=0 Система уравнений пограничного слоя. Знаменательный успех в исследованиях движений жидкости при больших числах Рейнольдса был достигнут в 904 году и связан с именем Л. Прандтля. Прандтль показал как можно

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) ЛН Романова ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Курс лекций Омск Издательство СибАДИ ЛН РОМАНОВА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ

Подробнее

7 Координаты центра тяжести

7 Координаты центра тяжести 7 Координаты центра тяжести Используя математический пакет Mm, найти координаты центра тяжести плоской фигуры Результат представить графически Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

19. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ Основные понятия. Устойчивое и неустойчивое равновесие

19. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ Основные понятия. Устойчивое и неустойчивое равновесие Лекция 19 Понятие об устойчивости систем. Формы и методы определения устойчивости. Задача Эйлера. Условия закрепления концов стержня. Критические напряжения. Расчет на устойчивость. Расчет на устойчивость

Подробнее

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск E-mail: karabut@hydro.nsc.ru

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск E-mail: karabut@hydro.nsc.ru 68 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 27. Т. 48, N- 1 УДК 532.516 ДВА РЕЖИМА ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОЙ ПЛЕНКИ НА ВРАЩАЮЩЕМСЯ ЦИЛИНДРЕ Е. А. Карабут Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 639

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Министерство образования Российской Федерации САРАПУЛЬСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ филиал Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «ИЖЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

0(z z c ) 2 /2 +..., также для удобства разделим уравнение Орра-Зоммерфельда на u 0: d 4 w 2. d (z z dz 2 α2 u 0. ((z z c ) + u 0

0(z z c ) 2 /2 +..., также для удобства разделим уравнение Орра-Зоммерфельда на u 0: d 4 w 2. d (z z dz 2 α2 u 0. ((z z c ) + u 0 На прошлой лекции было показано, что при больших R два решения уравнения Орра-Зоммерфельда близки к решениям уравнения Рэлея, два других являются ВКБ-решениями. С последними имеются две проблемы. Во-первых,

Подробнее

12. Определенный интеграл

12. Определенный интеграл 58 Определенный интеграл Пусть на промежутке [] задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке [] произвольные числа,, 3,, n-, удовлетворяющие условию:

Подробнее

ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ ЧЕРЕЗ КАПИЛЛЯР ДЛЯ ТРЕХКОМПОНЕНТНОЙ СМЕСИ

ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ ЧЕРЕЗ КАПИЛЛЯР ДЛЯ ТРЕХКОМПОНЕНТНОЙ СМЕСИ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2002. Т. 43 N- 3 59 УДК 532.6 ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ ЧЕРЕЗ КАПИЛЛЯР ДЛЯ ТРЕХКОМПОНЕНТНОЙ СМЕСИ О. Е. Александров Уральский государственный технический

Подробнее

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1 Введение В курсе математического анализа первого семестра одно из центральных мест занимает теорема Ролля. Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a,

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

Е. стр.175-177, стр.187-193.

Е. стр.175-177, стр.187-193. Лекция 6 Равновесная и неравновесная феноменологическая термодинамика. Основные результаты. Статистическая термодинамика. Е. стр.75-77, стр.87-9. Необходимо связать понятия феноменологической термодинамики

Подробнее

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова Высшая математика IV САМОУЧИТЕЛЬ

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению.

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению. ТЕМА 7 Задача Штурма-Лиувилля Собственные значения и собственные функции Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению Основные определения и теоремы Оператором Штурма-Лиувилля называется дифференциальный

Подробнее

ПРОБЛЕМЫ СОЗДАНИЯ АДАПТИВНОГО ЗЕРКАЛА

ПРОБЛЕМЫ СОЗДАНИЯ АДАПТИВНОГО ЗЕРКАЛА В.А. Зверев С.А. Родионов и М.Н. Сокольский. Проблемы создания адаптивного зеркала. ПРОБЛЕМЫ СОЗДАНИЯ АДАПТИВНОГО ЗЕРКАЛА В. А. Зверев С. А. Родионов и М. Н. Сокольский ВВЕДЕНИЕ В последнее время большое

Подробнее

8. Критерии алгоритмов решения ОДУ

8. Критерии алгоритмов решения ОДУ 8. Критерии алгоритмов решения ОДУ 1 8. Критерии алгоритмов решения ОДУ Теперь, когда мы уже чуть больше знаем об алгоритмах решения задач Коши для ОДУ, продолжим разговор об их классификации. Остановимся

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Тема 1. Множества. Введение в логику. Понятие функции. Кривые второго порядка. Основные понятия о множествах. Символика, ее использование.

Подробнее

А.И.Гончар, И.Н.Титов, Н.И.Титова, 2013

А.И.Гончар, И.Н.Титов, Н.И.Титова, 2013 УДК 34. А.И.Гончар, И.Н.Титов, Н.И.Титова Научно-технический центр панорамных акустических систем НАН Украины, г.запорожье МОДЕЛИРОВАНИЕ РАССЕЯНИЯ ГЕОАКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В СРЕДАХ, СОДЕРЖАЩИХ КАРСТОВЫЕ ПОЛОСТИ

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (СПЕЦГЛАВЫ) ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНИКОВ НАПРАВЛЕНИЯ , ,

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (СПЕЦГЛАВЫ) ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНИКОВ НАПРАВЛЕНИЯ , , МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (СПЕЦГЛАВЫ) ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНИКОВ НАПРАВЛЕНИЯ 7, 7, СПБ ГУТ Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика

Подробнее

4. Постоянное магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле.

4. Постоянное магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле. 4 Постоянное магнитное поле в вакууме Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле Закон Био-Савара-Лапласа: [ dl, ] db =, 3 4 π где ток, текущий по элементу проводника dl, вектор dl направлен

Подробнее

Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных

Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных Рассмотрим задачу на нахождение условного экстремума для случае функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Пусть имеется

Подробнее

Теоретический материал.

Теоретический материал. 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

Лекция 1.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними

Лекция 1.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними Лекция.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними Аннотация: В лекции указывается на необходимость обобщения понятия числа от натурального до комплексного. Вводятся алгебраическая,

Подробнее

ВОЗМОЖНОСТЬ ИДЕНТИФИКАЦИИ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ЖИДКОСТЕЙ В ЭКСПЕРИМЕНТАХ С КРУТИЛЬНЫМ ВИСКОЗИМЕТРОМ

ВОЗМОЖНОСТЬ ИДЕНТИФИКАЦИИ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ЖИДКОСТЕЙ В ЭКСПЕРИМЕНТАХ С КРУТИЛЬНЫМ ВИСКОЗИМЕТРОМ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2006. Т. 47, N- 6 59 УДК 532.5 ВОЗМОЖНОСТЬ ИДЕНТИФИКАЦИИ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ЖИДКОСТЕЙ В ЭКСПЕРИМЕНТАХ С КРУТИЛЬНЫМ ВИСКОЗИМЕТРОМ А. Е. Коренченко, О. А.

Подробнее

а) Минимальной расстояние между кораблями есть расстояние от точки А до прямой ВС, которое равно

а) Минимальной расстояние между кораблями есть расстояние от точки А до прямой ВС, которое равно 9 класс. 1. Перейдем в систему отсчета, связанную с кораблем А. В этой системе корабль В движется с относительной r r r скоростью Vотн V V1. Модуль этой скорости равен r V vcos α, (1) отн а ее вектор направлен

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

Лекция 1 Доцент Ильич Г.К. ( кафедра мед. и биол. физики ) ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Лекция 1 Доцент Ильич Г.К. ( кафедра мед. и биол. физики ) ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Лекция 1 Доцент Ильич Г.К. ( кафедра мед. и биол. физики ) ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ 1. Производная функции Количественное описание сложных изменяющихся процессов жизнедеятельности с помощью элементарной

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru. Энергия

И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru. Энергия И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru Энергия Темы кодификатора ЕГЭ: работа силы, мощность, кинетическая энергия, потенциальная энергия, закон сохранения механической энергии. Мы приступаем к изучению

Подробнее

Т. Н. Матыцина ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ. Практикум

Т. Н. Матыцина ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ. Практикум МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Костромской государственный университет имени Н. А. Некрасова Т. Н. Матыцина ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ Практикум Кострома

Подробнее

О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин

О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин Сибирский математический журнал Январь февраль, 2010. Том 51, 1 УДК 519.233.5+519.654 О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин Аннотация. Рассмотрена

Подробнее

Рабочая программа по математике 5-6 класс ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ В 5-6 КЛАССАХ

Рабочая программа по математике 5-6 класс ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ В 5-6 КЛАССАХ Рабочая программа по математике 5-6 класс ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ Рациональные числа Ученик научится: В 5-6 КЛАССАХ 1) понимать особенности десятичной системы счисления; 2) владеть понятиями,

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А.

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А. РЯДЫ ФУРЬЕ Автор-составитель: доцент каф ВМ Цапаева СА Великий Новгород ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ГАРМОНИК Определение Гармониками называются комплекснозначные функции вида iω ( ) e, где действительная переменная,

Подробнее

ϕ =, если положить потенциал на

ϕ =, если положить потенциал на . ПОТЕНЦИАЛ. РАБОТА СИЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ Потенциал, создаваемый точечным зарядом в точке A, находящейся на, если положить потенциал на бесконечности равным нулю: φ( ). Потенциал, создаваемый в

Подробнее

S с плотностью стороннего заряда. По теореме Гаусса

S с плотностью стороннего заряда. По теореме Гаусса 5 Проводники в электрическом поле 5 Проводники Проводниками называются вещества, в которых при включении внешнего поля перемещаются заряды и возникает ток Наиболее хорошими проводниками электричества являются

Подробнее

Пример 1. Два точечных заряда = 1 нкл и q = 2 нкл находятся на расстоянии d = 10 см друг от

Пример 1. Два точечных заряда = 1 нкл и q = 2 нкл находятся на расстоянии d = 10 см друг от Примеры решения задач к практическому занятию по темам «Электростатика» «Электроемкость Конденсаторы» Приведенные примеры решения задач помогут уяснить физический смысл законов и явлений способствуют закреплению

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение. Интегральным уравнением Фредгольма рода называется уравнение x ( s, ds f (.

Подробнее

Рабочая учебная программа по математике в 6 А классе

Рабочая учебная программа по математике в 6 А классе Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа 29» города Чебоксары Рассмотрено на заседании ШМО Протокол от 20 г. Руководитель ШМО В.В. Морушкина «Утверждаю»

Подробнее

О числе Рейнольдса задачи Джефри-Гамеля

О числе Рейнольдса задачи Джефри-Гамеля О числе Рейнольдса задачи Джефри-Гамеля Олег Е. Кириллов Анализируется неудовлетворительность определения и использования числа Рейнольдса в стандартном анализе решений задачи Джефри-Гамеля (Jeffery-Hamel)

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии Кафедра высшей математики Высшая математика ( семестр Разделы Функции. Пределы. Дифференцирование. Интегрирование. Основные формулы по темам

Подробнее

Летняя школа специализированного учебно-научного центра. Методическое пособие

Летняя школа специализированного учебно-научного центра. Методическое пособие Летняя школа специализированного учебно-научного центра Методическое пособие Екатеринбург 2014 ЛЕТНЯЯ ШКОЛА (2014г) П р о г р а м м а Алгебра 1. Метод интервалов на прямой. 2. Метод областей на плоскости.

Подробнее

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

УСРЕДНЕНИЕ ТРЁХМЕРНОГО ПОЛЯ НАПРАВЛЕНИЙ

УСРЕДНЕНИЕ ТРЁХМЕРНОГО ПОЛЯ НАПРАВЛЕНИЙ 9 Компьютерная оптика том УСРЕДНЕНИЕ ТРЁХМЕРНОГО ПОЛЯ НАПРАВЛЕНИЙ АВ Устинов Учреждение Российской академии наук Институт систем обработки изображений РАН Аннотация В данной статье описан метод усреднения

Подробнее

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия 35 Глава 2 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1 Основные понятия Пусть D некоторое множество чисел Если задан закон, по которому каждому числу из множества D ставится в

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ Т Ю Альпин, А И Егоров, П Е Кашаргин, С В Сушков ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть I: Комплексные числа Предел функции Казань 013 Печатается

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) В М Ипатова О А Пыркова В Н Седов ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ второе

Подробнее

Лекция 2: Многочлены

Лекция 2: Многочлены Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Понятие многочлена Определения Многочленом от одной переменной называется выражение вида

Подробнее

Дифференциальные уравнения: конспект лекций

Дифференциальные уравнения: конспект лекций [DEshrt.te, 09.01.09] Дифференциальные уравнения: конспект лекций В 006 году студент -го курса Д.В. Кальянов набрал в LaTeX'е конспект моих лекций по курсу "Дифференциальные уравнения". Я переписал его

Подробнее

Тригонометрические ряды Фурье

Тригонометрические ряды Фурье Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Программа вступительного экзамена на программы магистратуры по направлению Прикладная математика и информатика

Программа вступительного экзамена на программы магистратуры по направлению Прикладная математика и информатика ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ѕсанктпетербургский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТї Программа вступительного экзамена на программы магистратуры

Подробнее

ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ КУРСА МАТЕМАТИКИ В 6 КЛАССЕ

ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ КУРСА МАТЕМАТИКИ В 6 КЛАССЕ ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ КУРСА МАТЕМАТИКИ В 6 КЛАССЕ Арифметика понимать особенности десятичной системы счисления; использовать понятия, связанные с делимостью натуральных чисел; выражать

Подробнее

ϕ(r) = Q a + Q 2a a 2

ϕ(r) = Q a + Q 2a a 2 1 Урок 14 Энергия поля, Давление. Силы 1. (Задача.47 Внутри плоского конденсатора с площадью пластин S и расстоянием d между ними находится пластинка из стекла, целиком заполняющая пространство между пластинами

Подробнее

Растекание жидкости во влажной пористой среде

Растекание жидкости во влажной пористой среде 104 АВ Татосов АВ Татосов atatosov@utmnru УДК 5433 Растекание жидкости во влажной пористой среде АННОТАЦИЯ Рассмотрен процесс растекания жидкости во влажной пористой среде вдоль поверхности насыщения SUMMARY

Подробнее

МОЩНОСТЬ ТЕПЛОВОЙ ЗАВЕСЫ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РАСХОДАХ ТЕПЛОНОСИТЕЛЯ И ВОЗДУХА

МОЩНОСТЬ ТЕПЛОВОЙ ЗАВЕСЫ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РАСХОДАХ ТЕПЛОНОСИТЕЛЯ И ВОЗДУХА МОЩНОСТЬ ТЕПЛОВОЙ ЗАВЕСЫ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РАСХОДАХ ТЕПЛОНОСИТЕЛЯ И ВОЗДУХА (Инварианты процесса теплопередачи в воздушных завесах. Продолжение) Эта публикация продолжение статьи, напечатанной в журнале

Подробнее

ТЕМА 2. Цепи переменного тока. П.3. Комплексное сопротивление (импеданс) П.4. Импедансы основных элементов цепи. П.5. Свободные колебания в контуре

ТЕМА 2. Цепи переменного тока. П.3. Комплексное сопротивление (импеданс) П.4. Импедансы основных элементов цепи. П.5. Свободные колебания в контуре ТЕМА 2. Цепи переменного тока П.1. Гармонический ток П.2. Комплексный ток. Комплексное напряжение. П.3. Комплексное сопротивление (импеданс) П.4. Импедансы основных элементов цепи. П.5. Свободные колебания

Подробнее

Тема 1: Системы линейных уравнений

Тема 1: Системы линейных уравнений Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

Лекция 14: Линейный оператор

Лекция 14: Линейный оператор Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к рассмотрению функций из векторного

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

Не путать прогиб y с координатой y точек сечения балки! Наибольший прогиб балки называется стрелой прогиба (f=y max );

Не путать прогиб y с координатой y точек сечения балки! Наибольший прогиб балки называется стрелой прогиба (f=y max ); Лекция Деформация балок при изгибе Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки Метод начальных параметров Универсальное уравнение упругой линии ДЕФОРМАЦИЯ БАЛОК ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ Основные понятия и

Подробнее

7. Общий план исследования функции и построение её графика

7. Общий план исследования функции и построение её графика 7 Общий план исследования функции и построение её графика Нижеследующий план-схема исследования функции обобщает результаты, изложенные в предыдущих параграфах Исследование функции по этому плану позволит

Подробнее

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА)

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Постановка задачи. Рассматривается задача о вычислении однократного интеграла J(F ) = F (x) dx. ()

Подробнее

Определенный интеграл. Графический смысл перемещения.

Определенный интеграл. Графический смысл перемещения. Определенный интеграл. Графический смысл перемещения. Если тело движется прямолинейно и равномерно, то для определения перемещения тела достаточно знать его скорость и время движения. Но как подойти к

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Необходимые и достаточные условия второго порядка в простейшей вариационной задаче Необходимые

Подробнее

С. А. Бутерин. обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения

С. А. Бутерин. обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения С А Бутерин обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения МАТЕМАТИКА УДК 517984 ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ВОЛЬТЕРРОВА ОПЕРАТОРА

Подробнее

ОСНОВЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ ПЛАСТИН

ОСНОВЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ ПЛАСТИН ВН ЗАВЬЯЛОВ, ЕА МАРТЫНОВ, ВМ РОМАНОВСКИЙ ОСНОВЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ ПЛАСТИН Учебное пособие Омск Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

Подробнее

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Конспект лекций по высшей математике

Конспект лекций по высшей математике Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра высшей математики Конспект лекций по высшей математике для студентов экономических

Подробнее

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова Е. В. Мартынова, И. П. Мурзина, Т. М. Степанюк,

Подробнее

Т (2) =Т (1) (1) р (2) р (1) (р (2),T ) + RT ln x A (2) (T, р (1) ) + ( µ A 0 / p) T dp + RT ln x A (3)

Т (2) =Т (1) (1) р (2) р (1) (р (2),T ) + RT ln x A (2) (T, р (1) ) + ( µ A 0 / p) T dp + RT ln x A (3) Вывод именных уравнений. Уравнение Вант-Гоффа для осмотического давления. Осмотическое давление возникает при мембранном равновесии в двухкомпонентной системе А-В. Система состоит из двух фаз. Одна из

Подробнее