Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);
|
|
- Алёна Астафьева
- 3 лет назад
- Просмотров:
Транскрипт
1 Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины и противоположные направления (параллельны и направлены в разные стороны). Нулевой вектор: имеет нулевую длину, направление не определено, начало и конец совпадают. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. B A Сложение векторов коммутативно и ассоциативно: C a + = + a, (a + ) + c = a + ( + c). a a + a a + + c c a + + c 1.1. Свойства операций над векторами. Сложение векторов и умножение векторов на числа обладают следующими свойствами: (1) коммутативность сложения: a, a + = + a; (2) ассоциативность сложения: a,, c (a + ) + c = a + ( + c); 1
2 2 () свойство нулевого вектора: 0: a : a + 0 = a; (4) существование противоположного вектора: a a : a + a = 0; (5) свойство единицы: a: 1 a = a; (6) ассоциативность умножения на число: a, α, β (7) дистрибутивность-1: a,, α (8) дистрибутивность-: a, α, β (αβ) a = α (βa) ; α (a + ) = αa + α; (α + β)a = αa + βa Коллинеарные и компланарные векторы. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых. Если коллинеарные векторы привести к общему началу, то они окажутся лежащими на одной прямой. Два вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях. Если компланарные векторы привести к общему началу, то они окажутся лежащими в одной плоскости. (1) Для того, чтобы два вектора a, были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие числа α, β, не равные одновременно нулю, что αa + β = 0. (2) Для того, чтобы три вектора a,,c были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие числа α, β, γ не равные одновременно нулю, что αa + β + γc = Пусть векторы a,,c компланарны; тогда один из них можно выразить через два остальных, например, a = x + yc. Мы можем положить 2. Пусть в равенстве α = 1, β = x, γ = y. αa + β + γc = 0. один из коэффициентов отличен от нуля, например, α 0. Тогда можно записать и векторы оказываются компланарными. a = β α γ α c,
3 (1) Для того, чтобы два вектора a, были неколлинеарны, необходимо и достаточно, чтобы равенство αa + β = 0 было возможно лишь при α = β = 0. (2) Для того, чтобы три вектора a,,c были некомпланарны, необходимо и достаточно, чтобы равенство αa + β + γc = 0 было возможно лишь при α = β = γ = Базис и координаты вектора. Базис на плоскости упорядоченный набор двух неколлинеарных векторов a 1,a 2. Любой вектор на плоскости можно представить в виде комбинации x = x 1 a 1 + x 2 a 2 ; это соотношение называется разложением вектора x по базису a 1,a 2, а числа x 1,x 2 координатами ( ) вектора x в базисе a 1,a 2. Координаты вектора записываем в виде столбца x 1 x 2. a 2 x a 1 Базис в пространстве упорядоченный набор трех некомпланарных векторов a 1,a 2,a. Любой вектор пространства можно представить в виде комбинации x = x 1 a 1 + x 2 a 2 + x a ; это соотношение называется разложением вектора x по базису a 1,a 2,a, а числа x 1,x 2,x координатами вектора x в базисе a 1,a 2,a. Координаты вектора записываем в виде столбца x 1 x 2 x. a x a 1 a 2
4 4 В аналитической геометрии используются преимущественно ортонормированные базисы, т.е. базисы, состоящие из единичных попарно ортогональных векторов. e 2 e e 1 e 2 e 1 Разложение вектора по базису единственно, т.е. набор координат векторов в данном базисе определен однозначно. Предположим, что вектор x имеетвбазисе a 1,a 2,a дваразличных набора координат: x = x 1 a 1 + x 2 a 2 + x a = y 1 a 1 + y 2 a 2 + y a. Вычитая второе разложение из первого, получим 0 = (x 1 y 1 )a 1 + (x 2 y 2 )a 1 + (x y )a. Так как векторы базиса некомпланарны, то это равенство возможно лишь при нулевых коэффициентах, т.е. x 1 = y 1, x 2 = y 2, x = y. Даже этих несложных средств достаточно для решения некоторых задач. Пример. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины. C c B 1 O A 1 B C A 1 Рассмотрим базис на плоскости, образованный векторами = AB и c = AC. Сначала докажем, что медианы AA 1 и BB 1 делятся точкой их пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины. BC = c ; BA 1 = 1 BC = c 1 2 ; AA 1 = AB + ( 1 BA 1 = + 2 c 1 ) 2 = c;
5 5 AO = α AA 1 = α 2 + α 2 c; BB 1 = BA + AB 1 = 1 2 c ; BO = β BB 1 = β 2 c β. Векторы AB, BO, AO удовлетворяют соотношению AB + BO = AO, откуда Это эквивалентно равенству + β 2 c β = α 2 + α 2 c. ( α 2 β ) ( c = 1 β α ). 2 2 Поскольку векторы и c линейно независимы, то равенство возможно лишь при нулевых значениях коэффициентов, т.е. α α = β, 2 + β = 1. Решением этой системы уравнений является α = β = 2, что и требовалось: AO = 2 AA 1, OA 1 = 1 AA 1, BO = 2 BB 1, OB 1 = 1 AA 1. Теперь докажем, что медиана CC 1 также проходит через точку O и делится этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины. CC 1 = CA + AC 1 = 1 2 c = 1 ( 2c); 2 CO = CB 1 + B 1 O = 1 2 c 1 ( 1 ) 2 c = 1 ( ) 2c = 2 CC СТОЛБЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ 2.1. Арифметическое пространство столбцов. Рассмотрим множество R n, состоящее из упорядоченных наборов n вещественных чисел, которые будем записывать в виде столбцов: x 1 x R n = X = 2.,x 1,x 2,...,x n R. x n Нулевой столбец столбец, все элементы которого нули; обозначается O.
6 6 Два столбца называются равными, если они состоят из одинакового числа элементов и попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах: x 1 y 1 x для X = 2., Y = y 2. x n y n X = Y x 1 = y 1,..., x n = y n. Определим операции сложения столбцов и умножения столбцов на вещественные числа: x 1 y 1 x 1 + y 1 x 1 αx 1 x 2. + y 2. = x 2 + y 2., α x 2. = αx 2.. x n + y n x n αx n x n y n Операции сложения столбцов и умножения столбцов на числа обладают следующими свойствами: (1) коммутативность сложения: X,Y R n X + Y = Y + X; (2) ассоциативность сложения: X,Y,Z R n () свойство нулевого столбца: (X + Y ) + Z = X + (Y + Z); X R n : X + O = X; (4) существование противоположного столбца: (5) свойство единицы: X R n : X R n X R n : X + X = O; 1 X = X; (6) ассоциативность умножения на число: X R n, α,β R (αβ) X = α (βx) ; (7) дистрибутивность-1: X,Y R n, α R α (X + Y ) = αx + αy ; (8) дистрибутивность-2: X R n, α,β R (α + β) X = αx + βx.
7 2.2. Линейная комбинация, линейная оболочка. Пусть даны столбцы X 1,X 2,...,X k R n и числа α 1,α 2,...,α k R. Линейная комбинация это выражение вида α 1 X 1 + α 2 X α k X k. Будем пользоваться сокращением ЛК. ЛК называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю: α 1 = α 2 = = α k = 0. Очевидно, тривиальная ЛК любых столбцов равна нулевому столбцу. Линейная оболочка столбцов X 1,X 2,...,X k R n это множество { } L(X 1,X 2,...,X k ) = α 1 X 1 + α 2 X α k X k α1,α 2,...,α n R. Сокращение ЛО. 2.. Линейная зависимость и независимость. Тривиальная ЛК любых столбцов равна нулевому столбцу. Может ли быть равна нулевому столбцу нетривиальная ЛК, т.е. такая, в которой хотя бы один коэффициент ненулевой? Пример. ( ) ( ) 1 2 X 1 =, X 2 =, 2X 1 X 2 = O. 2 4 Столбцы X 1,...,X n называются линейно зависимыми (ЛЗ), если существует их нетривиальная ЛК, равная нулевому столбцу. Столбцы X 1,...,X n называются линейно независимыми (ЛН), если равенство нулевому столбцу их ЛК возможно лишь в случае, если эта ЛК тривиальна. (1) Если в системе столбцов X 1,...,X k имеется нулевой столбец, то эта система ЛЗ. (2) Если система столбцов X 1,...,X k ЛЗ, то один из этих столбцов можно представить в виде ЛК остальных. () Если в системе столбцов X 1,...,X k,x k+1,...,x r столбцы X 1,...,X k ЛЗ, то и вся система также ЛЗ. 1. Пусть в системе столбцов X 1,...,X k один столбец нулевой, например, X k = O. Нетривиальная ЛК 0 X X X k равна, очевидно, нулевому столбцу. 2. Пусть столбцы X 1,...,X k ЛЗ; тогда существует их нетривиальная ЛК, равная нулевому столбцу: α 1 X 1 + α 2 X α k X k = O. Для определенности будем считать, что α k 0; тогда 7 что и требовалось. X k = α 1 α k X 1 α 2 α k X 2 α k 1 α k X k 1,
8 8. Если подсистема X 1,...,X k ЛЗ, то существует ЛК α 1 X α k X k = O, в которой имеется хотя бы один ненулевой коэффициент. Если теперь к этой ЛК добавить тривиальную ЛК столбцов X k+1,...,x r, то получится нетривиальная ЛК что и требовалось. нетривиальная ЛК {}}{ α 1 X 1 + α 2 X α k X k } {{ } нетривиальная ЛК + 0 X k X r = O, } {{ } тривиальная ЛК 2.4. Векторы и столбцы. Пусть на плоскости (в пространстве) зафиксирован некоторый базис. Тогда каждому вектору ставится единственным образом в соответствие столбец его координат. Наоборот, если задан некоторый столбец, то существует единственный вектор, координаты которого совпадают с элементами этого столбца. Таким образом, в случае, если базис зафиксирован, между векторами и столбцами существует взаимно однозначное соответствие x X. Указанное соответствие обладает следующими свойствами: если x X, y Y, то x + y X + Y, Такое соответствие называется изоморфизмом. αx αx.. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА.1. Система двух уравнений с двумя неизвестными. Рассмотрим систему уравнений { ax + y = p, (1) cx + dy = q, где a,, c, d, p, q заданные числа, x, y неизвестные. Решим систему методом исключения неизвестных. Умножая первое уравнение на d, второе на и складывая полученные уравнения, найдем { ax + y = p d = (ad c)x = pd q. cx + dy = q Аналогично, умножая первое уравнение на c, второе на a и складывая полученные уравнения, найдем { ax + y = p, c cx + dy = q, a = (ad c)y = qa pc.
9 9 Если ad c 0, то система имеет единственное решение x = pd q ad c, qa pc y = ad c..2. Определитель второго порядка. Запишем коэффициенты системы в виде таблицы ( ) A = ; c d она называется основной матрицей системы. Поставим в соответствие этой матрице число ad c; оно называется определителем (детерминантом) матрицы A и обозначается ( = deta = det c d c d ) = ad c. Такой определитель называется определителем второго порядка (по количеству его строк и столбцов); сокращенно det-2. С помощью определителей формулы для решения системы могут быть записаны в виде p a p x = q d c d = deta x deta, y = c q c d = deta y deta, (2) где матрица A x (соответственно, A y ) получается из матрицы A заменой первого (соответственно, второго) столбца на столбец, состоящий из свободных членов уравнений. Полученные формулы называются формулами Крамера. Определитель det A обладает следующими свойствами: (1) линейность: a 1 + a 2 c 1 + c 2 d = a 1 c 1 d + a 2 c 2 d ; αa αc d = α c d ; (2) кососимметричность: det-2 с одинаковыми столбцами равен нулю, a a c c = 0; () нормировка: = 1. Из этих основных свойств определителя можно вывести ряд новых свойств, полезных при вычислениях. 1. Кососимметричность-2: при перестановке столбцов det-2 меняет знак: c d = a d c.
10 10 откуда a + a + = a a + c + d c + d c c + d + a + d c + d = }{{} =0 a a = + c c c d + a d c + d d }{{}}{{} =0 =0 c d = a d c. 2. Det-2 не изменится, если к любому из его столбцов прибавить другой столбец, умноженный на произвольное число. a + α c + αd d = c d + α = d d c d. }{{} =0. Определитель не изменится, если его строки и столбцы поменять ролями: c d = a c d. Это означает, что строки и столбцы det-2 равноправны: любое утверждение, справедливое для столбцов, будет справедливым и для строк... Примеры. Пример. cosα sin α sin α cos α = cos2 α + sin 2 α = 1. Пример Вычтем из второй строки удвоенную первую строку: = = = = Пример. Вычислить det-2 1 i 2 + i 2i 2 + i = (1 i)(2 + i) (2 + i)( 2i) =
11 11 = ( i) (12 + 5i) = 9 6i. Пример. Решить систему уравнений { (1 i)x + (2 + i) y = i, ( 2i)x + (2 + i)y = i. Воспользуемся формулами Крамера; для этого вычислим необходимые определители: 1 i 2 + i deta = = 9 6i 2i 2 + i (см. предыдущий пример), i 2 + i i 2 + i = 24i, Теперь находим x = 24i 9 6i = 1 + 2i, 1 i i 2i i 9i y = 9 6i = i. = 9i..4. Критерий равенства нулю det-2. Det-2 равен нулю тогда и только тогда, когда его столбцы линейно зависимы. 1. Пусть det-2 равен нулю. Имеем: c d = 0 = ad = c = 2. Пусть столбцы det-2 ЛЗ; тогда ( ) ( ) = α c d = = a c = d = α = ( c d = α αd d = 0. a ) = α ( c d ). 4. ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ Задача 1. Используя методы векторной алгебры, доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины. Задача 2. Используя методы векторной алгебры, найти координаты центра масс однородной пластинки, имеющей форму четырехугольника ABCD с вершинами в точках A(, 1), B(7, ), C(0, 4), D( 1, 2). Задача. На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N так, что AM : BM = m 1 : n 1, AN : CN = m 2 : n 2, O точка пересечения отрезков BN и CM. Найти отношения BO : ON и CO : OM. Решить задачу, используя методы векторной алгебры.
12 12 Задача 4. Используя методы векторной алгебры, доказать, что четыре отрезка, соединяющие вершины произвольного тетраэдра с точками пересечения медиан противоположных граней, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении : 1, считая от вершины. Задача 5. Используя методы векторной алгебры, доказать, что три отрезка, соединяющие середины скрещивающихся ребер произвольного тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка
Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)
1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).
Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,
8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.
1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения
Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор
Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ 1. Направленные отрезки и вектор Прежде всего напомним определение направленного отрезка. Определение 1. Упорядоченная пара точек (A,B) называется направленным отрезком
Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам:
Лекция 5 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 1.1. Определение. Определитель третьего порядка (сокращенно det-3) должен состоять из трех строк и трех столбцов чисел; будем считать его функцией его столбцов:
определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.
Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.
Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.
0.5 setgray0 0.5 setgray1
0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 6 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1. Скалярное произведение Определение 1. Углом ϕ между векторами a и b называется тот из углов, образованный
Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков.
Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Введение: Рассмотрим систему уравнений вида: { a 11 x 1+a 12 x 2+...+a 1n x n=b 1... a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+a mn x n =b m} Обозначим систему
Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K
Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются
6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов
Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В
Тема 1-12: Линейные операции над векторами
Тема 1-12: Линейные операции над векторами А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков
Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.
Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор
Введение в линейную алгебру
Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя
ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ
Конспект лекции 10 АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Конспект лекции 10 АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции Лекция Аффинные пространства. 1. Аффинный базис. 2. Аффинные координаты точек. 3. Векторное уравнение прямой. 4. Векторное уравнение плоскости. 5.
Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве
Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа
0.5 setgray0 0.5 setgray1
0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 4 ВЕКТОРЫ. БАЗИС 1. Базис векторов Определение 1. Векторы a 1,a 2,...,a n называются упорядоченными, если указано какой вектор из этой системы является первым, какой
б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK,
. Дан параллелепипед ABCDA B C D. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы AB, AD, AA, найти координаты: а) вершин C, B, C ; б) точек K и L середин ребер A B и CC соответственно. Решение:
Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты
Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные
Лекция 6. Геометрические векторы.
Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.
Структурно-логическая схема. Понятие вектора (В) Линейные операции над В. Сложение. Вычита-ние. Коллинеарность
Практическое занятие 3. Практикум (рекомендации к практической части) МОДУЛЬ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Тема: Линейные операции над векторами План. Понятие вектора. Основные отношения векторов.. Сложение векторов.
ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 2. Векторы. 3. Доказать, что для любых трех векторов а, b, c и любых трех чисел α, β, γ
ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ 1. Определители 2-го и 3-го порядков. 1. Вычислить определитель второго порядка: а) 1 1 1 1 ; б) 1 + 2 2 5 13547 13647 ; в) 2+ 5 1 2 28423 28523. 2. Вычислить определитель третьего порядка:
Овчинников Алексей Витальевич КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.
Овчинников Алексей Витальевич КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ http://matematika.phys.msu.ru/ Лекция 1 Системы координат Представление линий и поверхностей 1. ОБ УЧЕБНОМ ПЛАНЕ Лекции 36 ч. Семинары
Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC.
Лекция 6 1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1, f Векторы нового базиса можно выразить через векторы старого
a b, a если векторы имеют противоположное направление, то
ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают
Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ
Лекция 2. Векторы. Определения.
Лекция 2 Векторы Определения. Вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого указаны начало и конец. B конец вектора A начало вектора Обозначение вектора:
Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов
Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1,
Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра
Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =
Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:
Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим
Глава II. Векторная алгебра.
Глава II. Векторная алгебра. Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный
Геометрические векторы
Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его
на множестве векторов Понятие линейного пространства
Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Векторы. Линейные операции на множестве векторов Понятие линейного пространства Лектор Рожкова С.В. 2012 г. Глава II. Векторная алгебра. Элементы теории
Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра
Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса
Уравнения прямой и плоскости
Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется
МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости
Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль 3 для класса. Учебно-методическая часть./
0.5 setgray0 0.5 setgray1
0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 3 ВЕКТОРЫ 1. Определение вектора. Свободные и скользящие векторы Дадим определение направленного отрезка. Определение 1. Отрезок, концы которого упорядочены, называется
Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр
Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое
Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по
Лекция 7. . = [A 1,A 2,...,A n ], AX = B,
Лекция 7 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Рассмотрим систему, состоящую из m линейных уравнений с n неизвестными: a x + a x + + a nx n = b, a x + a x + + a nx n = b, a m x + a m x + + a m n x n = b m Сокращенно
a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко
Базис. Координаты вектора в базисе
Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной
Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр
Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ Е. И. Галахов, О. А. Салиева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие Москва 2009 1 Галахов Е. И., Салиева О. А. Векторная алгебра и аналитическая
Коллоквиум по аналитической геометрии
Коллоквиум по аналитической геометрии Решения 07/11/2013 Напоминание некоторых обозначений. f : A B: f функция с областью определения A и областью значений B. Z, Q, R множества целых, рациональных, и действительных
Высшая математика для психологов
Саратовский государственный университет им Н Г Чернышевского Галаев СВ, Шевцова ЮВ Высшая математика для психологов Часть (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) Саратов 00 СОДЕРЖАНИЕ Глава Векторная
ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.
ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало
Лекция 2: Линейные операции над векторами
Лекция 2: Линейные операции над векторами Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы приступаем к изучению
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
А.Н. БУРОВ, Э.Г. СОСНИНА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие для студентов курса технических и экономических специальностей высших учебных заведений Новосибирск 26 УДК 52.2 ББК 22.
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование),
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.
Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.
ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.
ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.... 1 2.Векторная алгебра.... 2 3.Системы координат... 6 1.Векторное пространство. Рассмотрим
Примеры решений контрольных работ
Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b
Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии 2007/2008 учебный год
Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии 2007/2008 учебный год 1 ВВОДНЫЕ ПОНЯТИЯ 1 (a) Системы координат на плоскости и в пространстве: декартова прямоугольная, декартова косоугольная, полярная,
Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3
Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть
Лекция 4. a 1 1 a 1 2 a 1 n. a 2 1 a 2 2 a 2 n. a m 1 a m 2 a m n. (2) первый индекс номер строки, а второй номер столбца: a 11 a 12 a 1n
Лекция 4 1. МАТРИЦЫ 1.1. Основные определения. Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел элементов матрицы, состоящая из m строк и n столбцов. Нумерация элементов матрицы: 1 верхний индекс номер
ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ 7 Линейные пространства Базис линейного пространства 7 Линейный оператор: определение действия над линейным оператором
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,
С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам)
С.Н. Зиненко Линейная алгебра Матрицы и определители (теория к задачам) 215 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 1º Линейным пространством называется множество элементов a, b,
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций
Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.
Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между
Контрольная 2 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой.
Вариант 1 Задача 1. Является ли векторным пространством множество многочленов P (x) степени не выше 2, удовлетворяющих условию P (1) = 0? Если да, постройте какой-нибудь базис и найдите размерность этого
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»
НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn
Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация
5. Система координат. Координаты точки
5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)
Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов, Д.В. Иванов МАТЕМАТИКА
Саратовский государственный университет имени НГ Чернышевского ВА Иванов, ДВ Иванов МАТЕМАТИКА Основы линейной алгебры и аналитической геометрии Учебное пособие для студентов биологического факультета
IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы
векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление
Элементы линейной алгебры
Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах Литература
Лекция 10 V V R, (αx,y) = α(x,y) (x,x) > 0.
Лекция 10 1 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО 11 Определение Пусть V (R) ЛП над полем вещественных чисел Скалярное произведение на V это произвольная функция V V R, ставящая в соответствие упорядоченной паре векторов
1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,
Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (
Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось
Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В этой лекции мы введем понятие скалярного произведения векторов и рассмотрим его свойства. Для этого нам понадобятся некоторые геометрические
IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы
векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.
ГЛАВА 1. Проективная геометрия
ГЛАВА 1. Проективная геометрия 1.1. Проективное пространство Пусть дано (n + 1)-мерное векторное пространство V ( 6.1, часть I) и непустое множество P произвольной природы. Говорят, что множество P наделено
7. Понятие линейного пространства
7 Понятие линейного пространства 1 Определение и примеры Пусть L некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на действительные числа (например, множество матриц одинакового размера,
Министерство образования и науки Российской Федерации
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический
Лекция 1: Определители второго и третьего порядков
Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем
Глава 6. Векторная алгебра. 6.1 Линейные операции
Глава 6 Векторная алгебра 61 Линейные операции 1 Доказать, что векторы (1,2) и (2, 3) образуют базис на плоскости Найти в этом базисе координаты векторов (5,3) и ( 4,6) 2 Доказать, что векторы (1, 2, 3),
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЕ
ФГБОУ ВПО "Саратовский государственный университет имени Н.Г.Чернышевского" СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЕ Учебное пособие А.В. Букушева, А.В. Гохман, М.В. Лосик Саратов 2013 ВВЕДЕНИЕ Традиционно курс
Упражнения по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Упражнения по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Доказать тождество: а y y y y б Доказать что Даны ненулевой вектор и скаляр Найти любое решение уравнения Подсказка: вектор характеризуется направлением и длиной так
1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?
Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1. Кривые второго порядка
Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1 Кривые второго порядка Задача 1 Докажите, что произведение расстояний от фокусов эллипса до любой касательной к нему есть величина
Конспект лекции 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ I
Конспект лекции 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ I План лекции Лекция Определители Определители второго порядка Система линейных уравнений; 2 Определение определителя второго порядка; 3 Запись через определители; 4 Свойства
Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие
ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое
2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.
ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы
Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы.
ГЛАВА 1. Векторная алгебра. 1.1. Направленные отрезки и векторы. Рассмотрим евклидово пространство. Пусть прямые (AB) и (CD) параллельны. Тогда лучи [AB) и [CD) называются одинаково направленными (соответственно
Глава 1. Элементы линейной алгебры.
Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,
Лекция 6: Система координат. Координаты точки
Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы
Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M
Лекция 8 Тема: Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости Угол между векторами на ориентированной плоскости План лекции Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости 3 Угол между
Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.
Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция
1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1
1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции
ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"
ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.
Электронная библиотека
ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА Методические указания к практическим занятиям